மொத்த மாறுபாடு மாறுபாட்டை வகைப்படுத்துகிறது. முழுமையான மாறுபாடுகள்

பெரும்பாலும் புள்ளிவிவரங்களில், ஒரு நிகழ்வு அல்லது செயல்முறையை பகுப்பாய்வு செய்யும் போது, ​​​​ஆய்வு செய்யப்படும் குறிகாட்டிகளின் சராசரி அளவுகள் பற்றிய தகவலை மட்டும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம். தனிப்பட்ட அலகுகளின் மதிப்புகளில் சிதறல் அல்லது மாறுபாடு , எது முக்கியமான பண்புஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள் தொகை.

மாறுபாட்டிற்கு மிகவும் உட்பட்டது பங்கு விலைகள், வழங்கல் மற்றும் தேவை அளவுகள், வட்டி விகிதங்கள்வெவ்வேறு நேரங்களில் மற்றும் வெவ்வேறு இடங்களில்.

மாறுபாட்டைக் குறிக்கும் முக்கிய குறிகாட்டிகள் , வரம்பு, சிதறல், நிலையான விலகல் மற்றும் மாறுபாட்டின் குணகம்.

மாறுபாட்டின் வரம்பு பண்புகளின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது: R = Xmax - Xmin. இந்த குறிகாட்டியின் தீமை என்னவென்றால், இது ஒரு பண்பின் மாறுபாட்டின் வரம்புகளை மட்டுமே மதிப்பிடுகிறது மற்றும் இந்த எல்லைகளுக்குள் அதன் மாறுபாட்டை பிரதிபலிக்காது.

சிதறல் இந்த குறைபாடு இல்லை. பண்பு மதிப்புகளின் சராசரி மதிப்பிலிருந்து விலகல்களின் சராசரி சதுரமாக இது கணக்கிடப்படுகிறது:

மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான எளிய வழி பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது (எளிய மற்றும் எடை):

இந்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் பணிகள் 1 மற்றும் 2 இல் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் காட்டி நிலையான விலகல் :

சராசரி நிலையான விலகல்என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது சதுர வேர்மாறுபாட்டிலிருந்து மற்றும் ஆய்வு செய்யப்படும் பண்பின் அதே பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது.

கருதப்பட்ட குறிகாட்டிகள் மாறுபாட்டின் முழுமையான மதிப்பைப் பெற அனுமதிக்கின்றன, அதாவது. ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளின் அளவீட்டு அலகுகளில் அதை மதிப்பிடுங்கள். அவர்களைப் போல் அல்லாமல், மாறுபாட்டின் குணகம் ஒப்பீட்டு அடிப்படையில் மாறுபாட்டை அளவிடுகிறது - சராசரி மட்டத்துடன் தொடர்புடையது, இது பல சந்தர்ப்பங்களில் விரும்பத்தக்கது.

மாறுபாட்டின் குணகத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்.

"புள்ளிவிவரங்களில் மாறுபாட்டின் குறிகாட்டிகள்" என்ற தலைப்பில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

பிரச்சனை 1 . பிராந்தியத்தில் உள்ள வங்கிகளில் சராசரி மாத வைப்புத்தொகையின் அளவு விளம்பரத்தின் செல்வாக்கைப் படிக்கும் போது, ​​2 வங்கிகள் ஆய்வு செய்யப்பட்டன. பின்வரும் முடிவுகள் பெறப்பட்டன:

வரையறு:
1) ஒவ்வொரு வங்கிக்கும்: a) சராசரி அளவுமாதாந்திர வைப்பு; b) பங்களிப்பு சிதறல்;
2) இரண்டு வங்கிகளுக்கான சராசரி மாதாந்திர வைப்புத்தொகை;
3) விளம்பரத்தைப் பொறுத்து 2 வங்கிகளுக்கான வைப்பு மாறுபாடு;
4) 2 வங்கிகளுக்கான டெபாசிட் மாறுபாடு, விளம்பரத்தைத் தவிர அனைத்து காரணிகளையும் பொறுத்து;
5) கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்தி மொத்த மாறுபாடு;
6) தீர்மானத்தின் குணகம்;
7) தொடர்பு உறவு.

தீர்வு

1) விளம்பரத்துடன் கூடிய வங்கிக்கான கணக்கீட்டு அட்டவணையை உருவாக்குவோம் . சராசரி மாதாந்திர வைப்புத் தொகையைத் தீர்மானிக்க, இடைவெளிகளின் நடுப்புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த வழக்கில், திறந்த இடைவெளியின் மதிப்பு (முதல்) நிபந்தனையுடன் அதை ஒட்டிய இடைவெளியின் மதிப்புக்கு (இரண்டாவது) சமன் செய்யப்படுகிறது.

எடையுள்ள எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சராசரி வைப்பு அளவைக் கண்டுபிடிப்போம்:

29,000/50 = 580 ரூபிள்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பங்களிப்பின் மாறுபாட்டைக் காண்கிறோம்:

23 400/50 = 468

இதே போன்ற செயல்களை நாங்கள் செய்வோம் விளம்பரம் இல்லாத வங்கிக்கு :

2) இரண்டு வங்கிகளுக்கான சராசரி வைப்பு அளவை ஒன்றாகக் கண்டுபிடிப்போம். Хср =(580×50+542.8×50)/100 = 561.4 ரப்.

3) இரண்டு வங்கிகளுக்கான வைப்புத்தொகையின் மாறுபாட்டை, விளம்பரத்தைப் பொறுத்து, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிப்போம்: σ 2 =pq (மாற்று பண்புக்கூறின் மாறுபாட்டிற்கான சூத்திரம்). இங்கே p=0.5 என்பது விளம்பரம் சார்ந்த காரணிகளின் விகிதமாகும்; q=1-0.5, பின்னர் σ 2 =0.5*0.5=0.25.

4) மற்ற காரணிகளின் பங்கு 0.5 ஆக இருப்பதால், இரண்டு வங்கிகளுக்கான வைப்புத்தொகையின் மாறுபாடு, விளம்பரத்தைத் தவிர அனைத்து காரணிகளையும் பொறுத்து, 0.25 ஆகும்.

5) கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்தி மொத்த மாறுபாட்டைத் தீர்மானிக்கவும்.

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 = σ 2 உண்மை + σ 2 ஓய்வு = 552.08+345.96 = 898.04

6) தீர்மான குணகம் η 2 = σ 2 உண்மை / σ 2 = 345.96/898.04 = 0.39 = 39% - பங்களிப்பின் அளவு 39% விளம்பரத்தைப் பொறுத்தது.

7) அனுபவ தொடர்பு விகிதம் η = √η 2 = √0.39 = 0.62 - உறவு மிகவும் நெருக்கமாக உள்ளது.

