வீடு→மின்னணுவியல்→தொடர்ச்சியான செயல்பாடு

தொடர்ச்சியான செயல்பாடு

வரையறை
செயல்பாடு f (x)அழைக்கப்பட்டது x புள்ளியில் தொடர்ச்சி 0 இந்தப் புள்ளியின் அக்கம், மற்றும் x ஆக வரம்பு x ஆக இருந்தால் 0 x இல் செயல்பாட்டு மதிப்புக்கு சமம் 0 :
.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பின் Cauchy மற்றும் Heine வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி, நாம் கொடுக்கலாம் ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் விரிவாக்கப்பட்ட வரையறைகள் .

தொடர்ச்சி என்ற கருத்தை நாம் உருவாக்கலாம் அதிகரிப்பு அடிப்படையில். இதைச் செய்ய, ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துகிறோம், இது புள்ளியில் x மாறியின் அதிகரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
.
பின்னர் செயல்பாடு என்றால் புள்ளியில் தொடர்ந்து இருக்கும்
.
ஒரு புதிய செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: அவர்கள் அவளை அழைக்கிறார்கள்செயல்பாடு அதிகரிப்பு
.

புள்ளியில்.
செயல்பாடு f (x)அழைக்கப்பட்டது பின்னர் செயல்பாடு என்றால் புள்ளியில் தொடர்ந்து இருக்கும் 0 வலது (இடது) தொடர்ச்சியின் வரையறை 0 x இல் செயல்பாட்டு மதிப்புக்கு சமம் 0 :
.

x புள்ளியில் வலது (இடது) இல் தொடர்ச்சியாக
, இந்தப் புள்ளியின் சில வலது பக்க (இடது பக்க) சுற்றுப்புறத்தில் அது வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால், மற்றும் x புள்ளியில் வலது (இடது) வரம்பு இருந்தால் (x)தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் எல்லை பற்றிய தேற்றம் 0 செயல்பாடு f x புள்ளியில் தொடர்கிறது.

பின்னர் ஒரு அக்கம் உள்ளது யு
(x0)
.
, இதில் செயல்பாடு குறைவாக உள்ளது.
தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் அடையாளத்தைப் பாதுகாப்பதற்கான தேற்றம்

புள்ளியில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும்.
இந்த கட்டத்தில் நேர்மறை (எதிர்மறை) மதிப்பு இருக்கட்டும்:
செயல்பாடு நேர்மறை (எதிர்மறை) மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும் புள்ளியின் சுற்றுப்புறம் உள்ளது:
மணிக்கு.

தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் எண்கணித பண்புகள்
செயல்பாடுகள் மற்றும் புள்ளியில் தொடர்ந்து இருக்கட்டும்.

பின்னர் செயல்பாடுகள் மற்றும் புள்ளியில் தொடர்ந்து இருக்கும்.

என்றால், செயல்பாடு புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.

இடது-வலது தொடர்ச்சி சொத்து ஒரு செயல்பாடு ஒரு புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், அது வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் தொடர்ந்து இருந்தால் மட்டுமே.
"ஒரு கட்டத்தில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் பண்புகள்" பக்கத்தில் பண்புகளின் சான்றுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி

தொடர்ச்சி தேற்றம்

சிக்கலான செயல்பாடு
புள்ளியில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும்.
.
மேலும் செயல்பாடு புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும். 0 பின்னர் சிக்கலான செயல்பாடு புள்ளியில் தொடர்ந்து இருக்கும்.
ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வரம்பு
ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரம்பு பற்றிய தேற்றம்
.

இல் செயல்பாட்டின் வரம்பு இருக்கட்டும், அது சமம்:
இங்கே புள்ளி டி
இங்கே இறுதி அல்லது எல்லையற்ற தொலைதூர புள்ளிகள்: .
சுற்றுப்புறங்களும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய வரம்புகளும் இரண்டு பக்கமாகவோ அல்லது ஒரு பக்கமாகவோ இருக்கலாம்.
.

பின்னர் ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வரம்பு உள்ளது மற்றும் அது சமம்:

முறிவு புள்ளிகள்
முறிவு புள்ளியை தீர்மானித்தல் புள்ளியின் சில துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படட்டும்.புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது
செயல்பாடு முறிவு புள்ளி
, இரண்டு நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால்:

1) இல் வரையறுக்கப்படவில்லை;
2) இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் இந்த கட்டத்தில் இல்லை. 1 வது வகையின் தொடர்ச்சியின்மை புள்ளியை தீர்மானித்தல்புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது
.

முதல் வகையான தொடர்ச்சியின்மை
, ஒரு இடைவெளி புள்ளியாக இருந்தால் மற்றும் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு பக்க வரம்புகள் உள்ளன:ஒரு செயல்பாடு ஜம்ப் வரையறை
.

ஜம்ப் Δ செயல்பாடு
2) இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் இந்த கட்டத்தில் இல்லை. ஒரு கட்டத்தில் வலது மற்றும் இடது வரம்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசம்முறிவு புள்ளியை தீர்மானித்தல்
,
நீக்கக்கூடிய முறிவு புள்ளி

, வரம்பு இருந்தால்

ஆனால் புள்ளியில் உள்ள செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை அல்லது வரம்பு மதிப்புக்கு சமமாக இல்லை: .
2) இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் இந்த கட்டத்தில் இல்லை. எனவே, நீக்கக்கூடிய இடைநிறுத்தத்தின் புள்ளி என்பது 1 வது வகையின் இடைநிறுத்தத்தின் புள்ளியாகும், இதில் செயல்பாட்டின் ஜம்ப் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். 2 வது வகையின் தொடர்ச்சியின்மை புள்ளியை தீர்மானித்தல்

இரண்டாவது வகையான இடைநிறுத்தத்தின் புள்ளி

, இது 1வது வகையின் தொடர்ச்சியற்ற புள்ளியாக இல்லாவிட்டால்.
அதாவது, குறைந்தபட்சம் ஒரு பக்க வரம்பு இல்லை என்றால், அல்லது ஒரு புள்ளியில் குறைந்தபட்சம் ஒரு பக்க வரம்பு முடிவிலிக்கு சமம்.

ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் பண்புகள்
ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரையறை

திறந்த இடைவெளியில் (at) மற்றும் a மற்றும் b புள்ளிகளில் முறையே தொடர்ச்சியாக இருந்தால், ஒரு செயல்பாடு ஒரு இடைவெளியில் (at) தொடர்ச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது.
வீயர்ஸ்ட்ராஸின் முதல் தேற்றம், ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் எல்லை பற்றியது
ஒரு செயல்பாடு ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அது இந்த இடைவெளியில் வரம்புக்குட்பட்டது.

அதிகபட்ச (குறைந்தபட்சம்) அடையக்கூடிய தன்மையை தீர்மானித்தல்
ஒரு செயல்பாட்டிற்கான வாதம் இருந்தால் தொகுப்பில் அதன் அதிகபட்ச (குறைந்தபட்சம்) அடையும்
.

அனைவருக்கும்.
மேல் (கீழ்) முகத்தின் அடையக்கூடிய தன்மையை தீர்மானித்தல்

ஒரு சார்பு அதன் மேல் (கீழ்) எல்லையை அடைகிறது, அதற்கான வாதம் இருந்தால்
தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் குறித்த வீயர்ஸ்ட்ராஸின் இரண்டாவது தேற்றம்
.

ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு அதன் மேல் மற்றும் கீழ் வரம்புகளை அடைகிறது அல்லது அதுவே, பிரிவில் அதன் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்சத்தை அடைகிறது.
Bolzano-Cauchy இடைநிலை மதிப்பு தேற்றம் வெவ்வேறு அறிகுறிகள்: அல்லது . செயல்பாட்டின் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு புள்ளி உள்ளது:
.

முடிவு 2
பிரிவில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும்.
தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் அடையாளத்தைப் பாதுகாப்பதற்கான தேற்றம்

அது இருக்கட்டும்.

பின்னர் செயல்பாடு அனைத்து மதிப்புகளையும் இடைவெளியில் எடுக்கும் மற்றும் இந்த மதிப்புகள் மட்டுமே:
தலைகீழ் செயல்பாடுகள்
ஒரு செயல்பாடு ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அது இந்த இடைவெளியில் வரம்புக்குட்பட்டது.
தலைகீழ் செயல்பாட்டின் வரையறை ஒரு செயல்பாட்டிற்கு X வரையறையின் டொமைன் மற்றும் Y மதிப்புகளின் தொகுப்பு இருக்கட்டும்.அது சொத்து இருக்கட்டும்:
.

பின்னர் Y தொகுப்பிலிருந்து எந்த உறுப்புக்கும் X தொகுப்பின் ஒரு தனிமத்தை மட்டும் இணைக்க முடியும்.
;
இந்த கடிதம் ஒரு செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது
ஒரு செயல்பாடு ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அது இந்த இடைவெளியில் வரம்புக்குட்பட்டது.

தலைகீழ் செயல்பாடு
க்கு . தலைகீழ் செயல்பாடு பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:

வரையறையிலிருந்து அது பின்வருமாறு
அனைவருக்கும்;

நேரடி மற்றும் தலைகீழ் செயல்பாடுகளின் பரஸ்பர மோனோடோனிசிட்டி பற்றிய லெம்மா
ஒரு செயல்பாடு கண்டிப்பாக அதிகரித்து (குறைந்து) இருந்தால், ஒரு தலைகீழ் செயல்பாடு உள்ளது, அது கண்டிப்பாக அதிகரித்து (குறைகிறது).

நேரடி மற்றும் தலைகீழ் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களின் சமச்சீர் சொத்து

நேரடி மற்றும் தலைகீழ் சார்புகளின் வரைபடங்கள் நேர்கோட்டைப் பொறுத்து சமச்சீராக இருக்கும்.
ஒரு இடைவெளியில் ஒரு தலைகீழ் செயல்பாட்டின் இருப்பு மற்றும் தொடர்ச்சி பற்றிய தேற்றம்

செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும் மற்றும் பிரிவில் கண்டிப்பாக அதிகரித்து (குறைகிறது).
பின்னர் தலைகீழ் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் பிரிவில் தொடர்கிறது, இது கண்டிப்பாக அதிகரிக்கிறது (குறைகிறது).

அதிகரிக்கும் செயல்பாட்டிற்கு.

குறைப்பதற்கு - .

ஒரு இடைவெளியில் ஒரு தலைகீழ் செயல்பாட்டின் இருப்பு மற்றும் தொடர்ச்சி பற்றிய தேற்றம்

செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும் மற்றும் ஒரு திறந்த வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற இடைவெளியில் கண்டிப்பாக அதிகரித்து (குறைகிறது).

பின்னர் தலைகீழ் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு இடைவெளியில் தொடர்கிறது, இது கண்டிப்பாக அதிகரிக்கிறது (குறைகிறது). அதிகரிக்கும் செயல்பாட்டிற்கு.குறைப்பதற்கு: . > 0 இதேபோல், அரை இடைவெளியில் தலைகீழ் செயல்பாட்டின் இருப்பு மற்றும் தொடர்ச்சி பற்றிய தேற்றத்தை நாம் உருவாக்கலாம். அடிப்படை செயல்பாடுகளின் பண்புகள் மற்றும் தொடர்ச்சி
,
அடிப்படை செயல்பாடுகளும் அவற்றின் தலைகீழ்களும் அவற்றின் வரையறையின் களத்தில் தொடர்ச்சியாக உள்ளன. தொடர்புடைய தேற்றங்களின் சூத்திரங்களை கீழே வழங்குகிறோம் மற்றும் அவற்றின் ஆதாரங்களுக்கான இணைப்புகளை வழங்குகிறோம்.
.

அதிவேக செயல்பாடு அதிவேக செயல்பாடு f
(x) = கோடாரி
, அடிப்படை a உடன்- இது
வரிசை வரம்புபகுத்தறிவு எண்களின் தன்னிச்சையான வரிசை x க்கு முனைகிறது: 1 தேற்றம். பண்புகள்
அதிவேக செயல்பாடுஅதிவேக செயல்பாடு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:
(P.0) ;
வரையறுக்கப்பட்ட, , அனைவருக்கும்; ;
(P.1) ;
ஒரு ≠ க்கு ;
பல அர்த்தங்கள் உள்ளன; ;
(P.2) ;
இல் கண்டிப்பாக அதிகரிக்கிறது, கண்டிப்பாக குறைகிறது, இல் நிலையானது;(P.3)
(P.3*)(P.4)
தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் அடையாளத்தைப் பாதுகாப்பதற்கான தேற்றம்

(P.5)

(P.6) (P.7)(P.8)அடிப்படை a உடன் அதிவேக செயல்பாட்டின் தலைகீழ் ஆகும்.

தேற்றம். மடக்கையின் பண்புகள்
அடிப்படை a, y = கொண்ட மடக்கைச் செயல்பாடு பதிவு a x, பின்வரும் பண்புகள் உள்ளன:
(எல்.1)வாதத்தின் நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியான, மற்றும் ;
(எல்.2)தேற்றம். பண்புகள்
(எல்.3)என கண்டிப்பாக அதிகரிக்கிறது, கண்டிப்பாக குறைகிறது;
(எல்.4)(P.4)
(P.4)
(எல்.5) ;
(எல்.6)(P.4)
(எல்.7)(P.4)
(L.8)(P.4)
(L.9)தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் அடையாளத்தைப் பாதுகாப்பதற்கான தேற்றம்

அடுக்கு மற்றும் இயற்கை மடக்கை

அதிவேக செயல்பாடு மற்றும் மடக்கையின் வரையறைகளில், ஒரு மாறிலி தோன்றுகிறது, இது சக்தியின் அடிப்படை அல்லது மடக்கையின் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது. IN கணித பகுப்பாய்வு, பெரும்பாலான வழக்குகளில், முடிவுகள் அதிகமாக இருக்கும் எளிய கணக்கீடுகள், நீங்கள் எண் e ஐ அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தினால்:
.
அடிப்படை e உடன் கூடிய அதிவேக சார்பு ஒரு அடுக்கு: , மற்றும் அடிப்படை e கொண்ட மடக்கை இயற்கை மடக்கை: என அழைக்கப்படுகிறது.

அடுக்கு மற்றும் இயற்கை மடக்கையின் பண்புகள் பக்கங்களில் வழங்கப்படுகின்றன
"எக்ஸ்போனென்ட், e to the power of x",
"இயற்கை மடக்கை, ln x செயல்பாடு"

சக்தி செயல்பாடு

அதிவேக p உடன் சக்தி செயல்பாடுசெயல்பாடு f ஆகும் (x) = xp, x புள்ளியில் உள்ள மதிப்பு p புள்ளியில் x அடிப்படையுடன் கூடிய அதிவேக செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம்.
கூடுதலாக, எஃப் (0) = 0 p = 0 p >க்கு 0 .

வாதத்தின் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு y = x p சக்தி செயல்பாட்டின் பண்புகளை இங்கே கருத்தில் கொள்வோம்.
பகுத்தறிவுகளுக்கு, ஒற்றைப்படை m க்கு, ஆற்றல் செயல்பாடு எதிர்மறை x க்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது.

இந்த வழக்கில், அதன் பண்புகளை கூட அல்லது ஒற்றைப்படை பயன்படுத்தி பெறலாம்.
இந்த வழக்குகள் விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டு, "பவர் செயல்பாடு, அதன் பண்புகள் மற்றும் வரைபடங்கள்" பக்கத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளன.
தேற்றம். சக்தி செயல்பாட்டின் பண்புகள் (x ≥ 0)ஒரு சக்தி செயல்பாடு, y = x p, அடுக்கு p உடன் பின்வரும் பண்புகள் உள்ளன:
(C.1)
தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ந்து

மணிக்கு,

"இல்.
முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் தொடர்ச்சி பற்றிய தேற்றம்முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்: சைன் ( பாவம் x), கொசைன் ( cos x), தொடுகோடு ( டிஜி எக்ஸ்

) மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் (
ctg x தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் தொடர்ச்சி பற்றிய தேற்றம்தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்: ஆர்க்சைன் ( ஆர்க்சின் x), ஆர்க் கொசைன் ( ஆர்க்கோஸ் எக்ஸ்), ஆர்க்டேன்ஜென்ட் ( ஆர்க்டன் எக்ஸ்) மற்றும் வில் தொடுகோடு (

arcctg x
), அவற்றின் வரையறையின் களங்களில் தொடர்ச்சியாக உள்ளன.
பயன்படுத்திய இலக்கியம்:
ஓ.ஐ. பெசோவ். கணித பகுப்பாய்வு பற்றிய விரிவுரைகள். பகுதி 1. மாஸ்கோ, 2004.

எல்.டி. குத்ரியவ்ட்சேவ். கணித பகுப்பாய்வு பாடநெறி. தொகுதி 1. மாஸ்கோ, 2003.
செயல்பாடு f (x)அழைக்கப்பட்டது x புள்ளியில் தொடர்ச்சி 0 முதல்வர் நிகோல்ஸ்கி. கணித பகுப்பாய்வு பாடநெறி. தொகுதி 1. மாஸ்கோ, 1983. x புள்ளியில் தொடர்கிறதுஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியைத் தீர்மானித்தல் 0 சுற்றுப்புறம் யு 0 :
.

இது x என்பதைக் குறிக்கிறது 0 - இது இறுதிப் புள்ளி. இதில் உள்ள செயல்பாட்டு மதிப்பு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணாக மட்டுமே இருக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

Heine மற்றும் Cauchy வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி, அனைத்து x க்கும் செயல்பாடு தொடர்கிறது என்பதை நிரூபிக்கவும்.

ஒரு தன்னிச்சையான எண் இருக்கட்டும். என்பதை நிரூபிப்போம் க்கான இந்த செயல்பாடுபுள்ளியில் தொடர்ந்து உள்ளது.

செயல்பாடு அனைத்து x க்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, இது ஒரு புள்ளியிலும் அதன் சுற்றுப்புறங்களிலும் வரையறுக்கப்படுகிறது.
.
ஹெய்னின் வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்
.
பயன்படுத்துவோம். .

எங்களிடம் உள்ள வரிசைகளின் தயாரிப்பு வரம்பின் சொத்தைப் பயன்படுத்துதல்:

க்கு ஒரு தன்னிச்சையான வரிசை இருப்பதால், பிறகு
தொடர்ச்சி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
நாங்கள் Cauchy வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் .

பயன்படுத்துவோம்.
.
வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

;
புள்ளியின் எந்தப் பகுதியிலும் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ள எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது. .

எனவே நாங்கள் அதைக் கருதுவோம் (A1.1)சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:
;
கணக்கில் (A1.1), பின்வரும் மதிப்பீட்டை நாங்கள் செய்கிறோம்: .
.
(A1.2)

விண்ணப்பிக்கும் (A1.2), நாங்கள் மதிப்பிடுகிறோம்
.
.

.
முழுமையான மதிப்பு

வேறுபாடுகள்: (A1.3)ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பண்புகளின்படி, (A1.3) திருப்தி அடைந்தால், மற்றும் என்றால் , பின்னர் .

இப்போது புள்ளியைப் பார்ப்போம்.

இந்த வழக்கில்

இதன் பொருள் செயல்பாடு புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது.

இதேபோல், செயல்பாடு , எங்கே n உள்ளது என்பதை ஒருவர் நிரூபிக்க முடியும்
இயற்கை எண்
, முழு உண்மையான அச்சில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது. .

பயன்படுத்துவோம்.
எடுத்துக்காட்டு 2 .
பயன்படுத்தி, செயல்பாடு அனைவருக்கும் தொடர்கிறது என்பதை நிரூபிக்கவும்.
.

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு இல் வரையறுக்கப்படுகிறது.

.
புள்ளியில் அது தொடர்கிறது என்பதை நிரூபிப்போம்.
.

வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

.
புள்ளியில் அது தொடர்கிறது என்பதை நிரூபிப்போம்.
புள்ளியின் எந்தப் பகுதியிலும் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ள எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது. .

எனவே நாங்கள் அதைக் கருதுவோம்
.
(A2.1)

(A2.2)
.
முழுமையான மதிப்பு

போடுவோம்.
.
பிறகு
.

(A2.1) கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, பின்வரும் மதிப்பீட்டைச் செய்கிறோம்:
.
எனவே,

இந்த சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் (A2.2) பயன்படுத்துவதன் மூலமும், வித்தியாசத்தை மதிப்பிடுகிறோம்:

தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் கணித பகுப்பாய்வு செயல்படும் செயல்பாடுகளின் முக்கிய வகுப்பை உருவாக்குகின்றன. தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் ஒரு யோசனை அதன் வரைபடம் தொடர்ச்சியானது என்று கூறுவதன் மூலம் பெறலாம், அதாவது. காகிதத்தில் இருந்து பென்சிலை எடுக்காமல் வரையலாம்.

ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு, நடைமுறையில் நாம் அடிக்கடி சந்திக்கும் ஒரு சொத்தை கணித ரீதியாக வெளிப்படுத்துகிறது, அதாவது ஒரு சுயாதீன மாறியில் ஒரு சிறிய அதிகரிப்பு ஒரு சார்பு மாறியில் (செயல்பாடு) ஒரு சிறிய அதிகரிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது. தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் சிறந்த எடுத்துக்காட்டுகள் உடல்களின் இயக்கத்தின் பல்வேறு விதிகள் \(s=f(t)\), சரியான நேரத்தில் உடல் கடந்து செல்லும் பாதை \(s\) சார்ந்திருப்பதை வெளிப்படுத்துகிறது \(t\). நேரமும் இடமும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், அதே சமயம் உடல் இயக்கத்தின் ஒன்று அல்லது மற்றொரு விதி \(s=f(t)\) அவற்றுக்கிடையே ஒரு குறிப்பிட்ட தொடர்ச்சியான தொடர்பை ஏற்படுத்துகிறது, இது ஒரு சிறிய நேர அதிகரிப்பு பாதையின் சிறிய அதிகரிப்புக்கு ஒத்ததாக இருக்கும்.

மனிதன் தன்னைச் சுற்றியுள்ள தொடர்ச்சியான ஊடகங்கள் என்று அழைக்கப்படுவதைக் கவனிப்பதன் மூலம் தொடர்ச்சியின் சுருக்கத்திற்கு வந்தான் - திட, திரவ அல்லது வாயு, எடுத்துக்காட்டாக உலோகங்கள், நீர், காற்று. உண்மையில், இப்போது நன்கு அறியப்பட்டபடி, எந்தவொரு இயற்பியல் ஊடகமும் ஒன்றுக்கொன்று பிரிக்கப்பட்ட அதிக எண்ணிக்கையிலான நகரும் துகள்களின் குவிப்பு ஆகும். எவ்வாறாயினும், இந்த துகள்களும் அவற்றுக்கிடையேயான தூரங்களும் ஊடகங்களின் தொகுதிகளுடன் ஒப்பிடும்போது மிகவும் சிறியவை, அவை மேக்ரோஸ்கோபிக்கில் நாம் கையாள வேண்டும். உடல் நிகழ்வுகள், எந்த இடைவெளியும் இல்லாமல், அது ஆக்கிரமிக்கப்பட்ட இடத்தில் தொடர்ச்சியாக விநியோகிக்கப்படும், தோராயமாக ஆய்வு செய்யப்பட்ட ஊடகத்தின் வெகுஜனத்தை நாம் கருத்தில் கொண்டால், இதுபோன்ற பல நிகழ்வுகளை நன்றாகப் படிக்க முடியும். பல இயற்பியல் துறைகள் இந்த அனுமானத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டவை, உதாரணமாக ஹைட்ரோடைனமிக்ஸ், ஏரோடைனமிக்ஸ் மற்றும் நெகிழ்ச்சி கோட்பாடு. தொடர்ச்சியின் கணிதக் கருத்து இயற்கையாகவே இந்த துறைகளில் பலவற்றில் ஒரு பெரிய பாத்திரத்தை வகிக்கிறது.

சில செயல்பாடு \(y=f(x)\) மற்றும் சுயாதீன மாறியின் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பு \(x_0\) . எங்கள் செயல்பாடு சில தொடர்ச்சியான செயல்முறைகளை பிரதிபலிக்கிறது என்றால், \(x_0\) இலிருந்து சிறிது வேறுபடும் \(x\) மதிப்புகள், செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் \(f(x)\) இலிருந்து சிறிது வேறுபடும் \(x_0\) புள்ளியில் \(f(x_0)\) மதிப்பு. எனவே, சுயாதீன மாறியின் அதிகரிப்பு \(x-x_0\) சிறியதாக இருந்தால், செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பு \(f(x)-f(x_0)\) சிறியதாக இருக்க வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், \(x-x_0\) இன் இன்கிரிமென்ட் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு \(f(x)-f(x_0)\) பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும், இது பின்வருமாறு எழுதப்படலாம்:

\(\lim_(x-x_0\to0)\Bigl=0.\)

இந்த உறவானது \(x_0\) புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் கணித வரையறையாகும்.

சமத்துவம் (1) திருப்தி அடைந்தால் \(f(x)\) செயல்பாடு \(x_0\) புள்ளியில் தொடர்ச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மற்றொரு வரையறையை வழங்குவோம்:

செயல்பாடு தொடர்புடைய அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் தொடர்ச்சியானதாகக் கூறப்படுகிறது இந்த பிரிவு, இந்தப் பிரிவின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் \(x_0\) தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அதாவது. அத்தகைய ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் சமத்துவம் (1) திருப்தி அடைகிறது.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் சொத்தின் கணித வரையறையை அறிமுகப்படுத்த, அதன் வரைபடம் ஒரு தொடர்ச்சியான (இந்த வார்த்தையின் வழக்கமான அர்த்தத்தில்) வளைவு என்பதை உள்ளடக்கியது, முதலில் உள்ளூர், உள்ளூர் சொத்தை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். தொடர்ச்சி (புள்ளியில் தொடர்ச்சி \(x_0\) ), பின்னர், இந்த அடிப்படையில், முழுப் பிரிவிலும் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியைத் தீர்மானிக்கவும்.

மேலே உள்ள வரையறை, கடந்த நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் Cauchy மூலம் முதலில் சுட்டிக்காட்டப்பட்டது, பொதுவாக நவீன கணித பகுப்பாய்வில் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது. பலவற்றைச் சரிபார்க்கிறது குறிப்பிட்ட உதாரணங்கள்இந்த வரையறை ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் தற்போதைய நடைமுறை யோசனையுடன் ஒத்துப்போகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, தொடர்ச்சியான வரைபடத்தின் யோசனை.

தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பள்ளிக் கணிதத்திலிருந்து அறியப்பட்டவை: அடிப்படை செயல்பாடுகள்\(x^n,\) \(\sin(x),\) \(\cos(x),\) \(a^x,\) \(\lg(x),\) \(\arcsin (x),\) \(\arccos(x)\) . பட்டியலிடப்பட்ட அனைத்து செயல்பாடுகளும் அவை வரையறுக்கப்பட்ட மாற்றத்தின் \(x\) இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.

என்றால் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள்கூட்டவும், கழிக்கவும், பெருக்கவும் மற்றும் வகுக்கவும் (பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத ஒரு வகுப்போடு), அதன் விளைவாக மீண்டும் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கு வருவோம். இருப்பினும், பிரிக்கும் போது, வழக்கமாக \(x_0\) மதிப்புகளுக்கு தொடர்ச்சி உடைக்கப்படுகிறது, இதில் வகுப்பில் உள்ள செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்கிறது. பிரிவின் முடிவு \(x_0\) புள்ளியில் இடைவிடாத செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது.

\(y=\frac(1)(x)\) சார்பு \(y=0\) புள்ளியில் இடைவிடாத செயல்பாட்டிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. தொடர்ச்சியற்ற செயல்பாடுகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடங்களால் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. 1.

இந்த வரைபடங்களை கவனமாக மதிப்பாய்வு செய்ய பரிந்துரைக்கிறோம். செயல்பாடுகளின் இடைநிறுத்தங்கள் வேறுபட்டவை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்: சில நேரங்களில் \(x\) புள்ளியை \(x_0\) அணுகும்போது, செயல்பாடு நிறுத்தப்படும்போது, \(f(x)\) வரம்பு உள்ளது, ஆனால் \(f இலிருந்து வேறுபட்டது. (x_0)\ ), மற்றும் சில நேரங்களில், படம். 1c, இந்த வரம்பு வெறுமனே இல்லை. ஒருபுறம் \(x\) \(x_0\) நெருங்கும் போது \(f(x)-f(x_0)\to0\) , மற்றும் \(x\ to x_0\) அணுகினால் மறுபுறம், பின்னர் \(f(x)-f(x_0)\) இனி பூஜ்ஜியமாக இருக்காது. இந்த விஷயத்தில், நிச்சயமாக, செயல்பாட்டின் இடைநிறுத்தம் எங்களிடம் உள்ளது, இருப்பினும் இந்த கட்டத்தில் அது "ஒரு பக்கத்தில் தொடர்ந்து உள்ளது" என்று நாம் கூறலாம். இந்த எல்லா நிகழ்வுகளையும் கொடுக்கப்பட்ட வரைபடங்களில் காணலாம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் வரையறை

1. \(y=f(x)\) செயல்பாடு \(x=a\) புள்ளியில் தொடர்ந்து இருக்கும் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள வரம்புகள் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமமாகவும் சமமாகவும் இருந்தால், அதாவது.

\(\lim_(x\to a-0)f(x)=\lim_(x\to a+0)f(x)=f(a)\)

2. இந்த கட்டத்தில் வரையறுக்கப்பட்டால் \(y=f(x)\) என்பது புள்ளியில் தொடர்ந்து இருக்கும். அதாவது \(\lim_(\Delta x\to 0)\Delta y=0\)புள்ளிக்கு அருகில் \(a\) .

வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை, வேறுபாடு மற்றும் பலன் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு ஆகும்.

ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு \(\) அதன் சிறிய \(m\) மற்றும் பெரிய \(M\) மதிப்புக்கு இடையில் எந்த இடைநிலை மதிப்பையும் எடுக்கும், அதாவது \(m\leqslant f(x)\leqslant M\)அனைவருக்கும் \(x\in\) . பிரிவின் எல்லைப் புள்ளிகளில் \(\) செயல்பாட்டிற்கு வெவ்வேறு அறிகுறிகள் இருந்தால், பிரிவின் உள்ளே உள்ளன குறைந்தபட்சம்அத்தகைய ஒரு மதிப்பு \(x=c\) இதில் செயல்பாடு பூஜ்ஜியமாக மாறும். செயல்பாடுகளின் தொடர்ச்சியின் இந்த பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர்களை தோராயமாக கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கிறது.

செயல்பாடு முறிவு புள்ளிகள்

தொடர்ச்சியான நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யாத வாத மதிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன செயல்பாடு முறிவு புள்ளிகள். இந்த வழக்கில், இரண்டு வகையான செயல்பாடு இடைநிறுத்த புள்ளிகள் வேறுபடுகின்றன.

இடதுபுறத்தில் \(x\to a\) என்றால் செயல்பாடு உள்ளது இறுதி வரம்பு\(k_1\) , மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள \(x\to a\) செயல்பாட்டிற்கு வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பு \(k_2\) மற்றும் \(k_1\ne k_2\) , பின்னர் \(x க்கான செயல்பாடு என்று கூறுகிறார்கள். =a\) உள்ளது முதல் வகையான முறிவு. \(|k_1-k_2|\) வேறுபாடு \(x=a\) புள்ளியில் செயல்பாட்டின் தாவலை தீர்மானிக்கிறது. \(x=a\) இல் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு எந்த எண்ணுக்கும் சமமாக இருக்கும் \(k_3\) .

\(x=a\) இல் உள்ள ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்பு \(k_1\) க்கு சமமாக இருந்தால், செயல்பாடு தொடர்ந்து விடப்படும் என்று கூறப்படுகிறது; \(k_2\) என்றால், செயல்பாடு சரியான தொடர்ச்சியானது என்று கூறுகிறார்கள்.

\(k_1=k_2\ne k_3\) எனில், செயல்பாடு \(a\) புள்ளியில் உள்ளது என்று கூறுகிறார்கள். சரிசெய்யக்கூடிய இடைவெளி.

வலது அல்லது இடதுபுறத்தில் \(x\to a\) இருந்தால், செயல்பாட்டின் வரம்பு இல்லை அல்லது முடிவிலிக்கு சமமாக இருந்தால், \(\lim_(x\to a)f(x)=\infty \), பிறகு \ (x=a\) செயல்பாடு உள்ளது என்று சொல்கிறார்கள் இரண்டாவது வகையான இடைநிறுத்தம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. \(x\) செயல்பாடு \(y=x^3-2x\) தொடர்ச்சியாக இருக்கும் மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்

\(\Delta y=(x+\Delta x)^3-2(x+\Delta x)-(x^3-2x)=\Delta x\,(\Delta x^2+3x\Delta x+3x^ 2-2).\)

\(\Delta x\to0\) மாறி \(x\) மாறியின் எந்த மதிப்புகளுக்கும் அதிகரிப்பு \(\Delta y\to0\) ஆகும், எனவே மாறியின் அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளுக்கும் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும். (x\) .

எடுத்துக்காட்டு 2. \(y=\frac(1)(x-1)\) செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியை \(x=3\) புள்ளியில் நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு. இதை நிரூபிக்க, வாதத்தின் மதிப்பு \(x=3\) இலிருந்து \(x=3+\Delta x\)க்கு நகரும் போது \(y\) செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

\(\Delta y=\frac(1)(3+\Delta x-1)-\frac(1)(3-1)=\frac(1)(2+\Delta x)-\frac(1) (2)=\frac(2-2-\Delta x)(2(2+\Delta x))=\frac(-\Delta x)(2(2+\Delta x)).\)

செயல்பாடு அதிகரிப்பின் வரம்பை \(\Delta x\to0\) இல் காணலாம்

\(\lim_(\Delta x\to0)\Delta y=-\lim_(\Delta x\to0)\frac(\Delta x)(2(2+\Delta x))=-\frac(0)( 2(2+0))=0.\)

\(\Delta x\to0\) இல் உள்ள செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் வரம்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், \(x\to3\) இல் உள்ள செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 3. செயல்பாடுகளின் தொடர்ச்சியின் தன்மையைத் தீர்மானித்தல் மற்றும் வரைபடங்களை உருவாக்குதல்:

\(\mathrm(a))~y=\frac(1)(x-1)~\text(if)~x=1;\qquad\mathrm(b))~y=\frac(x)(| x|)~\ text(if)~x=0;\qquad\mathrm(c))~y=\begin(cases)2x,&\text(if)~x\ne2,\\1,&\text (என்றால்)~x=2;\முடிவு(வழக்குகள்)\qquad\mathrm(d))~y=a^(1/x)~(a>1);\qquad\mathrm(e))~y=\ ஆபரேட்டர் பெயர்(arctg)\frac(1)(x).\)

தீர்வு.

அ) \(x=1\) செயல்பாடு வரையறுக்கப்படாதபோது, இந்த கட்டத்தில் ஒருபக்க வரம்புகளைக் காண்கிறோம்:

\(\lim_(x\to1-0)\frac(1)(x-1)=-\infty;\quad\lim_(x\to1+0)\frac(1)(x-1)=+\ infty.\)

இதன் விளைவாக, \(x=1\) புள்ளியில் செயல்பாடு இரண்டாவது வகையான இடைநிறுத்தத்தைக் கொண்டுள்ளது.

b) \(x<0\) предел функции равен \(\lim_(0-0)\frac(x)(|x|)=-1=k_1\). \(x>0\) வரம்பு சமமாக இருக்கும்போது \(\lim_(0+0)\frac(x)(|x|)=1=k_2\). இதன் விளைவாக, \(x=1\) புள்ளியில் \(y\) சார்பு முதல் வகையின் தொடர்ச்சியற்ற தன்மையைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் செயல்பாட்டின் ஜம்ப் \(|k_1-k_2|=|-1-1|= க்கு சமமாக இருக்கும். 2\) .

c) செயல்பாடு முழு எண் அச்சில் வரையறுக்கப்படுகிறது, அடிப்படை அல்லாதது, ஏனெனில் \(x=2\) புள்ளியில் செயல்பாட்டின் பகுப்பாய்வு வெளிப்பாடு மாறுகிறது. செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியை \(x=2\) புள்ளியில் ஆராய்வோம் :

\(\lim_(x\to2-0)=4,\quad\lim_(x\to2+0)2x=4,\quad y(2)=1,\quad k_1=k_2\ne k_3.\)

\(x=2\) என்ற புள்ளியில் செயல்பாடு நீக்கக்கூடிய இடைநிறுத்தத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது.

ஈ) \(x=0\) புள்ளியில் செயல்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது வரம்புகளைக் கண்டறியவும்:

\(y(+0)=\lim_(x\to+0)a^(1/x)=+\infty,\quad y(-0)=\lim_(x\to-0)a^(1 /x)=0.\)

எனவே, புள்ளியில் \(x=0\) செயல்பாடு வலதுபுறத்தில் இரண்டாவது வகையான இடைநிறுத்தத்தையும், இடதுபுறத்தில் தொடர்ச்சியையும் கொண்டுள்ளது.

இ) செயல்பாட்டின் ஒருபக்க வரம்புகளை \(x=0\) புள்ளியில் கண்டறியவும்:

\(y(+0)=\lim_(x\to+0)\operatorname(arctg)\frac(1)(x)=\frac(\pi)(2),\quad y(-0)=\ lim_(x\to-0)\operatorname(arctg)\frac(1)(x)=-\frac(\pi)(2).\)

எனவே, செயல்பாட்டின் இருபுறமும் \(x=0\) புள்ளியில் \(y=\operatorname(arctg)\frac(1)(x)\)குதிரை பந்தயம்

உங்கள் உலாவியில் Javascript முடக்கப்பட்டுள்ளது.
கணக்கீடுகளைச் செய்ய, நீங்கள் ActiveX கட்டுப்பாடுகளை இயக்க வேண்டும்!

இந்த பாடத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியை எவ்வாறு நிறுவுவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். வரம்புகளின் உதவியுடன் இதைச் செய்வோம், மற்றும் ஒரு பக்க - வலது மற்றும் இடது, அவை பயமாக இல்லை, அவை எழுதப்பட்டிருந்தாலும் கூட.

ஆனால் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி என்றால் என்ன? நாம் ஒரு கண்டிப்பான வரையறையைப் பெறும் வரை, காகிதத்திலிருந்து பென்சிலைத் தூக்காமல் வரையக்கூடிய ஒரு கோட்டை கற்பனை செய்வது எளிது. அத்தகைய கோடு வரையப்பட்டால், அது தொடர்ச்சியாக இருக்கும். இந்த வரி ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடம்.

வரைபட ரீதியாக, இந்த கட்டத்தில் அதன் வரைபடம் "உடைக்கவில்லை" என்றால், ஒரு செயல்பாடு ஒரு கட்டத்தில் தொடர்ந்து இருக்கும். அத்தகைய தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடம் கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

வரம்பு மூலம் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியைத் தீர்மானித்தல்.செயல்பாடு ஒரு புள்ளியில் தொடர்ந்து உள்ளது மூன்று நிபந்தனைகள்:

1. செயல்பாடு புள்ளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது.

பட்டியலிடப்பட்ட நிபந்தனைகளில் ஏதேனும் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், செயல்பாடு புள்ளியில் தொடர்ந்து இருக்காது. இந்த வழக்கில், செயல்பாடு ஒரு இடைநிறுத்தத்தை பாதிக்கிறது என்றும், வரைபடத்தில் குறுக்கிடப்பட்ட வரைபடத்தின் புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் இடைநிறுத்தப் புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்றும் அவர்கள் கூறுகிறார்கள். x=2 என்ற புள்ளியில் இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கும் அத்தகைய செயல்பாட்டின் வரைபடம் கீழே உள்ள படத்தில் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 1.செயல்பாடு f(x) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

இந்தச் செயல்பாடு அதன் கிளைகளின் ஒவ்வொரு எல்லைப் புள்ளிகளிலும், அதாவது புள்ளிகளில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் x = 0 , x = 1 , x = 3 ?

தீர்வு. ஒவ்வொரு எல்லைப் புள்ளியிலும் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சிக்கான மூன்று நிபந்தனைகளையும் நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம். முதல் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது, எதிலிருந்து செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளதுஒவ்வொரு எல்லைப் புள்ளிகளிலும் செயல்பாட்டின் வரையறையைப் பின்பற்றுகிறது. மீதமுள்ள இரண்டு நிபந்தனைகளை சரிபார்க்க இது உள்ளது.

புள்ளி x= 0 இந்த இடத்தில் இடது கை வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

வலது கை வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

xஇந்த புள்ளியை உள்ளடக்கிய செயல்பாட்டின் கிளைக்கு = 0 கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது இரண்டாவது கிளை. நாங்கள் அவற்றைக் காண்கிறோம்:

நாம் பார்க்க முடியும் என, செயல்பாட்டின் வரம்பு மற்றும் புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு x= 0 சமம். எனவே, செயல்பாடு புள்ளியில் தொடர்ந்து உள்ளது x = 0 .

புள்ளி x= 1 இந்த இடத்தில் இடது கை வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

வலது கை வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு மற்றும் மதிப்பு xஇந்த புள்ளியை உள்ளடக்கிய செயல்பாட்டின் கிளைக்கு = 1 கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும், அதாவது இரண்டாவது கிளை. நாங்கள் அவற்றைக் காண்கிறோம்:

ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு மற்றும் மதிப்பு x= 1 சமம். எனவே, செயல்பாடு புள்ளியில் தொடர்ந்து உள்ளது x = 1 .

புள்ளி x= 3 இந்த இடத்தில் இடது கை வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

வலது கை வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு மற்றும் மதிப்பு xஇந்த புள்ளியை உள்ளடக்கிய செயல்பாட்டின் கிளைக்கு = 3 கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும், அதாவது இரண்டாவது கிளை. நாங்கள் அவற்றைக் காண்கிறோம்:

ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு மற்றும் மதிப்பு x= 3 சமம். எனவே, செயல்பாடு புள்ளியில் தொடர்ந்து உள்ளது x = 3 .

முக்கிய முடிவு: இந்த செயல்பாடு ஒவ்வொரு எல்லைப் புள்ளியிலும் தொடர்கிறது.

ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியை நீங்களே நிறுவுங்கள், பின்னர் தீர்வைப் பாருங்கள்

ஒரு செயல்பாட்டில் தொடர்ச்சியான மாற்றம் தாவல்கள் இல்லாமல் படிப்படியான மாற்றம் என வரையறுக்கப்படுகிறது, இதில் வாதத்தில் ஒரு சிறிய மாற்றம் செயல்பாட்டில் சிறிய மாற்றத்தை ஏற்படுத்துகிறது.

செயல்பாட்டில் இந்த தொடர்ச்சியான மாற்றத்தை ஒரு உதாரணத்துடன் விளக்குவோம்.

மேசைக்கு மேலே ஒரு நூலில் ஒரு எடை தொங்கட்டும். இந்த சுமையின் செல்வாக்கின் கீழ், நூல் நீண்டுள்ளது, எனவே தூரம் எல்நூலின் இடைநீக்கப் புள்ளியில் இருந்து சுமை என்பது சுமையின் வெகுஜனத்தின் செயல்பாடாகும் மீ, அதாவது எல் = f(மீ) , மீ≥0 .

நீங்கள் சுமையின் வெகுஜனத்தை சற்று மாற்றினால், தூரம் எல்கொஞ்சம் மாறும்: சிறிய மாற்றங்கள் மீசிறிய மாற்றங்கள் ஒத்துப்போகின்றன எல். இருப்பினும், சுமையின் நிறை நூலின் இழுவிசை வலிமைக்கு அருகில் இருந்தால், சுமையின் வெகுஜனத்தில் சிறிது அதிகரிப்பு நூல் உடைந்து போகலாம்: தூரம் எல்திடீரென்று அதிகரிக்கும் மற்றும் இடைநீக்கம் புள்ளியில் இருந்து அட்டவணை மேற்பரப்புக்கு தூரத்திற்கு சமமாக மாறும். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் எல் = f(மீ) படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு பிரிவில், இந்த வரைபடம் ஒரு தொடர்ச்சியான (திடமான) கோடு, ஆனால் ஒரு கட்டத்தில் அது குறுக்கிடப்படுகிறது. இதன் விளைவாக இரண்டு கிளைகளைக் கொண்ட ஒரு வரைபடம் உள்ளது. தவிர அனைத்து புள்ளிகளிலும், செயல்பாடு எல் = f(மீ) தொடர்ச்சியாக உள்ளது, ஆனால் ஒரு கட்டத்தில் அது ஒரு இடைநிறுத்தத்தைக் கொண்டுள்ளது.

தொடர்ச்சிக்கான ஒரு செயல்பாட்டைப் படிப்பது ஒரு சுயாதீனமான பணியாக இருக்கலாம் அல்லது செயல்பாட்டின் முழுமையான ஆய்வு மற்றும் அதன் வரைபடத்தை உருவாக்கும் நிலைகளில் ஒன்றாக இருக்கலாம்.

ஒரு இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி

செயல்படட்டும் ஒய் = f(x) இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது] அ, பி[ மேலும் இந்த இடைவெளியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடர்கிறது. பின்னர் அது இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது ] அ, பி[ . படிவத்தின் இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் கருத்து ]-∞ இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது, பி[ , ]அ, + ∞[ , ]- ∞, + ∞[ . இப்போது செயல்பாட்டை விடுங்கள் ஒய் = f(x) இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டது [ அ, பி] . ஒரு இடைவெளிக்கும் பிரிவுக்கும் உள்ள வேறுபாடு: இடைவெளியின் எல்லைப் புள்ளிகள் இடைவெளியில் சேர்க்கப்படவில்லை, ஆனால் ஒரு பிரிவின் எல்லைப் புள்ளிகள் பிரிவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. இங்கே நாம் ஒரு பக்க தொடர்ச்சி என்று அழைக்கப்படுவதைக் குறிப்பிட வேண்டும்: புள்ளியில் அ, பிரிவில் மீதமுள்ளது [ அ, பி] , நாம் வலதுபுறம் மற்றும் புள்ளியில் இருந்து மட்டுமே அணுக முடியும் பி- இடதுபுறம் மட்டுமே. செயல்பாடு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் [ அ, பி] , இந்தப் பிரிவின் அனைத்து உட்புறப் புள்ளிகளிலும் இது தொடர்ச்சியாக இருந்தால், புள்ளியில் வலதுபுறத்தில் தொடர்கிறது அமற்றும் புள்ளியில் தொடர்ந்து விடப்படுகிறது பி.

தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் உதாரணம் எந்த அடிப்படை செயல்பாடுகளாக இருக்கலாம். ஒவ்வொரு அடிப்படை செயல்பாடும் அது வரையறுக்கப்பட்ட எந்த இடைவெளியிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாடுகள் மற்றும் எந்த இடைவெளியிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் [ அ, பி], செயல்பாடு இடைவெளியில் தொடர்ந்து இருக்கும் [ 0 , பி] , ஒரு புள்ளியைக் கொண்டிருக்காத எந்தப் பிரிவிலும் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும் அ = 2 .

எடுத்துக்காட்டு 4.தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள்.

தீர்வு. முதல் நிபந்தனையைப் பார்ப்போம். செயல்பாடு புள்ளிகளில் வரையறுக்கப்படவில்லை - 3 மற்றும் 3. முழு எண் கோட்டுடன் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சிக்கான நிபந்தனைகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று திருப்தி அடையவில்லை. எனவே, இந்த செயல்பாடு இடைவெளியில் தொடர்ந்து இருக்கும்

எடுத்துக்காட்டு 5.அளவுருவின் மதிப்பை தீர்மானிக்கவும் அமுழுவதும் தொடர்ந்து வரையறையின் களம்செயல்பாடு

தீர்வு.

வலது புற வரம்பை இங்கே காணலாம்:

வெளிப்படையாக, புள்ளியில் மதிப்பு x= 2 சமமாக இருக்க வேண்டும் கோடாரி :

அ = 1,5 .

எடுத்துக்காட்டு 6.எந்த அளவுரு மதிப்புகளில் தீர்மானிக்கவும் அமற்றும் பிமுழுவதும் தொடர்ந்து வரையறையின் களம்செயல்பாடு

தீர்வு.
புள்ளியில் செயல்பாட்டின் இடது பக்க வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எனவே, புள்ளியில் உள்ள மதிப்பு 1 ஆக இருக்க வேண்டும்:

புள்ளியில் இடது கை செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:

வெளிப்படையாக, ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு இதற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்:

பதில்: செயல்பாடு வரையறையின் முழு களத்திலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் போது அ = 1; பி = -3 .

தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் அடிப்படை பண்புகள்

கணிதம், முதலில், பல்வேறு இயக்க விதிகளைப் படிப்பதன் மூலம் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் கருத்துக்கு வந்தது. விண்வெளி மற்றும் நேரம் எல்லையற்றது, மற்றும் சார்பு, எடுத்துக்காட்டாக, பாதைகள் கள்அவ்வப்போது டி, சட்டத்தால் வெளிப்படுத்தப்பட்டது கள் = f(டி) , தொடர்ச்சியின் உதாரணம் தருகிறது செயல்பாடுகள் f(டி) . சூடான நீரின் வெப்பநிலையும் தொடர்ந்து மாறுகிறது; டி = f(டி) .

கணித பகுப்பாய்வில், தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளைக் கொண்ட சில பண்புகள் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த பண்புகளில் மிக முக்கியமானவற்றை முன்வைப்போம்.

1. ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு இடைவெளியின் முனைகளில் வெவ்வேறு குறிகளின் மதிப்புகளை எடுத்தால், இந்த இடைவெளியின் ஒரு கட்டத்தில் அது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான மதிப்பை எடுக்கும். மிகவும் முறையான அறிக்கையில், இந்த சொத்து முதல் போல்சானோ-காச்சி தேற்றம் எனப்படும் தேற்றத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

2. செயல்பாடு f(x), இடைவெளியில் தொடர்ந்து [ அ, பி], அனைத்தையும் ஏற்றுக்கொள்கிறார் இடைநிலை மதிப்புகள்இறுதி புள்ளிகளில் உள்ள மதிப்புகளுக்கு இடையில், அதாவது இடையே f(அ) மற்றும் f(பி) . மிகவும் முறையான அறிக்கையில், இந்த சொத்து இரண்டாவது போல்சானோ-காச்சி தேற்றம் எனப்படும் தேற்றத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு கட்டத்தில் தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டின் ஆய்வு ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட வழக்கமான திட்டத்தின் படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது, இது தொடர்ச்சியின் மூன்று நிபந்தனைகளை சரிபார்க்கிறது:

எடுத்துக்காட்டு 1

தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள். செயல்பாடு இடைநிறுத்தங்கள் இருந்தால், அவற்றின் தன்மையை தீர்மானிக்கவும். வரைபடத்தை இயக்கவும்.

தீர்வு:

1) செயல்பாடு வரையறுக்கப்படாத இடத்தில் மட்டுமே நோக்கத்தில் உள்ளது.

ஒரு பக்க வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் சமமானவை.

இதனால், அந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு நீக்கக்கூடிய இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கிறது.

இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் எப்படி இருக்கும்?

நான் எளிமைப்படுத்த விரும்புகிறேன் , மற்றும் ஒரு சாதாரண பரவளையத்தைப் பெறுவது போல் தெரிகிறது. ஆனால்அசல் செயல்பாடு புள்ளியில் வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே பின்வரும் பிரிவு தேவைப்படுகிறது:

வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

பதில்: செயல்பாடு நீக்கக்கூடிய இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கும் புள்ளியைத் தவிர முழு எண் கோட்டிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.

செயல்பாடு ஒரு நல்ல அல்லது மிகவும் நல்ல வழியில் மேலும் வரையறுக்கப்படலாம், ஆனால் நிபந்தனையின் படி இது தேவையில்லை.

இது தொலைதூர உதாரணம் என்கிறீர்களா? இல்லவே இல்லை. இது நடைமுறையில் டஜன் கணக்கான முறை நடந்துள்ளது. தளத்தின் அனைத்து பணிகளும் உண்மையான சுயாதீன வேலை மற்றும் சோதனைகளிலிருந்து வந்தவை.

எங்களுக்கு பிடித்த தொகுதிகளை அகற்றுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2

செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள் தொடர்ச்சிக்காக. செயல்பாடு இடைநிறுத்தங்கள் இருந்தால், அவற்றின் தன்மையைத் தீர்மானிக்கவும். வரைபடத்தை இயக்கவும்.

தீர்வு: சில காரணங்களால், மாணவர்கள் பயப்படுகிறார்கள் மற்றும் ஒரு தொகுதியுடன் செயல்பாடுகளை விரும்புவதில்லை, இருப்பினும் அவற்றில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பாடத்தில் இதுபோன்ற விஷயங்களை நாங்கள் ஏற்கனவே கொஞ்சம் தொட்டுள்ளோம். வரைபடங்களின் வடிவியல் மாற்றங்கள். தொகுதி எதிர்மறையாக இல்லாததால், இது பின்வருமாறு விரிவாக்கப்படுகிறது: , "ஆல்ஃபா" என்பது சில வெளிப்பாடு. இந்த வழக்கில், எங்கள் செயல்பாடு துண்டு துண்டாக எழுதப்பட வேண்டும்:

ஆனால் இரண்டு துண்டுகளின் பின்னங்களும் குறைக்கப்பட வேண்டும். குறைப்பு, முந்தைய எடுத்துக்காட்டில், விளைவுகள் இல்லாமல் நடக்காது. வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்வதால் அசல் செயல்பாடு புள்ளியில் வரையறுக்கப்படவில்லை. எனவே, கணினி கூடுதலாக நிபந்தனையை குறிப்பிட வேண்டும் , மற்றும் முதல் சமத்துவமின்மையை கடுமையாக்க வேண்டும்:

இப்போது மிகவும் பற்றி பயனுள்ள வரவேற்புதீர்வுகள்: வரைவில் பணியை முடிப்பதற்கு முன், ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவது சாதகமானது (நிபந்தனைகள் தேவையா இல்லையா என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல்). இது முதலாவதாக, தொடர்ச்சியின் புள்ளிகள் மற்றும் இடைநிறுத்தத்தின் புள்ளிகளை உடனடியாகக் காண உதவும், இரண்டாவதாக, ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளைக் கண்டறியும் போது 100% பிழைகளிலிருந்து உங்களைப் பாதுகாக்கும்.

வரைவோம். எங்கள் கணக்கீடுகளின்படி, புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் பரவளையத்தின் ஒரு பகுதியை வரைய வேண்டியது அவசியம் ( நீலம்), மற்றும் வலதுபுறத்தில் ஒரு பரவளையத்தின் (சிவப்பு) ஒரு பகுதி உள்ளது, அதே நேரத்தில் செயல்பாடு புள்ளியிலேயே வரையறுக்கப்படவில்லை:

சந்தேகம் இருந்தால், சில x மதிப்புகளை எடுத்து செயல்பாட்டில் செருகவும் (தொகுதி சாத்தியமான கழித்தல் அடையாளத்தை அழிக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க) மற்றும் வரைபடத்தை சரிபார்க்கவும்.

தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டை பகுப்பாய்வு ரீதியாக ஆராய்வோம்:

1) செயல்பாடு புள்ளியில் வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே அது தொடர்ச்சியாக இல்லை என்று உடனடியாக சொல்லலாம்.

2) இடைநிறுத்தத்தின் தன்மையை நிறுவுவோம், ஒரு பக்க வரம்புகளை கணக்கிடுகிறோம்:

ஒருபக்க வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் வேறுபட்டவை. இடைவேளை புள்ளியில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டதா இல்லையா என்பது முக்கியமில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

இப்போது எஞ்சியிருப்பது வரைவில் இருந்து வரைபடத்தை மாற்றுவது (இது ஆராய்ச்சியின் உதவியுடன் செய்யப்பட்டது ;-)) மற்றும் பணியை முடிக்க:

பதில்: ஒரு ஜம்ப் மூலம் முதல் வகையான இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கும் புள்ளியைத் தவிர முழு எண் கோட்டிலும் செயல்பாடு தொடர்கிறது.

சில சமயங்களில் அவர்களுக்கு இடைநிறுத்தம் தாவலின் கூடுதல் அறிகுறி தேவைப்படுகிறது. இது எளிமையாக கணக்கிடப்படுகிறது - வலது வரம்பிலிருந்து நீங்கள் இடது வரம்பை கழிக்க வேண்டும்: , அதாவது, இடைவேளையின் போது எங்கள் செயல்பாடு 2 அலகுகள் கீழே குதித்தது (கழித்தல் அடையாளம் நமக்குச் சொல்வது போல்).

எடுத்துக்காட்டு 3

செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள் தொடர்ச்சிக்காக. செயல்பாடு இடைநிறுத்தங்கள் இருந்தால், அவற்றின் தன்மையை தீர்மானிக்கவும். ஒரு வரைதல் செய்யுங்கள்.

என்பதற்கு இது ஒரு உதாரணம் சுதந்திரமான முடிவு, பாடத்தின் முடிவில் மாதிரி தீர்வு.

செயல்பாடு மூன்று பகுதிகளைக் கொண்டிருக்கும் போது, பணியின் மிகவும் பிரபலமான மற்றும் பரவலான பதிப்பிற்கு செல்லலாம்:

எடுத்துக்காட்டு 4

செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியை ஆராய்ந்து, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வரையவும்

தீர்வு: செயல்பாட்டின் மூன்று பகுதிகளும் தொடர்புடைய இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருப்பது வெளிப்படையானது, எனவே துண்டுகளுக்கு இடையில் "சந்தி" இன் இரண்டு புள்ளிகளை மட்டுமே சரிபார்க்க வேண்டும். முதலில், ஒரு வரைவு வரைவோம்; ஒரே விஷயம் என்னவென்றால், நமது ஒருமைப் புள்ளிகளை நாம் கவனமாகப் பின்பற்ற வேண்டும்: சமத்துவமின்மை காரணமாக, மதிப்பு நேர் கோட்டிற்கு (பச்சை புள்ளி) சொந்தமானது, மற்றும் சமத்துவமின்மை காரணமாக, மதிப்பு பரவளையத்திற்கு (சிவப்பு புள்ளி) சொந்தமானது:

சரி, கொள்கையளவில், எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது =) எஞ்சியிருப்பது முடிவை முறைப்படுத்துவதுதான். இரண்டு "இணைக்கும்" புள்ளிகளில் ஒவ்வொன்றிற்கும், 3 தொடர்ச்சி நிலைகளை நாங்கள் தரமாகச் சரிபார்க்கிறோம்:

நான்)

ஒருபக்க வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் வேறுபட்டவை.

வலது மற்றும் இடது வரம்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசமாக இடைநிறுத்தம் தாவலை கணக்கிடுவோம்:
, அதாவது, வரைபடம் ஒரு யூனிட்டை உயர்த்தியது.

II)தொடர்ச்சிக்கான புள்ளியை நாங்கள் ஆராய்வோம்

1) - செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது.

2) ஒரு பக்க வரம்புகளைக் கண்டறியவும்:

- ஒரு பக்க வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் சமமானவை, அதாவது பொதுவான வரம்பு உள்ளது.

இறுதி கட்டத்தில், வரைபடத்தை இறுதி பதிப்பிற்கு மாற்றுகிறோம், அதன் பிறகு இறுதி நாண் வைக்கிறோம்:

பதில்: செயல்பாடு முழு எண் கோட்டிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், அது ஒரு ஜம்ப் மூலம் முதல் வகையான இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கும் புள்ளியைத் தவிர.

எடுத்துக்காட்டு 5

தொடர்ச்சிக்கான ஒரு செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து அதன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும் .

இது சுயாதீன தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு, ஒரு குறுகிய தீர்வு மற்றும் பாடத்தின் முடிவில் சிக்கலின் தோராயமான மாதிரி.

ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டும், மற்றொன்று இடைநிறுத்தம் இருக்க வேண்டும் என்ற எண்ணத்தை ஒருவர் பெறலாம். நடைமுறையில், இது எப்போதும் இல்லை. மீதமுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளை புறக்கணிக்க வேண்டாம் - பல சுவாரஸ்யமான மற்றும் முக்கியமான அம்சங்கள் இருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 6

ஒரு செயல்பாடு வழங்கப்பட்டது . புள்ளிகளில் தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள். ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

தீர்வு: மீண்டும் உடனடியாக வரைவில் உள்ள வரைபடத்தை இயக்கவும்:

இந்த வரைபடத்தின் தனித்தன்மை என்னவென்றால், துண்டான செயல்பாடு abscissa அச்சின் சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. இந்தப் பகுதி இங்கு வரையப்பட்டுள்ளது பச்சை, மற்றும் ஒரு நோட்புக்கில் இது பொதுவாக தடிமனாக சிறப்பிக்கப்படுகிறது ஒரு எளிய பென்சிலுடன். மற்றும், நிச்சயமாக, எங்கள் ரேம்ஸ் பற்றி மறந்துவிடாதே: மதிப்பு தொடுகோடு கிளைக்கு (சிவப்பு புள்ளி) சொந்தமானது, மற்றும் மதிப்பு நேர் கோட்டிற்கு சொந்தமானது.

வரைபடத்திலிருந்து எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது - செயல்பாடு முழு எண் கோட்டிலும் தொடர்கிறது, எஞ்சியிருப்பது தீர்வை முறைப்படுத்துவது மட்டுமே, இது 3-4 ஒத்த எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பிறகு முழு ஆட்டோமேஷனுக்கு கொண்டு வரப்படுகிறது:

நான்)தொடர்ச்சிக்கான புள்ளியை நாங்கள் ஆராய்வோம்

2) ஒரு பக்க வரம்புகளை கணக்கிடுவோம்:

, அதாவது பொதுவான வரம்பு உள்ளது.

இங்கே ஒரு சிறிய வேடிக்கை நடந்தது. உண்மை என்னவென்றால், நான் நிறைய பொருட்களை உருவாக்கினேன் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்புகள் பற்றி, மற்றும் பல முறை நான் விரும்பினேன், ஆனால் பல முறை நான் ஒன்றை மறந்துவிட்டேன் எளிய கேள்வி. எனவே, நம்பமுடியாத விருப்பத்துடன், சிந்தனையை இழக்காமல் இருக்க என்னை கட்டாயப்படுத்தினேன் =) பெரும்பாலும், சில "டம்மீஸ்" வாசகர்கள் சந்தேகிக்கிறார்கள்: மாறிலியின் வரம்பு என்ன?மாறிலியின் வரம்பு மாறிலிக்கு சமம். இந்த வழக்கில், பூஜ்ஜியத்தின் வரம்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் (இடது கை வரம்பு).

3) - ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் இந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம்.

இவ்வாறு, ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் வரையறையின்படி ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாடு தொடர்கிறது.

II)தொடர்ச்சிக்கான புள்ளியை நாங்கள் ஆராய்வோம்

1) - செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது.

2) ஒரு பக்க வரம்புகளைக் கண்டறியவும்:

இங்கே, வலது கை வரம்பில், ஒற்றுமையின் வரம்பு ஒற்றுமைக்கு சமம்.

- ஒரு பொதுவான வரம்பு உள்ளது.

வழக்கம் போல், ஆராய்ச்சிக்குப் பிறகு, எங்கள் வரைபடத்தை இறுதி பதிப்பிற்கு மாற்றுவோம்.

பதில்: செயல்பாடு புள்ளிகளில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.

இந்த நிலையில், தொடர்ச்சிக்கான முழு செயல்பாட்டையும் படிப்பது பற்றி எங்களிடம் எதுவும் கேட்கப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், மேலும் இது சிறந்த கணித வடிவமாக கருதப்படுகிறது. துல்லியமான மற்றும் தெளிவானகேட்கப்பட்ட கேள்விக்கான பதில். மூலம், நிபந்தனைகள் நீங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கத் தேவையில்லை என்றால், அதை உருவாக்காமல் இருக்க உங்களுக்கு முழு உரிமையும் உள்ளது (பின்னர் ஆசிரியர் இதைச் செய்யும்படி கட்டாயப்படுத்தலாம்).

அதை நீங்களே தீர்க்க ஒரு சிறிய கணித "நாக்கு ட்விஸ்டர்":

எடுத்துக்காட்டு 7

ஒரு செயல்பாடு வழங்கப்பட்டது .

புள்ளிகளில் தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள். முறிப்பு புள்ளிகள் ஏதேனும் இருந்தால் வகைப்படுத்தவும். வரைபடத்தை இயக்கவும்.

எல்லா "சொற்களையும்" சரியாக "உச்சரிக்க" முயற்சிக்கவும் =) மேலும் வரைபடத்தை இன்னும் துல்லியமாக வரையவும், துல்லியம், அது எல்லா இடங்களிலும் மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது;-)

நீங்கள் நினைவில் வைத்துள்ளபடி, வரைபடத்தை உடனடியாக ஒரு வரைவாக முடிக்க நான் பரிந்துரைத்தேன், ஆனால் அவ்வப்போது நீங்கள் வரைபடம் எப்படி இருக்கும் என்பதை உடனடியாக கண்டுபிடிக்க முடியாத எடுத்துக்காட்டுகளை நீங்கள் காணலாம். எனவே, பல சந்தர்ப்பங்களில், முதலில் ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்பது சாதகமானது, பின்னர் மட்டுமே, ஆய்வின் அடிப்படையில், கிளைகளை சித்தரிக்கவும். இறுதி இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளில், சில ஒருதலைப்பட்ச வரம்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு நுட்பத்தையும் கற்றுக்கொள்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 8

தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து அதன் திட்ட வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

தீர்வு: மோசமான புள்ளிகள் வெளிப்படையானவை: (அடுக்குவெட்டின் வகுப்பினை பூஜ்ஜியமாகக் குறைக்கிறது) மற்றும் (முழுப் பகுதியின் வகுப்பினை பூஜ்ஜியமாகக் குறைக்கிறது). இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் எப்படி இருக்கும் என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை, அதாவது முதலில் சில ஆராய்ச்சிகளை மேற்கொள்வது நல்லது:

நான்)தொடர்ச்சிக்கான புள்ளியை நாங்கள் ஆராய்வோம்

2) ஒரு பக்க வரம்புகளைக் கண்டறியவும்:

தயவுசெய்து கவனிக்கவும் ஒரு பக்க வரம்பைக் கணக்கிடுவதற்கான பொதுவான முறை: "x" க்கு பதிலாக நாங்கள் மாற்றுகிறோம். வகுப்பில் எந்த குற்றமும் இல்லை: "கூடுதல்" "கழித்தல் பூஜ்யம்" ஒரு பாத்திரத்தை வகிக்காது, இதன் விளைவாக "நான்கு" ஆகும். ஆனால் நியூமரேட்டரில் ஒரு சிறிய த்ரில்லர் நடக்கிறது: முதலில் நாம் குறிகாட்டியின் வகுப்பில் -1 மற்றும் 1 ஐக் கொல்கிறோம், இதன் விளைவாக . அலகு வகுக்கப்படுகிறது , "கழித்தல் முடிவிலி" க்கு சமம், எனவே: . இறுதியாக, "இரண்டு" உள்ளே எல்லையற்ற பெரியது எதிர்மறை பட்டம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்: . அல்லது, இன்னும் குறிப்பிட்டதாக இருக்க வேண்டும்: .

வலது கை வரம்பை கணக்கிடுவோம்:

இங்கே - "X" க்கு பதிலாக நாங்கள் மாற்றுகிறோம் . வகுப்பில், "சேர்க்கை" மீண்டும் ஒரு பாத்திரத்தை வகிக்காது: . எண்ணில், முந்தைய வரம்பைப் போன்ற செயல்கள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன: எதிர் எண்களை அழித்து, ஒன்றைப் பிரிக்கிறோம். :

வலதுபுற வரம்பு எல்லையற்றது, அதாவது செயல்பாடு புள்ளியில் 2வது வகையான இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கிறது.

II)தொடர்ச்சிக்கான புள்ளியை நாங்கள் ஆராய்வோம்

1) இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை.

2) இடது பக்க வரம்பை கணக்கிடுவோம்:

முறை ஒன்றுதான்: செயல்பாட்டில் "X" ஐ மாற்றுகிறோம். எண்ணில் சுவாரஸ்யமான எதுவும் இல்லை - இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட நேர்மறை எண்ணாக மாறிவிடும். வகுப்பில் நாம் அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, "மூன்று" ஐ அகற்றி, "சேர்க்கை" ஒரு தீர்க்கமான பாத்திரத்தை வகிக்கிறது.

இதன் விளைவாக, இறுதி நேர்மறை எண், வகுத்தல் எண்ணற்ற நேர்மறை எண், "பிளஸ் இன்ஃபினிட்டி" கொடுக்கிறது: .

வலது கை வரம்பு ஒரு இரட்டை சகோதரனைப் போன்றது, இது வகுப்பில் தோன்றும் ஒரே விதிவிலக்கு எண்ணற்ற எதிர்மறை எண்:

ஒரு பக்க வரம்புகள் எல்லையற்றவை, அதாவது செயல்பாடு புள்ளியில் 2வது வகையான இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கிறது.

எனவே, எங்களிடம் இரண்டு இடைவெளி புள்ளிகள் உள்ளன, மேலும், வரைபடத்தின் மூன்று கிளைகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு கிளைக்கும், ஒரு புள்ளிக்கு-புள்ளி கட்டுமானத்தை மேற்கொள்வது நல்லது, அதாவது. பல "x" மதிப்புகளை எடுத்து அவற்றை மாற்றவும். நிபந்தனை ஒரு திட்ட வரைபடத்தை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க, மேலும் அத்தகைய தளர்வு இயற்கையானது சுயமாக உருவாக்கியது. நான் ஒரு நிரலைப் பயன்படுத்தி வரைபடங்களை உருவாக்குகிறேன், அதனால் எனக்கு அத்தகைய சிரமங்கள் இல்லை, இங்கே மிகவும் துல்லியமான படம்:

நேரடியாக உள்ளன செங்குத்து அறிகுறிகள்இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு.

பதில்: செயல்பாடு 2 வது வகையான இடைநிறுத்தங்களை அனுபவிக்கும் புள்ளிகளைத் தவிர முழு எண் கோட்டிலும் தொடர்ந்து இருக்கும்.

மேலும் எளிய செயல்பாடுசுயாதீன தீர்வுக்கு:

எடுத்துக்காட்டு 9

தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து, ஒரு திட்டவட்டமான வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

முடிவில் ஒரு தீர்வின் தோராயமான உதாரணம் கவனிக்கப்படாமல் தவழ்ந்தது.

விரைவில் சந்திப்போம்!

தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 3:தீர்வு : செயல்பாட்டை மாற்றவும்: . தொகுதி வெளிப்படுத்தல் விதியை கருத்தில் கொண்டு மற்றும் உண்மை , நாங்கள் செயல்பாட்டை துண்டு வடிவில் மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டை ஆராய்வோம்.

1) செயல்பாடு புள்ளியில் வரையறுக்கப்படவில்லை .

ஒருபக்க வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் வேறுபட்டவை. . வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

பதில்: புள்ளியைத் தவிர முழு எண் கோட்டிலும் செயல்பாடு தொடர்கிறது , இது ஒரு ஜம்ப் மூலம் முதல் வகையான இடைநிறுத்தத்தை அனுபவிக்கிறது. ஜம்ப் கேப்: (இரண்டு அலகுகள் வரை).

எடுத்துக்காட்டு 5:தீர்வு : செயல்பாட்டின் மூன்று பகுதிகள் ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.
நான்)
1)

2) ஒரு பக்க வரம்புகளை கணக்கிடுவோம்:

, அதாவது பொதுவான வரம்பு உள்ளது.
3) - ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் இந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம்.
எனவே செயல்பாடு ஒரு புள்ளியில் தொடர்ந்து ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியை வரையறுப்பதன் மூலம்.
II) தொடர்ச்சிக்கான புள்ளியை நாங்கள் ஆராய்வோம்

1) - செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது. செயல்பாட்டில் 2வது வகையான இடைநிறுத்தம் ஏற்படுகிறது

ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைனை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

எங்காவது ஏதாவது காணவில்லை என்றால், எங்கோ ஏதோ இருக்கிறது என்று அர்த்தம்

"செயல்பாடுகள் மற்றும் வரைபடங்கள்" பகுதியைப் பற்றிய எங்கள் ஆய்வைத் தொடர்கிறோம், எங்கள் பயணத்தின் அடுத்த நிலையம் செயல்பாட்டு டொமைன். இந்த கருத்தின் செயலில் விவாதம் முதல் பாடத்தில் தொடங்கியது செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் பற்றி, நான் அடிப்படை செயல்பாடுகள் மற்றும், குறிப்பாக, வரையறையின் களங்களைப் பார்த்தேன். எனவே, டம்மீஸ் தலைப்பின் அடிப்படைகளுடன் தொடங்க பரிந்துரைக்கிறேன், ஏனெனில் நான் மீண்டும் சில அடிப்படை புள்ளிகளில் வசிக்க மாட்டேன்.

முக்கிய செயல்பாடுகளின் வரையறையின் களங்களை வாசகருக்குத் தெரியும் என்று கருதப்படுகிறது: நேரியல், இருபடி, கன செயல்பாடு, பல்லுறுப்புக்கோவைகள், அடுக்கு, மடக்கை, சைன், கொசைன். அவை அன்று வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. தொடுகோடுகள், ஆர்க்சைன்கள், அப்படி இருக்கட்டும், நான் உன்னை மன்னிக்கிறேன் =) அரிதான வரைபடங்கள் உடனடியாக நினைவில் இல்லை.

வரையறையின் நோக்கம் ஒரு எளிய விஷயமாகத் தோன்றுகிறது, மேலும் ஒரு தர்க்கரீதியான கேள்வி எழுகிறது: கட்டுரை எதைப் பற்றியதாக இருக்கும்? அன்று இந்த பாடம்ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டறிவதில் பொதுவான சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்கிறேன். மேலும், நாங்கள் மீண்டும் செய்வோம் ஒரு மாறியுடன் ஏற்றத்தாழ்வுகள், உயர் கணிதத்தின் பிற சிக்கல்களிலும் தீர்வுத் திறன்கள் தேவைப்படும். பொருள், மூலம், அனைத்து பள்ளி பொருள், எனவே இது மாணவர்களுக்கு மட்டுமல்ல, மாணவர்களுக்கும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். தகவல், நிச்சயமாக, கலைக்களஞ்சியமாக பாசாங்கு செய்யவில்லை, ஆனால் இங்கே "இறந்த" எடுத்துக்காட்டுகள் இல்லை, ஆனால் வறுத்த கஷ்கொட்டை, இது உண்மையான நடைமுறை வேலைகளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது.

தலைப்பில் ஒரு விரைவான முழுக்குடன் ஆரம்பிக்கலாம். முக்கிய விஷயத்தைப் பற்றி சுருக்கமாக: நாம் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டைப் பற்றி பேசுகிறோம். அதன் வரையறையின் களம் "x" என்பதன் பல அர்த்தங்கள், எதற்காக உள்ளன"வீரர்கள்" என்பதன் அர்த்தங்கள். ஒரு அனுமான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் இடைவெளிகளின் ஒன்றியம்:
(மறந்தவர்களுக்கு: - ஒருங்கிணைப்பு ஐகான்). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நீங்கள் இடைவெளியில் இருந்து "x" இன் ஏதேனும் மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டால், அல்லது இலிருந்து அல்லது இலிருந்து, அத்தகைய ஒவ்வொரு "x" க்கும் ஒரு மதிப்பு "y" இருக்கும்.

தோராயமாகச் சொன்னால், வரையறையின் டொமைன் இருக்கும் இடத்தில், செயல்பாட்டின் வரைபடம் உள்ளது. ஆனால் அரை இடைவெளி மற்றும் "tse" புள்ளி ஆகியவை வரையறை பகுதியில் சேர்க்கப்படவில்லை, எனவே அங்கு வரைபடம் இல்லை.

ஆம், முதல் பத்திகளின் சொற்களஞ்சியம் மற்றும்/அல்லது உள்ளடக்கத்திலிருந்து எதுவும் தெளிவாக இல்லை என்றால், கட்டுரைக்குத் திரும்புவது நல்லது. அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள்.