நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எண் முறைகள். எக்செல் இல் எண் முறைகள்

சமன்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறியலாம் f(x) = 0, அதைக் குறிப்போம் x n. கணக்கீட்டு சூத்திரம் நியூட்டனின் முறைஅடுத்த அணுகுமுறையை தீர்மானிக்க x n+1 இரண்டு வழிகளில் பெறலாம்.

முதல் முறை நியூட்டனின் முறையின் வடிவியல் அர்த்தத்தை வெளிப்படுத்துகிறது மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் வெட்டுப்புள்ளிக்கு பதிலாக ஒய் = f(x) அச்சுடன் OX, அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளியை நாங்கள் தேடுகிறோம் OXபுள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு வரையப்பட்டது ( x n, f(x n)) படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி. 2.6 தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது.

அரிசி. 2.7 நியூட்டனின் முறை (தொடுகோடுகள்)

அச்சுடன் தொடுகோடு வெட்டும் புள்ளியில் OXமாறி y= 0. சமன்படுத்துதல் ஒய்பூஜ்யம், வெளிப்படுத்துவோம் xமற்றும் நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம் தொடுகோடு முறை:

(2.6)

இரண்டாவது வழி. செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்துவோம் f(x) ஒரு புள்ளிக்கு அருகில் டெய்லர் தொடரில் x = x n:

( x – x n) விதிமுறைகள், அவற்றை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம் f(x) மற்றும், விளைந்த சமன்பாட்டிலிருந்து தெரியாததை வெளிப்படுத்துதல் xமற்றும் அதை குறிக்கிறது x n+1 , சூத்திரம் (2.6) கிடைக்கும்.

நியூட்டனின் முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கு போதுமான நிபந்தனைகளை முன்வைப்போம்.

தேற்றம் 2.3.பிரிவில் பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்:

1) செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியானவை;

2) வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டவை மற்றும் சில நிலையான அறிகுறிகளைத் தக்கவைத்துக்கொள்கின்றன;

3) (செயல்பாடு பிரிவில் அடையாளத்தை மாற்றுகிறது).

பின்னர் சமன்பாட்டின் விரும்பிய மூலத்தைக் கொண்ட ஒரு பிரிவு உள்ளது, அதில் மறு செய்கை வரிசை ஒன்றிணைகிறது. பூஜ்ஜிய தோராயமாக, செயல்பாட்டின் அடையாளம் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகும் எல்லைப் புள்ளியைத் தேர்வுசெய்தால், அதாவது. , பின்னர் மறு செய்கை வரிசை ஒரே மாதிரியாக ஒன்றிணைகிறது (படம் 2.8).

ஆதாரம். இது தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், அடையாளத்தை மாற்றுகிறது மற்றும் அன்று மோனோடோனிக் ஆகும், பின்னர் ரூட் தனிமைப்படுத்தல் இடைவெளி. விரும்பிய மூலத்தை ஆல் குறிப்போம். செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும். எனவே, அன்று தொடர்வது, புள்ளியில் மறைந்துவிடும், ஏனெனில் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு மறைந்துவிடும். எனவே, அது போன்ற ஒரு பிரிவு () உள்ளது . பிரிவின் அந்த பகுதியை எடுத்துக் கொண்டால் எங்கே , எனவே, செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது, ஆனால் பின்னர் வரிசை மோனோடோனிக் ஆகும்.

அரிசி. 2.8 நியூட்டனின் முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கு போதுமான நிபந்தனைகள்

கருத்து.நாண் முறை எதிர் திசையில் இருந்து வருகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், இந்த இரண்டு முறைகளும் இவ்வாறு ஒருவரையொருவர் பூர்த்தி செய்ய முடியும், மற்றும் ஒருங்கிணைந்த ஒன்று சாத்தியமாகும் நாண்-தொடு முறை.

எடுத்துக்காட்டு 2.7.நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் மூலத்தை 0.000001 க்கு செம்மைப்படுத்தவும்
பாவம் 5 x+ x 2 – 1 = 0. ஆரம்ப மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் x 0 = – 0,7.

தீர்வு.வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் .

IN எக்செல் நிரல்கணக்கீட்டு சூத்திரங்களை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

1) வரம்பு கலங்களில் சூத்திரங்கள் மற்றும் குறிப்புகளை உள்ளிடவும் ஏ 1:டி 3 மற்றும் ஃபில் மார்க்கருடன் ஃபார்முலாக்களுடன் கலத்தை நகலெடுக்கவும்: பி 3 - வரை பி 5,
சி 2 - வரை சி 5, டி 2 - வரை டி 5;

அட்டவணை 2.9

கணக்கீட்டு முடிவுகள் அட்டவணை 2.10 இல் காட்டப்பட்டுள்ளன. பெறப்பட்ட மூல மதிப்பு – 0.726631609 ≈ – 0.726632 பிழை 0.000001.

அட்டவணை 2.10

எக்செல் இல் செயல்பாடுகளை உருவாக்குவோம்நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி எடுத்துக்காட்டு 2.7 இலிருந்து சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

கணித பாடங்களில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் பள்ளியில் போராடும்போது, ​​​​பல மாணவர்கள் தங்கள் நேரத்தை வீணாக வீணடிக்கிறார்கள் என்று அடிக்கடி நம்புகிறார்கள், ஆனால் அத்தகைய திறன் டெஸ்கார்ட்டின் அடிச்சுவடுகளைப் பின்பற்ற முடிவு செய்பவர்களுக்கு மட்டுமல்ல, வாழ்க்கையில் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஆய்லர் அல்லது லோபசெவ்ஸ்கி.

நடைமுறையில், எடுத்துக்காட்டாக, மருத்துவம் அல்லது பொருளாதாரத்தில், செறிவு எப்போது என்பதை ஒரு நிபுணர் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய சூழ்நிலைகள் பெரும்பாலும் உள்ளன. செயலில் உள்ள பொருள்ஒரு குறிப்பிட்ட மருந்து நோயாளியின் இரத்தத்தில் தேவையான அளவை அடையும், அல்லது ஒரு குறிப்பிட்ட வணிகம் லாபம் ஈட்டுவதற்கு தேவையான நேரத்தை கணக்கிடுவது அவசியம்.

பெரும்பாலும் நாம் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பற்றி பேசுகிறோம் பல்வேறு வகையான. எண் முறைகள் இதை முடிந்தவரை விரைவாக செய்ய அனுமதிக்கின்றன, குறிப்பாக கணினியைப் பயன்படுத்துகின்றன. அவை நன்கு ஆய்வு செய்யப்பட்டு அவற்றின் செயல்திறனை நீண்ட காலமாக நிரூபித்துள்ளன. இந்த கட்டுரையின் பொருளான நியூட்டனின் தொடுகோடு முறையும் இதில் அடங்கும்.

பிரச்சனையின் அறிக்கை

இந்த வழக்கில், ஒரு செயல்பாடு g உள்ளது, இது பிரிவில் (a, b) வரையறுக்கப்பட்டு அதன் மீது சில மதிப்புகளைப் பெறுகிறது, அதாவது (a, b) க்கு சொந்தமான ஒவ்வொரு x ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுடன் g தொடர்புடையதாக இருக்கலாம். (x)

சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் புள்ளிகள் a மற்றும் b (முனைகள் உட்பட) இடையே உள்ள இடைவெளியில் இருந்து நிறுவ வேண்டும், இதற்காக செயல்பாடு பூஜ்ஜியமாக அமைக்கப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, இவை OX உடன் y = g(x) வெட்டும் புள்ளிகளாக இருக்கும்.

சில சமயங்களில், g 1 (x) = g 2 (x) போன்ற g(x)=0 ஐ ஒத்த ஒன்றைக் கொண்டு மாற்றுவது மிகவும் வசதியானது. இந்த வழக்கில், g 1 (x) மற்றும் g 2 (x) வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் abscissas (x மதிப்பு) வேர்களாக செயல்படுகின்றன.

தீர்வு நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுநிலைமைக்கான தேர்வுமுறை சிக்கல்களுக்கும் முக்கியமானது உள்ளூர் உச்சநிலை- ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை 0 ஆக மாற்றுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், p(x) = 0 சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதில் இத்தகைய சிக்கலைக் குறைக்கலாம், அங்கு p(x) g"(x) க்கு ஒத்ததாக இருக்கும்.

தீர்வு முறைகள்

இருபடி அல்லது எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் போன்ற சில வகையான நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கு, வேர்களை மிகவும் எளிமையான வழிகளில் காணலாம். குறிப்பாக, இருபடி முக்கோணம் மறைந்து போகும் புள்ளிகளின் வாதத்தின் மதிப்புகளை எளிதாகக் கண்டறியப் பயன்படுத்தக்கூடிய சூத்திரங்கள் ஒவ்வொரு பள்ளி மாணவருக்கும் தெரியும்.

நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் வேர்களைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான முறைகள் பொதுவாக பகுப்பாய்வு (நேரடி) மற்றும் மறு செய்கை என பிரிக்கப்படுகின்றன. முதல் வழக்கில், விரும்பிய தீர்வு ஒரு சூத்திரத்தின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இதைப் பயன்படுத்தி, ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான எண்கணித செயல்பாடுகளில், விரும்பிய வேர்களின் மதிப்பைக் கண்டறிய முடியும். இதேபோன்ற முறைகள் அதிவேக, முக்கோணவியல், மடக்கை மற்றும் எளிமையானவற்றுக்கு உருவாக்கப்பட்டுள்ளன இயற்கணித சமன்பாடுகள். மீதமுள்ளவற்றுக்கு, நீங்கள் சிறப்பு எண் முறைகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். கணினிகளைப் பயன்படுத்தி அவை செயல்படுத்த எளிதானது, இது தேவையான துல்லியத்துடன் வேர்களைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

இவை என்று அழைக்கப்படுபவை அடங்கும் எண் முறைபிந்தையது 17 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் சிறந்த விஞ்ஞானி ஐசக் நியூட்டனால் முன்மொழியப்பட்டது. அடுத்தடுத்த நூற்றாண்டுகளில், முறை மீண்டும் மீண்டும் மேம்படுத்தப்பட்டது.

உள்ளூர்மயமாக்கல்

எண்ணியல் தீர்வுகள் சிக்கலான சமன்பாடுகள், பகுப்பாய்வு தீர்வுகள் இல்லாதவை, பொதுவாக 2 நிலைகளில் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. முதலில் நீங்கள் அவற்றை உள்ளூர்மயமாக்க வேண்டும். இந்தச் செயல்பாடு OX இல் அத்தகைய பிரிவுகளைக் கண்டறிவதைக் கொண்டுள்ளது, அதில் சமன்பாட்டின் ஒரு வேர் தீர்க்கப்படுகிறது.

பிரிவைக் கருத்தில் கொள்வோம். g(x) இல் எந்த இடைநிறுத்தங்களும் இல்லை மற்றும் இறுதிப் புள்ளிகளில் வெவ்வேறு குறிகளின் மதிப்புகளை எடுத்துக் கொண்டால், a மற்றும் b அல்லது அவற்றுள் ஒரு குறைந்தபட்சம்சமன்பாட்டின் 1 ரூட் g(x) = 0. அது தனித்துவமாக இருப்பதற்கு, g(x) மோனோடோனிக் இருக்கக்கூடாது. அறியப்பட்டபடி, g'(x) இன் அடையாளம் நிலையானதாக இருக்கும் வகையில் இந்த சொத்து இருக்கும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், g(x) க்கு இடைநிறுத்தங்கள் இல்லை மற்றும் சலிப்பான முறையில் அதிகரிக்கிறது அல்லது குறைகிறது, மற்றும் இறுதிப் புள்ளிகளில் அதன் மதிப்புகள் அதே அறிகுறிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றால், g(x) இன் 1 மற்றும் 1 ரூட் மட்டுமே உள்ளது.

இருப்பினும், பல சமன்பாடுகளின் வேர்களுக்கு இந்த அளவுகோல் பொருந்தாது என்பதை நீங்கள் அறிந்திருக்க வேண்டும்.

சமன்பாட்டை பாதியாகத் தீர்ப்பது

மிகவும் சிக்கலான எண்ணியல் தொடுகோடுகள் மற்றும் அதன் வகைகளைக் கருத்தில் கொள்வதற்கு முன், அதைப் பற்றி அதிகம் தெரிந்து கொள்வது மதிப்பு. ஒரு எளிய வழியில்வேர்களை அடையாளம் காணுதல். இது டிகோடமி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் g(x) க்கு ஒரு தொடர்ச்சியான ஒன்று என்றால், வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் நிலை திருப்தி அடைந்தால், பரிசீலனையில் உள்ள பிரிவில் குறைந்தபட்சம் 1 ரூட் g( x) = 0.

அதைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பகுதியை பாதியாகப் பிரித்து, நடுப்புள்ளியை x 2 ஆகக் குறிப்பிட வேண்டும். பின்னர் இரண்டு விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும்: g(x 0) * g(x 2) அல்லது g(x 2) * g(x 1) 0 க்கு சமமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கும். இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளில் எது உண்மை என்பதை நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம். சமன்பாட்டின் மூலத்தை தீர்மானிக்கும் துல்லியத்தை நிர்ணயிக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட முன்தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மதிப்பை விட நீளம் குறைவாக இருக்கும் வரை மேலே விவரிக்கப்பட்ட செயல்முறையை மீண்டும் செய்கிறோம்.

முறையின் நன்மைகள் அதன் நம்பகத்தன்மை மற்றும் எளிமை ஆகியவை அடங்கும், ஆனால் குறைபாடு என்னவென்றால், g(x) எடுக்கும் புள்ளிகளை ஆரம்பத்தில் அடையாளம் காண வேண்டிய அவசியம் உள்ளது. வெவ்வேறு அறிகுறிகள், எனவே இதை பல மடங்கு கொண்ட வேர்களுக்குப் பயன்படுத்த முடியாது. கூடுதலாக, இது சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் விஷயத்தில் அல்லது சிக்கலான வேர்களைப் பற்றி பேசினால் அது பொதுமைப்படுத்தாது.

எடுத்துக்காட்டு 1

g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க விரும்புகிறோம். பொருத்தமான பிரிவைத் தேடுவதற்கு நீண்ட நேரம் செலவிடாமல் இருக்க, நாம் நன்கு அறியப்பட்ட எக்செல் நிரலைப் பயன்படுத்தி ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம். . ரூட்டை உள்ளூர்மயமாக்குவதற்கான ஒரு பிரிவாக இடைவெளியில் இருந்து மதிப்புகளை எடுப்பது நல்லது என்று நாங்கள் காண்கிறோம். தேவையான சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமாவது அதில் உள்ளது என்பதை நாம் உறுதியாக நம்பலாம்.

g"(x) = 10x 4 + 1, அதாவது இது ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கும் செயல்பாடு, எனவே தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பிரிவில் 1 ரூட் மட்டுமே உள்ளது.

இறுதிப் புள்ளிகளை சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம். எங்களிடம் முறையே 0 மற்றும் 1 உள்ளது. முதல் கட்டத்தில், 0.5 புள்ளியை தீர்வாக எடுத்துக்கொள்கிறோம். பின்னர் g(0.5) = -0.4375. அதாவது பாதியாகக் குறைப்பதற்கான அடுத்த பிரிவு . இதன் நடுப்புள்ளி 0.75 ஆகும். அதில், செயல்பாட்டின் மதிப்பு 0.226 ஆகும். 0.625 புள்ளியில் அமைந்துள்ள பிரிவு மற்றும் அதன் நடுத்தரத்தை நாங்கள் கருத்தில் கொள்கிறோம். g(x) இன் மதிப்பை 0.625 என்று கணக்கிடுகிறோம். இது -0.11 க்கு சமம், அதாவது எதிர்மறை. இந்த முடிவின் அடிப்படையில், நாங்கள் பிரிவைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். நாம் x = 0.6875 ஐப் பெறுகிறோம். பின்னர் g(x) = -0.00532. தீர்வின் துல்லியம் 0.01 என்றால், விரும்பிய முடிவு 0.6875 என்று நாம் கருதலாம்.

தத்துவார்த்த அடிப்படை

நியூட்டனின் தொடுகோடு முறையைப் பயன்படுத்தி வேர்களைக் கண்டறியும் இந்த முறை அதன் மிக வேகமாக ஒன்றிணைவதால் பிரபலமானது.

x n என்பது f(x) = 0 என்ற மூலத்திற்கு தோராயமாக இருந்தால், f" C 1, அடுத்த தோராயமானது தொடுகோட்டின் சமன்பாடு f(x)க்கு இருக்கும் புள்ளியில் இருக்கும் என்பது நிரூபிக்கப்பட்ட உண்மையின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது. பூஜ்ஜியமாக உள்ளது, அதாவது.

x = x n+1 ஐ மாற்றி, y ஐ பூஜ்ஜியமாக அமைக்கவும்.

பின்னர் தொடுகோடுகள் இப்படி இருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2

நியூட்டனின் கிளாசிக்கல் டேன்ஜென்ட் முறையைப் பயன்படுத்த முயற்சிப்போம் மற்றும் பகுப்பாய்வு ரீதியாக கண்டுபிடிக்க கடினமாக அல்லது சாத்தியமற்ற சில நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வு காண்போம்.

x 3 + 4x - 3 = 0 க்கான வேர்களை சில துல்லியத்துடன் அடையாளம் காண வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக 0.001. அறியப்பட்டபடி, ஒற்றைப்படை பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை வடிவில் உள்ள எந்தவொரு செயல்பாட்டின் வரைபடமும் OX அச்சில் ஒரு முறையாவது வெட்ட வேண்டும், அதாவது வேர்கள் இருப்பதைப் பற்றி எந்த சந்தேகமும் இல்லை.

டேன்ஜென்ட் முறையைப் பயன்படுத்தி எங்கள் உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதற்கு முன், நாம் ஒரு வரைபடத்தை f(x) = x 3 + 4x - 3 புள்ளியில் உருவாக்குகிறோம். எக்செல் விரிதாள் செயலியைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்வது மிகவும் எளிதானது. இதன் விளைவாக வரும் வரைபடத்தில் இருந்து அது OX அச்சுடன் குறுக்கிடவில்லை என்பதும், y = x 3 + 4x - 3 செயல்பாடு ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது என்பதும் தெளிவாகும். x 3 + 4x - 3 = 0 சமன்பாடு ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அது தனித்துவமானது என்பதை நாம் உறுதியாக நம்பலாம்.

அல்காரிதம்

தொடுகோடு முறை மூலம் சமன்பாடுகளின் எந்தவொரு தீர்வும் f "(x) கணக்கீட்டில் தொடங்குகிறது. எங்களிடம் உள்ளது:

பின்னர் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் x * 6 ஆக இருக்கும்.

இந்த வெளிப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, வடிவத்தில் உள்ள தொடுகோடு முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டின் வேர்களை அடையாளம் காண ஒரு சூத்திரத்தை எழுதலாம்:

அடுத்து, நீங்கள் ஒரு ஆரம்ப தோராயத்தைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும், அதாவது, எந்தப் புள்ளியை மறுசெயல்முறைக்கான தொடக்கப் புள்ளியாக (தொகுதி x 0) கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும். பிரிவின் முனைகளை நாங்கள் கருதுகிறோம். x 0 இல் உள்ள செயல்பாடும் அதன் 2வது வழித்தோன்றலும் வெவ்வேறு அடையாளங்களைக் கொண்டவை என்ற நிபந்தனை உண்மையாக இருப்பதைப் பயன்படுத்துவோம். நாம் பார்க்க முடியும் என, x 0 = 0 ஐ மாற்றும்போது அது உடைந்துவிட்டது, ஆனால் x 0 = 1 மிகவும் பொருத்தமானது.

நாம் துல்லியமாக e உடன் தொடுகோடு முறையைத் தீர்ப்பதில் ஆர்வமாக இருந்தால், சமத்துவமின்மை |f(x n) / f’(x n)| எனில், சிக்கலின் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்ய x n மதிப்பைக் கருத்தில் கொள்ளலாம்.< e.

முதல் தொடுகோடு படியில் எங்களிடம் உள்ளது:

• x 1 = x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) = 1- 0.2857 = 0.71429;
• நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படாததால், நாங்கள் செல்கிறோம்;
• x 2க்கான புதிய மதிப்பைப் பெறுகிறோம், இது 0.674க்கு சமம்;
• x 2 இல் அதன் வழித்தோன்றலுக்கான செயல்பாட்டு மதிப்பின் விகிதம் 0.0063 ஐ விட குறைவாக இருப்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம், செயல்முறையை நிறுத்துகிறோம்.

எக்செல் இல் டேன்ஜென்ட் முறை

நீங்கள் கணக்கீடுகளை கைமுறையாக (கால்குலேட்டரில்) செய்யாமல், திறன்களைப் பயன்படுத்தினால், முந்தைய உதாரணத்தை மிக எளிதாகவும் வேகமாகவும் தீர்க்கலாம். அட்டவணை செயலிமைக்ரோசாப்டில் இருந்து.

எக்செல் இல் இதைச் செய்ய, நீங்கள் உருவாக்க வேண்டும் புதிய பக்கம்அதன் செல்களை பின்வரும் சூத்திரங்களுடன் நிரப்பவும்:

• C7 இல் "= DEGREE (B7;3) + 4 * B7 - 3" என்று எழுதுகிறோம்;
• D7 இல் நாம் "= 4 + 3 * DEGREE (B7;2)" ஐ உள்ளிடுகிறோம்;
• E7 இல் “= (டிகிரி (B7;3)- 3 + 4 * B7) / (3* DEGREE (B7;2) + 4)” என்று எழுதுகிறோம்;
• D7 இல் “=B7 - E7” என்ற வெளிப்பாட்டை உள்ளிடுகிறோம்;
• B8 இல் நாம் நிபந்தனை சூத்திரத்தை உள்ளிடுகிறோம் “=IF(E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கலில், செல் பி 10 இல் “மறு செய்கைகளை நிறைவு செய்தல்” என்ற கல்வெட்டு தோன்றும், மேலும் சிக்கலைத் தீர்க்க மேலே ஒரு வரியில் அமைந்துள்ள கலத்தில் எழுதப்பட்ட எண்ணை நீங்கள் எடுக்க வேண்டும். ஒரு சூத்திர-நிலையை உள்ளிடுவதன் மூலம் அதற்கான தனி "நீட்டக்கூடிய" நெடுவரிசையையும் நீங்கள் தேர்ந்தெடுக்கலாம், அதன்படி, B நெடுவரிசையின் ஒன்று அல்லது மற்றொரு கலத்தில் உள்ள உள்ளடக்கம் "முழு மறு செய்கைகள்" படிவத்தை எடுத்தால் அதன் முடிவு அங்கு எழுதப்படும்.

பாஸ்கலில் செயல்படுத்தல்

பாஸ்கலில் உள்ள டேன்ஜென்ட் முறையைப் பயன்படுத்தி y = x 4 - 4 - 2 * x நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைப் பெற முயற்சிப்போம்.

தோராயமான கணக்கீட்டை மேற்கொள்ள உதவும் ஒரு துணைச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம் f"(x) = (f(x + delta) - f(x)) / டெல்டா. மீண்டும் செயல்படுத்தும் செயல்முறையை முடிப்பதற்கான நிபந்தனையாக, நாங்கள் நிறைவேற்றுவதைத் தேர்வு செய்கிறோம் சமத்துவமின்மை |x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

வழித்தோன்றலின் கைமுறை கணக்கீடு தேவையில்லை என்பதற்கு நிரல் குறிப்பிடத்தக்கது.

நாண் முறை

நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் வேர்களை அடையாளம் காண மற்றொரு வழியைக் கருத்தில் கொள்வோம். எஃப்(x) = 0 க்கு தேவையான ரூட்டின் தொடர்ச்சியான தோராயமாக, நாண் வெட்டும் புள்ளிகளின் மதிப்புகள் முடிவுப் புள்ளிகளான a மற்றும் b உடன் OX உடன் எடுக்கப்படுகின்றன. x 1, ..., x n என குறிக்கப்படுகிறது. எங்களிடம் உள்ளது:

நாண் OX அச்சில் வெட்டும் புள்ளிக்கு, வெளிப்பாடு இவ்வாறு எழுதப்படும்:

இரண்டாவது வழித்தோன்றல் x £க்கு நேர்மறையாக இருக்கட்டும் (நாம் f(x) = 0 என்று எழுதினால், எதிர் வழக்கு பரிசீலனையில் உள்ளதாகக் குறைக்கப்படும்). இந்த வழக்கில், வரைபடம் y = f(x) ஒரு வளைவு, கீழே குவிந்த மற்றும் நாண் கீழே அமைந்துள்ளது ஏபி. 2 வழக்குகள் இருக்கலாம்: சார்பு புள்ளி a இல் நேர்மறை மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும் போது அல்லது புள்ளி b இல் எதிர்மறையாக இருக்கும் போது.

முதல் வழக்கில், முடிவு a ஐ நிலையான ஒன்றாக தேர்வு செய்து, புள்ளி b ஐ x 0 ஆக எடுத்துக்கொள்கிறோம். மேலே வழங்கப்பட்ட சூத்திரத்தின்படி அடுத்தடுத்த தோராயங்கள் ஒரு வரிசையை உருவாக்குகின்றன, அது ஒரே மாதிரியாக குறைகிறது.

இரண்டாவது வழக்கில், முடிவு b என்பது x 0 = a என நிர்ணயிக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு மறு செய்கையின் படியிலும் பெறப்படும் x மதிப்புகள் ஒரு வரிசையை உருவாக்குகின்றன, அது ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது.

எனவே, நாம் கூறலாம்:

• நாண்களின் முறையில், செயல்பாட்டின் அறிகுறிகளும் அதன் இரண்டாவது வழித்தோன்றலும் ஒத்துப்போகாத பிரிவின் நிலையான முடிவு;
• x - x m - மூலத்திற்கான தோராயங்கள் f(x) f"" (x) இன் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகாத ஒரு அடையாளத்தைக் கொண்டிருக்கும் பக்கத்தில் அதிலிருந்து இருக்கும்.

வேர்களின் அருகாமைக்கான நிபந்தனைகள் மற்றும் முந்தைய மறு செய்கை படி மாடுலோ ஏபிஎஸ்(x m - x m - 1) பூர்த்தியாகும் வரை மறு செய்கைகளை தொடரலாம்.< e.

மாற்றியமைக்கப்பட்ட முறை

நாண்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளின் ஒருங்கிணைந்த முறையானது, வெவ்வேறு பக்கங்களில் இருந்து அணுகுவதன் மூலம் சமன்பாட்டின் வேர்களை நிறுவ உங்களை அனுமதிக்கிறது. வரைபடம் f(x) OX ஐ வெட்டும் இந்த மதிப்பு, ஒவ்வொரு முறைகளையும் தனித்தனியாகப் பயன்படுத்துவதை விட மிக வேகமாக தீர்வைச் செம்மைப்படுத்த உங்களை அனுமதிக்கிறது.

f(x)=0 இன் வேர்களை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். மேலே விவரிக்கப்பட்ட எந்த முறையையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம். இருப்பினும், அவற்றின் கலவையை முயற்சி செய்வது நல்லது, இது ரூட்டின் துல்லியத்தை கணிசமாக மேம்படுத்தும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி x இல் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்ட நிபந்தனையுடன் தொடர்புடைய ஆரம்ப தோராயத்துடன் வழக்கை நாங்கள் கருதுகிறோம்.

இத்தகைய நிலைமைகளின் கீழ், டேன்ஜென்ட் முறை மூலம் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது x 0 =b என்றால் மிகையான ஒரு மூலத்தைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது, மேலும் நிலையான முடிவு b கொண்ட நாண்களைப் பயன்படுத்தும் முறை குறைபாட்டுடன் தோராயமான மூலத்தைக் கண்டறிய வழிவகுக்கிறது.

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரங்கள்:

இப்போது தேவையான ரூட் x இடைவெளியில் தேட வேண்டும். அடுத்த கட்டத்தில், நீங்கள் இந்த பிரிவில் ஒருங்கிணைந்த முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இந்த வழியில் தொடர, நாங்கள் படிவத்தின் சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்:

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டிருந்தால், அதே வழியில் பகுத்தறிந்து, மூலத்தை தெளிவுபடுத்த, பின்வரும் தொடர்ச்சியான சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்:

பயன்படுத்தப்படும் நிபந்தனை மதிப்பிடப்பட்ட சமத்துவமின்மை| b n +1 - a n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

மேலே உள்ள சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் மூலமாக, ஒரு குறிப்பிட்ட மறு செய்கை படிநிலையில் காணப்படும் தீர்வுகளுக்கு இடையில் சரியாக பாதியளவு இருக்கும் புள்ளியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

டர்போ பாஸ்கல் சூழலில் ஒருங்கிணைந்த முறை எளிதாக செயல்படுத்தப்படுகிறது. நீங்கள் உண்மையிலேயே விரும்பினால், எக்செல் இல் உள்ள அட்டவணை முறையைப் பயன்படுத்தி அனைத்து கணக்கீடுகளையும் மேற்கொள்ள முயற்சி செய்யலாம்.

பிந்தைய வழக்கில், நாண்களைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கும், ஐசக் நியூட்டன் முன்மொழியப்பட்ட முறைக்கு தனித்தனியாகவும் பல நெடுவரிசைகள் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன.

இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு வரியும் இரண்டு முறைகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு குறிப்பிட்ட மறு செய்கை கட்டத்தில் கணக்கீடுகளை பதிவு செய்ய பயன்படுத்தப்படுகிறது. பின்னர், தீர்வுப் பகுதியின் இடது பக்கத்தில், செயலில் உள்ள வேலைப் பக்கத்தில் ஒரு நெடுவரிசை முன்னிலைப்படுத்தப்படுகிறது, இதில் ஒவ்வொரு முறைகளுக்கும் அடுத்த மறுசெயல் நடவடிக்கையின் மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாட்டின் தொகுதியைக் கணக்கிடுவதன் விளைவாக உள்ளிடப்படுகிறது. தர்க்கரீதியான கட்டமைப்பான “IF” ஐக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளின் முடிவுகளை உள்ளிட மற்றொரு ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம், இது நிபந்தனை உண்மையா இல்லையா என்பதைக் கண்டறியப் பயன்படுகிறது.

சிக்கலான சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது இப்போது உங்களுக்குத் தெரியும். நீங்கள் ஏற்கனவே பார்த்தது போல், டேன்ஜென்ட் முறை, பாஸ்கல் மற்றும் எக்செல் இரண்டிலும் மிகவும் எளிமையாக செயல்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க கடினமான அல்லது சாத்தியமற்ற ஒரு சமன்பாட்டின் வேர்களை நீங்கள் எப்போதும் நிறுவலாம்.

பணி: கொடுக்கப்பட்டது நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் f(x) = 0. இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிய நீங்கள் Excel விரிதாளைப் பயன்படுத்த வேண்டும் தொடுகோடு முறைபயன்படுத்தி சுழற்சி இணைப்புகள்.

x-x 3 +1=0 a=1 b=2

தீர்வு:

நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் எக்செல் விரிதாளில் டேன்ஜென்ட் முறையைப் பயன்படுத்துகிறதுவட்ட குறிப்புகளைப் பயன்படுத்தி. மூலத்தைக் கண்டுபிடிக்க, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

செயல்படுத்த எக்செல் இல் சுழற்சி கணக்கீடு முறை2003, கருவிகள்/விருப்பங்கள்/கணக்கீடுகள் தாவலில், செய்ய வேண்டிய கணக்கீடுகளின் வகையைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான செக்பாக்ஸ் மற்றும் செக்பாக்ஸைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்: தானாகவே. MS Excel 2010 இல், கோப்பு / விருப்பங்கள் / சூத்திரங்கள் மெனுவிற்குச் சென்று, "செயல்படுத்தும் கணக்கீடுகளை இயக்கு" என்ற பெட்டியை சரிபார்க்கவும்.:

f(x)=x-x 3 +1 செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்

f'(x)=1-3x 2
செல் A3 இல் a =1 மதிப்பை உள்ளிடுகிறோம், செல் B3 இல் x இன் தற்போதைய மதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை உள்ளிடுகிறோம்: =IF(B3=0;A3;B3-(B3-POWER(B3,3)+1)/ (1-3*POWER(B3 ;2)))
செல் C3 இல் f(x): =B3-POWER(B3,3)+1 இன் மதிப்பைக் கட்டுப்படுத்த ஒரு சூத்திரத்தை உள்ளிடுகிறோம்.
செல் B3 x=1.325 இல் உள்ள சமன்பாட்டின் மூலத்தைப் பெறுவோம்.

செல் A3 =2 இல் ஆரம்ப தோராயத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம். ஆனால் கணக்கீடுகள் சரியாக இருக்க, செல் A3 இல் உள்ள எண்ணை மாற்றி கணக்கீடு செயல்முறையைத் தொடங்கினால் மட்டும் போதாது. ஏனெனில் இந்த வழக்கில், கணக்கீடுகள் கடைசியாக கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பிலிருந்து தொடர்கின்றன. செல் B3 இல் உள்ள இந்த மதிப்பை மீட்டமைக்க வேண்டும், நீங்கள் அங்கு சூத்திரத்தை மீண்டும் எழுதலாம் அல்லது சூத்திரத்துடன் கலத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து அதில் இருமுறை கிளிக் செய்யவும். இதற்குப் பிறகு, கர்சரை ஃபார்முலாவுடன் கலத்தில் வைத்து, மீண்டும் மீண்டும் கணக்கிடும் செயல்முறையைத் தொடங்க Enter விசையை அழுத்தவும்.

n எடுத்துக்காட்டு 2.3.சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்

x-டிஜி (x)= 0. (2.18)

தீர்வின் முதல் நிலை (நிலை வேர் பிரிப்பு) பிரிவு 2.1 இல் செயல்படுத்தப்பட்டது (எடுத்துக்காட்டு 2.2). சமன்பாட்டின் தேவையான வேர் பிரிவில் அமைந்துள்ளது xÎ, வரைபடத்தில் காணலாம் (படம் 2.9).

படம்.2.9. வேர் பிரிக்கும் நிலை

வேர் சுத்திகரிப்பு நிலைஎக்செல் பயன்படுத்தி அதை செயல்படுத்துகிறோம். இதை ஒரு உதாரணத்துடன் நிரூபிப்போம் அரை முறை . இதற்கான கணக்கீட்டு திட்டங்கள் தொடுகோடு முறைகள்மற்றும் நாண்கள்கீழே உள்ள வரைபடத்திலிருந்து மிகவும் வித்தியாசமாக இல்லை.

செயல்களின் வரிசை:

1. படம் 2.10 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஒரு அட்டவணையைத் தயாரித்து மதிப்புகளை உள்ளிடவும் அ, பி, ε முறையே B3, B4, B5 கலங்களில்.

2. அட்டவணையின் முதல் வரிசையை நிரப்பவும்:

D4=0 மறு செய்கை எண்;

E4=B3, F4=B4, கணக்கிடுவதற்கு f(a): G4=E4-TAN(E4),

இதேபோல், H4, I4, J4 கலங்களில் முறையே கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களை உள்ளிடுகிறோம் f(பி), x n=(a+b)/2 மற்றும் f(x n);

செல் K4 இல் நாம் பிரிவின் நீளத்தைக் கணக்கிடுகிறோம் [ அ, பி]: K4=ABS(E4-F4).

3. D5=D4+1, மறு செய்கை எண்ணை உருவாக்க.

4. E5, F5 கலங்களில், பிரிவு 2.2.1 இல் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ள வழிமுறையின்படி உள்ளமைக்கப்பட்ட பிரிவுகளின் முனைகளை உருவாக்குவதற்கான சூத்திரங்களை உள்ளிடுகிறோம்:

E5=IF(J4*H4<0;I4;E4);

F5=IF(J4*H4>0;I4;F4).

5. செல்கள் G4:K4 ஐத் தேர்ந்தெடுத்து அவற்றை நகலெடுக்கவும் ஒரு வரி.

6. செல்கள் D5:K5 ஐத் தேர்ந்தெடுத்து அவற்றை அட்டவணையின் இறுதி வரை நகலெடுக்கவும்.

படம்.2.10. பிரித்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான திட்டம்

பிந்தையவற்றின் நீளம் கொடுக்கப்பட்ட ε ஐ விடக் குறைவாக இருக்கும் வரை, பிரிவுகளைப் பிரிப்பதைத் தொடர்கிறோம், அதாவது. நிபந்தனை பூர்த்தியாகும் வரை.

செயல்பாட்டின் முடிவை தெளிவாக்க, நாங்கள் பயன்படுத்துவோம் நிபந்தனை வடிவமைத்தல்

நிபந்தனை வடிவமைப்பு -இது சில அளவுகோல்களின் அடிப்படையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கலங்களின் வடிவமைப்பாகும், இது கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையை (எங்கள் விஷயத்தில்) திருப்திப்படுத்தும் கலங்களின் வண்ணத்தில் விளையும்.

இதைச் செய்ய, பின்வரும் படிகளைச் செய்யவும்:

கணக்கீட்டுத் திட்டத்தின் (படம் 2.10) கடைசி நெடுவரிசையின் (K) கலங்களைத் தேர்ந்தெடுப்போம், அங்கு மீண்டும் செயல்முறையை முடிப்பதற்கான அளவுகோல் அமைக்கப்படும்;

கட்டளையை இயக்குவோம்

முகப்பு\ பாங்குகள்\ நிபந்தனை வடிவமைப்பு;

படம்.2.11. சாளரத்தில் வார்த்தை வடிவமைப்பு

தோன்றும் சாளரத்தில் (படம் 2.11), வரியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

கலங்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான விதிகள்\குறைவு;

தோன்றும் உரையாடல் பெட்டியின் இடது பக்கத்தில் குறைவாக (படம். 2.12) ஒரு அளவுகோலாகப் பயன்படுத்தப்படும் மதிப்பை நாங்கள் அமைத்துள்ளோம் (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் இது செல் B5 இன் முகவரி, அங்கு மதிப்பு அமைந்துள்ளது ε ).

படம்.2.12. உரையாடல் பெட்டி குறைவாக

சாளரத்தின் வலது பக்கத்தில் குறைவாக குறிப்பிட்ட நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் கலங்களை வண்ணமயமாக்க பயன்படுத்தப்படும் வண்ணத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்; மற்றும் பொத்தானை அழுத்தவும் சரி.

இந்த வடிவமைப்பின் விளைவாக, நெடுவரிசை K இல் உள்ள கலங்கள் , யாருடைய மதிப்புகள் 0.1 க்கும் குறைவாக,டின்ட், படம் 2.10.

எனவே, சமன்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பிற்கு x-டிஜி (x)= 0 e=0.1 துல்லியத்துடன், 3வது மறு செய்கை ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது, அதாவது. x * "4.46875. e=0.01 -க்கு x * » 4.49609(6வது மறு செய்கை).

"அளவுரு தேர்வு" செருகு நிரலைப் பயன்படுத்தி நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது MS பயன்பாட்டில் செயல்படுத்தப்படலாம் எக்செல்பயன்படுத்தி துணை நிரல் அளவுரு தேர்வு, அங்கு சில மறுசெயல்முறை செயல்படுத்தப்படுகிறது.

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் (2.18) வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.

சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுக்கான பூஜ்ஜிய தோராயமாக, படம் 2.13 இலிருந்து பார்க்க முடியும், நாம் எடுக்கலாம் எக்ஸ் 0 =4 அல்லது எக்ஸ் 0 =4,5.

செயல்களின் வரிசை

1. படம் 2.13 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஒரு அட்டவணையைத் தயாரிக்கவும். செல்லுக்கு A2 சில மதிப்பை உள்ளிடுவோம் x 0 (உதாரணமாக எக்ஸ் 0 =4) ODZ செயல்பாட்டிலிருந்து y=f(x). பயன்பாட்டினால் செயல்படுத்தப்படும் மறுசெயல்முறைக்கான ஆரம்ப தோராயமாக இது இருக்கும் அளவுருவின் தேர்வு.

2. செல் B2 உள்ளது மாறி செல் செருகு நிரல் இயங்கும் போது. இந்த மதிப்பை அதில் உள்ளிடுவோம் x 0 , மற்றும் செல்லில் C3 செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம் f(x n) இந்த தோராயத்திற்கு.

3. கட்டளையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

தரவு\தரவுடன் பணிபுரிதல்\ என்ன என்றால் பகுப்பாய்வு\ அளவுரு தேர்வு.

4. "அளவுரு தேர்வு" சாளரத்தில், படம் 2.13 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி அமைப்புகளைச் செய்து சரி என்பதைக் கிளிக் செய்யவும்.

படம்.2.13. "அளவுரு தேர்வு" செருகு நிரலைப் பயன்படுத்தி நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

எல்லாம் சரியாக செய்யப்பட்டிருந்தால், செல் B2 இல் (படம் 2.13) எங்கள் சமன்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பு பெறப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக, வேறு ஆரம்ப யூக மதிப்புடன் இந்த செயல்பாடுகளை மீண்டும் செய்யவும் x 0 =4.5.

பாதுகாப்பு கேள்விகள்

1. எந்த சமன்பாடு நேரியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டிற்கு என்ன தீர்வு.

2. நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டிற்கான தீர்வின் வடிவியல் விளக்கம்.

3. நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் (நேரடி மற்றும் மறு செய்கை), என்ன வித்தியாசம்.

4. நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் எண் தீர்வின் இரண்டு நிலைகள். முதல் மற்றும் இரண்டாவது கட்டங்களில் என்ன பணிகள் அமைக்கப்பட்டுள்ளன.

5. நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான முதல் நிலை. பூஜ்ஜிய தோராயம் (பூஜ்ஜிய மறு செய்கை) எவ்வாறு தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது.

6. ஒரு மறுசெயல் வரிசையின் கட்டுமானம். மறு செய்கை வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய கருத்து. ε இன் துல்லியத்துடன் நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறிதல்.

7. நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எண் முறைகளின் வடிவியல் விளக்கம்: அரை பிரிவு, நியூட்டன் (தொடுகோடுகள்), நாண்கள்.

இவனோவ் இவான்

எண் முறைகள் என்ற தலைப்பை முடிக்கும்போது, ​​விரிதாள்களுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது மற்றும் பாஸ்கலில் நிரல்களை எழுதுவது எப்படி என்பதை மாணவர்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருக்கிறார்கள். வேலை 40 நிமிடங்கள் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. பணியின் குறிக்கோள், EXCEL, ABCPascal நிரல்களுடன் பணி திறன்களை மீண்டும் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பதாகும். பொருளில் 2 கோப்புகள் உள்ளன. ஒன்றில் கோட்பாட்டுப் பொருள் உள்ளது, இது மாணவருக்கு வழங்கப்படும். 2 வது கோப்பில் இவானோவின் மாணவர் இவானின் வேலைக்கான எடுத்துக்காட்டு உள்ளது.

பதிவிறக்கம்:

முன்னோட்டம்:

சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

சில சமன்பாடுகளின் பகுப்பாய்வு தீர்வு, எடுத்துக்காட்டாக, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை தனிமைப்படுத்தப்பட்ட சிறப்பு நிகழ்வுகளுக்கு மட்டுமே பெற முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, cos x=x போன்ற எளிய சமன்பாட்டை பகுப்பாய்வு ரீதியாக தீர்க்க வழி இல்லை.

எண்ணியல் முறைகள் எந்தவொரு துல்லியத்துடன் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறிவதை சாத்தியமாக்குகின்றன.

தோராயமான கண்டுபிடிப்பு பொதுவாக இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது:

1) வேர்களைப் பிரித்தல், அதாவது. சமன்பாட்டின் ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்டிருக்கும் துல்லியமான இடைவெளிகளை நிறுவுதல்;

2) தோராயமான வேர்களை தெளிவுபடுத்துதல், அதாவது. ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான துல்லியத்திற்கு அவற்றைக் கொண்டுவருகிறது.

f(x)=0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். செயல்பாடு f(x)பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ந்து[a.b]. மதிப்பு x 0 f(x) என்றால் சமன்பாட்டின் வேர் என்று அழைக்கப்படுகிறது 0 )=0

வேர்களை பிரிக்க, பின்வரும் விதிகளில் இருந்து தொடர்வோம்:

• f(a)* f(b] எனில் \a, b\ குறைந்தது ஒரு வேர் உள்ளது
• செயல்பாடு y = f(x) என்றால் பிரிவில் தொடர்ந்து, மற்றும் f(a)*f(b) மற்றும் f "(x) இடைவெளியில் (a, b) அடையாளத்தை பாதுகாக்கிறது, பின்னர் பிரிவின் உள்ளே[a, b] சமன்பாட்டின் ஒரே ஒரு வேர் உள்ளது

தோராயமான ரூட் பிரிப்பு வரைபட ரீதியாகவும் செய்யப்படலாம். இதைச் செய்ய, சமன்பாடு (1) சமமான சமன்பாட்டால் மாற்றப்படுகிறது p(x) = φ(x), இதில் p(x) மற்றும் φ(x] செயல்பாடுகள் f(x) செயல்பாட்டை விட எளிமையானது. பின்னர், செயல்பாடுகளை திட்டமிடுவதன் மூலம் y = p(x) மற்றும் y = f(x), இந்த வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் abscissas ஆக தேவையான வேர்களைப் பெறுகிறோம்

இருவேறு முறை

மூலத்தை தெளிவுபடுத்த, பிரிவைப் பிரிக்கவும்[a, b] பாதியில் மற்றும் x புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடவும் sr =(a+b)/2. பாதிகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்அல்லது , செயல்பாடு எந்த முனைகளில் f(x) எதிர் அறிகுறிகள் உள்ளன.. பிரிவை பாதியாகப் பிரிக்கும் செயல்முறையை நாங்கள் தொடர்கிறோம் மற்றும் அதே கருத்தில் அதை மேற்கொள்ளும் வரை. நீளம் குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை விட குறைவாக மாறும். பிந்தைய வழக்கில், பிரிவின் எந்தப் புள்ளியையும் ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளலாம் (ஒரு விதியாக, அதன் நடுப்பகுதி எடுக்கப்படுகிறது).அல்காரிதம் மிகவும் திறமையானது, ஏனெனில் ஒவ்வொரு திருப்பத்திலும் (மறு செய்கை) தேடல் இடைவெளி பாதியாக குறைக்கப்படுகிறது; எனவே, 10 முறை செய்தால் ஆயிரம் மடங்கு குறையும். சிக்கலான செயல்பாடுகளுக்கு ரூட் பிரிப்புடன் சிரமங்கள் ஏற்படலாம்.

ரூட் அமைந்துள்ள பகுதியை தோராயமாக தீர்மானிக்க, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவதன் மூலம் அட்டவணை செயலியைப் பயன்படுத்தலாம்.

உதாரணம் : சமன்பாட்டின் மூலத்தை வரைபடமாக தீர்மானிப்போம். f1(x) = x, a எனலாம் இந்த செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும். (அட்டவணை). ரூட் 1 முதல் 2 வரையிலான இடைவெளியில் அமைந்துள்ளது. இங்கே நாம் ரூட்டின் மதிப்பை 0.001 துல்லியத்துடன் தெளிவுபடுத்துவோம் (போர்டில் உள்ள அட்டவணை தலைப்பு)

மென்பொருள் செயலாக்கத்திற்கான அல்காரிதம்

1. a:=இடது எல்லை b:=வலது எல்லை
2. மீ:= (a+b)/2 நடுத்தர
3. f(a) மற்றும் f(m) ஆகியவற்றை வரையறுக்கவும்
4. f(a)*f(m) என்றால்
5. என்றால் (a-b)/2>e புள்ளி 2 இலிருந்து தொடங்கும்
   

நாண் முறை

இடைவெளியின் முடிவில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் உள்ள புள்ளிகள் ஒரு நாண் மூலம் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. நாண் மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சின் வெட்டுப்புள்ளி (x*) சோதனைப் புள்ளியாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அடுத்து நாம் முந்தைய முறையைப் போலவே நியாயப்படுத்துகிறோம்: f(xஅ ) மற்றும் f(x*) இடைவெளியில் அதே குறி, கீழ் எல்லை x* புள்ளிக்கு நகர்த்தப்படுகிறது; இல்லையெனில், நாம் மேல் எல்லையை நகர்த்துகிறோம். அடுத்து நாம் ஒரு புதிய நாண் போன்றவற்றை வரைகிறோம்.

x* ஐ எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை தெளிவுபடுத்துவதற்கு மட்டுமே இது உள்ளது. சாராம்சத்தில், சிக்கல் பின்வருவனவற்றைக் குறைக்கிறது: அறியப்படாத ஆயங்கள் (x) மூலம் 2 புள்ளிகள் மூலம் 1, y 1) மற்றும் (x 2, y 2 ) ஒரு நேர் கோடு வரையப்பட்டது; இந்த கோடு மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சின் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

இரண்டு புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுவோம்:

இந்த கோடு மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சின் வெட்டும் இடத்தில், y=0, மற்றும் x=x*, அதாவது

எங்கே

தோராயமான மதிப்புகளைக் கணக்கிடும் செயல்முறை தொடரும் வரை, ரூட் x' மற்றும் இரண்டு அடுத்தடுத்த தோராயங்கள் வரை x p_1 நிபந்தனை ஏபிஎஸ்(xn-x n-1) இ - குறிப்பிட்ட துல்லியம்

முறையின் ஒருங்கிணைப்பு முந்தையதை விட அதிகமாக உள்ளது

நடுப்புள்ளியை கணக்கிடும் கட்டத்தில் மட்டுமே அல்காரிதம் வேறுபடுகிறது - அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் நாண் வெட்டும் மற்றும் நிறுத்தும் நிலைகள் (இரண்டு அருகில் உள்ள வெட்டுப்புள்ளிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு)

சுயாதீனமாக தீர்ப்பதற்கான சமன்பாடுகள்: (நாம் எக்செல் இல் ஒரு பிரிவைத் தேடுகிறோம்)

1. sin(x/2)+1=x^2 (x=1.26)

1. x-cosx=0 (x=0.739)

1. x^2+4sinx=0 (x=-1.933)

1. x=(x+1) 3 (x=-2.325)