ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கு தீர்வு காணவும். நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள். நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகள்

நேரியல் அமைப்புகளின் தீர்வு இயற்கணித சமன்பாடுகள்(SLAE) சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி நேரியல் அல்ஜீப்ரா பாடத்தில் மிக முக்கியமான தலைப்பு. கணிதத்தின் அனைத்து கிளைகளிலிருந்தும் ஏராளமான சிக்கல்கள் தீர்வு அமைப்புகளுக்கு வருகின்றன நேரியல் சமன்பாடுகள். இந்தக் காரணிகள் இந்தக் கட்டுரைக்கான காரணத்தை விளக்குகின்றன. கட்டுரையின் பொருள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் உதவியுடன் உங்களால் முடியும்

• எடு உகந்த முறைஉங்கள் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகள்,
• தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட முறையின் கோட்பாட்டைப் படிக்கவும்,
• வழக்கமான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களுக்கான விரிவான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொண்டு உங்கள் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

கட்டுரையின் பொருளின் சுருக்கமான விளக்கம்.

முதலில் எல்லாவற்றையும் கொடுப்போம் தேவையான வரையறைகள், கருத்துக்கள் மற்றும் குறியீடுகளை அறிமுகப்படுத்துதல்.

அடுத்து, நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், இதில் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும் மற்றும் தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. முதலாவதாக, நாம் க்ரேமர் முறையில் கவனம் செலுத்துவோம், இரண்டாவதாக, அத்தகைய சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான மேட்ரிக்ஸ் முறையைக் காண்பிப்போம், மூன்றாவதாக, காஸ் முறையை (முறையை) பகுப்பாய்வு செய்வோம். தொடர்ச்சியான நீக்குதல்அறியப்படாத மாறிகள்). கோட்பாட்டை ஒருங்கிணைக்க, நாங்கள் நிச்சயமாக பல SLAEகளை வெவ்வேறு வழிகளில் தீர்ப்போம்.

இதற்குப் பிறகு, பொதுவான வடிவத்தின் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் தீர்வு அமைப்புகளுக்குச் செல்வோம், இதில் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கையுடன் ஒத்துப்போவதில்லை அல்லது அமைப்பின் முக்கிய அணி ஒருமையாகும். க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றத்தை உருவாக்குவோம், இது SLAEகளின் இணக்கத்தன்மையை நிறுவ அனுமதிக்கிறது. ஒரு மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படை மைனர் என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி அமைப்புகளின் தீர்வை (அவை இணக்கமாக இருந்தால்) பகுப்பாய்வு செய்வோம். காஸ் முறையை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளை விரிவாக விவரிப்போம்.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புகளின் பொதுவான தீர்வின் கட்டமைப்பில் நாம் நிச்சயமாக வாழ்வோம். தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பின் கருத்தை வழங்குவோம் மற்றும் எப்படி எழுதுவது என்பதைக் காண்பிப்போம் பொதுவான தீர்வு SLAE அடிப்படை தீர்வு அமைப்பின் திசையன்களைப் பயன்படுத்துகிறது. சிறந்த புரிதலுக்கு, சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

முடிவில், நேரியல் ஒன்றுக்குக் குறைக்கக்கூடிய சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளையும், SLAEகள் எழும் தீர்வுகளில் பல்வேறு சிக்கல்களையும் நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

வரையறைகள், கருத்துக்கள், பதவிகள்.

படிவத்தின் n அறியப்படாத மாறிகள் (p n க்கு சமமாக இருக்கலாம்) கொண்ட p நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

அறியப்படாத மாறிகள், - குணகங்கள் (சில உண்மையான அல்லது சிக்கலான எண்கள்), - இலவச சொற்கள் (உண்மையான அல்லது சிக்கலான எண்களும்).

இந்த பதிவு SLAE எனப்படும் ஒருங்கிணைக்க.

IN அணி வடிவம்சமன்பாடுகளின் இந்த அமைப்பை எழுதும் வடிவம் உள்ளது,
எங்கே - கணினியின் முக்கிய அணி, - அறியப்படாத மாறிகளின் நெடுவரிசை அணி, - இலவச சொற்களின் நெடுவரிசை அணி.

இலவச சொற்களின் அணி-நெடுவரிசையை மேட்ரிக்ஸ் A உடன் (n+1)வது நெடுவரிசையாகச் சேர்த்தால், நாம் அழைக்கப்படும் நீட்டிக்கப்பட்ட அணிநேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள். பொதுவாக, நீட்டிக்கப்பட்ட அணி T என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் இலவச சொற்களின் நெடுவரிசை மீதமுள்ள நெடுவரிசைகளிலிருந்து செங்குத்து கோட்டால் பிரிக்கப்படுகிறது, அதாவது,

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதுகணினியின் அனைத்து சமன்பாடுகளையும் அடையாளங்களாக மாற்றும் அறியப்படாத மாறிகளின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாடுஅறியப்படாத மாறிகளின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளும் ஒரு அடையாளமாக மாறும்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வு இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது கூட்டு.

சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு தீர்வுகள் இல்லை என்றால், அது அழைக்கப்படுகிறது கூட்டு அல்லாத.

ஒரு SLAE ஒரு தனித்துவமான தீர்வு இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது உறுதி; ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தீர்வுகள் இருந்தால் - நிச்சயமற்ற.

கணினியின் அனைத்து சமன்பாடுகளின் இலவச விதிமுறைகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் , பின்னர் அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது ஒரே மாதிரியான, இல்லையெனில் - பன்முகத்தன்மை கொண்ட.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அடிப்படை அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது.

ஒரு அமைப்பின் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால் மற்றும் அதன் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், அத்தகைய SLAEகள் அழைக்கப்படும் ஆரம்பநிலை. சமன்பாடுகளின் இத்தகைய அமைப்புகள் ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் ஒரே மாதிரியான அமைப்பில், அனைத்து அறியப்படாத மாறிகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

அத்தகைய SLAEகளை நாங்கள் படிக்க ஆரம்பித்தோம் உயர்நிலைப் பள்ளி. அவற்றைத் தீர்க்கும் போது, ​​ஒரு சமன்பாட்டை எடுத்து, ஒரு அறியப்படாத மாறியை மற்றவற்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தி, மீதமுள்ள சமன்பாடுகளில் அதை மாற்றினோம், பின்னர் அடுத்த சமன்பாட்டை எடுத்து, அடுத்த அறியப்படாத மாறியை வெளிப்படுத்தி மற்ற சமன்பாடுகளில் மாற்றினோம். அல்லது அவர்கள் கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தினர், அதாவது அறியப்படாத சில மாறிகளை அகற்ற இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சமன்பாடுகளைச் சேர்த்தனர். இந்த முறைகள் அடிப்படையில் காஸ் முறையின் மாற்றங்களாக இருப்பதால், இந்த முறைகளை நாங்கள் விரிவாகப் பேச மாட்டோம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அடிப்படை அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய முறைகள் க்ரேமர் முறை, மேட்ரிக்ஸ் முறை மற்றும் காஸ் முறை. அவற்றை வரிசைப்படுத்துவோம்.

க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்

இதில் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் மற்றும் அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, அதாவது, .

அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவராக இருக்கட்டும், மற்றும் - மாற்றீடு மூலம் A இலிருந்து பெறப்படும் மெட்ரிக்குகளின் தீர்மானிப்பான்கள் 1வது, 2வது, ..., வதுஇலவச உறுப்பினர்களின் நெடுவரிசைக்கு முறையே நெடுவரிசை:

இந்த குறியீட்டுடன், அறியப்படாத மாறிகள் க்ரேமர் முறையின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன . க்ரேமர்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான தீர்வு இப்படித்தான் கண்டறியப்படுகிறது.

