சராசரி அறியப்படும் போது மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி. MS EXCEL இல் சராசரியை (மாறுபாடு அறியப்படுகிறது) மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

புள்ளியியல் கருதுகோள்களைச் சோதிப்பதற்கான அடிப்படைக் கொள்கையை பின்வருமாறு உருவாக்கலாம். என்றால் கே கவனிக்கத்தக்கதுமுக்கியமான பகுதியில் விழுகிறது, பின்னர் கருதுகோள் எச் 0 நிராகரிக்கப்பட்டது மற்றும் கருதுகோள் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது எச் 1. இருப்பினும், இதைச் செய்யும்போது, ​​நிகழ்தகவு a உடன் வகை 1 பிழையை இங்கே செய்யலாம் என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். என்றால் கே கவனிக்கத்தக்கதுகருதுகோள் ஏற்றுக்கொள்ளும் வரம்பிற்குள் வருகிறது - பின்னர் பூஜ்ய கருதுகோளை நிராகரிக்க எந்த காரணமும் இல்லை எச் 0 . ஆனால் இதற்கு அர்த்தம் இல்லை எச் 0 மட்டுமே பொருத்தமான கருதுகோள்: மாதிரி தரவுக்கும் கருதுகோளுக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு எச் 0 சிறியது; இருப்பினும், மற்ற கருதுகோள்கள் அதே பண்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம்.

அளவுகோலின் சக்திமாற்று கருதுகோள் உண்மையாக இருந்தால் பூஜ்ய கருதுகோள் நிராகரிக்கப்படும் நிகழ்தகவு; அந்த. அளவுகோலின் சக்தி 1-b ஆகும், இதில் b என்பது வகை 2 பிழையை உருவாக்கும் நிகழ்தகவு ஆகும். கருதுகோளைச் சோதிக்க ஒரு குறிப்பிட்ட முக்கியத்துவ நிலை ஏற்றுக்கொள்ளப்பட வேண்டும் மற்றும் மாதிரி ஒரு நிலையான அளவைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். முக்கியமான பகுதியைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் ஒரு குறிப்பிட்ட தன்னிச்சையான தன்மை இருப்பதால், அளவுகோலின் சக்தி அதிகபட்சமாக அல்லது வகை 2 பிழையின் நிகழ்தகவு குறைவாக இருக்கும் வகையில் அதை உருவாக்குவது நல்லது.

விநியோக அளவுருக்கள் பற்றிய கருதுகோள்களை சோதிக்க பயன்படுத்தப்படும் அளவுகோல்கள் அழைக்கப்படுகின்றன முக்கியத்துவ அளவுகோல்கள். குறிப்பாக, ஒரு முக்கியமான பகுதியை உருவாக்குவது நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குவது போன்றது. மாதிரி விநியோகம் மற்றும் கருதுகோள் கோட்பாட்டு விநியோகம் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான ஒப்பந்தத்தை சோதிக்க பயன்படுத்தப்படும் சோதனைகள் அழைக்கப்படுகின்றன ஒப்புதல் அளவுகோல்கள்.

MS EXCEL இல் நம்பக இடைவெளியை உருவாக்கி, அறியப்பட்ட சிதறல் மதிப்பின் போது விநியோகத்தின் சராசரி மதிப்பை மதிப்பிடுவோம்.

நிச்சயமாக தேர்வு நம்பிக்கை நிலைமுற்றிலும் தீர்க்கப்படும் சிக்கலைப் பொறுத்தது. எனவே, ஒரு விமானத்தின் நம்பகத்தன்மையில் ஒரு விமானப் பயணியின் நம்பிக்கையின் அளவு சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி ஒரு மின் விளக்கின் நம்பகத்தன்மையில் வாங்குபவரின் நம்பிக்கையின் அளவை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

சிக்கல் உருவாக்கம்

இருந்து என்று வைத்துக் கொள்வோம் மக்கள் தொகைஎடுக்கப்பட்டது மாதிரிஅளவு n. என்று கருதப்படுகிறது நிலையான விலகல்இந்த விநியோகம் அறியப்படுகிறது. இதன் அடிப்படையில் இது அவசியம் மாதிரிகள்தெரியாததை மதிப்பிடுங்கள் விநியோக சராசரி(μ, ) மற்றும் அதற்குரியதை உருவாக்கவும் இரட்டை பக்க நம்பிக்கை இடைவெளி.

புள்ளி மதிப்பீடு

இருந்து அறியப்படுகிறது புள்ளிவிவரங்கள்(அதைக் குறிக்கலாம் X சராசரி) ஆகும் சராசரியின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடுஇது மக்கள் தொகைமற்றும் விநியோகம் N(μ;σ 2 /n) உள்ளது.

குறிப்பு: நீங்கள் கட்ட வேண்டும் என்றால் என்ன செய்வது நம்பிக்கை இடைவெளிவிநியோகம் விஷயத்தில் இல்லை சாதாரணமா?இந்த வழக்கில், மீட்புக்கு வருகிறது, இது போதுமான அளவு பெரியது என்று கூறுகிறது மாதிரிகள்விநியோகத்திலிருந்து n இருப்பது இல்லை சாதாரண, புள்ளிவிவரங்களின் மாதிரி விநியோகம் X சராசரிசாப்பிடுவேன் தோராயமாகஒத்துள்ளது சாதாரண விநியோகம்அளவுருக்கள் N(μ;σ 2 /n) உடன்.

எனவே, புள்ளி மதிப்பீடு சராசரி விநியோக மதிப்புகள்எங்களிடம் உள்ளது - இது மாதிரி சராசரி, அதாவது X சராசரி. இப்போது ஆரம்பிக்கலாம் நம்பிக்கை இடைவெளி.

நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குதல்

பொதுவாக, விநியோகம் மற்றும் அதன் அளவுருக்களை அறிந்து, சீரற்ற மாறி நாம் குறிப்பிடும் இடைவெளியில் இருந்து ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவை கணக்கிடலாம். இப்போது அதற்கு நேர்மாறாக செய்வோம்: கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவுடன் சீரற்ற மாறி விழும் இடைவெளியைக் கண்டறியவும். உதாரணமாக, பண்புகளிலிருந்து சாதாரண விநியோகம் 95% நிகழ்தகவுடன், ஒரு சீரற்ற மாறி விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று அறியப்படுகிறது சாதாரண சட்டம், தோராயமாக +/- 2 வரம்பிற்குள் வரும் சராசரி மதிப்பு(இது பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). இந்த இடைவெளி நமக்கு ஒரு முன்மாதிரியாக இருக்கும் நம்பிக்கை இடைவெளி.

இப்போது விநியோகம் தெரியுமா என்று பார்ப்போம் , இந்த இடைவெளியை கணக்கிட வேண்டுமா? கேள்விக்கு பதிலளிக்க, விநியோகத்தின் வடிவத்தையும் அதன் அளவுருக்களையும் நாம் குறிப்பிட வேண்டும்.

விநியோகத்தின் வடிவம் எங்களுக்குத் தெரியும் - இது சாதாரண விநியோகம்(நாங்கள் பேசுகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்க மாதிரி விநியோகம் புள்ளிவிவரங்கள் X சராசரி).

μ அளவுரு நமக்குத் தெரியவில்லை (அதைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிட வேண்டும் நம்பிக்கை இடைவெளி), ஆனால் அதற்கான மதிப்பீடு எங்களிடம் உள்ளது X சராசரி,அடிப்படையில் கணக்கிடப்படுகிறது மாதிரிகள்,பயன்படுத்த முடியும்.

இரண்டாவது அளவுரு - மாதிரி சராசரியின் நிலையான விலகல் தெரிந்ததைக் கருதுவோம், இது σ/√nக்கு சமம்.

ஏனெனில் எங்களுக்கு μ தெரியாது, பின்னர் இடைவெளி +/- 2 ஐ உருவாக்குவோம் நிலையான விலகல்கள்இருந்து இல்லை சராசரி மதிப்பு, மற்றும் அதன் அறியப்பட்ட மதிப்பீட்டிலிருந்து X சராசரி. அந்த. கணக்கிடும் போது நம்பிக்கை இடைவெளிஎன்று நாங்கள் கருத மாட்டோம் X சராசரி+/- 2 வரம்பிற்குள் வரும் நிலையான விலகல்கள்μ இலிருந்து 95% நிகழ்தகவு, மற்றும் இடைவெளி +/- 2 என்று வைத்துக்கொள்வோம் நிலையான விலகல்கள்இருந்து X சராசரி 95% நிகழ்தகவுடன் இது μ ஐ உள்ளடக்கும் - பொது மக்களின் சராசரி,அதில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது மாதிரி. இந்த இரண்டு அறிக்கைகளும் சமமானவை, ஆனால் இரண்டாவது அறிக்கை நம்மை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது நம்பிக்கை இடைவெளி.

கூடுதலாக, இடைவெளியை தெளிவுபடுத்துவோம்: ஒரு சீரற்ற மாறி விநியோகிக்கப்படுகிறது சாதாரண சட்டம், 95% நிகழ்தகவு இடைவெளி +/- 1.960 க்குள் வரும் நிலையான விலகல்கள்,+/- அல்ல 2 நிலையான விலகல்கள். இதை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம் =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), செ.மீ. எடுத்துக்காட்டு கோப்பு தாள் இடைவெளி.

இப்போது நாம் ஒரு நிகழ்தகவு அறிக்கையை உருவாக்கலாம், அது நமக்கு உருவாக்க உதவும் நம்பிக்கை இடைவெளி:
"அதற்கான நிகழ்தகவு மக்கள் தொகை சராசரிஇருந்து அமைந்துள்ளது மாதிரி சராசரி 1,960 "க்குள் மாதிரி சராசரியின் நிலையான விலகல்கள்", சமம் 95%".

அறிக்கையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள நிகழ்தகவு மதிப்புக்கு ஒரு சிறப்புப் பெயர் உள்ளது , இது தொடர்புடையதுஒரு எளிய வெளிப்பாடு மூலம் முக்கியத்துவம் நிலை α (ஆல்பா). நம்பிக்கை நிலை =1 -α . எங்கள் விஷயத்தில் முக்கியத்துவம் நிலை α =1-0,95=0,05 .

இப்போது, ​​இந்த நிகழ்தகவு அறிக்கையின் அடிப்படையில், கணக்கிடுவதற்கான ஒரு வெளிப்பாட்டை எழுதுகிறோம் நம்பிக்கை இடைவெளி:

எங்கே Z α/2 – நிலையான சாதாரண விநியோகம்(சீரற்ற மாறியின் இந்த மதிப்பு z, என்ன பி(z>=Z α/2 )=α/2).

குறிப்பு: மேல் α/2-குவாண்டில்அகலத்தை வரையறுக்கிறது நம்பிக்கை இடைவெளிவி நிலையான விலகல்கள் மாதிரி சராசரி. மேல் α/2-குவாண்டில் நிலையான சாதாரண விநியோகம்எப்போதும் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும், இது மிகவும் வசதியானது.

எங்கள் விஷயத்தில், α=0.05 உடன், மேல் α/2-குவாண்டில் 1.960 க்கு சமம். மற்ற முக்கியத்துவ நிலைகளுக்கு α (10%; 1%) மேல் α/2-குவாண்டில் Z α/2 =NORM.ST.REV(1-α/2) அல்லது தெரிந்தால் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம் நம்பிக்கை நிலை, =NORM.ST.OBR((1+நம்பிக்கை நிலை)/2).

