பொது சராசரியை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை சூத்திரம். மீண்டும் மீண்டும் மற்றும் திரும்பத் திரும்பச் செய்யப்படாத மாதிரிகளின் சராசரி சதுரப் பிழை மற்றும் பொது சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குதல். மக்கள் தொகை மற்றும் மாதிரி முறை

ஏன் இந்த விளக்கக்காட்சி? முதலாவதாக, "மாதிரி சராசரி சதுரம்/தரநிலைப் பிழை" என்பது ஒரு நீண்ட மற்றும் சிக்கலான பெயராகும், இது பெரும்பாலும் சிக்கல்களில் "சராசரி" அல்லது "தரநிலை" பிழையாக துண்டிக்கப்படுகிறது. அவர்கள் ஒன்றுதான் என்பது ஒரு காலத்தில் எனக்கு ஒரு உண்மையான கண்டுபிடிப்பு. இந்த மோசமான பிழை வெவ்வேறு வடிவங்களில் வருகிறது மற்றும் எப்போதும் வித்தியாசமாக எழுதப்படுகிறது, இது மிகவும் குழப்பமாக உள்ளது. இந்த விஷயம் பல இடங்களில் வருகிறது, ஆனால் தொடர்ந்து அதன் தோற்றத்தை மாற்றுகிறது. இதன் காரணமாக, ஒன்று அல்லது இரண்டை மட்டும் பயன்படுத்திக் கொள்ள முடிந்தால், சூத்திரங்களின் மொத்தக் கூட்டத்தை நாங்கள் குவித்துவிடுகிறோம்.

இது எவ்வாறு குறிக்கப்படுகிறது? அவர்கள் துரதிர்ஷ்டவசமான பெண்ணை கேலி செய்யவில்லை என்றவுடன்! இவை எழுத்து மாறுபாடுகள் நிலையான பிழைவிரிவுரைகள் மற்றும் பாடப்புத்தகங்களில் இரண்டாம் நிலை. அவர்கள் பின்னம் பிழையை அதே வழியில் கேலி செய்தார்கள், அல்லது அதன் இருப்பை அவர்கள் முற்றிலும் மறந்துவிட்டார்கள், உடனடியாக அதை ஒரு சூத்திரத்துடன் எழுதினார்கள், இது துரதிர்ஷ்டவசமான மாணவர்களை பெரிதும் குழப்புகிறது. இங்கே நான் அதை "ε" என்று குறிப்பிடுகிறேன், ஏனென்றால் இது கடவுளைப் புகழ்வது ஒரு அரிய கடிதம், மேலும் இது ஒரு கணம் அல்லது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நிலையான விலகல் மூலம் குழப்ப முடியாது.

உண்மையில், சூத்திரம் (மாதிரியில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையால் ஏற்படும் மாறுபாட்டின் வேர் அல்லது மாதிரி தொகுதியின் மூலத்தால் வகுக்கப்படும் நிலையான விலகல்) இது அடிப்படை சூத்திரம், அடித்தளம், அடித்தளத்தின் அடிப்படை. அதைக் கற்றுக்கொண்டால் போதும், பிறகு உங்கள் தலையுடன் வேலை செய்யுங்கள்! எப்படி? படியுங்கள்!

வகைகள் மற்றும் அவை எங்கிருந்து வருகின்றன 1. பங்குக்கு. பங்கு அசாதாரணமாகக் கருதப்படும் ஒரு சிதறலைக் கொண்டுள்ளது. படிக்கப்படும் குணாதிசயத்தின் பங்கு p ஆகவும், "மற்ற அனைத்தும்" q ஆகவும் எடுக்கப்பட்டால், மாறுபாடு p*q அல்லது p*(1 p) க்கு சமமாக இருக்கும். சூத்திரம் எங்கிருந்து வருகிறது:

வகைகள் மற்றும் அவை எங்கிருந்து வந்தன (2) 2. பொதுவான நிலையான விலகல் முறையை நான் எங்கே பெறுவது? σ என்பது, உண்மையில், அத்திப் பிரச்சனையில் அவர்கள் உங்களுக்குக் கொடுக்கும் பொதுவான நிலையான விலகலாகும். ஒரு வழி உள்ளது - மாதிரி மாறுபாடு S 2, இது அனைவருக்கும் தெரியும், ஒரு சார்புடையது. எனவே, பொதுவான ஒன்றை நாங்கள் மதிப்பீடு செய்கிறோம்: (இதனால் நீங்கள் நகர்த்துவதைப் பற்றி யோசிக்க வேண்டாம்), அதை மாற்றவும். அல்லது நீங்கள் இப்போதே செய்யலாம்: ஆனால் அத்தகைய தந்திரம் உள்ளது. n>30 எனில், S மற்றும் σ இடையே உள்ள வேறுபாடு மிகவும் சிறியது ©, எனவே நீங்கள் ஏமாற்றி எளிமையாக எழுதலாம்:

வகைகள் மற்றும் அவை எங்கிருந்து வந்தன (3) “வேறு சில அடைப்புக்குறிகளும் என்கியும் எங்கிருந்து வந்தன? ? ? » 2 மாதிரி முறைகள் உள்ளன, நினைவிருக்கிறதா? - மீண்டும் மீண்டும் மற்றும் மீண்டும் மீண்டும். எனவே, முந்தைய சூத்திரங்கள் அனைத்தும் பொருத்தமானவை மறு மாதிரிஅல்லது மாதிரி n தொடர்புடையதாக இருக்கும்போது மக்கள் தொகை N மிகவும் சிறியது, n/N விகிதம் புறக்கணிக்கப்படலாம். மாதிரியை திரும்பத் திரும்பச் செய்யாமல், அல்லது சிக்கல் ஏற்படும் போது, ​​அது முற்றிலும் இன்றியமையாததாக இருக்கும் போது தெளிவான உரையில்மக்கள் தொகையில் எத்தனை அலகுகள் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும் என்று அது கூறுகிறது.

நாம் ஏற்கனவே அறிந்தபடி, பிரதிநிதித்துவம் என்பது பொது மக்களின் பண்புகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்த ஒரு மாதிரி மக்கள்தொகையின் சொத்து. எந்தப் பொருத்தமும் இல்லை என்றால், அவர்கள் பிரதிநிதித்துவப் பிழையைப் பற்றி பேசுகிறார்கள் - இது தொடர்புடைய பொது மக்களின் கட்டமைப்பிலிருந்து மாதிரியின் புள்ளிவிவர கட்டமைப்பின் விலகல். பொது மக்களில் ஓய்வூதியதாரர்களின் சராசரி மாத குடும்ப வருமானம் 2 ஆயிரம் ரூபிள், மற்றும் மாதிரி மக்கள் தொகையில் - 6 ஆயிரம் ரூபிள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இதன் பொருள் சமூகவியலாளர் ஓய்வூதியம் பெறுபவர்களின் பணக்கார பகுதியை மட்டுமே நேர்காணல் செய்தார், மேலும் அவரது ஆய்வில் ஒரு பிரதிநிதித்துவ பிழை ஊடுருவியது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பிரதிநிதித்துவ பிழை என்பது இரண்டு மக்கள்தொகைகளுக்கு இடையிலான முரண்பாடாகும் - பொது மக்கள், சமூகவியலாளரின் தத்துவார்த்த ஆர்வம் மற்றும் அவர் இறுதியில் பெற விரும்பும் பண்புகளின் யோசனை மற்றும் சமூகவியலாளரின் மாதிரி. நடைமுறை ஆர்வம் இயக்கப்படுகிறது, இது ஒரே நேரத்தில் கணக்கெடுப்பின் பொருளாகவும் பொது மக்களைப் பற்றிய தகவல்களைப் பெறுவதற்கான வழிமுறையாகவும் செயல்படுகிறது.

"பிரதிநிதித்துவ பிழை" என்ற வார்த்தையுடன் ரஷ்ய இலக்கியம்நீங்கள் இன்னொன்றைக் காணலாம் - "மாதிரி பிழை". சில நேரங்களில் அவை ஒன்றுக்கொன்று மாற்றாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் சில சமயங்களில் "பிரதிநிதிப் பிழை" என்பதற்குப் பதிலாக "மாதிரிப் பிழை" என்பது அளவுரீதியாக மிகவும் துல்லியமான கருத்தாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மாதிரிப் பிழை என்பது மாதிரி மக்கள்தொகையின் சராசரி பண்புகளிலிருந்து பொது மக்களின் சராசரி பண்புகளிலிருந்து விலகல் ஆகும்.

நடைமுறையில், அறியப்பட்ட மக்கள்தொகை பண்புகளை மாதிரி வழிமுறைகளுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் மாதிரி பிழை தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சமூகவியலில், வயது வந்தோர் எண்ணிக்கையை கணக்கெடுக்கும் போது, ​​மக்கள் தொகை கணக்கெடுப்பு, தற்போதைய புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் முந்தைய ஆய்வுகளின் முடிவுகள் ஆகியவை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. சமூக-மக்கள்தொகை பண்புகள் பொதுவாக கட்டுப்பாட்டு அளவுருக்களாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பொது மற்றும் மாதிரி மக்கள்தொகையின் சராசரியை ஒப்பிடுவது, இதன் அடிப்படையில், மாதிரி பிழையை தீர்மானித்தல் மற்றும் அதன் குறைப்பு பிரதிநிதித்துவத்தின் கட்டுப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒருவரின் சொந்த மற்றும் பிற நபர்களின் தரவுகளின் ஒப்பீடு ஆய்வை முடித்த பிறகு செய்யப்படலாம் என்பதால், இந்த கட்டுப்பாட்டு முறை போஸ்டீரியோரி என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது. அனுபவத்திற்குப் பிறகு மேற்கொள்ளப்பட்டது.

Gallup கருத்துக்கணிப்புகளில், பாலினம், வயது, கல்வி, வருமானம், தொழில், இனம், வசிக்கும் இடம், அளவு ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் மக்கள்தொகை விநியோகம் குறித்த தேசிய மக்கள்தொகை கணக்கெடுப்பில் கிடைக்கும் தரவுகளைப் பயன்படுத்தி பிரதிநிதித்துவம் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது. தீர்வு. அனைத்து ரஷ்ய ஆய்வு மையம் பொது கருத்து(VTsIOM) பாலினம், வயது, கல்வி, தீர்வு வகை, திருமண நிலை, வேலை செய்யும் பகுதி, பிரதிவாதியின் வேலை நிலை போன்ற குறிகாட்டிகளை அத்தகைய நோக்கங்களுக்காகப் பயன்படுத்துகிறது. மாநிலக் குழுரஷ்ய கூட்டமைப்பின் புள்ளிவிவரங்களின்படி. இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், மக்கள் தொகை அறியப்படுகிறது. மாதிரி மற்றும் மக்கள்தொகையில் மாறியின் மதிப்புகள் தெரியவில்லை என்றால் மாதிரி பிழையை தீர்மானிக்க முடியாது.

VTsIOM வல்லுநர்கள், களப் பணியின் போது ஏற்படும் விலகல்களைக் குறைப்பதற்காக தரவுப் பகுப்பாய்வின் போது மாதிரியை கவனமாகச் சரிசெய்வதை உறுதி செய்கின்றனர். பாலினம் மற்றும் வயது அடிப்படையில் குறிப்பாக வலுவான சார்புகள் காணப்படுகின்றன. பெண்கள் மற்றும் மக்கள் என்ற உண்மையால் இது விளக்கப்படுகிறது உயர் கல்விவீட்டில் அதிக நேரம் செலவழித்து, நேர்காணல் செய்பவருடன் எளிதாக தொடர்பு கொள்ளுங்கள், அதாவது. ஆண்கள் மற்றும் "படிக்காத" மக்களுடன் ஒப்பிடும்போது எளிதில் அணுகக்கூடிய குழுவாகும்35.

மாதிரி பிழை இரண்டு காரணிகளால் ஏற்படுகிறது: மாதிரி முறை மற்றும் மாதிரி அளவு.

மாதிரி பிழைகள் இரண்டு வகைகளாக பிரிக்கப்படுகின்றன - சீரற்ற மற்றும் முறையான. ரேண்டம் பிழை என்பது மாதிரி சராசரியானது கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளிக்கு வெளியே விழும் (அல்லது வராது) நிகழ்தகவு ஆகும். ரேண்டம் பிழைகள் மாதிரி முறையிலேயே உள்ளார்ந்த புள்ளியியல் பிழைகள் அடங்கும். மாதிரி அளவு அதிகரிக்கும் போது அவை குறையும்.

இரண்டாவது வகை மாதிரி பிழை முறையான பிழை. ஒரு சமூகவியலாளர் நடப்பதைப் பற்றி அனைத்து நகரவாசிகளின் கருத்தையும் கண்டுபிடிக்க முடிவு செய்தால் உள்ளூர் அதிகாரிகள்சமூகக் கொள்கையில் உள்ள அதிகாரிகள், மற்றும் தொலைபேசி வைத்திருப்பவர்களை மட்டுமே ஆய்வு செய்தனர், பின்னர் மாதிரியில் வசதியான அடுக்குகளுக்கு ஆதரவாக வேண்டுமென்றே ஒரு சார்பு உள்ளது, அதாவது. முறையான பிழை.

இவ்வாறு, முறையான பிழைகள் ஆராய்ச்சியாளரின் சொந்த நடவடிக்கைகளின் விளைவாகும். அவை மிகவும் ஆபத்தானவை, ஏனெனில் அவை ஆராய்ச்சி முடிவுகளில் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க சார்புகளுக்கு வழிவகுக்கும். முறையான பிழைகள் சீரற்றவற்றை விட மோசமாகக் கருதப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவற்றைக் கட்டுப்படுத்தவும் அளவிடவும் முடியாது.

எடுத்துக்காட்டாக: 1) மாதிரி ஆய்வின் நோக்கங்களுடன் பொருந்தாதபோது அவை எழுகின்றன (சமூகவியலாளர் பணிபுரியும் ஓய்வூதியதாரர்களை மட்டுமே படிக்க முடிவு செய்தார், ஆனால் அனைவரையும் நேர்காணல் செய்தார்); 2) பொது மக்களின் இயல்பு பற்றிய வெளிப்படையான அறியாமை உள்ளது (சமூகவியலாளர் அனைத்து ஓய்வூதியதாரர்களில் 70% வேலை செய்யவில்லை என்று நினைத்தார், ஆனால் 10% மட்டுமே வேலை செய்யவில்லை என்று மாறியது); 3) பொது மக்களின் "வெற்றி பெறும்" கூறுகள் மட்டுமே தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன (எடுத்துக்காட்டாக, பணக்கார ஓய்வூதியம் பெறுவோர் மட்டுமே).

கவனம்! சீரற்ற பிழைகள் போலன்றி, மாதிரி அளவு அதிகரிப்பதால் முறையான பிழைகள் குறையாது.

முறையான பிழைகள் ஏற்படும் அனைத்து நிகழ்வுகளையும் தொகுத்து, முறையியலாளர்கள் அவற்றின் பதிவேட்டைத் தொகுத்தனர். மாதிரி அவதானிப்புகளின் விநியோகத்தில் பின்வரும் காரணிகள் கட்டுப்பாடற்ற சிதைவுகளுக்கு ஆதாரமாக இருக்கலாம் என்று அவர்கள் நம்புகிறார்கள்:
♦ சமூகவியல் ஆராய்ச்சியை நடத்துவதற்கான வழிமுறை மற்றும் வழிமுறை விதிகள் மீறப்பட்டன;
♦ மாதிரி மக்கள்தொகையை உருவாக்குவதற்கு போதுமான முறைகள் இல்லை, தரவுகளை சேகரித்து கணக்கிடுவதற்கான முறைகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டன;
♦ தேவையான கண்காணிப்பு அலகுகள் மற்ற, அணுகக்கூடியவற்றால் மாற்றப்பட்டன;
♦ மாதிரி மக்கள்தொகையின் முழுமையற்ற கவரேஜ் குறிப்பிடப்பட்டது (கேள்வித்தாள்களின் போதுமான ரசீது, அவற்றை முழுமையடையாத நிறைவு, கண்காணிப்பு அலகுகளின் அணுக முடியாத தன்மை).

ஒரு சமூகவியலாளர் வேண்டுமென்றே தவறுகளை அரிதாகவே செய்கிறார். பெரும்பாலும், சமூகவியலாளர் பொது மக்களின் கட்டமைப்பைப் பற்றி மோசமாக அறிந்திருப்பதால் பிழைகள் எழுகின்றன: வயது, தொழில், வருமானம் போன்றவற்றின் அடிப்படையில் மக்களின் விநியோகம்.

முறையான பிழைகளைத் தடுப்பது எளிது (சீரற்றவற்றுடன் ஒப்பிடும்போது), ஆனால் அவற்றை அகற்றுவது மிகவும் கடினம். முறையான பிழைகளைத் தடுப்பது சிறந்தது, அவற்றின் ஆதாரங்களை முன்கூட்டியே துல்லியமாக எதிர்பார்த்து - ஆய்வின் ஆரம்பத்திலேயே.

மாதிரி பிழைகளைத் தவிர்க்க சில வழிகள்:
♦ மக்கள்தொகையில் உள்ள ஒவ்வொரு அலகும் மாதிரியில் சேர்க்கப்படுவதற்கு சமமான நிகழ்தகவு இருக்க வேண்டும்;
♦ ஒரே மாதிரியான மக்கள்தொகையில் இருந்து தேர்ந்தெடுப்பது நல்லது;
♦ பொது மக்களின் பண்புகளை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்;
♦ மாதிரி மக்கள்தொகையை தொகுக்கும்போது, ​​சீரற்ற மற்றும் முறையான பிழைகள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும்.

மாதிரி மக்கள்தொகை (அல்லது வெறுமனே ஒரு மாதிரி) சரியாக தொகுக்கப்பட்டால், சமூகவியலாளர் முழு மக்களையும் வகைப்படுத்தும் நம்பகமான முடிவுகளைப் பெறுகிறார். இது தவறாக தொகுக்கப்பட்டால், மாதிரியின் கட்டத்தில் எழுந்த பிழையானது சமூகவியல் ஆராய்ச்சியின் ஒவ்வொரு அடுத்த கட்டத்திலும் பெருக்கப்படுகிறது மற்றும் இறுதியில் நடத்தப்பட்ட ஆராய்ச்சியின் மதிப்பை விட அதிகமாக இருக்கும் அத்தகைய மதிப்பை அடைகிறது. அப்படிப்பட்ட ஆராய்ச்சியில் இருந்து சொல்கிறார்கள் அதிக தீங்குநன்மையை விட.

இதுபோன்ற பிழைகள் மாதிரி மக்கள்தொகையில் மட்டுமே ஏற்படும். பிழையின் சாத்தியக்கூறுகளைத் தவிர்க்க அல்லது குறைக்க, மாதிரி அளவை அதிகரிப்பதே எளிதான வழி (பொது மாதிரியின் அளவிற்கு ஏற்றது: இரண்டு மக்கள்தொகைகளும் பொருந்தினால், மாதிரி பிழை முற்றிலும் மறைந்துவிடும்). பொருளாதார ரீதியாக, இந்த முறை சாத்தியமற்றது. மற்றொரு வழி உள்ளது - மேம்படுத்த கணித முறைகள்மாதிரி அவை நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இது கணிதத்தின் சமூகவியலில் ஊடுருவலின் முதல் சேனல் ஆகும். இரண்டாவது சேனல் கணித தரவு செயலாக்கம்.

குறிப்பாக முக்கியமான பிரச்சனைமிகப் பெரிய மாதிரிகள் பயன்படுத்தப்படாத சந்தைப்படுத்தல் ஆராய்ச்சியில் பிழைகள் ஏற்படுகின்றன. வழக்கமாக அவர்கள் பல நூறு, குறைவாக அடிக்கடி - ஆயிரம் பதிலளித்தவர்கள். இங்கே, மாதிரி கணக்கீட்டிற்கான தொடக்க புள்ளியானது மாதிரி மக்கள்தொகையின் அளவை தீர்மானிக்கும் கேள்வி. மாதிரி மக்கள்தொகையின் அளவு இரண்டு காரணிகளைப் பொறுத்தது: 1) தகவல்களைச் சேகரிப்பதற்கான செலவு மற்றும் 2) ஆராய்ச்சியாளர் பெற எதிர்பார்க்கும் முடிவுகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான புள்ளிவிவர நம்பகத்தன்மைக்கான விருப்பம். நிச்சயமாக, புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் சமூகவியலில் அனுபவம் இல்லாதவர்கள் கூட உள்ளுணர்வாக என்ன புரிந்துகொள்கிறார்கள் பெரிய அளவுகள்மாதிரிகள், அதாவது. மொத்த மக்கள்தொகையின் அளவிற்கு அவை நெருக்கமாக இருந்தால், பெறப்பட்ட தரவு மிகவும் நம்பகமானது மற்றும் செல்லுபடியாகும். எவ்வாறாயினும், பல்லாயிரக்கணக்கான, நூறாயிரக்கணக்கான மற்றும் மில்லியன்களைத் தாண்டிய பொருள்களில் அவை மேற்கொள்ளப்படும் சந்தர்ப்பங்களில் தொடர்ச்சியான ஆய்வுகளின் நடைமுறை சாத்தியமற்றது பற்றி நாங்கள் ஏற்கனவே மேலே பேசினோம். தகவல்களைச் சேகரிப்பதற்கான செலவு (கருவிகள் நகலெடுப்பதற்கான கட்டணம், கேள்வித்தாள்களின் உழைப்பு, புல மேலாளர்கள் மற்றும் கணினி உள்ளீட்டு ஆபரேட்டர்கள் உட்பட) வாடிக்கையாளர் ஒதுக்க விரும்பும் தொகையைப் பொறுத்தது, மேலும் இது ஆராய்ச்சியாளர்களைச் சார்ந்தது. இரண்டாவது காரணியைப் பொறுத்தவரை, அதை இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

எனவே, மாதிரி அளவு பெரியது, சாத்தியமான பிழை சிறியது. நீங்கள் துல்லியத்தை இரட்டிப்பாக்க விரும்பினால், நீங்கள் மாதிரியை இரண்டாக அல்ல, நான்காக அதிகரிக்க வேண்டும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, 400 பேரின் கணக்கெடுப்பில் இருந்து பெறப்பட்ட தரவின் மதிப்பீட்டை இரண்டு மடங்கு துல்லியமாகச் செய்ய, நீங்கள் 800 பேருக்குப் பதிலாக 1,600 பேரைக் கணக்கெடுக்க வேண்டும். இருப்பினும், சந்தைப்படுத்தல் ஆராய்ச்சிக்கு 100% துல்லியம் தேவை என்பது சாத்தியமில்லை. 60% அல்லது 40% - - 60% அல்லது 40% - 57%, 60 அல்லது 63% வித்தியாசத்தில் எந்த விதத்திலும் பாதிக்கப்படாது.

மாதிரி பிழை அதன் அளவை மட்டுமல்ல, நாம் படிக்கும் மக்கள்தொகையில் உள்ள தனிப்பட்ட அலகுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளின் அளவையும் சார்ந்துள்ளது. உதாரணமாக, எவ்வளவு பீர் உட்கொள்ளப்படுகிறது என்பதை அறிய விரும்பினால், நமது மக்கள்தொகைக்குள் நுகர்வு விகிதங்கள் இருப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் வெவ்வேறு மக்கள்கணிசமாக வேறுபடுகின்றன (பன்முக மக்கள் தொகை). மற்றொரு வழக்கில், நாம் ரொட்டி நுகர்வு ஆய்வு மற்றும் அதை கண்டுபிடிப்போம் வெவ்வேறு மக்கள்இது மிகவும் குறைவான குறிப்பிடத்தக்க அளவில் வேறுபடுகிறது (ஒரே மாதிரியான மக்கள்தொகை). மக்கள்தொகைக்குள் அதிக மாறுபாடு (அல்லது பன்முகத்தன்மை) இருந்தால், மதிப்பு அதிகமாகும் சாத்தியமான பிழைமாதிரிகள். எளிய பொது அறிவு என்ன சொல்கிறது என்பதை மட்டுமே இந்த முறை உறுதிப்படுத்துகிறது. எனவே, வி. யாடோவ் சரியாகக் கூறுவது போல், "மாதிரியின் அளவு (தொகுதி) ஆய்வு செய்யப்படும் பொருட்களின் ஒருமைப்பாடு அல்லது பன்முகத்தன்மையின் அளவைப் பொறுத்தது. அவை மிகவும் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், சிறிய எண்கள் புள்ளிவிவர ரீதியாக நம்பகமான முடிவுகளை வழங்க முடியும்.

மாதிரி அளவை தீர்மானிப்பதும் அளவைப் பொறுத்தது நம்பிக்கை இடைவெளிஅனுமதிக்கப்பட்ட புள்ளிவிவர பிழை. இது சீரற்ற பிழைகள் என்று அழைக்கப்படுவதைக் குறிக்கிறது, இது எந்த புள்ளிவிவரப் பிழைகளின் தன்மையுடன் தொடர்புடையது. வி.ஐ. Paniotto ஒரு பிரதிநிதி மாதிரிக்கு பின்வரும் கணக்கீடுகளை வழங்குகிறது, 5% பிழையை அனுமானித்து:
இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு பிராந்திய நகரத்தில் 400 பேரை நீங்கள் கணக்கெடுத்திருந்தால், 100 ஆயிரம் பேர் வசிக்கும் கரைப்பான் மக்கள், கணக்கெடுக்கப்பட்ட வாங்குபவர்களில் 33% உள்ளூர் இறைச்சி பதப்படுத்தும் ஆலையின் தயாரிப்புகளை விரும்புகிறார்கள், பின்னர் 95% நிகழ்தகவு இந்த நகரத்தில் வசிப்பவர்களில் 33+5% (அதாவது 28 முதல் 38% வரை) இந்த தயாரிப்புகளை வழக்கமாக வாங்குபவர்கள் என்று நீங்கள் கூறலாம்.

மாதிரி அளவு விகிதம் மற்றும் மாதிரி பிழையை மதிப்பிடுவதற்கு Gallup கணக்கீடுகளையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

புள்ளியியல் கண்காணிப்பு மூலம் கண்டறியப்பட்ட எந்த ஒரு குறிகாட்டியின் மதிப்புக்கும் அதன் உண்மையான அளவுக்கும் இடையே உள்ள முரண்பாடுகள் எனப்படும் கவனிப்பு பிழைகள் . அவற்றின் நிகழ்வுக்கான காரணங்களைப் பொறுத்து, பதிவு பிழைகள் மற்றும் பிரதிநிதித்துவ பிழைகள் வேறுபடுகின்றன.

பதிவு பிழைகள் அவதானிப்பு அல்லது நேர்காணலின் போது உண்மைகளின் தவறான அடையாளம் அல்லது பிழையான பதிவுகளின் விளைவாக எழுகிறது. அவை சீரற்றதாகவோ அல்லது முறையாகவோ இருக்கலாம். ரேண்டம் பதிவு பிழைகள் பதிலளிப்பவர்கள் மற்றும் அவர்களின் பதில்களில் மற்றும் நேர்காணல் செய்பவர்களால் செய்யப்படலாம். முறையான பிழைகள் வேண்டுமென்றே மற்றும் தற்செயலாக இருக்கலாம். வேண்டுமென்றே - உண்மையான விவகாரங்களின் நனவான, போக்குடன் சிதைவுகள். தற்செயலானவை பல்வேறு தற்செயலான காரணங்களால் ஏற்படுகின்றன (அலட்சியம், கவனக்குறைவு).

பிரதிநிதித்துவ பிழைகள் (பிரதிநிதித்துவம்) ஒரு முழுமையற்ற கணக்கெடுப்பின் விளைவாக எழுகிறது மற்றும் கணக்கெடுக்கப்படும் மக்கள்தொகை பொது மக்களை முழுமையாக இனப்பெருக்கம் செய்யவில்லை என்றால். அவை சீரற்றதாகவோ அல்லது முறையாகவோ இருக்கலாம். பிரதிநிதித்துவத்தின் சீரற்ற பிழைகள் என்பது முழுமையற்ற கண்காணிப்பின் போது எழும் விலகல்கள் ஆகும், ஏனெனில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கண்காணிப்பு அலகுகள் (மாதிரி) முழு மக்கள்தொகையையும் முழுமையாக இனப்பெருக்கம் செய்யவில்லை. பிரதிநிதித்துவத்தின் முறையான பிழைகள் என்பது அலகுகளின் சீரற்ற தேர்வு கொள்கைகளை மீறுவதன் விளைவாக எழும் விலகல்கள் ஆகும். பிரதிநிதித்துவப் பிழைகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கவனிப்பில் இயல்பாகவே உள்ளன மற்றும் மாதிரி மக்கள்தொகை பொது மக்களை முழுமையாக இனப்பெருக்கம் செய்யவில்லை என்பதன் காரணமாக எழுகின்றன. இருப்பினும், சட்டத்தின் வரம்புக் கோட்பாடுகளின் பயன்பாட்டின் அடிப்படையில் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் முறைகளைப் பயன்படுத்தி, பிரதிநிதித்துவத்தின் பிழைகளைத் தவிர்ப்பது சாத்தியமில்லை. பெரிய எண்கள், இந்த பிழைகள் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளாக குறைக்கப்படலாம், அவற்றின் எல்லைகள் போதுமான உயர் துல்லியத்துடன் நிறுவப்பட்டுள்ளன.

மாதிரி பிழைகள் - மாதிரியின் பண்புகள் மற்றும் பொது மக்கள் இடையே உள்ள வேறுபாடு. சராசரி மதிப்பிற்கு, பிழை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படும்

எங்கே

அளவு
அழைக்கப்பட்டது தீவிர பிழை மாதிரிகள்.

அதிகபட்ச மாதிரி பிழை ஒரு சீரற்ற மதிப்பு. பெரிய எண்களின் சட்டத்தின் வரம்புக் கோட்பாடுகள் சீரற்ற மாதிரி பிழைகளின் வடிவங்களைப் படிப்பதற்காக அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த வடிவங்கள் P. L. Chebyshev மற்றும் A. M. லியாபுனோவ் ஆகியோரின் கோட்பாடுகளில் முழுமையாக வெளிப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.

பி.எல். செபிஷேவின் தேற்றம் பரிசீலனையில் உள்ள முறையுடன், இது பின்வருமாறு உருவாக்கப்படலாம்: போதுமான அளவு சுயாதீனமான அவதானிப்புகள் மூலம், மாதிரியின் விலகலை வலியுறுத்துவதற்கு ஒன்றுக்கு நெருக்கமான நிகழ்தகவுடன் (அதாவது, கிட்டத்தட்ட உறுதியுடன்) சாத்தியமாகும். பொது சராசரியிலிருந்து சராசரி விரும்பிய அளவு சிறியதாக இருக்கும். பி.எல். செபிஷேவின் தேற்றத்தில், பிழையின் அளவு அதிகமாக இருக்கக்கூடாது என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. . இதையொட்டி, மதிப்பு , பொது சராசரியிலிருந்து மாதிரி சராசரியின் நிலையான விலகலை வெளிப்படுத்துவது, மக்கள்தொகையில் உள்ள பண்புகளின் மாறுபாட்டைப் பொறுத்தது மற்றும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கை n. இந்த சார்பு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

, (7.2)

எங்கே மாதிரி முறையையும் சார்ந்துள்ளது.

அளவு =அழைக்கப்பட்டது சராசரி மாதிரி பிழை. இந்த வெளிப்பாட்டில் - பொதுவான மாறுபாடு, n- மாதிரி மக்கள் தொகையின் அளவு.

தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கை சராசரி பிழையை எவ்வாறு பாதிக்கிறது என்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம் n. தர்க்கரீதியாக, அதிக எண்ணிக்கையிலான அலகுகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், சராசரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் சிறியதாக இருக்கும், அதாவது, சராசரி மாதிரி பிழை மற்றும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றுக்கு இடையே ஒரு தலைகீழ் உறவு உள்ளது என்பதை சரிபார்க்க கடினமாக இல்லை. இந்த வழக்கில், ஒரு தலைகீழ் கணித உறவு உருவாகிறது, ஆனால் சராசரிகளுக்கு இடையிலான முரண்பாட்டின் வர்க்கம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கைக்கு நேர்மாறான விகிதாசாரமாக இருப்பதைக் காட்டும் உறவு.

ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டின் அதிகரிப்பு நிலையான விலகலில் அதிகரிப்பு மற்றும் அதன் விளைவாக ஒரு பிழையை ஏற்படுத்துகிறது. எல்லா அலகுகளும் பண்புக்கூறின் ஒரே மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும் என்று நாம் கருதினால், நிலையான விலகல் பூஜ்ஜியமாக மாறும் மற்றும் மாதிரி பிழையும் மறைந்துவிடும். பின்னர் மாதிரியைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை. இருப்பினும், பொது மக்களில் ஒரு பண்பின் மாறுபாட்டின் அளவு தெரியவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், ஏனெனில் அதில் உள்ள அலகுகளின் அளவுகள் தெரியவில்லை. ஒரு மாதிரி மக்கள்தொகையில் ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டை மட்டுமே கணக்கிட முடியும். பொது மற்றும் மாதிரி மக்கள்தொகையின் மாறுபாடுகளுக்கு இடையிலான உறவு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

மதிப்பு இருந்து போதுமான பெரிய அளவில் nஒற்றுமைக்கு நெருக்கமாக உள்ளது, மாதிரி மாறுபாடு பொதுவான மாறுபாட்டிற்கு சமம் என்று தோராயமாக நாம் கருதலாம், அதாவது.

இதன் விளைவாக, சராசரி மாதிரி பிழையானது, பொது மக்கள்தொகையின் தொடர்புடைய பண்புகளிலிருந்து மாதிரி மக்கள்தொகையின் பண்புகளின் சாத்தியமான விலகல்களைக் காட்டுகிறது. இருப்பினும், இந்த பிழையின் அளவை ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவுடன் தீர்மானிக்க முடியும். நிகழ்தகவு மதிப்பு பெருக்கி மூலம் குறிக்கப்படுகிறது

ஏ.எம். லியாபுனோவின் தேற்றம் . A. M. லியாபுனோவ், பொது மக்களுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட சராசரி மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாடு இருந்தால், போதுமான அளவு சுயாதீனமான அவதானிப்புகளுடன் மாதிரி வழிமுறைகளின் விநியோகம் (அதனால் பொதுவான சராசரியிலிருந்து அவற்றின் விலகல்கள்) தோராயமாக இயல்பானது என்பதை நிரூபித்தார்.

கணித ரீதியாக லியாபுனோவின் தேற்றம்இப்படி எழுதலாம்:

(7.3)

எங்கே
, (7.4)

எங்கே
- கணித மாறிலி;

–விளிம்பு மாதிரி பிழை , பொது சராசரியின் மதிப்பு என்ன வரம்புக்குள் உள்ளது என்பதைக் கண்டறிய இது உதவுகிறது.

நம்பிக்கைக் குணகத்தின் பல்வேறு மதிப்புகளுக்கான இந்த ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்புகள் டிசிறப்பு கணித அட்டவணையில் கணக்கிடப்பட்டு வழங்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, எப்போது:

ஏனெனில் டிமுரண்பாட்டின் சாத்தியக்கூறுகளைக் குறிக்கிறது
, அதாவது, மாதிரி சராசரியிலிருந்து எந்த அளவு நிகழ்தகவு வேறுபடும், பின்னர் அதை பின்வருமாறு படிக்கலாம்: 0.683 நிகழ்தகவுடன், மாதிரி மற்றும் பொது சராசரிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஒரு மதிப்பை விட அதிகமாக இல்லை என்று கூறலாம். சராசரி மாதிரி பிழை. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், 68.3% வழக்குகளில் பிரதிநிதித்துவ பிழை வரம்புகளை மீறாது
0.954 நிகழ்தகவுடன், பிரதிநிதித்துவ பிழை அதிகமாக இல்லை என்று கூறலாம்
(அதாவது 95% வழக்குகளில்). 0.997 நிகழ்தகவுடன், அதாவது ஒற்றுமைக்கு மிக அருகில், மாதிரிக்கும் பொது சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாடு சராசரி மாதிரிப் பிழையை விட மூன்று மடங்கு அதிகமாக இருக்காது என்று எதிர்பார்க்கலாம்.

தர்க்கரீதியாக, இங்கே இணைப்பு மிகவும் தெளிவாகத் தெரிகிறது: சாத்தியமான பிழை அனுமதிக்கப்படும் வரம்புகள், அதன் அளவை மதிப்பிடுவதற்கான வாய்ப்புகள் அதிகம்.

பண்புக்கூறின் மாதிரி சராசரி மதிப்பை அறிவது
மற்றும் விளிம்பு மாதிரி பிழை
, பொது சராசரி அடங்கியுள்ள எல்லைகளை (வரம்புகள்) தீர்மானிக்க முடியும்

1 . சரியான சீரற்ற மாதிரி - இந்த முறையானது பொது மக்களிடமிருந்து அலகுகளை பகுதிகளாகவோ அல்லது குழுக்களாகவோ பிரிக்காமல் தேர்ந்தெடுப்பதில் கவனம் செலுத்துகிறது. அதே நேரத்தில், மாதிரியின் அடிப்படைக் கொள்கைக்கு இணங்க - பொது மக்களின் அனைத்து அலகுகளும் தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான சம வாய்ப்பு - நிறைய (லாட்டரி) அல்லது சீரற்ற எண்களின் அட்டவணை மூலம் யூனிட்களை தோராயமாக பிரித்தெடுக்கும் திட்டம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. . அலகுகளை மீண்டும் மீண்டும் மற்றும் மீண்டும் மீண்டும் செய்யாத தேர்வு சாத்தியமாகும்

சராசரி பிழைஉண்மையான சீரற்ற மாதிரி என்பது பொதுவான சராசரியிலிருந்து மாதிரி சராசரியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் நிலையான விலகலாகும். முற்றிலும் சீரற்ற மாதிரி முறையைப் பயன்படுத்தி சராசரி மாதிரி பிழைகள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 7.2

அட்டவணை 7.2

அட்டவணையில் பின்வரும் குறிப்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

- மாதிரி மக்கள்தொகையின் மாறுபாடு;

- மாதிரி அளவு;

- பொது மக்கள் தொகை;

- ஆய்வு செய்யப்பட்ட பண்பைக் கொண்ட அலகுகளின் மாதிரி விகிதம்;

- ஆய்வு செய்யப்பட்ட பண்புகளைக் கொண்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கை;

- மாதிரி அளவு.

ஒரு பெருக்கிக்கு பதிலாக துல்லியத்தை அதிகரிக்க நீங்கள் ஒரு பெருக்கி எடுக்க வேண்டும்
, ஆனால் ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையுடன் என்இந்த வெளிப்பாடுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு நடைமுறை அர்த்தத்தை கொண்டிருக்கவில்லை.

உண்மையான சீரற்ற மாதிரியின் அதிகபட்ச பிழை
சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

, (7.6)

எங்கே டி - நம்பிக்கைக் குணகம் நிகழ்தகவு மதிப்பைப் பொறுத்தது.

உதாரணம்.தொகுப்பிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தயாரிப்புகளின் நூறு மாதிரிகளை சீரற்ற முறையில் ஆய்வு செய்தபோது, ​​20 தரமற்றதாக மாறியது. 0.954 நிகழ்தகவுடன், தொகுப்பில் உள்ள தரமற்ற தயாரிப்புகளின் பங்கு இருக்கும் வரம்புகளைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. பொதுவான பங்கைக் கணக்கிடுவோம் ( ஆர்):
.

தரமற்ற தயாரிப்புகளின் பங்கு:
.

0.954 நிகழ்தகவு கொண்ட மாதிரிப் பங்கின் அதிகபட்ச பிழையானது அட்டவணையில் உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சூத்திரத்தைப் (7.6) பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. பங்குக்கு 7.2:

0.954 நிகழ்தகவுடன், ஒரு தொகுதிப் பொருட்களில் தரமற்ற தயாரிப்புகளின் பங்கு 12% ≤க்குள் இருப்பதாகக் கூறலாம். பி≤ 28 %.

மாதிரி கண்காணிப்பை வடிவமைக்கும் நடைமுறையில், மாதிரியின் அளவை தீர்மானிக்க வேண்டிய அவசியம் உள்ளது, இது பொதுவான சராசரிகளின் கணக்கீட்டில் ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை உறுதி செய்ய அவசியம். அதிகபட்ச மாதிரி பிழை மற்றும் அதன் நிகழ்தகவு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. சூத்திரத்தில் இருந்து
மற்றும் சராசரி மாதிரி பிழைகளுக்கான சூத்திரங்கள், தேவையான மாதிரி அளவு நிறுவப்பட்டது. மாதிரி அளவை தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரங்கள் ( n) தேர்வு முறையைப் பொறுத்தது. முற்றிலும் சீரற்ற மாதிரிக்கான மாதிரி அளவைக் கணக்கிடுவது அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 7.3

அட்டவணை 7.3

2 . இயந்திர மாதிரி - இந்த முறையுடன், பொது மக்களில் உள்ள பொருட்களின் இருப்பிடம், அவற்றின் வரிசைப்படுத்துதல் (பட்டியல், எண், எழுத்துக்கள்) ஆகியவற்றின் சில அம்சங்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதில் இருந்து அவை தொடர்கின்றன. ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் (ஒவ்வொரு 10வது அல்லது 20வது) பொது மக்களின் தனிப்பட்ட பொருட்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் இயந்திர மாதிரி எடுக்கப்படுகிறது. இடைவெளி தொடர்பாக கணக்கிடப்படுகிறது , எங்கே n- மாதிரி அளவு, என்- பொது மக்கள் தொகை. எனவே, 500,000 யூனிட் மக்கள்தொகையில் இருந்து 2% மாதிரியைப் பெற எதிர்பார்க்கப்படுகிறது, அதாவது 10,000 அலகுகளைத் தேர்ந்தெடுக்க, தேர்வு விகிதம் இருக்கும்.
அலகுகளின் தேர்வு வழக்கமான இடைவெளியில் நிறுவப்பட்ட விகிதத்திற்கு ஏற்ப மேற்கொள்ளப்படுகிறது. பொது மக்களில் உள்ள பொருட்களின் இருப்பிடம் சீரற்றதாக இருந்தால், இயந்திர மாதிரியானது சீரற்ற தேர்வுக்கு உள்ளடக்கத்தில் ஒத்ததாக இருக்கும். இயந்திரத் தேர்வில், திரும்பத் திரும்ப வராத மாதிரி மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இயந்திரத் தேர்வின் போது சராசரி பிழை மற்றும் மாதிரி அளவு சரியான சீரற்ற மாதிரிக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது (அட்டவணைகள் 7.2 மற்றும் 7.3 ஐப் பார்க்கவும்).

3 . வழக்கமான மாதிரி , இதில் பொது மக்கள் சில அத்தியாவசிய பண்புகளின்படி பொதுவான குழுக்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளனர்; அலகுகளின் தேர்வு வழக்கமான குழுக்களில் இருந்து செய்யப்படுகிறது. இந்த தேர்வு முறை மூலம், பொது மக்கள் சில விஷயங்களில் ஒரே மாதிரியான குழுக்களாக பிரிக்கப்படுகிறார்கள், அவை அவற்றின் சொந்த குணாதிசயங்களைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் ஒவ்வொரு குழுவிலிருந்தும் மாதிரிகளின் அளவை தீர்மானிப்பதில் கேள்வி வருகிறது. இருக்கலாம் சீரான மாதிரி - இந்த முறை மூலம், ஒவ்வொரு வழக்கமான குழுவிலிருந்தும் அதே எண்ணிக்கையிலான அலகுகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன
அசல் வழக்கமான குழுக்களின் எண்கள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே இந்த அணுகுமுறை நியாயப்படுத்தப்படுகிறது. வழக்கமான தேர்வு மூலம், குழுக்களின் அளவிற்கு ஏற்றத்தாழ்வு, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அலகுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை வழக்கமான குழுக்களின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு ஒவ்வொரு பொதுவான குழுவிலிருந்தும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையை வழங்குகிறது.

மிகவும் மேம்பட்ட தேர்வு வடிவம் விகிதாசார மாதிரி . பொதுவான மக்கள்தொகையில் உள்ள ஒவ்வொரு பொதுவான குழுவிலிருந்தும் எடுக்கப்பட்ட மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை எண்கள், மாறுபாடுகள் (அல்லது எண்கள் மற்றும் மாறுபாடுகள் இரண்டின் கலவையும்) விகிதாசாரமாக இருக்கும் போது, ​​மாதிரி மக்கள்தொகையை உருவாக்கும் திட்டம் விகிதாசார என அழைக்கப்படுகிறது. நாங்கள் நிபந்தனையுடன் மாதிரி அளவை 100 அலகுகளாக தீர்மானித்து, குழுக்களில் இருந்து அலகுகளைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்:

– அவர்களின் பொது மக்கள் தொகையின் விகிதத்தில் (அட்டவணை 7.4). அட்டவணை குறிப்பிடுகிறது:

என் i- வழக்கமான குழுவின் அளவு;

ஈ ஜே- பகிர் என்நான்/ என்);

என்- பொது மக்கள் தொகை;

n i- ஒரு பொதுவான குழுவிலிருந்து மாதிரி அளவு கணக்கிடப்படுகிறது:

, (7.7)

n- பொது மக்களிடமிருந்து மாதிரியின் அளவு.

அட்டவணை 7.4

– நிலையான விலகலுக்கு விகிதாசாரமாக (அட்டவணை 7.5).

இங்கே  i- வழக்கமான குழுக்களின் நிலையான விலகல்;

n i - ஒரு பொதுவான குழுவிலிருந்து மாதிரி அளவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

(7.8)

அட்டவணை 7.5

– இணைந்தது (அட்டவணை 7.6).

மாதிரி அளவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

. (7.9)

அட்டவணை 7.6

ஒரு பொதுவான மாதிரியை நடத்தும்போது, ​​ஒவ்வொரு குழுவிலிருந்தும் நேரடி தேர்வு சீரற்ற மாதிரியைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

சராசரி மாதிரி பிழைகள் அட்டவணையில் உள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன. 7.7 வழக்கமான குழுக்களிடமிருந்து தேர்ந்தெடுக்கும் முறையைப் பொறுத்து.

அட்டவணை 7.7

இங்கே
- வழக்கமான குழுக்களின் குழுவிற்குள் உள்ள மாறுபாடுகளின் சராசரி;

- ஆய்வு செய்யப்பட்ட பண்பைக் கொண்ட அலகுகளின் விகிதம்;

- பங்குக்கான குழுவிற்குள் உள்ள மாறுபாடுகளின் சராசரி;

- மாதிரியில் நிலையான விலகல் iவது வழக்கமான குழு;

- ஒரு பொதுவான குழுவிலிருந்து மாதிரி அளவு;

- மொத்த மாதிரி அளவு;

- ஒரு பொதுவான குழுவின் தொகுதி;

- பொது மக்கள் தொகை.

ஒவ்வொரு வழக்கமான குழுவிலிருந்தும் மாதிரி அளவு இந்த குழுவில் உள்ள நிலையான விலகலுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்க வேண்டும்
.எண்களின் கணக்கீடு
அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களின்படி தயாரிக்கப்படுகிறது. 7.8

அட்டவணை 7.8

4 . தொடர் மாதிரி - மக்கள்தொகை அலகுகள் சிறிய குழுக்களாக அல்லது தொடராக இணைக்கப்படும் சந்தர்ப்பங்களில் வசதியானது. தொடர் மாதிரியில், பொது மக்கள் சம அளவிலான குழுக்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளனர் - தொடர். IN மாதிரி மக்கள் தொகைதொடர்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. தொடர் மாதிரியின் சாராம்சம் என்பது தொடரின் சீரற்ற அல்லது இயந்திரத் தேர்வாகும், அதற்குள் அலகுகளின் தொடர்ச்சியான ஆய்வு மேற்கொள்ளப்படுகிறது. சமமான தொடர்களைக் கொண்ட தொடர் மாதிரியின் சராசரி பிழையானது, குழுவிற்கு இடையிலான மாறுபாட்டின் அளவை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. சராசரி பிழைகள் அட்டவணையில் சுருக்கப்பட்டுள்ளன. 7.9

அட்டவணை 7.9

இங்கே ஆர்- பொது மக்களில் தொடர்களின் எண்ணிக்கை;

ஆர்- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தொடர்களின் எண்ணிக்கை;

- இடைநிலைகள் (இடைக்குழு) வழிமுறைகளின் சிதறல்;

- பங்குகளின் இடைநிலை (இடைக்குழு) சிதறல்.

தொடர் தேர்வு மூலம், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தொடர்களின் தேவையான எண்ணிக்கை முற்றிலும் சீரற்ற தேர்வு முறையைப் போலவே தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி தொடர் மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை கணக்கிடப்படுகிறது. 7.10.

அட்டவணை 7.10

உதாரணம்.ஆலையின் மெக்கானிக்கல் கடையில், 100 தொழிலாளர்கள் பத்து குழுக்களாக பணிபுரிகின்றனர். தொழிலாளர்களின் தகுதிகளை ஆய்வு செய்வதற்காக, 20% தொடர் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படாத மாதிரி எடுக்கப்பட்டது, இதில் இரண்டு அணிகள் அடங்கும். வகை வாரியாக கணக்கெடுக்கப்பட்ட தொழிலாளர்களின் பின்வரும் விநியோகம் பெறப்பட்டது:

ஒரு இயந்திரக் கடையில் சராசரியான தொழிலாளர்களின் வகை இருக்கும் வரம்புகளை 0.997 நிகழ்தகவுடன் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

தீர்வு.அணிகளுக்கான மாதிரி சராசரிகள் மற்றும் ஒட்டுமொத்த சராசரியை குழு சராசரிகளின் எடையுள்ள சராசரியாக வரையறுப்போம்:

சூத்திரங்களை (5.25) பயன்படுத்தி இடை-இயக்கச் சிதறலைத் தீர்மானிப்போம்:

அட்டவணையில் உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சராசரி மாதிரி பிழையைக் கணக்கிடுவோம். 7.9:

அதிகபட்ச மாதிரி பிழையை 0.997 நிகழ்தகவுடன் கணக்கிடுவோம்:

0.997 நிகழ்தகவுடன், இயந்திரக் கடையில் உள்ள தொழிலாளர்களின் சராசரி வகை வரம்பிற்குள் இருப்பதாகக் கூறலாம்.

புள்ளிவிவர மக்கள் தொகை- வெகுஜன தன்மை, இயல்பு, தரமான ஒருமைப்பாடு மற்றும் மாறுபாட்டின் இருப்பு ஆகியவற்றைக் கொண்ட அலகுகளின் தொகுப்பு.

புள்ளிவிவர மக்கள்தொகை என்பது பொருள் ரீதியாக இருக்கும் பொருள்களைக் கொண்டுள்ளது (பணியாளர்கள், நிறுவனங்கள், நாடுகள், பிராந்தியங்கள்), ஒரு பொருள்.

மக்கள்தொகை அலகு- ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட அலகு புள்ளிவிவர மக்கள் தொகை.

அதே புள்ளிவிவர மக்கள்தொகை ஒரு குணாதிசயத்தில் ஒரே மாதிரியாகவும் மற்றொன்றில் பன்முகத்தன்மையுடனும் இருக்கலாம்.

தரமான சீரான தன்மை- சில அடிப்படையில் மக்கள்தொகையின் அனைத்து அலகுகளின் ஒற்றுமை மற்றும் மற்றவற்றில் ஒற்றுமையின்மை.

புள்ளிவிவர மக்கள்தொகையில், ஒரு மக்கள்தொகை அலகுக்கும் மற்றொன்றுக்கும் இடையிலான வேறுபாடுகள் பெரும்பாலும் அளவு இயல்புடையவை. மக்கள்தொகையின் வெவ்வேறு அலகுகளின் பண்புகளின் மதிப்புகளில் அளவு மாற்றங்கள் மாறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு பண்பின் மாறுபாடு- மக்கள்தொகையின் ஒரு அலகில் இருந்து மற்றொரு அலகுக்கு மாறும்போது ஒரு குணாதிசயத்தில் (ஒரு அளவு பண்பிற்கு) அளவு மாற்றம்.

கையெழுத்து- இது ஒரு சொத்து சிறப்பியல்பு அம்சம்அல்லது அலகுகள், பொருள்கள் மற்றும் நிகழ்வுகளின் மற்ற அம்சத்தை கவனிக்கலாம் அல்லது அளவிடலாம். அறிகுறிகள் அளவு மற்றும் தரமாக பிரிக்கப்படுகின்றன. ஒரு மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட அலகுகளில் ஒரு குணாதிசயத்தின் மதிப்பின் பன்முகத்தன்மை மற்றும் மாறுபாடு அழைக்கப்படுகிறது மாறுபாடு.

பண்புக்கூறு (தரமான) பண்புகளை எண்ணியல் ரீதியாக வெளிப்படுத்த முடியாது (பாலினத்தின் அடிப்படையில் மக்கள்தொகை அமைப்பு). அளவு பண்புகள் ஒரு எண் வெளிப்பாடு (வயது அடிப்படையில் மக்கள்தொகை கலவை) உள்ளது.

காட்டி- இது நேரம் மற்றும் இடத்தின் குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒட்டுமொத்தமாக அலகுகள் அல்லது மொத்தங்களின் எந்தவொரு சொத்துக்கும் பொதுவான அளவு மற்றும் தரமான பண்பு ஆகும்.

மதிப்பெண் அட்டைஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வை முழுமையாக பிரதிபலிக்கும் குறிகாட்டிகளின் தொகுப்பாகும்.

• கையெழுத்து - ஊதியம்
• புள்ளிவிவர மக்கள் தொகை - அனைத்து ஊழியர்களும்
• மக்கள்தொகையின் அலகு ஒவ்வொரு பணியாளரும் ஆகும்
• தரமான ஒருமைப்பாடு - திரட்டப்பட்ட ஊதியங்கள்
• ஒரு அடையாளத்தின் மாறுபாடு - எண்களின் தொடர்

மக்கள் தொகை மற்றும் அதிலிருந்து மாதிரி

அடிப்படையானது ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பண்புகளை அளவிடுவதன் விளைவாக பெறப்பட்ட தரவுகளின் தொகுப்பாகும். உண்மையிலேயே கவனிக்கப்பட்ட பொருள்களின் தொகுப்பு, புள்ளிவிவர ரீதியாக பல அவதானிப்புகளால் குறிப்பிடப்படுகிறது சீரற்ற மாறி, உள்ளது மாதிரி, மற்றும் அனுமானமாக இருக்கும் (ஊகமானது) - பொது மக்கள். மக்கள் தொகை வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கலாம் (கவனிப்புகளின் எண்ணிக்கை N = const) அல்லது எல்லையற்ற ( N = ∞), மற்றும் மக்கள்தொகையில் இருந்து ஒரு மாதிரி எப்போதும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளின் விளைவாகும். ஒரு மாதிரியை உருவாக்கும் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை அழைக்கப்படுகிறது மாதிரி அளவு. மாதிரி அளவு போதுமானதாக இருந்தால் ( n → ∞) மாதிரி கருதப்படுகிறது பெரிய, இல்லையெனில் அது மாதிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது வரையறுக்கப்பட்ட அளவு. மாதிரி கருதப்படுகிறது சிறிய, ஒரு பரிமாண சீரற்ற மாறியை அளவிடும் போது மாதிரி அளவு 30 ஐ விட அதிகமாக இல்லை ( n<= 30 ), மற்றும் பலவற்றை ஒரே நேரத்தில் அளவிடும் போது ( கே) பல பரிமாண உறவு இடத்தில் அம்சங்கள் nசெய்ய கேஅதிகமாக இல்லை 10 (n/k< 10) . மாதிரி வடிவங்கள் மாறுபாடு தொடர், அதன் உறுப்பினர்கள் என்றால் வழக்கமான புள்ளிவிவரங்கள், அதாவது சீரற்ற மாறியின் மாதிரி மதிப்புகள் எக்ஸ்ஏறுவரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன (தரவரிசை), பண்புகளின் மதிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன விருப்பங்கள்.

உதாரணம். ஏறக்குறைய அதே தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பொருள்களின் தொகுப்பு - மாஸ்கோவின் ஒரு நிர்வாக மாவட்டத்தின் வணிக வங்கிகள், இந்த மாவட்டத்தில் உள்ள அனைத்து வணிக வங்கிகளின் பொது மக்களிடமிருந்து ஒரு மாதிரியாகவும், மாஸ்கோவில் உள்ள அனைத்து வணிக வங்கிகளின் பொது மக்களிடமிருந்து ஒரு மாதிரியாகவும் கருதலாம். , அத்துடன் நாட்டின் வணிக வங்கிகளின் மாதிரி மற்றும் பல.

மாதிரியை ஒழுங்கமைப்பதற்கான அடிப்படை முறைகள்

புள்ளிவிவர முடிவுகளின் நம்பகத்தன்மை மற்றும் முடிவுகளின் அர்த்தமுள்ள விளக்கம் சார்ந்துள்ளது பிரதிநிதித்துவம்மாதிரிகள், அதாவது. பொது மக்களின் பண்புகளின் பிரதிநிதித்துவத்தின் முழுமை மற்றும் போதுமான தன்மை, இது தொடர்பாக இந்த மாதிரியை பிரதிநிதித்துவமாகக் கருதலாம். மக்கள்தொகையின் புள்ளிவிவர பண்புகளை ஆய்வு இரண்டு வழிகளில் ஒழுங்கமைக்க முடியும்: பயன்படுத்தி தொடர்ச்சியானமற்றும் தொடர்ச்சியாக இல்லை. தொடர் கண்காணிப்புஅனைவரையும் ஆய்வு செய்ய வழங்குகிறது அலகுகள்படித்தார் முழுமை, ஏ பகுதி (தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட) கவனிப்பு- அதன் பகுதிகள் மட்டுமே.

மாதிரி கண்காணிப்பை ஒழுங்கமைக்க ஐந்து முக்கிய வழிகள் உள்ளன:

1. எளிய சீரற்ற தேர்வு, இதில் பொருள்களின் மக்கள்தொகையில் இருந்து பொருள்கள் தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன (உதாரணமாக, ஒரு அட்டவணை அல்லது சீரற்ற எண் ஜெனரேட்டரைப் பயன்படுத்துதல்), சாத்தியமான மாதிரிகள் ஒவ்வொன்றும் சம நிகழ்தகவைக் கொண்டிருக்கும். அத்தகைய மாதிரிகள் அழைக்கப்படுகின்றன உண்மையில் சீரற்ற;

2. வழக்கமான நடைமுறையைப் பயன்படுத்தி எளிமையான தேர்வுஒரு இயந்திர கூறுகளைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது (எடுத்துக்காட்டாக, தேதி, வாரத்தின் நாள், அடுக்குமாடி எண், எழுத்துக்களின் எழுத்துக்கள் போன்றவை) மற்றும் இந்த வழியில் பெறப்பட்ட மாதிரிகள் அழைக்கப்படுகின்றன. இயந்திரவியல்;

3. அடுக்குதொகுதியின் பொது மக்கள் தொகையானது தொகுதியின் துணை மக்கள்தொகைகள் அல்லது அடுக்குகளாக (அடுக்குகளாக) பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அடுக்குகள் என்பது புள்ளிவிவர பண்புகளின் அடிப்படையில் ஒரே மாதிரியான பொருள்கள் (உதாரணமாக, மக்கள்தொகை வயதுக் குழுக்கள் அல்லது சமூக வகுப்பின் அடிப்படையில் அடுக்குகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது; நிறுவனங்கள் - தொழில் மூலம்). இந்த வழக்கில், மாதிரிகள் அழைக்கப்படுகின்றன அடுக்கு(இல்லையெனில், அடுக்கு, வழக்கமான, பிராந்தியமயமாக்கப்பட்ட);

4. முறைகள் தொடர்தேர்வு அமைக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது தொடர்அல்லது கூடு மாதிரிகள். ஒரு "தொகுதி" அல்லது தொடர்ச்சியான பொருள்களை ஒரே நேரத்தில் ஆய்வு செய்வது அவசியமானால் அவை வசதியானவை (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தொகுதி பொருட்கள், ஒரு குறிப்பிட்ட தொடரின் தயாரிப்புகள் அல்லது நாட்டின் பிராந்திய மற்றும் நிர்வாகப் பிரிவில் உள்ள மக்கள் தொகை). தொடரின் தேர்வு முற்றிலும் சீரற்ற முறையில் அல்லது இயந்திரத்தனமாக செய்யப்படலாம். இந்த வழக்கில், ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுதி பொருட்கள் அல்லது ஒரு முழு பிராந்திய அலகு (ஒரு குடியிருப்பு கட்டிடம் அல்லது தொகுதி) முழுமையான ஆய்வு மேற்கொள்ளப்படுகிறது;

5. இணைந்தது(படி) தேர்வு ஒரே நேரத்தில் பல தேர்வு முறைகளை இணைக்கலாம் (உதாரணமாக, அடுக்கு மற்றும் சீரற்ற அல்லது சீரற்ற மற்றும் இயந்திரம்); அத்தகைய மாதிரி அழைக்கப்படுகிறது இணைந்தது.

தேர்வு வகைகள்

மூலம் மனம்தனிநபர், குழு மற்றும் ஒருங்கிணைந்த தேர்வு ஆகியவை வேறுபடுகின்றன. மணிக்கு தனிப்பட்ட தேர்வுபொது மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட அலகுகள் மாதிரி மக்கள்தொகையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன குழு தேர்வு- தரமான ஒரே மாதிரியான குழுக்கள் (தொடர்) அலகுகள், மற்றும் ஒருங்கிணைந்த தேர்வுமுதல் மற்றும் இரண்டாவது வகைகளின் கலவையை உள்ளடக்கியது.

மூலம் முறைதேர்வு வேறுபடுகிறது மீண்டும் மீண்டும் மற்றும் மீண்டும் மீண்டும்மாதிரி.

திரும்பத் திரும்ப வராததுமாதிரியில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள ஒரு அலகு அசல் மக்கள்தொகைக்குத் திரும்பாது மற்றும் மேலும் தேர்வில் பங்கேற்காத தேர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது; பொது மக்கள் தொகையில் அலகுகளின் எண்ணிக்கை என்தேர்வு செயல்பாட்டின் போது குறைக்கப்படுகிறது. மணிக்கு மீண்டும் மீண்டும்தேர்வு பிடிபட்டார்மாதிரியில், பதிவு செய்த பிறகு ஒரு அலகு பொது மக்களுக்குத் திருப்பி அனுப்பப்படுகிறது, இதனால் மற்ற அலகுகளுடன் சமமான வாய்ப்பைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது, மேலும் தேர்வு நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படும்; பொது மக்கள் தொகையில் அலகுகளின் எண்ணிக்கை என்மாறாமல் உள்ளது (இந்த முறை சமூக-பொருளாதார ஆராய்ச்சியில் அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது). இருப்பினும், பெரியதுடன் N (N → ∞)சூத்திரங்கள் மீண்டும் மீண்டும் செய்யக்கூடியதுதேர்வு அவர்களை அணுகுகிறது மீண்டும் மீண்டும்தேர்வு மற்றும் பிந்தையது நடைமுறையில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது ( N = const).

பொது மற்றும் மாதிரி மக்கள்தொகையின் அளவுருக்களின் முக்கிய பண்புகள்

ஆய்வின் புள்ளிவிவர முடிவுகள் சீரற்ற மாறியின் விநியோகம் மற்றும் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் அடிப்படையில் அமைந்தவை. (x 1, x 2, ..., x n)சீரற்ற மாறியின் உணர்தல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன எக்ஸ்(n என்பது மாதிரி அளவு). பொது மக்கள்தொகையில் ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகம் ஒரு கோட்பாட்டு, சிறந்த இயல்பு மற்றும் அதன் மாதிரி அனலாக் அனுபவபூர்வமானவிநியோகம். சில தத்துவார்த்த விநியோகங்கள் பகுப்பாய்வு ரீதியாக குறிப்பிடப்படுகின்றன, அதாவது. அவர்களின் அளவுருக்கள்சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் இடைவெளியில் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் விநியோகச் செயல்பாட்டின் மதிப்பைத் தீர்மானிக்கவும். ஒரு மாதிரியைப் பொறுத்தவரை, விநியோக செயல்பாடு கடினமானது மற்றும் சில நேரங்களில் தீர்மானிக்க இயலாது அளவுருக்கள்அனுபவ தரவுகளிலிருந்து மதிப்பிடப்படுகிறது, பின்னர் அவை தத்துவார்த்த விநியோகத்தை விவரிக்கும் பகுப்பாய்வு வெளிப்பாடாக மாற்றப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், அனுமானம் (அல்லது கருதுகோள்) விநியோக வகையைப் பற்றி புள்ளிவிவர ரீதியாக சரியானதாகவோ அல்லது தவறாகவோ இருக்கலாம். ஆனால் எப்படியிருந்தாலும், மாதிரியிலிருந்து புனரமைக்கப்பட்ட அனுபவ விநியோகம் தோராயமாக உண்மையான ஒன்றை மட்டுமே வகைப்படுத்துகிறது. மிக முக்கியமான விநியோக அளவுருக்கள் கணித எதிர்பார்ப்புமற்றும் மாறுபாடு.

அவற்றின் இயல்பால், விநியோகங்கள் தொடர்ச்சியானமற்றும் தனித்தனி. நன்கு அறியப்பட்ட தொடர்ச்சியான விநியோகம் சாதாரண. அளவுருக்கள் மற்றும் அதற்கான மாதிரி ஒப்புமைகள்: சராசரி மதிப்பு மற்றும் அனுபவ மாறுபாடு. சமூக-பொருளாதார ஆராய்ச்சியில் தனித்துவமானவற்றில், அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது மாற்று (இருவகை)விநியோகம். இந்த விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு அளவுரு ஒப்பீட்டு மதிப்பை வெளிப்படுத்துகிறது (அல்லது பங்கு) ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளைக் கொண்ட மக்கள்தொகையின் அலகுகள் (அது கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது); இந்த பண்பு இல்லாத மக்கள் தொகை விகிதம் கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது q (q = 1 - p). மாற்று விநியோகத்தின் மாறுபாடு ஒரு அனுபவ ஒப்புமையையும் கொண்டுள்ளது.

விநியோக வகை மற்றும் மக்கள்தொகை அலகுகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறையைப் பொறுத்து, விநியோக அளவுருக்களின் பண்புகள் வித்தியாசமாக கணக்கிடப்படுகின்றன. கோட்பாட்டு மற்றும் அனுபவ விநியோகங்களுக்கான முக்கியவை அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. 9.1

மாதிரி பின்னம் k nமாதிரி மக்கள்தொகையில் உள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கைக்கும் பொது மக்கள்தொகையில் உள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கைக்கும் உள்ள விகிதம் அழைக்கப்படுகிறது:

kn = n/N.

மாதிரி பின்னம் wஆய்வு செய்யப்படும் பண்பைக் கொண்ட அலகுகளின் விகிதமாகும் xமாதிரி அளவு n:

w = n n /n.

உதாரணம். 5% மாதிரியுடன், 1000 யூனிட்களைக் கொண்ட ஒரு தொகுதிப் பொருட்களில் மாதிரி பங்கு கே என்முழுமையான மதிப்பில் 50 அலகுகள். (n = N*0.05); இந்த மாதிரியில் 2 குறைபாடுள்ள பொருட்கள் காணப்பட்டால், பிறகு மாதிரி குறைபாடு விகிதம் w 0.04 (w = 2/50 = 0.04 அல்லது 4%) இருக்கும்.

மாதிரி மக்கள்தொகை பொது மக்களிடமிருந்து வேறுபட்டது என்பதால், உள்ளன மாதிரி பிழைகள்.

மாதிரி பிழைகள்

எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் (தொடர்ச்சியான மற்றும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட), இரண்டு வகையான பிழைகள் ஏற்படலாம்: பதிவு மற்றும் பிரதிநிதித்துவம். பிழைகள் பதிவுஇருக்கலாம் சீரற்றமற்றும் முறையானபாத்திரம். சீரற்றபிழைகள் பல்வேறு கட்டுப்பாடற்ற காரணங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன, தற்செயலானவை மற்றும் பொதுவாக ஒன்றையொன்று சமநிலைப்படுத்துகின்றன (உதாரணமாக, அறையில் வெப்பநிலை ஏற்ற இறக்கங்கள் காரணமாக சாதனத்தின் செயல்திறனில் ஏற்படும் மாற்றங்கள்).

முறையானமாதிரிக்கான பொருட்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான விதிகளை மீறுவதால் பிழைகள் சார்புடையவை (உதாரணமாக, அளவிடும் சாதனத்தின் அமைப்புகளை மாற்றும்போது அளவீடுகளில் விலகல்கள்).

உதாரணம்.நகரத்தில் உள்ள மக்களின் சமூக நிலைமையை மதிப்பிடுவதற்கு, 25% குடும்பங்களை கணக்கெடுக்க திட்டமிடப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு நான்காவது அபார்ட்மெண்டின் தேர்வும் அதன் எண்ணை அடிப்படையாகக் கொண்டால், ஒரே ஒரு வகை அனைத்து அடுக்குமாடி குடியிருப்புகளையும் (உதாரணமாக, ஒரு அறை குடியிருப்புகள்) தேர்ந்தெடுக்கும் ஆபத்து உள்ளது, இது ஒரு முறையான பிழையை வழங்கும் மற்றும் முடிவுகளை சிதைக்கும்; ஒரு அடுக்குமாடி எண்ணைத் தேர்ந்தெடுப்பது மிகவும் விரும்பத்தக்கது, ஏனெனில் பிழை சீரற்றதாக இருக்கும்.

பிரதிநிதித்துவ பிழைகள்மாதிரி கவனிப்பில் மட்டுமே உள்ளார்ந்தவை, அவற்றைத் தவிர்க்க முடியாது மற்றும் மாதிரி மக்கள்தொகை பொது மக்களை முழுமையாக இனப்பெருக்கம் செய்யாததன் விளைவாக அவை எழுகின்றன. மாதிரியிலிருந்து பெறப்பட்ட குறிகாட்டிகளின் மதிப்புகள் பொது மக்களில் (அல்லது தொடர்ச்சியான கண்காணிப்பின் மூலம் பெறப்பட்ட) அதே மதிப்புகளின் குறிகாட்டிகளிலிருந்து வேறுபடுகின்றன.

மாதிரி சார்புமக்கள் தொகையில் உள்ள அளவுரு மதிப்புக்கும் அதன் மாதிரி மதிப்புக்கும் உள்ள வித்தியாசம். ஒரு அளவு குணாதிசயத்தின் சராசரி மதிப்புக்கு சமம்: , மற்றும் பங்குக்கு (மாற்று பண்பு) - .

மாதிரிப் பிழைகள் மாதிரி அவதானிப்புகளுக்கு மட்டுமே இயல்பானவை. இந்த பிழைகள் பெரியதாக இருந்தால், அனுபவ விநியோகம் கோட்பாட்டு ஒன்றிலிருந்து வேறுபடுகிறது. அனுபவ விநியோகத்தின் அளவுருக்கள் சீரற்ற மாறிகள், எனவே, மாதிரி பிழைகள் சீரற்ற மாறிகள், அவை வெவ்வேறு மாதிரிகளுக்கு வெவ்வேறு மதிப்புகளை எடுக்கலாம், எனவே கணக்கிடுவது வழக்கம். சராசரி பிழை.

சராசரி மாதிரி பிழைகணித எதிர்பார்ப்பிலிருந்து மாதிரி சராசரியின் நிலையான விலகலை வெளிப்படுத்தும் அளவு. இந்த மதிப்பு, சீரற்ற தேர்வின் கொள்கைக்கு உட்பட்டது, முதன்மையாக மாதிரி அளவு மற்றும் குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டின் அளவைப் பொறுத்தது: பண்புகளின் பெரிய மற்றும் சிறிய மாறுபாடு (அதனால் மதிப்பு), சராசரி மாதிரி பிழை சிறியது. . பொது மற்றும் மாதிரி மக்கள்தொகையின் மாறுபாடுகளுக்கு இடையிலான உறவு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

அந்த. போதுமான அளவு பெரியதாக இருக்கும்போது, ​​​​அதை நாம் கருதலாம். சராசரி மாதிரி பிழையானது, பொது மக்கள் தொகை அளவுருவிலிருந்து மாதிரி மக்கள் தொகை அளவுருவின் சாத்தியமான விலகல்களைக் காட்டுகிறது. அட்டவணையில் அட்டவணை 9.2 பல்வேறு கண்காணிப்பு முறைகளுக்கான சராசரி மாதிரி பிழையைக் கணக்கிடுவதற்கான வெளிப்பாடுகளைக் காட்டுகிறது.

தொடர்ச்சியான பண்புக்கூறுக்கான குழுவிற்குள் உள்ள மாதிரி மாறுபாடுகளின் சராசரி எங்கே;

விகிதத்தில் உள்ள குழு மாறுபாடுகளின் சராசரி;

- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தொடரின் எண்ணிக்கை, - தொடரின் மொத்த எண்ணிக்கை;

,

வது தொடரின் சராசரி எங்கே;

- தொடர்ச்சியான பண்புக்கான ஒட்டுமொத்த மாதிரி மக்கள்தொகைக்கான ஒட்டுமொத்த சராசரி;

,

வது தொடரில் குணாதிசயத்தின் பங்கு எங்கே;

- முழு மாதிரி மக்கள்தொகை முழுவதும் குணாதிசயத்தின் மொத்த பங்கு.

இருப்பினும், சராசரி பிழையின் அளவை ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவு P (P ≤ 1) மூலம் மட்டுமே தீர்மானிக்க முடியும். லியாபுனோவ் ஏ.எம். மாதிரி விநியோகம் என்பதை நிரூபித்தது, எனவே பொது சராசரியிலிருந்து அவற்றின் விலகல்கள், போதுமான எண்ணிக்கையில் சாதாரண விநியோகச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது, பொது மக்கள் வரையறுக்கப்பட்ட சராசரி மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளனர்.

கணித ரீதியாக, சராசரிக்கான இந்த அறிக்கை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

மற்றும் பங்கிற்கு, வெளிப்பாடு (1) வடிவம் எடுக்கும்:

எங்கே - உள்ளது விளிம்பு மாதிரி பிழை, இது சராசரி மாதிரி பிழையின் பல மடங்கு ஆகும் , மற்றும் பன்முகத்தன்மை குணகம் என்பது மாணவர்களின் அளவுகோலாகும் ("நம்பிக்கை குணகம்"), W.S ஆல் முன்மொழியப்பட்டது. கோசெட் (புனைப்பெயர் "மாணவர்"); வெவ்வேறு மாதிரி அளவுகளுக்கான மதிப்புகள் ஒரு சிறப்பு அட்டவணையில் சேமிக்கப்படும்.

எனவே, வெளிப்பாடு (3) பின்வருமாறு படிக்கலாம்: நிகழ்தகவுடன் பி = 0.683 (68.3%)மாதிரிக்கும் பொது சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாடு சராசரி பிழையின் ஒரு மதிப்பை விட அதிகமாக இருக்காது என்று வாதிடலாம் மீ(t=1), நிகழ்தகவுடன் பி = 0.954 (95.4%)- இது இரண்டு சராசரி பிழைகளின் மதிப்பை விட அதிகமாக இருக்காது மீ (t = 2) ,நிகழ்தகவுடன் பி = 0.997 (99.7%)- மூன்று மதிப்புகளுக்கு மேல் இருக்காது மீ (t = 3) .எனவே, இந்த வேறுபாடு சராசரி பிழையை விட மூன்று மடங்கு அதிகமாக இருக்கும் நிகழ்தகவு தீர்மானிக்கப்படுகிறது பிழை நிலைமேலும் அளவு இல்லை 0,3% .

அட்டவணையில் 9.3 அதிகபட்ச மாதிரி பிழையைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களைக் காட்டுகிறது.

மாதிரி முடிவுகளை மக்கள்தொகைக்கு பொதுமைப்படுத்துதல்

மாதிரி கண்காணிப்பின் இறுதி இலக்கு பொது மக்களை வகைப்படுத்துவதாகும். சிறிய மாதிரி அளவுகளுடன், அளவுருக்களின் (மற்றும்) அனுபவ மதிப்பீடுகள் அவற்றின் உண்மையான மதிப்புகளிலிருந்து (மற்றும்) கணிசமாக விலகலாம். எனவே, அளவுருக்களின் (மற்றும்) மாதிரி மதிப்புகளுக்கு உண்மையான மதிப்புகள் (மற்றும்) இருக்கும் எல்லைகளை நிறுவ வேண்டிய அவசியம் உள்ளது.

நம்பிக்கை இடைவெளிபொது மக்கள்தொகையின் எந்த அளவுரு θ என்பது இந்த அளவுருவின் மதிப்புகளின் சீரற்ற வரம்பாகும், இது நிகழ்தகவு 1 க்கு அருகில் உள்ளது ( நம்பகத்தன்மை) இந்த அளவுருவின் உண்மையான மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது.

விளிம்பு பிழைமாதிரிகள் Δ பொது மக்களின் குணாதிசயங்கள் மற்றும் அவற்றின் வரம்பு மதிப்புகளை தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது நம்பிக்கை இடைவெளிகள், சமமானவை:

குறைந்த வரம்பு நம்பிக்கை இடைவெளிகழித்தல் மூலம் பெறப்பட்டது அதிகபட்ச பிழைமாதிரி சராசரி (பங்கு), மற்றும் அதைச் சேர்ப்பதன் மூலம் மேல் ஒன்று.

நம்பிக்கை இடைவெளிசராசரியாக இது அதிகபட்ச மாதிரி பிழையைப் பயன்படுத்துகிறது மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட நம்பிக்கை நிலை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

இதன் பொருள் கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவுடன் ஆர், இது நம்பிக்கை நிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் மதிப்பால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது டி, சராசரியின் உண்மையான மதிப்பு வரம்பில் உள்ளது என்று வாதிடலாம் , மற்றும் பங்கின் உண்மையான மதிப்பு வரம்பில் உள்ளது

மூன்று நிலையான நம்பிக்கை நிலைகளுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடும் போது P = 95%, P = 99% மற்றும் P = 99.9%மதிப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது. சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து பயன்பாடுகள். மாதிரி அளவு போதுமானதாக இருந்தால், இந்த நிகழ்தகவுகளுடன் தொடர்புடைய மதிப்புகள் டிசமம்: 1,96, 2,58 மற்றும் 3,29 . எனவே, விளிம்பு மாதிரி பிழையானது மக்கள்தொகையின் குணாதிசயங்களின் வரம்புக்குட்பட்ட மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் நம்பிக்கை இடைவெளிகளை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது:

சமூக-பொருளாதார ஆராய்ச்சியில் பொது மக்களுக்கு மாதிரி கண்காணிப்பின் முடிவுகளை விநியோகிப்பது அதன் சொந்த குணாதிசயங்களைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் அதன் அனைத்து வகைகள் மற்றும் குழுக்களின் முழுமையான பிரதிநிதித்துவம் தேவைப்படுகிறது. அத்தகைய விநியோகத்தின் சாத்தியத்திற்கான அடிப்படையானது கணக்கீடு ஆகும் உறவினர் பிழை:

எங்கே Δ % - ஒப்பீட்டு அதிகபட்ச மாதிரி பிழை; , .

ஒரு மாதிரி கண்காணிப்பை மக்கள்தொகைக்கு விரிவுபடுத்த இரண்டு முக்கிய முறைகள் உள்ளன: நேரடி மறு கணக்கீடு மற்றும் குணக முறை.

சாரம் நேரடி மாற்றம்மாதிரி சராசரி!!\overline(x)ஐ மக்கள்தொகையின் அளவால் பெருக்குகிறது.

உதாரணம். நகரத்தில் உள்ள குழந்தைகளின் சராசரி எண்ணிக்கையை மாதிரி முறை மற்றும் ஒரு நபருக்கான தொகை மூலம் மதிப்பிடலாம். நகரத்தில் 1000 இளம் குடும்பங்கள் இருந்தால், முனிசிபல் நர்சரிகளில் தேவையான இடங்களின் எண்ணிக்கை இந்த சராசரியை பொது மக்கள் தொகையின் N = 1000 மூலம் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, அதாவது. 1200 இடங்கள் இருக்கும்.

முரண்பாடு முறைதொடர்ச்சியான கண்காணிப்பின் தரவை தெளிவுபடுத்துவதற்காக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கண்காணிப்பு மேற்கொள்ளப்படும் சந்தர்ப்பங்களில் பயன்படுத்த அறிவுறுத்தப்படுகிறது.

பின்வரும் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

அனைத்து மாறிகளும் மக்கள்தொகை அளவு:

தேவையான மாதிரி அளவு

அனுமதிக்கப்பட்ட மாதிரி பிழையின் முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட மதிப்புடன் மாதிரி கண்காணிப்பைத் திட்டமிடும்போது, ​​தேவையானதை சரியாக மதிப்பிடுவது அவசியம். மாதிரி அளவு. கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவின் அடிப்படையில் மாதிரி கண்காணிப்பின் போது அனுமதிக்கப்பட்ட பிழையின் அடிப்படையில் இந்த தொகுதி தீர்மானிக்கப்படலாம், இது பிழை மட்டத்தின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது (கண்காணிப்பை ஒழுங்கமைக்கும் முறையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது). தேவையான மாதிரி அளவை தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரங்கள் n அதிகபட்ச மாதிரி பிழைக்கான சூத்திரங்களிலிருந்து நேரடியாகப் பெறலாம். எனவே, விளிம்புப் பிழைக்கான வெளிப்பாட்டிலிருந்து:

மாதிரி அளவு நேரடியாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது n:

அதிகபட்ச மாதிரி பிழை குறையும் போது இந்த சூத்திரம் காட்டுகிறது Δ தேவையான மாதிரி அளவு கணிசமாக அதிகரிக்கிறது, இது மாணவர்களின் t சோதனையின் மாறுபாடு மற்றும் சதுரத்திற்கு விகிதாசாரமாகும்.

கண்காணிப்பை ஒழுங்கமைப்பதற்கான ஒரு குறிப்பிட்ட முறைக்கு, அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களின்படி தேவையான மாதிரி அளவு கணக்கிடப்படுகிறது. 9.4

நடைமுறை கணக்கீடு எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1. தொடர்ச்சியான அளவு பண்புக்கான சராசரி மதிப்பு மற்றும் நம்பிக்கை இடைவெளியின் கணக்கீடு.

கடனாளர்களுடனான தீர்வு வேகத்தை மதிப்பிடுவதற்கு, 10 கட்டண ஆவணங்களின் சீரற்ற மாதிரி வங்கியில் மேற்கொள்ளப்பட்டது. அவற்றின் மதிப்புகள் சமமாக மாறியது (நாட்களில்): 10; 3; 15; 15; 22; 7; 8; 1; 19; 20

நிகழ்தகவுடன் அவசியம் பி = 0.954விளிம்பு பிழையை தீர்மானிக்கவும் Δ சராசரி கணக்கீட்டு நேரத்தின் மாதிரி சராசரி மற்றும் நம்பிக்கை வரம்புகள்.

தீர்வு.அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சராசரி மதிப்பு கணக்கிடப்படுகிறது. மாதிரி மக்கள் தொகைக்கு 9.1

அட்டவணையில் உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாறுபாடு கணக்கிடப்படுகிறது. 9.1

அன்றைய சராசரி சதுரப் பிழை.

சராசரி பிழை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

அந்த. சராசரியாக உள்ளது x ± m = 12.0 ± 2.3 நாட்கள்.

சராசரி நம்பகத்தன்மை இருந்தது

அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதிகபட்ச பிழையைக் கணக்கிடுகிறோம். 9.3 மீண்டும் மீண்டும் மாதிரி எடுக்கப்பட்டது, ஏனெனில் மக்கள் தொகை அளவு தெரியவில்லை, மற்றும் பி = 0.954நம்பிக்கை நிலை.

எனவே, சராசரி மதிப்பு `x ± D = `x ± 2m = 12.0 ± 4.6, அதாவது. அதன் உண்மையான மதிப்பு 7.4 முதல் 16.6 நாட்கள் வரை இருக்கும்.

மாணவர்களின் டி-டேபிளைப் பயன்படுத்துதல். பயன்பாடு n = 10 - 1 = 9 டிகிரி சுதந்திரத்திற்கு, பெறப்பட்ட மதிப்பு £ 0.001 இன் முக்கியத்துவத்துடன் நம்பகமானது என்று முடிவு செய்ய அனுமதிக்கிறது, அதாவது. இதன் விளைவாக வரும் சராசரி மதிப்பு 0 இலிருந்து கணிசமாக வேறுபட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 2. நிகழ்தகவு மதிப்பீடு (பொது பங்கு) ப.

1000 குடும்பங்களின் சமூக நிலையை ஆய்வு செய்யும் இயந்திர மாதிரி முறை, குறைந்த வருமானம் கொண்ட குடும்பங்களின் விகிதம் என்பதை வெளிப்படுத்தியது. w = 0.3 (30%)(மாதிரி இருந்தது 2% , அதாவது n/N = 0.02) நம்பிக்கை நிலை தேவை ப = 0.997காட்டி தீர்மானிக்க ஆர்பிராந்தியம் முழுவதும் குறைந்த வருமானம் கொண்ட குடும்பங்கள்.

தீர்வு.வழங்கப்பட்ட செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அடிப்படையில் Ф(t)கொடுக்கப்பட்ட நம்பிக்கை அளவைக் கண்டறியவும் பி = 0.997பொருள் t = 3(சூத்திரம் 3 ஐப் பார்க்கவும்). பின்னத்தின் விளிம்புப் பிழை டபிள்யூஅட்டவணையில் இருந்து சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கவும். 9.3 மீண்டும் நிகழாத மாதிரிக்கு (இயந்திர மாதிரி எப்போதும் திரும்பத் திரும்ப வராதது):

அதிகபட்ச ஒப்பீட்டு மாதிரி பிழை % இருக்கும்:

பிராந்தியத்தில் குறைந்த வருமானம் கொண்ட குடும்பங்களின் நிகழ்தகவு (பொது பங்கு) இருக்கும் р=w±Δw, மற்றும் நம்பிக்கை வரம்புகள் p என்பது இரட்டை சமத்துவமின்மையின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படுகிறது:

w - Δ w ≤ p ≤ w - Δ w, அதாவது p இன் உண்மையான மதிப்பு இதில் உள்ளது:

0,3 — 0,014 < p <0,3 + 0,014, а именно от 28,6% до 31,4%.

எனவே, 0.997 நிகழ்தகவுடன், பிராந்தியத்தில் உள்ள அனைத்து குடும்பங்களிலும் குறைந்த வருமானம் கொண்ட குடும்பங்களின் பங்கு 28.6% முதல் 31.4% வரை இருக்கும் என்று கூறலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.ஒரு இடைவெளித் தொடரால் குறிப்பிடப்பட்ட தனித்துவமான பண்புக்கான சராசரி மதிப்பு மற்றும் நம்பிக்கை இடைவெளியின் கணக்கீடு.

அட்டவணையில் 9.5 நிறுவனத்தால் செயல்படுத்தப்படும் நேரத்திற்கு ஏற்ப ஆர்டர்களை தயாரிப்பதற்கான விண்ணப்பங்களின் விநியோகம் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.

தீர்வு. ஆர்டர்களை முடிப்பதற்கான சராசரி நேரம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

சராசரி காலம் இருக்கும்:

= (3*20 + 9*80 + 24*60 + 48*20 + 72*20)/200 = 23.1 மாதங்கள்.

அட்டவணையின் இறுதி நெடுவரிசையிலிருந்து p i இல் உள்ள தரவைப் பயன்படுத்தினால் அதே பதிலைப் பெறுவோம். 9.5, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி:

60 - 36 = 24 மாதங்களுக்கு சமமான முந்தைய தரத்தின் இடைவெளியின் அகலத்துடன் செயற்கையாக துணைபுரிவதன் மூலம் கடைசி தரத்திற்கான இடைவெளியின் நடுப்பகுதி கண்டறியப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க.

மாறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

எங்கே x i- இடைவெளி தொடரின் நடுப்பகுதி.

எனவே!!\sigma = \frac (20^2 + 14^2 + 1 + 25^2 + 49^2)(4), மற்றும் சராசரி சதுரப் பிழை .

சராசரி பிழை மாதாந்திர சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது, அதாவது. சராசரி மதிப்பு!!\overline(x) ± m = 23.1 ± 13.4.

அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதிகபட்ச பிழையைக் கணக்கிடுகிறோம். மக்கள்தொகை அளவு தெரியாததால், 0.954 நம்பிக்கை நிலைக்கு, மீண்டும் மீண்டும் தேர்வு செய்ய 9.3:

எனவே சராசரி:

அந்த. அதன் உண்மையான மதிப்பு 0 முதல் 50 மாதங்கள் வரையிலான வரம்பில் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 4.ஒரு வணிக வங்கியில் N = 500 கார்ப்பரேஷன் நிறுவனங்களின் கடனாளர்களுடனான தீர்வுகளின் வேகத்தை தீர்மானிக்க, சீரற்ற அல்லாத திரும்பத் திரும்ப தேர்வு முறையைப் பயன்படுத்தி மாதிரி ஆய்வு நடத்த வேண்டியது அவசியம். நிகழ்தகவு P = 0.954 உடன், சோதனை மதிப்பீடுகள் நிலையான விலகல் s 10 நாட்கள் என்று காட்டினால், மாதிரி சராசரியின் பிழை 3 நாட்களுக்கு மிகாமல் இருக்க தேவையான மாதிரி அளவை n ஐத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. தேவையான ஆய்வுகளின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்க n, அட்டவணையில் இருந்து திரும்பத் திரும்பத் தேர்வு செய்யாத சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். 9.4:

அதில், t மதிப்பு P = 0.954 என்ற நம்பிக்கை மட்டத்திலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இது 2 க்கு சமம். சராசரி சதுர மதிப்பு s = 10, மக்கள் தொகை அளவு N = 500, மற்றும் சராசரியின் அதிகபட்ச பிழை Δ x = 3. இந்த மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

அந்த. தேவையான அளவுருவை மதிப்பிடுவதற்கு 41 நிறுவனங்களின் மாதிரியை தொகுக்க போதுமானது - கடனாளர்களுடனான தீர்வுகளின் வேகம்.

சராசரி மற்றும் அதிகபட்ச மாதிரி பிழைகள்

மற்றவற்றில் மாதிரி கண்காணிப்பின் முக்கிய நன்மை சீரற்ற மாதிரி பிழையை கணக்கிடும் திறன் ஆகும்.

மாதிரி பிழைகள் முறையான அல்லது சீரற்றதாக இருக்கலாம்.

முறையான- மாதிரியின் அடிப்படைக் கொள்கை - சீரற்ற தன்மை - மீறப்பட்டால். சீரற்ற- பொதுவாக மாதிரி மக்கள்தொகையின் அமைப்பு எப்போதும் பொது மக்களின் கட்டமைப்பிலிருந்து வேறுபடுவதால் எழுகிறது, எவ்வளவு சரியாக தேர்வு செய்யப்பட்டாலும், அதாவது, மக்கள்தொகை அலகுகளின் சீரற்ற தேர்வு கொள்கை இருந்தபோதிலும், இன்னும் முரண்பாடுகள் உள்ளன. மாதிரியின் பண்புகள் மற்றும் பொது மக்கள் இடையே. பிரதிநிதித்துவத்தின் சீரற்ற பிழைகளின் ஆய்வு மற்றும் அளவீடு மாதிரி முறையின் முக்கிய பணியாகும்.

பொதுவாக, சராசரியின் பிழை மற்றும் விகிதத்தின் பிழை ஆகியவை பெரும்பாலும் கணக்கிடப்படுகின்றன. கணக்கீடுகளுக்கு பின்வரும் மரபுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

மக்கள்தொகைக்குள் கணக்கிடப்பட்ட சராசரி;

மாதிரி மக்கள்தொகைக்குள் கணக்கிடப்பட்ட சராசரி;

ஆர்- பொது மக்களில் இந்த குழுவின் பங்கு;

டபிள்யூ- மாதிரி மக்கள்தொகையில் இந்த குழுவின் பங்கு.

மரபுகளைப் பயன்படுத்தி, சராசரி மற்றும் விகிதத்திற்கான மாதிரி பிழைகளை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

மாதிரி சராசரி மற்றும் மாதிரி விகிதம் சீரற்ற மாறிகள் ஆகும், அவை மாதிரியில் எந்த மக்கள்தொகை அலகுகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன என்பதைப் பொறுத்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம். எனவே, மாதிரிப் பிழைகளும் சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் வெவ்வேறு மதிப்புகளைப் பெறலாம். எனவே, சாத்தியமான பிழைகளின் சராசரி μ தீர்மானிக்கப்படுகிறது .

முறையான பிழையைப் போலன்றி, கணிதப் புள்ளிவிவரங்களில் கருதப்படும் வரம்புக் கோட்பாடுகளின்படி, மாதிரிக்கு முன், சீரற்ற பிழையை முன்கூட்டியே தீர்மானிக்க முடியும்.

சராசரி பிழை 0.683 நிகழ்தகவுடன் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. வேறுபட்ட நிகழ்தகவு விஷயத்தில், அவர்கள் ஒரு சிறிய பிழையைப் பற்றி பேசுகிறார்கள்.

சராசரி மற்றும் விகிதத்திற்கான சராசரி மாதிரி பிழை பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

இந்த சூத்திரங்களில், ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாடு என்பது பொது மக்களின் சிறப்பியல்பு ஆகும், இது மாதிரி கண்காணிப்பின் போது தெரியவில்லை. நடைமுறையில், அவை பெரிய எண்களின் சட்டத்தின் அடிப்படையில் மாதிரி மக்கள்தொகையின் ஒத்த பண்புகளால் மாற்றப்படுகின்றன, இதன் படி மாதிரி மக்கள் தொகையானது பெரிய அளவில் பொது மக்களின் பண்புகளை துல்லியமாக இனப்பெருக்கம் செய்கிறது.

பல்வேறு தேர்வு முறைகளுக்கான சராசரி பிழையை நிர்ணயிப்பதற்கான சூத்திரங்கள்:

தேர்வு முறை	மீண்டும் மீண்டும்	திரும்பத் திரும்ப வராதது
சராசரி பிழை	பகிர்வு பிழை	சராசரி பிழை	பகிர்வு பிழை
ஒழுங்காக சீரற்ற மற்றும் இயந்திர
வழக்கமான
தொடர்

μ - சராசரி பிழை;

∆ - அதிகபட்ச பிழை;

ப -மாதிரி அளவு;

N-மக்கள் தொகை அளவு;

மொத்த மாறுபாடு;

w-மொத்த மாதிரி அளவில் இந்த வகையின் பங்கு:

குழுவிற்குள் உள்ள மாறுபாடுகளின் சராசரி;

Δ 2 - இடைக்குழு சிதறல்;

ஆர்-மாதிரியில் உள்ள தொடர்களின் எண்ணிக்கை;

ஆர்- மொத்த அத்தியாயங்களின் எண்ணிக்கை.

விளிம்பு பிழைஅனைத்து மாதிரி முறைகளும் சராசரி மாதிரி பிழையுடன் பின்வருமாறு தொடர்புடையது:

எங்கே டி- நம்பிக்கை குணகம், அதிகபட்ச பிழை மதிப்பு உறுதி செய்யப்படும் நிகழ்தகவுடன் செயல்பாட்டுடன் தொடர்புடையது. நிகழ்தகவைப் பொறுத்து, நம்பிக்கைக் குணகம் t பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கும்:

எடுத்துக்காட்டாக, பிழையின் நிகழ்தகவு 0.683 ஆகும். இதன் பொருள், பொது சராசரியானது மாதிரி சராசரியிலிருந்து முழுமையான மதிப்பை விட அதிகமாக வேறுபடுகிறது μ 0.683 நிகழ்தகவுடன், மாதிரி சராசரி என்றால், பொது சராசரி, பிறகு உடன்நிகழ்தகவு 0.683.

முடிவுகளின் அதிக நிகழ்தகவை உறுதிப்படுத்த விரும்பினால், அதன் மூலம் சீரற்ற பிழையின் விளிம்புகளை அதிகரிக்கிறோம்.

எனவே, அதிகபட்ச பிழையின் அளவு பின்வரும் அளவுகளைப் பொறுத்தது:

ஒரு குணாதிசயத்தின் ஏற்ற இறக்கங்கள் (நேரடி உறவு), இது சிதறல் அளவு மூலம் வகைப்படுத்தப்படுகிறது;

மாதிரி அளவு (கருத்து);

நம்பிக்கை நிகழ்தகவு (நேரடி இணைப்பு);

தேர்வு முறை.

சராசரி மற்றும் விகிதத்தின் பிழையை கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டு.

ஒரு குடும்பத்தில் உள்ள குழந்தைகளின் சராசரி எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்க, 1000 குடும்பங்களில் இருந்து 100 குடும்பங்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டன.

வரையறுக்க:.

- 0.997 நிகழ்தகவுடன், அதிகபட்ச மாதிரி பிழை மற்றும் ஒரு குடும்பத்தில் சராசரி குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை இருக்கும் எல்லைகள்;

- 0.954 நிகழ்தகவுடன், இரண்டு குழந்தைகளைக் கொண்ட குடும்பங்களின் விகிதம் இருக்கும் எல்லைகள்.

1. சராசரியின் அதிகபட்ச பிழையை 0.977 நிகழ்தகவுடன் தீர்மானிப்போம். கணக்கீடுகளை எளிதாக்க, நாங்கள் தருணங்களின் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

ப = 0,997 டி= 3

சராசரி பிழை, 0.116 - விளிம்பு பிழை

2,12 – 0,116 ≤ ≤ 2,12+ 0,116

2,004 ≤ ≤ 2,236

எனவே, 0.997 நிகழ்தகவுடன், பொது மக்களில் ஒரு குடும்பத்தில் உள்ள குழந்தைகளின் சராசரி எண்ணிக்கை, அதாவது 1000 குடும்பங்களில், 2.004 - 2.236 வரம்பில் உள்ளது.