சம இடைவெளிகளுடன் குழுவாக்கப்பட்ட மாறுபாடு தொடர். புள்ளிவிவரங்களின் சுருக்கம் மற்றும் தொகுத்தல்

2. விநியோகத் தொடரின் கருத்து. தனி மற்றும் இடைவெளி விநியோக தொடர்

விநியோக வரிசைகள்குழுக்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன சிறப்பு வகை, இதில் ஒவ்வொரு குணாதிசயம், குணாதிசயங்களின் குழு அல்லது குணாதிசயங்களின் வர்க்கம் குழுவில் உள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கை அல்லது ஒட்டுமொத்த மொத்தத்தில் இந்த எண்ணின் விகிதம் அறியப்படுகிறது. அந்த. விநியோக தொடர்- பண்புக்கூறு மதிப்புகளின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு, அவற்றின் தொடர்புடைய எடைகளுடன் ஏறுவரிசை அல்லது இறங்கு வரிசையில் அமைக்கப்பட்டது. விநியோகத் தொடர்கள் அளவு அல்லது பண்புக்கூறு பண்புகளால் கட்டமைக்கப்படலாம்.

அளவு அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்பட்ட விநியோகத் தொடர்கள் மாறுபாடு தொடர்கள் எனப்படும். அவை நடக்கும் தனி மற்றும் இடைவெளி. ஒரு விநியோகத் தொடர் தொடர்ச்சியாக மாறுபடும் பண்புகளின் அடிப்படையில் உருவாக்கப்படலாம் (பண்பு எந்த இடைவெளியிலும் எந்த மதிப்புகளையும் எடுக்க முடியும்) மற்றும் தனித்தனியாக மாறுபடும் பண்பு (இது கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட முழு எண் மதிப்புகளை எடுக்கும்).

தனித்தனிவிநியோகத்தின் மாறுபாடு தொடர் என்பது அவற்றின் தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள் அல்லது விவரங்களுடன் தரவரிசைப்படுத்தப்பட்ட விருப்பங்களின் தொகுப்பாகும். ஒரு தனித் தொடரின் மாறுபாடுகள் ஒரு குணாதிசயத்தின் மதிப்புகளை தனித்தனியாக தொடர்ச்சியாக மாற்றும், பொதுவாக ஒரு எண்ணிக்கையின் விளைவாகும்.

தனித்தனி

இடைவெளி

உதாரணம் : ஒரு மளிகைக் கடையில் வாங்கும் பொருட்களை தொகையின் அடிப்படையில் விநியோகித்தல்.

தனித்த மாறுபாடு தொடரில் அதிர்வெண் பதில் நேரடியாக தொடரின் மாறுபாட்டுடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால், இடைவெளித் தொடரில் அது மாறுபாடுகளின் குழுவைக் குறிக்கிறது.

அவற்றைப் பயன்படுத்தி விநியோகத் தொடர்களை பகுப்பாய்வு செய்வது வசதியானது வரைகலை படம், இது விநியோகம் மற்றும் வடிவங்களின் வடிவத்தை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது. ஒரு தனித்துவமான தொடர் ஒரு வரைபடத்தில் உடைந்த கோடாக சித்தரிக்கப்படுகிறது - விநியோக பலகோணம். அதை உருவாக்க, ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், மாறுபட்ட குணாதிசயங்களின் தரவரிசை (வரிசைப்படுத்தப்பட்ட) மதிப்புகள் x- அச்சில் ஒரே அளவில் திட்டமிடப்படுகின்றன, மேலும் அதிர்வெண்களை வெளிப்படுத்துவதற்கான அளவுகோல் ஆர்டினேட் அச்சில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

இடைவெளி தொடர்கள் என சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது விநியோக வரைபடங்கள்(அதாவது, பார் வரைபடங்கள்).

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கும்போது, ​​இடைவெளிகளின் மதிப்புகள் abscissa அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன, மேலும் அதிர்வெண்கள் தொடர்புடைய இடைவெளியில் கட்டப்பட்ட செவ்வகங்களால் சித்தரிக்கப்படுகின்றன. சம இடைவெளிகளில் நெடுவரிசைகளின் உயரம் அதிர்வெண்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்க வேண்டும்.

எந்தவொரு ஹிஸ்டோகிராமையும் விநியோக பலகோணமாக மாற்றலாம், அதன் செவ்வகங்களின் செங்குத்துகளை நேரான பிரிவுகளுடன் இணைப்பது அவசியம்.

2. சராசரி வெளியீட்டின் செல்வாக்கை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கான குறியீட்டு முறை மற்றும் சராசரி எண்உற்பத்தி அளவு மாற்றங்கள்

குறியீட்டு முறைஇயக்கவியல் பகுப்பாய்வு மற்றும் பொதுவான குறிகாட்டிகளை ஒப்பிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அத்துடன் இந்த குறிகாட்டிகளின் நிலைகளில் மாற்றங்களை பாதிக்கும் காரணிகள். குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி, உற்பத்தி அளவின் மாற்றங்களில் சராசரி வெளியீடு மற்றும் சராசரி எண்ணிக்கையின் தாக்கத்தை அடையாளம் காண முடியும். பகுப்பாய்வு குறியீடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குவதன் மூலம் இந்த சிக்கல் தீர்க்கப்படுகிறது.

உற்பத்தி அளவின் குறியீடானது சராசரி ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையின் குறியீட்டுடன் தொடர்புடையது மற்றும் உற்பத்தியின் அளவு (Q) வெளியீட்டுடன் தொடர்புடையது போலவே சராசரி வெளியீட்டின் குறியீடும் தொடர்புடையது ( w)மற்றும் எண்கள் ( ஆர்) .

உற்பத்தியின் அளவு சராசரி வெளியீடு மற்றும் சராசரி எண்ணிக்கையின் தயாரிப்புக்கு சமமாக இருக்கும் என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்:

Q = w r, Q என்பது உற்பத்தியின் அளவு,

w - சராசரி வெளியீடு,

r - ஊழியர்களின் சராசரி எண்ணிக்கை.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நாங்கள் புள்ளிவிவரங்களில் நிகழ்வுகளின் உறவைப் பற்றி பேசுகிறோம்: இரண்டு காரணிகளின் தயாரிப்பு விளைவாக நிகழ்வின் மொத்த அளவைக் கொடுக்கிறது. இந்த இணைப்பு செயல்படும் என்பதும் வெளிப்படையானது, எனவே இந்த இணைப்பின் இயக்கவியல் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட உதாரணத்திற்கு, இது பின்வரும் அமைப்பு:

Jw × Jr = Jwr.

எடுத்துக்காட்டாக, உற்பத்தி அளவு குறியீட்டு Jwr, ஒரு உற்பத்தி நிகழ்வின் குறியீடாக, இரண்டு காரணி குறியீடுகளாக சிதைக்கப்படலாம்: சராசரி வெளியீட்டு குறியீடு (Jw) மற்றும் சராசரி எண்ணிக்கை குறியீட்டு எண் (ஜூனியர்):

இண்டெக்ஸ் இன்டெக்ஸ் இன்டெக்ஸ்

சராசரி ஊதியத்தின் அளவு

உற்பத்தி வெளியீடு எண்

எங்கே ஜே டபிள்யூ- Laspeyres சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்ட தொழிலாளர் உற்பத்தித்திறன் குறியீடு;

ஜே ஆர்- பாஸ்ச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்ட ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையின் குறியீடு.

செயல்திறன் குறிகாட்டியின் நிலை உருவாக்கத்தில் தனிப்பட்ட காரணிகளின் செல்வாக்கைத் தீர்மானிக்க குறியீட்டு அமைப்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை அறியப்படாத 2 குறியீட்டு மதிப்புகளிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

மேலே உள்ள குறியீட்டு முறையின் அடிப்படையில், உற்பத்தி அளவின் முழுமையான அதிகரிப்பு, காரணிகளின் செல்வாக்கின் கீழ் சிதைவதைக் காணலாம்.

1. உற்பத்தி அளவின் பொதுவான அதிகரிப்பு:

∆wr = ∑w 1 r 1 - ∑w 0 r 0 .

2. சராசரி வெளியீட்டு குறிகாட்டியின் செயல்பாட்டின் காரணமாக அதிகரிப்பு:

∆wr/w = ∑w 1 r 1 - ∑w 0 r 1 .

3. சராசரி எண்ணிக்கை குறிகாட்டியின் செயல்பாட்டின் காரணமாக அதிகரிப்பு:

∆wr/r = ∑w 0 r 1 - ∑w 0 r 0

∆wr = ∆wr/w + ∆wr/r.