பொதுவாக கட்டும் போது சராசரியை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகள்பயன்படுத்த மட்டுமே மேல் α/2-அளவுமற்றும் பயன்படுத்த வேண்டாம் குறைந்த α/2-அளவு. ஏனெனில் இது சாத்தியம் நிலையான சாதாரண விநியோகம் x அச்சைப் பற்றி சமச்சீராக ( அதன் பரவல் அடர்த்திபற்றி சமச்சீர் சராசரி, அதாவது. 0). எனவே, கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை குறைந்த α/2-குவாண்டில்(இது வெறுமனே α என்று அழைக்கப்படுகிறது /2-அளவு), ஏனெனில் அது சமமானது மேல் α/2-அளவுகழித்தல் அடையாளத்துடன்.

x மதிப்பின் பரவலின் வடிவம் இருந்தபோதிலும், தொடர்புடைய சீரற்ற மாறி என்பதை நினைவுபடுத்துவோம். X சராசரிவிநியோகிக்கப்பட்டது தோராயமாக நன்றாக N(μ;σ 2 /n) (இது பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). எனவே, பொதுவாக, மேலே உள்ள வெளிப்பாடு நம்பிக்கை இடைவெளிஎன்பது ஒரு தோராயம் மட்டுமே. மதிப்பு x பரவியிருந்தால் சாதாரண சட்டம் N(μ;σ 2 /n), பின்னர் அதற்கான வெளிப்பாடு நம்பிக்கை இடைவெளிதுல்லியமானது.

MS EXCEL இல் நம்பிக்கை இடைவெளி கணக்கீடு

பிரச்சனையை தீர்க்கலாம்.
உள்ளீட்டு சிக்னலுக்கான எலக்ட்ரானிக் கூறுகளின் மறுமொழி நேரம் சாதனத்தின் ஒரு முக்கிய பண்பு ஆகும். ஒரு பொறியாளர் 95% நம்பக அளவில் சராசரி மறுமொழி நேரத்திற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்க விரும்புகிறார். முந்தைய அனுபவத்திலிருந்து, பதிலளிப்பு நேரத்தின் நிலையான விலகல் 8 எம்எஸ் என்பதை பொறியாளர் அறிந்திருக்கிறார். மறுமொழி நேரத்தை மதிப்பிடுவதற்கு, பொறியாளர் 25 அளவீடுகளை செய்தார், சராசரி மதிப்பு 78 எம்.எஸ்.

தீர்வு: ஒரு பொறியாளர் ஒரு மின்னணு சாதனத்தின் மறுமொழி நேரத்தை அறிய விரும்புகிறார், ஆனால் மறுமொழி நேரம் ஒரு நிலையான மதிப்பு அல்ல, மாறாக அதன் சொந்த விநியோகத்தைக் கொண்ட ஒரு சீரற்ற மாறி என்பதை அவர் புரிந்துகொள்கிறார். எனவே, இந்த விநியோகத்தின் அளவுருக்கள் மற்றும் வடிவத்தை தீர்மானிப்பதே அவர் நம்பக்கூடிய சிறந்தது.

துரதிர்ஷ்டவசமாக, சிக்கலின் நிலைமைகளிலிருந்து பதில் நேர விநியோகத்தின் வடிவம் எங்களுக்குத் தெரியாது (அது இருக்க வேண்டியதில்லை சாதாரண) , இந்த விநியோகமும் தெரியவில்லை. அவருக்கு மட்டுமே தெரியும் நிலையான விலகல்σ=8. எனவே, நிகழ்தகவுகளை நாம் கணக்கிட முடியாது மற்றும் கட்டமைக்க முடியாது நம்பிக்கை இடைவெளி.

இருப்பினும், விநியோகம் எங்களுக்குத் தெரியாது என்ற போதிலும் நேரம் தனி பதில், படி என்று எங்களுக்கு தெரியும் CPT, மாதிரி விநியோகம் சராசரி பதில் நேரம்தோராயமாக உள்ளது சாதாரண(நிபந்தனைகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம் CPTமேற்கொள்ளப்படுகின்றன, ஏனெனில் அளவு மாதிரிகள்மிகப் பெரியது (n=25)) .

மேலும், சராசரிஇந்த விநியோகம் சமமானது சராசரி மதிப்புஒற்றை பதிலின் விநியோகம், அதாவது. μ. ஏ நிலையான விலகல்இந்த விநியோகத்தின் (σ/√n) =8/ROOT(25) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

பொறியாளர் பெற்றுக்கொண்டதாகவும் அறியமுடிகிறது புள்ளி மதிப்பீடுஅளவுரு μ 78 எம்எஸ் (எக்ஸ் சராசரி) க்கு சமம். எனவே, இப்போது நாம் நிகழ்தகவுகளை கணக்கிடலாம், ஏனெனில் விநியோக வடிவத்தை நாங்கள் அறிவோம் ( சாதாரண) மற்றும் அதன் அளவுருக்கள் (X சராசரி மற்றும் σ/√n).

பொறியாளர் அறிய விரும்புகிறார் கணித எதிர்பார்ப்புμ பதில் நேர விநியோகம். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இந்த μ சமம் சராசரி மறுமொழி நேரத்தின் மாதிரி விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு. நாம் பயன்படுத்தினால் சாதாரண விநியோகம் N(Х சராசரி; σ/√n), பின்னர் விரும்பிய μ ஆனது +/-2*σ/√n வரம்பில் தோராயமாக 95% நிகழ்தகவுடன் இருக்கும்.

முக்கியத்துவம் நிலைசமம் 1-0.95=0.05.

இறுதியாக, இடது மற்றும் வலது எல்லையைக் கண்டுபிடிப்போம் நம்பிக்கை இடைவெளி.
இடது கரை: =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/ரூட்(25) = 74,864
வலது கரை: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/ROOT(25)=81.136

இடது கரை: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/ROOT(25))
வலது கரை: =NORM.REV(1-0.05/2; 78; 8/ROOT(25))

பதில்: நம்பிக்கை இடைவெளிமணிக்கு 95% நம்பிக்கை நிலை மற்றும் σ=8msecசமம் 78+/-3.136 ms.

IN சிக்மா தாளில் உள்ள எடுத்துக்காட்டு கோப்புஅறியப்பட்ட, கணக்கீடு மற்றும் கட்டுமானத்திற்கான ஒரு படிவத்தை உருவாக்கியது இரட்டை பக்க நம்பிக்கை இடைவெளிதன்னிச்சையாக மாதிரிகள்கொடுக்கப்பட்ட σ மற்றும் முக்கியத்துவம் நிலை.

