சதுர வேர்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது. வேர்களை பெருக்குதல்: அடிப்படை விதிகள்

வேர்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்- உயர்நிலைப் பள்ளியில் கணிதம் (இயற்கணிதம்) படிப்பவர்களுக்கு மிகவும் பொதுவான "தடுமாற்றங்களில்" ஒன்று. இருப்பினும், அவற்றைச் சரியாகச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் கற்றுக்கொள்வது மிகவும் முக்கியமானது, ஏனென்றால் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகள் "கணிதம்" என்ற ஒழுக்கத்தில் அடிப்படை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் திட்டத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.

அத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதில் தேர்ச்சி பெற, உங்களுக்கு இரண்டு விஷயங்கள் தேவை - விதிகளைப் புரிந்துகொள்வதற்கும், பயிற்சி பெறுவதற்கும். ஒன்று அல்லது இரண்டு டஜன் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்த்து, மாணவர் இந்த திறனை தன்னியக்கத்திற்கு கொண்டு வருவார், பின்னர் அவர் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் பயப்பட வேண்டியதில்லை. தேர்ச்சியைத் தொடங்குங்கள் எண்கணித செயல்பாடுகள்கூட்டல் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் கழிப்பதை விட சேர்ப்பது சற்று எளிதானது.

ஒரு ரூட் என்றால் என்ன

இதை விளக்குவதற்கான எளிதான வழி, வர்க்க மூலத்தை உதாரணமாகப் பயன்படுத்துவதாகும். கணிதத்தில் "சதுக்கம்" என்ற நன்கு நிறுவப்பட்ட சொல் உள்ளது. "சதுக்கம்" என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை ஒருமுறை தன்னால் பெருக்குவதாகும்.. எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் 2 ஐ சதுரம் செய்தால், உங்களுக்கு 4 கிடைக்கும். நீங்கள் சதுரம் 7 என்றால், உங்களுக்கு 49 கிடைக்கும். 9 இன் வர்க்கம் 81. எனவே 4 இன் வர்க்கமூலம் 2, 49 இல் 7, மற்றும் 81 இன் 9 ஆகும்.

ஒரு விதியாக, கணிதத்தில் இந்த தலைப்பை கற்பிப்பது தொடங்குகிறது சதுர வேர்கள். அதை உடனடியாகத் தீர்மானிக்கும் வகையில், மாணவர் உயர்நிலைப் பள்ளிபெருக்கல் அட்டவணையை இதயத்தால் அறிந்திருக்க வேண்டும். இந்த அட்டவணையை உறுதியாக அறியாதவர்கள் குறிப்புகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். பொதுவாக ஒரு எண்ணின் வேர் வர்க்கத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் செயல்முறை பல பள்ளிக் கணிதக் குறிப்பேடுகளின் அட்டைகளில் அட்டவணை வடிவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

வேர்கள் பின்வரும் வகைகளில் உள்ளன:

• சதுரம்;
• கனசதுரம் (அல்லது மூன்றாம் பட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது);
• நான்காவது பட்டம்;
• ஐந்தாம் பட்டம்.

கூட்டல் விதிகள்

வெற்றிகரமாக தீர்க்கும் பொருட்டு வழக்கமான உதாரணம், எல்லா ரூட் எண்களும் இல்லை என்பதை மனதில் கொள்ள வேண்டும் ஒன்றையொன்று அடுக்கி வைக்கலாம். அவற்றை ஒன்றாக இணைக்க, அவை ஒரே மாதிரியாக கொண்டு வரப்பட வேண்டும். இது சாத்தியமற்றது என்றால், பிரச்சனைக்கு தீர்வு இல்லை. கணிதப் பாடப்புத்தகங்களிலும் இதுபோன்ற சிக்கல்கள் மாணவர்களுக்கு ஒரு வகையான பொறியாகவே காணப்படுகின்றன.

தீவிர வெளிப்பாடுகள் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடும் போது பணிகளில் சேர்த்தல் அனுமதிக்கப்படாது. இதை ஒரு தெளிவான உதாரணத்துடன் விளக்கலாம்:

• மாணவர் பணியை எதிர்கொள்கிறார்: 4 மற்றும் 9 இன் வர்க்க மூலத்தைச் சேர்க்கவும்;
• விதியை அறியாத ஒரு அனுபவமற்ற மாணவர் பொதுவாக எழுதுகிறார்: "4 இன் ரூட் + ரூட் ஆஃப் 9 = ரூட் ஆஃப் 13."
• இந்த தீர்வு தவறானது என்பதை நிரூபிப்பது மிகவும் எளிதானது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் 13 இன் வர்க்க மூலத்தைக் கண்டுபிடித்து உதாரணம் சரியாக தீர்க்கப்பட்டதா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும்;
• மைக்ரோகால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி அது தோராயமாக 3.6 என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம். இப்போது எஞ்சியிருப்பது தீர்வைச் சரிபார்க்க வேண்டும்;
• ரூட் 4=2, மற்றும் ரூட் 9=3;
• "இரண்டு" மற்றும் "மூன்று" எண்களின் கூட்டுத்தொகை ஐந்து. எனவே, இந்த தீர்வு வழிமுறை தவறானதாகக் கருதப்படலாம்.

வேர்கள் ஒரே அளவு, ஆனால் வெவ்வேறு எண் வெளிப்பாடுகள் இருந்தால், அது அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கப்பட்டு, அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கப்படும். இரண்டு தீவிர வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை. எனவே, இந்த தொகையில் இருந்து ஏற்கனவே பிரித்தெடுக்கப்பட்டது.

கூட்டல் அல்காரிதம்

எளிமையான சிக்கலை சரியாக தீர்க்க, நீங்கள் செய்ய வேண்டியது:

1. கூடுதலாக என்ன தேவை என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.
2. கணிதத்தில் இருக்கும் விதிகளால் வழிநடத்தப்பட்டு, ஒருவருக்கொருவர் மதிப்புகளைச் சேர்க்க முடியுமா என்பதைக் கண்டறியவும்.
3. அவை மடிக்க முடியாவிட்டால், அவற்றை மடிக்கக்கூடிய வகையில் மாற்ற வேண்டும்.
4. தேவையான அனைத்து மாற்றங்களையும் மேற்கொண்ட பிறகு, நீங்கள் கூடுதலாகச் செய்து முடிக்கப்பட்ட பதிலை எழுத வேண்டும். எடுத்துக்காட்டின் சிக்கலைப் பொறுத்து, உங்கள் தலையில் கூடுதலாக அல்லது மைக்ரோகால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் செய்யலாம்.

ஒத்த வேர்கள் என்ன

ஒரு கூடுதல் உதாரணத்தை சரியாகத் தீர்க்க, அதை எவ்வாறு எளிதாக்குவது என்பதைப் பற்றி முதலில் சிந்திக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, ஒற்றுமை என்றால் என்ன என்பது பற்றிய அடிப்படை அறிவு உங்களுக்கு இருக்க வேண்டும்.

ஒரே மாதிரியானவற்றை அடையாளம் காணும் திறன், ஒரே மாதிரியான கூட்டல் உதாரணங்களை விரைவாகத் தீர்க்க உதவுகிறது, அவற்றை எளிமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவத்தில் கொண்டு வருகிறது. ஒரு பொதுவான கூட்டல் உதாரணத்தை எளிதாக்க, நீங்கள் செய்ய வேண்டியது:

1. ஒரே மாதிரியானவற்றைக் கண்டுபிடித்து அவற்றை ஒரு குழுவாக (அல்லது பல குழுக்களாக) பிரிக்கவும்.
2. ஒரே மாதிரியான குறிகாட்டியைக் கொண்ட வேர்கள் ஒன்றையொன்று தெளிவாகப் பின்தொடரும் வகையில் ஏற்கனவே உள்ள உதாரணத்தை மீண்டும் எழுதவும் (இது "குழுப்படுத்துதல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது).
3. அடுத்து, நீங்கள் மீண்டும் ஒரு முறை வெளிப்பாட்டை எழுத வேண்டும், இந்த முறை ஒரே மாதிரியானவை (ஒரே காட்டி மற்றும் அதே தீவிர உருவம் கொண்டவை) ஒருவருக்கொருவர் பின்தொடரும் வகையில்.

இதற்குப் பிறகு, எளிமைப்படுத்தப்பட்ட உதாரணம் பொதுவாக தீர்க்க எளிதானது.

எந்தவொரு கூட்டல் உதாரணத்தையும் சரியாகத் தீர்க்க, கூட்டலின் அடிப்படை விதிகளை நீங்கள் தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும், அதே போல் ரூட் என்றால் என்ன, அது என்னவாக இருக்கும் என்பதை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

சில நேரங்களில் இதுபோன்ற பிரச்சினைகள் முதல் பார்வையில் மிகவும் கடினமாகத் தோன்றுகின்றன, ஆனால் பொதுவாக அவை ஒத்தவற்றைக் குழுவாக்குவதன் மூலம் எளிதில் தீர்க்கப்படுகின்றன. மிக முக்கியமான விஷயம் பயிற்சி, பின்னர் மாணவர் "கொட்டைகள் போன்ற பிரச்சனைகளை" தொடங்குவார். வேர்களைச் சேர்ப்பது கணிதத்தின் மிக முக்கியமான பகுதிகளில் ஒன்றாகும், எனவே ஆசிரியர்கள் அதைப் படிக்க போதுமான நேரத்தை செலவிட வேண்டும்.

