குணாதிசயங்களுக்கிடையிலான உறவை தீர்மானித்தல்: சி-சதுர சோதனை. சி-சதுர விநியோகம். MS EXCEL இல் கணித புள்ளிவிவரங்களின் விநியோகம்

உயிரியல் ஆராய்ச்சியின் நடைமுறையில், ஒன்று அல்லது மற்றொரு கருதுகோளைச் சோதிப்பது பெரும்பாலும் அவசியம், அதாவது, பரிசோதனையாளரால் பெறப்பட்ட உண்மைப் பொருள் எந்த அளவிற்கு தத்துவார்த்த அனுமானத்தை உறுதிப்படுத்துகிறது மற்றும் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட தரவு கோட்பாட்டளவில் எதிர்பார்க்கப்பட்டவற்றுடன் எந்த அளவிற்கு ஒத்துப்போகிறது என்பதைக் கண்டறிய. ஒன்றை. ஒரு பிரச்சனை எழுகிறது புள்ளியியல் மதிப்பீடுஉண்மையான தரவு மற்றும் கோட்பாட்டு எதிர்பார்ப்பு ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான வேறுபாடு, எந்த சந்தர்ப்பங்களில் மற்றும் எந்த அளவு நிகழ்தகவுடன் இந்த வேறுபாடு நம்பகமானதாகக் கருதப்படலாம், மாறாக, வாய்ப்பு வரம்புகளுக்குள் அது முக்கியமற்றதாக, முக்கியமற்றதாகக் கருதப்பட வேண்டும். பிந்தைய வழக்கில், கருதுகோள் தக்கவைக்கப்படுகிறது, அதன் அடிப்படையில் கோட்பாட்டு ரீதியாக எதிர்பார்க்கப்படும் தரவு அல்லது குறிகாட்டிகள் கணக்கிடப்படுகின்றன. ஒரு கருதுகோளைச் சோதிப்பதற்கான இத்தகைய மாறுபாடு-புள்ளியியல் நுட்பம் முறையாகும் சி-சதுரம் (χ 2) இந்த அளவீடு பெரும்பாலும் "பொருத்தம் அளவுகோல்" அல்லது "பியர்சனின் நன்மை-பொருத்தம் சோதனை" என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் உதவியுடன், மாறுபட்ட நிகழ்தகவுடன், கோட்பாட்டு ரீதியாக எதிர்பார்க்கப்பட்டவற்றுடன் அனுபவ ரீதியாக பெறப்பட்ட தரவுகளின் கடிதப் பரிமாற்றத்தின் அளவை ஒருவர் தீர்மானிக்க முடியும்.

முறையான பார்வையில், இரண்டு மாறுபாடு தொடர்கள், இரண்டு மக்கள்தொகைகள் ஒப்பிடப்படுகின்றன: ஒன்று அனுபவ விநியோகம், மற்றொன்று அதே அளவுருக்கள் கொண்ட மாதிரி ( n, எம், எஸ்முதலியன) அனுபவ ரீதியிலான ஒன்றுதான், ஆனால் அதன் அதிர்வெண் விநியோகம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கோட்பாட்டுச் சட்டத்தின் (சாதாரண, பாய்சன், பைனோமியல், முதலியன) கண்டிப்பான ஏற்ப கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது, இதற்கு ஆய்வின் கீழ் சீரற்ற மாறியின் நடத்தை கீழ்ப்படிய வேண்டும். .

IN பொதுவான பார்வைஇணக்க அளவுகோலுக்கான சூத்திரத்தை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

எங்கே ஒரு -அவதானிப்புகளின் உண்மையான அதிர்வெண்,

A –கொடுக்கப்பட்ட வகுப்பிற்கு கோட்பாட்டளவில் எதிர்பார்க்கப்படும் அதிர்வெண்.

ஒப்பிடப்பட்ட விநியோகங்களுக்கு இடையே குறிப்பிடத்தக்க வேறுபாடுகள் எதுவும் இல்லை என்று பூஜ்ய கருதுகோள் கருதுகிறது. இந்த வேறுபாடுகளின் முக்கியத்துவத்தை மதிப்பிடுவதற்கு, முக்கியமான சி-சதுர மதிப்புகளின் சிறப்பு அட்டவணையை நீங்கள் பார்க்க வேண்டும் (அட்டவணை 9 பி) மற்றும், கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பை ஒப்பிடுதல் χ 2 அட்டவணையுடன், அனுபவப் பரவலானது கோட்பாட்டு ரீதியான ஒன்றிலிருந்து நம்பகத்தன்மையுடன் அல்லது நம்பகத்தன்மையின்றி விலகுகிறதா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும். எனவே, இந்த வேறுபாடுகள் இல்லாதது பற்றிய கருதுகோள் மறுக்கப்படும் அல்லது நடைமுறையில் விடப்படும். கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு என்றால் χ 2 அட்டவணைக்கு சமம் அல்லது மீறுகிறது χ ² ( α , df), அனுபவ விநியோகம் கோட்பாட்டு ஒன்றிலிருந்து கணிசமாக வேறுபடுகிறது என்று முடிவு செய்யுங்கள். எனவே, இந்த வேறுபாடுகள் இல்லாதது பற்றிய கருதுகோள் மறுக்கப்படும். என்றால் χ ² < χ ² ( α , df), பூஜ்ய கருதுகோள் செல்லுபடியாகும். ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய முக்கியத்துவ நிலை என்று பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது α = 0.05, ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் பூஜ்ய கருதுகோள் சரியானதாக இருக்க 5% வாய்ப்பு மட்டுமே உள்ளது, எனவே, அதை நிராகரிக்க போதுமான காரணம் (95%) உள்ளது.

