முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு. சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து ஏற்கனவே தீர்க்கப்பட்டிருக்கலாம் அல்லது வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து அவை தீர்க்கப்படலாம் .

இடைவெளியில் வகையின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பொதுவான தீர்வு எக்ஸ், இது கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, இந்த சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களின் ஒருங்கிணைப்பை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் காணலாம்.

நாம் பெறுகிறோம் .

பண்புகளைப் பார்த்தால் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, பின்னர் தேவையானதைக் கண்டுபிடிப்போம் பொதுவான முடிவு:

y = F(x) + C,

எங்கே F(x)- ஒன்று ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகள் f(x)நடுவில் எக்ஸ், ஏ உடன்- தன்னிச்சையான மாறிலி.

பெரும்பாலான சிக்கல்களில் இடைவெளி என்பதை நினைவில் கொள்க எக்ஸ்குறிப்பிட வேண்டாம். இதன் பொருள் அனைவருக்கும் ஒரு தீர்வு காணப்பட வேண்டும். எக்ஸ், இது மற்றும் விரும்பிய செயல்பாடு ஒய், மற்றும் அசல் சமன்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்.

ஆரம்ப நிலையை பூர்த்தி செய்யும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும் என்றால் y(x 0) = y 0, பின்னர் பொது ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட்ட பிறகு y = F(x) + C, மாறிலியின் மதிப்பை தீர்மானிக்க இன்னும் அவசியம் C = C 0பயன்படுத்தி ஆரம்ப நிலை. அதாவது, நிலையானது C = C 0சமன்பாட்டிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது F(x 0) + C = y 0, மற்றும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் விரும்பிய பகுதி தீர்வு வடிவம் எடுக்கும்:

y = F(x) + C 0.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடித்து, முடிவின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும். இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம், அது ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்த பிறகு, நாம் பெறுகிறோம்:

.

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த ஒருங்கிணைப்பை எடுத்துக் கொள்வோம்:

அந்த., வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வாகும்.

முடிவு சரியானதா என்பதை உறுதிப்படுத்த, சரிபார்ப்போம். இதைச் செய்ய, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் நாம் கண்டறிந்த தீர்வை மாற்றுகிறோம்:

.

அதாவது, எப்போது அசல் சமன்பாடு ஒரு அடையாளமாக மாறும்:

எனவே, வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு சரியாக தீர்மானிக்கப்பட்டது.

நாங்கள் கண்டறிந்த தீர்வு வாதத்தின் ஒவ்வொரு உண்மையான மதிப்புக்கும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வாகும் எக்ஸ்.

ஆரம்ப நிலையை பூர்த்தி செய்யும் ODE க்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கணக்கிட இது உள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மாறிலியின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவது அவசியம் உடன், இதில் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

.

.

பின்னர், மாற்று சி = 2 ODE இன் பொதுவான தீர்வுக்குள், ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைப் பெறுகிறோம்:

.

சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு சமன்பாட்டின் 2 பக்கங்களையும் பிரிப்பதன் மூலம் வழித்தோன்றலுக்கு தீர்வு காண முடியும் f(x). இந்த மாற்றம் சமமாக இருக்கும் f(x)எந்த சூழ்நிலையிலும் பூஜ்ஜியமாக மாறாது எக்ஸ்வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு இடைவெளியில் இருந்து எக்ஸ்.

வாதத்தின் சில மதிப்புகளுக்கு சாத்தியமான சூழ்நிலைகள் உள்ளன எக்ஸ் ∈ எக்ஸ்செயல்பாடுகள் f(x)மற்றும் g(x)ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியமாக மாறும். ஒத்த மதிப்புகளுக்கு எக்ஸ்ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு எந்தவொரு செயல்பாடும் ஆகும் ஒய், இது அவற்றில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் .

சில வாத மதிப்புகள் என்றால் எக்ஸ் ∈ எக்ஸ்நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளது, அதாவது இந்த வழக்கில் ODE க்கு தீர்வுகள் இல்லை.

மற்ற அனைவருக்கும் எக்ஸ்இடைவெளியில் இருந்து எக்ஸ்வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு மாற்றப்பட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 1.

ODE க்கு பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம்: .

தீர்வு.

முக்கிய பண்புகளிலிருந்து அடிப்படை செயல்பாடுகள்இயற்கை மடக்கை செயல்பாடு வாதத்தின் எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது, எனவே வெளிப்பாட்டின் வரையறையின் களம் ln(x+3)ஒரு இடைவெளி உள்ளது எக்ஸ் > -3 . இதன் பொருள் கொடுக்கப்பட்ட வேறுபாடு சமன்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் எக்ஸ் > -3 . இந்த வாத மதிப்புகளுக்கு, வெளிப்பாடு x+3மறைந்துவிடாது, எனவே நீங்கள் 2 பகுதிகளை பிரிப்பதன் மூலம் வழித்தோன்றலுக்கான ODE ஐ தீர்க்கலாம் x + 3.

நாம் பெறுகிறோம் .

அடுத்து, வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்கப்பட்ட வேறுபாடு சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கிறோம்: . இந்த ஒருங்கிணைப்பை எடுக்க, அதை வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் உள்ளிடும் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

தி ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்இணையத்தில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. அபோஸ்ட்ரோபி மூலம் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் குறிக்கும் பொருத்தமான புலத்தில் உங்கள் சமன்பாட்டை உள்ளிடவும், மேலும் "சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்" பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும், மேலும் பிரபலமான WolframAlpha வலைத்தளத்தின் அடிப்படையில் செயல்படுத்தப்பட்ட அமைப்பு, விரிவாகத் தரும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கிறதுமுற்றிலும் இலவசம். முழு தொகுப்பிலிருந்தும் நீங்கள் Cauchy பிரச்சனையை வரையறுக்கலாம் சாத்தியமான தீர்வுகள்கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிபந்தனைகளுடன் தொடர்புடைய பகுதியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். Cauchy பிரச்சனை ஒரு தனி துறையில் உள்ளிடப்பட்டுள்ளது.

வகையீட்டு சமன்பாடு

இயல்பாக, சமன்பாட்டில் உள்ள செயல்பாடு ஒய்ஒரு மாறியின் செயல்பாடாகும் எக்ஸ். இருப்பினும், நீங்கள் மாறிக்கு உங்கள் சொந்த பெயரைக் குறிப்பிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டில் y(t) என்று எழுதினால், கால்குலேட்டர் தானாகவே அதை அங்கீகரிக்கும் ஒய்ஒரு மாறியில் இருந்து ஒரு செயல்பாடு உள்ளது டி. ஒரு கால்குலேட்டரின் உதவியுடன் உங்களால் முடியும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்எந்த சிக்கலான மற்றும் வகை: ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற, நேரியல் அல்லது நேரியல் அல்லாத, முதல் வரிசை அல்லது இரண்டாவது மற்றும் உயர் வரிசைகள், பிரிக்கக்கூடிய அல்லது பிரிக்க முடியாத மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகள் போன்றவை. தீர்வு வேறுபாடு. சமன்பாடு பகுப்பாய்வு வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது விரிவான விளக்கம். வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்இயற்பியல் மற்றும் கணிதத்தில் மிகவும் பொதுவானது. அவற்றைக் கணக்கிடாமல், பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க முடியாது (குறிப்பாக கணித இயற்பியலில்).

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் நிலைகளில் ஒன்று செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைப்பதாகும். வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நிலையான முறைகள் உள்ளன. சமன்பாடுகளை y மற்றும் x என பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வடிவத்திற்குக் குறைத்து, பிரிக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளை தனித்தனியாக ஒருங்கிணைக்க வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, சில நேரங்களில் ஒரு குறிப்பிட்ட மாற்றீடு செய்யப்பட வேண்டும்.

சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு ஒரு சுயாதீன மாறி, இந்த மாறியின் அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் பல்வேறு ஆர்டர்களின் அதன் வழித்தோன்றல்கள் (அல்லது வேறுபாடுகள்) ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய ஒரு சமன்பாடு ஆகும்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை அதில் உள்ள மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலின் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சாதாரண சமன்பாடுகளுடன் கூடுதலாக, பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளும் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. இவை சுயாதீன மாறிகள் தொடர்பான சமன்பாடுகள், இந்த மாறிகளின் அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் அதே மாறிகள் தொடர்பான அதன் பகுதி வழித்தோன்றல்கள். ஆனால் நாங்கள் மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் எனவே, சுருக்கத்திற்காக, "சாதாரண" என்ற வார்த்தையைத் தவிர்ப்போம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

சமன்பாடு (1) நான்காவது வரிசை, சமன்பாடு (2) மூன்றாவது வரிசை, சமன்பாடுகள் (3) மற்றும் (4) இரண்டாவது வரிசை, சமன்பாடு (5) முதல் வரிசை.

வகையீட்டு சமன்பாடு nவது வரிசையில் ஒரு வெளிப்படையான செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, முதலில் இருந்து அதன் அனைத்து வழித்தோன்றல்களும் n-வது வரிசை மற்றும் சுயாதீன மாறி. இது சில ஆர்டர்கள், செயல்பாடு அல்லது ஒரு சுயாதீன மாறியின் வழித்தோன்றல்களை வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்கக்கூடாது.

எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டில் (1) தெளிவாக மூன்றாம் மற்றும் இரண்டாம் வரிசை வழித்தோன்றல்கள் இல்லை, அதே போல் ஒரு செயல்பாடும் இல்லை; சமன்பாட்டில் (2) - இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல் மற்றும் செயல்பாடு; சமன்பாட்டில் (4) - சுயாதீன மாறி; சமன்பாட்டில் (5) - செயல்பாடுகள். சமன்பாடு (3) மட்டுமே வெளிப்படையாக அனைத்து வழித்தோன்றல்கள், செயல்பாடு மற்றும் சுயாதீன மாறி ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது ஒவ்வொரு செயல்பாடும் அழைக்கப்படுகிறது y = f(x), சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும் போது அது ஒரு அடையாளமாக மாறும்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறியும் செயல்முறை அதன் அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைப்பு.

எடுத்துக்காட்டு 1.வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம். அதன் வழித்தோன்றலில் இருந்து செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதே தீர்வு. ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸில் இருந்து அறியப்படும் அசல் செயல்பாடு, இதற்கு ஒரு எதிர் வழிவகை ஆகும், அதாவது.

அதுதான் அது இந்த வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு . அதில் மாற்றம் சி, நாங்கள் வெவ்வேறு தீர்வுகளைப் பெறுவோம். முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருப்பதைக் கண்டறிந்தோம்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு nவது வரிசை அதன் தீர்வாகும், இது அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் கொண்டிருக்கும் nசுயாதீன தன்னிச்சையான மாறிலிகள், அதாவது.

எடுத்துக்காட்டு 1 இல் உள்ள வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு பொதுவானது.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பகுதி தீர்வு தன்னிச்சையான மாறிலிகளுக்கு குறிப்பிட்ட எண் மதிப்புகள் வழங்கப்படும் ஒரு தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வெவ்வேறு சமன்பாட்டின் வரிசைக்கு சமமாக பல முறை ஒருங்கிணைப்போம்.

,

.

இதன் விளைவாக, நாங்கள் ஒரு பொதுவான தீர்வைப் பெற்றோம் -

கொடுக்கப்பட்ட மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு.

இப்போது குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, தன்னிச்சையான குணகங்களுக்குப் பதிலாக அவற்றின் மதிப்புகளை மாற்றவும் மற்றும் பெறவும்

.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு கூடுதலாக, ஆரம்ப நிலை வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால், அத்தகைய சிக்கல் அழைக்கப்படுகிறது காச்சி பிரச்சனை . மதிப்புகள் மற்றும் சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வுக்கு பதிலாக ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் சி, பின்னர் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கான சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு சி. இதுவே கௌசி பிரச்சனைக்கு தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 3.வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான Cauchy சிக்கலை எடுத்துக்காட்டு 1 க்கு உட்பட்டது.

தீர்வு. ஆரம்ப நிலையில் இருந்து மதிப்புகளை பொது தீர்வுக்கு மாற்றுவோம் ஒய் = 3, எக்ஸ்= 1. நாம் பெறுகிறோம்

இந்த முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான Cauchy பிரச்சனைக்கான தீர்வை நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு, எளிமையானவை கூட, சிக்கலான செயல்பாடுகள் உட்பட நல்ல ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வழித்தோன்றல் திறன்கள் தேவை. இதை பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. சமன்பாடு அத்தகைய வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது, நீங்கள் உடனடியாக இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைக்க முடியும்.

