தனித்துவமான தொடர் உதாரணம். மாணவர்கள் மற்றும் பள்ளி குழந்தைகள் - படிப்பதில் உதவி

ஆய்வின் கீழ் சீரற்ற மாறி தொடர்ச்சியாக இருந்தால், கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் தரவரிசை மற்றும் குழுவாக்கம் பெரும்பாலும் அடையாளம் காண அனுமதிக்காது. சிறப்பியல்பு அம்சங்கள்அதன் மதிப்புகள் மாறுபடும். தனிப்பட்ட மதிப்புகள் என்ற உண்மையால் இது விளக்கப்படுகிறது சீரற்ற மாறிவிரும்பிய அளவு மற்றும் கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளின் மொத்தத்தில் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடலாம் அதே மதிப்புகள்அளவுகள் அரிதாகவே நிகழலாம், மற்றும் மாறுபாடுகளின் அதிர்வெண்கள் ஒன்றுக்கொன்று சிறிய அளவில் வேறுபடும்.

ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு ஒரு தனித் தொடரை உருவாக்குவதும் நடைமுறைக்கு சாத்தியமற்றது, அதன் சாத்தியமான மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை பெரியது. IN இதே போன்ற வழக்குகள்கட்டப்பட வேண்டும் இடைவெளி மாறுபாடு தொடர் விநியோகங்கள்.

அத்தகைய தொடரை உருவாக்க, ஒரு சீரற்ற மாறியின் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் மாறுபாட்டின் முழு இடைவெளியும் ஒரு தொடராக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. பகுதி இடைவெளிகள் மற்றும் ஒவ்வொரு பகுதி இடைவெளியிலும் மதிப்பு மதிப்புகளின் நிகழ்வின் அதிர்வெண்ணைக் கணக்கிடுகிறது.

இடைவெளி மாறுபாடு தொடர் ஒரு சீரற்ற மாறியின் மாறுபட்ட மதிப்புகளின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் தொகுப்பை, அவை ஒவ்வொன்றிலும் விழும் மாறியின் மதிப்புகளின் தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள் அல்லது தொடர்புடைய அதிர்வெண்களுடன் அழைக்கவும்.

கட்டுவதற்கு இடைவெளி தொடர்அவசியம்:

1. வரையறுக்க அளவு பகுதி இடைவெளிகள்;
2. வரையறுக்க அகலம் இடைவெளிகள்;
3. ஒவ்வொரு இடைவெளிக்கும் அதை அமைக்கவும் மேல் மற்றும் குறைந்த வரம்பு ;
4. கண்காணிப்பு முடிவுகளை தொகுக்கவும்.

1 . குழுவாக்கும் இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் அகலத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான கேள்வி ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட வழக்கிலும் அதன் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும் இலக்குகள் ஆராய்ச்சி, தொகுதி மாதிரிகள் மற்றும் மாறுபாட்டின் அளவு மாதிரியில் உள்ள சிறப்பியல்பு.

தோராயமாக இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கை கே மாதிரி அளவின் அடிப்படையில் மட்டுமே மதிப்பிட முடியும் n பின்வரும் வழிகளில் ஒன்றில்:

• சூத்திரத்தின் படி ஸ்டர்ஜ்ஸ் : k = 1 + 3.32 பதிவு n ;
• அட்டவணை 1 ஐப் பயன்படுத்துகிறது.

அட்டவணை 1

2 . சம அகல இடைவெளிகள் பொதுவாக விரும்பப்படுகின்றன. இடைவெளிகளின் அகலத்தை தீர்மானிக்க ம கணக்கிட:

• மாறுபாட்டின் வரம்பு ஆர் - மாதிரி மதிப்புகள்: R = x அதிகபட்சம் - x நிமிடம் ,

எங்கே அதிகபட்சம் மற்றும் xmin - அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மாதிரி விருப்பங்கள்;

• ஒவ்வொரு இடைவெளியின் அகலம் ம பின்வரும் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: h = R/k .

3 . குறைந்த வரம்பு முதல் இடைவெளி x h1 குறைந்தபட்ச மாதிரி விருப்பமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது xmin இந்த இடைவெளியின் நடுவில் தோராயமாக விழுந்தது: x h1 = x நிமிடம் - 0.5 மணி .

இடைநிலை இடைவெளிகள்முந்தைய இடைவெளியின் முடிவில் பகுதி இடைவெளியின் நீளத்தைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்பட்டது ம :

x hi = x hi-1 +h.

இடைவெளி எல்லைகளின் கணக்கீட்டின் அடிப்படையில் ஒரு இடைவெளி அளவின் கட்டுமானம் மதிப்பு வரை தொடர்கிறது x வணக்கம் உறவை திருப்திப்படுத்துகிறது:

x வணக்கம்< x max + 0,5·h .

4 . இடைவெளி அளவுகோலுக்கு ஏற்ப, சிறப்பியல்பு மதிப்புகள் தொகுக்கப்படுகின்றன - ஒவ்வொரு பகுதி இடைவெளிக்கும் அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகை கணக்கிடப்படுகிறது. என் ஐ விருப்பம் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது i வது இடைவெளி. இந்த வழக்கில், இடைவெளியில் சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகள் அடங்கும், அவை குறைந்த வரம்பை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ மற்றும் இடைவெளியின் மேல் வரம்பை விட குறைவாகவோ இருக்கும்.

பலகோணம் மற்றும் ஹிஸ்டோகிராம்

தெளிவுக்காக, பல்வேறு புள்ளிவிவர விநியோக வரைபடங்கள் கட்டப்பட்டுள்ளன.

ஒரு தனித்துவமான மாறுபாடு தொடரின் தரவுகளின் அடிப்படையில், அவை உருவாக்கப்படுகின்றன பலகோணம் அதிர்வெண்கள் அல்லது தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள்.

அதிர்வெண் பலகோணம் x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (x கே ; என் கே ) அதிர்வெண் பலகோணத்தை உருவாக்க, விருப்பங்கள் abscissa அச்சில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளன. x i , மற்றும் ஆர்டினேட்டில் - தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள் என் ஐ . புள்ளிகள் ( x i ; என் ஐ ) நேரான பிரிவுகளால் இணைக்கப்பட்டு அதிர்வெண் பலகோணம் பெறப்படுகிறது (படம் 1).

தொடர்புடைய அதிர்வெண்களின் பலகோணம்ஒரு உடைந்த கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் பிரிவுகள் புள்ளிகளை இணைக்கின்றன ( x 1 ; டபிள்யூ 1 ), (x 2 ; டபிள்யூ 2 ), ..., (x கே ; Wk ) தொடர்புடைய அதிர்வெண்களின் பலகோணத்தை உருவாக்க, விருப்பங்கள் abscissa அச்சில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளன. x i , மற்றும் ஆர்டினேட்டில் - தொடர்புடைய சார்பு அதிர்வெண்கள் டபிள்யூ ஐ . புள்ளிகள் ( x i ; டபிள்யூ ஐ ) நேரான பிரிவுகளால் இணைக்கப்பட்டு, தொடர்புடைய அதிர்வெண்களின் பலகோணம் பெறப்படுகிறது.