இப்போது பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் ஏதோ நடக்கிறது, அது முற்றிலும் தெளிவாக இல்லை. ஒரு நல்ல விஷயம் என்னவென்றால், கணிதத்தில் எல்லாம் மாறாமல் உள்ளது. வேர்களுடன் வேலை செய்வது, அதாவது கூட்டல் மற்றும் கழித்தல், மிகவும் கடினமான செயல் அல்ல. ஆனால் சில மாணவர்கள் சில சிரமங்களை சந்திக்கின்றனர்.

மேலும் இந்த கட்டுரையில் வர்க்க மூலங்களை எவ்வாறு கூட்டுவது மற்றும் கழிப்பது என்ற விதிகளைப் பார்ப்போம்.

இந்த வேர்கள் ஒரே தீவிர வெளிப்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன என்ற நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், நீங்கள் சதுர வேர்களைக் கழிக்கலாம் மற்றும் சேர்க்கலாம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நாம் 2√3 மற்றும் 4√3 உடன் செயல்களைச் செய்யலாம், ஆனால் 2√3 மற்றும் 2√7 உடன் அல்ல. ஆனால் அதே தீவிர வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட வேர்களுக்கு அவர்களை இட்டுச் செல்வதற்காக தீவிர வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவதற்கான நடவடிக்கைகளை நீங்கள் மேற்கொள்ளலாம். அதன் பிறகுதான் கூட்டல் அல்லது கழித்தல் தொடங்கும்.

வர்க்க வேர்களைக் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல் கோட்பாடு

கொள்கை மிகவும் எளிமையானது. மேலும் இது மூன்று செயல்களைக் கொண்டிருக்கும். தீவிர வெளிப்பாட்டை நாம் எளிமைப்படுத்த வேண்டும். இதன் விளைவாக ஒரே மாதிரியான தீவிர வெளிப்பாடுகளைக் கண்டறிந்து வேர்களைச் சேர்க்கவும் அல்லது கழிக்கவும்.

ஒரு தீவிரமான வெளிப்பாட்டை எவ்வாறு எளிதாக்குவது

இதைச் செய்ய, நீங்கள் தீவிர எண்ணை விரிவாக்க வேண்டும், அது இரண்டு காரணிகளைக் கொண்டுள்ளது. முக்கிய நிபந்தனை. இந்த எண்களில் ஒன்று சதுர எண்ணாக இருக்க வேண்டும் (எடுத்துக்காட்டு: 25 அல்லது 9). இந்தச் செயலுக்குப் பிறகு, இந்த சதுர எண்ணின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கிறோம். இந்த எண்ணை நமது ரூட்டின் முன் எழுதுகிறோம், மேலும் ரூட்டின் கீழ் நமக்கு இரண்டாவது காரணி உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டாக, 6√50 – 2√8 + 5√12

6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. இங்கே நாம் 50 ஐ 25 மற்றும் 2 ஆகிய இரண்டு காரணிகளாக சிதைக்கிறோம். பிறகு 25 இன் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம் (எங்களுக்கு எண் 5 கிடைக்கும்) மற்றும் அதை ரூட்டின் கீழ் இருந்து வெளியே எடுக்கிறோம். அடுத்து 5 ஐ 6 ஆல் பெருக்கி 30√2 கிடைக்கும்

2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. இந்த எடுத்துக்காட்டில், 8 ஐ 4 மற்றும் 2 ஆகிய இரண்டு எண்களாக சிதைக்கிறோம். 4 இலிருந்து மூலத்தை எடுத்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணை வேராக எடுத்து, அதை ஏற்கனவே ரூட்டின் பின்னால் இருந்த எண்ணால் பெருக்குகிறோம்.

5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. இங்கே, முன்பு போலவே, மூலத்தின் கீழ் உள்ள எண்ணை 4 மற்றும் 3 என இரண்டு எண்களாக சிதைக்கிறோம். 4 இலிருந்து மூலத்தை பிரித்தெடுக்கிறோம். இதன் விளைவாக வரும் எண்ணை ரூட்டாக எடுத்து, ரூட்டின் பின்னால் இருந்த எண்ணால் பெருக்குகிறோம்.

இதன் விளைவாக, 6√50 - 2√8 + 5√12 என்ற சமன்பாட்டை இந்த வடிவத்தில் 30√2 - 4√2 + 10√3 ஆக மாற்றினோம்.

அதே தீவிர வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட வேர்களை நாங்கள் வலியுறுத்துகிறோம்

எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் 30√2 - 4√2 + 10√3, இந்த எண்கள் ஒரே தீவிர எண் 2ஐக் கொண்டிருப்பதால், 30√2 மற்றும் 4√2ஐ முன்னிலைப்படுத்துகிறோம்.
உங்கள் எடுத்துக்காட்டில் ஒரே மாதிரியான தீவிர வெளிப்பாடுகள் இருந்தால். ஒரே வரிகளை வெவ்வேறு கோடுகளுடன் அடிக்கோடிடுங்கள்.

எங்கள் வேர்களைச் சேர்க்கவும் அல்லது கழிக்கவும்

இப்போது நாம் அதே தீவிர வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட எண்களைச் சேர்க்கிறோம் அல்லது கழிக்கிறோம். மற்றும் நாம் ரூட் விட்டு என்ன மாறாமல் உள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் சில தீவிர வெளிப்பாடுகளுடன் எத்தனை வேர்கள் உள்ளன என்பதைக் காண்பிப்பதே புள்ளி.

எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் 30√2 - 4√2 + 10√3 30ல் இருந்து 4ஐ கழித்து 26√2ஐப் பெறுகிறோம்

எங்கள் உதாரணத்தில் பதில் இப்படி இருக்கும். 26√2 + 10√3

சபிபோன் - இணையத்தில் மிகவும் சுவாரஸ்யமான விஷயங்கள்

கணித வேர் என்றால் என்ன?

இந்த நடவடிக்கை எக்ஸ்போனென்டியேஷனுக்கு எதிராக எழுந்தது. கணிதம் இரண்டு எதிர் செயல்பாடுகளை பரிந்துரைக்கிறது. கூட்டலுக்கு கழித்தல் உண்டு. பெருக்கல் வகுப்பதை எதிர்க்கிறது. ஒரு பட்டத்தின் தலைகீழ் செயல், தொடர்புடைய மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதாகும்.

பட்டம் இரண்டு என்றால், வேர் சதுரமாக இருக்கும். பள்ளிக் கணிதத்தில் இது மிகவும் பொதுவானது. இது சதுரம் என்பதற்கான அறிகுறி கூட இல்லை, அதாவது எண் 2 அதற்கு அடுத்ததாக ஒதுக்கப்படவில்லை. கணிதக் குறியீடுஇந்த ஆபரேட்டர் (தீவிரமானது) படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

அதன் வரையறை விவரிக்கப்பட்ட செயலிலிருந்து சீராக பாய்கிறது. ஒரு எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க, தீவிர வெளிப்பாடு தன்னால் பெருக்கப்படும்போது என்ன தரும் என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த எண் வர்க்க மூலமாக இருக்கும். இதை நாம் கணித ரீதியாக எழுதினால், பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்: x*x=x 2 =y, அதாவது √y=x.

அவர்களுடன் நீங்கள் என்ன செயல்களைச் செய்யலாம்?

அதன் மையத்தில், ரூட் என்பது ஒரு பகுதியளவு சக்தியாகும். மற்றும் வகுத்தல் எதுவும் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, வர்க்க மூலத்தில் இரண்டு உள்ளது. எனவே, அதிகாரங்களைக் கொண்டு செய்யக்கூடிய அனைத்து செயல்களும் வேர்களுக்கும் செல்லுபடியாகும்.

இந்த செயல்களுக்கான தேவைகள் ஒன்றே. பெருக்கல், வகுத்தல் மற்றும் விரிவுபடுத்துதல் ஆகியவை மாணவர்களுக்கு சிரமங்களைச் சந்திக்கவில்லை என்றால், அவற்றைக் கழிப்பது போன்ற வேர்களைச் சேர்ப்பது சில நேரங்களில் குழப்பத்திற்கு வழிவகுக்கும். மற்றும் அனைத்து ஏனெனில் நான் ரூட் அடையாளம் பொருட்படுத்தாமல் இந்த செயல்பாடுகளை செய்ய வேண்டும். மேலும் இங்குதான் தவறுகள் தொடங்குகின்றன.

கூட்டுவதற்கும் கழிப்பதற்கும் என்ன விதிகள் உள்ளன?

