சீரற்ற மாறி என்று வைத்துக்கொள்வோம் x arஅளவுருக்கள் கொண்ட ஒரு சாதாரண விநியோகம் உள்ளது M[x ar]மற்றும் டி,தோராயமாக மதிப்பிடப்பட்ட நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம் x arஅவனிடமிருந்து விலகுகிறது கணித எதிர்பார்ப்புகளை விட குறைவாக.

இதில் Ф 0 (x) என்பது இயல்பாக்கப்பட்ட Laplace செயல்பாடாகும், இது ஏற்கனவே அத்தியாயம் 2 இல் விவாதிக்கப்பட்டது. அதற்கான அட்டவணைகள் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன (பின் இணைப்பு 5 ஐப் பார்க்கவும்).

நாம் பரிசீலிக்கும் உதாரணத்திலிருந்து தரவைப் பயன்படுத்தி துல்லியம் மற்றும் நம்பகத்தன்மையை மதிப்பிடுவோம் x ar.எங்கள் உதாரணத்திற்கு எங்களிடம் உள்ளது: x ar = 90; D x = 57,5; d x = 7.6 அதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம் எம்[X] * x ar, e - 3க்கு மேல் பிழை செய்ய மாட்டோம்.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (6.60)-(6.62) எங்களுக்கு கிடைத்தது:

பின் இணைப்பு 5 இல் உள்ள அட்டவணையில் இருந்து நாம் F o (1.765) = 0.46164 ஐக் காண்கிறோம், அதாவது M[X] ஐ மாற்றுவதில் பிழைகள் ஏற்படும் நிகழ்தகவு x arதோராயமாக 0.92 (92%) க்கு சமமான 3 ஐ விட அதிகமாக இருக்காது. இந்த நிகழ்தகவை போதுமானதாகக் கருதலாம்.

எப்போது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது p> 20 மதிப்பீடு டி எக்ஸ்சீரற்ற மாறி X இன் பரவலைப் பொருட்படுத்தாமல், இது அளவுருக்களுடன் சாதாரண சட்டத்தின்படி தோராயமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது:

சூத்திரங்களில் D[X] ஐ மாற்றுதல் (6.64)-(6.66) புள்ளியியல் மதிப்பீடு டி எக்ஸ்நாம் பெறுகிறோம்:

உதாரணத் தரவைப் பயன்படுத்தி, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (6.67) மற்றும் (6.69) நாம் பெறுகிறோம்:

இப்போது, ​​சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (6.63), மதிப்பீட்டின் நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம் டி எக்ஸ்அதன் உண்மையான மதிப்பான D[X] இலிருந்து e = 3க்குக் குறைவாக விலகும்.

பின் இணைப்பு 5 இல் உள்ள அட்டவணையில் இருந்து ФД0D6) = 0.06356, அதாவது D[X] ஐ மாற்றுவதற்கான நிகழ்தகவு டி எக்ஸ் 0.13 (13%) க்கு சமமான 3 க்கும் குறைவாக இருக்கும், இது தெளிவாக போதாது. எங்களிடம் 20 அவதானிப்புகள் மட்டுமே உள்ளன, மேலும் சூத்திரங்கள் (6.64)-(6.66) n > 20க்கு வேலை செய்கின்றன.

எங்கள் உதாரணம் கல்வி என்று நாங்கள் ஏற்கனவே கூறியுள்ளோம். உண்மையான சிக்கல்களில் அதிக தரவு உள்ளது, எனவே சூத்திரத்திலிருந்து (6.63) பெறப்பட்ட நிகழ்தகவு மிக அதிகமாக இருக்கும்.

நாம் பெற்ற ஹிஸ்டோகிராம் (படம் 6.2 ஐப் பார்க்கவும்.) வரைகலை படம்எங்கள் விநியோகம். ஆனால் மேலதிக ஆராய்ச்சிக்கு ஹிஸ்டோகிராம் பயன்படுத்துவது சிரமமாக உள்ளது. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட விநியோகத்திற்கு நமது விநியோகத்தின் அத்தியாவசிய அம்சங்களை மட்டும் வெளிப்படுத்தும் ஒரு பகுப்பாய்வு சார்பு (சூத்திரம்) எவ்வாறு தேர்வு செய்வது என்பது பற்றிய கேள்வி எழுப்பப்படுகிறது. இந்த பிரச்சனை அழைக்கப்படுகிறது, align புள்ளிவிவர விநியோகம். பொதுவாக ஹிஸ்டோகிராம் சமன் செய்யப்படுகிறது, அதாவது, அது ஒரு குறிப்பிட்ட பகுப்பாய்வு வெளிப்பாட்டைக் கொண்ட சில தத்துவார்த்த வளைவால் மாற்றப்படுகிறது. பின்னர் இந்த வெளிப்பாடு பரவல் அடர்த்தி /(x) ஆக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.

பரிசீலனையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், சாதாரண சட்டத்தின்படி நாம் கட்டமைக்கப்பட்ட ஹிஸ்டோகிராம் அளவுருக்களுடன் சீரமைக்கிறோம் x ar= 90; a x = 7.6, அதாவது சாதாரண விநியோகத்தின் அடர்த்திக்கான வெளிப்பாட்டில்

M[X] மற்றும் a[X] ஆகியவற்றை அவற்றின் மதிப்பீடுகளுடன் மாற்றிப் பெறுகிறோம்

மதிப்புகளாக எக்ஸ்எங்கள் தொகுக்கப்பட்ட தொடரில் உள்ள இடைவெளிகளின் எல்லைகளை எடுத்து, அவற்றை சூத்திரத்தில் (6.70) மாற்றி, பெறுகிறோம்:

படம் 6.2 இல் பெறப்பட்ட தரவை நாங்கள் திட்டமிடுகிறோம் மற்றும் ஒரு மென்மையான வளைவைப் பெறுகிறோம்.

இப்போது அடர்த்தியுடன் கூடிய சாதாரண விநியோக விதி பற்றிய கருதுகோள் H o ஐப் பார்க்கலாம் f(x)கருதுகோள் H o என்பது மாற்று கருதுகோளுடன் H 1 உடன் முரண்படுகிறது, இது சீரற்ற மாறி X அளவுருக்கள் கொண்ட சாதாரண சட்டத்திற்கு கீழ்படிவதில்லை என்று கூறுகிறது. x ar= 90; ஒரு x = 7.6.

நாம் முன்வைத்த கருதுகோளுடன் அவதானிப்புத் தரவுகள் ஒத்துப்போகின்றனவா என்பதை முடிவு செய்ய, ஒரு நல்ல தகுதிக்கான அளவுகோல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒப்பந்தத்தின் அளவுகோல் என்பது விநியோகச் சட்டத்தைப் பற்றிய கருதுகோளைச் சோதிப்பதற்கான அளவுகோலாகும். சோதனைத் தரவுகளுடன் கருதப்படும் விநியோகச் சட்டத்தின் உடன்பாட்டைச் சரிபார்க்க இது பயன்படுகிறது.

ஒப்பந்தத்தின் பல்வேறு அளவுகோல்கள் உள்ளன: பியர்சன், ஃபிஷர், கோல்மோகோரோவ், முதலியன.

கருதுகோள்களை சோதிக்கும் போது, ​​இரண்டு வகையான பிழைகள் ஏற்படலாம். முதல் வகையின் பிழையானது உண்மையான பூஜ்ய கருதுகோள் H o நிராகரிக்கப்பட்டது; இரண்டாவது வகை பிழை - சரியான மாற்று கருதுகோள் N g நிராகரிக்கப்பட்டது

வகை I பிழையின் நிகழ்தகவு (அ) அளவுகோலின் முக்கியத்துவ நிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிறிய a, சரியான கருதுகோளை நிராகரிப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகள் குறைவாக இருக்கும் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய a வழக்கமாக முன்கூட்டியே அமைக்கப்படுகிறது. ஒரு விதியாக, a = 0.01 இன் நிலையான மதிப்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன; 0.05; 0.1

வகை II பிழையின் நிகழ்தகவு p ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. மதிப்பு (1 - p) - இரண்டாவது வகையின் பிழையைத் தவிர்ப்பதற்கான நிகழ்தகவு (சரியான கருதுகோளை ஏற்றுக்கொள்வது மற்றும் தவறான கருதுகோளை நிராகரித்தல் H 0) - அளவுகோலின் சக்தி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முதலில், சாதாரண விநியோகத்தின் கருதுகோளை சோதிக்க பியர்சன் அளவுகோலை (x 2) பயன்படுத்துகிறோம். சீரற்ற மாறி X ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை எடுக்கும் ஒவ்வொன்றிலும் n சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது. x 1 x 2 ....., x கே (இதற்கு- சாத்தியமான மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை

சீரற்ற மாறி X). இதன் விளைவாக, நாங்கள் ஒரு புள்ளிவிவர விநியோகத் தொடரைப் பெறுகிறோம் (அட்டவணை 6.6).

அட்டவணை 6.6

தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள் எங்கே.

விலகல்கள் / இருந்து என்று நாங்கள் நம்புகிறோம் ஆர்சீரற்ற காரணங்கள் உள்ளன. முன்வைக்கப்பட்ட கருதுகோளின் நம்பகத்தன்மையை சரிபார்க்க, புள்ளியியல் மற்றும் தத்துவார்த்த விநியோகங்களுக்கு இடையே உள்ள முரண்பாட்டின் சில அளவைத் தேர்ந்தெடுப்பது அவசியம்.

பியர்சன் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​ஸ்கொயர்டு விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை (/. - ஆர்.),சில எடைகளுடன் எடுக்கப்பட்டது உடன் (,அதாவது

S. எடைகள் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன, ஏனெனில் விலகல்கள் தொடர்பானது வெவ்வேறு அர்த்தங்கள் R. முக்கியத்துவத்தில் சமமாக கருத முடியாது.

எடுத்தால் என்று நிரூபித்தார் பியர்சன்

பின்னர் அதிக எண்ணிக்கையிலான சோதனைகளுடன் nஅளவு விநியோக சட்டம் ஆர் ஏபின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது: இது நடைமுறையில் சீரற்ற மாறி X இன் விநியோகச் சட்டத்தைச் சார்ந்தது அல்ல, சோதனைகளின் எண்ணிக்கையை சிறிது சார்ந்தது n, சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது X(k)மற்றும் n இல் -> oo விநியோகத்தை அணுகுகிறது x 2 எனவே, இந்த வழக்கில் முரண்பாட்டின் அளவு குறிக்கப்படுகிறது % 2 , அதாவது

அதையும் அதற்குப் பிறகும் கணக்கில் கொண்டு, தொகைக் குறியின் கீழ் p ஐ உள்ளிடுகிறோம்

நாம் பெறும் மாற்றங்கள்

x2 இன் பரவலானது சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை (rc) எனப்படும் அளவுருவைப் பொறுத்தது, இது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

எங்கே எஸ் இ-- சார்பு அதிர்வெண்களில் விதிக்கப்படும் சுயாதீன நிபந்தனைகளின் எண்ணிக்கை. எங்கள் உதாரணத்திற்கு எஸ் இ= 3. பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும் என்று நாங்கள் கோரினோம்:

விநியோகத்திற்காக % 2 அட்டவணைகள் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன (இணைப்பு 6 ஐப் பார்க்கவும்). எங்கள் உதாரணத்திற்கு, பியர்சன் சோதனையைப் பயன்படுத்தி சாதாரண விநியோகத்தின் கருதுகோளைச் சரிபார்ப்போம்.

