ஆன்லைனில் வேறுபட்ட கால்குலஸைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள். ஒரு செயல்பாட்டைப் படிப்பதற்கும் வரைபடத்தைத் திட்டமிடுவதற்கும் பொதுவான திட்டம்

செயல்பாடுகளைப் படிக்கும்போது மற்றும் அவற்றின் வரைபடங்களை உருவாக்கும்போது குறிப்பு புள்ளிகள் சிறப்பியல்பு புள்ளிகள் - இடைநிறுத்தம், தீவிரம், ஊடுருவல், ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் வெட்டும் புள்ளிகள். வேறுபட்ட கால்குலஸைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் நிறுவலாம் சிறப்பியல்பு அம்சங்கள்செயல்பாடுகளில் மாற்றங்கள்: அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவு, அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம், வரைபடத்தின் குவிவு மற்றும் குழிவு திசை, அறிகுறிகளின் இருப்பு.

செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் ஒரு ஓவியத்தை, அறிகுறிகள் மற்றும் தீவிரப் புள்ளிகளைக் கண்டறிந்த பிறகு (மற்றும் வேண்டும்) வரையலாம், மேலும் ஆய்வு முன்னேறும்போது செயல்பாட்டின் ஆய்வின் சுருக்க அட்டவணையை நிரப்புவது வசதியானது.

பின்வரும் செயல்பாடு ஆய்வு திட்டம் பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுகிறது.

1.வரையறையின் களம், தொடர்ச்சியின் இடைவெளிகள் மற்றும் செயல்பாட்டின் முறிவுப் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்.

2.சமநிலை அல்லது ஒற்றைப்படைத்தன்மைக்கான செயல்பாட்டை ஆராயவும் (வரைபடத்தின் அச்சு அல்லது மைய சமச்சீர்நிலை.

3.அறிகுறிகளைக் கண்டறியவும் (செங்குத்து, கிடைமட்ட அல்லது சாய்ந்த).

4.செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகள், அதன் உச்சநிலை புள்ளிகளைக் கண்டறிந்து படிக்கவும்.

5.வளைவின் குவிவு மற்றும் குழிவு இடைவெளிகள், அதன் ஊடுருவல் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்.

6.ஆய அச்சுகள் இருந்தால், வளைவின் வெட்டுப்புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்.

7.ஆய்வின் சுருக்க அட்டவணையை தொகுக்கவும்.

8.மேலே விவரிக்கப்பட்ட புள்ளிகளின்படி மேற்கொள்ளப்படும் செயல்பாட்டின் ஆய்வை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, ஒரு வரைபடம் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது.

உதாரணம்.செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள்

மற்றும் அதன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

7. செயல்பாட்டைப் படிப்பதற்கான ஒரு சுருக்க அட்டவணையை தொகுக்கலாம், அங்கு நாம் அனைத்து சிறப்பியல்பு புள்ளிகளையும் அவற்றுக்கிடையேயான இடைவெளிகளையும் உள்ளிடுவோம். செயல்பாட்டின் சமநிலையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, பின்வரும் அட்டவணையைப் பெறுகிறோம்:

எங்களுடன் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை ஆராய்ந்து உருவாக்க இன்று உங்களை அழைக்கிறோம். இந்தக் கட்டுரையை கவனமாகப் படித்த பிறகு, இந்த வகையான பணியை முடிக்க நீங்கள் நீண்ட நேரம் வியர்க்க வேண்டியதில்லை. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் படிப்பதும் கட்டமைப்பதும் எளிதானது அல்ல, இது அதிகபட்ச கவனமும் கணக்கீடுகளின் துல்லியமும் தேவைப்படும் ஒரு பெரிய வேலை. பொருளைப் புரிந்துகொள்வதை எளிதாக்க, அதே செயல்பாட்டைப் படிப்படியாகப் படிப்போம் மற்றும் எங்கள் எல்லா செயல்களையும் கணக்கீடுகளையும் விளக்குவோம். கணிதத்தின் அற்புதமான மற்றும் கண்கவர் உலகத்திற்கு வரவேற்கிறோம்! போகலாம்!

வரையறையின் களம்

ஒரு செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து வரைபடமாக்க, நீங்கள் பல வரையறைகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். செயல்பாடு என்பது கணிதத்தின் முக்கிய (அடிப்படை) கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். மாற்றங்களின் போது பல மாறிகளுக்கு (இரண்டு, மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) சார்புநிலையை இது பிரதிபலிக்கிறது. செயல்பாடு தொகுப்புகளின் சார்புநிலையையும் காட்டுகிறது.

ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான மாற்றத்தைக் கொண்ட இரண்டு மாறிகள் உள்ளன என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். எனவே, y என்பது x இன் செயல்பாடாகும், இரண்டாவது மாறியின் ஒவ்வொரு மதிப்பும் இரண்டின் ஒரு மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கும். இந்த வழக்கில், மாறி y சார்புடையது, மேலும் இது ஒரு செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. x மற்றும் y மாறிகள் இந்த சார்புநிலையின் அதிக தெளிவுக்காக, செயல்பாட்டின் வரைபடம் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது என்று சொல்வது வழக்கம். செயல்பாட்டின் வரைபடம் என்றால் என்ன? இது புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும் ஒருங்கிணைப்பு விமானம், ஒவ்வொரு x மதிப்பும் ஒரு y மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கும். வரைபடங்கள் வேறுபட்டிருக்கலாம் - நேர்கோடு, ஹைபர்போலா, பரவளைய, சைன் அலை மற்றும் பல.

ஆராய்ச்சி இல்லாமல் ஒரு செயல்பாட்டை வரைபடமாக்குவது சாத்தியமில்லை. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை எவ்வாறு ஆராய்ச்சி செய்வது மற்றும் உருவாக்குவது என்பதை இன்று கற்றுக்கொள்வோம். படிப்பின் போது குறிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது மிகவும் அவசியம். இது பணியைச் சமாளிக்க மிகவும் எளிதாக்கும். மிகவும் வசதியான ஆராய்ச்சி திட்டம்:

1. வரையறையின் நோக்கம்.
2. தொடர்ச்சி.
3. சம அல்லது ஒற்றைப்படை.
4. கால இடைவெளி.
5. அறிகுறிகள்
6. பூஜ்ஜியங்கள்.
7. நிலையான அடையாளம்.
8. அதிகரித்தும் குறையும்.
9. உச்சநிலைகள்.
10. குவிவு மற்றும் குழிவு.

முதல் புள்ளியுடன் ஆரம்பிக்கலாம். வரையறையின் டொமைனைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது, நமது செயல்பாடு எந்த இடைவெளியில் உள்ளது: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). எங்கள் விஷயத்தில், x இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் செயல்பாடு உள்ளது, அதாவது, வரையறையின் டொமைன் R க்கு சமம். இதைப் பின்வருமாறு எழுதலாம் xÎR.

தொடர்ச்சி

இப்போது நாம் இடைநிறுத்தம் செயல்பாட்டை ஆராய்வோம். கணிதத்தில், "தொடர்ச்சி" என்ற சொல் இயக்க விதிகளின் ஆய்வின் விளைவாக தோன்றியது. எல்லையற்றது என்றால் என்ன? இடம், நேரம், சில சார்புகள் (இயக்கச் சிக்கல்களில் S மற்றும் t மாறிகள் சார்ந்திருப்பது ஒரு எடுத்துக்காட்டு), சூடான பொருளின் வெப்பநிலை (தண்ணீர், வறுக்கப்படுகிறது பான், தெர்மோமீட்டர் போன்றவை), ஒரு தொடர்ச்சியான வரி (அதாவது ஒன்று தாள் பென்சிலில் இருந்து தூக்காமல் வரையலாம்).

ஒரு வரைபடம் சில புள்ளியில் உடைக்கவில்லை என்றால் அது தொடர்ச்சியாகக் கருதப்படுகிறது. மிகவும் ஒன்று விளக்க எடுத்துக்காட்டுகள்அத்தகைய வரைபடம் ஒரு சைனூசாய்டு ஆகும், இது இந்த பிரிவில் உள்ள படத்தில் நீங்கள் காணலாம். பல நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், ஒரு செயல்பாடு சில புள்ளி x0 இல் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்:

• ஒரு செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது;
• ஒரு புள்ளியில் வலது மற்றும் இடது வரம்புகள் சமம்;
• வரம்பு x0 புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம்.

குறைந்தபட்சம் ஒரு நிபந்தனையாவது பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், செயல்பாடு தோல்வியடையும் என்று கூறப்படுகிறது. மற்றும் செயல்பாடு உடைக்கும் புள்ளிகள் பொதுவாக முறிவு புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வரைபடமாக காட்டப்படும் போது "உடைந்துவிடும்" செயல்பாட்டின் உதாரணம்: y=(x+4)/(x-3). மேலும், y புள்ளி x = 3 இல் இல்லை (பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க இயலாது என்பதால்).

நாம் படிக்கும் செயல்பாட்டில் (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) வரைபடம் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் என்பதால், அனைத்தும் எளிமையானதாக மாறியது.

சம, ஒற்றைப்படை

இப்போது சமநிலைக்கான செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள். முதலில், ஒரு சிறிய கோட்பாடு. x (மதிப்பு வரம்பில் இருந்து) மாறியின் எந்த மதிப்பிற்கும் f(-x)=f(x) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு சமச் சார்பு. எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு:

• தொகுதி x (வரைபடம் ஒரு daw போல் தெரிகிறது, வரைபடத்தின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது காலாண்டுகளின் இருசமப் பிரிவு);
• x சதுரம் (பரவளை);
• கொசைன் x (கொசைன்).

இந்த வரைபடங்கள் அனைத்தும் y-அச்சு (அதாவது, y-அச்சு) தொடர்பாக பார்க்கும்போது சமச்சீரானவை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

அப்படியானால் ஒற்றைப்படை செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது? நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் செயல்பாடுகள் இவை: x மாறியின் எந்த மதிப்பிற்கும் f(-x)=-f(x). எடுத்துக்காட்டுகள்:

• ஹைபர்போலா;
• கன பரவளையம்;
• சைனூசாய்டு;
• தொடுகோடு மற்றும் பல.

இந்த செயல்பாடுகள் புள்ளி (0:0), அதாவது தோற்றம் பற்றி சமச்சீர் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். கட்டுரையின் இந்த பிரிவில் கூறப்பட்டவற்றின் அடிப்படையில், கூட மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுசொத்தை கொண்டிருக்க வேண்டும்: x என்பது வரையறையின் தொகுப்பிற்குரியது மற்றும் -x கூட.

சமநிலைக்கான செயல்பாட்டை ஆராய்வோம். அவள் எந்த விளக்கத்திற்கும் பொருந்தவில்லை என்பதை நாம் காணலாம். எனவே, எங்கள் செயல்பாடு இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல.

அறிகுறிகள்

ஒரு வரையறையுடன் ஆரம்பிக்கலாம். ஒரு அசிம்டோட் என்பது வரைபடத்திற்கு முடிந்தவரை நெருக்கமாக இருக்கும் ஒரு வளைவு ஆகும், அதாவது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து தூரம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். மொத்தத்தில், மூன்று வகையான அறிகுறிகள் உள்ளன:

• செங்குத்து, அதாவது y-அச்சுக்கு இணையாக;
• கிடைமட்ட, அதாவது x அச்சுக்கு இணையாக;
• சாய்ந்திருக்கும்.

முதல் வகையைப் பொறுத்தவரை, இந்த வரிகள் சில புள்ளிகளில் பார்க்கப்பட வேண்டும்:

• இடைவெளி;
• வரையறையின் டொமைனின் முனைகள்.

எங்கள் விஷயத்தில், செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது, மற்றும் வரையறையின் டொமைன் R க்கு சமமாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, செங்குத்து அறிகுறிகள் எதுவும் இல்லை.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு கிடைமட்ட அறிகுறியைக் கொண்டுள்ளது, இது பின்வரும் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்கிறது: x முடிவிலி அல்லது கழித்தல் முடிவிலிக்கு முனைகிறது மற்றும் வரம்பு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்கு சமமாக இருந்தால் (எடுத்துக்காட்டாக, a). இந்த வழக்கில், y=a என்பது கிடைமட்ட அறிகுறியாகும். நாம் படிக்கும் செயல்பாட்டில் கிடைமட்ட அறிகுறிகள் எதுவும் இல்லை.

இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் மட்டுமே சாய்ந்த அறிகுறி இருக்கும்:

• லிம்(f(x))/x=k;
• லிம் f(x)-kx=b.

பின்னர் அதை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்: y=kx+b. மீண்டும், எங்கள் விஷயத்தில் சாய்ந்த அறிகுறிகள்இல்லை

செயல்பாடு பூஜ்ஜியங்கள்

அடுத்த படியானது பூஜ்ஜியங்களுக்கான செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை ஆராய்வது. ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிவதோடு தொடர்புடைய பணியானது, ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் படிக்கும் மற்றும் கட்டமைக்கும் போது மட்டுமல்ல, ஒரு சுயாதீனமான பணியாகவும், ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழியாகவும் நிகழ்கிறது என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டியது அவசியம். நீங்கள் வரைபடத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிய வேண்டும் அல்லது கணிதக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

இந்த மதிப்புகளைக் கண்டறிவது செயல்பாட்டை மிகவும் துல்லியமாக வரைபடமாக்க உதவும். நாம் பேசினால் எளிய மொழியில், செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியம் என்பது y = 0 என்ற மாறி x இன் மதிப்பாகும். வரைபடத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களை நீங்கள் தேடுகிறீர்கள் என்றால், வரைபடம் x- அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளுக்கு நீங்கள் கவனம் செலுத்த வேண்டும்.

செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிய, பின்வரும் சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும்: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. தேவையான கணக்கீடுகளைச் செய்த பிறகு, பின்வரும் பதிலைப் பெறுகிறோம்:

நிலையான அடையாளம்

ஒரு செயல்பாட்டின் (வரைபடம்) ஆராய்ச்சி மற்றும் கட்டுமானத்தின் அடுத்த கட்டம் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகளைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். இதன் பொருள், செயல்பாடு எந்த இடைவெளியில் நேர்மறை மதிப்பை எடுக்கும் மற்றும் எந்த இடைவெளியில் எதிர்மறை மதிப்பை எடுக்கும் என்பதை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும். கடைசி பகுதியில் காணப்படும் பூஜ்ஜிய செயல்பாடுகள் இதைச் செய்ய உதவும். எனவே, நாம் ஒரு நேர்கோட்டை உருவாக்க வேண்டும் (வரைபடத்திலிருந்து தனித்தனியாக) மற்றும் செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களை சரியான வரிசையில் சிறியது முதல் பெரியது வரை விநியோகிக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் இடைவெளிகளில் எது “+” அடையாளம் மற்றும் “-” உள்ளது என்பதை இப்போது நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

எங்கள் விஷயத்தில், செயல்பாடு இடைவெளிகளில் நேர்மறையான மதிப்பை எடுக்கும்:

• 1 முதல் 4 வரை;
• 9 முதல் முடிவிலி வரை.

எதிர்மறை மதிப்பு:

• கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து 1 வரை;
• 4 முதல் 9 வரை.

இதை தீர்மானிக்க மிகவும் எளிதானது. இடைவெளியில் இருந்து எந்த எண்ணையும் செயல்பாட்டிற்கு மாற்றவும் மற்றும் பதில் எந்த அடையாளமாக மாறுகிறது என்பதைப் பார்க்கவும் (கழித்தல் அல்லது கூட்டல்).

செயல்பாடுகளை அதிகரித்தல் மற்றும் குறைத்தல்

ஒரு செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து கட்டமைக்க, வரைபடம் எங்கு அதிகரிக்கும் (Oy அச்சில் மேலே செல்லவும்) மற்றும் அது எங்கு விழும் (y- அச்சில் கீழே வலம் வரும்) என்பதை நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

x மாறியின் பெரிய மதிப்பு y இன் பெரிய மதிப்புடன் ஒத்துப்போனால் மட்டுமே ஒரு செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது. அதாவது, x2 x1 ஐ விட பெரியது, மற்றும் f(x2) f(x1) ஐ விட பெரியது. மேலும் குறையும் செயல்பாட்டுடன் முற்றிலும் எதிர் நிகழ்வை நாம் கவனிக்கிறோம் (அதிக x, குறைவான y). அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்க, நீங்கள் பின்வருவனவற்றைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

• வரையறையின் டொமைன் (எங்களிடம் ஏற்கனவே உள்ளது);
• வழித்தோன்றல் (எங்கள் வழக்கில்: 1/3(3x^2-28x+49);
• 1/3(3x^2-28x+49)=0 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

கணக்கீடுகளுக்குப் பிறகு, முடிவைப் பெறுகிறோம்:

நாம் பெறுகிறோம்: செயல்பாடு கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து 7/3 மற்றும் 7 முதல் முடிவிலி வரை இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறது மற்றும் 7/3 முதல் 7 வரை இடைவெளியில் குறைகிறது.

உச்சநிலைகள்

ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்பாடு y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) தொடர்ச்சியானது மற்றும் x மாறியின் எந்த மதிப்பிற்கும் உள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சத்தை தீவிர புள்ளி காட்டுகிறது. எங்கள் விஷயத்தில் எதுவும் இல்லை, இது கட்டுமான பணியை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது. இல்லையெனில், அவை வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம். கண்டுபிடிக்கப்பட்டதும், அவற்றை விளக்கப்படத்தில் குறிக்க மறக்காதீர்கள்.

குவிவு மற்றும் குழிவு

y(x) செயல்பாட்டை நாங்கள் தொடர்ந்து ஆராய்வோம். இப்போது நாம் அதை குவிவு மற்றும் குழிவுத்தன்மையை சரிபார்க்க வேண்டும். இந்த கருத்துகளின் வரையறைகளை புரிந்துகொள்வது மிகவும் கடினம், எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி எல்லாவற்றையும் பகுப்பாய்வு செய்வது நல்லது. சோதனைக்கு: ஒரு செயல்பாடு குறையாத செயல்பாடாக இருந்தால் குவிந்திருக்கும். ஒப்புக்கொள், இது புரிந்துகொள்ள முடியாதது!

இரண்டாவது வரிசை செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நாம் பெறுகிறோம்: y=1/3(6x-28). இப்போது வலது பக்கத்தை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம். பதில்: x=14/3. ஊடுருவல் புள்ளியைக் கண்டறிந்தோம், அதாவது, வரைபடமானது குவிவிலிருந்து குழிவு அல்லது நேர்மாறாக மாறும் இடம். மைனஸ் முடிவிலியிலிருந்து 14/3 வரையிலான இடைவெளியில் செயல்பாடு குவிந்ததாகவும், 14/3 முதல் பிளஸ் இன்ஃபினிட்டி வரை குழிவானதாகவும் இருக்கும். விளக்கப்படத்தில் உள்ள ஊடுருவல் புள்ளி மென்மையாகவும் மென்மையாகவும் இருக்க வேண்டும் என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், இல்லை கூர்மையான மூலைகள்இருக்கக்கூடாது.

கூடுதல் புள்ளிகளை வரையறுத்தல்

செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை ஆராய்ந்து உருவாக்குவதே எங்கள் பணி. நாங்கள் ஆய்வை முடித்துவிட்டோம்; செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவது இப்போது கடினம் அல்ல. ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் ஒரு வளைவு அல்லது நேர் கோட்டின் மிகவும் துல்லியமான மற்றும் விரிவான இனப்பெருக்கம் செய்ய, நீங்கள் பல துணை புள்ளிகளைக் காணலாம். அவர்கள் கணக்கிட மிகவும் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக, நாம் x=3 ஐ எடுத்து, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, y=4 ஐக் கண்டுபிடிப்போம். அல்லது x=5, மற்றும் y=-5 மற்றும் பல. கட்டுமானத்திற்கு தேவையான கூடுதல் புள்ளிகளை நீங்கள் எடுக்கலாம். அவற்றில் குறைந்தது 3-5 காணப்படுகின்றன.

ஒரு வரைபடத்தை வரைதல்

செயல்பாட்டை (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y பற்றி ஆராய வேண்டும். கணக்கீடுகளின் போது தேவையான அனைத்து மதிப்பெண்களும் ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் செய்யப்பட்டன. செய்ய வேண்டியது ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதுதான், அதாவது அனைத்து புள்ளிகளையும் இணைக்க வேண்டும். புள்ளிகளை இணைப்பது மென்மையாகவும் துல்லியமாகவும் இருக்க வேண்டும், இது திறமையின் விஷயம் - ஒரு சிறிய பயிற்சி மற்றும் உங்கள் அட்டவணை சரியாக இருக்கும்.

செயல்பாட்டை முழுமையாக ஆய்வு செய்து அதன் வரைபடத்தை உருவாக்க, பின்வரும் திட்டம் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது:
A) வரையறையின் களத்தைக் கண்டறியவும், முறிவு புள்ளிகள்; இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளுக்கு அருகில் ஒரு செயல்பாட்டின் நடத்தையை ஆராயுங்கள் (இந்த புள்ளிகளில் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் செயல்பாட்டின் வரம்புகளைக் கண்டறியவும்). செங்குத்து அறிகுறிகளைக் குறிக்கவும்.
B) ஒரு செயல்பாடு சமமா அல்லது ஒற்றைப்படையா என்பதைத் தீர்மானித்து, சமச்சீர் உள்ளதா என்று முடிவு செய்யுங்கள். என்றால், செயல்பாடு OY அச்சில் சமமாகவும் சமச்சீராகவும் இருக்கும்; செயல்பாடு ஒற்றைப்படை, தோற்றம் பற்றி சமச்சீர் இருக்கும் போது; மற்றும் ஒரு செயல்பாடு என்றால் பொதுவான பார்வை.
C) OY மற்றும் OX ஆகிய ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் செயல்பாட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டறியவும் (முடிந்தால்), செயல்பாட்டின் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்கவும். ஒரு செயல்பாட்டின் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகளின் எல்லைகள், செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் புள்ளிகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (செயல்பாடு பூஜ்ஜியங்கள்) அல்லது இல்லாதது மற்றும் இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனின் எல்லைகள். செயல்பாட்டின் வரைபடம் OX அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ள இடைவெளிகளில், மற்றும் எங்கே - இந்த அச்சுக்கு கீழே.
D) செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிந்து, அதன் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் நிலையான குறியின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்கவும். செயல்பாடு அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் இடைவெளியில். எக்ஸ்ட்ரீமா (செயல்பாடு மற்றும் வழித்தோன்றல் இருக்கும் புள்ளிகள் மற்றும் அதைக் கடந்து செல்லும் போது அடையாளத்தை மாற்றும் புள்ளிகள். குறி கூட்டலில் இருந்து மைனஸுக்கு மாறினால், இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகபட்சமாக இருக்கும், மேலும் மைனஸில் இருந்து கூட்டாக இருந்தால் , பின்னர் குறைந்தபட்சம்). தீவிர புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்.
D) இரண்டாவது வழித்தோன்றல், அதன் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் நிலையான குறியின் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும். எங்கே இடைவெளியில்< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) சாய்ந்த (கிடைமட்ட) அறிகுறிகளைக் கண்டறியவும், அவற்றின் சமன்பாடுகள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன ; எங்கே
.
மணிக்கு செயல்பாட்டின் வரைபடம் இரண்டு சாய்ந்த அறிகுறிகளைக் கொண்டிருக்கும், மேலும் x இன் ஒவ்வொரு மதிப்பும் b இன் இரண்டு மதிப்புகளுடன் ஒத்திருக்கும்.
ஜி) வரைபடத்தை தெளிவுபடுத்த கூடுதல் புள்ளிகளைக் கண்டறிந்து (தேவைப்பட்டால்) வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1 செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து அதன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும். தீர்வு: A) வரையறையின் டொமைன்; செயல்பாடு அதன் வரையறையின் களத்தில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது; - முறிவு புள்ளி, ஏனெனில் ;
. பின்னர் - செங்குத்து அசிம்ப்டோட்.
B)
அந்த. y(x) என்பது பொது வடிவத்தின் செயல்பாடு.
.
C) OY அச்சுடன் வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்: x=0 அமைக்கவும்; பின்னர் y(0)=–1, அதாவது. செயல்பாட்டின் வரைபடம் அச்சை புள்ளியில் (0;-1) வெட்டுகிறது. செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் (OX அச்சுடன் வரைபடத்தின் வெட்டும் புள்ளிகள்): y=0 அமைக்கவும்; பிறகு பாகுபாடு காட்டுபவர் இருபடி சமன்பாடுபூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக
, அதாவது பூஜ்ஜியங்கள் இல்லை. பின்னர் நிலையான குறியின் இடைவெளிகளின் எல்லையானது x=1 என்ற புள்ளியாகும், அங்கு செயல்பாடு இல்லை.

ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் செயல்பாட்டின் அடையாளம் பகுதி மதிப்புகளின் முறையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடம் OX அச்சின் கீழும், இடைவெளியில் - OX அச்சுக்கு மேலேயும் அமைந்துள்ளது என்பது வரைபடத்திலிருந்து தெளிவாகிறது.
.
D) முக்கியமான புள்ளிகள் இருப்பதைக் கண்டுபிடிக்கிறோம்.

நாம் பெறுவது: x1=1, x2=0, x3=2. ஒரு துணை அட்டவணையை உருவாக்குவோம்

அட்டவணை 1

(முதல் வரியில் முக்கியமான புள்ளிகள் மற்றும் இந்த புள்ளிகள் OX அச்சால் வகுக்கப்படும் இடைவெளிகள் உள்ளன; இரண்டாவது வரி முக்கிய புள்ளிகளில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்புகள் மற்றும் இடைவெளிகளில் உள்ள குறிகளைக் குறிக்கிறது. அறிகுறிகள் பகுதி மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. மூன்றாவது வரியானது முக்கியமான புள்ளிகளில் y(x) செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் குறிக்கிறது - எண் அச்சின் தொடர்புடைய இடைவெளியில் அதிகரிப்பு அல்லது குறைதல் சுட்டிக்காட்டப்பட்டது.
D) செயல்பாட்டின் குவிவு மற்றும் குழிவு இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும்.
; புள்ளி D இல் உள்ளதைப் போல ஒரு அட்டவணையை உருவாக்கவும்); இரண்டாவது வரியில் மட்டுமே நாம் அறிகுறிகளை எழுதுகிறோம், மூன்றாவது இடத்தில் குவிவு வகையைக் குறிப்பிடுகிறோம். ஏனெனில் ; என்று முக்கியமான புள்ளிஒன்று x=1.
அட்டவணை 2

புள்ளி x=1 என்பது ஊடுருவல் புள்ளி.
E) சாய்ந்த மற்றும் கிடைமட்ட அறிகுறிகளைக் கண்டறியவும்

பின்னர் y=x என்பது ஒரு சாய்ந்த அறிகுறியாகும்.
ஜி) பெறப்பட்ட தரவுகளின் அடிப்படையில், செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம்

1). செயல்பாட்டின் நோக்கம்.
"" மற்றும் "" புள்ளிகளைத் தவிர, முழு எண் வரியிலும் இந்த செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பது வெளிப்படையானது. இந்த புள்ளிகளில் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், எனவே, செயல்பாடு இல்லை, மற்றும் நேர் கோடுகள் மற்றும் செங்குத்து அறிகுறிகளாக இருக்கும்.

2). வாதமாக ஒரு செயல்பாட்டின் நடத்தை முடிவிலி, இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளின் இருப்பு மற்றும் சாய்ந்த அறிகுறிகளின் இருப்பை சரிபார்க்கிறது.
இடது மற்றும் வலதுபுறமாக முடிவிலியை அணுகும்போது செயல்பாடு எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை முதலில் சரிபார்க்கலாம்.

எனவே, செயல்பாடு 1 ஆக இருக்கும் போது, ​​அதாவது. - கிடைமட்ட அறிகுறி.
தொடர்ச்சியின்மை புள்ளிகளுக்கு அருகில், செயல்பாட்டின் நடத்தை பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது:


அந்த. இடதுபுறத்தில் இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளை அணுகும் போது, ​​செயல்பாடு எல்லையில்லாமல் குறைகிறது, வலதுபுறத்தில், அது முடிவில்லாமல் அதிகரிக்கிறது.
சமத்துவத்தைக் கருத்தில் கொண்டு சாய்ந்த அறிகுறியின் இருப்பை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

சாய்ந்த அறிகுறிகளும் இல்லை.

3). ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் வெட்டும் புள்ளிகள்.
இங்கே இரண்டு சூழ்நிலைகளைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்: ஆக்ஸ் அச்சு மற்றும் ஓய் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும். ஆக்ஸ் அச்சுடன் வெட்டும் அடையாளம் என்பது செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜிய மதிப்பு, அதாவது. சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டியது அவசியம்:

இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, எனவே, இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் ஆக்ஸ் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகள் இல்லை.
Oy அச்சுடன் வெட்டும் அடையாளம் மதிப்பு x = 0. இந்த வழக்கில்
,
அந்த. - Oy அச்சுடன் செயல்பாட்டு வரைபடத்தின் வெட்டும் புள்ளி.

4).தீவிர புள்ளிகள் மற்றும் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளை தீர்மானித்தல்.
இந்த சிக்கலைப் படிக்க, முதல் வழித்தோன்றலை நாங்கள் வரையறுக்கிறோம்:
.
முதல் வழித்தோன்றலின் மதிப்பை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்.
.
ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதன் எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது. .
செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிப்போம்.

எனவே, செயல்பாடு ஒரு தீவிர புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் இரண்டு புள்ளிகளில் இல்லை.
இதனால், செயல்பாடு இடைவெளிகளில் அதிகரிக்கிறது மற்றும் இடைவெளிகளில் குறைகிறது மற்றும் .

5). ஊடுருவல் புள்ளிகள் மற்றும் குவிவு மற்றும் குழிவு பகுதிகள்.
ஒரு செயல்பாட்டின் நடத்தையின் இந்த பண்பு இரண்டாவது வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்படுகிறது. முதலில் ஊடுருவல் புள்ளிகள் இருப்பதை தீர்மானிப்போம். செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் சமம்

எப்போது மற்றும் செயல்பாடு குழிவானது;

எப்போது மற்றும் செயல்பாடு குவிந்திருக்கும்.

6). ஒரு செயல்பாட்டை வரைபடமாக்குதல்.
புள்ளிகளில் காணப்படும் மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை திட்டவட்டமாக உருவாக்குவோம்:

தீர்வு
கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு பொது வடிவத்தின் காலமுறை அல்லாத செயல்பாடு ஆகும். அதன் வரைபடம் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் வழியாக செல்கிறது.
வரையறையின் களம் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுபின்னத்தின் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக மாறும் தவிர, மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளும் ஆகும்.
இதன் விளைவாக, புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் இடைநிறுத்தப் புள்ளிகள்.
ஏனெனில் ,

ஏனெனில் ,
, பின்னர் புள்ளி என்பது இரண்டாவது வகையின் தொடர்ச்சியற்ற புள்ளியாகும்.
நேர்கோடுகள் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் செங்குத்து அறிகுறிகளாகும்.
சாய்ந்த அறிகுறிகளின் சமன்பாடுகள், எங்கே, .
மணிக்கு ,
.
எனவே, செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு அறிகுறியைக் கொண்டுள்ளது.
செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைப்பு மற்றும் தீவிர புள்ளிகளின் இடைவெளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.
.
செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல் at மற்றும், எனவே, at மற்றும் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.
எப்போது, ​​எனவே, எப்போது, ​​செயல்பாடு குறைகிறது.
, .
, எனவே, எப்போது செயல்பாட்டின் வரைபடம் குழிவானது.
மணிக்கு , எனவே, எப்போது செயல்பாட்டின் வரைபடம் குவிந்துள்ளது.

புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் போது , , மாற்றங்கள் அடையாளம். எப்போது , செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே, செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு ஊடுருவல் புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது.
செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்.

ஒரு முழுமையான ஆய்வை நடத்தி, செயல்பாட்டை வரைபடமாக்குங்கள்

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) செயல்பாட்டின் நோக்கம். செயல்பாடு ஒரு பின்னம் என்பதால், வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து x=1x=1 என்ற ஒரே புள்ளியை விலக்கி, பெறுகிறோம்:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) இடைநிறுத்தப் புள்ளியின் அருகாமையில் செயல்பாட்டின் நடத்தையைப் படிப்போம். ஒரு பக்க வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

வரம்புகள் முடிவிலிக்கு சமமாக இருப்பதால், புள்ளி x=1x=1 என்பது இரண்டாவது வகையின் தொடர்ச்சியற்றது, நேர்கோடு x=1x=1 என்பது செங்குத்து அறிகுறியாகும்.

3) செயல்பாட்டு வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் தீர்மானிப்போம்.

OyOy என்ற ஆர்டினேட் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம், அதற்காக நாம் x=0x=0 ஐ சமன் செய்கிறோம்:

எனவே, OyOy அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது (0;8)(0;8).

abscissa அச்சு OxOx உடன் வெட்டும் புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம், அதற்காக நாம் y=0y=0 அமைக்கிறோம்:

சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, எனவே OxOx அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகள் இல்லை.

எந்த xxக்கும் x2+8>0x2+8>0 என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். எனவே, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1)க்கு, y>0y>0 சார்பு (நேர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும், வரைபடம் x-அச்சுக்கு மேலே உள்ளது), x∈(1;+∞)க்கு )x∈(1; +∞) செயல்பாடு y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) செயல்பாடு இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல, ஏனெனில்:

5) கால இடைவெளிக்கான செயல்பாட்டை ஆராய்வோம். இது ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாடு என்பதால், செயல்பாடு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இல்லை.

6) தீவிர மற்றும் மோனோடோனிசிட்டிக்கான செயல்பாட்டை ஆராய்வோம். இதைச் செய்ய, செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

முதல் வழித்தோன்றலை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம் மற்றும் நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம் (இதில் y′=0y′=0):

மூன்று முக்கியமான புள்ளிகளைப் பெற்றுள்ளோம்: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. செயல்பாட்டின் வரையறையின் முழு களத்தையும் இந்த புள்ளிகளுடன் இடைவெளிகளாகப் பிரிப்போம் மற்றும் ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளைத் தீர்மானிப்போம்:

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) வழித்தோன்றல் y′>0y′>0 க்கு, இந்த இடைவெளிகளில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.

இந்த வழக்கில், x=−2x=−2 என்பது ஒரு உள்ளூர் குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும் (செயல்பாடு குறைந்து பின்னர் அதிகரிக்கிறது), x=4x=4 என்பது உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளியாகும் (செயல்பாடு அதிகரித்து பின்னர் குறைகிறது).

இந்த புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எனவே, குறைந்தபட்ச புள்ளி (−2;4)(−2;4), அதிகபட்ச புள்ளி (4;-8)(4;-8).

7) கின்க்ஸ் மற்றும் குவிவுக்கான செயல்பாட்டை ஆராய்வோம். செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இரண்டாவது வழித்தோன்றலை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்:

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, எனவே ஊடுருவல் புள்ளிகள் இல்லை. மேலும், x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 திருப்தி அடையும் போது, ​​அதாவது செயல்பாடு குழிவாக இருக்கும் போது, ​​x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) y′′ ஆல் திருப்தியடைந்தது<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) முடிவிலியில் செயல்பாட்டின் நடத்தையை ஆராய்வோம், அதாவது மணிக்கு.

வரம்புகள் எல்லையற்றவை என்பதால், கிடைமட்ட அறிகுறிகளும் இல்லை.

y=kx+by=kx+b வடிவத்தின் சாய்ந்த அறிகுறிகளைத் தீர்மானிக்க முயற்சிப்போம். அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி k,bk,b இன் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறோம்:

செயல்பாட்டில் y=-x−1y=−x−1 ஒரு சாய்ந்த அறிகுறி இருப்பதைக் கண்டறிந்தோம்.

9) கூடுதல் புள்ளிகள். வரைபடத்தை மிகவும் துல்லியமாக உருவாக்க, செயல்பாட்டின் மதிப்பை வேறு சில புள்ளிகளில் கணக்கிடுவோம்.

y(-5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) பெறப்பட்ட தரவுகளின் அடிப்படையில், நாங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கி, அதை x=1x=1 (நீலம்), y=-x−1y=−x−1 (பச்சை) போன்ற அறிகுறிகளுடன் சேர்த்து, சிறப்பியல்பு புள்ளிகளைக் குறிப்போம் (ஆர்டினேட் அச்சுடன் ஊதா வெட்டும் , ஆரஞ்சு எக்ஸ்ட்ரீமா, கருப்பு கூடுதல் புள்ளிகள்) :

பணி 4: வடிவியல், பொருளாதாரச் சிக்கல்கள் (எனக்குத் தெரியாது, தீர்வுகள் மற்றும் சூத்திரங்களுடன் கூடிய தோராயமான சிக்கல்களின் தேர்வு இங்கே உள்ளது)

எடுத்துக்காட்டு 3.23. அ

தீர்வு. xமற்றும் ஒய் ஒய்
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4 மட்டுமே முக்கியமான புள்ளி என்பதால், இந்தப் புள்ளியைக் கடக்கும்போது வழித்தோன்றலின் அடையாளம் மாறுகிறதா என்று பார்க்கலாம். xa/4 S " > 0, மற்றும் x >a/4 S "க்கு< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

எடுத்துக்காட்டு 3.24.

தீர்வு.
R = 2, H = 16/4 = 4.

எடுத்துக்காட்டு 3.22. f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3) என்பதால், செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகள் x 1 = 2 மற்றும் x 2 = 3. எக்ஸ்ட்ரீமாவில் மட்டுமே இருக்க முடியும் இந்த புள்ளிகள் x 1 = 2 என்ற புள்ளியைக் கடக்கும்போது அதன் அடையாளத்தை ப்ளஸ் இலிருந்து மைனஸுக்கு மாற்றுவது போல, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகபட்சமாக x 2 = 3 புள்ளியைக் கடக்கும்போது அதன் அடையாளத்தை மைனஸிலிருந்து மாற்றுகிறது எனவே, x 2 = 3 புள்ளியில் செயல்பாடு மதிப்புகளைக் கணக்கிட்டால்
x 1 = 2 மற்றும் x 2 = 3, செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் காண்கிறோம்: அதிகபட்சம் f(2) = 14 மற்றும் குறைந்தபட்சம் f(3) = 13.

எடுத்துக்காட்டு 3.23.கல் சுவருக்கு அருகில் ஒரு செவ்வகப் பகுதியைக் கட்டுவது அவசியம், அது கம்பி வலையால் மூன்று பக்கங்களிலும் வேலி அமைக்கப்பட்டு, நான்காவது பக்கம் சுவரை ஒட்டி இருக்கும். இதற்காக உள்ளது அகண்ணி நேரியல் மீட்டர். எந்த விகிதத்தில் தளம் மிகப்பெரிய பரப்பளவைக் கொண்டிருக்கும்?

தீர்வு.மேடையின் பக்கங்களை இதன் மூலம் குறிப்போம் xமற்றும் ஒய். தளத்தின் பரப்பளவு S = xy. விடுங்கள் ஒய்- இது சுவருக்கு அருகில் உள்ள பக்கத்தின் நீளம். பின்னர், நிபந்தனையின்படி, சமத்துவம் 2x + y = கண்டிப்பாக வைத்திருக்க வேண்டும். எனவே y = a - 2x மற்றும் S = x(a - 2x), எங்கே
0 ≤ x ≤ a/2 (பேட்டின் நீளம் மற்றும் அகலம் எதிர்மறையாக இருக்கக்கூடாது). S " = a - 4x, a - 4x = 0 at x = a/4, எங்கிருந்து
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4 மட்டுமே முக்கியமான புள்ளி என்பதால், இந்தப் புள்ளியைக் கடக்கும்போது வழித்தோன்றலின் அடையாளம் மாறுகிறதா என்று பார்க்கலாம். xa/4 S " > 0, மற்றும் x >a/4 S "க்கு< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

எடுத்துக்காட்டு 3.24. V=16p ≈ 50 m 3 திறன் கொண்ட ஒரு மூடிய உருளை தொட்டியை உற்பத்தி செய்ய வேண்டும். தொட்டியின் பரிமாணங்கள் என்னவாக இருக்க வேண்டும் (ஆரம் R மற்றும் உயரம் H) அதன் உற்பத்திக்கு குறைந்த அளவு பொருள் பயன்படுத்தப்படும்?

தீர்வு.சிலிண்டரின் மொத்த பரப்பளவு S = 2pR(R+H) ஆகும். சிலிண்டரின் அளவு V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 என்பதை நாம் அறிவோம். இதன் பொருள் S(R) = 2p(R 2 +16/R). இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 க்கு R 3 = 8, எனவே,
R = 2, H = 16/4 = 4.

தொடர்புடைய தகவல்கள்.

வழிமுறைகள்

செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும். எடுத்துக்காட்டாக, sin(x) செயல்பாடு -∞ இலிருந்து +∞ வரையிலான முழு இடைவெளியிலும் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் x = 0 என்ற புள்ளியைத் தவிர 1/x செயல்பாடு -∞ இலிருந்து +∞ வரை வரையறுக்கப்படுகிறது.

தொடர்ச்சியின் பகுதிகள் மற்றும் இடைநிறுத்தத்தின் புள்ளிகளை அடையாளம் காணவும். பொதுவாக ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட அதே பகுதியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். இடைநிறுத்தங்களைக் கண்டறிய, வாதம் வரையறையின் களத்திற்குள் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகளை அணுகும்போது ஒருவர் கணக்கிட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, 1/x சார்பு x→0+ ஆக இருக்கும் போது முடிவிலியாகவும், x→0- ஆக இருக்கும் போது மைனஸ் முடிவிலியாகவும் இருக்கும். இதன் பொருள் x = 0 என்ற புள்ளியில் இது இரண்டாவது வகையின் தொடர்ச்சியற்ற தன்மையைக் கொண்டுள்ளது.
இடைநிறுத்தப் புள்ளியில் உள்ள வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்டவை, ஆனால் சமமாக இல்லை என்றால், இது முதல் வகையான இடைநிறுத்தமாகும். அவை சமமாக இருந்தால், செயல்பாடு தொடர்ச்சியாகக் கருதப்படுகிறது, இருப்பினும் அது ஒரு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளியில் வரையறுக்கப்படவில்லை.

ஏதேனும் இருந்தால், செங்குத்து அறிகுறிகளைக் கண்டறியவும். முந்தைய படியின் கணக்கீடுகள் இங்கே உங்களுக்கு உதவும், ஏனெனில் செங்குத்து அசிம்டோட் எப்போதும் இரண்டாவது வகையின் இடைநிறுத்தப் புள்ளியில் அமைந்துள்ளது. இருப்பினும், சில நேரங்களில் இது வரையறை டொமைனில் இருந்து விலக்கப்பட்ட தனிப்பட்ட புள்ளிகள் அல்ல, ஆனால் புள்ளிகளின் முழு இடைவெளிகளும், பின்னர் செங்குத்து அறிகுறிகளும் இந்த இடைவெளிகளின் விளிம்புகளில் அமைந்திருக்கும்.

செயல்பாட்டிற்கு சிறப்பு பண்புகள் உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்: சம, ஒற்றைப்படை மற்றும் கால இடைவெளி.
f(x) = f(-x) டொமைனில் உள்ள எந்த x க்கும் கூட செயல்பாடு இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, cos(x) மற்றும் x^2 ஆகியவை சம செயல்பாடுகளாகும்.

காலக்கெடு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண் T இருப்பதாகக் கூறுகிறது, இது ஒரு காலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அது எந்த x f(x) = f(x + T). எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் (சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட்) கால இடைவெளியில் உள்ளன.

புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். இதைச் செய்ய, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட்டு, அது பூஜ்ஜியமாக மாறும் x இன் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும். எடுத்துக்காட்டாக, f(x) = x^3 + 9x^2 -15 சார்பு g(x) = 3x^2 + 18x என்ற வழித்தோன்றலைக் கொண்டுள்ளது, இது x = 0 மற்றும் x = -6 இல் மறைந்துவிடும்.

எந்த உச்ச புள்ளிகள் அதிகபட்சம் மற்றும் எது மினிமா என்பதைத் தீர்மானிக்க, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பூஜ்ஜியங்களில் வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளில் ஏற்படும் மாற்றத்தைக் கண்காணிக்கவும். g(x) x = -6 என்ற புள்ளியில் உள்ள கூட்டிலிருந்து குறியை மாற்றுகிறது, மேலும் x = 0 புள்ளியில் மைனஸிலிருந்து ப்ளஸ் ஆக மாற்றுகிறது. இதன் விளைவாக, f(x) சார்பு முதல் புள்ளியில் குறைந்தபட்சத்தையும் இரண்டாவது புள்ளியில் குறைந்தபட்சத்தையும் கொண்டுள்ளது.

எனவே, நீங்கள் மோனோடோனிசிட்டியின் பகுதிகளையும் கண்டறிந்துள்ளீர்கள்: f(x) இடைவெளியில் -∞;-6 ஏகபோகமாக அதிகரிக்கிறது, ஏகபோகமாக -6;0 குறைகிறது மற்றும் மீண்டும் 0;+∞ அதிகரிக்கிறது.

இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும். கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடம் எங்கு குவிந்திருக்கும் மற்றும் அது எங்கே குழிவாக இருக்கும் என்பதை அதன் வேர்கள் காண்பிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, f(x) செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் h(x) = 6x + 18 ஆக இருக்கும். இது x = -3 இல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சென்று, குறியை மைனஸிலிருந்து கூட்டலுக்கு மாற்றுகிறது. இதன் விளைவாக, இந்த புள்ளிக்கு முன் f(x) இன் வரைபடம் குவிந்ததாகவும், அதன் பிறகு - குழிவானதாகவும் இருக்கும், மேலும் இந்த புள்ளியே ஒரு ஊடுருவல் புள்ளியாக இருக்கும்.

ஒரு செயல்பாட்டில் செங்குத்து தவிர மற்ற அறிகுறிகளும் இருக்கலாம், ஆனால் அதன் வரையறையின் டொமைன் உள்ளடக்கியிருந்தால் மட்டுமே. அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க, x→∞ அல்லது x→-∞ ஆக இருக்கும் போது f(x) வரம்பை கணக்கிடவும். இது வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், நீங்கள் கிடைமட்ட அறிகுறியைக் கண்டறிந்துள்ளீர்கள்.

சாய்ந்த அசிம்ப்டோட் என்பது kx + b வடிவத்தின் நேர் கோடாகும். k ஐக் கண்டுபிடிக்க, f(x)/x இன் வரம்பை x→∞ ஆகக் கணக்கிடவும். அதே x→∞க்கான b - வரம்பு (f(x) – kx) ஐக் கண்டறிய.

கணக்கிடப்பட்ட தரவின் அடிப்படையில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வரையவும். அறிகுறிகள் ஏதேனும் இருந்தால், அவற்றை லேபிளிடுங்கள். தீவிர புள்ளிகள் மற்றும் அவற்றின் செயல்பாட்டு மதிப்புகளைக் குறிக்கவும். அதிக வரைபட துல்லியத்திற்கு, பல இடைநிலை புள்ளிகளில் செயல்பாட்டு மதிப்புகளை கணக்கிடுங்கள். படிப்பு முடிந்தது.