வழக்கில் தொடர்ச்சியான அடையாளம் கட்டுவது நல்லது ஹிஸ்டோகிராம் .

அதிர்வெண் ஹிஸ்டோகிராம்செவ்வகங்களைக் கொண்ட ஒரு படிநிலை உருவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அவற்றின் தளங்கள் நீளத்தின் பகுதி இடைவெளிகளாகும் ம , மற்றும் உயரங்கள் விகிதத்திற்கு சமம் NIH (அதிர்வெண் அடர்த்தி).

அதிர்வெண் வரைபடத்தை உருவாக்க, அப்சிஸ்ஸா அச்சில் பகுதி இடைவெளிகள் அமைக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு இணையான பகுதிகள் அவற்றின் மேல் தூரத்தில் வரையப்படுகின்றன. NIH .

ஆய்வக வேலை எண். 1

மூலம் கணித புள்ளிவிவரங்கள்

தலைப்பு: சோதனை தரவுகளின் முதன்மை செயலாக்கம்

3. புள்ளிகளில் மதிப்பெண். 1

5. பாதுகாப்பு கேள்விகள்.. 2

6. செயல்படுத்தும் முறை ஆய்வக வேலை.. 3

வேலையின் நோக்கம்

திறன்களைப் பெறுதல் முதன்மை செயலாக்கம்கணித புள்ளியியல் முறைகளைப் பயன்படுத்தி அனுபவ தரவு.

சோதனை தரவுகளின் மொத்தத்தின் அடிப்படையில், பின்வரும் பணிகளை முடிக்கவும்:

பணி 1.இடைவெளி மாறுபாடு விநியோகத் தொடரை உருவாக்கவும்.

பணி 2.இடைவெளி மாறுபாடு தொடரின் அதிர்வெண்களின் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

பணி 3.எழுது அனுபவ செயல்பாடுவிநியோகங்கள் மற்றும் வரைபடத்தை உருவாக்குதல்.

a) முறை மற்றும் இடைநிலை;

b) நிபந்தனை ஆரம்ப தருணங்கள்;

c) மாதிரி சராசரி;

ஈ) மாதிரி மாறுபாடு, சரி செய்யப்பட்ட மாறுபாடு மக்கள் தொகை, சரி செய்யப்பட்ட நிலையான விலகல்;

இ) மாறுபாட்டின் குணகம்;

f) சமச்சீரற்ற தன்மை;

g) குர்டோசிஸ்;

பணி 5.கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மையுடன் ஆய்வு செய்யப்படும் சீரற்ற மாறியின் எண் பண்புகளின் உண்மையான மதிப்புகளின் எல்லைகளைத் தீர்மானிக்கவும்.

பணி 6.பணியின் நிபந்தனைகளுக்கு ஏற்ப முதன்மை செயலாக்கத்தின் முடிவுகளின் உள்ளடக்க அடிப்படையிலான விளக்கம்.

புள்ளிகளில் மதிப்பெண்

பணிகள் 1-5 – 6 புள்ளிகள்

பணி 6 – 2 புள்ளிகள்

ஆய்வக வேலை பாதுகாப்பு(சோதனை கேள்விகள் மற்றும் ஆய்வக வேலைகள் குறித்த வாய்வழி நேர்காணல்) - 2 புள்ளிகள்

வேலை வர உள்ளது எழுத்தில் A4 தாள்களில் மற்றும் பின்வருவனவற்றை உள்ளடக்கியது:

1) முன் பக்கம்(இணைப்பு 1)

2) ஆரம்ப தரவு.

3) குறிப்பிட்ட மாதிரியின் படி வேலை சமர்ப்பித்தல்.

4) கணக்கீடு முடிவுகள் (கைமுறையாக மற்றும்/அல்லது MS Excel ஐப் பயன்படுத்தி) குறிப்பிட்ட வரிசையில்.

5) முடிவுகள் - பிரச்சனையின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப முதன்மை செயலாக்கத்தின் முடிவுகளின் அர்த்தமுள்ள விளக்கம்.

6) வாய்வழி நேர்காணல்வேலை மற்றும் கட்டுப்பாட்டு சிக்கல்கள்.

5. பாதுகாப்பு கேள்விகள்

ஆய்வக வேலைகளைச் செய்வதற்கான முறை

பணி 1. ஒரு இடைவெளி மாறுபாடு விநியோகத் தொடரை உருவாக்குதல்

புள்ளிவிவரத் தரவை ஒரு மாறுபாடு தொடரின் வடிவத்தில் சமமான இடைவெளி விருப்பங்களுடன் வழங்க, இது அவசியம்:

1. அசல் தரவு அட்டவணையில், சிறிய மற்றும் கண்டுபிடிக்க மிக உயர்ந்த மதிப்பு.

2. வரையறுக்கவும் மாறுபாட்டின் வரம்பு :

3. h இன் இடைவெளியின் நீளத்தை தீர்மானிக்கவும், மாதிரியில் 1000 தரவு வரை இருந்தால், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: , அங்கு n – மாதிரி அளவு – மாதிரியில் உள்ள தரவுகளின் அளவு; கணக்கீடுகளுக்கு lgn ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்).

கணக்கிடப்பட்ட விகிதம் வட்டமானது வசதியான முழு எண் மதிப்பு .

4. சம எண்ணிக்கையிலான இடைவெளிகளுக்கு முதல் இடைவெளியின் தொடக்கத்தைத் தீர்மானிக்க, மதிப்பை எடுக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது; மற்றும் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான இடைவெளிகளுக்கு .

5. தொகுத்தல் இடைவெளிகளை எழுதி, எல்லைகளின் ஏறுவரிசையில் அவற்றை வரிசைப்படுத்தவும்

, ,………., ,

முதல் இடைவெளியின் கீழ் வரம்பு எங்கே. ஒரு வசதியான எண் எடுக்கப்பட்டது, அதை விட அதிகமாக இல்லை, கடைசி இடைவெளியின் மேல் வரம்பு குறைவாக இருக்கக்கூடாது. இடைவெளிகளில் சீரற்ற மாறியின் ஆரம்ப மதிப்புகள் இருக்க வேண்டும் மற்றும் பிரிக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது 5 முதல் 20 வரைஇடைவெளிகள்.

6. குழுவாக்கும் இடைவெளிகளில் ஆரம்ப தரவை எழுதவும், அதாவது. குறிப்பிட்ட இடைவெளிகளுக்குள் வரும் சீரற்ற மாறி மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையை மூல அட்டவணையில் இருந்து கணக்கிடவும். சில மதிப்புகள் இடைவெளிகளின் எல்லைகளுடன் ஒத்துப்போனால், பின்னர் அவை முந்தையது அல்லது அதற்குப் பின் வரும் இடைவெளிக்கு மட்டுமே காரணம்.

