சீரற்ற மாறி சூத்திரத்தின் பயன்முறை. முறை மற்றும் இடைநிலை. அளவுகள். சீரற்ற மாறிகளின் தருணங்கள். வளைவு மற்றும் குர்டோசிஸ்

ஃபேஷன்- அடிக்கடி நிகழும் அவதானிப்புகளின் தொகுப்பில் உள்ள மதிப்பு

Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),

இங்கே X Mo என்பது மாதிரி இடைவெளியின் இடது எல்லை, h Mo என்பது மாதிரி இடைவெளியின் நீளம், f Mo-1 என்பது முன்மாதிரி இடைவெளியின் அதிர்வெண், f Mo என்பது மாதிரி இடைவெளியின் அதிர்வெண், f Mo+1 என்பது பிந்தைய மாதிரி இடைவெளியின் அதிர்வெண்.

முற்றிலும் தொடர்ச்சியான விநியோக முறை எந்தப் புள்ளியும் ஆகும் உள்ளூர் அதிகபட்சம்விநியோக அடர்த்தி. க்கு தனித்துவமான விநியோகங்கள்ஒரு பயன்முறை எந்த மதிப்பாக கருதப்படுகிறது a i, இதன் நிகழ்தகவு அண்டை மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளை விட p i அதிகமாக உள்ளது

இடைநிலைதொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி எக்ஸ்அதன் மதிப்பு Me என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதற்காக சீரற்ற மாறி குறைவாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ இருக்கும் மெஹ், அதாவது

M e =(n+1)/2 பி(எக்ஸ் < நான்) = பி(எக்ஸ் > மெஹ்)

சீராக விநியோகிக்கப்படும் NSV

சீரான விநியோகம்.ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி அதன் பரவல் அடர்த்தி செயல்பாட்டின் (படம். 1.6,) பிரிவில் () ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. ஏ) வடிவம் உள்ளது:

பதவி: – SV ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது.

அதன்படி, பிரிவில் விநியோக செயல்பாடு (படம் 1.6, பி):

அரிசி. 1.6 ஒரு சீரற்ற மாறியின் செயல்பாடுகள் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது [ அ,பி]: ஏ- நிகழ்தகவு அடர்த்தி f(x); பி- விநியோகம் எஃப்(x)

கொடுக்கப்பட்ட SV இன் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறல் வெளிப்பாடுகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

அடர்த்தி செயல்பாட்டின் சமச்சீர் காரணமாக, இது இடைநிலையுடன் ஒத்துப்போகிறது. முறைகளுக்கு சீரான விநியோகம் இல்லை

எடுத்துக்காட்டு 4. பதிலுக்காக காத்திருக்கும் நேரம் தொலைபேசி அழைப்பு- 0 முதல் 2 நிமிடங்கள் வரையிலான இடைவெளியில் சீரான விநியோகச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படியும் ஒரு சீரற்ற மாறி. ஒருங்கிணைந்த மற்றும் கண்டுபிடிக்கவும் வேறுபட்ட செயல்பாடுஇந்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகம்.

27.நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் இயல்பான சட்டம்

ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி x ஆனது அளவுருக்களுடன் இயல்பான பரவலைக் கொண்டுள்ளது: m,s > 0, நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி வடிவம் இருந்தால்:

எங்கே: m - கணித எதிர்பார்ப்பு, s - நிலையான விலகல்.

ஜேர்மன் கணிதவியலாளர் காஸின் பெயரால் சாதாரண விநியோகம் காசியன் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு சீரற்ற மாறியானது அளவுருக்களுடன் இயல்பான பரவலைக் கொண்டுள்ளது: m, , பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: N (m,s), எங்கே: m=a=M[X];

பெரும்பாலும் சூத்திரங்களில், கணித எதிர்பார்ப்பு குறிக்கப்படுகிறது ஏ . N(0,1) சட்டத்தின்படி சீரற்ற மாறிகள் விநியோகிக்கப்பட்டால், அது இயல்பாக்கப்பட்ட அல்லது தரப்படுத்தப்பட்ட சாதாரண மாறி எனப்படும். அதற்கான விநியோக செயல்பாடு படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் அடர்த்தி வரைபடம், இது ஒரு சாதாரண வளைவு அல்லது காசியன் வளைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது, படம் 5.4 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

அரிசி. 5.4 சாதாரண விநியோக அடர்த்தி

பண்புகள்சீரற்ற மாறி ஒரு சாதாரண விநியோக விதியைக் கொண்டுள்ளது.

1. என்றால், கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் இந்த மதிப்பின் நிகழ்தகவைக் கண்டறிய ( x 1 ; x 2) சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

2. ஒரு சீரற்ற மாறியின் விலகல் அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு மதிப்பை விட அதிகமாக இருக்காது (ஆல் முழுமையான மதிப்பு), சமம்.

கணித எதிர்பார்ப்பு. கணித எதிர்பார்ப்புதனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ், வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது எக்ஸ்iநிகழ்தகவுகளுடன் ஆர்i, தொகை அழைக்கப்படுகிறது:

கணித எதிர்பார்ப்புதொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி எக்ஸ்அதன் மதிப்புகளின் உற்பத்தியின் ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ்நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி மீது f(x):

(6பி)

முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு (6 பி) முற்றிலும் ஒன்றிணைந்ததாகக் கருதப்படுகிறது (இல்லையெனில் அவர்கள் கணித எதிர்பார்ப்பு என்று கூறுகிறார்கள் எம்(எக்ஸ்) இல்லை). கணித எதிர்பார்ப்பு வகைப்படுத்துகிறது சராசரி மதிப்புசீரற்ற மாறி எக்ஸ். அதன் பரிமாணம் சீரற்ற மாறியின் பரிமாணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது.

கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகள்:

சிதறல். மாறுபாடுசீரற்ற மாறி எக்ஸ்எண் அழைக்கப்படுகிறது:

மாறுபாடு உள்ளது சிதறல் பண்புசீரற்ற மாறி மதிப்புகள் எக்ஸ்அதன் சராசரி மதிப்புடன் தொடர்புடையது எம்(எக்ஸ்) மாறுபாட்டின் பரிமாணம் ரேண்டம் மாறி ஸ்கொயர்களின் பரிமாணத்திற்கு சமம். ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறிக்கான மாறுபாடு (8) மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு (5) மற்றும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கான (6) ஆகியவற்றின் வரையறைகளின் அடிப்படையில், மாறுபாட்டிற்கான ஒத்த வெளிப்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்:

(9)

இங்கே மீ = எம்(எக்ஸ்).

சிதறல் பண்புகள்:

நிலையான விலகல்:

(11)

நிலையான விலகல் ஒரு சீரற்ற மாறியின் அதே பரிமாணத்தைக் கொண்டிருப்பதால், இது பெரும்பாலும் மாறுபாட்டை விட சிதறலின் அளவீடாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

விநியோக தருணங்கள். கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறல் பற்றிய கருத்துக்கள் இன்னும் சிறப்பு நிகழ்வுகளாகும் பொதுவான கருத்துஎண் பண்புகளுக்கு சீரற்ற மாறிகள் – விநியோக தருணங்கள். ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தின் தருணங்கள் ஒரு சீரற்ற மாறியின் சில எளிய செயல்பாடுகளின் கணித எதிர்பார்ப்புகளாக அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. எனவே, உத்தரவின் தருணம் கேபுள்ளியுடன் தொடர்புடையது எக்ஸ் 0 என்பது கணித எதிர்பார்ப்பு எனப்படும் எம்(எக்ஸ்–எக்ஸ் 0 )கே. தோற்றம் பற்றிய தருணங்கள் எக்ஸ்= 0 அழைக்கப்படுகிறது ஆரம்ப தருணங்கள்மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளன:

(12)

முதல் வரிசையின் ஆரம்ப தருணம் பரிசீலனையில் உள்ள சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தின் மையமாகும்:

(13)

விநியோக மையம் பற்றிய தருணங்கள் எக்ஸ்= மீஅழைக்கப்படுகின்றன மைய புள்ளிகள்மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளன:

(14)

(7) இலிருந்து, முதல்-வரிசை மையத் தருணம் எப்போதும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:

சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் தோற்றத்தை மைய தருணங்கள் சார்ந்து இல்லை, ஏனெனில் நிலையான மதிப்பால் மாற்றப்படும் உடன்அதன் விநியோக மையம் அதே மதிப்பில் மாறுகிறது உடன், மற்றும் மையத்திலிருந்து விலகல் மாறாது: எக்ஸ் – மீ = (எக்ஸ் – உடன்) – (மீ – உடன்).
இப்போது அது தெளிவாகிறது சிதறல்- இது இரண்டாவது வரிசை மைய தருணம்:

சமச்சீரற்ற தன்மை. மூன்றாம் வரிசை மைய தருணம்:

(17)

மதிப்பீட்டிற்கு உதவுகிறது விநியோக சமச்சீரற்ற தன்மை. விநியோகம் புள்ளியைப் பற்றி சமச்சீராக இருந்தால் எக்ஸ்= மீ, பின்னர் மூன்றாம் வரிசை மையத் தருணம் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும் (ஒற்றைப்படை வரிசைகளின் அனைத்து மையத் தருணங்களைப் போல). எனவே, மூன்றாம் வரிசை மையத் தருணம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால், விநியோகம் சமச்சீராக இருக்க முடியாது. சமச்சீரற்ற தன்மையின் அளவு பரிமாணமற்றதைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடப்படுகிறது சமச்சீரற்ற குணகம்:

(18)

சமச்சீரற்ற குணகத்தின் அடையாளம் (18) வலது அல்லது இடது பக்க சமச்சீரற்ற தன்மையைக் குறிக்கிறது (படம் 2).

அரிசி. 2. விநியோக சமச்சீரற்ற வகைகள்.

அதிகப்படியான. மைய தருணம் நான்காவது வரிசை:

(19)

என்று அழைக்கப்படுவதை மதிப்பீடு செய்ய உதவுகிறது அதிகப்படியான, இது சாதாரண விநியோக வளைவுடன் தொடர்புடைய விநியோகத்தின் மையத்திற்கு அருகிலுள்ள விநியோக வளைவின் செங்குத்தான (உச்சநிலை) அளவை தீர்மானிக்கிறது. ஒரு சாதாரண விநியோகத்திற்காக, குர்டோசிஸாக எடுக்கப்பட்ட மதிப்பு:

(20)

படத்தில். 3 உடன் விநியோக வளைவுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் காட்டுகிறது வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்அதிகப்படியான. சாதாரண விநியோகத்திற்காக ஈ= 0. இயல்பை விட அதிக உச்சத்தில் இருக்கும் வளைவுகள் நேர்மறை குர்டோசிஸைக் கொண்டிருக்கின்றன, மேலும் தட்டையான மேல்புறத்தில் உள்ளவை எதிர்மறை குர்டோசிஸ் கொண்டவை.

அரிசி. 3. செங்குத்தான (குர்டோசிஸ்) மாறுபடும் டிகிரி கொண்ட விநியோக வளைவுகள்.

அதிக ஆர்டர்களின் தருணங்கள் பொறியியல் பயன்பாடுகள்கணித புள்ளிவிவரங்கள் பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுவதில்லை.

ஃபேஷன் தனித்தனிஒரு சீரற்ற மாறி அதன் மிகவும் சாத்தியமான மதிப்பு. ஃபேஷன் தொடர்ச்சியானஒரு சீரற்ற மாறி என்பது நிகழ்தகவு அடர்த்தி அதிகபட்சமாக இருக்கும் அதன் மதிப்பு (படம் 2). விநியோக வளைவில் அதிகபட்சம் ஒன்று இருந்தால், விநியோகம் அழைக்கப்படுகிறது ஒரே மாதிரியான. ஒரு விநியோக வளைவில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அதிகபட்சம் இருந்தால், விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது பலவகை. சில நேரங்களில் வளைவுகள் அதிகபட்சத்தை விட குறைந்தபட்சம் கொண்ட விநியோகங்கள் உள்ளன. இத்தகைய விநியோகங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன எதிர்ப்பு மாதிரி. பொதுவான வழக்கில், ஒரு சீரற்ற மாறியின் பயன்முறை மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகியவை ஒத்துப்போவதில்லை. சிறப்பு வழக்கில், க்கான மாதிரி, அதாவது ஒரு பயன்முறை, சமச்சீர் விநியோகம் மற்றும் ஒரு கணித எதிர்பார்ப்பு இருந்தால், பிந்தையது விநியோக முறை மற்றும் சமச்சீர் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது.

இடைநிலை சீரற்ற மாறி எக்ஸ்- இதுதான் அதன் பொருள் மெஹ், இதற்கு சமத்துவம் உள்ளது: அதாவது. சீரற்ற மாறி என்பது சமமாக சாத்தியமாகும் எக்ஸ்குறைவாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ இருக்கும் மெஹ். வடிவியல் ரீதியாக சராசரிவிநியோக வளைவின் கீழ் பகுதி பாதியாக பிரிக்கப்பட்ட புள்ளியின் abscissa ஆகும் (படம் 2). சமச்சீர் மாதிரி விநியோகத்தில், இடைநிலை, பயன்முறை மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகியவை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

ஃபேஷன்()ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் மதிப்பு அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்தியின் அதிகபட்ச மதிப்புடன் ஒத்துப்போகிறது.

சராசரி()ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி என்பது சமத்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படும் அதன் மதிப்பு:

B15. ஈருறுப்புப் பரவல் சட்டம் மற்றும் அதன் எண்ணியல் பண்புகள். இருவகைப் பரவல் மீண்டும் மீண்டும் சுயாதீன சோதனைகளை விவரிக்கிறது. இந்த சட்டம் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வை ஒருமுறை தீர்மானிக்கிறது சுயாதீன சோதனைகள், இந்த ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு சோதனையிலிருந்து பரிசோதனைக்கு மாறாமல் இருந்தால். நிகழ்தகவு:

,

எங்கே: ஒரு பரிசோதனையில் நிகழ்வின் அறியப்பட்ட நிகழ்தகவு, இது பரிசோதனையிலிருந்து பரிசோதனைக்கு மாறாது;

- பரிசோதனையில் ஒரு நிகழ்வு நிகழாத நிகழ்தகவு;

- சோதனைகளில் நிகழ்வின் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான நிகழ்வுகள்;

- மூலம் உறுப்புகளின் சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை.

B15. சீரான விநியோக சட்டம், விநியோக செயல்பாடு மற்றும் அடர்த்தியின் வரைபடங்கள், எண் பண்புகள். தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி கருதப்படுகிறது சமமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது, அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி வடிவம் இருந்தால்:

எதிர்பார்ப்புசீரற்ற மாறி ஒரு சீரான விநியோகம்:

சிதறல்பின்வருமாறு கணக்கிடலாம்:

நிலையான விலகல்இது போல் இருக்கும்:

.