மேசைக்குத் திரும்புவோம். 6.5, அங்கு ஒரு வெற்று நெடுவரிசை உள்ளது (ஆர்.) - இவை ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் இடைவெளியில் விழுவதற்கான கோட்பாட்டு நிகழ்தகவுகள், இது அளவுருக்கள் கொண்ட சாதாரண விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. x ar = 90; ஒரு x = 7.6.

அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (2.44). நாங்கள் பெறுகிறோம்:

Ф о (х) என்பது இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லேஸ் செயல்பாடாகும், இதற்காக நாங்கள் ஏற்கனவே கூறியது போல், அட்டவணைகள் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன (பின் இணைப்பு 5 ஐப் பார்க்கவும்).

பெறப்பட்ட நிகழ்தகவு மதிப்புகளை அட்டவணையில் உள்ளிடுகிறோம். 6.5 அடுத்து, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (6.74), நாம் பெறுகிறோம்:

எங்கள் விஷயத்தில் சுதந்திரத்தின் டிகிரிகளின் எண்ணிக்கை r, = 6 - 3 = 3 க்கு சமம். முக்கியத்துவ அளவை 0.1 என்று எடுத்துக்கொள்கிறோம், அதாவது a = 0.1. x2 விநியோக அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி (இணைப்பு 6 ஐப் பார்க்கவும்), முக்கியத்துவம் நிலை a = 0.1 மற்றும் சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை r = 3 மூலம், நாம் %m = 6.25 ஐக் காணலாம்.

ஏனெனில் Xt > X P,ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் கருதுகோள் அவதானிப்புத் தரவுகளுடன் முரண்படாது மற்றும் 0.1 இன் முக்கியத்துவத்துடன் ஏற்றுக்கொள்ளப்படலாம். உங்களிடம் விநியோக அட்டவணை x 2 இல்லை என்றால், முரண்பாட்டின் சீரற்ற தன்மையை மதிப்பிடுவதற்கு /. இருந்து ஆர்.நீங்கள் ரோமானோவ்ஸ்கி அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம்

விகிதம் (6.76) மூன்றுக்கும் குறைவாக இருந்தால், உண்மையான மற்றும் தத்துவார்த்த விநியோகங்களுக்கு இடையிலான முரண்பாடு சீரற்றதாக இருக்கும், இல்லையெனில் அவை குறிப்பிடத்தக்கவை.

எங்களிடம் உள்ள எடுத்துக்காட்டு தரவு , எனவே ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் கருதுகோளையும் ஏற்றுக்கொள்ளலாம்.

இப்போது நாம் சாதாரண விநியோகத்தின் கருதுகோளைச் சோதிக்க, Kolmogorov நன்மை-ஆப்-பிட் சோதனையைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

கொல்மோகோரோவ் அளவுகோல், சோதனை விநியோகத்தின் திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண்கள் அல்லது தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள் மற்றும் கோட்பாட்டு விநியோகத்தின் நிகழ்தகவுகளுக்கு இடையிலான அதிகபட்ச முரண்பாட்டைக் கண்டறிவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இது சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

நீங்கள் திரட்டப்பட்ட தொடர்புடைய அதிர்வெண்களைப் பயன்படுத்தினால்;

நாம் திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண்களைப் பயன்படுத்தினால், எங்கே டி எம்- திரட்டப்பட்ட உறவினர் அதிர்வெண்கள் மற்றும் நிகழ்தகவுகளுக்கு இடையிலான முரண்பாடுகளின் அதிகபட்ச மதிப்பு;

டி எம்- உண்மையான மற்றும் தத்துவார்த்த அதிர்வெண்களுக்கு இடையிலான அதிகபட்ச வேறுபாடு.

நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம் (6.77) மற்றும் தேவையான தரவை அட்டவணையில் வைப்போம். 6.8

மேஜையில் இருந்து 6.8 சூத்திரத்தின்படி அது பின்வருமாறு

(6.75) நாம் பெறுகிறோம்

அட்டவணை 6.8

பின்னர் அட்டவணைகள் படி பி()(இணைப்பு 8 ஐப் பார்க்கவும்) நாம் காண்கிறோம் பி(எக்ஸ் கே)= 1. எனவே, தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள் மற்றும் தத்துவார்த்த நிகழ்தகவுகளுக்கு இடையிலான முரண்பாடுகள் இயற்கையில் சீரற்றவை என்று நாம் கருதலாம், எனவே, ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் கருதுகோள் அவதானிப்புத் தரவுகளுடன் முரண்படாது.

முடிவில், எங்கள் உதாரணம் கல்வி நோக்கங்களுக்காக என்று மீண்டும் மீண்டும் சொல்கிறோம். பியர்சன் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை குறைந்தது பல டஜன் இருக்க வேண்டும், ஒவ்வொரு வகையிலும் குறைந்தது ஐந்து அவதானிப்புகள் இருக்க வேண்டும், மற்றும் வகைகளின் எண்ணிக்கை தோராயமாக 10-15 ஆக இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

சுய பரிசோதனை கேள்விகள்

• 1. புள்ளிவிவரங்களில் என்ன வகையான சராசரிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன?
• 2. ஹார்மோனிக் எளிமையான மற்றும் எடையுள்ள சராசரி எவ்வாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது?
• 3. வடிவியல் எளிய மற்றும் எடையுள்ள சராசரி எவ்வாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது?
• 4. எளிய மற்றும் எடையுள்ள எண்கணித சராசரி எவ்வாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது?
• 5. சராசரி சதுரம் மற்றும் சராசரி கன சதுரம் எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது?
• 6. மாறுபாட்டின் என்ன குறிகாட்டிகள் உங்களுக்குத் தெரியும்?
• 7. மாறுபாட்டின் வரம்பு மற்றும் சராசரி நேரியல் விலகல் என்ன? கணக்கிடுவதற்கு என்ன சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன?
• 8. மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் என்றால் என்ன? கணக்கிடுவதற்கு என்ன சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன?
• 9. ஒரு தரமான பண்பின் மாறுபாட்டைக் கண்டறிய என்ன சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது?
• 10. மாறுபாட்டின் குணகம் என்ன? பொருளாதார பகுப்பாய்விற்கு அதன் முக்கியத்துவம் என்ன?
• 11. மாறுபாட்டைச் சேர்ப்பதற்கான விதி என்ன?
• 12. வளைவு மற்றும் குர்டோசிஸ் என்றால் என்ன, அவற்றைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரங்கள் என்ன?

தலைப்பு 5

முக்கிய கேள்விகள்: 1. மாறுபாட்டின் கருத்து.

2. மாறுபாடு குறிகாட்டிகள்.

3. மாறுபாட்டின் தொடர்புடைய குறிகாட்டிகள்.

4. சிதறல் வகைகள்.

1.மாறுபாட்டின் கருத்து.ஒரு நிகழ்வின் மொத்தத்தைப் படிக்கும் போது, ​​சராசரி மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்பதில் மட்டுமே ஒருவர் தன்னைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்ள முடியாது. சராசரி மதிப்புகள் வேறுபட்ட பண்புகளின் பொதுவான பண்புகளை வழங்குகின்றன மற்றும் ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகைக்கான பொதுவான பண்புகளைக் காட்டுகின்றன. இருப்பினும், சராசரி மதிப்பு சராசரி அளவைச் சுற்றி தனிப்பட்ட அம்ச மதிப்புகளின் ஏற்ற இறக்கத்தின் அளவைக் காட்டாது. மக்கள்தொகையின் ஒருமைப்பாட்டைப் பொறுத்து, குணாதிசயங்களின் மாறுபாடு பெரியதாகவோ அல்லது சிறியதாகவோ இருக்கலாம். எனவே, சராசரி மதிப்பு தொடர்பாக தனிப்பட்ட விருப்பங்களின் மாறுபாட்டை அளவிட வேண்டிய அவசியம் உள்ளது.

வரையறை: மாறுபாடு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட மக்கள்தொகையின் வெவ்வேறு அலகுகளில் ஒரே காலகட்டத்திலோ அல்லது காலத்திலோ உள்ள பண்புகளின் மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாடு ஆகும்.

லத்தீன் மொழியிலிருந்து மொழிபெயர்க்கப்பட்ட மாறுபாடு என்பது "ஏற்றம்", "மாறுபாடு", "சீரற்ற தன்மை" என்பதாகும். பெரும்பாலான சமூக-பொருளாதார நிகழ்வுகள் மற்றும் செயல்முறைகள் சில அளவில் மாறுபடும் என்று கருதி, புள்ளிவிவரங்கள் மாறுபாட்டின் குறிகாட்டிகளைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு முறையை உருவாக்கியுள்ளன, இது முழுமையான, உறவினர் மற்றும் சராசரியாக இருக்கலாம்.

அறிகுறிகளின் மதிப்புகள் மாறுபடும் மற்றும் பல்வேறு காரணங்கள் மற்றும் நிலைமைகளின் செல்வாக்கின் கீழ் மாறுபடும், இது புள்ளிவிவரங்களில் காரணிகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பெரும்பாலும் இந்த காரணிகள் எதிர் திசைகளில் செயல்படுகின்றன, மேலும் அவை மாறுபடும். மக்கள்தொகையின் அனைத்து அலகுகளிலும் கொடுக்கப்பட்ட பண்புகளின் மாறுபாடுகளின் அளவை தீர்மானிக்கும் குறிப்பிடத்தக்க காரணிகள் அவற்றில் உள்ளன. ஆனால் மக்கள்தொகையின் சில அலகுகளை பாதிக்கக்கூடிய அத்தியாவசியமற்றவை உள்ளன, ஆனால் மற்றவை அல்ல.

எடுத்துக்காட்டாக, பல்கலைக்கழகத் தேர்வில் மாணவர்களின் மதிப்பெண்களில் ஏற்படும் மாறுபாடு, குறிப்பாக, மாணவர்களின் பல்வேறு திறன்களால் ஏற்படுகிறது; அவர்கள் செலவழித்த நேரம் சுதந்திரமான வேலை; வகுப்பு வருகை; சமூக மற்றும் வாழ்க்கை நிலைமைகளில் வேறுபாடுகள், முதலியன. ஆனால் மதிப்பீடு சில தற்செயலான, முற்றிலும் சீரற்ற காரணங்களால் பாதிக்கப்படலாம், எடுத்துக்காட்டாக, தற்காலிக நோய்.

மாறுபாடு உருவாக்கப்பட்டது குறிப்பிடத்தக்க காரணிகள், முறையானது, அதாவது, ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில் ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாடுகளில் ஒரு நிலையான மாற்றம் உள்ளது. இந்த மாறுபாடு முறையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. முறையான மாறுபாட்டில், நிகழ்வுகளுக்கும் அவற்றின் குணாதிசயங்களுக்கும் இடையிலான உறவுகள் அத்தகைய இணைப்பில் வெளிப்படுகின்றன, ஒன்று ஒரு காரணம், மற்றொன்று அதன் செயல்பாட்டின் விளைவு.