குறிப்பு 1.இடைவெளிகள் நீளம் சமமாக இருக்க வேண்டியதில்லை. மதிப்புகள் அடர்த்தியாக இருக்கும் பகுதிகளில், சிறிய, குறுகிய இடைவெளிகளை எடுத்துக்கொள்வது மிகவும் வசதியானது, மேலும் அடிக்கடி இடைவெளிகள் குறைவாக இருந்தால், பெரியவை.

குறிப்பு 2.சில மதிப்புகளுக்கு "பூஜ்யம்" அல்லது சிறிய அதிர்வெண் மதிப்புகள் பெறப்பட்டால், தரவை மீண்டும் ஒருங்கிணைக்க வேண்டும், இடைவெளிகளை பெரிதாக்குதல் (படியை அதிகரிக்கும்).

புள்ளிவிவரங்கள் மூலம் ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகள், மக்கள்தொகையின் வெவ்வேறு அலகுகளில் ஒரே காலத்தில் அல்லது கால கட்டத்தில் வேறுபடுகின்றன (ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன). எடுத்துக்காட்டாக, ஃபெடரல் சுங்க சேவையின் பிரிவுகளில் வெளிநாட்டு வர்த்தக விற்றுமுதல் அளவு மாறுபடும்; ஏற்றுமதியின் அளவு (இறக்குமதி) ஏற்றுமதி திசை (வெளிநாட்டு வர்த்தகத்தில் வெவ்வேறு கூட்டாளர் நாடுகளுக்கு), பொருட்களின் வகை போன்றவற்றின் அடிப்படையில் மாறுபடும்.

காரணம் மாறுபாடுகள்உள்ளன வெவ்வேறு நிலைமைகள்மொத்தத்தின் வெவ்வேறு அலகுகளின் இருப்பு. எடுத்துக்காட்டாக, உலகின் பல்வேறு நாடுகளில் வெளிநாட்டு வர்த்தகத்தின் அளவைப் பல காரணங்கள் பாதிக்கின்றன.

புள்ளிவிவரங்கள் மூலம் மாறுபாட்டை நிர்வகிப்பதற்கும் ஆய்வு செய்வதற்கும், மாறுபாட்டைப் படிப்பதற்கான சிறப்பு முறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன, மாறுபாடு அளவிடப்படும் மற்றும் அதன் பண்புகள் வகைப்படுத்தப்படும் உதவியுடன் குறிகாட்டிகளின் அமைப்பு.

முதல் நிலை புள்ளியியல் ஆய்வுமாறுபாடு ஒரு கட்டுமானம் விநியோக தொடர்(அல்லது மாறுபாடு தொடர்) - ஒரு குணாதிசயத்தின் அதிகரிக்கும் (அடிக்கடி) அல்லது குறையும் (குறைவாக) மதிப்புகளின் படி மக்கள்தொகை அலகுகளின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகம் மற்றும் பண்புகளின் குறிப்பிட்ட மதிப்பைக் கொண்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுதல்.

3 உள்ளன வகையானவிநியோக வரிசை:

1) வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடர்- இது ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளின் ஏறுவரிசையில் மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட அலகுகளின் பட்டியல் (எடுத்துக்காட்டாக, அட்டவணை 11); மக்கள்தொகை அலகுகளின் எண்ணிக்கை போதுமானதாக இருந்தால், வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடர் சிக்கலானதாக மாறும், மேலும் இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளின் மதிப்புகளின்படி மக்கள்தொகை அலகுகளை தொகுப்பதன் மூலம் விநியோகத் தொடர் கட்டமைக்கப்படுகிறது (பண்பு குறைந்த எண்ணிக்கையிலான மதிப்புகளை எடுத்துக் கொண்டால் , பின்னர் ஒரு தனித்துவமான தொடர் கட்டப்பட்டது, இல்லையெனில், ஒரு இடைவெளி தொடர்);

2) தனித்த தொடர்- இது இரண்டு நெடுவரிசைகள் (வரிசைகள்) கொண்ட அட்டவணை - மாறுபட்ட பண்புகளின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகள் Xiமற்றும் கொடுக்கப்பட்ட சிறப்பியல்பு மதிப்பு கொண்ட மக்கள்தொகை அலகுகளின் எண்ணிக்கை fi- அதிர்வெண்கள்; ஒரு தனித் தொடரில் உள்ள குழுக்களின் எண்ணிக்கை, மாறுபட்ட பண்புகளின் உண்மையில் இருக்கும் மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது;

3) இடைவெளி தொடர்- இது இரண்டு நெடுவரிசைகள் (வரிசைகள்) கொண்ட அட்டவணை - மாறுபட்ட பண்புகளின் இடைவெளிகள் Xiமற்றும் கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் (அதிர்வெண்கள்) விழும் மக்கள்தொகையின் அலகுகளின் எண்ணிக்கை அல்லது இந்த எண்ணின் விகிதம் மொத்த எண்ணிக்கைமொத்தங்கள் (அதிர்வெண்கள்).

ரஷ்யாவில் உள்ள சுங்கச் சாவடிகளில் வெளிநாட்டு வர்த்தக விற்றுமுதல் (FO) தொடர் விநியோகத்தை உருவாக்குவோம், அதற்காக இது அவசியம் புள்ளியியல் கவனிப்பு, அதாவது, சுங்கச் சாவடிகளில் VO இன் மதிப்பைக் குறிக்கும் முதன்மையான புள்ளிவிவரப் பொருளைச் சேகரிப்பது.

பிராந்தியத்தில் உள்ள 35 சுங்கச் சாவடிகளில் VO கண்காணிப்பு முடிவுகள் அறிக்கை காலம் VO இன் மதிப்பை அதிகரிப்பதன் மூலம் தரவரிசைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத் தொடரின் வடிவத்தில் அதை வழங்குவோம் (அட்டவணை 11).

அட்டவணை 11. 35 சுங்க இடுகைகளுக்கான வெளிநாட்டு வர்த்தக விற்றுமுதல் (FO), மில்லியன் டாலர்கள்.

