வீடு→மின்னணுவியல்→ 1 வது வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வேறுபாடு முறைகள். முதல் வரிசையின் நேரியல் சமன்பாடுகள்

1 வது வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வேறுபாடு முறைகள். முதல் வரிசையின் நேரியல் சமன்பாடுகள்

இயற்பியலின் சில சிக்கல்களில், செயல்முறையை விவரிக்கும் அளவுகளுக்கு இடையே நேரடி தொடர்பை ஏற்படுத்த முடியாது. ஆனால் ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட சமத்துவத்தைப் பெறுவது சாத்தியமாகும். இப்படித்தான் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் உருவாகின்றன மற்றும் அறியப்படாத செயல்பாட்டைக் கண்டறிய அவற்றைத் தீர்க்க வேண்டிய அவசியம் உள்ளது.

அறியப்படாத செயல்பாடு ஒரு மாறியின் செயல்பாடாக இருக்கும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் சிக்கலை எதிர்கொள்பவர்களுக்காக இந்தக் கட்டுரை உள்ளது. வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பூஜ்ஜிய அறிவுடன், உங்கள் பணியைச் சமாளிக்கும் வகையில் கோட்பாடு கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒவ்வொரு வகை வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களுக்கான விரிவான விளக்கங்கள் மற்றும் தீர்வுகளுக்கு ஏற்ப தீர்வு முறை அமைக்கப்பட்டுள்ளது. நீங்கள் செய்ய வேண்டியதெல்லாம், உங்கள் பிரச்சனையின் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வகையைத் தீர்மானிக்கவும், அதே மாதிரியான பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட உதாரணத்தைக் கண்டுபிடித்து, அதே போன்ற செயல்களைச் செய்யவும்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, உங்களுக்கு ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்புகளை (காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்) கண்டுபிடிக்கும் திறனும் தேவைப்படும். பல்வேறு செயல்பாடுகள். தேவைப்பட்டால், பிரிவைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கிறோம்.

முதலில், வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்கப்படக்கூடிய முதல் வரிசையின் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் வகைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், பின்னர் நாம் இரண்டாம்-வரிசை ODE களுக்குச் செல்வோம், பின்னர் உயர்-வரிசை சமன்பாடுகளில் தங்கி, அமைப்புகளுடன் முடிப்போம். வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்.

y என்பது வாதத்தின் செயல்பாடாக இருந்தால் x என்பதை நினைவில் கொள்க.

முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

படிவத்தின் முதல் வரிசையின் எளிமையான வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.

அத்தகைய ரிமோட் கண்ட்ரோலின் சில எடுத்துக்காட்டுகளை எழுதுவோம் .

வகைக்கெழு சமன்பாடுகள் சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் f(x) ஆல் வகுப்பதன் மூலம் வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்க முடியும். இந்த நிலையில், f(x) ≠ 0க்கான அசல் சமன்பாட்டிற்குச் சமமான ஒரு சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம். அத்தகைய ODE களின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

f(x) மற்றும் g(x) செயல்பாடுகள் ஒரே நேரத்தில் மறைந்துவிடும் வாதம் x இன் மதிப்புகள் இருந்தால், கூடுதல் தீர்வுகள் தோன்றும். சமன்பாட்டிற்கான கூடுதல் தீர்வுகள் கொடுக்கப்பட்ட x என்பது இந்த வாத மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள். இத்தகைய வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு:

இரண்டாவது வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள் நிலையான குணகங்கள்.

நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட LDE என்பது மிகவும் பொதுவான வகை வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும். அவர்களின் தீர்வு குறிப்பாக கடினம் அல்ல. முதலில், சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் காணப்படுகின்றன . வெவ்வேறு p மற்றும் q க்கு, மூன்று வழக்குகள் சாத்தியமாகும்: குணாதிசய சமன்பாட்டின் வேர்கள் உண்மையானதாகவும் வேறுபட்டதாகவும், உண்மையானதாகவும், ஒத்துப்போகும்தாகவும் இருக்கலாம். அல்லது சிக்கலான இணைப்புகள். சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்களின் மதிப்புகளைப் பொறுத்து, அது எழுதப்படுகிறது பொதுவான முடிவுஎன வேறுபட்ட சமன்பாடு , அல்லது , அல்லது முறையே.

எடுத்துக்காட்டாக, நிலையான குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கருதுங்கள். அதன் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் k 1 = -3 மற்றும் k 2 = 0 ஆகும். வேர்கள் உண்மையானவை மற்றும் வேறுபட்டவை, எனவே, நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட LODE இன் பொதுவான தீர்வு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது

நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.

நிலையான குணகங்கள் y உடன் இரண்டாவது-வரிசை LDDE இன் பொதுவான தீர்வு, தொடர்புடைய LDDE இன் பொதுத் தீர்வின் கூட்டுத்தொகை வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது. மற்றும் அசல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு, அதாவது, . முந்தைய பத்தி நிலையான குணகங்களுடன் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிவதற்காக அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு முறையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது நிச்சயமற்ற குணகங்கள்அசல் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் f(x) செயல்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்திற்கு, அல்லது மாறுபடும் தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் முறை.

நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாம் வரிசை LDDE களின் எடுத்துக்காட்டுகளாக, நாங்கள் தருகிறோம்

கோட்பாட்டைப் புரிந்துகொண்டு நன்கு தெரிந்து கொள்ளுங்கள் விரிவான தீர்வுகள்நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பக்கத்தில் நாங்கள் உங்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறோம்.

நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள் (LODE) மற்றும் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் (LNDEகள்).

இந்த வகையின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு LODE மற்றும் LDDE ஆகியவை நிலையான குணகங்களுடன்.

ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவில் LODE இன் பொதுவான தீர்வு, இந்த சமன்பாட்டின் y 1 மற்றும் y 2 ஆகிய இரண்டு நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது, .

இந்த வகை வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகளை கண்டுபிடிப்பதில் முக்கிய சிரமம் உள்ளது. பொதுவாக, குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் நேரியல் சார்பற்ற செயல்பாடுகளின் பின்வரும் அமைப்புகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன:

இருப்பினும், குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் எப்போதும் இந்த வடிவத்தில் வழங்கப்படுவதில்லை.

ஒரு LOD க்கு ஒரு உதாரணம் .

LDDE இன் பொதுவான தீர்வு வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது, இதில் தொடர்புடைய LDDE இன் பொதுவான தீர்வு உள்ளது, மேலும் இது அசல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் குறிப்பிட்ட தீர்வாகும். நாங்கள் அதைக் கண்டுபிடிப்பதைப் பற்றி பேசினோம், ஆனால் அது மாறுபடும் தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்க முடியும்.

LNDU இன் உதாரணத்தைக் கொடுக்கலாம் .

உயர் ஆர்டர்களின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

வரிசையை குறைக்க அனுமதிக்கும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை , இது விரும்பிய செயல்பாடு மற்றும் k-1 வரிசை வரை அதன் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை, மாற்றுவதன் மூலம் n-k ஆகக் குறைக்கலாம்.

இந்த வழக்கில், அசல் வேறுபாடு சமன்பாடு குறைக்கப்படும். அதன் தீர்வு p(x) ஐக் கண்டறிந்த பிறகு, அது மாற்றீட்டிற்குத் திரும்பி, தெரியாத செயல்பாடு y ஐத் தீர்மானிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, வேறுபாடு சமன்பாடு மாற்றியமைத்த பிறகு, இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடாக மாறும், மேலும் அதன் வரிசை மூன்றில் இருந்து முதலாவதாக குறைக்கப்படும்.

கல்வி நிறுவனம் "பெலாரசிய மாநிலம்

விவசாய அகாடமி"

உயர் கணிதத் துறை

முதல் வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்

கணக்கியல் மாணவர்களுக்கான விரிவுரை குறிப்புகள்

கல்வியின் கடித வடிவம் (NISPO)

கோர்கி, 2013

முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் கருத்து. பொதுவான மற்றும் குறிப்பிட்ட தீர்வுகள்

பல்வேறு நிகழ்வுகளைப் படிக்கும்போது, சுயாதீன மாறி மற்றும் விரும்பிய செயல்பாட்டை நேரடியாக இணைக்கும் ஒரு சட்டத்தை அடிக்கடி கண்டுபிடிக்க முடியாது, ஆனால் விரும்பிய செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களுக்கு இடையே ஒரு தொடர்பை ஏற்படுத்துவது சாத்தியமாகும்.

சுயாதீன மாறி, விரும்பிய செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களை இணைக்கும் உறவு அழைக்கப்படுகிறது வகையீட்டு சமன்பாடு :

இங்கே எக்ஸ்- சார்பற்ற மாறி, ஒய்- தேவையான செயல்பாடு,
- விரும்பிய செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்கள். இந்த வழக்கில், உறவு (1) குறைந்தபட்சம் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலின் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

. (2)

இந்த சமன்பாடு முதல்-வரிசை வழித்தோன்றலை மட்டுமே உள்ளடக்கியிருப்பதால், இது அழைக்கப்படுகிறது முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும்.

சமன்பாடு (2) வழித்தோன்றல் தொடர்பாக தீர்க்கப்பட்டு படிவத்தில் எழுதப்பட்டால்

, (3)

பின்னர் அத்தகைய சமன்பாடு சாதாரண வடிவத்தில் முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பல சந்தர்ப்பங்களில் கருத்தில் கொள்ள அறிவுறுத்தப்படுகிறது படிவத்தின் சமன்பாடு

என்று அழைக்கப்படும் வேறுபட்ட வடிவத்தில் எழுதப்பட்ட முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு.

ஏனெனில்
, பின்னர் சமன்பாடு (3) வடிவத்தில் எழுதலாம்
அல்லது
, நாம் எங்கே எண்ணலாம்
மற்றும்
. இதன் பொருள் சமன்பாடு (3) சமன்பாடு (4) ஆக மாற்றப்படுகிறது.

சமன்பாடு (4) வடிவத்தில் எழுதுவோம்
. பிறகு
,
,
, நாம் எங்கே எண்ணலாம்
, அதாவது படிவத்தின் சமன்பாடு (3) பெறப்படுகிறது. எனவே, சமன்பாடுகள் (3) மற்றும் (4) சமமானவை.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது (2) அல்லது (3) எந்த செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
, அதை சமன்பாடு (2) அல்லது (3) ஆக மாற்றும்போது, அதை அடையாளமாக மாற்றுகிறது:

அல்லது
.

ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டறியும் செயல்முறை அதன் அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைப்பு , மற்றும் தீர்வு வரைபடம்
வேறுபட்ட சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைந்த வளைவு இந்த சமன்பாடு.

வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு மறைமுக வடிவத்தில் பெறப்பட்டால்
, பின்னர் அது அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைந்த வேறுபட்ட சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது.

பொதுவான தீர்வு முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு என்பது படிவத்தின் செயல்பாடுகளின் குடும்பமாகும்
, தன்னிச்சையான மாறிலியைப் பொறுத்து உடன், இவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புக்கான கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும். உடன். இவ்வாறு, வேறுபட்ட சமன்பாடு எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

தனிப்பட்ட முடிவு வேறுபட்ட சமன்பாடு என்பது ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் குறிப்பிட்ட மதிப்புக்கான பொதுவான தீர்வு சூத்திரத்திலிருந்து பெறப்பட்ட ஒரு தீர்வாகும். உடன், உட்பட
.

Cauchy பிரச்சனை மற்றும் அதன் வடிவியல் விளக்கம்

சமன்பாடு (2) எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்தத் தொகுப்பிலிருந்து ஒரு தீர்வைத் தேர்ந்தெடுக்க, இது தனிப்பட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது, நீங்கள் சில கூடுதல் நிபந்தனைகளை அமைக்க வேண்டும்.

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ் சமன்பாடு (2) க்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் அழைக்கப்படுகிறது காச்சி பிரச்சனை . இந்த சிக்கல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டில் மிக முக்கியமான ஒன்றாகும்.

Cauchy பிரச்சனை பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: சமன்பாட்டின் அனைத்து தீர்வுகளிலும் (2) அத்தகைய தீர்வைக் கண்டறியவும்
, இதில் செயல்பாடு
கொடுக்கப்பட்ட எண் மதிப்பை எடுக்கும் , சுயாதீன மாறி என்றால் எக்ஸ் கொடுக்கப்பட்ட எண் மதிப்பை எடுக்கும் , அதாவது

,
, (5)

எங்கே டி- செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம்
.

பொருள் அழைக்கப்பட்டது செயல்பாட்டின் ஆரம்ப மதிப்பு , ஏ – சுயாதீன மாறியின் ஆரம்ப மதிப்பு . நிபந்தனை (5) அழைக்கப்படுகிறது ஆரம்ப நிலை அல்லது கசப்பான நிலை .

ஒரு வடிவியல் பார்வையில், வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான Cauchy சிக்கலை (2) பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்: சமன்பாட்டின் (2) ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் தொகுப்பிலிருந்து, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்
.

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எளிய வகைகளில் ஒன்று, விரும்பிய செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்காத முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும்:

. (6)

என்று கருதி
, சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்
அல்லது
. கடைசி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைத்து, நாம் பெறுகிறோம்:
அல்லது

. (7)

எனவே, (7) என்பது சமன்பாட்டிற்கு (6) பொதுவான தீர்வாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1 . வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
.

தீர்வு . சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம்
அல்லது
. விளைந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்:
,
. இறுதியாக அதை எழுதுவோம்
.

எடுத்துக்காட்டு 2 . சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் கண்டறியவும்
என்று கொடுக்கப்பட்டது
.

தீர்வு . சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம்:
,
,
,
. நிபந்தனையின்படி
,
. பொதுவான தீர்வுக்கு மாற்றுவோம்:
அல்லது
. பொதுவான தீர்வுக்கான சூத்திரத்தில் தன்னிச்சையான மாறிலியின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:
. இது கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு.

சமன்பாடு

(8)

அழைக்கப்பட்டது முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு ஒரு சுயாதீன மாறியைக் கொண்டிருக்கவில்லை . படிவத்தில் எழுதுவோம்
அல்லது
. கடைசி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்:
அல்லது
- சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு (8).

உதாரணமாக . சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
.

தீர்வு . இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம்:
அல்லது
. பிறகு
,
,
,
. இதனால்,
இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு.

படிவத்தின் சமன்பாடு

(9)

மாறிகளைப் பிரிப்பதைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைக்கிறது. இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்
, பின்னர் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு பகுதியின் செயல்பாட்டை மட்டுமே உள்ளடக்கிய ஒரு வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம். எக்ஸ்மற்றும் வேறுபாடு dx, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியில் - செயல்பாடு மணிக்குமற்றும் வேறுபாடு dy. இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் பெருக்கப்பட வேண்டும் dxமற்றும் பிரிக்கவும்
. இதன் விளைவாக, நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

, (10)

இதில் மாறிகள் எக்ஸ்மற்றும் மணிக்குபிரிக்கப்பட்டது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம் (10):
. இதன் விளைவாக வரும் உறவு சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பாகும் (9).

எடுத்துக்காட்டு 3 . சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கவும்
.

தீர்வு . சமன்பாட்டை மாற்றி மாறிகளை பிரிப்போம்:
,
. ஒருங்கிணைப்போம்:
,
அல்லது இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.
.

சமன்பாட்டை வடிவத்தில் கொடுக்கலாம்

இந்த சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு ஒரு சமச்சீர் வடிவத்தில்.

மாறிகளை பிரிக்க, நீங்கள் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிக்க வேண்டும்
:

. (12)

இதன் விளைவாக சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பிரிக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாடு . சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்போம் (12):

.(13)

உறவு (13) என்பது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் (11) பொது ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4 . வேறுபட்ட சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கவும்.

தீர்வு . சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம்

மற்றும் இரண்டு பகுதிகளையும் பிரிக்கவும்
,
. இதன் விளைவாக சமன்பாடு:
பிரிக்கப்பட்ட மாறி சமன்பாடு ஆகும். அதை ஒருங்கிணைப்போம்:

,
,

,
. கடைசி சமத்துவம் என்பது இந்த வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5 . வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்
, நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது
.

தீர்வு . என்று கருதி
, சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்
அல்லது
. மாறிகளை பிரிப்போம்:
. இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்போம்:
,
,
. இதன் விளைவாக வரும் உறவு இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பாகும். நிபந்தனையின்படி
. அதை பொது ஒருங்கிணைப்பில் மாற்றுவோம் மற்றும் கண்டுபிடிப்போம் உடன்:
,உடன்=1. பின்னர் வெளிப்பாடு
கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதி தீர்வு, பகுதி ஒருங்கிணைப்பாக எழுதப்பட்டது.

முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

சமன்பாடு

(14)

அழைக்கப்பட்டது முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு . அறியப்படாத செயல்பாடு
மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் இந்த சமன்பாட்டில் நேரியல் மற்றும் செயல்பாடுகளை உள்ளிடுகிறது
மற்றும்
தொடர்ச்சியான.

என்றால்
, பின்னர் சமன்பாடு

(15)

அழைக்கப்பட்டது நேரியல் ஒரே மாதிரியான . என்றால்
, பின்னர் சமன்பாடு (14) அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் சீரற்ற .

சமன்பாட்டிற்கு (14) ஒரு தீர்வைக் காண ஒருவர் வழக்கமாகப் பயன்படுத்துகிறார் மாற்று முறை (பெர்னோலி) , இதன் சாராம்சம் பின்வருமாறு.

சமன்பாடு (14) க்கு இரண்டு செயல்பாடுகளின் தயாரிப்பு வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைத் தேடுவோம்

, (16)

எங்கே
மற்றும்
- சில தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள். மாற்றுவோம்
மற்றும் வழித்தோன்றல்
சமன்பாட்டில் (14):

செயல்பாடு vநிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் வகையில் நாங்கள் தேர்ந்தெடுப்போம்
. பிறகு
. எனவே, சமன்பாட்டிற்கு (14) தீர்வு காண, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது அவசியம்.

அமைப்பின் முதல் சமன்பாடு ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு மற்றும் மாறிகளைப் பிரிக்கும் முறையால் தீர்க்கப்படலாம்:
,
,
,
,
. ஒரு செயல்பாடாக
ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பகுதி தீர்வுகளில் ஒன்றை நீங்கள் எடுக்கலாம், அதாவது. மணிக்கு உடன்=1:
. கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:
அல்லது
.பிறகு
. எனவே, முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது
.

எடுத்துக்காட்டு 6 . சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
.

தீர்வு . வடிவத்தில் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைத் தேடுவோம்
. பிறகு
. சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

அல்லது
. செயல்பாடு vசமத்துவத்தை நிலைநாட்டும் வகையில் தேர்வு செய்யவும்
. பிறகு
. மாறிகளைப் பிரிக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாடுகளில் முதல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:
,
,
,
,. செயல்பாடு vஇரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:
,
,
,
. இந்த சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு
.

அறிவின் சுய கட்டுப்பாட்டிற்கான கேள்விகள்

வேறுபட்ட சமன்பாடு என்றால் என்ன?

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை என்ன?

எந்த வேறுபாடு சமன்பாடு முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு எவ்வாறு வேறுபட்ட வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது?

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு என்ன தீர்வு?

ஒருங்கிணைந்த வளைவு என்றால் என்ன?

முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு என்ன?

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பகுதி தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு Cauchy பிரச்சனை எவ்வாறு உருவாக்கப்படுகிறது?

கௌச்சி பிரச்சனையின் வடிவியல் விளக்கம் என்ன?

சமச்சீர் வடிவத்தில் பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டை எழுதுவது எப்படி?

எந்த சமன்பாடு முதல் வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க என்ன முறை பயன்படுத்தப்படலாம் மற்றும் இந்த முறையின் சாராம்சம் என்ன?

சுயாதீன வேலைக்கான பணிகள்

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் மூலம் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

A)
; b)
;

V)
; ஜி)
.

2. முதல் வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

A)
; b)
; V)
;

ஜி)
; ஈ)
.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் போன்ற புகழ்பெற்ற கணிதக் கருவியின் வரலாற்றிலிருந்து நாம் தொடங்க வேண்டும் என்று நினைக்கிறேன். அனைத்து வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்களைப் போலவே, இந்த சமன்பாடுகளும் 17 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் நியூட்டனால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அவரது இந்த குறிப்பிட்ட கண்டுபிடிப்பு மிகவும் முக்கியமானது என்று அவர் கருதினார், அவர் ஒரு செய்தியை குறியாக்கம் செய்தார், இன்று இது போன்ற ஏதாவது மொழிபெயர்க்கலாம்: "இயற்கையின் அனைத்து விதிகளும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளால் விவரிக்கப்படுகின்றன." இது மிகைப்படுத்தப்பட்டதாகத் தோன்றினாலும் உண்மைதான். இயற்பியல், வேதியியல், உயிரியல் ஆகியவற்றின் எந்த விதியையும் இந்த சமன்பாடுகளால் விவரிக்க முடியும்.

கணிதவியலாளர்களான யூலர் மற்றும் லாக்ரேஞ்ச் ஆகியோர் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சிக்கும் உருவாக்கத்திற்கும் பெரும் பங்களிப்பைச் செய்தனர். ஏற்கனவே 18 ஆம் நூற்றாண்டில் அவர்கள் இப்போது மூத்த பல்கலைக்கழக படிப்புகளில் படிப்பதைக் கண்டுபிடித்து உருவாக்கினர்.

வித்தியாசமான சமன்பாடுகளின் ஆய்வில் ஒரு புதிய மைல்கல் ஹென்றி பாய்ன்கேருக்கு நன்றி செலுத்தத் தொடங்கியது. அவர் "வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் தரக் கோட்பாட்டை" உருவாக்கினார், இது ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டுடன் இணைந்து, இடவியலின் அடித்தளத்திற்கு குறிப்பிடத்தக்க பங்களிப்பைச் செய்தது - விண்வெளி அறிவியல் மற்றும் அதன் பண்புகள்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் என்றால் என்ன?

இருப்பினும், பலர் ஒரு சொற்றொடரைப் பற்றி பயப்படுகிறார்கள், இந்த கட்டுரையில் இந்த மிகவும் பயனுள்ள கணித கருவியின் முழு சாரத்தையும் விரிவாகக் கோடிட்டுக் காட்டுவோம், இது உண்மையில் பெயரிலிருந்து தோன்றும் அளவுக்கு சிக்கலானது அல்ல. முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் பற்றி பேசத் தொடங்க, இந்த வரையறையுடன் இயல்பாக தொடர்புடைய அடிப்படைக் கருத்துகளை நீங்கள் முதலில் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். மற்றும் நாம் வேறுபாட்டுடன் தொடங்குவோம்.

வித்தியாசமான

பள்ளிப் பருவத்திலிருந்தே இந்த கருத்தை பலர் அறிந்திருக்கிறார்கள். இருப்பினும், அதை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். அதன் எந்தப் பகுதியும் நேர்கோட்டின் வடிவத்தை எடுக்கும் அளவுக்கு நாம் அதை அதிகரிக்கலாம். அதில் ஒன்றுக்கொன்று எல்லையற்ற நெருக்கமாக இருக்கும் இரண்டு புள்ளிகளை எடுத்துக் கொள்வோம். அவற்றின் ஆய (x அல்லது y) இடையே உள்ள வேறுபாடு எல்லையற்றதாக இருக்கும் சிறிய அளவு. இது வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் dy (y இன் வேறுபாடு) மற்றும் dx (x இன் வேறுபாடு) குறிகளால் குறிக்கப்படுகிறது. வேறுபாடு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அளவு அல்ல என்பதைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம், இது அதன் பொருள் மற்றும் முக்கிய செயல்பாடு.

இப்போது நாம் அடுத்த உறுப்பைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும், இது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் கருத்தை விளக்குவதில் நமக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். இது ஒரு வழித்தோன்றல்.

வழித்தோன்றல்

இந்த கருத்தை நாம் அனைவரும் பள்ளியில் கேள்விப்பட்டிருக்கலாம். வழித்தோன்றல் என்பது ஒரு செயல்பாடு அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் விகிதம் என்று கூறப்படுகிறது. இருப்பினும், இந்த வரையறையிலிருந்து மிகவும் தெளிவாகிறது. வேற்றுமைகள் மூலம் வழித்தோன்றலை விளக்க முயற்சிப்போம். இயக்கத்தில் இருக்கும் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாட்டின் எண்ணற்ற பகுதிக்குத் திரும்புவோம் குறைந்தபட்ச தூரம்ஒருவருக்கொருவர். ஆனால் இந்த தூரத்தில் கூட செயல்பாடு சில அளவு மாற்றத்தை நிர்வகிக்கிறது. இந்த மாற்றத்தை விவரிக்க அவர்கள் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டு வந்தனர், இது வேறுபாட்டின் விகிதமாக எழுதப்படலாம்: f(x)"=df/dx.

இப்போது வழித்தோன்றலின் அடிப்படை பண்புகளை கருத்தில் கொள்வது மதிப்பு. அவற்றில் மூன்று மட்டுமே உள்ளன:

ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றல் தொகையாக அல்லது வழித்தோன்றல்களின் வேறுபாடாக குறிப்பிடப்படலாம்: (a+b)"=a"+b" மற்றும் (a-b)"=a"-b".
இரண்டாவது பண்பு பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது. ஒரு பொருளின் வழித்தோன்றல் என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் மற்றொன்றின் வழித்தோன்றல் ஆகும்: (a*b)"=a"*b+a*b".
வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றலை பின்வரும் சமத்துவமாக எழுதலாம்: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

இந்த பண்புகள் அனைத்தும் முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வுகளை கண்டுபிடிப்பதற்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

பகுதி வழித்தோன்றல்களும் உள்ளன. x மற்றும் y மாறிகள் சார்ந்து z செயல்பாடு உள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம். இந்தச் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட, x ஐப் பொறுத்தவரை, நாம் மாறி y ஐ மாறி மாறி வேறுபடுத்த வேண்டும்.

ஒருங்கிணைந்த

மற்றவை முக்கியமான கருத்து- ஒருங்கிணைந்த. உண்மையில், இது ஒரு வழித்தோன்றலுக்கு நேர் எதிரானது. பல வகையான ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன, ஆனால் எளிமையான வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, நமக்கு மிகவும் அற்பமானவை தேவை.

எனவே, நாம் x மீது f இன் சில சார்புகளைக் கொண்டுள்ளோம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். நாம் அதிலிருந்து ஒருங்கிணைப்பை எடுத்து F(x) செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம் (பெரும்பாலும் ஆண்டிடெரிவேடிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது), இதன் வழித்தோன்றல் அசல் செயல்பாட்டிற்கு சமம். இவ்வாறு F(x)"=f(x) மேலும் வழித்தோன்றலின் ஒருங்கிணைப்பு அசல் செயல்பாட்டிற்கு சமம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ஒருங்கிணைப்பின் பொருள் மற்றும் செயல்பாட்டைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம், ஏனென்றால் தீர்வு காண நீங்கள் அவற்றை அடிக்கடி எடுக்க வேண்டும்.

சமன்பாடுகள் அவற்றின் தன்மையைப் பொறுத்து மாறுபடும். அடுத்த பகுதியில், முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் வகைகளைப் பார்ப்போம், பின்னர் அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் வகுப்புகள்

"Diffurs" அவற்றில் உள்ள வழித்தோன்றல்களின் வரிசைப்படி பிரிக்கப்படுகின்றன. இவ்வாறு முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் அதிக வரிசை உள்ளது. அவை பல வகுப்புகளாகவும் பிரிக்கப்படலாம்: சாதாரண மற்றும் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்.

இந்த கட்டுரையில் நாம் முதல் வரிசை சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம். பின்வரும் பிரிவுகளில் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளையும் வழிகளையும் நாங்கள் விவாதிப்போம். நாங்கள் ODE களை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம், ஏனெனில் இவை மிகவும் பொதுவான சமன்பாடுகள். சாதாரணமானவை கிளையினங்களாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன: பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள், ஒரேவிதமான மற்றும் பன்முகத்தன்மை கொண்டவை. அடுத்து, அவை ஒருவருக்கொருவர் எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள், அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வீர்கள்.

கூடுதலாக, இந்த சமன்பாடுகள் ஒன்றிணைக்கப்படலாம், இதனால் நாம் முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புடன் முடிவடையும். அத்தகைய அமைப்புகளையும் நாங்கள் பரிசீலிப்போம், அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

நாம் ஏன் முதல் வரிசையை மட்டும் கருத்தில் கொள்கிறோம்? ஏனென்றால் நீங்கள் எளிமையான ஒன்றைத் தொடங்க வேண்டும், மேலும் ஒரு கட்டுரையில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் தொடர்பான அனைத்தையும் விவரிக்க இயலாது.

பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள்

இவை ஒருவேளை எளிமையான முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளாக இருக்கலாம். இவை பின்வருமாறு எழுதக்கூடிய எடுத்துக்காட்டுகளை உள்ளடக்கியது: y"=f(x)*f(y). இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, வழித்தோன்றலை வேறுபாடுகளின் விகிதமாகக் குறிப்பிடுவதற்கான சூத்திரம் நமக்குத் தேவை: y"=dy/dx. அதைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: dy/dx=f(x)*f(y). இப்போது நிலையான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைக்கு நாம் திரும்பலாம்: மாறிகளை பகுதிகளாகப் பிரிப்போம், அதாவது, y என்ற மாறியுடன் அனைத்தையும் dy அமைந்துள்ள பகுதிக்கு நகர்த்துவோம், மேலும் x மாறியுடன் அதையே செய்வோம். படிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: dy/f(y)=f(x)dx, இது இரு பக்கங்களின் ஒருங்கிணைப்புகளை எடுத்து தீர்க்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பை எடுத்த பிறகு அமைக்க வேண்டிய மாறிலி பற்றி மறந்துவிடாதீர்கள்.

எந்த ஒரு "வேறுபாடு" க்கும் தீர்வு என்பது y இல் x சார்ந்திருப்பதன் செயல்பாடாகும் (எங்கள் விஷயத்தில்) அல்லது, ஒரு எண் நிலை இருந்தால், எண் வடிவத்தில் பதில் கிடைக்கும். ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி முழு தீர்வு செயல்முறையையும் பார்ப்போம்:

மாறிகளை நகர்த்துகிறது வெவ்வேறு பக்கங்கள்:

இப்போது ஒருங்கிணைப்புகளை எடுத்துக் கொள்வோம். அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறப்பு அட்டவணையில் காணலாம். மற்றும் நாம் பெறுகிறோம்:

ln(y) = -2*cos(x) + C

தேவைப்பட்டால், "y" ஐ "x" இன் செயல்பாடாக வெளிப்படுத்தலாம். இப்போது நிபந்தனை குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால் நமது வேறுபாடு சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது என்று சொல்லலாம். ஒரு நிபந்தனையை குறிப்பிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, y(n/2)=e. பின்னர் இந்த மாறிகளின் மதிப்புகளை தீர்வுக்கு பதிலாக மாற்றி மாறிலியின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் இது 1.

முதல் வரிசையின் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

இப்போது மிகவும் கடினமான பகுதிக்கு செல்லலாம். ஒரே மாதிரியான முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை எழுதலாம் பொதுவான பார்வை so: y"=z(x,y). இரண்டு மாறிகளின் சரியான செயல்பாடு ஒரே மாதிரியானது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், மேலும் அதை இரண்டு சார்புகளாகப் பிரிக்க முடியாது: z இல் x மற்றும் z இல் y. என்பதைச் சரிபார்ப்பது மிகவும் எளிது. சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானதா இல்லையா: நாம் x=k*x மற்றும் y=k*y ஐ மாற்றியமைக்கிறோம் மேலே, நாங்கள் கூறுவோம்: இந்த எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான கொள்கையும் மிகவும் எளிது.

நாம் மாற்றீடு செய்ய வேண்டும்: y=t(x)*x, t என்பது xஐயும் சார்ந்திருக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடு. பின்னர் நாம் வழித்தோன்றலை வெளிப்படுத்தலாம்: y"=t"(x)*x+t. இதையெல்லாம் நமது அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றி, எளிமைப்படுத்தினால், t மற்றும் x ஆகிய பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட உதாரணத்தைப் பெறுகிறோம். நாங்கள் அதைத் தீர்த்து, சார்பு t(x) ஐப் பெறுகிறோம். நாங்கள் அதைப் பெற்றவுடன், y=t(x)*x ஐ எங்கள் முந்தைய மாற்றாக மாற்றுவோம். பின்னர் x இல் y இன் சார்பு கிடைக்கும்.

அதை தெளிவுபடுத்த, ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: x*y"=y-x*e y/x .

மாற்றுடன் சரிபார்க்கும் போது, எல்லாம் குறைக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள் சமன்பாடு உண்மையிலேயே ஒரே மாதிரியானது. இப்போது நாம் பேசிய மற்றொரு மாற்றீட்டைச் செய்கிறோம்: y=t(x)*x மற்றும் y"=t"(x)*x+t(x). எளிமைப்படுத்திய பிறகு, நாம் பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: t"(x)*x=-e t. விளைந்த எடுத்துக்காட்டைப் பிரிக்கப்பட்ட மாறிகள் மூலம் தீர்த்து, பெறுவோம்: e -t =ln(C*x). நாம் செய்ய வேண்டியது எல்லாம் மாற்றுவதுதான். t உடன் y/x (எல்லாவற்றுக்கும் மேலாக, y =t*x என்றால், t=y/x), மற்றும் பதில் கிடைக்கும்: e -y/x =ln(x*C).

முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

மற்றொரு பரந்த தலைப்பைப் பார்க்க வேண்டிய நேரம் இது. முதல்-வரிசை ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம். முந்தைய இரண்டிலிருந்து அவை எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? அதை கண்டுபிடிக்கலாம். பொதுவான வடிவத்தில் முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளை பின்வருமாறு எழுதலாம்: y" + g(x)*y=z(x). z(x) மற்றும் g(x) ஆகியவை நிலையான அளவுகளாக இருக்கலாம் என்பதை தெளிவுபடுத்துவது மதிப்பு.

இப்போது ஒரு உதாரணம்: y" - y*x=x 2 .

இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன, இரண்டையும் வரிசையாகப் பார்ப்போம். முதலாவது தன்னிச்சையான மாறிலிகளை மாற்றும் முறை.

இந்த வழியில் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் முதலில் வலது பக்கத்தை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும், இது பகுதிகளை மாற்றிய பின், படிவத்தை எடுக்கும்:

ln|y|=x 2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2.

இப்போது நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய நிலையான C 1 ஐ v(x) செயல்பாட்டுடன் மாற்ற வேண்டும்.

வழித்தோன்றலை மாற்றுவோம்:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

இந்த வெளிப்பாடுகளை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

இடது பக்கத்தில் இரண்டு சொற்கள் ரத்து செய்யப்படுவதை நீங்கள் காணலாம். சில எடுத்துக்காட்டில் இது நடக்கவில்லை என்றால், நீங்கள் ஏதோ தவறு செய்தீர்கள். தொடர்வோம்:

v"*e x2/2 = x 2 .

இப்போது நாம் வழக்கமான சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம், அதில் மாறிகளை பிரிக்க வேண்டும்:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

ஒருங்கிணைப்பைப் பிரித்தெடுக்க, நாம் இங்கே பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இருப்பினும், இது எங்கள் கட்டுரையின் தலைப்பு அல்ல. நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், அத்தகைய செயல்களை நீங்களே எவ்வாறு செய்வது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்ளலாம். இது கடினம் அல்ல, போதுமான திறமை மற்றும் கவனிப்புடன் இது அதிக நேரம் எடுக்காது.

ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் இரண்டாவது முறைக்கு வருவோம்: பெர்னோலியின் முறை. எந்த அணுகுமுறை விரைவானது மற்றும் எளிதானது என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

எனவே, இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது, நாம் ஒரு மாற்றீடு செய்ய வேண்டும்: y=k*n. இங்கே k மற்றும் n சில x-சார்ந்த செயல்பாடுகள். பின்னர் வழித்தோன்றல் இப்படி இருக்கும்: y"=k"*n+k*n". இரண்டு மாற்றீடுகளையும் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

குழுவாக்கம்:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

இப்போது அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்ய வேண்டும். இப்போது, இரண்டு சமன்பாடுகளையும் இணைத்தால், தீர்க்கப்பட வேண்டிய முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

முதல் சமத்துவத்தை ஒரு சாதாரண சமன்பாடாக தீர்க்கிறோம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் மாறிகளை பிரிக்க வேண்டும்:

நாம் ஒருங்கிணைப்பை எடுத்து பெறுகிறோம்: ln(n)=x 2/2. பின்னர், நாம் n ஐ வெளிப்படுத்தினால்:

இப்போது நாம் விளைந்த சமத்துவத்தை கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

k"*e x2/2 =x 2 .

மற்றும் மாற்றுவதன் மூலம், முதல் முறையைப் போலவே சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்:

dk=x 2 /e x2/2.

நாங்களும் பிரிக்க மாட்டோம் மேலும் நடவடிக்கைகள். முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளை முதலில் தீர்ப்பது குறிப்பிடத்தக்க சிரமங்களை ஏற்படுத்துகிறது என்று சொல்வது மதிப்பு. இருப்பினும், நீங்கள் தலைப்பை ஆழமாக ஆராயும்போது, அது சிறப்பாகவும் சிறப்பாகவும் செயல்படத் தொடங்குகிறது.

வேறுபாடு சமன்பாடுகள் எங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன?

இயற்பியலில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் மிகவும் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஏனெனில் கிட்டத்தட்ட அனைத்து அடிப்படை விதிகளும் வேறுபட்ட வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன, மேலும் நாம் காணும் சூத்திரங்கள் இந்த சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளாகும். வேதியியலில் அவை ஒரே காரணத்திற்காகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: அடிப்படைச் சட்டங்கள் அவற்றின் உதவியுடன் பெறப்படுகின்றன. உயிரியலில், வேட்டையாடும் மற்றும் இரை போன்ற அமைப்புகளின் நடத்தையை மாதிரியாக மாற்றுவதற்கு வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. நுண்ணுயிரிகளின் காலனியின் இனப்பெருக்க மாதிரிகளை உருவாக்கவும் அவை பயன்படுத்தப்படலாம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் வாழ்க்கையில் உங்களுக்கு எவ்வாறு உதவ முடியும்?

இந்த கேள்விக்கான பதில் எளிது: இல்லை. நீங்கள் ஒரு விஞ்ஞானி அல்லது பொறியியலாளர் இல்லை என்றால், அவர்கள் உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்க வாய்ப்பில்லை. இருப்பினும், பொதுவான வளர்ச்சிக்கு, வேறுபட்ட சமன்பாடு என்றால் என்ன, அது எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகிறது என்பதை அறிவது வலிக்காது. பின்னர் மகன் அல்லது மகளின் கேள்வி "வேறுபட்ட சமன்பாடு என்றால் என்ன?" உங்களை குழப்பாது. சரி, நீங்கள் ஒரு விஞ்ஞானி அல்லது பொறியியலாளர் என்றால், எந்தவொரு அறிவியலிலும் இந்த தலைப்பின் முக்கியத்துவத்தை நீங்களே புரிந்துகொள்கிறீர்கள். ஆனால் மிக முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், இப்போது கேள்வி "முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?" நீங்கள் எப்போதும் பதில் கொடுக்க முடியும். ஒப்புக்கொள், மக்கள் புரிந்து கொள்ள பயப்படும் ஒன்றை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளும்போது அது எப்போதும் நன்றாக இருக்கும்.

படிப்பதில் உள்ள முக்கிய பிரச்சனைகள்

இந்த தலைப்பைப் புரிந்துகொள்வதில் உள்ள முக்கிய பிரச்சனை, செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைத்து வேறுபடுத்துவதில் மோசமான திறன் ஆகும். வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளை எடுத்துக்கொள்வதில் நீங்கள் மோசமாக இருந்தால், அது படிப்பது மற்றும் தேர்ச்சி பெறுவது மதிப்புக்குரியது வெவ்வேறு முறைகள்ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வேறுபாடு, பின்னர் மட்டுமே கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்ட பொருளைப் படிக்கத் தொடங்குங்கள்.

dx-ஐ எடுத்துச் செல்ல முடியும் என்பதை அறியும்போது சிலர் ஆச்சரியப்படுகிறார்கள், ஏனென்றால் முன்பு (பள்ளியில்) dy/dx என்ற பின்னம் பிரிக்க முடியாதது என்று கூறப்பட்டது. இங்கே நீங்கள் வழித்தோன்றல் பற்றிய இலக்கியங்களைப் படித்து, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது கையாளக்கூடிய எண்ணற்ற அளவுகளின் விகிதம் என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பெரும்பாலும் ஒரு செயல்பாடு அல்லது ஒரு ஒருங்கிணைந்த செயல் என்பதை பலர் உடனடியாக உணரவில்லை, மேலும் இந்த தவறான கருத்து அவர்களுக்கு நிறைய சிக்கல்களைத் தருகிறது.

சிறந்த புரிதலுக்கு வேறு என்ன படிக்கலாம்?

உலகில் மேலும் மூழ்கத் தொடங்குவது சிறந்தது வேறுபட்ட கணக்கீடுசிறப்பு பாடப்புத்தகங்களிலிருந்து, எடுத்துக்காட்டாக, கணிதம் அல்லாத சிறப்பு மாணவர்களுக்கான கணித பகுப்பாய்வு. பின்னர் நீங்கள் இன்னும் சிறப்பு இலக்கியத்திற்கு செல்லலாம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கு மேலதிகமாக, ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகளும் உள்ளன, எனவே நீங்கள் எப்போதும் பாடுபடுவதற்கும் படிப்பதற்கும் ஏதாவது இருக்கும் என்று சொல்வது மதிப்பு.

முடிவுரை

இந்தக் கட்டுரையைப் படித்த பிறகு, வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் என்ன, அவற்றை எவ்வாறு சரியாகத் தீர்ப்பது என்பது பற்றிய யோசனை உங்களுக்கு இருக்கும் என்று நம்புகிறோம்.

எப்படியிருந்தாலும், கணிதம் நமக்கு வாழ்க்கையில் ஏதாவது ஒரு வகையில் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இது தர்க்கத்தையும் கவனத்தையும் உருவாக்குகிறது, இது இல்லாமல் ஒவ்வொரு நபரும் கைகள் இல்லாமல் இருக்கிறார்கள்.

வேறுபட்ட சமன்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவற்றை உள்ளடக்கிய ஒரு சமன்பாடாகும். பெரும்பாலான நடைமுறை சிக்கல்களில், செயல்பாடுகள் உள்ளன உடல் அளவுகள், வழித்தோன்றல்கள் இந்த அளவுகளின் மாற்ற விகிதங்களுக்கு ஒத்திருக்கும், மேலும் சமன்பாடு அவற்றுக்கிடையேயான உறவை தீர்மானிக்கிறது.

இந்த கட்டுரை சில வகையான சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது, அவற்றின் தீர்வுகள் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம் அடிப்படை செயல்பாடுகள், அதாவது, பல்லுறுப்புக்கோவை, அதிவேக, மடக்கை மற்றும் முக்கோணவியல், அத்துடன் அவற்றின் தலைகீழ் செயல்பாடுகள். இதில் பல சமன்பாடுகள் தோன்றும் உண்மையான வாழ்க்கை, இந்த முறைகளால் மற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்க முடியாது என்றாலும், அவற்றுக்கான பதில் சிறப்பு செயல்பாடுகள் அல்லது சக்தித் தொடரின் வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது, அல்லது காணப்படுகிறது எண் முறைகள்.

இந்தக் கட்டுரையைப் புரிந்து கொள்ள, நீங்கள் வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸில் நிபுணத்துவம் பெற்றவராக இருக்க வேண்டும், அத்துடன் பகுதி வழித்தோன்றல்களைப் பற்றிய சில புரிதல்களையும் கொண்டிருக்க வேண்டும். வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் நேரியல் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைகளை அறியவும் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, குறிப்பாக இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள், இருப்பினும் அவற்றைத் தீர்க்க வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் பற்றிய அறிவு போதுமானது.

முதற்கட்ட தகவல்

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் ஒரு விரிவான வகைப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன. பற்றி இந்தக் கட்டுரை பேசுகிறது சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள், அதாவது, ஒரு மாறியின் செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களை உள்ளடக்கிய சமன்பாடுகள் பற்றி. சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் புரிந்துகொள்வதற்கும் தீர்ப்பதற்கும் மிகவும் எளிதானது பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள், இதில் பல மாறிகளின் செயல்பாடுகள் அடங்கும். இந்த சமன்பாடுகளை தீர்ப்பதற்கான முறைகள் பொதுவாக அவற்றின் குறிப்பிட்ட வடிவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுவதால், இந்த கட்டுரை பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் பற்றி விவாதிக்கவில்லை.
- சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ளன.
  - d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
- பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ளன.
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\ displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\பகுதி y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2))=0)
ஆர்டர்ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு இந்த சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலின் வரிசையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. மேலே உள்ள சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளில் முதலாவது முதல் வரிசை, இரண்டாவது இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடு ஆகும். பட்டம்வேறுபட்ட சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது உயர்ந்த பட்டம், இந்த சமன்பாட்டின் விதிமுறைகளில் ஒன்று உயர்த்தப்பட்டது.
- எடுத்துக்காட்டாக, கீழே உள்ள சமன்பாடு மூன்றாம் வரிசை மற்றும் இரண்டாம் நிலை.
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\ displaystyle \left((\frac (\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ வலது)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுசெயல்பாடு மற்றும் அதன் அனைத்து வழித்தோன்றல்களும் முதல் நிலையில் இருந்தால். இல்லையெனில் சமன்பாடு நேரியல் அல்லாத வேறுபாடு சமன்பாடு. நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள் குறிப்பிடத்தக்கவை, அவற்றின் தீர்வுகள் நேரியல் சேர்க்கைகளை உருவாக்கப் பயன்படுத்தப்படலாம், அவை கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளாகவும் இருக்கும்.
- நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ளன.
- நேரியல் அல்லாத வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ளன. சைன் காலத்தின் காரணமாக முதல் சமன்பாடு நேரியல் அல்ல.
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t)\ right)^(2)+tx^(2)=0)
பொதுவான முடிவுசாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு தனித்துவமானது அல்ல, அதில் அடங்கும் தன்னிச்சையான ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிகள். பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை சமன்பாட்டின் வரிசைக்கு சமமாக இருக்கும். நடைமுறையில், இந்த மாறிலிகளின் மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டதன் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன ஆரம்ப நிலைமைகள், அதாவது, செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களின் படி x = 0. (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x=0.)கண்டுபிடிக்க வேண்டிய ஆரம்ப நிலைகளின் எண்ணிக்கை தனிப்பட்ட தீர்வுவேறுபட்ட சமன்பாடு, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வரிசைக்கு சமமாக இருக்கும்.
- எடுத்துக்காட்டாக, இந்த கட்டுரை கீழே உள்ள சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது. இது இரண்டாவது வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும். அதன் பொதுவான தீர்வு இரண்டு தன்னிச்சையான மாறிலிகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த மாறிலிகளைக் கண்டறிய, ஆரம்ப நிலைகளை அறிந்து கொள்வது அவசியம் x (0) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x(0))மற்றும் x′ (0) . (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x"(0))பொதுவாக ஆரம்ப நிலைகள் புள்ளியில் குறிப்பிடப்படுகின்றன x = 0 , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x=0,), இது தேவையில்லை என்றாலும். கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலைகளுக்கு குறிப்பிட்ட தீர்வுகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதையும் இந்தக் கட்டுரை விவாதிக்கும்.
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

படிகள்

பகுதி 1

முதல் வரிசை சமன்பாடுகள்

இந்தச் சேவையைப் பயன்படுத்தும் போது, சில தகவல்கள் YouTubeக்கு மாற்றப்படலாம்.

முதல் வரிசையின் நேரியல் சமன்பாடுகள்.சில சொற்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது பொதுவாக மற்றும் சிறப்பு நிகழ்வுகளில் முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை இந்தப் பிரிவு விவாதிக்கிறது. என்று பாசாங்கு செய்யலாம் y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் p(x))மற்றும் q (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் q(x))செயல்பாடுகளாகும் எக்ஸ். (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x.)
D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) x))+p(x)y=q(x ))
P (x) = 0. (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் p(x)=0.)முக்கிய கோட்பாடுகளில் ஒன்றின் படி கணித பகுப்பாய்வு, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் ஒருங்கிணைப்பும் ஒரு செயல்பாடாகும். எனவே, அதன் தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தால் போதும். கணக்கிடும் போது இது கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி தோன்றும்.
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)
Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)நாங்கள் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் மாறிகள் பிரித்தல். இது வெவ்வேறு மாறிகளை சமன்பாட்டின் வெவ்வேறு பக்கங்களுக்கு நகர்த்துகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் எல்லா உறுப்பினர்களையும் இதிலிருந்து நகர்த்தலாம் y (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y)ஒன்றாக, மற்றும் அனைத்து உறுப்பினர்களும் x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x)சமன்பாட்டின் மறுபுறம். உறுப்பினர்களையும் இடமாற்றம் செய்யலாம் d x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் (\mathrm (d) )x)மற்றும் d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), இது வழித்தோன்றல் வெளிப்பாடுகளில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் இவை நியாயமானவை என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும் சின்னம், வேறுபடுத்தும் போது வசதியானது சிக்கலான செயல்பாடு. அழைக்கப்படும் இந்த உறுப்பினர்களின் கலந்துரையாடல் வேறுபாடுகள், இந்த கட்டுரையின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது.
- முதலில், நீங்கள் மாறிகளை சம அடையாளத்தின் எதிர் பக்கங்களுக்கு நகர்த்த வேண்டும்.
  - 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
- சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம். ஒருங்கிணைப்புக்குப் பிறகு, தன்னிச்சையான மாறிலிகள் இருபுறமும் தோன்றும், அவை சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படும்.
  - ln ⁡ y = ∫ - p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
  - y (x) = e - ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- எடுத்துக்காட்டு 1.1.அன்று கடைசி படிநாங்கள் விதியைப் பயன்படுத்தினோம் e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))மற்றும் மாற்றப்பட்டது e C (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் e^(C))அன்று சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் சி), இதுவும் ஒரு தன்னிச்சையான ஒருங்கிணைப்பு மாறிலி என்பதால்.
  - d y d x - 2 y sin ⁡ x = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
  - 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos x (\n )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))
P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க நாங்கள் அறிமுகப்படுத்தினோம் ஒருங்கிணைக்கும் காரணிஒரு செயல்பாடாக x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x)இடது பக்கத்தை ஒரு பொதுவான வழித்தோன்றலாகக் குறைத்து, சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.
- இருபுறமும் பெருக்கவும் μ (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \mu (x))
  - μd y d x + μp y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
- இடது புறத்தை பொதுவான வழித்தோன்றலுக்குக் குறைக்க, பின்வரும் மாற்றங்கள் செய்யப்பட வேண்டும்:
  - d d x (μ y) = d μd x y + μd y d x = μd y d x + μp y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d))((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- கடைசி சமத்துவம் என்று பொருள் d μd x = μp (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\mu )((\mathrm (d) )x)=\mu p). எந்தவொரு முதல்-வரிசை நேரியல் சமன்பாட்டையும் தீர்க்க இது போதுமான ஒருங்கிணைக்கும் காரணியாகும். இப்போது இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தை நாம் பெறலாம் μ , (\ காட்சி பாணி \mu ,)அனைத்து இடைநிலை கணக்கீடுகளையும் செய்ய பயிற்சிக்கு பயனுள்ளதாக இருந்தாலும்.
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- எடுத்துக்காட்டு 1.2. IN இந்த எடுத்துக்காட்டில்கொடுக்கப்பட்ட ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்று கருதப்பட்டது ஆரம்ப நிலைமைகள்.
  - t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\ displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
  - d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
  - d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)))
  - 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
முதல் வரிசையின் நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது (இன்ட்யூட் - நேஷனல் ஓபன் யுனிவர்சிட்டியால் பதிவு செய்யப்பட்டது).
நேரியல் அல்லாத முதல் வரிசை சமன்பாடுகள். இந்தப் பிரிவு சில முதல்-வரிசை நேரியல் அல்லாத வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது. அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான முறை இல்லை என்றாலும், அவற்றில் சிலவற்றை கீழே உள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம்.
D y d x = f (x , y) (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) . (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)செயல்பாடு என்றால் f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளாகப் பிரிக்கலாம், அத்தகைய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடு. இந்த வழக்கில், நீங்கள் மேலே உள்ள முறையைப் பயன்படுத்தலாம்:
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d))y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )எக்ஸ்)
- எடுத்துக்காட்டு 1.3.
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் (\ ஆரம்பம்(சீரமைக்கப்பட்டது)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)))
D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))))என்று பாசாங்கு செய்யலாம் g (x , y) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் g(x,y))மற்றும் h (x , y) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் h(x,y))செயல்பாடுகளாகும் x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x)மற்றும் ஒய். (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y.)பிறகு ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுஎன்பது ஒரு சமன்பாடு g (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ஜி)மற்றும் h (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் h)உள்ளன ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகள்அதே அளவிற்கு. அதாவது, செயல்பாடுகள் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)எங்கே கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் கே)ஒருமைப்பாடு பட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எந்தவொரு ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு பொருத்தமானது மூலம் பயன்படுத்தப்படலாம் மாறிகளின் மாற்றீடுகள் (v = y / x (\displaystyle v=y/x)அல்லது v = x / y (\displaystyle v=x/y)) பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாட்டிற்கு மாற்றவும்.
- எடுத்துக்காட்டு 1.4.ஒருமைப்பாட்டின் மேலே உள்ள விளக்கம் தெளிவாகத் தெரியவில்லை. இந்த கருத்தை ஒரு உதாரணத்துடன் பார்ப்போம்.
  - d y d x = y 3 - x 3 y 2 x (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
  - தொடங்குவதற்கு, இந்த சமன்பாடு நேரியல் அல்ல என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் ஒய். (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y.)இந்த விஷயத்தில் மாறிகளைப் பிரிப்பது சாத்தியமில்லை என்பதையும் நாங்கள் காண்கிறோம். அதே நேரத்தில், இந்த வேறுபாடு சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானது, ஏனெனில் எண் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டும் 3 இன் சக்தியுடன் ஒரே மாதிரியானவை. எனவே, மாறிகளில் மாற்றத்தை செய்யலாம். v = y/x. (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v=y/x.)
  - d y d x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
  - y = v x, d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
  - d v d x x = - 1 v 2 . (\ டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))))இதன் விளைவாக, எங்களிடம் சமன்பாடு உள்ளது v (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v)பிரிக்கக்கூடிய மாறிகளுடன்.
  - v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
  - y (x) = x - 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)இது பெர்னௌலி வேறுபாடு சமன்பாடு - சிறப்பு வகைமுதல் பட்டத்தின் நேரியல் சமன்பாடு, இதன் தீர்வை அடிப்படை செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம்.
- சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்கவும் (1 - n) y − n (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் (1-n)y^(-n)):
  - (1 - n) y - n d y d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- இடதுபுறத்தில் உள்ள ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சமன்பாட்டை நேரியல் சமன்பாட்டாக மாற்றுகிறோம் y 1 - n , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y^(1-n),)மேலே உள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும்.
  - d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\ displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.)இது சமன்பாடு முழு வேறுபாடுகள் . என்று அழைக்கப்படுவதைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் சாத்தியமான செயல்பாடு φ (x , y) , (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \varphi (x,y),), இது நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது d φ d x = 0. (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)
- இந்த நிபந்தனையை நிறைவேற்ற, அது அவசியம் மொத்த வழித்தோன்றல். மொத்த வழித்தோன்றல் மற்ற மாறிகள் சார்ந்திருப்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது. மொத்த வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட φ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \varphi )மூலம் x , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x,)என்று நாங்கள் கருதுகிறோம் y (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y)சார்ந்து இருக்கலாம் எக்ஸ். (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x.)
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\ டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் (\frac ((\mathrm (d))\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (hi\partial )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- விதிமுறைகளை ஒப்பிடுவது நமக்குத் தருகிறது M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))மற்றும் N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)))பல மாறிகளில் உள்ள சமன்பாடுகளுக்கான பொதுவான முடிவு இது, இதில் மென்மையான செயல்பாடுகளின் கலப்பு வழித்தோன்றல்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும். சில நேரங்களில் இந்த வழக்கு அழைக்கப்படுகிறது Clairaut இன் தேற்றம். இந்த வழக்கில், பின்வரும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், வேறுபட்ட சமன்பாடு மொத்த வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும்:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
- மொத்த வேறுபாடுகளில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறை, பல வழித்தோன்றல்களின் முன்னிலையில் சாத்தியமான செயல்பாடுகளைக் கண்டறிவதைப் போன்றது, அதை நாம் சுருக்கமாக விவாதிப்போம். முதலில் ஒருங்கிணைப்போம் எம் (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் எம்)மூலம் எக்ஸ். (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x.)ஏனெனில் எம் (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் எம்)ஒரு செயல்பாடு மற்றும் x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x), மற்றும் y , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y,)ஒருங்கிணைக்கும்போது நாம் ஒரு முழுமையற்ற செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம் φ , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \varphi ,)என நியமிக்கப்பட்டுள்ளது φ ~ (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் (\tilde (\varphi ))). முடிவும் சார்ந்துள்ளது y (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y)ஒருங்கிணைப்பு மாறிலி.
  - φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
- இதற்குப் பிறகு, பெற c (y) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் c(y))விளைந்த செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து நாம் எடுக்கலாம் y , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y,)முடிவை சமன் N (x , y) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் N(x,y))மற்றும் ஒருங்கிணைக்க. நீங்கள் முதலில் ஒருங்கிணைக்கலாம் N (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் N), பின்னர் பகுதி வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x), இது ஒரு தன்னிச்சையான செயல்பாட்டைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும் d(x) (\displaystyle d(x))இரண்டு முறைகளும் பொருத்தமானவை, பொதுவாக எளிமையான செயல்பாடு ஒருங்கிணைப்புக்குத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது.
  - N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\frac (\partial \varphi )(\ partial y))=\frac (\ பகுதி (\tilde (\varphi )))(\பகுதி y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
- எடுத்துக்காட்டு 1.5.நீங்கள் பகுதி வழித்தோன்றல்களை எடுத்துக் கொள்ளலாம் மற்றும் கீழே உள்ள சமன்பாடு மொத்த வேறுபாடு சமன்பாடு என்பதைக் காணலாம்.
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin (aligned)\varp &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\பகுதி) \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) y))\end(aligned)))
  - d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))c)((\mathrm (d) y))=0,\quad c(y)=C)
  - x 3 + x y 2 = C (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x^(3)+xy^(2)=C)
- வேறுபட்ட சமன்பாடு மொத்த வேறுபாடு சமன்பாடு இல்லை என்றால், சில சமயங்களில் நீங்கள் அதை மொத்த வேறுபாடு சமன்பாட்டாக மாற்ற அனுமதிக்கும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த காரணியைக் காணலாம். இருப்பினும், இத்தகைய சமன்பாடுகள் நடைமுறையில் அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மற்றும் ஒருங்கிணைக்கும் காரணி என்றாலும் உள்ளது, அதைக் கண்டுபிடிப்பது நடக்கும் எளிதானது அல்ல, எனவே இந்த சமன்பாடுகள் இந்த கட்டுரையில் கருதப்படவில்லை.

பகுதி 2

இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடுகள்

நிலையான குணகங்களுடன் ஒரே மாதிரியான நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.இந்த சமன்பாடுகள் நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, எனவே அவற்றின் தீர்வு முதன்மை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. இந்த வழக்கில், நாங்கள் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகளைப் பற்றி பேசவில்லை, ஆனால் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் 0 இருப்பதைப் பற்றி அடுத்த பகுதி அதை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் காட்டுகிறது பன்முகத்தன்மை கொண்டவகைக்கெழு சமன்பாடுகள். கீழே a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் a)மற்றும் b (\ displaystyle b)மாறிலிகளாகும்.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
சிறப்பியல்பு சமன்பாடு. இந்த வேறுபாடு சமன்பாடு குறிப்பிடத்தக்கது, அதன் தீர்வுகள் என்ன பண்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதில் நீங்கள் கவனம் செலுத்தினால், அதை மிக எளிதாக தீர்க்க முடியும். சமன்பாட்டிலிருந்து அது தெளிவாகிறது y (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y)மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்கள் ஒன்றுக்கொன்று விகிதாசாரமாகும். முதல்-வரிசை சமன்பாடுகள் பிரிவில் விவாதிக்கப்பட்ட முந்தைய எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, ஒரு அதிவேக சார்பு மட்டுமே இந்த பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் அறிவோம். எனவே, முன்வைக்க முடியும் அன்சாட்ஸ்(ஒரு படித்த யூகம்) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு என்ன தீர்வு இருக்கும் என்பது பற்றி.
- தீர்வு ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும் e r x , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் e^(rx),)எங்கே r (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் r)ஒரு மாறிலி, அதன் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். இந்தச் செயல்பாட்டை சமன்பாட்டில் மாற்றவும் மற்றும் பெறவும் அடுத்த வெளிப்பாடு
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- இந்த சமன்பாடு ஒரு அதிவேக சார்பு மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. டிகிரியின் எந்த மதிப்புகளுக்கும் அடுக்கு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது என்பது அறியப்படுகிறது. இதிலிருந்து நாம் பல்லுறுப்புக்கோவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று முடிவு செய்கிறோம். எனவே, ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் மிகவும் எளிமையான சிக்கலாக வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் உள்ள சிக்கலைக் குறைத்துள்ளோம், இது கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பண்புச் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
  - r 2 + a r + b = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் r^(2)+ar+b=0)
  - r ± = - a ± a 2 - 4 b 2 (\ displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- எங்களுக்கு இரண்டு வேர்கள் கிடைத்தன. இந்த வேறுபாடு சமன்பாடு நேரியல் என்பதால், அதன் பொதுவான தீர்வு பகுதி தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையாகும். இது இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடு என்பதால், அது என்று நமக்குத் தெரியும் உண்மையில்பொதுவான தீர்வு, மற்றவை இல்லை. பாடப்புத்தகங்களில் காணக்கூடிய ஒரு தீர்வின் இருப்பு மற்றும் தனித்தன்மை பற்றிய கோட்பாடுகளில் இதற்கு மிகவும் கடுமையான நியாயம் உள்ளது.
- இரண்டு தீர்வுகள் நேரியல் சார்பற்றதா என்பதைச் சரிபார்க்க ஒரு பயனுள்ள வழி கணக்கிடுவது வ்ரோன்ஸ்கியானா. வ்ரோன்ஸ்கியன் W (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் W)ஒரு மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் ஆகும், அதன் நெடுவரிசைகளில் செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன. நேரியல் இயற்கணிதம் தேற்றம், வ்ரோன்ஸ்கியன் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், வ்ரோன்ஸ்கியனில் உள்ள செயல்பாடுகள் நேரியல் சார்ந்து இருக்கும் என்று கூறுகிறது. இந்த பிரிவில், இரண்டு தீர்வுகள் நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமானவையா என்பதை நாம் சரிபார்க்கலாம் - இதைச் செய்ய, வ்ரோன்ஸ்கியன் பூஜ்ஜியமாக இல்லை என்பதை உறுதிப்படுத்த வேண்டும். மாறுபட்ட அளவுருக்கள் மூலம் நிலையான குணகங்களுடன் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது வ்ரோன்ஸ்கியன் முக்கியமானது.
  - W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- நேரியல் இயற்கணிதம் அடிப்படையில், கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான அனைத்து தீர்வுகளின் தொகுப்பு ஒரு திசையன் இடத்தை உருவாக்குகிறது, அதன் பரிமாணம் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசைக்கு சமமாக இருக்கும். இந்த இடத்தில் ஒரு அடிப்படையை தேர்வு செய்யலாம் நேரியல் சார்பற்றதுஒருவருக்கொருவர் முடிவுகள். செயல்பாட்டின் காரணமாக இது சாத்தியமாகும் y (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y(x))செல்லுபடியாகும் நேரியல் இயக்கி. வழித்தோன்றல் இருக்கிறதுலீனியர் ஆபரேட்டர், ஏனெனில் இது வேறுபட்ட செயல்பாடுகளின் இடத்தை அனைத்து செயல்பாடுகளின் இடமாக மாற்றுகிறது. எந்த நேரியல் ஆபரேட்டருக்கும் சமன்பாடுகள் ஒரே மாதிரியானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன எல் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் எல்)நாம் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு காண வேண்டும் L [ y ] = 0. (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் L[y]=0.)
இப்போது பல குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் பல வேர்களின் வழக்கை சிறிது நேரம் கழித்து, வரிசையைக் குறைப்பதற்கான பிரிவில் பரிசீலிப்போம்.
வேர்கள் என்றால் r ± (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் r_(\pm ))வெவ்வேறு உண்மையான எண்கள், வேறுபாடு சமன்பாட்டில் பின்வரும் தீர்வு உள்ளது
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r - x (\ displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))
இரண்டு சிக்கலான வேர்கள்.இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்திலிருந்து, உண்மையான குணகங்களுடன் கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகள் உண்மையான அல்லது இணைந்த ஜோடிகளை உருவாக்கும் வேர்களைக் கொண்டுள்ளன. எனவே, என்றால் சிக்கலான எண் r = α + i β (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் r=\alpha +i\beta)என்பது சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர் r ∗ = α − i β (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் r^(*)=\alpha -i\beta )இந்த சமன்பாட்டின் மூலமும் ஆகும். எனவே, படிவத்தில் தீர்வு எழுதலாம் c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)இருப்பினும், இது ஒரு சிக்கலான எண் மற்றும் நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு விரும்பத்தக்கதல்ல.
- அதற்கு பதிலாக நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆய்லரின் சூத்திரம் e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), இது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வடிவத்தில் தீர்வை எழுத உங்களை அனுமதிக்கிறது:
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் e^(\alpha x)(c_(1)\cos பீட்டா x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
- இப்போது நீங்கள் நிலையான பதிலாக முடியும் c 1 + c 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் c_(1)+c_(2))எழுது c 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் c_(1)), மற்றும் வெளிப்பாடு i (c 1 - c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))மூலம் மாற்றப்பட்டது c 2 . (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் சி_(2).)இதற்குப் பிறகு, பின்வரும் தீர்வைப் பெறுகிறோம்:
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
- வீச்சு மற்றும் கட்டத்தின் அடிப்படையில் தீர்வை எழுத மற்றொரு வழி உள்ளது, இது இயற்பியல் சிக்கல்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது.
- எடுத்துக்காட்டு 2.1.கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலைகளுடன் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் காண்போம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் விளைந்த தீர்வை எடுக்க வேண்டும். அத்துடன் அதன் வழித்தோன்றல், மற்றும் ஆரம்ப நிலைகளில் அவற்றை மாற்றவும், இது தன்னிச்சையான மாறிலிகளை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கும்.
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) ^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 2 ± 31 2 i (\ displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )நான்)
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)
  - x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
  - x ′ (t) = − 3 2 e - 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 31 sin ⁡ + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\ displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\வலது)\முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)))
  - x ′ (0) = − 1 = - 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
நிலையான குணகங்களுடன் n வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது (இன்ட்யூட் - நேஷனல் திறந்த பல்கலைக்கழகத்தால் பதிவு செய்யப்பட்டது).
ஒழுங்கு குறைகிறது.வரிசைக் குறைப்பு என்பது ஒரு நேரியல் சார்பற்ற தீர்வு அறியப்படும் போது வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையாகும். இந்த முறை சமன்பாட்டின் வரிசையை ஒன்றால் குறைப்பதைக் கொண்டுள்ளது, இது முந்தைய பிரிவில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. தீர்வு தெரியட்டும். ஆர்டர் குறைப்புக்கான முக்கிய யோசனை, கீழே உள்ள வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதாகும், அங்கு செயல்பாட்டை வரையறுக்க வேண்டியது அவசியம். v (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v(x)), வேறுபட்ட சமன்பாட்டில் அதை மாற்றுதல் மற்றும் கண்டறிதல் v(x). (\displaystyle v(x))நிலையான குணகங்கள் மற்றும் பல வேர்களைக் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வரிசைக் குறைப்பு எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்.

பல வேர்கள்நிலையான குணகங்களுடன் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு. இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடு இரண்டு நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க. என்றால் சிறப்பியல்பு சமன்பாடுபல வேர்கள், பல தீர்வுகள் உள்ளன இல்லைஇந்த தீர்வுகள் நேரியல் சார்ந்து இருப்பதால் ஒரு இடத்தை உருவாக்குகிறது. இந்த வழக்கில், இரண்டாவது நேரியல் சுயாதீனமான தீர்வைக் கண்டறிய ஆர்டர் குறைப்பைப் பயன்படுத்துவது அவசியம்.
- பண்புச் சமன்பாடு பல வேர்களைக் கொண்டிருக்கட்டும் r (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் r). இரண்டாவது தீர்வு படிவத்தில் எழுதப்படலாம் என்று வைத்துக்கொள்வோம் y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), மற்றும் அதை வேறுபட்ட சமன்பாட்டில் மாற்றவும். இந்த வழக்கில், செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலுடன் சொற்களைத் தவிர, பெரும்பாலான சொற்கள் v , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v,)குறைக்கப்படும்.
  - v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- எடுத்துக்காட்டு 2.2.பல வேர்களைக் கொண்ட பின்வரும் சமன்பாட்டைக் கொடுக்கவும் r = - 4. (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் r=-4.)மாற்றீடு செய்யும் போது, பெரும்பாலான விதிமுறைகள் குறைக்கப்படுகின்றன.
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
  - y = v (x) e - 4 x y ′ = v ′ (x) e - 4 x - 4 v (x) e - 4 x y ″ = v ″ (x) e - 4 x - (8 v) − − 4 x + 16 v (x) e - 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)))
  - v ″ e - 4 x - 8 v ′ e - 4 x + 16 v e - 4 x + 8 v ′ e - 4 x - 32 v e - 4 x + 16 v e - 4 x + 16 v e - 4 x + 16 v e - 4 x + 16 v )v""e^(-4x)&-(\ரத்துசெய் (8v"e^(-4x)))+(\ரத்துசெய் (16ve^(-4x)))\\&+(\ரத்துசெய் (8v"e) ^(-4x))-(\ரத்துசெய் (32ve^(-4x)))+(\ரத்துசெய் (16ve^(-4x)))=0\முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)))
- நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான எங்கள் அன்சாட்ஸைப் போலவே, இந்த விஷயத்தில் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் மட்டுமே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். நாங்கள் இரண்டு முறை ஒருங்கிணைத்து, விரும்பிய வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம் v (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v):
  - v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- பின்னர், குணாதிசய சமன்பாடு பல வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் போது நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வை எழுதலாம். பின்வரும் படிவம். வசதிக்காக, நீங்கள் அதை பெற நினைவில் கொள்ளலாம் நேரியல் சுதந்திரம்இரண்டாவது காலத்தை மட்டும் பெருக்கவும் x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x). இந்த தீர்வுகளின் தொகுப்பு நேரியல் சார்பற்றது, எனவே இந்த சமன்பாட்டிற்கான அனைத்து தீர்வுகளையும் நாங்கள் கண்டறிந்துள்ளோம்.
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) x))+q(x)y=0.)தீர்வு தெரிந்தால் ஆர்டர் குறைப்பு பொருந்தும் y 1 (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(1)(x)), பிரச்சனை அறிக்கையில் காணலாம் அல்லது கொடுக்கலாம்.
- படிவத்தில் ஒரு தீர்வைத் தேடுகிறோம் y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))இந்த சமன்பாட்டில் அதை மாற்றவும்:
  - v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1′ + q (x)) = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- ஏனெனில் y 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(1))ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு, அனைத்து விதிமுறைகளும் v (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v)குறைக்கப்பட்டு வருகின்றன. இறுதியில் அது எஞ்சியுள்ளது முதல் வரிசை நேரியல் சமன்பாடு. இதை இன்னும் தெளிவாகப் பார்க்க, மாறிகளை மாற்றுவோம் w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
  - y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
  - w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
  - v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
- ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிட முடிந்தால், அடிப்படை செயல்பாடுகளின் கலவையாக பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம். இல்லையெனில், தீர்வு ஒருங்கிணைந்த வடிவத்தில் விடப்படலாம்.
Cauchy-Euler சமன்பாடு. Cauchy-Euler சமன்பாடு இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு மாறிகள்குணகங்கள், இது சரியான தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த சமன்பாடு நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, கோள ஆயங்களில் லாப்லேஸ் சமன்பாட்டை தீர்க்க.
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
சிறப்பியல்பு சமன்பாடு.நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த வேறுபாடு சமன்பாட்டில், ஒவ்வொரு சொல்லிலும் ஒரு சக்தி காரணி உள்ளது, அதன் அளவு தொடர்புடைய வழித்தோன்றலின் வரிசைக்கு சமம்.
- எனவே, நீங்கள் வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைத் தேட முயற்சி செய்யலாம் y (x) = x n , (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் y(x)=x^(n),)எங்கே தீர்மானிக்க வேண்டும் n (\displaystyle n), நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான அதிவேக செயல்பாட்டின் வடிவத்தில் ஒரு தீர்வை நாங்கள் தேடுகிறோம். வேறுபாடு மற்றும் மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு நாம் பெறுகிறோம்
  - x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்த, நாம் அதைக் கருத வேண்டும் x ≠ 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x\neq 0). புள்ளி x = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x=0)அழைக்கப்பட்டது வழக்கமான ஒற்றை புள்ளிவகையீட்டு சமன்பாடு. பவர் தொடர்களைப் பயன்படுத்தி வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது இத்தகைய புள்ளிகள் முக்கியமானவை. இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, இது வேறுபட்ட மற்றும் உண்மையான, பல அல்லது சிக்கலான இணைந்ததாக இருக்கலாம்.
  - n ± = 1 - a ± (a - 1) 2 − 4 b 2 (\ displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1))^(2)-4b )))(2)))
இரண்டு வெவ்வேறு உண்மையான வேர்கள்.வேர்கள் என்றால் n ± (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் n_(\pm ))உண்மையானது மற்றும் வேறுபட்டது, பின்னர் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))
இரண்டு சிக்கலான வேர்கள்.சிறப்பியல்பு சமன்பாடு வேர்களைக் கொண்டிருந்தால் n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), தீர்வு ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு.
- தீர்வை உண்மையான செயல்பாடாக மாற்ற, மாறிகளை மாற்றுகிறோம் x = e t , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x=e^(t),)அது t = ln ⁡ x, (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் t=\ln x,)மற்றும் யூலரின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும். தன்னிச்சையான மாறிலிகளை நிர்ணயிக்கும் போது இதே போன்ற செயல்கள் முன்பு செய்யப்பட்டன.
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e - β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
- பின்னர் பொதுவான தீர்வு என எழுதலாம்
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
பல வேர்கள்.இரண்டாவது நேரியல் சார்பற்ற தீர்வைப் பெற, ஆர்டரை மீண்டும் குறைக்க வேண்டியது அவசியம்.
- இது நிறைய கணக்கீடுகளை எடுக்கும், ஆனால் கொள்கை அப்படியே உள்ளது: நாங்கள் மாற்றுகிறோம் y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))ஒரு சமன்பாடு அதன் முதல் தீர்வு y 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(1)). குறைக்கப்பட்ட பிறகு, பின்வரும் சமன்பாடு பெறப்படுகிறது:
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- இது ஒரு முதல் வரிசை நேரியல் சமன்பாடு ஆகும் v′ (x) . (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் v"(x))அவரது தீர்வு v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)எனவே, தீர்வு பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம். நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது - இரண்டாவது நேர்கோட்டில் பெற சுதந்திரமான முடிவுஒரு கூடுதல் உறுப்பினர் தேவை ln ⁡ x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
நிலையான குணகங்களுடன் ஒத்திசைவற்ற நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள். ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகள்போல் இருக்கும் L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)எங்கே f (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் f(x))- என்று அழைக்கப்படும் இலவச உறுப்பினர். வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் படி, இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு ஒரு சூப்பர் போசிஷன் ஆகும் தனிப்பட்ட தீர்வு y p (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(p)(x))மற்றும் கூடுதல் தீர்வு y c (x) . (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(c)(x).)இருப்பினும், இந்த வழக்கில், ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு என்பது ஆரம்ப நிலைமைகளால் கொடுக்கப்பட்ட தீர்வைக் குறிக்காது, மாறாக பன்முகத்தன்மை (ஒரு இலவச சொல்) இருப்பதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படும் ஒரு தீர்வு. கூடுதல் தீர்வு என்பது தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும் f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)ஒட்டுமொத்த தீர்வு என்பது இந்த இரண்டு தீர்வுகளின் மேலோட்டமாகும் L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), மற்றும் பின்னர் L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)அத்தகைய மேல்நிலை உண்மையில் ஒரு பொதுவான தீர்வாகும்.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களின் முறை.போலிச் சொல் அதிவேக, முக்கோணவியல், ஹைபர்போலிக் அல்லது ஆகியவற்றின் கலவையாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் காலவரையற்ற குணகங்களின் முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. சக்தி செயல்பாடுகள். இந்த செயல்பாடுகள் மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருப்பது உறுதி. இந்த பகுதியில் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் காண்போம்.
- உள்ள விதிமுறைகளை ஒப்பிடுவோம் f (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் f(x))நிலையான காரணிகளுக்கு கவனம் செலுத்தாமல் விதிமுறைகளுடன். மூன்று சாத்தியமான வழக்குகள் உள்ளன.
  - எந்த இரண்டு உறுப்பினர்களும் ஒரே மாதிரி இல்லை.இந்த வழக்கில், ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(p))இருந்து சொற்களின் நேரியல் கலவையாக இருக்கும் y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(p))
  - f (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் f(x)) உறுப்பினர் கொண்டுள்ளது x n (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x^(n)) மற்றும் உறுப்பினர் y c , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(c),) எங்கே n (\displaystyle n) பூஜ்ஜியம் அல்லது நேர்மறை முழு எண், மற்றும் இந்த சொல் பண்பு சமன்பாட்டின் தனி மூலத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது.இந்த வழக்கில் y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(p))செயல்பாட்டின் கலவையைக் கொண்டிருக்கும் x n + 1 h (x) , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x^(n+1)h(x),)அதன் நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் பிற சொற்கள் f (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் f(x))மற்றும் அவற்றின் நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்கள்.
  - f (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் f(x)) உறுப்பினர் கொண்டுள்ளது h (x) , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் h(x),) இது ஒரு வேலை x n (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x^(n)) மற்றும் உறுப்பினர் y c , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(c),) எங்கே n (\displaystyle n) 0 அல்லது நேர்மறை முழு எண், இந்த சொல் ஒத்துள்ளது பலசிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்.இந்த வழக்கில் y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(p))செயல்பாட்டின் நேரியல் கலவையாகும் x n + s h (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x^(n+s)h(x))(எங்கே கள் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல்கள்)- மூலத்தின் பெருக்கம்) மற்றும் அதன் நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்கள், அத்துடன் செயல்பாட்டின் பிற உறுப்பினர்கள் f (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் f(x))மற்றும் அதன் நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்கள்.
- அதை எழுதுவோம் y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(p))மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள சொற்களின் நேரியல் கலவையாக. நேரியல் கலவையில் இந்த குணகங்களுக்கு நன்றி இந்த முறை"தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களின் முறை" என்று அழைக்கப்படுகிறது. உள்ளடக்கங்கள் தோன்றும் போது y c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(c))தன்னிச்சையான மாறிலிகள் இருப்பதால் உறுப்பினர்கள் நிராகரிக்கப்படலாம் ஒய் சி . (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(c))இதற்குப் பிறகு நாங்கள் மாற்றுகிறோம் y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(p))சமன்பாட்டில் மற்றும் ஒத்த சொற்களை சமன்.
- குணகங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். இந்த கட்டத்தில் அமைப்பு பெறப்படுகிறது இயற்கணித சமன்பாடுகள், இது பொதுவாக இல்லாமல் தீர்க்கப்படும் சிறப்பு பிரச்சனைகள். இந்த அமைப்பின் தீர்வு நம்மைப் பெற அனுமதிக்கிறது y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(p))அதன் மூலம் சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.
- எடுத்துக்காட்டு 2.3.ஒரு சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதன் இலவச காலமானது வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது. அத்தகைய சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை காலவரையற்ற குணகங்களின் முறை மூலம் காணலாம்.
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
  - y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
  - 9 A e 3 t - 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − 5 \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(சீரமைக்கப்பட்டது)))
  - ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\ displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ முடிவு(வழக்குகள்)))
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
லாக்ரேஞ்ச் முறை.லாக்ரேஞ்ச் முறை, அல்லது தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையானது, ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் பொதுவான முறையாகும், குறிப்பாக இடைமறிப்புச் சொல் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, இலவச விதிமுறைகளுடன் டான் ⁡ x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \tan x)அல்லது x - n (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x^(-n))ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க லாக்ரேஞ்ச் முறையைப் பயன்படுத்துவது அவசியம். லாக்ரேஞ்ச் முறையானது மாறி குணகங்களுடன் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும் பயன்படுத்தப்படலாம், இருப்பினும் இந்த விஷயத்தில், Cauchy-Euler சமன்பாட்டைத் தவிர, இது குறைவாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் கூடுதல் தீர்வு பொதுவாக அடிப்படை செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை.
- தீர்வு பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதன் வழித்தோன்றல் இரண்டாவது வரியில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
  - y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
- முன்மொழியப்பட்ட தீர்வு இருப்பதால் இரண்டுஅறியப்படாத அளவு, அதை விதிக்க வேண்டும் கூடுதல்நிலை. இந்த கூடுதல் நிபந்தனையை பின்வரும் படிவத்தில் தேர்வு செய்வோம்:
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
- இப்போது நாம் இரண்டாவது சமன்பாட்டைப் பெறலாம். உறுப்பினர்களின் மாற்றீடு மற்றும் மறுவிநியோகத்திற்குப் பிறகு, நீங்கள் உறுப்பினர்களை ஒன்றாகக் குழுவாக்கலாம் v 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v_(1))மற்றும் உறுப்பினர்கள் v 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v_(2)). ஏனெனில் இந்த விதிமுறைகள் குறைக்கப்பட்டுள்ளன y 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(1))மற்றும் y 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y_(2))தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் தீர்வுகள். இதன் விளைவாக, பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\ end(சீரமைக்கப்பட்டது)))
- இந்த அமைப்பை மாற்றலாம் அணி சமன்பாடுகருணை A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)யாருடைய தீர்வு x = A - 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)அணிக்கு 2 × 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் 2\ மடங்கு 2) தலைகீழ் அணிதீர்மானிப்பதன் மூலம் வகுத்தல், மூலைவிட்ட உறுப்புகளை மறுசீரமைத்தல் மற்றும் மூலைவிட்டம் அல்லாத உறுப்புகளின் அடையாளத்தை மாற்றுவதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. உண்மையில், இந்த மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவர் ஒரு வ்ரோன்ஸ்கியன்.
  - (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ - y 2 - y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ முடிவு(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
- என்பதற்கான வெளிப்பாடுகள் v 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v_(1))மற்றும் v 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் v_(2))கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஆர்டர் குறைப்பு முறையைப் போலவே, இந்த விஷயத்தில், ஒருங்கிணைப்பின் போது, ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி தோன்றுகிறது, இது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வில் கூடுதல் தீர்வை உள்ளடக்கியது.
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
நேஷனல் ஓபன் யுனிவர்சிட்டி இன்ட்யூட்டின் விரிவுரை "நிலையான குணகங்களுடன் nth வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்."

நடைமுறை பயன்பாடு

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் ஒரு செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவற்றுக்கு இடையே ஒரு உறவை ஏற்படுத்துகின்றன. இத்தகைய உறவுகள் மிகவும் பொதுவானவை என்பதால், வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பல்வேறு துறைகளில் பரந்த பயன்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளன, மேலும் நாம் நான்கு பரிமாணங்களில் வாழ்வதால், இந்த சமன்பாடுகள் பெரும்பாலும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளாகும். தனிப்பட்டவழித்தோன்றல்கள். இந்த வகையின் மிக முக்கியமான சில சமன்பாடுகளை இந்த பகுதி உள்ளடக்கியது.

அதிவேக வளர்ச்சி மற்றும் சிதைவு.கதிரியக்கச் சிதைவு. கூட்டு வட்டி. இரசாயன எதிர்வினைகளின் விகிதம். இரத்தத்தில் மருந்துகளின் செறிவு. வரம்பற்ற மக்கள்தொகை வளர்ச்சி. நியூட்டன்-ரிச்மேன் சட்டம். நிஜ உலகில் பல அமைப்புகள் உள்ளன, இதில் எந்த நேரத்திலும் வளர்ச்சி விகிதம் அல்லது சிதைவு விகிதம் ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் அளவுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் அல்லது ஒரு மாதிரியால் நன்கு தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம். ஏனென்றால், கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு, அதிவேக சார்பு, கணிதம் மற்றும் பிற அறிவியல்களில் மிக முக்கியமான செயல்பாடுகளில் ஒன்றாகும். மிகவும் பொதுவாக, கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மக்கள்தொகை வளர்ச்சியுடன், வளர்ச்சியைக் கட்டுப்படுத்தும் கூடுதல் விதிமுறைகளை அமைப்பில் சேர்க்கலாம். கீழே உள்ள சமன்பாட்டில், மாறிலி கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் கே)பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கலாம்.
- d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
ஹார்மோனிக் அதிர்வுகள்.கிளாசிக்கல் மற்றும் குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ் இரண்டிலும், ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டர் அதன் எளிமை மற்றும் ஒரு எளிய ஊசல் போன்ற மிகவும் சிக்கலான அமைப்புகளை தோராயமாக மதிப்பிடுவதில் பரவலான பயன்பாடு காரணமாக மிக முக்கியமான இயற்பியல் அமைப்புகளில் ஒன்றாகும். கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸில் ஹார்மோனிக் அதிர்வுகள்நிலையைத் தொடர்புபடுத்தும் சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படுகின்றன பொருள் புள்ளிஹூக்கின் சட்டத்தின் மூலம் அதன் முடுக்கம். இந்த வழக்கில், ஈரப்பதம் மற்றும் உந்து சக்திகளையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளலாம். கீழே உள்ள வெளிப்பாட்டில் x ˙ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் (\dot (x)))- நேர வழித்தோன்றல் x , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x,) β (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \பீட்டா)- தணிக்கும் சக்தியை விவரிக்கும் அளவுரு, ω 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \omega _(0))- அமைப்பின் கோண அதிர்வெண், F (t) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் F(t))- நேரம் சார்ந்தது உந்து சக்தி. ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டர் மின்காந்த அலைவு சுற்றுகளிலும் உள்ளது, இது இயந்திர அமைப்புகளை விட அதிக துல்லியத்துடன் செயல்படுத்தப்படலாம்.
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
பெசலின் சமன்பாடு.பெசல் வேறுபாடு சமன்பாடு இயற்பியலின் பல பகுதிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, தீர்வு உட்பட அலை சமன்பாடு, லாப்லேஸின் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஷ்ரோடிங்கரின் சமன்பாடுகள், குறிப்பாக உருளை அல்லது கோள சமச்சீர் முன்னிலையில். மாறி குணகங்களுடன் இந்த இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு ஒரு Cauchy-Euler சமன்பாடு அல்ல, எனவே அதன் தீர்வுகளை அடிப்படை செயல்பாடுகளாக எழுத முடியாது. பெசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் பெசல் செயல்பாடுகள் ஆகும், அவை பல துறைகளில் அவற்றின் பயன்பாடு காரணமாக நன்கு ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. கீழே உள்ள வெளிப்பாட்டில் α (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \ ஆல்பா )- ஒத்திருக்கும் ஒரு மாறிலி ஆணைப்படிபெசல் செயல்பாடுகள்.
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 - α 2) y = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகள்.லோரென்ட்ஸ் விசையுடன், மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகள் கிளாசிக்கல் எலக்ட்ரோடைனமிக்ஸின் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. இவை மின்சாரத்திற்கான நான்கு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))மற்றும் காந்த B (r , t) (\ displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))வயல்வெளிகள். கீழே உள்ள வெளிப்பாடுகளில் ρ = ρ (r, t) (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- சார்ஜ் அடர்த்தி, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- தற்போதைய அடர்த்தி, மற்றும் ϵ 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \epsilon _(0))மற்றும் μ 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \mu _(0))- முறையே மின்சார மற்றும் காந்த மாறிலிகள்.
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\dplagin\d\n\n\n\n (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ கணிதம்
ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு.குவாண்டம் இயக்கவியலில், ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு என்பது இயக்கத்தின் அடிப்படை சமன்பாடாகும், இது அலை செயல்பாட்டின் மாற்றத்திற்கு ஏற்ப துகள்களின் இயக்கத்தை விவரிக்கிறது. Ψ = Ψ (r , t) (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))நேரத்துடன். இயக்கத்தின் சமன்பாடு நடத்தை மூலம் விவரிக்கப்படுகிறது ஹாமில்டோனியன் H^(\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் (\hat (H))) - இயக்குபவர், இது அமைப்பின் ஆற்றலை விவரிக்கிறது. இயற்பியலில் ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டின் நன்கு அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்று, சாத்தியக்கூறுக்கு உட்பட்ட ஒற்றை சார்பியல் அல்லாத துகளுக்கான சமன்பாடு ஆகும். V (r , t) (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் V((\mathbf (r) ),t)). பல அமைப்புகள் நேரத்தைச் சார்ந்த ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படுகின்றன, மேலும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ளது E Ψ , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் E\Psi ,)எங்கே இ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் இ)- துகள் ஆற்றல். கீழே உள்ள வெளிப்பாடுகளில் ℏ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \hbar)- குறைக்கப்பட்ட பிளாங்க் மாறிலி.
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\ displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\ partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\ right)\Psi )
அலை சமன்பாடு.இயற்பியல் மற்றும் தொழில்நுட்பம் அலைகள் இல்லாமல் கற்பனை செய்ய முடியாது, அவை அனைத்து வகையான அமைப்புகளிலும் உள்ளன. பொதுவாக, அலைகள் கீழே உள்ள சமன்பாட்டின் மூலம் விவரிக்கப்படுகின்றன, இதில் u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))விரும்பிய செயல்பாடு, மற்றும் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் சி)- சோதனை ரீதியாக தீர்மானிக்கப்பட்ட நிலையானது. ஒரு பரிமாண வழக்குக்கு அலை சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு என்பதை முதன்முதலில் கண்டுபிடித்தவர் டி'அலெம்பர்ட். ஏதேனும்வாதத்துடன் செயல்பாடு x - c t (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x-ct), இது வலதுபுறம் பரவும் தன்னிச்சையான வடிவ அலையை விவரிக்கிறது. ஒரு பரிமாண வழக்குக்கான பொதுவான தீர்வு இந்த செயல்பாட்டின் நேரியல் கலவையாகும், இது வாதத்துடன் இரண்டாவது செயல்பாடு ஆகும் x + c t (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x+ct), இது இடதுபுறம் பரவும் அலையை விவரிக்கிறது. இந்த தீர்வு இரண்டாவது வரியில் வழங்கப்படுகிறது.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
- u (x , t) = f (x - c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகள்.நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகள் திரவங்களின் இயக்கத்தை விவரிக்கின்றன. விஞ்ஞானம் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தின் ஒவ்வொரு துறையிலும் திரவங்கள் இருப்பதால், இந்த சமன்பாடுகள் வானிலை கணிக்கவும், விமானத்தை வடிவமைக்கவும், கடல் நீரோட்டங்களைப் படிக்கவும் மற்றும் பல விஷயங்களைத் தீர்க்கவும் மிகவும் முக்கியம். பயன்பாட்டு சிக்கல்கள். நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகள் நேரியல் அல்லாத பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள், மேலும் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் அவற்றைத் தீர்ப்பது மிகவும் கடினம், ஏனெனில் நேரியல் அல்லாதது கொந்தளிப்புக்கு வழிவகுக்கிறது, மேலும் எண் முறைகள் மூலம் நிலையான தீர்வைப் பெறுவதற்கு மிகச் சிறிய செல்களாகப் பிரித்தல் தேவைப்படுகிறது, இதற்கு குறிப்பிடத்தக்க கணினி ஆற்றல் தேவைப்படுகிறது. ஹைட்ரோடைனமிக்ஸில் நடைமுறை நோக்கங்களுக்காக, கொந்தளிப்பான ஓட்டங்களை உருவகப்படுத்த, நேர சராசரி போன்ற முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. தீர்வுகளின் இருப்பு மற்றும் தனித்தன்மை போன்ற இன்னும் அடிப்படை கேள்விகள் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள்பகுதி வழித்தோன்றல்களில், மற்றும் மூன்று பரிமாணங்களில் நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வின் இருப்பு மற்றும் தனித்தன்மைக்கான ஆதாரம் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது கணித சிக்கல்கள்மில்லினியம். சுருக்க முடியாத திரவ ஓட்ட சமன்பாடு மற்றும் தொடர்ச்சி சமன்பாடு கீழே உள்ளன.
- u )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

மேலே உள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி பல வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை வெறுமனே தீர்க்க முடியாது, குறிப்பாக கடைசி பிரிவில் குறிப்பிடப்பட்டவை. சமன்பாடு கொண்டிருக்கும் நிகழ்வுகளுக்கு இது பொருந்தும் மாறி முரண்பாடுகள்மேலும் இது Cauchy-Euler சமன்பாடு அல்ல, அல்லது சமன்பாடு நேரியல் அல்லாத சில நிகழ்வுகளைத் தவிர. இருப்பினும், மேலே உள்ள முறைகள் பல முக்கியமான வேறுபாடு சமன்பாடுகளை தீர்க்க முடியும் பல்வேறு பகுதிகள்அறிவியல்.
எந்தவொரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும் வேறுபாட்டைப் போலன்றி, பல வெளிப்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பை அடிப்படை செயல்பாடுகளில் வெளிப்படுத்த முடியாது. எனவே அது சாத்தியமில்லாத இடத்தில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு முயற்சி நேரத்தை வீணடிக்க வேண்டாம். ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையைப் பாருங்கள். ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை அடிப்படை செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த முடியாவிட்டால், சில நேரங்களில் அது ஒருங்கிணைந்த வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம், மேலும் இந்த விஷயத்தில் இந்த ஒருங்கிணைப்பை பகுப்பாய்வு ரீதியாக கணக்கிட முடியுமா என்பது முக்கியமல்ல.

எச்சரிக்கைகள்

தோற்றம்வேறுபட்ட சமன்பாடு தவறாக வழிநடத்தும். எடுத்துக்காட்டாக, கீழே இரண்டு முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள் உள்ளன. இந்த கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி முதல் சமன்பாட்டை எளிதாக தீர்க்க முடியும். முதல் பார்வையில், ஒரு சிறிய மாற்றம் y (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y)அன்று y 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் y^(2))இரண்டாவது சமன்பாட்டில் அதை நேரியல் அல்லாததாக ஆக்குகிறது மற்றும் தீர்க்க மிகவும் கடினமாகிறது.
- d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) x))=x^(2)+y^(2))

முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்கப்பட்டன

முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்கப்பட்ட முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டைப் பெறுவோம்:
.
இந்த சமன்பாட்டை , உடன் வகுத்தால், படிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:
,
எங்கே .

அடுத்து, இந்த சமன்பாடுகள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள வகைகளில் ஏதாவது ஒன்றிற்குச் சொந்தமானதா என்பதைப் பார்க்கிறோம். இல்லையென்றால், சமன்பாட்டை வேறுபாட்டின் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம். இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டை எழுதி பெருக்குகிறோம். வேறுபாடுகளின் வடிவத்தில் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:
.

இந்த சமன்பாடு மொத்த வேறுபாடு சமன்பாடு இல்லை என்றால், இந்த சமன்பாட்டில் ஒரு சார்பற்ற மாறி, a என்பது ஒரு சார்பு என்று கருதுகிறோம். சமன்பாட்டை இவ்வாறு வகுக்கவும்:
.
அடுத்து, இந்தச் சமன்பாடு கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள வகைகளில் ஒன்றிற்குச் சொந்தமானதா என்பதைப் பார்க்கிறோம், நாங்கள் இடங்களை மாற்றியுள்ளோம் என்பதைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு வகை கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை என்றால், எளிய மாற்றீடு மூலம் சமன்பாட்டை எளிதாக்க முடியுமா என்று பார்ப்போம். எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு என்றால்:
,
பிறகு அதை கவனிக்கிறோம் . பின்னர் நாம் ஒரு மாற்றீடு செய்கிறோம். இதற்குப் பிறகு, சமன்பாடு எளிமையான வடிவத்தை எடுக்கும்:
.

இது உதவவில்லை என்றால், ஒருங்கிணைக்கும் காரணியைக் கண்டறிய முயற்சிப்போம்.

பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள்

;
.
பிரித்து ஒருங்கிணைக்கவும். நாம் பெறும்போது:
.

சமன்பாடுகள் பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடுகளாக குறைக்கப்படுகின்றன

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்

மாற்றீடு மூலம் நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:
,
ஒரு செயல்பாடு எங்கே. பிறகு
;
.
நாம் மாறிகளை பிரித்து ஒருங்கிணைக்கிறோம்.

சமன்பாடுகள் ஒரே மாதிரியாகக் குறைக்கப்படுகின்றன

மாறிகளை உள்ளிடவும் மற்றும்:
;
.
நாங்கள் மாறிலிகளை தேர்வு செய்கிறோம், இதனால் இலவச சொற்கள் மறைந்துவிடும்:
;
.
இதன் விளைவாக, மாறிகளில் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

பொதுவான ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்

ஒரு மாற்று செய்வோம். மாறிகள் மற்றும் . ஆகியவற்றில் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க மூன்று முறைகள் உள்ளன.

2) பெர்னோலியின் முறை.
இரண்டு செயல்பாடுகள் மற்றும் ஒரு மாறியின் தயாரிப்பு வடிவத்தில் ஒரு தீர்வை நாங்கள் தேடுகிறோம்:
.
;
.
இந்த செயல்பாடுகளில் ஒன்றை நாம் தன்னிச்சையாக தேர்வு செய்யலாம். எனவே, சமன்பாட்டின் எந்த பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வையும் நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம்:
.

3) மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை (Lagrange).
இங்கே நாம் முதலில் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்:

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:
,
ஒரு மாறிலி எங்கே. அடுத்து, மாறியைப் பொறுத்து ஒரு செயல்பாட்டுடன் மாறிலியை மாற்றுகிறோம்:
.
அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும். இதன் விளைவாக, நாம் தீர்மானிக்கும் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

பெர்னோலியின் சமன்பாடுகள்

பதிலீடு மூலம், பெர்னோலியின் சமன்பாடு நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

இந்த சமன்பாட்டை பெர்னௌல்லி முறையிலும் தீர்க்கலாம். அதாவது, மாறியைப் பொறுத்து இரண்டு செயல்பாடுகளின் தயாரிப்பு வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைத் தேடுகிறோம்:
.
அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:
;
.
சமன்பாட்டின் எந்த பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வையும் நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம்:
.
தீர்மானித்த பிறகு, பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

ரிக்காட்டி சமன்பாடுகள்

இதை பொதுவான வடிவத்தில் தீர்க்க முடியாது. மாற்று

ரிக்காட்டி சமன்பாடு வடிவத்தில் குறைக்கப்பட்டது:
,
எங்கே நிலையானது; ; .
அடுத்து, மாற்றீடு மூலம்:

இது வடிவத்தில் குறைக்கப்படுகிறது:
,
எங்கே .

ரிக்காட்டி சமன்பாட்டின் பண்புகள் மற்றும் அதன் தீர்வின் சில சிறப்பு நிகழ்வுகள் பக்கத்தில் வழங்கப்படுகின்றன
ரிக்காட்டி வேறுபாடு சமன்பாடு >>>

ஜேக்கபி சமன்பாடுகள்

மாற்றீடு மூலம் தீர்க்கப்பட்டது:
.

மொத்த வேறுபாடுகளில் சமன்பாடுகள்

என்று கொடுக்கப்பட்டது
.
இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாடு சில செயல்பாட்டின் வேறுபாடு ஆகும்:
.
பிறகு
.
இங்கிருந்து நாம் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுகிறோம்:
.

செயல்பாட்டைக் கண்டறிய, மிகவும் ஒரு வசதியான வழியில்தொடர்ச்சியான வேறுபாடு பிரித்தெடுக்கும் முறை. இதைச் செய்ய, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவும்:
;
;
;
.

ஒருங்கிணைக்கும் காரணி

முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டை பட்டியலிடப்பட்ட வகைகளில் எதையும் குறைக்க முடியாவிட்டால், நீங்கள் ஒருங்கிணைக்கும் காரணியைக் கண்டறிய முயற்சி செய்யலாம். ஒருங்கிணைக்கும் காரணி என்பது ஒரு சார்பு ஆகும், இதன் மூலம் பெருக்கப்படும் போது, ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு மொத்த வேறுபாடுகளில் ஒரு சமன்பாடு ஆகும். முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு எண்ணற்ற ஒருங்கிணைப்பு காரணிகளைக் கொண்டுள்ளது. எனினும், பொதுவான முறைகள்ஒருங்கிணைக்கும் காரணியைக் கண்டறிய வழி இல்லை.

வழித்தோன்றல் y க்கான சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படவில்லை

வழித்தோன்றல் y தொடர்பாக தீர்க்கப்படக்கூடிய சமன்பாடுகள்

முதலில் நீங்கள் வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முயற்சிக்க வேண்டும். முடிந்தால், சமன்பாட்டை மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள வகைகளில் ஒன்றாகக் குறைக்கலாம்.

காரணியாக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள்

நீங்கள் சமன்பாட்டை காரணியாக்கினால்:
,
பின்னர் எளிமையான சமன்பாடுகளை வரிசையாகத் தீர்ப்பதில் சிக்கல் குறைக்கப்படுகிறது:
;
;

;
. நாங்கள் நம்புகிறோம்.
பிறகு
அல்லது .
;
.
அடுத்து நாம் சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கிறோம்:

இதன் விளைவாக, அளவுரு மூலம் இரண்டாவது மாறியின் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம். மேலும்:
அல்லது
பொது சமன்பாடுகள்
அளவுரு வடிவத்திலும் தீர்க்கப்படுகின்றன. இதைச் செய்ய, நீங்கள் அசல் சமன்பாட்டிலிருந்து அல்லது அளவுரு மூலம் வெளிப்படுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.
;
.

அளவுரு மூலம் இரண்டாவது மாறியை வெளிப்படுத்த, நாம் சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கிறோம்:

y க்கான சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்பட்டன

Clairaut சமன்பாடுகள்

இந்த சமன்பாடு ஒரு பொதுவான தீர்வு உள்ளது

லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடுகள்

அளவுரு வடிவத்தில் ஒரு தீர்வை நாங்கள் தேடுகிறோம். ஒரு அளவுரு எங்கே என்று நாங்கள் கருதுகிறோம்.

பெர்னோலியின் சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கும் சமன்பாடுகள்

இந்த சமன்பாடுகள் பெர்னௌல்லி சமன்பாட்டிற்குக் குறைக்கப்படும், அளவுருவை அறிமுகப்படுத்தி, மாற்றீடு செய்வதன் மூலம் அவற்றின் தீர்வுகளை அளவுரு வடிவத்தில் தேடுகிறோம்.
குறிப்புகள்:
வி வி. ஸ்டெபனோவ், வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பாடநெறி, "LKI", 2015.