CONFIDENCE.NORM() செயல்பாடு

மதிப்புகள் என்றால் மாதிரிகள்வரம்பில் உள்ளன B20:B79 , ஏ முக்கியத்துவம் நிலை 0.05 க்கு சமம்; பின்னர் MS EXCEL சூத்திரம்:
=சராசரி(B20:B79)-CONFIDENCE.NORM(0.05;σ; COUNT(B20:B79))
இடது எல்லையைத் திருப்பித் தரும் நம்பிக்கை இடைவெளி.

அதே வரம்பை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:
=சராசரி(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))

குறிப்பு: CONFIDENCE.NORM() செயல்பாடு MS EXCEL 2010 இல் தோன்றியது. MS EXCEL இன் முந்தைய பதிப்புகளில், TRUST() செயல்பாடு பயன்படுத்தப்பட்டது.

இங்கே சராசரியானது அறியப்பட்ட நிலையான எண்ணாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் மாறுபாடு அறியப்படாத அளவுருவாக செயல்படுகிறது. போடுவோம்

முதல் --, இது நிலையான இயல்பான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, செயல்பாடு எந்த வகையிலும் அறியப்படாத அளவுருவைப் பொறுத்து சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த விநியோகத்தின் அளவுகளால் குறிப்பது மற்றும் சிலவற்றை சரிசெய்தல், அது போன்றது , நாம் சமத்துவமின்மையை அடைகிறோம்

நிகழ்தகவுடன் திருப்தி அடைந்தது. நம்பிக்கை இடைவெளியை எங்கே பெறுவது:

அறியப்படாத சராசரியுடன் மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

கொடுக்கப்பட்ட மாதிரிக்கு, அதன் மதிப்புகள் அளவுருவை மட்டுமே சார்ந்து இருக்கும் வகையில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. சீரற்ற மாறியின் விநியோகம் குறித்து , பின்னர் ஃபிஷரின் தேற்றத்தின்படி (பார்க்க 8.3) இது சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் விநியோகமாகும், எனவே, அறியப்படாத அளவுருக்கள் சார்ந்து இல்லை. அப்படி சரிசெய்தல் , மற்றும் (47) இல் உள்ளதைப் போல பகுத்தறிதல், பின்வரும் நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு வருகிறோம்:

குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி (30), பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்

அறியப்படாத மாறுபாட்டுடன் சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

முந்தைய பத்தியைப் போலவே, இரண்டு அளவுருக்களும் தெரியாததாகக் கருதப்படுகின்றன, குறுக்கீடு அளவுரு குறுக்கீடு அளவுருவாகும். ஃபிஷரின் தேற்றத்தால்

மற்றும்

சுயாதீனமானவை மற்றும் முறையே விநியோகங்கள் மற்றும் பட்டம்-சுதந்திர விநியோகங்களைக் கொண்டுள்ளன. எனவே விகிதம்

சுதந்திரத்தின் அளவுகளுடன் மாணவர் விநியோகம் உள்ளது. ஒரு செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுப்போம் வலது பக்கத்திற்கு சமம் (48):

சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட மாதிரி மாறுபாடு எங்கே (30). செயல்பாடு குறுக்கிடும் அளவுருவை வெளிப்படையாக சார்ந்து இல்லை. மாணவர் விநியோகத்தின் அளவு மூலம் சுதந்திரத்தின் அளவைக் குறிப்பதால், சமத்துவமின்மையைப் பெறுகிறோம்

நிகழ்தகவுடன் நிறைவேற்றப்பட்டது. இங்கிருந்து நாம் நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பெறுகிறோம்:

மாணவர் விநியோகம் சமச்சீராக இருப்பதால், முன்மொழிவு 3.3

எனவே, நம்பிக்கை இடைவெளியை இவ்வாறு எழுதலாம்

எனவே, மாதிரி சராசரி இந்த இடைவெளியின் நடுவில் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 8.2

எடுத்துக்காட்டு 6.4 ஐப் பார்ப்போம். யூகிக்கிறேன்ஒவ்வொரு மாதிரியும் எடுக்கப்பட்டது சாதாரணஇருந்து விநியோகம் தெரியவில்லைஅளவுருக்கள் - மற்றும் அதன்படி. (அத்தகைய அனுமானத்தை எந்த அடிப்படையில் செய்யலாம் என்பதை 9.5 இல் பின்னர் பேசுவோம்.)

கோட்பாட்டு கார்பன் உள்ளடக்கம் மற்றும் GS50 ஸ்டீலின் இழுவிசை வலிமைக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கண்டறிவதே எங்கள் குறிக்கோள். மாதிரிகள் ஒவ்வொன்றின் அளவையும் நினைவில் கொள்க. ஒற்றுமைக்கு நெருக்கமான நம்பிக்கை நிகழ்தகவை சரிசெய்வோம், சொல்லுங்கள். பக்கத்தில் உள்ள மாணவர் விநியோக அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, தோராயமாக அதைத் தீர்மானிப்போம். பக்கத்தில் உள்ள எடுத்துக்காட்டு 6.5 இல் காணப்படும் மதிப்புகளை நினைவுபடுத்தி, நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்

மற்றும், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (49), சதவீதத்திற்கான -நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பெறுகிறோம் கார்பன் உள்ளடக்கம்

மற்றும் - மதிப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி இழுவிசை வலிமை