முதலில் நீங்கள் இரண்டு வகை "செய்யக்கூடாதவை" நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

• போன்ற வேர்களை கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செய்ய முடியாது முதன்மை எண்கள், அதாவது, ஒரு அடையாளத்தின் கீழ் கூட்டுத்தொகையின் தீவிர வெளிப்பாடுகளை எழுதுவது மற்றும் அவற்றுடன் கணித செயல்பாடுகளைச் செய்வது சாத்தியமில்லை;
• சதுரம் மற்றும் கன சதுரம் போன்ற வெவ்வேறு அடுக்குகளுடன் வேர்களைச் சேர்க்கவோ கழிக்கவோ முடியாது.

முதல் தடையின் தெளிவான உதாரணம்: √6 + √10 ≠ √16, ஆனால் √(6 + 10) = √16.

இரண்டாவது வழக்கில், வேர்களை எளிதாக்குவதற்கு நம்மை கட்டுப்படுத்துவது நல்லது. மற்றும் அவர்களின் தொகையை பதிலில் விட்டு விடுங்கள்.

இப்போது விதிகளுக்கு

1. ஒத்த வேர்களைக் கண்டுபிடித்து தொகுக்கவும். அதாவது, இல்லாதவர்கள் அதே எண்கள்தீவிரத்தின் கீழ், ஆனால் அவர்களுக்கே ஒரு காட்டி உள்ளது.
2. முதல் செயலில் ஒரு குழுவாக இணைந்து வேர்களைச் சேர்ப்பதைச் செய்யவும். இது செயல்படுத்த எளிதானது, ஏனெனில் நீங்கள் தீவிரவாதிகளுக்கு முன்னால் தோன்றும் மதிப்புகளை மட்டுமே சேர்க்க வேண்டும்.
3. தீவிர வெளிப்பாடு முழு சதுரத்தை உருவாக்கும் சொற்களின் வேர்களைப் பிரித்தெடுக்கவும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், தீவிரவாதத்தின் அடையாளத்தின் கீழ் எதையும் விட்டுவிடாதீர்கள்.
4. தீவிர வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குங்கள். இதைச் செய்ய, நீங்கள் அவற்றை முதன்மைக் காரணிகளாகக் கணக்கிட வேண்டும் மற்றும் அவை எந்த எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கொடுக்கின்றன என்பதைப் பார்க்கவும். வர்க்கமூலத்தைப் பற்றிப் பேசும்போது இது உண்மை என்பது தெளிவாகிறது. அடுக்கு மூன்று அல்லது நான்காக இருக்கும்போது, ​​பிரதான காரணிகள் கன சதுரம் அல்லது எண்ணின் நான்காவது சக்தியைக் கொடுக்க வேண்டும்.
5. முழு சக்தியையும் கொடுக்கும் காரணியை தீவிர அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து அகற்றவும்.
6. இதே போன்ற சொற்கள் மீண்டும் தோன்றுகிறதா என்று பார்க்கவும். ஆம் எனில், இரண்டாவது படியை மீண்டும் செய்யவும்.

பணிக்கு ரூட்டின் சரியான மதிப்பு தேவைப்படாத சூழ்நிலையில், அதை ஒரு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம். முடிவற்ற தசம, அதன் சாளரத்தில் தோன்றும், ரவுண்ட் அப். பெரும்பாலும் இது நூறில் செய்யப்படுகிறது. பின்னர் தசம பின்னங்களுக்கான அனைத்து செயல்பாடுகளையும் செய்யவும்.

வேர்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பது பற்றிய அனைத்து தகவல்களும் இதுதான். கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் மேலே உள்ளவற்றை விளக்கும்.

முதல் பணி

வெளிப்பாடுகளின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 – 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) மேலே உள்ள அல்காரிதத்தை நீங்கள் பின்பற்றினால், இந்த எடுத்துக்காட்டில் முதல் இரண்டு செயல்களுக்கு எதுவும் இல்லை என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம். ஆனால் நீங்கள் சில தீவிர வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, 32 ஐ இரண்டு காரணிகள் 2 மற்றும் 16 ஆக சிதைக்கவும்; 18 ஆனது 9 மற்றும் 2 இன் பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும்; 128 என்பது 64க்கு மேல் 2 ஆகும். இதைப் பொறுத்தவரை, வெளிப்பாடு இப்படி எழுதப்படும்:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

இப்போது நீங்கள் தீவிர அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கொடுக்கும் காரணிகளை அகற்ற வேண்டும். இது 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

பதிவை கொஞ்சம் எளிமையாக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, ரூட் அறிகுறிகளுக்கு முன் குணகங்களைப் பெருக்கவும்:

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

இந்த வெளிப்பாட்டில், அனைத்து சொற்களும் ஒரே மாதிரியாக மாறியது. எனவே, நீங்கள் அவற்றை மடக்க வேண்டும். பதில்: 5√2.

b) முந்தைய உதாரணத்தைப் போலவே, வேர்களைச் சேர்ப்பது அவற்றை எளிதாக்குவதன் மூலம் தொடங்குகிறது. 75, 147, 48 மற்றும் 300 ஆகிய தீவிர வெளிப்பாடுகள் பின்வரும் ஜோடிகளில் குறிப்பிடப்படும்: 5 மற்றும் 25, 3 மற்றும் 49, 3 மற்றும் 16, 3 மற்றும் 100. அவை ஒவ்வொன்றும் மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து எடுக்கக்கூடிய எண்ணைக் கொண்டுள்ளது. :

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

எளிமைப்படுத்திய பிறகு, பதில்: 5√5 - 5√3. இதை இந்த வடிவத்தில் விடலாம், ஆனால் பொதுவான காரணி 5ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் எடுத்துக்கொள்வது நல்லது: 5 (√5 - √3).

c) மீண்டும் காரணியாக்கம்: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து காரணிகளை அகற்றிய பிறகு, எங்களிடம் உள்ளது:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு வந்த பிறகு, 7√11 என்ற முடிவைப் பெறுகிறோம்.

பகுதி வெளிப்பாடுகளுடன் எடுத்துக்காட்டு

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

பின்வரும் எண்களை நீங்கள் காரணியாக்க வேண்டும்: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. ஏற்கனவே விவாதிக்கப்பட்டதைப் போலவே, மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து காரணிகளை அகற்ற வேண்டும் மற்றும் வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

இந்த வெளிப்பாடு வகுப்பில் உள்ள பகுத்தறிவற்ற தன்மையை அகற்ற வேண்டும். இதைச் செய்ய, நீங்கள் இரண்டாவது வார்த்தையை √2/√2 ஆல் பெருக்க வேண்டும்:

— 5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = — 5/3 √5 + 8/3 √2.

செயல்களை முடிக்க, வேர்களுக்கு முன்னால் உள்ள காரணிகளின் முழு பகுதியையும் நீங்கள் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். முதல்வருக்கு 1, இரண்டாவது 2.

கணிதத்தில், எந்தவொரு செயலுக்கும் அதன் எதிர் ஜோடி உள்ளது - சாராம்சத்தில், இது இயங்கியல் ஹெகலிய சட்டத்தின் வெளிப்பாடுகளில் ஒன்றாகும்: "எதிர்களின் ஒற்றுமை மற்றும் போராட்டம்." அத்தகைய "ஜோடி" இல் உள்ள செயல்களில் ஒன்று எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதை நோக்கமாகக் கொண்டது, மற்றொன்று, அதற்கு நேர்மாறானது, அதைக் குறைப்பதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, கூட்டலுக்கு எதிரானது கழித்தல், மற்றும் வகுத்தல் என்பது பெருக்கத்திற்கு எதிரானது. எக்ஸ்போனென்ஷியேஷன் அதன் சொந்த இயங்கியல் எதிர் ஜோடியையும் கொண்டுள்ளது. நாம் வேரை பிரித்தெடுப்பது பற்றி பேசுகிறோம்.

ஒரு எண்ணிலிருந்து அத்தகைய பட்டத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பது என்பது எந்த எண்ணை பொருத்தமான அளவிற்கு உயர்த்த வேண்டும் என்பதைக் கணக்கிடுவது. கொடுக்கப்பட்ட எண். இரண்டு டிகிரிக்கும் தனித்தனி பெயர்கள் உள்ளன: இரண்டாவது பட்டம் "சதுரம்" என்றும், மூன்றாவது "கியூப்" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. அதன்படி, இந்த சக்திகளின் வேர்களை சதுர மற்றும் கன வேர்கள் என்று அழைப்பது நல்லது. கியூப் வேர்கள் கொண்ட செயல்கள் ஒரு தனி விவாதத்திற்கான தலைப்பு, ஆனால் இப்போது வர்க்க மூலங்களைச் சேர்ப்பது பற்றி பேசலாம்.

சில சமயங்களில் முதலில் சதுர வேர்களைப் பிரித்தெடுத்து, பின்னர் முடிவுகளைச் சேர்ப்பது எளிது என்ற உண்மையுடன் ஆரம்பிக்கலாம். பின்வரும் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, 16 இன் வர்க்கமூலம் 4 என்றும், 121 இன் வர்க்கமூலம் 11 என்றும் கணக்கிடுவது கடினம் அல்ல.

√16+√121=4+11=15

இருப்பினும், இது எளிமையான வழக்கு - இங்கே நாம் முழுமையான சதுரங்களைப் பற்றி பேசுகிறோம், அதாவது. சதுர முழு எண்களால் பெறப்படும் எண்களைப் பற்றி. ஆனால் இது எப்போதும் நடக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, எண் 24 ஒரு சரியான சதுரம் அல்ல (இரண்டாவது சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்டால், 24 இல் விளையும் முழு எண் இல்லை). 54 போன்ற எண்ணுக்கும் இது பொருந்தும்... இந்த எண்களின் வர்க்கமூலத்தை நாம் சேர்க்க வேண்டுமா என்ன?

இந்த வழக்கில், பதிலில் ஒரு எண்ணை அல்ல, மற்றொரு வெளிப்பாட்டைப் பெறுவோம். இங்கே நாம் செய்யக்கூடிய அதிகபட்சம் அசல் வெளிப்பாட்டை முடிந்தவரை எளிமைப்படுத்துவதாகும். இதைச் செய்ய, நீங்கள் வர்க்க மூலத்தின் கீழ் இருந்து காரணிகளை எடுக்க வேண்டும். உதாரணமாக மேலே குறிப்பிட்டுள்ள எண்களைப் பயன்படுத்தி இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:

தொடங்குவதற்கு, 24 ஐ காரணிகளாகக் கருதுவோம், அதனால் அவற்றில் ஒன்றை எளிதாக ஒரு வர்க்க மூலமாக பிரித்தெடுக்க முடியும் (அதாவது, அது ஒரு சரியான சதுரமாக இருக்கும்). அத்தகைய எண் உள்ளது - இது 4:

இப்போது 54 உடன் அதையே செய்வோம். அதன் கலவையில், இந்த எண் 9 ஆக இருக்கும்:

இவ்வாறு, பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

இப்போது வேர்களைப் பிரித்தெடுக்கலாம்: 2*√6+3*√6

அடைப்புக்குறிக்குள் நாம் எடுக்கக்கூடிய பொதுவான காரணி உள்ளது:

(2+3)* √6=5*√6

இது கூட்டுதலின் விளைவாக இருக்கும் - இதற்கு மேல் எதையும் இங்கே பிரித்தெடுக்க முடியாது.

உண்மை, நீங்கள் ஒரு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தலாம் - இருப்பினும், இதன் விளைவாக தோராயமாகவும் அதிக எண்ணிக்கையிலான தசம இடங்களுடன் இருக்கும்:

√6=2,449489742783178

படிப்படியாக அதைச் சுற்றினால், தோராயமாக 2.5 கிடைக்கும். முந்தைய உதாரணத்திற்கான தீர்வை அதன் தர்க்கரீதியான முடிவுக்கு கொண்டு வர விரும்பினால், இந்த முடிவை 5 ஆல் பெருக்கலாம் - மேலும் 12.5 கிடைக்கும். அத்தகைய ஆரம்ப தரவுகளுடன் மிகவும் துல்லியமான முடிவைப் பெறுவது சாத்தியமில்லை.

ரூட் சூத்திரங்கள். சதுர வேர்களின் பண்புகள்.

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

முந்தைய பாடத்தில் ஒரு வர்க்கமூலம் என்றால் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடித்தோம். எவை உள்ளன என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய நேரம் இது வேர்களுக்கான சூத்திரங்கள்என்ன வேர்களின் பண்புகள், இதையெல்லாம் வைத்து என்ன செய்ய முடியும்.

வேர்களின் சூத்திரங்கள், வேர்களின் பண்புகள் மற்றும் வேர்களுடன் வேலை செய்வதற்கான விதிகள்- இது அடிப்படையில் அதே விஷயம். சதுர வேர்களுக்கு வியக்கத்தக்க சில சூத்திரங்கள் உள்ளன. இது நிச்சயமாக எனக்கு மகிழ்ச்சியைத் தருகிறது! அல்லது மாறாக, நீங்கள் பல்வேறு சூத்திரங்களை எழுதலாம், ஆனால் வேர்களுடன் நடைமுறை மற்றும் நம்பிக்கையான வேலைக்கு, மூன்று மட்டுமே போதுமானது. மற்ற அனைத்தும் இந்த மூன்றிலிருந்து பாய்கின்றன. மூன்று மூல சூத்திரங்களில் பலர் குழப்பமடைந்தாலும், ஆம்...

எளிமையான ஒன்றைத் தொடங்குவோம். இதோ:

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

ஒரு எண்ணின் சதுர வேர் எக்ஸ்அழைக்கப்பட்ட எண் ஏ, தானே பெருக்கும் செயல்பாட்டில் ( A*A) ஒரு எண்ணைக் கொடுக்க முடியும் எக்ஸ்.
அந்த. A * A = A 2 = X, மற்றும் √X = ஏ.

சதுர வேர்களுக்கு மேல் ( √x), மற்ற எண்களைப் போலவே, கழித்தல் மற்றும் கூட்டல் போன்ற எண்கணித செயல்பாடுகளை நீங்கள் செய்யலாம். வேர்களைக் கழிக்கவும் சேர்க்கவும், இந்தச் செயல்களுடன் தொடர்புடைய அறிகுறிகளைப் பயன்படுத்தி அவற்றை இணைக்க வேண்டும் (எடுத்துக்காட்டாக √x - √y ).
பின்னர் வேர்களை அவர்களிடம் கொண்டு வாருங்கள் எளிமையான வடிவம்- அவற்றுக்கிடையே ஒத்தவை இருந்தால், அதைக் குறைப்பது அவசியம். இது ஒத்த சொற்களின் குணகங்களை தொடர்புடைய சொற்களின் அறிகுறிகளுடன் எடுத்து, பின்னர் அவற்றை அடைப்புக்குறிக்குள் வைத்து, காரணியின் அடைப்புக்குறிகளுக்கு வெளியே பொதுவான மூலத்தைக் குறைப்பதில் உள்ளது. நாங்கள் பெற்ற குணகம் வழக்கமான விதிகளின்படி எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

படி 1: சதுர வேர்களை பிரித்தெடுத்தல்

முதலில், சதுர வேர்களைச் சேர்க்க, முதலில் இந்த வேர்களைப் பிரித்தெடுக்க வேண்டும். மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண்கள் சரியான சதுரங்களாக இருந்தால் இதைச் செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் √4 + √9 . முதல் எண் 4 எண்ணின் வர்க்கம் 2 . இரண்டாவது எண் 9 எண்ணின் வர்க்கம் 3 . எனவே, நாம் பின்வரும் சமத்துவத்தைப் பெறலாம்: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
அவ்வளவுதான், உதாரணம் தீர்க்கப்படுகிறது. ஆனால் அது எப்போதும் அவ்வளவு எளிதாக நடக்காது.

படி 2. ரூட்டின் கீழ் இருந்து எண்ணின் பெருக்கியை வெளியே எடுத்தல்

மூல அடையாளத்தின் கீழ் சரியான சதுரங்கள் இல்லை என்றால், மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து எண்ணின் பெருக்கியை அகற்ற முயற்சி செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம் √24 + √54 .

எண்களை காரணியாக்கு:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

மத்தியில் 24 எங்களிடம் ஒரு பெருக்கி உள்ளது 4 , இது வர்க்க மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து எடுக்கப்படலாம். மத்தியில் 54 எங்களிடம் ஒரு பெருக்கி உள்ளது 9 .

சமத்துவம் பெறுவோம்:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

இந்த எடுத்துக்காட்டைக் கருத்தில் கொண்டு, மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து பெருக்கியை அகற்றுவதைப் பெறுகிறோம், அதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குகிறோம்.

படி 3: பிரிவைக் குறைத்தல்

பின்வரும் சூழ்நிலையைக் கவனியுங்கள்: இரண்டு சதுர வேர்களின் கூட்டுத்தொகை பின்னத்தின் வகுப்பாகும், எடுத்துக்காட்டாக, A/(√a + √b).
இப்போது நாம் "வகுப்பில் உள்ள பகுத்தறிவின்மையை அகற்றும்" பணியை எதிர்கொள்கிறோம்.
பின்வரும் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்: பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை வெளிப்பாட்டால் பெருக்கவும் √a - √b.

நாம் இப்போது சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்தை வகுப்பில் பெறுகிறோம்:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

இதேபோல், வகுப்பிற்கு வேர் வேறுபாடு இருந்தால்: √a - √b, பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுத்தல் வெளிப்பாட்டால் பெருக்கப்படுகிறது √a + √b.

ஒரு உதாரணத்திற்கு பின்னத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

சிக்கலான வகுத்தல் குறைப்புக்கான எடுத்துக்காட்டு

இப்போது போதுமானதைக் கருத்தில் கொள்வோம் சிக்கலான உதாரணம்வகுப்பில் உள்ள பகுத்தறிவின்மையைப் போக்குதல்.

உதாரணமாக, ஒரு பகுதியை எடுத்துக் கொள்வோம்: 12 / (√2 + √3 + √5) .
நீங்கள் அதன் எண் மற்றும் வகுப்பினை எடுத்து வெளிப்பாட்டால் பெருக்க வேண்டும் √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

படி 4. கால்குலேட்டரில் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடவும்

உங்களுக்கு தோராயமான மதிப்பு மட்டுமே தேவைப்பட்டால், சதுர வேர்களின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் கால்குலேட்டரில் இதைச் செய்யலாம். ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் தனித்தனியாக மதிப்பு கணக்கிடப்பட்டு தேவையான துல்லியத்துடன் எழுதப்பட்டுள்ளது, இது தசம இடங்களின் எண்ணிக்கையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அடுத்து, தேவையான அனைத்து செயல்பாடுகளும் சாதாரண எண்களைப் போலவே செய்யப்படுகின்றன.

தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டு

இந்த வெளிப்பாட்டின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடுவது அவசியம் √7 + √5 .

இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

தயவு செய்து கவனிக்கவும்: எந்தச் சூழ்நிலையிலும் பகா எண்களாகச் சேர்க்கக் கூடாது, இது முற்றிலும் ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது. அதாவது ஐந்தின் வர்க்கமூலத்தையும் மூன்றின் வர்க்கமூலத்தையும் கூட்டினால் எட்டின் வர்க்கமூலத்தைப் பெற முடியாது.

பயனுள்ள ஆலோசனை: நீங்கள் ஒரு எண்ணை காரணியாக முடிவு செய்தால், மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து சதுரத்தைப் பெறுவதற்கு, நீங்கள் ஒரு தலைகீழ் சரிபார்ப்பைச் செய்ய வேண்டும், அதாவது, கணக்கீடுகளின் விளைவாக ஏற்பட்ட அனைத்து காரணிகளையும், இதன் இறுதி முடிவுகளையும் பெருக்க வேண்டும். கணிதக் கணக்கீடு முதலில் நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணாக இருக்க வேண்டும்.

வேர்களைக் கழிப்பதற்கான விதிகள்

1. எதிர்மறை எண்களின் பெருக்கத்திலிருந்து ஒரு பட்டத்தின் வேர், காரணிகளிலிருந்து அதே பட்டத்தின் வேர்களின் பெருக்கத்திற்குச் சமம்: எங்கே (ஒரு பொருளிலிருந்து ஒரு மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான விதி).

2. என்றால், y (ஒரு பின்னத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான விதி).

3. அப்படியானால் (ஒரு வேரிலிருந்து ஒரு வேரை பிரித்தெடுப்பதற்கான விதி).

4. அப்படியானால் வேரை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவதற்கான விதி).

5. என்றால் எங்கே, அதாவது, மூலத்தின் அடுக்கு மற்றும் தீவிர வெளிப்பாட்டின் அடுக்கு ஆகியவற்றை ஒரே எண்ணால் பெருக்க முடியும்.

6. 0 எனில், அதாவது, ஒரு பெரிய நேர்மறை தீவிர வெளிப்பாடு ரூட்டின் பெரிய மதிப்பிற்கு ஒத்திருக்கும்.

7. மேலே உள்ள அனைத்து சூத்திரங்களும் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன தலைகீழ் வரிசை(அதாவது வலமிருந்து இடமாக). உதாரணமாக,

(வேர்களின் பெருக்கத்தின் விதி);

(வேர் பிரிவின் விதி);

8. மூல அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து பெருக்கியை அகற்றுவதற்கான விதி. மணிக்கு

9. தலைகீழ் சிக்கல் மூலத்தின் அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு பெருக்கியை அறிமுகப்படுத்துகிறது. உதாரணமாக,

10. ஒரு பின்னத்தின் வகுப்பில் உள்ள பகுத்தறிவின்மை நீக்கம்.

சில பொதுவான நிகழ்வுகளைப் பார்ப்போம்.

• வார்த்தையின் அர்த்தம் வார்த்தைகளின் அர்த்தத்தை விளக்குங்கள்: சட்டம், வட்டி வாங்குபவர், அடிமை-கடனாளி. வார்த்தைகளின் அர்த்தத்தை விளக்குங்கள்: சட்டம், வட்டி வாங்குபவர், அடிமை-கடனாளி. சுவையான ஸ்ட்ராபெர்ரி (விருந்தினர்) பள்ளிகள் தலைப்பில் கேள்விகள் 1. என்ன 3 வகைகளாக பிரிக்கலாம் […]
• காரில் ரேடியோவைப் பயன்படுத்த அனுமதி வேண்டுமா? நான் அதை எங்கே படிக்க முடியும்? எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் உங்கள் வானொலி நிலையத்தை நீங்கள் பதிவு செய்ய வேண்டும். 462MHz அதிர்வெண்ணில் இயங்கும் வாக்கி-டாக்கிகள், நீங்கள் உள்நாட்டு விவகார அமைச்சகத்தின் பிரதிநிதியாக இல்லாவிட்டால், […]
• ஒற்றை வரி விகிதம் - 2018 முதல் மற்றும் இரண்டாவது குழுக்களின் தொழில்முனைவோர்-தனிநபர்களுக்கான ஒற்றை வரி விகிதம் - 2018 என்பது வாழ்க்கைச் செலவு மற்றும் ஜனவரி 1 முதல் நிறுவப்பட்ட குறைந்தபட்ச ஊதியத்தின் சதவீதமாக கணக்கிடப்படுகிறது […]
• Avto காப்பீடு சட்டபூர்வமான உத்தரவாதம். நீங்களே ஒரு OSAGO மின்னஞ்சல் முகவரியை உருவாக்க முடிவு செய்துள்ளீர்களா, ஆனால் உங்களுக்காக எதுவும் செயல்படவில்லையா? !!உங்களுக்கான மின்னணு காப்பீட்டு விண்ணப்பத்தில் தேவையான அனைத்து தரவையும் உள்ளிடுவேன் […]
• கலால் வரியைக் கணக்கிடுவதற்கும் செலுத்துவதற்கும் உள்ள நடைமுறை, கலால் வரி என்பது பொருட்கள் மற்றும் சேவைகளுக்கான மறைமுக வரிகளில் ஒன்றாகும், இது அவற்றின் செலவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. கலால் வரி VAT இலிருந்து வேறுபடுகிறது, அது விதிக்கப்பட்ட […]
• விண்ணப்பம். ஜூன் 17, 2008 N 405 தேதியிட்ட சிட்டி டுமாவின் முடிவுக்கு ரோஸ்டோவ்-ஆன்-டான் நகரத்தின் நில பயன்பாடு மற்றும் மேம்பாட்டிற்கான விதிகள் பின் இணைப்பு ரோஸ்டோவ்-ஆன்-டான் நகரத்தின் நில பயன்பாடு மற்றும் மேம்பாட்டிற்கான விதிகள் திருத்தப்பட்ட மற்றும் [... ]

உதாரணமாக,

11. எண்கணித வேர்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளுக்கு சுருக்கமான பெருக்கல் அடையாளங்களின் பயன்பாடு:

12. ரூட்டின் முன் உள்ள காரணி அதன் குணகம் எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, இங்கே 3 என்பது குணகம்.

13. வேர்கள் (ரேடிக்கல்கள்) ஒரே ரூட் குறியீடுகள் மற்றும் அதே தீவிர வெளிப்பாடுகள் இருந்தால், அவை ஒரே மாதிரியாக அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை குணகத்தில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. இந்த வேர்கள் (தீவிரவாதிகள்) ஒத்ததா இல்லையா என்பதை தீர்மானிக்க, நீங்கள் அவற்றை அவற்றின் எளிய வடிவத்திற்கு குறைக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் அவை ஒத்தவை

தீர்வுகள் கொண்ட பயிற்சிகள்

1. வெளிப்பாடுகளை எளிமையாக்கு:

தீர்வு. 1) தீவிர வெளிப்பாட்டைப் பெருக்குவதில் எந்தப் பயனும் இல்லை, ஏனெனில் ஒவ்வொரு காரணிகளும் ஒரு முழு எண்ணின் வர்க்கத்தைக் குறிக்கிறது. ஒரு தயாரிப்பின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் விதியைப் பயன்படுத்துவோம்:

எதிர்காலத்தில், இதுபோன்ற செயல்களை நாங்கள் வாய்வழியாக செய்வோம்.

2) முடிந்தால், தீவிரமான வெளிப்பாட்டை காரணிகளின் விளைபொருளாகப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முயற்சிப்போம், ஒவ்வொன்றும் ஒரு முழு எண்ணின் கனசதுரமாகும், மேலும் தயாரிப்பின் மூலத்தைப் பற்றிய விதியைப் பயன்படுத்துவோம்:

2. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு. 1) ஒரு பின்னத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான விதியின்படி, எங்களிடம் உள்ளது:

3) தீவிர வெளிப்பாடுகளை மாற்றி, மூலத்தை பிரித்தெடுக்கவும்:

3. எப்போது எளிமைப்படுத்தவும்

தீர்வு. ஒரு வேரிலிருந்து ஒரு வேரை பிரித்தெடுக்கும் போது, ​​வேர்களின் குறிகாட்டிகள் பெருக்கப்படுகின்றன, ஆனால் தீவிர வெளிப்பாடு மாறாமல் இருக்கும்.

வேரின் கீழ் அமைந்துள்ள வேரின் முன் ஒரு குணகம் இருந்தால், வேரைப் பிரித்தெடுக்கும் செயல்பாட்டைச் செய்வதற்கு முன், இந்த குணகத்தை அது தோன்றும் தீவிரத்தின் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ளிடவும்.

மேலே உள்ள விதிகளின் அடிப்படையில், கடைசி இரண்டு வேர்களைப் பிரித்தெடுப்போம்:

4. ஒரு சக்திக்கு உயர்த்தவும்:

தீர்வு. ஒரு மூலத்தை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும் போது, ​​மூலத்தின் அடுக்கு மாறாமல் இருக்கும், மேலும் தீவிர வெளிப்பாட்டின் அடுக்குகள் அதிவேகத்தால் பெருக்கப்படுகின்றன.

(அது வரையறுக்கப்பட்டதால், பின்னர் );

கொடுக்கப்பட்ட ரூட்டில் ஒரு குணகம் இருந்தால், இந்த குணகம் தனித்தனியாக ஒரு சக்தியாக உயர்த்தப்பட்டு அதன் முடிவு ரூட்டின் குணகமாக எழுதப்படும்.

மூலத்தின் குறிகாட்டியையும் தீவிர வெளிப்பாட்டின் குறிகாட்டியையும் ஒரே எண்ணால் பெருக்க முடியும் என்ற விதியைப் பயன்படுத்தினோம் (அதாவது, 2 ஆல் வகுக்கிறோம்).

உதாரணமாக, அல்லது

4) அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு, இரண்டு வெவ்வேறு ரேடிக்கல்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கும், கனசதுர மற்றும் எளிமைப்படுத்தப்பட்டது:

எங்களிடம் இருப்பதால்:

5. வகுப்பில் உள்ள பகுத்தறிவற்ற தன்மையை அகற்றவும்:

தீர்வு. ஒரு பகுதியின் வகுப்பில் உள்ள பகுத்தறிவின்மையை அகற்ற (அழிக்க), நீங்கள் எளிமையான வெளிப்பாடுகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இது ஒரு வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு தயாரிப்பில் ஒரு பகுத்தறிவு வெளிப்பாட்டைக் கொடுக்கிறது, மேலும் இந்த பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பை கண்டுபிடிக்கப்பட்ட காரணியால் பெருக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பின்னத்தின் வகுப்பில் இருசொல் இருந்தால், பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுப்பினருடன் இணைந்த வெளிப்பாட்டால் பெருக்க வேண்டும், அதாவது, கூட்டுத்தொகை தொடர்புடைய வேறுபாட்டால் பெருக்கப்பட வேண்டும் மற்றும் நேர்மாறாகவும்.

மிகவும் சிக்கலான சந்தர்ப்பங்களில், பகுத்தறிவின்மை உடனடியாக அழிக்கப்படுவதில்லை, ஆனால் பல நிலைகளில்.

1) வெளிப்பாடு கொண்டிருக்க வேண்டும்

பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பெருக்கினால் நாம் பெறுவோம்:

2) பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை கூட்டுத்தொகையின் பகுதி சதுரத்தால் பெருக்கினால், நாம் பெறுவோம்:

3) பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவோம்:

இந்த எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்கும் போது, ​​ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் ஒரு அர்த்தம் உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமற்றது என்பதை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். தவிர,

தீவிரவாதிகள் கொண்ட வெளிப்பாடுகளை மாற்றும் போது, ​​தவறுகள் அடிக்கடி செய்யப்படுகின்றன. எண்கணித வேர் மற்றும் முழுமையான மதிப்பின் கருத்தை (வரையறை) சரியாகப் பயன்படுத்த இயலாமையால் அவை ஏற்படுகின்றன.

வேர்களைக் கழிப்பதற்கான விதிகள்

வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்

தீர்வு.

விளக்கம்.
தீவிர வெளிப்பாட்டைச் சுருக்க, அதன் தீவிர வெளிப்பாட்டின் இரண்டாவது காரணியில் உள்ள எண் 31 ஐ 15+16 இன் கூட்டுத்தொகையாக கற்பனை செய்து பாருங்கள். (வரி 2)

மாற்றத்திற்குப் பிறகு, சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, இரண்டாவது தீவிர வெளிப்பாட்டின் கூட்டுத்தொகையை கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கமாகக் குறிப்பிடலாம் என்பது தெளிவாகிறது. (வரி 3)

இப்போது இந்த தயாரிப்பின் ஒவ்வொரு மூலத்தையும் ஒரு பட்டமாக கற்பனை செய்வோம். (வரி 4)

வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவோம் (வரி 5)

உற்பத்தியின் அளவு ஒவ்வொரு காரணிகளின் அளவுகளின் பெருக்கத்திற்குச் சமமாக இருப்பதால், அதற்கேற்ப அதைக் குறிப்பிடுகிறோம் (வரி 6)

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, இரண்டு எண்களின் சதுரங்களுக்கு இடையில் வித்தியாசம் உள்ளது. அங்கிருந்து வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம் (வரி 7)

வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.

விளக்கம்.

எண்களின் ஒரு பகுதியின் தன்னிச்சையான சக்தியின் மூலமானது, இந்த எண்களின் வேர்களின் பங்கிற்குச் சமமாக இருக்கும் மூலத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம் (வரி 2)

ஒரே சக்தியின் எண்ணின் தன்னிச்சையான சக்தியின் வேர் இந்த எண்ணுக்கு சமம் (வரி 3)

முதல் காரணியின் அடைப்புக்குறிக்குள் மைனஸை எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த வழக்கில், அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள அனைத்து அறிகுறிகளும் எதிர்மாறாக மாறும் (வரி 4)

பின்னம் குறைப்பைச் செய்வோம் (வரி 5)

எண் 729 ஐ 27 என்ற எண்ணின் வர்க்கமாகவும், எண் 27 ஐ எண் 3 இன் கனசதுரமாகவும் கற்பனை செய்வோம். அங்கிருந்து நாம் தீவிர வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைப் பெறுகிறோம்.

சதுர வேர். நுழைவு நிலை.

உங்கள் வலிமையைச் சோதித்து, ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு அல்லது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கு நீங்கள் எவ்வளவு தயாராக இருக்கிறீர்கள் என்பதை அறிய விரும்புகிறீர்களா?

1. எண்கணித வர்க்கமூலத்தின் கருத்து அறிமுகம்

எதிர்மில்லாத எண்ணின் வர்க்கமூலம் (எண்கணித வர்க்கமூலம்) அத்தகைய எதிர்மில்லாத எண்ணாகும். எதிர்மறை எண், அதன் சதுரம் சமம்.
.

மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண் அல்லது வெளிப்பாடு எதிர்மறையாக இருக்க வேண்டும்

2. சதுரங்களின் அட்டவணை

3. எண்கணித வர்க்க மூலத்தின் பண்புகள்

எண்கணித வர்க்க மூலத்தின் கருத்து அறிமுகம்

"வேர்" என்ற இந்த கருத்து என்ன மற்றும் "அது எதனுடன் உண்ணப்படுகிறது" என்பதைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். இதைச் செய்ய, வகுப்பில் நீங்கள் ஏற்கனவே சந்தித்த எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம் (சரி, அல்லது நீங்கள் இதை எதிர்கொள்ளப் போகிறீர்கள்).

உதாரணமாக, எங்களிடம் ஒரு சமன்பாடு உள்ளது. இந்த சமன்பாட்டிற்கு என்ன தீர்வு? என்ன எண்களை ஸ்கொயர் செய்து பெறலாம்? பெருக்கல் அட்டவணையை நினைவில் வைத்து, நீங்கள் எளிதாக பதிலைக் கொடுக்கலாம்: மற்றும் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இரண்டு எதிர்மறை எண்கள் பெருக்கப்படும்போது, ​​நேர்மறை எண் பெறப்படுகிறது)! எளிமைப்படுத்த, கணிதவியலாளர்கள் வர்க்க மூலத்தின் ஒரு சிறப்பு கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினர் மற்றும் அதற்கு ஒரு சிறப்பு குறியீட்டை ஒதுக்கினர்.

எண்கணித வர்க்க மூலத்தை வரையறுப்போம்.

எண் ஏன் எதிர்மறையாக இருக்க வேண்டும்? உதாரணமாக, இது எதற்கு சமம்? சரி, சரி, ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்க முயற்சிப்போம். ஒருவேளை மூன்று? சரிபார்ப்போம்: , இல்லை. ஒருவேளை,? மீண்டும், நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்: . சரி, அது பொருந்தவில்லையா? இது எதிர்பார்க்கப்பட வேண்டியதே - ஏனெனில், வர்க்கத்தால் எதிர்மறை எண்ணைக் கொடுக்கும் எண்கள் இல்லை!