.

மாறியை மாற்றுவதன் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் (மாற்று). அப்போது இருக்கட்டும்.

எடுக்க வேண்டும் dxஇப்போது - கவனம் - ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதிகளின்படி இதைச் செய்கிறோம் எக்ஸ்மற்றும் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு உள்ளது ("ஆப்பிள்" - சாறு சதுர வேர்அல்லது, அதே விஷயம் என்னவென்றால் - "ஒன்றரை" மற்றும் "துண்டு துண்தாக வெட்டப்பட்ட இறைச்சி" சக்திக்கு உயர்த்துவது வேரின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு):

நாம் ஒருங்கிணைந்ததைக் காண்கிறோம்:

மாறிக்கு திரும்புகிறது எக்ஸ், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

இந்த முதல் நிலை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு இதுவாகும்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் உயர் கணிதத்தின் முந்தைய பிரிவுகளின் திறன்கள் மட்டுமல்ல, தொடக்கநிலை, அதாவது பள்ளிக் கணிதத்தின் திறன்களும் தேவைப்படும். ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, எந்தவொரு வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிலும் ஒரு சுயாதீன மாறி இருக்கக்கூடாது, அதாவது ஒரு மாறி எக்ஸ். பள்ளியில் இருந்து மறக்கப்படாத (இருப்பினும், யாரைப் பொறுத்து) பள்ளியின் விகிதாச்சாரத்தைப் பற்றிய அறிவு இந்த சிக்கலை தீர்க்க உதவும். இது அடுத்த உதாரணம்.

விரிவுரை குறிப்புகள்

வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்

வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்

அறிமுகம்

சில நிகழ்வுகளைப் படிக்கும் போது, ​​y=f(x) அல்லது F(x;y)=0 என்ற சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி செயல்முறை விவரிக்க முடியாத சூழ்நிலை அடிக்கடி எழுகிறது. மாறி x மற்றும் அறியப்படாத சார்புக்கு கூடுதலாக, இந்தச் சார்பின் வழித்தோன்றல் சமன்பாட்டில் நுழைகிறது.

வரையறை:மாறி x, அறியப்படாத செயல்பாடு y(x) மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களை இணைக்கும் சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது வகையீட்டு சமன்பாடு. IN பொதுவான பார்வைவேறுபட்ட சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

வரையறை:வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை என்பது அதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலின் வரிசையாகும்.

-1 வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாடு

- 3 வது வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாடு

வரையறை:வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு என்பது ஒரு செயல்பாடாகும், இது சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும்போது, ​​​​அதை ஒரு அடையாளமாக மாற்றுகிறது.

1 வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

வரையறை:படிவத்தின் சமன்பாடு =f(x;y) அல்லது F(x;y; )=01 வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை: 1 வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு y=γ(x;c) சார்பு ஆகும், இதில் (c –const), இது சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும்போது, ​​​​அதை அடையாளமாக மாற்றுகிறது. வடிவியல் ரீதியாக, விமானத்தில், பொதுவான தீர்வு சி அளவுருவைப் பொறுத்து ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் குடும்பத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது.

வரையறை:ஆயத்தொலைவுகளுடன் (x 0 ;y 0) விமானத்தில் ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஒருங்கிணைந்த வளைவு ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வுக்கு ஒத்திருக்கிறது:

1 வது வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வின் தனித்தன்மையின் இருப்பு பற்றிய தேற்றம்

1வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது
மற்றும் f(x;y) செயல்பாடு XOY விமானத்தின் சில பகுதி D இல் பகுதி வழித்தோன்றல்களுடன் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், பின்னர் புள்ளி M 0 (x 0 ;y 0) D ஆனது ஆரம்ப நிலை y(x 0)=y 0 உடன் தொடர்புடைய வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வுடன் தொடர்புடைய ஒரே வளைவு வழியாக செல்கிறது.

ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளைவு கொடுக்கப்பட்ட ஆயத்தொலைவுகளுடன் விமானத்தில் ஒரு புள்ளி வழியாக செல்கிறது.

1 வது வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வை வெளிப்படையான வடிவத்தில் பெற முடியாவிட்டால், அதாவது.
, பின்னர் அதை மறைமுகமாகப் பெறலாம்:

F(x; y; c) =0 – மறைமுகமான வடிவம்

இந்த வடிவத்தில் பொதுவான தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது பொது ஒருங்கிணைப்புவகையீட்டு சமன்பாடு.

1 வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு தொடர்பாக, 2 சிக்கல்கள் முன்வைக்கப்படுகின்றன:

1) பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும் (பொது ஒருங்கிணைப்பு)

2) கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை (பகுதி ஒருங்கிணைப்பு) கண்டறியவும். இந்தச் சிக்கல் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான Cauchy பிரச்சனை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்

படிவத்தின் சமன்பாடுகள்:
பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மாற்றுவோம்

dx ஆல் பெருக்கவும்

மாறிகளை பிரிப்போம்

பிரித்து

குறிப்பு: எப்போது சிறப்பு வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்

மாறிகள் பிரிக்கப்படுகின்றன

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்

- பொதுவான முடிவு

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்:

ஒரு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட வழக்கு
!

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்:

1)

2)
ஆரம்பம் நிபந்தனைகள்:

1 வது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

வரையறை:செயல்பாடு
n என்ற வரிசையின் ஒரே மாதிரியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது

எடுத்துக்காட்டு: - ஆர்டர்ன்=2 இன் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடு

வரையறை:வரிசை 0 இன் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது ஒரேவிதமான.

வரையறை:வகையீட்டு சமன்பாடு
ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் அழைக்கப்படுகிறது
- ஒரே மாதிரியான செயல்பாடு, அதாவது.

எனவே, ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்:

மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துதல் , t என்பது x மாறியின் செயல்பாடாக இருந்தால், ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

- சமன்பாட்டில் மாற்று

மாறிகள் பிரிக்கப்பட்டன, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்

பதிலீடு செய்வதன் மூலம் தலைகீழ் மாற்றீடு செய்வோம் , மறைமுகமான வடிவத்தில் பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம்.

ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டை வேறுபட்ட வடிவத்தில் எழுதலாம்.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, M(x;y) மற்றும் N(x;y) ஆகியவை ஒரே வரிசையின் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகளாகும்.

dx மற்றும் எக்ஸ்பிரஸ் மூலம் வகுக்கவும்

1)

முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.
பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் (DE). இந்த இரண்டு வார்த்தைகளும் பொதுவாக சராசரி மனிதனை பயமுறுத்துகின்றன. வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பல மாணவர்களுக்கு தடைசெய்யும் மற்றும் தேர்ச்சி பெற கடினமாக உள்ளது. ஊஊஊஊ... வேறுபட்ட சமன்பாடுகள், இதையெல்லாம் நான் எப்படித் தாங்குவது?!

இந்த கருத்தும் இந்த அணுகுமுறையும் அடிப்படையில் தவறானது, ஏனெனில் உண்மையில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் - இது எளிமையானது மற்றும் வேடிக்கையானது. வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிய நீங்கள் என்ன தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் செய்ய முடியும்? பரவல்களை வெற்றிகரமாகப் படிக்க, நீங்கள் ஒருங்கிணைத்து வேறுபடுத்துவதில் சிறந்தவராக இருக்க வேண்டும். சிறந்த தலைப்புகள் படிக்கப்படும் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்வது எளிதாக இருக்கும். நான் இன்னும் கூறுவேன், உங்களிடம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ ஒழுக்கமான ஒருங்கிணைப்பு திறன் இருந்தால், தலைப்பு கிட்டத்தட்ட தேர்ச்சி பெற்றுவிட்டது! மேலும் ஒருங்கிணைப்புகள் பல்வேறு வகையானஎப்படி முடிவு செய்வது என்று உங்களுக்குத் தெரியும் - மிகவும் சிறந்தது. ஏன்? நீங்கள் நிறைய ஒருங்கிணைக்க வேண்டும். மற்றும் வேறுபடுத்துங்கள். மேலும் பலமாக சிபாரிசு செய்ய படுகிறதுகண்டுபிடிக்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

95% வழக்குகளில் சோதனைகள்முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் 3 வகைகள் உள்ளன: பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள்இந்த பாடத்தில் நாம் பார்ப்போம்; ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்மற்றும் நேரியல் சீரற்ற சமன்பாடுகள். டிஃப்பியூசர்களைப் படிக்கத் தொடங்குபவர்களுக்கு, இந்த வரிசையில் பாடங்களை சரியாகப் படிக்க நான் உங்களுக்கு அறிவுறுத்துகிறேன், முதல் இரண்டு கட்டுரைகளைப் படித்த பிறகு, கூடுதல் பட்டறையில் உங்கள் திறமைகளை ஒருங்கிணைப்பது வலிக்காது - சமன்பாடுகள் ஒரே மாதிரியாகக் குறைக்கப்படுகின்றன.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் இன்னும் அரிதான வகைகள் உள்ளன: மொத்த வேறுபாடு சமன்பாடுகள், பெர்னோலி சமன்பாடுகள் மற்றும் சில. கடைசி இரண்டு வகைகளில் மிக முக்கியமானது மொத்த வேறுபாடுகளில் உள்ள சமன்பாடுகள் ஆகும், ஏனெனில் இந்த வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு கூடுதலாக நான் கருதுகிறேன் புதிய பொருள் – பகுதி ஒருங்கிணைப்பு.

இன்னும் ஒன்றிரண்டு நாள் இருந்தால் போதும், அந்த அதிவேக தயாரிப்புக்காகஅங்கு உள்ளது பிளிட்ஸ் நிச்சயமாக pdf வடிவில்.

எனவே, அடையாளங்கள் அமைக்கப்பட்டுள்ளன - போகலாம்:

முதலில், வழக்கமான இயற்கணித சமன்பாடுகளை நினைவில் கொள்வோம். அவை மாறிகள் மற்றும் எண்களைக் கொண்டிருக்கின்றன. எளிமையான உதாரணம்: . ஒரு சாதாரண சமன்பாட்டை தீர்ப்பது என்றால் என்ன? இதன் பொருள் கண்டறிதல் எண்களின் தொகுப்பு, இது இந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது. குழந்தைகளின் சமன்பாடு ஒற்றை ரூட்டைக் கொண்டிருப்பதைக் கவனிப்பது எளிது: . வேடிக்கைக்காக, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மூலத்தை நமது சமன்பாட்டில் சரிபார்த்து மாற்றுவோம்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது, அதாவது தீர்வு சரியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

டிஃப்பியூசர்கள் அதே வழியில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன!

வகையீட்டு சமன்பாடு முதல் ஆணைபொதுவாக கொண்டுள்ளது:
1) சுயாதீன மாறி;
2) சார்பு மாறி (செயல்பாடு);
3) செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல்: .

சில 1 வது வரிசை சமன்பாடுகளில் "x" மற்றும்/அல்லது "y" இல்லாமல் இருக்கலாம், ஆனால் இது குறிப்பிடத்தக்கதாக இல்லை - முக்கியமானகட்டுப்பாட்டு அறைக்கு செல்ல வேண்டும் இருந்ததுமுதல் வழித்தோன்றல், மற்றும் இல்லைஉயர் ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்கள் - , போன்றவை.

என்ன அர்த்தம் ?வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது என்பது கண்டுபிடிப்பதைக் குறிக்கிறது அனைத்து செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு, இது இந்த சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கிறது. இத்தகைய செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு பெரும்பாலும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது (– ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி), இது அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 1

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

முழு வெடிமருந்து. எங்கு தொடங்குவது தீர்வு?

முதலில், நீங்கள் வழித்தோன்றலை சற்று வித்தியாசமான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுத வேண்டும். உங்களில் பலர் கேலிக்குரியதாகவும் தேவையற்றதாகவும் தோன்றிய சிக்கலான பதவியை நாங்கள் நினைவுகூருகிறோம். டிஃப்பியூசர்களில் இதுதான் விதி!

இரண்டாவது கட்டத்தில், அது சாத்தியமா என்று பார்ப்போம் தனி மாறிகள்?மாறிகளைப் பிரிப்பதன் அர்த்தம் என்ன? தோராயமாகச் சொன்னால், இடது பக்கத்தில்நாம் வெளியேற வேண்டும் "கிரேக்கர்கள்" மட்டுமே, ஏ வலது பக்கத்தில்ஏற்பாடு "எக்ஸ்" மட்டுமே. மாறிகளின் பிரிவு "பள்ளி" கையாளுதல்களைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது: அவற்றை அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பது, குறியீட்டின் மாற்றத்துடன் பகுதியிலிருந்து பகுதிக்கு விதிமுறைகளை மாற்றுவது, விகிதாச்சார விதியின் படி காரணிகளை பகுதியிலிருந்து பகுதிக்கு மாற்றுவது போன்றவை.

வேறுபாடுகள் மற்றும் முழுப் பெருக்கிகள் மற்றும் விரோதப் போக்கில் செயலில் பங்கேற்பாளர்கள். பரிசீலனையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், விகிதாச்சார விதியின்படி காரணிகளைத் தூக்கி எறிவதன் மூலம் மாறிகள் எளிதில் பிரிக்கப்படுகின்றன:

மாறிகள் பிரிக்கப்படுகின்றன. இடது பக்கத்தில் "Y" மட்டுமே உள்ளன, வலது பக்கத்தில் - "X" மட்டுமே.

அடுத்த நிலை - வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு. இது எளிது, நாங்கள் இருபுறமும் ஒருங்கிணைப்புகளை வைக்கிறோம்:

நிச்சயமாக, நாம் ஒருங்கிணைப்புகளை எடுக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், அவை அட்டவணையில் உள்ளன:

நாம் நினைவில் வைத்துள்ளபடி, எந்த ஒரு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்க்கும் ஒரு மாறிலி ஒதுக்கப்படுகிறது. இங்கே இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன, ஆனால் மாறிலியை ஒரு முறை எழுதினால் போதும் (மாற்று + மாறிலி இன்னும் மற்றொரு மாறிலிக்கு சமம் என்பதால்). பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் இது வலது பக்கத்தில் வைக்கப்படுகிறது.

கண்டிப்பாகச் சொன்னால், ஒருங்கிணைப்புகள் எடுக்கப்பட்ட பிறகு, வேறுபட்ட சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது. ஒரே விஷயம் என்னவென்றால், எங்கள் “y” “x” மூலம் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை, அதாவது தீர்வு வழங்கப்படுகிறது ஒரு மறைமுகமாகவடிவம். மறைமுக வடிவில் உள்ள வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு. அதாவது, இது ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பு.

இந்த வடிவத்தில் உள்ள பதில் மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது, ஆனால் ஒரு சிறந்த வழி இருக்கிறதா? பெற முயற்சிப்போம் பொதுவான முடிவு.

தயவு செய்து, முதல் நுட்பத்தை நினைவில் கொள்க, இது மிகவும் பொதுவானது மற்றும் பெரும்பாலும் நடைமுறை பணிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது: ஒருங்கிணைத்த பிறகு வலது பக்கத்தில் ஒரு மடக்கை தோன்றினால், பல சந்தர்ப்பங்களில் (ஆனால் எப்போதும் இல்லை!) மடக்கையின் கீழ் மாறிலியை எழுதுவதும் நல்லது..

அது, அதற்கு பதிலாகஉள்ளீடுகள் பொதுவாக எழுதப்படுகின்றன .

இது ஏன் அவசியம்? மேலும் "விளையாட்டை" வெளிப்படுத்துவதை எளிதாக்குவதற்காக. மடக்கைகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல் . இந்த வழக்கில்:

இப்போது மடக்கைகள் மற்றும் தொகுதிகள் அகற்றப்படலாம்:

செயல்பாடு வெளிப்படையாக வழங்கப்படுகிறது. இதுவே பொதுவான தீர்வு.

பதில்: பொதுவான முடிவு: .

பல வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான பதில்களை சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது. எங்கள் விஷயத்தில், இது மிகவும் எளிமையாக செய்யப்படுகிறது, நாங்கள் கண்டறிந்த தீர்வை எடுத்து அதை வேறுபடுத்துகிறோம்:

பின்னர் நாம் வழித்தோன்றலை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது, அதாவது பொதுவான தீர்வு சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது, இது சரிபார்க்கப்பட வேண்டும்.

மாறிலியைக் கொடுக்கும் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள், நீங்கள் எண்ணற்ற பலவற்றைப் பெறலாம் தனிப்பட்ட தீர்வுகள்வகையீட்டு சமன்பாடு. செயல்பாடுகளில் ஏதேனும் , , போன்றவை என்பது தெளிவாகிறது. வேறுபட்ட சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது.

சில நேரங்களில் பொதுவான தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடுகளின் குடும்பம். IN இந்த எடுத்துக்காட்டில்பொதுவான முடிவு - இது ஒரு குடும்பம் நேரியல் செயல்பாடுகள், அல்லது மாறாக, நேரடி விகிதாசார குடும்பம்.

முதல் உதாரணத்தை முழுமையாக மதிப்பாய்வு செய்த பிறகு, சிலவற்றிற்கு பதிலளிப்பது பொருத்தமானது அப்பாவியான கேள்விகள்வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பற்றி:

1)இந்த எடுத்துக்காட்டில், மாறிகளை பிரிக்க முடிந்தது. இதை எப்போதும் செய்ய முடியுமா?இல்லை எப்போதும் இல்லை. மேலும் அடிக்கடி, மாறிகளை பிரிக்க முடியாது. உதாரணமாக, இல் ஒரே மாதிரியான முதல் வரிசை சமன்பாடுகள், நீங்கள் முதலில் அதை மாற்ற வேண்டும். மற்ற வகை சமன்பாடுகளில், எடுத்துக்காட்டாக, முதல்-வரிசை நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டில், நீங்கள் ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க பல்வேறு நுட்பங்களையும் முறைகளையும் பயன்படுத்த வேண்டும். முதல் பாடத்தில் நாம் கருதும் பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகள் எளிமையான வகை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளாகும்.

2) வேறுபட்ட சமன்பாட்டை எப்போதும் ஒருங்கிணைக்க முடியுமா?இல்லை எப்போதும் இல்லை. ஒருங்கிணைக்க முடியாத ஒரு "ஆடம்பரமான" சமன்பாட்டைக் கொண்டு வருவது மிகவும் எளிதானது, மேலும் எடுக்க முடியாத ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன. ஆனால் அத்தகைய DE கள் சிறப்பு முறைகளைப் பயன்படுத்தி தோராயமாக தீர்க்கப்படலாம். D’Alembert மற்றும் Cauchy உத்தரவாதம்... ...அவ், lurkmore.இப்போது நிறைய படிக்க, நான் கிட்டத்தட்ட "மற்ற உலகத்திலிருந்து" சேர்த்துள்ளேன்.