பிரச்சனை 2 . சந்தைப்படுத்தக்கூடிய பொருட்களின் அளவைப் பொறுத்து நிறுவனங்களின் குழு உள்ளது:

தீர்மானிக்கவும்: 1) சந்தைப்படுத்தக்கூடிய பொருட்களின் மதிப்பின் பரவல்; 2) நிலையான விலகல்; 3) மாறுபாட்டின் குணகம்.

தீர்வு

1) முன்வைக்கப்பட்ட நிபந்தனையின்படி இடைவெளி தொடர்விநியோகங்கள். இது தனித்தனியாக வெளிப்படுத்தப்பட வேண்டும், அதாவது, இடைவெளியின் நடுப்பகுதியைக் கண்டறியவும் (x"). மூடிய இடைவெளிகளின் குழுக்களில், ஒரு எளிய எண்கணித சராசரியைப் பயன்படுத்தி நடுத்தரத்தைக் காண்கிறோம். மேல் வரம்பைக் கொண்ட குழுக்களில் - இந்த மேல் வரம்புக்கு இடையேயான வித்தியாசமாக மற்றும் அடுத்த இடைவெளியின் பாதி அளவு (200-(400 -200):2=100).

குறைந்த வரம்பைக் கொண்ட குழுக்களில் - இந்த குறைந்த வரம்பின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் முந்தைய இடைவெளியின் பாதி அளவு (800+(800-600):2=900).

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சந்தைப்படுத்தக்கூடிய பொருட்களின் சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்:

Хср = k×((Σ((x"-a):k)×f):Σf)+a. இங்கே a=500 என்பது அதிகபட்ச அதிர்வெண்ணில் உள்ள விருப்பத்தின் அளவு, k=600-400=200 அதிக அதிர்வெண்ணில் உள்ள இடைவெளியின் அளவு முடிவை அட்டவணையில் வைப்போம்:

எனவே, ஆய்வின் கீழ் உள்ள காலத்திற்கான வணிக வெளியீட்டின் சராசரி மதிப்பு பொதுவாக Хср = (-5:37)×200+500=472.97 ஆயிரம் ரூபிள் ஆகும்.

2) பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாறுபாட்டைக் காண்கிறோம்:

σ 2 = (33/37)*2002-(472.97-500)2 = 35,675.67-730.62 = 34,945.05

3) நிலையான விலகல்: σ = ±√σ 2 = ±√34,945.05 ≈ ±186.94 ஆயிரம் ரூபிள்.

4) மாறுபாட்டின் குணகம்: V = (σ /Хср)*100 = (186.94 / 472.97)*100 = 39.52%

இந்தப் பக்கம் மாறுபாட்டைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு நிலையான உதாரணத்தை விவரிக்கிறது, அதைக் கண்டறிவதற்கான பிற சிக்கல்களையும் நீங்கள் பார்க்கலாம்

எடுத்துக்காட்டு 1. குழு, குழு சராசரி, இடைக்குழு மற்றும் மொத்த மாறுபாடு ஆகியவற்றை தீர்மானித்தல்

எடுத்துக்காட்டு 2. ஒரு குழு அட்டவணையில் மாறுபாடு மற்றும் மாறுபாட்டின் குணகம் கண்டறிதல்

எடுத்துக்காட்டு 3. உள்ள மாறுபாட்டைக் கண்டறிதல் தனித்துவமான தொடர்

எடுத்துக்காட்டு 4. பின்வரும் தரவு 20 கடித மாணவர்களின் குழுவிற்கு கிடைக்கிறது. குணாதிசயத்தின் விநியோகத்தின் இடைவெளித் தொடரை உருவாக்குவது, பண்புகளின் சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுவது மற்றும் அதன் சிதறலைப் படிப்பது அவசியம்.

ஒரு இடைவெளி குழுவை உருவாக்குவோம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இடைவெளியின் வரம்பைத் தீர்மானிப்போம்:

இதில் X max என்பது குழுப் பண்புகளின் அதிகபட்ச மதிப்பு;
X நிமிடம் - தொகுத்தல் பண்புகளின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு;
n - இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கை:

நாங்கள் n=5 ஐ ஏற்றுக்கொள்கிறோம். படி: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

ஒரு இடைவெளி குழுவை உருவாக்குவோம்

மேலும் கணக்கீடுகளுக்கு, நாங்கள் ஒரு துணை அட்டவணையை உருவாக்குவோம்:

X"i – இடைவெளியின் நடுப்பகுதி. (உதாரணமாக, இடைவெளியின் நடுப்பகுதி 159 – 165.6 = 162.3)

எடையுள்ள எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாணவர்களின் சராசரி உயரத்தை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாறுபாட்டைத் தீர்மானிப்போம்:

சூத்திரத்தை இவ்வாறு மாற்றலாம்:

இந்த சூத்திரத்திலிருந்து அது பின்வருமாறு மாறுபாடு சமம் விருப்பங்களின் சதுரங்களின் சராசரிக்கும் சதுரத்திற்கும் சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாடு.

உள்ள மாறுபாடு மாறுபாடு தொடர் உடன் சம இடைவெளியில்கணங்களின் முறை மூலம், சிதறலின் இரண்டாவது பண்புகளைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் வழியில் கணக்கிடலாம் (அனைத்து விருப்பங்களையும் இடைவெளியின் மதிப்பால் வகுத்தல்). மாறுபாட்டை தீர்மானித்தல், கணங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது குறைவான உழைப்பு:

i என்பது இடைவெளியின் மதிப்பு;
A என்பது ஒரு வழக்கமான பூஜ்ஜியமாகும், இதற்கு அதிக அதிர்வெண் கொண்ட இடைவெளியின் நடுப்பகுதியைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது;
m1 என்பது முதல் வரிசை தருணத்தின் சதுரம்;
m2 - இரண்டாவது வரிசையின் தருணம்

மாற்று பண்பு மாறுபாடு (உள்ளிருந்தால் புள்ளிவிவர மக்கள் தொகைஇரண்டு பரஸ்பர பிரத்தியேக விருப்பங்கள் மட்டுமே இருக்கும் வகையில் பண்பு மாறுகிறது, பின்னர் அத்தகைய மாறுபாடு மாற்று என்று அழைக்கப்படுகிறது) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

இந்த சிதறல் சூத்திரத்தில் q = 1- p ஐ மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

மாறுபாட்டின் வகைகள்

மொத்த மாறுபாடுஇந்த மாறுபாட்டை ஏற்படுத்தும் அனைத்து காரணிகளின் செல்வாக்கின் கீழ் ஒட்டுமொத்த மக்கள்தொகை முழுவதும் ஒரு பண்பு மாறுபாட்டை அளவிடுகிறது. இது x இன் ஒட்டுமொத்த சராசரி மதிப்பிலிருந்து ஒரு குணாதிசயமான x இன் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரத்திற்குச் சமம் மற்றும் எளிய மாறுபாடு அல்லது எடையுள்ள மாறுபாடு என வரையறுக்கலாம்.

குழுவிற்குள் மாறுபாடு சீரற்ற மாறுபாட்டை வகைப்படுத்துகிறது, அதாவது. கணக்கிடப்படாத காரணிகளின் செல்வாக்கின் காரணமாக ஏற்படும் மாறுபாட்டின் ஒரு பகுதி மற்றும் குழுவின் அடிப்படையை உருவாக்கும் காரணி-பண்பு சார்ந்து இல்லை. இத்தகைய சிதறல் குழுவின் எண்கணித சராசரியிலிருந்து குழு X க்குள் உள்ள பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரத்திற்கு சமம் மற்றும் எளிய சிதறல் அல்லது எடையுள்ள சிதறல் என கணக்கிடலாம்.

இதனால், குழுவிற்குள் மாறுபாடு நடவடிக்கைகள்ஒரு குழுவிற்குள் ஒரு பண்பின் மாறுபாடு மற்றும் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

xi என்பது குழு சராசரி;
ni என்பது குழுவில் உள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கை.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பட்டறையில் தொழிலாளர் உற்பத்தித்திறன் மட்டத்தில் தொழிலாளர் தகுதிகளின் செல்வாக்கைப் படிக்கும் பணியில் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டிய உள்குழு மாறுபாடுகள் ஒவ்வொரு குழுவிலும் சாத்தியமான அனைத்து காரணிகளாலும் ஏற்படும் வெளியீட்டில் மாறுபாடுகளைக் காட்டுகின்றன (உபகரணங்களின் தொழில்நுட்ப நிலை, கிடைக்கும் தன்மை கருவிகள் மற்றும் பொருட்கள், தொழிலாளர்களின் வயது, உழைப்பு தீவிரம் போன்றவை.), உள்ள வேறுபாடுகளைத் தவிர தகுதி வகை(ஒரு குழுவில் உள்ள அனைத்து தொழிலாளர்களுக்கும் ஒரே தகுதிகள் உள்ளன).

.

மாறாக, எதிர்மறை அல்லாத a.e. போன்ற செயல்பாடு , பின்னர் அதன் அடர்த்தியில் முற்றிலும் தொடர்ச்சியான நிகழ்தகவு அளவீடு உள்ளது.

Lebesgue integral இல் அளவை மாற்றுதல்:

,

நிகழ்தகவு அளவீட்டைப் பொறுத்த வரையில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய எந்த போரல் செயல்பாடு உள்ளது.

சிதறல், வகைகள் மற்றும் சிதறலின் பண்புகள் சிதறல் கருத்து

புள்ளிவிவரங்களில் சிதறல்எண்கணித சராசரியிலிருந்து வகைப்படுத்தப்பட்ட குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் நிலையான விலகலாகக் காணப்படுகிறது. ஆரம்ப தரவைப் பொறுத்து, இது எளிய மற்றும் எடையுள்ள மாறுபாடு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

1. எளிய மாறுபாடு(தொகுக்கப்படாத தரவுகளுக்கு) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

2. எடையுள்ள மாறுபாடு (மாறுபாடு தொடர்களுக்கு):

இதில் n என்பது அதிர்வெண் (காரணி X இன் மறுநிகழ்வு)

மாறுபாட்டைக் கண்டறிவதற்கான எடுத்துக்காட்டு

இந்தப் பக்கம் மாறுபாட்டைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு நிலையான உதாரணத்தை விவரிக்கிறது, அதைக் கண்டறிவதற்கான பிற சிக்கல்களையும் நீங்கள் பார்க்கலாம்

எடுத்துக்காட்டு 1. குழு, குழு சராசரி, இடைக்குழு மற்றும் மொத்த மாறுபாடு ஆகியவற்றை தீர்மானித்தல்

எடுத்துக்காட்டு 2. ஒரு குழு அட்டவணையில் மாறுபாடு மற்றும் மாறுபாட்டின் குணகம் கண்டறிதல்

எடுத்துக்காட்டு 3. ஒரு தனித் தொடரில் மாறுபாட்டைக் கண்டறிதல்

எடுத்துக்காட்டு 4. பின்வரும் தரவு 20 கடித மாணவர்களின் குழுவிற்கு கிடைக்கிறது. குணாதிசயத்தின் விநியோகத்தின் இடைவெளித் தொடரை உருவாக்குவது, பண்புகளின் சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுவது மற்றும் அதன் சிதறலைப் படிப்பது அவசியம்.

ஒரு இடைவெளி குழுவை உருவாக்குவோம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இடைவெளியின் வரம்பைத் தீர்மானிப்போம்:

இதில் X max என்பது குழுப் பண்புகளின் அதிகபட்ச மதிப்பு; X நிமிடம் - தொகுத்தல் பண்புகளின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு; n - இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கை:

நாங்கள் n=5 ஐ ஏற்றுக்கொள்கிறோம். படி: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

ஒரு இடைவெளி குழுவை உருவாக்குவோம்

மேலும் கணக்கீடுகளுக்கு, நாங்கள் ஒரு துணை அட்டவணையை உருவாக்குவோம்:

X"i – இடைவெளியின் நடுப்பகுதி. (உதாரணமாக, இடைவெளியின் நடுப்பகுதி 159 – 165.6 = 162.3)

எடையுள்ள எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாணவர்களின் சராசரி உயரத்தை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாறுபாட்டைத் தீர்மானிப்போம்:

சூத்திரத்தை இவ்வாறு மாற்றலாம்:

இந்த சூத்திரத்திலிருந்து அது பின்வருமாறு மாறுபாடு சமம் விருப்பங்களின் சதுரங்களின் சராசரிக்கும் சதுரத்திற்கும் சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாடு.

மாறுபாடு தொடரில் சிதறல்கணங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி சம இடைவெளிகளுடன், சிதறலின் இரண்டாவது பண்புகளைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் வழியில் கணக்கிடலாம் (அனைத்து விருப்பங்களையும் இடைவெளியின் மதிப்பால் வகுத்தல்). மாறுபாட்டை தீர்மானித்தல், கணங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது குறைவான உழைப்பு:

i என்பது இடைவெளியின் மதிப்பு; A என்பது ஒரு வழக்கமான பூஜ்ஜியமாகும், இதற்கு அதிக அதிர்வெண் கொண்ட இடைவெளியின் நடுப்பகுதியைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது; m1 என்பது முதல் வரிசை தருணத்தின் சதுரம்; m2 - இரண்டாவது வரிசையின் தருணம்

மாற்று பண்பு மாறுபாடு (ஒரு புள்ளியியல் மக்கள்தொகையில் இரண்டு பரஸ்பர பிரத்தியேக விருப்பங்கள் மட்டுமே இருக்கும் வகையில் ஒரு சிறப்பியல்பு மாற்றங்கள் இருந்தால், அத்தகைய மாறுபாடு மாற்று என்று அழைக்கப்படுகிறது) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

இந்த சிதறல் சூத்திரத்தில் q = 1- p ஐ மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

மாறுபாட்டின் வகைகள்

மொத்த மாறுபாடுஇந்த மாறுபாட்டை ஏற்படுத்தும் அனைத்து காரணிகளின் செல்வாக்கின் கீழ் ஒட்டுமொத்த மக்கள்தொகை முழுவதும் ஒரு பண்பு மாறுபாட்டை அளவிடுகிறது. இது x இன் ஒட்டுமொத்த சராசரி மதிப்பிலிருந்து ஒரு குணாதிசயமான x இன் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரத்திற்குச் சமம் மற்றும் எளிய மாறுபாடு அல்லது எடையுள்ள மாறுபாடு என வரையறுக்கலாம்.

குழுவிற்குள் மாறுபாடு சீரற்ற மாறுபாட்டை வகைப்படுத்துகிறது, அதாவது. கணக்கிடப்படாத காரணிகளின் செல்வாக்கின் காரணமாக ஏற்படும் மாறுபாட்டின் ஒரு பகுதி மற்றும் குழுவின் அடிப்படையை உருவாக்கும் காரணி-பண்பு சார்ந்து இல்லை. இத்தகைய சிதறல் குழுவின் எண்கணித சராசரியிலிருந்து குழு X க்குள் உள்ள பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரத்திற்கு சமம் மற்றும் எளிய சிதறல் அல்லது எடையுள்ள சிதறல் என கணக்கிடலாம்.

இதனால், குழுவிற்குள் மாறுபாடு நடவடிக்கைகள்ஒரு குழுவிற்குள் ஒரு பண்பின் மாறுபாடு மற்றும் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

xi என்பது குழு சராசரி; ni என்பது குழுவில் உள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கை.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பட்டறையில் தொழிலாளர் உற்பத்தித்திறன் மட்டத்தில் தொழிலாளர் தகுதிகளின் செல்வாக்கைப் படிக்கும் பணியில் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டிய உள்குழு மாறுபாடுகள் ஒவ்வொரு குழுவிலும் சாத்தியமான அனைத்து காரணிகளாலும் ஏற்படும் வெளியீட்டில் மாறுபாடுகளைக் காட்டுகின்றன (உபகரணங்களின் தொழில்நுட்ப நிலை, கிடைக்கும் தன்மை கருவிகள் மற்றும் பொருட்கள், தொழிலாளர்களின் வயது, உழைப்பு தீவிரம், முதலியன), தகுதி வகை வேறுபாடுகள் தவிர (ஒரு குழுவிற்குள் அனைத்து தொழிலாளர்களுக்கும் ஒரே தகுதிகள் உள்ளன).

உள்ளே இருந்து சராசரி குழு மாறுபாடுகள்சீரற்ற மாறுபாட்டை பிரதிபலிக்கிறது, அதாவது, குழுவாகும் காரணியைத் தவிர, மற்ற எல்லா காரணிகளின் செல்வாக்கின் கீழ் ஏற்பட்ட மாறுபாட்டின் ஒரு பகுதி. இது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

இடைக்குழு மாறுபாடுஇதன் விளைவாக வரும் பண்புகளின் முறையான மாறுபாட்டை வகைப்படுத்துகிறது, இது குழுவின் அடிப்படையை உருவாக்கும் காரணி-அடையாளத்தின் செல்வாக்கின் காரணமாகும். இது குழுவின் ஒட்டுமொத்த சராசரியிலிருந்து விலகல்களின் சராசரி சதுரத்திற்கு சமம். இன்டர்குரூப் மாறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு என்பது உயர்கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களால் மட்டுமே படிக்கப்படும் கணிதத்தின் ஒரு சிறப்புப் பிரிவாகும். நீங்கள் கணக்கீடுகள் மற்றும் சூத்திரங்களை விரும்புகிறீர்களா? சாதாரண விநியோகம், குழும என்ட்ரோபி, கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் தனித்துவமான சிதறல் ஆகியவற்றைப் பற்றி அறிந்து கொள்வதற்கான வாய்ப்புகள் குறித்து நீங்கள் பயப்படவில்லை. சீரற்ற மாறி? பின்னர் இந்த தலைப்பு உங்களுக்கு மிகவும் சுவாரஸ்யமாக இருக்கும். இந்த விஞ்ஞானப் பிரிவின் மிக முக்கியமான அடிப்படைக் கருத்துக்கள் பலவற்றைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம்.

அடிப்படைகளை நினைவில் கொள்வோம்

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் எளிமையான கருத்துகளை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருந்தாலும், கட்டுரையின் முதல் பத்திகளை புறக்கணிக்காதீர்கள். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அடிப்படைகளைப் பற்றிய தெளிவான புரிதல் இல்லாமல், கீழே விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரங்களுடன் நீங்கள் வேலை செய்ய முடியாது.

எனவே, சில சீரற்ற நிகழ்வுகள் நிகழ்கின்றன, சில சோதனைகள். நாம் செய்யும் செயல்களின் விளைவாக, நாம் பல விளைவுகளைப் பெறலாம் - அவற்றில் சில அடிக்கடி நிகழ்கின்றன, மற்றவை குறைவாகவே நிகழ்கின்றன. ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என்பது ஒரு வகையின் உண்மையில் பெறப்பட்ட விளைவுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் சாத்தியமானவற்றின் மொத்த எண்ணிக்கையின் விகிதமாகும். இந்த கருத்தின் உன்னதமான வரையறையை அறிந்தால் மட்டுமே நீங்கள் படிக்க ஆரம்பிக்க முடியும் கணித எதிர்பார்ப்புமற்றும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் மாறுபாடுகள்.

சராசரி

மீண்டும் பள்ளியில், கணித பாடங்களின் போது, ​​நீங்கள் எண்கணித சராசரியுடன் வேலை செய்ய ஆரம்பித்தீர்கள். இந்த கருத்து நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எனவே புறக்கணிக்க முடியாது. இந்த நேரத்தில் நமக்கு முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறலுக்கான சூத்திரங்களில் அதை சந்திப்போம்.

எங்களிடம் எண்களின் வரிசை உள்ளது மற்றும் எண்கணித சராசரியைக் கண்டறிய விரும்புகிறோம். நமக்குத் தேவையானது கிடைக்கக்கூடிய அனைத்தையும் தொகுத்து, வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்க வேண்டும். 1 முதல் 9 வரையிலான எண்களை வைத்துக்கொள்வோம். தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகை 45க்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் இந்த மதிப்பை 9 ஆல் வகுப்போம். பதில்: - 5.

சிதறல்

பேசும் அறிவியல் மொழி, சிதறல் என்பது எண்கணித சராசரியிலிருந்து பெறப்பட்ட சிறப்பியல்பு மதிப்புகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரமாகும். இது ஒரு பெரிய லத்தீன் எழுத்து D ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. அதை கணக்கிட என்ன தேவை? வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும், ஏற்கனவே உள்ள எண்ணுக்கும் எண்கணித சராசரிக்கும் உள்ள வேறுபாட்டைக் கணக்கிட்டு அதை சதுரமாக்குகிறோம். நாம் பரிசீலிக்கும் நிகழ்வின் பலன்கள் இருக்கக்கூடிய பல மதிப்புகள் இருக்கும். அடுத்து, பெறப்பட்ட அனைத்தையும் தொகுத்து, வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கிறோம். ஐந்து சாத்தியமான விளைவுகள் இருந்தால், ஐந்தால் வகுக்க வேண்டும்.

சிதறல் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது பயன்படுத்த நினைவில் கொள்ள வேண்டிய பண்புகளையும் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சீரற்ற மாறியை X மடங்கு அதிகரிக்கும் போது, ​​மாறுபாடு X ஸ்கொயர் முறைகளால் அதிகரிக்கிறது (அதாவது X*X). அவள் ஒருபோதும் நடக்காது பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாகமேலும் சமமான மதிப்பின் மேல் அல்லது கீழ் மதிப்புகளை மாற்றுவதை சார்ந்து இல்லை. கூடுதலாக, க்கான சுயாதீன சோதனைகள்தொகையின் மாறுபாடு மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

தனித்த சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகியவற்றின் உதாரணங்களை நாம் நிச்சயமாக கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

நாங்கள் 21 சோதனைகளை நடத்தி 7 வெவ்வேறு முடிவுகளைப் பெற்றோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அவை ஒவ்வொன்றையும் முறையே 1, 2, 2, 3, 4, 4 மற்றும் 5 முறை கவனித்தோம். மாறுபாடு எதற்கு சமமாக இருக்கும்?

முதலில், எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடுவோம்: தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகை, நிச்சயமாக, 21 ஆகும். அதை 7 ஆல் வகுத்து, 3 ஐப் பெறுங்கள். இப்போது அசல் வரிசையில் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணிலிருந்தும் 3 ஐக் கழித்து, ஒவ்வொரு மதிப்பையும் சதுரப்படுத்தி, முடிவுகளை ஒன்றாகச் சேர்க்கவும். முடிவு 12. இப்போது நாம் செய்ய வேண்டியதெல்லாம், எண்ணை உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்க வேண்டும், அது போல் தெரிகிறது, அவ்வளவுதான். ஆனால் ஒரு பிடிப்பு இருக்கிறது! அதை விவாதிப்போம்.

சோதனைகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது

மாறுபாட்டைக் கணக்கிடும்போது, ​​வகுத்தல் இரண்டு எண்களில் ஒன்றைக் கொண்டிருக்கலாம்: N அல்லது N-1. இங்கே N என்பது நிகழ்த்தப்பட்ட சோதனைகளின் எண்ணிக்கை அல்லது வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை (இது அடிப்படையில் ஒன்றுதான்). இது எதைச் சார்ந்தது?

சோதனைகளின் எண்ணிக்கை நூற்றுக்கணக்கில் அளவிடப்பட்டால், அலகுகளில் இருந்தால், N-ஐ வகுக்க வேண்டும். விஞ்ஞானிகள் எல்லையை மிகவும் குறியீடாக வரைய முடிவு செய்தனர்: இன்று அது எண் 30 வழியாக செல்கிறது. நாம் 30 க்கும் குறைவான சோதனைகளை நடத்தினால், அந்தத் தொகையை N-1 ஆகவும், அதிகமாக இருந்தால் N ஆகவும் பிரிப்போம்.

பணி

மாறுபாடு மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகியவற்றின் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எங்கள் உதாரணத்திற்குத் திரும்புவோம். எங்களுக்கு ஒரு இடைநிலை எண் 12 கிடைத்தது, அதை N அல்லது N-1 ஆல் வகுக்க வேண்டும். நாங்கள் 21 சோதனைகளை நடத்தியதால், இது 30 க்கும் குறைவானது, நாங்கள் இரண்டாவது விருப்பத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம். எனவே பதில்: மாறுபாடு 12/2 = 2.

எதிர்பார்த்த மதிப்பு

இந்த கட்டுரையில் நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய இரண்டாவது கருத்துக்கு செல்லலாம். கணித எதிர்பார்ப்பு என்பது சாத்தியமான அனைத்து விளைவுகளையும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளால் பெருக்குவதன் விளைவாகும். பெறப்பட்ட மதிப்பு, அதே போல் மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதன் விளைவாக, முழு சிக்கலுக்கும் ஒரு முறை மட்டுமே பெறப்படுகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது முக்கியம், அதில் எத்தனை விளைவுகளைக் கருத்தில் கொண்டாலும்.

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான சூத்திரம் மிகவும் எளிமையானது: நாம் முடிவை எடுத்து, அதன் நிகழ்தகவு மூலம் அதை பெருக்கி, இரண்டாவது, மூன்றாவது முடிவு போன்றவற்றிற்கு அதையே சேர்க்கிறோம். இந்த கருத்துடன் தொடர்புடைய அனைத்தையும் கணக்கிடுவது கடினம் அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையானது, எதிர்பார்க்கப்படும் தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். வேலைக்கும் அப்படித்தான். அத்தகைய எளிய செயல்பாடுகள்நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு அளவும் இதைச் செய்ய உங்களை அனுமதிக்காது. சிக்கலை எடுத்து, நாம் படித்த இரண்டு கருத்துகளின் அர்த்தத்தை ஒரே நேரத்தில் கணக்கிடுவோம். தவிர, நாங்கள் கோட்பாட்டால் திசைதிருப்பப்பட்டோம் - இது பயிற்சிக்கான நேரம்.

இன்னும் ஒரு உதாரணம்

நாங்கள் 50 சோதனைகளை நடத்தி, 10 வகையான விளைவுகளைப் பெற்றுள்ளோம் - 0 முதல் 9 வரையிலான எண்கள் - வெவ்வேறு சதவீதங்களில் தோன்றும். இவை முறையே: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. நிகழ்தகவுகளைப் பெற, நீங்கள் சதவீத மதிப்புகளை 100 ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க. எனவே, நமக்கு 0.02 கிடைக்கும்; 0.1, முதலியன ஒரு சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணத்தை முன்வைப்போம்.

தொடக்கப் பள்ளியிலிருந்து நாம் நினைவில் வைத்திருக்கும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடுகிறோம்: 50/10 = 5.

இப்போது எண்ணுவதை எளிதாக்க, நிகழ்தகவுகளை "துண்டுகளாக" விளைவுகளின் எண்ணிக்கையாக மாற்றுவோம். நாம் 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 மற்றும் 9 ஐப் பெறுகிறோம். பெறப்பட்ட ஒவ்வொரு மதிப்பிலிருந்தும், எண்கணித சராசரியைக் கழிக்கிறோம், அதன் பிறகு பெறப்பட்ட ஒவ்வொரு முடிவுகளையும் சதுரப்படுத்துகிறோம். உதாரணத்திற்கு முதல் உறுப்பைப் பயன்படுத்தி இதை எப்படி செய்வது என்று பார்க்கவும்: 1 - 5 = (-4). அடுத்து: (-4) * (-4) = 16. மற்ற மதிப்புகளுக்கு, இந்த செயல்பாடுகளை நீங்களே செய்யுங்கள். நீங்கள் எல்லாவற்றையும் சரியாகச் செய்திருந்தால், அவற்றைச் சேர்த்த பிறகு உங்களுக்கு 90 கிடைக்கும்.

90 ஐ N ஆல் வகுப்பதன் மூலம் மாறுபாடு மற்றும் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதைத் தொடரலாம். ஏன் N-1 ஐ விட N ஐ தேர்வு செய்கிறோம்? சரி, ஏனெனில் நிகழ்த்தப்பட்ட சோதனைகளின் எண்ணிக்கை 30ஐத் தாண்டியுள்ளது. எனவே: 90/10 = 9. மாறுபாடு கிடைத்தது. வேறு எண் கிடைத்தால், விரக்தியடைய வேண்டாம். பெரும்பாலும், நீங்கள் கணக்கீடுகளில் ஒரு எளிய தவறு செய்துள்ளீர்கள். நீங்கள் எழுதியதை இருமுறை சரிபார்க்கவும், எல்லாமே சரியான இடத்தில் வரும்.

இறுதியாக, கணித எதிர்பார்ப்புக்கான சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள். நாங்கள் அனைத்து கணக்கீடுகளையும் கொடுக்க மாட்டோம், தேவையான அனைத்து நடைமுறைகளையும் முடித்த பிறகு நீங்கள் சரிபார்க்கக்கூடிய பதிலை மட்டுமே எழுதுவோம். எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு 5.48 ஆக இருக்கும். 0*0.02 + 1*0.1... மற்றும் பல. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நாம் அதன் நிகழ்தகவு மூலம் விளைவு மதிப்பை பெருக்குகிறோம்.

விலகல்

சிதறல் மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்புடன் நெருங்கிய தொடர்புடைய மற்றொரு கருத்து நிலையான விலகல் ஆகும். இது லத்தீன் எழுத்துக்கள் sd அல்லது கிரேக்க சிற்றெழுத்து "சிக்மா" மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. மைய அம்சத்திலிருந்து சராசரி மதிப்புகள் எவ்வளவு விலகுகின்றன என்பதை இந்த கருத்து காட்டுகிறது. அதன் மதிப்பைக் கண்டறிய, நீங்கள் மாறுபாட்டின் வர்க்க மூலத்தைக் கணக்கிட வேண்டும்.

நீங்கள் ஒரு சாதாரண விநியோக வரைபடத்தை வரைந்து, அதன் மீது ஸ்கொயர் விலகலை நேரடியாகப் பார்க்க விரும்பினால், இதைப் பல நிலைகளில் செய்யலாம். படத்தின் பாதியை இடது அல்லது பயன்முறையில் வலதுபுறமாக எடுத்து (மத்திய மதிப்பு), கிடைமட்ட அச்சுக்கு செங்குத்தாக வரையவும், இதன் விளைவாக உருவங்களின் பகுதிகள் சமமாக இருக்கும். விநியோகத்தின் நடுப்பகுதிக்கும் கிடைமட்ட அச்சில் விளைந்த திட்டத்திற்கும் இடையே உள்ள பிரிவின் அளவு நிலையான விலகலைக் குறிக்கும்.

மென்பொருள்

சூத்திரங்களின் விளக்கங்கள் மற்றும் முன்வைக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து பார்க்க முடியும், மாறுபாடு மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுவது எண்கணிதக் கண்ணோட்டத்தில் எளிமையான செயல்முறை அல்ல. நேரத்தை வீணாக்காமல் இருக்க, உயர் கல்வியில் பயன்படுத்தப்படும் திட்டத்தைப் பயன்படுத்துவது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது கல்வி நிறுவனங்கள்- இது "ஆர்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டிலிருந்து பல கருத்துக்களுக்கான மதிப்புகளைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கும் செயல்பாடுகள் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டாக, மதிப்புகளின் வெக்டரைக் குறிப்பிடுகிறீர்கள். இது பின்வருமாறு செய்யப்படுகிறது: திசையன்<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

இறுதியாக

சிதறல் மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு இல்லாமல் எதிர்காலத்தில் எதையும் கணக்கிடுவது கடினம். பல்கலைக்கழகங்களில் விரிவுரைகளின் முக்கிய பாடத்திட்டத்தில், அவை ஏற்கனவே பாடத்தைப் படிக்கும் முதல் மாதங்களில் விவாதிக்கப்படுகின்றன. இந்த எளிய கருத்துக்களைப் பற்றிய புரிதல் இல்லாததாலும், அவற்றைக் கணக்கிட இயலாமையாலும், பல மாணவர்கள் உடனடியாக திட்டத்தில் பின்தங்கத் தொடங்குகிறார்கள், பின்னர் அமர்வு முடிவில் மோசமான மதிப்பெண்களைப் பெறுகிறார்கள், இது அவர்களுக்கு உதவித்தொகையை இழக்கிறது.

இந்த கட்டுரையில் வழங்கப்பட்டதைப் போன்ற பணிகளைத் தீர்க்க, குறைந்தது ஒரு வாரம், ஒரு நாளைக்கு அரை மணி நேரம் பயிற்சி செய்யுங்கள். பின்னர், நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் எந்தவொரு சோதனையிலும், வெளிப்புற உதவிக்குறிப்புகள் மற்றும் ஏமாற்றுத் தாள்கள் இல்லாமல் நீங்கள் உதாரணங்களைச் சமாளிக்க முடியும்.

படிகள்

மாதிரி மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுகிறது

1. மாதிரி மதிப்புகளை பதிவு செய்யவும்.பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், புள்ளிவிவர வல்லுநர்கள் குறிப்பிட்ட மக்கள்தொகையின் மாதிரிகளை மட்டுமே அணுக முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு விதியாக, புள்ளிவிவர வல்லுநர்கள் ரஷ்யாவில் உள்ள அனைத்து கார்களின் மொத்தத்தையும் பராமரிப்பதற்கான செலவை பகுப்பாய்வு செய்யவில்லை - அவர்கள் பல ஆயிரம் கார்களின் சீரற்ற மாதிரியை பகுப்பாய்வு செய்கிறார்கள். அத்தகைய மாதிரி ஒரு காரின் சராசரி விலையை தீர்மானிக்க உதவும், ஆனால், பெரும்பாலும், இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு உண்மையான ஒன்றிலிருந்து வெகு தொலைவில் இருக்கும்.

   • எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ஓட்டலில் 6 நாட்களில் விற்கப்பட்ட பன்களின் எண்ணிக்கையை சீரற்ற வரிசையில் எடுத்துப் பார்ப்போம். மாதிரி இது போல் தெரிகிறது: 17, 15, 23, 7, 9, 13. இது மாதிரி, மக்கள் தொகை அல்ல, ஏனெனில் கஃபே திறந்திருக்கும் ஒவ்வொரு நாளும் விற்கப்படும் பன்களின் தரவு எங்களிடம் இல்லை.
   • மதிப்புகளின் மாதிரியைக் காட்டிலும் மக்கள்தொகை உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டால், அடுத்த பகுதிக்குத் தொடரவும்.

2. மாதிரி மாறுபாட்டைக் கணக்கிட ஒரு சூத்திரத்தை எழுதுங்கள்.சிதறல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு மதிப்புகளின் பரவலின் அளவீடு ஆகும். மாறுபாடு மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு எவ்வளவு நெருக்கமாக இருக்கிறதோ, அவ்வளவு நெருக்கமாக மதிப்புகள் ஒன்றாக தொகுக்கப்படுகின்றன. மதிப்புகளின் மாதிரியுடன் பணிபுரியும் போது, ​​மாறுபாட்டைக் கணக்கிட பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

   • s 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​s^(2)) = ∑[(x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i))- எக்ஸ்) 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2))] / (n - 1)
   • s 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​s^(2))- இது சிதறல். சிதறல் சதுர அலகுகளில் அளவிடப்படுகிறது.
   • x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i))- மாதிரியில் உள்ள ஒவ்வொரு மதிப்பும்.
   • x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i))நீங்கள் x̅ ஐ கழிக்க வேண்டும், அதை சதுரப்படுத்த வேண்டும், பின்னர் முடிவுகளை சேர்க்க வேண்டும்.
   • x̅ - மாதிரி சராசரி (மாதிரி சராசரி).
   • n - மாதிரியில் உள்ள மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை.

3. மாதிரி சராசரியைக் கணக்கிடுங்கள்.இது x̅ எனக் குறிக்கப்படுகிறது. மாதிரி சராசரி ஒரு எளிய எண்கணித சராசரியாகக் கணக்கிடப்படுகிறது: மாதிரியில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளையும் சேர்த்து, பின்னர் மாதிரியில் உள்ள மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் முடிவைப் பிரிக்கவும்.

   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், மாதிரியில் உள்ள மதிப்புகளைச் சேர்க்கவும்: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     இப்போது மாதிரியில் உள்ள மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் முடிவைப் பிரிக்கவும் (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் 6 உள்ளன): 84 ÷ 6 = 14.
     மாதிரி சராசரி x̅ = 14.
   • மாதிரி சராசரி என்பது மாதிரியில் உள்ள மதிப்புகள் விநியோகிக்கப்படும் மைய மதிப்பாகும். மாதிரியைச் சுற்றியுள்ள மாதிரிக் கிளஸ்டரில் உள்ள மதிப்புகள் சராசரியாக இருந்தால், மாறுபாடு சிறியதாக இருக்கும்; இல்லையெனில் மாறுபாடு பெரியது.

4. மாதிரியின் ஒவ்வொரு மதிப்பிலிருந்தும் மாதிரி சராசரியைக் கழிக்கவும்.இப்போது வித்தியாசத்தை கணக்கிடுங்கள் x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i))- x̅, எங்கே x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i))- மாதிரியில் உள்ள ஒவ்வொரு மதிப்பும். பெறப்பட்ட ஒவ்வொரு முடிவும் மாதிரி சராசரியிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பின் விலகலின் அளவைக் குறிக்கிறது, அதாவது, இந்த மதிப்பு மாதிரி சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளது.

   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்:
     x 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(1))- x = 17 - 14 = 3
     x 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(3))- x = 23 - 14 = 9
     x 4 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • பெறப்பட்ட முடிவுகளின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்க எளிதானது, ஏனெனில் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். எதிர்மறை மதிப்புகள் (சராசரியிலிருந்து சிறிய மதிப்புகள் வரையிலான தூரங்கள்) நேர்மறை மதிப்புகளால் (சராசரியிலிருந்து பெரிய மதிப்புகளுக்கான தூரங்கள்) முழுமையாக ஈடுசெய்யப்படுவதால், இது சராசரியின் வரையறையுடன் தொடர்புடையது.

5. மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, வேறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகை x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i))- x̅ பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் சராசரி மாறுபாடு எப்போதும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், இது ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு மதிப்புகளின் பரவலைப் பற்றிய எந்த யோசனையையும் கொடுக்காது. இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, ஒவ்வொரு வித்தியாசத்தையும் சமப்படுத்தவும் x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i))- எக்ஸ். இதன் விளைவாக நீங்கள் நேர்மறை எண்களை மட்டுமே பெறுவீர்கள், இது 0 வரை சேர்க்காது.

   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்:
     (x 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(1))- எக்ஸ்) 2 = 3 2 = 9 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(x_(2))- எக்ஸ்) 2 = 1 2 = 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • வித்தியாசத்தின் சதுரத்தைக் கண்டுபிடித்தீர்கள் - x̅) 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2))மாதிரியில் உள்ள ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும்.

6. வேறுபாடுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுங்கள்.அதாவது, இப்படி எழுதப்பட்ட சூத்திரத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்: ∑[( x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i))- எக்ஸ்) 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2))]. இங்கு Σ என்பது ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் உள்ள வர்க்க வேறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கிறது x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i))மாதிரியில். நீங்கள் ஏற்கனவே வர்க்க வேறுபாடுகளைக் கண்டறிந்துள்ளீர்கள் (x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(x_(i))- எக்ஸ்) 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2))ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i))மாதிரியில்; இப்போது இந்த சதுரங்களைச் சேர்க்கவும்.

   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. முடிவை n - 1 ஆல் வகுக்கவும், n என்பது மாதிரியில் உள்ள மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை.சில காலத்திற்கு முன்பு, மாதிரி மாறுபாட்டைக் கணக்கிட, புள்ளியியல் வல்லுநர்கள் முடிவை n ஆல் வகுத்தனர்; இந்த வழக்கில் நீங்கள் ஸ்கொயர் மாறுபாட்டின் சராசரியைப் பெறுவீர்கள், இது கொடுக்கப்பட்ட மாதிரியின் மாறுபாட்டை விவரிக்க சிறந்தது. ஆனால் எந்த மாதிரியும் மதிப்புகளின் மக்கள்தொகையில் ஒரு சிறிய பகுதி மட்டுமே என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். நீங்கள் மற்றொரு மாதிரியை எடுத்து அதே கணக்கீடுகளைச் செய்தால், நீங்கள் வேறுபட்ட முடிவைப் பெறுவீர்கள். n - 1 ஆல் வகுத்தல் (வெறும் n ஐ விட) மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் மிகவும் துல்லியமான மதிப்பீட்டை வழங்குகிறது, இதில் நீங்கள் ஆர்வமாக உள்ளீர்கள். n - 1 ஆல் வகுத்தல் பொதுவானதாகிவிட்டது, எனவே இது மாதிரி மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், மாதிரியில் 6 மதிப்புகள் உள்ளன, அதாவது n = 6.
     மாதிரி மாறுபாடு = s 2 = 166 6 − 1 = (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. மாறுபாட்டிற்கும் நிலையான விலகலுக்கும் உள்ள வேறுபாடு.சூத்திரத்தில் ஒரு அடுக்கு உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், எனவே சிதறல் பகுப்பாய்வு செய்யப்படும் மதிப்பின் சதுர அலகுகளில் அளவிடப்படுகிறது. சில நேரங்களில் அத்தகைய அளவு செயல்படுவது மிகவும் கடினம்; இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், மாறுபாட்டின் வர்க்க மூலத்திற்குச் சமமான நிலையான விலகலைப் பயன்படுத்தவும். அதனால்தான் மாதிரி மாறுபாடு எனக் குறிக்கப்படுகிறது s 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​s^(2)), மற்றும் மாதிரியின் நிலையான விலகல் பின்வருமாறு கள் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல்கள்).

   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், மாதிரியின் நிலையான விலகல்: s = √33.2 = 5.76.

   மக்கள்தொகை மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுதல்

   1. சில மதிப்புகளின் தொகுப்பை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்.பரிசீலனையில் உள்ள அளவின் அனைத்து மதிப்புகளும் தொகுப்பில் அடங்கும். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் லெனின்கிராட் பிராந்தியத்தில் வசிப்பவர்களின் வயதைப் படிக்கிறீர்கள் என்றால், மொத்தத்தில் இந்த பிராந்தியத்தில் வசிப்பவர்களின் வயதும் அடங்கும். மக்கள்தொகையுடன் பணிபுரியும் போது, ​​​​ஒரு அட்டவணையை உருவாக்கி அதில் மக்கள் தொகை மதிப்புகளை உள்ளிட பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. பின்வரும் உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்:

      • ஒரு குறிப்பிட்ட அறையில் 6 மீன்வளங்கள் உள்ளன. ஒவ்வொரு மீன்வளத்திலும் பின்வரும் எண்ணிக்கையிலான மீன்கள் உள்ளன:
        x 1 = 5 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(6)=18)

   2. மக்கள்தொகை மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை எழுதுங்கள்.மக்கள்தொகையில் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவின் அனைத்து மதிப்புகளும் உள்ளதால், கீழே உள்ள சூத்திரம் மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் சரியான மதிப்பைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது. மாதிரி மாறுபாட்டிலிருந்து மக்கள்தொகை மாறுபாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கு (இது ஒரு மதிப்பீடு மட்டுமே), புள்ளியியல் வல்லுநர்கள் பல்வேறு மாறிகளைப் பயன்படுத்துகின்றனர்:

      • σ 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2)) = (∑(x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i)) - μ) 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2)))/என்
      • σ 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2))- மக்கள்தொகை பரவல் ("சிக்மா ஸ்கொயர்" என படிக்கவும்). சிதறல் சதுர அலகுகளில் அளவிடப்படுகிறது.
      • x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i))- ஒவ்வொரு மதிப்பும் முழுமையாக.
      • Σ - தொகை அடையாளம். அதாவது, ஒவ்வொரு மதிப்பிலிருந்தும் x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i))நீங்கள் μ ஐ கழித்து, அதை சதுரம் செய்து, பின்னர் முடிவுகளைச் சேர்க்க வேண்டும்.
      • μ - மக்கள் தொகை சராசரி.
      • n - மக்கள் தொகையில் உள்ள மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை.

   3. சராசரி மக்கள் தொகையைக் கணக்கிடுங்கள்.மக்கள்தொகையுடன் பணிபுரியும் போது, ​​அதன் சராசரி μ (mu) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. மக்கள்தொகை சராசரி ஒரு எளிய எண்கணித சராசரியாக கணக்கிடப்படுகிறது: மக்கள்தொகையில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளையும் சேர்த்து, பின்னர் மக்கள்தொகையில் உள்ள மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் முடிவைப் பிரிக்கவும்.

      • சராசரிகள் எப்போதும் எண்கணித சராசரியாக கணக்கிடப்படுவதில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.
      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், மக்கள் தொகையின் அர்த்தம்: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\ காட்சி பாணி (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. மக்கள்தொகையின் ஒவ்வொரு மதிப்பிலிருந்தும் மக்கள்தொகை சராசரியைக் கழிக்கவும்.வேறுபாடு மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு நெருக்கமாக உள்ளது, குறிப்பிட்ட மதிப்பு மக்கள்தொகை சராசரிக்கு நெருக்கமாக உள்ளது. மக்கள்தொகையில் உள்ள ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் அதன் சராசரிக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும், மதிப்புகளின் விநியோகம் பற்றிய முதல் யோசனையைப் பெறுவீர்கள்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்:
        x 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(1))- μ = 5 - 10.5 = -5.5
        x 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(2))- μ = 5 - 10.5 = -5.5
        x 3 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(3))- μ = 8 - 10.5 = -2.5
        x 4 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(4))- μ = 12 - 10.5 = 1.5
        x 5 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(5))- μ = 15 - 10.5 = 4.5
        x 6 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(6))- μ = 18 - 10.5 = 7.5

   5. பெறப்பட்ட ஒவ்வொரு முடிவையும் சதுரம்.வேறுபாடு மதிப்புகள் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை இரண்டும் இருக்கும்; இந்த மதிப்புகள் எண் கோட்டில் வரையப்பட்டால், அவை மக்கள்தொகை சராசரியின் வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் இருக்கும். நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எண்கள் ஒன்றையொன்று ரத்து செய்வதால், மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கு இது நல்லதல்ல. எனவே பிரத்தியேகமாக நேர்மறை எண்களைப் பெற ஒவ்வொரு வித்தியாசத்தையும் சதுரப்படுத்தவும்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்:
        (x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i)) - μ) 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2))ஒவ்வொரு மக்கள் தொகை மதிப்புக்கும் (i = 1 முதல் i = 6 வரை):
        (-5,5)2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2)), எங்கே x n (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(n))- மக்கள்தொகையில் கடைசி மதிப்பு.
      • பெறப்பட்ட முடிவுகளின் சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிட, நீங்கள் அவற்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடித்து அதை n ஆல் வகுக்க வேண்டும்:(( x 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(1)) - μ) 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2)) + (x 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(2)) - μ) 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2)) + ... + (x n (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(n)) - μ) 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2)))/என்
      • இப்போது மேலே உள்ள விளக்கத்தை மாறிகளைப் பயன்படுத்தி எழுதுவோம்: (∑( x i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x_(i)) - μ) 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​^(2))) / n மற்றும் மக்கள்தொகை மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறவும்.