இருப்பினும், "ஒரு எண்ணின் வர்க்க மூலத்திற்கான தீர்வு எதிர்மறை அல்லாத எண், அதன் வர்க்கம் சமமாக இருக்கும்" என்று வரையறை கூறுவதை நீங்கள் ஏற்கனவே கவனித்திருக்கலாம். ஆரம்பத்தில், நாங்கள் எடுத்துக்காட்டை பகுப்பாய்வு செய்தோம், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எண்களை ஸ்கொயர் செய்து பெறலாம், பதில் மற்றும், ஆனால் இங்கே நாம் ஒருவித "எதிர்மறை எண்" பற்றி பேசுகிறோம்! இந்தக் கருத்து மிகவும் பொருத்தமானது. இங்கே நீங்கள் இருபடி சமன்பாடுகள் மற்றும் எண்ணின் எண்கணித வர்க்க மூலத்தின் கருத்துகளை வேறுபடுத்திப் பார்க்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டிற்கு சமமானதல்ல.

மேலும் அது பின்வருமாறு.

நிச்சயமாக, இது மிகவும் குழப்பமானதாக இருக்கிறது, ஆனால் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் விளைவாக அறிகுறிகள் உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம், ஏனெனில் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது அனைத்து X களையும் எழுத வேண்டும், இது அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும்போது, ​​​​சரியான முடிவு. இரண்டும் மற்றும் நமது இருபடி சமன்பாட்டிற்கு பொருந்தும்.

எனினும், நீங்கள் ஏதாவது ஒன்றின் வர்க்கமூலத்தை எடுத்துக் கொண்டால், எப்போதும் எதிர்மறையான முடிவைப் பெறுவீர்கள்.

இப்போது இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க முயற்சிக்கவும். இனி எல்லாம் அவ்வளவு எளிமையாகவும் மென்மையாகவும் இல்லை, இல்லையா? எண்களைப் பார்க்க முயற்சிக்கவும், ஒருவேளை ஏதாவது வேலை செய்ய முடியுமா?

ஆரம்பத்திலிருந்தே தொடங்குவோம் - புதிதாக: - பொருந்தாது, தொடரவும்; - மூன்றுக்கும் குறைவானது, நாமும் அதை நிராகரிக்கிறோம், ஆனால் என்ன செய்வது? சரிபார்ப்போம்: - பொருந்தாது, ஏனெனில் அது மூன்றுக்கு மேல். எதிர்மறை எண்களிலும் இதே கதைதான். எனவே நாம் இப்போது என்ன செய்ய வேண்டும்? தேடல் உண்மையில் நமக்கு எதுவும் கொடுக்கவில்லையா? இல்லவே இல்லை, இப்போது நமக்கு நிச்சயமாகத் தெரியும், அதற்கும் இடையில் சில எண்ணாகவே இருக்கும். மேலும், தீர்வுகள் முழு எண்களாக இருக்காது. மேலும், அவர்கள் பகுத்தறிவு இல்லை. எனவே அடுத்து என்ன? செயல்பாட்டை வரைபடமாக்கி அதில் தீர்வுகளைக் குறிக்கலாம்.

கணினியை முட்டாளாக்க முயற்சிப்போம், கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி பதிலைப் பெறுவோம்! அதிலிருந்து வேரறுப்போம்! ஓ-ஓ-ஓ, இந்த எண்ணிக்கை ஒருபோதும் முடிவடையாது என்று மாறிவிடும். தேர்வில் கால்குலேட்டர் இருக்காது என்பதால் இதை எப்படி நினைவில் கொள்வது!? எல்லாம் மிகவும் எளிது, நீங்கள் அதை நினைவில் கொள்ள தேவையில்லை, தோராயமான மதிப்பை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும் (அல்லது விரைவாக மதிப்பிட முடியும்). மற்றும் பதில்கள் அவர்களே. அத்தகைய எண்கள் பகுத்தறிவற்றவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன; அத்தகைய எண்களை எழுதுவதை எளிமையாக்கவே ஒரு வர்க்க மூலத்தின் கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.
இதை வலுப்படுத்த மற்றொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். இந்த சிக்கலைப் பார்ப்போம்: நீங்கள் குறுக்காக கடக்க வேண்டும் சதுர புலம்ஒரு பக்கம் கிமீ, எத்தனை கிமீ நடக்க வேண்டும்?

இங்கே மிகவும் வெளிப்படையான விஷயம் என்னவென்றால், முக்கோணத்தை தனித்தனியாகக் கருத்தில் கொண்டு பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்: . இவ்வாறு, . எனவே இங்கு தேவையான தூரம் என்ன? வெளிப்படையாக, தூரம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது, அதைப் பெறுகிறோம். இரண்டின் வேர் தோராயமாக சமம், ஆனால், நாம் முன்பு குறிப்பிட்டது போல், - ஏற்கனவே ஒரு முழுமையான பதில்.

வேர் பிரித்தெடுத்தல்

சிக்கல்களை ஏற்படுத்தாமல் வேர்களுடன் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்க, நீங்கள் அவற்றைப் பார்த்து அடையாளம் காண வேண்டும். இதைச் செய்ய, நீங்கள் எண்களின் சதுரங்களையாவது தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், மேலும் அவற்றை அடையாளம் காணவும் முடியும்.

அதாவது, ஒரு சதுரத்திற்கு என்ன சமம் என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும், மாறாக, ஒரு சதுரத்திற்கு என்ன சமம். முதலில், இந்த அட்டவணை ரூட் பிரித்தெடுக்க உங்களுக்கு உதவும்.

போதுமான எண்ணிக்கையிலான உதாரணங்களை நீங்கள் தீர்த்தவுடன், அதன் தேவை தானாகவே மறைந்துவிடும்.
பின்வரும் வெளிப்பாடுகளின் வர்க்க மூலத்தை நீங்களே கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும்:

சரி, அது எப்படி வேலை செய்தது? இப்போது இந்த எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

எண்கணித வர்க்க மூலத்தின் பண்புகள்

வேர்களை எவ்வாறு பிரித்தெடுப்பது என்பது இப்போது உங்களுக்குத் தெரியும், எண்கணித வர்க்க மூலத்தின் பண்புகளைப் பற்றி அறிய வேண்டிய நேரம் இது. அவற்றில் 3 மட்டுமே உள்ளன:

• பெருக்கல்;
• பிரிவு;
• விரிவாக்கம்.

இந்த அட்டவணையின் உதவியுடன் அவற்றை நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது மற்றும், நிச்சயமாக, பயிற்சி:

எப்படி முடிவு செய்வது
இருபடி சமன்பாடுகள்

முந்தைய பாடங்களில் "நேரியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது" என்று பார்த்தோம், அதாவது முதல் பட்டத்தின் சமன்பாடுகள். இந்த பாடத்தில் நாம் பார்ப்போம் இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறதுமற்றும் அதை எவ்வாறு தீர்ப்பது.

இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன?

ஒரு சமன்பாட்டின் அளவு அறியப்படாதது எந்த அளவிற்கு உயர்ந்தது என்பதை தீர்மானிக்கிறது.

என்றால் அதிகபட்ச பட்டம், இதில் தெரியாதது “2”, அதாவது உங்களிடம் இருபடி சமன்பாடு உள்ளது.

இருபடி சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

"a", "b" மற்றும் "c" ஆகியவற்றைக் கண்டறிய, உங்கள் சமன்பாட்டை "ax 2 + bx + c = 0" என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவத்துடன் ஒப்பிட வேண்டும்.

இருபடி சமன்பாடுகளில் "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களை அடையாளம் காண பயிற்சி செய்வோம்.

• a = 5
• b = -14
• c = 17

• a = -7
• b = -13
• c = 8

• a = -1
• b = 1

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

போலல்லாமல் நேரியல் சமன்பாடுகள்இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க, ஒரு சிறப்பு வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்கு இது தேவைப்படும்:

• இருபடி சமன்பாட்டை குறைக்கவும் பொது தோற்றம்"ax 2 + bx + c = 0". அதாவது, வலது பக்கத்தில் "0" மட்டுமே இருக்க வேண்டும்;
• வேர்களுக்கு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிய சூத்திரத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

"x 2 - 3x - 4 = 0" என்ற சமன்பாடு ஏற்கனவே "ax 2 + bx + c = 0" என்ற பொது வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் கூடுதல் எளிமைப்படுத்தல் தேவையில்லை. அதைத் தீர்க்க, நாம் விண்ணப்பிக்க வேண்டும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்.

இந்த சமன்பாட்டிற்கான "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களைத் தீர்மானிப்போம்.

• a = 1
• b = -3
• c = -4

அவற்றை சூத்திரத்தில் மாற்றி வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.

வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்தை மனப்பாடம் செய்ய மறக்காதீர்கள்.

எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க இதைப் பயன்படுத்தலாம்.

இருபடி சமன்பாட்டின் மற்றொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

இந்த வடிவத்தில், "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களை தீர்மானிப்பது மிகவும் கடினம். முதலில் சமன்பாட்டை “ax 2 + bx + c = 0” என்ற பொது வடிவத்திற்குக் குறைப்போம்.

இப்போது நீங்கள் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு வேர்கள் இல்லாத நேரங்களும் உண்டு. சூத்திரம் மூலத்தின் கீழ் எதிர்மறை எண்ணைக் கொண்டிருக்கும்போது இந்த நிலை ஏற்படுகிறது.

ஒரு வர்க்க மூலத்தின் வரையறையிலிருந்து எதிர்மறை எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்க இயலாது என்பதை நினைவில் கொள்கிறோம்.

வேர்கள் இல்லாத இருபடி சமன்பாட்டின் உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்.

எனவே, ரூட் எதிர்மறை எண்ணைக் கொண்டிருக்கும் சூழ்நிலை உள்ளது. இதன் பொருள் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை. எனவே, பதிலுக்கு, "உண்மையான வேர்கள் இல்லை" என்று எழுதினோம்.

"உண்மையான வேர்கள் இல்லை" என்ற வார்த்தையின் அர்த்தம் என்ன? நீங்கள் ஏன் "வேர் இல்லை" என்று எழுத முடியாது?

உண்மையில், இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் வேர்கள் உள்ளன, ஆனால் அவை பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் கற்பிக்கப்படவில்லை, எனவே உண்மையான எண்களுக்கு இடையில் வேர்கள் இல்லை என்று பதிலளிக்கிறோம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், "உண்மையான வேர்கள் இல்லை."

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

சில நேரங்களில் இருபடி சமன்பாடுகள் உள்ளன, அதில் குணகங்கள் "b" மற்றும் / அல்லது "c" வெளிப்படையாக இல்லை. உதாரணமாக, இந்த சமன்பாட்டில்:

இத்தகைய சமன்பாடுகள் முழுமையற்றவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாடுகள். அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது "முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்" பாடத்தில் விவாதிக்கப்படுகிறது.

ஒரு எண்ணின் குவாட்ரன்ட் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பது இந்த கணித நிகழ்வைக் கொண்டு செய்யக்கூடிய ஒரே செயல்பாடு அல்ல. வழக்கமான எண்களைப் போலவே, வர்க்க மூலங்களும் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

சதுர வேர்களைக் கூட்டுவதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகள்

தீவிர வெளிப்பாடு ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் மட்டுமே வர்க்க மூலங்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் போன்ற செயல்பாடுகள் சாத்தியமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1

நீங்கள் வெளிப்பாடுகளை சேர்க்கலாம் அல்லது கழிக்கலாம் 2 3 மற்றும் 6 3, ஆனால் 5 6 அல்ல மற்றும் 9 4. வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கி, அதே ரேடிக்கலுடன் வேர்களாகக் குறைக்க முடிந்தால், பின்னர் எளிமைப்படுத்தவும், பின்னர் கூட்டவும் அல்லது கழிக்கவும்.

வேர்கள் கொண்ட செயல்கள்: அடிப்படைகள்

6 50 - 2 8 + 5 12

செயல் அல்காரிதம்:

1. தீவிர வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள். இதைச் செய்ய, தீவிர வெளிப்பாட்டை 2 காரணிகளாக சிதைப்பது அவசியம், அவற்றில் ஒன்று ஒரு சதுர எண் (முழு வர்க்க மூலமும் பிரித்தெடுக்கப்பட்ட எண், எடுத்துக்காட்டாக, 25 அல்லது 9).
2. பின்னர் நீங்கள் சதுர எண்ணின் மூலத்தை எடுக்க வேண்டும்மேலும் இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை மூல அடையாளத்திற்கு முன் எழுதவும். இரண்டாவது காரணி ரூட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ளிடப்பட்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க.
3. எளிமைப்படுத்தல் செயல்முறைக்குப் பிறகு, அதே தீவிர வெளிப்பாடுகளுடன் வேர்களை வலியுறுத்துவது அவசியம் - அவற்றை மட்டுமே கூட்டி கழிக்க முடியும்.
4. அதே தீவிர வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட வேர்களுக்கு, ரூட் அடையாளத்திற்கு முன் தோன்றும் காரணிகளைச் சேர்க்க வேண்டும் அல்லது கழிக்க வேண்டும். தீவிர வெளிப்பாடு மாறாமல் உள்ளது. தீவிர எண்களைக் கூட்டவோ கழிக்கவோ முடியாது!

உதவிக்குறிப்பு 1

உங்களிடம் ஒரு உதாரணம் இருந்தால் ஒரு பெரிய எண்ஒரே மாதிரியான தீவிர வெளிப்பாடுகள், கணக்கீட்டு செயல்முறையை எளிதாக்குவதற்கு ஒற்றை, இரட்டை மற்றும் மூன்று கோடுகளுடன் அத்தகைய வெளிப்பாடுகளை அடிக்கோடிட்டுக் காட்டவும்.

எடுத்துக்காட்டு 3

இந்த உதாரணத்தை தீர்க்க முயற்சிப்போம்:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. முதலில் நீங்கள் 50 ஐ 25 மற்றும் 2 காரணிகளாக சிதைக்க வேண்டும், பின்னர் 5 க்கு சமமான 25 இன் மூலத்தை எடுத்து, வேரின் கீழ் இருந்து 5 ஐ எடுக்க வேண்டும். இதற்குப் பிறகு, நீங்கள் 5 ஐ 6 ஆல் பெருக்க வேண்டும் (மூலத்தில் உள்ள காரணி) மற்றும் 30 2 ஐப் பெற வேண்டும்.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. முதலில் நீங்கள் 8 ஐ 2 காரணிகளாக சிதைக்க வேண்டும்: 4 மற்றும் 2. பின்னர் 2 க்கு சமமான 4 இலிருந்து வேரை எடுத்து, வேரின் கீழ் இருந்து 2 ஐ எடுக்கவும். இதற்குப் பிறகு, நீங்கள் 2 ஐ 2 ஆல் பெருக்க வேண்டும் (மூலத்தில் உள்ள காரணி) மற்றும் 4 2 ஐப் பெற வேண்டும்.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. முதலில் நீங்கள் 12 ஐ 2 காரணிகளாக சிதைக்க வேண்டும்: 4 மற்றும் 3. பின்னர் 4 இன் மூலத்தை பிரித்தெடுக்கவும், இது 2 க்கு சமம், மற்றும் அதை வேரின் கீழ் இருந்து அகற்றவும். இதற்குப் பிறகு, நீங்கள் 2 ஐ 5 ஆல் பெருக்க வேண்டும் (மூலத்தில் உள்ள காரணி) மற்றும் 10 3 ஐப் பெற வேண்டும்.

எளிமைப்படுத்தல் முடிவு: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

இதன் விளைவாக, எத்தனை ஒரே மாதிரியான தீவிர வெளிப்பாடுகள் உள்ளன என்பதைப் பார்த்தோம் இந்த எடுத்துக்காட்டில். இப்போது மற்ற எடுத்துக்காட்டுகளுடன் பயிற்சி செய்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4

• எளிமைப்படுத்துவோம் (45) . காரணி 45: (45) = (9 × 5) ;
• நாம் ரூட் (9 = 3) கீழ் இருந்து 3 வெளியே எடுக்கிறோம்: 45 = 3 5 ;
• வேர்களில் காரணிகளைச் சேர்க்கவும்: 3 5 + 4 5 = 7 5.

எடுத்துக்காட்டு 5

6 40 - 3 10 + 5:

• 6 40 ஐ எளிமைப்படுத்துவோம். நாங்கள் காரணி 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• ரூட்டின் கீழ் இருந்து 2 ஐ எடுக்கிறோம் (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• வேரின் முன் தோன்றும் காரணிகளை நாம் பெருக்குகிறோம்: 12 10 ;
• நாம் ஒரு எளிமையான வடிவத்தில் வெளிப்பாட்டை எழுதுகிறோம்: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• முதல் இரண்டு சொற்களும் ஒரே தீவிர எண்களைக் கொண்டிருப்பதால், அவற்றைக் கழிக்கலாம்: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

எடுத்துக்காட்டு 6

நாம் பார்ப்பது போல், தீவிர எண்களை எளிதாக்குவது சாத்தியமில்லை, எனவே எடுத்துக்காட்டில் அதே தீவிர எண்களைக் கொண்ட சொற்களைத் தேடுகிறோம், கணித செயல்பாடுகளை (சேர், கழித்தல் போன்றவை) செய்து முடிவை எழுதுகிறோம்:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

ஆலோசனை:

• கூட்டுவதற்கு அல்லது கழிப்பதற்கு முன், தீவிர வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவது (முடிந்தால்) அவசியம்.
• வெவ்வேறு தீவிர வெளிப்பாடுகளுடன் வேர்களைச் சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது கண்டிப்பாக தடைசெய்யப்பட்டுள்ளது.
• முழு எண் அல்லது மூலத்தை நீங்கள் சேர்க்கவோ கழிக்கவோ கூடாது: 3 + (2 x) 1/2 .
• பின்னங்களுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யும்போது, ​​​​ஒவ்வொரு வகுப்பினாலும் வகுபடக்கூடிய எண்ணைக் கண்டறிய வேண்டும், பின்னர் பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வந்து, பின்னர் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினரை மாற்றாமல் விடவும்.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்