3) இந்த எடுத்துக்காட்டில், பொதுவான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைப் பெற்றோம் . ஒரு பொதுவான ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிவது, அதாவது "y" ஐ வெளிப்படையாக வெளிப்படுத்துவது எப்போதுமே சாத்தியமா?இல்லை எப்போதும் இல்லை. உதாரணத்திற்கு: . சரி, இங்கே "கிரேக்கத்தை" எப்படி வெளிப்படுத்துவது?! இது போன்ற சமயங்களில், பதில் ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பாக எழுதப்பட வேண்டும். கூடுதலாக, சில சமயங்களில் ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பது சாத்தியமாகும், ஆனால் அது மிகவும் சிக்கலானதாகவும் விகாரமாகவும் எழுதப்பட்டுள்ளது, பதிலை ஒரு பொதுவான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவத்தில் விட்டுவிடுவது நல்லது.

4) ...இப்போதைக்கு அது போதும். முதல் உதாரணத்தில் நாம் சந்தித்தோம் மற்றொன்று முக்கியமான புள்ளி , ஆனால் புதிய தகவல்களின் பனிச்சரிவுடன் "டம்மீஸ்" ஐ மறைக்காமல் இருக்க, அடுத்த பாடம் வரை அதை விட்டுவிடுகிறேன்.

நாங்கள் அவசரப்பட மாட்டோம். மற்றொரு எளிய ரிமோட் கண்ட்ரோல் மற்றும் மற்றொரு பொதுவான தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 2

ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: நிபந்தனையின் படி, நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் தனிப்பட்ட தீர்வுகொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலையை பூர்த்தி செய்யும் DE. கேள்வியின் இந்த உருவாக்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது காச்சி பிரச்சனை.

முதலில் நாம் ஒரு பொதுவான தீர்வைக் காண்கிறோம். சமன்பாட்டில் "x" மாறி இல்லை, ஆனால் இது குழப்பமடையக்கூடாது, முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அதில் முதல் வழித்தோன்றல் உள்ளது.

வழித்தோன்றலை மீண்டும் எழுதுகிறோம் சரியான வடிவத்தில்:

வெளிப்படையாக, மாறிகள் பிரிக்கப்படலாம், சிறுவர்கள் இடதுபுறம், பெண்கள் வலதுபுறம்:

சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்போம்:

பொது ஒருங்கிணைப்பு பெறப்படுகிறது. இங்கே நான் ஒரு நட்சத்திரத்துடன் ஒரு மாறிலியை வரைந்தேன், உண்மை என்னவென்றால், மிக விரைவில் அது மற்றொரு மாறிலியாக மாறும்.

இப்போது நாம் பொது ஒருங்கிணைப்பை ஒரு பொதுவான தீர்வாக மாற்ற முயற்சிக்கிறோம் ("y" ஐ வெளிப்படையாக வெளிப்படுத்தவும்). பள்ளியில் இருந்து நல்ல பழைய விஷயங்களை நினைவில் கொள்வோம்: . இந்த வழக்கில்:

குறிகாட்டியில் உள்ள மாறிலி எப்படியோ அன்கோஷராகத் தெரிகிறது, எனவே இது பொதுவாக பூமிக்குக் கொண்டுவரப்படுகிறது. விரிவாக, இது இப்படித்தான் நடக்கிறது. டிகிரிகளின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

ஒரு மாறிலி என்றால், அதுவும் சில நிலையானது, அதை எழுத்துடன் மறுவடிவமைப்போம்:

"இடிப்பது" ஒரு நிலையானது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள் இரண்டாவது நுட்பம், இது வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எனவே, பொதுவான தீர்வு: இது அதிவேக செயல்பாடுகளின் ஒரு நல்ல குடும்பம்.

இறுதி கட்டத்தில், கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதுவும் எளிமையானது.

பணி என்ன? எடுக்க வேண்டும் அத்தகையநிலை திருப்தி அடையும் வகையில் மாறிலியின் மதிப்பு.

இது வெவ்வேறு வழிகளில் வடிவமைக்கப்படலாம், ஆனால் இது அநேகமாக தெளிவான வழியாக இருக்கும். பொதுவான தீர்வில், “X” க்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை மாற்றுகிறோம், மேலும் “Y” க்கு பதிலாக இரண்டை மாற்றுகிறோம்:



அது,

நிலையான வடிவமைப்பு பதிப்பு:

இப்போது நாம் பொதுவான தீர்வுக்கு மாறிலியின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை மாற்றுகிறோம்:
- இது நமக்குத் தேவையான குறிப்பிட்ட தீர்வு.

பதில்: தனிப்பட்ட தீர்வு:

சரிபார்ப்போம். தனிப்பட்ட தீர்வைச் சரிபார்ப்பது இரண்டு நிலைகளை உள்ளடக்கியது:

முதலில் நீங்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட தீர்வு ஆரம்ப நிலையை உண்மையில் திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பதை சரிபார்க்க வேண்டும்? "X" க்கு பதிலாக நாம் பூஜ்ஜியத்தை மாற்றி என்ன நடக்கிறது என்று பார்க்கிறோம்:
- ஆம், நீங்கள் உண்மையில் இரண்டு பெற்றுள்ளீர்கள், அதாவது ஆரம்ப நிலை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது.

இரண்டாவது நிலை ஏற்கனவே தெரிந்ததே. இதன் விளைவாக வரும் குறிப்பிட்ட தீர்வை எடுத்து, வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்:

அசல் சமன்பாட்டில் நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது.

முடிவு: குறிப்பிட்ட தீர்வு சரியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

இன்னும் அர்த்தமுள்ள உதாரணங்களுக்கு செல்லலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தீர்வு:நமக்குத் தேவையான வடிவத்தில் வழித்தோன்றலை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

மாறிகளை பிரிக்க முடியுமா என்பதை நாங்கள் மதிப்பிடுகிறோம்? முடியும். அடையாள மாற்றத்துடன் இரண்டாவது காலத்தை வலது பக்கம் நகர்த்துகிறோம்:

மேலும் விகிதாச்சார விதியின்படி பெருக்கிகளை மாற்றுகிறோம்:

மாறிகள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன, இரண்டு பகுதிகளையும் ஒருங்கிணைப்போம்:

நான் உங்களை எச்சரிக்க வேண்டும், தீர்ப்பு நாள் நெருங்குகிறது. நீங்கள் நன்றாகப் படிக்கவில்லை என்றால் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள், சில எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்த்துவிட்டேன், பின்னர் எங்கும் செல்ல முடியாது - நீங்கள் இப்போது அவற்றை மாஸ்டர் செய்ய வேண்டும்.

இடது பக்கத்தின் ஒருங்கிணைப்பு கண்டுபிடிக்க எளிதானது; முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைத்தல்கடந்த ஆண்டு:

வலது பக்கத்தில் நாம் ஒரு மடக்கை உள்ளது, மற்றும் என் முதல் படி தொழில்நுட்ப ஆலோசனை, மாறிலியும் மடக்கையின் கீழ் எழுதப்பட வேண்டும்.

இப்போது நாம் பொது ஒருங்கிணைப்பை எளிதாக்க முயற்சிக்கிறோம். எங்களிடம் மடக்கைகள் மட்டுமே இருப்பதால், அவற்றை அகற்றுவது மிகவும் சாத்தியம் (மற்றும் அவசியம்). பயன்படுத்தி அறியப்பட்ட பண்புகள்மடக்கைகளை முடிந்தவரை "பேக்" செய்கிறோம். நான் அதை மிக விரிவாக எழுதுகிறேன்:

பேக்கேஜிங் காட்டுமிராண்டித்தனமாக சிதைந்துவிடும்:

"விளையாட்டை" வெளிப்படுத்த முடியுமா? முடியும். இரண்டு பகுதிகளையும் சதுரமாக்குவது அவசியம்.

ஆனால் நீங்கள் இதைச் செய்ய வேண்டியதில்லை.

மூன்றாவது தொழில்நுட்ப குறிப்பு:ஒரு பொதுவான தீர்வைப் பெறுவதற்கு, அது ஒரு சக்திக்கு உயர்த்தப்பட வேண்டும் அல்லது வேர்களை எடுக்க வேண்டும் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில்நீங்கள் இந்த செயல்களில் இருந்து விலகி, பதில் ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் விட வேண்டும். உண்மை என்னவென்றால், பொதுவான தீர்வு வெறுமனே பயங்கரமானதாக இருக்கும் - பெரிய வேர்கள், அறிகுறிகள் மற்றும் பிற குப்பைகளுடன்.

எனவே, நாம் ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் பதில் எழுதுகிறோம். நல்ல முறையில்இது வடிவத்தில் அதை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதாக கருதப்படுகிறது , அதாவது, வலது பக்கத்தில், முடிந்தால், ஒரு மாறிலியை மட்டும் விட்டு விடுங்கள். இதைச் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் பேராசிரியரை மகிழ்விப்பது எப்போதும் நன்மை பயக்கும் ;-)

பதில்:பொது ஒருங்கிணைப்பு:

! குறிப்பு: எந்தவொரு சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பையும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வழிகளில் எழுதலாம். எனவே, உங்கள் முடிவு முன்னர் அறியப்பட்ட பதிலுடன் ஒத்துப்போகவில்லை என்றால், நீங்கள் சமன்பாட்டை தவறாக தீர்த்துவிட்டீர்கள் என்று அர்த்தமல்ல.

பொது ஒருங்கிணைப்பு சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது, முக்கிய விஷயம் கண்டுபிடிக்க முடியும் மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். பதிலை வேறுபடுத்துவோம்:

இரண்டு சொற்களையும் நாங்கள் பெருக்குகிறோம்:

மற்றும் பிரிக்கவும்:

அசல் வேறுபாடு சமன்பாடு சரியாகப் பெறப்பட்டது, அதாவது பொது ஒருங்கிணைப்பு சரியாகக் கண்டறியப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 4

ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும். சரிபார்ப்பு செய்யவும்.

என்பதற்கு இது ஒரு உதாரணம் சுதந்திரமான முடிவு.

அல்காரிதம் இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:
1) பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிதல்;
2) தேவையான குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறிதல்.

காசோலை இரண்டு படிகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது (எடுத்துக்காட்டு எண். 2 இல் உள்ள மாதிரியைப் பார்க்கவும்), நீங்கள் செய்ய வேண்டியது:
1) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட தீர்வு ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்;
2) ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு பொதுவாக வேறுபட்ட சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என சரிபார்க்கவும்.

முழுமையான தீர்வுமற்றும் பாடத்தின் முடிவில் பதில்.

எடுத்துக்காட்டு 5

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும் , ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது. சரிபார்ப்பு செய்யவும்.

தீர்வு:முதலில், இந்த சமன்பாட்டில் ஏற்கனவே ஆயத்த வேறுபாடுகள் உள்ளன, எனவே தீர்வு எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. நாங்கள் மாறிகளை பிரிக்கிறோம்:

சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்போம்:

இடதுபுறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு அட்டவணை, வலதுபுறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு எடுக்கப்பட்டது வேற்றுமைக் குறியின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டைச் சேர்க்கும் முறை:

பொது ஒருங்கிணைப்பு பெறப்பட்டது, பொது தீர்வை வெற்றிகரமாக வெளிப்படுத்த முடியுமா? முடியும். நாங்கள் இருபுறமும் மடக்கைகளை தொங்கவிடுகிறோம். அவை நேர்மறையானவை என்பதால், மாடுலஸ் அறிகுறிகள் தேவையற்றவை:

(மாற்றத்தை அனைவரும் புரிந்துகொள்வார்கள் என்று நம்புகிறேன், இது போன்ற விஷயங்கள் ஏற்கனவே தெரிந்திருக்க வேண்டும்)

எனவே, பொதுவான தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலைக்குத் தொடர்புடைய ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம்.
பொதுவான தீர்வுகளில், "X" க்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை மாற்றுகிறோம், மேலும் "Y" க்கு பதிலாக இரண்டின் மடக்கையை மாற்றுகிறோம்:

மிகவும் பழக்கமான வடிவமைப்பு:

மாறிலியின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை பொதுவான தீர்வுக்கு மாற்றுகிறோம்.

பதில்:தனிப்பட்ட தீர்வு:

சரிபார்க்கவும்: முதலில், ஆரம்ப நிலை பூர்த்தி செய்யப்பட்டுள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்:
- எல்லாம் நன்றாக இருக்கிறது.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட தீர்வு வேறுபட்ட சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பதை இப்போது பார்க்கலாம். வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்:

அசல் சமன்பாட்டைப் பார்ப்போம்: - இது வேறுபாடுகளில் வழங்கப்படுகிறது. சரிபார்க்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலில் இருந்து வேறுபாட்டை வெளிப்படுத்த முடியும்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட தீர்வையும் அதன் விளைவாக வரும் வேறுபாட்டையும் அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம் :

நாங்கள் அடிப்படை மடக்கை அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது, அதாவது குறிப்பிட்ட தீர்வு சரியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

சரிபார்க்கும் இரண்டாவது முறை பிரதிபலித்தது மற்றும் மிகவும் பழக்கமானது: சமன்பாட்டிலிருந்து வழித்தோன்றலை வெளிப்படுத்துவோம், இதைச் செய்ய, அனைத்து பகுதிகளையும் பின்வருமாறு பிரிக்கிறோம்:

மாற்றப்பட்ட DE யில் நாம் பெறப்பட்ட பகுதி தீர்வு மற்றும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலை மாற்றுகிறோம். எளிமைப்படுத்தப்பட்டதன் விளைவாக, சரியான சமத்துவமும் பெறப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 6

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். பதிலை ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் வழங்கவும்.

நீங்களே தீர்க்க, முழுமையான தீர்வு மற்றும் பாடத்தின் முடிவில் பதிலளிக்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் மூலம் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது என்ன சிரமங்கள் காத்திருக்கின்றன?

1) மாறிகள் பிரிக்கப்படலாம் என்பது எப்போதும் தெளிவாக இருக்காது (குறிப்பாக "டீபாட்"). ஒரு நிபந்தனை உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்: . இங்கே நீங்கள் அடைப்புக்குறிக்குள் காரணிகளை எடுக்க வேண்டும்: மற்றும் வேர்களை பிரிக்கவும்: . அடுத்து என்ன செய்வது என்பது தெளிவாகிறது.

2) ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள சிரமங்கள். ஒருங்கிணைப்புகள் பெரும்பாலும் எளிமையானவை அல்ல, மேலும் கண்டுபிடிக்கும் திறன்களில் குறைபாடுகள் இருந்தால் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, பின்னர் அது பல டிஃப்பியூசர்களுடன் கடினமாக இருக்கும். கூடுதலாக, "வேறுபட்ட சமன்பாடு எளிமையானது என்பதால், குறைந்தபட்சம் ஒருங்கிணைப்புகள் மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கட்டும்" என்ற தர்க்கம் சேகரிப்புகள் மற்றும் பயிற்சி கையேடுகளின் தொகுப்பாளர்களிடையே பிரபலமாக உள்ளது.

3) மாறிலியுடன் கூடிய மாற்றங்கள். எல்லோரும் கவனித்தபடி, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் நிலையானது மிகவும் சுதந்திரமாக கையாளப்படலாம், மேலும் சில மாற்றங்கள் ஒரு தொடக்கக்காரருக்கு எப்போதும் தெளிவாக இருக்காது. மற்றொரு நிபந்தனை உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: . அனைத்து சொற்களையும் 2 ஆல் பெருக்குவது நல்லது: . இதன் விளைவாக வரும் மாறிலியும் ஒருவித மாறிலியாகும், இதை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்: . ஆம், வலது பக்கத்தில் ஒரு மடக்கை இருப்பதால், மாறிலியை மற்றொரு மாறிலியின் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவது நல்லது: .

பிரச்சனை என்னவென்றால், அவர்கள் பெரும்பாலும் குறியீடுகளைப் பற்றி கவலைப்படுவதில்லை மற்றும் அதே கடிதத்தைப் பயன்படுத்துகிறார்கள். இதன் விளைவாக, முடிவு பதிவு எடுக்கிறது அடுத்த பார்வை:

என்ன வகையான மதவெறி? அங்கே தவறுகள் உள்ளன! சரியாகச் சொன்னால், ஆம். இருப்பினும், ஒரு கணிசமான பார்வையில், பிழைகள் எதுவும் இல்லை, ஏனெனில் மாறி மாறிலியை மாற்றுவதன் விளைவாக, ஒரு மாறி மாறிலி இன்னும் பெறப்படுகிறது.

அல்லது மற்றொரு உதாரணம், சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பு பெறப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த பதில் அசிங்கமாகத் தெரிகிறது, எனவே ஒவ்வொரு சொல்லின் அடையாளத்தையும் மாற்றுவது நல்லது: . முறைப்படி, இங்கே மற்றொரு தவறு உள்ளது - அது வலதுபுறத்தில் எழுதப்பட வேண்டும். ஆனால் முறைசாரா முறையில் "மைனஸ் CE" இன்னும் ஒரு நிலையானது ( எந்த அர்த்தத்தையும் எளிதில் எடுக்கக்கூடியது!), எனவே "மைனஸ்" வைப்பதில் அர்த்தமில்லை, அதே எழுத்தை நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

நான் கவனக்குறைவான அணுகுமுறையைத் தவிர்க்க முயற்சிப்பேன், மேலும் அவற்றை மாற்றும்போது மாறிலிகளுக்கு வெவ்வேறு குறியீடுகளை ஒதுக்குவேன்.

எடுத்துக்காட்டு 7

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். சரிபார்ப்பு செய்யவும்.

தீர்வு:இந்த சமன்பாடு மாறிகளை பிரிக்க அனுமதிக்கிறது. நாங்கள் மாறிகளை பிரிக்கிறோம்:

ஒருங்கிணைப்போம்:

இங்கு மாறிலியை ஒரு மடக்கை என வரையறுக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் இதில் பயனுள்ள எதுவும் வராது.

பதில்:பொது ஒருங்கிணைப்பு:

சரிபார்க்கவும்: பதிலை வேறுபடுத்தவும் ( மறைமுக செயல்பாடு):

இரண்டு சொற்களையும் பெருக்குவதன் மூலம் பின்னங்களை அகற்றுவோம்:

அசல் வேறுபாடு சமன்பாடு பெறப்பட்டது, அதாவது பொது ஒருங்கிணைப்பு சரியாகக் கண்டறியப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 8

DE இன் குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்.
,

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஒரே குறிப்பு என்னவென்றால், இங்கே நீங்கள் ஒரு பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுவீர்கள், மேலும் சரியாகச் சொன்னால், ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் முயற்சிக்க வேண்டும், ஆனால் பகுதி ஒருங்கிணைந்த. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.