நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எண் முறைகள். நாண் முறை எண் முறைகள்

மறு செய்கை முறை

முறை எளிய மறு செய்கைகள்சமன்பாட்டிற்கு f(x) = 0 பின்வருமாறு:

1) அசல் சமன்பாடு மறு செய்கைகளுக்கு வசதியான வடிவமாக மாற்றப்படுகிறது:

x = φ (எக்ஸ்). (2.2)

2) ஆரம்ப தோராயத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் எக்ஸ் 0 மற்றும் மறு செய்கை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அடுத்தடுத்த தோராயங்களைக் கணக்கிடவும்
x கே = φ (x கே -1), கே =1,2, ... (2.3)

மறு செய்கை வரிசையின் வரம்பு இருந்தால், அது சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும் f(x) = 0, அதாவது. f(ξ ) =0.

ஒய் = φ (எக்ஸ்)

ஒரு x 0 x 1 x 2 ξ பி

அரிசி. 2. குவிந்த மறு செய்கை செயல்முறை

படத்தில். மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி அடுத்த தோராயத்தைப் பெறுவதற்கான செயல்முறையை படம் 2 காட்டுகிறது. தோராயங்களின் வரிசை ரூட்டுடன் ஒன்றிணைகிறது ξ .

தத்துவார்த்த அடித்தளங்கள்பின்வரும் தேற்றம் மறு செய்கை முறையின் பயன்பாட்டை வழங்குகிறது.

தேற்றம் 2.3. நிபந்தனைகள் நிறைவேற்றப்படட்டும்:

1) சமன்பாட்டின் வேர் எக்ஸ்= φ(x)பிரிவைச் சேர்ந்தது [ ஏ, பி];

2) அனைத்து செயல்பாட்டு மதிப்புகள் φ (எக்ஸ்) பிரிவைச் சேர்ந்தது [ ஏ, பி],டி. இ. ஏ ≤ φ (எக்ஸ்)≤பி;

3) அப்படி ஒரு விஷயம் இருக்கிறது நேர்மறை எண் கே< 1, வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன φ "(x) பிரிவின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் [ ஏ, பி] சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது | φ "(x) | ≤ கே.

1) மறு செய்கை வரிசை x n= φ (x p- 1)(n = 1, 2, 3, ...) எதற்கும் கூடுகிறது x 0 Î [ ஏ, பி];

2) மறு செய்கை வரிசையின் வரம்பு சமன்பாட்டின் ரூட் ஆகும்

x = φ(x), அதாவது என்றால் x கே= ξ, பின்னர் ξ= φ (ξ);

3) மறு செய்கை வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு விகிதத்தை வகைப்படுத்தும் சமத்துவமின்மை உண்மை

| ξ -x k | ≤ (b-a)× q k.(2.4)

வெளிப்படையாக, இந்த தேற்றம் மிகவும் கடுமையான நிபந்தனைகளை அமைக்கிறது, இது மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு சரிபார்க்கப்பட வேண்டும். செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்றால் φ (x) முழுமையான மதிப்பில் ஒன்றை விட அதிகமாக உள்ளது, பின்னர் மறு செய்கை செயல்முறை வேறுபடுகிறது (படம் 3).

ஒய் = φ (x) ஒய் = x

அரிசி. 3. மாறுபட்ட மறு செய்கை செயல்முறை

ஒன்றிணைந்த நிலையாக மீண்டும் செய்யும் முறைகள்சமத்துவமின்மை முற்றிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது

|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)

நாண் முறைவளைவை மாற்றுவதாகும் மணிக்கு = f(x) புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு கோடு பிரிவு ( ஏ, f(அ)) மற்றும் ( பி, f(பி)) அரிசி. 4) அச்சுடன் கோடு வெட்டும் புள்ளியின் அப்சிஸ்ஸா ஓஅடுத்த அணுகுமுறையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.

நாண் முறைக்கான கணக்கீட்டு சூத்திரத்தைப் பெற, புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம் ( அ, f(அ)) மற்றும் ( பி, f(பி)) மற்றும், சமன்படுத்துதல் மணிக்குபூஜ்ஜியத்திற்கு, நாம் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ்:

Þ

நாண் முறை அல்காரிதம் :

1) அனுமதிக்க கே = 0;

2) அடுத்த மறு செய்கை எண்ணைக் கணக்கிடவும்: கே = கே + 1.

அடுத்ததைக் கண்டுபிடிப்போம் கேசூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தோராயமாக:

x கே= அ- f(அ)(பி - அ)/(f(பி) - f(அ)).

கணக்கிடுவோம் f(x கே);

3) என்றால் f(x கே)= 0 (ரூட் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது), பின்னர் படி 5 க்குச் செல்லவும்.

என்றால் f(x கே) × f(பி)>0, பின்னர் பி= x கே, இல்லையெனில் அ = x கே;

4) என்றால் |x k – x k -1 | > ε , பின்னர் படி 2 க்குச் செல்லவும்;

5) ரூட்டின் மதிப்பைக் காட்டவும் x k ;

கருத்து. மூன்றாவது பத்தியின் செயல்கள் முறையின் செயல்களைப் போலவே இருக்கும் பாதி பிரிவு. இருப்பினும், நாண் முறையில், ஒவ்வொரு அடியிலும் பிரிவின் அதே முனையை (வலது அல்லது இடது) மாற்றலாம், வேரின் அருகில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடம் மேல்நோக்கி குவிந்திருந்தால் (படம் 4, ஏ) அல்லது குழிவான கீழே (படம் 4, பி).எனவே, அண்டை தோராயங்களுக்கிடையிலான வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்பு அளவுகோலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

அரிசி. 4. நாண் முறை

4. நியூட்டனின் முறை(தொடுகோடுகள்)

சமன்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறியலாம் f(x)= 0, மற்றும் அதைக் குறிக்கவும் x n.கணக்கீடு சூத்திரம் நியூட்டனின் முறைஅடுத்த அணுகுமுறையை தீர்மானிக்க x n+1 இரண்டு வழிகளில் பெறலாம்.

முதல் முறை வடிவியல் அர்த்தத்தை வெளிப்படுத்துகிறது நியூட்டனின் முறைமற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிக்கு பதிலாக உண்மையில் உள்ளது மணிக்கு= f(x) அச்சுடன் ஓஅச்சுடன் வெட்டும் புள்ளியைத் தேடுகிறது ஓபுள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு வரையப்பட்டது ( x n,f(x n)), படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி. 5. தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது y - f(x n)= f"(x n)(x- x n).

அரிசி. 5. நியூட்டனின் முறை (தொடுகோடுகள்)

அச்சுடன் தொடுகோடு வெட்டும் புள்ளியில் ஓமாறி மணிக்கு= 0. சமன்படுத்துதல் மணிக்குபூஜ்ஜியத்திற்கு, நாங்கள் வெளிப்படுத்துகிறோம் எக்ஸ்மற்றும் நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம் தொடுகோடு முறை :

(2.6)

இரண்டாவது முறை: செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள் f(x) ஒரு புள்ளிக்கு அருகில் டெய்லர் தொடரில் x = x n:

( எக்ஸ்- x n), பூஜ்ஜியமாக அமைக்கப்பட்டது f(x) மற்றும், விளைந்த சமன்பாட்டிலிருந்து தெரியாததை வெளிப்படுத்துதல் எக்ஸ், அதைக் குறிக்கிறது x n+1 நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம் (2.6).

நியூட்டனின் முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கு போதுமான நிபந்தனைகளை முன்வைப்போம்.

தேற்றம் 2.4. பிரிவில் விடுங்கள் [ ஏ, பி]நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

1) செயல்பாடு f(x) மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்கள் f"(எக்ஸ்)மற்றும் f ""(x)தொடர்ந்து;

2) வழித்தோன்றல்கள் f"(x)மற்றும் f""(x) பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டவை மற்றும் சில நிலையான அறிகுறிகளைத் தக்கவைத்துக்கொள்கின்றன;

3) f(அ)× f(பி) < 0 (செயல்பாடு f(x)பிரிவில் மாற்றங்கள் அடையாளம்).
பின்னர் ஒரு பிரிவு உள்ளது [ α , β ], சமன்பாட்டின் விரும்பிய மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது f(x) = 0, இதில் மறு செய்கை வரிசை (2.6) ஒன்றிணைகிறது. பூஜ்ஜிய தோராயமாக இருந்தால் எக்ஸ் 0 அந்த எல்லைப் புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் [ α , β ], இதில் செயல்பாட்டின் அடையாளம் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது,

அந்த. f(x 0)× f"(x 0)>0, பின்னர் மறு செய்கை வரிசை ஒரே மாதிரியாக ஒன்றிணைகிறது

கருத்து. நாண் முறை எதிர் திசையில் இருந்து வருகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், மேலும் இந்த இரண்டு முறைகளும் ஒன்றையொன்று பூர்த்தி செய்யலாம். கலவையும் சாத்தியமாகும் நாண்-தொடு முறை.

5. செகண்ட் முறை

நியூட்டனின் முறையிலிருந்து செகண்ட் முறையைப் பெறலாம், அதன் வழித்தோன்றலை தோராயமான வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றுவதன் மூலம் பெறலாம் - வேறுபாடு சூத்திரம்:

, ,

. (2.7)

ஃபார்முலா (2.7) இரண்டு முந்தைய தோராயங்களைப் பயன்படுத்துகிறது x nமற்றும் x n - 1. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப தோராயத்திற்கு எக்ஸ் 0 அடுத்த தோராயத்தை கணக்கிடுவது அவசியம் x 1 , எடுத்துக்காட்டாக, நியூட்டனின் முறையால், சூத்திரத்தின்படி வழித்தோன்றலின் தோராயமான மாற்றீடு

,

செகண்ட் முறையின் அல்காரிதம்:

1) ஆரம்ப மதிப்பு அமைக்கப்பட்டுள்ளது எக்ஸ் 0 மற்றும் பிழை ε . கணக்கிடுவோம்

;

2) க்கு n = 1, 2, ... நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படும்போது | x n – x n -1 | > ε , கணக்கிட x n+ 1 சூத்திரத்தின் படி (2.7).

வழிமுறைகள். F(x) என்ற வெளிப்பாட்டை உள்ளிட்டு, அடுத்து என்பதைக் கிளிக் செய்யவும். இதன் விளைவாக தீர்வு வேர்ட் கோப்பில் சேமிக்கப்படும். எக்செல் இல் ஒரு தீர்வு வார்ப்புருவும் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது. கீழே ஒரு வீடியோ வழிமுறை உள்ளது.