ஒரு குறிப்பிட்ட பிரச்சனை சரியான வரையறைசுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை ( df), இதற்காக அளவுகோல் மதிப்புகள் அட்டவணையில் இருந்து எடுக்கப்படுகின்றன. வகுப்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கையிலிருந்து சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்க கேநீங்கள் கட்டுப்பாடுகளின் எண்ணிக்கையைக் கழிக்க வேண்டும் (அதாவது கோட்பாட்டு அதிர்வெண்களைக் கணக்கிடப் பயன்படுத்தப்படும் அளவுருக்களின் எண்ணிக்கை).

ஆய்வு செய்யப்படும் பண்பின் விநியோக வகையைப் பொறுத்து, சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் மாறும். க்கு மாற்றுவிநியோகங்கள் ( கே= 2) கணக்கீடுகளில் ஒரே ஒரு அளவுரு (மாதிரி அளவு) மட்டுமே ஈடுபட்டுள்ளது, எனவே, சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை df= கே−1=2−1=1. க்கு பல்லுறுப்புக்கோவைவிநியோக சூத்திரம் ஒத்ததாகும்: df= கே−1. இணக்கத்தை சரிபார்க்க மாறுபாடு தொடர்விநியோகம் விஷம்இரண்டு அளவுருக்கள் ஏற்கனவே பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன - மாதிரி அளவு மற்றும் சராசரி மதிப்பு (எண்கள் சிதறலுடன் ஒத்துப்போகின்றன); சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை df= கே−2. அனுபவ விநியோகத்தின் நிலைத்தன்மையை சரிபார்க்கும் போது, ​​விருப்பம் சாதாரணஅல்லது இருவகைசட்டத்தின்படி, சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கையானது, தொடர்களை உருவாக்குவதற்கான மூன்று நிபந்தனைகளைக் கழித்து, உண்மையான வகுப்புகளின் எண்ணிக்கையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது - மாதிரி அளவு, சராசரி மற்றும் மாறுபாடு, df= கே−3. χ² அளவுகோல் மாதிரிகளுக்கு மட்டுமே வேலை செய்கிறது என்பது உடனடியாக கவனிக்கத்தக்கது குறைந்தது 25 மாறுபாடுகளின் தொகுதி, மற்றும் தனிப்பட்ட வகுப்புகளின் அதிர்வெண்கள் இருக்க வேண்டும் 4 ஐ விட குறைவாக இல்லை.

முதலில், பகுப்பாய்வின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி சி-சதுர சோதனையின் பயன்பாட்டை விளக்குகிறோம் மாற்று மாறுபாடு. தக்காளியின் பரம்பரையை ஆய்வு செய்ய ஒரு பரிசோதனையில், 3629 சிவப்பு மற்றும் 1176 மஞ்சள் பழங்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. இரண்டாம் கலப்பின தலைமுறையில் எழுத்துக்களைப் பிரிப்பதற்கான அதிர்வெண்களின் தத்துவார்த்த விகிதம் 3:1 (75% முதல் 25%) இருக்க வேண்டும். செயல்படுத்தப்படுகிறதா? வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அது எடுக்கப்பட்டதா இந்த மாதிரிஅதிலிருந்து மக்கள் தொகை, இதில் அதிர்வெண் விகிதம் 3:1 அல்லது 0.75:0.25?

ஒரு அட்டவணையை உருவாக்குவோம் (அட்டவணை 4), அனுபவ அதிர்வெண்களின் மதிப்புகள் மற்றும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கோட்பாட்டு அதிர்வெண்களைக் கணக்கிடுவதன் முடிவுகளை நிரப்பவும்:

A = n ∙p,

எங்கே ப- கோட்பாட்டு அதிர்வெண்கள் (இந்த வகையின் மாறுபாட்டின் பின்னங்கள்),

n -மாதிரி அளவு.

உதாரணமாக, ஏ 2 = n ∙ ப 2 = 4805∙0.25 = 1201.25 ≈ 1201.

இந்த இடுகையில் சி சதுர அளவுகோலைக் கொள்கையளவில் எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்று பதிலளிக்கவில்லை, அதன் நோக்கம் தானியங்குபடுத்துவது எப்படி என்பதைக் காட்டுவதாகும் எக்செல் இல் சி சதுர கணக்கீடு, சி சதுர அளவுகோலைக் கணக்கிடுவதற்கு என்ன செயல்பாடுகள் உள்ளன. ஏனெனில் உங்களிடம் எப்போதும் SPSS அல்லது R நிரல் இருக்காது.
ஒரு வகையில், இது HR கருத்தரங்கிற்கான Analytics பங்கேற்பாளர்களுக்கு ஒரு நினைவூட்டல் மற்றும் குறிப்பு, உங்கள் வேலையில் இந்த முறைகளைப் பயன்படுத்துவீர்கள் என்று நம்புகிறேன், இந்த இடுகை மற்றொரு குறிப்பாக இருக்கும்.
பதிவிறக்க இணைப்புடன் கோப்பை நான் வழங்கவில்லை, ஆனால் நான் வழங்கிய எடுத்துக்காட்டு அட்டவணைகளை நீங்கள் எளிதாக நகலெடுத்து, நான் வழங்கிய தரவு மற்றும் சூத்திரங்களைப் பின்பற்றலாம்

அறிமுகம்

உங்கள் தரவு இணைப்பு அட்டவணையில் சுருக்கமாக இருக்கும் போது, ​​பிவோட் டேபிள் மூலம் சி சதுரத்தைக் கணக்கிடச் செல்கிறீர்கள், எடுத்துக்காட்டாக இந்தப் படிவத்தில்
அட்டவணை எண் 1

CHI2.TEST

CH2.TEST சூத்திரம் பரவலின் சுதந்திரத்தின் (சீரற்ற தன்மை / சீரற்ற தன்மை) நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுகிறது

தொடரியல் இது போன்றது

CHI2.TEST(உண்மையான_இடைவெளி, எதிர்பார்க்கப்படும்_இடைவெளி)

எங்கள் விஷயத்தில், உண்மையான இடைவெளி என்பது அட்டவணையின் உள்ளடக்கங்கள், அதாவது.

எங்கள் விஷயத்தில், CHI2.DIST.PH = 0.000466219908895455, CHI2.TEST உடன் உள்ள எடுத்துக்காட்டில் உள்ளது

குறிப்பு

எக்செல் இல் சி சதுரத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான இந்த சூத்திரம் 2X2 பரிமாணங்களின் அட்டவணைகளைக் கணக்கிடுவதற்கு உங்களுக்குப் பொருந்தும், ஏனெனில் நீங்களே சி சதுரத்தை அனுபவப்பூர்வமாகக் கருதுகிறீர்கள் மற்றும் கணக்கீடுகளில் தொடர்ச்சியான திருத்தத்தை அறிமுகப்படுத்தலாம்.

குறிப்பு 2

CH2.OBR.PH

ஒரு கை-சதுரப் பரவலின் வலது முனை நிகழ்தகவின் தலைகீழ் மாற்றத்தை வழங்குகிறது (அல்லது ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவு நிலை மற்றும் சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கைக்கான சி-சதுர மதிப்பு)

சினாக்ஸிஸ்

CH2.OBR.PH(நிகழ்தகவு;டிகிரிகள்_சுதந்திரம்)

முடிவுரை

உண்மையைச் சொல்வதானால், முடிவுகள் எந்த அளவிற்குப் பெறப்பட்டன என்பது பற்றிய துல்லியமான தகவல் என்னிடம் இல்லை எக்செல் இல் சி சதுர கணக்கீடுகள் SPSS இல் உள்ள சி சதுர முடிவுகளிலிருந்து வேறுபடுகிறது. எனக்கு சரியாகப் புரிகிறது. அவை வேறுபடுகின்றன, ஏனெனில் சி சதுரத்தை சுயாதீனமாக கணக்கிடும்போது, ​​​​மதிப்புகள் வட்டமானது மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான தசம இடங்கள் இழக்கப்படுகின்றன. ஆனால் இது முக்கியமானதாக நான் நினைக்கவில்லை. சி ஸ்கொயர் விநியோகத்தின் நிகழ்தகவு 0.05 என்ற வரம்புக்கு (p-மதிப்பு) அருகில் இருந்தால் மட்டுமே உங்களை காப்பீடு செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன்.

தொடர்ச்சியான திருத்தம் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படவில்லை என்பது மிகவும் அருமையாக இல்லை - நாங்கள் 2X2 அட்டவணையில் நிறைய கணக்கிடுகிறோம். எனவே, 2X2 அட்டவணைகளைக் கணக்கிடும் விஷயத்தில் நாம் கிட்டத்தட்ட எந்த மேம்படுத்தலையும் அடையவில்லை

சரி, இருப்பினும், மிக முக்கியமான விஷயங்களில் நேரத்தை மிச்சப்படுத்த, எக்செல் இல் சி சதுரத்தின் கணக்கீட்டை சற்று வேகமாகச் செய்ய மேற்கண்ட அறிவு போதுமானது என்று நான் நினைக்கிறேன்.

பெற புள்ளிவிவர அளவுகோல்கள்க்ராஸ்டாப்களுக்கு, கிராஸ்டாப்ஸ் உரையாடல் பெட்டியில் உள்ள புள்ளிவிவரங்கள்... பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும். Crosstabs: புள்ளியியல் உரையாடல் பெட்டி திறக்கும் (படம் 11.9 ஐப் பார்க்கவும்).

அரிசி. 11.9:

இந்த உரையாடல் பெட்டியில் உள்ள தேர்வுப் பெட்டிகள் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அளவுகோல்களைத் தேர்ந்தெடுக்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

சி-சதுர சோதனை ( எக்ஸ் 2)

தொடர்புகள்

பெயரளவு அளவில் மாறிகளுக்கான இணைப்பின் நடவடிக்கைகள்

ஆர்டினல் அளவுகோலுடன் தொடர்புடைய மாறிகளுக்கான தொடர்பின் அளவீடுகள்

இடைவெளி அளவு மாறிகளுக்கான இணைப்பு நடவடிக்கைகள்

கப்பா குணகம் ( செய்ய)

ஆபத்து நடவடிக்கை

மெக்நெமர் சோதனை

காக்ரேன் மற்றும் மாண்டல்-ஹேன்செல் புள்ளிவிவரங்கள்

இந்த சோதனைகள் அடுத்த இரண்டு பிரிவுகளில் விவாதிக்கப்படுகின்றன, மேலும் சி-சதுர சோதனையின் காரணமாக பெரிய மதிப்புபுள்ளியியல் கம்ப்யூட்டிங்கில், ஒரு தனி பிரிவு அதற்கு ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது.

சி-சதுர சோதனை ( எக்ஸ் 2)

chi-square சோதனையை நடத்தும்போது, ​​தற்செயல் அட்டவணையில் உள்ள இரண்டு மாறிகளின் பரஸ்பர சுதந்திரம் சரிபார்க்கப்படுகிறது, இதற்கு நன்றி, மறைமுகமாகஇரண்டு மாறிகளின் சார்பு தெளிவுபடுத்தப்படுகிறது. உயிரணுக்களில் காணப்பட்ட அதிர்வெண்கள் (f o) எதிர்பார்க்கப்படும் அதிர்வெண்களுடன் (f e) இணைந்தால் இரண்டு மாறிகள் பரஸ்பர சுயாதீனமாக கருதப்படுகின்றன.

SPSS ஐப் பயன்படுத்தி கை-சதுர சோதனையைச் செய்ய, இந்தப் படிகளைப் பின்பற்றவும்:

கட்டளை மெனுவில் இருந்து விவரமான புள்ளியியல் கிராஸ்டாப்களை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்... என்பதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்

சாத்தியமான அமைப்புகளை அழிக்க மீட்டமை பொத்தானைப் பயன்படுத்தவும்.

மாறியை நகர்த்தவும் செக்ஸ்சரங்களின் பட்டியல் மற்றும் ஒரு மாறி மனநோய்- நெடுவரிசைகளின் பட்டியலுக்கு.

பொத்தானை கிளிக் செய்யவும் செல்கள்...(செல்கள்). உரையாடல் பெட்டியில், இயல்புநிலை கவனிக்கப்பட்ட தேர்வுப்பெட்டிக்கு கூடுதலாக, எதிர்பார்க்கப்பட்ட மற்றும் தரப்படுத்தப்பட்ட தேர்வுப்பெட்டிகளை சரிபார்க்கவும். தொடரும் பொத்தானைக் கொண்டு உங்கள் தேர்வை உறுதிப்படுத்தவும்.

பொத்தானை கிளிக் செய்யவும் புள்ளிவிவரங்கள்...(புள்ளிவிவரங்கள்). Crosstabs: மேலே விவரிக்கப்பட்ட புள்ளியியல் உரையாடல் பெட்டி திறக்கும்.

சி-சதுர பெட்டியை சரிபார்க்கவும். தொடரவும் பொத்தானைக் கிளிக் செய்து, பிரதான உரையாடல் பெட்டியில் சரி என்பதைக் கிளிக் செய்யவும்.

பின்வரும் தற்செயல் அட்டவணையைப் பெறுவீர்கள்.

பாலினம் * மன நிலை தற்செயல் அட்டவணை

கூடுதலாக, முன்னோட்ட சாளரம் சி-சதுர சோதனையின் முடிவுகளைக் காண்பிக்கும்:

சி-சதுர சோதனைகள்

ஏ. 2 செல்கள் (25.0%) எதிர்பார்க்கப்படும் எண்ணிக்கை 5 க்கும் குறைவாக உள்ளது. எதிர்பார்க்கப்படும் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கை 2.49 (2 செல்கள் (25%) 5க்கும் குறைவாக எதிர்பார்க்கப்படும் அதிர்வெண். குறைந்தபட்ச எதிர்பார்க்கப்படும் அதிர்வெண் 2.49.)

சி-சதுர சோதனையை கணக்கிட மூன்று வெவ்வேறு அணுகுமுறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

• பியர்சன் சூத்திரம்;
• வாய்ப்பு திருத்தம்;
• மாண்டல்-ஹேன்செல் சோதனை.
• தற்செயல் அட்டவணையில் நான்கு புலங்கள் (2 x 2 அட்டவணை) இருந்தால் மற்றும் எதிர்பார்க்கப்படும் நிகழ்தகவு 5 க்கும் குறைவாக இருந்தால், கூடுதலாக துல்லியமான சோதனைமீனவர்.

பொதுவாக, சி-சதுர சோதனையை கணக்கிட பியர்சன் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

இங்கே தற்செயல் அட்டவணையின் அனைத்துப் புலங்களுக்கான தரப்படுத்தப்பட்ட எச்சங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை கணக்கிடப்படுகிறது. எனவே, உயர் தரப்படுத்தப்பட்ட எச்சம் கொண்ட புலங்கள், சி-சதுர சோதனையின் எண் மதிப்பில் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க பங்களிப்பைச் செய்கின்றன, எனவே, ஒரு குறிப்பிடத்தக்க முடிவுக்கு. பிரிவு 8.9 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள விதியின்படி, 2 (1.96) அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தரப்படுத்தப்பட்ட எச்சம் அட்டவணையின் கலத்தில் கவனிக்கப்பட்ட மற்றும் எதிர்பார்க்கப்படும் அதிர்வெண்களுக்கு இடையே குறிப்பிடத்தக்க வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது.

பரிசீலனையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், பியர்சன் சூத்திரம் சி-சதுர சோதனையின் அதிகபட்ச குறிப்பிடத்தக்க மதிப்பைக் கொடுக்கிறது (ப<0,0001). Если рассмотреть стандартизованные остатки в отдельных полях таблицы сопряженности, то на основе вышеприведенного правила можно сделать вывод, что эта значимость в основном определяется полями, в которых переменная மனநோய்"மிகவும் நிலையற்றது" என்று பொருள் கொண்டது. பெண்களில், இந்த மதிப்பு கணிசமாக அதிகரிக்கிறது, ஆண்களில் இது குறைகிறது.

செயல்படுத்தலின் சரியான தன்மைகை-சதுர சோதனை இரண்டு நிபந்தனைகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

• எதிர்பார்க்கப்படும் அதிர்வெண்கள்< 5 должны встречаться не более чем в 20% полей таблицы;
• வரிசை மற்றும் நெடுவரிசைத் தொகைகள் எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

இருப்பினும், பரிசீலனையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில் இந்த நிபந்தனை முழுமையாக திருப்தி அடையவில்லை. கை-சதுர சோதனை அட்டவணையின் பின் குறிப்பு குறிப்பிடுவது போல, 25% புலங்கள் எதிர்பார்க்கப்படும் அதிர்வெண் 5 க்கும் குறைவாக இருக்கும். இருப்பினும், 20% ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய வரம்பு சற்று அதிகமாக இருப்பதால், இந்த புலங்கள், அவற்றின் மிகச் சிறிய தரப்படுத்தப்பட்ட எச்சம் காரணமாக, chi சோதனை -சதுரத்தின் மதிப்பில் மிகச் சிறிய விகிதத்தில் பங்களிக்கவும், இந்த மீறலை முக்கியமற்றதாகக் கருதலாம்.

சி-சதுர சோதனையை கணக்கிடுவதற்கான பியர்சன் சூத்திரத்திற்கு மாற்றாக சாத்தியக்கூறு திருத்தம்:

பெரிய மாதிரி அளவுடன், பியர்சன் சூத்திரம் மற்றும் சரிசெய்யப்பட்ட சூத்திரம் மிகவும் ஒத்த முடிவுகளைத் தருகின்றன. எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், 23.688 கையொலி-சதுர சோதனையின் சாத்தியக்கூறு சரி செய்யப்பட்டது.

23. சி-சதுரம் மற்றும் மாணவர் விநியோகம் மற்றும் வரைகலை பார்வையின் கருத்து

1) சுதந்திரத்தின் n டிகிரி கொண்ட ஒரு பரவல் (chi-square) என்பது n சார்பற்ற நிலையான சாதாரண சீரற்ற மாறிகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் பரவலாகும்.

விநியோகம் (சி-சதுரம்)- ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகம் (மற்றும் அவை ஒவ்வொன்றின் கணித எதிர்பார்ப்பு 0, மற்றும் நிலையான விலகல் 1)

சீரற்ற மாறிகள் எங்கே சுயாதீனமான மற்றும் ஒரே விநியோகம். இந்த வழக்கில், சொற்களின் எண்ணிக்கை, அதாவது, சி-சதுர விநியோகத்தின் "சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை" என்று அழைக்கப்படுகிறது. சி-சதுர எண் ஒரு அளவுருவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை. சுதந்திரத்தின் அளவு அதிகரிக்கும் போது, ​​விநியோகம் மெதுவாக இயல்பு நிலைக்கு வருகிறது.

பின்னர் அவற்றின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை

k = n டிகிரி சுதந்திரத்துடன் chi-square law என்று அழைக்கப்படும் படி விநியோகிக்கப்படும் ஒரு சீரற்ற மாறி ஆகும்; விதிமுறைகள் சில உறவுகளால் தொடர்புடையதாக இருந்தால் (உதாரணமாக, ), பின்னர் சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை k = n – 1.

இந்த விநியோகத்தின் அடர்த்தி

இங்கே - காமா செயல்பாடு; குறிப்பாக, Г(n + 1) = n! .

எனவே, சி-சதுர விநியோகம் ஒரு அளவுருவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது - சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை k.

குறிப்பு 1. சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, ​​சி-சதுர விநியோகம் படிப்படியாக இயல்பு நிலைக்கு வருகிறது.

குறிப்பு 2. கை-சதுர விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தி, நடைமுறையில் எதிர்கொள்ளும் பல விநியோகங்கள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகம் - ஒரு சீரற்ற திசையன் நீளம் (X1, X2,..., Xn), ஆயத்தொகுப்புகள் அவை சுயாதீனமானவை மற்றும் சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகின்றன.

χ2 விநியோகம் முதலில் ஆர். ஹெல்மர்ட் (1876) மற்றும் கே. பியர்சன் (1900) ஆகியோரால் கருதப்பட்டது.

கணிதம்.எதிர்பார்ப்பு.=n; D=2n

2) மாணவர் விநியோகம்

இரண்டு சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளைக் கவனியுங்கள்: Z, இது ஒரு சாதாரண விநியோகம் மற்றும் இயல்பாக்கப்பட்டது (அதாவது, M(Z) = 0, σ(Z) = 1), மற்றும் K உடன் சி-சதுர சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் V சுதந்திரத்தின் அளவுகள். பின்னர் மதிப்பு

t-விநியோகம் அல்லது k டிகிரி சுதந்திரத்துடன் மாணவர் விநியோகம் எனப்படும் விநியோகம் உள்ளது. இந்த வழக்கில், k என்பது மாணவர் விநியோகத்தின் "சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை" என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சுதந்திரத்தின் அளவுகள் அதிகரிக்கும் போது, ​​மாணவர் விநியோகம் விரைவாக இயல்பு நிலைக்கு வருகிறது.

இந்த விநியோகம் 1908 இல் ஒரு பீர் தொழிற்சாலையில் பணிபுரிந்த ஆங்கில புள்ளியியல் நிபுணர் டபிள்யூ. கோசெட் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இந்த தொழிற்சாலையில் பொருளாதார மற்றும் தொழில்நுட்ப முடிவுகளை எடுக்க நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளியியல் முறைகள் பயன்படுத்தப்பட்டன, எனவே அதன் நிர்வாகம் V. Gosset தனது சொந்த பெயரில் அறிவியல் கட்டுரைகளை வெளியிடுவதைத் தடை செய்தது. இந்த வழியில், V. Gosset உருவாக்கிய நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளிவிவர முறைகளின் வடிவத்தில் வர்த்தக ரகசியங்கள் மற்றும் "அறிதல்" ஆகியவை பாதுகாக்கப்பட்டன. ஆனால், “மாணவர்” என்ற புனைப்பெயரில் வெளியிடும் வாய்ப்பு அவருக்குக் கிடைத்தது. Gosset-Student கதை, நூறு ஆண்டுகளுக்கு முன்பே, UK மேலாளர்கள் முடிவெடுக்கும் நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளியியல் முறைகளின் அதிக பொருளாதாரத் திறனைப் பற்றி அறிந்திருந்தனர் என்பதைக் காட்டுகிறது.

இந்த கட்டுரையில், அறிகுறிகளுக்கு இடையிலான சார்பு பற்றிய ஆய்வு அல்லது நீங்கள் விரும்பியபடி - சீரற்ற மதிப்புகள், மாறிகள் பற்றி பேசுவோம். குறிப்பாக, சி-சதுர சோதனையைப் பயன்படுத்தி குணாதிசயங்களுக்கிடையே சார்பு அளவை எவ்வாறு அறிமுகப்படுத்துவது மற்றும் தொடர்பு குணகத்துடன் ஒப்பிடுவது எப்படி என்பதைப் பார்ப்போம்.

இது ஏன் தேவைப்படலாம்? எடுத்துக்காட்டாக, கிரெடிட் ஸ்கோரிங் கட்டமைக்கும்போது இலக்கு மாறியில் எந்த அம்சங்கள் அதிகம் சார்ந்துள்ளது என்பதைப் புரிந்துகொள்வதற்காக - கிளையன்ட் இயல்புநிலையின் நிகழ்தகவைத் தீர்மானித்தல். அல்லது, எனது விஷயத்தைப் போலவே, வர்த்தக ரோபோவை நிரல் செய்ய என்ன குறிகாட்டிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள்.

தனித்தனியாக, தரவு பகுப்பாய்விற்கு நான் C# மொழியைப் பயன்படுத்துகிறேன் என்பதைக் கவனிக்க விரும்புகிறேன். ஒருவேளை இவை அனைத்தும் ஏற்கனவே ஆர் ​​அல்லது பைத்தானில் செயல்படுத்தப்பட்டிருக்கலாம், ஆனால் சி # ஐப் பயன்படுத்துவது தலைப்பை விரிவாகப் புரிந்துகொள்ள அனுமதிக்கிறது, மேலும், இது எனக்கு பிடித்த நிரலாக்க மொழி.

மிக எளிமையான உதாரணத்துடன் தொடங்குவோம், சீரற்ற எண் ஜெனரேட்டரைப் பயன்படுத்தி எக்செல் இல் நான்கு நெடுவரிசைகளை உருவாக்கவும்:
எக்ஸ்=RANDBETWEEN(-100,100)
ஒய் =எக்ஸ்*10+20
Z =எக்ஸ்*எக்ஸ்
டி=RANDBETWEEN(-100,100)

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மாறி ஒய்நேரியல் சார்ந்தது எக்ஸ்; மாறி Zஇருபடி சார்ந்தது எக்ஸ்; மாறிகள் எக்ஸ்மற்றும் டிசுதந்திரமான. நான் இந்த தேர்வை வேண்டுமென்றே செய்தேன், ஏனென்றால் நாம் சார்பின் அளவை தொடர்பு குணகத்துடன் ஒப்பிடுவோம். அறியப்பட்டபடி, இரண்டு சீரற்ற மாறிகளுக்கு இடையில் "கடினமான" சார்பு நேரியல் என்றால் அது சம மாடுலோ 1 ஆகும். இரண்டு சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளுக்கு இடையே பூஜ்ஜிய தொடர்பு உள்ளது, ஆனால் பூஜ்ஜியத்திற்கு தொடர்பு குணகத்தின் சமத்துவம் சுதந்திரத்தை குறிக்காது. அடுத்து, மாறிகளின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இதைப் பார்ப்போம் எக்ஸ்மற்றும் Z.

கோப்பை data.csv ஆக சேமித்து முதல் மதிப்பீடுகளைத் தொடங்கவும். முதலில், மதிப்புகளுக்கு இடையிலான தொடர்பு குணகத்தை கணக்கிடுவோம். நான் கட்டுரையில் குறியீட்டைச் செருகவில்லை, அது எனது கிதுப்பில் உள்ளது. சாத்தியமான அனைத்து ஜோடிகளுக்கும் நாங்கள் தொடர்பைப் பெறுகிறோம்:

நேரியல் சார்ந்து இருப்பதைக் காணலாம் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்தொடர்பு குணகம் 1. ஆனால் எக்ஸ்மற்றும் Zஇது 0.01 க்கு சமம், இருப்பினும் நாம் சார்புநிலையை வெளிப்படையாக அமைத்துள்ளோம் Z=எக்ஸ்*எக்ஸ். தெளிவாக, போதையை சிறப்பாக "உணரக்கூடிய" ஒரு நடவடிக்கை நமக்குத் தேவை. ஆனால் சி-சதுர சோதனைக்குச் செல்வதற்கு முன், தற்செயல் அணி என்றால் என்ன என்பதைப் பார்ப்போம்.

ஒரு தற்செயல் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்க, மாறி மதிப்புகளின் வரம்பை இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கிறோம் (அல்லது வகைப்படுத்தவும்). அத்தகைய பகிர்வுக்கு பல வழிகள் உள்ளன, ஆனால் உலகளாவிய ஒன்று இல்லை. அவற்றில் சில இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன, இதனால் அவை ஒரே எண்ணிக்கையிலான மாறிகளைக் கொண்டிருக்கும், மற்றவை சம நீளத்தின் இடைவெளிகளாக பிரிக்கப்படுகின்றன. நான் தனிப்பட்ட முறையில் இந்த அணுகுமுறைகளை இணைக்க விரும்புகிறேன். நான் இந்த முறையைப் பயன்படுத்த முடிவு செய்தேன்: மாறியிலிருந்து மேட் மதிப்பெண்ணைக் கழிக்கிறேன். எதிர்பார்ப்புகள், பின்னர் நிலையான விலகலின் மதிப்பீட்டின் மூலம் முடிவைப் பிரிக்கவும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நான் சீரற்ற மாறியை மையப்படுத்தி இயல்பாக்குகிறேன். இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு ஒரு குணகத்தால் பெருக்கப்படுகிறது (இந்த எடுத்துக்காட்டில் இது 1 ஆகும்), அதன் பிறகு அனைத்தும் அருகிலுள்ள முழு எண்ணுக்கு வட்டமானது. வெளியீடு என்பது வகை int இன் மாறியாகும், இது வர்க்க அடையாளங்காட்டியாகும்.

எனவே நமது அடையாளங்களை எடுத்துக் கொள்வோம் எக்ஸ்மற்றும் Z, மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறையில் நாங்கள் வகைப்படுத்துகிறோம், அதன் பிறகு ஒவ்வொரு வகுப்பின் தோற்றத்தின் எண்ணிக்கை மற்றும் நிகழ்தகவுகள் மற்றும் ஜோடி அம்சங்களின் தோற்றத்தின் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுகிறோம்:

இது அளவின் அடிப்படையில் ஒரு அணி. இங்கே வரிகளில் - மாறி வகுப்புகளின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை எக்ஸ், நெடுவரிசைகளில் - மாறியின் வகுப்புகளின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை Z, கலங்களில் - ஒரே நேரத்தில் வகுப்புகளின் ஜோடிகளின் தோற்றங்களின் எண்ணிக்கை. எடுத்துக்காட்டாக, வகுப்பு 0 மாறிக்கு 865 முறை ஏற்பட்டது எக்ஸ், ஒரு மாறிக்கு 823 முறை Zஒரு ஜோடி இருந்ததில்லை (0,0). அனைத்து மதிப்புகளையும் 3000 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் நிகழ்தகவுகளுக்கு செல்லலாம் (மொத்த அவதானிப்புகள்):

அம்சங்களை வகைப்படுத்திய பிறகு பெறப்பட்ட தற்செயல் மேட்ரிக்ஸைப் பெற்றுள்ளோம். அளவுகோலைப் பற்றி சிந்திக்க வேண்டிய நேரம் இது. வரையறையின்படி, இந்த சீரற்ற மாறிகளால் உருவாக்கப்பட்ட சிக்மா இயற்கணிதங்கள் சுயாதீனமாக இருந்தால், சீரற்ற மாறிகள் சுயாதீனமாக இருக்கும். சிக்மா இயற்கணிதங்களின் சுதந்திரம் அவற்றிலிருந்து நிகழ்வுகளின் ஜோடிவாரி சுதந்திரத்தைக் குறிக்கிறது. இரண்டு நிகழ்வுகள் அவற்றின் கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் விளைபொருளுக்கு சமமாக இருந்தால் அவை சுயாதீனம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன: பிஜ் = பை*பிஜே. இந்த சூத்திரத்தையே நாம் அளவுகோலை உருவாக்கப் பயன்படுத்துவோம்.