B17. அதிவேக விநியோக சட்டம், விநியோக செயல்பாடு மற்றும் அடர்த்தியின் வரைபடங்கள், எண் பண்புகள். அதிவேக விநியோகம்தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி என்பது விவரிக்கப்பட்ட ஒரு விநியோகமாகும் பின்வரும் வெளிப்பாட்டுடன்நிகழ்தகவு அடர்த்திக்கு:

,

நிலையான நேர்மறை மதிப்பு எங்கே.

இந்த வழக்கில் நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது:

ஒரு அதிவேகப் பரவலுடன் கூடிய சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு பொதுவான சூத்திரத்தின் அடிப்படையில் பெறப்படுகிறது, இது எப்போது:

.

இந்த வெளிப்பாட்டை பகுதிகளாக ஒருங்கிணைத்து, நாம் காண்கிறோம்:

க்கான மாறுபாடு அதிவேக விநியோகம்வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி பெறலாம்:

.

நிகழ்தகவு அடர்த்திக்கான வெளிப்பாட்டை மாற்றுவதன் மூலம், நாம் காண்கிறோம்:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு, நாம் பெற:

B16. இயல்பான விநியோக சட்டம், விநியோக செயல்பாடு மற்றும் அடர்த்தியின் வரைபடங்கள். நிலையான சாதாரண விநியோகம். சாதாரண விநியோக செயல்பாடு பிரதிபலிக்கிறது. இயல்பானதுஒரு சீரற்ற மாறியின் அத்தகைய விநியோகம் அழைக்கப்படுகிறது, இதன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி காசியன் செயல்பாட்டால் விவரிக்கப்படுகிறது:

நிலையான விலகல் எங்கே;

- ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு.

B18. மார்கோவின் சமத்துவமின்மை. செபிஷேவ் சமத்துவமின்மையை பொதுமைப்படுத்தியது. ஒரு சீரற்ற மாறி என்றால் எக்ஸ்உள்ளது, அது யாருக்கும் உண்மை மார்கோவ் சமத்துவமின்மை .

இருந்து பின்வருமாறு செபிஷேவ் சமத்துவமின்மையை பொதுமைப்படுத்தியது: செயல்பாடு ஒரே மாதிரியாக அதிகரித்து மற்றும் எதிர்மறையாக இருக்கட்டும். ஒரு சீரற்ற மாறி என்றால் எக்ஸ்உள்ளது, பின்னர் சமத்துவமின்மை யாருக்கும் செல்லுபடியாகும் .

B19. சட்டம் பெரிய எண்கள்செபிஷேவ் வடிவத்தில். அதன் பொருள். செபிஷேவ் வடிவத்தில் பெரிய எண்களின் சட்டத்தின் தொடர்ச்சி. பெர்னோலி வடிவத்தில் பெரிய எண்களின் சட்டம். கீழ் பெரிய எண்களின் சட்டம்நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், பல தேற்றங்கள் புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன, அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு அதிக எண்ணிக்கையிலான சோதனை தரவுகளின் சராசரி மதிப்பின் அறிகுறியற்ற தோராயத்தின் உண்மையை நிறுவுகிறது. இந்த கோட்பாடுகளின் சான்றுகள் செபிஷேவின் சமத்துவமின்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. சாத்தியமான மதிப்புகளைக் கொண்ட தனித்துவமான சீரற்ற மாறியைக் கருத்தில் கொண்டு இந்த சமத்துவமின்மையை பெறலாம்.

தேற்றம். இருக்கட்டும் இறுதி வரிசை சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள், அதே கணித எதிர்பார்ப்புமற்றும் சிதறல்கள் ஒரே மாறிலிக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டவை:

பின்னர், எந்த எண்ணாக இருந்தாலும், நிகழ்வின் நிகழ்தகவு

இல் ஒற்றுமையை போக்குகிறது.

செபிஷேவின் தேற்றம் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டிற்கு இடையே ஒரு தொடர்பை நிறுவுகிறது, இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் முழு தொகுப்பின் சராசரி பண்புகளையும் கருதுகிறது, மேலும் கணித புள்ளிவிவரங்கள், இந்த அளவின் வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுடன் இயங்குகிறது. சில சீரற்ற மாறியின் போதுமான அளவு அளவீடுகளுக்கு, சராசரி என்று இது காட்டுகிறது எண்கணித மதிப்புகள்இந்த அளவீடுகள் கணித எதிர்பார்ப்பை நெருங்குகிறது.

B20. கணித புள்ளிவிவரங்களின் பொருள் மற்றும் பணிகள். பொது மற்றும் மாதிரி மக்கள் தொகை. தேர்வு முறை. கணித புள்ளிவிவரங்கள்- அறிவியல் கணித முறைகள்நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் அறிவியல் மற்றும் நடைமுறை முடிவுகளுக்கு புள்ளியியல் தரவுகளை முறைப்படுத்துதல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்.

கணித புள்ளியியல் ஆய்வுக்கான பொருள்கள் சீரற்ற நிகழ்வுகள், அளவுகள் மற்றும் செயல்பாடுகள் ஆகியவை பரிசீலனையில் உள்ள சீரற்ற நிகழ்வை வகைப்படுத்துகின்றன. பின்வரும் நிகழ்வுகள் சீரற்றவை: ஒரு டிக்கெட்டில் வெற்றி பண லாட்டரி, நிறுவப்பட்ட தேவைகளுடன் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட தயாரிப்புக்கு இணங்குதல், அதன் செயல்பாட்டின் முதல் மாதத்தில் வாகனத்தின் சிக்கல் இல்லாத செயல்பாடு, தினசரி வேலை அட்டவணையை ஒப்பந்தக்காரரால் நிறைவேற்றுதல்.

மாதிரி மக்கள் தொகை தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பொருட்களின் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பொது மக்கள்மாதிரி செய்யப்பட்ட பொருட்களின் தொகுப்பிற்கு பெயரிடவும்.

B21. தேர்வு முறைகள்.

தேர்வு முறைகள்: 1 துண்டித்தல் தேவையில்லாத தேர்வு மக்கள் தொகைதுண்டுகளாக. இதில் அ) திரும்பத் திரும்பச் செய்யாமல் எளிய சீரற்ற மாதிரி மற்றும் ஆ) எளிய சீரற்ற திரும்பத் திரும்ப மாதிரி. 2) தேர்வு, இதில் மக்கள் தொகை பகுதிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. இதில் அ) வழக்கமான தேர்வு, ஆ) இயந்திர தேர்வு மற்றும் இ) தொடர் தேர்வு ஆகியவை அடங்கும்.

எளிய சீரற்றதேர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் மக்கள் தொகையிலிருந்து ஒரு நேரத்தில் பொருள்கள் பிரித்தெடுக்கப்படுகின்றன.

வழக்கமானதேர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் பொருள்கள் முழு மக்களிடமிருந்தும் தேர்ந்தெடுக்கப்படவில்லை, ஆனால் அதன் ஒவ்வொரு "வழக்கமான" பகுதிகளிலிருந்தும் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன.

இயந்திரவியல்தேர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் மாதிரியில் சேர்க்கப்பட வேண்டிய பொருள்களின் எண்ணிக்கையில் மக்கள்தொகை இயந்திரத்தனமாக பல குழுக்களாகப் பிரிக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு குழுவிலிருந்தும் ஒரு பொருள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது.

தொடர்தேர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் பொது மக்களிடமிருந்து பொருள்கள் ஒரு நேரத்தில் ஒன்று அல்ல, ஆனால் தொடர்ச்சியான கணக்கெடுப்புக்கு உட்பட்ட "தொடர்களில்" தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன.

B22. புள்ளியியல் மற்றும் மாறுபாடு தொடர். அனுபவ விநியோக செயல்பாடு மற்றும் அதன் பண்புகள். மாறுபாடு தொடர்தனித்துவமான மற்றும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கு. பொது மக்களிடமிருந்து ஒரு மாதிரி பிரித்தெடுக்கப்படட்டும், மேலும் ஆய்வு செய்யப்படும் அளவுருவின் மதிப்பு ஒரு முறை, - ஒருமுறை, முதலியன கவனிக்கப்பட்டது. மேலும், மாதிரி அளவு. கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன விருப்பங்கள், மற்றும் ஏறுவரிசையில் எழுதப்பட்ட விருப்பங்களின் வரிசை மாறுபாடு தொடர் . அவதானிப்புகளின் எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன அதிர்வெண்கள், மற்றும் மாதிரி அளவுடன் அவற்றின் உறவு - தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள்.மாறுபாடு தொடர்இது போன்ற அட்டவணை மூலம் குறிப்பிடலாம்:

புள்ளிவிவர மாதிரி விநியோகம்விருப்பங்களின் பட்டியலையும் அவற்றின் தொடர்புடைய அதிர்வெண்களையும் பெயரிடுங்கள். புள்ளிவிவர விநியோகம் பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படலாம்:

தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள் எங்கே.

அனுபவ செயல்பாடுவிநியோகம்ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் x நிகழ்வின் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண்ணை நிர்ணயிக்கும் செயல்பாட்டை அழைக்கவும்

சீரற்ற மாறிகளின் எண் பண்புகளில், முதலில், எண் அச்சில் சீரற்ற மாறியின் நிலையைக் குறிப்பிடுவது அவசியம், அதாவது. ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளும் தொகுக்கப்பட்ட சில சராசரி, தோராயமான மதிப்பைக் குறிக்கவும்.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் சராசரி மதிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணாகும், அது போலவே, அதன் "பிரதிநிதி" மற்றும் தோராயமான தோராயமான கணக்கீடுகளில் அதை மாற்றுகிறது. "சராசரி விளக்கு இயக்க நேரம் 100 மணிநேரம்" அல்லது "இலக்கு 2 மீ வலப்பக்கமாக தாக்கத்தின் சராசரி புள்ளி மாற்றப்படுகிறது" என்று நாம் கூறும்போது, ​​அதன் இருப்பிடத்தை விவரிக்கும் ஒரு சீரற்ற மாறியின் குறிப்பிட்ட எண் பண்புகளைக் குறிப்பிடுகிறோம். எண் அச்சில், அதாவது. "நிலை பண்புகள்".

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் உள்ள ஒரு நிலையின் பண்புகளில், ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பால் மிக முக்கியமான பங்கு வகிக்கப்படுகிறது, இது சில நேரங்களில் ஒரு சீரற்ற மாறியின் சராசரி மதிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நிகழ்தகவுகளுடன் சாத்தியமான மதிப்புகளைக் கொண்ட தனித்துவமான சீரற்ற மாறியைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த மதிப்புகள் வெவ்வேறு நிகழ்தகவுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன என்ற உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, x- அச்சில் ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் நிலையை நாம் சில எண்ணிக்கையுடன் வகைப்படுத்த வேண்டும். இந்த நோக்கத்திற்காக, மதிப்புகளின் "எடையிடப்பட்ட சராசரி" என்று அழைக்கப்படுவது இயற்கையானது, மேலும் சராசரியின் போது ஒவ்வொரு மதிப்பும் இந்த மதிப்பின் நிகழ்தகவுக்கு விகிதாசாரமாக "எடை" கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும். எனவே, சீரற்ற மாறியின் சராசரியைக் கணக்கிடுவோம், இதை நாம் குறிப்போம்:

அல்லது, கொடுக்கப்பட்ட,

. (5.6.1)

இந்த எடையுள்ள சராசரி சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் மிக முக்கியமான கருத்துகளில் ஒன்றை நாங்கள் கருத்தில் கொண்டோம் - கணித எதிர்பார்ப்பு என்ற கருத்து.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு என்பது ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளின் தயாரிப்புகள் மற்றும் இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.

மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் வரையறை செல்லுபடியாகும், கண்டிப்பாகச் சொன்னால், தனித்த சீரற்ற மாறிகளுக்கு மட்டுமே; கீழே நாம் இந்த கருத்தை தொடர்ச்சியான அளவுகளுக்கு பொதுமைப்படுத்துவோம்.

கணித எதிர்பார்ப்பு என்ற கருத்தை இன்னும் தெளிவாக்க, தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தின் இயந்திர விளக்கத்திற்கு வருவோம். abscissa அச்சில் abscissas கொண்ட புள்ளிகள் இருக்கட்டும், அதில் வெகுஜனங்கள் முறையே, மற்றும் . பின்னர், வெளிப்படையாக, சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட கணித எதிர்பார்ப்பு (5.6.1) என்பது பொருள் புள்ளிகளின் கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பின் ஈர்ப்பு மையத்தின் அப்சிஸ்ஸாவைத் தவிர வேறில்லை.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு, ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான சோதனைகளில் சீரற்ற மாறியின் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியுடன் ஒரு விசித்திரமான சார்பு மூலம் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த சார்பு அதிர்வெண் மற்றும் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான சார்பு வகையைச் சார்ந்தது, அதாவது: அதிக எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள் மூலம், ஒரு சீரற்ற மாறியின் அனுசரிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரி அதன் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு (நிகழ்தகவில் ஒன்றிணைகிறது). அதிர்வெண் மற்றும் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான இணைப்பு இருப்பதிலிருந்து, எண்கணித சராசரிக்கும் கணித எதிர்பார்ப்புக்கும் இடையில் ஒரே மாதிரியான இணைப்பு இருப்பதை ஒருவர் அதன் விளைவாகக் கண்டறியலாம்.

உண்மையில், ஒரு விநியோகத் தொடரால் வகைப்படுத்தப்படும் தனித்துவமான சீரற்ற மாறியைக் கவனியுங்கள்:

எங்கே .

சுயாதீன சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்படட்டும், ஒவ்வொன்றிலும் அளவு ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை எடுக்கும். மதிப்பு ஒரு முறை தோன்றியது, மதிப்பு ஒரு முறை தோன்றியது, மதிப்பு ஒரு முறை தோன்றியது என்று வைத்துக் கொள்வோம். வெளிப்படையாக,

அளவின் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடுவோம், இது கணித எதிர்பார்ப்புக்கு மாறாக, நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம்:

ஆனால் நிகழ்வின் அதிர்வெண் (அல்லது புள்ளியியல் நிகழ்தகவு) தவிர வேறு எதுவும் இல்லை; இந்த அதிர்வெண் குறிக்கப்படலாம். பிறகு

,

அந்த. ஒரு சீரற்ற மாறியின் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியானது சீரற்ற மாறியின் அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் இந்த மதிப்புகளின் அதிர்வெண்களுக்கு சமம்.

சோதனைகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, ​​அதிர்வெண்கள் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளை அணுகும் (நிகழ்தகவில் ஒன்றிணைகின்றன). இதன் விளைவாக, ஒரு சீரற்ற மாறியின் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியானது, சோதனைகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது அதன் கணித எதிர்பார்ப்பை அணுகும் (நிகழ்தகவில் ஒன்றிணைகிறது).

மேலே வடிவமைக்கப்பட்ட எண்கணித சராசரிக்கும் கணித எதிர்பார்ப்புக்கும் இடையிலான தொடர்பு பெரிய எண்களின் சட்டத்தின் வடிவங்களில் ஒன்றின் உள்ளடக்கத்தை உருவாக்குகிறது. இந்தச் சட்டத்தின் கடுமையான ஆதாரத்தை அத்தியாயம் 13ல் தருவோம்.

பெரிய எண்களின் சட்டத்தின் அனைத்து வடிவங்களும் அதிக எண்ணிக்கையிலான சோதனைகளில் சில சராசரிகள் நிலையானதாக இருப்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம். அதே அளவின் தொடர்ச்சியான அவதானிப்புகளிலிருந்து எண்கணித சராசரியின் நிலைத்தன்மையைப் பற்றி இங்கே பேசுகிறோம். சிறிய எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள் மூலம், அவற்றின் முடிவுகளின் எண்கணித சராசரி சீரற்றது; சோதனைகளின் எண்ணிக்கையில் போதுமான அதிகரிப்புடன், அது "கிட்டத்தட்ட சீரற்றதாக" மாறி, நிலைப்படுத்தி, ஒரு நிலையான மதிப்பை அணுகுகிறது - கணித எதிர்பார்ப்பு.

அதிக எண்ணிக்கையிலான சோதனைகளில் சராசரிகளின் நிலைத்தன்மையை எளிதாக சோதனை முறையில் சரிபார்க்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ஆய்வகத்தில் துல்லியமான அளவீடுகளில் உடலை எடைபோடும்போது, ​​எடையின் விளைவாக ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு புதிய மதிப்பைப் பெறுகிறோம்; கவனிப்பு பிழையைக் குறைக்க, உடலை பல முறை எடைபோட்டு, பெறப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியைப் பயன்படுத்துகிறோம். சோதனைகளின் எண்ணிக்கையில் (எடைகள்) மேலும் அதிகரிப்புடன், எண்கணித சராசரி இந்த அதிகரிப்புக்கு குறைவாகவும் குறைவாகவும் வினைபுரிகிறது மற்றும் போதுமான எண்ணிக்கையிலான சோதனைகளுடன், நடைமுறையில் மாறுவதை நிறுத்துகிறது.

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான ஃபார்முலா (5.6.1) தனித்த சீரற்ற மாறியின் வழக்குக்கு ஒத்திருக்கிறது. ஒரு தொடர்ச்சியான அளவிற்கு, கணித எதிர்பார்ப்பு இயற்கையாகவே ஒரு தொகையாக அல்ல, ஆனால் ஒரு ஒருங்கிணைந்ததாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

, (5.6.2)

அளவின் பரவல் அடர்த்தி எங்கே.

ஃபார்முலா (5.6.2) சூத்திரத்திலிருந்து (5.6.1) பெறப்படுகிறது, அதில் உள்ள தனிப்பட்ட மதிப்புகள் தொடர்ந்து மாறிவரும் அளவுரு x ஆல் மாற்றப்பட்டால், தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள் - நிகழ்தகவு உறுப்பு மற்றும் இறுதித் தொகை - ஒருங்கிணைப்பால். எதிர்காலத்தில், இடைவிடாத அளவுகளுக்கு பெறப்பட்ட சூத்திரங்களை தொடர்ச்சியான அளவுகளுக்கு நீட்டிக்கும் இந்த முறையை அடிக்கடி பயன்படுத்துவோம்.

இயந்திர விளக்கத்தில், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு அதே பொருளைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது - ஈர்ப்பு மையத்தின் அப்சிஸ்ஸா, அடர்த்தியுடன், அப்சிஸ்ஸாவுடன் நிறை தொடர்ந்து விநியோகிக்கப்படும் போது . இந்த விளக்கமானது, எளிமையான இயந்திரக் கருத்தாய்வுகளிலிருந்து, ஒருங்கிணைப்பை (5.6.2) கணக்கிடாமல் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறிய ஒருவரை அனுமதிக்கிறது.

மேலே நாம் அளவின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்தினோம். பல சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணாக சூத்திரங்களில் ஒரு அளவு சேர்க்கப்படும்போது, ​​​​அதை ஒரு எழுத்தில் குறிப்பிடுவது மிகவும் வசதியானது. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு மதிப்பின் கணித எதிர்பார்ப்பை நாம் பின்வருமாறு குறிப்பிடுவோம்:

சூத்திரங்களின் குறிப்பிட்ட பதிவின் வசதியைப் பொறுத்து, குறிப்புகள் மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்புகள் எதிர்காலத்தில் இணையாகப் பயன்படுத்தப்படும். தேவைப்பட்டால், "கணித எதிர்பார்ப்பு" என்ற வார்த்தைகளை m.o என்ற எழுத்துக்களுடன் சுருக்கவும் ஒப்புக்கொள்வோம்.

ஒரு நிலையின் மிக முக்கியமான பண்பு - கணித எதிர்பார்ப்பு - அனைத்து சீரற்ற மாறிகளுக்கும் இல்லை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். கணித எதிர்பார்ப்பு இல்லாத சீரற்ற மாறிகளின் உதாரணங்களைத் தொகுக்க முடியும், ஏனெனில் தொடர்புடைய கூட்டுத்தொகை அல்லது முழுமை வேறுபடுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, விநியோகத் தொடருடன் இடைவிடாத சீரற்ற மாறியைக் கவனியுங்கள்:

அதைச் சரிபார்ப்பது எளிது, அதாவது. விநியோகத் தொடர் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது; இருப்பினும், இந்த வழக்கில் கூட்டுத்தொகை வேறுபடுகிறது, எனவே, மதிப்பின் கணித எதிர்பார்ப்பு இல்லை. இருப்பினும், இதுபோன்ற வழக்குகள் நடைமுறையில் குறிப்பிடத்தக்க ஆர்வத்தை ஏற்படுத்தாது. பொதுவாக, நாம் கையாளும் சீரற்ற மாறிகள் சாத்தியமான மதிப்புகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பைக் கொண்டுள்ளன, நிச்சயமாக, ஒரு கணித எதிர்பார்ப்பு உள்ளது.

மேலே நாம் சூத்திரங்களை (5.6.1) மற்றும் (5.6.2) கொடுத்தோம், இது முறையே தொடர்ச்சியற்ற மற்றும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கான கணித எதிர்பார்ப்பை வெளிப்படுத்துகிறது.

ஒரு அளவு ஒரு கலப்பு வகையின் அளவுகளுக்கு சொந்தமானது என்றால், அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு படிவத்தின் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

, (5.6.3)

விநியோகச் செயல்பாடு இடைவிடாமல் இருக்கும் அனைத்துப் புள்ளிகளுக்கும் கூட்டுத்தொகை நீட்டிக்கப்படுகிறது, மேலும் விநியோகச் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும் அனைத்துப் பகுதிகளுக்கும் ஒருங்கிணைவு நீண்டுள்ளது.

ஒரு நிலையின் குணாதிசயங்களில் மிக முக்கியமானவற்றைத் தவிர - கணித எதிர்பார்ப்பு - நடைமுறையில், நிலையின் பிற பண்புகள் சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, குறிப்பாக, ஒரு சீரற்ற மாறியின் பயன்முறை மற்றும் சராசரி.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் பயன்முறை அதன் மிகவும் சாத்தியமான மதிப்பு. "மிகவும் சாத்தியமான மதிப்பு" என்ற சொல் கண்டிப்பாகப் பேசும் போது இடைவிடாத அளவுகளுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்; ஒரு தொடர்ச்சியான அளவிற்கு, பயன்முறை என்பது நிகழ்தகவு அடர்த்தி அதிகபட்சமாக இருக்கும் மதிப்பாகும். கடிதத்தால் பயன்முறையைக் குறிக்க ஒப்புக்கொள்வோம். படத்தில். 5.6.1 மற்றும் 5.6.2 ஆகியவை முறையே இடைவிடாத மற்றும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கான பயன்முறையைக் காட்டுகின்றன.

பரவல் பலகோணம் (விநியோக வளைவு) ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அதிகபட்சம் இருந்தால், விநியோகம் "மல்டிமாடல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது (படம் 5.6.3 மற்றும் 5.6.4).

சில நேரங்களில் அதிகபட்சம் (படம் 5.6.5 மற்றும் 5.6.6) விட நடுவில் குறைந்தபட்சம் இருக்கும் விநியோகங்கள் உள்ளன. இத்தகைய விநியோகங்கள் "எதிர்ப்பு மாதிரி" என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஆண்டிமோடல் விநியோகத்திற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு, எடுத்துக்காட்டு 5, n° 5.1 இல் பெறப்பட்ட விநியோகமாகும்.

பொதுவான வழக்கில், ஒரு சீரற்ற மாறியின் பயன்முறை மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகியவை ஒத்துப்போவதில்லை. குறிப்பிட்ட வழக்கில், விநியோகம் சமச்சீர் மற்றும் மாதிரி (அதாவது ஒரு பயன்முறையைக் கொண்டுள்ளது) மற்றும் ஒரு கணித எதிர்பார்ப்பு இருக்கும்போது, ​​அது விநியோகத்தின் முறை மற்றும் சமச்சீர் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது.

மற்றொரு நிலை பண்பு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது - ஒரு சீரற்ற மாறியின் சராசரி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த பண்பு வழக்கமாக தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளுக்கு மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது, இருப்பினும் இது ஒரு இடைவிடாத மாறிக்கு முறையாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் சராசரி அதன் மதிப்பாகும்

அந்த. ரேண்டம் மாறி குறைவாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ இருக்க வாய்ப்புள்ளது. வடிவியல் ரீதியாக, இடைநிலை என்பது பரவல் வளைவால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதி பாதியாகப் பிரிக்கப்படும் புள்ளியின் abscissa ஆகும் (படம் 5.6.7).