ஆய்வக வேலை எண். 12. மதிப்பீட்டுக் கோட்பாட்டின் அடிப்படைகள்

ஒரு புள்ளியியல் நிபுணர் சீரற்ற மாறுபாட்டிற்கு உட்பட்ட தரவுகளைக் கையாள்கிறார். அவர்களின் நடத்தை ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவு விநியோக சட்டத்தால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. அத்தகைய சட்டம், ஒரு விதியாக, அறியப்படாத அளவுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை சட்டத்தின் அளவுருக்களாகக் கருதப்படுகின்றன. கவனிக்கப்பட்ட தரவின் சீரற்ற மாறுபாடு காரணமாக, அவற்றின் அடிப்படையில், அளவுருக்களின் முற்றிலும் துல்லியமான மதிப்பைக் குறிப்பிடுவது சாத்தியமில்லை. தோராயமான மதிப்புகளில் மட்டுமே நாம் திருப்தி அடைய வேண்டும். எனவே, ஒரு கணித புள்ளியியல் நிபுணர் பின்வரும் அளவுகளுடன் பணிபுரிகிறார்: - ஒரு சீரற்ற மாறி, அவர் ஒருபோதும் கவனிக்கவில்லை, ஆனால் அவர் ஆய்வு செய்யும் தரவுகளின் "ஆன்மா" என்று அவர் கருதுகிறார், இது அவர்களுக்கு வழிவகுத்தது. இந்த மதிப்பு பல அளவுருக்கள் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது; - ஆய்வு செய்யப்பட்ட தரவு, இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் உணர்தலாக பெறப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சீரற்ற மாறி என்பது சரியான நேரம். அதன் செயலாக்கங்கள் புள்ளியியல் நிபுணருக்குக் கிடைக்கும் கடிகார அளவீடுகளாகும். புள்ளியியல் நிபுணரின் பணியானது நேரத்தை முடிந்தவரை துல்லியமாக அமைக்க n கடிகாரங்கள் t 1 ,...,t n இன் அளவீடுகளைப் பயன்படுத்துவதாகும். கூடுதலாக, நிறுவப்பட்ட மதிப்பின் துல்லியத்தை வகைப்படுத்த அவர் கடமைப்பட்டிருக்கிறார். இது t = t 0 + ξ(a,σ) வடிவத்தில் விரும்பிய மதிப்பை மதிப்பிடுகிறது, அங்கு t 0 என்பது ஆராய்ச்சியின் போது உண்மையான நேரம், ξ(a,σ) என்பது உண்மையான மதிப்பிலிருந்து விலகலைக் குறிக்கும் ஒரு சீரற்ற மாறியாகும். , t 0 , a, σ ஆகியவை அளவுருக்கள், மதிப்பு ξ என்பது விநியோகச் சட்டத்தால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, அது வெவ்வேறு மதிப்புகளை எடுக்கும் நிகழ்தகவுகள். புள்ளிவிவரங்களில் மதிப்பீடு என்பது கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளின் அடிப்படையில் ஒரு அளவுருவின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான விதியாகும். மதிப்பீடு என்பது கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளிலிருந்து காணப்படும் அளவுருவின் தோராயமான மதிப்பாகும். நடைமுறை பயன்பாட்டிற்கான மதிப்பீடுகளை உருவாக்கும்போது, ​​மதிப்பீடுகளில் மூன்று முக்கிய தேவைகள் விதிக்கப்படுகின்றன:

துல்லியம், அதாவது, அளவுருவின் உண்மையான மதிப்புக்கு நெருக்கமானது, எடுத்துக்காட்டில் ξ(a,σ) சிறியதாக இருக்க வேண்டும்;

பாரபட்சமற்ற தன்மை, அதாவது, மதிப்பீட்டின் கணித எதிர்பார்ப்பு, எடுத்துக்காட்டில் உள்ள அளவுருவின் உண்மையான மதிப்புக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், ξ(a,σ) சராசரியாக பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்;

நிலைத்தன்மை, அதாவது, அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, ​​மதிப்பீட்டானது அளவுருவின் உண்மையான மதிப்புக்கு நிகழ்தகவில் ஒன்றிணைகிறது. எடுத்துக்காட்டில், அதிக எண்ணிக்கையிலான மணிநேரங்கள் n உடன், ξ(a,σ) இன் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும், ஒரு நிகழ்தகவு ஒற்றுமையை நோக்கி செல்கிறது.

எல்லா வகையிலும் சிறந்த மதிப்பீடுகள் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, எண்கணித சராசரி, ஒரு சீரற்ற மாறியின் சராசரி மதிப்பின் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் மதிப்பீடு, பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் தரவுகளுக்கு உகந்ததாக இருக்கும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. எவ்வாறாயினும், தரவுகளுக்கு இடையில் வெளிப்புறங்கள் இருந்தால் அது பிழைகளுக்கு வழிவகுக்கிறது, அதாவது கூர்மையான முக்கிய மதிப்புகள். பொருளாதாரத்தில் இத்தகைய உமிழ்வுகள் அளவீடுகள் அல்லது எழுத்துப்பிழைகளில் உள்ள மொத்த பிழைகளால் உருவாக்கப்படுகின்றன, இதில் ரூபிள் மற்றும் கோபெக்குகளுக்கு இடையிலான புள்ளி மறைந்துவிடும் மற்றும் ஊதியங்கள் நூறு மடங்கு அதிகரிக்கும். கிரேட் பிரிட்டனின் வரைபடத்தில் உலகின் அனைத்துப் பகுதிகளிலும் சிதறிக்கிடக்கும் அதன் உடைமைகளின் சுத்திகரிக்கப்பட்ட எல்லைகளை வரைவதற்கான வரலாற்றுடன் தொடர்புடைய சீரற்ற செயல்முறையைக் கருத்தில் கொள்வோம். பூமியின் எந்த புள்ளியும் இரண்டு ஆயங்களால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது - அட்சரேகை மற்றும் தீர்க்கரேகை. இன்று, எந்தவொரு பள்ளிக் குழந்தையும் பூமியின் எந்தப் புள்ளியையும் ஒரு மீட்டர் வரை துல்லியத்துடன் தீர்மானிக்கும் செயற்கைக்கோள் கருவிகளைப் பற்றி கேள்விப்பட்டிருக்கிறது. இருப்பினும், அந்த நாட்களில், அத்தகைய சாதனம் கூட மாலுமிகளுக்கு உதவாது, ஏனெனில் அது வானத்தில் ஒரு "குறிப்பு" செயற்கைக்கோளைக் கண்டறிந்திருக்காது. நவீன தியோடோலைட் (தொலைநோக்கி மற்றும் கோண மீட்டர்) போன்ற "செக்ஸ்டன்ட்" சாதனத்தைப் பயன்படுத்தி அட்சரேகையானது அடிவானத்திற்கு மேலே உள்ள லுமினரிகளின் உயரத்திலிருந்து நேரடியாக தீர்மானிக்கப்பட்டது. தீர்க்கரேகை என்பது பூகோளத்தின் சுழற்சியின் கோணமாகும், இதில் உள்ளூர் மெரிடியனும் கிரீன்விச் மெரிடியனும் வழக்கமான பூஜ்ஜியமாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. பூமி கிட்டத்தட்ட ஒரு நாளில் 360° புரட்சியை ஏற்படுத்துகிறது, அதாவது ஒரு மணி நேரத்தில் 15° ஆகவும், 4 நிமிடங்களில் 1° ஆகவும் சுழல்கிறது. தீர்க்கரேகையை தீர்மானிக்க, நீங்கள் சரியாக உள்ளூர் மற்றும் கிரீன்விச் நேரத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். நேவிகேட்டர் கேப்டனிடம்: "உள்ளூர் நண்பகல், ஐயா" என்று சொன்னால், கேப்டன் கிரீன்விச்சில் அந்த நேரத்தில் நேரத்தை அறிந்தால், நேரத்தின் வித்தியாசம் 4 நிமிடங்களால் வகுக்கப்படும் பகுதியின் தீர்க்கரேகையை டிகிரிகளில் தீர்மானிக்கிறது. இன்று எல்லாம் எளிமையாக இருக்கும் - கிரீன்விச்சை அழைத்து அவர்களின் நேரத்தைக் கண்டறியவும். ஆனால் வானொலி இன்னும் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை. கப்பலில் குவார்ட்ஸ் கடிகாரம் இருந்திருந்தால், அது வருடத்திற்கு ஒரு நிமிடத்தில் ஒரு பகுதியை நகர்த்தியிருந்தால், எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது, ஆனால் அந்த நேரத்தில் இருந்த சிறந்த காலமானிகள் தீர்க்கரேகையை அளவிடுவதற்குத் தேவையான துல்லியத்தை வழங்கவில்லை. பல மாத காலப் பயணத்தில், அவர்கள் சரியான நேரத்தில் இருந்து பத்து நிமிடங்களில் விலகிச் சென்றனர். 1831 ஆம் ஆண்டில் பீகிள் கப்பல் உலகெங்கிலும் வரைபடங்களைத் தொகுக்கப் பயணத்தை மேற்கொண்டபோது, ​​கப்பலின் கேப்டன் ஃபிட்ஸ் ராய், அறிவொளி மற்றும் கற்றறிந்த மனிதர், தன்னுடன் 24(!) கடல் காலமானிகளை எடுத்துச் சென்றார். ஒவ்வொரு காலமானியும் அதன் சொந்த "கிரீன்விச் நேரத்தை" காட்டியது. இந்த ஆய்வில், ரேண்டம் மாறி என்பது நேவிகேட்டர் சில வான உடலிலிருந்து சரியான உள்ளூர் நேரத்தை நிர்ணயித்த தருணம் ஆகும். ரேண்டம் மாறியின் "ஆன்மா" அளவிடப்படும் அந்த நேரத்தில் கிரீன்விச்சில் உண்மையான நேரம். இந்த அளவை ξ ஆல் குறிக்கிறோம். இந்த அளவின் மதிப்பு ஒருபோதும் தெரியாது. சீரற்ற மாறியின் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் (வெவ்வேறு) காலமானிகளின் அளவீடுகள் ஆகும். அவர்கள் ஒவ்வொருவரும் சில தவறுகளைச் செய்தார்கள், ஆனால் ஒட்டுமொத்தமாக அவர்கள் பொதுவான "ஆன்மாவை" பின்பற்றினர், அதில் தங்கள் சொந்த சீரற்ற பிழையைச் சேர்த்தனர். ரேண்டம் மாறியின் மதிப்பீடு கிரீன்விச் நேரமாகும், இது கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளிலிருந்து கேப்டன் கருதினார். சீரற்ற மாறிகள் x i, i = 1,...,n, ஒரு சீரற்ற மாறி ξ இன் உணர்தல்களாக இருக்கட்டும், அதாவது, அவை ஒரே பரவலைக் கொண்டிருக்கின்றன (ஒரு "ஆன்மா"), மேலும் எந்த i க்கும் சராசரி அளவீடுகளின் மதிப்பு சமமாக இருக்கும். அதே எண்ணுக்கு: E( x i) = E(ξ). இந்த அறிக்கையின் பொருள் இதுதான்: வடிவமைப்பு சிக்கல்கள் காரணமாக அனைத்து கடிகாரங்களும் பின்னால் அல்லது அவசரமாக இருக்க முடியாது. சராசரியாக, அவர்கள் அவசரமாகவோ அல்லது பின்தங்கியவர்களாகவோ இருப்பார்கள். மேலும், அவர்கள் சுதந்திரமாக இருக்கட்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அவர்களின் குழுக்களில் பொதுவான எதுவும் இல்லை. எனவே, ஒரு மாலுமி கடிகார அளவீடுகளை ஒரு வரிசையில் பதிவு செய்ய முடியும். பின்னர் கடைசி அளவீடுகள் முதல் வாசிப்பை விட ஒரு நிமிடம் தாமதமாக பதிவு செய்யப்படும். அல்லது அவர்கள் பல மணிநேரங்களுக்கு ஒரு சூடான இடத்தில் தொங்கவிடலாம் மற்றும் வெப்பத்திலிருந்து ஒன்றாக விரைந்து செல்லலாம். அத்தகைய நிகழ்வு எதுவும் இல்லை என்ற அனுமானம் சோதனைகள் முழுவதும் சுதந்திரத்தின் நிபந்தனையுடன் ஒத்துப்போகிறது. சில நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிப்பதே எளிமையான மதிப்பீட்டுச் சிக்கல், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு உண்மையான (அவசியம் சரியானது அல்ல) நாணயம் நேருக்கு நேர் வரும். ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவை நேரடியாகத் தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு தன்னிச்சையான நிகழ்வை அதன் நிகழ்தகவைக் குறிக்க அனுமதிக்கும் உலகளாவிய முறை எதுவும் இல்லை. இந்த நிகழ்வு ஒரு நிலையான நிகழ்தகவுடன் நிகழும் போது சுயாதீனமாக மீண்டும் மீண்டும் சோதனைகளை நடத்த அனுமதிக்கப்படுமானால், நிகழ்வு A இன் நிகழ்தகவை மதிப்பிட முடியும். நிகழ்வு A இன் நிகழ்தகவு p = P(A) ஒவ்வொரு n சோதனைகளிலும் மாறாமல் இருக்கட்டும் மற்றும் ஒவ்வொரு சோதனையின் முடிவும் மற்றவற்றிலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கட்டும். நிகழ்வு A நிகழ்ந்த மொத்த எண்ணிக்கையில் அந்த சோதனைகளின் சீரற்ற எண்ணை m ஆல் குறிப்போம், m என்பது n பெர்னௌலி சோதனைகளில் "வெற்றிகளின்" எண்ணிக்கையாகும். நிகழ்தகவுக்கான புள்ளிவிவர வரையறையின்படி, பெரிய n க்கு, நிகழ்வு A இன் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண் m/n என்பது நிகழ்வு A நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கு தோராயமாக சமமாக இருக்கும், அதாவது m/n ~ p, இங்கு p = P(A). இது கோல்மோகோரோவின் அச்சியலில் இருந்து பின்பற்றப்படுகிறது என்பதை நிரூபிப்போம். கணித பகுப்பாய்வில், ஒரு வரிசையின் வரம்பின் ஒரு கண்டிப்பான கருத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது: ஒரு வரிசை உறுப்பினரின் போதுமான எண்ணிக்கையில், அதன் மதிப்பை தன்னிச்சையாக வரம்பு மதிப்பிற்கு நெருக்கமாக உருவாக்க முடியும். இந்த வரையறை நிஜ வாழ்க்கைக்கு பொருந்தாது, அங்கு முற்றிலும் நம்பமுடியாத நிகழ்வுகள் அரிதாகவே நிகழ்கின்றன. உதாரணமாக, ஆதிகால குழப்பமான சூப்பில் இருந்து ஒரு பாக்டீரியம் வெளிப்படுகிறது, அது தன்னை இனப்பெருக்கம் செய்யும் திறன் கொண்டது. அல்லது ஒரு மீன் முதலில் மில்லியன் கணக்கான ஆண்டுகளுக்குத் தேவையில்லாத ஒன்றை உருவாக்குகிறது (ஆனால் உருவாகிறது), பின்னர் ஒரு இறக்கையாக மாறுகிறது. அல்லது ஒரு முழு நகரம் (அல்லது நாடு) வெள்ளத்தில் மூழ்கியுள்ளது. நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், வரம்பு என்ற கருத்து கணித பகுப்பாய்வில் அதனுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளதை விட வேறுபட்ட அர்த்தத்தில் விளக்கப்படுகிறது. நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் வரையறை வாழ்க்கைக்கு நெருக்கமானது. வரிசையின் ஒரு கட்டத்தில் மற்றவர்களிடமிருந்து கூர்மையாக வேறுபட்ட ஒரு எண் இருக்கும் என்ற உண்மையை இது தடை செய்யவில்லை. சீரற்ற மாறிகளின் ஒரு வரிசை u n நிகழ்தகவு p க்கு இணைகிறது என்றால் எந்த எண்ணுக்கும் ε > 0 நிகழ்தகவு அந்த வித்தியாசத்தின் மாடுலஸ் |u n - p| n → ∞ ε ஐ விட குறைவாக, ஒற்றுமைக்கு முனைகிறது:

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், எந்த நிகழ்வும் உறுதியாக இல்லை, ஆனால் நிகழ்வு: |u n - р| போதுமான பெரிய nக்கு ≤ ε நடைமுறையில் நம்பகமானது. செபிஷேவின் சமத்துவமின்மையை நிரூபிப்போம். ξ என்பது கணித எதிர்பார்ப்பு E(ξ) = a மற்றும் மாறுபாடு D(ξ) = σ², ε என்பது ஒரு நேர்மறை எண்ணைக் கொண்ட ஒரு சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும். பின்னர் மையப்படுத்தப்பட்ட (E(ξ) - a) மற்றும் இயல்பாக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறி ε ஐ மீறும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ε -2 ஐ விட குறைவாக உள்ளது:

உண்மையில், σ² = E(ξ - a)². வலது பக்கத்தில் சராசரியைக் கணக்கிடும் போது, ​​ξ இன் மதிப்புகளின் இரண்டு வரம்புகளைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். அந்த ξ க்கான |ξ - அ|< εσ, сумма (или интеграл) соответствующих произведений неотрицателен. Для тех ξ, у которых |ξ - а| >εσ, கூட்டுத்தொகை (அல்லது ஒருங்கிணைந்த):

ஒரு சுவாரஸ்யமான சிறப்பு வழக்கு: σ = 0. இது தெளிவாக உள்ளது |ξ - a| = 0, அதாவது, ξ = a. செபிஷேவின் தேற்றத்தை நிரூபிப்போம். x 1,..., x n ஒரு கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு கொண்ட சீரற்ற மாறிகள் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும். அதாவது, ஒவ்வொரு x iயும் ஒரு சீரற்ற மாறி ξ இன் உணர்தல் ஆகும், மேலும் E(ξ) = E(x i) = a, D(ξ) = D(x i) = σ². பின்னர் எந்த ε > 0 க்கும்:

ஆதாரம். எண்கணிதத்தின் சிதறல் சராசரி:

சீரற்ற மாறி η n ஐக் கவனியுங்கள், இது n அவதானிப்புகளின் எண்கணித சராசரி. அதன் சராசரி மற்றும் மாறுபாடு . η n இன் காணக்கூடிய உணர்தல்கள் . ஒரு சீரற்ற மாறி η n க்கான செபிஷேவின் சமத்துவமின்மைக்கு இணங்க, சராசரி மதிப்பிலிருந்து அதன் விலகலின் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது:

எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பெரிய n க்கு 1 ஆக இருக்கும்: P(|η n - a|) → 1. இதன் பொருள் சீரற்ற மாறிகள் n வரிசையானது நிகழ்தகவில் ஒன்றிணைகிறது. பீகிளில் நேரத்தை அளவிடுவதற்கு திரும்புவோம். ஒவ்வொரு காலமானியின் வாசிப்பும் x i, i = 1,...,n என்பது மற்ற கருவிகளிலிருந்து சுயாதீனமான அளவீடு ஆகும். காலமானி அதன் செயல்பாட்டில் முறையான பிழை இல்லாத வகையில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது என்பது புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. இதன் பொருள், காலமானிகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் "முன்னோக்கிச் செல்லலாம்", மற்றவை "பின்தங்கியுள்ளன", ஆனால் இந்த பிழைகள் சீரற்றவை, கொடுக்கப்பட்ட மாதிரியின் உற்பத்தியுடன் தொடர்புடையவை. கணித ரீதியாக, சராசரி நேரம் உண்மையான நேரம் என்று அர்த்தம். க்ரோனோமீட்டர்களின் வடிவமைப்பு மற்றும் உற்பத்தித் தொழில்நுட்பத்தின் தரம், முழுப் பொருளின் துல்லியம் எவ்வளவு சீரானது என்பதன் மூலம் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. கணித ரீதியாக, இது தனிப்பட்ட கருவிகளின் வாசிப்புகளின் பரவலால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது. சீரற்ற மாறிகளின் மாறுபாடு x i . சராசரியின் சிதறல் ஒரு தனிப்பட்ட காலமானியின் சிதறலை விட n = 24 மடங்கு குறைவாகும். எனவே, 24 க்ரோனோமீட்டர்களில் இருந்து தீர்மானிக்கப்படும் "சராசரி நேரம்" சராசரியாக எந்த தனிப்பட்ட காலமானியின் நேரத்தை விடவும் கிட்டத்தட்ட 5 மடங்கு உண்மையான நேரத்திற்கு நெருக்கமாக உள்ளது.

சேவையின் நோக்கம். இந்த சேவையைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியும்:

• பொது சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி, மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;
• நிலையான விலகலுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி, பொதுப் பங்கிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. ஒரு கூட்டுப் பண்ணையில், மொத்தம் உள்ள 1000 ஆடுகளில், 100 செம்மறி ஆடுகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாட்டு வெட்டுக்கு உட்பட்டன. இதன் விளைவாக, ஒரு ஆடுக்கு சராசரியாக 4.2 கிலோ கம்பளி வெட்டப்பட்டது. நிகழ்தகவு 0.99 சராசரியுடன் தீர்மானிக்கவும் சதுர பிழைஒரு செம்மறி ஆடுகளின் சராசரி கம்பளி வெட்டுதல் மற்றும் மாறுபாடு 2.5 ஆக இருந்தால், வெட்டு மதிப்பு இருக்கும் வரம்புகளை நிர்ணயிக்கும் போது மாதிரிகள். மாதிரி மீண்டும் மீண்டும் இல்லை.
எடுத்துக்காட்டு எண். 2. மாஸ்கோ வடக்கு சுங்கத்தின் பதவியில் இறக்குமதி செய்யப்பட்ட தயாரிப்புகளின் தொகுப்பிலிருந்து, "A" தயாரிப்பின் 20 மாதிரிகள் சீரற்ற மீண்டும் மீண்டும் மாதிரிகள் மூலம் எடுக்கப்பட்டன. சோதனையின் விளைவாக, மாதிரியில் தயாரிப்பு "A" இன் சராசரி ஈரப்பதம் நிறுவப்பட்டது, இது 1% நிலையான விலகலுடன் 6% க்கு சமமாக மாறியது.
0.683 நிகழ்தகவுடன், இறக்குமதி செய்யப்பட்ட தயாரிப்புகளின் முழுத் தொகுதியிலும் உற்பத்தியின் சராசரி ஈரப்பதத்தின் வரம்புகளைத் தீர்மானிக்கவும்.
எடுத்துக்காட்டு எண். 3. 36 மாணவர்களிடம் நடத்திய ஆய்வில், அவர்கள் ஆண்டுக்கு சராசரியாகப் படிக்கும் பாடப்புத்தகங்களின் எண்ணிக்கையைக் காட்டுகிறது கல்வி ஆண்டு, 6 க்கு சமமாக மாறியது. ஒரு செமஸ்டருக்கு ஒரு மாணவர் படிக்கும் பாடப்புத்தகங்களின் எண்ணிக்கை சராசரியாக ஒரு சாதாரண விநியோகச் சட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு சதுர விலகல், 6 க்கு சமம், கண்டுபிடி: A) 0.99 நம்பகத்தன்மையுடன் இடைவெளி மதிப்பீடுஇந்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு; B) இந்த மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட ஒரு செமஸ்டருக்கு ஒரு மாணவர் படிக்கும் பாடப்புத்தகங்களின் சராசரி எண்ணிக்கை, கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து விலகும் என்று எந்த நிகழ்தகவுடன் கூறலாம் முழுமையான மதிப்பு 2 க்கு மேல் இல்லை.

நம்பிக்கை இடைவெளிகளின் வகைப்பாடு

மாதிரி வகை மூலம்:

1. எல்லையற்ற மாதிரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;
2. இறுதி மாதிரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;

சீரற்ற மாதிரிக்கான சராசரி மாதிரி பிழையின் கணக்கீடு

சராசரி மாதிரி பிழை சூத்திரங்கள்
மறு தேர்வு		மீண்டும் தேர்வு
சராசரிக்கு	பங்குக்கு	சராசரிக்கு	பங்குக்கு

முற்றிலும் சீரற்ற மாதிரி முறையைப் பயன்படுத்தி மாதிரி அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள்