சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. நிகழ்தகவு கோட்பாடு. சிக்கலைத் தீர்ப்பது (2019)

ஒரு நிகழ்வின் கருத்து மற்றும் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு. நம்பகமான மற்றும் சாத்தியமற்ற நிகழ்வுகள். நிகழ்தகவுக்கான பாரம்பரிய வரையறை. நிகழ்தகவு கூட்டல் தேற்றம். நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றம். நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிப்பதற்கான எளிய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது.

தலைப்பு 3.1 க்கான வழிகாட்டுதல்கள்:

ஒரு நிகழ்வின் கருத்து மற்றும் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு. நம்பகமான மற்றும் சாத்தியமற்ற நிகழ்வுகள். நிகழ்தகவுகளின் கிளாசிக் வரையறை:

கவனிப்பு அல்லது பரிசோதனையின் வரிசையில் ஒவ்வொரு நிகழ்வின் ஆய்வும் ஒரு குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளை (சோதனைகள்) செயல்படுத்துவதோடு தொடர்புடையது. சோதனையின் ஒவ்வொரு முடிவும் அல்லது முடிவும் அழைக்கப்படுகிறது நிகழ்வு.

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு நிகழ்வு நடக்கலாம் அல்லது நடக்காமல் இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது சீரற்ற.ஒரு நிகழ்வு நிச்சயமானால், அது அழைக்கப்படுகிறது நம்பகமான, மற்றும் அது வெளிப்படையாக நடக்க முடியாத பட்சத்தில், - சாத்தியமற்றது.

நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகின்றன பொருந்தாத,ஒவ்வொரு முறையும் அவற்றில் ஒன்று மட்டுமே தோன்றினால். நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகின்றன கூட்டு,கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ், இந்த நிகழ்வுகளில் ஒன்றின் நிகழ்வு அதே சோதனையின் போது மற்றொன்றின் நிகழ்வை விலக்கவில்லை என்றால்.

நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகின்றன எதிர்,சோதனையின் நிலைமைகளின் கீழ் அவை, அதன் ஒரே விளைவுகளாக இருந்தால், பொருந்தாது.

ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஒரு சீரற்ற நிகழ்வின் புறநிலை சாத்தியத்தின் அளவீடாகக் கருதப்படுகிறது.

நிகழ்தகவுநிகழ்வுகள் விளைவுகளின் எண்ணிக்கையின் விகிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மீ, கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்வின் நிகழ்வுக்கு சாதகமானது, அனைத்து விளைவுகளின் எண் n க்கு (பொருந்தாதது, சாத்தியமானது மற்றும் சமமாக சாத்தியம்), அதாவது.

எந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவும் இருக்க முடியாது பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாகமற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட, அதாவது. . ஒரு சாத்தியமற்ற நிகழ்வு ஒரு நிகழ்தகவுக்கு ஒத்திருக்கிறது, மற்றும் நம்பகமான நிகழ்வு ஒரு நிகழ்தகவுக்கு ஒத்திருக்கிறது

எடுத்துக்காட்டு 1. 1000 சீட்டுகள் கொண்ட லாட்டரியில், 200 வெற்றி பெற்றவை உள்ளன. ஒரு டிக்கெட் சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது. இந்த டிக்கெட் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

வெவ்வேறு விளைவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை n= 1000. வெற்றிக்கு சாதகமான முடிவுகளின் எண்ணிக்கை மீ= 200. சூத்திரத்தின் படி, நாம் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2. 5 வெள்ளை மற்றும் 3 கருப்பு பந்துகள் கொண்ட ஒரு கலசத்தில் இருந்து ஒரு பந்து வரையப்பட்டது. பந்து கருப்பு நிறமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

மூலம் கருப்பு பந்தின் தோற்றத்தில் உள்ள நிகழ்வைக் குறிக்கலாம். மொத்த வழக்குகளின் எண்ணிக்கை. வழக்குகளின் எண்ணிக்கை மீ, நிகழ்வின் நிகழ்வுக்கு சாதகமானது, 3 க்கு சமம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3. 12 வெள்ளை மற்றும் 8 கருப்பு பந்துகள் கொண்ட ஒரு கலசத்தில் இருந்து, இரண்டு பந்துகள் சீரற்ற முறையில் வரையப்படுகின்றன. இரண்டு பந்துகளும் கருப்பு நிறமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

மூலம் இரண்டு கருப்பு பந்துகளின் தோற்றத்தில் உள்ள நிகழ்வைக் குறிக்கலாம். சாத்தியமான வழக்குகளின் மொத்த எண்ணிக்கை nஇரண்டு மூலம் 20 தனிமங்களின் (12 + 8) சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்:

வழக்குகளின் எண்ணிக்கை மீ, நிகழ்வுக்கு சாதகமானது

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இரண்டு கருப்பு பந்துகள் தோன்றுவதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம்:

நிகழ்தகவு கூட்டல் தேற்றம். நிகழ்தகவு கூட்டல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நிகழ்தகவைத் தீர்மானிப்பதற்கான எளிய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது:

பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம்.பல ஜோடிவரிசை பொருந்தாத நிகழ்வுகளில் ஒன்றின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு, எதுவாக இருந்தாலும், இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம்.இரண்டு கூட்டு நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு, அவற்றின் கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு இல்லாமல் இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

எடுத்துக்காட்டு 4. ஒரு பெட்டியில் சீரற்ற வரிசையில் 20 பாகங்கள் அமைக்கப்பட்டிருக்கின்றன, அவற்றில் ஐந்து நிலையானவை. ஒரு தொழிலாளி சீரற்ற முறையில் மூன்று பகுதிகளை எடுக்கிறார். அதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் குறைந்தபட்சம்எடுக்கப்பட்ட பகுதிகளிலிருந்து, அது நிலையானதாக மாறும்.

வெளிப்படையாக, மூன்று பொருந்தாத நிகழ்வுகள் ஏதேனும் நடந்தால் எடுக்கப்பட்ட பாகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று நிலையானதாக இருக்கும்: பி- ஒரு பகுதி நிலையானது, இரண்டு தரமற்றது; சி- இரண்டு நிலையான பாகங்கள், ஒன்று தரமற்ற மற்றும் டி- மூன்று பகுதிகள் நிலையானவை.

எனவே நிகழ்வு ஏஇந்த மூன்று நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடலாம்: A = B + C + D.நாம் கூட்டல் தேற்றம் மூலம் P(A) = P(B) + P(C) + P(D).இந்த நிகழ்வுகள் ஒவ்வொன்றின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளைச் சேர்த்தால், நாம் பெறுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 5. சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இரண்டு இலக்க எண் 3 அல்லது 5 அல்லது இரண்டின் பெருக்கமாக இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

விடுங்கள் ஏ- தோராயமாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எண்ணானது 3 இன் பெருக்கல், மற்றும் பி- அது 5 இன் பெருக்கல் ஆகும். என்பதிலிருந்து கண்டுபிடிப்போம் ஏமற்றும் பிகூட்டு நிகழ்வுகள், பின்னர் நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

மொத்தம் 90 இரண்டு இலக்க எண்கள் உள்ளன: 10, 11, 98, 99. இவற்றில், 30 3 இன் பெருக்கல்களாகும் (நிகழ்வின் நிகழ்வுக்கு சாதகமானது ஏ); 18 - 5 இன் பெருக்கல்கள் (ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுக்கு சாதகமானது பி) மற்றும் 6 - ஒரே நேரத்தில் 3 மற்றும் 5 இன் பெருக்கல்கள் (நிகழ்வின் நிகழ்வுக்கு சாதகமானது ஏபி) இவ்வாறு, அதாவது.

நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றம்:

சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை பெருக்குவதற்கான தேற்றம்.இரண்டு சுயாதீன நிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் விளைபொருளுக்கு சமம்:

மொத்தத்தில் சுயாதீனமான பல நிகழ்வுகளின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

சார்பு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை பெருக்குவதற்கான தேற்றம்.இரண்டு சார்பு நிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு அவற்றில் ஒன்றின் தயாரிப்பு மற்றும் இரண்டாவது நிபந்தனை நிகழ்தகவுக்கு சமம்:

எடுத்துக்காட்டு 6. ஒரு கலசத்தில் 4 வெள்ளை மற்றும் 8 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன, மற்றொன்றில் 3 வெள்ளை மற்றும் 9 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு கலசத்திலிருந்தும் ஒரு பந்து எடுக்கப்பட்டது. இரண்டு பந்துகளும் வெண்மையாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

முதல் கலசத்தில் இருந்து வெள்ளை பந்தின் தோற்றமாக இருக்கட்டும், இரண்டாவது கலசத்திலிருந்து ஒரு வெள்ளை பந்தின் தோற்றமாக இருக்கட்டும். நிகழ்வுகள் சுயாதீனமானவை என்பது வெளிப்படையானது. நாம் கண்டுபிடிப்போம்

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

தலைப்பு 3.1 இல் சுய பரிசோதனை கேள்விகள்:

1. நிகழ்வு என்றால் என்ன?

2. எந்த நிகழ்வுகள் நம்பகமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

3. என்ன நிகழ்வுகள் சாத்தியமற்றது என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

4. நிகழ்தகவை வரையறுக்கவும்.

5. நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றத்தை உருவாக்கவும்.

6. நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றத்தை உருவாக்கவும்.

க்கான பணிகள் சுதந்திரமான முடிவுதலைப்பு 3.1 இல்:

1. ஒரு பெட்டியில் சீரற்ற வரிசையில் 10 பாகங்கள் உள்ளன, அவற்றில் 4 நிலையானவை. இன்ஸ்பெக்டர் சீரற்ற முறையில் 3 பாகங்களை எடுத்தார். எடுக்கப்பட்ட பாகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று நிலையானதாக மாறியதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

2. ஒரு கலசத்தில் 10 வெள்ளை, 15 கருப்பு, 20 நீலம் மற்றும் 25 சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன. வரையப்பட்ட பந்து இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: 1) வெள்ளை; 2) கருப்பு அல்லது சிவப்பு.

3. சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இரண்டு இலக்க எண் 4 அல்லது 5 அல்லது இரண்டின் பெருக்கமாக இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

4. ஒரு தொழிலாளி ஒன்றுக்கொன்று சாராமல் இயங்கும் இரண்டு இயந்திரங்களுக்கு சேவை செய்கிறார். முதல் இயந்திரம் ஒரு மணி நேரத்திற்குள் ஒரு தொழிலாளியின் கவனம் தேவைப்படாது என்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.8 ஆகும், இரண்டாவது இயந்திரத்திற்கு இந்த நிகழ்தகவு 0.7 ஆகும். ஒரு மணி நேரத்திற்குள் ஒரு இயந்திரம் கூட ஒரு தொழிலாளியின் கவனம் தேவைப்படாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

5. கலசத்தில் 6 பந்துகள் உள்ளன, அவற்றில் 3 வெள்ளை நிறத்தில் உள்ளன. இரண்டு பந்துகள் ஒன்றன் பின் ஒன்றாக சீரற்ற முறையில் வரையப்படுகின்றன. இரண்டு பந்துகளும் வெண்மையாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுங்கள்.

6. ஒரு கலசத்தில் 10 வெள்ளை மற்றும் 6 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன. ஒன்றன் பின் ஒன்றாக சீரற்ற முறையில் வரையப்பட்ட மூன்று பந்துகள் கருப்பு நிறமாக மாறும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

வேலை வகை: 4

நிபந்தனை

பேட்டரி சார்ஜ் செய்யப்படாத நிகழ்தகவு 0.15 ஆகும்.

தீர்வு காட்டு

பேட்டரி சார்ஜ் செய்யப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு 1-0.15 = 0.85 ஆகும். "இரண்டு பேட்டரிகளும் சார்ஜ் செய்யப்பட்டுள்ளன" நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம். "முதல் பேட்டரி சார்ஜ் ஆகிறது" மற்றும் "இரண்டாவது பேட்டரி சார்ஜ் ஆனது" நிகழ்வுகளை A மற்றும் B மூலம் குறிப்போம். எங்களுக்கு P(A) = P(B) = 0.85 கிடைத்தது. "இரண்டு பேட்டரிகளும் சார்ஜ் செய்யப்பட்டுள்ளன" நிகழ்வு A \cap B நிகழ்வுகளின் குறுக்குவெட்டு ஆகும், அதன் நிகழ்தகவு சமம் P(A\cap B) = 0,7225.

P(A)\cdot P(B) =

வேலை வகை: 4
0.85\cdot 0.85 =

நிபந்தனை

பதில்

தீர்வு காட்டு

தலைப்பு: நிகழ்வு நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் பேனா குறைபாடுடைய நிகழ்தகவு 0.05 ஆகும். ஒரு கடையில் ஒரு வாடிக்கையாளர் இரண்டு பேனாக்களைக் கொண்ட சீரற்ற தொகுப்பை வாங்குகிறார். இந்த தொகுப்பில் உள்ள இரண்டு பேனாக்களும் நன்றாக இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும். "இரண்டு பேட்டரிகளும் சார்ஜ் செய்யப்பட்டுள்ளன" நிகழ்வு A \cap B நிகழ்வுகளின் குறுக்குவெட்டு ஆகும், அதன் நிகழ்தகவு சமம் கைப்பிடி வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு 1-0.05 = 0.95 ஆகும். 0,9025.

P(A)\cdot P(B) =

"இரண்டு கைப்பிடிகளும் செயல்படுகின்றன" நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம். "முதல் கைப்பிடி வேலை செய்கிறது" மற்றும் "இரண்டாவது கைப்பிடி வேலை செய்கிறது" நிகழ்வுகளை A மற்றும் B ஆல் குறிப்போம். எங்களுக்கு P(A) = P(B) = 0.95 கிடைத்தது.

வேலை வகை: 4
0.85\cdot 0.85 =

நிபந்தனை

"இரண்டு கைப்பிடிகளும் செயல்படுகின்றன" என்பது நிகழ்வுகள் A\cap B இன் குறுக்குவெட்டு ஆகும், அதன் நிகழ்தகவு சமம் P(A\cap B) = 0.95\cdot 0.95 =

தீர்வு காட்டு

ஆதாரம்: "கணிதம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2017க்கான தயாரிப்பு. சுயவிவர நிலை." எட். F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

படம் ஒரு தளம் காட்டுகிறது. வண்டு "நுழைவு" புள்ளியில் பிரமைக்குள் ஊர்ந்து செல்கிறது. வண்டு திரும்பி எதிர் திசையில் ஊர்ந்து செல்ல முடியாது, எனவே ஒவ்வொரு முட்கரண்டியிலும் அது இதுவரை இல்லாத பாதைகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது. எந்த நிகழ்தகவுடன் வண்டு தேர்வு என்றால் D வெளியேறும்

மேலும் பாதை சீரற்றது. 0,5^4= 0,0625.

P(A)\cdot P(B) =

"இரண்டு கைப்பிடிகளும் செயல்படுகின்றன" நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம். "முதல் கைப்பிடி வேலை செய்கிறது" மற்றும் "இரண்டாவது கைப்பிடி வேலை செய்கிறது" நிகழ்வுகளை A மற்றும் B ஆல் குறிப்போம். எங்களுக்கு P(A) = P(B) = 0.95 கிடைத்தது.

வேலை வகை: 4
0.85\cdot 0.85 =

நிபந்தனை

வண்டு நகரக்கூடிய திசைகளில் குறுக்குவெட்டுகளில் அம்புகளை வைப்போம் (படத்தைப் பார்க்கவும்).

தீர்வு காட்டு

முதலில், "ஒரு வருடத்திற்குள் இரண்டு விளக்குகளும் எரிந்தன" நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம், இது சிக்கல் அறிக்கையிலிருந்து நிகழ்வுக்கு எதிரானது. "முதல் விளக்கு ஒரு வருடத்தில் எரிந்தது" மற்றும் "ஒரு வருடத்தில் இரண்டாவது விளக்கு எரிந்தது" என்ற நிகழ்வுகளை A மற்றும் B மூலம் குறிப்பிடுவோம். நிபந்தனையின்படி, P(A) = P(B) = 0.4. "இரண்டு பேட்டரிகளும் சார்ஜ் செய்யப்பட்டுள்ளன" நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம். "முதல் பேட்டரி சார்ஜ் ஆகிறது" மற்றும் "இரண்டாவது பேட்டரி சார்ஜ் ஆனது" நிகழ்வுகளை A மற்றும் B மூலம் குறிப்போம். எங்களுக்கு P(A) = P(B) = 0.85 கிடைத்தது. "ஒரு வருடத்திற்குள் இரண்டு விளக்குகளும் எரிந்தன" நிகழ்வு A \cap B ஆகும், அதன் நிகழ்தகவு சமம் P(A)\cdot P(B) = 0,16 0.4 \cdot 0.4 =

(ஏ மற்றும் பி நிகழ்வுகள் சுயாதீனமானவை என்பதால்). தேவையான நிகழ்தகவு சமம் 1 - 0,16 = 0,84.

P(A)\cdot P(B) =

"இரண்டு கைப்பிடிகளும் செயல்படுகின்றன" நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம். "முதல் கைப்பிடி வேலை செய்கிறது" மற்றும் "இரண்டாவது கைப்பிடி வேலை செய்கிறது" நிகழ்வுகளை A மற்றும் B ஆல் குறிப்போம். எங்களுக்கு P(A) = P(B) = 0.95 கிடைத்தது.

வேலை வகை: 4
0.85\cdot 0.85 =

நிபந்தனை

1 - P(A\cap B) =

தீர்வு காட்டு

ஹோட்டலில் இரண்டு குளிரூட்டிகள் உள்ளன. மற்ற குளிரூட்டிகளைப் பொருட்படுத்தாமல் அவை ஒவ்வொன்றும் 0.2 நிகழ்தகவுடன் தவறாக இருக்கலாம். இந்த குளிரூட்டிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று வேலை செய்யும் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்கவும். முதலில், "இரண்டு குளிரூட்டிகளும் தவறானவை" நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம், இது சிக்கல் அறிக்கையிலிருந்து நிகழ்வுக்கு எதிரானது. "முதல் குளிரூட்டி தவறானது" மற்றும் "இரண்டாவது குளிரூட்டி தவறானது" என்ற நிகழ்வுகளை A மற்றும் B மூலம் குறிப்பிடுவோம். நிபந்தனையின்படி, P(A) = P(B) = 0.2."இரண்டு குளிரூட்டிகளும் தவறானவை" என்ற நிகழ்வு A \cap B , A மற்றும் B நிகழ்வுகளின் குறுக்குவெட்டு, அதன் நிகழ்தகவு சமம்

P(A)\cdot P(B) =

"இரண்டு கைப்பிடிகளும் செயல்படுகின்றன" நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம். "முதல் கைப்பிடி வேலை செய்கிறது" மற்றும் "இரண்டாவது கைப்பிடி வேலை செய்கிறது" நிகழ்வுகளை A மற்றும் B ஆல் குறிப்போம். எங்களுக்கு P(A) = P(B) = 0.95 கிடைத்தது.

வேலை வகை: 4
0.85\cdot 0.85 =

நிபந்தனை

P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0.2\cdot 0.2 = 0.04

(ஏ மற்றும் பி நிகழ்வுகள் சுயாதீனமானவை என்பதால்). தேவையான நிகழ்தகவு 1-P(A \cap B)=1-0.04=0.96.

இயற்பியல் தேர்வில், மாணவர் தேர்வு கேள்விகளின் பட்டியலிலிருந்து ஒரு கேள்விக்கு பதிலளிக்கிறார். இந்த கேள்வி இயக்கவியலில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.25 ஆகும். இந்தக் கேள்வி மின்சாரத்தைப் பற்றியதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.3 ஆகும். ஒரே நேரத்தில் இரண்டு தலைப்புகளுடன் தொடர்புடைய கேள்விகள் எதுவும் இல்லை. இந்த இரண்டு தலைப்புகளில் ஒரு மாணவர் ஒரு கேள்வியைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

நிகழ்தகவு கூட்டல் தேற்றம்

பொருந்தாத சீரற்ற நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரே சோதனையில் பொருந்தாத சீரற்ற நிகழ்வுகளான $A$ மற்றும் $B$ ஆகியவை முறையே $P\left(A\right)$ மற்றும் $P\left(B\right)$ நிகழ்வதற்கான சாத்தியக்கூறுகள் உள்ளன என்பது அறியப்படுகிறது. இந்த நிகழ்வுகளின் $A+B$ தொகையின் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது, அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றின் நிகழ்தகவு

கொடுக்கப்பட்ட சோதனையில் சமமாக சாத்தியமான அனைத்து தொடக்க நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை $n$ என்று வைத்துக்கொள்வோம். இவற்றில் $A$ மற்றும் $B$ நிகழ்வுகள் முறையே $m_(A) $ மற்றும் $m_(B) $ தொடக்க நிகழ்வுகளால் விரும்பப்படுகின்றன. $A$ மற்றும் $B$ நிகழ்வுகள் பொருந்தாததால், $A+B$ நிகழ்வு $m_(A) +m_(B)$ தொடக்க நிகழ்வுகளால் விரும்பப்படுகிறது. எங்களிடம் $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

தேற்றம் 1

இரண்டு பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.குறிப்பு 1

முடிவு 1.பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை (அனைத்து தொடக்க நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை) ஒன்றுக்கு சமம்.

