விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் பொதுவான அறிமுகம். Bimatrix விளையாட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1. "மாணவர் - ஆசிரியர்."

பின்வரும் சூழ்நிலையைக் கவனியுங்கள். மாணவர் (வீரர் ஏ) ஒரு சோதனைக்குத் தயாராகிறார், அதை ஆசிரியரால் (பிளேயர் பி) ஏற்றுக்கொள்கிறார். மாணவருக்கு இரண்டு உத்திகள் உள்ளன என்று நாம் கருதலாம் - சோதனைக்கு (+) தயார் செய்து (-) தயார் செய்ய வேண்டாம். ஆசிரியருக்கும் இரண்டு உத்திகள் உள்ளன - கடன் [+] கொடுக்க மற்றும் கடன் கொடுக்காமல் [-].

பின்வரும் பரிசீலனைகளின் அடிப்படையில் வீரர்களின் ஊதியச் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை நாங்கள் அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளோம்:

இதை அளவு ரீதியாக வெளிப்படுத்தலாம், எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்றது:

எடுத்துக்காட்டு 2. ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரும் தனது சொந்த நடத்தையைத் தேர்வுசெய்ய பின்வரும் வாய்ப்புகளைக் கொண்ட ஜோடி விளையாட்டைக் கவனியுங்கள்:

வீரர் A - A1, ..., Am உத்திகளில் ஏதேனும் ஒன்றைத் தேர்வு செய்யலாம்;

வீரர் B - உத்திகள் B1, ..., Bn;

A வீரர் Ai, B - Bj என்ற உத்தியை தேர்வுசெய்தால், இறுதியில் A வீரர் A இன் ஊதியம் aij, பிளேயர் B - bij ஆக இருக்கும். A மற்றும் B வீரர்களின் ஊதியத்தை இரண்டு அட்டவணை வடிவில் எழுதலாம்.

எனவே, வீரர்களின் நலன்கள் வேறுபட்டாலும், அதற்கு நேர்மாறாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை எனில், விளையாட்டை விவரிக்க இரண்டு பேஆஃப் மெட்ரிக்குகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த உண்மை அத்தகைய விளையாட்டுகளுக்கு பெயரைக் கொடுத்தது - பிமாட்ரிக்ஸ்.

பைமாட்ரிக்ஸ் கேம்களில் கலப்பு உத்திகள்

மேலே உள்ள உதாரணங்கள், வீரர்களின் நலன்கள் ஒத்துப்போகாத சூழ்நிலைகளை விவரிக்கின்றன. உருவகப்படுத்தப்பட்ட மோதல் சூழ்நிலையைத் தீர்க்க வீரர்களுக்கு என்ன பரிந்துரைகள் வழங்கப்பட வேண்டும் என்ற கேள்வி எழுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பைமாட்ரிக்ஸ் விளையாட்டின் தீர்வு மூலம் என்ன புரிந்து கொள்ள வேண்டும்?

இந்த கேள்விக்கு நீங்கள் இப்படி பதிலளிக்கலாம்:

வீரர்களின் நலன்கள் ஒத்துப்போவதில்லை என்ற உண்மையின் காரணமாக, ஒரு (சமரசம்) தீர்வை நாம் உருவாக்க வேண்டும், அது இரு வீரர்களையும் ஒரு வழியில் அல்லது வேறு வழியில் திருப்திப்படுத்துகிறது, ஆனால் அதே அர்த்தத்தில்.

இந்த யோசனையை உடனடியாக மிகத் துல்லியமாக வெளிப்படுத்த முயற்சிக்காமல், நீங்கள் ஒருவித சமநிலை நிலைமையைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்க வேண்டும் என்று சொல்லலாம், எந்த ஒரு வீரர் தனது வெற்றிகளைக் குறைக்கும் என்பதில் இருந்து தெளிவான விலகல்.

மேட்ரிக்ஸ் கேம்களை கருத்தில் கொள்ளும்போது இதே போன்ற கேள்வி இங்கு எழுப்பப்பட்டது. மினிமேக்ஸ் அணுகுமுறையின் வளர்ச்சியின் போது எழும் கருத்து சமநிலை நிலைமைசேணம் புள்ளிக்கான தேடலுக்கு வழிவகுத்தது, அது எப்போதும் இருக்காது - நிச்சயமாக, A மற்றும் B வீரர்களின் தூய உத்திகளுக்கு மட்டுமே நாம் நம்மை கட்டுப்படுத்திக் கொண்டால், அதாவது. உத்திகள்

இருப்பினும், கலப்பு உத்திகளுக்கு நகர்வதன் மூலம் மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டை விரிவுபடுத்தும் போது, ​​அதாவது, சில அதிர்வெண்களுடன் மாற்று (தூய்மையான) உத்திகளை மாற்றும் வீரர்களின் நடத்தைக்கு:

வீரர் A - உத்திகள் A1,..., அதிர்வெண்களுடன் p1,..., rt, எங்கே

மற்றும் பிளேயர் B - உத்திகள் B1,..., Bn, அதிர்வெண்களுடன் q1,..., qn, எங்கே

கலப்பு உத்திகளில் ஒரு சமநிலை நிலைமை எப்போதும் உள்ளது என்று மாறியது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கலப்பு உத்திகளில் எந்த மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டும் தீர்க்கக்கூடியது.

எனவே, இங்கே bimatrix கேம்களை கருத்தில் கொள்ளும்போது, ​​உடனடியாக கலப்பு வீரர் உத்திகளுக்கு செல்ல முயற்சிப்பது நியாயமானது (இதன் மூலம் ஒவ்வொரு ஆட்டமும் நிலையான சூழ்நிலையில் பல முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படலாம் என்று நாங்கள் கருதுகிறோம்).

மேட்ரிக்ஸ் வழக்கில், கலப்பு உத்திகள் பணம் செலுத்துவதற்கான சாத்தியத்தை விரிவாக்க வழிவகுத்தன நிகழ்தகவுகள் மற்றும்:

Bimatrix விளையாட்டுகளில் கலப்பு உத்திகளுடன், A மற்றும் B பிளேயர்களின் சராசரி ஊதியங்களும் எழுகின்றன, இது B பிளேயருக்கு எதிராக எந்த பாகுபாடும் இல்லாத விதிகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

2x2 பைமாட்ரிக்ஸ் கேம்கள். சமநிலை நிலைமை

ஒவ்வொரு வீரர்களும் சரியாக இரண்டு உத்திகளைக் கொண்டிருக்கும் போது, ​​அதாவது, m = n = 2 வழக்குக்கு இங்கு முக்கிய கவனம் செலுத்த வேண்டியது அவசியம். எனவே, அத்தகைய வழக்குக்கு மேலே உள்ள சூத்திரங்களைத் துல்லியமாக எழுதுவது பொருத்தமானதாகத் தெரிகிறது.

பி 2 2 பை அணி விளையாட்டுவீரர்களின் கட்டண மெட்ரிக்குகள் பின்வரும் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளன

நிகழ்தகவுகள்

bimatrix விளையாட்டு தீர்வு

மற்றும் சராசரி வெற்றிகள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன

நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு ஏதேனும் p மற்றும் q க்கு சமநிலை நிலைமையை வரையறுக்கிறது

தீர்வு உத்தி bimatrix விளையாட்டு சமநிலை

பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் ஒரே நேரத்தில் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன

விளக்கம். எழுதப்பட்ட ஏற்றத்தாழ்வுகள் (1) பின்வருவனவற்றைக் குறிக்கின்றன: ஒரு கலப்பு உத்தி (p*, q*) மூலம் தீர்மானிக்கப்படும் ஒரு சூழ்நிலை சமநிலையானது, அதிலிருந்து ஒரு ஆட்டக்காரரின் விலகல், மற்றவர் தனது விருப்பத்தைத் தக்க வைத்துக் கொண்டால், அது உண்மைக்கு வழிவகுக்கிறது. விலகும் வீரரின் ஊதியம் மட்டுமே குறையும். எனவே, ஒரு சமநிலை நிலைமை இருந்தால், அதிலிருந்து விலகுவது வீரருக்கு லாபமற்றது என்று மாறிவிடும்.

தேற்றம் 1 (ஜே. நாஷ்). ஒவ்வொரு பைமாட்ரிக்ஸ் விளையாட்டிலும் கலப்பு உத்திகளில் குறைந்தது ஒரு சமநிலை நிலை (சமநிலை புள்ளி) இருக்கும்.

எனவே, ஒரு சமநிலை நிலைமை உள்ளது. ஆனால் அதை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

ஒரு குறிப்பிட்ட ஜோடி எண்கள் (p*, q*) சமநிலை நிலைமையை தீர்மானிக்க உரிமை கோரினால், இந்த உரிமைகோரல்களின் செல்லுபடியை சரிபார்க்க, அல்லது, மாறாக, அவற்றின் ஆதாரமற்ற தன்மையை நிரூபிக்க, ஏற்றத்தாழ்வுகளின் செல்லுபடியை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம் ( 1) 0 முதல் 1 வரையிலான வரம்பில் உள்ள எந்த p க்கும் மற்றும் 0 முதல் 1 வரை உள்ள எந்த q க்கும். பொதுவாக, அத்தகைய சரிபார்ப்புகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றது. எனவே பயனுள்ள வழிஒரு சமநிலை சூழ்நிலையின் வரையறைகள் வேறு இடங்களில் தேடப்பட வேண்டும்.

தேற்றம் 2. ஏற்றத்தாழ்வுகளின் திருப்தி

விளையாட்டுகளில் பூஜ்யம் அல்லாத தொகைவிளையாட்டில் பங்கேற்பாளர்கள் அனைவரும் வெல்லலாம் அல்லது தோற்கலாம். Bimatrix விளையாட்டுஇரண்டு வீரர்களுக்கு இடையே ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பூஜ்யம் அல்லாத தொகை விளையாட்டு. இந்த வழக்கில், ஒவ்வொன்றிற்கும் விளையாட்டு நிலைமை A i B j ஒவ்வொரு வீரரும் முதல் ஆட்டக்காரருக்கு ஒரு ij மற்றும் இரண்டாவது வீரருக்கு b ij தனது சொந்த ஊதியத்தைக் கொண்டுள்ளனர். எடுத்துக்காட்டாக, முழுமையற்ற போட்டி சந்தைகளில் உற்பத்தியாளர்களின் நடத்தை ஒரு பைமாட்ரிக்ஸ் விளையாட்டிற்கு கீழே வருகிறது. ஆன்லைன் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் ஒரு தீர்வைக் காணலாம் bimatrix விளையாட்டு, அத்துடன் சூழ்நிலைகள் பரேட்டோ உகந்த மற்றும் நாஷ் நிலையான சூழ்நிலைகள்.

இரு பங்கேற்பாளர்களில் ஒவ்வொருவரும் தங்கள் சொந்த நடத்தையைத் தேர்வுசெய்ய பின்வரும் வாய்ப்புகளைக் கொண்ட ஒரு மோதல் சூழ்நிலையைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

• வீரர் A - A 1,..., A m, உத்திகளில் ஏதேனும் ஒன்றைத் தேர்வு செய்யலாம்
• பிளேயர் B – உத்திகளில் ஏதேனும் B 1,..., B n.

அதே நேரத்தில், அவர்களின் பகிரப்பட்ட விருப்பம்கண்டிப்பாக மதிப்பிடப்படுகிறது: A வீரர் தேர்வு செய்தால் i-வது உத்தி A i மற்றும் பிளேயர் B என்பது kth மூலோபாயம் B k ஆகும், பின்னர் ஆட்டக்காரர் A இன் ஊதியம் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும் ik, மற்றும் பிளேயர் B இன் ஊதியம் சிலருக்கு சமமாக இருக்கும், பொதுவாக, மற்ற எண் b ik.
பிளேயர் A இன் அனைத்து உத்திகள் மற்றும் பிளேயர் B இன் அனைத்து உத்திகளையும் தொடர்ச்சியாகச் செல்வதன் மூலம், அவர்களின் வெற்றிகளுடன் இரண்டு அட்டவணைகளை நிரப்பலாம்.

அட்டவணைகளில் முதலாவது ஆட்டக்காரர் A இன் ஊதியத்தை விவரிக்கிறது, இரண்டாவது ஆட்டக்காரர் B இன் ஊதியத்தை விவரிக்கிறது. பொதுவாக, இந்த அட்டவணைகள் மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதப்படுகின்றன.
இங்கே A என்பது பிளேயர் A இன் பேஃப் மேட்ரிக்ஸ், B என்பது பிளேயர் B இன் பேஃப் மேட்ரிக்ஸ்.

எனவே, வீரர்களின் நலன்கள் வேறுபட்டால் (ஆனால் அவசியமில்லை) இரண்டு கட்டண மெட்ரிக்ஸ்கள் பெறப்படுகின்றன: ஒன்று பிளேயர் A க்கு பணம் செலுத்தும் அணி, மற்றொன்று பி பிளேயருக்கு பணம் செலுத்தும் அணி. எனவே, அத்தகைய விளையாட்டுக்கு பொதுவாக ஒதுக்கப்படும் பெயர் முற்றிலும் இயற்கையானது - பைமாட்ரிக்ஸ்.

நாஷ் சமநிலை- சமநிலை, விளையாட்டில் ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரும் தனக்கு உகந்த ஒரு மூலோபாயத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​விளையாட்டில் மற்ற பங்கேற்பாளர்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட மூலோபாயத்தைக் கடைப்பிடிக்க வேண்டும்.
பங்கேற்பாளர்களுக்கு நாஷ் சமநிலை எப்போதும் மிகவும் உகந்ததாக இருக்காது. இந்நிலையில் சமநிலை இல்லை என்கிறார்கள் பரேட்டோ-உகந்த.
தூய உத்தி- வீரரின் ஒரு குறிப்பிட்ட எதிர்வினை சாத்தியமான விருப்பங்கள்மற்ற வீரர்களின் நடத்தை.
கலப்பு உத்தி- பிற வீரர்களின் நடத்தைக்கு ஒரு வீரரின் நிகழ்தகவு (துல்லியமாக வரையறுக்கப்படவில்லை) எதிர்வினை.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. சந்தைகளுக்கான போராட்டம்.
நிறுவனம் a ஒரு பெரிய நிறுவனத்தால் கட்டுப்படுத்தப்படும் இரண்டு சந்தைகளில் ஒன்றில் சரக்குகளின் ஒரு சரக்கை விற்க விரும்புகிறது b. இந்த நோக்கத்திற்காக, அவள் நடத்துகிறாள் ஆயத்த வேலைசில செலவுகளுடன் தொடர்புடையது. எந்த சந்தை நிறுவனம் தனது தயாரிப்பை விற்கும் என்று நிறுவனம் b யூகித்தால், அது எதிர் நடவடிக்கைகளை எடுத்து சந்தையை "பிடிப்பதில்" இருந்து தடுக்கும் (இந்த விருப்பம் என்பது நிறுவனத்தின் தோல்வியை குறிக்கிறது); இல்லை என்றால், உறுதியான வெற்றி. ஒரு நிறுவனத்திற்கு, இரண்டாவது சந்தைக்குள் ஊடுருவுவதை விட முதல் சந்தையில் ஊடுருவுவது அதிக லாபம் தரும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆனால் முதல் சந்தையில் உள்ள போராட்டத்திற்கு அதிலிருந்து அதிக நிதி தேவைப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, முதல் சந்தையில் ஒரு நிறுவனத்தின் வெற்றி இரண்டாவது வெற்றியை விட இரண்டு மடங்கு லாபத்தைக் கொண்டுவருகிறது, ஆனால் முதல் சந்தையில் ஏற்படும் தோல்வி அதை முற்றிலுமாக அழிக்கிறது.
இந்த மோதலின் கணித மாதிரியை உருவாக்குவோம், நிறுவனம் a பிளேயர் 1 ஆகவும், நிறுவனம் b ஐ பிளேயர் 2 ஆகவும் கருதி. பிளேயர் 1க்கான உத்திகள்: ஏ 1 - சந்தை ஊடுருவல் 1, ஏ 2 - சந்தை ஊடுருவல் 2; வீரர் 2 உத்திகள்: IN 1 - சந்தையில் எதிர் நடவடிக்கைகள் 1, IN 2 - சந்தையில் எதிர் நடவடிக்கைகள் 2. ஒரு நிறுவனத்திற்கு 1வது சந்தையில் அதன் வெற்றி 2 யூனிட்டுகளாகவும், 2வது சந்தையில் அதன் வெற்றி 1 யூனிட்டாகவும் மதிப்பிடப்படுகிறது; 1வது சந்தையில் நிறுவனம் a இன் தோல்வி -10 ஆகவும், 2வது சந்தையில் -1 ஆகவும் மதிப்பிடப்பட்டுள்ளது. பி நிறுவனத்திற்கு, அதன் வெற்றி முறையே 5 மற்றும் 1 அலகுகள், அதன் தோல்வி -2 மற்றும் -1 ஆகும். இதன் விளைவாக, நாங்கள் ஒரு பைமாட்ரிக்ஸ் கேமை Г பெறுகிறோம்
.
தேற்றத்தின்படி, இந்த விளையாட்டு தூய்மையான அல்லது முற்றிலும் கலந்த சமநிலை சூழ்நிலைகளைக் கொண்டிருக்கலாம். இங்கே தூய உத்திகளில் சமநிலை சூழ்நிலைகள் இல்லை. இந்த விளையாட்டு முற்றிலும் கலவையான சமநிலை நிலையைக் கொண்டிருப்பதை இப்போது உறுதி செய்வோம். கண்டுபிடிக்கிறோம் , .
எனவே, பரிசீலனையில் உள்ள விளையாட்டு ஒரு தனித்துவமான சமநிலை நிலையைக் கொண்டுள்ளது (x 0 ;y 0), எங்கே , . விளையாட்டை பல முறை (அதாவது, விவரிக்கப்பட்ட சூழ்நிலையை மீண்டும் மீண்டும் செய்வதன் மூலம்) பின்வருமாறு செயல்படுத்தலாம்: நிறுவனம் a 2/9 மற்றும் 7/9 அதிர்வெண்களுடன் தூய உத்திகள் 1 மற்றும் 2 ஐப் பயன்படுத்த வேண்டும், மேலும் நிறுவனம் b பயன்படுத்த வேண்டும் 3/14 மற்றும் 11/14 அதிர்வெண்களுடன் தூய உத்திகள் 1 மற்றும் 2. இந்த கலப்பு மூலோபாயத்தில் இருந்து விலகும் எந்தவொரு நிறுவனமும் அதன் எதிர்பார்க்கப்படும் ஊதியத்தை குறைக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2. Bimatrix கேமிற்கான Pareto உகந்த சூழ்நிலைகள் மற்றும் Nash நிலையான சூழ்நிலைகளைக் கண்டறியவும்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3. 2 நிறுவனங்கள் உள்ளன: முதலாவது A 1 மற்றும் A 2 ஆகிய இரண்டு தயாரிப்புகளில் ஒன்றை உருவாக்க முடியும், இரண்டாவது B 1, B 2 ஆகிய இரண்டு தயாரிப்புகளில் ஒன்றை உருவாக்க முடியும். முதல் நிறுவனம் தயாரிப்புகள் A i (i = 1, 2), மற்றும் இரண்டாவது - B j (j = 1, 2) ஆகியவற்றை உற்பத்தி செய்தால், இந்த நிறுவனங்களின் லாபம் (இந்த தயாரிப்புகள் நிரப்பு அல்லது போட்டித்தன்மையைப் பொறுத்து) தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அட்டவணை எண். 1:

bimatrix pareto விளையாட்டு

விளையாட்டு இலட்சியப்படுத்தப்பட்டுள்ளது கணித மாதிரிகூட்டு நடத்தை: பல தனிநபர்கள் (பங்கேற்பாளர்கள், வீரர்கள்) நிலைமையை (விளையாட்டின் விளைவு) பாதிக்கின்றனர், மேலும் அவர்களின் நலன்கள் (பல்வேறு சாத்தியமான சூழ்நிலைகளில் அவர்களின் பலன்கள்) வேறுபட்டவை. நலன்களின் விரோதம் மோதலுக்கு வழிவகுக்கிறது, அதே சமயம் ஆர்வங்களின் தற்செயல் விளையாட்டை தூய்மையான ஒருங்கிணைப்புக்கு குறைக்கிறது, அதை செயல்படுத்த ஒரே நியாயமான நடத்தை ஒத்துழைப்பு மட்டுமே. சமூக-பொருளாதார சூழ்நிலைகளின் பகுப்பாய்விலிருந்து எழும் பெரும்பாலான விளையாட்டுகளில், ஆர்வங்கள் கண்டிப்பாக விரோதமானதாகவோ அல்லது துல்லியமாக ஒத்துப்போவதாகவோ இல்லை. விற்பனையாளரும் வாங்குபவரும் தங்கள் பரஸ்பர நலன்களின் அடிப்படையில் விற்பனையை ஒப்புக்கொள்கிறார்கள், நிச்சயமாக, பரிவர்த்தனை இருவருக்கும் நன்மை பயக்கும். இருப்பினும், பரிவர்த்தனையின் பரஸ்பர நன்மையின் நிபந்தனைகளால் நிர்ணயிக்கப்பட்ட வரம்புகளுக்குள் ஒரு குறிப்பிட்ட விலையைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது அவர்கள் தீவிரமாக பேரம் பேசுகிறார்கள். அதேபோல், சாதாரண வாக்காளர்கள் பொதுவாக தீவிர கண்ணோட்டத்தை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் வேட்பாளர்களை நிராகரிக்க தயாராக உள்ளனர்.

இருப்பினும், வெவ்வேறு சமரச தீர்வுகளை வழங்கும் இரண்டு வேட்பாளர்களில் ஒருவரைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​கடுமையான போர் ஏற்படுகிறது. பெரும்பாலான விளையாட்டுகளை ஒத்திருப்பதை ஒருவர் ஒப்புக்கொள்ள முடியாது மோதல் சூழ்நிலைகள் பொது வாழ்க்கைமோதல் மற்றும் கூட்டுறவு நடத்தை இரண்டிற்கும் வழிவகுக்கும். எனவே, இதுபோன்ற சூழ்நிலைகளில் பங்கேற்பாளர்களின் நடத்தையின் நோக்கங்களை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கு விளையாட்டுக் கோட்பாடு ஒரு பயனுள்ள தர்க்கரீதியான கருவி என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். பரஸ்பர அச்சுறுத்தல்களைப் பயன்படுத்தி ஒத்துழைக்காத நடத்தை முதல் கூட்டுறவு ஒப்பந்தங்கள் வரை முறைப்படுத்தப்பட்ட நடத்தைக் காட்சிகளின் முழு ஆயுதக் களஞ்சியத்தையும் இது கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு சாதாரண வடிவ விளையாட்டுக்கும், வெவ்வேறு கூட்டுறவு மற்றும் கூட்டுறவு அல்லாத சமநிலைக் கருத்துகளைப் பயன்படுத்துவது பொதுவாக வெவ்வேறு விளைவுகளுக்கு வழிவகுக்கும். அவர்களின் ஒப்பீடு விளையாட்டு-கோட்பாட்டு பகுப்பாய்வின் அடிப்படைக் கொள்கையாகும், மேலும், இயல்பான வடிவத்தில் விளையாட்டின் கட்டமைப்பிலிருந்து மட்டுமே எழும் நடத்தையின் ஊக்க நோக்கங்களைப் பற்றிய கடுமையான மற்றும் அதே நேரத்தில் அர்த்தமுள்ள பகுத்தறிவின் மூலமாகும்.

பலவற்றில் சமூக அறிவியல்கிடைக்கும் பெரிய எண்ணிக்கைமாதிரிகள், அதன் பகுப்பாய்வு உத்திகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும் வழிகளைப் படிக்க வேண்டும். விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் பயன்பாடுகள் முக்கியமாக பொருளாதாரம் பற்றிய ஆய்வு தொடர்பாக உருவாக்கப்பட்டன.

இது விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் நிறுவனர்களான வான் நியூமன் மற்றும் மோர்கென்ஸ்டர்ன் ஆகியோரின் கொள்கைகளுடன் ஒத்துப்போகிறது. இருப்பினும், விளையாட்டு-கோட்பாட்டு அணுகுமுறையின் வலுவான நற்பெயர் Debreu-Scarfe தேற்றத்திற்குப் பிறகுதான் நிறுவப்பட்டது, இது கூட்டுறவு நடவடிக்கைகளின் விளைவாக போட்டி சமநிலையைக் கருத்தில் கொள்ள அனுமதிக்கிறது. அப்போதிருந்து, பொருளாதாரக் கோட்பாட்டின் முழுப் பிரிவுகளும் (அபூரண போட்டியின் கோட்பாடு அல்லது பொருளாதார ஊக்கக் கோட்பாடு போன்றவை) விளையாட்டுக் கோட்பாட்டுடன் நெருங்கிய தொடர்பில் உருவாகி வருகின்றன.

சமநிலைக் கருத்துக்களுக்கான தேடல், இது கூட்டுறவு அல்லாத மற்றும் கூட்டுறவு வடிவங்களின் முழு நிறமாலையின் இலட்சியமயமாக்கல் ஆகும், இது சமூகவியலின் அடித்தளங்களுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. நவீன சமூகவியல் ஆராய்ச்சியில், முறையான விளையாட்டு-கோட்பாட்டு மாதிரிகள் மிகவும் அரிதானவை மற்றும் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், அடிப்படை. இன்னும், விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் செல்வாக்கு நமக்கு மாற்ற முடியாததாகத் தெரிகிறது குறைந்தபட்சம்கற்றல் கட்டத்தில்.

இந்தச் சிக்கல்களைத் தீர்க்க, கணிதக் கோட்பாடு விளையாட்டுக் கோட்பாட்டை முன்மொழிகிறது, இது போட்டித் தொடர்புகளின் சூழ்நிலையில் உகந்த முடிவுகளை எடுப்பதற்கான முறையான மாதிரிகளை உருவாக்குவதில் கவனம் செலுத்தும் கணிதத்தின் ஒரு கிளையாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த வரையறை முக்கிய பணிவிளையாட்டுக் கோட்பாடு போட்டி மற்றும் மோதல் சூழ்நிலைகளில் பயனுள்ள நடத்தையின் செயல்களின் வரிசையை அமைக்கிறது.).

விளையாட்டுக் கோட்பாட்டில், போட்டித் தொடர்புகளில் பங்கேற்பாளர்கள் வீரர்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறார்கள்; ஒவ்வொரு வீரருக்கும் சாத்தியமான நகர்வுகளின் பட்டியலிலிருந்து (ஜோடிகள், மும்மடங்குகள் மற்றும் பல நகர்வுகளில் பங்கேற்பது) அனைத்து சாத்தியமான நகர்வுகளின் தொகுப்பு, ஒரு நேரத்தில் ஒரு உத்தி என்று அழைக்கப்படுகிறது. நன்கு கட்டமைக்கப்பட்ட உத்திகள் ஒன்றுக்கொன்று பிரத்தியேகமானவை, அதாவது. பரஸ்பரம் வீரர் நடத்தை அனைத்து வழிகளிலும் தீர்ந்துவிடும். விளையாட்டின் முடிவு, வீரர் அவர் தேர்ந்தெடுத்த உத்தியை செயல்படுத்துவதாகும். விளையாட்டின் ஒவ்வொரு முடிவும் வீரர்களால் தீர்மானிக்கப்படும் ஒரு பயன்பாட்டு (வெற்றி) மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது, இது ஒரு ஊதியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வீரர்களின் எண்ணிக்கை, உத்திகளின் எண்ணிக்கை, வீரர்களுக்கிடையேயான தொடர்புகளின் தன்மை, வெற்றியின் தன்மை, நகர்வுகளின் எண்ணிக்கை, தகவல் கிடைக்கும் தன்மை போன்றவற்றின் அடிப்படையில் விளையாட்டுகளை வகைப்படுத்தலாம்.

• 1. வீரர்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து, ஜோடி கேம்கள் மற்றும் n-பிளேயர் கேம்கள் வேறுபடுகின்றன. ஜோடி விளையாட்டுகளை செயல்படுத்துவதற்கான கணித கருவி மிகவும் வளர்ந்தது. மூன்று விளையாட்டுகள்தீர்வு வழிமுறைகளின் தொழில்நுட்ப செயலாக்கத்தின் சிரமங்கள் காரணமாக அதிகமான வீரர்கள் படிப்பது மிகவும் கடினம்.
• 2. உத்திகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து, விளையாட்டுகள் வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது எல்லையற்றதாகவோ இருக்கலாம். வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான வீரர் உத்திகளைக் கொண்ட ஒரு விளையாட்டு வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வீரர்களில் குறைந்தபட்சம் ஒருவரிடமாவது எண்ணற்ற சாத்தியமான உத்திகள் இருந்தால், விளையாட்டு எல்லையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது.
• 3. தொடர்புகளின் தன்மையின் அடிப்படையில், விளையாட்டுகள் பிரிக்கப்படுகின்றன:
  • · அல்லாத கூட்டணி: வீரர்கள் ஒப்பந்தங்கள் அல்லது கூட்டணி அமைக்க உரிமை இல்லை;
  • · கூட்டணி (கூட்டுறவு) - வீரர்கள் கூட்டணியில் சேரலாம்.

IN கூட்டுறவு விளையாட்டுகள்சிக்கலை அமைக்கும் கட்டத்தில் கூட்டணிகள் கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்படுகின்றன மற்றும் விளையாட்டின் போது மாற்ற முடியாது.

• 4. வெற்றிகளின் தன்மையின் படி, விளையாட்டுகள் பிரிக்கப்படுகின்றன:
  • பூஜ்ஜிய-தொகை விளையாட்டுகள் (அனைத்து வீரர்களின் மொத்த மூலதனம் மாறாது, ஆனால் வீரர்களிடையே மறுபகிர்வு செய்யப்படுகிறது; அனைத்து வீரர்களின் வெற்றிகளின் தொகை பூஜ்ஜியமாகும்);
  • பூஜ்யம் அல்லாத தொகை விளையாட்டுகள்.
• 5. வெற்றிகரமான செயல்பாடுகளின் வகையின்படி, விளையாட்டுகள் பிரிக்கப்படுகின்றன: அணி, பைமாட்ரிக்ஸ், தொடர்ச்சியான, குவிந்த, பிரிக்கக்கூடிய, டூயல்கள் போன்றவை.

மேட்ரிக்ஸ் கேம் என்பது பூஜ்ஜியத் தொகை கொண்ட இரண்டு வீரர்களின் வரையறுக்கப்பட்ட ஜோடி விளையாட்டாகும், இதில் ப்ளேயர் 1 இன் ஊதியம் மேட்ரிக்ஸின் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது (மேட்ரிக்ஸின் வரிசையானது பிளேயர் 2ன் பயன்படுத்தப்பட்ட உத்தியின் எண்ணிக்கையை ஒத்துள்ளது. நெடுவரிசை - மேட்ரிக்ஸின் வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் பிளேயர் 2 இன் பயன்படுத்தப்பட்ட மூலோபாயத்தின் எண்ணிக்கை, பயன்படுத்தப்பட்ட உத்திகளுடன் தொடர்புடைய பிளேயர் 1 இன் ஊதியம்).

மேட்ரிக்ஸ் கேம்களுக்கு, அவற்றில் ஏதேனும் ஒரு தீர்வு உள்ளது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் விளையாட்டை நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலாகக் குறைப்பதன் மூலம் அதை எளிதாகக் கண்டறிய முடியும்.

பைமேட்ரிக்ஸ் கேம் என்பது பூஜ்ஜியம் அல்லாத தொகையைக் கொண்ட இரண்டு வீரர்களின் வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டாகும், இதில் ஒவ்வொரு வீரரின் ஊதியமும் தொடர்புடைய வீரருக்காக தனித்தனியாக மெட்ரிக்குகளால் குறிப்பிடப்படுகிறது (ஒவ்வொரு மேட்ரிக்ஸிலும், ஒரு வரிசையானது பிளேயர் 1, ஒரு நெடுவரிசையின் மூலோபாயத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது. பிளேயர் 2 இன் மூலோபாயத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது, முதல் மேட்ரிக்ஸில் வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் பிளேயரின் ஊதியம் 1, இரண்டாவது மேட்ரிக்ஸில் - பிளேயர் 2 இன் ஊதியம்.)

பைமேட்ரிக்ஸ் கேம்களுக்கு உகந்த பிளேயர் நடத்தை கோட்பாடு உருவாக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் சாதாரண மேட்ரிக்ஸ் கேம்களை விட இதுபோன்ற கேம்களைத் தீர்ப்பது மிகவும் கடினம்.

உத்திகளைப் பொறுத்து ஒவ்வொரு வீரரின் ஊதியச் செயல்பாடும் தொடர்ச்சியாக இருந்தால் ஒரு விளையாட்டு தொடர்ச்சியாகக் கருதப்படுகிறது. இந்த வகுப்பின் விளையாட்டுகளுக்கு தீர்வுகள் உள்ளன என்பது கணிதக் கோட்பாட்டில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் அவற்றைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான நடைமுறையில் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய முறைகள் இன்னும் உருவாக்கப்படவில்லை.

எந்தவொரு விளையாட்டின் குறிக்கோள் ஒவ்வொரு வீரரும் தனது ஆதாயத்தை அதிகப்படுத்த வேண்டும். மேற்கூறிய வகைப்பாட்டின் அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்பட்ட கணித விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் பொருள் முறைப்படுத்துதல் (எளிமைப்படுத்துதல்) மற்றும் எளிதாக்குதல் ஆகும். உகந்த தேர்வு. சாத்தியமான அனைத்து விளையாட்டு உத்திகளின் தொகுப்பு ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையாகும், மேலும் வளரும், அதிக வீரர்கள் உள்ளனர் மற்றும் ஒவ்வொன்றிற்கும் கிடைக்கும் நகர்வுகளின் தொகுப்பு. எனவே ஒரு ஜோடி வீரர்களுக்கு, விளையாட்டின் நிபந்தனைகள் ஒவ்வொன்றும் n நகர்வுகளை செய்ய அனுமதித்தால், விளையாட்டில் 2n உத்திகள் உள்ளன.

இதுபோன்ற பல உத்திகளை எளிமையாகக் கணக்கிடுவது மற்றும் மதிப்பீடு செய்வது (ஒப்பிடுவது) தொழில்நுட்ப ரீதியாக மிகவும் கடினமான பணியாகும், நடைமுறையில் ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது. கணிதக் கருவியானது பகுப்பாய்வு மற்றும் ஒப்பீடு தேவைப்படும் உத்திகளின் எண்ணிக்கையை கணிசமாகக் குறைக்கிறது, வெளிப்படையாக பயனற்றவற்றை நிராகரிக்கிறது. பகுப்பாய்விற்கு நியாயமான சமநிலைப் புள்ளிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு பெறப்பட்டால் (விளையாட்டுகளின் அனைத்து வீரர்களாலும் சமமாக விரும்பப்படுகிறது), வீரர்களின் பலன்களின் பகுப்பாய்வின் அடிப்படையில், மிகவும் பகுத்தறிவு முடிவு தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. ஒரு முடிவைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​விளையாட்டின் இறுதி உத்திக்கு பெயர் கொடுக்கும் இரண்டு முக்கிய அணுகுமுறைகள் உள்ளன:

• · மினிமேக்ஸ் உத்தி (அதிகபட்ச (மோசமான) இழப்புகள் மற்றும் குறைந்தபட்ச (சிறந்த) இழப்புகளின் தேர்வு.
• · அதிகபட்ச உத்தி (குறைந்தபட்ச (மோசமான) வெற்றிகளிலிருந்து அதிகபட்சம் (சிறந்தது) வரை தேர்வு செய்தல்.

நிகழ்தகவு பகுப்பாய்வு முறைகளைப் பயன்படுத்தி விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சி கணிதக் கோட்பாடுமுடிவெடுத்தல். இந்தக் கோட்பாடு உண்மையான (உண்மையான) தீர்வோடு செயல்படவில்லை, ஆனால் சராசரியான ஒரு தீர்வைக் கொண்டு, மீண்டும் மீண்டும் மீண்டும் விளையாடும் போது விளையாட்டின் எதிர்பார்க்கப்படும் தீர்வாகும். சட்டச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு இந்தச் சொத்து பொருத்தமானது, ஏனெனில் சட்டத்தின் இயல்பான தன்மை என்பது நிச்சயமற்ற விஷயத்தில் கவனம் செலுத்துகிறது மற்றும் மீண்டும் மீண்டும் சட்ட உறவுகளை உள்ளடக்கியது. ஆழமான கணிதக் கணக்கீடுகளுக்குச் செல்லாமல் இருக்க, முடிவெடுக்கும் கோட்பாடு ஒரு அளவுகோல் அமைப்பை வழங்குகிறது (உதாரணமாக, Hurwitz அளவுகோல், Hadji-Lehman, எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு அளவுகோல்), இது விளையாட்டு விளைவுகளின் நிகழ்தகவு பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்துகிறது. , ஆபத்து மற்றும் நிச்சயமற்ற நிலைமைகளின் கீழ் உகந்த தீர்வைத் தேர்ந்தெடுப்பதை சாத்தியமாக்குங்கள்.

இறுதி கட்டுப்பாட்டுக்கான சோதனைகள்

1. விரோதமான விளையாட்டை அமைக்கலாம்:

a) இரண்டு வீரர்களுக்கான உத்திகளின் தொகுப்பு மற்றும் ஒரு சேணம் புள்ளி.

b) இரு வீரர்களுக்கான உத்திகளின் தொகுப்பு மற்றும் முதல் வீரரின் ஊதியச் செயல்பாடு.

2. கலப்பு உத்திகளில் மேட்ரிக்ஸ் கேம்களுக்கு விளையாட்டின் விலை எப்போதும் இருக்கும்.

a) ஆம்.

3.பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸில் உள்ள அனைத்து நெடுவரிசைகளும் ஒரே மாதிரியாகவும், படிவத்தை (4 5 0 1) கொண்டதாகவும் இருந்தால், 1வது வீரருக்கு உகந்த உத்தி எது?

a) முதலில்.

b) இரண்டாவது.

c) நான்கில் ஏதேனும் ஒன்று.

4. மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் 1வது வீரரின் கலப்பு உத்திகளில் ஒன்று படிவத்தையும் (0.3, 0.7) 2வது வீரரின் கலப்பு உத்திகளில் ஒன்று வடிவத்தையும் (0.4, 0, 0.6) கொண்டிருக்கட்டும். இந்த மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணம் என்ன?

a) 2*3.

c) மற்றொரு பரிமாணம்.

5. மேலாதிக்கக் கொள்கையானது ஒரு படிநிலையில் மேட்ரிக்ஸில் இருந்து நீக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது:

a) முழு வரிகள்.

b) தனிப்பட்ட எண்கள்.

6. 2*m கேம்களைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறையில், வரைபடத்திலிருந்து நேரடியாகக் காணலாம்:

a) இரு வீரர்களின் உகந்த உத்திகள்.

b) விளையாட்டின் விலை மற்றும் 2வது வீரரின் உகந்த உத்திகள்.

c) விளையாட்டின் விலை மற்றும் 1வது வீரரின் உகந்த உத்திகள்.

7.கீழ் உறை வரைபடம் வரைகலை முறைவிளையாட்டு 2*m தீர்வுகள் பொதுவான வழக்கில் உள்ளன:

a) உடைந்தது.

b) நேராக.

c) பரவளைய

8. 2*2 மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் பிளேயரின் கலப்பு உத்தியின் இரண்டு கூறுகள் உள்ளன:

a) ஒருவருக்கொருவர் மதிப்புகளை தீர்மானிக்கவும்.

b) சுயாதீனமான.

9. மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில், உறுப்பு aij:

அ) 1 வது வீரரின் வெற்றிகள் அவர் பயன்படுத்தும் போது i-வது உத்தி, மற்றும் 2வது - ஜே-வது உத்தி.

b) பயன்படுத்தும் போது 1 வது வீரரின் உகந்த உத்தி எதிரி நான்அல்லது ஜே-வது உத்தி.

c) j-th மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தும் போது 1 வது வீரர் இழப்பு, மற்றும் 2 வது - i-th மூலோபாயம்.

10. மேட்ரிக்ஸ் உறுப்பு aij சேணம் புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது. பின்வரும் சூழ்நிலைகள் சாத்தியமாகும்:

a) இந்த உறுப்பு வரியில் கண்டிப்பாக சிறியது.

b) இந்த உறுப்பு வரிசையில் இரண்டாவது வரிசையில் உள்ளது.

11. பிரவுன்-ராபின்சன் முறையில், ஒவ்வொரு வீரரும், அடுத்த கட்டத்தில் ஒரு மூலோபாயத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​வழிநடத்தப்படுகிறார்:

அ) முந்தைய படிகளில் எதிரியின் உத்திகள்.

b) முந்தைய படிகளில் உங்கள் உத்திகள்.

c) வேறு ஏதாவது.

12. அளவுகோல் மூலம் கணித எதிர்பார்ப்புஒவ்வொரு வீரரும் இவ்வாறு கருதுகின்றனர்:

அ) அவருக்கு மிக மோசமான சூழ்நிலை ஏற்படும்.

c) அனைத்து அல்லது சில சூழ்நிலைகளும் சில கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவுகளுடன் சாத்தியமாகும்.

13. அனைத்து கூறுகளும் எதிர்மறையாக இருக்கும் மேட்ரிக்ஸ் மூலம் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் கேம் கொடுக்கப்படட்டும். விளையாட்டின் விலை நேர்மறையானது:

b) இல்லை.

c) தெளிவான பதில் இல்லை.

14. விளையாட்டின் விலை:

a) எண்.

b) திசையன்.

c) அணி.

5

16. பரிமாணம் 2*3 மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் 1வது வீரரின் கலப்பு உத்திகளில் ஒன்று படிவத்தையும் (0.3, 0.7) 2வது வீரரின் கலப்பு உத்திகளில் ஒன்று படிவத்தையும் (0.3, x, 0.5) கொண்டிருக்கட்டும். . எண் x என்றால் என்ன?

c) மற்றொரு எண்.

17. கேம் மேட்ரிக்ஸின் எந்த பரிமாணத்திற்கு வால்ட் அளவுகோல் லாப்லேஸ் அளவுகோலாக மாறும்?

c) மற்ற சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே.

18. விளையாட்டின் மேல் விலை எப்போதும் விளையாட்டின் குறைந்த விலையை விட குறைவாக இருக்கும்.

b) இல்லை.

b) கேள்வி தவறானது.

19. மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் என்ன உத்திகள் உள்ளன:

a) சுத்தமான.

b) கலப்பு.

c) இரண்டும்.

20. சில முரண்பாடான விளையாட்டில், மாறிகளின் சில மதிப்புகளுக்கு இரு வீரர்களின் ஊதியச் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் 1 க்கு சமமாக இருக்க முடியுமா?

a) எப்போதும்.

b) சில நேரங்களில்.

c) ஒருபோதும்.

21. மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில், 1வது வீரரின் கலப்பு உத்திகளில் ஒன்று வடிவத்தில் இருக்கட்டும் (0.3, 0.7), மற்றும் 2வது வீரரின் கலப்பு உத்திகளில் ஒன்று வடிவத்தில் இருக்கட்டும் (0.4, 0.1,0.1,0.4) . இந்த மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணம் என்ன?

c) மற்றொரு பரிமாணம்.

22. மேலாதிக்கக் கொள்கையானது ஒரு படிநிலையில் மேட்ரிக்ஸில் இருந்து நீக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது:

a) முழு நெடுவரிசைகள்,

b) தனிப்பட்ட எண்கள்.

c) சிறிய அளவுகளின் சப்மெட்ரிக்ஸ்.

23. 3*3 மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் வீரரின் கலப்பு உத்தியின் இரண்டு கூறுகள் உள்ளன:

a) மூன்றாவது தீர்மானிக்கவும்.

b) வரையறுக்க வேண்டாம்.

24. மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில், உறுப்பு aij:

a) j-th மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தும் போது 2வது வீரர் இழப்பு, மற்றும் 2வது - i-th மூலோபாயம்.

b) எதிரி i-th அல்லது j-th மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தும் போது 2வது வீரரின் உகந்த உத்தி,

c) 1வது வீரர் j-th மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தும் போது பெற்ற வெற்றிகள், மற்றும் 2வது - i-th மூலோபாயம்,

25. மேட்ரிக்ஸ் உறுப்பு aij சேணம் புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது. பின்வரும் சூழ்நிலைகள் சாத்தியமாகும்:

a) இந்த உறுப்பு நெடுவரிசையில் மிகப்பெரியது.

b) இந்த உறுப்பு வரிசையில் கண்டிப்பாக மிகப்பெரியது.

c) சரத்தில் இந்த உறுப்பை விட பெரிய மற்றும் குறைவான கூறுகள் உள்ளன.

26. வால்ட் அளவுகோலின் படி, ஒவ்வொரு வீரரும் இவ்வாறு கருதுகின்றனர்:

அ) அவருக்கு மிக மோசமான சூழ்நிலை ஏற்படும்.

b) எல்லா சூழ்நிலைகளும் சமமாக சாத்தியமாகும்.

c) அனைத்து சூழ்நிலைகளும் சில கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவுகளுடன் சாத்தியமாகும்.

27. விளையாட்டின் மேல் விலையை விட குறைந்த விலை குறைவாக உள்ளது:

b) எப்போதும் இல்லை.

c) ஒருபோதும்.

28. மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டிற்கான கலப்பு உத்தியின் கூறுகளின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும்:

a) சமம் 1.

b) எதிர்மறை அல்ல.

c) நேர்மறை.

ஈ) எப்போதும் இல்லை.

29. 2*3 மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் 1வது வீரரின் கலப்பு உத்திகளில் ஒன்று வடிவத்திலும் (0.3, 0.7), 2வது வீரரின் கலப்பு உத்திகளில் ஒன்று வடிவத்திலும் இருக்கட்டும் (0.2, x, x) . எண் x என்றால் என்ன?

65. 3*3 கேம்களைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறையில் உகந்த வீரர் உத்திகளைக் கண்டறிய:
அ) இரண்டு முக்கோணங்கள் கட்டப்பட்டுள்ளன (*பதில்*)
b) ஒரு முக்கோணம் கட்டப்பட்டது.
c) முக்கோணங்கள் கட்டப்படவே இல்லை.
66. கேம்களை 2*m தீர்க்கும் வரைகலை முறைக்கான கீழ் உறையின் வரைபடம் பொது வழக்கில் செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது:
அ) ஏகபோகமாக குறைகிறது.
b) ஏகபோகமாக அதிகரிக்கும்.
c) மோட்டோனிக் அல்லாதது.
67. ஒரு பிரிவில் எதிர்விளையாட்டு விளையாட்டில் 1வது ஆட்டக்காரர் F(x,y) இன் செலுத்தும் செயல்பாடு 2*x+C க்கு சமமாக இருந்தால், C ஐப் பொறுத்து:
அ) சேணம் புள்ளிகள் இல்லை.
b) எப்போதும் சேணம் புள்ளிகள் உள்ளன (*பதில்*)
c) மற்றொரு விருப்பம்
68. வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளில் நிச்சயமற்ற நிலைமைகளின் கீழ் ஒரு முடிவெடுக்கும் சிக்கலை எவ்வாறு அமைக்கலாம்:
அ) இரண்டு மெட்ரிக்குகள்.
b) வெற்றிகள்.
c) வேறு ஏதாவது (*பதில்*)
69. தன்னிச்சையான பரிமாணத்தின் விரோத விளையாட்டில், முதல் வீரரின் வெற்றிகள்:
a) எண்.
b) பல.
c) திசையன், அல்லது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு.
ஈ) செயல்பாடு (*பதில்*)
70. 3*3 மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் வீரரின் கலப்பு உத்தியின் இரண்டு கூறுகள் உள்ளன:
அ) மூன்றாவது (*பதில்*)
b) வரையறுக்க வேண்டாம்.
71. பைமாட்ரிக்ஸ் விளையாட்டை வரையறுக்கலாம்:
a) தன்னிச்சையான கூறுகளுடன் ஒரே பரிமாணத்தின் இரண்டு மெட்ரிக்குகள்,
b) இரண்டு மெட்ரிக்குகள் ஒரே பரிமாணத்தில் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை,
c) ஒரு அணி.
72. மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில், உறுப்பு aij:
a) j-th மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தும் போது 2வது வீரர் இழப்பு, மற்றும் 2வது - i-th உத்தி (*பதில்*)
b) எதிரி i-th அல்லது j-th மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தும் போது 2வது வீரரின் உகந்த உத்தி,
c) 1வது வீரர் j-th மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தும் போது பெற்ற வெற்றிகள், மற்றும் 2வது - i-th மூலோபாயம்,
73. அணி உறுப்பு aij சேணம் புள்ளியை ஒத்துள்ளது. பின்வரும் சூழ்நிலைகள் சாத்தியமாகும்:
a) உகந்தது.
b) சுத்தமான.
c) தெளிவான பதில் இல்லை (*பதில்*)
84. மேட்ரிக்ஸில் உள்ள அனைத்து நெடுவரிசைகளும் ஒரே மாதிரியாகவும், படிவத்தை (4 3 0 2) கொண்டதாகவும் இருந்தால், 2வது வீரருக்கு உகந்த உத்தி எது?
a) முதலில். b) மூன்றாவது. c) ஏதேனும் (*பதில்*)
85. பரிமாணம் 3*3 விளையாட்டில் சேணம் புள்ளிகளின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கை என்ன (மேட்ரிக்ஸ் எந்த எண்களையும் கொண்டிருக்கலாம்):
a)3.
b)9.
c)27 (*பதில்*)
86. X=(1;5) என்பது 1வது உத்திகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும்
வீரர், Y=(2;8) - 2வது வீரரின் உத்திகளின் தொகுப்பு. ஜோடி (1,2)
இந்த விளையாட்டில் ஒரு சேணம் புள்ளியாக இருக்க வேண்டும்:
a) எப்போதும்.
b) சில நேரங்களில் (*பதில்*)
c) ஒருபோதும்.
87. பரிமாணம் 3*3 என்ற பைமாட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் சரியாக 2 சமநிலை சூழ்நிலைகள் உள்ளதா?
அ) எப்போதும்.
b) சில நேரங்களில் (*பதில்*)
c) ஒருபோதும்.
88. பரிமாணம் 2*3 மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் 1வது வீரரின் கலப்பு உத்திகளில் ஒன்று படிவத்தையும் (0.3, 0.7) 2வது வீரரின் கலப்பு உத்திகளில் ஒன்று படிவத்தையும் (0.3, x, x) கொண்டிருக்கட்டும். . எண் x என்றால் என்ன?
a)0.7 b)0.4 c)வேறு ஏதாவது (*பதில்*)
89. மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டு சிறப்பு வழக்கு bimatrix, இதில் பின்வருபவை எப்போதும் உண்மையாக இருக்கும்:
a) அணி A என்பது அணி B க்கு சமம், எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது.
b) அணி A என்பது அணி B க்கு சமம்.
c) A மற்றும் B அணிகளின் பெருக்கல் அடையாள அணி ஆகும்.
90. ஒரு பைமாட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில், உறுப்பு பின்வருவனவற்றைக் குறிக்கிறது:
a) 2வது வீரர் i-th மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தும் போது அவர் பெற்ற வெற்றிகள், மற்றும் 1st - j-th மூலோபாயம்,
b) எதிராளி i-th அல்லது j-th மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தும் போது 2வது வீரரின் உகந்த உத்தி/
c) வேறு ஏதாவது (*பதில்*)
91. ஒரு பைமாட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில், உறுப்பு ac ஒரு சமநிலை நிலைமைக்கு ஒத்திருக்கிறது. பின்வரும் சூழ்நிலைகள் சாத்தியமாகும்:
அ) நெடுவரிசையில் இந்த உறுப்புக்கு சமமான கூறுகள் உள்ளன (*பதில்*)
b) இந்த உறுப்பு நெடுவரிசையில் உள்ள சிலவற்றை விட சிறியது.
c) இந்த உறுப்பு நெடுவரிசையில் மிகச் சிறியது.
92. ஒரு மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில், ஒவ்வொரு வீரரின் உத்திகள் மற்றும் பணம் செலுத்தும் செயல்பாடு ஆகியவற்றை அறிவது,
தூய உத்திகளில் விளையாட்டின் விலையைக் காணலாம்:
a) எப்போதும்.
b) சில நேரங்களில் (*பதில்*)
c) கேள்வி தவறானது.