சீரற்ற காரணிகளால் ஏற்படும் மாறுபாடு சீரற்ற மாறுபாடு எனப்படும். இங்கே சீரற்ற காரணிகளைப் பொறுத்து சார்புப் பண்பின் மாறுபாடுகளில் முறையான மாற்றம் இல்லை; அனைத்து மாற்றங்களும் இயற்கையில் குழப்பமானவை, ஏனெனில் இந்த காரணிகளுக்கும் ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையின் அலகுகளுக்கும் இடையே நிலையான தொடர்பு இல்லை.

விதிவிலக்கு இல்லாமல் அதை பாதிக்கும் அனைத்து காரணிகளின் செல்வாக்கின் கீழ் உருவாகும் ஒரு சார்பு பண்பின் மாறுபாடு பொது மாறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, மொத்த மாறுபாடு முறையான மற்றும் சீரற்ற மாறுபாட்டால் ஆனது.

2.மாறுபாடு குறிகாட்டிகள்.மாறுபாடு குறிகாட்டிகள் பின்வருமாறு: மாறுபாட்டின் வரம்பு, சராசரி நேரியல் (முழுமையான) விலகல் (s.l.o.), சிதறல், நிலையான விலகல் (s.d.o.), மாறுபாட்டின் குணகம்.

1) மாறுபாட்டின் வரம்பு- பண்புக்கூறின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புக்கு இடையிலான வேறுபாடு:

இது ஒரு குணாதிசயத்தில் மாற்றத்தின் வரம்புகளை வகைப்படுத்துகிறது.

சராசரி வரம்பு: - இது சம அளவின் தொடர்ச்சியான அவதானிப்புகளிலிருந்து பெறப்பட்ட பல வரம்புகளின் எண்கணித சராசரி. தரக் கட்டுப்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இருப்பினும், மாறுபாட்டின் வரம்பு பண்பின் தீவிர விலகல்களை மட்டுமே காட்டுகிறது மற்றும் தொடரில் உள்ள அனைத்து மாறுபாடுகளின் விலகல்களையும் பிரதிபலிக்காது. மாறுபாட்டைப் படிக்கும்போது, ​​வரம்பைத் தீர்மானிப்பதில் மட்டுமே ஒருவர் தன்னைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்ள முடியாது. மாறுபாட்டை பகுப்பாய்வு செய்ய, மாறுபட்ட குணாதிசயத்தின் அனைத்து ஏற்ற இறக்கங்களையும் பிரதிபலிக்கும் மற்றும் பொதுவான பண்புகளை வழங்கும் ஒரு காட்டி தேவை.

இந்த வகை SLO இன் எளிய காட்டி.

2). சராசரி நேரியல் விலகல்(SLO) - அவற்றின் எண்கணித சராசரியிலிருந்து தனிப்பட்ட விருப்பங்களின் விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியைக் குறிக்கிறது (பண்புகளின் தீவிர மதிப்புகளை மட்டுமே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது மற்றும் அனைத்து இடைநிலைகளையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாது).

- தொகுக்கப்படாத தரவுக்கான SLO: ,

தொடரின் விதிமுறைகளின் எண்ணிக்கை எங்கே.

அந்த. – SLO என்பது எண்கணித சராசரியிலிருந்து மக்கள்தொகையில் உள்ள அனைத்து அலகுகளின் பண்புக்கூறின் முழுமையான விலகல்களின் (தொகுதிகள்) எண்கணித சராசரிக்கு சமம்.

- குழுவான தரவுக்கான SLO: ,

மாறுபாடு தொடரின் அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகை எங்கே.

சூத்திரங்களில், எண்களில் உள்ள வேறுபாடுகள் மாடுலோவாக எடுக்கப்படுகின்றன, இல்லையெனில் எண் எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருக்கும் - இயற்கணிதத் தொகைஅவற்றின் எண்கணித சராசரியிலிருந்து விருப்பங்களின் விலகல்கள்.

எனவே, SLO அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது, குறிகாட்டிகளை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளாமல் குறிகாட்டிகளை சுருக்கினால் பொருளாதார அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, தொழிலாளர்களின் கலவை, உற்பத்தியின் தாளம், வெளிநாட்டு வர்த்தக விற்றுமுதல் ஆகியவற்றின் பகுப்பாய்வு.

3) சிதறல்எண்கணித சராசரியிலிருந்து தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரம் (அளவீட்டு அலகுகள் இல்லை).

IN பொதுவான பார்வைஎடையுள்ள மாறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

அல்லது எளிய மாறுபாடு:

.

மாற்று பண்பின் மாறுபாடு:

4) நிலையான விலகல்(RMS) - இது எண்கணித சராசரியிலிருந்து ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் சராசரி சதுர விலகலின் வர்க்க மூலமாகும்:

- தொகுக்கப்படாத தரவுகளுக்கு;

- தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கு (மாறுபாடு தொடருக்கு).

3.மாறுபாட்டின் தொடர்புடைய குறிகாட்டிகள் (மாறுபாட்டின் குணகம்).புள்ளியியல் நடைமுறையில், பல்வேறு குணாதிசயங்களின் மாறுபாடுகளை ஒப்பிட வேண்டிய அவசியம் அடிக்கடி உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, தொழிலாளர்களின் வயது மற்றும் அவர்களின் தகுதிகள், சேவையின் நீளம் மற்றும் அளவு ஆகியவற்றில் உள்ள மாறுபாடுகளை ஒப்பிடுவது மிகவும் ஆர்வமாக உள்ளது. ஊதியங்கள், செலவு மற்றும் லாபம், சேவையின் நீளம் மற்றும் தொழிலாளர் உற்பத்தித்திறன் போன்றவை. இத்தகைய ஒப்பீடுகளுக்கு, குணாதிசயங்களின் முழுமையான மாறுபாட்டின் குறிகாட்டிகள் பொருத்தமற்றவை: வேலை அனுபவத்தின் மாறுபாட்டை ஒப்பிடுவது சாத்தியமில்லை, ஆண்டுகளில் வெளிப்படுத்தப்படும், சம்பள மாறுபாட்டுடன், ரூபிள்களில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

அத்தகைய ஒப்பீட்டைச் செய்ய, அதே போல் பல மக்கள்தொகைகளில் ஒரே குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டை வெவ்வேறு எண்கணித சராசரிகளுடன் ஒப்பிடுவதற்கு, மாறுபாட்டின் ஒப்பீட்டு காட்டி பயன்படுத்தப்படுகிறது - மாறுபாட்டின் குணகம் (CV).

எச்.எஃப்- ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படும் எண்கணித சராசரிக்கான நிலையான விலகலின் விகிதத்தைக் குறிக்கிறது.

,

இது மாறுபாட்டின் குணகம். இது மாறுபாட்டின் ஒப்பீட்டு அளவீடு மற்றும் மாறுபாட்டின் அளவை வெவ்வேறு அளவில் ஒப்பிட அனுமதிக்கிறது மாறுபாடு தொடர்.

4.சிதறல் வகைகள்.

வரையறை: சிதறல் என்பது எண்கணித சராசரியிலிருந்து ஒரு விநியோகத் தொடரின் சிறப்பியல்புகளின் அனைத்து மதிப்புகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரமாகும்.

சிதறல் பண்புகள்:

1) நிலையான மதிப்பின் மாறுபாடு பூஜ்ஜியம் ();

2) அனைத்து விருப்பங்களும் ஒரே எண்ணால் அதிகரிக்கப்பட்டாலோ அல்லது குறைந்தாலோ மாறுபாடு மாறாது ( );

3) எல்லா விருப்பங்களும் எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால், மாறுபாடு ஒரு காரணியால் அதிகரிக்கும் ;

4) சராசரியிலிருந்து மாறுபாடு எந்த எண்ணிலிருந்தும் விலகல்களின் சராசரி சதுரத்தை விட குறைவாக உள்ளது - சராசரியிலிருந்து குறைந்தபட்ச மாறுபாட்டின் பண்பு ( ).

சிதறலின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவது அதன் கணக்கீடுகளை எளிதாக்குகிறது, குறிப்பாக மாறுபாடு தொடர் இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் எண்கணித முன்னேற்றம்அல்லது சம இடைவெளிகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், முதலில் நிபந்தனை பூஜ்ஜியத்திலிருந்து சிதறலைக் கண்டறிந்து, பின்னர் 4 வது சொத்தைப் பயன்படுத்தி, சராசரியிலிருந்து சிதறலுக்குச் செல்லவும்.

குழுவான தரவுகளுக்கான மாறுபாடுகளின் வகைகள், புள்ளிவிவர ஆய்வுகளில் அவற்றின் பயன்பாட்டிற்கான நிபந்தனைகள்.

சில குணாதிசயங்களின்படி தரவுகளின் தொகுப்பு குழுக்களாக தொகுக்கப்பட்டால், இந்த விஷயத்தில் 3 வகையான மாறுபாடுகள் வேறுபடுகின்றன:

மொத்த மாறுபாடு

விநியோகத் தொடரை உருவாக்குவதற்கான விதிகள்

விநியோகத் தொடர்கள் எளிமையான குழுவாகும், இதில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு குழுவும் ஒரு குறிகாட்டியால் வகைப்படுத்தப்படும்.

புள்ளியியல் தொடர்விநியோகம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட மாறுபட்ட பண்புகளின்படி மக்கள்தொகை அலகுகளை குழுக்களாக ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட விநியோகமாகும்.

விநியோகத் தொடரின் உருவாக்கத்தின் அடிப்படையிலான பண்புகளைப் பொறுத்து, பண்புக்கூறு மற்றும் மாறுபாடு விநியோகத் தொடர்கள் வேறுபடுகின்றன.

தரமான குணாதிசயங்களின்படி கட்டமைக்கப்பட்ட விநியோகத் தொடர்கள், அதாவது எண் வெளிப்பாடு இல்லாத பண்புகள் பண்புக்கூறு என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

பண்புக்கூறு விநியோகத் தொடர்கள் சில அத்தியாவசிய பண்புகளின்படி மக்கள்தொகையின் கலவையை வகைப்படுத்துகின்றன. பல காலகட்டங்களில் எடுக்கப்பட்ட, இந்தத் தரவுகள் கட்டமைப்பில் ஏற்படும் மாற்றங்களைப் படிப்பதை சாத்தியமாக்குகின்றன.

மாறுபாடு தொடர்கள் என்பது ஒரு அளவு பண்பின்படி கட்டமைக்கப்பட்ட விநியோகத் தொடர்கள். எந்த மாறுபாடு வரிசையும் இரண்டு கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது: விருப்பங்கள் மற்றும் அதிர்வெண்கள். மாறுபாடுகள் என்பது ஒரு மாறுபாடு தொடரில் எடுக்கும் ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள், அதாவது மாறுபட்ட பண்புகளின் குறிப்பிட்ட மதிப்பு. அதிர்வெண்கள் என்பது தனிப்பட்ட மாறுபாடுகளின் எண்கள் அல்லது ஒரு மாறுபாடு தொடரின் ஒவ்வொரு குழுவும் ஆகும், அதாவது, ஒரு விநியோகத் தொடரில் சில மாறுபாடுகள் எவ்வளவு அடிக்கடி நிகழ்கின்றன என்பதைக் காட்டும் எண்கள் இவை. அனைத்து அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகை முழு மக்கள்தொகையின் அளவையும், அதன் அளவையும் தீர்மானிக்கிறது. விவரக்குறிப்புகள் ஒரு அலகின் பின்னங்களாக அல்லது மொத்தத்தின் சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படும் அதிர்வெண்கள். அதன்படி, பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை 1 அல்லது 100% ஆகும்.

விநியோகத் தொடர்களை உருவாக்குவதற்கான விதிகள் குழுக்களை உருவாக்குவதற்கான விதிகளைப் போலவே இருக்கும்.

ஒரே காலத்திற்கு, ஆனால் வெவ்வேறு பொருள்களுக்காக கட்டப்பட்ட குழுக்கள், அல்லது, மாறாக, ஒரு பொருளுக்கு, ஆனால் இரண்டு வெவ்வேறு காலகட்டங்களுக்கு, ஒப்பிடமுடியாததாக மாறலாம் பல்வேறு எண்கள்தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட குழுக்கள் அல்லது இடைவெளி எல்லைகளில் உள்ள வேறுபாடுகள்.

இரண்டாம் நிலை குழுவாக்கம், அல்லது குழுவாக்கப்பட்ட தரவை மீண்டும் ஒருங்கிணைத்தல் பயன்படுத்தப்படுகிறது சிறந்த பண்புகள்ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வு (மக்கள்தொகை அலகுகளின் விநியோகத்தின் தன்மையை ஆரம்பக் குழு தெளிவாக அடையாளம் காணவில்லை என்றால்), அல்லது ஒப்பீட்டு பகுப்பாய்வு நோக்கத்திற்காக குழுக்களை ஒப்பிடக்கூடிய வகைக்கு கொண்டு வருவது.

"மாறுபாடு" என்ற சொல் லத்தீன் வேரிட்டோவிலிருந்து வந்தது - மாற்றம், ஏற்ற இறக்கம், வேறுபாடு. இருப்பினும், ஒவ்வொரு வித்தியாசமும் மாறுபாடு என்று அழைக்கப்படுவதில்லை. புள்ளிவிவரங்களில் உள்ள மாறுபாடு, ஒரே மாதிரியான மக்கள்தொகைக்குள் ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளின் மதிப்பில் ஏற்படும் அளவு மாற்றங்களாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, அவை செயலின் குறுக்குவெட்டு செல்வாக்கால் ஏற்படுகின்றன. பல்வேறு காரணிகள்.

புள்ளிவிவரங்களின் மாறுபாடு பற்றிய ஆய்வு முக்கியமானது ஏனெனில்... பிற மாறுபட்ட குணாதிசயங்களின் இந்த பண்பின் மீதான செல்வாக்கின் அளவை மதிப்பிடுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. மாதிரி கண்காணிப்பு, புள்ளிவிவர மாதிரிகளை உருவாக்குதல், நிபுணர் ஆய்வுப் பொருட்களை உருவாக்குதல் போன்றவற்றின் போது மாறுபாட்டைத் தீர்மானிப்பது அவசியம்.

சராசரி மதிப்பு என்பது ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையின் சிறப்பியல்புகளின் பொதுமைப்படுத்தும் பண்பு ஆகும். ஆய்வு செய்யப்படும் குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் சராசரியைச் சுற்றி எவ்வாறு தொகுக்கப்படுகின்றன என்பதைப் பற்றிய ஒரு யோசனையை இது தரவில்லை. எனவே, ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டை வகைப்படுத்த, மாறுபாடு குறிகாட்டிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையில் உள்ள ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாடு புள்ளிவிவரங்களில் புள்ளிவிவரங்களின் மாறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. என்ற உண்மையின் விளைவாக இது எழுகிறது தனிப்பட்ட மதிப்புகள்பல்வேறு காரணிகளின் (நிபந்தனைகள்) ஒருங்கிணைந்த செல்வாக்கின் கீழ் உருவாகின்றன, அவை ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட விஷயத்திலும் வித்தியாசமாக இணைக்கப்படுகின்றன.

தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் ஏற்ற இறக்கங்கள் மாறுபாடு குறிகாட்டிகளால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன.

"மாறுபாடு" என்ற சொல் லத்தீன் மொழியிலிருந்து வந்தது. மாறுபாடு - "மாற்றம், ஏற்ற இறக்கம், வேறுபாடு." மாறுபாடு என்பது ஒரே மாதிரியான மக்கள்தொகைக்குள் ஆய்வு செய்யப்பட்ட பண்புகளின் மதிப்பில் அளவு மாற்றங்களாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, இது பல்வேறு காரணிகளின் வெட்டும் செல்வாக்கால் ஏற்படுகிறது. ஒரு பண்பின் மாறுபாடு வேறுபடுகிறது: சீரற்ற மற்றும் முறையான.

முறையான மாறுபாடு அதை தீர்மானிக்கும் காரணிகளில் ஆய்வு செய்யப்பட்ட பண்புகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் சார்பு அளவை மதிப்பிட உதவுகிறது.

ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டை வகைப்படுத்த, மாறுபாட்டின் வரம்பு போன்ற பல குறிகாட்டிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இது விருப்பங்களின் மிகப்பெரிய (Xmax) மற்றும் சிறிய (xmjn) மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு என வரையறுக்கப்படுகிறது:

சராசரி நேரியல் விலகல் இந்த விலகல்களின் அடையாளத்தை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளாமல் சராசரியிலிருந்து தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் விலகல்களின் எண்கணித சராசரியாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

மாறுபாட்டின் அளவீடு மிகவும் புறநிலையாக சிதறல் காட்டி மூலம் பிரதிபலிக்கிறது.

நிலையான விலகல் என்பது சராசரியின் நம்பகத்தன்மையின் அளவீடு ஆகும்.

ஆய்வின் கீழ் உள்ள பண்புகளின் மாறுபாட்டின் அளவை வகைப்படுத்த, மாறுபாட்டின் குறிகாட்டிகள் தொடர்புடைய மதிப்புகளில் கணக்கிடப்படுகின்றன, இது வெவ்வேறு விநியோகங்களில் சிதறலின் தன்மையை ஒப்பிட அனுமதிக்கிறது. ஒப்பீட்டு சிதறல் அளவின் குறிகாட்டிகளின் கணக்கீடு முழுமையான சிதறல் குறிகாட்டியின் எண்கணித சராசரிக்கு விகிதத்தால் மேற்கொள்ளப்படுகிறது மற்றும் 100% ஆல் பெருக்கப்படுகிறது.

குழுக்களின் உதவியுடன், ஆய்வின் கீழ் உள்ள மக்கள்தொகையை பண்புக் காரணியின் அடிப்படையில் ஒரே மாதிரியான குழுக்களாகப் பிரிப்பதன் மூலம், மக்கள்தொகையில் உள்ள பண்புகளின் மாறுபாட்டின் மூன்று குறிகாட்டிகளை தீர்மானிக்க முடியும்: மொத்த மாறுபாடு, இடைக்குழு மாறுபாடு மற்றும் உள்குழு மாறுபாடுகளின் சராசரி.

மொத்த மாறுபாடு என்பது ஆய்வு செய்யப்படும் புள்ளிவிவர மக்கள்தொகையில் உள்ள அனைத்து நிலைகளையும் பொறுத்து ஒரு பண்பின் மாறுபாட்டை வகைப்படுத்துகிறது.

குழுக்களுக்கு இடையேயான சிதறல் என்பது ஆய்வு செய்யப்பட்ட பண்புகளின் மாறுபாட்டை பிரதிபலிக்கிறது, இது குழுவின் அடிப்படையிலான பண்புக் காரணியின் செல்வாக்கின் கீழ் எழுகிறது, குழு (பகுதி) சராசரிகள் xi மற்றும் பொது சராசரி xo ஆகியவற்றின் ஏற்ற இறக்கத்தை வகைப்படுத்துகிறது.

உள்குழு மாறுபாடுகளின் சராசரியானது ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட குழுவிலும் சீரற்ற மாறுபாட்டை வகைப்படுத்துகிறது மற்றும் குழுவிற்கு அடிப்படையானவை தவிர வேறு காரணிகளின் செல்வாக்கின் கீழ் எழுகிறது.

ஒரு மாற்று குணாதிசயத்தின் மாறுபாடு, குணாதிசயத்தைக் கொண்ட அலகுகளின் விகிதத்தின் பெருக்கத்திற்கும், அதைக் கொண்டிருக்காத அலகுகளின் விகிதத்திற்கும் சமமாகும்.

22. மாறுபாடு குறிகாட்டிகள்: முழுமையான மற்றும் உறவினர்

மாறுபாடு -கொடுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையின் வெவ்வேறு அலகுகளுக்கு இடையில் அதே காலகட்டத்திலோ அல்லது ஒரு புள்ளியிலோ உள்ள பண்புகளின் மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாடு.

மாறுபாடு குறிகாட்டிகள் அடங்கும்:

ஐகுழு - மாறுபாட்டின் முழுமையான விகிதங்கள்

• மாறுபாட்டின் வரம்பு
• சராசரி நேரியல் விலகல்
• சிதறல்
• நிலையான விலகல்

IIகுழு - மாறுபாட்டின் ஒப்பீட்டு நடவடிக்கைகள்

• மாறுபாட்டின் குணகம்
• அலைவு குணகம்
• உறவினர் நேரியல் விலகல்

புள்ளிவிவரங்களில் உள்ள மாறுபாட்டை அளவிட பல முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

· எளிமையானது காட்டி கணக்கிடுவது மாறுபாட்டின் வரம்புஅதிகபட்சம் (X அதிகபட்சம்) மற்றும் குறைந்தபட்சம் (X நிமிடம்) ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான வித்தியாசமாக H என்பது பண்புக்கூறின் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகள்:

· H=X அதிகபட்சம் - X நிமிடம்.

· இருப்பினும், மாறுபாட்டின் வரம்பு பண்புகளின் தீவிர மதிப்புகளை மட்டுமே காட்டுகிறது. மீண்டும் நிகழும் தன்மை இடைநிலை மதிப்புகள்இங்கே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படவில்லை.

· மிகவும் கடுமையான குணாதிசயங்கள் என்பது பண்புக்கூறின் சராசரி நிலைக்கு தொடர்புடைய மாறுபாட்டின் குறிகாட்டிகளாகும். இந்த வகையின் எளிய காட்டி சராசரி நேரியல் விலகல்சராசரியாக எல் எண்கணித மதிப்புஅதன் சராசரி மட்டத்திலிருந்து ஒரு குணாதிசயத்தின் முழுமையான விலகல்கள்:

·

· தனிப்பட்ட X மதிப்புகள் மீண்டும் மீண்டும் வரும்போது, ​​எடையுள்ள எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

· (சராசரி மட்டத்திலிருந்து விலகல்களின் இயற்கணிதத் தொகை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க.)

· சராசரி நேரியல் விலகல் காட்டி நடைமுறையில் பரந்த பயன்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளது. அதன் உதவியுடன், எடுத்துக்காட்டாக, தொழிலாளர்களின் கலவை, உற்பத்தியின் தாளம், பொருட்களின் விநியோகத்தின் சீரான தன்மை ஆகியவை பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகின்றன, மேலும் பொருள் ஊக்கத்தொகை அமைப்புகள் உருவாக்கப்படுகின்றன. ஆனால், துரதிருஷ்டவசமாக, இந்த காட்டி நிகழ்தகவு கணக்கீடுகளை சிக்கலாக்குகிறது மற்றும் கணித புள்ளியியல் முறைகளின் பயன்பாட்டை சிக்கலாக்குகிறது. எனவே, புள்ளிவிவரத்தில் அறிவியல் ஆராய்ச்சிமாறுபாட்டை அளவிட பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படும் காட்டி மாறுபாடுகள்.

· குணாதிசயத்தின் மாறுபாடு (கள் 2) இருபடி சக்தி சராசரியின் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

· .

· காட்டி கள் சமம் என அழைக்கப்படுகிறது நிலையான விலகல்.

· IN பொது கோட்பாடுபுள்ளியியல், சிதறல் குறிகாட்டி என்பது அதே பெயரின் நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு குறிகாட்டியின் மதிப்பீடாகும் மற்றும் (சதுர விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையாக) சிதறலின் மதிப்பீடாகும். கணித புள்ளிவிவரங்கள், இது சமூக-பொருளாதார செயல்முறைகளை பகுப்பாய்வு செய்ய இந்த தத்துவார்த்த துறைகளின் விதிகளைப் பயன்படுத்துவதை சாத்தியமாக்குகிறது.

· வரம்பற்ற அளவிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட சிறிய எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளிலிருந்து மாறுபாடு மதிப்பிடப்பட்டால் மக்கள் தொகை, பின்னர் பண்புக்கூறின் சராசரி மதிப்பு சில பிழையுடன் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சிதறலின் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு குறைவதை நோக்கி மாற்றப்படுகிறது. ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டைப் பெற, முன்னர் கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட மாதிரி மாறுபாட்டை n / (n - 1) மதிப்பால் பெருக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக, குறைந்த எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளுடன் (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

· வழக்கமாக, ஏற்கனவே n > (15÷20) இல், சார்பு மற்றும் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடுகளுக்கு இடையே உள்ள முரண்பாடு முக்கியமற்றதாகிறது. அதே காரணத்திற்காக, மாறுபாடுகளைச் சேர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தில் சார்பு பொதுவாக கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதில்லை.

· பொது மக்களிடமிருந்து பல மாதிரிகள் எடுக்கப்பட்டு, ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு குணாதிசயத்தின் சராசரி மதிப்பு தீர்மானிக்கப்பட்டால், சராசரிகளின் மாறுபாட்டை மதிப்பிடுவதில் சிக்கல் எழுகிறது. மதிப்பிடப்பட்ட மாறுபாடு சராசரி மதிப்புசூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு மாதிரி கவனிப்பின் அடிப்படையில் இது சாத்தியமாகும்

· ,

· n என்பது மாதிரி அளவு; s 2 - மாதிரித் தரவிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட குணாதிசயத்தின் மாறுபாடு.

· அளவு அழைக்கப்படுகிறது சராசரி பிழைமாதிரிகள்மற்றும் பண்பு X இன் உண்மையான சராசரி மதிப்பிலிருந்து மாதிரி சராசரி மதிப்பின் விலகலின் சிறப்பியல்பு ஆகும். மாதிரி கண்காணிப்பின் முடிவுகளின் நம்பகத்தன்மையை மதிப்பிடுவதற்கு சராசரி பிழை காட்டி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

· உறவினர் சிதறல் குறிகாட்டிகள்.ஆய்வு செய்யப்படும் பண்பின் மாறுபாட்டின் அளவை வகைப்படுத்த, மாறுபாட்டின் குறிகாட்டிகள் ஒப்பீட்டு மதிப்புகளில் கணக்கிடப்படுகின்றன. வெவ்வேறு விநியோகங்களில் சிதறலின் தன்மையை ஒப்பிடுவதை அவை சாத்தியமாக்குகின்றன (வெவ்வேறு பெயர்களின் மக்கள்தொகையை ஒப்பிடும்போது, ​​வெவ்வேறு சராசரி மதிப்புகளுடன், இரண்டு மக்கள்தொகையில் ஒரே குணாதிசயத்தின் வெவ்வேறு அலகுகள்). ஒப்பீட்டு சிதறல் அளவின் குறிகாட்டிகளின் கணக்கீடு 100% ஆல் பெருக்கப்படும் எண்கணித சராசரிக்கு முழுமையான சிதறல் குறிகாட்டியின் விகிதமாக மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

· 1. அலைவு குணகம்சராசரியைச் சுற்றியுள்ள பண்புகளின் தீவிர மதிப்புகளின் ஒப்பீட்டு ஏற்ற இறக்கத்தை பிரதிபலிக்கிறது

· .

· 2. சார்பு நேரியல் பணிநிறுத்தம் சராசரி மதிப்பிலிருந்து முழுமையான விலகல்களின் அடையாளத்தின் சராசரி மதிப்பின் விகிதத்தை வகைப்படுத்துகிறது

· .

· 3. மாறுபாட்டின் குணகம்:

·

· சராசரி மதிப்புகளின் சிறப்பியல்புகளை மதிப்பிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் மாறுபாட்டின் மிகவும் பொதுவான குறிகாட்டியாகும்.

புள்ளிவிவரங்களில், 30-35% க்கும் அதிகமான மாறுபாட்டின் குணகம் கொண்ட மக்கள் பன்முகத்தன்மை கொண்டதாகக் கருதப்படுகிறார்கள்.

· மாறுபாட்டை மதிப்பிடும் இந்த முறையும் குறிப்பிடத்தக்க குறைபாட்டைக் கொண்டுள்ளது. உண்மையில், எடுத்துக்காட்டாக, சராசரியாக 15 வருட அனுபவமுள்ள தொழிலாளர்களின் அசல் மக்கள்தொகை, s = 10 வருடங்களின் நிலையான விலகலுடன், மேலும் 15 வருடங்கள் "வயதானதாக" இருக்கட்டும். இப்போது = 30 ஆண்டுகள், மற்றும் நிலையான விலகல் இன்னும் 10. முன்பு பன்முகத்தன்மை கொண்ட மக்கள் தொகை (10/15 × 100 = 66.7%), இதனால் காலப்போக்கில் மிகவும் ஒரே மாதிரியாக மாறுகிறது (10/30 × 100 = 33.3%).

மாறுபாடு -கொடுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையின் வெவ்வேறு அலகுகளுக்கு இடையில் அதே காலகட்டத்திலோ அல்லது காலத்திலோ உள்ள பண்புகளின் மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாடு இதுவாகும். மாறுபாடு குறிகாட்டிகள் பின்வருமாறு: மாறுபாட்டின் வரம்பு, சராசரி நேரியல் விலகல், சிதறல் மற்றும் நிலையான விலகல், மாறுபாட்டின் குணகம்.

முழுமையான குறிகாட்டிகள்:
மாறுபாட்டின் வரம்பு R,பண்புக்கூறின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது:

மாறுபாட்டின் வரம்பு பண்பின் தீவிர விலகல்களை மட்டுமே காட்டுகிறது மற்றும் தொடரில் உள்ள அனைத்து மாறுபாடுகளின் விலகல்களையும் பிரதிபலிக்காது. மாறுபாட்டைப் படிக்கும்போது, ​​அதன் நோக்கத்தை தீர்மானிப்பதில் மட்டுமே ஒருவர் தன்னைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்ள முடியாது. மாறுபாட்டை பகுப்பாய்வு செய்ய, மாறுபட்ட குணாதிசயத்தின் அனைத்து ஏற்ற இறக்கங்களையும் பிரதிபலிக்கும் மற்றும் பொதுவான பண்புகளை வழங்கும் ஒரு காட்டி தேவை. இந்த வகையின் எளிய காட்டி சராசரி நேரியல் விலகல் ஆகும்.

சராசரி நேரியல் விலகல்அவற்றின் எண்கணித சராசரியிலிருந்து தனிப்பட்ட விருப்பங்களின் விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியைக் குறிக்கிறது (சராசரியானது விருப்பத்திலிருந்து கழிக்கப்படும் என்று எப்போதும் கருதப்படுகிறது: ()).

தொகுக்கப்படாத தரவுக்கான சராசரி நேரியல் விலகல்:

,

எங்கே n- தொடரின் உறுப்பினர்களின் எண்ணிக்கை; தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கு:

,

மாறுபாடு தொடரின் அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகை எங்கே.

சிதறல்சிறப்பியல்பு என்பது அவற்றின் சராசரி மதிப்பிலிருந்து விருப்பங்களின் விலகல்களின் சராசரி சதுரமாகும், இது எளிய மற்றும் எடையுள்ள மாறுபாடுகளுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது (ஆரம்ப தரவைப் பொறுத்து).

தொகுக்கப்படாத தரவுக்கான எளிய மாறுபாடு:

;

மாறுபாடு தொடருக்கான எடையுள்ள மாறுபாடு:

.

சிதறல் உள்ளது சில பண்புகள், அதில் இரண்டு:

1) ஒரு குணாதிசயத்தின் அனைத்து மதிப்புகளும் ஒரே நிலையான மதிப்பு A ஆல் குறைக்கப்பட்டால் அல்லது அதிகரித்தால், அதன் விளைவாக சிதறல் மாறாது;

2) பண்புக்கூறின் அனைத்து மதிப்புகளும் குறைக்கப்பட்டால் அல்லது அதே எண்ணிக்கையில் அதிகரிக்கப்பட்டால் (i முறை).

பின்னர் சிதறல் அதற்கேற்ப ஒரு காரணியால் குறையும் அல்லது அதிகரிக்கும். சிதறலின் இரண்டாவது சொத்தைப் பயன்படுத்தி, அனைத்து விருப்பங்களையும் இடைவெளியின் மதிப்பால் பிரித்து, நீங்கள் ஒரு கணக்கீட்டு சூத்திரத்தைப் பெறலாம். தருணங்களின் முறையின்படி சம இடைவெளிகளுடன் மாறுபாடு தொடரில் சிதறல்:

,

கணங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும் சிதறல் எங்கே;

i - இடைவெளி மதிப்பு;

- விருப்பங்களின் புதிய (மாற்றப்பட்ட) மதிப்புகள் (A என்பது ஒரு நிபந்தனை பூஜ்ஜியம், இது அதிக அதிர்வெண் கொண்ட இடைவெளியின் நடுவில் பயன்படுத்த வசதியானது);

- இரண்டாவது வரிசையின் தருணம்;

முதல் வரிசை தருணத்தின் சதுரம்.

நிலையான விலகல்மாறுபாட்டின் வர்க்க மூலத்திற்குச் சமம்: தொகுக்கப்படாத தரவு:

,

மாறுபாடு தொடருக்கு:

.

நிலையான விலகல் என்பது மொத்தத்தில் ஒரு பண்பின் மாறுபாட்டின் அளவின் பொதுவான பண்பு ஆகும்; சராசரியாக குறிப்பிட்ட விருப்பத்தேர்வுகள் அவற்றின் சராசரி மதிப்பிலிருந்து எவ்வளவு விலகுகின்றன என்பதை இது காட்டுகிறது; உள்ளது முழுமையான அளவுகுணாதிசயத்தின் மாறுபாடு மற்றும் மாறுபாடுகளின் அதே அலகுகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, எனவே இது பொருளாதார ரீதியாக நன்கு விளக்கப்படுகிறது.

தொடர்புடைய குறிகாட்டிகள்:
மாறுபாட்டின் குணகம்சராசரியின் விகிதத்தை ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்துகிறது சதுர விலகல்எண்கணித சராசரிக்கு:

.

மாறுபாட்டின் குணகம் மக்கள்தொகையின் ஒருமைப்பாட்டின் பண்பாகவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. என்றால், ஏற்ற இறக்கம் முக்கியமற்றது, என்றால், ஏற்ற இறக்கம் மிதமான-சராசரி, என்றால், ஏற்ற இறக்கம் குறிப்பிடத்தக்கது, என்றால், மக்கள்தொகை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

அலைவு குணகம்:

.

தொடர்புடைய நேரியல் விலகல்:

.

பண்புகளில் மாறுபாடு பல்வேறு காரணிகளால் ஏற்படுகிறது, இந்த காரணிகளில் சிலவற்றை அடையாளம் காண முடியும் புள்ளிவிவர மக்கள் தொகைசில அளவுகோல்களின்படி குழுக்களாக பிரிக்கவும். பின்னர், ஒட்டுமொத்த மக்கள்தொகை முழுவதும் ஒரு பண்பின் மாறுபாட்டைப் படிப்பதோடு, அதன் ஒவ்வொரு தொகுதிக் குழுக்களுக்கும், இந்தக் குழுக்களுக்கும் இடையே உள்ள மாறுபாட்டைப் படிக்க முடியும். எளிமையான வழக்கில், ஒரு காரணியின்படி மக்கள்தொகை குழுக்களாகப் பிரிக்கப்படும்போது, ​​மூன்று வகையான மாறுபாடுகளின் கணக்கீடு மற்றும் பகுப்பாய்வு மூலம் மாறுபாடு பற்றிய ஆய்வு அடையப்படுகிறது: மொத்த, இடைக்குழு மற்றும் உள்குழு.

மொத்த மாறுபாடுஇந்த மாறுபாட்டை ஏற்படுத்திய அனைத்து காரணிகளின் செல்வாக்கின் கீழ் முழு மக்கள் தொகையிலும் ஒரு பண்பு மாறுபாட்டை அளவிடுகிறது. இது ஒட்டுமொத்த சராசரி மதிப்பிலிருந்து பண்புக்கூறு x இன் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரத்திற்கு சமம் மற்றும் ஒரு எளிய மாறுபாடு அல்லது எடையுள்ள மாறுபாடு என கணக்கிடலாம்.

இடைக்குழு மாறுபாடுகுழுவின் அடிப்படையை உருவாக்கும் காரணி-அடையாளத்தின் செல்வாக்கின் காரணமாக, விளைந்த பண்புகளின் முறையான மாறுபாட்டை வகைப்படுத்துகிறது. இது ஒட்டுமொத்த சராசரியிலிருந்து குழுவின் (குறிப்பிட்ட) சராசரிகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரத்திற்கு சமம்:

,

இதில் f என்பது குழுவில் உள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கை.

குழுவிற்குள் (பகுதி) மாறுபாடுசீரற்ற மாறுபாட்டை பிரதிபலிக்கிறது, அதாவது. கணக்கிடப்படாத காரணிகளின் செல்வாக்கின் காரணமாக ஏற்படும் மாறுபாட்டின் ஒரு பகுதி மற்றும் குழுவின் அடிப்படையை உருவாக்கும் காரணி-பண்பிலிருந்து சுயாதீனமானது. இந்தக் குழுவின் x i (குழு சராசரி) என்ற எண்கணித சராசரியிலிருந்து x குழுவிற்குள் உள்ள ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரத்திற்கு இது சமம் மற்றும் ஒரு எளிய மாறுபாட்டாகக் கணக்கிடப்படலாம்.

அல்லது எடையுள்ள மாறுபாடு.

ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் உள்ள குழு மாறுபாட்டின் அடிப்படையில், அதாவது. இதன் அடிப்படையில், உள்குழு மாறுபாடுகளின் ஒட்டுமொத்த சராசரியை நாம் தீர்மானிக்கலாம்: .

படி மாறுபாடுகளைச் சேர்ப்பதற்கான விதிமொத்த மாறுபாடு குழுவிற்குள் மற்றும் குழுவிற்கு இடையேயான மாறுபாடுகளின் சராசரியின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

.

மாறுபாடுகளைச் சேர்க்கும் விதியைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் எப்போதும் இரண்டைப் பயன்படுத்தலாம் அறியப்பட்ட சிதறல்கள்மூன்றாவது தீர்மானிக்க - தெரியாத. எப்படி அதிக பங்குமொத்த மாறுபாட்டில் உள்ள இடைக்குழு மாறுபாடு, ஆய்வு செய்யப்பட்ட பண்புகளின் மீது குழுவாகும் பண்புகளின் வலுவான செல்வாக்கு.

எனவே உள்ளே புள்ளியியல் பகுப்பாய்வுபரவலாக பயன்படுத்தப்படுகிறது தீர்மானத்தின் அனுபவ குணகம்- இதன் விளைவாக வரும் குணாதிசயத்தின் மொத்த மாறுபாட்டில் உள்ள இடைக்குழு மாறுபாட்டின் பங்கைக் குறிக்கும் ஒரு காட்டி மற்றும் ஒட்டுமொத்த மாறுபாட்டின் உருவாக்கத்தில் குழுப் பண்புகளின் செல்வாக்கின் வலிமையை வகைப்படுத்துகிறது:

.

நிர்ணயத்தின் அனுபவ குணகம் விளைந்த பண்புகளில் மாறுபாட்டின் விகிதத்தைக் காட்டுகிறது மணிக்குகாரணி அடையாளத்தின் செல்வாக்கின் கீழ் எக்ஸ்(y இல் மீதமுள்ள மொத்த மாறுபாடு மற்ற காரணிகளில் உள்ள மாறுபாட்டின் காரணமாகும்). இணைப்பு இல்லாத நிலையில், நிர்ணயத்தின் அனுபவ குணகம் பூஜ்ஜியமாகும், மேலும் செயல்பாட்டு இணைப்பின் விஷயத்தில் இது ஒன்றாகும்.

அனுபவ தொடர்பு உறவுஅனுபவ குணகத்தின் வர்க்கமூலம்: .

இது குழு மற்றும் செயல்திறன் பண்புகளுக்கு இடையிலான நெருங்கிய தொடர்பைக் காட்டுகிறது. அனுபவ தொடர்பு விகிதம் 0 முதல் 1 வரையிலான மதிப்புகளை எடுக்கலாம். இணைப்பு இல்லை என்றால், தொடர்பு விகிதம் பூஜ்ஜியமாகும், அதாவது. அனைத்து குழு வழிமுறைகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும், இடைக்குழு மாறுபாடு இருக்காது. இதன் பொருள் தொகுத்தல் பண்பு எந்த வகையிலும் பொதுவான மாறுபாட்டின் உருவாக்கத்தை பாதிக்காது. இணைப்பு செயல்பட்டால், தொடர்பு விகிதம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், குழு வழிமுறைகளின் மாறுபாடு மொத்த மாறுபாட்டிற்கு சமம், அதாவது. குழுவிற்குள் வேறுபாடு இருக்காது. இதன் பொருள், குழுவாகும் பண்பு ஆய்வு செய்யப்படும் விளைவான பண்பின் மாறுபாட்டை முழுவதுமாக தீர்மானிக்கிறது. தொடர்பு விகிதத்தின் மதிப்பு ஒன்றுக்கு நெருக்கமாக உள்ளது, நெருக்கமாக, செயல்பாட்டு சார்புக்கு நெருக்கமாக, பண்புகளுக்கு இடையிலான இணைப்பு.

பணி 2. உறவினர் குறிகாட்டிகள்

விருப்பம் 10. பின்வரும் 1999 மக்கள் தொகை மற்றும் பிரதேச தரவு இரண்டு நாடுகளுக்குக் கிடைக்கிறது:

வரையறுக்க:

இரு நாடுகளுக்கும் மக்கள் தொகை அடர்த்தி.


மக்கள்தொகை அளவு மூலம் ஒப்பீட்டு ஒப்பீடு.


தீர்வு


மக்கள்தொகை அடர்த்தி என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட சூழலில் ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வின் பரவல் அளவு அல்லது வளர்ச்சியின் அளவைக் குறிக்கும் ஒப்பீட்டுத் தீவிரக் குறியீட்டாக (RII) கணக்கிடப்படுகிறது. இது நிகழ்வை வகைப்படுத்தும் காட்டி மற்றும் நிகழ்வு பரவும் சூழலை வகைப்படுத்தும் குறிகாட்டியின் விகிதமாக கணக்கிடப்படுகிறது.


OPI மால்டோவா = நபர்/கிமீ 2. அந்த. மால்டோவாவின் மக்கள் தொகை அடர்த்தி 1 கிமீ 2 க்கு 31.15 பேர்.


OPI அஜர்பைஜான் = நபர்/கிமீ 2. அந்த. உக்ரைனின் மக்கள் தொகை அடர்த்தி 1 கிமீ 2 க்கு 82.33 பேர்.


OPSr= . அந்த. உக்ரைனின் பிரதேசம் மால்டோவாவின் பிரதேசத்தை விட 20,708 மடங்கு (அல்லது 1970%) பெரியது.


பணி 3. சராசரி குறிகாட்டிகள்


விருப்பம் 10. 1999 ஆம் ஆண்டின் இறுதியில் (ஆயிரம் பேர்) வயது வாரியாக வேலைவாய்ப்பு சேவைகளால் பதிவுசெய்யப்பட்ட வேலையற்ற பெண்களின் எண்ணிக்கையின் விநியோகம் குறித்த பின்வரும் தரவுகள் கிடைக்கின்றன:


வயது	20 க்கும் குறைவாக	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45	45-50	50 மற்றும் அதற்கு மேற்பட்டவர்கள்
வேலையில்லாதவர்களின் எண்ணிக்கை	12,7	11,3

பதிவுசெய்யப்பட்ட வேலையில்லாதவர்களின் சராசரி வயதைக் கண்டறியவும்.


தீர்வு


எண்கணித சராசரியை கணக்கிடுவதற்காக இடைவெளி தொடர், நாம் முதலில் இடைவெளிகளின் சராசரி மதிப்புகளின் நிபந்தனைக்குட்பட்ட தனித்துவமான தொடருக்கு செல்ல வேண்டும். குறைந்த வரம்பு அல்லது மேல் வரம்பு (50 மற்றும் அதற்கு மேற்பட்ட) குறிப்பிடாமல் இடைவெளிகள் இருந்தால், சமமான இடைவெளிகளைக் கொண்ட தொடர் பெறப்படும் வகையில் தொடர்புடைய மதிப்பு அமைக்கப்படும். இந்த வழக்கில், நிபந்தனை தனித்துவமான தொடர்வடிவம் உள்ளது:


வயது	17,5	22,5	27,5	32,5	37,5	42,5	47,5	52,5
மக்கள் தொகை	12,7	11,3


,


எங்கே x i – i- பண்பு மதிப்பு,


என் ஐ- அதிர்வெண் x i, கே- எண் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்மொத்தத்தில் அறிகுறிகள்.


. அந்த. சராசரி வயது 35.0 ஆண்டுகள்.


பணி 4. டைனமிக் தொடர்


விருப்பம் 10. உக்ரைனின் (மில்லியன் மக்கள்) சராசரி ஆண்டு மக்கள்தொகையின் இயக்கவியலில் பின்வரும் தரவு கிடைக்கிறது:


ஆண்டுகள்	1995	1996	1997	1998	1999
மக்கள் தொகை	51,3	50,9	50,4	50,0	49,7

வரையறுக்க:


முழுமையான அதிகரிப்பு (சங்கிலி மற்றும் அடிப்படை).


சராசரி முழுமையான அதிகரிப்பு.


வளர்ச்சி விகிதங்கள் (சங்கிலி மற்றும் அடிப்படை).


வளர்ச்சி விகிதங்கள் (சங்கிலி மற்றும் அடிப்படை).


முழுமையான மதிப்பு 1% அதிகரிப்பு.


1. சராசரி ஆண்டு வளர்ச்சி விகிதம்.
   

   தீர்வு
   

   முழுமையான வளர்ச்சி என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வின் அதிகரிப்பு அல்லது குறைவின் அளவை வகைப்படுத்துகிறது. இது இந்த நிலைக்கும் முந்தைய (சங்கிலி) அல்லது ஆரம்ப (அடிப்படை)க்கும் உள்ள வித்தியாசமாக வரையறுக்கப்படுகிறது.
   

   நேரத் தொடருக்கு , கொண்டது n+1அளவுகள், முழுமையான அதிகரிப்பு பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
   

   சங்கிலி, வரிசையின் தற்போதைய நிலை எங்கே, அதற்கு முந்தைய நிலை.	அடிப்படை, தொடரின் தற்போதைய நிலை எங்கே, தொடரின் ஆரம்ப நிலை.
   (மில்லியன் மக்கள்)	(மில்லியன் மக்கள்)
   (மில்லியன் மக்கள்)	(மில்லியன் மக்கள்)
   (மில்லியன் மக்கள்)	(மில்லியன் மக்கள்)
   (மில்லியன் மக்கள்)	(மில்லியன் மக்கள்)

   சராசரி முழுமையான அதிகரிப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது
   

   ,
   

   தொடரின் இறுதி நிலை எங்கே.
   

   அதாவது, ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் உக்ரைனின் சராசரி ஆண்டு மக்கள் தொகை ஆண்டுக்கு சராசரியாக 0.4 மில்லியன் மக்கள் குறைந்துள்ளது.
   

   வளர்ச்சி விகிதம் என்பது ஒரு நிகழ்வின் கொடுக்கப்பட்ட அளவிலான முந்தைய (சங்கிலி) அல்லது ஆரம்ப (அடிப்படை) நிலைக்கு விகிதமாகும், இது சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. வளர்ச்சி விகிதங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:
   

   சங்கிலி	அடிப்படை

   வளர்ச்சி விகிதம் என்பது முந்தைய (சங்கிலி) அல்லது ஆரம்ப (அடிப்படை) நிலைக்கு முழுமையான வளர்ச்சியின் விகிதமாகும், இது சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. வளர்ச்சி விகிதங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:
   

   சங்கிலி .

மாறுபாடு குறிகாட்டிகள்.மக்கள்தொகையின் அலகுகளுக்கு இடையே வேறுபட்ட பண்புகளைப் படிக்கும்போது, ​​தனிப்பட்ட மாறுபாடுகளிலிருந்து சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கு மட்டுமே ஒருவர் தன்னை மட்டுப்படுத்த முடியாது, ஏனெனில் அதே சராசரியானது ஒரே கலவையின் மக்கள்தொகைக்கு பொருந்தாது.

ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாடு என்பது ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையில் உள்ள ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாடு ஆகும்.

"மாறுபாடு" என்ற சொல் லத்தீன் மாறுபாட்டிலிருந்து வந்தது - மாற்றம், ஏற்ற இறக்கம், வேறுபாடு. இருப்பினும், எல்லா வேறுபாடுகளும் பொதுவாக மாறுபாடு என்று அழைக்கப்படுவதில்லை.

புள்ளிவிவரங்களில், மாறுபாடு என்பது ஒரே மாதிரியான மக்கள்தொகைக்குள் ஆய்வின் கீழ் உள்ள பண்புகளின் மதிப்பில் ஏற்படும் அளவு மாற்றங்களாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, இது பல்வேறு காரணிகளின் வெட்டும் செல்வாக்கால் ஏற்படுகிறது. தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் மாறுபாடு மாறுபாடு குறிகாட்டிகளால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. பெரிய மாறுபாடு, மேலும் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் சராசரியாக இருக்கும்.

ஒரு பண்பின் மாறுபாடு முழுமையான மற்றும் உறவினர் மதிப்புகளில் வேறுபடுகிறது.

முழுமையான குறிகாட்டிகள் பின்வருமாறு: மாறுபாட்டின் வரம்பு, சராசரி நேரியல் விலகல், நிலையான விலகல், சிதறல். அனைத்து முழுமையான குறிகாட்டிகளும் ஆய்வு செய்யப்படும் அளவுகளின் அதே பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளன.

தொடர்புடைய குறிகாட்டிகளில் அலைவு, நேரியல் விலகல் மற்றும் மாறுபாட்டின் குணகங்கள் அடங்கும்.

குறிகாட்டிகள் முழுமையானவை.பண்பின் மாறுபாட்டைக் குறிக்கும் முழுமையான குறிகாட்டிகளைக் கணக்கிடுவோம்.

மாறுபாட்டின் வரம்பு என்பது ஒரு குணாதிசயத்தின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஆகும்.

மாறுபாடு காட்டி வரம்பு எப்போதும் பொருந்தாது, ஏனெனில் இது ஒரு குணாதிசயத்தின் தீவிர மதிப்புகளை மட்டுமே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது, இது மற்ற எல்லா அலகுகளிலிருந்தும் மிகவும் வித்தியாசமாக இருக்கும்.

எண்கணித சராசரியிலிருந்து அனைத்து விருப்பங்களின் விலகல்களையும் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளும் குறிகாட்டிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு தொடரின் மாறுபாட்டை மிகவும் துல்லியமாக தீர்மானிக்க முடியும்.

புள்ளிவிவரங்களில் இதுபோன்ற இரண்டு குறிகாட்டிகள் உள்ளன: நேரியல் சராசரி மற்றும் நிலையான விலகல்.

சராசரி நேரியல் விலகல் (எல்) சராசரியிலிருந்து தனிப்பட்ட விருப்பங்களின் விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியைக் குறிக்கிறது.

சராசரி நேரியல் விலகலின் நடைமுறை பயன்பாடு பின்வருமாறு: இந்த காட்டி உதவியுடன், தொழிலாளர்களின் கலவை, உற்பத்தியின் தாளம் மற்றும் பொருட்களின் விநியோகத்தின் சீரான தன்மை ஆகியவை பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகின்றன.

இந்த குறிகாட்டியின் தீமை என்னவென்றால், இது சாத்தியமான வகையின் கணக்கீடுகளை சிக்கலாக்குகிறது மற்றும் கணித புள்ளிவிவர முறைகளின் பயன்பாட்டை சிக்கலாக்குகிறது.

நிலையான விலகல் () என்பது மாறுபாட்டின் மிகவும் பொதுவான மற்றும் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட அளவீடு ஆகும். இது சராசரி நேரியல் விலகலை விட சற்று பெரியது. மிதமான சமச்சீரற்ற விநியோகங்களுக்கு, அவற்றுக்கிடையே பின்வரும் உறவு நிறுவப்பட்டுள்ளது

அதைக் கணக்கிட, சராசரியிலிருந்து ஒவ்வொரு விலகலும் ஸ்கொயர் செய்யப்பட்டுள்ளது, அனைத்து சதுரங்களும் (எடையைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு) தொகுக்கப்படுகின்றன, அதன் பிறகு சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை தொடரின் சொற்களின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் வர்க்கமூலம் பங்கில் இருந்து பிரித்தெடுக்கப்படுகிறது. .

இந்த செயல்கள் அனைத்தும் பின்வரும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன

அந்த. நிலையான விலகல் என்பது சராசரியிலிருந்து விலகல்களின் வர்க்கங்களின் எண்கணித சராசரியின் வர்க்க மூலமாகும்.

நிலையான விலகல் என்பது சராசரியின் நம்பகத்தன்மையின் அளவீடு ஆகும். சிறிய σ, சிறந்த எண்கணித சராசரி முழு பிரதிநிதித்துவ மக்களையும் பிரதிபலிக்கிறது.

சராசரி மதிப்பிலிருந்து ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாடு மதிப்புகளின் வர்க்க விலகல்களின் எண்கணித சராசரியானது சிதறல் () என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது.

இந்த குறிகாட்டியின் ஒரு தனித்துவமான அம்சம் என்னவென்றால், ஸ்கொயர் செய்யும் போது (), சிறிய விலகல்களின் விகிதம் குறைகிறது, மேலும் பெரியவை மொத்த விலகல்களில் அதிகரிக்கும்.

மாறுபாடு பல பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றில் சில கணக்கிடுவதை எளிதாக்குகின்றன:

1. நிலையான மதிப்பின் மாறுபாடு 0 ஆகும்.

என்றால், பின்னர் மற்றும்.

பிறகு .

2. பண்புக்கூறு (x) மதிப்புகளின் அனைத்து மாறுபாடுகளும் ஒரே எண்ணால் குறைக்கப்பட்டால், மாறுபாடு குறையாது.

விடுங்கள், ஆனால் பின்னர் எண்கணித சராசரியின் பண்புகளுக்கு ஏற்ப மற்றும் .

புதிய தொடரில் உள்ள மாறுபாடு சமமாக இருக்கும்

அந்த. தொடரில் உள்ள மாறுபாடு அசல் தொடரின் மாறுபாட்டிற்கு சமம்.

3. பண்புக்கூறு மதிப்புகளின் அனைத்து மாறுபாடுகளும் ஒரே எண்ணிக்கையில் (k முறை) குறைக்கப்பட்டால், மாறுபாடு k2 மடங்கு குறையும்.

விடுங்கள், பின்னர் மற்றும்.

புதிய தொடரின் மாறுபாடு சமமாக இருக்கும்

4. எண்கணித சராசரி தொடர்பாக கணக்கிடப்பட்ட மாறுபாடு குறைவாக உள்ளது. ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணைப் பொறுத்து கணக்கிடப்படும் விலகல்களின் சராசரி சதுரமானது, எண்கணித சராசரிக்கும் எண்ணுக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டின் வர்க்கத்தால் எண்கணித சராசரியைப் பொறுத்து கணக்கிடப்பட்ட மாறுபாட்டை விட அதிகமாக உள்ளது, அதாவது. . சராசரியிலிருந்து மாறுபாடு மிகச்சிறிய தன்மையைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது. இது வேறு எந்த அளவுகளிலிருந்தும் கணக்கிடப்படும் மாறுபாடுகளை விட எப்போதும் குறைவாகவே இருக்கும். இந்த வழக்கில், நாம் 0 க்கு சமன் செய்யும் போது, ​​எனவே, விலகல்களைக் கணக்கிட வேண்டாம், சூத்திரம் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:

அளவு குணாதிசயங்களுக்கான மாறுபாடு குறிகாட்டிகளின் கணக்கீடு மேலே விவாதிக்கப்பட்டது, ஆனால் பொருளாதார கணக்கீடுகளில் தரமான பண்புகளின் மாறுபாட்டை மதிப்பிடுவதற்கு பணி அமைக்கப்படலாம். . எடுத்துக்காட்டாக, தயாரிக்கப்பட்ட பொருட்களின் தரத்தைப் படிக்கும் போது, ​​தயாரிப்புகளை உயர்தர மற்றும் குறைபாடுடையதாக பிரிக்கலாம்.

இந்த வழக்கில், நாங்கள் மாற்று பண்புகளைப் பற்றி பேசுகிறோம்.

மாற்று குணாதிசயங்கள் மக்கள்தொகையின் சில அலகுகள் கொண்டவை மற்றும் மற்றவை இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, விண்ணப்பதாரர்களிடையே தொழில்துறை அனுபவம் இருப்பது, கல்வி பட்டம்பல்கலைக்கழக ஆசிரியர்களிடமிருந்து, முதலியன மக்கள்தொகை அலகுகளில் ஒரு குணாதிசயத்தின் இருப்பு வழக்கமாக 1 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, மற்றும் இல்லாமை 0 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. பின்னர், பண்புக்கூறுகளைக் கொண்ட அலகுகளின் விகிதம் என்றால் (இல் மொத்த எண்ணிக்கைமக்கள்தொகையின் அலகுகள்), p ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, மற்றும் q மூலம் பண்பு இல்லாத அலகுகளின் விகிதம், மாற்று பண்புகளின் மாறுபாட்டை கணக்கிடலாம் பொது விதி. இந்த வழக்கில், p + q = 1 மற்றும், எனவே, q = 1– p.

முதலில், மாற்று பண்புக்கூறின் சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்:

மாற்று பண்பின் சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம்

,

அந்த. ஒரு மாற்று குணாதிசயத்தின் சராசரி மதிப்பு இந்த குணாதிசயத்தைக் கொண்ட அலகுகளின் விகிதத்திற்கு சமம்.

மாற்று பண்பின் மாறுபாடு இதற்கு சமமாக இருக்கும்:

எனவே, மாற்றுப் பண்புகளின் மாறுபாடு, இந்தப் பண்புக்கூறு இல்லாத அலகுகளின் விகிதத்தால், இந்தப் பண்புக்கூறுகளைக் கொண்ட அலகுகளின் விகிதத்தின் பெருக்கத்திற்குச் சமமாகும்.

மற்றும் நிலையான விலகல் = சமமாக இருக்கும்.

குறிகாட்டிகள் உறவினர்.ஒரே மக்கள்தொகையில் உள்ள பல்வேறு குணாதிசயங்களின் மாறுபாட்டை ஒப்பிடும் நோக்கத்திற்காக அல்லது பல மக்கள்தொகைகளில் ஒரே குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டை ஒப்பிடுகையில், ஒப்பீட்டு மதிப்புகளில் வெளிப்படுத்தப்படும் மாறுபாடு குறிகாட்டிகள் ஆர்வமாக உள்ளன. ஒப்பிடுவதற்கான அடிப்படை எண்கணித சராசரி. இந்த குறிகாட்டிகள் மாறுபாட்டின் வரம்பு, சராசரி நேரியல் விலகல் அல்லது எண்கணித சராசரி அல்லது இடைநிலைக்கான நிலையான விலகல் ஆகியவற்றின் விகிதமாக கணக்கிடப்படுகின்றன.

பெரும்பாலும் அவை ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன மற்றும் மாறுபாட்டின் ஒப்பீட்டு மதிப்பீட்டை மட்டுமல்ல, மக்கள்தொகையின் ஒருமைப்பாட்டையும் வகைப்படுத்துகின்றன. மாறுபாட்டின் குணகம் 33% ஐ விட அதிகமாக இல்லாவிட்டால் மக்கள் தொகை ஒரே மாதிரியாகக் கருதப்படுகிறது. மாறுபாட்டின் பின்வரும் தொடர்புடைய குறிகாட்டிகள் வேறுபடுகின்றன:

1. அலைவு குணகம் சராசரியை சுற்றி ஒரு குணாதிசயத்தின் தீவிர மதிப்புகளின் ஒப்பீட்டு ஏற்ற இறக்கத்தை பிரதிபலிக்கிறது.

3. மாறுபாட்டின் குணகம் சராசரி மதிப்புகளின் சிறப்பியல்புகளை மதிப்பிடுகிறது.

சிறியதாக, அதிக ஒரே மாதிரியான மக்கள்தொகை ஆய்வு செய்யப்படும் பண்பு மற்றும் மிகவும் பொதுவான சராசரி. ≤33% எனில், விநியோகம் இயல்பான நிலைக்கு அருகில் உள்ளது, மேலும் மக்கள் தொகை ஒரே மாதிரியாகக் கருதப்படுகிறது. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் இருந்து, இரண்டாவது மக்கள்தொகை ஒரே மாதிரியானது.

மாறுபாடுகளின் வகைகள் மற்றும் மாறுபாடுகளைச் சேர்ப்பதற்கான விதி.ஒட்டுமொத்த மக்கள்தொகை முழுவதும் ஒரு பண்பின் மாறுபாட்டைப் படிப்பதோடு, மக்கள்தொகை பிரிக்கப்பட்டுள்ள குழுக்களிலும், குழுக்களிடையேயும் பண்புகளில் அளவு மாற்றங்களைக் கண்டறிவது அவசியம். இந்த மாறுபாடு ஆய்வு கணக்கீடு மற்றும் பகுப்பாய்வு மூலம் அடையப்படுகிறது பல்வேறு வகையானமாறுபாடுகள்.

இந்த வழக்கில், மொத்தத்தில் ஒரு அடையாளத்தின் மாறுபாட்டின் மூன்று குறிகாட்டிகளை தீர்மானிக்க முடியும்:

1. அனைத்து காரணங்களின் செயல்பாட்டின் விளைவாக ஏற்படும் மொத்தத்தின் பொதுவான மாறுபாடு. இந்த மாறுபாட்டை மொத்த மாறுபாடு () மூலம் அளவிட முடியும்

2. குழு சராசரிகளின் மாறுபாடு, பொது சராசரியிலிருந்து குழு சராசரிகளின் விலகல்களை வெளிப்படுத்துதல் மற்றும் குழுவாக்கம் செய்யப்பட்ட காரணியின் செல்வாக்கை பிரதிபலிக்கிறது. இந்த மாறுபாடு என்று அழைக்கப்படுவதன் மூலம் அளவிட முடியும் இடைக்குழு மாறுபாடு(δ2)

குழு சராசரிகள் எங்கே, a என்பது முழு மக்கள்தொகைக்கான ஒட்டுமொத்த சராசரி மற்றும் தனிப்பட்ட குழுக்களின் எண்ணிக்கை.

3. எஞ்சிய (அல்லது உள்குழு) மாறுபாடு, இது ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் அவற்றின் குழு சராசரியிலிருந்து விலகுவதில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, எனவே, குழுவிற்கு அடிப்படையான ஒன்றைத் தவிர மற்ற எல்லா காரணிகளின் செல்வாக்கையும் பிரதிபலிக்கிறது. ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள மாறுபாடு குழு மாறுபாட்டால் பிரதிபலிக்கப்படுவதால்

பின்னர் முழு மக்கள்தொகைக்கும் மீதமுள்ள மாறுபாடு குழு மாறுபாடுகளின் சராசரியால் பிரதிபலிக்கப்படும். இந்த மாறுபாடு உள்குழு மாறுபாடுகளின் சராசரி () என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

இந்த சமத்துவம், கண்டிப்பாக கணித ஆதாரம் உள்ளது, இது மாறுபாடுகளைச் சேர்க்கும் விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மாறுபாடுகளைச் சேர்ப்பதற்கான விதியானது, ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் அறியப்படாத மற்றும் குழு குறிகாட்டிகள் மட்டுமே கிடைக்கும்போது அதன் கூறுகளிலிருந்து மொத்த மாறுபாட்டைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

தீர்மான குணகம்.மாறுபாடு கூட்டல் விதி, தீர்மானத்தின் குணகத்தைப் பயன்படுத்தி சில காரணிகளில் முடிவுகளின் சார்புநிலையை அடையாளம் காண உங்களை அனுமதிக்கிறது.

இதன் விளைவாக வரும் பண்புகளின் மாறுபாட்டின் மீது குழுவின் அடிப்படையை உருவாக்கும் பண்புகளின் செல்வாக்கை இது வகைப்படுத்துகிறது. தொடர்பு விகிதம் 0 முதல் 1 வரை மாறுபடும். என்றால், பின்னர் விளைவாக அடையாளம்குழுவின் அடிப்படையை உருவாக்கும் பண்புகளைப் பொறுத்து மட்டுமே மாறுகிறது, மேலும் பிற காரணி பண்புகளின் செல்வாக்கு பூஜ்ஜியமாகும்.

சமச்சீரற்ற தன்மை மற்றும் குர்டோசிஸின் குறிகாட்டிகள்.பொருளாதார நிகழ்வுகளின் துறையில், கண்டிப்பாக சமச்சீரற்ற தொடர்கள் மிகவும் அரிதானவை;

புள்ளிவிவரங்களில், சமச்சீரற்ற தன்மையை வகைப்படுத்த பல குறிகாட்டிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு சமச்சீர் தொடரில் எண்கணித சராசரியானது பயன்முறை மற்றும் இடைநிலையுடன் மதிப்புடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதை நாம் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், மிகவும் எளிய காட்டிசமச்சீரற்ற தன்மை () என்பது எண்கணித சராசரிக்கும் பயன்முறைக்கும் உள்ள வித்தியாசமாக இருக்கும், அதாவது.

குர்டோசிஸின் மதிப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

>0 எனில், குர்டோசிஸ் நேர்மறையாகக் கருதப்படுகிறது (விநியோகம் உச்சத்தில் உள்ளது), என்றால்<0, то эксцесс считается отрицательным (распределение низковершинно).