வெவ்வேறு பக்கங்களைக் கொண்ட கனசதுரம் என்ன அழைக்கப்படுகிறது? சைபர் கியூப் - நான்காவது பரிமாணத்திற்கான முதல் படி

படம் என்பது முப்பரிமாண இடைவெளியில் நான்கு பரிமாண கனசதுரத்தின் ஒரு திட்டமாகும்.

3க்கும் மேற்பட்ட பரிமாணங்களைக் கொண்ட கனசதுரத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் அழைக்கப்படுகிறது மிகை கன சதுரம் அல்லது (என்:அளவை பாலிடோப்கள்). முறையாக, ஒரு ஹைப்பர்க்யூப் நான்கு சம பிரிவுகளாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

இந்த கட்டுரை முக்கியமாக 4-பரிமாணத்தை விவரிக்கிறது மிகை கன சதுரம், அழைக்கப்பட்டது டெசராக்ட்.

பிரபலமான விளக்கம்

நமது முப்பரிமாண இடத்தை விட்டு வெளியேறாமல் ஒரு ஹைப்பர் கியூப் எப்படி இருக்கும் என்று கற்பனை செய்ய முயற்சிப்போம்.

ஒரு பரிமாண “வெளியில்” - ஒரு வரியில் - L நீளத்துடன் AB ஐத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். இரு பரிமாண இடைவெளியில், AB இலிருந்து L தொலைவில், அதற்கு இணையாக DC என்ற பிரிவை வரைந்து அவற்றின் முனைகளை இணைக்கிறோம். இதன் விளைவாக ஒரு சதுர ஏபிசிடி. விமானம் மூலம் இந்தச் செயல்பாட்டை மீண்டும் செய்வதன் மூலம், முப்பரிமாண கனசதுர ABCDHEFG ஐப் பெறுகிறோம். மற்றும் கனசதுரத்தை நான்காவது பரிமாணத்தில் (முதல் மூன்றிற்கு செங்குத்தாக!) தூரம் L ஆல் நகர்த்துவதன் மூலம், நாம் ஒரு ஹைப்பர்க்யூப் பெறுகிறோம்.

ஒரு பரிமாண பிரிவு AB இரு பரிமாண சதுர ABCD இன் முகமாக செயல்படுகிறது, சதுரமானது ABCDHEFG கனசதுரத்தின் ஒரு பக்கமாக செயல்படுகிறது, இது நான்கு பரிமாண ஹைபர்க்யூப்பின் பக்கமாக இருக்கும். ஒரு நேர்கோடு பிரிவில் இரண்டு எல்லைப் புள்ளிகள் உள்ளன, ஒரு சதுரத்தில் நான்கு முனைகள் உள்ளன, ஒரு கனசதுரத்தில் எட்டு உள்ளது. நான்கு பரிமாண ஹைபர்கியூப்பில், 16 செங்குத்துகள் இருக்கும்: அசல் கனசதுரத்தின் 8 செங்குத்துகள் மற்றும் நான்காவது பரிமாணத்தில் மாற்றப்பட்ட ஒன்றின் 8. இது 32 விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது - 12 ஒவ்வொன்றும் அசல் கனசதுரத்தின் ஆரம்ப மற்றும் இறுதி நிலைகளைக் கொடுக்கின்றன, மேலும் 8 விளிம்புகள் அதன் எட்டு முனைகளை "வரைய" செய்கின்றன, அவை நான்காவது பரிமாணத்திற்கு நகர்ந்தன. ஒரு ஹைபர்கியூபின் முகங்களுக்கும் இதே காரணத்தை செய்யலாம். இரு பரிமாண இடத்தில் ஒன்று மட்டுமே உள்ளது (சதுரமே), ஒரு கனசதுரத்தில் அவற்றில் 6 உள்ளன (நகர்த்தப்பட்ட சதுரத்திலிருந்து இரண்டு முகங்கள் மற்றும் அதன் பக்கங்களை விவரிக்கும் மேலும் நான்கு). நான்கு பரிமாண ஹைபர்கியூப் 24 சதுர முகங்களைக் கொண்டுள்ளது - அசல் கனசதுரத்தின் 12 சதுரங்கள் இரண்டு நிலைகளில் மற்றும் அதன் பன்னிரண்டு விளிம்புகளிலிருந்து 12 சதுரங்கள்.

இதேபோல், அதிக எண்ணிக்கையிலான பரிமாணங்களின் ஹைபர்க்யூப்களுக்கான எங்கள் பகுத்தறிவைத் தொடரலாம், ஆனால் முப்பரிமாண இடத்தில் வசிப்பவர்களுக்கு இது எப்படி இருக்கும் என்பதைப் பார்ப்பது மிகவும் சுவாரஸ்யமானது. நான்கு பரிமாண மிகை கன சதுரம். இதற்கு ஏற்கனவே பழக்கமான ஒப்புமை முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

கம்பி கனசதுர ABCDHEFG ஐ எடுத்து விளிம்பின் பக்கத்திலிருந்து ஒரு கண்ணால் பார்ப்போம். நாம் பார்ப்போம் மற்றும் விமானத்தில் இரண்டு சதுரங்களை வரையலாம் (அதன் அருகில் மற்றும் தூர விளிம்புகள்), நான்கு கோடுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது - பக்க விளிம்புகள். இதேபோல், முப்பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள நான்கு பரிமாண ஹைபர்கியூப் இரண்டு கன "பெட்டிகள்" ஒன்றோடொன்று செருகப்பட்டு எட்டு விளிம்புகளால் இணைக்கப்பட்டதைப் போல இருக்கும். இந்த வழக்கில், "பெட்டிகள்" - முப்பரிமாண முகங்கள் - "எங்கள்" இடத்தில் திட்டமிடப்படும், மேலும் அவற்றை இணைக்கும் கோடுகள் நான்காவது பரிமாணத்தில் நீட்டிக்கப்படும். கனசதுரத்தை ப்ரொஜெக்ஷனில் அல்ல, இடஞ்சார்ந்த படத்தில் கற்பனை செய்து பார்க்கவும் முயற்சி செய்யலாம்.

ஒரு முப்பரிமாண கனசதுரமானது அதன் முகத்தின் நீளத்தால் மாற்றப்பட்ட ஒரு சதுரத்தால் உருவாக்கப்படுவது போல, நான்காவது பரிமாணத்திற்கு மாற்றப்பட்ட ஒரு கனசதுரம் ஒரு ஹைப்பர்கியூப் உருவாகும். இது எட்டு க்யூப்ஸால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, இது கண்ணோட்டத்தில் சில சிக்கலான உருவம் போல் இருக்கும். "எங்கள்" இடத்தில் இருந்த பகுதி திடமான கோடுகளால் வரையப்பட்டுள்ளது, மேலும் ஹைப்பர்ஸ்பேஸுக்குச் சென்ற பகுதி புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகளால் வரையப்பட்டுள்ளது. முப்பரிமாண கனசதுரத்தை எண்ணற்ற தட்டையான சதுரங்களாக "வெட்டி" செய்வது போல், நான்கு பரிமாண ஹைப்பர்க்யூப் எண்ணற்ற கனசதுரங்களைக் கொண்டுள்ளது.

முப்பரிமாண கனசதுரத்தின் எட்டு முகங்களை வெட்டுவதன் மூலம், நீங்கள் அதை சிதைக்கலாம் தட்டையான உருவம்- ஊடுகதிர். இது அசல் முகத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் ஒரு சதுரத்தைக் கொண்டிருக்கும், மேலும் ஒன்று - அதற்கு எதிர் முகம். மேலும் நான்கு பரிமாண ஹைபர்க்யூப்பின் முப்பரிமாண வளர்ச்சியானது அசல் கனசதுரத்தையும், அதிலிருந்து "வளரும்" ஆறு கனசதுரங்களையும், மேலும் ஒன்று - இறுதி "ஹைபர்ஃபேஸ்" கொண்டிருக்கும்.

டெசராக்டின் பண்புகள் கீழ் பரிமாணத்தின் வடிவியல் உருவங்களின் பண்புகளின் தொடர்ச்சியாக 4-பரிமாண இடைவெளியில் கீழே உள்ள அட்டவணையில் வழங்கப்படுகின்றன.

நான்கு பரிமாண வெளி என்றால் என்ன என்பதை விளக்கி ஆரம்பிக்கலாம்.

இது ஒரு பரிமாண வெளி, அதாவது OX அச்சு. அதில் உள்ள எந்த புள்ளியும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது.

இப்போது OY அச்சை OX அச்சுக்கு செங்குத்தாக வரைவோம். எனவே நாம் இரு பரிமாண இடத்தைப் பெறுகிறோம், அதாவது XOY விமானம். அதில் உள்ள எந்த புள்ளியும் இரண்டு ஆயங்களால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது - அப்சிஸ்ஸா மற்றும் ஆர்டினேட்.

OX மற்றும் OY அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக OZ அச்சை வரைவோம். இதன் விளைவாக ஒரு முப்பரிமாண இடைவெளி உள்ளது, இதில் எந்தப் புள்ளியும் ஒரு abscissa, ordinate மற்றும் பொருந்தும்.

நான்காவது அச்சு, OQ, ஒரே நேரத்தில் OX, OY மற்றும் OZ அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும் என்பது தர்க்கரீதியானது. ஆனால் அத்தகைய அச்சை நம்மால் துல்லியமாக உருவாக்க முடியாது, எனவே அதை கற்பனை செய்ய மட்டுமே முயற்சி செய்யலாம். நான்கு பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் நான்கு ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது: x, y, z மற்றும் q.

இப்போது நான்கு பரிமாண கன சதுரம் எவ்வாறு தோன்றியது என்று பார்ப்போம்.

படம் ஒரு பரிமாண இடத்தில் ஒரு உருவத்தைக் காட்டுகிறது - ஒரு கோடு.

நீங்கள் OY அச்சில் இந்த வரியின் இணையான மொழிபெயர்ப்பைச் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் இரண்டு கோடுகளின் தொடர்புடைய முனைகளை இணைத்தால், நீங்கள் ஒரு சதுரத்தைப் பெறுவீர்கள்.

இதேபோல், நீங்கள் OZ அச்சில் சதுரத்தின் இணையான மொழிபெயர்ப்பைச் செய்து, தொடர்புடைய முனைகளை இணைத்தால், நீங்கள் ஒரு கனசதுரத்தைப் பெறுவீர்கள்.

நாம் OQ அச்சில் கனசதுரத்தின் இணையான மொழிபெயர்ப்பைச் செய்து, இந்த இரண்டு கனசதுரங்களின் முனைகளையும் இணைத்தால், நாம் நான்கு பரிமாண கனசதுரத்தைப் பெறுவோம். மூலம், அது அழைக்கப்படுகிறது டெசராக்ட்.

ஒரு விமானத்தில் ஒரு கனசதுரத்தை வரைய, உங்களுக்கு அது தேவை திட்டம். பார்வைக்கு இது போல் தெரிகிறது:

அது மேற்பரப்பிற்கு மேலே காற்றில் தொங்குகிறது என்று கற்பனை செய்யலாம் வயர்ஃப்ரேம் மாதிரிகன சதுரம், அதாவது, "கம்பியால் ஆனது", அதற்கு மேல் ஒரு ஒளி விளக்கு உள்ளது. நீங்கள் ஒளி விளக்கை இயக்கினால், கனசதுரத்தின் நிழலை ஒரு பென்சிலால் கண்டுபிடித்து, பின்னர் ஒளி விளக்கை அணைத்தால், கனசதுரத்தின் ஒரு திட்டமானது மேற்பரப்பில் சித்தரிக்கப்படும்.

இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலான விஷயத்திற்கு செல்லலாம். ஒளி விளக்குடன் வரைபடத்தை மீண்டும் பாருங்கள்: நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அனைத்து கதிர்களும் ஒரு கட்டத்தில் ஒன்றிணைகின்றன. அது அழைக்கபடுகிறது மறைந்து போகும் புள்ளிமற்றும் கட்டப் பயன்படுகிறது முன்னோக்கு திட்டம்(மேலும், எல்லாக் கதிர்களும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருக்கும் போது, ​​அது இணையாகவும் இருக்கலாம். இதன் விளைவாக, ஒலியளவு உணர்வு உருவாக்கப்படாமல், இலகுவாக இருக்கும், மேலும், மறைந்துபோகும் புள்ளி திட்டமிடப்பட்ட பொருளிலிருந்து வெகு தொலைவில் இருந்தால் , இந்த இரண்டு கணிப்புகளுக்கும் இடையே உள்ள வித்தியாசம் கொஞ்சம் கவனிக்கத்தக்கது). மறைந்து போகும் புள்ளியைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் மீது கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியைத் திட்டமிட, நீங்கள் மறைந்து போகும் புள்ளி மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி வழியாக ஒரு நேர் கோட்டை வரைய வேண்டும், பின்னர் அதன் விளைவாக வரும் நேர் கோடு மற்றும் விமானத்தின் வெட்டுப் புள்ளியைக் கண்டறியவும். மேலும் ஒரு சிக்கலான உருவத்தை, ஒரு கனசதுரத்தை முன்னிறுத்துவதற்கு, நீங்கள் அதன் ஒவ்வொரு முனைகளையும் திட்டமிட வேண்டும், பின்னர் தொடர்புடைய புள்ளிகளை இணைக்க வேண்டும். என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் துணைவெளியில் இடத்தைத் திட்டமிடுவதற்கான வழிமுறை 3D->2D மட்டுமல்ல, 4D->3D வழக்கிற்குப் பொதுமைப்படுத்தலாம்.

நான் சொன்னது போல், டெசராக்ட் போலவே OQ அச்சு எப்படி இருக்கும் என்பதை நம்மால் கற்பனை செய்து பார்க்க முடியாது. ஆனால், அதை ஒரு வால்யூமில் ப்ரொஜெக்ட் செய்து கணினித் திரையில் வரைந்தால், அதைப் பற்றிய ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட யோசனையைப் பெறலாம்!

இப்போது டெசராக்ட் ப்ரொஜெக்ஷன் பற்றி பேசலாம்.

இடதுபுறத்தில் விமானத்தின் மீது கனசதுரத்தின் ப்ரொஜெக்ஷன் உள்ளது, மற்றும் வலதுபுறத்தில் வால்யூம் மீது டெசராக்ட் உள்ளது. அவை மிகவும் ஒத்தவை: ஒரு கனசதுரத்தின் ப்ரொஜெக்ஷன் இரண்டு சதுரங்கள் போல் தெரிகிறது, சிறிய மற்றும் பெரிய, ஒன்று உள்ளே மற்றொன்று, மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய செங்குத்துகள் கோடுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. மேலும் டெஸராக்ட்டின் ப்ரொஜெக்ஷன் சிறிய மற்றும் பெரிய இரண்டு கனசதுரங்கள் போல் தெரிகிறது, ஒன்று உள்ளே மற்றொன்று, அதனுடன் தொடர்புடைய செங்குத்துகள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. ஆனால் நாம் அனைவரும் ஒரு கனசதுரத்தைப் பார்த்திருக்கிறோம், மேலும் ஒரு சிறிய சதுரம் மற்றும் ஒரு பெரிய சதுரம் மற்றும் நான்கு ட்ரெப்சாய்டுகள் மேலே, கீழே, வலது மற்றும் இடதுபுறம் என்று நம்பிக்கையுடன் சொல்லலாம். சிறிய சதுரம், உண்மையில் சதுரங்கள், அவை சமமானவை. மற்றும் டெசராக்ட் அதையே கொண்டுள்ளது. மற்றும் ஒரு பெரிய கன சதுரம், மற்றும் ஒரு சிறிய கன சதுரம், மற்றும் ஒரு சிறிய கனசதுரத்தின் பக்கங்களில் ஆறு துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடுகள் - இவை அனைத்தும் க்யூப்ஸ், மற்றும் அவை சமமானவை.

எனது நிரல் ஒரு டெசராக்டின் முன்கணிப்பை ஒரு தொகுதியில் வரைய முடியாது, ஆனால் அதை சுழற்றவும் முடியும். இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்.

முதலில், அது என்னவென்று நான் உங்களுக்குச் சொல்கிறேன் விமானத்திற்கு இணையான சுழற்சி.

கன சதுரம் OZ அச்சில் சுழல்கிறது என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். அதன் ஒவ்வொரு முனையும் OZ அச்சைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்கிறது.

வட்டம் என்பது ஒரு தட்டையான உருவம். இந்த ஒவ்வொரு வட்டத்தின் விமானங்களும் ஒன்றோடொன்று இணையாக இருக்கும், மேலும் இந்த விஷயத்தில் XOY விமானத்திற்கு இணையாக இருக்கும். அதாவது, OZ அச்சில் சுழற்சியைப் பற்றி மட்டுமல்ல, XOY விமானத்திற்கு இணையான சுழற்சியைப் பற்றியும் பேசலாம், XOY அச்சுக்கு இணையாகச் சுழலும் புள்ளிகளுக்கு, அப்சிஸ்ஸா மற்றும் ஆர்டினேட் மாற்றம் மட்டுமே இருக்கும். மேலும், உண்மையில், நாம் முப்பரிமாண இடத்தைக் கையாளும் போது மட்டுமே ஒரு நேர்கோட்டில் சுழற்சியைப் பற்றி பேச முடியும். இரு பரிமாண இடத்தில் எல்லாம் ஒரு புள்ளியைச் சுற்றி சுழல்கிறது, நான்கு பரிமாண இடத்தில் எல்லாம் ஒரு விமானத்தைச் சுற்றி சுழல்கிறது, ஐந்து பரிமாண இடத்தில் ஒரு தொகுதியைச் சுற்றி சுழற்சியைப் பற்றி பேசுகிறோம். ஒரு புள்ளியைச் சுற்றி சுழற்சியை நாம் கற்பனை செய்ய முடிந்தால், ஒரு விமானம் மற்றும் தொகுதியைச் சுற்றிச் சுழற்றுவது என்பது நினைத்துப் பார்க்க முடியாத ஒன்று. விமானத்திற்கு இணையான சுழற்சியைப் பற்றி நாம் பேசினால், எந்த n- பரிமாண இடத்திலும் ஒரு புள்ளி விமானத்திற்கு இணையாக சுழலும்.

உங்களில் பலர் சுழற்சி மேட்ரிக்ஸ் பற்றி கேள்விப்பட்டிருக்கலாம். புள்ளியைப் பெருக்கினால், ஒரு கோணம் ஃபை மூலம் விமானத்திற்கு இணையாகச் சுழலும் புள்ளியைப் பெறுகிறோம். இரு பரிமாண இடத்திற்கு இது போல் தெரிகிறது:

எப்படி பெருக்குவது: ஒரு புள்ளியின் x ஒரு கோணத்தால் சுழலும் phi = கோணத்தின் phi*ix கோணத்தின் கோசைன், அசல் புள்ளியின் phi*ig கோணத்தின் சைன் கழித்தல்;
ஒரு கோணத்தில் சுழலும் ஒரு புள்ளியின் ig = கோணத்தின் phi * ix அசல் புள்ளியின் ix மற்றும் கோணத்தின் கோசைன் phi * ig அசல் புள்ளியின் கோசைன்.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, Xa மற்றும் Ya ஆகியவை சுழற்ற வேண்டிய புள்ளியின் abscissa மற்றும் ordinate ஆகும், Xa` மற்றும் Ya` ஆகியவை ஏற்கனவே சுழற்றப்பட்ட புள்ளியின் abscissa மற்றும் ordinate ஆகும்.

முப்பரிமாண இடத்திற்கு, இந்த அணி பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது:

XOY விமானத்திற்கு இணையான சுழற்சி. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, Z ஒருங்கிணைப்பு மாறாது, ஆனால் X மற்றும் Y மட்டுமே மாறுகிறது
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (அடிப்படையில், Za`=Za)

XOZ விமானத்திற்கு இணையான சுழற்சி. எதுவும் புதிதல்ல,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (அடிப்படையில், Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

மற்றும் மூன்றாவது அணி.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (அடிப்படையில், Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

நான்காவது பரிமாணத்திற்கு அவை இப்படி இருக்கும்:


எதைப் பெருக்குவது என்பது உங்களுக்கு ஏற்கனவே புரிந்திருக்கும் என்று நினைக்கிறேன், எனவே நான் மீண்டும் விவரங்களுக்குச் செல்லமாட்டேன். ஆனால் முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு விமானத்திற்கு இணையான சுழற்சிக்கான மேட்ரிக்ஸைப் போலவே இது செய்கிறது என்பதை நான் கவனிக்கிறேன்! இவை இரண்டும் ஆர்டினேட் மற்றும் அப்ளிகேட் ஆகியவற்றை மட்டுமே மாற்றுகின்றன, மற்ற ஆயங்களைத் தொடாதே, எனவே முப்பரிமாண வழக்கில் இதைப் பயன்படுத்தலாம், நான்காவது ஒருங்கிணைப்பில் கவனம் செலுத்துவதில்லை.

ஆனால் திட்ட சூத்திரத்துடன், எல்லாம் அவ்வளவு எளிதல்ல. நான் எத்தனை மன்றங்களைப் படித்தாலும், எந்த திட்ட முறைகளும் எனக்கு வேலை செய்யவில்லை. ப்ரொஜெக்ஷன் முப்பரிமாணமாகத் தெரியவில்லை என்பதால், இணையான ஒன்று எனக்குப் பொருந்தாது. சில ப்ரொஜெக்ஷன் ஃபார்முலாக்களில், ஒரு புள்ளியைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க வேண்டும் (மற்றும் அவற்றைத் தீர்க்க கணினியை எவ்வாறு கற்பிப்பது என்று எனக்குத் தெரியவில்லை), மற்றவை எனக்குப் புரியவில்லை... பொதுவாக, நான் முடிவு செய்தேன். என் சொந்த வழியில் வா. இந்த நோக்கத்திற்காக, 2D->1D ப்ரொஜெக்ஷனைக் கவனியுங்கள்.

pov என்றால் "பாயின்ட் ஆஃப் வியூ", ptp என்றால் "பாயின்ட் டு ப்ராஜெக்ட்" (திட்டமிட வேண்டிய புள்ளி) மற்றும் ptp` என்பது OX அச்சில் விரும்பிய புள்ளி.

கோணங்கள் povptpB மற்றும் ptpptp`A ஆகியவை சமமாக இருக்கும் (புள்ளியிடப்பட்ட கோடு OX அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது, நேர் கோடு povptp ஒரு நொடி).
ptp` என்ற புள்ளியின் x ஆனது, ptp`A பிரிவின் நீளத்தைக் கழித்து ptp புள்ளியின் x க்கு சமம். ptpptp`A என்ற முக்கோணத்திலிருந்து இந்தப் பகுதியைக் காணலாம்: ptp`A = ptpA/tangent of ptpptp`A. povptpB என்ற முக்கோணத்திலிருந்து இந்தத் தொடுகோட்டைக் காணலாம்: தொடுகோடு ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
பதில்: Xptp`=Xptp-Yptp/கோணத்தின் டேன்ஜென்ட் ptpptp`A.

இந்த வழிமுறையை நான் இங்கு விரிவாக விவரிக்கவில்லை, ஏனெனில் சூத்திரம் ஓரளவு மாறும் போது நிறைய சிறப்பு வழக்குகள் உள்ளன. யாராவது ஆர்வமாக இருந்தால், நிரலின் மூலக் குறியீட்டைப் பாருங்கள், எல்லாம் கருத்துகளில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது.

முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு புள்ளியை ஒரு விமானத்தில் முன்வைக்க, XOZ மற்றும் YOZ என்ற இரண்டு விமானங்களை நாங்கள் கருத்தில் கொள்கிறோம், மேலும் அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் இந்த சிக்கலை தீர்க்கிறோம். நான்கு பரிமாண இடைவெளியில், மூன்று விமானங்களைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்: XOQ, YOQ மற்றும் ZOQ.

இறுதியாக, நிரல் பற்றி. இது இவ்வாறு செயல்படுகிறது: டெசராக்டின் பதினாறு முனைகளை துவக்கவும் -> பயனர் உள்ளிட்ட கட்டளைகளைப் பொறுத்து, அதைச் சுழற்றவும் -> அதை தொகுதியில் திட்டமிடவும் -> பயனர் உள்ளிட்ட கட்டளைகளைப் பொறுத்து, அதன் ப்ரொஜெக்ஷனைச் சுழற்று -> திட்டம் விமானம் -> வரைதல்.

கணிப்புகளையும் சுழற்சிகளையும் நானே எழுதினேன். நான் விவரித்த சூத்திரங்களின்படி அவை செயல்படுகின்றன. OpenGL நூலகம் கோடுகளை வரைகிறது மற்றும் வண்ண கலவையையும் கையாளுகிறது. டெசராக்ட் செங்குத்துகளின் ஆயத்தொலைவுகள் இந்த வழியில் கணக்கிடப்படுகின்றன:

தோற்றம் மற்றும் நீளம் 2 - (1) மற்றும் (-1) ஆகியவற்றை மையமாகக் கொண்ட ஒரு கோட்டின் முனைகளின் ஒருங்கிணைப்புகள்;
- " - " - சதுரம் - " - " - மற்றும் நீளம் 2 விளிம்பு:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) மற்றும் (-1; -1);
- " - " - கன - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சதுரம் என்பது OY அச்சுக்கு மேலே ஒரு கோடு மற்றும் OY அச்சுக்கு கீழே ஒரு கோடு; ஒரு கன சதுரம் என்பது XOY விமானத்தின் முன் ஒரு சதுரம், அதன் பின் ஒன்று; டெசராக்ட் என்பது XOYZ தொகுதியின் மறுபுறத்தில் ஒரு கனசதுரமாகவும், இந்தப் பக்கத்தில் ஒன்று. ஆனால் ஒரு நெடுவரிசையில் எழுதப்பட்டால் ஒன்று மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றின் இந்த மாற்றத்தை உணர மிகவும் எளிதானது.

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

முதல் நெடுவரிசையில் ஒன்று மற்றும் கழித்தல் ஒன்று மாறி மாறி வரும். இரண்டாவது நெடுவரிசையில், முதலில் இரண்டு பிளஸ்கள் உள்ளன, பின்னர் இரண்டு கழித்தல்கள் உள்ளன. மூன்றாவது - நான்கு கூட்டல் ஒன்று, பின்னர் நான்கு கழித்தல் ஒன்று. இவை கனசதுரத்தின் முனைகளாக இருந்தன. டெசராக்ட் அவற்றில் இரண்டு மடங்கு அதிகமாக உள்ளது, எனவே அவற்றை அறிவிக்க ஒரு வளையத்தை எழுத வேண்டியது அவசியம், இல்லையெனில் குழப்பமடைவது மிகவும் எளிதானது.

எனது நிரல் அனாக்லிஃப் வரையவும் முடியும். 3D கண்ணாடிகளின் மகிழ்ச்சியான உரிமையாளர்கள் ஒரு ஸ்டீரியோஸ்கோபிக் படத்தைக் காணலாம். ஒரு படத்தை வரைவதில் தந்திரமான எதுவும் இல்லை, வலது மற்றும் இடது கண்களுக்கு விமானத்தில் இரண்டு கணிப்புகளை வரையலாம். ஆனால் நிரல் மிகவும் காட்சியாகவும் சுவாரஸ்யமாகவும் மாறும், மிக முக்கியமாக, இது நான்கு பரிமாண உலகத்தைப் பற்றிய சிறந்த யோசனையை அளிக்கிறது.

குறைவான குறிப்பிடத்தக்க செயல்பாடுகள் சிவப்பு நிறத்தில் உள்ள விளிம்புகளில் ஒன்றின் வெளிச்சம் ஆகும், இதனால் திருப்பங்களை சிறப்பாகக் காணலாம், அதே போல் சிறிய வசதிகள் - "கண்" புள்ளிகளின் ஆயங்களை ஒழுங்குபடுத்துதல், திருப்புதல் வேகத்தை அதிகரிப்பது மற்றும் குறைத்தல்.

நிரல், மூலக் குறியீடு மற்றும் பயன்பாட்டிற்கான வழிமுறைகளுடன் காப்பகப்படுத்தவும்.

நான் முதலாம் ஆண்டு மாணவனாக இருந்தபோது, ​​எனது வகுப்புத் தோழி ஒருவருடன் கடும் வாக்குவாதம் ஏற்பட்டது. நான்கு பரிமாண கனசதுரத்தை எந்த வடிவத்திலும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியாது என்று அவர் கூறினார், ஆனால் அதை மிகத் தெளிவாகக் குறிப்பிட முடியும் என்று நான் உறுதியளித்தேன். பின்னர் நான் காகித கிளிப்புகள் மூலம் எங்கள் முப்பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு ஹைப்பர்கியூப் ஒரு ப்ரொஜெக்ஷன் செய்தேன் ... ஆனால் எல்லாவற்றையும் பற்றி வரிசையாகப் பேசலாம்.
ஹைப்பர்க்யூப் (டெஸராக்ட்) மற்றும் நான்கு பரிமாண இடைவெளி என்றால் என்ன
நமது வழக்கமான இடம் மூன்று பரிமாணங்களைக் கொண்டது. உடன் வடிவியல் புள்ளிபார்வையின் அடிப்படையில், மூன்று பரஸ்பர செங்குத்தாக நேர்கோடுகளைக் குறிக்கலாம். அதாவது, எந்த வரிக்கும் நீங்கள் முதல் வரிக்கு செங்குத்தாக இரண்டாவது வரியைக் காணலாம், மேலும் ஒரு ஜோடிக்கு முதல் இரண்டுக்கு செங்குத்தாக மூன்றாவது வரியைக் காணலாம். தற்போதுள்ள மூன்றிற்கு செங்குத்தாக நான்காவது வரியை இனி கண்டுபிடிக்க முடியாது.

நான்கு பரிமாண இடைவெளி நம்மிடமிருந்து வேறுபடுகிறது, அது இன்னும் ஒரு கூடுதல் திசையைக் கொண்டுள்ளது. உங்களிடம் ஏற்கனவே மூன்று பரஸ்பர செங்குத்து கோடுகள் இருந்தால், நான்காவது ஒன்றைக் காணலாம், அது மூன்றிற்கும் செங்குத்தாக இருக்கும்.
ஒரு ஹைப்பர்க்யூப் என்பது நான்கு பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு கனசதுரமாகும்.
நான்கு பரிமாண விண்வெளி மற்றும் ஒரு ஹைபர்கியூப் கற்பனை செய்ய முடியுமா?
இந்த கேள்வி கேள்விக்கு ஒத்ததாகும்: "லியோனார்டோ டா வின்சி (1452-1519) வரைந்த அதே பெயரின் (1495-1498) ஓவியத்தைப் பார்த்து கடைசி இரவு உணவை கற்பனை செய்ய முடியுமா?"
ஒருபுறம், இயேசு பார்த்ததை நீங்கள் நிச்சயமாக கற்பனை செய்ய மாட்டீர்கள் (அவர் பார்வையாளரை நோக்கி அமர்ந்திருக்கிறார்), குறிப்பாக நீங்கள் ஜன்னலுக்கு வெளியே தோட்டத்தை வாசனை செய்ய மாட்டீர்கள், மேசையில் உள்ள உணவை சுவைக்க மாட்டீர்கள் என்பதால், பறவைகள் கேட்க மாட்டீர்கள். பாடுவது... அன்று மாலை என்ன நடந்தது என்பது பற்றிய முழுமையான படம் உங்களுக்கு கிடைக்காது, ஆனால் நீங்கள் புதிதாக எதையும் கற்றுக்கொள்ள மாட்டீர்கள், படம் ஆர்வமில்லை என்று சொல்ல முடியாது.
ஹைப்பர் கியூப் பற்றிய கேள்விக்கும் இதே நிலைதான். அதை முழுமையாக கற்பனை செய்வது சாத்தியமில்லை, ஆனால் அது எப்படி இருக்கிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வதற்கு நீங்கள் நெருங்கலாம்.

விண்வெளி நேரம் மற்றும் யூக்ளிடியன் நான்கு பரிமாண வெளி
ஹைப்பர் கியூப்பை உங்களால் கற்பனை செய்ய முடிந்தது என்று நம்புகிறேன். ஆனால் நாம் வாழும் நான்கு பரிமாண வெளி-நேரம் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்ள நீங்கள் நெருங்கிவிட்டீர்களா? ஐயோ, சரியாக இல்லை.
இங்கே நாம் யூக்ளிடியன் நான்கு பரிமாண விண்வெளி பற்றி பேசினோம், ஆனால் விண்வெளி நேரம் முற்றிலும் வேறுபட்ட பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்பாக, எந்தச் சுழற்சியின் போதும், 45 டிகிரிக்கும் குறைவான கோணத்திலோ அல்லது 45 டிகிரிக்கு அதிகமான கோணத்திலோ, பகுதிகள் எப்போதும் நேர அச்சில் சாய்ந்திருக்கும்.

நான்கு பரிமாண இடத்தில் வசிப்பவரின் கணிப்புகள் மற்றும் பார்வை
பார்வை பற்றி சில வார்த்தைகள்
நாம் முப்பரிமாண உலகில் வாழ்கிறோம், ஆனால் அதை இரு பரிமாணமாக பார்க்கிறோம். நமது கண்களின் விழித்திரை இரண்டு பரிமாணங்களைக் கொண்ட ஒரு விமானத்தில் அமைந்திருப்பதே இதற்குக் காரணம். இதனால்தான் இரு பரிமாண படங்களை நம்மால் உணர முடிகிறது மற்றும் அவற்றை யதார்த்தத்திற்கு ஒத்ததாகக் கண்டறிய முடிகிறது. (நிச்சயமாக, தங்குமிடத்திற்கு நன்றி, கண் ஒரு பொருளுக்கான தூரத்தை மதிப்பிட முடியும், ஆனால் இது நம் கண்களில் கட்டமைக்கப்பட்ட ஒளியியலுடன் தொடர்புடைய ஒரு பக்க விளைவு.)
நான்கு பரிமாண இடைவெளியில் வசிப்பவரின் கண்கள் முப்பரிமாண விழித்திரையைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். அத்தகைய உயிரினம் உடனடியாக முழு முப்பரிமாண உருவத்தையும் பார்க்க முடியும்: அதன் அனைத்து முகங்களும் உட்புறங்களும். (அதேபோல், இரு பரிமாண உருவம், அதன் அனைத்து முகங்கள் மற்றும் உட்புறங்களைக் காணலாம்.)
எனவே, நமது பார்வை உறுப்புகளின் உதவியால், நான்கு பரிமாணக் கனசதுரத்தை, நான்கு பரிமாண இடைவெளியில் வசிப்பவர்கள் உணரும் விதத்தில் நம்மால் உணர முடியாது. ஐயோ. உங்கள் மனதின் கண் மற்றும் கற்பனையை நம்புவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது, அதிர்ஷ்டவசமாக, உடல் ரீதியான வரம்புகள் இல்லை.
இருப்பினும், ஒரு விமானத்தில் ஒரு ஹைப்பர்கியூபை சித்தரிக்கும் போது, ​​நான் அதை இரு பரிமாண இடைவெளியில் உருவாக்க வேண்டிய கட்டாயத்தில் இருக்கிறேன். வரைபடங்களைப் படிக்கும்போது இந்த உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளுங்கள்.
விளிம்பு குறுக்குவெட்டுகள்
இயற்கையாகவே, ஹைபர்கியூபின் விளிம்புகள் வெட்டுவதில்லை. குறுக்குவெட்டுகள் வரைபடங்களில் மட்டுமே தோன்றும். இருப்பினும், இது ஆச்சரியமாக இருக்கக்கூடாது, ஏனென்றால் படங்களில் உள்ள வழக்கமான கனசதுரத்தின் விளிம்புகளும் வெட்டுகின்றன.
விளிம்பு நீளம்
நான்கு பரிமாண கனசதுரத்தின் அனைத்து முகங்களும் விளிம்புகளும் சமமானவை என்பது கவனிக்கத்தக்கது. படத்தில் அவை பார்வையின் திசையில் வெவ்வேறு கோணங்களில் அமைந்திருப்பதால் மட்டுமே சமமற்றதாக மாறிவிடும். இருப்பினும், ஒரு மிகை கனசதுரத்தை சுழற்றுவது சாத்தியமாகும், இதனால் அனைத்து கணிப்புகளும் ஒரே நீளத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

நான்கு பரிமாணங்கள் அல்லது நான்கு ஆயங்கள் கொண்ட பிரபஞ்சம், மூன்று பிரபஞ்சத்தைப் போலவே திருப்தியற்றது. பழைய இயற்பியலின் மூன்று ஆயங்களோ அல்லது புதிய நான்கு ஆயங்களோ விவரிக்க போதுமானதாக இல்லாததால், பிரபஞ்சத்தை உருவாக்க தேவையான அனைத்து தரவுகளும் நம்மிடம் இல்லை என்று கூறலாம். மொத்தம்பிரபஞ்சத்தில் பல்வேறு நிகழ்வுகள்.

பல்வேறு பரிமாணங்களின் "க்யூப்ஸ்" வரிசையில் கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரு கோட்டில் ஒரு பரிமாண கன சதுரம் ஒரு பிரிவு ஆகும். இரு பரிமாணம் - ஒரு சதுரம். சதுரத்தின் எல்லை நான்கு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது - சிகரங்கள்மற்றும் நான்கு பிரிவுகள் - விலா எலும்புகள்எனவே, ஒரு சதுரம் அதன் எல்லையில் இரண்டு வகையான கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது: புள்ளிகள் மற்றும் பிரிவுகள். முப்பரிமாண கனசதுரத்தின் எல்லையில் மூன்று வகையான கூறுகள் உள்ளன: செங்குத்துகள் - அவற்றில் 8 உள்ளன, விளிம்புகள் (பிரிவுகள்) - அவற்றில் 12 மற்றும் முகங்கள் உள்ளன (சதுரங்கள்) - அவற்றில் 6 ஒரு பரிமாண பிரிவு AB இரு பரிமாண சதுர ABCD இன் முகமாக செயல்படுகிறது, சதுரம் ABCDHEFG கனசதுரத்தின் பக்கமாகும், இது நான்கு பக்கமாக இருக்கும். - பரிமாண ஹைபர்க்யூப்.

நான்கு பரிமாண ஹைபர்கியூப்பில், 16 செங்குத்துகள் இருக்கும்: அசல் கனசதுரத்தின் 8 செங்குத்துகள் மற்றும் நான்காவது பரிமாணத்தில் மாற்றப்பட்ட ஒன்றின் 8. இது 32 விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது - 12 ஒவ்வொன்றும் அசல் கனசதுரத்தின் ஆரம்ப மற்றும் இறுதி நிலைகளைக் கொடுக்கின்றன, மேலும் 8 விளிம்புகள் அதன் எட்டு முனைகளை "வரைய" செய்கின்றன, அவை நான்காவது பரிமாணத்திற்கு நகர்ந்தன. ஒரு ஹைபர்கியூப்பின் முகங்களுக்கும் இதே காரணத்தை செய்யலாம். இரு பரிமாண இடத்தில் ஒன்று மட்டுமே உள்ளது (சதுரமே), ஒரு கனசதுரத்தில் அவற்றில் 6 உள்ளன (நகர்த்தப்பட்ட சதுரத்திலிருந்து இரண்டு முகங்கள் மற்றும் அதன் பக்கங்களை விவரிக்கும் மேலும் நான்கு). நான்கு பரிமாண ஹைபர்கியூப் 24 சதுர முகங்களைக் கொண்டுள்ளது - அசல் கனசதுரத்தின் 12 சதுரங்கள் இரண்டு நிலைகளில் மற்றும் அதன் பன்னிரண்டு விளிம்புகளிலிருந்து 12 சதுரங்கள்.

உள்ள ஒருங்கிணைப்புகள்நான்கு பரிமாண வெளி.

ஒரு கோட்டில் ஒரு புள்ளி ஒரு எண், ஒரு விமானத்தில் ஒரு புள்ளி ஒரு ஜோடி எண்கள், முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு புள்ளி மூன்று எண்கள் என வரையறுக்கப்படுகிறது. எனவே, இந்த கற்பனை இடத்தில் ஒரு புள்ளியை நான்கு மடங்கு எண்களாக வரையறுப்பதன் மூலம் நான்கு பரிமாண வெளியின் வடிவவியலை உருவாக்குவது முற்றிலும் இயற்கையானது.

நான்கு பரிமாண கனசதுரத்தின் இரு பரிமாண முகம் என்பது புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், இதற்காக இரண்டு ஆயத்தொலைவுகள் 0 முதல் 1 வரையிலான அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம், மற்ற இரண்டு நிலையானது (0 அல்லது 1 க்கு சமம்).

முப்பரிமாண முகம் நான்கு பரிமாண கன சதுரம் என்பது புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், இதில் மூன்று ஆயத்தொலைவுகள் 0 முதல் 1 வரை அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளையும் எடுக்கும், மேலும் ஒன்று நிலையானது (0 அல்லது 1 க்கு சமம்).

பல்வேறு பரிமாணங்களின் கனசதுரங்களின் வளர்ச்சி.

நாங்கள் ஒரு பகுதியை எடுத்து, ஒரு பகுதியை எல்லா பக்கங்களிலும் வைத்து, மற்றொன்றை ஏதேனும் ஒன்றில் இணைக்கிறோம், இந்த விஷயத்தில் சரியான பிரிவில்.

சதுர ஸ்கேன் கிடைத்தது.

நாங்கள் ஒரு சதுரத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம், எல்லா பக்கங்களிலும் ஒரு சதுரத்தை வைக்கிறோம், இன்னொன்றை எந்த ஒன்றுடனும் இணைக்கிறோம், இந்த விஷயத்தில் கீழ் சதுரத்திற்கு.

இது முப்பரிமாண கனசதுரத்தின் வளர்ச்சியாகும்.

நான்கு பரிமாண கன சதுரம்

நாங்கள் ஒரு கனசதுரத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம், எல்லா பக்கங்களிலும் ஒரு கனசதுரத்தை வைக்கவும், இந்த கீழ் கனசதுரத்தில் ஏதேனும் ஒன்றை இணைக்கவும்.

நான்கு பரிமாண கனசதுரத்தின் வளர்ச்சி

ஒரு நான்கு பரிமாண கனசதுரம் கம்பியால் ஆனது மற்றும் ஒரு எறும்பு உச்சியில் (1;1;1;1) அமர்ந்திருக்கும் என்று கற்பனை செய்துகொள்வோம், பின்னர் எறும்பு ஒரு உச்சியில் இருந்து மற்றொன்றுக்கு விளிம்புகளில் ஊர்ந்து செல்ல வேண்டும்.

கேள்வி: உச்சிக்கு (0;0;0;0) செல்ல அவர் எத்தனை விளிம்புகளை வலம் வர வேண்டும்?

4 விளிம்புகளுடன், அதாவது, உச்சி (0;0;0;0) என்பது 4வது வரிசை உச்சி, 1 விளிம்பைக் கடந்து செல்வதன் மூலம், 0 ஆயத்தொலைவுகளில் ஒன்றைக் கொண்ட ஒரு உச்சியை அடையலாம், இது 1வது வரிசை உச்சம், 2 விளிம்புகளைக் கடந்து செல்வதன் மூலம், 2 பூஜ்ஜியங்கள் இருக்கும் செங்குத்துகளுக்குச் செல்ல முடியும், 2 வது வரிசையின் செங்குத்துகள் உள்ளன, அத்தகைய 6 செங்குத்துகள் உள்ளன, 3 விளிம்புகளைக் கடந்து, 3 ஆய பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட செங்குத்துகளைப் பெறுவார், இவை செங்குத்துகள் மூன்றாவது வரிசை.

பல பரிமாண இடைவெளியில் மற்ற கனசதுரங்கள் உள்ளன. டெஸராக்டுடன் கூடுதலாக, நீங்கள் க்யூப்ஸை உருவாக்கலாம் அதிக எண்ணிக்கையிலானஅளவீடுகள். ஐந்து பரிமாண கனசதுரத்தின் மாதிரியானது ஒரு பென்டராக்ட் என்பது 32 செங்குத்துகள், 80 விளிம்புகள், 80 முகங்கள், 40 கனசதுரங்கள் மற்றும் 10 டெசெராக்ட்கள்.

கலைஞர்கள், இயக்குநர்கள், சிற்பிகள், விஞ்ஞானிகள் பல பரிமாண கனசதுரத்தை வெவ்வேறு வழிகளில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறார்கள். இங்கே சில உதாரணங்கள்:

பல அறிவியல் புனைகதை எழுத்தாளர்கள் தங்கள் படைப்புகளில் டெசராக்டை விவரிக்கிறார்கள். எடுத்துக்காட்டாக, ராபர்ட் ஆன்சன் ஹெய்ன்லீன் (1907-1988) ஹைப்பர் க்யூப்ஸ் பற்றி குறிப்பிட்டுள்ளார். குறைந்தபட்சம், அவரது புனைகதை அல்லாத மூன்று கதைகள். "The House of Four Dimensions" இல் அவர் ஒரு டெசராக்ட் விரிவடைவது போல் கட்டப்பட்ட ஒரு வீட்டை விவரித்தார்.

கியூப் 2 படத்தின் கதைக்கரு ஹைப்பர் கியூப்பில் சிக்கிய எட்டு அந்நியர்களை மையமாகக் கொண்டது.

« சிலுவை மரணம்" சால்வடார் டாலி 1954 (1951). டாலியின் சர்ரியலிசம் நமது யதார்த்தத்திற்கும் பிற உலகத்திற்கும், குறிப்பாக, 4-பரிமாண உலகத்திற்கு இடையேயான தொடர்பைத் தேடியது. எனவே, ஒருபுறம், இது ஆச்சரியமாக இருக்கிறது, ஆனால், மறுபுறம், அது ஆச்சரியமல்ல வடிவியல் உருவம்க்யூப்ஸால் ஆனது, ஒரு கிறிஸ்தவ சிலுவையை உருவாக்குகிறது, இது 4-பரிமாண கன சதுரம் அல்லது டெசராக்டின் 3 பரிமாண வளர்ச்சியின் ஒரு உருவமாகும்.

அக்டோபர் 21 அன்று, பென்சில்வேனியா ஸ்டேட் யுனிவர்சிட்டியின் கணிதத் துறை "ஆக்டாக்யூப்" என்று அழைக்கப்படும் ஒரு அசாதாரண சிற்பத்தை வெளியிட்டது. இது முப்பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள நான்கு பரிமாண வடிவியல் பொருளின் படம். சிற்பத்தின் ஆசிரியரான பேராசிரியர் அட்ரியன் ஒக்னியானுவின் கூற்றுப்படி, இதுபோன்ற ஒரு அழகான உருவம் உலகில் இதுவரை இருந்ததில்லை, கிட்டத்தட்ட அல்லது உடல் ரீதியாக, நான்கு பரிமாண உருவங்களின் முப்பரிமாண கணிப்புகள் இதற்கு முன்பு செய்யப்பட்டுள்ளன.

பொதுவாக, கணிதவியலாளர்கள் நான்கு, ஐந்து மற்றும் இன்னும் பல பரிமாண பொருள்களுடன் எளிதாக செயல்படுகிறார்கள், ஆனால் அவற்றை முப்பரிமாண இடத்தில் சித்தரிக்க முடியாது. "ஆக்டாக்யூப்", அனைத்து ஒத்த உருவங்களைப் போலவே, உண்மையில் நான்கு பரிமாணங்கள் அல்ல. இதை ஒரு வரைபடத்துடன் ஒப்பிடலாம் - பூகோளத்தின் முப்பரிமாண மேற்பரப்பின் ஒரு தட்டையான தாளில் ஒரு திட்டம்.

கணினியைப் பயன்படுத்தி ரேடியல் ஸ்டீரியோகிராஃபியைப் பயன்படுத்தி ஒக்னேனுவால் நான்கு பரிமாண உருவத்தின் முப்பரிமாணத் திட்டம் பெறப்பட்டது. அதே நேரத்தில், அசல் நான்கு பரிமாண உருவத்தின் சமச்சீர்நிலை பாதுகாக்கப்பட்டது. சிற்பம் 24 உச்சிகளையும் 96 முகங்களையும் கொண்டுள்ளது. நான்கு பரிமாண இடைவெளியில், ஒரு உருவத்தின் விளிம்புகள் நேராக இருக்கும், ஆனால் திட்டத்தில் அவை வளைந்திருக்கும். முப்பரிமாண ப்ரொஜெக்ஷனின் முகங்களுக்கும் அசல் உருவத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணங்கள் ஒரே மாதிரியானவை.

"Octacube" இலிருந்து உருவாக்கப்பட்டது துருப்பிடிக்காத எஃகுபென்சில்வேனியா மாநில பல்கலைக்கழகத்தில் பொறியியல் பட்டறைகளில். கணித பீடத்தின் புதுப்பிக்கப்பட்ட மெக்அலிஸ்டர் கட்டிடத்தில் இந்த சிற்பம் நிறுவப்பட்டது.

ரெனே டெஸ்கார்ட்ஸ் மற்றும் ஹெர்மன் மின்கோவ்ஸ்கி போன்ற பல விஞ்ஞானிகளுக்கு பல பரிமாண விண்வெளி ஆர்வமாக இருந்தது. இன்று, இந்த தலைப்பில் அறிவு அதிகரித்து வருகிறது. இது நமது காலத்தின் கணிதவியலாளர்கள், ஆராய்ச்சியாளர்கள் மற்றும் கண்டுபிடிப்பாளர்கள் தங்கள் இலக்குகளை அடையவும் அறிவியலை முன்னேற்றவும் உதவுகிறது. பல பரிமாண விண்வெளியில் ஒரு படி என்பது மனிதகுலத்தின் புதிய, மிகவும் வளர்ந்த சகாப்தத்திற்கு ஒரு படியாகும்.

மனித மூளையின் பரிணாமம் முப்பரிமாண விண்வெளியில் நடந்தது. எனவே, மூன்றுக்கும் அதிகமான பரிமாணங்களைக் கொண்ட இடைவெளிகளை நாம் கற்பனை செய்வது கடினம். உண்மையில், மனித மூளை மூன்றுக்கும் அதிகமான பரிமாணங்களைக் கொண்ட வடிவியல் பொருட்களை கற்பனை செய்து பார்க்க முடியாது. அதே நேரத்தில், பரிமாணங்கள் மூன்று மட்டுமல்ல, இரண்டு மற்றும் ஒன்று பரிமாணங்களைக் கொண்ட வடிவியல் பொருட்களை நாம் எளிதாக கற்பனை செய்யலாம்.

ஒரு பரிமாண மற்றும் இரு பரிமாண இடைவெளிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு மற்றும் ஒப்புமை, அதே போல் இரு பரிமாண மற்றும் முப்பரிமாண இடைவெளிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு மற்றும் ஒப்புமை ஆகியவை அதிக பரிமாணங்களின் இடைவெளிகளிலிருந்து நம்மைத் தடுக்கும் மர்மத்தின் திரையை சிறிது திறக்க அனுமதிக்கிறது. இந்த ஒப்புமை எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, மிகவும் எளிமையான நான்கு பரிமாணப் பொருளைக் கவனியுங்கள் - ஒரு ஹைப்பர்க்யூப், அதாவது நான்கு பரிமாண கன சதுரம். குறிப்பாகச் சொல்வதானால், ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கலைத் தீர்க்க விரும்புகிறோம், அதாவது, நான்கு பரிமாண கனசதுரத்தின் சதுர முகங்களின் எண்ணிக்கையை எண்ணுவோம். அனைத்து மேலதிக பரிசீலனைகளும் மிகவும் தளர்வாக இருக்கும், எந்த ஆதாரமும் இல்லாமல், முற்றிலும் ஒப்புமையாக இருக்கும்.

ஒரு வழக்கமான கனசதுரத்திலிருந்து ஒரு ஹைப்பர்கியூப் எவ்வாறு கட்டமைக்கப்படுகிறது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு வழக்கமான சதுரத்திலிருந்து ஒரு வழக்கமான கனசதுரம் எவ்வாறு உருவாக்கப்படுகிறது என்பதை முதலில் பார்க்க வேண்டும். இந்த பொருளின் விளக்கக்காட்சியில் அசல் தன்மைக்காக, நாங்கள் இங்கே ஒரு சாதாரண சதுரத்தை சப்கியூப் என்று அழைப்போம் (மேலும் அதை ஒரு சுக்குபஸுடன் குழப்ப மாட்டோம்).

ஒரு துணைக் கனசதுரத்திலிருந்து ஒரு கனசதுரத்தை உருவாக்க, மூன்றாம் பரிமாணத்தின் திசையில் துணைக் கனசதுரத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு திசையில் துணைக் கனசதுரத்தை நீட்ட வேண்டும். இந்த வழக்கில், ஆரம்ப சப்க்யூப்பின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலிருந்தும் ஒரு துணைக் கன சதுரம் வளரும், இது கனசதுரத்தின் பக்க இரு பரிமாண முகமாகும், இது கனசதுரத்தின் முப்பரிமாண அளவை நான்கு பக்கங்களிலும் கட்டுப்படுத்தும், ஒவ்வொரு திசைக்கும் செங்குத்தாக இரண்டு துணைக் கனசதுரத்தின் விமானம். புதிய மூன்றாவது அச்சில் கனசதுரத்தின் முப்பரிமாண அளவைக் கட்டுப்படுத்தும் இரண்டு துணைக் கனசதுரங்களும் உள்ளன. இதுவே நமது சப்கியூப் முதலில் அமைந்திருந்த இரு பரிமாண முகமாகவும், கனசதுரத்தின் கட்டுமானத்தின் முடிவில் சப்கியூப் வந்த கனசதுரத்தின் இரு பரிமாண முகமாகவும் உள்ளது.

நீங்கள் இப்போது படித்தவை மிகையான விவரங்கள் மற்றும் நிறைய தெளிவுபடுத்தல்களுடன் வழங்கப்படுகின்றன. மற்றும் நல்ல காரணத்திற்காக. இப்போது நாம் அத்தகைய தந்திரத்தை செய்வோம், முந்தைய உரையில் சில சொற்களை இந்த வழியில் முறையாக மாற்றுவோம்:
கன சதுரம் -> மிகை கன சதுரம்
துணைக் கன சதுரம் -> கன சதுரம்
விமானம் -> தொகுதி
மூன்றாவது -> நான்காவது
இரு பரிமாண -> முப்பரிமாண
நான்கு -> ஆறு
முப்பரிமாண -> நான்கு பரிமாண
இரண்டு -> மூன்று
விமானம் -> விண்வெளி

இதன் விளைவாக, பின்வரும் அர்த்தமுள்ள உரையைப் பெறுகிறோம், இது இனி அதிக விவரமாகத் தெரியவில்லை.

ஒரு கனசதுரத்திலிருந்து ஒரு ஹைப்பர்கியூபை உருவாக்க, நீங்கள் கனசதுரத்தின் கனசதுரத்திற்கு செங்குத்தாக நான்காவது பரிமாணத்தின் திசையில் கனசதுரத்தை நீட்ட வேண்டும். இந்த வழக்கில், அசல் கனசதுரத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலிருந்தும் ஒரு கனசதுரம் வளரும், இது ஹைபர்க்யூப்பின் பக்கவாட்டு முப்பரிமாண முகமாகும், இது ஹைபர்கியூப்பின் நான்கு பரிமாண அளவை ஆறு பக்கங்களிலும் கட்டுப்படுத்தும், ஒவ்வொரு திசையிலும் மூன்று செங்குத்தாக இருக்கும். கனசதுரத்தின் இடம். மேலும் புதிய நான்காவது அச்சில் இரண்டு கனசதுரங்களும் உள்ளன, அவை ஹைப்பர்க்யூப்பின் நான்கு பரிமாண அளவைக் கட்டுப்படுத்துகின்றன. இதுவே நமது கனசதுரம் முதலில் அமைந்திருந்த முப்பரிமாண முகமாகவும், ஹைப்பர் கியூபின் கட்டுமானத்தின் முடிவில் கனசதுரம் வந்த ஹைப்பர் கியூபின் முப்பரிமாண முகமாகவும் உள்ளது.

நாம் பெற்ற நம்பிக்கை ஏன் நமக்கு சரியான விளக்கம்ஒரு ஹைப்பர்க்யூப் உருவாக்கவா? ஆம், ஏனென்றால் அதே முறையான வார்த்தைகளை மாற்றுவதன் மூலம் ஒரு சதுரத்தின் கட்டுமானத்தின் விளக்கத்திலிருந்து ஒரு கனசதுரத்தின் கட்டுமானத்தின் விளக்கத்தைப் பெறுகிறோம். (அதை நீங்களே பாருங்கள்.)

கனசதுரத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலிருந்தும் மற்றொரு முப்பரிமாண கனசதுரம் வளர வேண்டும் என்றால், ஆரம்ப கனசதுரத்தின் ஒவ்வொரு விளிம்பிலிருந்தும் ஒரு முகம் வளர வேண்டும் என்பது இப்போது தெளிவாகிறது. மொத்தத்தில், கனசதுரத்தில் 12 விளிம்புகள் உள்ளன, அதாவது முப்பரிமாண இடத்தின் மூன்று அச்சுகளில் நான்கு பரிமாண அளவைக் கட்டுப்படுத்தும் அந்த 6 கனசதுரங்களில் கூடுதலாக 12 புதிய முகங்கள் (சப்கியூப்கள்) தோன்றும். மேலும் இரண்டு கனசதுரங்கள் எஞ்சியுள்ளன, அவை இந்த நான்கு பரிமாண அளவை நான்காவது அச்சில் கீழே மற்றும் மேலே இருந்து கட்டுப்படுத்துகின்றன. இந்த கனசதுரங்கள் ஒவ்வொன்றும் 6 முகங்கள் கொண்டது.

மொத்தத்தில், ஹைப்பர்க்யூப் 12+6+6=24 சதுர முகங்களைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம்.

பின்வரும் படம் ஒரு ஹைபர்கியூப்பின் தர்க்கரீதியான கட்டமைப்பைக் காட்டுகிறது. இது முப்பரிமாண விண்வெளியில் ஒரு ஹைப்பர்க்யூப் ஒரு முன்கணிப்பு போன்றது. இது விலா எலும்புகளின் முப்பரிமாண சட்டத்தை உருவாக்குகிறது. படத்தில், இயற்கையாகவே, இந்த சட்டகத்தின் திட்டத்தை ஒரு விமானத்தில் பார்க்கிறீர்கள்.

இந்த சட்டகத்தில், உள் கனசதுரம் கட்டுமானம் தொடங்கிய ஆரம்ப கனசதுரத்தைப் போன்றது மற்றும் நான்காவது அச்சில் ஹைபர்கியூப்பின் நான்கு பரிமாண அளவைக் கட்டுப்படுத்துகிறது. இந்த ஆரம்ப கனசதுரத்தை அளவீட்டின் நான்காவது அச்சில் மேல்நோக்கி நீட்டுகிறோம், அது வெளிப்புற கனசதுரத்திற்குள் செல்கிறது. எனவே இந்த உருவத்திலிருந்து வெளி மற்றும் உள் கனசதுரங்கள் அளவீட்டின் நான்காவது அச்சில் மிகை கனசதுரத்தை கட்டுப்படுத்துகின்றன.

இந்த இரண்டு கனசதுரங்களுக்கு இடையில் நீங்கள் மேலும் 6 புதிய க்யூப்ஸைக் காணலாம், அவை முதல் இரண்டின் பொதுவான முகங்களைத் தொடும். இந்த ஆறு கனசதுரங்கள் முப்பரிமாண இடைவெளியின் மூன்று அச்சுகளுடன் நமது ஹைப்பர்கியூபை பிணைத்தன. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அவர்கள் இந்த முப்பரிமாண சட்டத்தில் உள் மற்றும் வெளிப்புற க்யூப்ஸ் இருக்கும் முதல் இரண்டு கனசதுரங்களுடன் தொடர்புகொள்வது மட்டுமல்லாமல், அவை ஒருவருக்கொருவர் தொடர்பு கொள்கின்றன.

நீங்கள் நேரடியாக படத்தில் எண்ணி, ஹைப்பர்க்யூப் உண்மையில் 24 முகங்களைக் கொண்டிருப்பதை உறுதிசெய்யலாம். ஆனால் இந்தக் கேள்வி எழுகிறது. முப்பரிமாண இடத்தில் உள்ள இந்த ஹைப்பர் கியூப் பிரேம் எந்த இடைவெளியும் இல்லாமல் எட்டு முப்பரிமாண கனசதுரங்களால் நிரப்பப்பட்டுள்ளது. ஹைப்பர்க்யூப்பின் இந்த முப்பரிமாண ப்ரொஜெக்ஷனில் இருந்து உண்மையான ஹைப்பர்கியூபை உருவாக்க, நீங்கள் இந்த சட்டகத்தை உள்ளே திருப்ப வேண்டும்.

இது இப்படி செய்யப்பட்டுள்ளது. நான்கு பரிமாண விண்வெளியில் வசிப்பவரை எங்களைப் பார்க்க அழைக்கிறோம் மற்றும் எங்களுக்கு உதவுமாறு கேட்டுக்கொள்கிறோம். இது இந்த சட்டகத்தின் உள் கனசதுரத்தைப் பிடித்து, அதை நான்காவது பரிமாணத்தின் திசையில் நகர்த்துகிறது, இது நமது முப்பரிமாண இடத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது. நமது முப்பரிமாண இடைவெளியில், முழு உள் சட்டமும் மறைந்து, வெளிப்புற கனசதுரத்தின் சட்டகம் மட்டுமே எஞ்சியிருப்பது போல் உணர்கிறோம்.

மேலும், எங்கள் நான்கு பரிமாண உதவியாளர் வலியற்ற பிரசவத்திற்கு மகப்பேறு மருத்துவமனைகளில் தனது உதவியை வழங்குகிறார், ஆனால் குழந்தை வயிற்றில் இருந்து மறைந்து, இணையான முப்பரிமாண இடத்தில் முடிவடையும் என்ற எதிர்பார்ப்பால் எங்கள் கர்ப்பிணிப் பெண்கள் பயப்படுகிறார்கள். எனவே, நான்கு பரிமாண நபர் பணிவாக மறுக்கப்படுகிறார்.

ஹைப்பர்கியூப் சட்டகத்தை உள்ளே திருப்பும்போது நமது கனசதுரங்களில் சில பிரிந்துவிட்டனவா என்ற கேள்வியால் நாங்கள் குழப்பமடைகிறோம். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு ஹைப்பர் கியூப்பைச் சுற்றியுள்ள சில முப்பரிமாண கனசதுரங்கள் தங்கள் அண்டை வீட்டாரைத் தங்கள் முகங்களால் தொட்டால், நான்கு பரிமாண கனசதுரமானது சட்டகத்தை உள்ளே திருப்பினால், அவர்களும் இதே முகங்களால் தொடுவார்களா?

மீண்டும் குறைந்த பரிமாணங்களின் இடைவெளிகளுடன் ஒப்புமைக்கு திரும்புவோம். பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள ஒரு விமானத்தில் ஒரு முப்பரிமாண கனசதுரத்தின் திட்டத்துடன் ஹைப்பர்கியூப் சட்டத்தின் படத்தை ஒப்பிடுக.

இரு பரிமாண விண்வெளியில் வசிப்பவர்கள், ஒரு கனசதுரத்தை விமானத்தின் மீது செலுத்துவதற்காக ஒரு விமானத்தில் ஒரு சட்டத்தை உருவாக்கி, முப்பரிமாண குடியிருப்பாளர்களான எங்களை இந்த சட்டகத்தை உள்ளே திருப்ப அழைத்தனர். நாம் உள் சதுரத்தின் நான்கு செங்குத்துகளை எடுத்து, விமானத்திற்கு செங்குத்தாக நகர்த்துகிறோம். இரு பரிமாண குடியிருப்பாளர்கள் எல்லாம் முற்றிலும் காணாமல் போவதைக் காண்கிறார்கள் உள் சட்டகம், மேலும் அவை வெளிப்புற சதுரத்தின் சட்டத்தை மட்டுமே கொண்டுள்ளன. அத்தகைய செயல்பாட்டின் மூலம், அவற்றின் விளிம்புகளுடன் தொடர்பில் இருந்த அனைத்து சதுரங்களும் அதே விளிம்புகளைத் தொடுகின்றன.

எனவே, ஹைப்பர்க்யூப்பின் லாஜிக்கல் ஸ்கீமையும், ஹைப்பர்க்யூப்பின் சட்டகத்தை உள்ளே திருப்பும்போது மீறப்படாது என்று நம்புகிறோம், மேலும் ஹைபர்கியூப்பின் சதுர முகங்களின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்காது, இன்னும் 24க்கு சமமாக இருக்கும். இது நிச்சயமாக , ஆதாரம் இல்லை, ஆனால் முற்றிலும் ஒப்புமை மூலம் யூகம் .

நீங்கள் இங்கு படித்த அனைத்திற்கும் பிறகு, ஐந்து பரிமாண கனசதுரத்தின் தருக்க கட்டமைப்பை எளிதாக வரைந்து, அதில் உள்ள செங்குத்துகள், விளிம்புகள், முகங்கள், கனசதுரங்கள் மற்றும் ஹைப்பர்க்யூப்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடலாம். இது ஒன்றும் கடினம் அல்ல.