வரையறுப்போம் நடுத்தர அளவுசூத்திரம் (10) படி VO, என எடுத்துக்கொள்வது எக்ஸ் VO இன் மதிப்பு, மற்றும் என்- பதவிகளின் எண்ணிக்கை:

= = 2100/35 = 60 (மில்லியன் டாலர்கள்)

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (28) மாறுபாட்டை நாங்கள் தீர்மானிப்போம் (அதைப் பற்றி சிறிது நேரம் கழித்து பேசுவோம் - இந்த தலைப்பில் மாறுபாட்டின் பகுப்பாய்வின் 4 வது கட்டத்தில்):

= = 445.778 (மில்லியன் டாலர்கள் 2)

சுங்க இடுகைகள் மூலம் VO விநியோகத்தின் இடைவெளித் தொடரை உருவாக்குவோம், அதற்காக உகந்த எண்ணிக்கையிலான குழுக்களைத் (பண்பு இடைவெளிகள்) தேர்ந்தெடுத்து இடைவெளியின் நீளம் (வரம்பு) அமைக்க வேண்டியது அவசியம். ஒரு விநியோகத் தொடரை பகுப்பாய்வு செய்யும் போது, ​​வெவ்வேறு இடைவெளிகளில் உள்ள அதிர்வெண்கள் ஒப்பிடப்படுவதால், இடைவெளிகளின் நீளம் நிலையானதாக இருப்பது அவசியம். குழுக்களின் உகந்த எண்ணிக்கை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, இதனால் மொத்தத்தில் உள்ள பண்புக்கூறு மதிப்புகளின் பன்முகத்தன்மை போதுமான அளவு பிரதிபலிக்கிறது, அதே நேரத்தில், சீரற்ற அதிர்வெண் ஏற்ற இறக்கங்களால் விநியோக முறை சிதைந்துவிடாது. மிகக் குறைவான குழுக்கள் இருந்தால், மாறுபாட்டின் வடிவம் தோன்றாது; பல குழுக்கள் இருந்தால், சீரற்ற அதிர்வெண் தாவல்கள் விநியோகத்தின் வடிவத்தை சிதைக்கும்.

பெரும்பாலும், விநியோகத் தொடரில் உள்ள குழுக்களின் எண்ணிக்கை ஸ்டர்கெஸ் சூத்திரம் (19) அல்லது (20) ஐப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

(19) அல்லது ,(20)

எங்கே கே- குழுக்களின் எண்ணிக்கை (அருகிலுள்ள முழு எண்ணுக்கு வட்டமானது); என்- மக்கள் தொகை அளவு.

ஸ்டர்ஜஸ் ஃபார்முலாவில் இருந்து குழுக்களின் எண்ணிக்கையானது தரவு அளவின் செயல்பாடு என்பது தெளிவாகிறது ( என்).

குழுக்களின் எண்ணிக்கையை அறிந்து, சூத்திரத்தை (21) பயன்படுத்தி இடைவெளியின் நீளத்தை (ஸ்பான்) கணக்கிடுங்கள்:

,(21)

எங்கே எக்ஸ்அதிகபட்சம் மற்றும் எக்ஸ்நிமிடம் - மொத்தத்தில் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகள்.

VO பற்றிய எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், ஸ்டர்ஜஸ் ஃபார்முலா (19) ஐப் பயன்படுத்தி, குழுக்களின் எண்ணிக்கையை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

கே = 1 + 3,322lg 35 = 1+ 3,322*1,544 = 6,129 ≈ 6.

சூத்திரம் (21) ஐப் பயன்படுத்தி இடைவெளியின் நீளத்தை (span) கணக்கிடுவோம்:

ம= (111.16 – 24.16)/6 = 87/6 = 14.5 (மில்லியன் டாலர்கள்).

இப்போது 14.5 மில்லியன் டாலர் இடைவெளியுடன் 6 குழுக்களுடன் ஒரு இடைவெளி தொடரை உருவாக்குவோம். (அட்டவணை 12 இன் முதல் 3 நெடுவரிசைகளைப் பார்க்கவும்).

அட்டவணை 12. சுங்க இடுகைகள் மூலம் VO விநியோகத்தின் இடைவெளி தொடர், மில்லியன் டாலர்கள்.

விநியோகத் தொடர் மற்றும் அதன் பண்புகளின் பகுப்பாய்வில் குறிப்பிடத்தக்க உதவி வழங்கப்படுகிறது வரைகலை படம். ஒரு இடைவெளித் தொடர் ஒரு பார் விளக்கப்படத்தால் சித்தரிக்கப்படுகிறது, இதில் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் அமைந்துள்ள பார்களின் தளங்கள் மாறுபட்ட பண்புகளின் மதிப்புகளின் இடைவெளிகளாகும், மேலும் பார்களின் உயரங்கள் ஆர்டினேட்டுடன் கூடிய அளவோடு தொடர்புடைய அதிர்வெண்களாகும். அச்சு. VO இன் மதிப்பின் படி மாதிரியில் சுங்க இடுகைகளின் விநியோகத்தின் வரைகலை பிரதிநிதித்துவம் படம். 4. இந்த வகை வரைபடம் அழைக்கப்படுகிறது ஹிஸ்டோகிராம் .

அரிசி. 4. விநியோக வரைபடம் படம். 5. விநியோக பலகோணம்

அட்டவணை தரவு 12 மற்றும் அத்தி. 4 பல குணாதிசயங்களின் ஒரு விநியோக வடிவ பண்பைக் காட்டுகிறது: குணாதிசயத்தின் சராசரி இடைவெளிகளின் மதிப்புகள் மிகவும் பொதுவானவை, மேலும் சிறப்பியல்புகளின் தீவிர (சிறிய மற்றும் பெரிய) மதிப்புகள் குறைவாகவே உள்ளன. இந்த விநியோகத்தின் வடிவம் சாதாரண விநியோகச் சட்டத்திற்கு அருகில் உள்ளது, இது ஒரு மாறுபட்ட மாறியானது அதிக எண்ணிக்கையிலான காரணிகளால் பாதிக்கப்படும் பட்சத்தில் உருவாகிறது.

ஒரு தனித்துவமான விநியோகத் தொடர் இருந்தால் அல்லது இடைவெளிகளின் நடுப்புள்ளிகள் பயன்படுத்தப்பட்டால் (VO பற்றிய எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் - 4 வது நெடுவரிசையில் அட்டவணை 12 இல், இடைவெளிகளின் நடுப்புள்ளிகள் தொடக்கத்தின் மதிப்புகளின் அரைத் தொகையாகக் கணக்கிடப்படுகின்றன. மற்றும் இடைவெளியின் முடிவு), பின்னர் அத்தகைய தொடரின் வரைகலை பிரதிநிதித்துவம் அழைக்கப்படுகிறது பலகோணம்(படம் 5 ஐப் பார்க்கவும்), இது நேர்கோடுகளுடன் ஆயத்தொலைவுகளுடன் புள்ளிகளை இணைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது Xiமற்றும் fi.

உயர் தொழில்முறை கல்வி

"ரஷியன் அகாடமி ஆஃப் நேஷனல் எகானமி மற்றும்

ஜனாதிபதியின் கீழ் சிவில் சர்வீஸ்

ரஷ்ய கூட்டமைப்பு"

(களுகா கிளை)

இயற்கை அறிவியல் மற்றும் கணிதத் துறை

சோதனை

"புள்ளிவிவரங்கள்" என்ற பிரிவில்

மாணவி___மேபரோடா கலினா யூரிவ்னா______

மாநில கடிதத் துறை ஆசிரியர் மற்றும் நகராட்சி அரசாங்கம்குழு G-12-V

ஆசிரியர் __________________ ஹேமர் ஜி.வி.

கல்வியியல் அறிவியல் வேட்பாளர், இணை பேராசிரியர்

கலுகா-2013

பணி 1.

பணி 1.1. 4

சிக்கல் 1.2. 16

பிரச்சனை 1.3. 24

சிக்கல் 1.4. 33

பணி 2.

பணி 2.1. 43

பணி 2.2. 48

பிரச்சனை 2.3. 53

சிக்கல் 2.4. 58

பணி 3.

பணி 3.1. 63

சிக்கல் 3.2. 68

பிரச்சனை 3.3. 73

சிக்கல் 3.4. 79

பணி 4.

சிக்கல் 4.1. 85

சிக்கல் 4.2. 88

சிக்கல் 4.3. 90

சிக்கல் 4.4. 93

பயன்படுத்தப்பட்ட ஆதாரங்களின் பட்டியல். 96

பணி 1.

பணி 1.1.

பின்வரும் தரவு தயாரிப்பு வெளியீடு மற்றும் பிராந்திய நிறுவனங்களின் லாபத்தின் அளவு (அட்டவணை 1) இல் கிடைக்கிறது.

அட்டவணை 1

உற்பத்தி வெளியீடு மற்றும் நிறுவனங்களின் லாபத்தின் அளவு பற்றிய தரவு

ஆரம்ப தரவுகளின்படி:

1. வெளியீட்டின் மூலம் நிறுவனங்களின் விநியோகத்தின் புள்ளிவிவரத் தொடரை உருவாக்குதல், சம இடைவெளிகளுடன் ஐந்து குழுக்களை உருவாக்குதல்.

விநியோக தொடர் வரைபடங்களை உருவாக்கவும்: பலகோணம், ஹிஸ்டோகிராம், குவிப்பு. பயன்முறை மற்றும் இடைநிலை மதிப்பை வரைபடமாக தீர்மானிக்கவும்.

2. வெளியீட்டின் மூலம் நிறுவனங்களின் விநியோகத் தொடரின் பண்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்: எண்கணித சராசரி, சிதறல், சராசரி நிலையான விலகல், மாறுபாட்டின் குணகம்.

ஒரு முடிவை வரையவும்.

3. பகுப்பாய்வுக் குழுவின் முறையைப் பயன்படுத்தி, உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருட்களின் விலை மற்றும் ஒரு நிறுவனத்திற்கான லாபத்தின் அளவு ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள தொடர்புகளின் இருப்பு மற்றும் தன்மையை நிறுவவும்.

4. ஒரு அனுபவ தொடர்பு விகிதத்தைப் பயன்படுத்தி உற்பத்திச் செலவுக்கும் லாபத்தின் அளவுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பின் நெருக்கத்தை அளவிடவும்.

பொதுவான முடிவுகளை வரையவும்.

தீர்வு:

புள்ளிவிவர விநியோகத் தொடரை உருவாக்குவோம்

உற்பத்தி அளவின் மூலம் நிறுவனங்களின் விநியோகத்தை வகைப்படுத்தும் இடைவெளி மாறுபாடு தொடரை உருவாக்க, தொடரின் இடைவெளிகளின் மதிப்பு மற்றும் எல்லைகளை கணக்கிடுவது அவசியம்.

சம இடைவெளிகளுடன் தொடரை உருவாக்கும்போது, ​​இடைவெளியின் அளவு மசூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

x அதிகபட்சம்மற்றும் x நிமிடம்- பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்புஆய்வின் கீழ் உள்ள நிறுவனங்களின் மக்கள்தொகையில் சிறப்பியல்பு;

கே- இடைவெளி தொடர் குழுக்களின் எண்ணிக்கை.

குழுக்களின் எண்ணிக்கை கேபணி நிலையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. கே= 5.

x அதிகபட்சம்= 81 மில்லியன் ரூபிள், x நிமிடம்= 21 மில்லியன் ரூபிள்.

இடைவெளி அளவைக் கணக்கிடுதல்:

மில்லியன் ரூபிள்

இடைவெளி h = 12 மில்லியன் ரூபிள் மதிப்பை தொடர்ச்சியாக சேர்ப்பதன் மூலம். இடைவெளியின் கீழ் எல்லைக்கு, நாம் பெறுகிறோம் பின்வரும் குழுக்கள்:

குழு 1: 21 - 33 மில்லியன் ரூபிள்.

குழு 2: 33 - 45 மில்லியன் ரூபிள்;

குழு 3: 45 - 57 மில்லியன் ரூபிள்.

குழு 4: 57 - 69 மில்லியன் ரூபிள்.

குழு 5: 69 - 81 மில்லியன் ரூபிள்.

இடைவெளி தொடரை உருவாக்க, ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள நிறுவனங்களின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுவது அவசியம் ( அதிர்வெண் குழுக்கள்).

உற்பத்தி அளவு மூலம் நிறுவனங்களை குழுவாக்கும் செயல்முறை துணை அட்டவணை 2 இல் வழங்கப்படுகிறது. இந்த அட்டவணையின் நெடுவரிசை 4 ஒரு பகுப்பாய்வு குழுவை உருவாக்குவதற்கு அவசியம் (பணியின் உருப்படி 3).

அட்டவணை 2

இடைவெளி விநியோகத் தொடர்களை உருவாக்குவதற்கான அட்டவணை மற்றும்

பகுப்பாய்வு குழு

அட்டவணை 3 இன் "மொத்தம்" குழுவின் மொத்த வரிகளின் அடிப்படையில், இறுதி அட்டவணை 3 உருவாக்கப்பட்டது, இது உற்பத்தி அளவின் மூலம் நிறுவனங்களின் விநியோகத்தின் இடைவெளித் தொடரைக் குறிக்கிறது.

அட்டவணை 3

உற்பத்தி அளவின் அடிப்படையில் நிறுவனங்களின் விநியோகத் தொடர்

முடிவுரை.உற்பத்தி அளவின் அடிப்படையில் நிறுவனங்களின் விநியோகம் ஒரே மாதிரியாக இல்லை என்பதை நிர்மாணிக்கப்பட்ட குழு காட்டுகிறது. 45 முதல் 57 மில்லியன் ரூபிள் உற்பத்தி அளவு கொண்ட நிறுவனங்கள் மிகவும் பொதுவானவை. (12 நிறுவனங்கள்). 69 முதல் 81 மில்லியன் ரூபிள் உற்பத்தி அளவு கொண்ட நிறுவனங்கள் மிகவும் பொதுவானவை. (3 நிறுவனங்கள்).

விநியோகத் தொடர் வரைபடங்களைத் திட்டமிடுவோம்.

