24 எண்கணித முன்னேற்றம். எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது: சூத்திரங்கள் மற்றும் அவற்றின் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டு

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை ஒரு எளிய விஷயம். பொருளிலும் சூத்திரத்திலும். ஆனால் இந்த தலைப்பில் அனைத்து வகையான பணிகளும் உள்ளன. அடிப்படையிலிருந்து மிகவும் திடமானது.

முதலில், தொகையின் பொருளையும் சூத்திரத்தையும் புரிந்துகொள்வோம். பின்னர் முடிவு செய்வோம். உங்கள் சொந்த மகிழ்ச்சிக்காக.) தொகையின் பொருள் ஒரு மூ போல எளிமையானது. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய, நீங்கள் அதன் அனைத்து விதிமுறைகளையும் கவனமாகச் சேர்க்க வேண்டும். இந்த விதிமுறைகள் குறைவாக இருந்தால், எந்த சூத்திரமும் இல்லாமல் சேர்க்கலாம். ஆனால் நிறைய, அல்லது நிறைய இருந்தால் ... கூடுதலாக எரிச்சலூட்டும்.) இந்த விஷயத்தில், சூத்திரம் மீட்புக்கு வருகிறது.

தொகைக்கான சூத்திரம் எளிது:

சூத்திரத்தில் என்ன வகையான எழுத்துக்கள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இது நிறைய விஷயங்களை தெளிவுபடுத்தும்.

எஸ் என் - ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை. கூட்டல் முடிவு அனைவரும்உறுப்பினர்கள், உடன் முதலில்மூலம் கடைசி.இது முக்கியமானது. அவை சரியாகக் கூட்டுகின்றன அனைத்துஒரு வரிசையில் உறுப்பினர்கள், தவிர்க்காமல் அல்லது தவிர்க்காமல். மற்றும், துல்லியமாக, தொடங்கி முதலில்.மூன்றாவது மற்றும் எட்டாவது சொற்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது ஐந்தாவது முதல் இருபதாம் வரையிலான சொற்களின் கூட்டுத்தொகை போன்ற சிக்கல்களில் - நேரடி விண்ணப்பம்சூத்திரங்கள் ஏமாற்றமளிக்கும்.)

ஒரு 1 - முதலில்முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர். இங்கே எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது, அது எளிது முதலில்வரிசை எண்.

ஒரு n- கடைசிமுன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர். தொடரின் கடைசி எண். மிகவும் பரிச்சயமான பெயர் இல்லை, ஆனால் தொகையைப் பயன்படுத்தினால், அது மிகவும் பொருத்தமானது. பிறகு நீங்களே பார்ப்பீர்கள்.

n - கடைசி உறுப்பினரின் எண்ணிக்கை. சூத்திரத்தில் இந்த எண் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம் சேர்க்கப்பட்ட சொற்களின் எண்ணிக்கையுடன் ஒத்துப்போகிறது.

கருத்தை வரையறுப்போம் கடைசிஉறுப்பினர் ஒரு n. தந்திரமான கேள்வி: எந்த உறுப்பினர் கடைசி ஒன்றுகொடுத்தால் முடிவில்லாத எண்கணித முன்னேற்றம்?)

நம்பிக்கையுடன் பதிலளிக்க, நீங்கள் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அடிப்படை அர்த்தத்தை புரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும்... பணியை கவனமாக படிக்கவும்!)

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியும் பணியில், கடைசி சொல் எப்போதும் தோன்றும் (நேரடியாக அல்லது மறைமுகமாக), வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்க வேண்டும்.இல்லையெனில், இறுதி, குறிப்பிட்ட தொகை வெறுமனே இல்லை.தீர்வுக்கு, முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டதா என்பது முக்கியமில்லை: வரையறுக்கப்பட்டதா அல்லது எல்லையற்றதா. இது எப்படி கொடுக்கப்படுகிறது என்பது முக்கியமல்ல: எண்களின் தொடர் அல்லது nவது காலத்திற்கான சூத்திரம்.

மிக முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், சூத்திரம் முன்னேற்றத்தின் முதல் காலத்திலிருந்து எண்ணுடன் கூடிய சொல் வரை செயல்படுகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது nஉண்மையில், சூத்திரத்தின் முழு பெயர் இதுபோல் தெரிகிறது: எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை.இந்த முதல் உறுப்பினர்களின் எண்ணிக்கை, அதாவது. n, பணியால் மட்டுமே தீர்மானிக்கப்படுகிறது. ஒரு பணியில், இந்த மதிப்புமிக்க தகவல்கள் அனைத்தும் பெரும்பாலும் குறியாக்கம் செய்யப்படுகின்றன, ஆம்... ஆனால் பரவாயில்லை, கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் இந்த ரகசியங்களை நாங்கள் வெளிப்படுத்துகிறோம்.)

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையில் பணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

முதலில், பயனுள்ள தகவல்:

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையை உள்ளடக்கிய பணிகளில் உள்ள முக்கிய சிரமம் சரியான வரையறைசூத்திரத்தின் கூறுகள்.

பணி எழுத்தாளர்கள் இதே கூறுகளை குறியாக்கம் செய்கிறார்கள் எல்லையற்ற கற்பனை.) இங்கே முக்கிய விஷயம் பயப்பட வேண்டாம். உறுப்புகளின் சாரத்தைப் புரிந்துகொள்வது, அவற்றை வெறுமனே புரிந்துகொள்வது போதுமானது. ஒரு சில உதாரணங்களை விரிவாகப் பார்ப்போம். உண்மையான GIA அடிப்படையில் ஒரு பணியைத் தொடங்குவோம்.

1. எண்கணித முன்னேற்றம் நிபந்தனையால் வழங்கப்படுகிறது: a n = 2n-3.5. அதன் முதல் 10 சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

நல்ல வேலை. எளிதானது.) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அளவை தீர்மானிக்க, நாம் என்ன தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்? முதல் உறுப்பினர் ஒரு 1, கடந்த கால ஒரு n, ஆம் கடைசி உறுப்பினரின் எண்ணிக்கை n

கடைசி உறுப்பினரின் எண்ணை நான் எங்கே பெறுவது? n? ஆம், அங்கேயே, நிபந்தனையுடன்! அது கூறுகிறது: தொகையைக் கண்டுபிடி முதல் 10 உறுப்பினர்கள்.சரி, அது எந்த எண்ணுடன் இருக்கும்? கடைசி,பத்தாவது உறுப்பினர்?) நீங்கள் நம்பமாட்டீர்கள், அவருடைய எண் பத்தாவது!) எனவே, அதற்கு பதிலாக ஒரு nநாங்கள் சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம் ஒரு 10, மற்றும் அதற்கு பதிலாக n- பத்து. நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், கடைசி உறுப்பினரின் எண்ணிக்கை உறுப்பினர்களின் எண்ணிக்கையுடன் ஒத்துப்போகிறது.

அதை தீர்மானிக்க உள்ளது ஒரு 1மற்றும் ஒரு 10. சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள nth termக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இது எளிதாகக் கணக்கிடப்படுகிறது. இதை எப்படி செய்வது என்று தெரியவில்லையா? முந்தைய பாடத்தில் கலந்து கொள்ளுங்கள், இது இல்லாமல் வழியில்லை.

ஒரு 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

ஒரு 10=2·10 - 3.5 =16.5

எஸ் என் = எஸ் 10.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தின் அனைத்து கூறுகளின் அர்த்தத்தையும் நாங்கள் கண்டுபிடித்துள்ளோம். அவற்றை மாற்றுவது மற்றும் எண்ணுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:

அவ்வளவுதான். பதில்: 75.

GIA அடிப்படையிலான மற்றொரு பணி. இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது:

2. எண்கணித முன்னேற்றம் (a n) கொடுக்கப்பட்டால், இதன் வேறுபாடு 3.7; a 1 =2.3. அதன் முதல் 15 சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

நாங்கள் உடனடியாக கூட்டுச் சூத்திரத்தை எழுதுகிறோம்:

இந்த சூத்திரம் எந்த ஒரு சொல்லின் மதிப்பையும் அதன் எண்ணால் கண்டுபிடிக்க உதவுகிறது. நாங்கள் ஒரு எளிய மாற்றீட்டைத் தேடுகிறோம்:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தில் அனைத்து உறுப்புகளையும் மாற்றியமைத்து பதிலைக் கணக்கிடுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:

பதில்: 423.

மூலம், அதற்குப் பதிலாக கூட்டுச் சூத்திரத்தில் இருந்தால் ஒரு n n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தை மாற்றியமைத்து பெறுகிறோம்:

இதே போன்றவற்றை முன்வைத்து, எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான புதிய சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அது இங்கே தேவையில்லை nவது பதவிக்காலம் ஒரு n. சில பிரச்சனைகளில் இந்த ஃபார்முலா பெரிதும் உதவுகிறது, ஆம்... இந்த ஃபார்முலாவை நீங்கள் நினைவில் வைத்துக் கொள்ளலாம். அல்லது இங்கே போலவே சரியான நேரத்தில் காட்டலாம். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நீங்கள் எப்போதும் தொகைக்கான சூத்திரத்தையும் n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தையும் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டும்.)

இப்போது பணி ஒரு குறுகிய குறியாக்க வடிவத்தில்:

3. மூன்றின் மடங்குகளாக உள்ள அனைத்து நேர்மறை இரு இலக்க எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

ஆஹா! உங்கள் முதல் உறுப்பினரோ, உங்கள் கடைசி உறுப்பினரோ, முன்னேற்றமோ இல்லை... எப்படி வாழ்வது!?

நீங்கள் உங்கள் தலையுடன் சிந்திக்க வேண்டும் மற்றும் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையின் அனைத்து கூறுகளையும் நிபந்தனையிலிருந்து வெளியே எடுக்க வேண்டும். இரண்டு இலக்க எண்கள் என்றால் என்ன என்பது நமக்குத் தெரியும். அவை இரண்டு எண்களைக் கொண்டிருக்கும்.) இரண்டு இலக்க எண் என்னவாக இருக்கும் முதலில்? 10, மறைமுகமாக.) ஏ கடைசிஇரட்டை இலக்க எண்? 99, நிச்சயமாக! மூன்று இலக்கங்கள் அவரைப் பின்தொடரும் ...

மூன்றின் பெருக்கங்கள்... ம்ம்... இவை மூன்றால் வகுபடும் எண்கள், இதோ! பத்து என்பது மூன்றால் வகுபடாது, 11 வகுபடாது... 12... வகுபடும்! எனவே, ஏதோ ஒன்று வெளிப்படுகிறது. சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப நீங்கள் ஏற்கனவே ஒரு தொடரை எழுதலாம்:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

இந்தத் தொடர் எண்கணித முன்னேற்றமாக இருக்குமா? நிச்சயமாக! ஒவ்வொரு காலமும் முந்தைய ஒன்றிலிருந்து கண்டிப்பாக மூன்று வேறுபடும். நீங்கள் ஒரு சொல்லில் 2 அல்லது 4ஐச் சேர்த்தால், முடிவு என்று சொல்லுங்கள், அதாவது. புதிய எண்ணை இனி 3 ஆல் வகுக்க முடியாது. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டை நீங்கள் உடனடியாகத் தீர்மானிக்கலாம்: ஈ = 3.இது கைக்கு வரும்!)

எனவே, சில முன்னேற்ற அளவுருக்களை நாம் பாதுகாப்பாக எழுதலாம்:

எண் என்னவாக இருக்கும்? nகடைசி உறுப்பினர்? 99 என்பது தவறு என்று நினைக்கும் எவரும்... எண்கள் எப்போதும் வரிசையாகச் செல்கின்றன, ஆனால் எங்கள் உறுப்பினர்கள் மூன்றைத் தாண்டிச் செல்கிறார்கள். அவை பொருந்தவில்லை.

இங்கே இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன. சூப்பர் கடின உழைப்பாளிகளுக்கு ஒரு வழி. நீங்கள் முன்னேற்றம், எண்களின் முழு வரிசையையும் எழுதலாம் மற்றும் உறுப்பினர்களின் எண்ணிக்கையை உங்கள் விரலால் எண்ணலாம்.) இரண்டாவது வழி சிந்தனையாளர்களுக்கானது. n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எங்கள் பிரச்சனைக்கு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால், 99 என்பது முன்னேற்றத்தின் முப்பதாவது காலமாகும். அந்த. n = 30.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம்:

நாங்கள் பார்த்து மகிழ்ச்சியடைகிறோம்.) பிரச்சனை அறிக்கையிலிருந்து தொகையை கணக்கிட தேவையான அனைத்தையும் நாங்கள் வெளியேற்றினோம்:

ஒரு 1= 12.

ஒரு 30= 99.

எஸ் என் = எஸ் 30.

எஞ்சியிருப்பது அடிப்படை எண்கணிதம் மட்டுமே. சூத்திரத்தில் எண்களை மாற்றி கணக்கிடுகிறோம்:

பதில்: 1665

பிரபலமான புதிரின் மற்றொரு வகை:

4. எண்கணித முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டால்:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

இருபதாம் முதல் முப்பத்து நான்கு வரையிலான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

தொகைக்கான ஃபார்முலாவைப் பார்த்து... வருத்தப்படுகிறோம்.) சூத்திரம், உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், தொகையைக் கணக்கிடுகிறது முதலில் இருந்துஉறுப்பினர். மற்றும் சிக்கலில் நீங்கள் தொகையை கணக்கிட வேண்டும் இருபதாம் தேதி முதல்...சூத்திரம் வேலை செய்யாது.

நீங்கள் நிச்சயமாக, ஒரு தொடரில் முழு முன்னேற்றத்தையும் எழுதலாம் மற்றும் 20 முதல் 34 வரையிலான விதிமுறைகளைச் சேர்க்கலாம். ஆனால்... இது எப்படியோ முட்டாள்தனமானது மற்றும் நீண்ட நேரம் எடுக்கும், இல்லையா?)

இன்னும் நேர்த்தியான தீர்வு உள்ளது. எங்கள் தொடரை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிப்போம். முதல் பகுதி இருக்கும் முதல் காலத்திலிருந்து பத்தொன்பதாம் வரை.இரண்டாம் பகுதி - இருபது முதல் முப்பத்து நான்கு வரை.முதல் பகுதியின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையை கணக்கிட்டால் தெளிவாகும் எஸ் 1-19, அதை இரண்டாம் பாகத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையுடன் சேர்ப்போம் எஸ் 20-34, முதல் காலத்திலிருந்து முப்பத்தி நான்காவது வரையிலான முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைப் பெறுகிறோம் எஸ் 1-34. இது போல்:

எஸ் 1-19 + எஸ் 20-34 = எஸ் 1-34

இதிலிருந்து நாம் தொகையைக் கண்டுபிடிக்கலாம் எஸ் 20-34எளிய கழித்தல் மூலம் செய்ய முடியும்

எஸ் 20-34 = எஸ் 1-34 - எஸ் 1-19

வலது பக்கத்தில் உள்ள இரண்டு அளவுகளும் கருதப்படுகின்றன முதலில் இருந்துஉறுப்பினர், அதாவது. நிலையான தொகை சூத்திரம் அவர்களுக்கு மிகவும் பொருந்தும். ஆரம்பிக்கலாமா?

சிக்கல் அறிக்கையிலிருந்து முன்னேற்ற அளவுருக்களைப் பிரித்தெடுக்கிறோம்:

d = 1.5.

ஒரு 1= -21,5.

முதல் 19 மற்றும் முதல் 34 சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிட, நமக்கு 19வது மற்றும் 34வது விதிமுறைகள் தேவைப்படும். சிக்கல் 2 இல் உள்ளதைப் போல, n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கணக்கிடுகிறோம்:

ஒரு 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

ஒரு 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

எதுவும் மிச்சமில்லை. 34 சொற்களின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து 19 சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கழிக்கவும்:

எஸ் 20-34 = எஸ் 1-34 - எஸ் 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

பதில்: 262.5

ஒரு முக்கியமான குறிப்பு! இந்த சிக்கலை தீர்க்க மிகவும் பயனுள்ள தந்திரம் உள்ளது. நேரடி கணக்கீட்டிற்கு பதிலாக உங்களுக்கு என்ன தேவை (S 20-34),நாங்கள் எண்ணினோம் தேவை இல்லை என்று தோன்றும் - எஸ் 1-19.பின்னர் அவர்கள் தீர்மானித்தனர் எஸ் 20-34, முழுமையான முடிவிலிருந்து தேவையற்றதை நிராகரித்தல். இந்த வகையான "உங்கள் காதுகளால் மயக்கம்" பெரும்பாலும் தீய பிரச்சனைகளில் உங்களைக் காப்பாற்றுகிறது.)

இந்த பாடத்தில், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையின் பொருளைப் புரிந்துகொள்வதற்கு போதுமான சிக்கல்களைப் பார்த்தோம். சரி, நீங்கள் இரண்டு சூத்திரங்களைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.)

நடைமுறை ஆலோசனை:

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை சம்பந்தப்பட்ட ஏதேனும் சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது, ​​இந்த தலைப்பில் இருந்து இரண்டு முக்கிய சூத்திரங்களை உடனடியாக எழுத பரிந்துரைக்கிறேன்.

n வது தவணைக்கான சூத்திரம்:

இந்த சூத்திரங்கள் சிக்கலைத் தீர்க்க எதைத் தேட வேண்டும், எந்த திசையில் சிந்திக்க வேண்டும் என்பதை உடனடியாக உங்களுக்குத் தெரிவிக்கும். உதவுகிறது.

இப்போது சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள்.

5. மூன்றால் வகுபடாத அனைத்து இரண்டு இலக்க எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

அருமையா?) 4 பிரச்சனைக்கான குறிப்பில் குறிப்பு மறைக்கப்பட்டுள்ளது. சரி, பிரச்சனை 3 உதவும்.

6. எண்கணித முன்னேற்றம் நிபந்தனையால் வழங்கப்படுகிறது: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. அதன் முதல் 24 சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

வழக்கத்திற்கு மாறானதா?) இது மீண்டும் மீண்டும் வரும் சூத்திரம். இதைப் பற்றி முந்தைய பாடத்தில் படிக்கலாம். இணைப்பைப் புறக்கணிக்காதீர்கள், இத்தகைய சிக்கல்கள் பெரும்பாலும் மாநில அறிவியல் அகாடமியில் காணப்படுகின்றன.

7. வாஸ்யா விடுமுறைக்காக பணத்தை சேமித்தார். 4550 ரூபிள் வரை! எனக்குப் பிடித்த நபருக்கு (நானே) சில நாட்கள் மகிழ்ச்சியைக் கொடுக்க முடிவு செய்தேன். எதையும் மறுக்காமல் அழகாக வாழுங்கள். முதல் நாளில் 500 ரூபிள் செலவழிக்கவும், ஒவ்வொரு அடுத்த நாளிலும் முந்தையதை விட 50 ரூபிள் அதிகமாக செலவிடுங்கள்! பணம் தீரும் வரை. வாஸ்யா எத்தனை நாட்கள் மகிழ்ச்சியாக இருந்தார்?

இது கடினமா?) பிரச்சனை 2ல் இருந்து கூடுதல் சூத்திரம் உதவும்.

பதில்கள் (சீரற்ற நிலையில்): 7, 3240, 6.

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

எண்கணித முன்னேற்றம்எண்களின் வரிசைக்கு பெயரிடவும் (ஒரு முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள்)

இதில் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் முந்தைய காலத்திலிருந்து ஒரு புதிய சொல்லால் வேறுபடுகிறது, இது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது படி அல்லது முன்னேற்ற வேறுபாடு.

எனவே, முன்னேற்றப் படி மற்றும் அதன் முதல் காலத்தைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் கூறுகளை நீங்கள் காணலாம்

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பண்புகள்

1) ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது எண்ணிலிருந்து தொடங்கி, முன்னேற்றத்தின் முந்தைய மற்றும் அடுத்த உறுப்பினர்களின் எண்கணித சராசரி

உரையாடலும் உண்மைதான். ஒரு முன்னேற்றத்தின் அருகிலுள்ள ஒற்றைப்படை (இரட்டை) சொற்களின் எண்கணித சராசரியானது அவற்றுக்கிடையே நிற்கும் சொல்லுக்கு சமமாக இருந்தால், இந்த எண்களின் வரிசை ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும். இந்த அறிக்கையைப் பயன்படுத்தி, எந்த வரிசையையும் சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது.

மேலும், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பண்பு மூலம், மேலே உள்ள சூத்திரத்தை பின்வருவனவற்றிற்கு பொதுமைப்படுத்தலாம்

சம அடையாளத்தின் வலதுபுறத்தில் விதிமுறைகளை எழுதினால், இதைச் சரிபார்க்க எளிதானது

சிக்கல்களில் கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த இது பெரும்பாலும் நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

2) எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

கணக்கீடுகளில் இன்றியமையாதது மற்றும் எளிமையான வாழ்க்கைச் சூழ்நிலைகளில் அடிக்கடி காணப்படும் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கான சூத்திரத்தை நன்கு நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

3) நீங்கள் மொத்தத் தொகையை அல்ல, ஆனால் அதன் kth காலத்திலிருந்து தொடங்கும் வரிசையின் ஒரு பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், பின்வரும் தொகை சூத்திரம் உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்

4) kth எண்ணிலிருந்து தொடங்கும் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிவதே நடைமுறை ஆர்வமாகும். இதைச் செய்ய, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்

இது கோட்பாட்டுப் பொருளை முடித்து, நடைமுறையில் உள்ள பொதுவான பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பதற்குச் செல்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் நாற்பதாவது வார்த்தையைக் கண்டறியவும் 4;7;...

தீர்வு:

நாம் வைத்திருக்கும் நிபந்தனையின் படி

முன்னேற்றப் படிநிலையைத் தீர்மானிப்போம்

நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, முன்னேற்றத்தின் நாற்பதாவது வார்த்தையைக் காண்கிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 2.

தீர்வு:

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் அதன் மூன்றாவது மற்றும் ஏழாவது சொற்களால் வழங்கப்படுகிறது. முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல்லையும் பத்தின் கூட்டுத்தொகையையும் கண்டறியவும்.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி முன்னேற்றத்தின் கொடுக்கப்பட்ட கூறுகளை எழுதுவோம்

இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் பகுதியைக் கழிக்கிறோம், இதன் விளைவாக முன்னேற்றப் படியைக் காண்கிறோம்

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல்லைக் கண்டறிய, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை ஏதேனும் சமன்பாடுகளில் மாற்றுவோம்.

முன்னேற்றத்தின் முதல் பத்து சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்

சிக்கலான கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தாமல், தேவையான அனைத்து அளவுகளையும் நாங்கள் கண்டறிந்தோம்.

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 3. ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் வகுப்பினால் மற்றும் அதன் விதிமுறைகளில் ஒன்றால் வழங்கப்படுகிறது. முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல்லைக் கண்டறியவும், அதன் 50 சொற்களின் கூட்டுத்தொகை 50 இலிருந்து தொடங்கும் மற்றும் முதல் 100 இன் கூட்டுத்தொகை.

முன்னேற்றத்தின் நூறாவது உறுப்புக்கான சூத்திரத்தை எழுதுவோம்

மற்றும் முதல் ஒன்றைக் கண்டுபிடி

முதல் அடிப்படையில், முன்னேற்றத்தின் 50 வது காலத்தை நாம் காண்கிறோம்

முன்னேற்றத்தின் பகுதியின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிதல்

முன்னேற்றத் தொகை 250.

எடுத்துக்காட்டு 4.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறிக:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

தீர்வு:

முதல் கால மற்றும் முன்னேற்றப் படியின் அடிப்படையில் சமன்பாடுகளை எழுதி அவற்றைத் தீர்மானிப்போம்

தொகையில் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்க பெறப்பட்ட மதிப்புகளை கூட்டு சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்

நாங்கள் எளிமைப்படுத்தல்களை மேற்கொள்கிறோம்

மற்றும் முடிவு செய்யுங்கள் இருபடி சமன்பாடு

கண்டறியப்பட்ட இரண்டு மதிப்புகளில், எண் 8 மட்டுமே சிக்கல் நிலைமைகளுக்கு பொருந்துகிறது. எனவே, முன்னேற்றத்தின் முதல் எட்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகை 111 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

1+3+5+...+x=307.

தீர்வு: இந்த சமன்பாடு ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையாகும். அதன் முதல் காலத்தை எழுதி, முன்னேற்றத்தில் உள்ள வித்தியாசத்தைக் கண்டறியலாம்

என்ன முக்கிய புள்ளிசூத்திரங்கள்?

இந்த சூத்திரம் உங்களை கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கிறது ஏதேனும் அவரது எண் மூலம் " n" .

நிச்சயமாக, நீங்கள் முதல் காலத்தையும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் ஒரு 1மற்றும் முன்னேற்ற வேறுபாடு ஈ, சரி, இந்த அளவுருக்கள் இல்லாமல் நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட முன்னேற்றத்தை எழுத முடியாது.

இந்த சூத்திரத்தை மனப்பாடம் செய்வது (அல்லது கிரிப்பிங்) போதாது. நீங்கள் அதன் சாராம்சத்தைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் பல்வேறு சிக்கல்களில் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். மேலும் சரியான தருணத்தில் மறக்கக்கூடாது, ஆம்...) எப்படி மறக்காதே- எனக்குத் தெரியாது. ஆனால் எப்படி நினைவில் கொள்வதுதேவைப்பட்டால், நான் நிச்சயமாக உங்களுக்கு ஆலோசனை கூறுவேன். இறுதிவரை பாடத்தை முடிப்பவர்களுக்கு.)

எனவே, எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம்.

பொதுவாக ஃபார்முலா என்றால் என்ன? மூலம், நீங்கள் படிக்கவில்லை என்றால் பாருங்கள். அங்கு எல்லாம் எளிமையானது. அது என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிக்க உள்ளது nவது பதவிக்காலம்.

முன்னேற்றம் பொதுவான பார்வைஎண்களின் வரிசையாக எழுதலாம்:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

ஒரு 1- ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல்லைக் குறிக்கிறது, ஒரு 3- மூன்றாவது உறுப்பினர், ஒரு 4- நான்காவது, மற்றும் பல. ஐந்தாவது பதவிக்காலத்தில் நாங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், நாங்கள் வேலை செய்கிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம் ஒரு 5, நூற்றி இருபதாவது என்றால் - கள் ஒரு 120.

பொதுவான சொற்களில் அதை எவ்வாறு வரையறுக்கலாம்? ஏதேனும்ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொல், உடன் ஏதேனும்எண்? மிகவும் எளிமையானது! இது போல்:

ஒரு n

இதுதான் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nth term. n என்ற எழுத்து அனைத்து உறுப்பினர் எண்களையும் ஒரே நேரத்தில் மறைக்கிறது: 1, 2, 3, 4, மற்றும் பல.

அத்தகைய பதிவு நமக்கு என்ன தருகிறது? எண்ணுக்கு பதிலாக அவர்கள் ஒரு கடிதத்தை எழுதினார்கள்...

இந்த குறியீடானது, எண்கணித முன்னேற்றத்துடன் வேலை செய்வதற்கான சக்திவாய்ந்த கருவியை நமக்கு வழங்குகிறது. குறியீட்டைப் பயன்படுத்துதல் ஒரு n, நாம் விரைவில் கண்டுபிடிக்க முடியும் ஏதேனும்உறுப்பினர் ஏதேனும்எண்கணித முன்னேற்றம். மற்றும் பிற முன்னேற்ற சிக்கல்களை தீர்க்கவும். இனி நீங்களே பார்க்கலாம்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது கால சூத்திரத்தில்:

ஒரு 1- ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல்;

n- உறுப்பினர் எண்.

ஃபார்முலா பிணைக்கிறது முக்கிய அளவுருக்கள்எந்த முன்னேற்றமும்: ஒரு n ; ஒரு 1 ; ஈமற்றும் n. அனைத்து முன்னேற்ற சிக்கல்களும் இந்த அளவுருக்களை சுற்றியே உள்ளன.

ஒரு குறிப்பிட்ட முன்னேற்றத்தை எழுத n வது கால சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, முன்னேற்றம் நிபந்தனையால் குறிப்பிடப்படுகிறது என்று சிக்கல் கூறலாம்:

a n = 5 + (n-1) 2.

இது போன்ற பிரச்சனை ஒரு முட்டுச்சந்தாக இருக்கலாம்... தொடரும் இல்லை, வித்தியாசமும் இல்லை... ஆனால், நிபந்தனையை ஃபார்முலாவுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், இந்த முன்னேற்றத்தில் இருப்பதைப் புரிந்துகொள்வது எளிது. a 1 =5, மற்றும் d=2.

மேலும் இது இன்னும் மோசமாக இருக்கலாம்!) இதே நிலையை நாம் எடுத்துக் கொண்டால்: a n = 5 + (n-1) 2,ஆம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து இதே போன்றவற்றைக் கொண்டு வரவா? நாங்கள் ஒரு புதிய சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

a n = 3 + 2n.

இது பொதுவானதல்ல, ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட முன்னேற்றத்திற்காக. இங்குதான் பள்ளம் பதுங்கியிருக்கிறது. சிலர் முதல் பதம் மூன்று என்று நினைக்கிறார்கள். நிஜத்தில் முதல் தவணை ஐந்தாக இருந்தாலும்... கொஞ்சம் குறைவாக இப்படி மாற்றியமைக்கப்பட்ட ஃபார்முலாவுடன் வேலை செய்வோம்.

முன்னேற்றச் சிக்கல்களில் மற்றொரு குறிப்பு உள்ளது - ஒரு n+1. இது, நீங்கள் யூகித்தபடி, முன்னேற்றத்தின் "n பிளஸ் முதல்" சொல். இதன் பொருள் எளிமையானது மற்றும் பாதிப்பில்லாதது.) இது முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினராகும், அதன் எண் n ஐ விட ஒரு எண்ணை விட அதிகமாக உள்ளது. உதாரணமாக, சில பிரச்சனைகளில் நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம் ஒரு nபின்னர் ஐந்தாவது முறை ஒரு n+1ஆறாவது உறுப்பினராக இருப்பார். மற்றும் போன்றவை.

பெரும்பாலும் பதவி ஒரு n+1மறுநிகழ்வு சூத்திரங்களில் காணப்படும். இந்த பயங்கரமான வார்த்தைக்கு பயப்பட வேண்டாம்!) இது ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரை வெளிப்படுத்தும் ஒரு வழியாகும். முந்தைய வழியாக.மீண்டும் வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இந்த வடிவத்தில் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம்:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

நான்காவது - மூன்றாவது வழியாக, ஐந்தாவது - நான்காவது வழியாக, மற்றும் பல. இருபதாம் காலத்தை நாம் எப்படி உடனடியாக எண்ண முடியும்? ஒரு 20? ஆனால் எந்த வழியும் இல்லை!) 19 வது காலத்தை கண்டுபிடிக்கும் வரை, 20 வது எண்ணை கணக்கிட முடியாது. இதுதான் அடிப்படை வேறுபாடு n வது கால சூத்திரத்தில் இருந்து மீண்டும் வரும் சூத்திரம். மீண்டும் மீண்டும் வேலைகள் மூலம் மட்டுமே முந்தையகால, மற்றும் n வது கால சூத்திரம் மூலம் முதலில்மற்றும் அனுமதிக்கிறது நேராகஎந்த உறுப்பினரையும் அதன் எண் மூலம் கண்டுபிடிக்கவும். எண்களின் முழுத் தொடரையும் வரிசையாகக் கணக்கிடாமல்.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தில், மீண்டும் மீண்டும் வரும் சூத்திரத்தை வழக்கமான ஒன்றாக மாற்றுவது எளிது. ஒரு ஜோடி தொடர்ச்சியான சொற்களை எண்ணுங்கள், வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுங்கள் d,தேவைப்பட்டால், முதல் வார்த்தையைக் கண்டறியவும் ஒரு 1, சூத்திரத்தை அதன் வழக்கமான வடிவத்தில் எழுதி, அதனுடன் வேலை செய்யுங்கள். இத்தகைய பணிகள் பெரும்பாலும் மாநில அறிவியல் அகாடமியில் சந்திக்கப்படுகின்றன.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரத்தின் பயன்பாடு.

முதலில், சூத்திரத்தின் நேரடி பயன்பாட்டைப் பார்ப்போம். முந்தைய பாடத்தின் முடிவில் ஒரு சிக்கல் இருந்தது:

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் (a n) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 1 =3 மற்றும் d=1/6 எனில் 121ஐக் கண்டறியவும்.

இந்த சிக்கலை எந்த சூத்திரமும் இல்லாமல், ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அர்த்தத்தின் அடிப்படையில் தீர்க்க முடியும். சேர் மற்றும் சேர்... ஒரு மணி நேரம் அல்லது இரண்டு.)

மற்றும் சூத்திரத்தின் படி, தீர்வு ஒரு நிமிடத்திற்கும் குறைவாக எடுக்கும். நீங்கள் அதை நேரம் செய்யலாம்.) முடிவு செய்வோம்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான அனைத்து தரவையும் நிபந்தனைகள் வழங்குகின்றன: a 1 =3, d=1/6.எது சமமானது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது nகேள்வி இல்லை! நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஒரு 121. எனவே நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்! ஒரு குறியீட்டுக்கு பதிலாக nஒரு குறிப்பிட்ட எண் தோன்றியது: 121. இது மிகவும் தர்க்கரீதியானது.) எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம் எண் நூற்று இருபத்தி ஒன்று.இது நம்முடையதாக இருக்கும் nஇதுதான் அர்த்தம் n= 121 அடைப்புக்குறிக்குள் சூத்திரத்தில் மேலும் மாற்றுவோம். சூத்திரத்தில் அனைத்து எண்களையும் மாற்றி கணக்கிடுகிறோம்:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

அவ்வளவுதான். ஐந்நூற்று பத்தாவது காலத்தையும், ஆயிரத்தி மூன்றாவதாக, எந்த ஒன்றையும் ஒருவர் விரைவாகக் கண்டுபிடிக்க முடியும். அதற்கு பதிலாக வைத்தோம் n விரும்பிய எண்கடிதத்தின் குறியீட்டில் " ஒரு"மற்றும் அடைப்புக்குறிக்குள், நாங்கள் எண்ணுகிறோம்.

இந்த விஷயத்தை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: இந்த சூத்திரம் உங்களை கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கிறது ஏதேனும்எண்கணித முன்னேற்றம் சொல் அவரது எண் மூலம் " n" .

சிக்கலை இன்னும் தந்திரமாக தீர்ப்போம். பின்வரும் சிக்கலைச் சந்திப்போம்:

17 =-2 எனில், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் (a n) முதல் சொல்லைக் கண்டறியவும்; d=-0.5.

உங்களுக்கு ஏதேனும் சிரமம் இருந்தால், முதல் படியை நான் உங்களுக்கு சொல்கிறேன். எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரத்தை எழுதுங்கள்!ஆம், ஆம். உங்கள் நோட்புக்கில் உங்கள் கைகளால் எழுதுங்கள்:

இப்போது, ​​​​சூத்திரத்தின் எழுத்துக்களைப் பார்க்கும்போது, ​​​​எங்களிடம் என்ன தரவு உள்ளது மற்றும் என்ன காணவில்லை என்பதை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்? கிடைக்கும் d=-0.5,பதினேழாவது உறுப்பினர் இருக்கிறார்... அதுவா? அவ்வளவுதான் என்று நீங்கள் நினைத்தால், நீங்கள் சிக்கலை தீர்க்க மாட்டீர்கள், ஆம் ...

எங்களிடம் இன்னும் ஒரு எண் உள்ளது n! நிலையில் a 17 =-2மறைக்கப்பட்டுள்ளது இரண்டு அளவுருக்கள்.இது பதினேழாவது காலத்தின் மதிப்பு (-2) மற்றும் அதன் எண் (17) ஆகிய இரண்டும் ஆகும். அந்த. n=17.இந்த "அற்பம்" பெரும்பாலும் தலையை கடந்து செல்கிறது, அது இல்லாமல், ("அற்பம்" இல்லாமல், தலை அல்ல!) சிக்கலை தீர்க்க முடியாது. இருந்தாலும்... தலை இல்லாமல் கூட.)

இப்போது நாம் முட்டாள்தனமாக எங்கள் தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றலாம்:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

ஓ ஆமாம், ஒரு 17அது -2 என்று எங்களுக்குத் தெரியும். சரி, மாற்றுவோம்:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

அடிப்படையில் அவ்வளவுதான். சூத்திரத்திலிருந்து எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல்லை வெளிப்படுத்தவும் அதைக் கணக்கிடவும் இது உள்ளது. பதில் இருக்கும்: a 1 = 6.

இந்த நுட்பம் - ஒரு சூத்திரத்தை எழுதுவது மற்றும் அறியப்பட்ட தரவை மாற்றுவது - நிறைய உதவுகிறது எளிய பணிகள். சரி, நிச்சயமாக, நீங்கள் ஒரு சூத்திரத்திலிருந்து ஒரு மாறியை வெளிப்படுத்த முடியும், ஆனால் என்ன செய்வது!? இந்த திறமை இல்லாமல், நீங்கள் கணிதம் படிக்கவே முடியாது...

மற்றொரு பிரபலமான புதிர்:

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும் (a n), a 1 =2 என்றால்; a 15 =12.

நாம் என்ன செய்கிறோம்? நீங்கள் ஆச்சரியப்படுவீர்கள், நாங்கள் சூத்திரத்தை எழுதுகிறோம்!)

நமக்குத் தெரிந்ததைக் கருத்தில் கொள்வோம்: a 1 =2; ஒரு 15 =12; மற்றும் (நான் குறிப்பாக முன்னிலைப்படுத்துகிறேன்!) n=15. இதை சூத்திரத்தில் மாற்ற தயங்க வேண்டாம்:

12=2 + (15-1)d

நாங்கள் எண்கணிதத்தை செய்கிறோம்.)

12=2 + 14டி

ஈ=10/14 = 5/7

இதுவே சரியான விடை.

எனவே, அதற்கான பணிகள் a n, a 1மற்றும் ஈமுடிவு செய்தார். எண்ணை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது மட்டுமே மீதமுள்ளது:

எண் 99 என்பது எண்கணித முன்னேற்றத்தின் (a n) உறுப்பினராகும், இங்கு a 1 ​​=12; d=3. இந்த உறுப்பினரின் எண்ணைக் கண்டறியவும்.

n வது கால சூத்திரத்தில் எங்களுக்குத் தெரிந்த அளவுகளை நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:

a n = 12 + (n-1) 3

முதல் பார்வையில், அறியப்படாத இரண்டு அளவுகள் இங்கே உள்ளன: a n மற்றும் n.ஆனால் ஒரு n- இது ஒரு எண்ணைக் கொண்ட முன்னேற்றத்தின் சில உறுப்பினர் n...மேலும் இந்த முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரை நாங்கள் அறிவோம்! அது 99. அதன் எண் எங்களுக்குத் தெரியாது. n,எனவே இந்த எண்ணை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முன்னேற்றம் 99 என்ற சொல்லை சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்:

99 = 12 + (n-1) 3

நாங்கள் சூத்திரத்திலிருந்து வெளிப்படுத்துகிறோம் n, நாங்கள் நினைக்கிறோம். நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம்: n=30.

இப்போது அதே தலைப்பில் ஒரு சிக்கல், ஆனால் மிகவும் ஆக்கப்பூர்வமானது):

எண் 117 எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும் (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

மீண்டும் சூத்திரத்தை எழுதுவோம். என்ன, அளவுருக்கள் எதுவும் இல்லையா? ம்... நமக்கு ஏன் கண்கள் கொடுக்கப்படுகின்றன?) முன்னேற்றத்தின் முதல் காலத்தை நாம் பார்க்கிறோமா? பார்க்கிறோம். இது -3.6. நீங்கள் பாதுகாப்பாக எழுதலாம்: a 1 = -3.6.வேறுபாடு ஈதொடரிலிருந்து சொல்ல முடியுமா? எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு என்ன என்பதை நீங்கள் அறிந்தால் இது எளிதானது:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

எனவே, நாங்கள் எளிய காரியத்தைச் செய்தோம். தெரியாத எண்ணை சமாளிக்க இது உள்ளது nமற்றும் புரிந்துகொள்ள முடியாத எண் 117. முந்தைய சிக்கலில், குறைந்தபட்சம் அது கொடுக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்தின் சொல் என்று அறியப்பட்டது. ஆனால் இங்கே நமக்குத் தெரியாது... என்ன செய்வது!? சரி, எப்படி இருக்க வேண்டும், எப்படி இருக்க வேண்டும்... உங்கள் படைப்பு திறன்களை இயக்கவும்!)

நாங்கள் நினைக்கிறேன் 117, எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எங்கள் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர். தெரியாத எண்ணுடன் n. மேலும், முந்தைய சிக்கலைப் போலவே, இந்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். அந்த. நாங்கள் சூத்திரத்தை எழுதுகிறோம் (ஆம், ஆம்!)) மற்றும் எங்கள் எண்களை மாற்றவும்:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

மீண்டும் நாம் சூத்திரத்திலிருந்து வெளிப்படுத்துகிறோம்n, நாங்கள் எண்ணி பெறுகிறோம்:

அச்சச்சோ! எண் மாறியது பகுதியளவு!நூற்றி ஒன்றரை. மற்றும் முன்னேற்றங்களில் பின்ன எண்கள் நடக்காது.நாம் என்ன முடிவை எடுக்க முடியும்? ஆம்! எண் 117 இல்லைஎங்கள் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர். இது நூறு மற்றும் முதல் மற்றும் நூற்றி இரண்டாவது விதிமுறைகளுக்கு இடையில் எங்கோ உள்ளது. எண் இயற்கையாக மாறினால், அதாவது. ஒரு நேர்மறை முழு எண், பின்னர் எண் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்ணுடன் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினராக இருக்கும். எங்கள் விஷயத்தில், சிக்கலுக்கான பதில் பின்வருமாறு: இல்லை

GIA இன் உண்மையான பதிப்பின் அடிப்படையில் ஒரு பணி:

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் நிபந்தனையால் வழங்கப்படுகிறது:

a n = -4 + 6.8n

முன்னேற்றத்தின் முதல் மற்றும் பத்தாவது விதிமுறைகளைக் கண்டறியவும்.

இங்கே முன்னேற்றம் ஒரு அசாதாரண வழியில் அமைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒருவித சூத்திரம்... அது நடக்கும்.) இருப்பினும், இந்த சூத்திரம் (நான் மேலே எழுதியது போல்) - எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரமும் கூட!அவளும் அனுமதிக்கிறாள் முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரையும் அதன் எண்ணின் மூலம் கண்டறியவும்.

முதல் உறுப்பினரை தேடி வருகிறோம். சிந்திப்பவர். முதல் சொல் மைனஸ் ஃபோர் என்பது தவறாகக் கருதப்படுகிறது!) ஏனெனில் சிக்கலில் உள்ள சூத்திரம் மாற்றியமைக்கப்பட்டுள்ளது. அதில் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் மறைக்கப்பட்டுள்ளது.பரவாயில்லை, இப்போது கண்டுபிடிப்போம்.)

முந்தைய சிக்கல்களைப் போலவே, நாங்கள் மாற்றுகிறோம் n=1இந்த சூத்திரத்தில்:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

இங்கே! முதல் சொல் 2.8, -4 அல்ல!

நாங்கள் பத்தாவது காலத்தை அதே வழியில் பார்க்கிறோம்:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

அவ்வளவுதான்.

இப்போது, ​​இந்த வரிகளைப் படித்தவர்களுக்கு, வாக்குறுதியளிக்கப்பட்ட போனஸ்.)

மாநிலத் தேர்வு அல்லது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் கடினமான போர்ச் சூழ்நிலையில், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான பயனுள்ள சூத்திரத்தை நீங்கள் மறந்துவிட்டீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். எனக்கு ஏதோ ஞாபகம் இருக்கிறது, ஆனால் எப்படியோ நிச்சயமில்லாமல்... அல்லது nஅங்கு, அல்லது n+1, அல்லது n-1...எப்படி இருக்க!?

அமைதி! இந்த சூத்திரம் பெற எளிதானது. மிகவும் கண்டிப்பாக இல்லை, ஆனால் நம்பிக்கை மற்றும் சரியான முடிவுநிச்சயமாக போதுமானது!) ஒரு முடிவை எடுக்க, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அடிப்படை அர்த்தத்தை நினைவில் வைத்துக் கொள்வதும், இரண்டு நிமிட நேரம் ஒதுக்குவதும் போதுமானது. நீங்கள் ஒரு படத்தை வரைய வேண்டும். தெளிவுக்காக.

ஒரு எண் கோட்டை வரைந்து அதில் முதல் ஒன்றைக் குறிக்கவும். இரண்டாவது, மூன்றாவது, முதலியன உறுப்பினர்கள். மற்றும் வித்தியாசத்தை நாங்கள் கவனிக்கிறோம் ஈஉறுப்பினர்களுக்கு இடையே. இது போல்:

நாம் படத்தைப் பார்த்து யோசிக்கிறோம்: இரண்டாவது சொல் எதற்கு சமம்? இரண்டாவது ஒன்று ஈ:

அ 2 =அ 1 + 1 ஈ

மூன்றாவது பதவிக்காலம் என்றால் என்ன? மூன்றாவதுகாலமானது முதல் கால கூட்டலுக்கு சமம் இரண்டு ஈ.

அ 3 =அ 1 + 2 ஈ

புரிகிறதா? நான் சில வார்த்தைகளை தடிமனாக உயர்த்திக் காட்டுவது சும்மா இல்லை. சரி, இன்னும் ஒரு படி).

நான்காவது பதவிக்காலம் என்றால் என்ன? நான்காவதுகாலமானது முதல் கால கூட்டலுக்கு சமம் மூன்று ஈ.

அ 4 =அ 1 + 3 ஈ

இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கை என்பதை உணர வேண்டிய நேரம் இது, அதாவது. ஈ, எப்போதும் நீங்கள் தேடும் உறுப்பினரின் எண்ணிக்கையை விட ஒன்று குறைவு n. அதாவது, எண்ணுக்கு n, இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கைசாப்பிடுவேன் n-1.எனவே, சூத்திரம் (மாறுபாடுகள் இல்லாமல்!):

பொதுவாக, கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க காட்சிப் படங்கள் மிகவும் உதவியாக இருக்கும். படங்களை புறக்கணிக்காதீர்கள். ஆனால் ஒரு படத்தை வரைவது கடினம் என்றால், ஒரு சூத்திரம் மட்டுமே!) கூடுதலாக, n வது காலத்தின் சூத்திரம் கணிதத்தின் முழு சக்திவாய்ந்த ஆயுதக் களஞ்சியத்தையும் தீர்வுடன் இணைக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது - சமன்பாடுகள், ஏற்றத்தாழ்வுகள், அமைப்புகள் போன்றவை. சமன்பாட்டில் படத்தைச் செருக முடியாது...

சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள்.

சூடுபடுத்த:

1. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் (a n) a 2 =3; ஒரு 5 =5.1. ஒரு 3 ஐக் கண்டுபிடி.

குறிப்பு: படத்தின் படி, சிக்கலை 20 வினாடிகளில் தீர்க்க முடியும் ... சூத்திரத்தின் படி, இது மிகவும் கடினமாக மாறும். ஆனால் சூத்திரத்தில் தேர்ச்சி பெற இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.) பிரிவு 555 இல், படம் மற்றும் சூத்திரம் இரண்டையும் பயன்படுத்தி இந்தப் பிரச்சனை தீர்க்கப்படுகிறது. வித்தியாசத்தை உணருங்கள்!)

மேலும் இது இனி ஒரு வார்ம்-அப் அல்ல.)

2. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. ஒரு 3 ஐக் கண்டறியவும்.

என்ன, நீங்கள் ஒரு படத்தை வரைய விரும்பவில்லை?) நிச்சயமாக! சூத்திரத்தின்படி சிறந்தது, ஆம்...

3. எண்கணித முன்னேற்றம் நிபந்தனையால் வழங்கப்படுகிறது:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. இந்த முன்னேற்றத்தின் நூற்றி இருபத்தைந்தாவது வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.

இந்த பணியில், முன்னேற்றம் ஒரு தொடர்ச்சியான முறையில் குறிப்பிடப்படுகிறது. ஆனால் நூற்றி இருபத்தைந்தாவது தவணையை எண்ணிப் பார்த்தால்... எல்லோராலும் அப்படிப்பட்ட சாதனையைச் செய்ய முடியாது.) ஆனால் nth term என்ற சூத்திரம் அனைவரின் அதிகாரத்திலும் உள்ளது!

4. எண்கணித முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டால் (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

முன்னேற்றத்தின் மிகச் சிறிய நேர்மறை காலத்தின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்.

5. பணி 4 இன் நிபந்தனைகளின்படி, முன்னேற்றத்தின் சிறிய நேர்மறை மற்றும் மிகப்பெரிய எதிர்மறை சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

6. அதிகரித்து வரும் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஐந்தாவது மற்றும் பன்னிரண்டாவது சொற்களின் பலன் -2.5 ஆகும், மேலும் மூன்றாவது மற்றும் பதினொன்றாவது சொற்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாகும். 14 ஐக் கண்டுபிடி.

எளிதான பணி அல்ல, ஆம்...) "விரல் நுனி" முறை இங்கு வேலை செய்யாது. நீங்கள் சூத்திரங்களை எழுத வேண்டும் மற்றும் சமன்பாடுகளை தீர்க்க வேண்டும்.

பதில்கள் (குழப்பத்தில்):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

அது வேலை செய்ததா? நன்றாக இருக்கிறது!)

எல்லாம் சரியாகவில்லையா? நடக்கும். மூலம், கடைசி பணியில் ஒரு நுட்பமான புள்ளி உள்ளது. சிக்கலைப் படிக்கும்போது கவனம் தேவை. மற்றும் தர்க்கம்.

இந்த அனைத்து பிரச்சனைகளுக்கும் தீர்வு பிரிவு 555 இல் விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் நான்காவிற்கான கற்பனையின் உறுப்பு, மற்றும் ஆறாவது நுட்பமான புள்ளி மற்றும் n வது காலத்தின் சூத்திரம் சம்பந்தப்பட்ட ஏதேனும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான அணுகுமுறைகள் - அனைத்தும் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. நான் அதை பரிந்துரைக்கிறேன்.

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

சரி, நண்பர்களே, நீங்கள் இந்த உரையைப் படிக்கிறீர்கள் என்றால், எண்கணித முன்னேற்றம் என்னவென்று உங்களுக்கு இன்னும் தெரியவில்லை என்று உள் தொப்பி-சான்று சொல்கிறது, ஆனால் நீங்கள் உண்மையில் (இல்லை, அது போல: SOOOOO!) தெரிந்து கொள்ள விரும்புகிறீர்கள். எனவே, நீண்ட அறிமுகங்களுடன் உங்களைத் துன்புறுத்த மாட்டேன், நேரடியாக விஷயத்திற்கு வருகிறேன்.

முதலில், ஓரிரு உதாரணங்கள். எண்களின் பல தொகுப்புகளைப் பார்ப்போம்:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

இந்த அனைத்து தொகுப்புகளுக்கும் பொதுவானது என்ன? முதல் பார்வையில், எதுவும் இல்லை. ஆனால் உண்மையில் ஏதோ இருக்கிறது. அதாவது: ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பும் முந்தைய ஒன்றிலிருந்து அதே எண்ணால் வேறுபடுகிறது.

நீங்களே தீர்ப்பளிக்கவும். முதல் தொகுப்பு வெறுமனே தொடர்ச்சியான எண்கள், ஒவ்வொன்றும் முந்தையதை விட ஒன்று அதிகமாகும். இரண்டாவது வழக்கில், அருகிலுள்ள எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஏற்கனவே ஐந்து ஆகும், ஆனால் இந்த வேறுபாடு இன்னும் நிலையானது. மூன்றாவது வழக்கில், வேர்கள் எதுவும் இல்லை. இருப்பினும், $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, மற்றும் $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, அதாவது. இந்த நிலையில், ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பும் $\sqrt(2)$ ஆக அதிகரிக்கிறது (மேலும் இந்த எண் பகுத்தறிவற்றது என்று பயப்பட வேண்டாம்).

எனவே: அத்தகைய அனைத்து வரிசைகளும் எண்கணித முன்னேற்றங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கடுமையான வரையறையை வழங்குவோம்:

வரையறை. எண்களின் வரிசை ஒவ்வொன்றும் முந்தையவற்றிலிருந்து அதே அளவு வேறுபடும் எண்கணித முன்னேற்றம் எனப்படும். எண்கள் வேறுபடும் அளவு முன்னேற்ற வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பெரும்பாலும் $d$ என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

குறிப்பு: $\left(((a)_(n)) \right)$ என்பது முன்னேற்றமே, $d$ என்பது அதன் வித்தியாசம்.

மற்றும் சில முக்கியமான குறிப்புகள். முதலில், முன்னேற்றம் மட்டுமே கருதப்படுகிறது உத்தரவிட்டார்எண்களின் வரிசை: அவை எழுதப்பட்ட வரிசையில் கண்டிப்பாக படிக்க அனுமதிக்கப்படுகின்றன - வேறு எதுவும் இல்லை. எண்களை மறுசீரமைக்கவோ அல்லது மாற்றவோ முடியாது.

இரண்டாவதாக, வரிசையே வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது எல்லையற்றதாகவோ இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, தொகுப்பு (1; 2; 3) ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றம். ஆனால் நீங்கள் ஆவியில் ஏதாவது எழுதினால் (1; 2; 3; 4; ...) - இது ஏற்கனவே எல்லையற்ற முன்னேற்றம். நான்கிற்குப் பிறகு வரும் நீள்வட்டம் இன்னும் சில எண்கள் வரவுள்ளன என்பதைக் குறிக்கிறது. எண்ணற்ற பல, எடுத்துக்காட்டாக :)

முன்னேற்றங்கள் அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம் என்பதையும் நான் கவனிக்க விரும்புகிறேன். அதிகரித்து வருவதை நாம் ஏற்கனவே பார்த்திருக்கிறோம் - அதே தொகுப்பு (1; 2; 3; 4; ...). முன்னேற்றங்கள் குறைந்து வருவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

சரி, சரி: கடைசி உதாரணம் மிகவும் சிக்கலானதாகத் தோன்றலாம். ஆனால் மீதமுள்ளவை, நீங்கள் புரிந்துகொள்கிறீர்கள் என்று நினைக்கிறேன். எனவே, நாங்கள் புதிய வரையறைகளை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:

வரையறை. ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் அழைக்கப்படுகிறது:

1. ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பும் முந்தையதை விட அதிகமாக இருந்தால் அதிகரிக்கும்;
2. மாறாக, ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த உறுப்பும் முந்தையதை விட குறைவாக இருந்தால் குறைகிறது.

கூடுதலாக, "நிலையான" வரிசைகள் என்று அழைக்கப்படுபவை உள்ளன - அவை மீண்டும் மீண்டும் வரும் எண்ணைக் கொண்டிருக்கும். உதாரணமாக, (3; 3; 3; ...).

ஒரே ஒரு கேள்வி மட்டுமே உள்ளது: அதிகரித்து வரும் முன்னேற்றத்தை குறைவதை எவ்வாறு வேறுபடுத்துவது? அதிர்ஷ்டவசமாக, இங்கே எல்லாம் $d$ எண்ணின் அடையாளத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, அதாவது. முன்னேற்ற வேறுபாடுகள்:

1. $d \gt 0$ எனில், முன்னேற்றம் அதிகரிக்கிறது;
2. $d \lt 0$ எனில், முன்னேற்றம் வெளிப்படையாகக் குறைகிறது;
3. இறுதியாக, $d=0$ வழக்கு உள்ளது - இந்த வழக்கில் முழு முன்னேற்றமும் ஒரு நிலையான வரிசையாக குறைக்கப்படுகிறது ஒரே எண்கள்: (1; 1; 1; 1; ...), முதலியன.

மேலே கொடுக்கப்பட்ட மூன்று குறைந்து வரும் முன்னேற்றங்களுக்கான வித்தியாசத்தை $d$ கணக்கிட முயற்சிப்போம். இதைச் செய்ய, அருகிலுள்ள இரண்டு கூறுகளை (உதாரணமாக, முதல் மற்றும் இரண்டாவது) எடுத்து, வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்ணிலிருந்து இடதுபுறத்தில் உள்ள எண்ணைக் கழித்தால் போதும். இது இப்படி இருக்கும்:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

நாம் பார்க்க முடியும் என, மூன்று நிகழ்வுகளிலும் வேறுபாடு உண்மையில் எதிர்மறையாக மாறியது. இப்போது நாம் வரையறைகளை அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ கண்டுபிடித்துள்ளோம், முன்னேற்றங்கள் எவ்வாறு விவரிக்கப்படுகின்றன மற்றும் அவை என்ன பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் கண்டறிய வேண்டிய நேரம் இது.

முன்னேற்ற விதிமுறைகள் மற்றும் மறுநிகழ்வு சூத்திரம்

எங்கள் வரிசைகளின் கூறுகளை மாற்ற முடியாது என்பதால், அவற்றை எண்ணலாம்:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \வலது\)\]

இந்த தொகுப்பின் தனிப்பட்ட கூறுகள் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை ஒரு எண்ணால் குறிக்கப்படுகின்றன: முதல் உறுப்பினர், இரண்டாவது உறுப்பினர், முதலியன.

கூடுதலாக, நாம் ஏற்கனவே அறிந்தபடி, முன்னேற்றத்தின் அண்டை விதிமுறைகள் சூத்திரத்தால் தொடர்புடையவை:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

சுருக்கமாக, ஒரு முன்னேற்றத்தின் $n$வது காலத்தைக் கண்டறிய, $n-1$வது காலத்தையும் $d$ வித்தியாசத்தையும் நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இந்த சூத்திரம் மீண்டும் மீண்டும் அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் உதவியுடன் முந்தையதை (மற்றும் உண்மையில், முந்தைய அனைத்தையும்) அறிந்துகொள்வதன் மூலம் மட்டுமே நீங்கள் எந்த எண்ணையும் கண்டுபிடிக்க முடியும். இது மிகவும் சிரமமாக உள்ளது, எனவே மிகவும் தந்திரமான சூத்திரம் உள்ளது, இது எந்த கணக்கீடுகளையும் முதல் கால மற்றும் வேறுபாட்டிற்கு குறைக்கிறது:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் ஏற்கனவே பார்த்திருக்கலாம். அனைத்து வகையான குறிப்பு புத்தகங்களிலும் தீர்வு புத்தகங்களிலும் கொடுக்க விரும்புகிறார்கள். எந்த விவேகமான கணித பாடப்புத்தகத்திலும் இது முதன்மையானது.

இருப்பினும், நீங்கள் கொஞ்சம் பயிற்சி செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன்.

பணி எண் 1. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் மூன்று சொற்களை எழுதவும் $\left((((a)_(n)) \right)$ என்றால் $((a)_(1))=8,d=-5$.

தீர்வு. எனவே, முதல் சொல் $((a)_(1))=8$ மற்றும் முன்னேற்றத்தின் வித்தியாசம் $d=-5$ ஆகியவற்றை நாங்கள் அறிவோம். இப்போது கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி $n=1$, $n=2$ மற்றும் $n=3$ ஆகியவற்றை மாற்றுவோம்:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

பதில்: (8; 3; -2)

அவ்வளவுதான்! தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: எங்கள் முன்னேற்றம் குறைந்து வருகிறது.

நிச்சயமாக, $n=1$ ஐ மாற்ற முடியாது - முதல் சொல் ஏற்கனவே எங்களுக்குத் தெரியும். இருப்பினும், ஒற்றுமையை மாற்றியமைப்பதன் மூலம், முதல் தவணைக்கு கூட எங்கள் சூத்திரம் செயல்படும் என்று நாங்கள் உறுதியாக நம்பினோம். மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், எல்லாம் சாதாரணமான எண்கணிதத்திற்கு வந்தது.

பணி எண் 2. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் மூன்று சொற்களை எழுதவும், அதன் ஏழாவது சொல் −40 க்கும், பதினேழாவது சொல் −50 க்கும் சமமாக இருந்தால்.

தீர்வு. பழக்கமான சொற்களில் சிக்கல் நிலையை எழுதுவோம்:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \ end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \வலது.\]

இந்த தேவைகள் ஒரே நேரத்தில் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும் என்பதால் நான் கணினி அடையாளத்தை வைத்தேன். இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து முதலில் கழித்தால் (இதைச் செய்ய நமக்கு உரிமை உள்ளது, ஏனெனில் எங்களிடம் ஒரு அமைப்பு உள்ளது), இதைப் பெறுவோம்:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

முன்னேற்ற வேறுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்பது எவ்வளவு எளிது! கணினியின் எந்த சமன்பாடுகளிலும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்ணை மாற்றுவது மட்டுமே மீதமுள்ளது. உதாரணமாக, முதலில்:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((அ)_(1))=-40+6=-34. \\ \முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்)\]

இப்போது, ​​முதல் சொல் மற்றும் வேறுபாட்டை அறிந்து, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சொற்களைக் கண்டுபிடிப்பது உள்ளது:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

தயார்! பிரச்சனை தீர்ந்துவிட்டது.

பதில்: (−34; -35; -36)

நாங்கள் கண்டறிந்த முன்னேற்றத்தின் சுவாரஸ்யமான பண்புகளைக் கவனியுங்கள்: $n$th மற்றும் $m$வது விதிமுறைகளை எடுத்து, அவற்றை ஒன்றிலிருந்து ஒன்று கழித்தால், $n-m$ எண்ணால் பெருக்கப்படும் முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைப் பெறுவோம்:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

எளிய ஆனால் மிகவும் பயனுள்ள சொத்து, நீங்கள் நிச்சயமாக தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் - அதன் உதவியுடன் நீங்கள் பல முன்னேற்ற சிக்கல்களின் தீர்வை கணிசமாக விரைவுபடுத்தலாம். இங்கே பிரகாசமான என்றுஉதாரணம்:

பணி எண். 3. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஐந்தாவது சொல் 8.4, மற்றும் அதன் பத்தாவது சொல் 14.4. இந்த முன்னேற்றத்தின் பதினைந்தாவது வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, மற்றும் $((a)_(15))$ ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்பதால், பின்வருவனவற்றைக் கவனிக்கிறோம்:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

ஆனால் நிபந்தனையின்படி $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, எனவே $5d=6$, இதில் இருந்து நாம்:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((அ)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

பதில்: 20.4

அவ்வளவுதான்! சமன்பாடுகளின் எந்த அமைப்புகளையும் உருவாக்கி, முதல் காலத்தையும் வேறுபாட்டையும் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை - எல்லாம் ஓரிரு வரிகளில் தீர்க்கப்பட்டது.

இப்போது மற்றொரு வகை சிக்கலைப் பார்ப்போம் - ஒரு முன்னேற்றத்தின் எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறையான சொற்களைத் தேடுவது. ஒரு முன்னேற்றம் அதிகரித்து, அதன் முதல் சொல் எதிர்மறையாக இருந்தால், விரைவில் அல்லது பின்னர் நேர்மறையான சொற்கள் அதில் தோன்றும் என்பது இரகசியமல்ல. மற்றும் நேர்மாறாக: குறைந்து வரும் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள் விரைவில் அல்லது பின்னர் எதிர்மறையாக மாறும்.

அதே நேரத்தில், உறுப்புகளின் வழியாக வரிசையாகச் செல்வதன் மூலம் இந்த தருணத்தை "தலையாக" கண்டுபிடிப்பது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. பெரும்பாலும், சிக்கல்கள் சூத்திரங்கள் தெரியாமல், கணக்கீடுகள் பல காகிதத் தாள்களை எடுக்கும் வகையில் எழுதப்படுகின்றன - பதிலைக் கண்டுபிடிக்கும் போது நாம் தூங்கிவிடுவோம். எனவே, இந்த சிக்கல்களை விரைவாக தீர்க்க முயற்சிப்போம்.

பணி எண். 4. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் எத்தனை எதிர்மறை சொற்கள் உள்ளன -38.5; −35.8; ...?

தீர்வு. எனவே, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, எங்கிருந்து நாம் உடனடியாக வித்தியாசத்தைக் காண்கிறோம்:

வேறுபாடு நேர்மறையானது என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே முன்னேற்றம் அதிகரிக்கிறது. முதல் சொல் எதிர்மறையானது, எனவே ஒரு கட்டத்தில் நாம் நேர்மறை எண்களில் தடுமாறுவோம். இது எப்போது நடக்கும் என்பதுதான் ஒரே கேள்வி.

கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்: எப்போது வரை (அதாவது என்ன வரை இயற்கை எண்$n$) விதிமுறைகளின் எதிர்மறையானது பாதுகாக்கப்படுகிறது:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \வலது. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

கடைசி வரிக்கு கொஞ்சம் விளக்கம் தேவை. எனவே $n \lt 15\frac(7)(27)$ என்று நமக்குத் தெரியும். மறுபுறம், எண்ணின் முழு எண் மதிப்புகளில் மட்டுமே நாங்கள் திருப்தி அடைகிறோம் (மேலும்: $n\in \mathbb(N)$), எனவே மிகப்பெரிய அனுமதிக்கப்பட்ட எண் துல்லியமாக $n=15$ ஆகும், எந்த வகையிலும் 16 .

பணி எண் 5. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல் நேர்மறை சொல்லின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்.

இது முந்தைய சிக்கலைப் போலவே இருக்கும், ஆனால் எங்களுக்கு $((a)_(1))$ தெரியாது. ஆனால் அருகிலுள்ள சொற்கள் அறியப்படுகின்றன: $((a)_(5))$ மற்றும் $((a)_(6))$, எனவே முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டை நாம் எளிதாகக் கண்டறியலாம்:

கூடுதலாக, ஐந்தாவது வார்த்தையை முதல் மற்றும் வேறுபாட்டின் மூலம் நிலையான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்த முயற்சிப்போம்:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((அ)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((அ)_(1))=-150-12=-162. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இப்போது நாம் முந்தைய பணியுடன் ஒப்புமை மூலம் தொடர்கிறோம். நேர்மறை எண்கள் வரிசையில் எந்த கட்டத்தில் தோன்றும் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இந்த சமத்துவமின்மைக்கான குறைந்தபட்ச முழு எண் தீர்வு எண் 56 ஆகும்.

தயவு செய்து கவனிக்கவும்: கடைசிப் பணியில் எல்லாமே கடுமையான சமத்துவமின்மைக்கு வந்தன, எனவே $n=55$ விருப்பம் எங்களுக்குப் பொருந்தாது.

இப்போது எளிய சிக்கல்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொண்டோம், மேலும் சிக்கலானவற்றுக்கு செல்லலாம். ஆனால் முதலில், எண்கணித முன்னேற்றங்களின் மற்றொரு பயனுள்ள சொத்தை படிப்போம், இது எதிர்காலத்தில் நிறைய நேரம் மற்றும் சமமற்ற செல்களை சேமிக்கும்.

எண்கணித சராசரி மற்றும் சம உள்தள்ளல்கள்

அதிகரித்து வரும் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பல தொடர்ச்சியான விதிமுறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம் $\left(((a)_(n)) \right)$. அவற்றை எண் வரிசையில் குறிக்க முயற்சிப்போம்:

நான் குறிப்பாக தன்னிச்சையான விதிமுறைகளை $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ எனக் குறித்துள்ளேன், சில $((a)_(1)) ,\ ((அ)_(2)),\ ((அ)_(3))$, போன்றவை. ஏனென்றால் நான் இப்போது உங்களுக்குச் சொல்லும் விதி எந்த "பிரிவுகளுக்கும்" ஒரே மாதிரியாகச் செயல்படுகிறது.

மற்றும் விதி மிகவும் எளிது. மீண்டும் வரும் சூத்திரத்தை நினைவில் வைத்துக் கொண்டு, குறிக்கப்பட்ட அனைத்து சொற்களுக்கும் எழுதுவோம்:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இருப்பினும், இந்த சமத்துவங்களை வேறுவிதமாக மீண்டும் எழுதலாம்:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \முடிவு(சீரமை)\]

அதனால் என்ன? $((a)_(n-1))$ மற்றும் $((a)_(n+1))$ ஆகிய சொற்கள் $((a)_(n)) $ இலிருந்து ஒரே தூரத்தில் உள்ளன. . இந்த தூரம் $d$ க்கு சமம். $((a)_(n-2))$ மற்றும் $((a)_(n+2))$ ஆகிய சொற்களைப் பற்றியும் இதைச் சொல்லலாம் - அவை $((a)_(n) இலிருந்தும் நீக்கப்படும். )$ அதே தூரத்தில் $2d$. முடிவில்லாத விளம்பரத்தைத் தொடரலாம், ஆனால் இதன் பொருள் படத்தால் நன்கு விளக்கப்பட்டுள்ளது

இது நமக்கு என்ன அர்த்தம்? இதன் பொருள், அருகில் உள்ள எண்கள் தெரிந்தால் $((a)_(n))$ கண்டுபிடிக்கலாம்:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

நாங்கள் ஒரு சிறந்த அறிக்கையைப் பெற்றுள்ளோம்: ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு சொல்லும் அதன் அண்டை சொற்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம்! மேலும்: நமது $((a)_(n))$ இலிருந்து இடது மற்றும் வலது பக்கம் ஒரு படியால் அல்ல, $k$ படிகள் மூலம் பின்வாங்கலாம் - மேலும் சூத்திரம் சரியாக இருக்கும்:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

அந்த. $((a)_(100))$ மற்றும் $((a)_(200))$ தெரிந்தால் சில $((a)_(150))$ஐ நாம் எளிதாகக் கண்டுபிடிக்கலாம், ஏனெனில் $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. முதல் பார்வையில், இந்த உண்மை நமக்கு பயனுள்ள எதையும் கொடுக்கவில்லை என்று தோன்றலாம். இருப்பினும், நடைமுறையில், எண்கணித சராசரியைப் பயன்படுத்துவதற்கு பல சிக்கல்கள் சிறப்பாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன. பாருங்கள்:

பணி எண். 6. $x$ இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறிக ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் (குறிப்பிட்ட வரிசையில்).

தீர்வு. ஏனெனில் குறிப்பிட்ட எண்கள்ஒரு முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள், எண்கணித சராசரி நிலை அவர்களுக்குத் திருப்தியளிக்கிறது: மைய உறுப்பு $x+1$ அண்டை உறுப்புகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம்:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & (((x)^(2))+x-6=0. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இதன் விளைவாக ஒரு உன்னதமான இருபடி சமன்பாடு உள்ளது. அதன் வேர்கள்: $x=2$ மற்றும் $x=-3$ ஆகியவை பதில்கள்.

பதில்: −3; 2.

பணி எண். 7. எண்கள் $-1;4-3;(()^(2))+1$ எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்கும் $$ மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் (அந்த வரிசையில்).

தீர்வு. மீண்டும் வெளிப்படுத்துவோம் சராசரி உறுப்பினர்அண்டை சொற்களின் எண்கணித சராசரி மூலம்:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \வலது.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & (((x)^(2))-7x+6=0. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

மீண்டும் இருபடி சமன்பாடு. மீண்டும் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன: $x=6$ மற்றும் $x=1$.

பதில்: 1; 6.

ஒரு சிக்கலைத் தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் நீங்கள் சில மிருகத்தனமான எண்களைக் கொண்டு வந்தால், அல்லது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பதில்களின் சரியான தன்மையை நீங்கள் முழுமையாக நம்பவில்லை என்றால், நீங்கள் சரிபார்க்க அனுமதிக்கும் ஒரு அற்புதமான நுட்பம் உள்ளது: நாங்கள் சிக்கலை சரியாக தீர்த்துவிட்டோமா?

பிரச்சனை எண். 6-ல் −3 மற்றும் 2 ஆகிய பதில்களைப் பெற்றோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த பதில்கள் சரியானதா என எப்படிச் சரிபார்க்கலாம்? அவற்றை அசல் நிலையில் இணைத்து என்ன நடக்கிறது என்று பார்ப்போம். எங்களிடம் மூன்று எண்கள் உள்ளன என்பதை நினைவூட்டுகிறேன் ($-6()^(2))$, $+1$ மற்றும் $14+4(()^(2))$), அவை எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்க வேண்டும். $x=-3$ ஐ மாற்றுவோம்:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

எண்கள் −54 கிடைத்தது; -2; 52 ஆல் வேறுபடும் 50 என்பது சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும். $x=2$க்கும் இதேதான் நடக்கும்:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

மீண்டும் ஒரு முன்னேற்றம், ஆனால் 27 வித்தியாசத்தில். இதனால், பிரச்சனை சரியாக தீர்க்கப்பட்டது. விரும்புவோர் இரண்டாவது சிக்கலைத் தாங்களாகவே சரிபார்க்கலாம், ஆனால் நான் இப்போதே சொல்கிறேன்: அங்கேயும் எல்லாம் சரியாக இருக்கிறது.

பொதுவாக, கடைசி சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​மற்றொன்றைக் கண்டோம் சுவாரஸ்யமான உண்மை, இதையும் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

மூன்று எண்கள் இரண்டாவது முதல் மற்றும் கடைசி எண்கணித சராசரியாக இருந்தால், இந்த எண்கள் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன.

எதிர்காலத்தில், இந்த அறிக்கையைப் புரிந்துகொள்வது சிக்கலின் நிலைமைகளின் அடிப்படையில் தேவையான முன்னேற்றங்களை உண்மையில் "கட்டமைக்க" அனுமதிக்கும். ஆனால் அத்தகைய "கட்டுமானத்தில்" ஈடுபடுவதற்கு முன், நாம் ஏற்கனவே விவாதிக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றும் மற்றொரு உண்மைக்கு கவனம் செலுத்த வேண்டும்.

கூறுகளை தொகுத்தல் மற்றும் தொகுத்தல்

மீண்டும் எண் அச்சுக்கு வருவோம். முன்னேற்றத்தின் பல உறுப்பினர்களைக் கவனிக்கலாம், அவற்றுக்கிடையே, ஒருவேளை. மற்ற பல உறுப்பினர்களுக்கு மதிப்புள்ளது:

"இடது வால்" $((a)_(n))$ மற்றும் $d$ மூலமாகவும், "வலது வால்" $((a)_(k))$ மற்றும் $d$ மூலமாகவும் வெளிப்படுத்த முயற்சிப்போம். இது மிகவும் எளிமையானது:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இப்போது பின்வரும் அளவுகள் சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= எஸ்; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= எஸ். \end(align)\]

எளிமையாகச் சொன்னால், முன்னேற்றத்தின் இரண்டு கூறுகளை ஒரு தொடக்கமாகக் கருதினால், அவை மொத்தமாக சில $S$ எண்ணுக்குச் சமமாக இருக்கும், பின்னர் இந்த உறுப்புகளிலிருந்து எதிர் திசைகளில் (ஒன்றொன்று நோக்கி அல்லது நேர்மாறாக விலகிச் செல்ல) பிறகு நாம் தடுமாறும் உறுப்புகளின் தொகையும் சமமாக இருக்கும்$S$. இதை மிகத் தெளிவாக வரைகலையாகக் குறிப்பிடலாம்:

இந்த உண்மையைப் புரிந்துகொள்வது, அடிப்படையிலேயே பிரச்சினைகளைத் தீர்க்க நம்மை அனுமதிக்கும் உயர் நிலைநாம் மேலே கருதியதை விட சிரமங்கள். உதாரணமாக, இவை:

பணி எண் 8. ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைத் தீர்மானிக்கவும், இதில் முதல் சொல் 66 ஆகும், மேலும் இரண்டாவது மற்றும் பன்னிரண்டாவது சொற்களின் பலன் மிகவும் சிறியதாக இருக்கும்.

தீர்வு. நமக்குத் தெரிந்த அனைத்தையும் எழுதுவோம்:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

எனவே, $d$ முன்னேற்ற வேறுபாடு எங்களுக்குத் தெரியாது. உண்மையில், முழுத் தீர்வும் வேறுபாட்டின் அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்படும், ஏனெனில் $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ ஐ பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

தொட்டியில் இருப்பவர்களுக்கு: இரண்டாவது அடைப்புக்குறியிலிருந்து 11 இன் ஒட்டுமொத்த பெருக்கியை எடுத்தேன். எனவே, தேவையான தயாரிப்பு $d$ மாறியைப் பொறுத்து ஒரு இருபடிச் செயல்பாடு ஆகும். எனவே, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் - அதன் வரைபடம் கிளைகள் மேலே இருக்கும் ஒரு பரவளையமாக இருக்கும், ஏனெனில் அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்தினால், நமக்கு கிடைக்கும்:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மிக உயர்ந்த காலத்தின் குணகம் 11 - இது நேர்மறை எண், எனவே நாங்கள் உண்மையில் கிளைகளைக் கொண்ட ஒரு பரவளையத்தைக் கையாளுகிறோம்:

அட்டவணை இருபடி செயல்பாடு- பரவளையம்

தயவு செய்து கவனிக்கவும்: இந்த பரவளையம் அதன் உச்சியில் அதன் குறைந்தபட்ச மதிப்பை abscissa $((d)_(0))$ உடன் எடுக்கும். நிச்சயமாக, நிலையான திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த அப்சிஸ்ஸாவை நாம் கணக்கிடலாம் (சூத்திரம் $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ உள்ளது), ஆனால் அதைக் குறிப்பிடுவது மிகவும் நியாயமானதாக இருக்கும். விரும்பிய உச்சியானது பரவளையத்தின் அச்சு சமச்சீர் மீது உள்ளது, எனவே புள்ளி $((d)_(0))$ சமன்பாட்டின் வேர்களில் இருந்து $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

அதனால்தான் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க நான் அவசரப்படவில்லை: அவற்றின் அசல் வடிவத்தில், வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் எளிதானது. எனவே, abscissa சராசரிக்கு சமம் எண்கணித எண்கள்−66 மற்றும் −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண் நமக்கு என்ன தருகிறது? அதனுடன், தேவையான தயாரிப்பு எடுக்கும் மிகச்சிறிய மதிப்பு(இதன் மூலம், நாங்கள் $((y)_(\min ))$ கணக்கிடவில்லை - இது எங்களிடம் தேவையில்லை). அதே நேரத்தில், இந்த எண் அசல் முன்னேற்றத்தின் வித்தியாசம், அதாவது. விடை கண்டோம். :)

பதில்: −36

பணி எண். 9. $-\frac(1)(2)$ மற்றும் $-\frac(1)(6)$ எண்களுக்கு இடையில் மூன்று எண்களைச் செருகவும், இதனால் இந்த எண்களுடன் சேர்ந்து அவை எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன.

தீர்வு. அடிப்படையில், நாம் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட முதல் மற்றும் கடைசி எண்ணுடன் ஐந்து எண்களின் வரிசையை உருவாக்க வேண்டும். $x$, $y$ மற்றும் $z$ மாறிகள் மூலம் விடுபட்ட எண்களைக் குறிப்போம்:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

$y$ என்பது எங்கள் வரிசையின் “நடுத்தரம்” என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் - இது $x$ மற்றும் $z$ எண்களிலிருந்தும், $-\frac(1)(2)$ மற்றும் $-\frac ஆகிய எண்களிலிருந்தும் சமமான தொலைவில் உள்ளது. (1)( 6)$. தற்போது $x$ மற்றும் $z$ எண்களில் இருந்து $y$ ஐப் பெற முடியவில்லை என்றால், முன்னேற்றத்தின் முடிவில் நிலைமை வேறுபட்டது. எண்கணித சராசரியை நினைவில் கொள்வோம்:

இப்போது, ​​$y$ தெரிந்து, மீதமுள்ள எண்களைக் கண்டுபிடிப்போம். $x$ என்பது $-\frac(1)(2)$ மற்றும் $y=-\frac(1)(3)$ ஆகிய எண்களுக்கு இடையில் இருப்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அதனால் தான்

இதே போன்ற காரணத்தைப் பயன்படுத்தி, மீதமுள்ள எண்ணைக் காண்கிறோம்:

தயார்! நாங்கள் மூன்று எண்களையும் கண்டுபிடித்தோம். அசல் எண்களுக்கு இடையில் எந்த வரிசையில் செருகப்பட வேண்டும் என்பதை பதிலில் எழுதுவோம்.

பதில்: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

பணி எண். 10. எண்கள் 2 மற்றும் 42 க்கு இடையில், செருகப்பட்ட எண்களின் முதல், இரண்டாவது மற்றும் கடைசி எண்களின் கூட்டுத்தொகை 56 என்று உங்களுக்குத் தெரிந்தால், இந்த எண்களுடன் சேர்ந்து, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்கும் பல எண்களைச் செருகவும்.

தீர்வு. இன்னும் சிக்கலான சிக்கல், இருப்பினும், முந்தைய திட்டங்களின்படி - எண்கணித சராசரி மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது. பிரச்சனை என்னவென்றால், எத்தனை எண்களை செருக வேண்டும் என்பது நமக்குத் தெரியாது. எனவே, எல்லாவற்றையும் செருகிய பின் சரியாக $n$ எண்கள் இருக்கும் என்றும், அவற்றில் முதல் எண் 2 என்றும் கடைசியாக 42 என்றும் திட்டவட்டமாக வைத்துக்கொள்வோம்.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \வலது\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

எவ்வாறாயினும், $((a)_(2))$ மற்றும் $((a)_(n-1))$ எண்கள் 2 மற்றும் 42 ஆகிய எண்களிலிருந்து விளிம்புகளில் இருந்து ஒரு படி ஒன்றையொன்று நோக்கிப் பெறுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அதாவது. வரிசையின் மையத்திற்கு. மற்றும் இதன் பொருள்

\[((அ)_(2))+((அ)_(n-1))=2+42=44\]

ஆனால் மேலே எழுதப்பட்ட வெளிப்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((அ)_(3))=56; \\ & ((அ)_(3))=56-44=12. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

$((a)_(3))$ மற்றும் $((a)_(1))$ ஆகியவற்றை அறிந்தால், முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டை நாம் எளிதாகக் கண்டறியலாம்:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

மீதமுள்ள விதிமுறைகளைக் கண்டறிவதே எஞ்சியுள்ளது:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((அ)_(2))=2+5=7; \\ & ((அ)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \முடிவு(சீரமை)\]

எனவே, ஏற்கனவே 9 வது படியில் நாம் வரிசையின் இடது முனைக்கு வருவோம் - எண் 42. மொத்தத்தில், 7 எண்கள் மட்டுமே செருகப்பட வேண்டும்: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

பதில்: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

முன்னேற்றங்களுடன் வார்த்தை சிக்கல்கள்

முடிவில், ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான சில சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்ள விரும்புகிறேன். சரி, எளிமையானது: பள்ளியில் கணிதம் படிக்கும் மற்றும் மேலே எழுதப்பட்டதைப் படிக்காத பெரும்பாலான மாணவர்களுக்கு, இந்த சிக்கல்கள் கடினமாகத் தோன்றலாம். ஆயினும்கூட, இவை OGE மற்றும் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தோன்றும் சிக்கல்களின் வகைகள், எனவே நீங்கள் அவற்றைப் பற்றி அறிந்து கொள்ளுமாறு நான் பரிந்துரைக்கிறேன்.

பணி எண். 11. குழு ஜனவரியில் 62 பாகங்களைத் தயாரித்தது, மேலும் ஒவ்வொரு மாதமும் முந்தைய மாதத்தை விட 14 கூடுதல் பாகங்களைத் தயாரித்தது. நவம்பரில் குழு எத்தனை பாகங்களை தயாரித்தது?

தீர்வு. வெளிப்படையாக, மாதம் பட்டியலிடப்பட்ட பகுதிகளின் எண்ணிக்கை அதிகரித்து வரும் எண்கணித முன்னேற்றத்தைக் குறிக்கும். மேலும்:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

நவம்பர் ஆண்டின் 11வது மாதமாகும், எனவே நாம் $((a)_(11))$ ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

\[((அ)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

எனவே, நவம்பர் மாதம் 202 பாகங்கள் தயாரிக்கப்படும்.

பணி எண். 12. புக் பைண்டிங் பட்டறை ஜனவரியில் 216 புத்தகங்களைக் கட்டியது, அடுத்த ஒவ்வொரு மாதத்திலும் முந்தைய மாதத்தை விட 4 புத்தகங்கள் கூடுதலாகக் கட்டப்பட்டன. டிசம்பரில் பட்டறை எத்தனை புத்தகங்களை பைண்ட் செய்தது?

தீர்வு. எல்லாம் ஒன்றே:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

டிசம்பர் ஆண்டின் கடைசி, 12வது மாதம், எனவே நாங்கள் $((a)_(12))$ ஐத் தேடுகிறோம்:

\[((அ)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

பதில் இதுதான் - டிசம்பரில் 260 புத்தகங்கள் கட்டப்படும்.

சரி, நீங்கள் இதுவரை படித்திருந்தால், நான் உங்களை வாழ்த்த விரைகிறேன்: எண்கணித முன்னேற்றங்களில் "இளம் போராளியின் பாடத்திட்டத்தை" வெற்றிகரமாக முடித்துவிட்டீர்கள். நீங்கள் அடுத்த பாடத்திற்கு பாதுகாப்பாக செல்லலாம், அங்கு முன்னேற்றத்தின் தொகைக்கான சூத்திரத்தையும், அதிலிருந்து முக்கியமான மற்றும் மிகவும் பயனுள்ள விளைவுகளையும் நாங்கள் படிப்போம்.

சிலர் "முன்னேற்றம்" என்ற வார்த்தையை உயர் கணிதத்தின் கிளைகளில் இருந்து மிகவும் சிக்கலான வார்த்தையாகக் கருதுகின்றனர். இதற்கிடையில், எளிமையான எண்கணித முன்னேற்றம் டாக்ஸி மீட்டரின் வேலை (அவை இன்னும் உள்ளன). ஒரு எண்கணித வரிசையின் சாரத்தைப் புரிந்துகொள்வது (மற்றும் கணிதத்தில் "சாரத்தைப் பெறுவதை" விட முக்கியமானது எதுவுமில்லை) ஒரு சில அடிப்படைக் கருத்துகளை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம் அவ்வளவு கடினம் அல்ல.

கணித எண் வரிசை

ஒரு எண் வரிசை பொதுவாக எண்களின் தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த எண்ணைக் கொண்டுள்ளன.

a 1 என்பது வரிசையின் முதல் உறுப்பினர்;

மற்றும் 2 என்பது வரிசையின் இரண்டாவது சொல்;

மற்றும் 7 என்பது வரிசையின் ஏழாவது உறுப்பினர்;

மற்றும் n என்பது வரிசையின் nவது உறுப்பினர்;

இருப்பினும், எண்கள் மற்றும் எண்களின் தன்னிச்சையான தொகுப்பு எங்களுக்கு ஆர்வமாக இல்லை. n வது காலத்தின் மதிப்பு அதன் வரிசை எண்ணுடன் தொடர்புடைய ஒரு எண் வரிசையின் மீது எங்கள் கவனத்தை செலுத்துவோம், இது ஒரு உறவின் மூலம் கணித ரீதியாக தெளிவாக வடிவமைக்கப்படலாம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்: n வது எண்ணின் எண் மதிப்பு n இன் சில செயல்பாடு ஆகும்.

a என்பது ஒரு எண் வரிசையின் உறுப்பினரின் மதிப்பு;

n - அவரது வரிசை எண்;

f(n) என்பது ஒரு சார்பு, இதில் எண் வரிசையில் n என்பது ஆர்டினல் எண்.

வரையறை

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் பொதுவாக ஒரு எண் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் முந்தையதை விட அதே எண்ணால் அதிகமாக (குறைவாக) இருக்கும். எண்கணித வரிசையின் nவது கால சூத்திரம் பின்வருமாறு:

a n - எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தற்போதைய உறுப்பினரின் மதிப்பு;

ஒரு n+1 - அடுத்த எண்ணின் சூத்திரம்;

d - வேறுபாடு (குறிப்பிட்ட எண்).

வேறுபாடு நேர்மறையாக (d>0) இருந்தால், பரிசீலனையில் உள்ள தொடரின் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த உறுப்பினரும் முந்தையதை விட அதிகமாக இருக்கும் மற்றும் அத்தகைய எண்கணித முன்னேற்றம் அதிகரிக்கும் என்பதை தீர்மானிக்க எளிதானது.

கீழே உள்ள வரைபடத்தில் எண் வரிசை ஏன் "அதிகரித்தல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்பது எளிது.

வேறுபாடு எதிர்மறையாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

குறிப்பிட்ட உறுப்பினர் மதிப்பு

சில நேரங்களில் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்த ஒரு தன்னிச்சையான காலத்தின் மதிப்பை தீர்மானிக்க வேண்டும். எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அனைத்து உறுப்பினர்களின் மதிப்புகளையும், முதலில் இருந்து விரும்பியது வரை வரிசையாகக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இதைச் செய்யலாம். இருப்பினும், இந்த பாதை எப்போதும் ஏற்றுக்கொள்ளப்படாது, உதாரணமாக, ஐந்தாயிரம் அல்லது எட்டு மில்லியன் காலத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிவது அவசியம். பாரம்பரிய கணக்கீடுகள் நிறைய நேரம் எடுக்கும். இருப்பினும், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தை சில சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஆய்வு செய்யலாம். n வது காலத்திற்கான சூத்திரமும் உள்ளது: எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்தவொரு காலத்தின் மதிப்பையும் முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டுடன் முன்னேற்றத்தின் முதல் காலத்தின் கூட்டுத்தொகையாக தீர்மானிக்க முடியும், விரும்பிய காலத்தின் எண்ணிக்கையால் பெருக்கப்படுகிறது, குறைக்கப்பட்டது ஒன்று.

முன்னேற்றத்தை அதிகரிப்பதற்கும் குறைப்பதற்கும் சூத்திரம் உலகளாவியது.

கொடுக்கப்பட்ட சொல்லின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டு

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிவதில் பின்வரும் சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

நிபந்தனை: அளவுருக்களுடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் உள்ளது:

வரிசையின் முதல் சொல் 3;

எண் வரிசையில் உள்ள வேறுபாடு 1.2.

பணி: நீங்கள் 214 சொற்களின் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்

தீர்வு: கொடுக்கப்பட்ட சொல்லின் மதிப்பை தீர்மானிக்க, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

a(n) = a1 + d(n-1)

சிக்கல் அறிக்கையிலிருந்து தரவை வெளிப்பாடாக மாற்றுவது, எங்களிடம் உள்ளது:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

பதில்: வரிசையின் 214 வது சொல் 258.6 க்கு சமம்.

இந்த கணக்கீட்டு முறையின் நன்மைகள் வெளிப்படையானவை - முழு தீர்வும் 2 வரிகளுக்கு மேல் எடுக்காது.

கொடுக்கப்பட்ட சொற்களின் கூட்டுத்தொகை

பெரும்பாலும், கொடுக்கப்பட்ட எண்கணிதத் தொடரில், அதன் சில பிரிவுகளின் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு காலத்தின் மதிப்புகளையும் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை, பின்னர் அவற்றைச் சேர்க்க வேண்டும். தொகையைக் கண்டறிய வேண்டிய சொற்களின் எண்ணிக்கை சிறியதாக இருந்தால் இந்த முறை பொருந்தும். மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது.

1 முதல் n வரையிலான எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகை முதல் மற்றும் n வது சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், n என்ற சொல்லின் எண்ணிக்கையால் பெருக்கப்பட்டு இரண்டால் வகுக்கப்படும். சூத்திரத்தில் n வது காலத்தின் மதிப்பு கட்டுரையின் முந்தைய பத்தியிலிருந்து வெளிப்பாட்டால் மாற்றப்பட்டால், நாம் பெறுவோம்:

கணக்கீடு உதாரணம்

எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் நிபந்தனைகளுடன் சிக்கலைத் தீர்ப்போம்:

வரிசையின் முதல் சொல் பூஜ்ஜியம்;

வித்தியாசம் 0.5.

சிக்கலுக்கு 56 முதல் 101 வரையிலான தொடரின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையைத் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

தீர்வு. முன்னேற்றத்தின் அளவை தீர்மானிக்க சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

முதலில், எங்கள் சிக்கலின் கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளை சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம் முன்னேற்றத்தின் 101 விதிமுறைகளின் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

வெளிப்படையாக, 56 முதல் 101 வரையிலான முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய, S 101 இலிருந்து S 55 ஐக் கழிக்க வேண்டியது அவசியம்.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

எனவே, இந்த உதாரணத்திற்கான எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் நடைமுறை பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டு

கட்டுரையின் முடிவில், முதல் பத்தியில் கொடுக்கப்பட்ட எண்கணித வரிசையின் உதாரணத்திற்குத் திரும்புவோம் - ஒரு டாக்ஸிமீட்டர் (டாக்ஸி கார் மீட்டர்). இந்த உதாரணத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரு டாக்ஸியில் ஏறுவது (இதில் 3 கிமீ பயணமும் அடங்கும்) 50 ரூபிள் செலவாகும். ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த கிலோமீட்டருக்கும் 22 ரூபிள்/கிமீ வீதம் செலுத்தப்படுகிறது. பயண தூரம் 30 கி.மீ. பயணத்தின் செலவைக் கணக்கிடுங்கள்.

1. முதல் 3 கிமீ தூரத்தை நிராகரிக்கலாம், அதன் விலை தரையிறங்கும் செலவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

30 - 3 = 27 கி.மீ.

2. மேலும் கணக்கீடு என்பது ஒரு எண்கணித எண் தொடரைப் பாகுபடுத்துவதைத் தவிர வேறில்லை.

உறுப்பினர் எண் - பயணித்த கிலோமீட்டர்களின் எண்ணிக்கை (முதல் மூன்றைக் கழித்தல்).

உறுப்பினரின் மதிப்பு கூட்டுத்தொகை.

இந்த சிக்கலில் முதல் கால அளவு ஒரு 1 = 50 ரூபிள் சமமாக இருக்கும்.

முன்னேற்ற வேறுபாடு d = 22 r.

நாம் ஆர்வமாக உள்ள எண் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் (27+1) வது காலத்தின் மதிப்பு - 27 வது கிலோமீட்டரின் முடிவில் மீட்டர் ரீடிங் 27.999... = 28 கிமீ.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

தன்னிச்சையாக நீண்ட காலத்திற்கான காலெண்டர் தரவு கணக்கீடுகள் குறிப்பிட்ட எண் வரிசைகளை விவரிக்கும் சூத்திரங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. வானவியலில், சுற்றுப்பாதையின் நீளம், நட்சத்திரத்திற்கு வான உடலின் தூரத்தை வடிவியல் ரீதியாக சார்ந்துள்ளது. கூடுதலாக, புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் கணிதத்தின் பிற பயன்பாட்டுப் பகுதிகளில் பல்வேறு எண் தொடர்கள் வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

மற்றொரு வகை எண் வரிசை வடிவியல்

எண்கணித முன்னேற்றத்துடன் ஒப்பிடும்போது, ​​வடிவியல் முன்னேற்றம் அதிக மாற்ற விகிதங்களால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. அரசியல், சமூகவியல் மற்றும் மருத்துவம் ஆகியவற்றில், ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வின் அதிவேக பரவலைக் காட்டுவதற்காக, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தொற்றுநோய்களின் போது ஒரு நோய், வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் செயல்முறை உருவாகிறது என்று அவர்கள் கூறுவது தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல.

வடிவியல் எண் தொடரின் N வது சொல் முந்தைய ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டது, அது சில நிலையான எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது - வகுத்தல், எடுத்துக்காட்டாக, முதல் சொல் 1, வகுத்தல் அதற்கேற்ப 2 க்கு சமம், பின்னர்:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தற்போதைய காலத்தின் மதிப்பு;

b n+1 - வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடுத்த கால சூத்திரம்;

q என்பது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் (ஒரு நிலையான எண்).

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வரைபடம் ஒரு நேர் கோடாக இருந்தால், ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் சற்று வித்தியாசமான படத்தை வரைகிறது:

எண்கணிதத்தைப் போலவே, வடிவியல் முன்னேற்றமும் தன்னிச்சையான காலத்தின் மதிப்பிற்கான சூத்திரத்தைக் கொண்டுள்ளது. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்த nவது காலமும் முதல் காலத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமம் மற்றும் n இன் சக்திக்கான முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் ஒன்று குறைக்கப்பட்டது:

உதாரணம். எங்களிடம் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் உள்ளது, முதல் சொல் 3 க்கு சமம் மற்றும் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பானது 1.5 க்கு சமம். முன்னேற்றத்தின் 5 வது காலத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

கொடுக்கப்பட்ட சொற்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு சிறப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகையானது, முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்தின் பெருக்கத்திற்கும் அதன் வகுப்பிற்கும் மற்றும் முன்னேற்றத்தின் முதல் காலத்திற்கும் இடையே உள்ள வேறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும்.

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி b n மாற்றப்பட்டால், பரிசீலனையில் உள்ள எண் தொடரின் முதல் n விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பு படிவத்தை எடுக்கும்:

உதாரணம். வடிவியல் முன்னேற்றம் 1 க்கு சமமான முதல் வார்த்தையுடன் தொடங்குகிறது. வகுத்தல் 3 ஆக அமைக்கப்பட்டுள்ளது. முதல் எட்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்போம்.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280