உதாரணம்.

க்ரேமர் முறை .

தீர்வு.

அமைப்பின் முக்கிய அணி வடிவம் உள்ளது . அதன் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம் (தேவைப்பட்டால், கட்டுரையைப் பார்க்கவும்):

கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருப்பதால், கணினியானது க்ரேமரின் முறையால் கண்டுபிடிக்கக்கூடிய தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது.

தேவையான தீர்மானங்களை உருவாக்கி கணக்கிடுவோம் (மேட்ரிக்ஸ் A இல் உள்ள முதல் நெடுவரிசையை இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசையுடன் மாற்றுவதன் மூலமும், இரண்டாவது நெடுவரிசையை இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசையுடன் மாற்றுவதன் மூலமும், மற்றும் அணி A இன் மூன்றாவது நெடுவரிசையை இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசையுடன் மாற்றுவதன் மூலமும் தீர்மானிப்பதைப் பெறுகிறோம்) :

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அறியப்படாத மாறிகளைக் கண்டறிதல் :

பதில்:

க்ரேமர் முறையின் முக்கிய தீமை (அது ஒரு தீமை என்று அழைக்கப்பட்டால்) அமைப்பில் உள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை மூன்றுக்கு மேல் இருக்கும்போது தீர்மானிப்பவர்களைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கலானது.

மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி (தலைகீழ் அணியைப் பயன்படுத்தி) நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பை அணி வடிவத்தில் கொடுக்கலாம், இதில் அணி A ஆனது n ஆல் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அதன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கும்.

ஏனெனில், அணி A தலைகீழானது, அதாவது தலைகீழ் அணி உள்ளது. சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் இடதுபுறமாகப் பெருக்கினால், தெரியாத மாறிகளின் மேட்ரிக்ஸ்-நெடுவரிசையைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம். மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான தீர்வை இப்படித்தான் பெற்றோம்.

உதாரணம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் அணி முறை.

தீர்வு.

மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்:

ஏனெனில்

மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி SLAE ஐ தீர்க்க முடியும். பயன்படுத்துவதன் மூலம் தலைகீழ் அணிஇந்த அமைப்புக்கான தீர்வை இவ்வாறு காணலாம் .

இருந்து மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் அணியை உருவாக்குவோம் இயற்கணித சேர்த்தல்கள்அணி A இன் கூறுகள் (தேவைப்பட்டால், கட்டுரையைப் பார்க்கவும்):

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைப் பெருக்குவதன் மூலம் அறியப்படாத மாறிகளின் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிட இது உள்ளது இலவச உறுப்பினர்களின் மேட்ரிக்ஸ்-நெடுவரிசைக்கு (தேவைப்பட்டால், கட்டுரையைப் பார்க்கவும்):

பதில்:

அல்லது மற்றொரு குறிப்பில் x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு தீர்வுகளைக் கண்டறிவதில் முக்கிய சிக்கல் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கலானது, குறிப்பாக சதுர மெட்ரிக்குகள்மூன்றாவது விட அதிக ஆர்டர்.

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது.

n அறியப்படாத மாறிகள் கொண்ட n நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கு நாம் தீர்வு காண வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான்.

காஸ் முறையின் சாராம்சம்அறியப்படாத மாறிகளை வரிசையாக நீக்குவதைக் கொண்டுள்ளது: முதலில் x 1 ஆனது கணினியின் அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, பின்னர் x 2 அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும் விலக்கப்படும், மூன்றில் இருந்து தொடங்கி, மற்றும் பல, தெரியாத மாறி x n மட்டுமே இருக்கும் வரை கடைசி சமன்பாடு. அறியப்படாத மாறிகளை வரிசையாக அகற்ற ஒரு அமைப்பின் சமன்பாடுகளை மாற்றும் இந்த செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது நேரடி காசியன் முறை. காஸியன் முறையின் முன்னோக்கு பக்கவாதத்தை முடித்த பிறகு, கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து x n கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, இறுதி சமன்பாட்டிலிருந்து இந்த மதிப்பைப் பயன்படுத்தி, x n-1 கணக்கிடப்படுகிறது, மேலும் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து x 1 கண்டறியப்படுகிறது. கணினியின் கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் சமன்பாட்டிற்கு நகரும் போது அறியப்படாத மாறிகளைக் கணக்கிடும் செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது காஸியன் முறையின் தலைகீழ்.

அறியப்படாத மாறிகளை நீக்குவதற்கான அல்காரிதத்தை சுருக்கமாக விவரிப்போம்.

அமைப்பின் சமன்பாடுகளை மாற்றுவதன் மூலம் இதை எப்போதும் அடைய முடியும் என்பதால், என்று கருதுவோம். கணினியின் அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும் அறியப்படாத மாறி x 1 ஐ அகற்றுவோம், இரண்டாவது தொடங்கி. இதைச் செய்ய, கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் முதல், பெருக்கல், மூன்றாவது சமன்பாட்டிற்கு, முதல், பெருக்கல், மற்றும் பல, n வது சமன்பாட்டில் முதல், பெருக்கல் ஆகியவற்றைச் சேர்க்கிறோம். அத்தகைய மாற்றங்களுக்குப் பிறகு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு வடிவம் எடுக்கும்

எங்கே , மற்றும் .

கணினியின் முதல் சமன்பாட்டில் மற்ற அறியப்படாத மாறிகளின் அடிப்படையில் x 1 ஐ வெளிப்படுத்தியிருந்தால், அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை மற்ற எல்லா சமன்பாடுகளிலும் மாற்றியிருந்தால் அதே முடிவை அடைந்திருப்போம். எனவே, x 1 என்ற மாறியானது அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும், இரண்டாவதாகத் தொடங்கும்.

அடுத்து, நாங்கள் இதேபோன்ற வழியில் செல்கிறோம், ஆனால் விளைந்த அமைப்பின் ஒரு பகுதியுடன் மட்டுமே, இது படத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளது

இதைச் செய்ய, கணினியின் மூன்றாவது சமன்பாட்டில் இரண்டாவதாக, பெருக்கி , to நான்காவது சமன்பாடு n வது சமன்பாட்டில் இரண்டாவதாக பெருக்கப்படும் மற்றும் பலவற்றைச் சேர்ப்போம். அத்தகைய மாற்றங்களுக்குப் பிறகு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு வடிவம் எடுக்கும்

எங்கே , மற்றும் . எனவே, x 2 மாறியானது, மூன்றில் இருந்து தொடங்கி அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும் விலக்கப்படுகிறது.

அடுத்து, அறியப்படாத x 3 ஐ நீக்குவதற்குச் செல்கிறோம், மேலும் படத்தில் குறிக்கப்பட்ட அமைப்பின் பகுதியுடன் இதேபோல் செயல்படுகிறோம்.

எனவே கணினி வடிவத்தை எடுக்கும் வரை காசியன் முறையின் நேரடி முன்னேற்றத்தைத் தொடர்கிறோம்

இந்த தருணத்திலிருந்து நாம் காஸியன் முறையின் தலைகீழாகத் தொடங்குகிறோம்: கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து x n ஐக் கணக்கிடுகிறோம், x n இன் பெறப்பட்ட மதிப்பைப் பயன்படுத்தி இறுதி சமன்பாட்டிலிருந்து x n-1 ஐக் காண்கிறோம், மேலும் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து x 1 ஐக் காண்கிறோம். .

உதாரணம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் காஸ் முறை.

தீர்வு.

கணினியின் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளிலிருந்து அறியப்படாத மாறி x 1 ஐ விலக்குவோம். இதைச் செய்ய, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளின் இருபுறமும் முதல் சமன்பாட்டின் தொடர்புடைய பகுதிகளைச் சேர்ப்போம், முறையே பெருக்கப்படுகிறது:

இப்போது நாம் மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து x 2 ஐ நீக்குகிறோம், அதன் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெருக்கப்படுகிறது:

இது காஸ் முறையின் முன்னோக்கி பக்கவாதத்தை நிறைவு செய்கிறது;

விளைவான சமன்பாடுகளின் கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் x 3 ஐக் காண்கிறோம்:

இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்.

முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து, மீதமுள்ள அறியப்படாத மாறியைக் கண்டுபிடித்து அதன் மூலம் காஸ் முறையின் தலைகீழ் முறையை முடிக்கிறோம்.

பதில்:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

பொது வடிவத்தின் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் தீர்வு அமைப்புகள்.

பொதுவாக, கணினி p இன் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கை n உடன் ஒத்துப்போவதில்லை:

அத்தகைய SLAE களுக்கு தீர்வுகள் இல்லாமல் இருக்கலாம், ஒரே தீர்வு இருக்கலாம் அல்லது எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருக்கலாம். இந்த அறிக்கை சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கும் பொருந்தும், அதன் முக்கிய அணி சதுரம் மற்றும் ஒருமை ஆகும்.

க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு முன், அதன் பொருந்தக்கூடிய தன்மையை நிறுவுவது அவசியம். SLAE எப்போது இணக்கமாக இருக்கும் மற்றும் எப்போது சீரற்றதாக இருக்கும் என்ற கேள்விக்கான பதில் அளிக்கப்படுகிறது குரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றம்:
n அறியப்படாத (p n க்கு சமமாக இருக்கலாம்) கொண்ட p சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சீரானதாக இருக்க, அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. , ரேங்க்(A)=Rank(T).

எடுத்துக்காட்டாக, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் பொருந்தக்கூடிய தன்மையைத் தீர்மானிக்க க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றத்தின் பயன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளதா என்பதைக் கண்டறியவும் தீர்வுகள்.

தீர்வு.

. சிறார்களை எல்லைக்குட்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். இரண்டாவது வரிசையில் சிறியது பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. அதன் எல்லையில் உள்ள மூன்றாம் வரிசை சிறார்களைப் பார்ப்போம்:

மூன்றாவது வரிசையின் அனைத்து எல்லை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், பிரதான மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை இரண்டுக்கு சமம்.

இதையொட்டி, நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மைனர் மூன்றாவது வரிசையில் இருப்பதால், மூன்றுக்கு சமம்

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது.

இவ்வாறு, Rang(A), எனவே, Kronecker-Capelli தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்பு சீரற்றது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்.

பதில்:

அமைப்புக்கு தீர்வுகள் இல்லை.

எனவே, க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு அமைப்பின் சீரற்ற தன்மையை நிறுவ கற்றுக்கொண்டோம்.

ஆனால் அதன் இணக்கத்தன்மை நிறுவப்பட்டால், SLAE க்கு ஒரு தீர்வை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

இதைச் செய்ய, ஒரு மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படை மைனர் மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் தரத்தைப் பற்றிய ஒரு தேற்றம் நமக்குத் தேவை.

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட அணி A இன் மிக உயர்ந்த வரிசையின் சிறியது அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படை.

அடிப்படை மைனரின் வரையறையிலிருந்து அதன் வரிசை மேட்ரிக்ஸின் ரேங்கிற்கு சமமாக இருக்கும். பூஜ்ஜியமல்லாத அணி Aக்கு பல அடிப்படை மைனர்கள் இருக்கலாம், ஒன்று அடிப்படை சிறியஎப்போதும் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டாக, மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள் .

இந்த மேட்ரிக்ஸின் மூன்றாம் வரிசை மைனர்கள் அனைத்தும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், ஏனெனில் இந்த மேட்ரிக்ஸின் மூன்றாவது வரிசையின் கூறுகள் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசைகளின் தொடர்புடைய உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

பின்வரும் இரண்டாம் வரிசை மைனர்கள் அடிப்படையானவை, ஏனெனில் அவை பூஜ்ஜியம் அல்ல

சிறார் அவை அடிப்படை அல்ல, ஏனெனில் அவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

மேட்ரிக்ஸ் ரேங்க் தேற்றம்.

n ஆல் p வரிசையின் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை r க்கு சமமாக இருந்தால், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அடிப்படை மைனரை உருவாக்காத மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து வரிசை (மற்றும் நெடுவரிசை) கூறுகளும் தொடர்புடைய வரிசை (மற்றும் நெடுவரிசை) உறுப்புகளை உருவாக்கும் அடிப்படையில் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. அடிப்படை சிறியது.

மேட்ரிக்ஸ் ரேங்க் தேற்றம் நமக்கு என்ன சொல்கிறது?

க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றத்தின்படி, கணினியின் இணக்கத்தன்மையை நாங்கள் நிறுவியிருந்தால், கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் சிறிய அடிப்படையை (அதன் வரிசையானது r க்கு சமம்) தேர்வுசெய்து, அந்த அமைப்பிலிருந்து அனைத்து சமன்பாடுகளையும் விலக்குவோம். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அடிப்படை சிறியதாக இல்லை. இந்த வழியில் பெறப்பட்ட SLAE அசல் ஒன்றிற்கு சமமாக இருக்கும், ஏனெனில் நிராகரிக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள் இன்னும் தேவையற்றதாக இருக்கும் (மேட்ரிக்ஸ் ரேங்க் தேற்றத்தின்படி, அவை மீதமுள்ள சமன்பாடுகளின் நேரியல் கலவையாகும்).

இதன் விளைவாக, கணினியின் தேவையற்ற சமன்பாடுகளை நிராகரித்த பிறகு, இரண்டு வழக்குகள் சாத்தியமாகும்.

விளைந்த அமைப்பில் உள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை r அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால், அது திட்டவட்டமாக இருக்கும் மற்றும் ஒரே தீர்வை க்ரேமர் முறை, மேட்ரிக்ஸ் முறை அல்லது காஸ் முறை மூலம் காணலாம்.

உதாரணம்.

.

தீர்வு.

அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மைனர் இரண்டாவது வரிசையில் இருப்பதால், இரண்டுக்கு சமம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. விரிவாக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை ஒரே மூன்றாவது வரிசை மைனர் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், இரண்டிற்கும் சமம்

மேலும் மேலே கருதப்பட்ட இரண்டாவது-வரிசை மைனர் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. Kronecker-Capelli தேற்றத்தின் அடிப்படையில், ரேங்க்(A)=Rank(T)=2 என்பதால், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்பின் இணக்கத்தன்மையை நாம் உறுதிப்படுத்தலாம்.

சிறிய அடிப்படையாக நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம் . இது முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளின் குணகங்களால் உருவாகிறது:


அமைப்பின் மூன்றாவது சமன்பாடு சிறிய அடிப்படையை உருவாக்குவதில் பங்கேற்காது, எனவே மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையில் உள்ள தேற்றத்தின் அடிப்படையில் அமைப்பிலிருந்து அதை விலக்குகிறோம்:


இப்படித்தான் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அடிப்படை அமைப்பைப் பெற்றோம். க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்ப்போம்:


பதில்:

x 1 = 1, x 2 = 2.

இதன் விளைவாக வரும் SLAE இல் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை r என்றால் குறைவான எண்ணிக்கைஅறியப்படாத மாறிகள் n, பின்னர் சமன்பாடுகளின் இடது பக்கங்களில் சிறிய அடிப்படையை உருவாக்கும் சொற்களை விட்டுவிட்டு, மீதமுள்ள சொற்களை கணினியின் சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்களுக்கு எதிர் அடையாளத்துடன் மாற்றுவோம்.

சமன்பாடுகளின் இடது பக்கங்களில் இருக்கும் அறியப்படாத மாறிகள் (அவற்றின் r) எனப்படும் முக்கிய.

வலது பக்கங்களில் இருக்கும் அறியப்படாத மாறிகள் (n - r துண்டுகள் உள்ளன) என்று அழைக்கப்படுகின்றன இலவசம்.

இலவச அறியப்படாத மாறிகள் தன்னிச்சையான மதிப்புகளை எடுக்கலாம் என்று இப்போது நாங்கள் நம்புகிறோம், அதே நேரத்தில் r முக்கிய அறியப்படாத மாறிகள் ஒரு தனித்துவமான வழியில் இலவச அறியப்படாத மாறிகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும். க்ரேமர் முறை, மேட்ரிக்ஸ் முறை அல்லது காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி விளைந்த SLAE ஐத் தீர்ப்பதன் மூலம் அவற்றின் வெளிப்பாட்டைக் கண்டறியலாம்.

அதை ஒரு உதாரணத்துடன் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் .

தீர்வு.

கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டுபிடிப்போம் சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறை மூலம். முதல் வரிசையின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனராக 1 1 = 1 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த மைனரின் எல்லையில் உள்ள இரண்டாவது வரிசையின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனரைத் தேடத் தொடங்குவோம்:


இரண்டாவது வரிசையின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனரை இப்படித்தான் கண்டுபிடித்தோம். மூன்றாவது வரிசையின் பூஜ்ஜியமற்ற எல்லை மைனரைத் தேடத் தொடங்குவோம்:


எனவே, முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மூன்று ஆகும். நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரமும் மூன்றுக்கு சமம், அதாவது அமைப்பு சீரானது.

மூன்றாவது வரிசையில் காணப்படும் பூஜ்ஜியமற்ற மைனரை அடிப்படையாக எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

தெளிவுக்காக, சிறிய அடிப்படையை உருவாக்கும் கூறுகளைக் காட்டுகிறோம்:


சிஸ்டம் சமன்பாடுகளின் இடது பக்கத்தில் சிறிய அடிப்படையில் உள்ள விதிமுறைகளை விட்டுவிட்டு, மீதமுள்ளவற்றை எதிரெதிர் அறிகுறிகளுடன் வலது பக்கங்களுக்கு மாற்றுகிறோம்:


இலவச அறியப்படாத மாறிகள் x 2 மற்றும் x 5 தன்னிச்சையான மதிப்புகளை வழங்குவோம், அதாவது, நாங்கள் ஏற்றுக்கொள்கிறோம். , தன்னிச்சையான எண்கள் எங்கே. இந்த வழக்கில், SLAE படிவத்தை எடுக்கும்


க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் விளைவாக வரும் அடிப்படை அமைப்பைத் தீர்ப்போம்:


எனவே, .

உங்கள் பதிலில், இலவச அறியப்படாத மாறிகளைக் குறிப்பிட மறக்காதீர்கள்.

பதில்:

தன்னிச்சையான எண்கள் எங்கே.

சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

பொதுவான நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க, க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் இணக்கத்தன்மையை முதலில் தீர்மானிக்கிறோம். பிரதான மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், கணினி பொருந்தாது என்று முடிவு செய்கிறோம்.

பிரதான மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இருந்தால், நாங்கள் ஒரு சிறிய அடிப்படையைத் தேர்ந்தெடுத்து, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அடிப்படை மைனரை உருவாக்குவதில் பங்கேற்காத அமைப்பின் சமன்பாடுகளை நிராகரிக்கிறோம்.

அடிப்படையில் சிறிய வரிசை என்றால் எண்ணுக்கு சமம்அறியப்படாத மாறிகள், பின்னர் SLAE ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, இது நமக்குத் தெரிந்த எந்த முறையிலும் கண்டறியப்படுகிறது.

அடிப்படை மைனரின் வரிசை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருந்தால், கணினி சமன்பாடுகளின் இடது பக்கத்தில் முக்கிய அறியப்படாத மாறிகளுடன் விதிமுறைகளை விட்டுவிட்டு, மீதமுள்ள சொற்களை வலது பக்கங்களுக்கு மாற்றி தன்னிச்சையான மதிப்புகளை வழங்குகிறோம். இலவச அறியப்படாத மாறிகள். நேரியல் சமன்பாடுகளின் விளைவான அமைப்பிலிருந்து முக்கிய அறியப்படாதவற்றைக் காண்கிறோம் முறை மூலம் மாறிகள்க்ரேமர், மேட்ரிக்ஸ் முறை அல்லது காஸியன் முறை.

பொது வடிவத்தின் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான காஸ் முறை.

காஸ் முறையானது எந்த வகையான நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளையும் முதலில் நிலைத்தன்மைக்காக சோதிக்காமல் தீர்க்க பயன்படுத்தப்படலாம். அறியப்படாத மாறிகளை வரிசையாக நீக்கும் செயல்முறையானது SLAE இன் பொருந்தக்கூடிய தன்மை மற்றும் பொருந்தாத தன்மை ஆகிய இரண்டையும் பற்றிய ஒரு முடிவுக்கு வருவதை சாத்தியமாக்குகிறது, மேலும் ஒரு தீர்வு இருந்தால், அதைக் கண்டுபிடிப்பதை சாத்தியமாக்குகிறது.

கணக்கீட்டுக் கண்ணோட்டத்தில், காஸியன் முறை விரும்பத்தக்கது.

அதைப் பாருங்கள் விரிவான விளக்கம்மற்றும் பொது வடிவத்தின் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான காஸ் முறை கட்டுரையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளை பகுப்பாய்வு செய்தேன்.

தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பின் திசையன்களைப் பயன்படுத்தி ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற நேரியல் இயற்கணித அமைப்புகளுக்கு பொதுவான தீர்வை எழுதுதல்.

இந்த பிரிவில், எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்ட நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே நேரத்தில் ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புகளைப் பற்றி பேசுவோம்.

முதலில் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகளைக் கையாள்வோம்.

தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு n அறியப்படாத மாறிகள் கொண்ட p நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு இந்த அமைப்பின் (n - r) நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளின் தொகுப்பாகும், இதில் r என்பது அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படை சிறிய வரிசையாகும்.

நாம் நேர்கோட்டாகக் குறித்தால் சுயாதீன தீர்வுகள் X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) என ஒரே மாதிரியான SLAE என்பது n ஆல் 1 ன் பரிமாணத்தின் நெடுவரிசை மெட்ரிக்குகள் ஆகும், பின்னர் பொதுவான தீர்வு இந்த ஒரே மாதிரியான அமைப்பு தன்னிச்சையான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பின் திசையன்களின் நேரியல் கலவையாக குறிப்பிடப்படுகிறது. நிலையான குணகங்கள் C 1, C 2, ..., C (n-r), அதாவது, .

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் (ஓரோஸ்லாவ்) ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு என்ற வார்த்தையின் அர்த்தம் என்ன?

பொருள் எளிது: சூத்திரம் எல்லாவற்றையும் அமைக்கிறது சாத்தியமான தீர்வுகள்அசல் SLAE, வேறுவிதமாகக் கூறினால், தன்னிச்சையான மாறிலிகள் C 1, C 2, ..., C (n-r) மதிப்புகளின் தொகுப்பை எடுத்துக் கொண்டால், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அசல் ஒரே மாதிரியான SLAEக்கான தீர்வுகளில் ஒன்றைப் பெறுவோம்.

எனவே, தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டறிந்தால், இந்த ஒரே மாதிரியான SLAE இன் அனைத்து தீர்வுகளையும் நாம் இவ்வாறு வரையறுக்கலாம்.

ஒரே மாதிரியான SLAEக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்கும் செயல்முறையை காண்போம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்பின் அடிப்படை மைனரைத் தேர்ந்தெடுத்து, கணினியிலிருந்து மற்ற எல்லா சமன்பாடுகளையும் தவிர்த்து, இலவச அறியப்படாத மாறிகளைக் கொண்ட அனைத்து சொற்களையும் எதிர் அறிகுறிகளுடன் கணினியின் சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்களுக்கு மாற்றுவோம். இலவச அறியப்படாத மாறிகளுக்கு 1,0,0,...,0 மதிப்புகளைக் கொடுப்போம் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அடிப்படை அமைப்பை எந்த வகையிலும் தீர்ப்பதன் மூலம் முக்கிய தெரியாதவற்றைக் கணக்கிடுவோம், எடுத்துக்காட்டாக, க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி. இதன் விளைவாக எக்ஸ் (1) - அடிப்படை அமைப்பின் முதல் தீர்வு. இலவச தெரியாதவற்றிற்கு 0,1,0,0,...,0 மதிப்புகளைக் கொடுத்து, முக்கிய தெரியாதவற்றைக் கணக்கிட்டால், நமக்கு X (2) கிடைக்கும். மற்றும் பல. இலவச அறியப்படாத மாறிகளுக்கு 0.0,...,0.1 மதிப்புகளை ஒதுக்கி, முக்கிய தெரியாதவற்றைக் கணக்கிட்டால், நாம் X (n-r) ஐப் பெறுகிறோம். இந்த வழியில், ஒரே மாதிரியான SLAEக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு உருவாக்கப்படும் மற்றும் அதன் பொதுவான தீர்வை வடிவத்தில் எழுதலாம்.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புகளுக்கு, பொதுவான தீர்வு வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது, இது தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் அசல் ஒத்திசைவற்ற SLAE இன் குறிப்பிட்ட தீர்வாகும், இது இலவச தெரியாதவர்களுக்கு மதிப்புகளை வழங்குவதன் மூலம் நாம் பெறுகிறோம் 0,0,...,0 மற்றும் முக்கிய தெரியாதவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறது.

உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு மற்றும் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகளின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை எப்போதும் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இருக்கும். சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்தி முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டுபிடிப்போம். முதல் வரிசையின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனராக, கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் 1 1 = 9 என்ற உறுப்பை எடுத்துக்கொள்கிறோம். இரண்டாவது வரிசையின் பூஜ்ஜியம் அல்லாத மைனர் எல்லையைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட இரண்டாவது வரிசையின் மைனர் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. பூஜ்ஜியமற்ற ஒன்றைத் தேடி அதன் எல்லையில் உள்ள மூன்றாம் வரிசை சிறார்களின் வழியாகச் செல்லலாம்:

அனைத்து மூன்றாம் வரிசை எல்லை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், எனவே, முக்கிய மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரம் இரண்டுக்கு சமம். எடுக்கலாம். தெளிவுக்காக, அதை உருவாக்கும் அமைப்பின் கூறுகளைக் கவனியுங்கள்:

அசல் SLAE இன் மூன்றாவது சமன்பாடு சிறிய அடிப்படையை உருவாக்குவதில் பங்கேற்கவில்லை, எனவே, அதை விலக்கலாம்:

சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்களில் முக்கிய அறியப்படாத சொற்களைக் கொண்ட விதிமுறைகளை விட்டுவிட்டு, இலவச அறியப்படாத சொற்களைக் கொண்ட விதிமுறைகளை வலது பக்கங்களுக்கு மாற்றுவோம்:

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அசல் ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குவோம். இந்த SLAE இன் தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு இரண்டு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் அசல் SLAE நான்கு அறியப்படாத மாறிகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அதன் அடிப்படை சிறிய வரிசை இரண்டுக்கு சமம். X (1) ஐக் கண்டுபிடிக்க, இலவச அறியப்படாத மாறிகளுக்கு x 2 = 1, x 4 = 0 மதிப்புகளைக் கொடுக்கிறோம், பின்னர் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து முக்கிய தெரியாதவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்.
.

தீர்வுகால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கவும். தீர்வு அல்காரிதம் லீனியர் நாட் அமைப்புகளைப் போலவே இருக்கும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்.
வரிசைகளுடன் மட்டுமே செயல்படும், மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க், அடிப்படை சிறியது; நாங்கள் சார்ந்த மற்றும் இலவச தெரியாதவற்றை அறிவித்து பொதுவான தீர்வைக் காண்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2. அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டறியவும்
தீர்வு.



,
மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 3 மற்றும் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக உள்ளது. இதன் பொருள் கணினியில் இலவச தெரியாதவை இல்லை, எனவே ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது - ஒரு அற்பமானது.

உடற்பயிற்சி . நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை ஆராய்ந்து தீர்க்கவும்.
எடுத்துக்காட்டு 4

உடற்பயிற்சி . ஒவ்வொரு அமைப்பின் பொதுவான மற்றும் குறிப்பிட்ட தீர்வுகளைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு.கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸை எழுதுவோம்:

பணி . கண்டுபிடி அடிப்படை தொகுப்புநேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் தீர்வுகள்.

காஸியன் முறை பல குறைபாடுகளைக் கொண்டுள்ளது: காஸியன் முறையில் தேவையான அனைத்து மாற்றங்களும் மேற்கொள்ளப்படும் வரை, அமைப்பு சீரானதா இல்லையா என்பதை அறிய முடியாது; காஸ்ஸின் முறை எழுத்துக் குணகங்களைக் கொண்ட அமைப்புகளுக்குப் பொருந்தாது.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான பிற முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த முறைகள் மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசையின் கருத்தைப் பயன்படுத்துகின்றன மற்றும் க்ரேமரின் விதி பொருந்தும் ஒரு அமைப்பின் தீர்வுக்கு எந்தவொரு நிலையான அமைப்பின் தீர்வையும் குறைக்கிறது.

உதாரணம் 1.குறைக்கப்பட்ட ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு மற்றும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

1. ஒரு அணியை உருவாக்குதல் ஏமற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட கணினி அணி (1)

2. அமைப்பை ஆராயுங்கள் (1) ஒற்றுமைக்காக. இதைச் செய்ய, மெட்ரிக்குகளின் தரவரிசைகளைக் காண்கிறோம் ஏமற்றும் https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). (1) பொருந்தாத. நமக்கு அது கிடைத்தால் , இந்த அமைப்பு சீரானது மற்றும் நாங்கள் அதை தீர்ப்போம். (பொருந்தக்கூடிய ஆய்வு Kronecker-Capelli தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது).

அ. கண்டுபிடிக்கிறோம் rA.

கண்டுபிடிக்க rA, மேட்ரிக்ஸின் முதல், இரண்டாவது, முதலியவற்றின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனர்களை வரிசையாகக் கருதுவோம். ஏமற்றும் அவர்களைச் சுற்றியுள்ள சிறார்களும்.

M1=1≠0 (மேட்ரிக்ஸின் மேல் இடது மூலையில் இருந்து 1ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம் ஏ).

நாங்கள் எல்லை M1இந்த மேட்ரிக்ஸின் இரண்டாவது வரிசை மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசை. . நாங்கள் எல்லையைத் தொடர்கிறோம் M1இரண்டாவது வரி மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசை..gif" width="37" height="20 src=">. இப்போது நாம் பூஜ்ஜியம் அல்லாத சிறிய எல்லை M2′இரண்டாவது வரிசை.

எங்களிடம் உள்ளது: (முதல் இரண்டு நெடுவரிசைகளும் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால்)

(இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது கோடுகள் விகிதாசாரமாக இருப்பதால்).

என்று பார்க்கிறோம் rA=2, a என்பது மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படை சிறியது ஏ.

பி. கண்டுபிடிக்கிறோம்.

மிகவும் அடிப்படை சிறியது M2′மெட்ரிக்குகள் ஏஇலவச விதிமுறைகள் மற்றும் அனைத்து வரிசைகளின் நெடுவரிசையுடன் எல்லை (எங்களிடம் கடைசி வரிசை மட்டுமே உள்ளது).

. அதைத் தொடர்ந்து வருகிறது M3′′மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படை மைனராக உள்ளது https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

ஏனெனில் M2′- மேட்ரிக்ஸின் சிறிய அடிப்படை ஏஅமைப்புகள் (2) , இந்த அமைப்பு முறைக்கு சமமானது (3) , அமைப்பின் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளைக் கொண்டது (2) (இதற்கு M2′அணி A இன் முதல் இரண்டு வரிசைகளில் உள்ளது).

(3)

அடிப்படை மைனர் https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

இந்த அமைப்பில் இரண்டு இலவச அறியப்படாதவை உள்ளன ( x2 மற்றும் x4 ) அதனால் தான் FSR அமைப்புகள் (4) இரண்டு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க, தெரியாதவர்களை இலவசமாக ஒதுக்குகிறோம் (4) முதலில் மதிப்புகள் x2=1 , x4=0 , பின்னர் - x2=0 , x4=1 .

மணிக்கு x2=1 , x4=0 நாம் பெறுகிறோம்:

.

இந்த அமைப்பு ஏற்கனவே உள்ளது ஒரே விஷயம் தீர்வு (கிராமர் விதி அல்லது வேறு எந்த முறையையும் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கலாம்). இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து முதலில் கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

அவளுடைய தீர்வு இருக்கும் x1= -1 , x3=0 . மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன x2 மற்றும் x4 , நாங்கள் சேர்த்தது, அமைப்பின் முதல் அடிப்படை தீர்வைப் பெறுகிறோம் (2) : .

இப்போது நாங்கள் நம்புகிறோம் (4) x2=0 , x4=1 . நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

க்ரேமர் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

.

அமைப்பின் இரண்டாவது அடிப்படை தீர்வை நாங்கள் பெறுகிறோம் (2) : .

தீர்வுகள் β1 , β2 மற்றும் அலங்காரம் FSR அமைப்புகள் (2) . பின்னர் அதன் பொதுவான தீர்வு இருக்கும்

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

இங்கே C1 , C2 - தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

4. ஒன்றைக் கண்டுபிடிப்போம் தனிப்பட்ட தீர்வு பன்முக அமைப்பு(1) . பத்தியில் உள்ளது போல 3 , அமைப்புக்கு பதிலாக (1) சமமான அமைப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம் (5) , அமைப்பின் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளைக் கொண்டது (1) .

(5)

இலவச தெரியாதவற்றை வலது பக்கங்களுக்கு நகர்த்துவோம் x2மற்றும் x4.

(6)

தெரியாதவற்றை இலவசமாக தருவோம் x2 மற்றும் x4 தன்னிச்சையான மதிப்புகள், எடுத்துக்காட்டாக, x2=2 , x4=1 அவற்றை உள்ளே வைக்கவும் (6) . அமைப்பைப் பெறுவோம்

இந்த அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது (அதன் தீர்மானிப்பதால் M2′0) அதைத் தீர்ப்பது (கிராமர் தேற்றம் அல்லது காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி), நாங்கள் பெறுகிறோம் x1=3 , x3=3 . இலவச தெரியாதவற்றின் மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன x2 மற்றும் x4 , நாம் பெறுகிறோம் ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் குறிப்பிட்ட தீர்வு(1)α1=(3,2,3,1).

5. இப்போது எஞ்சியிருப்பது அதை எழுதுவதுதான் ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு α(1) : இது கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் தனிப்பட்ட தீர்வுஇந்த அமைப்பு மற்றும் அதன் குறைக்கப்பட்ட ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

இதன் பொருள்: (7)

6. பரீட்சை.நீங்கள் கணினியை சரியாக தீர்த்துவிட்டீர்களா என்பதை சரிபார்க்க (1) , எங்களுக்கு ஒரு பொதுவான தீர்வு தேவை (7) மாற்று (1) . ஒவ்வொரு சமன்பாடும் அடையாளமாக மாறினால் ( C1 மற்றும் C2 அழிக்கப்பட வேண்டும்), பின்னர் தீர்வு சரியாகக் காணப்படுகிறது.

நாங்கள் மாற்றுவோம் (7) எடுத்துக்காட்டாக, அமைப்பின் கடைசி சமன்பாடு மட்டுமே (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

நாம் பெறுவது: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

எங்கே –1=–1. எங்களுக்கு ஒரு அடையாளம் கிடைத்தது. கணினியின் மற்ற எல்லா சமன்பாடுகளிலும் இதைச் செய்கிறோம் (1) .

கருத்து.காசோலை பொதுவாக மிகவும் சிக்கலானது. பின்வரும் "பகுதி சரிபார்ப்பு" பரிந்துரைக்கப்படலாம்: அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு (1) தன்னிச்சையான மாறிலிகளுக்கு சில மதிப்புகளை ஒதுக்கி, அதன் விளைவாக வரும் பகுதி தீர்வை நிராகரிக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளில் (அதாவது, அந்த சமன்பாடுகளில்) மாற்றவும். (1) , இதில் சேர்க்கப்படவில்லை (5) ) உங்களுக்கு அடையாளங்கள் கிடைத்தால், பிறகு அதிக வாய்ப்பு, அமைப்பு தீர்வு (1) சரியாகக் கண்டறியப்பட்டது (ஆனால் அத்தகைய காசோலை சரியானதுக்கான முழுமையான உத்தரவாதத்தை அளிக்காது!). உதாரணமாக, உள்ளே இருந்தால் (7) போட்டது C2=- 1 , C1=1, பிறகு நாம் பெறுவோம்: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. அமைப்பு (1) இன் கடைசி சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக, எங்களிடம் உள்ளது: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , அதாவது –1=–1. எங்களுக்கு ஒரு அடையாளம் கிடைத்தது.

எடுத்துக்காட்டு 2.நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும் (1) , அடிப்படை தெரியாதவற்றை இலவசங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துதல்.

தீர்வு.உள்ளபடி உதாரணம் 1, மெட்ரிக்குகளை எழுதுங்கள் ஏமற்றும் https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> இந்த மெட்ரிக்குகள். இப்போது கணினியின் அந்த சமன்பாடுகளை மட்டும் விட்டுவிடுகிறோம் (1) , இந்த அடிப்படை மைனரில் உள்ள குணகங்கள் (அதாவது, எங்களிடம் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகள் உள்ளன) மற்றும் அமைப்பு (1) க்கு சமமான, அவற்றைக் கொண்ட ஒரு அமைப்பைக் கருதுங்கள்.

இலவச தெரியாதவற்றை இந்த சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்களுக்கு மாற்றுவோம்.

அமைப்பு (9) வலது பக்கங்களை இலவச விதிமுறைகளாகக் கருதி, காஸியன் முறை மூலம் தீர்க்கிறோம்.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

விருப்பம் 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

விருப்பம் 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

விருப்பம் 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

விருப்பம் 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

நேரியல் சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது ஒரே மாதிரியான, அதன் இலவச சொல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், மற்றபடி ஒத்திசைவற்றதாக இருக்கும். ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு அமைப்பு ஒரே மாதிரியான மற்றும் உள்ளது பொதுவான பார்வை:

ஒவ்வொரு ஒரே மாதிரியான அமைப்பும் சீரானது மற்றும் பூஜ்ஜிய (அற்பமான) தீர்வு உள்ளது என்பது வெளிப்படையானது. எனவே, நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகள் தொடர்பாக, பூஜ்ஜியம் அல்லாத தீர்வுகளின் இருப்பு பற்றிய கேள்விக்கான பதிலை ஒருவர் அடிக்கடி தேட வேண்டும். இந்த கேள்விக்கான பதிலை பின்வரும் தேற்றமாக உருவாக்கலாம்.

தேற்றம் . நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பானது, தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட அதன் தரவரிசை குறைவாக இருந்தால் மட்டுமே பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வைக் கொண்டிருக்கும். .

ஆதாரம்: ரேங்க் சமமாக இருக்கும் அமைப்பில் பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். வெளிப்படையாக, அது அதிகமாக இல்லை. கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு இருந்தால். ஒரே மாதிரியான நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு எப்போதும் பூஜ்ஜிய தீர்வைக் கொண்டிருப்பதால், பூஜ்ஜிய தீர்வு இந்த தனித்துவமான தீர்வாக இருக்கும். எனவே, பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகள் மட்டுமே சாத்தியமாகும்.

முடிவு 1 : சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு, இதில் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருக்கும், எப்போதும் பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்.

ஆதாரம்: சமன்பாடுகளின் அமைப்பு இருந்தால், அமைப்பின் தரவரிசை சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையை விட அதிகமாக இருக்காது, அதாவது. . இதனால், நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளது, எனவே, கணினி பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வைக் கொண்டுள்ளது.

முடிவு 2 : அறியப்படாத சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வைக் கொண்டிருக்கும் மற்றும் அதன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே.

ஆதாரம்: நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் அமைப்பு, அதன் மேட்ரிக்ஸ் தீர்மானிப்பான் , பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தின்படி, இதன் பொருள் மேட்ரிக்ஸ் ஒருமை, அதாவது. .

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு.

n மாறிகள் கொண்ட m நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு அனைத்து இலவச சொற்களும் 0 க்கு சமமாக இருந்தால் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் அமைப்பு எப்போதும் சீரானது, ஏனெனில் அவள் எப்போதும் வைத்திருக்கிறாள் குறைந்தபட்சம், பூஜ்ஜிய தீர்வு. நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் அமைப்பு பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வைக் கொண்டிருக்கும், அது மாறிகளுக்கான குணகங்களின் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது. தரவரிசை A (n. எந்த நேரியல் கலவையும்

லின் அமைப்பு தீர்வுகள். ஒரே மாதிரியான. ur-ii என்பதும் இந்த முறைக்கு ஒரு தீர்வாகும்.

நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளின் அமைப்பு e1, e2,...,еk என்பது அமைப்பின் ஒவ்வொரு தீர்வும் ஒரு நேர்கோட்டுத் தீர்வுகளின் கலவையாக இருந்தால் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது. தேற்றம்: குணகம் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை r என்றால் அமைப்பு மாறிகள்நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் n மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருக்கும், பின்னர் அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் எந்த அடிப்படை அமைப்பும் கொண்டுள்ளது n-r தீர்வுகள். எனவே, நேரியல் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு. ஒரு நாள் ur-th க்கு வடிவம் உள்ளது: c1e1+c2e2+...+skek, அங்கு e1, e2,..., ek – தீர்வுகளின் எந்த அடிப்படை அமைப்பு, c1, c2,..., ck – தன்னிச்சையான எண்கள் மற்றும் k=n-r. n மாறிகள் கொண்ட m நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்

அதனுடன் தொடர்புடைய அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு ஒரே மாதிரியானது. நேரியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் இந்த அமைப்பின் தன்னிச்சையான குறிப்பிட்ட தீர்வு.

7. நேரியல் இடைவெளிகள். துணைவெளிகள். அடிப்படை, பரிமாணம். நேரியல் ஷெல். நேரியல் வெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது n-பரிமாணம், அது நேரியல் அமைப்பைக் கொண்டிருந்தால் சுயாதீன திசையன்கள், மற்றும் எந்த அமைப்பும் மேலும்திசையன்கள் நேரியல் சார்ந்தது. எண் அழைக்கப்படுகிறது பரிமாணம் (பரிமாணங்களின் எண்ணிக்கை) நேரியல் வெளிமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு இடத்தின் பரிமாணம் இந்த இடத்தின் அதிகபட்ச நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் எண்ணிக்கையாகும். அத்தகைய எண் இருந்தால், அந்த இடம் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. யாருக்காக என்றால் இயற்கை எண் n விண்வெளியில் நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களைக் கொண்ட ஒரு அமைப்பு உள்ளது, பின்னர் அத்தகைய இடம் எல்லையற்ற பரிமாணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (எழுதப்பட்டது: ). பின்வருவனவற்றில், வேறுவிதமாகக் கூறப்படாவிட்டால், வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இடைவெளிகள் கருதப்படும்.

n-பரிமாண நேரியல் இடத்தின் அடிப்படையானது நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பாகும் ( அடிப்படை திசையன்கள் ).

தேற்றம் 8.1 அடிப்படையின் அடிப்படையில் ஒரு திசையன் விரிவாக்கம். n-பரிமாண நேரியல் இடத்தின் அடிப்படையாக இருந்தால், எந்த வெக்டரையும் அடிப்படை திசையன்களின் நேரியல் கலவையாகக் குறிப்பிடலாம்:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
மேலும், ஒரே வழியில், அதாவது. குணகங்கள் தனித்தனியாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், விண்வெளியின் எந்த திசையனையும் ஒரு அடிப்படையாகவும், மேலும், ஒரு தனித்துவமான வழியில் விரிவுபடுத்தலாம்.

உண்மையில், இடத்தின் பரிமாணம் சமம். திசையன்களின் அமைப்பு நேரியல் சார்பற்றது (இது ஒரு அடிப்படை). எந்த திசையனை அடிப்படையிலும் சேர்த்த பிறகு, நாம் ஒரு நேர்கோட்டு சார்ந்த அமைப்பைப் பெறுகிறோம் (இந்த அமைப்பு n-பரிமாண இடத்தின் திசையன்களைக் கொண்டிருப்பதால்). 7 நேரியல் சார்ந்த மற்றும் நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, தேற்றத்தின் முடிவைப் பெறுகிறோம்.

எங்கள் தொழில்நுட்பத்தை மெருகூட்டிக்கொண்டே இருப்போம் அடிப்படை மாற்றங்கள் அன்று நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு.
முதல் பத்திகளின் அடிப்படையில், பொருள் சலிப்பாகவும் சாதாரணமாகவும் தோன்றலாம், ஆனால் இந்த எண்ணம் ஏமாற்றும். நுட்பங்களின் மேலும் வளர்ச்சிக்கு கூடுதலாக, நிறைய புதிய தகவல்கள் இருக்கும், எனவே இந்த கட்டுரையில் உள்ள உதாரணங்களை புறக்கணிக்க வேண்டாம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு என்றால் என்ன?

பதில் தன்னை அறிவுறுத்துகிறது. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கட்டற்ற சொல் என்றால் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் அனைவரும்அமைப்பின் சமன்பாடு பூஜ்ஜியமாகும். உதாரணமாக:

என்பது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது ஒரே மாதிரியான அமைப்பு எப்போதும் சீரானது, அதாவது, அது எப்போதும் ஒரு தீர்வு உள்ளது. மற்றும், முதலில், உங்கள் கண்ணைப் பிடிப்பது என்று அழைக்கப்படுவது அற்பமானதுதீர்வு . அற்பமானது, பெயரடையின் அர்த்தத்தை புரிந்து கொள்ளாதவர்களுக்கு, ஒரு காட்சி இல்லாமல் அர்த்தம். கல்வியறிவு இல்லை, நிச்சயமாக, ஆனால் புரிந்துகொள்ளக்கூடியது =) ...ஏன் புஷ் சுற்றி அடிக்க, இந்த அமைப்பில் வேறு ஏதேனும் தீர்வுகள் உள்ளதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 1

தீர்வு: ஒரே மாதிரியான அமைப்பைத் தீர்க்க எழுதுவது அவசியம் அமைப்பு அணிமற்றும் அடிப்படை மாற்றங்களின் உதவியுடன் அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வாருங்கள். இங்கே செங்குத்து பட்டி மற்றும் இலவச சொற்களின் பூஜ்ஜிய நெடுவரிசையை எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நீங்கள் பூஜ்ஜியங்களுடன் என்ன செய்தாலும், அவை பூஜ்ஜியங்களாகவே இருக்கும்:

(1) முதல் வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, பெருக்கல் –2. முதல் வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, -3 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

(2) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியுடன் சேர்க்கப்பட்டது, அது –1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

மூன்றாவது வரியை 3 ஆல் வகுத்தால் அதிக அர்த்தமில்லை.

அடிப்படை மாற்றங்களின் விளைவாக, சமமான ஒரே மாதிரியான அமைப்பு பெறப்படுகிறது , மற்றும், காஸியன் முறையின் தலைகீழ் முறையைப் பயன்படுத்தி, தீர்வு தனித்துவமானது என்பதைச் சரிபார்க்க எளிதானது.

பதில்:

ஒரு தெளிவான அளவுகோலை உருவாக்குவோம்: நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு உள்ளது ஒரு அற்பமான தீர்வு, என்றால் கணினி அணி தரவரிசை(இந்த வழக்கில் 3) மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் (இந்த வழக்கில் - 3 துண்டுகள்).

ஆரம்ப மாற்றங்களின் அலைக்கு எங்கள் வானொலியை சூடேற்றுவோம் மற்றும் டியூன் செய்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

அல்காரிதத்தை இறுதியாக ஒருங்கிணைக்க, இறுதி பணியை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 7

ஒரே மாதிரியான அமைப்பைத் தீர்க்கவும், பதிலை திசையன் வடிவத்தில் எழுதவும்.

தீர்வு: கணினியின் மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

(1) முதல் வரியின் அடையாளம் மாற்றப்பட்டுள்ளது. பல முறை சந்தித்த ஒரு நுட்பத்திற்கு மீண்டும் நான் கவனத்தை ஈர்க்கிறேன், இது அடுத்த செயலை கணிசமாக எளிதாக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது.

(1) முதல் வரி 2வது மற்றும் 3வது வரிகளில் சேர்க்கப்பட்டது. முதல் வரி, 2 ஆல் பெருக்கப்பட்டது, 4 வது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது.

(3) கடைசி மூன்று வரிகள் விகிதாச்சாரத்தில் உள்ளன, அவற்றில் இரண்டு அகற்றப்பட்டுள்ளன.

இதன் விளைவாக, ஒரு நிலையான படி மேட்ரிக்ஸ் பெறப்படுகிறது, மேலும் தீர்வு வளைந்த பாதையில் தொடர்கிறது:

- அடிப்படை மாறிகள்;
- இலவச மாறிகள்.

இலவச மாறிகளின் அடிப்படையில் அடிப்படை மாறிகளை வெளிப்படுத்துவோம். 2வது சமன்பாட்டில் இருந்து:

- 1 வது சமன்பாட்டில் மாற்றீடு:

எனவே பொதுவான தீர்வு:

கருத்தில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில் மூன்று இலவச மாறிகள் இருப்பதால், அடிப்படை அமைப்பில் மூன்று திசையன்கள் உள்ளன.

மூன்று மடங்கு மதிப்புகளை மாற்றுவோம் பொதுவான தீர்வு மற்றும் ஒரு திசையன் பெற, அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் திருப்திப்படுத்துகின்றன. மீண்டும், பெறப்பட்ட ஒவ்வொரு திசையனையும் சரிபார்க்க மிகவும் அறிவுறுத்தப்படுகிறது என்று நான் மீண்டும் சொல்கிறேன் - இது அதிக நேரம் எடுக்காது, ஆனால் அது உங்களை பிழைகளிலிருந்து முற்றிலும் பாதுகாக்கும்.

மூன்று மடங்கு மதிப்புகளுக்கு திசையன் கண்டுபிடிக்க

இறுதியாக மூவருக்கும் மூன்றாவது வெக்டரைப் பெறுகிறோம்:

பதில்: , எங்கே

பகுதி மதிப்புகளைத் தவிர்க்க விரும்புவோர் மும்மடங்குகளைக் கருத்தில் கொள்ளலாம் மற்றும் சமமான வடிவத்தில் பதிலைப் பெறவும்:

பின்னங்களைப் பற்றி பேசுவது. சிக்கலில் பெறப்பட்ட மேட்ரிக்ஸைப் பார்ப்போம் மேலும் நம்மை நாமே கேட்டுக்கொள்வோம்: மேலும் தீர்வை எளிதாக்குவது சாத்தியமா? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இங்கே நாம் முதலில் அடிப்படை மாறியை பின்னங்கள் மூலம் வெளிப்படுத்தினோம், பின்னர் பின்னங்கள் மூலம் அடிப்படை மாறி, மற்றும், நான் சொல்ல வேண்டும், இந்த செயல்முறை எளிமையானது அல்ல, மிகவும் இனிமையானது அல்ல.

இரண்டாவது தீர்வு:

முயற்சி செய்ய வேண்டும் என்பதே யோசனை பிற அடிப்படை மாறிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். மேட்ரிக்ஸைப் பார்ப்போம் மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசையில் இரண்டைக் கவனியுங்கள். ஏன் மேலே பூஜ்ஜியம் இருக்கக்கூடாது? இன்னும் ஒரு அடிப்படை மாற்றத்தை மேற்கொள்வோம்: