வீடு→வீட்டு உபயோகப் பொருட்கள்→ஆன்லைனில் தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக பலகோணம். புள்ளியியல் தொடர், நிகழ்தகவு பரவல் பலகோணம்

ஆன்லைனில் தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக பலகோணம். புள்ளியியல் தொடர், நிகழ்தகவு பரவல் பலகோணம்

பிரச்சனை 14. IN பண லாட்டரி 1,000,000 ரூபிள் 1 வெற்றி, 100,000 ரூபிள் 10 வெற்றிகள் விளையாடப்படுகின்றன. மற்றும் 100 வெற்றிகள் ஒவ்வொன்றும் 1000 ரூபிள். மொத்தம் 10,000 டிக்கெட்டுகளுடன் சீரற்ற வெற்றிகளின் விநியோக சட்டத்தைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்ஒரு லாட்டரி சீட்டின் உரிமையாளருக்கு.

தீர்வு. சாத்தியமான மதிப்புகள் எக்ஸ்: எக்ஸ் 1 = 0; எக்ஸ் 2 = 1000; எக்ஸ் 3 = 100000;

எக்ஸ் 4 = 1000000. அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் முறையே சமம்: ஆர் 2 = 0,01; ஆர் 3 = 0,001; ஆர் 4 = 0,0001; ஆர் 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

எனவே, வெற்றிகளின் விநியோக சட்டம் எக்ஸ்பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கலாம்:

விநியோக பலகோணத்தை உருவாக்கவும்.

தீர்வு. ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை உருவாக்குவோம், மேலும் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் சாத்தியமான மதிப்புகளைத் திட்டமிடுவோம் x நான்,மற்றும் ஆர்டினேட் அச்சில் - தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள் p i. புள்ளிகளைத் திட்டமிடுவோம் எம் 1 (1;0,2), எம் 2 (3;0,1), எம் 3 (6;0.4) மற்றும் எம் 4 (8;0.3). இந்த புள்ளிகளை நேர் கோடு பிரிவுகளுடன் இணைப்பதன் மூலம், நாம் விரும்பிய விநியோக பலகோணத்தைப் பெறுகிறோம்.

§2. சீரற்ற மாறிகளின் எண்ணியல் பண்புகள்

ஒரு சீரற்ற மாறி அதன் விநியோகச் சட்டத்தால் முழுமையாக வகைப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு சீரற்ற மாறியின் சராசரி விளக்கத்தை அதன் எண் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி பெறலாம்

2.1 கணித எதிர்பார்ப்பு. சிதறல்.

ஒரு சீரற்ற மாறி அதற்கேற்ப நிகழ்தகவுகளுடன் மதிப்புகளை எடுக்கட்டும்.

வரையறை. தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு என்பது அதன் அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்:

கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகள்.

சராசரி மதிப்பைச் சுற்றி ஒரு சீரற்ற மாறியின் சிதறல் சிதறல் மற்றும் சராசரி ஆகியவற்றால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது நிலையான விலகல்.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு அழைக்கப்படுகிறது கணித எதிர்பார்ப்புஒரு சீரற்ற மாறி அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து சதுர விலகல்:

கணக்கீடுகளுக்கு பின்வரும் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது

சிதறலின் பண்புகள்.

2., பரஸ்பர சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் எங்கே.

3. நிலையான விலகல் .

பிரச்சனை 16.ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும் Z = X+ 2ஒய், சீரற்ற மாறிகளின் கணித எதிர்பார்ப்புகள் தெரிந்தால் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்: எம்(எக்ஸ்) = 5, எம்(ஒய்) = 3.

தீர்வு. கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்:

எம்(X+ 2ஒய்)= எம்(எக்ஸ்) + எம்(2ஒய்) = எம்(எக்ஸ்) + 2எம்(ஒய்) = 5 + 2 . 3 = 11.

பிரச்சனை 17.சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு எக்ஸ்சமம் 3. சீரற்ற மாறிகளின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்: a) –3 எக்ஸ்; b) 4 எக்ஸ் + 3.

தீர்வு. சிதறலின் 3, 4 மற்றும் 2 பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

A) டி(–3எக்ஸ்) = (–3) 2 டி(எக்ஸ்) = 9டி(எக்ஸ்) = 9 . 3 = 27;

b) டி(4X+ 3) = டி(4எக்ஸ்) + டி(3) = 16டி(எக்ஸ்) + 0 = 16 . 3 = 48.

பிரச்சனை 18.ஒரு சுயாதீன சீரற்ற மாறி கொடுக்கப்பட்டது ஒய்- ஒரு டை வீசும்போது பெறப்பட்ட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை. சீரற்ற மாறியின் பரவல் விதி, கணித எதிர்பார்ப்பு, சிதறல் மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும் ஒய்.

தீர்வு.சீரற்ற மாறி விநியோக அட்டவணை ஒய்வடிவம் உள்ளது:

ஒய்
ஆர்	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

பிறகு எம்(ஒய்) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5;

டி(ஒய்) = (1 – 3.5) 2 1/6 +(2 – 3.5) 2 /6 + (3 – 3.5) 2 1/6 + (4 – 3.5) 2 / 6 +(5 – –3.5) 2 1/6 + (6 - 3.5) 2. 1/6 = 2.917; σ (ஒய்) =Ö 2,917 = 1,708.