உதாரணம்.பின்வரும் தரவு அறியப்படுகிறது

உற்பத்தி அளவு ஒப்பீட்டளவில் மற்றும் முழுமையான அடிப்படையில் எவ்வாறு மாறியுள்ளது மற்றும் தனிப்பட்ட காரணிகள் இந்த மாற்றத்தை எவ்வாறு பாதித்தன என்பதை நாம் தீர்மானிக்க முடியும்.

உற்பத்தியின் அளவு:

அடிப்படை காலத்தில்

w 0 * r 0 = 2000 * 90 = 180000,

மற்றும் அறிக்கையிடலில்

w 1 * r 1 = 2100 * 100 = 210000.

இதன் விளைவாக, உற்பத்தியின் அளவு 30,000 அல்லது 1.16% அதிகரித்துள்ளது.

∆wr=∑w 1 r 1 -∑w 0 r 0= (210000-180000)=30000

அல்லது (210000:180000)*100%=1.16%.

உற்பத்தி அளவின் இந்த மாற்றம் இதற்குக் காரணம்:

1) சராசரி பணியாளர் எண்ணிக்கையில் 10 பேர் அல்லது 111.1% அதிகரிப்பு

r 1 / r 0 = 100 / 90 = 1.11 அல்லது 111.1%.

முழுமையான வகையில், இந்த காரணி காரணமாக, உற்பத்தியின் அளவு 20,000 அதிகரித்துள்ளது:

w 0 r 1 – w 0 r 0 = w 0 (r 1 -r 0) = 2000 (100-90) = 20000.

2) சராசரி உற்பத்தியில் 105% அல்லது 10,000 அதிகரிப்பு:

w 1 r 1 /w 0 r 1 = 2100*100/2000*100 = 1.05 அல்லது 105%.

முழுமையான வகையில், அதிகரிப்பு:

w 1 r 1 – w 0 r 1 = (w 1 -w 0)r 1 = (2100-2000)*100 = 10000.

எனவே, காரணிகளின் ஒருங்கிணைந்த செல்வாக்கு:

1. முழுமையான சொற்களில்

10000 + 20000 = 30000

2. உறவினர் அடிப்படையில்

1,11 * 1,05 = 1,16 (116%)

எனவே, அதிகரிப்பு 1.16% ஆகும். இரண்டு முடிவுகளும் முன்பு பெறப்பட்டன.

மொழிபெயர்ப்பில் "குறியீடு" என்ற வார்த்தையின் பொருள் சுட்டிக்காட்டி, காட்டி. புள்ளிவிபரங்களில், ஒரு குறியீடானது நேரம், இடம் அல்லது ஒரு திட்டத்துடன் ஒப்பிடும்போது ஒரு நிகழ்வில் ஏற்படும் மாற்றத்தைக் குறிக்கும் ஒரு தொடர்புடைய குறிகாட்டியாக விளக்கப்படுகிறது. குறியீட்டு ஒரு ஒப்பீட்டு மதிப்பு என்பதால், குறியீடுகளின் பெயர்கள் தொடர்புடைய மதிப்புகளின் பெயர்களுடன் மெய்.

ஒப்பிடக்கூடிய தயாரிப்புகளில் காலப்போக்கில் ஏற்படும் மாற்றங்களை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்யும் சந்தர்ப்பங்களில், எப்படி என்று கேட்கலாம் வெவ்வேறு நிலைமைகள்(இல் பல்வேறு பகுதிகள்) குறியீட்டு மாற்றத்தின் கூறுகள் (விலை, உடல் அளவு, உற்பத்தியின் அமைப்பு அல்லது சில வகையான தயாரிப்புகளின் விற்பனை). இது சம்பந்தமாக, நிலையான கலவை, மாறி கலவை மற்றும் கட்டமைப்பு மாற்றங்கள் ஆகியவற்றின் குறியீடுகள் கட்டமைக்கப்படுகின்றன.

நிரந்தர (நிலையான) கலவையின் குறியீடு -இது மக்கள்தொகையின் அதே நிலையான கட்டமைப்பிற்கான சராசரி மதிப்பின் இயக்கவியலை வகைப்படுத்தும் ஒரு குறியீடாகும்.

நிலையான கலவையின் குறியீட்டை உருவாக்குவதற்கான கொள்கை, அதே எடையுடன் குறியீட்டு குறிகாட்டியின் எடையுள்ள சராசரி அளவைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் குறியீட்டு மதிப்பில் எடைகளின் கட்டமைப்பில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் தாக்கத்தை அகற்றுவதாகும்.

நிலையான கலவை குறியீடானது, மொத்த குறியீட்டுடன் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். மொத்த வடிவம் மிகவும் பொதுவானது.

நிலையான கலவையின் குறியீடானது ஒரு காலகட்டத்தின் மட்டத்தில் நிர்ணயிக்கப்பட்ட எடையுடன் கணக்கிடப்படுகிறது மற்றும் குறியீட்டு மதிப்பில் மட்டுமே மாற்றத்தைக் காட்டுகிறது. நிலையான கலவையின் குறியீடானது, அதே எடையுடன் குறியீட்டு குறிகாட்டியின் எடையுள்ள சராசரி அளவைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் குறியீட்டு மதிப்பில் எடைகளின் கட்டமைப்பில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் தாக்கத்தை நீக்குகிறது. நிலையான கலவையின் குறியீடுகள் நிகழ்வுகளின் நிலையான கட்டமைப்பின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்பட்ட குறிகாட்டிகளை ஒப்பிடுகின்றன.

பெரிய அளவிலான தகவல்களைச் செயலாக்கும் போது, ​​நவீன விஞ்ஞான முன்னேற்றங்களைச் செயல்படுத்தும் போது குறிப்பாக முக்கியமானது, மூலத் தரவைச் சரியாகக் குழுவாக்கும் தீவிரப் பணியை ஆராய்ச்சியாளர் எதிர்கொள்கிறார். தரவு இயற்கையில் தனித்துவமானதாக இருந்தால், நாங்கள் பார்த்தபடி, எந்த பிரச்சனையும் ஏற்படாது - ஒவ்வொரு அம்சத்தின் அதிர்வெண்ணையும் நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும். படிப்பின் கீழ் பண்பு இருந்தால் தொடர்ச்சியானபாத்திரம் (இது நடைமுறையில் மிகவும் பொதுவானது), பின்னர் அம்சக் குழு இடைவெளிகளின் உகந்த எண்ணிக்கையைத் தேர்ந்தெடுப்பது எந்த வகையிலும் ஒரு சிறிய பணி அல்ல.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளை தொகுக்க, குணாதிசயத்தின் முழு மாறுபாடு வரம்பும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான இடைவெளிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. செய்ய.

குழுவான இடைவெளி (தொடர்ச்சியான) மாறுபாடு தொடர்பண்புக்கூறின் மதிப்பால் தரவரிசைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன (), அங்கு i"th இடைவெளியில் விழும் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை, அல்லது தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள் () ஆகியவை தொடர்புடைய அதிர்வெண்களுடன் ():

ஹிஸ்டோகிராம்மற்றும் திரட்டு (ஓகிவா),எங்களால் ஏற்கனவே விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டது, தரவு காட்சிப்படுத்தலின் ஒரு சிறந்த வழிமுறையாகும், இது தரவின் கட்டமைப்பைப் பற்றிய முதன்மையான யோசனையைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது. இத்தகைய வரைபடங்கள் (படம். 1.15) தனித்துவமான தரவுகளைப் போலவே தொடர்ச்சியான தரவுகளுக்காக உருவாக்கப்படுகின்றன, தொடர்ச்சியான தரவு அவற்றின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் பகுதியை முழுமையாக நிரப்புகிறது, எந்த மதிப்புகளையும் எடுத்துக்கொள்கிறது.

அரிசி. 1.15

அதனால் தான் ஹிஸ்டோகிராம் மற்றும் க்யூமுலேட்டில் உள்ள நெடுவரிசைகள் ஒன்றையொன்று தொட வேண்டும் மற்றும் பண்புக்கூறு மதிப்புகள் சாத்தியமான எல்லாவற்றிலும் வராத பகுதிகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.(அதாவது, ஹிஸ்டோகிராம் மற்றும் க்யூமுலேட்டுகளில் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் "துளைகள்" இருக்கக்கூடாது, அவை படம் 1.16 இல் உள்ளதைப் போல ஆய்வு செய்யப்பட்ட மாறியின் மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை). பட்டையின் உயரம் அதிர்வெண்ணுடன் ஒத்துள்ளது - கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் விழும் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை, அல்லது தொடர்புடைய அதிர்வெண் - அவதானிப்புகளின் விகிதம். இடைவெளிகள் குறுக்கிடக்கூடாதுமற்றும் பொதுவாக ஒரே அகலம் இருக்கும்.

அரிசி. 1.16.

ஹிஸ்டோகிராம் மற்றும் பலகோணம் ஆகியவை நிகழ்தகவு அடர்த்தி வளைவின் தோராயமானவை ( வேறுபட்ட செயல்பாடு) f(x)கோட்பாட்டு விநியோகம், நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் போக்கில் கருதப்படுகிறது. எனவே, அளவு தொடர்ச்சியான தரவுகளின் முதன்மை புள்ளியியல் செயலாக்கத்தில் அவற்றின் கட்டுமானம் மிகவும் முக்கியமானது - அவற்றின் தோற்றத்தின் மூலம் அனுமான விநியோகச் சட்டத்தை ஒருவர் தீர்மானிக்க முடியும்.

குமுலேட் - ஒரு இடைவெளி மாறுபாடு தொடரின் திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண்களின் (அதிர்வெண்கள்) வளைவு. ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் திரட்சியுடன் ஒப்பிடப்படுகிறது F(x), நிகழ்தகவு கோட்பாடு பாடத்திலும் விவாதிக்கப்பட்டது.

அடிப்படையில், ஹிஸ்டோகிராம் மற்றும் க்யூமுலேட் ஆகியவற்றின் கருத்துக்கள் குறிப்பாக தொடர்ச்சியான தரவு மற்றும் அவற்றின் இடைவெளி மாறுபாடு தொடர்களுடன் தொடர்புடையவை, ஏனெனில் அவற்றின் வரைபடங்கள் முறையே நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு மற்றும் விநியோகச் செயல்பாட்டின் அனுபவ மதிப்பீடுகள்.

ஒரு இடைவெளி மாறுபாடு தொடரின் கட்டுமானம் இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிப்பதில் தொடங்குகிறது கே.மேலும் இந்த பணி ஆய்வின் கீழ் உள்ள சிக்கலில் மிகவும் கடினமானது, முக்கியமானது மற்றும் சர்ச்சைக்குரியதாக இருக்கலாம்.

இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கை மிகவும் சிறியதாக இருக்கக்கூடாது, ஏனெனில் இது ஹிஸ்டோகிராமை மிகவும் மென்மையாக்கும் ( மிகைப்படுத்தப்பட்டது),அசல் தரவின் மாறுபாட்டின் அனைத்து அம்சங்களையும் இழக்கிறது - படம். 1.17 படத்தில் உள்ள வரைபடங்களின் அதே தரவு எவ்வாறு உள்ளது என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம். 1.15, சிறிய எண்ணிக்கையிலான இடைவெளிகளுடன் (இடது வரைபடம்) ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கப் பயன்படுகிறது.

அதே நேரத்தில், இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கை மிக அதிகமாக இருக்கக்கூடாது - இல்லையெனில் எண் அச்சில் ஆய்வு செய்யப்பட்ட தரவுகளின் விநியோக அடர்த்தியை மதிப்பிட முடியாது: ஹிஸ்டோகிராம் குறைவாக மென்மையாக இருக்கும். (கீழே மென்மையாக்கப்பட்டது),வெற்று இடைவெளிகளுடன், சீரற்ற (படம் 1.17, வலது வரைபடம் பார்க்கவும்).

அரிசி. 1.17.

மிகவும் விருப்பமான இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கையை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது?

1926 ஆம் ஆண்டில், ஹெர்பர்ட் ஸ்டர்ஜஸ், ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளின் அசல் மதிப்புகளின் தொகுப்பை வகுக்க வேண்டிய இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை முன்மொழிந்தார். இந்த சூத்திரம் உண்மையிலேயே மிகவும் பிரபலமாகிவிட்டது - பெரும்பாலான புள்ளியியல் பாடப்புத்தகங்கள் இதை வழங்குகின்றன, மேலும் பல புள்ளியியல் தொகுப்புகள் இதை முன்னிருப்பாகப் பயன்படுத்துகின்றன. இது எவ்வளவு நியாயமானது மற்றும் எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் மிகவும் தீவிரமான கேள்வி.

எனவே, ஸ்டர்ஜஸ் சூத்திரம் எதை அடிப்படையாகக் கொண்டது?

கருத்தில் கொள்வோம் இருவகைப் பரவல் }