காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த எடுத்துக்காட்டுகளில் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கும் முறை. திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு என்றால் என்ன? இந்த வகை ஒருங்கிணைப்பில் தேர்ச்சி பெற, முதலில் ஒரு தயாரிப்பின் வழித்தோன்றலை நினைவில் கொள்வோம்:

$((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

கேள்வி எழுகிறது: ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு என்ன செய்ய வேண்டும்? இப்போது இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம். எனவே அதை எழுதுவோம்:

$\int((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\\ int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

ஆனால் பக்கவாதத்தின் எதிர்விளைவு என்றால் என்ன? இது பக்கவாதத்தின் உள்ளே இருக்கும் செயல்பாடு தான். எனவே அதை எழுதுவோம்:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

இந்த சமன்பாட்டில், நான் சொல்லை வெளிப்படுத்த முன்மொழிகிறேன். எங்களிடம் உள்ளது:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

இதுதான் பாகங்கள் சூத்திரம் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு. எனவே, நாம் அடிப்படையில் வழித்தோன்றல் மற்றும் செயல்பாட்டை பரிமாற்றுகிறோம். ஆரம்பத்தில் ஒரு பக்கவாதத்தின் ஒருங்கிணைப்பை ஏதாவது ஒன்றால் பெருக்கினால், ஒரு பக்கவாதத்தால் பெருக்கப்படும் புதிய ஒன்றின் ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுகிறோம். அவ்வளவுதான் விதி. முதல் பார்வையில், இந்த சூத்திரம் சிக்கலானதாகவும் அர்த்தமற்றதாகவும் தோன்றலாம், ஆனால் உண்மையில், இது கணக்கீடுகளை பெரிதும் எளிதாக்கும். இப்போது பார்க்கலாம்.

ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

சிக்கல் 1. கணக்கிடவும்:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

மடக்கைக்கு முன் 1ஐச் சேர்ப்பதன் மூலம் வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

எண் அல்லது செயல்பாடு மாறாது என்பதால் இதைச் செய்ய எங்களுக்கு உரிமை உண்டு. இப்போது இந்த வெளிப்பாட்டை சூத்திரத்தில் எழுதப்பட்டவற்றுடன் ஒப்பிடலாம். $(f)"$ இன் பங்கு 1 ஆகும், எனவே நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\ end(align)$

இந்த செயல்பாடுகள் அனைத்தும் அட்டவணையில் உள்ளன. இப்போது எங்கள் வெளிப்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அனைத்து கூறுகளையும் விவரித்துள்ளோம், பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த ஒருங்கிணைப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ முடிவு(சீரமைப்பு)\]

அவ்வளவுதான், ஒருங்கிணைப்பு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

சிக்கல் 2. கணக்கிடவும்:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d) )x))$

$x$ஐ வழித்தோன்றலாக எடுத்துக் கொண்டால், அதில் இருந்து நாம் இப்போது ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், $((x)^(2))$ கிடைக்கும், மேலும் இறுதி வெளிப்பாட்டில் $((x)^(2) இருக்கும் )((\text(e))^(-x))$.

வெளிப்படையாக, சிக்கல் எளிமைப்படுத்தப்படவில்லை, எனவே ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் காரணிகளை மாற்றுகிறோம்:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$

இப்போது குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Rightarrow f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$

$((\text(e))^(-x))$: வேறுபடுத்துவோம்

$((\left((\ text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\\ இடது(-x \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கழித்தல் முதலில் சேர்க்கப்பட்டு பின்னர் இரு பக்கங்களும் ஒருங்கிணைக்கப்படுகின்றன:

\[\begin(align)& ((\left((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Rightarrow ((\text(e))^(-x))=-(\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime )) \\& \int((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int((\left((\text(e))^(-) x)) \right))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(align)\]

இப்போது $g$ செயல்பாட்டைப் பார்ப்போம்:

$g=x\Rightarrow (g)"=1$

நாங்கள் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-(\text(e) ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x) +1 \வலது)+C \\\ end(align)$

எனவே, பகுதிகள் மூலம் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பை செய்துள்ளோம்.

சிக்கல் 3. கணக்கிடவும்:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

இந்த நிலையில், $(f)"$க்கு எதை எடுக்க வேண்டும், $g$க்கு எதை எடுக்க வேண்டும்? $x$ ஒரு வழித்தோன்றலாக செயல்பட்டால், ஒருங்கிணைப்பின் போது $\frac(((x)^(2)) )(2 )$, மற்றும் முதல் காரணி எங்கும் மறைந்துவிடாது - அது $\frac((((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ எனவே, காரணிகளை மீண்டும் மாற்றுவோம்:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ முடிவு(சீரமைப்பு)$

நாங்கள் எங்கள் அசல் வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுகிறோம் மற்றும் பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தின்படி அதை விரிவாக்குகிறோம்:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\ end(align)\]

அவ்வளவுதான், மூன்றாவது பிரச்சனை தீர்ந்தது.

முடிவில், இன்னொரு முறை பார்க்கலாம் பாகங்கள் சூத்திரம் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு. எந்தக் காரணி வழித்தோன்றலாக இருக்கும், எது உண்மையான செயல்பாடாக இருக்கும் என்பதை எவ்வாறு தேர்வு செய்வது? இங்கே ஒரே ஒரு அளவுகோல் உள்ளது: நாம் வேறுபடுத்தும் உறுப்பு ஒரு "அழகான" வெளிப்பாட்டைக் கொடுக்க வேண்டும், அது பின்னர் குறைக்கப்படும் அல்லது வேறுபாட்டின் போது முற்றிலும் மறைந்துவிடும். இத்துடன் பாடம் முடிகிறது.

இந்த தலைப்பில் "பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு" என்று அழைக்கப்படுவதைப் பயன்படுத்தி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீடு பற்றி விரிவாகப் பேசுவோம். எங்களுக்கு காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை மற்றும் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை தேவைப்படும். முதல் பகுதியில், நிலையான எடுத்துக்காட்டுகள் விவாதிக்கப்படும், அவை பெரும்பாலும் நிலையான கணக்கீடுகளில் காணப்படுகின்றன சோதனைகள். மேலும் சிக்கலான உதாரணங்கள்இரண்டாவது பகுதியில் விவாதிக்கப்பட்டது.

நிலையான வழக்கில் சிக்கல் அறிக்கை பின்வருமாறு. ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் நமக்கு இரண்டு செயல்பாடுகள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம் வெவ்வேறு இயல்புடையது: பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் முக்கோணவியல் செயல்பாடு, பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் மடக்கை, பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடு மற்றும் பல. இந்த சூழ்நிலையில், ஒரு செயல்பாட்டை மற்றொன்றிலிருந்து பிரிப்பது சாதகமானது. தோராயமாகச் சொன்னால், ஒருங்கிணைப்பை பகுதிகளாக உடைப்பது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது - மேலும் ஒவ்வொரு பகுதியையும் தனித்தனியாக கையாள்வது. எனவே பெயர்: "பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு." இந்த முறையின் பயன்பாடு பின்வரும் கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது:

சில இடைவெளியில் $u(x)$ மற்றும் $v(x)$ செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்தலாம், மேலும் இந்த இடைவெளியில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த $\int v \ உள்ளது; du$. பின்னர் அதே இடைவெளியில் ஒருங்கிணைந்த $\int u \; dv$, மற்றும் பின்வரும் சமத்துவம் உண்மை:

\begin(சமன்பாடு) \int u \; dv=u\cdot v-\int v\; du\end(சமன்பாடு)

ஃபார்முலா (1) "பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு" என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில நேரங்களில், மேலே உள்ள தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தும்போது, ​​​​"பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறையை" பயன்படுத்துவதைப் பற்றி பேசுகிறார்கள். இந்த முறையின் சாராம்சம் எங்களுக்கு முக்கியமானதாக இருக்கும், இது உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி பரிசீலிப்போம். சூத்திரம் (1) தெளிவாகப் பொருந்தும் பல நிலையான வழக்குகள் உள்ளன. இந்த வழக்குகள் தான் இந்தப் பக்கத்தின் தலைப்பாக மாறும். அனுமதிக்க $P_n(x)$ - n வது பல்லுறுப்புக்கோவைபட்டங்கள். இரண்டு விதிகளை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

விதி எண் 1

படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு $\int P_n(x) \ln x \;dx$, $\int P_n(x) \arcsin x \;dx$, $\int P_n(x) \arccos x \;dx$, $\ int P_n(x)\arctg x \;dx$, $\int P_n(x) \arcctg x \;dx$ $dv=P_n(x)dx$ என்று எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

விதி எண் 2

படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு $\int P_n(x) a^x \;dx$ ($a$ என்பது சில நேர்மறை எண்), $\int P_n(x) \sin x \;dx$, $\int P_n(x) \cos x \;dx$, $\int P_n(x)ch x \;dx$, $\int P_n (x) sh x \;dx$ $u=P_n(x)$ என்று எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

மேலே உள்ள பதிவுகள் உண்மையில் எடுக்கப்படக்கூடாது என்பதை உடனடியாக கவனிக்கிறேன். எடுத்துக்காட்டாக, $\int P_n(x) \ln x \;dx$ வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளில் சரியாக $\ln x$ இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. $\ln 5x$ மற்றும் $\ln (10x^2+14x-5)$ இரண்டும் அங்கு அமைந்திருக்கும். அந்த. $\ln x$ குறியீட்டை ஒரு வகையான பொதுமைப்படுத்தலாக எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.

இன்னும் ஒரு விஷயம். பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு பல முறை பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டு எண் 4 மற்றும் எண் 5 இல் இதைப் பற்றி மேலும் விரிவாகப் பேசலாம். இப்போது வழக்கமான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு நேரடியாக செல்லலாம். தரத்தை விட சற்றே அதிகமாக இருக்கும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது இரண்டாம் பகுதியில் விவாதிக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1

$\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$.

ஒருங்கிணைப்புக்குக் கீழே பல்லுறுப்புக்கோவை $3x+4$ மற்றும் முக்கோணவியல் செயல்பாடு $\cos (2x-1)$. இது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான ஒரு உன்னதமான வழக்கு, எனவே கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த பகுதிகளை எடுத்துக் கொள்வோம். சூத்திரத்திற்கு ஒருங்கிணைந்த $\int (3x+4) \cos (2x-1)\; dx$ என்பது $\int u\; dv$. $u$ மற்றும் $dv$க்கான வெளிப்பாடுகளை நாம் தேர்வு செய்ய வேண்டும். நாம் $3x+4$ ஐ $u$ ஆகவும், பிறகு $dv=\cos (2x-1)dx$ ஆகவும் எடுக்கலாம். நாம் $u=\cos (2x-1)$, பிறகு $dv=(3x+4)dx$ ஐ எடுத்துக் கொள்ளலாம். செய்ய சரியான தேர்வுக்கு திரும்புவோம். கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த $\int (3x+4) \cos (2x-1)\; dx$ ஆனது $\int P_n(x) \cos x \;dx$ வடிவத்தின் கீழ் வரும் (எங்கள் ஒருங்கிணைந்த $P_n(x)$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவை $3x+4$ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது). அதன்படி, நீங்கள் $u=P_n(x)$ ஐ தேர்வு செய்ய வேண்டும், அதாவது. எங்கள் விஷயத்தில் $u=3x+4$. $u=3x+4$ என்பதால், $dv=\cos(2x-1)dx$.

இருப்பினும், $u$ மற்றும் $dv$ ஆகியவற்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது மட்டும் போதாது. எங்களுக்கு $du$ மற்றும் $v$ மதிப்புகளும் தேவைப்படும். $u=3x+4$ என்பதால், பின்:

$$ du=d(3x+4)=(3x+4)"dx=3dx.$$

இப்போது $v$ செயல்பாட்டைப் பார்ப்போம். $dv=\cos(2x-1)dx$ என்பதால், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வரையறையின்படி நாம்: $ v=\int \cos(2x-1)\; dx$. தேவையான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய, பின்வருவனவற்றை வேறுபட்ட அடையாளத்திற்குப் பயன்படுத்துகிறோம்:

$$ v=\int \cos(2x-1)\; dx=\frac(1)(2)\cdot \int \cos(2x-1)d(2x-1)=\frac(1)(2)\cdot \sin(2x-1)+C=\frac (\sin(2x-1))(2)+C. $$

எவ்வாறாயினும், $\frac(\sin(2x-1))(2)+C$ சூத்திரத்தால் விவரிக்கப்படும் $v$ செயல்பாடுகளின் முழு எல்லையற்ற தொகுப்பும் எங்களுக்குத் தேவையில்லை. எங்களுக்கு சில தேவை ஒன்றுஇந்த தொகுப்பிலிருந்து செயல்பாடு. தேவையான செயல்பாட்டைப் பெற, நீங்கள் $C$ க்குப் பதிலாக சில எண்ணை மாற்ற வேண்டும். நிச்சயமாக எளிதான வழி, $C=0$ ஐ மாற்றுவது, இதன் மூலம் $v=\frac(\sin(2x-1))(2)$ ஐப் பெறுவது.

எனவே, மேலே உள்ள அனைத்தையும் ஒன்றாக இணைக்கலாம். எங்களிடம் உள்ளது: $u=3x+4$, $du=3dx$, $dv=\cos(2x-1)dx$, $v=\frac(\sin(2x-1))(2)$. எங்களிடம் உள்ள சூத்திரத்தின் வலது பக்கத்தில் இவை அனைத்தையும் மாற்றுவது:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=(3x+4)\cdot\frac(\sin(2x-1))(2)-\int \frac(\sin(2x-1))(2)\cdot 3dx. $$

உண்மையில் எஞ்சியிருப்பது $\int\frac(\sin(2x-1))(2)\cdot 3dx$. ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை (அதாவது $\frac(3)(2)$) எடுத்து, அதை வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் அறிமுகப்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

$$ (3x+4)\cdot \frac(\sin(2x-1))(2)-\int \frac(\sin(2x-1))(2)\cdot 3dx= \frac((3x+ 4) )\cdot\sin(2x-1))(2)-\frac(3)(2)\int \sin(2x-1) \;dx= \\ =\frac((3x+4)\cdot \ sin(2x-1))(2)-\frac(3)(4)\int \sin(2x-1) \;d(2x-1)= \frac((3x+4)\cdot\sin ( 2x-1))(2)-\frac(3)(4)\cdot (-\cos (2x-1))+C=\\ =\frac((3x+4)\cdot\sin(2x - 1))(2)+\frac(3)(4)\cdot \cos (2x-1)+C. $$

எனவே $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac((3x+4)\cdot\sin(2x-1))(2)+\frac(3)(4)\cdot \cos (2x-1)+C$. சுருக்கமான வடிவத்தில், தீர்வு செயல்முறை பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\இடது | \begin(சீரமைக்கப்பட்டது) & u=3x+4; \; du=3xdx.\\ & dv=\cos(2x-1)dx; \; v=\frac(\sin(2x-1))(2). \end(சீரமைக்கப்பட்டது) \right |=\\ =(3x+4)\cdot\frac(\sin(2x-1))(2)-\int \frac(\sin(2x-1))(2) \cdot 3dx= \frac((3x+4)\cdot\sin(2x-1))(2)-\frac(3)(2)\int \sin(2x-1) \;dx=\\ = \frac((3x+4)\cdot\sin(2x-1))(2)-\frac(3)(4)\cdot (-\cos (2x-1))+C= \frac((3x) +4)\cdot\sin(2x-1))(2)+\frac(3)(4)\cdot\cos (2x-1)+C. $$

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு பகுதிகளால் கண்டறியப்பட்டது, பதிலை எழுதுவது மட்டுமே.

பதில்: $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac((3x+4)\cdot\sin(2x-1))(2)+\frac(3)(4)\cdot \cos (2x-1)+C$.

இங்கே ஒரு கேள்வி இருப்பதாக நான் நம்புகிறேன், எனவே நான் அதை வடிவமைத்து பதில் கொடுக்க முயற்சிப்பேன்.

ஏன் சரியாக $u=3x+4$ மற்றும் $dv=\cos(2x-1)dx$ எடுத்தோம்? ஆம், ஒருங்கிணைப்பு தீர்க்கப்பட்டது. ஆனால் நாம் $u=\cos (2x-1)$ மற்றும் $dv=(3x+4)dx$ ஆகியவற்றை எடுத்துக் கொண்டால், ஒருங்கிணைப்பும் காணப்படும்!

இல்லை, $u=\cos (2x-1)$ மற்றும் $dv=(3x+4)dx$ ஆகியவற்றை எடுத்துக் கொண்டால், அதில் நல்லது எதுவும் வராது - ஒருங்கிணைப்பு எளிமைப்படுத்தப்படாது. நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்: $u=\cos(2x-1)$ எனில், $du=(\cos(2x-1))"dx=-2\sin(2x-1)dx$. மேலும், $dv முதல் =(3x+4)dx$, பிறகு:

$$ v=\int (3x+4) \; dx=\frac(3x^2)(2)+4x+C.$$

$C=0$ஐ எடுத்துக் கொண்டால், $v=\frac(3x^2)(2)+4x$ கிடைக்கும். இப்போது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளான $u$, $du$, $v$ மற்றும் $dv$ ஆகியவற்றை சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\cos (2x-1)\cdot \left(\frac(3x^2)(2)+4x \right) - \int \left(\frac(3x^2)(2)+4x \right) \cdot (-2\sin(2x-1)dx)=\\ =\cos (2x-1)\cdot \left(\frac(3x^2)(2)+4x \right) +2\cdot\ int \left(\frac(3x^2)(2)+4x \right) \sin(2x-1)\;dx $$

நாம் என்ன வந்தோம்? ஒருங்கிணைந்த $\int \left(\frac(3x^2)(2)+4x \right) \sin(2x-1)\;dx$ க்கு வந்தோம், இது அசல் ஒருங்கிணைந்த $\int ஐ விட தெளிவாக மிகவும் சிக்கலானது (3x+4 ) \cos (2x-1) \; dx$. $u$ மற்றும் $dv$ ஆகியவற்றின் தேர்வு மோசமாக செய்யப்பட்டதாக இது தெரிவிக்கிறது. பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்திய பிறகு, இதன் விளைவாக வரும் ஒருங்கிணைப்பானது அசல் ஒன்றை விட எளிமையானதாக இருக்க வேண்டும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பை பகுதிகளால் கண்டறியும் போது, ​​நாம் அதை எளிமையாக்க வேண்டும், சிக்கலாக்கக்கூடாது, எனவே, சூத்திரம் (1) ஐப் பயன்படுத்திய பிறகு ஒருங்கிணைப்பு மிகவும் சிக்கலானதாக இருந்தால், $u$ மற்றும் $dv$ ஆகியவற்றின் தேர்வு தவறாக செய்யப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2

$\int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$.

ஒருங்கிணைப்புக்குக் கீழே ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை (அதாவது $3x^4+4x-1$) மற்றும் $\ln 5x$. இந்த வழக்கு கீழ் வருகிறது, எனவே பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பை எடுத்துக் கொள்வோம். கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பானது $\int P_n(x) \ln x\; dx$. மீண்டும், எடுத்துக்காட்டு எண். 1 இல் உள்ளதைப் போல, ஒருங்கிணைந்த $(3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$ $u$ ஆகவும், சில பகுதி $dv$ ஆகவும். படி, நீங்கள் $dv=P_n(x)dx$ ஐ தேர்வு செய்ய வேண்டும், அதாவது. எங்கள் விஷயத்தில் $dv=(3x^4+4x-1)dx$. வெளிப்பாட்டிலிருந்து $(3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$ "நீக்கு" $dv=(3x^4+4x-1)dx$, பிறகு $\ln 5x$ இருக்கும் - இது $u$ செயல்பாடாக இருக்கும். எனவே, $dv=(3x^4+4x-1)dx$, $u=\ln 5x$. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த, எங்களுக்கு $du$ மற்றும் $v$ தேவை. $u=\ln 5x$ என்பதால், பிறகு:

$$ du=d(\ln 5x)=(\ln 5x)"dx=\frac(1)(5x)\cdot 5 dx=\frac(1)(x)dx. $$

இப்போது $v$ செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம். $dv=(3x^4+4x-1)dx$ என்பதால்:

$$ v=\int(3x^4+4x-1)\; dx=\frac(3x^5)(5)+2x^2-x+C. $$

$\frac(3x^5)(5)+2x^2-x+C$ முழுவதும் காணப்படும் எல்லையற்ற செயல்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். இதைச் செய்வதற்கான எளிதான வழி $C=0$, அதாவது. $v=\frac(3x^5)(5)+2x^2-x$. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த எல்லாம் தயாராக உள்ளது. $u=\ln 5x$, $du=\frac(1)(x)dx$, $v=\frac(3x^5)(5)+2x^2-x$ மற்றும் மதிப்புகளை மாற்றுவோம் $dv=(3x^4+4x-1)dx$ எங்களிடம் இருக்கும்:

$$ \int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx=\இடது | \begin(சீரமைக்கப்பட்டது) & u=\ln 5x; \; du=\frac(1)(x)dx.\\ & dv=(3x^4+4x-1)dx; \; v=\frac(3x^5)(5)+2x^2-x. \end(சீரமைக்கப்பட்டது) \வலது |=\\ =\ln 5x \cdot \left (\frac(3x^5)(5)+2x^2-x \right)-\int \left (\frac(3x^ 5)(5)+2x^2-x \right)\cdot \frac(1)(x)dx=\\ =\இடது (\frac(3x^5)(5)+2x^2-x \வலது )\cdot\ln 5x -\int \left (\frac(3x^4)(5)+2x-1 \right)dx=\\ =\இடது (\frac(3x^5)(5)+2x^ 2-x \right)\cdot\ln 5x - \left (\frac(3x^5)(25)+x^2-x \right)+C=\\ =\left (\frac(3x^5) (5)+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac(3x^5)(25)-x^2+x+C. $$

பதில்: $\int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx=\left (\frac(3x^5)(5)+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac(3x^5)(25)-x^2+x+C$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3

$\int \arccos x\; dx$.

இந்த ஒருங்கிணைப்பு $\int P_n(x) \arccos x \;dx$ என்ற கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, இது கீழ் வரும். ஒரு நியாயமான கேள்வி உடனடியாக எழும் என்பதை நான் புரிந்துகொள்கிறேன்: “கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த $\int\arccos x \; ” இருப்பினும், உண்மையில், ஆர்க் கொசைன் மட்டும் ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் அமைந்துள்ளது. ஒருங்கிணைந்த $\int arccos x\; இந்த வடிவத்தில் dx$: $\int 1\cdot\arccos x \; dx$. ஒன்றால் பெருக்குவது ஒருங்கிணைப்பை மாற்றாது என்பதை ஒப்புக்கொள். இந்த அலகு $P_n(x)$ ஆகும். அந்த. $dv=1\cdot dx=dx$. மற்றும் $u$ (படி) நாம் $\arccos x$ ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம், அதாவது. $u=\arccos x$. சூத்திரத்தில் உள்ள $du$ மற்றும் $v$ மதிப்புகள் முந்தைய உதாரணங்களில் உள்ளதைப் போலவே காணப்படும்:

$$ du=(\arccos x)"dx=-\frac(1)(\sqrt(1-x^2))dx;\\ v=\int 1\; dx=x+C. $$

முந்தைய உதாரணங்களைப் போலவே, $C=0$ என்று வைத்துக் கொண்டால், $v=x$ கிடைக்கும். கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அனைத்து அளவுருக்களையும் சூத்திரத்தில் மாற்றினால், பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்:

$$ \int \arccos x \; dx=\இடது | \begin(சீரமைக்கப்பட்டது) & u=\arccos x; \; du=-\frac(1)(\sqrt(1-x^2))dx.\\ & dv=dx; \; v=x. \end(சீரமைக்கப்பட்டது) \right |=\\ =\arccos x \cdot x-\int x\cdot \left(-\frac(1)(\sqrt(1-x^2))dx \right)= \ arccos x \cdot x+\int \frac(xdx)(\sqrt(1-x^2))=\\ =x\cdot\arccos x-\frac(1)(2)\cdot\int (1-x ^2)^(-\frac(1)(2))d(1-x^2)= =x\cdot\arccos x-\frac(1)(2)\cdot\frac((1-x^ 2)^(\frac(1)(2)))(\frac(1)(2))+C=\\ =x\cdot\arccos x-\sqrt(1-x^2)+C. $$

பதில்: $\int\arccos x\; dx=x\cdot\arccos x-\sqrt(1-x^2)+C$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 4

$\int (3x^2+x) e^(7x) \; dx$.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு இரண்டு முறை பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். ஒருங்கிணைந்த $\int (3x^2+x) e^(7x) \; dx$ ஆனது $\int P_n(x) a^x \;dx$ என்ற அமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. எங்கள் விஷயத்தில், $P_n(x)=3x^2+x$, $a=e$. எங்களிடம் உள்ளபடி: $u=3x^2+x$. அதன்படி, $dv=e^(7x)dx$.

$$ du=(3x^2+x)"=(6x+1)dx;\\ v=\int e^(7x)\;dx=\frac(1)(7)\cdot \int e^( 7x)\;d(7x)=\frac(1)(7)\cdot e^(7x)+C=\frac(e^(7x))(7)+C $$.

மீண்டும், முந்தைய எடுத்துக்காட்டுகளைப் போலவே, $C=0$ எனக் கருதி, எங்களிடம் உள்ளது: $v=\frac(e^(7x))(7)$.

$$ \int (3x^2+x) e^(7x) \; dx=\இடது | \begin(சீரமைக்கப்பட்டது) & u=3x^2+x; \; du=(6x+1)dx.\\ & dv=e^(7x)dx; \; v=\frac(e^(7x))(7). \end(சீரமைக்கப்பட்டது) \வலது |=\\ =(3x^2+x)\cdot\frac(e^(7x))(7)-\int \frac(e^(7x))(7)\cdot (6x+1)dx= \frac((3x^2+x)e^(7x))(7)-\frac(1)(7)\cdot \int (6x+1) e^(7x)\ ;dx. $$

ஒருங்கிணைந்த $\int (6x+1) e^(7x)\;dx$ க்கு வந்துள்ளோம், அதை மீண்டும் பகுதிகளாக எடுக்க வேண்டும். $u=6x+1$ மற்றும் $dv=e^(7x)dx$ ஆகியவற்றை எடுத்துக் கொண்டால் எங்களிடம் உள்ளது:

$$ \frac((3x^2+x)e^(7x))(7)-\frac(1)(7)\cdot \int (6x+1) e^(7x)\;dx=\இடது | \begin(சீரமைக்கப்பட்டது) & u=6x+1; \; du=6dx.\\ & dv=e^(7x)dx; \; v=\frac(e^(7x))(7). \end(சீரமைக்கப்பட்டது) \வலது |=\\ =\frac((3x^2+x)e^(7x)(7)-\frac(1)(7)\cdot \left ((6x+1) \cdot\frac(e^(7x))(7) - \int\frac(e^(7x))(7)\cdot 6\;dx \right)=\\ =\frac((3x^2+ x)e^(7x))(7) -\frac((6x+1)e^(7x))(49) +\frac(6)(49)\cdot\int\ e^(7x)\; dx=\\ =\frac((3x^2+x)e^(7x))(7) -\frac((6x+1)e^(7x))(49) +\frac(6)(49 )\cdot\frac(e^(7x))(7)+C=\\ =\frac((3x^2+x)e^(7x))(7) -\frac((6x+1)e ^(7x))(49) +\frac(6\; e^(7x))(343)+C. $$

அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து விதிமுறைகளை மறுசீரமைப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட பதிலை எளிதாக்கலாம்:

$$ \frac((3x^2+x)e^(7x))(7) -\frac((6x+1)e^(7x))(49) +\frac(6\; e^(7x ))(343)+C=e^(7x)\cdot \left(\frac(3x^2)(7)+\frac(x)(49)-\frac(1)(343) \வலது)+ சி. $$

பதில்: $\int (3x^2+x) e^(7x) \; dx=e^(7x)\cdot \left(\frac(3x^2)(7)+\frac(x)(49)-\frac(1)(343) \right)+C$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 5

$\int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx$.

இங்கே, முந்தைய எடுத்துக்காட்டில், பகுதிகளின் ஒருங்கிணைப்பு இரண்டு முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. விரிவான விளக்கங்கள் முன்பே கொடுக்கப்பட்டன, எனவே நான் தீர்வை மட்டுமே தருகிறேன்:

$$ \int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx=\இடது | \begin(சீரமைக்கப்பட்டது) & u=x^2+5; \; du=2xdx.\\ & dv=\sin(3x+1)dx; \; v=-\frac(\cos(3x+1))(3). \end(சீரமைக்கப்பட்டது) \வலது |=\\ =(x^2+5)\cdot \left(-\frac(\cos(3x+1))(3) \right)-\int\left(-\ frac(\cos(3x+1))(3) \right)\cdot 2xdx=\\ = -\frac((x^2+5)\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac (2)(3)\int x\cos(3x+1)dx= \left | \begin(சீரமைக்கப்பட்டது) & u=x; \; du=dx.\\ & dv=\cos(3x+1)dx; \; v=\frac(\sin(3x+1))(3). \end(சீரமைக்கப்பட்டது) \வலது |=\\ =-\frac((x^2+5)\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2)(3)\cdot \left( x\cdot\frac(\sin(3x+1))(3)-\int\frac(\sin(3x+1))(3)dx \right)=\\ =-\frac((x^2) +5)\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9)-\frac(2)(9)\cdot\int\sin(3x+1 )dx=\\ =-\frac((x^2+5)\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9)-\frac ( 2)(9)\cdot \left(-\frac(\cos(3x+1))(3)\right)+C=\\ = -\frac((x^2+5)\cdot\cos ( 3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9)+\frac(2\cos(3x+1))(27)+C=\\ =-\frac ( x^2\cdot\cos(3x+1))(3)-\frac(5\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9 ) +\frac(2\cos(3x+1))(27)+C=\\ =-\frac(x^2\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin 3x+1))(9)-\frac(43\cos(3x+1))(27)+C. $$

பதில்: $\int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx=-\frac(x^2\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9)-\frac(43\cos(3x+1) )(27)+C$.

விதிகள் எண். 1 மற்றும் எண். 2க்கு உட்பட்டு இல்லாத ஓரளவு தரமற்ற நிகழ்வுகளில் பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறையின் பயன்பாடு கொடுக்கப்படும்.

பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு இதுபோல் தெரிகிறது:
.

பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கும் முறை இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதைக் கொண்டுள்ளது. மணிக்கு நடைமுறை பயன்பாடு u மற்றும் v ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு மாறியின் செயல்பாடுகள் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. விடுங்கள் ஒருங்கிணைப்பு மாறி x என குறிக்கப்படுகிறது (ஒருங்கிணைந்த குறியீட்டின் முடிவில் உள்ள வேறுபாடு குறி d க்கு பின் வரும் குறியீடு). பின்னர் u மற்றும் v என்பது x இன் செயல்பாடுகள்: u(x) மற்றும் v(x) .
பிறகு
, .
பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கிறது:
.

அதாவது, ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு இரண்டு செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்:
,
அதில் ஒன்றை நாம் u: g(x) = u எனக் குறிப்பிடுகிறோம், மற்றொன்றுக்கு ஒருங்கிணைவு கணக்கிடப்பட வேண்டும் (இன்னும் துல்லியமாக, ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும்):
, பின்னர் dv = f(x) dx .

சில சந்தர்ப்பங்களில் f(x) = 1 .
,
அதாவது, ஒருங்கிணைப்பில்

நாம் g(x) = u, x = v என்று வைக்கலாம்.

ரெஸ்யூம் எனவே, உள்ளேஇந்த முறை
;
.

, பாகங்கள் சூத்திரம் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு இரண்டு வடிவங்களில் நினைவில் மற்றும் விண்ணப்பிக்க மதிப்பு:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் கணக்கிடப்படும் ஒருங்கிணைப்புகள்

மடக்கைகள் மற்றும் தலைகீழ் முக்கோணவியல் (ஹைபர்போலிக்) செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஒருங்கிணைப்புகள்

மடக்கைகள் மற்றும் தலைகீழ் முக்கோணவியல் அல்லது ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஒருங்கிணைப்புகள் பெரும்பாலும் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், மடக்கை அல்லது தலைகீழ் முக்கோணவியல் (ஹைபர்போலிக்) செயல்பாடுகளைக் கொண்ட பகுதி u ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, மீதமுள்ள பகுதி dv ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.
, , , , , , .

அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே உள்ளன, அவை பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கும் முறையால் கணக்கிடப்படுகின்றன:

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் sin x, cos x அல்லது e x ஆகியவற்றின் பெருக்கத்தைக் கொண்ட ஒருங்கிணைப்புகள்
, , ,
பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள் காணப்படுகின்றன: இதில் P(x) என்பது x இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.ஒருங்கிணைக்கும்போது, ​​பல்லுறுப்புக்கோவை P(x) u மற்றும் e ax dx, cos ax dxஅல்லது

பாவம் கோடாரி dx
, , .

- டிவி வழியாக.

அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கைகள் மற்றும் தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஒருங்கிணைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

உதாரணம்

ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்:
விரிவான தீர்வு இங்கே ஒருங்கிணைப்பு ஒரு மடக்கையைக் கொண்டுள்ளது. மாற்றீடுகள் செய்தல்,
u = ln x.
பிறகு
,
.

dv = x
.
பிறகு
.
2 டிஎக்ஸ்

மீதமுள்ள ஒருங்கிணைப்பை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்: கணக்கீடுகளின் முடிவில், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பாக இருப்பதால், C மாறிலியைச் சேர்க்க வேண்டியது அவசியம். இது இடைநிலை கணக்கீடுகளிலும் சேர்க்கப்படலாம், ஆனால் இது கணக்கீடுகளை ஒழுங்கீனம் செய்யும்.

மேலும்

குறுகிய தீர்வு

நீங்கள் ஒரு சிறிய பதிப்பில் தீர்வை வழங்கலாம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் u மற்றும் v உடன் மாற்றீடுகளைச் செய்ய வேண்டியதில்லை, ஆனால் நீங்கள் காரணிகளைக் குழுவாகக் கொள்ளலாம் மற்றும் இரண்டாவது வடிவத்தில் பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தலாம்.

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கைகள் மற்றும் தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஒருங்கிணைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்
.

பதில்

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் sin x, cos x அல்லது ex ஆகியவற்றின் பெருக்கத்தைக் கொண்ட ஒருங்கிணைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்போம்.
.
பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறையையும் நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்.
.
.
.
இறுதியாக எங்களிடம் உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் F(x) வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு X எனப்படும் செயல்பாட்டின் எதிர்வழி f(x), அல்லது f(x) இன் ஒருங்கிணைப்பு, ஒவ்வொரு x X க்கும் பின்வரும் சமத்துவம் இருந்தால்:

F "(x) = f(x). (8.1)

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கான அனைத்து ஆன்டிடெரிவேடிவ்களையும் கண்டறிவது அதன் அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைப்பு. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் f(x) X ஆனது அனைத்தின் தொகுப்பு எனப்படும் ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகள் f(x) செயல்பாட்டிற்கு; பதவி -

F(x) என்பது f(x) செயல்பாட்டின் சில எதிர்வழியாக இருந்தால், ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

இதில் C என்பது தன்னிச்சையான மாறிலி.

ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை

வரையறையிலிருந்து நேரடியாக நாம் இல்லை என்பதன் முக்கிய பண்புகளைப் பெறுகிறோம் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்தமற்றும் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளின் பட்டியல்:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளின் பட்டியல்

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (மீ ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = ஆர்க்டான் x + சி

8. = ஆர்க்சின் x + சி

10. = - ctg x + C

மாறி மாற்று

பல செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்க, மாறி மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தவும் அல்லது மாற்றீடுகள்,ஒருங்கிணைப்புகளை அட்டவணை வடிவத்திற்கு குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது.

f(z) சார்பு [α,β] இல் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், z =g(x) சார்பு ஒரு தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல் மற்றும் α ≤ g(x) ≤ β, பின்னர்

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

மேலும், வலது பக்கத்தில் ஒருங்கிணைத்த பிறகு, மாற்று z=g(x) செய்யப்பட வேண்டும்.

அதை நிரூபிக்க, அசல் ஒருங்கிணைப்பை வடிவத்தில் எழுதினால் போதும்:

∫ f(g(x)) g "(x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

உதாரணமாக:

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறை

u = f(x) மற்றும் v = g(x) ஆகியவை தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளாக இருக்கட்டும். பின்னர், வேலையின் படி,

d(uv))= udv + vdu அல்லது udv = d(uv) - vdu.

d(uv) வெளிப்பாட்டிற்கு, ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் வெளிப்படையாக uv ஆக இருக்கும், எனவே சூத்திரம் உள்ளது:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

இந்த சூத்திரம் விதியை வெளிப்படுத்துகிறது பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு. இது udv=uv"dx என்ற வெளிப்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பை vdu=vu"dx என்ற வெளிப்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்புக்கு இட்டுச் செல்கிறது.

உதாரணமாக, நீங்கள் ∫xcosx dx ஐக் கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறீர்கள். u = x, dv = cosxdx, எனவே du=dx, v=sinx என்று வைப்போம். பிறகு

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

பகுதிகளின் ஒருங்கிணைப்பு விதி மாறிகளின் மாற்றீட்டைக் காட்டிலும் வரையறுக்கப்பட்ட நோக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஆனால் ஒருங்கிணைப்புகளின் முழு வகுப்புகளும் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax மற்றும் பிற, இவை துல்லியமாக பகுதிகளின் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் கருத்து பின்வருமாறு அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாடு f(x) ஒரு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்படட்டும். பிரிவை [a,b] பிரிப்போம் nபகுதிகள் a= x 0 புள்ளிகள்< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. f(ξ i)Δ x i படிவத்தின் கூட்டுத்தொகை அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைந்த தொகை, மற்றும் அதன் வரம்பு λ = maxΔx i → 0 இல் இருந்தால், அது வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், அழைக்கப்படுகிறது திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்தசெயல்பாடுகள் f(x) of அசெய்ய பிமற்றும் நியமிக்கப்பட்டது:

F(ξ i)Δx i (8.5).

இந்த வழக்கில் f(x) செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது, a மற்றும் b எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகள்.

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கு பின்வரும் பண்புகள் உண்மையாக இருக்கும்:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

கடைசி சொத்து அழைக்கப்படுகிறது சராசரி மதிப்பு தேற்றம்.

f(x) இல் தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும். இந்த பிரிவில் ஒரு காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது

∫f(x)dx = F(x) + C

மற்றும் நடைபெறுகிறது நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம், திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புடன் இணைக்கிறது:

F(b) - F(a). (8.6)

வடிவியல் விளக்கம்: திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு என்பது வளைவு y=f(x), நேர் கோடுகள் x = a மற்றும் x = b மற்றும் அச்சின் ஒரு பகுதி ஆகியவற்றால் மேலே இருந்து வரம்புக்குட்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பகுதி. எருது.

முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்

எல்லையற்ற வரம்புகளைக் கொண்ட ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் இடைவிடாத (வரம்பற்ற) செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. உங்களுடையது அல்ல. முதல் வகையின் முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் -இவை எல்லையற்ற இடைவெளியில் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகள், பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன:

(8.7)

இந்த வரம்பு உள்ளது மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது f(x) இன் ஒன்றிணைந்த முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புஇடைவெளியில் [a,+ ∞), மற்றும் செயல்பாடு f(x) அழைக்கப்படுகிறது எல்லையற்ற இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது[a,+ ∞). இல்லையெனில், ஒருங்கிணைந்ததாக கூறப்படுகிறது இல்லை அல்லது வேறுபடுகிறது.

இடைவெளிகளில் தவறான ஒருங்கிணைப்புகள் (-∞,b] மற்றும் (-∞, + ∞) இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகின்றன:

வரம்பற்ற செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த கருத்தை வரையறுக்கலாம். எல்லா மதிப்புகளுக்கும் f(x) தொடர்ச்சியாக இருந்தால் xபிரிவு , புள்ளி c தவிர, இதில் f(x) முடிவிலா இடைநிறுத்தம் உள்ளது, பின்னர் இரண்டாவது வகையின் முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு f(x) a முதல் b வரைதொகை அழைக்கப்படுகிறது:

இந்த வரம்புகள் இருந்தால் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டவை. பதவி:

ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 3.30.∫dx/(x+2) கணக்கிடவும்.

தீர்வு. t = x+2, பின்னர் dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +சி.

எடுத்துக்காட்டு 3.31. ∫ tgxdx ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. t=cosx, பிறகு ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

தீர்வு.

உதாரணம்3.33. கண்டுபிடி .

தீர்வு. = .

உதாரணம்3.34 . ∫arctgxdx ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்போம். u=arctgx, dv=dx என்பதைக் குறிப்போம். பின்னர் du = dx/(x 2 +1), v=x, எங்கிருந்து ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; ஏனெனில்
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

உதாரணம்3.35 . ∫lnxdx ஐக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு.பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. பிறகு ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

உதாரணம்3.36 . ∫e x sinxdx ஐக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. u = e x, dv = sinxdx, பின்னர் du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx ஆகியவற்றைக் குறிப்போம். ஒருங்கிணைந்த ∫e x cosxdx ஐ பகுதிகளாகவும் ஒருங்கிணைக்கிறோம்: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. எங்களிடம் உள்ளது:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx என்ற தொடர்பைப் பெற்றோம், இதிலிருந்து 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

உதாரணம் 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x ஐக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. dx/x = dlnx என்பதால், J= ∫cos(lnx)d(lnx). lnx ஐ t மூலம் மாற்றினால், நாம் அட்டவணை ஒருங்கிணைந்த J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + Cக்கு வருகிறோம்.

உதாரணம் 3.38 . J = கணக்கிடவும்.

தீர்வு.= d(lnx) என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, lnx = t ஐ மாற்றுகிறோம். பின்னர் ஜே = .

உதாரணம் 3.39 . ஒருங்கிணைந்த J = ஐக் கணக்கிடவும் .

தீர்வு.எங்களிடம் உள்ளது: . எனவே =
=
=.

இவ்வாறு உள்ளிடப்பட்டது: sqrt(tan(x/2)).

முடிவு சாளரத்தில் மேல் வலது மூலையில் உள்ள படிகளைக் காட்டு என்பதைக் கிளிக் செய்தால், விரிவான தீர்வு கிடைக்கும்.

சிக்கலான ஒருங்கிணைப்புகள்

இந்த கட்டுரை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் தலைப்பை முடிக்கிறது, மேலும் நான் மிகவும் சிக்கலானதாகக் கருதும் ஒருங்கிணைப்புகளையும் உள்ளடக்கியது. தளத்தில் மிகவும் கடினமான எடுத்துக்காட்டுகள் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட வேண்டும் என்று தங்கள் விருப்பத்தை வெளிப்படுத்திய பார்வையாளர்களின் தொடர்ச்சியான கோரிக்கைகளின் பேரில் பாடம் உருவாக்கப்பட்டது. இந்த உரையை வாசிப்பவர் நன்கு தயாராக இருப்பதாகவும், அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு நுட்பங்களை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பது அவருக்குத் தெரியும் என்றும் கருதப்படுகிறது. டம்மிகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளில் அதிக நம்பிக்கை இல்லாதவர்கள் முதல் பாடத்தைப் பார்க்க வேண்டும் -காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

, நீங்கள் தலைப்பை கிட்டத்தட்ட புதிதாக மாஸ்டர் செய்யலாம். இன்னும் அனுபவம் வாய்ந்த மாணவர்கள் எனது கட்டுரைகளில் இதுவரை சந்திக்காத நுட்பங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு முறைகளை நன்கு அறிந்திருக்கலாம்.

என்ன ஒருங்கிணைப்புகள் கருதப்படும்? முதலில் நாம் வேர்களுடன் கூடிய ஒருங்கிணைப்புகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதன் தீர்வுக்காக நாம் தொடர்ச்சியாகப் பயன்படுத்துகிறோம்மாறி மாற்று மற்றும்பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு

. அதாவது, ஒரு எடுத்துக்காட்டில் இரண்டு நுட்பங்கள் ஒரே நேரத்தில் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. மேலும். பின்னர் நாம் சுவாரஸ்யமான மற்றும் அசல் பற்றி அறிந்து கொள்வோம்தன்னிடம் உள்ள ஒருங்கிணைப்பைக் குறைக்கும் முறை

. சில ஒருங்கிணைப்புகள் இந்த வழியில் தீர்க்கப்படுகின்றன.

நிரலின் மூன்றாவது இதழ் சிக்கலான பின்னங்களின் ஒருங்கிணைந்ததாக இருக்கும், இது முந்தைய கட்டுரைகளில் பண மேசையை கடந்தது.

நான்காவதாக, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளிலிருந்து கூடுதல் ஒருங்கிணைப்புகள் பகுப்பாய்வு செய்யப்படும். குறிப்பாக, நேரத்தைச் செலவழிக்கும் உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீட்டைத் தவிர்க்கும் முறைகள் உள்ளன.

(3) காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் நேரியல் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். உடனடியாக கடைசி ஒருங்கிணைப்பில் செயல்பாட்டை வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் வைக்கவும்.

(4) மீதமுள்ள ஒருங்கிணைப்புகளை நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம். ஒரு மடக்கையில் நீங்கள் ஒரு மாடுலஸை விட அடைப்புக்குறிக்குள் பயன்படுத்தலாம், ஏனெனில் .

(5) நாங்கள் ஒரு தலைகீழ் மாற்றத்தை மேற்கொள்கிறோம், நேரடி மாற்றிலிருந்து "te" ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம்:

நான் செய்தது போல் மசோகிஸ்டிக் மாணவர்கள் பதிலை வேறுபடுத்தி அசல் ஒருங்கிணைப்பைப் பெறலாம். இல்லை, இல்லை, நான் சரியான அர்த்தத்தில் சரிபார்த்தேன் =)

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, தீர்வின் போது நாங்கள் இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட தீர்வு முறைகளைப் பயன்படுத்த வேண்டியிருந்தது, எனவே அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகளைச் சமாளிக்க உங்களுக்கு நம்பிக்கையான ஒருங்கிணைப்புத் திறன்கள் மற்றும் கொஞ்சம் அனுபவம் தேவை.

நடைமுறையில், நிச்சயமாக, வர்க்கமூலம் மிகவும் பொதுவானது, அதை நீங்களே தீர்ப்பதற்கான மூன்று எடுத்துக்காட்டுகள்:

எடுத்துக்காட்டு 2

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

எடுத்துக்காட்டு 3

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

எடுத்துக்காட்டு 4

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே கட்டுரையின் முடிவில் உள்ள முழுமையான தீர்வு எடுத்துக்காட்டு 2 க்கு மட்டுமே இருக்கும். முடிவுகளின் தொடக்கத்தில் எந்த மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துவது என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது. ஒரே மாதிரியான உதாரணங்களை நான் ஏன் தேர்ந்தெடுத்தேன்? பெரும்பாலும் அவர்களின் பாத்திரத்தில் காணப்படுகிறது. அடிக்கடி, ஒருவேளை, ஏதோ ஒன்று .

ஆனால் எப்போதும் இல்லை, ஆர்க்டேன்ஜென்ட், சைன், கொசைன், எக்ஸ்போனென்ஷியல் மற்றும் பிற செயல்பாடுகளின் கீழ் ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டின் ரூட் இருக்கும்போது, ​​நீங்கள் ஒரே நேரத்தில் பல முறைகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். பல சந்தர்ப்பங்களில், "எளிதாக இறங்குவது" சாத்தியமாகும், அதாவது, மாற்றியமைத்த உடனேயே, ஒரு எளிய ஒருங்கிணைப்பு பெறப்படுகிறது, அதை எளிதாக எடுக்கலாம். மேலே முன்மொழியப்பட்ட பணிகளில் எளிமையானது எடுத்துக்காட்டு 4 ஆகும், இதில், மாற்றியமைக்கப்பட்ட பிறகு, ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான ஒருங்கிணைப்பு பெறப்படுகிறது.

தன்னிடம் உள்ள ஒருங்கிணைப்பைக் குறைப்பதன் மூலம்

ஒரு நகைச்சுவையான மற்றும் அழகான முறை. வகையின் கிளாசிக்ஸைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 5

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

மூலத்தின் கீழ் ஒரு இருபடி இருசொல் உள்ளது, மேலும் இந்த உதாரணத்தை ஒருங்கிணைக்க முயற்சிப்பது டீபாட் மணிநேரத்திற்கு தலைவலியைக் கொடுக்கும். அத்தகைய ஒருங்கிணைப்பு பகுதிகளாக எடுக்கப்பட்டு தானே குறைக்கப்படுகிறது. கொள்கையளவில், இது கடினம் அல்ல. எப்படி என்று தெரிந்தால்.

லத்தீன் எழுத்து மூலம் பரிசீலனையில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கவும், தீர்வைத் தொடங்கவும்:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்போம்:

(1) கால-படி-காலப் பிரிவிற்கான ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டைத் தயாரிக்கவும்.

(2) ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் காலத்தை காலத்தால் பிரிக்கிறோம். இது அனைவருக்கும் தெளிவாக இருக்காது, ஆனால் நான் அதை இன்னும் விரிவாக விவரிக்கிறேன்:

(3) காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் நேரியல் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

(4) கடைசி ஒருங்கிணைப்பை ("நீண்ட" மடக்கை) எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

இப்போது தீர்வின் ஆரம்பத்தைப் பார்ப்போம்:

மற்றும் இறுதிவரை:

என்ன நடந்தது? எங்கள் கையாளுதல்களின் விளைவாக, ஒருங்கிணைப்பு தானே குறைக்கப்பட்டது!

தொடக்கத்தையும் முடிவையும் சமன் செய்வோம்:

அடையாள மாற்றத்துடன் இடது பக்கம் நகர்த்தவும்:

நாங்கள் இரண்டையும் வலது பக்கமாக நகர்த்துகிறோம். இதன் விளைவாக:

நிலையானது, கண்டிப்பாகச் சொன்னால், முன்பே சேர்க்கப்பட்டிருக்க வேண்டும், ஆனால் நான் அதை இறுதியில் சேர்த்தேன். இங்கே கடுமை என்ன என்பதைப் படிக்க நான் கடுமையாக பரிந்துரைக்கிறேன்:

குறிப்பு: இன்னும் கண்டிப்பாக, தீர்வின் இறுதி நிலை இதுபோல் தெரிகிறது:

இவ்வாறு:

மாறிலியை மறுவடிவமைப்பு செய்யலாம். அதை ஏன் மறுவடிவமைப்பு செய்ய முடியும்? ஏனென்றால் அவர் அதை இன்னும் ஏற்றுக்கொள்கிறார் ஏதேனும்மதிப்புகள், மற்றும் இந்த அர்த்தத்தில் மாறிலிகள் மற்றும் இடையே எந்த வித்தியாசமும் இல்லை.
இதன் விளைவாக:

நிலையான மறுபரிசீலனையுடன் இதேபோன்ற தந்திரம் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது வேறுபட்ட சமன்பாடுகள். அங்கே நான் கண்டிப்பாக இருப்பேன். தேவையற்ற விஷயங்களில் உங்களைக் குழப்பாமல் இருப்பதற்காகவும், ஒருங்கிணைப்பு முறையின் மீது துல்லியமாக கவனம் செலுத்துவதற்காகவும் மட்டுமே இங்கே நான் அத்தகைய சுதந்திரத்தை அனுமதிக்கிறேன்.

எடுத்துக்காட்டு 6

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

சுயாதீன தீர்வுக்கான மற்றொரு பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில். முந்தைய உதாரணத்தில் உள்ள பதிலில் வித்தியாசம் இருக்கும்!

சதுர மூலத்தின் கீழ் ஒரு சதுர முக்கோணம் இருந்தால், எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் தீர்வு இரண்டு பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு வரும்.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒருங்கிணைப்பைக் கவனியுங்கள் . நீங்கள் செய்ய வேண்டியது எல்லாம் முதலில் ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:
.
அடுத்து, ஒரு நேரியல் மாற்றீடு மேற்கொள்ளப்படுகிறது, இது "எந்த விளைவுகளும் இல்லாமல்" செய்கிறது:
, ஒருங்கிணைந்த விளைவாக . தெரிந்த ஒன்று, இல்லையா?

அல்லது இந்த உதாரணம், இருபடி இருபக்கத்துடன்:
முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:
மேலும், நேரியல் மாற்றத்திற்குப் பிறகு, நாங்கள் ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுகிறோம், இது ஏற்கனவே விவாதிக்கப்பட்ட வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது.

ஒரு ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு குறைப்பது என்பதற்கு இன்னும் இரண்டு பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:
- சைனால் பெருக்கப்படும் அதிவேகத்தின் ஒருங்கிணைப்பு;
- கொசைனால் பெருக்கப்படும் அதிவேகத்தின் ஒருங்கிணைப்பு.

பகுதிகள் மூலம் பட்டியலிடப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகளில் நீங்கள் இரண்டு முறை ஒருங்கிணைக்க வேண்டும்:

எடுத்துக்காட்டு 7

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

ஒருங்கிணைப்பு என்பது சைனால் பெருக்கப்படும் அதிவேகமாகும்.

நாங்கள் இரண்டு முறை பகுதிகளால் ஒருங்கிணைத்து, ஒருங்கிணைப்பை தனக்குத்தானே குறைக்கிறோம்:

பாகங்கள் மூலம் இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு விளைவாக, ஒருங்கிணைவு தன்னை குறைக்கப்பட்டது. தீர்வின் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவை நாங்கள் சமன் செய்கிறோம்:

அடையாள மாற்றத்துடன் அதை இடது பக்கம் நகர்த்தி, எங்கள் ஒருங்கிணைப்பை வெளிப்படுத்துகிறோம்:

தயார். அதே நேரத்தில், வலது பக்கத்தை சீப்புவது நல்லது, அதாவது. அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து அடுக்குகளை எடுத்து, அடைப்புக்குறிக்குள் சைன் மற்றும் கோசைனை "அழகான" வரிசையில் வைக்கவும்.

இப்போது எடுத்துக்காட்டின் தொடக்கத்திற்குச் செல்வோம், அல்லது இன்னும் துல்லியமாக, பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைக்க:

நாங்கள் அடுக்கு என நியமித்தோம். கேள்வி எழுகிறது: இது எப்பொழுதும் குறிக்கப்பட வேண்டிய அடுக்குமா? அவசியம் இல்லை. உண்மையில், கருதப்படும் ஒருங்கிணைப்பில் அடிப்படையில் முக்கியமில்லை, நாம் எதைக் குறிப்பிடுகிறோம், நாங்கள் வேறு வழியில் சென்றிருக்கலாம்:

இது ஏன் சாத்தியம்? அதிவேகமானது தானே மாறுவதால் (வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் போது), சைன் மற்றும் கொசைன் ஒன்றுக்கொன்று மாறுகிறது (மீண்டும், வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் போது).

அதாவது, முக்கோணவியல் செயல்பாட்டையும் குறிக்கலாம். ஆனால், கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், இது குறைவான பகுத்தறிவு ஆகும், ஏனெனில் பின்னங்கள் தோன்றும். நீங்கள் விரும்பினால், இரண்டாவது முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த உதாரணத்தைத் தீர்க்க முயற்சி செய்யலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 8

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. நீங்கள் முடிவு செய்வதற்கு முன், அதிவேக சார்பு அல்லது முக்கோணவியல் செயல்பாட்டால் குறிக்க இந்த விஷயத்தில் அதிக லாபம் என்ன என்பதைப் பற்றி சிந்தியுங்கள்? பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

மற்றும், நிச்சயமாக, இந்த பாடத்தில் உள்ள பெரும்பாலான பதில்கள் வேறுபாட்டின் மூலம் சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்!

கருதப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் மிகவும் சிக்கலானவை அல்ல. நடைமுறையில், முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் அதிவேகத்திலும் வாதத்திலும் மாறிலி இருக்கும் இடத்தில் ஒருங்கிணைப்புகள் மிகவும் பொதுவானவை, எடுத்துக்காட்டாக: . இப்படிப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பில் பலர் குழப்பமடைவார்கள், நான் அடிக்கடி குழப்பமடைவேன். உண்மை என்னவென்றால், கரைசலில் பின்னங்கள் தோன்றுவதற்கான அதிக நிகழ்தகவு உள்ளது, மேலும் கவனக்குறைவால் எதையாவது இழப்பது மிகவும் எளிதானது. கூடுதலாக, அறிகுறிகளில் ஒரு பிழையின் அதிக நிகழ்தகவு உள்ளது, மேலும் இது கூடுதல் சிரமத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறது.

இறுதி கட்டத்தில், முடிவு பெரும்பாலும் இது போன்றது:

தீர்வின் முடிவில் கூட, நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் பின்னங்களை சரியாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும்:

சிக்கலான பின்னங்களை ஒருங்கிணைத்தல்

நாங்கள் மெதுவாக பாடத்தின் பூமத்திய ரேகையை நெருங்கி வருகிறோம் மற்றும் பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கருத்தில் கொள்ளத் தொடங்குகிறோம். மீண்டும், அவை அனைத்தும் மிகவும் சிக்கலானவை அல்ல, ஒரு காரணத்திற்காக அல்லது இன்னொரு காரணத்திற்காக எடுத்துக்காட்டுகள் மற்ற கட்டுரைகளில் கொஞ்சம் "தலைப்புக்கு வெளியே" இருந்தன.

வேர்களின் தீம் தொடர்கிறது

எடுத்துக்காட்டு 9

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

மூலத்தின் கீழ் உள்ள வகுப்பில் ஒரு இருபடி முக்கோணமும், ரூட்டிற்கு வெளியே "X" வடிவில் "இணைப்பு" உள்ளது. இந்த வகையின் ஒருங்கிணைந்த ஒரு நிலையான மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும்.

நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம்:

இங்கே மாற்றீடு எளிதானது:

மாற்றத்திற்குப் பிறகு வாழ்க்கையைப் பார்ப்போம்:

(1) மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு, ரூட்டின் கீழ் உள்ள சொற்களை பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கிறோம்.
(2) நாம் அதை வேரின் கீழ் இருந்து வெளியே எடுக்கிறோம்.
(3) எண் மற்றும் வகுப்பின் அளவு குறைக்கப்பட்டது. அதே நேரத்தில், ரூட்டின் கீழ், நான் ஒரு வசதியான வரிசையில் விதிமுறைகளை மறுசீரமைத்தேன். சில அனுபவத்துடன், படிகள் (1), (2) தவிர்க்கப்படலாம், கருத்துச் செய்த செயல்களை வாய்வழியாகச் செய்யலாம்.
(4) பாடத்தில் இருந்து நீங்கள் நினைவில் வைத்துள்ளபடி, விளைந்த ஒருங்கிணைப்பு சில பின்னங்களை ஒருங்கிணைத்தல், முடிவு செய்யப்பட்டு வருகிறது முழுமையான சதுர பிரித்தெடுத்தல் முறை. முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
(5) ஒருங்கிணைப்பு மூலம் நாம் ஒரு சாதாரண "நீண்ட" மடக்கையைப் பெறுகிறோம்.
(6) நாங்கள் தலைகீழ் மாற்றத்தை மேற்கொள்கிறோம். ஆரம்பத்தில் என்றால், பின்: .
(7) இறுதிச் செயலானது முடிவை நேராக்குவதை நோக்கமாகக் கொண்டது: ரூட்டின் கீழ் மீண்டும் விதிமுறைகளை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வந்து அவற்றை ரூட்டின் கீழ் இருந்து வெளியே எடுக்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 10

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இங்கே தனியான “X” க்கு ஒரு மாறிலி சேர்க்கப்படுகிறது, மேலும் மாற்றீடு கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்:

நீங்கள் கூடுதலாக செய்ய வேண்டிய ஒரே விஷயம், மேற்கொள்ளப்படும் மாற்றிலிருந்து "x" ஐ வெளிப்படுத்துவதுதான்:

பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

சில நேரங்களில் அத்தகைய ஒருங்கிணைப்பில் ரூட்டின் கீழ் ஒரு இருபடி இருசொல் இருக்கலாம், இது தீர்வு முறையை மாற்றாது, அது இன்னும் எளிமையாக இருக்கும். வித்தியாசத்தை உணருங்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 11

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

எடுத்துக்காட்டு 12

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

பாடத்தின் முடிவில் சுருக்கமான தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள். எடுத்துக்காட்டு 11 சரியாக உள்ளது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் ஈருறுப்பு ஒருங்கிணைப்பு, தீர்வு முறை வகுப்பில் விவாதிக்கப்பட்டது பகுத்தறிவற்ற செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள்.

சக்திக்கு 2 வது பட்டத்தின் சிதைக்க முடியாத பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒருங்கிணைப்பு

(வகுப்பில் பல்லுறுப்புக்கோவை)

மிகவும் அரிதான ஒருங்கிணைந்த வகை, ஆனால் நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகளில் எதிர்கொண்டது.

எடுத்துக்காட்டு 13

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

ஆனால் அதிர்ஷ்ட எண் 13 உடன் உதாரணத்திற்கு திரும்புவோம் (நேர்மையாக, நான் சரியாக யூகிக்கவில்லை). எப்படித் தீர்ப்பது என்று உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால் மிகவும் ஏமாற்றமடையக்கூடியவற்றில் இந்த ஒருங்கிணைப்பும் ஒன்றாகும்.

தீர்வு ஒரு செயற்கை மாற்றத்துடன் தொடங்குகிறது:

எண்கணிதத்தை வகுக்கும் காலத்தால் எப்படிப் பிரிப்பது என்பது அனைவருக்கும் ஏற்கனவே புரிந்திருக்கும் என்று நினைக்கிறேன்.

இதன் விளைவாக ஒருங்கிணைந்த பகுதிகள் எடுக்கப்படுகின்றன:

படிவத்தின் (-இயற்கை எண்) ஒருங்கிணைப்புக்கு நாம் பெறுகிறோம் மீண்டும் மீண்டும்குறைப்பு சூத்திரம்:
, எங்கே - ஒரு டிகிரி குறைந்த ஒருங்கிணைந்த.

தீர்க்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கான இந்த சூத்திரத்தின் செல்லுபடியை சரிபார்ப்போம்.
இந்த வழக்கில்:, , நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, பதில்கள் ஒரே மாதிரியானவை.

எடுத்துக்காட்டு 14

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. மாதிரி தீர்வு மேலே உள்ள சூத்திரத்தை தொடர்ச்சியாக இரண்டு முறை பயன்படுத்துகிறது.

பட்டத்தின் கீழ் இருந்தால் பிரிக்க முடியாததுசதுர முக்கோணம், பின்னர் தீர்வு சரியான சதுரத்தை தனிமைப்படுத்துவதன் மூலம் ஒரு இருபக்கமாக குறைக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக:

எண்ணில் கூடுதல் பல்லுறுப்புக்கோவை இருந்தால் என்ன செய்வது? இந்த வழக்கில், காலவரையற்ற குணகங்களின் முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் ஒருங்கிணைப்பு பின்னங்களின் தொகையாக விரிவாக்கப்படுகிறது. ஆனால் என் நடைமுறையில் அத்தகைய உதாரணம் உள்ளது சந்தித்ததில்லை, அதனால் நான் இந்த வழக்கை கட்டுரையில் தவறவிட்டேன் பகுதியளவு-பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள், நான் இப்போது தவிர்க்கிறேன். அத்தகைய ஒருங்கிணைப்பை நீங்கள் இன்னும் சந்தித்தால், பாடப்புத்தகத்தைப் பாருங்கள் - அங்கு எல்லாம் எளிது. பொருள் (எளிமையானவை கூட), சந்திக்கும் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் என்பதைச் சேர்ப்பது நல்லது என்று நான் நினைக்கவில்லை.

சிக்கலான முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைத்தல்

பெரும்பாலான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு "சிக்கலானது" என்ற பெயரடை மீண்டும் பெரும்பாலும் நிபந்தனைக்கு உட்பட்டது. உயர் சக்திகளில் தொடுகோடுகள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்களுடன் ஆரம்பிக்கலாம். பயன்படுத்தப்படும் தீர்க்கும் முறைகளின் பார்வையில், தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் கிட்டத்தட்ட ஒரே விஷயம், எனவே நான் தொடுகோடு பற்றி மேலும் பேசுவேன், ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான நிரூபிக்கப்பட்ட முறை கோட்டான்ஜென்ட்டிற்கும் செல்லுபடியாகும் என்பதைக் குறிக்கிறது.

மேலே உள்ள பாடத்தில் நாம் பார்த்தோம் உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றுமுக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கு. உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீட்டின் தீமை என்னவென்றால், அதன் பயன்பாடு பெரும்பாலும் கடினமான கணக்கீடுகளுடன் சிக்கலான ஒருங்கிணைப்புகளில் விளைகிறது. மேலும் சில சந்தர்ப்பங்களில், உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீடு தவிர்க்கப்படலாம்!

சைனால் வகுக்கப்படும் ஒன்றின் ஒருங்கிணைப்பு, மற்றொரு நியமன உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 17

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

இங்கே நீங்கள் உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் பதிலைப் பெறலாம், ஆனால் இன்னும் பகுத்தறிவு வழி உள்ளது. ஒவ்வொரு அடிக்கும் கருத்துகளுடன் முழுமையான தீர்வை வழங்குவேன்:

(1) இரட்டைக் கோணத்தின் சைனுக்கான முக்கோணவியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
(2) நாங்கள் ஒரு செயற்கையான மாற்றத்தைச் செய்கிறோம்: வகுப்பில் வகுத்து, ஆல் பெருக்குகிறோம்.
(3) வகுப்பில் நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்னத்தை ஒரு தொடுகோடு மாற்றுகிறோம்.
(4) நாங்கள் செயல்பாட்டை வேறுபாட்டுக் குறியின் கீழ் கொண்டு வருகிறோம்.
(5) ஒருங்கிணைப்பை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

நீங்களே தீர்க்க சில எளிய எடுத்துக்காட்டுகள்:

எடுத்துக்காட்டு 18

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

குறிப்பு: குறைப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதே முதல் படியாக இருக்க வேண்டும் முந்தைய உதாரணத்தைப் போன்ற செயல்களை கவனமாகச் செய்யுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 19

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

சரி, இது மிகவும் எளிமையான உதாரணம்.

பாடத்தின் முடிவில் முழுமையான தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்.

ஒருங்கிணைப்பில் இப்போது யாருக்கும் சிக்கல் இருக்காது என்று நினைக்கிறேன்:
முதலியன

முறையின் யோசனை என்ன? தொடுகோள்கள் மற்றும் தொடுநிலை வழித்தோன்றலை மட்டுமே ஒருங்கிணைப்பதற்கு மாற்றுதல்கள் மற்றும் முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதே யோசனை. அதாவது, நாங்கள் மாற்றுவது பற்றி பேசுகிறோம்: . எடுத்துக்காட்டுகள் 17-19 இல், உண்மையில் இந்த மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தினோம், ஆனால் ஒருங்கிணைப்புகள் மிகவும் எளிமையானவை, சமமான செயலுடன் நாங்கள் பெற்றோம் - வேறுபட்ட குறியின் கீழ் செயல்பாட்டை உள்ளடக்கியது.

நான் ஏற்கனவே குறிப்பிட்டது போல், இதே போன்ற பகுத்தறிவு கோடேன்ஜென்ட்டிற்கு மேற்கொள்ளப்படலாம்.

மேலே உள்ள மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கு ஒரு முறையான முன்நிபந்தனையும் உள்ளது:

கொசைன் மற்றும் சைன் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகை எதிர்மறை முழு எண் EVEN எண், உதாரணமாக:

ஒருங்கிணைப்புக்கு - எதிர்மறை முழு எண் EVEN எண்.

! குறிப்பு : ஒருங்கிணைப்பில் ஒரு சைன் அல்லது ஒரு கொசைன் மட்டுமே இருந்தால், ஒருங்கிணைப்பானது எதிர்மறை ஒற்றைப்படை டிகிரிக்கு எடுத்துக்கொள்ளப்படும் (எளிமையான நிகழ்வுகள் எடுத்துக்காட்டுகள் எண். 17, 18 இல் உள்ளன).

இந்த விதியின் அடிப்படையில் இன்னும் சில அர்த்தமுள்ள பணிகளைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 20

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

சைன் மற்றும் கொசைனின் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகை: 2 – 6 = –4 என்பது எதிர்மறை முழு எண் EVEN எண், அதாவது ஒருங்கிணைப்பை தொடுகோடுகள் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலாகக் குறைக்கலாம்:

(1) வகுப்பினை மாற்றுவோம்.
(2) நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்.
(3) வகுப்பினை மாற்றுவோம்.
(4) நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் .
(5) நாங்கள் செயல்பாட்டை வேறுபாட்டுக் குறியின் கீழ் கொண்டு வருகிறோம்.
(6) நாங்கள் மாற்றீடு செய்கிறோம். அதிக அனுபவம் வாய்ந்த மாணவர்கள் மாற்றீட்டை மேற்கொள்ளாமல் இருக்கலாம், ஆனால் தொடுகோடு ஒரு எழுத்தை மாற்றுவது இன்னும் சிறந்தது - குழப்பமடைவதற்கான ஆபத்து குறைவு.

எடுத்துக்காட்டு 21

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

அங்கேயே இருங்கள், சாம்பியன்ஷிப் சுற்றுகள் தொடங்க உள்ளன =)

பெரும்பாலும் ஒருங்கிணைப்பு ஒரு "ஹாட்ஜ்பாட்ஜ்" கொண்டுள்ளது:

எடுத்துக்காட்டு 22

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த ஒருங்கிணைப்பு ஆரம்பத்தில் ஒரு தொடுகோடு உள்ளது, இது உடனடியாக ஏற்கனவே பழக்கமான சிந்தனைக்கு வழிவகுக்கிறது:

எல்லாம் ஏற்கனவே மேலே விவாதிக்கப்பட்டதால், செயற்கையான மாற்றத்தை ஆரம்பத்தில் விட்டுவிட்டு, மீதமுள்ள படிகளை கருத்து இல்லாமல் விட்டுவிடுகிறேன்.

உங்கள் சொந்த தீர்வுக்கான சில ஆக்கபூர்வமான எடுத்துக்காட்டுகள்:

எடுத்துக்காட்டு 23

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

எடுத்துக்காட்டு 24

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்

ஆம், அவற்றில், நிச்சயமாக, நீங்கள் சைன் மற்றும் கொசைனின் சக்திகளைக் குறைக்கலாம் மற்றும் உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் இது தொடுகோடுகள் மூலம் மேற்கொள்ளப்பட்டால் தீர்வு மிகவும் திறமையாகவும் குறுகியதாகவும் இருக்கும். பாடத்தின் முடிவில் முழுமையான தீர்வு மற்றும் பதில்கள்