ஒரு செயல்பாட்டை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்

மேலும் கருத்தில் கொள்வோம் விரைவான வழி f(a)f(b) என்ற அனுமானத்தின் கீழ், இடைவெளியில் மூலத்தைக் கண்டறிதல்<0.
f’’(x)>0 f’’(x)<0
f(b)f''(b)>0 f(a)f''(a)>0


Fig.1a படம். 1b

படம் 1a ஐப் பார்ப்போம். A மற்றும் B புள்ளிகள் மூலம் ஒரு நாண் வரைவோம். நாண் சமன்பாடு
.
புள்ளியில் x=x 1, y=0, இதன் விளைவாக நாம் ரூட்டின் முதல் தோராயத்தைப் பெறுகிறோம்
. (3.8)
நிபந்தனைகளை சரிபார்க்கிறது
(அ) ​​f(x 1)f(b)<0,
(b) f(x 1)f(a)<0.
நிபந்தனை (a) திருப்தி அடைந்தால், சூத்திரத்தில் (3.8) நாம் புள்ளி a ஐ x 1 உடன் மாற்றுவோம்.

.

இந்த செயல்முறையைத் தொடர்ந்து, n வது தோராயத்தைப் பெறுகிறோம்
. (3.9)
இங்கே முடிவு a நகரக்கூடியது, அது f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
முடிவு a நிர்ணயிக்கப்படும்போது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
f''(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f''(b)<0 f(a)f’’(a)<0


Fig.2a படம்.2b

படம் 1b இல், 2b f(x i)f(a) செயல்படுத்தப்படுகிறது<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.

செயல்முறையைத் தொடர்ந்து, நாங்கள் சூத்திரத்திற்கு வருகிறோம்
. (3.10)
செயல்முறையை நிறுத்துதல்

|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n

அரிசி. 3
படம். 3 இல் f’’(x) அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, எனவே இரு முனைகளும் நகரக்கூடியதாக இருக்கும்.
நாண் முறையின் செயல்பாட்டு செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய கேள்விக்கு செல்வதற்கு முன், ஒரு குவிந்த செயல்பாட்டின் கருத்தை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.

வரையறை.எந்த இரண்டு புள்ளிகள் x 1 ,x 2 திருப்திகரமாக a≤x 1 இருந்தால் ஒரு செயல்பாடு குவிந்த (குழிவான) எனப்படும். f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - குவிந்த.
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - குழிவான
ஒரு குவிந்த செயல்பாட்டிற்கு f''(x)≥0.
ஒரு குழிவான செயல்பாட்டிற்கு f''(x)≤0

தேற்றம் 3. f(x) சார்பு செக்மென்ட்டில் (குழிவான) இருந்தால், எந்தப் பிரிவிலும் f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம், x 1 மற்றும் x 2 ஐக் கொண்ட வரைபடப் புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் நாண்களை விட அதிகமாக (குறைவாக இல்லை) இல்லை.

ஆதாரம்:

ஒரு குவிந்த செயல்பாட்டைக் கருதுவோம். நாண் சமன்பாடு: x 1 மற்றும் x 2 வழியாகச் செல்வது வடிவம் கொண்டது:
.
புள்ளி c= αx 1 + (1-α)x 2 ஐக் கவனியுங்கள், இங்கு aО

மறுபுறம், குவிந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின்படி நாம் f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; எனவே f(c) ≤ g(c) போன்றவை.

ஒரு குழிவான செயல்பாட்டிற்கு ஆதாரம் ஒத்ததாகும்.
ஒரு குவிந்த (குழிவான) செயல்பாட்டிற்கான மறுசெயல் செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆதாரத்தை நாங்கள் பரிசீலிப்போம்.

தேற்றம் 4.ஒரு தொடர்ச்சியான, இருமுறை வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு f(x) மீது கொடுக்கப்பட்டு f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
ஆதாரம்:உதாரணத்திற்கு f(a)f''(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 இலிருந்து (b-x n -1)>0, மற்றும் f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0 அனைத்து தோராயங்களும் x n என்பதை இப்போது நிரூபிப்போம்< ξ, где ξ - корень. Пусть x n -1 < ξ. Покажем, что x n тоже меньше ξ. Введем
. (3.11)
எங்களிடம் உள்ளது
(3.12)
(அதாவது, நாண் x n புள்ளியில் உள்ள y(x) செயல்பாட்டின் மதிப்பு f(ξ) உடன் ஒத்துப்போகிறது).
இருந்து, பின்னர் (3.12) இருந்து அது பின்வருமாறு
அல்லது
. (3.13)
அத்திப்பழத்திற்கு. 1a, எனவே
அல்லது
அதாவது, முதலியன (பார்க்க (3.11)).
படம் 2a க்கு. இதன் விளைவாக, (3.12) இலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்
பொருள்
ஏனெனில் முதலியன
படம் 1b மற்றும் படம் 2b க்கு ஒத்த ஆதாரம். இவ்வாறு, எண்களின் வரிசை ஒருமுகமானது என்பதை நிரூபித்துள்ளோம்.
a≤x 0 a≤ξ இதன் பொருள், எந்த ε க்கும் |x n - ξ | போன்ற n ஐக் குறிப்பிடலாம்<ε. Теорема доказана.
நாண் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு குணகத்துடன் நேரியல் ஆகும் .
, (3.14)
m 1 =நிமிடம்|f’(x)|, M 1 =அதிகபட்சம்|f’(x)|.
இது பின்வரும் சூத்திரங்களிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. ஒரு நிலையான முடிவு b மற்றும் f(b)>0 ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
எங்களிடம் இருந்து (3.9) . இங்கிருந்து
. அதைக் கருத்தில் கொண்டு எழுதலாம் அல்லது
.
(ξ-x n -1) வலது பக்கத்தின் வகுப்பில் (b-x n -1) மாற்றுதல் மற்றும் அதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியது (சமத்துவமின்மை (3.14) பார்க்கவும்).
படம். 3 (f''(x) மாற்றங்களின் அடையாளத்தை மாற்றியமைப்பதற்கான சான்று; பொது வழக்கில், f’ மற்றும் f’’ இரண்டும் அறிகுறிகளை மாற்றலாம்) மிகவும் சிக்கலானது மற்றும் இங்கே கொடுக்கப்படவில்லை.

சிக்கல்களில், f(x) = 0 சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கவும், இந்த வேர்களைப் பிரித்து, நாண்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி, அவற்றின் தோராயமான மதிப்புகளை 0.001 துல்லியத்துடன் கண்டறியவும்.

நாண் முறை (முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது செகண்ட் முறை ) நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளில் ஒன்று மற்றும் சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கொண்ட இடைவெளியின் தொடர்ச்சியான குறுகலை அடிப்படையாகக் கொண்டது. குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை அடையும் வரை மீண்டும் செயல்முறை மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

அரைப் பிரிவு முறையைப் போலன்றி, பரிசீலனையின் கீழ் உள்ள இடைவெளியின் பிரிவு அதன் நடுவில் அல்ல, ஆனால் அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் (X அச்சு) நாண் வெட்டும் இடத்தில் செய்யப்படும் என்று நாண் முறை அறிவுறுத்துகிறது. ஒரு நாண் என்பது பரிசீலனையின் கீழ் உள்ள இடைவெளியின் முடிவில் பரிசீலனையின் கீழ் உள்ள செயல்பாட்டின் புள்ளிகள் மூலம் வரையப்பட்ட ஒரு பிரிவாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். பரிசீலனையில் உள்ள முறையானது, அரைகுறை முறையைக் காட்டிலும், வேரை விரைவாகக் கண்டறியும் முறையை வழங்குகிறது.

வடிவியல் ரீதியாக, நாண் முறையானது புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் வளைந்த நாண் மூலம் அதை மாற்றுவதற்குச் சமம் மற்றும் (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்.).

படம்.1. ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒரு பிரிவின் (நாண்) கட்டுமானம்.

A மற்றும் B புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் (நாண்) சமன்பாடு பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

இந்த சமன்பாடு கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு நேர் கோட்டை விவரிக்கும் ஒரு பொதுவான சமன்பாடு ஆகும். வளைவின் சாய்வு முறையே வகுப்பில் உள்ள மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி ஆர்டினேட் மற்றும் அப்சிஸ்ஸாவுடன் குறிப்பிடப்படுகிறது.

abscissa அச்சுடன் நேர்கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிக்கு, மேலே எழுதப்பட்ட சமன்பாடு பின்வரும் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படும்:

மறுசெயல் செயல்முறைக்குச் செல்வதற்கான புதிய இடைவெளியாக, இரண்டில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம் அல்லது , அதன் முனைகளில் செயல்பாடு வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் மதிப்புகளை எடுக்கும். ஒரு பிரிவின் முனைகளில் உள்ள செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் எதிர் அறிகுறிகளை பல வழிகளில் தீர்மானிக்க முடியும். இந்த முறைகளில் பலவற்றில் ஒன்று, பிரிவின் முனைகளில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை பெருக்கி, பெருக்கத்தின் முடிவை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் உற்பத்தியின் அடையாளத்தை தீர்மானிப்பது:

அல்லது .

இரண்டு தொடர்ச்சியான தோராயங்களின் அருகாமையின் நிலை குறிப்பிடப்பட்ட துல்லியத்தை விட குறைவாக இருக்கும் போது ரூட்டைச் செம்மைப்படுத்தும் செயல்முறை முடிவடைகிறது, அதாவது.

படம்.2. கணக்கீட்டு பிழையின் வரையறையின் விளக்கம்.

நாண் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு நேரியல், ஆனால் பிளவு முறையின் ஒருங்கிணைப்பை விட வேகமானது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

நாண் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்

1. ரூட் பிரிப்பு முறைகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி ஆரம்ப நிச்சயமற்ற இடைவெளியைக் கண்டறியவும். Zகணக்கீடு பிழை (சிறிய நேர்மறை எண்) மற்றும் ஆரம்ப மறு செய்கை படி () .

2. abscissa அச்சுடன் நாண் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்:

3. புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறிவது அவசியம் , மற்றும் . அடுத்து, நீங்கள் இரண்டு நிபந்தனைகளை சரிபார்க்க வேண்டும்:

நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் , பின்னர் விரும்பிய ரூட் இடது பிரிவில் அமைந்துள்ளது, ;

நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் , பின்னர் விரும்பிய ரூட் வலது பிரிவின் உள்ளே அமைந்துள்ளது ஏற்கவும் , .

இதன் விளைவாக, ஒரு புதிய நிச்சயமற்ற இடைவெளி காணப்படுகிறது, அதில் சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர் அமைந்துள்ளது:

4. குறிப்பிட்ட துல்லியத்திற்கான சமன்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

இரண்டு தொடர்ச்சியான தோராயங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை விட குறைவாக இருந்தால், மறுசெயல்முறை முடிவடைகிறது. ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

இரண்டு தொடர்ச்சியான தோராயங்களுக்கிடையிலான வேறுபாடு தேவையான துல்லியத்தை அடையவில்லை என்றால், மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறையைத் தொடரவும், பரிசீலனையில் உள்ள வழிமுறையின் படி 2 க்குச் செல்லவும் அவசியம்.

நாண் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

உதாரணமாக, நாண் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதைக் கவனியுங்கள். ரூட் என்பது பரிசீலனையில் உள்ள வரம்பில் துல்லியமாக இருக்க வேண்டும்.

மென்பொருள் தொகுப்பில் நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான விருப்பம்MathCAD.

கணக்கீட்டு முடிவுகள், அதாவது ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் இயக்கவியல், மறு செய்கையின் படிநிலையைப் பொறுத்து கணக்கீடு பிழைகள் ஆகியவை வரைகலை வடிவத்தில் வழங்கப்படுகின்றன (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்).

படம்.1. நாண் முறையைப் பயன்படுத்தி முடிவுகளைக் கணக்கிடுதல்

ஒரு வரம்பில் ஒரு சமன்பாட்டைத் தேடும்போது குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை உறுதிப்படுத்த, 6 மறு செய்கைகளைச் செய்வது அவசியம். கடைசி மறு செய்கை கட்டத்தில், நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பு மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படும்: .

குறிப்பு:

இந்த முறையின் திருத்தம் தவறான நிலை முறை(False Position Method), ஒவ்வொரு முறையும் கடைசி 2 புள்ளிகள் எடுக்கப்படாமல், ரூட்டைச் சுற்றி அமைந்துள்ள புள்ளிகள் மட்டுமே செகண்ட் முறையிலிருந்து வேறுபடுகிறது.

இரண்டாவது வழித்தோன்றலை நேரியல் அல்லாத செயல்பாட்டிலிருந்து எடுக்க முடிந்தால், தேடல் அல்காரிதத்தை எளிதாக்க முடியும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இரண்டாவது வழித்தோன்றல் ஒரு நிலையான அடையாளத்தை பராமரிக்கிறது மற்றும் இரண்டு நிகழ்வுகளை கருத்தில் கொள்வோம்:

வழக்கு #1:

முதல் நிபந்தனையிலிருந்து, பிரிவின் நிலையான பக்கம் பக்கமாக இருக்கும்அ.

வழக்கு #2:

பிரிவில் விடுங்கள் செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது, பிரிவின் முனைகளில் வெவ்வேறு குறிகளை எடுக்கும், மற்றும் வழித்தோன்றல் f "(x)அடையாளத்தை சேமிக்கிறது. இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைப் பொறுத்து, வளைவு ஏற்பாட்டின் பின்வரும் நிகழ்வுகள் சாத்தியமாகும் (படம் 1).

அரிசி. 1.

நாண் முறையைப் பயன்படுத்தி தோராயமான ரூட் கணக்கீட்டிற்கான அல்காரிதம்.

ஆரம்ப தரவு: f(x)-செயல்பாடு ; இ- தேவையான துல்லியம்; x 0 - ஆரம்ப தோராயம்.

முடிவு: xpr- சமன்பாட்டின் தோராயமான வேர் f(x)= 0.

தீர்வு முறை:

அரிசி. 2. f "(x) f ""(x)>0.

எப்பொழுது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம் f "(x)மற்றும் f ""(x)அதே அறிகுறிகள் (படம் 2).

செயல்பாட்டின் வரைபடம் புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது ஏ 0 (a,f(a))மற்றும் பி 0 (b,f(b)). சமன்பாட்டின் தேவையான வேர் (புள்ளி x*) என்பது நமக்குத் தெரியவில்லை, அதற்குப் பதிலாக ஒரு புள்ளி எடுக்கும் எக்ஸ் 1 நாண் குறுக்குவெட்டுகள் ஏ 0 IN 0 abscissa அச்சுடன். இது ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பாக இருக்கும்.

பகுப்பாய்வு வடிவவியலில், ஆயத்தொலைவுகளுடன் இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் குறிப்பிடும் சூத்திரம் பெறப்படுகிறது. (x1; y1)மற்றும் (x2; y2): .

பிறகு நாண் சமன்பாடு ஏ 0 IN 0 படிவத்தில் எழுதப்படும்: .

மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம் x = x 1 , எதற்காக y = 0: . இப்போது ரூட் பிரிவில் உள்ளது . இந்த பிரிவில் நாண் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். புள்ளிகளை இணைக்கும் நாண் வரைவோம் ஏ 1 (x 1 ,f(x 1 )) மற்றும் பி 0 (b,f(b)), மற்றும் நாம் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ் 2 - நாண் வெட்டும் புள்ளி ஏ 1 IN 0 அச்சுடன் ஓ: x 2 =x 1 .

இந்த செயல்முறையை தொடர்ந்து, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

x 3 =x 2 .

ரூட்டிற்கான தோராயங்களைக் கணக்கிடுவதற்கு மீண்டும் மீண்டும் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்

x n+1 =x n .

இந்த வழக்கில் முடிவு பிபிரிவு சலனமற்ற மற்றும் முடிவில் உள்ளது அநகர்கிறது.

இவ்வாறு, நாண் முறைக்கான கணக்கீட்டு சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்:

x n+1 =x n ; x 0 =அ. (4)

சமன்பாட்டின் சரியான மூலத்திற்கான தொடர்ச்சியான தோராயங்களின் கணக்கீடு நாம் குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை அடையும் வரை தொடர்கிறது, அதாவது. பின்வரும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்: |x n+1 -x n |< , குறிப்பிடப்பட்ட துல்லியம் எங்கே.

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் இருக்கும்போது இப்போது வழக்கைக் கவனியுங்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகள், அதாவது f "(x) f ""(x)<0 . (படம் 3).

அரிசி. 3. வழக்குக்கான நாண் முறையின் வடிவியல் விளக்கம் f "(x) f ""(x)<0 .

புள்ளிகளை இணைப்போம் ஏ 0 (a,f(a))மற்றும் பி 0 (b,f(b))நாண் ஏ 0 IN 0 . அச்சுடன் நாண் வெட்டும் புள்ளி ஓவேரின் முதல் தோராயத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த வழக்கில், பிரிவின் நிலையான முடிவு முடிவாக இருக்கும் ஏ.

நாண் சமன்பாடு ஏ 0 IN 0 :. இங்கிருந்து நாம் கண்டுபிடிப்போம் x 1 , அனுமானித்து y = 0: x 1 =ஆ. இப்போது சமன்பாட்டின் வேர் x. இந்த பிரிவில் நாண் முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம் x 2 =x 1 . தொடர்ந்து, முதலியன, நாம் பெறுகிறோம் x n+1 =x n .

முறையின் கணக்கீட்டு சூத்திரங்கள்:

x n+1 =x n , x 0 =0 . (5)

கணக்கீடுகளை முடிப்பதற்கான நிபந்தனை: |x n+1 -x n |< . பிறகு xpr = xn+1துல்லியத்துடன் எனவே, என்றால் f "(x) f ""(x)>0மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது (4), if f "(x) f ""(x)<0 , பின்னர் சூத்திரத்தின் படி (5).

ஒன்று அல்லது மற்றொரு சூத்திரத்தின் நடைமுறைத் தேர்வு பின்வரும் விதியைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது: பிரிவின் நிலையான முடிவு, செயல்பாட்டின் அடையாளம் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது.

உதாரணம். இந்த விதியின் விளைவை சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விளக்கவும்

(x-1)ln(x)-1=0, ரூட் தனிமைப் பிரிவு என்றால் .

தீர்வு. இங்கே f(x)=(x-1)ln(x)-1.

f "(x)=ln(x)+;

f ""(x)=.

இந்த எடுத்துக்காட்டில் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் ரூட் தனிமைப்படுத்தல் பிரிவில் நேர்மறையானது : f ""(x)>0, f(3)>0, அதாவது. f(b) f""(x)>0. எனவே, நாண் முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​மூலத்தை தெளிவுபடுத்த, நாம் சூத்திரங்களை (4) தேர்வு செய்கிறோம்.

var e,c,a,b,y,ya,yb,yn,x,x1,x2,xn,f1,f2:real;

தொடக்கம் e:=0.0001;

ரைட்ல்ன்("விவேடி நச்சலோ ஒட்ரெஸ்கா");

writeln("vvedi konec otrezka");

y:=((x-1)*ln(x))-1;

y:=((x-1)*ln(x))-1;

yb:=y; c:=(a+b)/2; x:=c;

y:=((x-1)*ln(x))-1;

f1:=ln(x) + (x-1)/x ;

f2:= 1/x + 1/(x*x);

என்றால் (யா*yb< 0) and (f1*f2 > 0)

பின்னர் x1:=a தொடங்கவும்; abs(x2 - x) > e do

x2:=x1 - (yn*(b-x1))/(yb - yn);

ரைட்ல்ன்("கோரன் உரவ்னேனியா எக்ஸ்என் = ", எக்ஸ்2)

முடிவு elsebegin x1:=b;

abs(x2 - x) > e do

தொடங்கும் x:=x1; y:=((x-1)*ln(x))-1; யின்:=y;

x2:=x1 - (yn*(x1- a))/(yn - ya);

ரைட்ல்ன்("கோரன் உரவ்னேனியா எக்ஸ்என் = ", எக்ஸ்2);

எளிய மறு செய்கை முறை

சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள் f(x)=0(1) பிரிக்கப்பட்ட வேருடன் எக்ஸ். எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டை (1) தீர்க்க, அதை சமமான வடிவமாகக் குறைக்கிறோம்: x=ts(x). (2)

இது எப்போதும் மற்றும் பல வழிகளில் செய்யப்படலாம். உதாரணமாக:

x=g(x) f(x) + x ? c(x), எங்கே g(x) - பிரிவில் வேர்கள் இல்லாத தன்னிச்சையான தொடர்ச்சியான செயல்பாடு .

விடுங்கள் x (0) - ஏதோவொரு வழியில் பெறப்பட்ட வேரின் தோராயம் x(எளிமையான வழக்கில் x (0) =(a+b)/2).எளிய மறு செய்கை முறையானது, மறு செய்கை வரிசையின் விதிமுறைகளை வரிசையாகக் கணக்கிடுவதைக் கொண்டுள்ளது:

x (k+1) =ts(x (கே) ), k=0, 1, 2, ... (3)

அணுகுவதில் இருந்து தொடங்குகிறது x (0) .

அறிக்கை: 1 எளிய மறு செய்கை முறையின் வரிசை (x (k) ) ஒன்றிணைந்து q செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருந்தால், வரிசையின் வரம்பு x = q (x) சமன்பாட்டின் மூலமாகும்.

ஆதாரம்: இருக்கட்டும். (4)

சமத்துவத்தில் எல்லை வரை செல்வோம் x (k+1) =ts(x (கே) ) ஒருபுறம், செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் காரணமாக (4) அதையும் மறுபுறம் நாம் பெறுகிறோம் டி.எஸ்மற்றும் (4) .

இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம் x * =ts(x * ). எனவே, x * - சமன்பாட்டின் வேர் (2), அதாவது. X=x * .

இந்த அறிக்கையைப் பயன்படுத்த, வரிசை ஒன்றிணைக்க வேண்டும் (x (கே) }. ஒன்றிணைவதற்கு போதுமான நிபந்தனை அளிக்கிறது:

தேற்றம் 1: (ஒருங்கிணைந்து) சமன்பாட்டை விடுங்கள் x=ts(x)பிரிவில் ஒற்றை வேர் உள்ளது மற்றும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

• 1) c(x) C 1 ;
• 2) c(x) "x;
• 3) ஒரு மாறிலி உள்ளது q > 0: | q "(x) | ? கே . பின்னர் மறு செய்கை வரிசை (x (கே) }, சூத்திரத்தால் வழங்கப்பட்டது x (k+1) = q(x (கே) ), k=0, 1,...எந்த ஆரம்ப தோராயத்திலும் ஒன்றிணைகிறது x (0) .

ஆதாரம்: வரிசையின் இரண்டு அடுத்தடுத்த சொற்களைக் கவனியுங்கள் (x (கே) ): x (கே) = q(x (k-1) ) மற்றும் x (k+1) = q(x (கே) ) நிபந்தனையின்படி 2) x (கே)மற்றும் x (k+1)பிரிவுக்குள் பொய் , Lagrange இன் சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

x (k+1) -x (கே) = q(x (கே) ) - c(x (k-1) ) = c "(c கே )(x (கே) -x (k-1) ), அங்கு சி கே (x (k-1) , x (கே) ).

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம்:

| x (k+1) -x (கே) | = | ts "(சி கே ) | · | x (கே) -x (k-1) | ? கே | x (கே) -x (k-1) | ?

? q(q|x (k-1) -x (k-2) |) = கே 2 | x (k-1) -x (k-2) | ? ...? கே கே | x (1) -x (0) |. (5)

தொடரைக் கவனியுங்கள்

எஸ் ? = x (0) + (x (1) -x (0) ) + ... + (x (k+1) -x (கே) ) + ... . (6)

இந்தத் தொடர் ஒன்றுபடுகிறது என்பதை நிரூபித்தால், அதன் பகுதித் தொகைகளின் வரிசையும் ஒன்றிணைகிறது

எஸ் கே = x (0) + (x (1) -x (0) ) + ... + (x (கே) -x (k-1) ).

ஆனால் அதைக் கணக்கிடுவது கடினம் அல்ல

எஸ் கே = x (k)) . (7)

இதன் விளைவாக, மறு செய்கை வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பை நிரூபிப்போம் (x (கே) }.

தொடரின் (6) ஒருங்கிணைப்பை நிரூபிக்க, அதை காலத்தின் அடிப்படையில் (முதல் சொல் இல்லாமல்) ஒப்பிடுவோம் x (0) ) அருகில் உள்ளது

கே 0 | x (1) -x (0) | +கே 1 |x (1) -x (0) | + ... + |x (1) -x (0) | + ..., (8)

இது முடிவில்லாத குறைவதாக ஒன்றிணைகிறது வடிவியல் முன்னேற்றம்(நிபந்தனையின்படி கே< 1 ) சமத்துவமின்மை காரணமாக (5) முழுமையான மதிப்புகள்தொடர் (6) குவியும் தொடரின் (8) தொடர்புடைய விதிமுறைகளை மீறக்கூடாது (அதாவது, தொடர் (8) தொடரை (6) பெரிதாக்குகிறது. எனவே, தொடர் (6) கூட ஒன்றிணைகிறது. இதனால், வரிசை ஒன்றிணைகிறது. (x (0) }.

பிழையை மதிப்பிடுவதற்கான முறையை வழங்கும் சூத்திரத்தை நாங்கள் பெறுகிறோம் |எக்ஸ் - எக்ஸ் (k+1) |

எளிய மறு செய்கை முறை.

X-x (k+1) = எக்ஸ் - எஸ் k+1 = எஸ் ? -எஸ் k+1 = (x (k+2) - (k+1) ) + (x (k+3) -x (k+2) ) + ... .

எனவே

|எக்ஸ் - எக்ஸ் (k+1) | ? |x (k+2) - (k+1) | + |x (k+3) -x (k+2) | + ... ? கே k+1 |x (1) -x (0) | +கே k+2 |x (1) -x (0) | + ... = கே k+1 |x (1) -x (0) | /(1-q).

இதன் விளைவாக, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்

|எக்ஸ் - எக்ஸ் (k+1) | ? கே k+1 |x (1) -x (0) | /(1-q).(9)

எடுத்துக்கொள்வது x (0) பொருள் x (கே) , க்கான x (1) - பொருள் x (k+1)(தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், அத்தகைய தேர்வு சாத்தியம் என்பதால்) மற்றும் சமத்துவமின்மைக்கு கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது கே k+1 ? கேநாங்கள் வெளியிடுகிறோம்:

|எக்ஸ் - எக்ஸ் (k+1) | ? கே k+1 |x (k+1) -x (கே) | / (1-q) ? q|x (k+1) -x (கே) | /(1-q).

எனவே, இறுதியாக நாம் பெறுகிறோம்:

|எக்ஸ் - எக்ஸ் (k+1) | ? q|x (k+1) -x (கே) | /(1-q). (10)

மறு செய்கை வரிசையை முடிப்பதற்கான அளவுகோலைப் பெற இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். சமன்பாட்டை விடுங்கள் x=ts(x)எளிமையான மறு செய்கை மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது, மேலும் பதில் துல்லியமாக கண்டறியப்பட வேண்டும் இ,அதாவது

|எக்ஸ் - எக்ஸ் (k+1) | ? இ.

கணக்கில் (10) எடுத்து, நாம் துல்லியம் என்று கண்டுபிடிக்க இசமத்துவமின்மை திருப்தி அடைந்தால் அடையப்படும்

|x (k+1) -x (கே) | ? (1-q)/கே.(11)

எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் x=ts(x)துல்லியத்துடன் ஒரு எளிய மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி, கடைசி அண்டை தோராயங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் மாடுலஸ் இருக்கும் வரை மறு செய்கைகளைத் தொடர வேண்டியது அவசியம். அதிக எண்ணிக்கை e(1-q)/q.

குறிப்பு 1: ஒரு நிலையான q ஆக, ஒருவர் வழக்கமாக அளவுக்கான உயர் மதிப்பீட்டை எடுக்கிறார்

வடிவியல் விளக்கம்

செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பார்ப்போம். இதன் பொருள் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு மற்றும் கோட்டுடன் வெட்டும் புள்ளியாகும்:

படம் 1.

அடுத்த மறு செய்கையானது கோடுடன் கிடைமட்ட கோடு புள்ளியின் குறுக்குவெட்டின் x ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.

படம் 2.

படம் ஒருங்கிணைப்புத் தேவையை தெளிவாகக் காட்டுகிறது. வழித்தோன்றல் 0 க்கு நெருக்கமாக இருந்தால், அல்காரிதம் வேகமாக ஒன்றிணைகிறது. தீர்வுக்கு அருகில் உள்ள வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைப் பொறுத்து, தோராயங்களை வெவ்வேறு வழிகளில் உருவாக்கலாம். ஒவ்வொரு அடுத்த தோராயமும் ரூட்டின் மறுபுறத்தில் கட்டமைக்கப்பட்டால்:

படம் 3.

முடிவுரை

கணக்கீடுகளின் தரத்தை மேம்படுத்துவதில் சிக்கல், விரும்பிய மற்றும் உண்மையானவற்றுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு, எதிர்காலத்தில் உள்ளது மற்றும் இருக்கும். அதன் தீர்வு வளர்ச்சியால் எளிதாக்கப்படும் தகவல் தொழில்நுட்பம், தகவல் செயல்முறைகளை ஒழுங்கமைப்பதற்கான மேம்படுத்தும் முறைகள் மற்றும் குறிப்பிட்ட கருவிகளைப் பயன்படுத்தி அவற்றை செயல்படுத்துதல் - சூழல்கள் மற்றும் நிரலாக்க மொழிகள் ஆகிய இரண்டையும் கொண்டுள்ளது.

எளிய மறு செய்கை, நியூட்டன், நாண்கள் மற்றும் அரைப் பிரிவு முறைகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான உருவாக்கப்பட்ட செயல்பாட்டு மாதிரியாக வேலையின் முடிவைக் கருதலாம். இந்த மாதிரியானது தீர்மானிக்கும் சிக்கல்களுக்குப் பொருந்தும், அதாவது. புறக்கணிக்கப்படக்கூடிய சோதனைக் கணக்கீட்டுப் பிழை. உருவாக்கப்பட்ட செயல்பாட்டு மாதிரி மற்றும் அதன் மென்பொருள் செயல்படுத்தல் மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் ஒரு அங்கமாக செயல்படும்.

என்ற தலைப்பில் ஆய்வு நடத்தியது நிச்சயமாக வேலை "எண் முறைகள். நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது", அறிமுகத்தில் நிர்ணயிக்கப்பட்ட இலக்குகளை அடைந்தேன். வேர்களைச் செம்மைப்படுத்துவதற்கான முறைகள் விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டன. ஒவ்வொரு வரையறை மற்றும் தேற்றத்திற்கும் பல எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்பட்டன. அனைத்து கோட்பாடுகளும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன.

பயன்பாடு பல்வேறு ஆதாரங்கள்தலைப்பை முழுமையாக ஆராய்வதை சாத்தியமாக்கியது.