பலகோணம் தனித்த தொடர்களை சித்தரிக்க பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் பலகோணத்தை உருவாக்க, வாதத்தின் மதிப்புகள் x- அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன, அதாவது, விருப்பங்கள் (இடைவெளி மாறுபாடு தொடருக்கு, இடைவெளியின் நடுப்பகுதி ஒரு வாதமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது) மற்றும் அதிர்வெண் மதிப்புகள் ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட அச்சில் உள்ளன. அடுத்து, இந்த ஆய அமைப்பில் புள்ளிகள் கட்டமைக்கப்படுகின்றன, அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் மாறுபாடு தொடரிலிருந்து தொடர்புடைய எண்களின் ஜோடிகளாகும். இதன் விளைவாக வரும் புள்ளிகள் நேர் கோடு பிரிவுகளால் வரிசையாக இணைக்கப்படுகின்றன. பலகோணம் படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

ஹிஸ்டோகிராம் - பார் விளக்கப்படம். விநியோகத்தின் சமச்சீர்மையை மதிப்பீடு செய்ய இது உங்களை அனுமதிக்கிறது. ஹிஸ்டோகிராம் படம் 2 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

படம் 1 - தொகுதி வாரியாக நிறுவனங்களின் விநியோகத்திற்கான பலகோணம்

தயாரிப்பு வெளியீடு

படம் 2 - தொகுதி மூலம் நிறுவனங்களின் விநியோகத்தின் வரலாறு

தயாரிப்பு வெளியீடு

ஃபேஷன்- ஆய்வுக்குட்பட்ட மக்கள்தொகையில் அடிக்கடி நிகழும் பண்புக்கூறின் மதிப்பு.

ஒரு இடைவெளித் தொடருக்கு, ஹிஸ்டோகிராமில் இருந்து பயன்முறையை வரைபடமாகத் தீர்மானிக்கலாம் (படம் 2). இதற்காக, மிக உயர்ந்த செவ்வகம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, இந்த விஷயத்தில் மாதிரி (45 - 57 மில்லியன் ரூபிள்). மாதிரி செவ்வகத்தின் வலது முனையானது முந்தைய செவ்வகத்தின் மேல் வலது மூலையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. மற்றும் மாதிரி செவ்வகத்தின் இடது முனை - அடுத்தடுத்த செவ்வகத்தின் மேல் இடது மூலையுடன். அடுத்து, அவற்றின் வெட்டும் புள்ளியில் இருந்து, ஒரு செங்குத்தாக abscissa அச்சில் குறைக்கப்படுகிறது. இந்த வரிகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் abscissa விநியோக பயன்முறையாக இருக்கும்.

மில்லியன் தேய்க்க.

முடிவுரை.பரிசீலனையில் உள்ள நிறுவனங்களின் தொகுப்பில், 52 மில்லியன் ரூபிள் தயாரிப்பு வெளியீட்டைக் கொண்ட நிறுவனங்கள் மிகவும் பொதுவானவை.

குவிகிறது - உடைந்த வளைவு. இது திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண்களைப் பயன்படுத்தி கட்டப்பட்டுள்ளது (அட்டவணை 4 இல் கணக்கிடப்பட்டுள்ளது). குவிப்பு முதல் இடைவெளியின் (21 மில்லியன் ரூபிள்) குறைந்த வரம்பிலிருந்து தொடங்குகிறது, திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண் இடைவெளியின் மேல் வரம்பில் டெபாசிட் செய்யப்படுகிறது. தொகுப்பு படம் 3 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

படம் 3 - தொகுதி வாரியாக நிறுவனங்களின் ஒட்டுமொத்த விநியோகம்

தயாரிப்பு வெளியீடு

மீடியன் மீ- இது தரவரிசைத் தொடரின் நடுவில் விழும் பண்புக்கூறின் மதிப்பு. இடைநிலையின் இருபுறமும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான மக்கள்தொகை அலகுகள் உள்ளன.

ஒரு இடைவெளி தொடரில், சராசரியை தீர்மானிக்க முடியும் வரைகலை முறைஒட்டுமொத்த வளைவின் படி. 50% (30:2 = 15) க்கு தொடர்புடைய திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண் அளவில் ஒரு புள்ளியில் இருந்து இடைநிலையைத் தீர்மானிக்க, அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு இணையாக ஒரு நேர் கோட்டை வரையவும். பின்னர், குமுலேட்டுடன் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியிலிருந்து, ஒரு செங்குத்தாக அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு குறைக்கப்படுகிறது. வெட்டும் புள்ளியின் abscissa இடைநிலை ஆகும்.

மில்லியன் தேய்க்க.

முடிவுரை.பரிசீலனையில் உள்ள நிறுவனங்களின் தொகுப்பில், பாதி நிறுவனங்களின் உற்பத்தி அளவு 52 மில்லியன் ரூபிள்களுக்கு மேல் இல்லை, மற்ற பாதி - 52 மில்லியனுக்கும் குறைவாக இல்லை.

தொடர்புடைய தகவல்கள்.

சமூக-பொருளாதார நிகழ்வுகள் மற்றும் செயல்முறைகளின் ஆய்வில் மிக முக்கியமான கட்டம் முதன்மை தரவை முறைப்படுத்துதல் மற்றும் இந்த அடிப்படையில் பெறுதல் ஆகும். சுருக்க பண்புகள்முழு பொருளும் பொதுமைப்படுத்தும் குறிகாட்டிகளைப் பயன்படுத்துகிறது, இது முதன்மை புள்ளியியல் பொருளைச் சுருக்கி தொகுப்பதன் மூலம் அடையப்படுகிறது.

புள்ளியியல் சுருக்கம் - இது ஒட்டுமொத்தமாக ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வில் உள்ள பொதுவான அம்சங்கள் மற்றும் வடிவங்களை அடையாளம் காண்பதற்காக ஒரு தொகுப்பை உருவாக்கும் குறிப்பிட்ட தனிப்பட்ட உண்மைகளை பொதுமைப்படுத்துவதற்கான தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் சிக்கலானது. புள்ளிவிவர சுருக்கத்தை நடத்துவது பின்வரும் படிகளை உள்ளடக்கியது :

• தொகுத்தல் பண்புகளின் தேர்வு;
• குழு உருவாக்கத்தின் வரிசையை தீர்மானித்தல்;
• குழுக்கள் மற்றும் ஒட்டுமொத்த பொருளை வகைப்படுத்த புள்ளிவிவர குறிகாட்டிகளின் அமைப்பின் வளர்ச்சி;
• சுருக்கமான முடிவுகளை வழங்க புள்ளியியல் அட்டவணை அமைப்புகளை உருவாக்குதல்.

புள்ளியியல் குழுவாக்கம் ஆய்வின் கீழ் உள்ள மக்கள்தொகையின் அலகுகளை அவர்களுக்கு அவசியமான சில குணாதிசயங்களின்படி ஒரே மாதிரியான குழுக்களாகப் பிரித்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குழுக்கள் மிக முக்கியமானவை புள்ளியியல் முறைபுள்ளிவிவர தரவுகளின் பொதுமைப்படுத்தல், புள்ளியியல் குறிகாட்டிகளின் சரியான கணக்கீட்டிற்கான அடிப்படை.

வேறுபடுத்தி பின்வரும் வகைகள்குழுக்கள்: அச்சுக்கலை, கட்டமைப்பு, பகுப்பாய்வு. பொருளின் அலகுகள் சில குணாதிசயங்களின்படி குழுக்களாகப் பிரிக்கப்படுவதால் இந்த குழுக்கள் அனைத்தும் ஒன்றுபட்டுள்ளன.

தொகுத்தல் அம்சம் மக்கள்தொகையின் அலகுகள் தனித்தனி குழுக்களாக பிரிக்கப்படும் ஒரு பண்பு ஆகும். இருந்துசரியான தேர்வு தொகுத்தல் பண்பு முடிவுகளைப் பொறுத்ததுபுள்ளியியல் ஆராய்ச்சி

. குழுவாக்குவதற்கான அடிப்படையாக, குறிப்பிடத்தக்க, கோட்பாட்டு அடிப்படையிலான பண்புகளை (அளவு அல்லது தரம்) பயன்படுத்துவது அவசியம். குழுவின் அளவு பண்புகள் ஒரு எண்ணியல் வெளிப்பாடு (வர்த்தக அளவு, நபரின் வயது, குடும்ப வருமானம் போன்றவை) மற்றும் குழுவின் தரமான அறிகுறிகள்

மக்கள்தொகை பிரிவின் நிலையை பிரதிபலிக்கிறது (பாலினம், திருமண நிலை, நிறுவனத்தின் தொழில், அதன் உரிமை வடிவம் போன்றவை).

எடுத்துக்காட்டாக, உரிமையின் வகையின் அடிப்படையில் நிறுவனங்களின் குழுவாக்கம் நகராட்சி, கூட்டாட்சி மற்றும் கூட்டாட்சி பொருள் சொத்துக்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது. ஒரு அளவு அளவுகோலின் படி குழுவாக்கம் மேற்கொள்ளப்பட்டால், ஆய்வின் கீழ் உள்ள பொருளின் அலகுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் தொகுத்தல் பண்புகளின் ஏற்ற இறக்கத்தின் அளவு ஆகியவற்றில் சிறப்பு கவனம் செலுத்த வேண்டியது அவசியம்.

குழுக்களின் எண்ணிக்கை தீர்மானிக்கப்பட்டவுடன், குழு இடைவெளிகள் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும். இடைவெளி - இவை சில எல்லைகளுக்குள் இருக்கும் மாறுபட்ட பண்புகளின் மதிப்புகள். ஒவ்வொரு இடைவெளிக்கும் அதன் சொந்த மதிப்பு, மேல் மற்றும் கீழ் எல்லைகள் அல்லது குறைந்தபட்சம் ஒன்று உள்ளது.

இடைவெளியின் குறைந்த வரம்பு இடைவெளியில் உள்ள குணாதிசயத்தின் சிறிய மதிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மற்றும் மேல் வரம்பு - இடைவெளியில் உள்ள பண்புகளின் மிக உயர்ந்த மதிப்பு. இடைவெளியின் மதிப்பு மேல் மற்றும் கீழ் எல்லைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு.

குழுவாக்கும் இடைவெளிகள், அவற்றின் அளவைப் பொறுத்து: சமம் மற்றும் சமமற்றது. ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாடு ஒப்பீட்டளவில் குறுகிய எல்லைகளுக்குள் தன்னை வெளிப்படுத்துகிறது மற்றும் விநியோகம் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், ஒரு குழு சம இடைவெளியில் கட்டமைக்கப்படுகிறது. சம இடைவெளியின் மதிப்பு பின்வரும் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது :

இதில் Xmax, Xmin ஆகியவை மொத்தப் பண்புகளின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகள் ஆகும்; n - குழுக்களின் எண்ணிக்கை.

தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு குழுவும் ஒரு குறிகாட்டியால் வகைப்படுத்தப்படும் எளிமையான குழுவாக்கம், ஒரு விநியோகத் தொடரைக் குறிக்கிறது.

புள்ளியியல் தொடர்விநியோகம் - இது ஒரு குறிப்பிட்ட குணாதிசயத்தின்படி மக்கள்தொகை அலகுகளை குழுக்களாக ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட விநியோகமாகும். விநியோகத் தொடரின் உருவாக்கத்திற்கு அடிப்படையான பண்புக்கூறைப் பொறுத்து, பண்புக்கூறு மற்றும் மாறுபாடு தொடர்விநியோகங்கள்.

பண்புக்கூறு தரமான குணாதிசயங்களின்படி கட்டப்பட்ட விநியோகத் தொடர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அதாவது எண் வெளிப்பாடு இல்லாத பண்புகள் (உழைப்பின் வகை, பாலினம், தொழில் மூலம் விநியோகம் போன்றவை). பண்புக்கூறு விநியோகத் தொடர்கள் சில அத்தியாவசிய பண்புகளின்படி மக்கள்தொகையின் கலவையை வகைப்படுத்துகின்றன. பல காலகட்டங்களில் எடுக்கப்பட்ட, இந்தத் தரவுகள் கட்டமைப்பில் ஏற்படும் மாற்றங்களைப் படிப்பதை சாத்தியமாக்குகின்றன.

மாறுபட்ட தொடர் அளவு குணாதிசயங்களின்படி கட்டப்பட்ட விநியோகத் தொடர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எந்த மாறுபாடு வரிசையும் இரண்டு கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது: விருப்பங்கள் மற்றும் அதிர்வெண்கள். விருப்பங்கள் மாறுபாடு தொடரில் எடுக்கும் குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அதாவது மாறுபடும் பண்புகளின் குறிப்பிட்ட மதிப்பு.

அதிர்வெண்கள் தனிப்பட்ட மாறுபாடுகளின் எண்கள் அல்லது ஒரு மாறுபாடு தொடரின் ஒவ்வொரு குழுவும் அழைக்கப்படுகின்றன, அதாவது, விநியோகத் தொடரில் சில மாறுபாடுகள் எவ்வளவு அடிக்கடி நிகழ்கின்றன என்பதைக் காட்டும் எண்கள் இவை. அனைத்து அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகை முழு மக்கள்தொகையின் அளவையும், அதன் அளவையும் தீர்மானிக்கிறது. அதிர்வெண்கள் ஒரு அலகின் பின்னங்களில் அல்லது மொத்தத்தின் சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படும் அதிர்வெண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அதன்படி, அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகை 1 அல்லது 100% ஆகும்.

ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டின் தன்மையைப் பொறுத்து, மாறுபாடு தொடர்களின் மூன்று வடிவங்கள் வேறுபடுகின்றன: தரவரிசைத் தொடர், தனித் தொடர் மற்றும் இடைவெளித் தொடர்.

வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மாறுபாடு தொடர் - இது ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளின் ஏறுவரிசை அல்லது இறங்கு வரிசையில் மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட அலகுகளின் விநியோகம் ஆகும். தரவரிசையானது, அளவு தரவுகளை குழுக்களாக எளிதாகப் பிரிக்கவும், ஒரு குணாதிசயத்தின் மிகச்சிறிய மற்றும் பெரிய மதிப்புகளை உடனடியாகக் கண்டறியவும், அடிக்கடி மீண்டும் மீண்டும் வரும் மதிப்புகளை முன்னிலைப்படுத்தவும் உங்களை அனுமதிக்கிறது.

தனித்த மாறுபாடு தொடர் முழு எண் மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும் தனித்துவமான பண்புக்கூறின் படி மக்கள்தொகை அலகுகளின் விநியோகத்தை வகைப்படுத்துகிறது. உதாரணமாக, கட்டண வகை, குடும்பத்தில் உள்ள குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை, நிறுவனத்தில் உள்ள ஊழியர்களின் எண்ணிக்கை போன்றவை.

ஒரு குணாதிசயம் தொடர்ச்சியான மாற்றத்தைக் கொண்டிருந்தால், குறிப்பிட்ட வரம்புகளுக்குள் எந்த மதிப்புகளையும் ("இருந்து - வரை") எடுக்க முடியும் என்றால், இந்த குணாதிசயத்தை உருவாக்குவது அவசியம். இடைவெளி மாறுபாடு தொடர் . எடுத்துக்காட்டாக, வருமானத்தின் அளவு, சேவையின் நீளம், நிறுவனத்தின் நிலையான சொத்துகளின் விலை போன்றவை.

"புள்ளிவிவர சுருக்கம் மற்றும் குழுவாக்கம்" என்ற தலைப்பில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

பிரச்சனை 1 . கடந்த கல்வியாண்டில் மாணவர்கள் சந்தா மூலம் பெற்ற புத்தகங்களின் எண்ணிக்கை பற்றிய தகவல்கள் உள்ளன.

வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் தனித்த மாறுபாடு விநியோகத் தொடரை உருவாக்குதல், தொடரின் கூறுகளைக் குறிக்கும்.

தீர்வு

இந்த தொகுப்பு மாணவர்கள் பெறும் புத்தகங்களின் எண்ணிக்கைக்கான பல விருப்பங்களைக் குறிக்கிறது. அத்தகைய விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையை எண்ணி, அவற்றை மாறுபாடு தரவரிசை மற்றும் மாறுபாடு தனித்துவமான விநியோகத் தொடர்களின் வடிவத்தில் வரிசைப்படுத்துவோம்.

பிரச்சனை 2 . 50 நிறுவனங்களுக்கான நிலையான சொத்துக்களின் விலை, ஆயிரம் ரூபிள் பற்றிய தரவு உள்ளது.

5 குழுக்களின் நிறுவனங்களை (சம இடைவெளியில்) முன்னிலைப்படுத்தி, விநியோகத் தொடரை உருவாக்குங்கள்.

தீர்வு

தீர்க்க, நிறுவனங்களின் நிலையான சொத்துக்களின் மதிப்பின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுப்போம்.

இவை 30.0 மற்றும் 10.2 ஆயிரம் ரூபிள்.

முதல் குழுவில் 10.2 ஆயிரம் ரூபிள் இருந்து நிலையான சொத்துக்கள் உள்ள நிறுவனங்கள் அடங்கும். 10.2+3.96=14.16 ஆயிரம் ரூபிள் வரை. அத்தகைய 9 நிறுவனங்கள் இருக்கும், இரண்டாவது குழுவில் 14.16 ஆயிரம் ரூபிள் இருந்து நிலையான சொத்துக்கள் இருக்கும். 14.16+3.96=18.12 ஆயிரம் ரூபிள் வரை. இதுபோன்ற 16 நிறுவனங்கள் இருக்கும், மூன்றாவது, நான்காவது மற்றும் ஐந்தாவது குழுக்களில் உள்ள நிறுவனங்களின் எண்ணிக்கையை நாங்கள் கண்டுபிடிப்போம்.

இதன் விளைவாக விநியோகத் தொடரை அட்டவணையில் வைக்கிறோம்.

பிரச்சனை 3 . பல இலகுரக தொழில் நிறுவனங்களுக்காக பின்வரும் தரவு பெறப்பட்டது:

தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கையால் நிறுவனங்களைத் தொகுக்கவும், சம இடைவெளியில் 6 குழுக்களை உருவாக்கவும்.

ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் கணக்கிடுங்கள்:
1. நிறுவனங்களின் எண்ணிக்கை
2. தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கை
3. வருடத்திற்கு உற்பத்தி செய்யப்படும் பொருட்களின் அளவு
4. ஒரு தொழிலாளிக்கு சராசரி உண்மையான வெளியீடு
5. நிலையான சொத்துக்களின் அளவு
6. ஒரு நிறுவனத்தின் நிலையான சொத்துக்களின் சராசரி அளவு

7. ஒரு நிறுவனத்தால் உற்பத்தி செய்யப்படும் பொருட்களின் சராசரி மதிப்பு

தீர்வு

கணக்கீட்டு முடிவுகளை அட்டவணையில் வழங்கவும். முடிவுகளை வரையவும்.

தீர்க்க, நிறுவனத்தில் உள்ள தொழிலாளர்களின் சராசரி எண்ணிக்கையின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுப்போம். இவை 43 மற்றும் 256 ஆகும்.

இடைவெளியின் அளவைக் கண்டுபிடிப்போம்: h = (256-43):6 = 35.5

முதல் குழுவில் சராசரியாக 43 முதல் 43 + 35.5 = 78.5 பேர் வரை உள்ள நிறுவனங்களும் அடங்கும்.

இரண்டாவது குழுவில் 78.5 முதல் 78.5+35.5=114 பேர் வரை இருக்கும் நிறுவனங்களை உள்ளடக்கியதாக இருக்கும். இதுபோன்ற 12 நிறுவனங்கள் இருக்கும், மூன்றாவது, நான்காவது, ஐந்தாவது மற்றும் ஆறாவது குழுக்களில் உள்ள நிறுவனங்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டுபிடிப்போம். இதன் விளைவாக வரும் விநியோகத் தொடரை அட்டவணையில் வைத்து ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் தேவையான குறிகாட்டிகளைக் கணக்கிடுகிறோம்:

முடிவுரை

: அட்டவணையில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், நிறுவனங்களின் இரண்டாவது குழு மிகவும் அதிகமானது. இதில் 12 நிறுவனங்கள் அடங்கும். மிகச்சிறிய குழுக்கள் ஐந்தாவது மற்றும் ஆறாவது குழுக்கள் (தலா இரண்டு நிறுவனங்கள்). இவை மிகப்பெரிய நிறுவனங்கள் (தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கையின் அடிப்படையில்).