சீரற்ற மாறிகள்: தனித்துவமான மற்றும் தொடர்ச்சியான.

ஒரு சீரற்ற பரிசோதனையை நடத்தும் போது, அடிப்படை நிகழ்வுகளின் இடம் உருவாகிறது - இந்த சோதனையின் சாத்தியமான விளைவுகள். ஆரம்ப நிகழ்வுகளின் இந்த இடத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று நம்பப்படுகிறது சீரற்ற மாறி X, ஒரு சட்டம் (விதி) கொடுக்கப்பட்டால், அதன் படி ஒவ்வொரு அடிப்படை நிகழ்வும் ஒரு எண்ணுடன் தொடர்புடையது. எனவே, சீரற்ற மாறி X என்பது அடிப்படை நிகழ்வுகளின் இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடாகக் கருதப்படலாம்.

■ ரேண்டம் மாறி- ஒவ்வொரு சோதனையின் போதும், முன்கூட்டியே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள முடியாத சீரற்ற காரணங்களைப் பொறுத்து, ஒன்று அல்லது மற்றொரு எண் மதிப்பை (எது முன்கூட்டியே தெரியவில்லை) எடுக்கும் அளவு. சீரற்ற மாறிகள் லத்தீன் எழுத்துக்களின் பெரிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் சிறிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன. எனவே, ஒரு டையை வீசும்போது, x என்ற எண்ணுடன் தொடர்புடைய ஒரு நிகழ்வு ஏற்படுகிறது, அங்கு x என்பது உருட்டப்பட்ட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை. புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை ஒரு சீரற்ற மாறியாகும், மேலும் 1, 2, 3, 4, 5, 6 எண்கள் இந்த மதிப்பின் சாத்தியமான மதிப்புகள். துப்பாக்கியிலிருந்து சுடும்போது எறிபொருள் பயணிக்கும் தூரமும் ஒரு சீரற்ற மாறியாகும் (பார்வையின் நிறுவல், காற்றின் வலிமை மற்றும் திசை, வெப்பநிலை மற்றும் பிற காரணிகளைப் பொறுத்து), மற்றும் இந்த மதிப்பின் சாத்தியமான மதிப்புகள் சேர்ந்தவை. ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளிக்கு (a; b).

■ தனித்த சீரற்ற மாறி- ஒரு சீரற்ற மாறி, சில நிகழ்தகவுகளுடன் தனித்தனி, தனிமைப்படுத்தப்பட்ட சாத்தியமான மதிப்புகளை எடுக்கும். தனித்த சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்றதாக இருக்கலாம்.

■ தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி- சில வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற இடைவெளியில் இருந்து அனைத்து மதிப்புகளையும் எடுக்கக்கூடிய ஒரு சீரற்ற மாறி. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றது.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பகடை எறியும் போது உருட்டப்படும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை, ஒரு சோதனைக்கான மதிப்பெண்கள் தனித்த சீரற்ற மாறிகள் ஆகும்; துப்பாக்கியிலிருந்து சுடும்போது எறிகணை பறக்கும் தூரம், கல்விப் பொருட்களை மாஸ்டர் செய்வதற்கான நேரத்தின் அளவீட்டு பிழை, ஒரு நபரின் உயரம் மற்றும் எடை ஆகியவை தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள்.

சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி- ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளுக்கும் அவற்றின் நிகழ்தகவுகளுக்கும் இடையிலான கடித தொடர்பு, அதாவது. ஒவ்வொரு சாத்தியமான மதிப்பு x i நிகழ்தகவு p i உடன் தொடர்புடையது, இதன் மூலம் சீரற்ற மாறி இந்த மதிப்பை எடுக்கலாம். ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை அட்டவணையாக (அட்டவணை வடிவில்), பகுப்பாய்வு ரீதியாக (ஒரு சூத்திரத்தின் வடிவத்தில்) மற்றும் வரைபடமாக குறிப்பிடலாம்.

ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X ஆனது முறையே p 1 , p 2 , ..., p n நிகழ்தகவுகளுடன் x 1 , x 2 , ..., x n மதிப்புகளை எடுக்கட்டும், அதாவது. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. அட்டவணையில் இந்த அளவின் விநியோகச் சட்டத்தைக் குறிப்பிடும்போது, அட்டவணையின் முதல் வரிசையில் சாத்தியமான மதிப்புகள் x 1 , x 2 , ..., x n , மற்றும் இரண்டாவது வரிசையில் அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் உள்ளன

எக்ஸ்	x 1	x 2	…	x n
ப	ப 1	ப2	…	ப என்

சோதனையின் விளைவாக, ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X சாத்தியமான மதிப்புகளில் ஒன்றை மட்டுமே எடுக்கும், எனவே நிகழ்வுகள் X=x 1, X=x 2, ..., X=x n ஆகியவை ஜோடிவரிசையில் பொருந்தாத ஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்குகின்றன. நிகழ்வுகள், எனவே, இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம், அதாவது. p 1 + p 2 +… + p n =1.

தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டம். விநியோக பலகோணம் (பலகோணம்).

உங்களுக்குத் தெரியும், ஒரு சீரற்ற மாறி என்பது வழக்கைப் பொறுத்து சில மதிப்புகளைப் பெறக்கூடிய ஒரு மாறி. சீரற்ற மாறிகள் லத்தீன் எழுத்துக்களின் (X, Y, Z) பெரிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றின் மதிப்புகள் தொடர்புடையவற்றால் குறிக்கப்படுகின்றன. சிறிய எழுத்துக்கள்(x, y, z). சீரற்ற மாறிகள் இடைவிடாத (தனிப்பட்ட) மற்றும் தொடர்ச்சியானதாக பிரிக்கப்படுகின்றன.

தனித்த சீரற்ற மாறி என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி ஆகும், இது சில பூஜ்ஜியமற்ற நிகழ்தகவுகளுடன் வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற (எண்ணக்கூடிய) மதிப்புகளின் தொகுப்பை மட்டுமே எடுக்கும்.

தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டம்சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளை அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளுடன் இணைக்கும் ஒரு செயல்பாடு ஆகும். விநியோகச் சட்டத்தை பின்வரும் வழிகளில் ஒன்றில் குறிப்பிடலாம்.

1. விநியோகச் சட்டத்தை அட்டவணை மூலம் கொடுக்கலாம்:

எங்கே λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) F(x) விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது, இது ஒவ்வொரு மதிப்பு x க்கும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது, சீரற்ற மாறி X x ஐ விட குறைவான மதிப்பை எடுக்கும், அதாவது. F(x) = P(X< x).

F(x) செயல்பாட்டின் பண்புகள்

3. விநியோகச் சட்டத்தை வரைகலையாகக் குறிப்பிடலாம் - ஒரு விநியோக பலகோணம் (பலகோணம்) மூலம் (பணி 3 ஐப் பார்க்கவும்).

சில சிக்கல்களைத் தீர்க்க விநியோகச் சட்டத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. சில சந்தர்ப்பங்களில், மிகவும் பிரதிபலிக்கும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களை அறிந்தால் போதும் முக்கியமான அம்சங்கள்விநியோக சட்டம். இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் "சராசரி" என்ற பொருளைக் கொண்ட எண்ணாக இருக்கலாம் அல்லது குறிக்கும் எண்ணாக இருக்கலாம். நடுத்தர அளவுஒரு சீரற்ற மாறி அதன் சராசரி மதிப்பிலிருந்து விலகல். இந்த வகையான எண்கள் ஒரு சீரற்ற மாறியின் எண் பண்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

தனித்த சீரற்ற மாறியின் அடிப்படை எண் பண்புகள்:

ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு (சராசரி மதிப்பு) M(X)=Σ x i p i .
இருவகைப் பரவலுக்கு M(X)=np, Poisson விநியோகம் M(X)=λ
ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் பரவல் D(X)= M 2 அல்லது D(X) = M(X 2)− 2. வித்தியாசம் X–M(X) என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து விலகல் எனப்படும்.
இருவகைப் பரவலுக்கு D(X)=npq, Poisson விநியோகம் D(X)=λ
நிலையான விலகல் ( நிலையான விலகல்) σ(X)=√D(X).

· மாறுபாடு தொடரின் விளக்கக்காட்சியின் தெளிவுக்காக பெரிய மதிப்புவேண்டும் வரைகலை படங்கள். வரைபட ரீதியாக, ஒரு மாறுபாடு தொடரை பலகோணம், ஹிஸ்டோகிராம் மற்றும் குவியலாக சித்தரிக்கலாம்.

ஒரு விநியோக பலகோணம் (அதாவது ஒரு விநியோக பலகோணம்) ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கட்டமைக்கப்பட்ட ஒரு உடைந்த கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பண்புக்கூறின் மதிப்பு abscissa மீது திட்டமிடப்பட்டுள்ளது, தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள் (அல்லது தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள்) - ஆர்டினேட்டில். புள்ளிகள் (அல்லது) நேர்கோட்டுப் பகுதிகளால் இணைக்கப்பட்டு ஒரு விநியோக பலகோணம் பெறப்படுகிறது. பெரும்பாலும், பலகோணங்கள் தனித்தன்மையை சித்தரிக்க பயன்படுத்தப்படுகின்றன மாறுபாடு தொடர், ஆனால் அவை பயன்படுத்தப்படலாம் இடைவெளி தொடர். இந்த வழக்கில், இந்த இடைவெளிகளின் நடுப்புள்ளிகளுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகள் abscissa அச்சில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளன.

2.1 தொடர்புடைய அதிர்வெண். தொடர்புடைய அதிர்வெண் நிலைத்தன்மை

2.2 நிகழ்தகவின் கிளாசிக்கல் வரையறையின் வரம்புகள். புள்ளியியல் நிகழ்தகவு

2.3 வடிவியல் நிகழ்தகவுகள்

2.4 நிகழ்தகவு கூட்டல் தேற்றம்

2.5 நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழு

2.6 எதிர் நிகழ்வுகள்

2.7 சாத்தியமில்லாத நிகழ்வுகளின் நடைமுறை சாத்தியமற்ற கொள்கை

2.8 நிகழ்வுகளை உருவாக்குதல். நிபந்தனை நிகழ்தகவு

2.9 நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றம்

2.10 சுயாதீன நிகழ்வுகள். சுயாதீன நிகழ்வுகளுக்கான பெருக்கல் தேற்றம்

2.10 குறைந்தது ஒரு நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவு

விரிவுரை எண். 3 கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் தேற்றங்களின் தொடர்புகள்

3.1 கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம்

3.2 மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரம்

3.3 கருதுகோள்களின் நிகழ்தகவு. பேய்ஸ் சூத்திரங்கள்

4. சோதனைகள் மீண்டும்

4.1 பெர்னோலியின் சூத்திரம்

4.2 பெர்னோலியின் திட்டத்தில் உள்ள கோட்பாடுகளை வரம்பிடவும்

4.3 Moivre-Laplace இன் உள்ளூர் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கோட்பாடுகள்

4.3 சுயாதீன சோதனைகளில் நிலையான நிகழ்தகவு இருந்து உறவினர் அதிர்வெண் விலகல் நிகழ்தகவு

5. ரேண்டம் மாறிகள்

5.1 ஒரு சீரற்ற மாறியின் கருத்து. சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி

5.2 ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம். விநியோக பலகோணம்

5.3 இருவகைப் பரவல்

5.4 விஷம் விநியோகம்

5.5 வடிவியல் விநியோகம்

5.6 ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம்

6. தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு

6.1 தனித்த சீரற்ற மாறிகளின் எண்ணியல் பண்புகள்

6.2 தனித்த சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்ப்பு

6.3 கணித எதிர்பார்ப்பின் நிகழ்தகவு பொருள்

6.4 கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகள்

6.5 சுயாதீன சோதனைகளில் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையின் கணித எதிர்பார்ப்பு

7. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் சிதறல்

7.1. ஒரு சீரற்ற மாறியின் சிதறலின் எண்ணியல் பண்புகளை அறிமுகப்படுத்துவதற்கான சாத்தியம்

7.2 ஒரு சீரற்ற மாறி அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து விலகல்

7.3 தனித்த சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு

7.4 மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்

7.5 சிதறல் பண்புகள்

7.6 சுயாதீன சோதனைகளில் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையின் மாறுபாடு

7.7. நிலையான விலகல்

7.8 பரஸ்பர சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிலையான விலகல்

7.9 பரஸ்பர சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன

7.10. ஆரம்ப மற்றும் மைய கோட்பாட்டு புள்ளிகள்

8. பெரிய எண்களின் சட்டம்

8.1 பூர்வாங்க குறிப்புகள்

8.2 செபிஷேவின் சமத்துவமின்மை

8.3 செபிஷேவின் தேற்றம்

8.4 செபிஷேவின் தேற்றத்தின் சாராம்சம்

8.5 பயிற்சிக்கான செபிஷேவின் தேற்றத்தின் முக்கியத்துவம்

8.6 பெர்னோலியின் தேற்றம்

ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாடு

9.1 விநியோக செயல்பாட்டின் வரையறை

9.2 விநியோக செயல்பாட்டின் பண்புகள்

9.3 விநியோக செயல்பாடு வரைபடம்

10. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி

10.1 விநியோக அடர்த்தியை தீர்மானித்தல்

10.2 கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு

10.3 சீரான நிகழ்தகவு விநியோக சட்டம்

11. சாதாரண விநியோகம்

11.1. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் எண் பண்புகள்

11.2. இயல்பான விநியோகம்

11.3. சாதாரண வளைவு

11.4 சாதாரண வளைவின் வடிவத்தில் சாதாரண விநியோக அளவுருக்களின் செல்வாக்கு

11.5 ஒரு சாதாரண சீரற்ற மாறியின் கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு

11.6. கொடுக்கப்பட்ட விலகலின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுகிறது

11.7. மூன்று சிக்மா விதி

11.8 லியாபுனோவின் தேற்றத்தின் கருத்து. மத்திய வரம்பு தேற்றத்தின் அறிக்கை

11.9 சாதாரண ஒன்றிலிருந்து கோட்பாட்டு விநியோகத்தின் விலகல் மதிப்பீடு. வளைவு மற்றும் குர்டோசிஸ்

11.10. ஒரு சீரற்ற வாதத்தின் செயல்பாடு மற்றும் அதன் விநியோகம்

11.11. ஒரு சீரற்ற வாதத்தின் செயல்பாட்டின் கணித எதிர்பார்ப்பு

11.12. இரண்டு சீரற்ற வாதங்களின் செயல்பாடு. சுயாதீன விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையின் விநியோகம். சாதாரண விநியோகத்தின் நிலைத்தன்மை

11.13. சி சதுர விநியோகம்

11.14. மாணவர் விநியோகம்

11.15 பிஷ்ஷர்-ஸ்னெடகோர் எஃப் விநியோகம்

12. அதிவேக விநியோகம்

12.1. அதிவேக விநியோகத்தின் வரையறை

12.2 அதிவேகமாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு

§ 3. அதிவேக விநியோகத்தின் எண் பண்புகள்

12.4 நம்பகத்தன்மை செயல்பாடு

12.5 அதிவேக நம்பகத்தன்மை சட்டம்

12.6 அதிவேக நம்பகத்தன்மை சட்டத்தின் சிறப்பியல்பு சொத்து

5.2 ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம். விநியோக பலகோணம்

முதல் பார்வையில், ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியை வரையறுக்க, அதன் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் பட்டியலிட்டால் போதும். உண்மையில், இது அவ்வாறு இல்லை: சீரற்ற மாறிகள் சாத்தியமான மதிப்புகளின் அதே பட்டியல்களைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் வேறுபட்டிருக்கலாம். எனவே, ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியைக் குறிப்பிட, அதன் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் பட்டியலிடுவது போதாது;

தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டம்சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் நிகழ்தகவுகளுக்கு இடையிலான கடிதத்தை அழைக்கவும்; அதை அட்டவணையாகவும், பகுப்பாய்வு ரீதியாகவும் (சூத்திர வடிவில்) மற்றும் வரைபட ரீதியாகவும் குறிப்பிடலாம்.

வரையறை.தன்னிச்சையான நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும் எந்த விதியும் (அட்டவணை, செயல்பாடு, வரைபடம்) ஏ எஸ் (எஸ்- -விண்வெளியில் நிகழ்வுகளின் இயற்கணிதம் ), குறிப்பாக, ஒரு சீரற்ற மாறி அல்லது இந்த மதிப்புகளின் தொகுப்பின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளைக் குறிக்கிறது. சீரற்ற மாறி விநியோக சட்டம்(அல்லது வெறுமனே: விநியோகம்) பற்றி எஸ்.வி. "இது கொடுக்கப்பட்ட விநியோக சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது" என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள்.

விடுங்கள் எக்ஸ்- டி.எஸ்.வி., இது மதிப்புகளை எடுக்கும் எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , …, x n,... (இந்த மதிப்புகளின் தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது கணக்கிடக்கூடியது) சில நிகழ்தகவுடன் ப i, எங்கே i = 1,2,…, n,... விநியோக சட்டம் d.s.v. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அமைக்க வசதியானது ப i = பி{எக்ஸ் = x i)எங்கே i = 1,2,…, n,..., இது நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது சோதனையின் விளைவாக r.v. எக்ஸ்மதிப்பை எடுக்கும் x i. டி.எஸ்.விக்கு எக்ஸ்விநியோக சட்டத்தை வடிவத்தில் கொடுக்கலாம் விநியோக அட்டவணைகள்:

				x n
				ஆர் n

ஒரு அட்டவணையில் ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டத்தைக் குறிப்பிடும்போது, அட்டவணையின் முதல் வரிசையில் சாத்தியமான மதிப்புகள் உள்ளன, இரண்டாவது - அவற்றின் நிகழ்தகவுகள். அத்தகைய அட்டவணை அழைக்கப்படுகிறது விநியோகத்திற்கு அருகில்.

ஒரு சோதனையில் ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரே ஒரு சாத்தியமான மதிப்பை மட்டுமே எடுக்கும் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நிகழ்வுகள் என்று முடிவு செய்கிறோம் எக்ஸ் = x 1 , எக்ஸ் = x 2 , ..., எக்ஸ் = x nஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்குங்கள்; எனவே, இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை, அதாவது. அட்டவணையின் இரண்டாவது வரிசையின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம், அதாவது .

சாத்தியமான மதிப்புகளின் தொகுப்பு என்றால் எக்ஸ்முடிவில்லாத (கணக்கிடத்தக்க வகையில்), பின்னர் தொடர் ஆர் 1 + ஆர் 2 + ... ஒன்றிணைகிறது மற்றும் அதன் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம்.

உதாரணம்.ரொக்க லாட்டரிக்கு 100 டிக்கெட்டுகள் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 50 ரூபிள் ஒரு வெற்றி வரையப்பட்டது. மற்றும் 1 ரூப் பத்து வெற்றிகள். சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்- ஒரு லாட்டரி சீட்டின் உரிமையாளருக்கு சாத்தியமான வெற்றிகளின் விலை.

தீர்வு.சாத்தியமான மதிப்புகளை எழுதுவோம் எக்ஸ்: எக்ஸ் 1 = 50, எக்ஸ் 2 = 1, எக்ஸ் 3 = 0. இந்த சாத்தியமான மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள்: ஆர் 1 = 0,01, ஆர் 2 = 0,01, ஆர் 3 = 1 – (ஆர் 1 + ஆர் 2)=0,89.

தேவையான விநியோகச் சட்டத்தை எழுதுவோம்:

கட்டுப்பாடு: 0.01 + 0.1 + 0.89 =1.

உதாரணம்.கலசத்தில் 8 பந்துகள் உள்ளன, அவற்றில் 5 வெள்ளை, மீதமுள்ளவை கருப்பு. அதிலிருந்து 3 பந்துகள் சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகின்றன. மாதிரியில் உள்ள வெள்ளை பந்துகளின் எண்ணிக்கையின் விநியோக விதியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. r.v இன் சாத்தியமான மதிப்புகள் எக்ஸ்- மாதிரியில் வெள்ளை பந்துகளின் எண்ணிக்கை உள்ளது எக்ஸ் 1 = 0, எக்ஸ் 2 = 1, எக்ஸ் 3 = 2, எக்ஸ் 4 = 3. அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் அதற்கேற்ப இருக்கும்

;
;
.

விநியோகச் சட்டத்தை அட்டவணை வடிவில் எழுதுவோம்.

கட்டுப்பாடு:
.

விநியோக சட்டம் d.s.v. r.v இன் சாத்தியமான மதிப்புகள் abscissa அச்சில் வரையப்பட்டிருந்தால், இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் ஆர்டினேட் அச்சில் திட்டமிடப்பட்டிருந்தால், வரைபடமாக குறிப்பிடலாம். ஒரு உடைந்த கோடு தொடர்ச்சியாக இணைக்கும் புள்ளிகள் ( எக்ஸ் 1 , ஆர் 1), (எக்ஸ் 2 , ஆர் 2),... அழைக்கப்பட்டது பலகோணம்(அல்லது பலகோணம்) விநியோகம்(படம் 5.1 ஐப் பார்க்கவும்).

அரிசி. 5.1 விநியோக பலகோணம்

இப்போது நாம் d.s.v க்கு இன்னும் துல்லியமான வரையறை கொடுக்கலாம்.

வரையறை.சீரற்ற மாறி X என்பது தனித்தன்மை வாய்ந்தது, வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எண்ணக்கூடிய எண்களின் தொகுப்பு இருந்தால் எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2, ... அப்படி பி{எக்ஸ் = x i } = ப i > 0 (i= 1,2,...) மற்றும் ப 1 + ப 2 + ஆர் 3 +… = 1.

தனித்த r.v இல் கணித செயல்பாடுகளை வரையறுப்போம்.

வரையறை.தொகை (வேறுபாடு, வேலை) டி.எஸ்.வி. எக்ஸ், மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது x iநிகழ்தகவுகளுடன் ப i = பி{எக்ஸ் = x i }, i = 1, 2, …, n, மற்றும் டி.எஸ்.வி. ஒய், மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது ஒய் ஜே நிகழ்தகவுகளுடன் ப ஜே = பி{ஒய் = ஒய் ஜே }, ஜே = 1, 2, …, மீ, d.s.v என்று அழைக்கப்படுகிறது. Z = எக்ஸ் + ஒய் (Z = எக்ஸ் – ஒய், Z = எக்ஸ் ஒய்), மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது z ij = x i + ஒய் ஜே (z ij = x i – ஒய் ஜே , z ij = x i  ஒய் ஜே) நிகழ்தகவுகளுடன் ப ij = பி{எக்ஸ் = x i , ஒய் = ஒய் ஜே) அனைத்து குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கும் iமற்றும் ஜே. சில அளவுகள் ஒத்துப்போனால் x i + ஒய் ஜே (வேறுபாடுகள் x i – ஒய் ஜே, வேலை செய்கிறது x i  ஒய் ஜே) தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள் சேர்க்கப்படுகின்றன.

வரையறை.வேலைடி.எஸ்.வி. அன்று எண் கள்டி.எஸ்.வி. cX, மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது உடன்x iநிகழ்தகவுகளுடன் ப i = பி{எக்ஸ் = x i }.

வரையறை.இரண்டு டி.எஸ்.வி. எக்ஸ்மற்றும் ஒய்அழைக்கப்படுகின்றன சுதந்திரமான, நிகழ்வுகள் என்றால் ( எக்ஸ் = x i } = ஏ iமற்றும் ( ஒய் = ஒய் ஜே } = பி ஜேஎதற்கும் சுதந்திரமானது i = 1, 2, …, n, ஜே = 1, 2, …, மீ, அதாவது

இல்லையெனில் ஆர்.வி. அழைக்கப்பட்டது சார்ந்து. பல ஆர்.வி. அவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றின் விநியோகச் சட்டம் மற்ற அளவுகள் என்ன சாத்தியமான மதிப்புகளை எடுத்தது என்பதைப் பொறுத்து இல்லை என்றால், அவை பரஸ்பர சுதந்திரம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பல விநியோகச் சட்டங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படைக் கருத்துகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட பாடத்தின் பிரிவில், நாங்கள் ஏற்கனவே மிகவும் அறிமுகப்படுத்தியுள்ளோம் முக்கியமான கருத்துசீரற்ற மாறி. இங்கே நாம் இந்த கருத்தின் மேலும் வளர்ச்சியைக் கொடுப்போம் மற்றும் சீரற்ற மாறிகளை விவரிக்கும் மற்றும் வகைப்படுத்தக்கூடிய வழிகளைக் குறிப்பிடுவோம்.

ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ஒரு சீரற்ற மாறி என்பது ஒரு அளவாகும், இது சோதனையின் விளைவாக, ஒன்று அல்லது மற்றொரு மதிப்பைப் பெறலாம், ஆனால் இது எது என்பது முன்கூட்டியே தெரியவில்லை. இடைவிடாத (தனிப்பட்ட) மற்றும் தொடர்ச்சியான வகைகளின் சீரற்ற மாறிகளை வேறுபடுத்தவும் நாங்கள் ஒப்புக்கொண்டோம். இடைவிடாத அளவுகளின் சாத்தியமான மதிப்புகள் முன்கூட்டியே பட்டியலிடப்படலாம். சாத்தியமான மதிப்புகள் தொடர்ச்சியான அளவுகள்முன்கூட்டியே பட்டியலிட முடியாது மற்றும் தொடர்ந்து ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியை நிரப்ப முடியாது.

இடைவிடாத சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

1) மூன்று நாணயங்களை வீசும்போது கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் தோன்றிய எண்ணிக்கை (சாத்தியமான மதிப்புகள் 0, 1, 2, 3);

2) அதே பரிசோதனையில் கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் தோற்றத்தின் அதிர்வெண் (சாத்தியமான மதிப்புகள்);

3) ஐந்து கூறுகளைக் கொண்ட சாதனத்தில் தோல்வியுற்ற உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை (சாத்தியமான மதிப்புகள் 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) விமானத்தை முடக்க போதுமான வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை (சாத்தியமான மதிப்புகள் 1, 2, 3, ..., n, ...);

5) விமானப் போரில் சுட்டு வீழ்த்தப்பட்ட விமானங்களின் எண்ணிக்கை (சாத்தியமான மதிப்புகள் 0, 1, 2, ..., N, போரில் பங்கேற்கும் மொத்த விமானங்களின் எண்ணிக்கை எங்கே).

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

1) சுடும்போது ஏற்படும் தாக்கத்தின் புள்ளியின் abscissa (ordinate);

2) தாக்கத்தின் புள்ளியிலிருந்து இலக்கின் மையத்திற்கான தூரம்;

3) உயர மீட்டர் பிழை;

4) ரேடியோ குழாயின் தோல்வி-இலவச செயல்பாட்டு நேரம்.

பின்வருவனவற்றில், சீரற்ற மாறிகளைக் குறிக்க நாங்கள் ஒப்புக்கொள்கிறோம் பெரிய எழுத்துக்களில், மற்றும் அவற்றின் சாத்தியமான மதிப்புகள் தொடர்புடைய சிறிய எழுத்துக்களில் குறிக்கப்படுகின்றன. உதாரணமாக, - மூன்று ஷாட்கள் கொண்ட வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை; சாத்தியமான மதிப்புகள்: .

சாத்தியமான மதிப்புகளுடன் ஒரு இடைவிடாத சீரற்ற மாறியைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த மதிப்புகள் ஒவ்வொன்றும் சாத்தியம், ஆனால் நிச்சயமாக இல்லை, மேலும் X மதிப்பு ஒவ்வொன்றையும் சில நிகழ்தகவுடன் எடுக்கலாம். சோதனையின் விளைவாக, X மதிப்பு இந்த மதிப்புகளில் ஒன்றை எடுக்கும், அதாவது. பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவில் ஒன்று நிகழும்:

இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை p என்ற எழுத்துக்களால் தொடர்புடைய குறியீடுகளுடன் குறிப்போம்:

பொருந்தாத நிகழ்வுகள் (5.1.1) ஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்குவதால், பின்னர்

அந்த. ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம். இந்த மொத்த நிகழ்தகவு தனிப்பட்ட மதிப்புகள் மத்தியில் எப்படியோ விநியோகிக்கப்படுகிறது. இந்த விநியோகத்தை நாம் குறிப்பிட்டால், சீரற்ற மாறியானது நிகழ்தகவுக் கண்ணோட்டத்தில் முழுமையாக விவரிக்கப்படும், அதாவது. ஒவ்வொரு நிகழ்வுக்கும் (5.1.1) என்ன நிகழ்தகவு உள்ளது என்பதைக் குறிப்பிடுவோம். இதனுடன் நாம் ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி என்று அழைக்கப்படுவதை நிறுவுவோம்.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி என்பது ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளுக்கு இடையேயான தொடர்பை நிறுவும் எந்தவொரு உறவாகும். ஒரு சீரற்ற மாறியைப் பற்றி நாம் கூறுவோம், அது கொடுக்கப்பட்ட விநியோகச் சட்டத்திற்கு உட்பட்டது.

தொடர்ச்சியற்ற சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டத்தைக் குறிப்பிடக்கூடிய படிவத்தை நிறுவுவோம். எளிமையான வடிவம்இந்த சட்டத்தின் வரையறை என்பது சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளை பட்டியலிடும் அட்டவணையாகும்:

அத்தகைய அட்டவணையை சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடர் என்று அழைப்போம்.

விநியோகத் தொடருக்கு அதிக காட்சித் தோற்றத்தை வழங்க, அவை பெரும்பாலும் அதன் வரைகலை பிரதிநிதித்துவத்தை நாடுகின்றன: சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன, மேலும் இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் ஆர்டினேட் அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன. தெளிவுக்காக, இதன் விளைவாக வரும் புள்ளிகள் நேரான பிரிவுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. அத்தகைய உருவம் ஒரு விநியோக பலகோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (படம் 5.1.1). விநியோகத் தொடரைப் போலவே விநியோகப் பலகோணமும், சீரற்ற மாறியை முழுமையாக வகைப்படுத்துகிறது; இது விநியோக சட்டத்தின் வடிவங்களில் ஒன்றாகும்.

சில நேரங்களில் விநியோகத் தொடரின் "மெக்கானிக்கல்" விளக்கம் என்று அழைக்கப்படுவது வசதியானது. ஒன்றுக்கு சமமான ஒரு குறிப்பிட்ட நிறை abscissa அச்சில் விநியோகிக்கப்படுகிறது, இதனால் வெகுஜனங்கள் முறையே தனிப்பட்ட புள்ளிகளில் குவிந்துள்ளன. பின்னர் விநியோகத் தொடர் அமைப்பு என விளக்கப்படுகிறது பொருள் புள்ளிகள் abscissa அச்சில் அமைந்துள்ள சில வெகுஜனங்களுடன்.

தொடர்ச்சியற்ற சீரற்ற மாறிகளின் பல உதாரணங்களை அவற்றின் விநியோகச் சட்டங்களுடன் பரிசீலிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு பரிசோதனை செய்யப்படுகிறது, அதில் நிகழ்வு தோன்றலாம் அல்லது தோன்றாமல் போகலாம். நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 0.3. ஒரு சீரற்ற மாறி கருதப்படுகிறது - கொடுக்கப்பட்ட பரிசோதனையில் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை (அதாவது ஒரு நிகழ்வின் சிறப்பியல்பு சீரற்ற மாறி, அது தோன்றினால் மதிப்பு 1 மற்றும் அது தோன்றவில்லை என்றால் 0). ஒரு விநியோகத் தொடர் மற்றும் அளவு விநியோக பலகோணத்தை உருவாக்கவும்.

தீர்வு. அளவு இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது: 0 மற்றும் 1. அளவின் விநியோகத் தொடர் வடிவம் கொண்டது:

விநியோக பலகோணம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 5.1.2.

எடுத்துக்காட்டு 2. ஒரு துப்பாக்கி சுடும் வீரர் ஒரு இலக்கை நோக்கி மூன்று ஷாட்களை வீசுகிறார். ஒவ்வொரு ஷாட்டிலும் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.4 ஆகும். ஒவ்வொரு வெற்றிக்கும் துப்பாக்கி சுடும் வீரர் 5 புள்ளிகளைப் பெறுகிறார். அடித்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகத் தொடரை உருவாக்கவும்.

தீர்வு. அடித்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்போம். சாத்தியமான மதிப்புகள்: .

இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவை, சோதனைகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திக் காண்கிறோம்:

மதிப்பு விநியோகத் தொடரில் வடிவம் உள்ளது:

விநியோக பலகோணம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 5.1.3.

எடுத்துக்காட்டு 3. ஒரு பரிசோதனையில் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு சமம். தொடர்ச்சியான சுயாதீன சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன, இது நிகழ்வின் முதல் நிகழ்வு வரை தொடர்கிறது, அதன் பிறகு சோதனைகள் நிறுத்தப்படும். சீரற்ற மாறி - நிகழ்த்தப்பட்ட சோதனைகளின் எண்ணிக்கை. மதிப்பின் தொடர் விநியோகத்தை உருவாக்கவும்.

தீர்வு. சாத்தியமான மதிப்புகள்: 1, 2, 3, ... (கோட்பாட்டளவில் அவை எதுவும் வரையறுக்கப்படவில்லை). ஒரு அளவு மதிப்பு 1ஐப் பெறுவதற்கு, முதல் பரிசோதனையில் நிகழ்வு நிகழ வேண்டியது அவசியம்; இதன் நிகழ்தகவு சமம். ஒரு அளவு மதிப்பு 2 ஐப் பெறுவதற்கு, நிகழ்வு முதல் பரிசோதனையில் தோன்றாமல், இரண்டாவது சோதனையில் தோன்றுவது அவசியம்; இதன் நிகழ்தகவு சமம் , எங்கே , போன்றவை. மதிப்பு விநியோகத் தொடரில் வடிவம் உள்ளது:

வழக்குக்கான விநியோக பலகோணத்தின் முதல் ஐந்து ஆர்டினேட்டுகள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. 5.1.4.

எடுத்துக்காட்டு 4. ஒரு துப்பாக்கி சுடும் வீரர் 4 சுற்று வெடிமருந்துகளுடன் முதல் வெற்றி பெறும் வரை இலக்கை நோக்கி சுடுகிறார். ஒவ்வொரு ஷாட்டையும் அடிக்கும் நிகழ்தகவு 0.6. செலவழிக்கப்படாமல் மீதமுள்ள வெடிமருந்துகளின் அளவுக்கான விநியோகத் தொடரை உருவாக்கவும்.

பிரச்சனை 14.பண லாட்டரியில், 1,000,000 ரூபிள் 1 வெற்றி, 100,000 ரூபிள் 10 வெற்றிகள் விளையாடப்படுகின்றன. மற்றும் தலா 1000 ரூபிள் 100 வெற்றிகள். மொத்தம் 10,000 டிக்கெட்டுகளுடன் சீரற்ற வெற்றிகளின் விநியோக சட்டத்தைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்ஒரு லாட்டரி சீட்டின் உரிமையாளருக்கு.