முடிவு 3.எதிர் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம், ஏனெனில் அவை பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவை உருவாக்குகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1

சில காலத்திற்கு நகரத்தில் மழை பெய்யாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு $p=0.7$ ஆகும். அதே நேரத்தில் நகரத்தில் ஒருமுறையாவது மழை பெய்யும் நிகழ்தகவை $q$ கண்டறியவும்.

“சில நேரம் ஊரில் மழையே பெய்யாதது” மற்றும் “சில நேரம் ஊரில் ஒரு முறையாவது மழை பெய்தது” என்ற நிகழ்வுகள் எதிர்மாறானவை. எனவே $p+q=1$, எங்கிருந்து $q=1-p=1-0.7=0.3$.

கூட்டு சீரற்ற நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரே சோதனையில் $A$ மற்றும் $B$ என்ற கூட்டு சீரற்ற நிகழ்வுகள் முறையே $P\left(A\right)$ மற்றும் $P\left(B\right)$ நிகழ்வதற்கான சாத்தியக்கூறுகள் உள்ளன என்பது அறியப்படுகிறது. இந்த நிகழ்வுகளின் $A+B$ தொகையின் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது, அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றின் நிகழ்தகவு

கொடுக்கப்பட்ட சோதனையில் சமமாக சாத்தியமான அனைத்து அடிப்படை நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை $n$ என்று வைத்துக்கொள்வோம். இவற்றில், $A$ மற்றும் $B$ நிகழ்வுகள் முறையே $m_(A) $ மற்றும் $m_(B) $ தொடக்க நிகழ்வுகளால் விரும்பப்படுகின்றன. $A$ மற்றும் $B$ நிகழ்வுகள் இணக்கமாக இருப்பதால், $m_(A) +m_(B) $ தொடக்க நிகழ்வுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையில், $m_(AB) $ ஆனது $A நிகழ்வு இரண்டிற்கும் சாதகமாக உள்ளது. $ மற்றும் நிகழ்வு $B$, அதாவது அவற்றின் கூட்டு நிகழ்வு (நிகழ்வுகளின் தயாரிப்பு $A\cdot B$). இந்த அளவு $m_(AB) $ $m_(A) $ மற்றும் $m_(B) $ ஆகிய இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் உள்ளிடப்பட்டது, எனவே $A+B$ நிகழ்வு $m_(A) +m_(B) -m_(AB) ஆல் விரும்பப்படுகிறது $ ஆரம்ப நிகழ்வுகள். எங்களிடம் உள்ளது: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\ வலது )$.

தேற்றம் 2

இரண்டு கூட்டு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு, இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

கருத்து. $A$ மற்றும் $B$ நிகழ்வுகள் சீரற்றதாக இருந்தால், அவற்றின் தயாரிப்பு $A\cdot B$ ஒரு சாத்தியமற்ற நிகழ்வாகும், இதன் நிகழ்தகவு $P\left(A\cdot B\right)=0$. இதன் விளைவாக, பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான சூத்திரம் கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2

இரண்டு பகடைகளை ஒரே நேரத்தில் உருட்டும்போது, ​​எண் 5 குறைந்தது ஒருமுறை தோன்றும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

ஒரே நேரத்தில் இரண்டு பகடைகளை வீசும் போது, ​​சமமாக சாத்தியமான அனைத்து அடிப்படை நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை $n=36$ ஆகும், ஏனெனில் முதல் இறக்கத்தின் ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் இரண்டாவது டையின் ஆறு எண்கள் தோன்றும். இவற்றில், $A$ - முதல் இறக்கத்தில் விழும் எண் 5 - 6 முறை மேற்கொள்ளப்படுகிறது, $B$ - இரண்டாவது இறக்கத்தில் விழும் எண் 5 - 6 முறையும் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. பன்னிரண்டு முறைகளில், 5 என்ற எண் இரண்டு பகடைகளிலும் ஒரு முறை தோன்றும். இவ்வாறு, $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $ .

நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றம்

சுதந்திரமான நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இரண்டு தொடர்ச்சியான சோதனைகளில் நிகழும் $A$ மற்றும் $B$ நிகழ்வுகள் $B$ நிகழ்வின் நிகழ்தகவு $A$ நிகழ்ந்ததா அல்லது நிகழவில்லையா என்பதைப் பொறுத்திருக்கவில்லை என்றால், அவை சுயாதீனம் எனப்படும்.

உதாரணமாக, ஒரு கலசத்தில் 2 வெள்ளை மற்றும் 2 கருப்பு பந்துகள் இருக்கட்டும். பந்தை மீட்டெடுப்பதே சோதனை. $A$ நிகழ்வு "முதல் சோதனையில் வெள்ளை பந்து வரையப்பட்டது." நிகழ்தகவு $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. முதல் சோதனைக்குப் பிறகு, பந்து மீண்டும் போடப்பட்டு இரண்டாவது சோதனை நடத்தப்பட்டது. நிகழ்வு $B$ -- ``இரண்டாவது சோதனையில் வெள்ளை பந்து வரையப்பட்டது''. நிகழ்தகவு $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. $P\left(B\right)$ நிகழ்தகவு $A$ நடந்ததா இல்லையா என்பதைப் பொறுத்து இல்லை, எனவே $A$ மற்றும் $B$ நிகழ்வுகள் சுயாதீனமானவை.

இரண்டு தொடர்ச்சியான சோதனைகளின் சுயாதீன சீரற்ற நிகழ்வுகள் $A$ மற்றும் $B$ ஆகியவை முறையே $P\left(A\right)$ மற்றும் $P\left(B\right)$ நிகழும் நிகழ்தகவுகள் என்று அறியப்படுகிறது. இந்த நிகழ்வுகளின் தயாரிப்பு $A\cdot B$ இன் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது அவற்றின் கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு.

முதல் சோதனையில் சமமாக சாத்தியமான அனைத்து தொடக்க நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை $n_(1) $ என்று வைத்துக்கொள்வோம். இவற்றில், $A$ நிகழ்வு $m_(1)$ தொடக்க நிகழ்வுகளால் விரும்பப்படுகிறது. இரண்டாவது சோதனையில் சமமாக சாத்தியமான அனைத்து தொடக்க நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை $n_(2) $ என்று வைத்துக்கொள்வோம். இவற்றில், $B$ நிகழ்வு $m_(2)$ தொடக்க நிகழ்வுகளால் விரும்பப்படுகிறது. இப்போது ஒரு புதிய ஆரம்ப நிகழ்வைக் கவனியுங்கள், இது முதல் மற்றும் இரண்டாவது சோதனைகளில் இருந்து நிகழ்வுகளின் தொடர்ச்சியான நிகழ்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. அத்தகைய சமமாக சாத்தியமான ஆரம்ப நிகழ்வுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை $n_(1) \cdot n_(2) $க்கு சமம். $A$ மற்றும் $B$ நிகழ்வுகள் சுயாதீனமானவை என்பதால், இந்த எண்ணிலிருந்து $A$ நிகழ்வு மற்றும் $B$ (நிகழ்வுகளின் தயாரிப்பு $A\cdot B$) ஆகியவற்றின் கூட்டு நிகழ்வு $m_(1) ஆல் விரும்பப்படுகிறது. cdot m_(2) $ நிகழ்வுகள் . எங்களிடம் உள்ளது: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

தேற்றம் 3

இரண்டு சுயாதீன நிகழ்வுகளின் உற்பத்தியின் நிகழ்தகவு இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

சார்பு நிகழ்வுகளைப் பார்ப்போம்.

இரண்டு தொடர்ச்சியான சோதனைகளில், $A$ மற்றும் $B$ நிகழ்வுகள் நிகழும். $B$ நிகழ்வின் நிகழ்தகவு $A$ நடந்ததா அல்லது நடக்கவில்லையா என்பதைப் பொறுத்து $B$ நிகழ்வின் நிகழ்தகவு $A$ நிகழ்வைச் சார்ந்தது என அழைக்கப்படுகிறது. $A$ நிகழ்வின் நிபந்தனையின் கீழ் கணக்கிடப்பட்ட $B$ நிகழ்வின் நிகழ்தகவு $B$ நிகழ்வின் நிபந்தனை நிகழ்தகவு என அழைக்கப்படுகிறது, $A$ கொடுக்கப்பட்டது மற்றும் $P\left(B/A\ என குறிக்கப்படுகிறது. வலது) $.

உதாரணமாக, ஒரு கலசத்தில் 2 வெள்ளை மற்றும் 2 கருப்பு பந்துகள் இருக்கட்டும். சோதனை என்பது பந்தை அகற்றுவதாகும். $A$ நிகழ்வு "முதல் சோதனையில் வெள்ளை பந்து வரையப்பட்டது." நிகழ்தகவு $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. முதல் சோதனைக்குப் பிறகு, பந்து மீண்டும் போடப்படவில்லை, இரண்டாவது சோதனை செய்யப்படுகிறது. நிகழ்வு $B$ -- ``இரண்டாவது சோதனையில் வெள்ளை பந்து வரையப்பட்டது''. முதல் சோதனையில் ஒரு வெள்ளை பந்து வரையப்பட்டிருந்தால், நிகழ்தகவு $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. முதல் சோதனையில் ஒரு கருப்பு பந்து வரையப்பட்டிருந்தால், நிகழ்தகவு $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. எனவே, $B$ நிகழ்வின் நிகழ்தகவு $A$ நிகழ்ந்ததா இல்லையா என்பதைப் பொறுத்தது, எனவே $B$ நிகழ்வு $A$ நிகழ்வைப் பொறுத்தது.

$A$ மற்றும் $B$ நிகழ்வுகள் இரண்டு தொடர்ச்சியான சோதனைகளில் நிகழும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். $A$ நிகழ்வின் நிகழ்தகவு $P\left(A\right)$ என அறியப்படுகிறது. $B$ நிகழ்வானது $A$ ஐச் சார்ந்தது என்பதும், $A$ கொடுக்கப்பட்ட அதன் நிபந்தனை நிகழ்தகவு $P\left(B/A\right)$க்கு சமம் என்பதும் அறியப்படுகிறது.

தேற்றம் 4

$P\left(A\cdot B\right)=P\ என்ற சூத்திரத்தால் $A$ மற்றும் சார்பு நிகழ்வான $B$ ஆகியவற்றின் விளைபொருளின் நிகழ்தகவு, அதாவது அவற்றின் கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு. இடது(A\வலது)\cdot P\left(B/A\right)$.

$P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ என்ற சமச்சீர் சூத்திரமும் செல்லுபடியாகும், இதில் $A$ நிகழ்வு கருதப்படுகிறது. $ B$ நிகழ்வைச் சார்ந்து இருக்க வேண்டும்.

கடைசி எடுத்துக்காட்டின் நிபந்தனைகளுக்கு, இரண்டு சோதனைகளிலும் வெள்ளை பந்து வரையப்படும் நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம். அத்தகைய நிகழ்வு $A$ மற்றும் $B$ நிகழ்வுகளின் விளைபொருளாகும். அதன் நிகழ்தகவு $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \ frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

அடிப்படை கருத்துக்கள்
நிகழ்வுகளில் ஒன்றின் நிகழ்வு அதே சோதனையில் மற்ற நிகழ்வுகளின் நிகழ்வைத் தவிர்த்துவிட்டால், நிகழ்வுகள் பொருந்தாதவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இல்லையெனில், அவை கூட்டு என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
ஒரு முழுமையான குழு என்பது நிகழ்வுகளின் தொகுப்பாகும், இதன் கலவையானது நம்பகமான நிகழ்வாகும்.
ஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்கும் இரண்டு சாத்தியமான நிகழ்வுகள் எதிர் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
நிகழ்வுகளில் ஒன்றின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மற்ற நிகழ்வுகளின் நிகழ்வு அல்லது நிகழாததைப் பொறுத்து இருந்தால், அவை சார்பு என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
நிகழ்வுகளில் ஒன்றின் நிகழ்தகவு மற்றவற்றின் நிகழ்வு அல்லது நிகழாத தன்மையைப் பொறுத்து இல்லை என்றால் நிகழ்வுகள் சுயாதீனமாக அழைக்கப்படுகின்றன.
பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம்
பி(A+B)=P(A)+P(B),
இதில் A, B ஆகியவை பொருந்தாத நிகழ்வுகள்.

கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம்
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), இதில் A மற்றும் B ஆகியவை கூட்டு நிகழ்வுகளாகும்.

சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை பெருக்குவதற்கான தேற்றம்
,
A மற்றும் B ஆகியவை சுயாதீன நிகழ்வுகள்.
சார்பு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை பெருக்குவதற்கான தேற்றம்
P(AB)=P(A)P A (B),
P A (B) என்பது நிகழ்வு B நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு, நிகழ்வு A நிகழ்ந்திருந்தால்; A மற்றும் B ஆகியவை சார்ந்த நிகழ்வுகள்.

பணி 1.
சுடும் வீரர் இலக்கை நோக்கி இரண்டு முறை சுடுகிறார். ஒவ்வொரு ஷாட் அடிக்கும் நிகழ்தகவு 0.8 ஆகும். நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவை உருவாக்கி அவற்றின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறியவும். தீர்வு.
சோதனை - ஒரு இலக்கை நோக்கி இரண்டு ஷாட்கள் சுடப்படுகின்றன.
நிகழ்வு ஏ- இரண்டு முறை தவறிவிட்டது.
நிகழ்வு IN- ஒரு முறை அடிக்கவும்.
நிகழ்வு உடன்- இரண்டு முறை அடிக்கவும்.
.

கட்டுப்பாடு: பி(A) +பி(B) +பி(C) = 1.
பணி 2.
வானிலை ஆய்வாளர்களின் கணிப்பின்படி, பி(மழை)=0.4; பி(காற்று)=0.7; ஆர்(மழை மற்றும் காற்று)=0.2. மழை அல்லது காற்று வருவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
தீர்வு. நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம் மற்றும் முன்மொழியப்பட்ட நிகழ்வுகளின் பொருந்தக்கூடிய தன்மை காரணமாக, எங்களிடம் உள்ளது:
பி(மழை அல்லது காற்று அல்லது இரண்டும்)=P(மழை) +P(காற்று) -P(மழை மற்றும் காற்று)=0.4+0.7-0.2=0.9.
பணி 3. தீர்வு.புறப்படும் நிலையத்தில் பொருட்களை அனுப்ப 8 ஆர்டர்கள் உள்ளன: உள்நாட்டு ஏற்றுமதிக்கு ஐந்து மற்றும் ஏற்றுமதிக்கு மூன்று. சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இரண்டு ஆர்டர்கள் உள்நாட்டு நுகர்வுக்கான நிகழ்தகவு என்ன? ஏநிகழ்வு IN- சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்ட முதல் ஆர்டர் நாட்டிற்குள் உள்ளது. நிகழ்வு

- இரண்டாவது உள்நாட்டு நுகர்வுக்காகவும் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. சார்பு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் பெருக்கல் பற்றிய தேற்றத்தின் மூலம் நாம் நிகழ்தகவைக் கண்டறிய வேண்டும்
பணி 4.
ஒரு தொகுதி தயாரிப்புகளில் இருந்து, வணிகர் மிக உயர்ந்த தர தயாரிப்புகளை தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கிறார். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட உருப்படி மிக உயர்ந்த தரத்தில் இருக்கும் நிகழ்தகவு 0.8; முதல் தரம் - 0.7; இரண்டாம் வகுப்பு - 0.5. தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மூன்று தயாரிப்புகளில் இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்:
a) இரண்டு பிரீமியம் தரங்கள் மட்டுமே; தீர்வு. b) எல்லோரும் வித்தியாசமாக இருக்கிறார்கள்.
நிகழ்வானது மிக உயர்ந்த தரத்தின் ஒரு தயாரிப்பாக இருக்கட்டும்; நிகழ்வு - முதல் தர தயாரிப்பு; நிகழ்வு இரண்டாம் தர தயாரிப்பு ஆகும்.
பிரச்சனையின் நிலைமைகளின்படி; ; நிகழ்வுகள் சுயாதீனமானவை. ஏஅ) நிகழ்வு

- இரண்டு உயர்தர தயாரிப்புகள் மட்டுமே இப்படி இருக்கும் IN b) நிகழ்வு - மூன்று தயாரிப்புகளும் வேறுபட்டவை - இதை இப்படி வைப்போம்:
, பிறகு.
மூன்று துப்பாக்கிகளில் இருந்து சுடும்போது இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவுகள் பின்வருமாறு: p1= 0,8; ப2=0,7; ப3=0.9. குறைந்தது ஒரு வெற்றியின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் (நிகழ்வு ஏ) அனைத்து துப்பாக்கிகளிலிருந்தும் ஒரு சால்வோவுடன். தீர்வு.ஒவ்வொரு துப்பாக்கியும் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு மற்ற துப்பாக்கிகளிலிருந்து சுடும் முடிவுகளைப் பொறுத்தது அல்ல, எனவே பரிசீலனையில் உள்ள நிகழ்வுகள் (முதல் துப்பாக்கியால் தாக்கியது), (இரண்டாவது துப்பாக்கியால் தாக்கியது) மற்றும் (மூன்றாவது துப்பாக்கியால் தாக்கியது) ஆகியவை சுயாதீனமானவை. மொத்தத்தில்.
நிகழ்வுகளுக்கு நேர்மாறான நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகள் (அதாவது, தவறவிடுவதற்கான நிகழ்தகவு) முறையே சமம்:

தேவையான நிகழ்தகவு
பணி 6.
அச்சகம் 4 அச்சு இயந்திரங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு இயந்திரத்திற்கும், அது தற்போது இயங்கும் நிகழ்தகவு 0.9 ஆகும். குறைந்தபட்சம் ஒரு இயந்திரமாவது தற்போது வேலை செய்யும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் (நிகழ்வு ஏ). தீர்வு."இயந்திரம் வேலை செய்கிறது" மற்றும் "இயந்திரம் வேலை செய்யவில்லை" (தற்போது) நிகழ்வுகள் எதிர், எனவே அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம்:
எனவே இயந்திரம் தற்போது வேலை செய்யாத நிகழ்தகவு சமமாக உள்ளது
தேவையான நிகழ்தகவு.

தீர்வு.சிக்கல் 7. வாசிப்பு அறையில் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் 6 பாடப்புத்தகங்கள் உள்ளன, அவற்றில் மூன்று பிணைக்கப்பட்டுள்ளன. நூலகர் எதேச்சையாக இரண்டு பாடப்புத்தகங்களை எடுத்தார். இரண்டு பாடப்புத்தகங்களும் இணைக்கப்படும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.
பின்வரும் நிகழ்வுகளைக் கவனியுங்கள்:
A1 - எடுக்கப்பட்ட முதல் கட்டப்பட்ட பாடநூல்;
A2 எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது கட்டப்பட்ட பாடப்புத்தகம்.
எடுக்கப்பட்ட இரண்டு பாடப்புத்தகங்களும் பிணைக்கப்பட்டுள்ளன என்ற உண்மையை உள்ளடக்கிய ஒரு நிகழ்வு. நிகழ்வுகள் A1 மற்றும் A2 சார்ந்தது, ஏனெனில் நிகழ்வு A2 நிகழ்வின் நிகழ்தகவு A1 நிகழ்வைப் பொறுத்தது. இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, சார்பு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைப் பெருக்க தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: .
நிகழ்வு A1 p(A1) நிகழ்வின் நிகழ்தகவு நிகழ்தகவுக்கான பாரம்பரிய வரையறைக்கு ஏற்ப:
P(A1)=m/n=3/6=0.5.
நிகழ்வு A2 நிகழ்வின் நிகழ்தகவு A1 நிகழ்வுக்கு உட்பட்ட நிகழ்வு A2 நிகழ்வின் நிபந்தனை நிகழ்தகவு மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அதாவது. (A2)==0.4.
பின்னர் நிகழ்வின் விரும்பிய நிகழ்தகவு:

பி(A)=0.5*0.4=0.2.
முக்கிய குறிப்புகள்!
1. சூத்திரங்களுக்குப் பதிலாக gobbledygookஐப் பார்த்தால், உங்கள் தற்காலிக சேமிப்பை அழிக்கவும். உங்கள் உலாவியில் இதை எப்படி செய்வது என்பது இங்கே எழுதப்பட்டுள்ளது:

2. நீங்கள் கட்டுரையைப் படிக்கத் தொடங்குவதற்கு முன், மிகவும் பயனுள்ள ஆதாரங்களுக்கு எங்கள் நேவிகேட்டருக்கு கவனம் செலுத்துங்கள்

நிகழ்தகவு என்றால் என்ன?

