மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை ஆன்லைனில் கண்டறியவும். மடக்கை வழித்தோன்றல். ஒரு அதிவேக சக்தி செயல்பாட்டின் வேறுபாடு

பரீட்சைக்கு இன்னும் நிறைய நேரம் இருக்கிறது என்று நினைக்கிறீர்களா? இது ஒரு மாதமா? இரண்டு? ஆண்டு? ஒரு மாணவர் முன்கூட்டியே தேர்வுக்குத் தயாராகத் தொடங்கினால், அதைச் சிறப்பாகச் சமாளிப்பார் என்பதை பயிற்சி காட்டுகிறது. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் பல கடினமான பணிகள் உள்ளன, அவை பள்ளி மாணவர்கள் மற்றும் எதிர்கால விண்ணப்பதாரர்களின் வழியில் அதிக மதிப்பெண்களைப் பெறுகின்றன. இந்த தடைகளை கடக்க நீங்கள் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும், தவிர, அதைச் செய்வது கடினம் அல்ல. டிக்கெட்டுகளிலிருந்து பல்வேறு பணிகளுடன் பணிபுரியும் கொள்கையை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். பின்னர் புதியவற்றில் எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது.

முதல் பார்வையில் மடக்கைகள் நம்பமுடியாத சிக்கலானதாகத் தோன்றுகின்றன, ஆனால் ஒரு விரிவான பகுப்பாய்வின் மூலம் நிலைமை மிகவும் எளிமையானதாகிறது. நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் அதிக மதிப்பெண்ணுடன் தேர்ச்சி பெற விரும்பினால், கேள்விக்குரிய கருத்தை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும், இந்தக் கட்டுரையில் நாங்கள் என்ன செய்ய முன்மொழிகிறோம்.

முதலில், இந்த வரையறைகளைப் பிரிப்போம். மடக்கை (பதிவு) என்றால் என்ன? இது ஒரு அடுக்கு ஆகும், இதைப் பெறுவதற்கு அடித்தளத்தை உயர்த்த வேண்டும் குறிப்பிட்ட எண். அது தெளிவாக இல்லை என்றால், ஒரு அடிப்படை உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

இந்த வழக்கில், எண் 4 ஐப் பெற கீழே உள்ள அடித்தளத்தை இரண்டாவது சக்திக்கு உயர்த்த வேண்டும்.

இப்போது இரண்டாவது கருத்தைப் பார்ப்போம். எந்தவொரு வடிவத்திலும் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்றத்தை வகைப்படுத்தும் ஒரு கருத்தாகும். இருப்பினும், இது ஒரு பள்ளி பாடத்திட்டமாகும், மேலும் இந்த கருத்துக்களில் தனித்தனியாக உங்களுக்கு சிக்கல்கள் இருந்தால், தலைப்பை மீண்டும் செய்வது மதிப்பு.

மடக்கையின் வழித்தோன்றல்

IN ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகள்இந்த தலைப்பில், பல சிக்கல்களை உதாரணமாக கொடுக்கலாம். தொடங்குவதற்கு, எளிமையான மடக்கை வழித்தோன்றல். பின்வரும் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவது அவசியம்.

அடுத்த வழித்தோன்றலை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்

ஒரு சிறப்பு சூத்திரம் உள்ளது.

இந்த வழக்கில் x=u, log3x=v. எங்கள் செயல்பாட்டிலிருந்து மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்.

x இன் வழித்தோன்றல் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். மடக்கை இன்னும் கொஞ்சம் கடினமாக உள்ளது. ஆனால் நீங்கள் வெறுமனே மதிப்புகளை மாற்றினால் கொள்கையைப் புரிந்துகொள்வீர்கள். lg x இன் வழித்தோன்றல் தசம மடக்கையின் வழித்தோன்றல் என்பதையும், ln x இன் வழித்தோன்றல் இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றலாகும் (e அடிப்படையில்).

இப்போது கிடைக்கும் மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் செருகவும். நீங்களே முயற்சி செய்து பாருங்கள், பதிலைச் சரிபார்ப்போம்.

சிலருக்கு இங்கு என்ன பிரச்சனை இருக்க முடியும்? இயற்கை மடக்கை என்ற கருத்தை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்தினோம். அதைப் பற்றி பேசுவோம், அதே நேரத்தில் அதை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். நீங்கள் சிக்கலான எதையும் பார்க்க மாட்டீர்கள், குறிப்பாக அதன் செயல்பாட்டின் கொள்கையை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளும்போது. இது பெரும்பாலும் கணிதத்தில் பயன்படுத்தப்படுவதால், நீங்கள் அதைப் பழக்கப்படுத்திக்கொள்ள வேண்டும் (உயர்வில் கல்வி நிறுவனங்கள்குறிப்பாக).

இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல்

அதன் மையத்தில், இது மடக்கையின் அடிப்படை e க்கு வழித்தோன்றலாகும் (இது தோராயமாக 2.7 ஆகும். உண்மையில், ln மிகவும் எளிமையானது, எனவே இது பொதுவாக கணிதத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. உண்மையில், அதனுடன் சிக்கலைத் தீர்ப்பது ஒரு சிக்கலாக இருக்காது. அடிப்படை e க்கு இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல் x ஆல் வகுக்கப்படுவதற்கு சமமாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்வது மதிப்பு. பின்வரும் உதாரணத்திற்கான தீர்வு மிகவும் வெளிப்படையானதாக இருக்கும்.

இது இரண்டு எளிய செயல்களைக் கொண்ட ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாக கற்பனை செய்யலாம்.

மாற்றினால் போதும்

x ஐப் பொறுத்தவரை u என்பதன் வழித்தோன்றலைத் தேடுகிறோம்

சிக்கலான வழித்தோன்றல்கள். மடக்கை வழித்தோன்றல்.
சக்தி-அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

எங்கள் வேறுபாடு நுட்பத்தை நாங்கள் தொடர்ந்து மேம்படுத்துகிறோம். இந்த பாடத்தில், நாங்கள் உள்ளடக்கிய பொருளை ஒருங்கிணைப்போம், மிகவும் சிக்கலான வழித்தோன்றல்களைப் பார்ப்போம், மேலும் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான புதிய நுட்பங்கள் மற்றும் தந்திரங்களைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம், குறிப்பாக மடக்கை வழித்தோன்றலுடன்.

உள்ள வாசகர்களுக்கு குறைந்த நிலைதயாரிப்பு, நீங்கள் கட்டுரையைப் பார்க்க வேண்டும் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள், இது உங்கள் திறன்களை கிட்டத்தட்ட புதிதாக உயர்த்த அனுமதிக்கும். அடுத்து, நீங்கள் பக்கத்தை கவனமாக படிக்க வேண்டும் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், புரிந்து தீர்க்கவும் அனைத்துநான் கொடுத்த உதாரணங்கள். இந்தப் பாடம்தர்க்கரீதியாக மூன்றாவது, அதை மாஸ்டரிங் செய்த பிறகு நீங்கள் மிகவும் சிக்கலான செயல்பாடுகளை நம்பிக்கையுடன் வேறுபடுத்துவீர்கள். “வேறு எங்கே? ஆம், அது போதும்! ”, ஏனெனில் அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளும் தீர்வுகளும் உண்மையானவை சோதனைகள்மற்றும் பெரும்பாலும் நடைமுறையில் சந்திக்கின்றன.

மீண்டும் மீண்டும் தொடங்குவோம். வகுப்பில் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்விரிவான கருத்துகளுடன் பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்த்தோம். வேறுபட்ட கால்குலஸ் மற்றும் பிற பிரிவுகளின் ஆய்வின் போது கணித பகுப்பாய்வு- நீங்கள் அடிக்கடி வேறுபடுத்த வேண்டியிருக்கும், மேலும் எடுத்துக்காட்டுகளை மிக விரிவாக விவரிப்பது எப்போதும் வசதியானது அல்ல (எப்போதும் தேவையில்லை). எனவே, வழித்தோன்றல்களை வாய்வழியாகக் கண்டறியப் பயிற்சி செய்வோம். இதற்கு மிகவும் பொருத்தமான "வேட்பாளர்கள்" எளிமையான சிக்கலான செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள், எடுத்துக்காட்டாக:

வேறுபாடு விதியின் படி சிக்கலான செயல்பாடு :

எதிர்காலத்தில் மற்ற மதன் தலைப்புகளைப் படிக்கும்போது, ​​இதுபோன்ற விரிவான பதிவு பெரும்பாலும் தேவையில்லை, தன்னியக்க பைலட்டில் அத்தகைய வழித்தோன்றல்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது மாணவருக்குத் தெரியும். விடியற்காலை 3 மணிக்கெல்லாம் அ.தி.மு.க தொலைபேசி அழைப்பு, மற்றும் ஒரு இனிமையான குரல் கேட்டது: "இரண்டு X இன் தொடுகோடுகளின் வழித்தோன்றல் என்ன?" இதைத் தொடர்ந்து கிட்டத்தட்ட உடனடி மற்றும் கண்ணியமான பதில்: .

முதல் உதாரணம் உடனடியாக நோக்கப்படும் சுதந்திரமான முடிவு.

எடுத்துக்காட்டு 1

பின்வரும் வழித்தோன்றல்களை வாய்வழியாகக் கண்டறியவும், ஒரு செயலில், எடுத்துக்காட்டாக: . பணியை முடிக்க நீங்கள் மட்டுமே பயன்படுத்த வேண்டும் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை(உங்களுக்கு இன்னும் நினைவில் இல்லை என்றால்). உங்களுக்கு ஏதேனும் சிரமங்கள் இருந்தால், பாடத்தை மீண்டும் படிக்க பரிந்துரைக்கிறேன் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

பாடத்தின் முடிவில் பதில்கள்

சிக்கலான வழித்தோன்றல்கள்

பூர்வாங்க பீரங்கித் தயாரிப்புக்குப் பிறகு, 3-4-5 கூடுகளைக் கொண்ட எடுத்துக்காட்டுகள் குறைவான பயமாக இருக்கும். ஒருவேளை பின்வரும் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள் சிலருக்கு சிக்கலானதாகத் தோன்றலாம், ஆனால் நீங்கள் அவற்றைப் புரிந்து கொண்டால் (யாராவது பாதிக்கப்படுவார்கள்), பின்னர் மற்ற அனைத்தும் வேறுபட்ட கணக்கீடுஇது ஒரு குழந்தையின் நகைச்சுவையாகத் தோன்றும்.

எடுத்துக்காட்டு 2

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் போது, ​​முதலில், அது அவசியம் சரிஉங்கள் முதலீடுகளை புரிந்து கொள்ளுங்கள். சந்தேகங்கள் இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில், நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் பயனுள்ள தந்திரம்: எடுத்துக்காட்டாக, "x" இன் சோதனை அர்த்தத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம், மேலும் இந்த அர்த்தத்தை "பயங்கரமான வெளிப்பாடு" என்று மாற்றுவதற்கு (மனநிலை அல்லது வரைவில்) முயற்சி செய்கிறோம்.

1) முதலில் நாம் வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும், அதாவது கூட்டுத்தொகை ஆழமான உட்பொதிவு ஆகும்.

2) பின்னர் நீங்கள் மடக்கை கணக்கிட வேண்டும்:

4) பின்னர் கொசைனை கனசதுரமாக்குங்கள்:

5) ஐந்தாவது படியில் வேறுபாடு:

6) இறுதியாக, மிகவும் வெளிப்புற செயல்பாடு- இது சதுர வேர்:

சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான சூத்திரம் இல் பயன்படுத்தப்படும் தலைகீழ் வரிசை, வெளிப்புற செயல்பாட்டிலிருந்து உள்நிலை வரை. நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம்:

பிழைகள் எதுவும் இல்லை போலும்...

(1) வர்க்க மூலத்தின் வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

(2) விதியைப் பயன்படுத்தி வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றலை எடுத்துக்கொள்கிறோம்

(3) மும்மடங்கின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகும். இரண்டாவது டெர்மில் நாம் பட்டத்தின் (கியூப்) வழித்தோன்றலை எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

(4) கொசைனின் வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

(5) மடக்கையின் வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

(6) இறுதியாக, நாம் ஆழமான உட்பொதிப்பின் வழித்தோன்றலை எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

இது மிகவும் கடினமாகத் தோன்றலாம், ஆனால் இது மிகவும் கொடூரமான உதாரணம் அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, குஸ்நெட்சோவின் தொகுப்பை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட வழித்தோன்றலின் அனைத்து அழகு மற்றும் எளிமையை நீங்கள் பாராட்டுவீர்கள். ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவது எப்படி என்பதை ஒரு மாணவர் புரிந்துகொள்கிறாரா அல்லது புரியவில்லையா என்பதைச் சரிபார்க்க, தேர்வில் இதேபோன்ற விஷயத்தை அவர்கள் கொடுக்க விரும்புவதை நான் கவனித்தேன்.

பின்வரும் உதாரணம் நீங்களே தீர்க்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 3

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

குறிப்பு: முதலில் நாம் நேரியல் விதிகள் மற்றும் தயாரிப்பு வேறுபாடு விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்

முழுமையான தீர்வுமற்றும் பாடத்தின் முடிவில் பதில்.

சிறிய மற்றும் இனிமையான ஒன்றுக்கு செல்ல வேண்டிய நேரம் இது.
ஒரு உதாரணம் இரண்டல்ல, மூன்று செயல்பாடுகளின் பலனைக் காட்டுவது அசாதாரணமானது அல்ல. மூன்று காரணிகளின் உற்பத்தியின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

எடுத்துக்காட்டு 4

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

முதலில் நாம் பார்க்கிறோம், மூன்று செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியை இரண்டு செயல்பாடுகளின் பெருக்கமாக மாற்ற முடியுமா? எடுத்துக்காட்டாக, தயாரிப்பில் இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இருந்தால், அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கலாம். ஆனால் கருத்தில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், அனைத்து செயல்பாடுகளும் வேறுபட்டவை: பட்டம், அடுக்கு மற்றும் மடக்கை.

அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில் இது அவசியம் வரிசையாகதயாரிப்பு வேறுபாடு விதியைப் பயன்படுத்தவும் இரண்டு முறை

தந்திரம் என்னவென்றால், “y” ஆல் இரண்டு செயல்பாடுகளின் பலனைக் குறிக்கிறோம்: , மற்றும் “ve” மூலம் மடக்கை: . இதை ஏன் செய்ய முடியும்? அது உண்மையா - இது இரண்டு காரணிகளின் விளைபொருளல்ல மற்றும் விதி வேலை செய்யவில்லையா?! சிக்கலான எதுவும் இல்லை:

இப்போது இரண்டாவது முறையாக விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும் அடைப்புக்குறிக்குள்:

நீங்கள் முறுக்கப்பட்ட மற்றும் அடைப்புக்குறிக்குள் எதையாவது எடுக்கலாம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் பதிலை சரியாக இந்த வடிவத்தில் விட்டுவிடுவது நல்லது - சரிபார்க்க எளிதாக இருக்கும்.

கருதப்பட்ட உதாரணத்தை இரண்டாவது வழியில் தீர்க்கலாம்:

இரண்டு தீர்வுகளும் முற்றிலும் சமமானவை.

எடுத்துக்காட்டு 5

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இது ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு, இது முதல் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது.

பின்னங்களுடன் ஒத்த எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 6

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

நீங்கள் இங்கு செல்ல பல வழிகள் உள்ளன:

அல்லது இப்படி:

ஆனால் முதலில் விகுதியின் வேறுபாட்டின் விதியைப் பயன்படுத்தினால் தீர்வு மிகவும் சுருக்கமாக எழுதப்படும் , முழு எண்ணுக்கும் எடுத்துக் கொள்ளுதல்:

கொள்கையளவில், உதாரணம் தீர்க்கப்படுகிறது, அதை அப்படியே விட்டுவிட்டால், அது ஒரு பிழையாக இருக்காது. ஆனால் உங்களுக்கு நேரம் இருந்தால், பதிலை எளிமையாக்க முடியுமா என்பதைப் பார்க்க, வரைவைச் சரிபார்ப்பது எப்போதுமே அறிவுறுத்தப்படுகிறது. எண்களின் வெளிப்பாட்டை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்போம் மூன்று-அடுக்கு பகுதியிலிருந்து விடுபடுவோம்:

கூடுதல் எளிமைப்படுத்தல்களின் தீமை என்னவென்றால், வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் போது அல்ல, ஆனால் சாதாரணமான பள்ளி மாற்றங்களின் போது தவறு செய்யும் ஆபத்து உள்ளது. மறுபுறம், ஆசிரியர்கள் பெரும்பாலும் வேலையை நிராகரித்து, வழித்தோன்றலை "நினைவில் கொண்டு வர" கேட்கிறார்கள்.

நீங்களே தீர்க்க ஒரு எளிய உதாரணம்:

எடுத்துக்காட்டு 7

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் முறைகளில் நாங்கள் தொடர்ந்து தேர்ச்சி பெறுகிறோம், இப்போது ஒரு "பயங்கரமான" மடக்கை வேறுபடுத்துவதற்கு முன்மொழியப்படும் போது ஒரு பொதுவான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 8

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தி இங்கே நீங்கள் நீண்ட தூரம் செல்லலாம்:

ஆனால் முதல் படி உடனடியாக உங்களை அவநம்பிக்கையில் ஆழ்த்துகிறது - நீங்கள் ஒரு பகுதியளவு சக்தியிலிருந்து விரும்பத்தகாத வழித்தோன்றலை எடுக்க வேண்டும், பின்னர் ஒரு பகுதியிலிருந்தும் எடுக்க வேண்டும்.

அதனால் தான் முன்"அதிநவீன" மடக்கையின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு எடுத்துக்கொள்வது, இது முதலில் நன்கு அறியப்பட்ட பள்ளி பண்புகளைப் பயன்படுத்தி எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது:

! உங்களிடம் பயிற்சி நோட்புக் இருந்தால், இந்த சூத்திரங்களை நேரடியாக அங்கே நகலெடுக்கவும். உங்களிடம் நோட்புக் இல்லையென்றால், அவற்றை ஒரு காகிதத்தில் நகலெடுக்கவும், ஏனெனில் பாடத்தின் மீதமுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் இந்த சூத்திரங்களைச் சுற்றியே இருக்கும்.

தீர்வை இப்படி எழுதலாம்:

செயல்பாட்டை மாற்றுவோம்:

வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்:

செயல்பாட்டை முன்கூட்டியே மாற்றுவது தீர்வை பெரிதும் எளிதாக்கியது. எனவே, வேறுபாட்டிற்கு ஒத்த மடக்கை முன்மொழியப்பட்டால், "அதை உடைக்க" எப்போதும் அறிவுறுத்தப்படுகிறது.

இப்போது நீங்களே தீர்க்க சில எளிய எடுத்துக்காட்டுகள்:

எடுத்துக்காட்டு 9

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

எடுத்துக்காட்டு 10

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

அனைத்து மாற்றங்களும் பதில்களும் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளன.

மடக்கை வழித்தோன்றல்

மடக்கைகளின் வழித்தோன்றல் அத்தகைய இனிமையான இசை என்றால், கேள்வி எழுகிறது: சில சந்தர்ப்பங்களில் மடக்கை செயற்கையாக ஒழுங்கமைக்க முடியுமா? முடியும்! மற்றும் அவசியம் கூட.

எடுத்துக்காட்டு 11

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இதே போன்ற உதாரணங்களை சமீபத்தில் பார்த்தோம். என்ன செய்வது? பங்கின் வேறுபாட்டின் விதியை நீங்கள் தொடர்ச்சியாகப் பயன்படுத்தலாம், பின்னர் உற்பத்தியின் வேறுபாட்டின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த முறையின் தீமை என்னவென்றால், நீங்கள் ஒரு பெரிய மூன்று-அடுக்கு பகுதியுடன் முடிவடைகிறீர்கள், அதை நீங்கள் சமாளிக்க விரும்பவில்லை.

ஆனால் கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறையில் மடக்கை வழித்தோன்றல் போன்ற ஒரு அற்புதமான விஷயம் உள்ளது. மடக்கைகளை இருபுறமும் "தொங்குவதன்" மூலம் செயற்கையாக ஒழுங்கமைக்க முடியும்:

குறிப்பு : ஏனெனில் ஒரு செயல்பாடு எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கலாம், பின்னர், பொதுவாக, நீங்கள் தொகுதிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும்: , இது வேறுபாட்டின் விளைவாக மறைந்துவிடும். இருப்பினும், தற்போதைய வடிவமைப்பு ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது, முன்னிருப்பாக அது கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது சிக்கலானஅர்த்தங்கள். ஆனால் அனைத்து கடுமையிலும் இருந்தால், இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும் ஒரு முன்பதிவு செய்யப்பட வேண்டும்.

இப்போது நீங்கள் வலது பக்கத்தின் மடக்கை முடிந்தவரை "சிதைக்க" வேண்டும் (உங்கள் கண்களுக்கு முன் சூத்திரங்கள்?). இந்த செயல்முறையை நான் விரிவாக விவரிக்கிறேன்:

வேறுபாட்டுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.
இரண்டு பகுதிகளையும் முதன்மையின் கீழ் முடிக்கிறோம்:

வலது பக்கத்தின் வழித்தோன்றல் மிகவும் எளிமையானது, நான் அதைப் பற்றி கருத்து தெரிவிக்க மாட்டேன், ஏனென்றால் நீங்கள் இந்த உரையைப் படிக்கிறீர்கள் என்றால், நீங்கள் அதை நம்பிக்கையுடன் கையாள முடியும்.

இடது பக்கம் என்ன?

இடது பக்கம் எங்களிடம் உள்ளது சிக்கலான செயல்பாடு. "ஏன், மடக்கையின் கீழ் "Y" என்ற ஒரு எழுத்து இருக்கிறதா?" என்ற கேள்வியை நான் எதிர்பார்க்கிறேன்.

உண்மை என்னவென்றால் இந்த "ஒரு எழுத்து விளையாட்டு" - தானே ஒரு செயல்பாடு(இது மிகவும் தெளிவாக இல்லை என்றால், மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). எனவே, மடக்கை ஒரு வெளிப்புறச் செயல்பாடு, மற்றும் "y" என்பது ஒரு உள் செயல்பாடு. ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கு விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம் :

இடது பக்கத்தில், மந்திரம் போல, நமக்கு ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது. அடுத்து, விகிதாச்சார விதியின்படி, இடது பக்கத்தின் வகுப்பிலிருந்து வலது பக்கத்தின் மேற்பகுதிக்கு "y" ஐ மாற்றுகிறோம்:

வேறுபாட்டின் போது நாம் எந்த வகையான "பிளேயர்" செயல்பாட்டைப் பற்றி பேசினோம் என்பதை இப்போது நினைவில் கொள்வோம்? நிபந்தனையைப் பார்ப்போம்:

இறுதி பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 12

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இந்த வகை உதாரணத்தின் மாதிரி வடிவமைப்பு பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி, 4-7 எடுத்துக்காட்டுகளில் ஏதேனும் ஒன்றைத் தீர்க்க முடிந்தது, மற்றொரு விஷயம் என்னவென்றால், அங்குள்ள செயல்பாடுகள் எளிமையானவை, மேலும், மடக்கை வழித்தோன்றலின் பயன்பாடு மிகவும் நியாயமானதாக இல்லை.

சக்தி-அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

இந்த செயல்பாடுநாங்கள் இன்னும் அதைப் பார்க்கவில்லை. ஒரு சக்தி-அதிவேக சார்பு என்பது ஒரு செயல்பாடு ஆகும் பட்டம் மற்றும் அடிப்படை இரண்டும் "x" ஐப் பொறுத்தது. எந்தவொரு பாடப்புத்தகத்திலும் அல்லது விரிவுரையிலும் உங்களுக்கு வழங்கப்படும் ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு:

சக்தி-அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துவது அவசியம் - மடக்கை வழித்தோன்றல். மடக்கைகளை இருபுறமும் தொங்கவிடுகிறோம்:

ஒரு விதியாக, வலது பக்கத்தில் பட்டம் மடக்கையின் கீழ் இருந்து எடுக்கப்படுகிறது:

இதன் விளைவாக, வலது பக்கத்தில் இரண்டு செயல்பாடுகளின் தயாரிப்பு உள்ளது, இது நிலையான சூத்திரத்தின் படி வேறுபடுத்தப்படும். .

வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம், இதைச் செய்ய, இரண்டு பகுதிகளையும் பக்கவாதத்தின் கீழ் இணைக்கிறோம்:

அடுத்த படிகள்எளிமையானவை:

இறுதியாக:

எந்த மாற்றமும் முற்றிலும் தெளிவாக இல்லை என்றால், தயவுசெய்து எடுத்துக்காட்டு எண். 11 இன் விளக்கங்களை கவனமாக மீண்டும் படிக்கவும்.

நடைமுறைப் பணிகளில், ஆற்றல்-அதிவேகச் செயல்பாடு எப்பொழுதும் கருதப்படும் விரிவுரை உதாரணத்தை விட மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 13

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

வலது பக்கத்தில் ஒரு மாறிலி மற்றும் இரண்டு காரணிகளின் பலன் உள்ளது - “x” மற்றும் “மடக்கை x” (மற்றொரு மடக்கை மடக்கையின் கீழ் உள்ளமைக்கப்பட்டுள்ளது). வேறுபடுத்தும் போது, ​​​​நாம் நினைவில் வைத்திருப்பது போல், வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து மாறிலியை உடனடியாக நகர்த்துவது நல்லது, அதனால் அது வழியில் வராது; மற்றும், நிச்சயமாக, நாங்கள் பழக்கமான விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம் :

விடுங்கள்
(1)
x மாறியின் வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு ஆகும். முதலில், y நேர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும் x மதிப்புகளின் தொகுப்பில் அதைக் கருதுவோம்: ..

பெறப்பட்ட அனைத்து முடிவுகளும் பொருந்தும் என்பதை பின்வருவனவற்றில் காண்பிப்போம்
,
எதிர்மறை மதிப்புகள்
.
சில சந்தர்ப்பங்களில், செயல்பாட்டின் (1) வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, அதை முன் மடக்கை செய்வது வசதியானது
(2) .

பின்னர் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுங்கள். பின்னர், ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதியின் படி,
.

இங்கிருந்து ஒரு செயல்பாட்டின் மடக்கையின் வழித்தோன்றல் மடக்கை வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது: இந்த செயல்பாட்டின் இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல்: (ln f(x))′.

எதிர்மறை y மதிப்புகளின் வழக்கு

ஒரு மாறி நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும்போது இப்போது வழக்கைக் கவனியுங்கள். இந்த வழக்கில், மாடுலஸின் மடக்கையை எடுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
.
சில சந்தர்ப்பங்களில், செயல்பாட்டின் (1) வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, அதை முன் மடக்கை செய்வது வசதியானது
(3) .
அதாவது, பொது வழக்கில், செயல்பாட்டின் மாடுலஸின் மடக்கையின் வழித்தோன்றலை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

(2) மற்றும் (3) ஆகியவற்றை ஒப்பிடுகையில் எங்களிடம் உள்ளது:
.
அதாவது, மடக்கை வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதற்கான முறையான முடிவு, நாம் மாடுலோவை எடுத்தோமா இல்லையா என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல. எனவே, மடக்கை வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடும் போது, ​​செயல்பாடு எந்த அறிகுறியைக் கொண்டுள்ளது என்பதைப் பற்றி நாம் கவலைப்பட வேண்டியதில்லை.

சிக்கலான எண்களைப் பயன்படுத்தி இந்த நிலைமையை தெளிவுபடுத்தலாம். x இன் சில மதிப்புகளுக்கு எதிர்மறையாக இருக்கட்டும்: . நாம் உண்மையான எண்களை மட்டுமே கருத்தில் கொண்டால், செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை. இருப்பினும், நாம் கருத்தில் கொண்டு அறிமுகப்படுத்தினால்சிக்கலான எண்கள்
.
, பின்னர் நாம் பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:
.
அதாவது, செயல்பாடுகள் மற்றும் சிக்கலான மாறிலி மூலம் வேறுபடுகின்றன:
.

மாறிலியின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால்

மடக்கை வழித்தோன்றலின் சொத்து அத்தகைய கருத்தில் இருந்து அது பின்வருமாறு :
.
நீங்கள் செயல்பாட்டை தன்னிச்சையான மாறிலியால் பெருக்கினால் மடக்கை வழித்தோன்றல் மாறாது உண்மையில், பயன்படுத்திமடக்கையின் பண்புகள் , சூத்திரங்கள்வழித்தோன்றல் தொகை மற்றும்மாறிலியின் வழித்தோன்றல்

.

, எங்களிடம் உள்ளது:

மடக்கை வழித்தோன்றலின் பயன்பாடு அசல் செயல்பாடு சக்தியின் விளைபொருளைக் கொண்டிருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது அல்லதுஅதிவேக செயல்பாடுகள்

. இந்த வழக்கில், மடக்கை செயல்பாடு செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியை அவற்றின் கூட்டுத்தொகையாக மாற்றுகிறது. இது வழித்தோன்றலின் கணக்கீட்டை எளிதாக்குகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1
.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு
.

அசல் செயல்பாட்டை மடக்கை செய்வோம்:
x என்ற மாறியைப் பொறுத்து வேறுபடுத்துவோம்.
.
வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் நாம் காணலாம்:
;
;
;
;
சிக்கலான செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம். .
(A1.1)

.

இதன் மூலம் பெருக்கவும்:
.
எனவே, மடக்கை வழித்தோன்றலைக் கண்டோம்:
.

இங்கிருந்து அசல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் காணலாம்:

குறிப்பு
.
நாம் உண்மையான எண்களை மட்டுமே பயன்படுத்த விரும்பினால், அசல் செயல்பாட்டின் மாடுலஸின் மடக்கையை நாம் எடுக்க வேண்டும்:
;
.
பிறகு

எங்களுக்கு சூத்திரம் (A1.1) கிடைத்தது. அதனால் முடிவு மாறவில்லை.

பதில்

எடுத்துக்காட்டு 2
.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
மடக்கைகளை எடுத்துக் கொள்வோம்: .
(A2.1)
;
;

;
;
;
.

x மாறியைப் பொறுத்து வேறுபடுத்தவும்:
.
இதன் மூலம் பெருக்கவும்:
.

இங்கிருந்து நாம் மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பெறுகிறோம்:
.

இங்கிருந்து அசல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் காணலாம்:

அசல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்:
.
இங்கே அசல் செயல்பாடு எதிர்மறையானது அல்ல: .

இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
,
இது இறுதி முடிவை பாதிக்காது.

எங்களுக்கு சூத்திரம் (A1.1) கிடைத்தது. அதனால் முடிவு மாறவில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 3

வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி வேறுபாட்டைச் செய்கிறோம். அதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு ஒரு மடக்கையை எடுத்துக் கொள்வோம்:
(A3.1) .

வேறுபடுத்துவதன் மூலம், மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பெறுகிறோம்.
;
;
;
(A3.2) .

அன்றிலிருந்து

.

இங்கிருந்து அசல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் காணலாம்:

வாதத்தின் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு மடக்கை வரையறுக்கலாம் என்ற அனுமானம் இல்லாமல் கணக்கீடுகளை மேற்கொள்வோம். இதைச் செய்ய, அசல் செயல்பாட்டின் மாடுலஸின் மடக்கையை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:
.
பின்னர் (A3.1) க்கு பதிலாக எங்களிடம் உள்ளது:
;

.
(A3.2) உடன் ஒப்பிடும்போது முடிவு மாறவில்லை என்பதைக் காண்கிறோம்.

நாம் வேறுபாட்டை அதிவேகமாக செய்ய வேண்டியிருக்கும் போது சக்தி செயல்பாடு y = (f (x)) g (x) வடிவத்தின் அல்லது சிக்கலான வெளிப்பாட்டை பின்னங்களுடன் மாற்ற, நீங்கள் மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த பொருளின் ஒரு பகுதியாக, இந்த சூத்திரத்தின் பயன்பாட்டின் பல எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் தருவோம்.

இந்த தலைப்பைப் புரிந்து கொள்ள, நீங்கள் ஒரு வழித்தோன்றல் அட்டவணையை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது, வேறுபாட்டின் அடிப்படை விதிகளை நன்கு அறிந்திருக்க வேண்டும் மற்றும் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்ன என்பதைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

மடக்கை வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தை எவ்வாறு பெறுவது

இந்த சூத்திரத்தைப் பெற, நீங்கள் முதலில் e க்கு ஒரு மடக்கையை எடுக்க வேண்டும், பின்னர் மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அதன் விளைவாக வரும் செயல்பாட்டை எளிதாக்க வேண்டும். இதற்குப் பிறகு, மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும்:

y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 y y " = (ln (f (x))) " ⇒ y "= y (ln(f(x)))"

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் காண்பிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

x என்ற மாறியின் அதிவேக சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை x இன் சக்தியுடன் கணக்கிடவும்.

தீர்வு

நாங்கள் குறிப்பிட்ட தளத்தைப் பயன்படுத்தி மடக்கையை மேற்கொள்கிறோம் மற்றும் ln y = ln x x ஐப் பெறுகிறோம். மடக்கையின் பண்புகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், இதை ln y = x · ln x என வெளிப்படுத்தலாம். இப்போது நாம் சமத்துவத்தின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை வேறுபடுத்தி, முடிவைப் பெறுகிறோம்:

ln y = x ln x ln y " = x ln x " 1 y " = x " ln x + ln x " ⇒ y " = y 1 ln x + x 1 x = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1)

பதில்: x x " = x x (ln x + 1)

மடக்கை வழித்தோன்றல் இல்லாமல் இந்த சிக்கலை வேறு வழியில் தீர்க்க முடியும். ஒரு அதிவேக சக்தி செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதில் இருந்து சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதற்கு முதலில் அசல் வெளிப்பாட்டை மாற்ற வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக:

y = x x = e ln x x = e x · ln x ⇒ y " = (e x · ln x) " = e x · ln x · x · ln x " = x x · x " · ln x + x · (ln x) " = = x x · 1 · ln x + x · 1 x = x x · ln x + 1

மேலும் ஒரு சிக்கலைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு

அசல் செயல்பாடு ஒரு பின்னமாக வழங்கப்படுகிறது, அதாவது வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி சிக்கலை தீர்க்க முடியும். இருப்பினும், இந்த செயல்பாடு மிகவும் சிக்கலானது, அதாவது நிறைய மாற்றங்கள் தேவைப்படும். எனவே, இங்கு y " = y ln (f (x)) " என்ற மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்துவது நல்லது. இந்த கணக்கீடு ஏன் மிகவும் வசதியானது என்பதை விளக்குவோம்.

ln(f(x)) ஐக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம். மேலும் மாற்றத்திற்கு, மடக்கையின் பின்வரும் பண்புகள் நமக்குத் தேவை:

• ஒரு பின்னத்தின் மடக்கை மடக்கைகளின் வேறுபாடாகக் குறிப்பிடலாம்;
• உற்பத்தியின் மடக்கையை ஒரு தொகையாகக் குறிப்பிடலாம்;
• மடக்கையின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு ஒரு சக்தியைக் கொண்டிருந்தால், அதை ஒரு குணகமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

ln (f (x)) = ln (x 2 + 1) 1 3 x 3 sin x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 sin x) 1 2 = = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln பாவம் x

இதன் விளைவாக, எங்களுக்கு மிகவும் எளிமையான வெளிப்பாடு கிடைத்தது, இதன் வழித்தோன்றல் கணக்கிட எளிதானது:

(ln (f (x))) " = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x " = = 1 3 ln (x 2 + 1) " - 3 2 ln x " - 1 2 ln sin x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln sin x) " = = 1 3 1 x 2 + 1 x 2 + 1 " - 3 2 1 x - 1 2 1 sin x (sin x) " = = 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

இப்போது நமக்கு கிடைத்ததை மடக்கை வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தில் மாற்ற வேண்டும்.

பதில்: y " = y ln (f (x)) " = x 2 + 1 3 x 3 sin x 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

பொருளை வலுப்படுத்த, பின்வரும் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைப் படிக்கவும். குறைந்தபட்ச கருத்துகளைக் கொண்ட கணக்கீடுகள் மட்டுமே இங்கே கொடுக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 3

ஒரு அதிவேக ஆற்றல் செயல்பாடு y = (x 2 + x + 1) x 3 . அதன் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு:

y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 " ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

பதில்: y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · 3 x 2 · ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x+1

எடுத்துக்காட்டு 4

y = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 என்ற வெளிப்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு

மடக்கை வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

y " = y · ln x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y · ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2 " = = y 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y · (x 2 + 1) " 3 (x 2 + 1) + x + 1 " 2 (x + 1) + (x 3 + 1) " 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2 " 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)

பதில்:

y " = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1 ) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2) .

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்