பூஜ்ய கருதுகோள்: வகைப்படுத்தப்பட்ட அறிகுறிகள் எக்ஸ்மற்றும் Zசுதந்திரமான. அதற்கு சமமானது: தற்செயல் மேட்ரிக்ஸின் விநியோகம் மாறிகளின் வகுப்புகள் (வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் நிகழ்தகவுகள்) நிகழ்வின் நிகழ்தகவுகளால் மட்டுமே குறிப்பிடப்படுகிறது. அல்லது இது: மேட்ரிக்ஸ் செல்கள் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளின் பெருக்கத்தால் கண்டறியப்படுகின்றன. முடிவு விதியை உருவாக்க பூஜ்ய கருதுகோளின் இந்த உருவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: இடையே குறிப்பிடத்தக்க வேறுபாடு பிஜ்மற்றும் பை*பிஜேபூஜ்ய கருதுகோளை நிராகரிப்பதற்கான அடிப்படையாக இருக்கும்.

வகுப்பு 0 ஒரு மாறியில் தோன்றும் நிகழ்தகவாக இருக்கட்டும் எக்ஸ். எங்கள் மொத்த nவகுப்புகள் எக்ஸ்மற்றும் மீவகுப்புகள் Z. மேட்ரிக்ஸ் பரவலைக் குறிப்பிடுவதற்கு இவற்றை நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் nமற்றும் மீநிகழ்தகவுகள். ஆனால் உண்மையில் நமக்கு தெரிந்தால் n-1நிகழ்தகவு எக்ஸ், பின்னர் மற்றவைகளின் கூட்டுத்தொகையை 1 இலிருந்து கழிப்பதன் மூலம் பிந்தையது கண்டறியப்படுகிறது. எனவே, தற்செயல் மேட்ரிக்ஸின் பரவலைக் கண்டறிய நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் l=(n-1)+(m-1)மதிப்புகள். அல்லது நம்மிடம் இருக்கிறதா எல்-பரிமாண அளவுரு இடம், நாம் விரும்பிய பரவலை வழங்கும் திசையன். சி-சதுர புள்ளிவிவரம் இப்படி இருக்கும்:

மேலும், ஃபிஷரின் தேற்றத்தின்படி, சி-சதுரப் பரவலைக் கொண்டுள்ளது n*m-l-1=(n-1)(m-1)சுதந்திரத்தின் அளவுகள்.

முக்கியத்துவ அளவை 0.95 ஆக அமைப்போம் (அல்லது வகை I பிழையின் நிகழ்தகவு 0.05 ஆகும்). கொடுக்கப்பட்ட முக்கியத்துவ நிலை மற்றும் எடுத்துக்காட்டில் இருந்து சுதந்திரத்தின் அளவுகளுக்கான சி சதுர விநியோகத்தின் அளவைக் கண்டுபிடிப்போம் (n-1)(m-1)=4*3=12: 21.02606982. மாறிகளுக்கான சி-சதுர புள்ளிவிவரம் எக்ஸ்மற்றும் Z 4088.006631. சுதந்திரத்தின் கருதுகோள் ஏற்றுக்கொள்ளப்படவில்லை என்பது தெளிவாகிறது. சி-சதுர புள்ளிவிவரத்தின் விகிதத்தை வாசல் மதிப்புக்கு கருத்தில் கொள்வது வசதியானது - இந்த விஷயத்தில் இது சமம் Chi2Coeff=194.4256186. இந்த விகிதம் 1 ஐ விட குறைவாக இருந்தால், சுதந்திரத்தின் கருதுகோள் அதிகமாக இருந்தால், அது ஏற்றுக்கொள்ளப்படவில்லை. அனைத்து ஜோடி அம்சங்களுக்கும் இந்த விகிதத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இங்கே காரணி1மற்றும் காரணி2- அம்சப் பெயர்கள்
src_cnt1மற்றும் src_cnt2- ஆரம்ப அம்சங்களின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை
mod_cnt1மற்றும் mod_cnt2- வகைப்படுத்தலுக்குப் பிறகு தனித்துவமான அம்ச மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை
சி2- சி-சதுர புள்ளிவிவரங்கள்
chi2max- 0.95 இன் முக்கியத்துவம் நிலைக்கான சி-சதுர புள்ளிவிவரத்தின் நுழைவு மதிப்பு
chi2Coeff- வாசல் மதிப்புக்கு சி-சதுர புள்ளிவிவரத்தின் விகிதம்
கோர்- தொடர்பு குணகம்

அவை சுயாதீனமாக இருப்பதைக் காணலாம் (chi2coeff<1) получились следующие пары признаков - (எக்ஸ், டி), (ஒய்,டி) மற்றும் ( Z,T), இது தர்க்கரீதியானது, மாறி இருந்து டிதோராயமாக உருவாக்கப்படுகிறது. மாறிகள் எக்ஸ்மற்றும் Zசார்பு, ஆனால் நேரியல் சார்ந்ததை விட குறைவாக எக்ஸ்மற்றும் ஒய், இதுவும் தர்க்கரீதியானது.

இந்த குறிகாட்டிகளைக் கணக்கிடும் பயன்பாட்டுக் குறியீட்டை github இல் இடுகையிட்டேன், அங்கு data.csv கோப்பும் உள்ளது. பயன்பாடு ஒரு csv கோப்பை உள்ளீடாக எடுத்து, அனைத்து ஜோடி நெடுவரிசைகளுக்கும் இடையிலான சார்புகளைக் கணக்கிடுகிறது: PtProject.Dependency.exe data.csv