இந்த வார்த்தையை நான் முதன்முதலில் சந்தித்தபோது, ​​​​அது என்னவென்று எனக்குப் புரியவில்லை. எனவே, நான் தெளிவாக விளக்க முயற்சிக்கிறேன்.

நிகழ்தகவு என்பது நாம் விரும்பும் நிகழ்வு நடக்கும் வாய்ப்பு. உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு நண்பரின் வீட்டிற்குச் செல்ல முடிவு செய்தீர்கள், நுழைவாயிலையும் அவர் வசிக்கும் தரையையும் கூட நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்கள். ஆனால் அபார்ட்மெண்ட் எண் மற்றும் இடம் மறந்துவிட்டேன். இங்கே நீங்கள் நிற்கிறீர்கள்படிக்கட்டு

நீங்கள் முதல் அழைப்பு மணியை அடித்தால், உங்கள் நண்பர் உங்களுக்கு கதவைத் தெரிவிப்பதற்கான வாய்ப்பு (நிகழ்தகவு) என்ன? அடுக்குமாடி குடியிருப்புகள் மட்டுமே உள்ளன, ஒரு நண்பர் அவற்றில் ஒன்றின் பின்னால் மட்டுமே வசிக்கிறார். சம வாய்ப்புடன் நாம் எந்த கதவையும் தேர்வு செய்யலாம்.

ஆனால் இந்த வாய்ப்பு என்ன?

கதவு, வலது கதவு. முதல் அழைப்பு மணியை அடிப்பதன் மூலம் யூகிப்பதற்கான நிகழ்தகவு: . அதாவது, மூன்றில் ஒரு முறை நீங்கள் துல்லியமாக யூகிப்பீர்கள்.

நாம் தெரிந்து கொள்ள விரும்புகிறோம், ஒரு முறை அழைத்தால், எவ்வளவு அடிக்கடி கதவை யூகிப்போம்? அனைத்து விருப்பங்களையும் பார்ப்போம்:

1. நீங்கள் அழைத்தீர்கள் 1வதுகதவு
2. நீங்கள் அழைத்தீர்கள் 2வதுகதவு
3. நீங்கள் அழைத்தீர்கள் 3வதுகதவு

இப்போது நண்பர் இருக்கக்கூடிய அனைத்து விருப்பங்களையும் பார்க்கலாம்:

ஏ. க்கு 1வதுகதவு
பி. க்கு 2வதுகதவு
வி. க்கு 3வதுகதவு

அட்டவணை வடிவத்தில் அனைத்து விருப்பங்களையும் ஒப்பிடுவோம். உங்கள் தேர்வு நண்பரின் இருப்பிடத்துடன் ஒத்துப்போகும் போது, ​​ஒரு குறுக்கு - அது ஒத்துப்போகாதபோது ஒரு தேர்வுக்குறி விருப்பங்களைக் குறிக்கிறது.

எல்லாவற்றையும் எப்படி பார்க்கிறீர்கள் இருக்கலாம் விருப்பங்கள்உங்கள் நண்பரின் இருப்பிடம் மற்றும் எந்த கதவை ஒலிக்க வேண்டும் என்பதை நீங்கள் தேர்வு செய்கிறீர்கள்.

ஏ அனைவருக்கும் சாதகமான முடிவுகள் . அதாவது, நீங்கள் ஒரு முறை அழைப்பு மணியை அடிப்பதன் மூலம் ஒருமுறை யூகிப்பீர்கள், அதாவது. .

இது நிகழ்தகவு - சாத்தியமான நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சாதகமான முடிவின் விகிதம் (உங்கள் தேர்வு உங்கள் நண்பரின் இருப்பிடத்துடன் ஒத்துப்போகும் போது).

வரையறை என்பது சூத்திரம். நிகழ்தகவு பொதுவாக p ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, எனவே:

அத்தகைய சூத்திரத்தை எழுதுவது மிகவும் வசதியானது அல்ல, எனவே நாம் எடுத்துக்கொள்வோம் - சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை, மற்றும் - மொத்த விளைவுகளின் எண்ணிக்கை.

நிகழ்தகவை ஒரு சதவீதமாக எழுதலாம், இதன் விளைவாக வரும் முடிவை நீங்கள் பெருக்க வேண்டும்:

"விளைவுகள்" என்ற வார்த்தை உங்கள் கண்ணில் பட்டிருக்கலாம். ஏனெனில் கணிதவியலாளர்கள் அழைக்கிறார்கள் பல்வேறு நடவடிக்கைகள்(நம் நாட்டில், அத்தகைய நடவடிக்கை ஒரு கதவு மணி) சோதனைகள், பின்னர் இதுபோன்ற சோதனைகளின் விளைவாக பொதுவாக விளைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நல்லது, சாதகமான மற்றும் சாதகமற்ற முடிவுகள் உள்ளன.

நமது உதாரணத்திற்கு திரும்புவோம். நாங்கள் ஒரு கதவைத் தட்டினோம், ஆனால் அது எங்களுக்குத் திறக்கப்பட்டது என்று வைத்துக்கொள்வோம் அந்நியன். நாங்கள் சரியாக யூகிக்கவில்லை. எஞ்சியிருக்கும் கதவுகளில் ஒன்றை நாம் ஒலித்தால், அதை நம் நண்பர் நமக்குத் திறப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

என்று நீங்கள் நினைத்திருந்தால், இது தவறு. அதை கண்டுபிடிக்கலாம்.

எங்களிடம் இரண்டு கதவுகள் உள்ளன. எனவே எங்களிடம் சாத்தியமான படிகள் உள்ளன:

1) அழைப்பு 1வதுகதவு
2) அழைப்பு 2வதுகதவு

நண்பர், இதையெல்லாம் மீறி, நிச்சயமாக அவர்களில் ஒருவருக்குப் பின்னால் இருக்கிறார் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நாங்கள் அழைத்தவருக்குப் பின்னால் அவர் இல்லை):

அ) நண்பர் 1வதுகதவு
b) நண்பர் 2வதுகதவு

மீண்டும் அட்டவணையை வரைவோம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, விருப்பங்கள் மட்டுமே உள்ளன, அவற்றில் சாதகமானவை. அதாவது, நிகழ்தகவு சமம்.

ஏன் இல்லை?

நாம் கருதிய நிலைமை சார்பு நிகழ்வுகளின் உதாரணம்.முதல் நிகழ்வு முதல் கதவு மணி, இரண்டாவது நிகழ்வு இரண்டாவது கதவு மணி.

மேலும் அவை சார்ந்தவை என அழைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவை பின்வரும் செயல்களை பாதிக்கின்றன. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, முதல் மோதிரத்திற்குப் பிறகு அழைப்பு மணியை ஒரு நண்பர் பதிலளித்தால், அவர் மற்ற இரண்டில் ஒருவருக்குப் பின்னால் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? சரி,.

ஆனால் சார்பு நிகழ்வுகள் இருந்தால், அதுவும் இருக்க வேண்டும் சுதந்திரமான? அது சரி, அவை நடக்கும்.

ஒரு பாடப்புத்தக உதாரணம் ஒரு நாணயத்தை தூக்கி எறிவது.

1. ஒரு நாணயத்தை ஒரு முறை தூக்கி எறியுங்கள். உதாரணமாக, தலைகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? அது சரி - எல்லா விருப்பங்களும் இருப்பதால் (தலைகள் அல்லது வால்கள், நாணயம் அதன் விளிம்பில் இறங்குவதற்கான நிகழ்தகவை நாங்கள் புறக்கணிப்போம்), ஆனால் அது எங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்.
2. ஆனால் அது தலைதூக்கியது. சரி, மீண்டும் வீசுவோம். இப்போது தலை வருவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? எதுவும் மாறவில்லை, எல்லாம் ஒன்றுதான். எத்தனை விருப்பங்கள்? இரண்டு. எத்தனை பேரில் நாம் மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறோம்? ஒன்று.

மேலும் அது ஒரு வரிசையில் குறைந்தது ஆயிரம் முறையாவது தலை மேலே வரட்டும். ஒரே நேரத்தில் தலைகள் வருவதற்கான நிகழ்தகவு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். எப்போதும் விருப்பங்கள் உள்ளன, மற்றும் சாதகமானவை.

சுயாதீன நிகழ்வுகளிலிருந்து சார்பு நிகழ்வுகளை வேறுபடுத்துவது எளிது:

1. சோதனை ஒரு முறை மேற்கொள்ளப்பட்டால் (அவர்கள் ஒரு நாணயத்தை ஒரு முறை வீசுகிறார்கள், ஒரு முறை அழைப்பு மணியை அடிக்கிறார்கள், முதலியன), பின்னர் நிகழ்வுகள் எப்போதும் சுயாதீனமாக இருக்கும்.
2. ஒரு சோதனை பல முறை மேற்கொள்ளப்பட்டால் (ஒரு நாணயம் ஒரு முறை வீசப்படுகிறது, கதவு மணி பல முறை அடிக்கப்படுகிறது), பின்னர் முதல் நிகழ்வு எப்போதும் சுயாதீனமாக இருக்கும். பின்னர், சாதகமானவற்றின் எண்ணிக்கை அல்லது அனைத்து விளைவுகளின் எண்ணிக்கையும் மாறினால், நிகழ்வுகள் சார்ந்து இருக்கும், இல்லையெனில் அவை சுயாதீனமானவை.

நிகழ்தகவைக் கொஞ்சம் தீர்மானிக்கப் பழகுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

நாணயம் இரண்டு முறை தூக்கி எறியப்படுகிறது. ஒரு வரிசையில் இரண்டு முறை தலைகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு:

எல்லாவற்றையும் கருத்தில் கொள்வோம் சாத்தியமான விருப்பங்கள்:

1. கழுகு-கழுகு
2. தலைகள்-வால்கள்
3. வால்கள்-தலைகள்
4. வால்கள்-வால்கள்

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, விருப்பங்கள் மட்டுமே உள்ளன. இவற்றில் நாங்கள் திருப்தி அடைகிறோம். அதாவது, நிகழ்தகவு:

நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிக்க நிபந்தனை வெறுமனே கேட்டால், பதில் படிவத்தில் கொடுக்கப்பட வேண்டும் தசம. பதிலை ஒரு சதவீதமாக வழங்க வேண்டும் என்று குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால், நாம் பெருக்குவோம்.

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 2.

சாக்லேட் பெட்டியில், அனைத்து சாக்லேட்டுகளும் ஒரே ரேப்பரில் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன. இருப்பினும், இனிப்புகளிலிருந்து - கொட்டைகள், காக்னாக், செர்ரிகளுடன், கேரமல் மற்றும் நௌகட் உடன்.

ஒரு மிட்டாய் எடுத்து, கொட்டைகள் கொண்ட மிட்டாய் கிடைக்கும் நிகழ்தகவு என்ன? உங்கள் பதிலை சதவீதமாக கொடுங்கள்.

தீர்வு:

எத்தனை சாத்தியமான முடிவுகள் உள்ளன? .

அதாவது, நீங்கள் ஒரு மிட்டாய் எடுத்தால், அது பெட்டியில் கிடைக்கும் ஒன்றாக இருக்கும்.

எத்தனை சாதகமான முடிவுகள்?

ஏனெனில் பெட்டியில் கொட்டைகள் கொண்ட சாக்லேட்டுகள் மட்டுமே உள்ளன.

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 3.

பலூன்களின் பெட்டியில். அதில் வெள்ளை மற்றும் கருப்பு.

1. வெள்ளைப் பந்தை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
2. பெட்டியில் அதிக கருப்பு பந்துகளைச் சேர்த்தோம். இப்போது வெள்ளைப் பந்தை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு:

அ) பெட்டியில் பந்துகள் மட்டுமே உள்ளன. அவர்களில் வெள்ளை.

நிகழ்தகவு:

b) இப்போது பெட்டியில் அதிக பந்துகள் உள்ளன. இன்னும் எத்தனையோ வெள்ளையர்கள் எஞ்சியுள்ளனர் - .

பதில்:

மொத்த நிகழ்தகவு

ஒரு பெட்டியில் சிவப்பு மற்றும் பச்சை நிற பந்துகள் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். சிவப்பு பந்தை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? பச்சை பந்து? சிவப்பு அல்லது பச்சை பந்து?

சிவப்பு பந்தை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு

பச்சை பந்து:

சிவப்பு அல்லது பச்சை பந்து:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சாத்தியமான அனைத்து நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை () க்கு சமம். இந்த புள்ளியைப் புரிந்துகொள்வது பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.

பெட்டியில் குறிப்பான்கள் உள்ளன: பச்சை, சிவப்பு, நீலம், மஞ்சள், கருப்பு.

சிவப்பு குறிப்பான் அல்ல வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு:

எண்ணை எண்ணுவோம் சாதகமான முடிவுகள்.

சிவப்பு மார்க்கர் அல்ல, அதாவது பச்சை, நீலம், மஞ்சள் அல்லது கருப்பு.

சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை பெருக்குவதற்கான விதி

சுயாதீன நிகழ்வுகள் என்னவென்று உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.

இரண்டு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) சுயாதீன நிகழ்வுகள் ஒரு வரிசையில் நிகழும் நிகழ்தகவை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டுமானால் என்ன செய்வது?

ஒரு நாணயத்தை ஒரு முறை புரட்டினால், இரண்டு முறை தலையைப் பார்க்கும் நிகழ்தகவு என்ன என்பதை அறிய விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம்?

நாங்கள் ஏற்கனவே பரிசீலித்தோம் - .

ஒருமுறை நாணயத்தை தூக்கி எறிந்தால் என்ன செய்வது? ஒரு கழுகை தொடர்ச்சியாக இரண்டு முறை பார்க்கும் நிகழ்தகவு என்ன?

சாத்தியமான மொத்த விருப்பங்கள்:

1. கழுகு-கழுகு-கழுகு
2. தலைகள்-தலைகள்-வால்கள்
3. தலைகள்-வால்கள்-தலைகள்
4. தலைகள்-வால்கள்-வால்கள்
5. வால்கள்-தலைகள்-தலைகள்
6. வால்கள்-தலைகள்-வால்கள்
7. வால்கள்-வால்கள்-தலைகள்
8. வால்கள்-வால்கள்-வால்கள்

உங்களைப் பற்றி எனக்குத் தெரியாது, ஆனால் இந்தப் பட்டியலைத் தொகுக்கும்போது நான் பல முறை தவறு செய்தேன். ஆஹா! மற்றும் ஒரே விருப்பம் (முதல்) எங்களுக்கு பொருந்தும்.

5 வீசுதல்களுக்கு, சாத்தியமான விளைவுகளின் பட்டியலை நீங்களே உருவாக்கலாம். ஆனால் கணிதவியலாளர்கள் உங்களைப் போல் கடின உழைப்பாளிகள் அல்ல.

எனவே, அவர்கள் முதலில் கவனித்தனர், பின்னர் ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசை சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவால் குறைகிறது என்பதை நிரூபித்தது.

வேறுவிதமாகக் கூறினால்,

அதே மோசமான நாணயத்தின் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

ஒரு சவாலில் தலையிடுவதற்கான நிகழ்தகவு? . இப்போது நாம் நாணயத்தை ஒரு முறை புரட்டுகிறோம்.

ஒரு வரிசையில் தலைகள் வருவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

ஒரே நிகழ்வு தொடர்ச்சியாக பல முறை நிகழும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியும்படி கேட்டால் மட்டும் இந்த விதி செயல்படாது.

தொடர்ச்சியான டாஸ்களுக்கு டெயில்ஸ்-ஹெட்ஸ்-டெயில்ஸ் வரிசையைக் கண்டுபிடிக்க விரும்பினால், நாமும் அதையே செய்வோம்.

வால்களைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு , தலைகள் - .

டெயில்ஸ்-ஹெட்ஸ்-டெயில்ஸ்-டெயில்ஸ் வரிசையைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு:

ஒரு அட்டவணையை உருவாக்குவதன் மூலம் அதை நீங்களே சரிபார்க்கலாம்.

பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான விதி.

எனவே நிறுத்து! புதிய வரையறை.

அதை கண்டுபிடிக்கலாம். நம் தேய்ந்து போன காசை எடுத்து ஒரு முறை தூக்கி எறிவோம்.
சாத்தியமான விருப்பங்கள்:

1. கழுகு-கழுகு-கழுகு
2. தலைகள்-தலைகள்-வால்கள்
3. தலைகள்-வால்கள்-தலைகள்
4. தலைகள்-வால்கள்-வால்கள்
5. வால்கள்-தலைகள்-தலைகள்
6. வால்கள்-தலைகள்-வால்கள்
7. வால்கள்-வால்கள்-தலைகள்
8. வால்கள்-வால்கள்-வால்கள்

எனவே, பொருந்தாத நிகழ்வுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட, கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்வுகளின் வரிசை. - இவை பொருந்தாத நிகழ்வுகள்.

இரண்டு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு என்ன என்பதைத் தீர்மானிக்க விரும்பினால், இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்க்கிறோம்.

தலைகள் அல்லது வால்கள் இரண்டு சுயாதீன நிகழ்வுகள் என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

ஒரு வரிசையின் (அல்லது வேறு ஏதேனும்) நிகழ்வின் நிகழ்தகவை நாம் தீர்மானிக்க விரும்பினால், நிகழ்தகவுகளைப் பெருக்கும் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
முதல் டாஸில் தலையும், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது டாஸில் வால்களும் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

ஆனால் பல வரிசைகளில் ஒன்றைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன என்பதை நாம் அறிய விரும்பினால், எடுத்துக்காட்டாக, தலைகள் சரியாக ஒரு முறை வரும்போது, ​​அதாவது. விருப்பங்கள் மற்றும், இந்த வரிசைகளின் நிகழ்தகவுகளை நாம் சேர்க்க வேண்டும்.

மொத்த விருப்பங்கள் எங்களுக்கு பொருந்தும்.

ஒவ்வொரு வரிசையின் நிகழ்வின் நிகழ்தகவுகளையும் சேர்ப்பதன் மூலம் நாம் அதையே பெறலாம்:

இவ்வாறு, குறிப்பிட்ட, சீரற்ற, நிகழ்வுகளின் வரிசைகளின் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்க விரும்பும் போது நிகழ்தகவுகளைச் சேர்க்கிறோம்.

எப்போது பெருக்க வேண்டும், எப்போது சேர்க்க வேண்டும் என்ற குழப்பத்தைத் தவிர்க்க உதவும் ஒரு சிறந்த விதி உள்ளது:

நாம் ஒரு நாணயத்தை ஒருமுறை தூக்கி எறிந்துவிட்டு, தலையை ஒருமுறை பார்ப்பதற்கான நிகழ்தகவை அறிய விரும்பிய உதாரணத்திற்கு வருவோம்.
என்ன நடக்க வேண்டும்?

வெளியே விழ வேண்டும்:
(தலைகள் மற்றும் வால்கள் மற்றும் வால்கள்) அல்லது (வால்கள் மற்றும் தலைகள் மற்றும் வால்கள்) அல்லது (வால்கள் மற்றும் வால்கள் மற்றும் தலைகள்).
இது எப்படி மாறும்:

ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 5.

பெட்டியில் பென்சில்கள் உள்ளன. சிவப்பு, பச்சை, ஆரஞ்சு மற்றும் மஞ்சள் மற்றும் கருப்பு. சிவப்பு அல்லது பச்சை பென்சில்களை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 6.

ஒரு டை இரண்டு முறை வீசப்பட்டால், மொத்தம் 8 பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு.

நாம் எப்படி புள்ளிகளைப் பெறுவது?

(மற்றும்) அல்லது (மற்றும்) அல்லது (மற்றும்) அல்லது (மற்றும்) அல்லது (மற்றும்).

ஒரு (ஏதேனும்) முகத்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு .

நிகழ்தகவை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

பயிற்சி.

நிகழ்தகவுகளை எப்போது கணக்கிட வேண்டும், எப்போது சேர்க்க வேண்டும், எப்போது பெருக்க வேண்டும் என்பதை இப்போது நீங்கள் புரிந்துகொண்டீர்கள் என்று நினைக்கிறேன். இல்லையா? கொஞ்சம் பயிற்சி செய்வோம்.

பணிகள்:

மண்வெட்டிகள், இதயங்கள், 13 கிளப்புகள் மற்றும் 13 வைரங்கள் உள்ளிட்ட அட்டைகள் அடங்கிய அட்டை தளத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். ஒவ்வொரு சூட்டின் ஏஸ் வரை.

1. ஒரு வரிசையில் கிளப்புகளை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன (நாங்கள் இழுக்கப்பட்ட முதல் அட்டையை மீண்டும் டெக்கிற்குள் வைத்து அதை கலக்கிறோம்)?
2. கருப்பு அட்டை (ஸ்பேட்ஸ் அல்லது கிளப்) வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
3. ஒரு படத்தை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன (ஜாக், ராணி, ராஜா அல்லது சீட்டு)?
4. ஒரு வரிசையில் இரண்டு படங்களை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன (டெக்கிலிருந்து வரையப்பட்ட முதல் அட்டையை அகற்றுவோம்)?
5. நிகழ்தகவு என்ன, இரண்டு அட்டைகளை எடுத்து, ஒரு கலவையை சேகரிக்க - (ஜாக், ராணி அல்லது ராஜா) மற்றும் ஒரு சீட்டுகள் வரையப்பட்ட வரிசை முக்கியமில்லை.

பதில்கள்:

எல்லா பிரச்சனைகளையும் நீங்களே தீர்க்க முடிந்தால், நீங்கள் பெரியவர்! இப்போது நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டின் சிக்கல்களை நட்ஸ் போன்றவற்றை உடைப்பீர்கள்!

நிகழ்தகவு கோட்பாடு. நடுத்தர நிலை

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். நாம் ஒரு சாவை வீசுகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இது என்ன வகையான எலும்பு, உங்களுக்குத் தெரியுமா? இதைத்தான் முகத்தில் எண்களைக் கொண்ட கனசதுரம் என்று அழைக்கிறார்கள். எத்தனை முகங்கள், பல எண்கள்: இருந்து எத்தனை? செய்ய.

எனவே நாங்கள் பகடைகளை உருட்டுகிறோம், அது மேலே வர வேண்டும் என்று நாங்கள் விரும்புகிறோம் அல்லது. நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம்.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் அவர்கள் என்ன நடந்தது என்று கூறுகிறார்கள் மங்கள நிகழ்வு(செழிப்பானதுடன் குழப்பிக்கொள்ளக்கூடாது).

அது நடந்திருந்தால், நிகழ்வும் சாதகமாக இருக்கும். மொத்தத்தில், இரண்டு சாதகமான நிகழ்வுகள் மட்டுமே நடக்க முடியும்.

எத்தனை சாதகமற்றவை? மொத்த சாத்தியமான நிகழ்வுகள் இருப்பதால், சாதகமற்றவை நிகழ்வுகள் என்று அர்த்தம் (இது இருந்தால் அல்லது விழுந்தால்).

வரையறை:

நிகழ்தகவு என்பது அளவின் விகிதமாகும் சாதகமான நிகழ்வுகள்சாத்தியமான அனைத்து நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கு. அதாவது, சாத்தியமான அனைத்து நிகழ்வுகளின் விகிதமும் சாதகமானது என்பதை நிகழ்தகவு காட்டுகிறது.

நிகழ்தகவு ஒரு லத்தீன் எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது (வெளிப்படையாக இருந்து ஆங்கில வார்த்தைநிகழ்தகவு - நிகழ்தகவு).

நிகழ்தகவை சதவீதமாக அளவிடுவது வழக்கம் (தலைப்புகள் மற்றும் பார்க்கவும்). இதைச் செய்ய, நிகழ்தகவு மதிப்பை பெருக்க வேண்டும். பகடை உதாரணத்தில், நிகழ்தகவு.

மற்றும் சதவீதத்தில்: .

எடுத்துக்காட்டுகள் (நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்):

1. நாணயத்தைத் தூக்கி எறியும் போது தலை வருவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? தலைகள் இறங்குவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
2. ஒரு பகடை வீசும்போது, ​​பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன சம எண்? மற்றும் ஒற்றைப்படை எது?
3. எளிய, நீலம் மற்றும் சிவப்பு பென்சில்கள் ஒரு பெட்டியில். நாங்கள் ஒரு பென்சிலை சீரற்ற முறையில் வரைகிறோம். எளிமையான ஒன்றைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வுகள்:

1. எத்தனை விருப்பங்கள் உள்ளன? தலைகள் மற்றும் வால்கள் - இரண்டு. அவற்றில் எத்தனை சாதகமானவை? ஒன்று மட்டும் கழுகு. எனவே நிகழ்தகவு

   வால்களிலும் இது ஒன்றுதான்: .

2. மொத்த விருப்பங்கள்: (கனசதுரத்தில் எத்தனை பக்கங்கள் உள்ளன, பல பல்வேறு விருப்பங்கள்) சாதகமானவை: (இவை அனைத்தும் இரட்டை எண்கள்:).
   நிகழ்தகவு. நிச்சயமாக, ஒற்றைப்படை எண்களிலும் இது ஒன்றுதான்.
3. மொத்தம்: . சாதகமான:. நிகழ்தகவு: .

மொத்த நிகழ்தகவு

பெட்டியில் உள்ள அனைத்து பென்சில்களும் பச்சை நிறத்தில் உள்ளன. சிவப்பு பென்சில் வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? வாய்ப்புகள் இல்லை: நிகழ்தகவு (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, சாதகமான நிகழ்வுகள் -).

அத்தகைய நிகழ்வு சாத்தியமற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பச்சை பென்சில் வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? மொத்த நிகழ்வுகள் (அனைத்து நிகழ்வுகளும் சாதகமானவை) போலவே சாதகமான நிகழ்வுகளும் உள்ளன. எனவே நிகழ்தகவு சமம் அல்லது.

அத்தகைய நிகழ்வு நம்பகமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு பெட்டியில் பச்சை மற்றும் சிவப்பு பென்சில்கள் இருந்தால், பச்சை அல்லது சிவப்பு வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? மீண்டும். இதை கவனிக்கலாம்: பச்சை நிறத்தை வெளியே இழுப்பதற்கான நிகழ்தகவு சமம், மற்றும் சிவப்பு சமம்.

மொத்தத்தில், இந்த நிகழ்தகவுகள் சரியாக சமம். அதாவது, சாத்தியமான அனைத்து நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை சமமாக அல்லது.

எடுத்துக்காட்டு:

பென்சில்களின் பெட்டியில், அவற்றில் நீலம், சிவப்பு, பச்சை, வெற்று, மஞ்சள் மற்றும் மீதமுள்ளவை ஆரஞ்சு. பச்சை வரையாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு:

எல்லா நிகழ்தகவுகளும் சேர்க்கப்படுவதை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம். மேலும் பச்சை நிறத்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு சமம். இதன் பொருள் பச்சை நிறத்தை வரையாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு சமம்.

இந்த தந்திரத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:ஒரு நிகழ்வு நிகழாத நிகழ்தகவு நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவை கழிப்பதற்கு சமம்.

சுயாதீன நிகழ்வுகள் மற்றும் பெருக்கல் விதி

நீங்கள் ஒரு நாணயத்தை ஒரு முறை புரட்டினால், அது இரண்டு முறையும் மேலே வர வேண்டும். இதற்கான வாய்ப்பு என்ன?

சாத்தியமான அனைத்து விருப்பங்களையும் பார்த்து, எத்தனை உள்ளன என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்:

தலைகள்-தலைகள், வால்கள்-தலைகள், தலைகள்-வால்கள், வால்கள்-வால்கள். மற்றவை என்ன?

மொத்த விருப்பங்கள். இவற்றில் ஒன்று மட்டுமே நமக்குப் பொருத்தமானது: கழுகு-கழுகு. மொத்தத்தில், நிகழ்தகவு சமம்.

நன்றாக. இப்போது ஒரு நாணயத்தை ஒருமுறை புரட்டுவோம். கணிதத்தை நீங்களே செய்யுங்கள். அது வேலை செய்ததா? (பதில்).

ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த எறிதலையும் சேர்த்து, நிகழ்தகவு பாதியாக குறைவதை நீங்கள் கவனித்திருக்கலாம். பொது விதிஅழைக்கப்பட்டது பெருக்கல் விதி:

சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு மாறுகிறது.

சுயாதீன நிகழ்வுகள் என்றால் என்ன? எல்லாம் தர்க்கரீதியானது: இவை ஒருவருக்கொருவர் சார்ந்து இல்லை. உதாரணமாக, நாம் ஒரு நாணயத்தை பல முறை வீசும்போது, ​​ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு புதிய வீசுதல் செய்யப்படுகிறது, இதன் விளைவாக முந்தைய அனைத்து வீசுதல்களையும் சார்ந்து இருக்காது. நாம் ஒரே நேரத்தில் இரண்டு வெவ்வேறு நாணயங்களை எளிதாக வீசலாம்.

மேலும் உதாரணங்கள்:

1. பகடை இரண்டு முறை வீசப்படுகிறது. இரண்டு முறையும் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
2. நாணயம் ஒரு முறை தூக்கி எறியப்படுகிறது. அது முதல் முறை மேலே வரும், பின்னர் இரண்டு முறை வால்கள் வருவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
3. வீரர் இரண்டு பகடைகளை உருட்டுகிறார். அவற்றில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

பதில்கள்:

1. நிகழ்வுகள் சுயாதீனமானவை, அதாவது பெருக்கல் விதி செயல்படுகிறது: .
2. தலைகளின் நிகழ்தகவு சமம். வால்களின் நிகழ்தகவு ஒன்றுதான். பெருக்கவும்:
3. இரண்டு -கியை உருட்டினால் மட்டுமே 12 கிடைக்கும்: .

பொருந்தாத நிகழ்வுகள் மற்றும் கூட்டல் விதி

முழு நிகழ்தகவு புள்ளியில் ஒருவருக்கொருவர் பூர்த்தி செய்யும் நிகழ்வுகள் பொருந்தாதவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பெயர் குறிப்பிடுவது போல, அவை ஒரே நேரத்தில் நடக்க முடியாது. உதாரணமாக, நாம் ஒரு நாணயத்தை புரட்டினால், அது தலை அல்லது வால் வரை வரலாம்.

உதாரணம்.

பென்சில்களின் பெட்டியில், அவற்றில் நீலம், சிவப்பு, பச்சை, வெற்று, மஞ்சள் மற்றும் மீதமுள்ளவை ஆரஞ்சு. பச்சை அல்லது சிவப்பு வரைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு .

பச்சை பென்சில் வரைவதற்கான நிகழ்தகவு சமம். சிவப்பு - .

எல்லாவற்றிலும் சாதகமான நிகழ்வுகள்: பச்சை + சிவப்பு. இதன் பொருள் பச்சை அல்லது சிவப்பு வரைவதற்கான நிகழ்தகவு சமம்.

அதே நிகழ்தகவை இந்த வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்: .

இது கூட்டல் விதி:பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகள் சேர்க்கப்படுகின்றன.

கலப்பு வகை சிக்கல்கள்

உதாரணம்.

நாணயம் இரண்டு முறை தூக்கி எறியப்படுகிறது. ரோல்களின் முடிவுகள் வித்தியாசமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு .

இதன் பொருள் முதல் முடிவு தலைகள் என்றால், இரண்டாவது வால்களாக இருக்க வேண்டும், மற்றும் நேர்மாறாகவும் இருக்க வேண்டும். இரண்டு ஜோடி சுயாதீன நிகழ்வுகள் உள்ளன என்று மாறிவிடும், மேலும் இந்த ஜோடிகள் ஒருவருக்கொருவர் பொருந்தாது. எங்கு பெருக்க வேண்டும், எங்கு சேர்க்க வேண்டும் என்பதில் எப்படி குழப்பமடையக்கூடாது.

அத்தகைய சூழ்நிலைகளுக்கு ஒரு எளிய விதி உள்ளது. "AND" அல்லது "OR" என்ற இணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி என்ன நடக்கப் போகிறது என்பதை விவரிக்க முயற்சிக்கவும். உதாரணமாக, இந்த வழக்கில்:

மேலே வர வேண்டும் (தலைகள் மற்றும் வால்கள்) அல்லது (வால்கள் மற்றும் தலைகள்).

"மற்றும்" என்ற இணைப்பு இருக்கும் இடத்தில் பெருக்கல் இருக்கும், மேலும் "அல்லது" இருக்கும் இடத்தில் கூட்டல் இருக்கும்:

நீங்களே முயற்சிக்கவும்:

1. ஒரு நாணயத்தை இரண்டு முறை தூக்கி எறிந்தால், அந்த நாணயம் இரண்டு முறையும் ஒரே பக்கத்தில் இறங்குவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
2. பகடை இரண்டு முறை வீசப்படுகிறது. மொத்த புள்ளிகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வுகள்:

மற்றொரு உதாரணம்:

ஒரு நாணயத்தை ஒரு முறை தூக்கி எறியுங்கள். தலைகள் ஒரு முறையாவது தோன்றுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு:

நிகழ்தகவு கோட்பாடு. முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

நிகழ்தகவு என்பது சாத்தியமான அனைத்து நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கும் சாதகமான நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையின் விகிதமாகும்.

சுயாதீன நிகழ்வுகள்

ஒன்றின் நிகழ்வு மற்றொன்றின் நிகழ்தகவை மாற்றவில்லை என்றால் இரண்டு நிகழ்வுகள் சுயாதீனமானவை.

மொத்த நிகழ்தகவு

சாத்தியமான அனைத்து நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு () க்கு சமம்.

ஒரு நிகழ்வு நிகழாத நிகழ்தகவு நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவை கழிப்பதற்கு சமம்.

சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை பெருக்குவதற்கான விதி

சுயாதீன நிகழ்வுகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையின் நிகழ்தகவு ஒவ்வொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவுகளின் தயாரிப்புக்கு சமம்

பொருந்தாத நிகழ்வுகள்

பொருத்தமற்ற நிகழ்வுகள் என்பது ஒரு பரிசோதனையின் விளைவாக ஒரே நேரத்தில் நிகழ முடியாதவை. பல பொருந்தாத நிகழ்வுகள் ஒரு முழுமையான நிகழ்வுகளை உருவாக்குகின்றன.

பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகள் சேர்க்கப்படுகின்றன.

என்ன நடக்க வேண்டும் என்பதை விவரித்த பிறகு, "AND" அல்லது "OR" என்ற இணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி, "AND" க்கு பதிலாக ஒரு பெருக்கல் குறியை வைக்கிறோம், மேலும் "OR" க்கு பதிலாக கூட்டல் குறியை வைக்கிறோம்.

சரி, தலைப்பு முடிந்தது. இந்த வரிகளை நீங்கள் படிக்கிறீர்கள் என்றால், நீங்கள் மிகவும் கூலாக இருக்கிறீர்கள் என்று அர்த்தம்.

ஏனெனில் 5% பேர் மட்டுமே தாங்களாகவே ஏதாவது ஒன்றை மாஸ்டர் செய்ய முடியும். நீங்கள் இறுதிவரை படித்தால், நீங்கள் இந்த 5% இல் இருக்கிறீர்கள்!

இப்போது மிக முக்கியமான விஷயம்.

இந்த தலைப்பில் உள்ள கோட்பாட்டை நீங்கள் புரிந்து கொண்டீர்கள். மேலும், மீண்டும் சொல்கிறேன், இது... இது சூப்பர்! உங்கள் சகாக்களில் பெரும்பாலானவர்களை விட நீங்கள் ஏற்கனவே சிறந்தவர்.

பிரச்சனை என்னவென்றால், இது போதாது ...

எதற்கு?

வெற்றிக்காக ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் தேர்ச்சி, பட்ஜெட்டில் கல்லூரியில் சேருவதற்கும், மிக முக்கியமாக, வாழ்நாள் முழுவதும்.

நான் உன்னை எதையும் நம்ப வைக்க மாட்டேன், ஒன்று மட்டும் சொல்கிறேன்...

பெற்ற மக்கள் நல்ல கல்வி, அதைப் பெறாதவர்களை விட அதிகமாக சம்பாதிக்கவும். இது புள்ளிவிவரம்.

ஆனால் இது முக்கிய விஷயம் அல்ல.

முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அவர்கள் மிகவும் மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறார்கள் (அத்தகைய ஆய்வுகள் உள்ளன). ஒருவேளை அவர்களுக்கு முன்னால் இன்னும் நிறைய திறந்திருப்பதால் மேலும் சாத்தியங்கள்மற்றும் வாழ்க்கை பிரகாசமாக மாறுமா? தெரியாது...

ஆனால் நீங்களே யோசியுங்கள்...

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் மற்றவர்களை விட சிறப்பாக இருக்கவும், இறுதியில் மகிழ்ச்சியாக இருக்கவும் என்ன செய்ய வேண்டும்?

இந்தத் தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் உங்கள் கையைப் பெறுங்கள்.

தேர்வின் போது உங்களிடம் தியரி கேட்கப்படாது.

உங்களுக்கு தேவைப்படும் நேரத்திற்கு எதிராக பிரச்சனைகளை தீர்க்க.

மேலும், நீங்கள் அவற்றைத் தீர்க்கவில்லை என்றால் (நிறைய!), நீங்கள் நிச்சயமாக எங்காவது ஒரு முட்டாள் தவற்றைச் செய்வீர்கள் அல்லது நேரமில்லாமல் இருப்பீர்கள்.

இது விளையாட்டைப் போன்றது - நிச்சயமாக வெற்றி பெற நீங்கள் அதை பல முறை மீண்டும் செய்ய வேண்டும்.

நீங்கள் எங்கு வேண்டுமானாலும் சேகரிப்பைக் கண்டறியவும், அவசியம் தீர்வுகளுடன், விரிவான பகுப்பாய்வு மற்றும் முடிவு, முடிவு, முடிவு!

நீங்கள் எங்கள் பணிகளைப் பயன்படுத்தலாம் (விரும்பினால்) மற்றும் நாங்கள் நிச்சயமாக அவற்றை பரிந்துரைக்கிறோம்.

எங்கள் பணிகளை சிறப்பாகப் பயன்படுத்த, நீங்கள் தற்போது படித்துக்கொண்டிருக்கும் YouClever பாடப்புத்தகத்தின் ஆயுளை நீட்டிக்க உதவ வேண்டும்.

எப்படி? இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன:

1. இந்த கட்டுரையில் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளையும் திறக்கவும் -
2. பாடப்புத்தகத்தின் அனைத்து 99 கட்டுரைகளிலும் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகலைத் திறக்கவும் - ஒரு பாடப்புத்தகத்தை வாங்கவும் - 499 RUR

ஆம், எங்கள் பாடப்புத்தகத்தில் இதுபோன்ற 99 கட்டுரைகள் உள்ளன மற்றும் அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகல் மற்றும் அவற்றில் உள்ள அனைத்து மறைக்கப்பட்ட உரைகளும் உடனடியாக திறக்கப்படும்.

அனைத்து மறைக்கப்பட்ட பணிகளுக்கான அணுகல் தளத்தின் முழு வாழ்க்கைக்கும் வழங்கப்படுகிறது.

மற்றும் முடிவில் ...

எங்கள் பணிகள் உங்களுக்குப் பிடிக்கவில்லை என்றால், மற்றவர்களைக் கண்டறியவும். கோட்பாட்டில் மட்டும் நிற்காதீர்கள்.

"புரிகிறது" மற்றும் "என்னால் தீர்க்க முடியும்" என்பது முற்றிலும் வேறுபட்ட திறன்கள். உங்களுக்கு இரண்டும் தேவை.

சிக்கல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றைத் தீர்க்கவும்!