சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டறியவும். கணினி மற்றும் fsr இன் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்

அமைப்புகள் நேரியல் சமன்பாடுகள், அனைத்து இலவச சொற்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன ஒரேவிதமான :

எந்தவொரு ஒரே மாதிரியான அமைப்பு எப்போதும் நிலையானது, ஏனெனில் அது எப்போதும் உள்ளது பூஜ்யம் (அற்பமானது ) தீர்வு. ஒரே மாதிரியான அமைப்பு எந்த நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு அற்பமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும் என்ற கேள்வி எழுகிறது.

தேற்றம் 5.2.ஒரே மாதிரியான அமைப்பானது முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையில் இருந்தால் மட்டுமே அற்பமான தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது குறைவான எண்ணிக்கைஅவளுடைய தெரியாதவை.

விளைவு. ஒரு சதுர ஒரே மாதிரியான அமைப்பானது, அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இல்லாவிட்டால் மட்டுமே, அற்ப தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.6.கணினியில் அற்பமான தீர்வுகள் உள்ள அளவுரு l இன் மதிப்புகளைத் தீர்மானித்து, பின்வரும் தீர்வுகளைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு. பிரதான மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது இந்த அமைப்பு அற்பமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்:

எனவே, அமைப்பு l=3 அல்லது l=2 போது அற்பமானது அல்ல. l=3க்கு, கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க் 1. பிறகு, ஒரே ஒரு சமன்பாட்டை விட்டுவிட்டு, ஒய்=அமற்றும் z=பி, நாம் பெறுகிறோம் x=b-a, அதாவது

l=2 க்கு, கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 2 ஆகும். பிறகு, மைனரை அடிப்படையாகத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

நாங்கள் ஒரு எளிமையான அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

இங்கிருந்து நாம் அதைக் கண்டுபிடிக்கிறோம் x=z/4, y=z/2. நம்புவது z=4அ, நாம் பெறுகிறோம்

ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் அனைத்து தீர்வுகளின் தொகுப்பு மிகவும் முக்கியமானது நேரியல் சொத்து : நெடுவரிசைகள் X என்றால் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 - ஒரே மாதிரியான அமைப்பிற்கான தீர்வுகள் AX = 0, பின்னர் அவற்றின் எந்த நேரியல் கலவையும்அ எக்ஸ் 1 + பி எக்ஸ் 2 இந்த முறைக்கு ஒரு தீர்வாகவும் இருக்கும். உண்மையில், இருந்து AX 1 = 0 மற்றும் AX 2 = 0 , அந்த ஏ(அ எக்ஸ் 1 + பி எக்ஸ் 2) = a AX 1 + பி AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. இந்தப் பண்பு காரணமாகவே ஒரு நேரியல் அமைப்பில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தீர்வுகள் இருந்தால், இந்த தீர்வுகளின் எண்ணற்ற எண்ணிக்கை இருக்கும்.

நேரியல் சார்பற்ற நெடுவரிசைகள் ஈ 1 , ஈ 2 , எக், ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் தீர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு என்றால் பொதுவான முடிவுஇந்த அமைப்பு இந்த நெடுவரிசைகளின் நேரியல் கலவையாக எழுதப்படலாம்:

ஒரே மாதிரியான அமைப்பு இருந்தால் nமாறிகள், மற்றும் அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை சமமாக இருக்கும் ஆர், அந்த கே = என்-ஆர்.

எடுத்துக்காட்டு 5.7.கண்டுபிடி அடிப்படை அமைப்புபின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள்:

தீர்வு. கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எனவே, இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு பரிமாணத்தின் நேரியல் துணைவெளியை உருவாக்குகிறது என்-ஆர்= 5 - 2 = 3. அடிப்படையாக மைனர் தேர்வு செய்யலாம்

.

பின்னர், அடிப்படை சமன்பாடுகள் (மீதமுள்ளவை இந்த சமன்பாடுகளின் நேரியல் கலவையாக இருக்கும்) மற்றும் அடிப்படை மாறிகள் (மீதமுள்ளவை, இலவச மாறிகள் என்று அழைக்கப்படுபவை வலதுபுறம் நகர்த்துகிறோம்), நாம் ஒரு எளிமையான சமன்பாடு அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

நம்புவது எக்ஸ் 3 = அ, எக்ஸ் 4 = பி, எக்ஸ் 5 = c, நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்

, .

நம்புவது அ= 1, b = c= 0, நாங்கள் முதல் அடிப்படை தீர்வைப் பெறுகிறோம்; நம்பிக்கை பி= 1, a = c= 0, நாம் இரண்டாவது அடிப்படை தீர்வைப் பெறுகிறோம்; நம்பிக்கை c= 1, a = b= 0, நாங்கள் மூன்றாவது அடிப்படை தீர்வைப் பெறுகிறோம். இதன் விளைவாக, தீர்வுகளின் சாதாரண அடிப்படை அமைப்பு வடிவம் எடுக்கும்

அடிப்படை அமைப்பைப் பயன்படுத்தி, ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வை இவ்வாறு எழுதலாம்

எக்ஸ் = aE 1 + இரு 2 + cE 3. அ

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பிற்கான தீர்வுகளின் சில பண்புகளை நாம் கவனிக்கலாம் AX=Bமற்றும் சமன்பாடுகளின் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்புடன் அவற்றின் உறவு AX = 0.

ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் பொதுவான தீர்வுதொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொது தீர்வு AX = 0 மற்றும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் தன்னிச்சையான குறிப்பிட்ட தீர்வு ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.. உண்மையில், விடுங்கள் ஒய் 0 என்பது ஒரு சீரற்ற அமைப்பின் தன்னிச்சையான குறிப்பிட்ட தீர்வு, அதாவது. ஏய் 0 = பி, மற்றும் ஒய்- ஒரு பன்முக அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு, அதாவது. AY=B. ஒரு சமத்துவத்தை மற்றொன்றிலிருந்து கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்
ஏ(ஒய்-ஒய் 0) = 0, அதாவது. ஒய்-ஒய் 0 என்பது தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு AX=0. எனவே, ஒய்-ஒய் 0 = எக்ஸ், அல்லது Y=Y 0 + எக்ஸ். கே.இ.டி.

ஒத்திசைவற்ற அமைப்பு AX = B வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும் 1 + பி 2 . அத்தகைய அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு X = X என எழுதப்படலாம் 1 + எக்ஸ் 2 , எங்கே AX 1 = பி 1 மற்றும் AX 2 = பி 2. இந்த சொத்து பொதுவாக எந்த நேரியல் அமைப்புகளின் உலகளாவிய சொத்தை வெளிப்படுத்துகிறது (இயற்கணிதம், வேறுபாடு, செயல்பாட்டு, முதலியன). இயற்பியலில் இந்தப் பண்பு அழைக்கப்படுகிறது மேல்நிலை கொள்கை, மின் மற்றும் வானொலி பொறியியலில் - சூப்பர்போசிஷன் கொள்கை. உதாரணமாக, நேரியல் கோட்பாட்டில் மின்சுற்றுகள்எந்த சுற்றுவட்டத்திலும் உள்ள மின்னோட்டத்தை இவ்வாறு பெறலாம் இயற்கணிதத் தொகைஒவ்வொரு ஆற்றல் மூலமும் தனித்தனியாக ஏற்படும் நீரோட்டங்கள்.

மெட்ரிக்குகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன

கண்டுபிடி: 1) aA - bB,

தீர்வு: 1) ஒரு மேட்ரிக்ஸை எண்ணால் பெருக்கி மெட்ரிக்ஸைச் சேர்ப்பதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்தி, அதை வரிசையாகக் கண்டுபிடிப்போம்.

2. A*B என்றால் கண்டுபிடிக்கவும்

தீர்வு: மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்

பதில்:

3. கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸுக்கு, மைனர் M 31 ஐக் கண்டுபிடித்து, தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு: மைனர் எம் 31 என்பது ஏ இலிருந்து பெறப்படும் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் ஆகும்

வரி 3 மற்றும் நெடுவரிசை 1 ஐக் கடந்த பிறகு

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

மேட்ரிக்ஸ் A ஐ அதன் தீர்மானிப்பதை மாற்றாமல் மாற்றுவோம் (வரிசை 1 இல் பூஜ்ஜியங்களை உருவாக்குவோம்)

இப்போது வரிசை 1 உடன் சிதைவதன் மூலம் அணி A இன் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுகிறோம்

பதில்: M 31 = 0, detA = 0

காஸ் முறை மற்றும் க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கவும்.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

தீர்வு: சரிபார்ப்போம்

நீங்கள் க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தலாம்

அமைப்பின் தீர்வு: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

காசியன் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை முக்கோண வடிவத்திற்குக் குறைப்போம்.

கணக்கீட்டின் எளிமைக்காக, வரிகளை மாற்றுவோம்:

2வது வரியை (k = -1 / 2 =) ஆல் பெருக்கவும் -1 / 2 ) மற்றும் 3 வது சேர்க்கவும்:

1வது வரியை (k = -2 / 2 =) ஆல் பெருக்கவும் -1 ) மற்றும் 2 வது சேர்க்கவும்:

இப்போது அசல் அமைப்பை இவ்வாறு எழுதலாம்:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

2 வது வரியிலிருந்து நாம் வெளிப்படுத்துகிறோம்

1 வது வரியிலிருந்து நாம் வெளிப்படுத்துகிறோம்

தீர்வும் ஒன்றே.

பதில்: (2; -5; 3)

அமைப்பு மற்றும் FSR இன் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

தீர்வு: காசியன் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை முக்கோண வடிவத்திற்குக் குறைப்போம்.

1வது வரியை (-11) ஆல் பெருக்கவும். 2வது வரியை (13) ஆல் பெருக்குவோம். 2 வது வரியை 1 வது வரியுடன் சேர்ப்போம்:

2வது வரியை (-5) ஆல் பெருக்கவும். 3வது வரியை (11) ஆல் பெருக்குவோம். 3 வது வரியை 2 வது வரியுடன் சேர்ப்போம்:

3வது வரியை (-7) ஆல் பெருக்கவும். 4வது வரியை (5) ஆல் பெருக்குவோம். 4 வது வரியை 3 வது வரியுடன் சேர்ப்போம்:

இரண்டாவது சமன்பாடு மற்றவற்றின் நேரியல் கலவையாகும்

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டுபிடிப்போம்.

முன்னிலைப்படுத்தப்பட்ட மைனர் உள்ளது மிக உயர்ந்த வரிசை(சாத்தியமான சிறார்களின்) மற்றும் பூஜ்ஜியம் அல்ல (இது தலைகீழ் மூலைவிட்டத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்), எனவே rang(A) = 2.

இந்த சிறிய அடிப்படை. இது தெரியாத x 1 , x 2 க்கான குணகங்களை உள்ளடக்கியது, அதாவது தெரியாதவை x 1 , x 2 சார்பு (அடிப்படை) மற்றும் x 3 , x 4 , x 5 இலவசம்.

இந்த மேட்ரிக்ஸின் குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு அமைப்பு சமமானதாகும் அசல் அமைப்புமற்றும் வடிவம் உள்ளது:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

தெரியாதவற்றை நீக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் பொதுவான முடிவு:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

(n-r) தீர்வுகளைக் கொண்ட ஒரு அடிப்படை தீர்வுகளை (FSS) நாங்கள் காண்கிறோம். எங்கள் விஷயத்தில், n=5, r=2, எனவே, தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு 3 தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இந்த தீர்வுகள் நேரியல் சார்பற்றதாக இருக்க வேண்டும்.

வரிசைகள் நேரியல் சார்பற்றதாக இருக்க, வரிசை உறுப்புகளால் ஆன மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது, அதாவது 3.

3 வது வரிசை நிர்ணயிப்பான், பூஜ்ஜியம் அல்லாத வரிகளிலிருந்து இலவச தெரியாத x 3 , x 4 , x 5 மதிப்புகளைக் கொடுத்து x 1 , x 2 ஐக் கணக்கிட்டால் போதும்.

எளிமையான பூஜ்யம் அல்லாத நிர்ணயம் என்பது அடையாள அணி ஆகும்.

ஆனால் இங்கே எடுத்துக்கொள்வது மிகவும் வசதியானது

பொதுவான தீர்வைப் பயன்படுத்துவதை நாங்கள் காண்கிறோம்:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

FSR இன் நான் முடிவு: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR தீர்வு: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

FSR இன் III முடிவு: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. கொடுக்கப்பட்டவை: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. கண்டுபிடி: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

தீர்வு: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

பதில்: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 – 0.3i

அது என்னவென்று புரிந்து கொள்ள அடிப்படை முடிவு அமைப்புகிளிக் செய்வதன் மூலம் அதே உதாரணத்திற்கான வீடியோ டுடோரியலை நீங்கள் பார்க்கலாம். இப்போது முழு விளக்கத்திற்கு செல்லலாம் தேவையான வேலை. இந்த சிக்கலின் சாரத்தை இன்னும் விரிவாக புரிந்து கொள்ள இது உதவும்.

நேரியல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எடுத்துக் கொள்வோம்:

இதற்கு தீர்வு காண்போம் நேரியல் அமைப்புசமன்பாடுகள் தொடங்குவதற்கு, நாங்கள் நீங்கள் கணினியின் குணகம் மேட்ரிக்ஸை எழுத வேண்டும்.

இந்த மேட்ரிக்ஸை முக்கோணமாக மாற்றுவோம்.முதல் வரியை மாற்றங்கள் இல்லாமல் மீண்டும் எழுதுகிறோம். மேலும் $a_(11)$ இன் கீழ் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியங்களாக செய்யப்பட வேண்டும். உறுப்பு $a_(21)$ இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, நீங்கள் இரண்டாவது வரியிலிருந்து முதல் வரியைக் கழித்து, இரண்டாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(31)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, மூன்றாவது வரியிலிருந்து முதல் வரியைக் கழித்து, மூன்றாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(41)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, நான்காவது வரியிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் முதல் எண்ணைக் கழித்து, நான்காவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(31)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, ஐந்தாவது வரியிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் ஐந்தாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும்.

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிகளை மாற்றமின்றி மீண்டும் எழுதுகிறோம். மேலும் $a_(22)$ இன் கீழ் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியங்களாக செய்யப்பட வேண்டும். $a_(32)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, மூன்றாவது வரியிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் இரண்டாவது ஒன்றைக் கழித்து மூன்றாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(42)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, நான்காவது வரியிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் இரண்டைக் கழித்து நான்காவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(52)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, ஐந்தாவது வரியிலிருந்து 3 ஆல் பெருக்கப்படும் இரண்டைக் கழித்து ஐந்தாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும்.

என்று பார்க்கிறோம் கடைசி மூன்று வரிகளும் ஒன்றே, எனவே நான்காவது மற்றும் ஐந்தில் இருந்து மூன்றை கழித்தால் அவை பூஜ்ஜியமாகிவிடும்.

இந்த மேட்ரிக்ஸின் படி எழுது புதிய அமைப்புசமன்பாடுகள்.

அது நேர்கோட்டில் இருப்பதைக் காண்கிறோம் சுயாதீன சமன்பாடுகள்எங்களிடம் மூன்று மட்டுமே உள்ளன, ஆனால் ஐந்து தெரியவில்லை, எனவே தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு இரண்டு திசையன்களைக் கொண்டிருக்கும். எனவே நாம் கடைசி இரண்டு தெரியாதவற்றை வலது பக்கம் நகர்த்த வேண்டும்.

இப்போது, ​​இடது பக்கத்தில் இருக்கும் தெரியாதவற்றை வலது பக்கம் உள்ளவர்கள் மூலம் வெளிப்படுத்த ஆரம்பிக்கிறோம். கடைசி சமன்பாட்டுடன் தொடங்குகிறோம், முதலில் $x_3$ ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம், அதன் விளைவாக வரும் முடிவை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றி $x_2$ ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம், பின்னர் முதல் சமன்பாட்டிற்குள் மற்றும் இங்கே $x_1$ ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம். இவ்வாறு இடது பக்கம் இருக்கும் தெரியாதவைகளை வலது பக்கம் இருக்கும் தெரியாதவை மூலம் வெளிப்படுத்தினோம்.

பின்னர், $x_4$ மற்றும் $x_5$ க்குப் பதிலாக, நாம் எந்த எண்களையும் மாற்றலாம் மற்றும் $x_1$, $x_2$ மற்றும் $x_3$ ஆகியவற்றைக் கண்டறியலாம். இந்த ஒவ்வொரு ஐந்து எண்களும் நமது அசல் சமன்பாடுகளின் மூலங்களாக இருக்கும். இதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள திசையன்களைக் கண்டறிய FSR$x_4$க்கு பதிலாக 1ஐயும், $x_5$க்கு பதிலாக 0ஐயும் மாற்ற வேண்டும், $x_1$, $x_2$ மற்றும் $x_3$ ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும், அதன்பின் நேர்மாறாக $x_4=0$ மற்றும் $x_5=1$ ஐக் கண்டறியவும்.

காஸியன் முறை பல குறைபாடுகளைக் கொண்டுள்ளது: காஸியன் முறையில் தேவையான அனைத்து மாற்றங்களும் மேற்கொள்ளப்படும் வரை, அமைப்பு சீரானதா இல்லையா என்பதை அறிய முடியாது; காஸ்ஸின் முறை எழுத்துக் குணகங்களைக் கொண்ட அமைப்புகளுக்குப் பொருந்தாது.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான பிற முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த முறைகள் மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசையின் கருத்தைப் பயன்படுத்துகின்றன மற்றும் க்ரேமரின் விதி பொருந்தக்கூடிய ஒரு அமைப்பின் தீர்வுக்கு எந்தவொரு நிலையான அமைப்பின் தீர்வையும் குறைக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1.குறைக்கப்பட்ட ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு மற்றும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

1. ஒரு அணியை உருவாக்குதல் ஏமற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட கணினி அணி (1)

2. அமைப்பை ஆராயுங்கள் (1) ஒற்றுமைக்காக. இதைச் செய்ய, மெட்ரிக்குகளின் தரவரிசைகளைக் காண்கிறோம் ஏமற்றும் https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). (1) பொருந்தாத. நமக்கு அது கிடைத்தால் , இந்த அமைப்பு சீரானது மற்றும் நாங்கள் அதை தீர்ப்போம். (பொருந்தக்கூடிய ஆய்வு Kronecker-Capelli தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது).

அ. கண்டுபிடிக்கிறோம் rA.

கண்டுபிடிக்க rA, மேட்ரிக்ஸின் முதல், இரண்டாவது, முதலியவற்றின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனர்களை வரிசையாகக் கருதுவோம். ஏமற்றும் அவர்களைச் சுற்றியுள்ள சிறார்களும்.

M1=1≠0 (மேட்ரிக்ஸின் மேல் இடது மூலையில் இருந்து 1ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம் ஏ).

நாங்கள் எல்லை M1இந்த மேட்ரிக்ஸின் இரண்டாவது வரிசை மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசை. . நாங்கள் எல்லையைத் தொடர்கிறோம் M1இரண்டாவது வரி மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசை M2′இரண்டாவது வரிசை.

எங்களிடம் உள்ளது: (முதல் இரண்டு நெடுவரிசைகளும் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால்)

(இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது கோடுகள் விகிதாசாரமாக இருப்பதால்).

என்று பார்க்கிறோம் rA=2, ஏ - அடிப்படை சிறியமெட்ரிக்குகள் ஏ.

பி. கண்டுபிடிக்கிறோம்.

மிகவும் அடிப்படை சிறியது M2′மெட்ரிக்குகள் ஏஇலவச விதிமுறைகள் மற்றும் அனைத்து வரிசைகளின் நெடுவரிசையுடன் எல்லை (எங்களிடம் கடைசி வரிசை மட்டுமே உள்ளது).

. அதைத் தொடர்ந்து வருகிறது M3′′மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படை மைனராக உள்ளது https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

ஏனெனில் M2′- மேட்ரிக்ஸின் சிறிய அடிப்படை ஏஅமைப்புகள் (2) , இந்த அமைப்பு முறைக்கு சமமானது (3) , அமைப்பின் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளைக் கொண்டது (2) (இதற்கு M2′அணி A இன் முதல் இரண்டு வரிசைகளில் உள்ளது).

(3)

அடிப்படை மைனர் https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

இந்த அமைப்பில் இரண்டு இலவச அறியப்படாதவை உள்ளன ( x2 மற்றும் x4 ) அதனால் தான் FSR அமைப்புகள் (4) இரண்டு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க, தெரியாதவர்களை இலவசமாக ஒதுக்குகிறோம் (4) முதலில் மதிப்புகள் x2=1 , x4=0 , பின்னர் - x2=0 , x4=1 .

மணிக்கு x2=1 , x4=0 நாம் பெறுகிறோம்:

.

இந்த அமைப்பு ஏற்கனவே உள்ளது அந்த ஒரு விஷயம் தீர்வு (இது க்ரேமர் விதி அல்லது வேறு எந்த முறையைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்). இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் பகுதியைக் கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

அவளுடைய தீர்வு இருக்கும் x1= -1 , x3=0 . மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன x2 மற்றும் x4 , நாங்கள் சேர்த்தது, அமைப்பின் முதல் அடிப்படை தீர்வைப் பெறுகிறோம் (2) : .

இப்போது நாங்கள் நம்புகிறோம் (4) x2=0 , x4=1 . நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

க்ரேமர் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

.

அமைப்பின் இரண்டாவது அடிப்படை தீர்வை நாங்கள் பெறுகிறோம் (2) : .

தீர்வுகள் β1 , β2 மற்றும் அலங்காரம் FSR அமைப்புகள் (2) . பின்னர் அதன் பொதுவான தீர்வு இருக்கும்

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

இங்கே C1 , C2 - தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

4. ஒன்றைக் கண்டுபிடிப்போம் தனிப்பட்ட தீர்வு பன்முக அமைப்பு(1) . பத்தியில் உள்ளது போல 3 , அமைப்புக்கு பதிலாக (1) சமமான அமைப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம் (5) , அமைப்பின் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளைக் கொண்டது (1) .

(5)

இலவச தெரியாதவற்றை வலது பக்கங்களுக்கு நகர்த்துவோம் x2மற்றும் x4.

(6)

தெரியாதவற்றை இலவசமாக தருவோம் x2 மற்றும் x4 தன்னிச்சையான மதிப்புகள், எடுத்துக்காட்டாக, x2=2 , x4=1 மற்றும் அவற்றை உள்ளே வைக்கவும் (6) . அமைப்பைப் பெறுவோம்

இந்த அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது (அதன் தீர்மானிப்பதால் M2′0) அதைத் தீர்ப்பது (கிராமரின் தேற்றம் அல்லது காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி), நாங்கள் பெறுகிறோம் x1=3 , x3=3 . இலவச தெரியாதவற்றின் மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன x2 மற்றும் x4 , நாம் பெறுகிறோம் ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் குறிப்பிட்ட தீர்வு(1)α1=(3,2,3,1).

5. இப்போது எஞ்சியிருப்பது அதை எழுதுவதுதான் ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு α(1) : இது கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் தனிப்பட்ட தீர்வுஇந்த அமைப்பு மற்றும் அதன் குறைக்கப்பட்ட ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

இதன் அர்த்தம்: (7)

6. பரீட்சை.நீங்கள் கணினியை சரியாக தீர்த்துவிட்டீர்களா என்பதை சரிபார்க்க (1) , எங்களுக்கு ஒரு பொதுவான தீர்வு தேவை (7) மாற்று (1) . ஒவ்வொரு சமன்பாடும் அடையாளமாக மாறினால் ( C1 மற்றும் C2 அழிக்கப்பட வேண்டும்), பின்னர் தீர்வு சரியாகக் காணப்படுகிறது.

நாங்கள் மாற்றுவோம் (7) எடுத்துக்காட்டாக, அமைப்பின் கடைசி சமன்பாடு மட்டுமே (1) (எக்ஸ்1 + எக்ஸ்2 + எக்ஸ்3 ‑9 எக்ஸ்4 =‑1) .

நாம் பெறுவது: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

எங்கே –1=–1. எங்களுக்கு ஒரு அடையாளம் கிடைத்தது. கணினியின் மற்ற எல்லா சமன்பாடுகளிலும் இதைச் செய்கிறோம் (1) .

கருத்து.காசோலை பொதுவாக மிகவும் சிக்கலானது. பின்வரும் "பகுதி சரிபார்ப்பு" பரிந்துரைக்கப்படலாம்: அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு (1) தன்னிச்சையான மாறிலிகளுக்கு சில மதிப்புகளை ஒதுக்கி, அதன் விளைவாக வரும் பகுதி தீர்வை நிராகரிக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளில் (அதாவது, அந்த சமன்பாடுகளில்) மாற்றவும். (1) , இதில் சேர்க்கப்படவில்லை (5) ) உங்களுக்கு அடையாளங்கள் கிடைத்தால், பிறகு கிட்டத்தட்ட, அமைப்பு தீர்வு (1) சரியாகக் கண்டறியப்பட்டது (ஆனால் அத்தகைய காசோலை சரியானதுக்கான முழுமையான உத்தரவாதத்தை அளிக்காது!). உதாரணமாக, உள்ளே இருந்தால் (7) வைத்தது C2=- 1 , C1=1, பிறகு நாம் பெறுவோம்: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. அமைப்பு (1) இன் கடைசி சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக, எங்களிடம் உள்ளது: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , அதாவது –1=–1. எங்களுக்கு ஒரு அடையாளம் கிடைத்தது.

எடுத்துக்காட்டு 2.நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும் (1) , அடிப்படை தெரியாதவற்றை இலவசங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துதல்.

தீர்வு.உள்ளபடி உதாரணம் 1, மெட்ரிக்குகளை எழுதுங்கள் ஏமற்றும் https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> இந்த மெட்ரிக்குகள். இப்போது கணினியின் அந்த சமன்பாடுகளை மட்டும் விட்டுவிடுகிறோம் (1) , இந்த அடிப்படை மைனரில் உள்ள குணகங்கள் (அதாவது, எங்களிடம் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகள் உள்ளன) மற்றும் அமைப்பு (1) க்கு சமமான, அவற்றைக் கொண்ட ஒரு அமைப்பைக் கருதுங்கள்.

இலவச தெரியாதவற்றை இந்த சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்களுக்கு மாற்றுவோம்.

அமைப்பு (9) வலது பக்கங்களை இலவச விதிமுறைகளாகக் கருதி, காஸியன் முறை மூலம் தீர்க்கிறோம்.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

விருப்பம் 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

விருப்பம் 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

விருப்பம் 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

விருப்பம் 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

தீர்வுகால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கவும். தீர்வு அல்காரிதம் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைப் போலவே உள்ளது.
வரிசைகளுடன் மட்டுமே செயல்படும், மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க், அடிப்படை சிறியது; நாங்கள் சார்ந்த மற்றும் இலவச தெரியாதவற்றை அறிவித்து பொதுவான தீர்வைக் காண்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2. அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டறியவும்
தீர்வு.



,
மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 3 மற்றும் எண்ணுக்கு சமம்தெரியவில்லை. இதன் பொருள் கணினியில் இலவச தெரியாதவை இல்லை, எனவே ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது - அற்பமானது.

உடற்பயிற்சி . நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை ஆராய்ந்து தீர்க்கவும்.
எடுத்துக்காட்டு 4

உடற்பயிற்சி . ஒவ்வொரு அமைப்பின் பொதுவான மற்றும் குறிப்பிட்ட தீர்வுகளைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு.கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸை எழுதுவோம்:

பணி . நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை தொகுப்பைக் கண்டறியவும்.