காஸியன் முறை ஒரு உறுதியான உதாரணம். அலாய் சிக்கலின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி பயன்பாட்டு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது. கூட்டுறவு அல்லாத அமைப்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு

இன்று நாம் நேரியல் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான காஸ் முறையைப் புரிந்து கொள்ளப் போகிறோம் இயற்கணித சமன்பாடுகள். Cramer முறையைப் பயன்படுத்தி அதே SLAEகளைத் தீர்ப்பதற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட முந்தைய கட்டுரையில் இந்த அமைப்புகள் என்ன என்பதை நீங்கள் படிக்கலாம். காஸ் முறைக்கு எந்த குறிப்பிட்ட அறிவும் தேவையில்லை, உங்களுக்கு கவனம் மற்றும் நிலைத்தன்மை மட்டுமே தேவை. கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், அதைப் பயன்படுத்துவதற்கு பள்ளிப் பயிற்சி போதுமானது என்ற உண்மை இருந்தபோதிலும், மாணவர்கள் பெரும்பாலும் இந்த முறையை மாஸ்டர் செய்வது கடினம். இந்த கட்டுரையில் அவற்றை ஒன்றுமில்லாமல் குறைக்க முயற்சிப்போம்!

காஸ் முறை

எம் காசியன் முறை- SLAEகளைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் உலகளாவிய முறை (மிகவும் விதிவிலக்கு பெரிய அமைப்புகள்) முன்னர் விவாதிக்கப்பட்டதைப் போலல்லாமல், இது ஒரு ஒற்றை தீர்வைக் கொண்ட அமைப்புகளுக்கு மட்டுமல்ல, எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்ட அமைப்புகளுக்கும் ஏற்றது. இங்கே மூன்று சாத்தியமான விருப்பங்கள் உள்ளன.

1. கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது (கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை);
2. கணினியில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன;
3. தீர்வுகள் இல்லை, அமைப்பு இணக்கமற்றது.

எனவே எங்களிடம் ஒரு அமைப்பு உள்ளது (அதற்கு ஒரு தீர்வு இருக்கட்டும்) மற்றும் அதை காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப் போகிறோம். இது எப்படி வேலை செய்கிறது?

காஸ் முறை இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது - முன்னோக்கி மற்றும் தலைகீழ்.

காஸியன் முறையின் நேரடி பக்கவாதம்

முதலில், கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதுவோம். இதைச் செய்ய, பிரதான மேட்ரிக்ஸில் இலவச உறுப்பினர்களின் நெடுவரிசையைச் சேர்க்கவும்.

காஸ் முறையின் முழு சாராம்சமும், அடிப்படை மாற்றங்களின் மூலம், இந்த அணிஒரு படி (அல்லது அவர்கள் சொல்வது போல் முக்கோண) தோற்றம். இந்த வடிவத்தில், மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் கீழ் (அல்லது மேலே) பூஜ்ஜியங்கள் மட்டுமே இருக்க வேண்டும்.

நீங்கள் என்ன செய்ய முடியும்:

1. நீங்கள் மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளை மறுசீரமைக்கலாம்;
2. மேட்ரிக்ஸில் சமமான (அல்லது விகிதாசார) வரிசைகள் இருந்தால், அவற்றில் ஒன்றைத் தவிர மற்ற அனைத்தையும் நீக்கலாம்;
3. நீங்கள் ஒரு சரத்தை எந்த எண்ணாலும் (பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர) பெருக்கலாம் அல்லது வகுக்கலாம்;
4. பூஜ்ய வரிசைகள் அகற்றப்படுகின்றன;
5. ஒரு சரத்தில் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் பெருக்கப்படும் சரத்தை நீங்கள் சேர்க்கலாம்.

தலைகீழ் காசியன் முறை

கணினியை இந்த வழியில் மாற்றிய பிறகு, ஒன்று தெரியவில்லை Xn அறியப்படுகிறது, உங்களால் முடியும் தலைகீழ் வரிசைகணினியின் சமன்பாடுகளில் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட x ஐ மாற்றுவதன் மூலம் மீதமுள்ள அனைத்து தெரியாதவற்றைக் கண்டறியவும், முதல் வரை.

இணையம் எப்போதும் கையில் இருக்கும்போது, ​​காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நீங்கள் தீர்க்கலாம் ஆன்லைன்.நீங்கள் ஆன்லைன் கால்குலேட்டரில் குணகங்களை உள்ளிட வேண்டும். ஆனால் நீங்கள் ஒப்புக் கொள்ள வேண்டும், உதாரணம் தீர்க்கப்படவில்லை என்பதை உணர்ந்து கொள்வது மிகவும் இனிமையானது கணினி நிரல், ஆனால் உங்கள் சொந்த மூளையுடன்.

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

இப்போது - ஒரு எடுத்துக்காட்டு, அதனால் எல்லாம் தெளிவாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் மாறும். நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கொடுக்கப்படட்டும், நீங்கள் அதை காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க வேண்டும்:

முதலில், நீட்டிக்கப்பட்ட அணியை எழுதுவோம்:

இப்போது மாற்றங்களைச் செய்வோம். மேட்ரிக்ஸின் முக்கோண தோற்றத்தை நாம் அடைய வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்கிறோம். 1வது வரியை (3) ஆல் பெருக்குவோம். 2வது வரியை (-1) ஆல் பெருக்கவும். 2 வது வரியை 1 வது வரியில் சேர்த்து பெறவும்:

பின்னர் 3வது வரியை (-1) ஆல் பெருக்கவும். 3 வது வரியை 2 வது வரியுடன் சேர்ப்போம்:

1வது வரியை (6) ஆல் பெருக்குவோம். 2வது வரியை (13) ஆல் பெருக்குவோம். 2 வது வரியை 1 வது வரியுடன் சேர்ப்போம்:

Voila - அமைப்பு பொருத்தமான வடிவத்திற்கு கொண்டு வரப்படுகிறது. தெரியாதவற்றைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது:

உள்ள அமைப்பு இந்த எடுத்துக்காட்டில்ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது. ஒரு தனி கட்டுரையில் எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்ட தீர்வு அமைப்புகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். மேட்ரிக்ஸை எங்கு மாற்றுவது என்று முதலில் உங்களுக்குத் தெரியாமல் இருக்கலாம், ஆனால் சரியான பயிற்சிக்குப் பிறகு நீங்கள் அதைச் சரியாகப் புரிந்துகொள்வீர்கள் மற்றும் கொட்டைகள் போன்ற காசியன் முறையைப் பயன்படுத்தி SLAE களை உடைப்பீர்கள். நீங்கள் திடீரென்று ஒரு SLAE ஐக் கண்டால், அது உடைக்க மிகவும் கடினமானதாக மாறினால், எங்கள் ஆசிரியர்களைத் தொடர்புகொள்ளவும்! கடித அலுவலகத்தில் ஒரு கோரிக்கையை வைப்பதன் மூலம் நீங்கள் செய்யலாம். எந்தவொரு பிரச்சினையையும் ஒன்றாக நாங்கள் தீர்ப்போம்!

தீர்க்கப்பட வேண்டிய நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கொடுக்கப்படட்டும் (அறியப்படாத xi இன் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும், அவை அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் சமமாக மாற்றும்).

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு:

1) தீர்வுகள் இல்லை (இருக்கவும் கூட்டு அல்லாத).
2) எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.
3) ஒரே தீர்வு வேண்டும்.

நாம் நினைவில் வைத்துள்ளபடி, கணினி எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும் அல்லது சீரற்றதாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில், க்ரேமரின் விதி மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் முறை பொருத்தமானது அல்ல. காஸ் முறை – மிகவும் சக்திவாய்ந்த மற்றும் உலகளாவிய கருவிநேரியல் சமன்பாடுகளின் எந்த அமைப்பிற்கும் தீர்வு காண, இது ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும்விடைக்கு நம்மை அழைத்துச் செல்லும்! முறை அல்காரிதம் மூன்று நிகழ்வுகளிலும் ஒரே மாதிரியாக செயல்படுகிறது. க்ரேமர் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் முறைகளுக்கு தீர்மானிப்பவர்களின் அறிவு தேவைப்பட்டால், காஸ் முறையைப் பயன்படுத்த உங்களுக்கு அறிவு மட்டுமே தேவை. எண்கணித செயல்பாடுகள், இது ஆரம்ப பள்ளி மாணவர்களுக்கும் கூட அணுகக்கூடியதாக உள்ளது.

ஆக்மென்ட்டட் மேட்ரிக்ஸ் மாற்றங்கள் ( இது கணினியின் அணி - தெரியாதவற்றின் குணகங்கள் மற்றும் இலவச சொற்களின் நெடுவரிசையை மட்டுமே கொண்ட ஒரு அணி.காஸ் முறையில் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்:

1) உடன் ட்ரோக்கிமெட்ரிக்குகள் முடியும் மறுசீரமைக்கவும்சில இடங்களில்.

2) விகிதாசாரமானவை மேட்ரிக்ஸில் தோன்றினால் (அல்லது இருந்தால்). சிறப்பு வழக்கு- ஒரே மாதிரியான) கோடுகள், பின்னர் அது பின்வருமாறு நீக்கவும்இந்த வரிசைகள் அனைத்தும் மேட்ரிக்ஸில் இருந்து ஒன்று தவிர.

3) உருமாற்றங்களின் போது மேட்ரிக்ஸில் பூஜ்ஜிய வரிசை தோன்றினால், அதுவும் இருக்க வேண்டும் நீக்கவும்.

4) மேட்ரிக்ஸின் ஒரு வரிசை இருக்கலாம் பெருக்கவும் (வகுக்கவும்)பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எந்த எண்ணுக்கும்.

5) மேட்ரிக்ஸின் ஒரு வரிசையில் உங்களால் முடியும் ஒரு எண்ணால் பெருக்கப்படும் மற்றொரு சரத்தைச் சேர்க்கவும், பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது.

காஸ் முறையில், அடிப்படை மாற்றங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் தீர்வை மாற்றாது.

காஸ் முறை இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது:

1. "நேரடி நகர்வு" - அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை "முக்கோண" படி வடிவத்திற்கு கொண்டு வாருங்கள்: முக்கிய மூலைவிட்டத்திற்கு கீழே அமைந்துள்ள நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (மேலிருந்து கீழ் நகர்வு). எடுத்துக்காட்டாக, இந்த வகைக்கு:

இதைச் செய்ய, பின்வரும் படிகளைச் செய்யவும்:

1) நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் x 1 க்கான குணகம் K க்கு சமம். இரண்டாவது, மூன்றாவது, முதலியன. நாம் சமன்பாடுகளை பின்வருமாறு மாற்றுகிறோம்: ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் உள்ள அறியப்படாத x 1க்கான குணகத்தால் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் (தெரியாதவற்றுக்கான குணகங்கள், இலவச சொற்கள் உட்பட) வகுத்து, K ஆல் பெருக்குகிறோம். இதற்குப் பிறகு, இரண்டாவதிலிருந்து முதலில் கழிப்போம். சமன்பாடு (தெரியாத மற்றும் இலவச விதிமுறைகளுக்கான குணகங்கள்). இரண்டாவது சமன்பாட்டில் x 1 க்கு நாம் குணகம் 0 ஐப் பெறுகிறோம். மூன்றாவது மாற்றப்பட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் சமன்பாட்டைக் கழிக்கிறோம், முதல் சமன்பாட்டைத் தவிர அனைத்து சமன்பாடுகளும் அறியப்படாத x 1 க்கு, குணகம் 0 இருக்கும்.

2) அடுத்த சமன்பாட்டிற்கு செல்வோம். இது இரண்டாவது சமன்பாடு மற்றும் M க்கு சமமான x 2 க்கான குணகமாக இருக்கட்டும். மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி அனைத்து "குறைந்த" சமன்பாடுகளுடன் தொடர்கிறோம். எனவே, அறியப்படாத x 2 இன் "கீழ்" அனைத்து சமன்பாடுகளிலும் பூஜ்ஜியங்கள் இருக்கும்.

3) அடுத்த சமன்பாட்டிற்குச் செல்லவும்.

1. காஸ் முறையின் "தலைகீழ் நகர்வு" என்பது நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ("கீழே-மேல்" நகர்வு) ஒரு அமைப்பிற்கான தீர்வைப் பெறுவதாகும்.

கடைசி "குறைந்த" சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் ஒரு முதல் தீர்வைப் பெறுகிறோம் - தெரியாத x n. இதைச் செய்ய, நாம் A * x n = B என்ற அடிப்படைச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம். மேலே கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், x 3 = 4. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை "மேல்" அடுத்த சமன்பாட்டில் மாற்றி, அடுத்த தெரியாததைப் பொறுத்து அதைத் தீர்க்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, x 2 – 4 = 1, அதாவது. x 2 = 5. மேலும் தெரியாதவை அனைத்தையும் கண்டுபிடிக்கும் வரை.

உதாரணம்.

கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

மேல் இடது "படியை" பார்க்கிறோம். நாம் அங்கே ஒன்றை வைத்திருக்க வேண்டும். பிரச்சனை என்னவென்றால், முதல் நெடுவரிசையில் அலகுகள் எதுவும் இல்லை, எனவே வரிசைகளை மறுசீரமைப்பது எதையும் தீர்க்காது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், அலகு ஒரு அடிப்படை மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒழுங்கமைக்கப்பட வேண்டும். இது பொதுவாக பல வழிகளில் செய்யப்படலாம். இதைச் செய்வோம்:
1 படி . முதல் வரியில் நாம் இரண்டாவது வரியைச் சேர்க்கிறோம், அதை –1 ஆல் பெருக்குகிறோம். அதாவது, மனதளவில் இரண்டாவது வரியை –1 ஆல் பெருக்கி முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிகளைச் சேர்த்தோம், இரண்டாவது வரி மாறவில்லை.

இப்போது மேல் இடதுபுறத்தில் "மைனஸ் ஒன்" உள்ளது, இது எங்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது. +1 பெற விரும்பும் எவரும் கூடுதல் செயலைச் செய்யலாம்: முதல் வரியை –1 ஆல் பெருக்கவும் (அதன் அடையாளத்தை மாற்றவும்).

படி 2 . முதல் வரி, 5 ஆல் பெருக்கப்பட்டது, முதல் வரி, 3 ஆல் பெருக்கப்பட்டது, மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது.

படி 3 . முதல் வரி -1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது, கொள்கையளவில், இது அழகுக்கானது. மூன்றாவது வரியின் அடையாளமும் மாற்றப்பட்டது மற்றும் அது இரண்டாவது இடத்திற்கு மாற்றப்பட்டது, இதனால் இரண்டாவது "படியில்" எங்களுக்கு தேவையான அலகு இருந்தது.

படி 4 . மூன்றாவது வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, 2 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

படி 5 . மூன்றாவது வரி 3 ஆல் வகுக்கப்பட்டது.

கணக்கீடுகளில் பிழையைக் குறிக்கும் அடையாளம் (குறைவாக அடிக்கடி எழுத்துப்பிழை) "மோசமான" அடிப்பகுதி. அதாவது, கீழே (0 0 11 |23) ஏதாவது கிடைத்தால், அதன்படி, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, அதிக அளவு நிகழ்தகவுடன், தொடக்கக் காலத்தில் பிழை ஏற்பட்டது என்று கூறலாம். மாற்றங்கள்.

எடுத்துக்காட்டுகளின் வடிவமைப்பில் தலைகீழாகச் செய்வோம், கணினியே பெரும்பாலும் மீண்டும் எழுதப்படுவதில்லை, ஆனால் சமன்பாடுகள் "கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸிலிருந்து நேரடியாக எடுக்கப்படுகின்றன." தலைகீழ் நகர்வு, நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், கீழே இருந்து வேலை செய்கிறது. இந்த எடுத்துக்காட்டில், இதன் விளைவாக ஒரு பரிசு:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, எனவே x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

பதில்:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

முன்மொழியப்பட்ட அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி அதே அமைப்பைத் தீர்ப்போம். நாம் பெறுகிறோம்

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

இரண்டாவது சமன்பாட்டை 5 ஆல் வகுக்கவும், மூன்றாவது சமன்பாட்டை 3 ஆல் வகுக்கவும். நாம் பெறுகிறோம்:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளை 4 ஆல் பெருக்கினால், நாம் பெறுகிறோம்:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளிலிருந்து முதல் சமன்பாட்டைக் கழித்தால், எங்களிடம் உள்ளது:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

மூன்றாவது சமன்பாட்டை 0.64 ஆல் வகுக்கவும்:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

மூன்றாவது சமன்பாட்டை 0.4 ஆல் பெருக்கவும்

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

மூன்றாவது சமன்பாட்டில் இருந்து இரண்டாவது கழித்தல், நாம் ஒரு "படி" நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம்:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

இவ்வாறு, கணக்கீடுகளின் போது பிழை திரட்டப்பட்டதால், நாம் x 3 = 0.96 அல்லது தோராயமாக 1 ஐப் பெறுகிறோம்.

x 2 = 3 மற்றும் x 1 = –1.

இந்த வழியில் தீர்ப்பதன் மூலம், நீங்கள் கணக்கீடுகளில் குழப்பமடைய மாட்டீர்கள், கணக்கீடு பிழைகள் இருந்தபோதிலும், நீங்கள் முடிவைப் பெறுவீர்கள்.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும் இந்த முறை நிரல் செய்வது எளிதானது மற்றும் அறியப்படாதவர்களுக்கான குணகங்களின் குறிப்பிட்ட அம்சங்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாது, ஏனெனில் நடைமுறையில் (பொருளாதார மற்றும் தொழில்நுட்பக் கணக்கீடுகளில்) ஒருவர் முழு எண் அல்லாத குணகங்களைக் கையாள வேண்டும்.

வெற்றி பெற வாழ்த்துகிறேன்! வகுப்பில் சந்திப்போம்! ஆசிரியர் டிமிட்ரி அஸ்ட்ராகனோவ்.

இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை நாங்கள் தொடர்ந்து கருதுகிறோம். இந்த பாடம் தலைப்பில் மூன்றாவது. பொதுவாக நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு என்ன என்பது பற்றிய தெளிவற்ற யோசனை உங்களுக்கு இருந்தால், நீங்கள் ஒரு தேநீர் தொட்டி போல் உணர்ந்தால், அடுத்த பக்கத்தில் உள்ள அடிப்படைகளுடன் தொடங்க பரிந்துரைக்கிறேன், பாடத்தைப் படிப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

காசியன் முறை எளிதானது!ஏன்? பிரபல ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஜோஹன் கார்ல் ஃபிரெட்ரிக் காஸ் தனது வாழ்நாளில் அங்கீகாரம் பெற்றார். மிகப்பெரிய கணிதவியலாளர்எல்லா நேரங்களிலும், ஒரு மேதை மற்றும் "கணிதத்தின் ராஜா" என்று செல்லப்பெயர் கூட. மற்றும் புத்திசாலித்தனமான அனைத்தும், உங்களுக்குத் தெரிந்தபடி, எளிமையானது!மூலம், உறிஞ்சுபவர்கள் பணம் பெறுவது மட்டுமல்லாமல், மேதைகளும் கூட - காஸின் உருவப்படம் 10 டாய்ச்மார்க் ரூபாய் நோட்டில் இருந்தது (யூரோவை அறிமுகப்படுத்துவதற்கு முன்பு), மற்றும் காஸ் இன்னும் சாதாரண தபால்தலைகளிலிருந்து ஜேர்மனியர்களைப் பார்த்து மர்மமான முறையில் புன்னகைக்கிறார்.

காஸ் முறை எளிமையானது, அதில் தேர்ச்சி பெற ஐந்தாம் வகுப்பு மாணவரின் அறிவு போதுமானது. கூட்டி பெருக்க தெரிந்திருக்க வேண்டும்!பள்ளிக் கணிதத் தேர்வுகளில் தெரியாதவர்களை வரிசையாக விலக்கும் முறையை ஆசிரியர்கள் அடிக்கடி கருதுவது தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல. இது ஒரு முரண்பாடு, ஆனால் மாணவர்கள் காசியன் முறையை மிகவும் கடினமாகக் காண்கிறார்கள். ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை - இது முறையைப் பற்றியது, மேலும் அணுகக்கூடிய வடிவத்தில் முறையின் வழிமுறையைப் பற்றி பேச முயற்சிப்பேன்.

முதலில், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைப் பற்றிய சிறிய அறிவை முறைப்படுத்துவோம். நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு:

1) ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது. 2) எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன. 3) தீர்வுகள் இல்லை (இருக்கவும் கூட்டு அல்லாத).

காஸ் முறை ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான மிகவும் சக்திவாய்ந்த மற்றும் உலகளாவிய கருவியாகும் ஏதேனும்நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள். நாம் நினைவில் வைத்திருப்பது போல், க்ரேமர் விதி மற்றும் அணி முறைகணினி எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும் அல்லது சீரற்றதாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் பொருத்தமற்றவை. மற்றும் தெரியாதவற்றை வரிசையாக நீக்கும் முறை எப்படியும்விடைக்கு நம்மை அழைத்துச் செல்லும்! அன்று இந்த பாடம்வழக்கு எண் 1 க்கான காஸ் முறையை மீண்டும் கருத்தில் கொள்வோம் (அமைப்புக்கான ஒரே தீர்வு), ஒரு கட்டுரை புள்ளிகள் எண் 2-3 இன் சூழ்நிலைகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. முறையின் அல்காரிதம் மூன்று நிகழ்வுகளிலும் ஒரே மாதிரியாக செயல்படுகிறது என்பதை நான் கவனிக்கிறேன்.

மீண்டும் செல்வோம் எளிமையான அமைப்புவகுப்பில் இருந்து நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எவ்வாறு தீர்ப்பது?மற்றும் காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி அதை தீர்க்கவும்.

முதல் படி எழுதுவது நீட்டிக்கப்பட்ட கணினி அணி: . குணகங்கள் எந்தக் கொள்கையால் எழுதப்படுகின்றன என்பதை அனைவரும் பார்க்கலாம் என்று நினைக்கிறேன். மேட்ரிக்ஸில் உள்ள செங்குத்து கோடு எந்த கணித அர்த்தத்தையும் கொண்டிருக்கவில்லை - இது வடிவமைப்பை எளிதாக்குவதற்கான ஒரு வேலைநிறுத்தமாகும்.

குறிப்பு : நீங்கள் நினைவில் கொள்ள பரிந்துரைக்கிறேன் விதிமுறைகள் நேரியல் இயற்கணிதம். சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் தெரியாதவர்களுக்கான குணகங்களால் மட்டுமே உருவாக்கப்பட்ட ஒரு அணி, இந்த எடுத்துக்காட்டில் சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ்: . விரிவாக்கப்பட்ட சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் - இது கணினியின் அதே மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசை, இந்த விஷயத்தில்: . சுருக்கத்திற்கு, எந்த மெட்ரிக்ஸையும் வெறுமனே அணி என்று அழைக்கலாம்.

நீட்டிக்கப்பட்ட கணினி மேட்ரிக்ஸ் எழுதப்பட்ட பிறகு, அதனுடன் சில செயல்களைச் செய்வது அவசியம், அவை என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன அடிப்படை மாற்றங்கள்.

பின்வரும் அடிப்படை மாற்றங்கள் உள்ளன:

1) சரங்கள்மெட்ரிக்குகள் முடியும் மறுசீரமைக்கவும்சில இடங்களில். எடுத்துக்காட்டாக, பரிசீலனையில் உள்ள மேட்ரிக்ஸில், நீங்கள் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசைகளை வலியின்றி மறுசீரமைக்கலாம்:

2) மேட்ரிக்ஸில் விகிதாசார (சிறப்பு நிகழ்வாக - ஒரே மாதிரியான) வரிசைகள் இருந்தால் (அல்லது தோன்றியிருந்தால்), நீங்கள் செய்ய வேண்டும் நீக்கவும்இந்த வரிசைகள் அனைத்தும் மேட்ரிக்ஸில் இருந்து ஒன்று தவிர. உதாரணமாக, மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள் . இந்த மேட்ரிக்ஸில், கடைசி மூன்று வரிசைகள் விகிதாசாரமாக உள்ளன, எனவே அவற்றில் ஒன்றை மட்டும் விட்டுவிட்டால் போதும்: .

3) உருமாற்றங்களின் போது மேட்ரிக்ஸில் பூஜ்ஜிய வரிசை தோன்றினால், அதுவும் இருக்க வேண்டும் நீக்கவும். நான் வரைய மாட்டேன், நிச்சயமாக, பூஜ்ஜியக் கோடு அதில் உள்ள கோடு அனைத்து பூஜ்ஜியங்கள்.

4) மேட்ரிக்ஸ் வரிசை இருக்கலாம் பெருக்கவும் (வகுக்கவும்)எந்த எண்ணுக்கும் பூஜ்யம் அல்லாத. உதாரணமாக, மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள். இங்கே முதல் வரியை –3 ஆல் வகுத்து, இரண்டாவது வரியை 2 ஆல் பெருக்குவது நல்லது: . இந்த செயல் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் இது மேட்ரிக்ஸின் மேலும் மாற்றங்களை எளிதாக்குகிறது.

5) இந்த மாற்றம் மிகவும் சிரமங்களை ஏற்படுத்துகிறது, ஆனால் உண்மையில் சிக்கலான ஒன்றும் இல்லை. மேட்ரிக்ஸின் ஒரு வரிசைக்கு உங்களால் முடியும் ஒரு எண்ணால் பெருக்கப்படும் மற்றொரு சரத்தைச் சேர்க்கவும், பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. எங்கள் மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள் நடைமுறை உதாரணம்: . முதலில் நான் மாற்றத்தை விரிவாக விவரிக்கிறேன். முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்கவும்: , மற்றும் இரண்டாவது வரியில் முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்குவோம்: . இப்போது முதல் வரியை “பின்” –2 ஆல் வகுக்க முடியும். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சேர்க்கப்பட்ட வரி LI – மாறவில்லை. எப்போதும்சேர்க்கப்படும் வரி மாறுகிறது UT.

நடைமுறையில், நிச்சயமாக, அவர்கள் அதை விரிவாக எழுதவில்லை, ஆனால் சுருக்கமாக எழுதுங்கள்: மீண்டும்: இரண்டாவது வரிக்கு முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்கியது. ஒரு வரி பொதுவாக வாய்வழியாக அல்லது வரைவில் பெருக்கப்படுகிறது, மனக் கணக்கீடு செயல்முறை இது போன்றது:

"நான் மேட்ரிக்ஸை மீண்டும் எழுதுகிறேன் மற்றும் முதல் வரியை மீண்டும் எழுதுகிறேன்: »

“முதல் நெடுவரிசை. கீழே நான் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற வேண்டும். எனவே, மேலே உள்ள ஒன்றை –2: ஆல் பெருக்கி, முதல் வரியை இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கிறேன்: 2 + (–2) = 0. முடிவை இரண்டாவது வரியில் எழுதுகிறேன்: »

“இப்போது இரண்டாவது பத்தி. மேலே, நான் -1 ஆல் -2: பெருக்குகிறேன். நான் முதல் வரியை இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கிறேன்: 1 + 2 = 3. முடிவை இரண்டாவது வரியில் எழுதுகிறேன்: »

"மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசை. மேலே நான் -5 ஐ -2 ஆல் பெருக்குகிறேன்: . நான் முதல் வரியை இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கிறேன்: –7 + 10 = 3. முடிவை இரண்டாவது வரியில் எழுதுகிறேன்: »

இந்த எடுத்துக்காட்டை கவனமாகப் புரிந்துகொண்டு, வரிசையான கணக்கீட்டு வழிமுறையைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள், இதை நீங்கள் புரிந்து கொண்டால், காஸியன் முறை நடைமுறையில் உங்கள் பாக்கெட்டில் உள்ளது. ஆனால், நிச்சயமாக, இந்த மாற்றத்தில் நாங்கள் இன்னும் வேலை செய்வோம்.

அடிப்படை மாற்றங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் தீர்வை மாற்றாது

! கவனம்: கையாளுதல்கள் கருதப்படுகிறது பயன்படுத்த முடியாது, மெட்ரிக்குகள் "அவர்களால்" வழங்கப்படும் ஒரு பணி உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டால். உதாரணமாக, "கிளாசிக்கல்" உடன் மெட்ரிக்குகளுடன் செயல்பாடுகள்எந்த சூழ்நிலையிலும் நீங்கள் மெட்ரிக்குகளுக்குள் எதையும் மறுசீரமைக்கக்கூடாது! நமது அமைப்புக்கு திரும்புவோம். இது நடைமுறையில் துண்டுகளாக எடுக்கப்படுகிறது.

கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதைக் குறைப்போம் படிநிலை பார்வை:

(1) முதல் வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, பெருக்கல் –2. மீண்டும்: ஏன் முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்குகிறோம்? கீழே பூஜ்ஜியத்தைப் பெற, அதாவது இரண்டாவது வரியில் ஒரு மாறியை அகற்றுவது.

(2) இரண்டாவது வரியை 3 ஆல் வகுக்கவும்.

அடிப்படை மாற்றங்களின் நோக்கம் – மேட்ரிக்ஸை படிப்படியாக படிவமாக குறைக்கவும்: . பணியின் வடிவமைப்பில், அவர்கள் "படிகளை" ஒரு எளிய பென்சிலால் குறிக்கிறார்கள், மேலும் "படிகளில்" அமைந்துள்ள எண்களை வட்டமிடுகிறார்கள். "படிக்காட்சி" என்ற சொல் முற்றிலும் தத்துவார்த்தமானது அல்ல, இது பெரும்பாலும் அறிவியல் மற்றும் கல்வி இலக்கியங்களில் அழைக்கப்படுகிறது trapezoidal பார்வைஅல்லது முக்கோண பார்வை.

அடிப்படை மாற்றங்களின் விளைவாக, நாங்கள் பெற்றோம் சமமானஅசல் சமன்பாடு அமைப்பு:

இப்போது கணினியை எதிர் திசையில் "அவிழ்க்க" வேண்டும் - கீழே இருந்து மேல், இந்த செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது காசியன் முறையின் தலைகீழ்.

குறைந்த சமன்பாட்டில் ஏற்கனவே ஒரு ஆயத்த முடிவு உள்ளது: .

கணினியின் முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டு, ஏற்கனவே அறியப்பட்ட "y" மதிப்பை மாற்றுவோம்:

காஸியன் முறையானது மூன்று அறியப்படாத மூன்று நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும் போது மிகவும் பொதுவான சூழ்நிலையைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதுவோம்:

தீர்வின் போது நாம் வரும் முடிவை இப்போது நான் உடனடியாக வரைகிறேன்: நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவதே எங்கள் குறிக்கோள். எங்கு தொடங்குவது?

முதலில், மேல் இடது எண்ணைப் பாருங்கள்: கிட்டத்தட்ட எப்போதும் இங்கே இருக்க வேண்டும் அலகு. பொதுவாகச் சொன்னால், –1 (மற்றும் சில நேரங்களில் மற்ற எண்கள்) செய்யும், ஆனால் எப்படியோ பாரம்பரியமாக ஒன்று வழக்கமாக அங்கு வைக்கப்படுகிறது. ஒரு யூனிட்டை எவ்வாறு ஒழுங்கமைப்பது? நாங்கள் முதல் நெடுவரிசையைப் பார்க்கிறோம் - எங்களிடம் முடிக்கப்பட்ட அலகு உள்ளது! மாற்றம் ஒன்று: முதல் மற்றும் மூன்றாவது வரிகளை மாற்றவும்:

இப்போது தீர்வு முடியும் வரை முதல் வரி மாறாமல் இருக்கும். இது ஏற்கனவே எளிதானது.

மேல் இடது மூலையில் உள்ள அலகு ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ளது. இப்போது நீங்கள் இந்த இடங்களில் பூஜ்ஜியங்களைப் பெற வேண்டும்:

"கடினமான" மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பூஜ்ஜியங்களைப் பெறுகிறோம். முதலில் நாம் இரண்டாவது வரியை (2, –1, 3, 13) கையாள்வோம். முதல் நிலையில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற என்ன செய்ய வேண்டும்? வேண்டும் இரண்டாவது வரியில் முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்கவும். மனரீதியாக அல்லது வரைவில், முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்கவும்: (–2, –4, 2, –18). நாங்கள் தொடர்ந்து (மீண்டும் மனரீதியாக அல்லது வரைவில்) கூடுதலாகச் செய்கிறோம், இரண்டாவது வரியில் நாம் முதல் வரியைச் சேர்க்கிறோம், ஏற்கனவே –2 ஆல் பெருக்கப்பட்டுள்ளது:

முடிவை இரண்டாவது வரியில் எழுதுகிறோம்:

மூன்றாவது வரியை நாங்கள் அதே வழியில் கையாளுகிறோம் (3, 2, -5, -1). முதல் நிலையில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற, உங்களுக்குத் தேவை மூன்றாவது வரியில் முதல் வரியை –3 ஆல் பெருக்கவும். மனரீதியாக அல்லது வரைவில், முதல் வரியை –3 ஆல் பெருக்கவும்: (–3, –6, 3, –27). மற்றும் மூன்றாவது வரியில் முதல் வரியை –3 ஆல் பெருக்குவோம்:

முடிவை மூன்றாவது வரியில் எழுதுகிறோம்:

நடைமுறையில், இந்த செயல்கள் பொதுவாக வாய்வழியாக செய்யப்படுகின்றன மற்றும் ஒரு படியில் எழுதப்படுகின்றன:

எல்லாவற்றையும் ஒரே நேரத்தில் எண்ண வேண்டிய அவசியமில்லை. கணக்கீடுகளின் வரிசை மற்றும் முடிவுகளை "எழுதுதல்" சீரானபொதுவாக இது இப்படித்தான் இருக்கும்: முதலில் நாம் முதல் வரியை மீண்டும் எழுதுகிறோம், மெதுவாக நம்மை நாமே கொப்பளிக்கிறோம் - தொடர்ந்து மற்றும் கவனத்துடன்:
மேலே உள்ள கணக்கீடுகளின் மன செயல்முறையை நான் ஏற்கனவே விவாதித்தேன்.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், இதைச் செய்வது எளிது; அதே நேரத்தில், மூன்றாவது வரியை –2 ஆல் வகுக்கிறோம், ஏனெனில் சிறிய எண்கள், எளிமையான தீர்வு:

அடிப்படை மாற்றங்களின் இறுதி கட்டத்தில், நீங்கள் இங்கே மற்றொரு பூஜ்ஜியத்தைப் பெற வேண்டும்:

இதற்கு மூன்றாவது வரியில் நாம் இரண்டாவது வரியை –2 ஆல் பெருக்குகிறோம்:
இந்த செயலை நீங்களே கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும் - மனதளவில் இரண்டாவது வரியை –2 ஆல் பெருக்கி, கூட்டலைச் செய்யவும்.

கடைசியாக நிகழ்த்தப்பட்ட செயல் முடிவின் சிகை அலங்காரம், மூன்றாவது வரியை 3 ஆல் வகுக்கவும்.

அடிப்படை மாற்றங்களின் விளைவாக, நேரியல் சமன்பாடுகளின் சமமான அமைப்பு பெறப்பட்டது: குளிர்.

இப்போது காஸியன் முறையின் தலைகீழ் நடைமுறைக்கு வருகிறது. சமன்பாடுகள் கீழிருந்து மேல் வரை "விரிந்து".

மூன்றாவது சமன்பாட்டில் ஏற்கனவே ஒரு தயாராக முடிவு உள்ளது:

இரண்டாவது சமன்பாட்டைப் பார்ப்போம்: . "zet" என்பதன் பொருள் ஏற்கனவே அறியப்பட்டுள்ளது, இவ்வாறு:

இறுதியாக, முதல் சமன்பாடு: . "Igrek" மற்றும் "zet" அறியப்படுகின்றன, இது சிறிய விஷயங்களின் விஷயம்:

பதில்:

மீண்டும் மீண்டும் குறிப்பிட்டுள்ளபடி, எந்தவொரு சமன்பாடு அமைப்புக்கும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வைச் சரிபார்க்க இது சாத்தியம் மற்றும் அவசியம், அதிர்ஷ்டவசமாக, இது எளிதானது மற்றும் விரைவானது.

எடுத்துக்காட்டு 2

இது ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு, இறுதி வடிவமைப்பின் மாதிரி மற்றும் பாடத்தின் முடிவில் ஒரு பதில்.

உங்கள் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் முடிவின் முன்னேற்றம்எனது முடிவு செயல்முறையுடன் ஒத்துப்போகாமல் இருக்கலாம், மேலும் இது காஸ் முறையின் அம்சமாகும். ஆனால் பதில்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும்!

எடுத்துக்காட்டு 3

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

மேல் இடது "படியை" பார்க்கிறோம். நாம் அங்கே ஒன்றை வைத்திருக்க வேண்டும். பிரச்சனை என்னவென்றால், முதல் நெடுவரிசையில் அலகுகள் எதுவும் இல்லை, எனவே வரிசைகளை மறுசீரமைப்பது எதையும் தீர்க்காது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், அலகு ஒரு அடிப்படை மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒழுங்கமைக்கப்பட வேண்டும். இது பொதுவாக பல வழிகளில் செய்யப்படலாம். நான் இதைச் செய்தேன்: (1) முதல் வரியில் நாம் இரண்டாவது வரியைச் சேர்க்கிறோம், அதை –1 ஆல் பெருக்குகிறோம். அதாவது, மனதளவில் இரண்டாவது வரியை –1 ஆல் பெருக்கி முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிகளைச் சேர்த்தோம், இரண்டாவது வரி மாறவில்லை.

இப்போது மேல் இடதுபுறத்தில் "மைனஸ் ஒன்" உள்ளது, இது எங்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது. +1 பெற விரும்பும் எவரும் கூடுதல் இயக்கத்தைச் செய்யலாம்: முதல் வரியை –1 ஆல் பெருக்கவும் (அதன் அடையாளத்தை மாற்றவும்).

(2) முதல் வரி 5 ஆல் பெருக்கப்பட்டது இரண்டாவது வரியில் முதல் வரி 3 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

(3) முதல் வரி -1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது, கொள்கையளவில், இது அழகுக்கானது. மூன்றாவது வரியின் அடையாளமும் மாற்றப்பட்டது மற்றும் அது இரண்டாவது இடத்திற்கு மாற்றப்பட்டது, இதனால் இரண்டாவது "படியில்" எங்களுக்கு தேவையான அலகு இருந்தது.

(4) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, 2 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

(5) மூன்றாவது வரி 3 ஆல் வகுக்கப்பட்டது.

கணக்கீடுகளில் பிழையைக் குறிக்கும் ஒரு மோசமான அறிகுறி (மிகவும் அரிதாக, எழுத்துப்பிழை) ஒரு "மோசமான" அடிப்பகுதி. அதாவது, கீழே, மற்றும், அதன்படி, நமக்கு ஏதாவது கிடைத்தால், , பின்னர் அதிக அளவு நிகழ்தகவுடன், அடிப்படை மாற்றங்களின் போது பிழை ஏற்பட்டது என்று கூறலாம்.

நாங்கள் தலைகீழ் கட்டணம் வசூலிக்கிறோம், எடுத்துக்காட்டுகளின் வடிவமைப்பில் அவை பெரும்பாலும் கணினியை மீண்டும் எழுதுவதில்லை, ஆனால் சமன்பாடுகள் "கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸிலிருந்து நேரடியாக எடுக்கப்படுகின்றன." தலைகீழ் பக்கவாதம், நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், கீழே இருந்து மேல் வேலை செய்கிறது. ஆம், இங்கே ஒரு பரிசு:

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 4

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

நீங்கள் சொந்தமாக தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு, இது சற்று சிக்கலானது. யாரேனும் குழம்பினால் பரவாயில்லை. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் மாதிரி வடிவமைப்பு. உங்கள் தீர்வு எனது தீர்விலிருந்து வேறுபட்டிருக்கலாம்.

கடைசி பகுதியில் காசியன் அல்காரிதத்தின் சில அம்சங்களைப் பார்ப்போம். முதல் அம்சம் என்னவென்றால், சில நேரங்களில் சில மாறிகள் கணினி சமன்பாடுகளில் காணவில்லை, எடுத்துக்காட்டாக: நீட்டிக்கப்பட்ட கணினி மேட்ரிக்ஸை எவ்வாறு சரியாக எழுதுவது? நான் ஏற்கனவே வகுப்பில் இதைப் பற்றி பேசினேன். கிராமர் விதி. மேட்ரிக்ஸ் முறை. கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸில், விடுபட்ட மாறிகளுக்கு பதிலாக பூஜ்ஜியங்களை வைக்கிறோம்: முதல் நெடுவரிசையில் ஏற்கனவே ஒரு பூஜ்ஜியம் இருப்பதால், இது மிகவும் எளிதான உதாரணம்.

இரண்டாவது அம்சம் இது. கருதப்பட்ட அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளிலும், "படிகளில்" -1 அல்லது +1 ஐ வைத்தோம். வேறு எண்கள் இருக்க முடியுமா? சில சந்தர்ப்பங்களில் அவர்களால் முடியும். அமைப்பைக் கவனியுங்கள்: .

இங்கே மேல் இடது "படியில்" நமக்கு இரண்டு உள்ளது. ஆனால் முதல் நெடுவரிசையில் உள்ள அனைத்து எண்களும் மீதி இல்லாமல் 2 ஆல் வகுபடும் - மற்றொன்று இரண்டு மற்றும் ஆறு என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். மற்றும் மேல் இடது இரண்டு எங்களுக்கு பொருந்தும்! முதல் கட்டத்தில், நீங்கள் பின்வரும் மாற்றங்களைச் செய்ய வேண்டும்: முதல் வரியை –1 ஆல் பெருக்கி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கவும்; மூன்றாவது வரியில் முதல் வரியை –3 ஆல் பெருக்கவும். எனவே நாம் பெறுகிறோம் தேவையான பூஜ்ஜியங்கள்முதல் பத்தியில்.

அல்லது மற்றொரு வழக்கமான உதாரணம்: . இங்கே இரண்டாவது “படியில்” உள்ள மூன்றும் நமக்குப் பொருந்தும், ஏனெனில் 12 (நாம் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற வேண்டிய இடம்) மீதி இல்லாமல் 3 ஆல் வகுபடும். பின்வரும் மாற்றத்தை மேற்கொள்ள வேண்டியது அவசியம்: மூன்றாவது வரியில் இரண்டாவது வரியைச் சேர்க்கவும், -4 ஆல் பெருக்கவும், இதன் விளைவாக நமக்குத் தேவையான பூஜ்ஜியம் பெறப்படும்.

காஸின் முறை உலகளாவியது, ஆனால் ஒரு தனித்தன்மை உள்ளது. பிற முறைகளைப் பயன்படுத்தி கணினிகளைத் தீர்க்க நீங்கள் நம்பிக்கையுடன் கற்றுக்கொள்ளலாம் (க்ரேமர் முறை, மேட்ரிக்ஸ் முறை) உண்மையில் முதல் முறையாக - அவை மிகவும் கண்டிப்பான வழிமுறையைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் காஸியன் முறையில் நம்பிக்கையை உணர, நீங்கள் "உங்கள் பற்கள்" மற்றும் குறைந்தது 5-10 பத்து அமைப்புகளை தீர்க்க வேண்டும். எனவே, முதலில் கணக்கீடுகளில் குழப்பம் மற்றும் பிழைகள் இருக்கலாம், இதில் அசாதாரணமான அல்லது சோகமான எதுவும் இல்லை.

ஜன்னலுக்கு வெளியே மழை பெய்யும் இலையுதிர் காலநிலை.... எனவே, மேலும் விரும்பும் அனைவருக்கும் சிக்கலான உதாரணம்சுயாதீன தீர்வுக்கு:

எடுத்துக்காட்டு 5

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நான்கு தெரியாதவற்றுடன் 4 நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

அத்தகைய பணி நடைமுறையில் மிகவும் அரிதானது அல்ல. இந்தப் பக்கத்தை முழுமையாகப் படித்த ஒரு டீபாட் கூட அத்தகைய அமைப்பை உள்ளுணர்வாகத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையைப் புரிந்துகொள்வார் என்று நினைக்கிறேன். அடிப்படையில், எல்லாம் ஒன்றுதான் - இன்னும் பல செயல்கள் உள்ளன.

கணினியில் தீர்வுகள் இல்லாத (சீரற்ற) அல்லது எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும் சந்தர்ப்பங்கள் பாடத்தில் விவாதிக்கப்படுகின்றன. பொதுவான தீர்வுடன் பொருந்தாத அமைப்புகள் மற்றும் அமைப்புகள். காஸியன் முறையின் கருதப்பட்ட அல்காரிதத்தை அங்கு நீங்கள் சரிசெய்யலாம்.

வெற்றி பெற வாழ்த்துகிறேன்!

தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 2: தீர்வு : கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்.
அடிப்படை மாற்றங்கள் நிகழ்த்தப்பட்டன: (1) முதல் வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, பெருக்கல் –2. முதல் வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, -1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. கவனம்! இங்கே நீங்கள் மூன்றாவது வரியிலிருந்து முதலில் கழிக்க ஆசைப்படலாம், அதைக் கழிக்க வேண்டாம் என்று நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன் - பிழையின் ஆபத்து பெரிதும் அதிகரிக்கிறது. அதை மடியுங்கள்! (2) இரண்டாவது வரியின் அடையாளம் மாற்றப்பட்டது (–1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது). இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிகள் மாற்றப்பட்டுள்ளன. தயவுசெய்து கவனிக்கவும் , "படிகளில்" நாங்கள் ஒன்றில் மட்டும் திருப்தி அடைகிறோம், ஆனால் -1, இன்னும் வசதியானது. (3) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, 5 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. (4) இரண்டாவது வரியின் அடையாளம் மாற்றப்பட்டது (–1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது). மூன்றாவது வரி 14 ஆல் வகுக்கப்பட்டது.

தலைகீழ்:

பதில் : .

எடுத்துக்காட்டு 4: தீர்வு : கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

நிகழ்த்தப்பட்ட மாற்றங்கள்: (1) முதல் வரியில் இரண்டாவது வரி சேர்க்கப்பட்டது. எனவே, விரும்பிய அலகு மேல் இடது "படியில்" ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ளது. (2) முதல் வரி 7 ஆல் பெருக்கப்பட்டது இரண்டாவது வரியில் முதல் வரி 6 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

இரண்டாவது "படி" மூலம் எல்லாம் மோசமாகிறது , அதற்கான "வேட்பாளர்கள்" எண்கள் 17 மற்றும் 23 ஆகும், மேலும் நமக்கு ஒன்று அல்லது -1 தேவை. மாற்றங்கள் (3) மற்றும் (4) விரும்பிய அலகு பெறுவதை நோக்கமாகக் கொண்டிருக்கும் (3) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியுடன் சேர்க்கப்பட்டது, அது –1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. (4) மூன்றாவது வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, அது –3 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. இரண்டாவது படியில் தேவையான பொருள் பெறப்பட்டது. . (5) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியுடன் சேர்க்கப்பட்டு, 6 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. (6) இரண்டாவது வரி –1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது, மூன்றாவது வரி -83 ஆல் வகுக்கப்பட்டது.

தலைகீழ்:

பதில் :

எடுத்துக்காட்டு 5: தீர்வு : கணினியின் மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

நிகழ்த்தப்பட்ட மாற்றங்கள்: (1) முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிகள் மாற்றப்பட்டுள்ளன. (2) முதல் வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, பெருக்கல் –2. முதல் வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, -2 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. முதல் வரி நான்காவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது -3 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. (3) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, 4 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. இரண்டாவது வரி நான்காவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, -1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. (4) இரண்டாவது வரியின் அடையாளம் மாற்றப்பட்டது. நான்காவது வரி 3 ஆல் வகுக்கப்பட்டது மற்றும் மூன்றாவது வரியின் இடத்தில் வைக்கப்பட்டது. (5) மூன்றாவது வரி நான்காவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, அது –5 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

தலைகீழ்:

பதில் :

நேரியல் சமன்பாடுகளின் இரண்டு அமைப்புகள் அவற்றின் அனைத்து தீர்வுகளின் தொகுப்பும் இணைந்தால் அவை சமமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் அடிப்படை மாற்றங்கள்:

1. கணினியிலிருந்து அற்பமான சமன்பாடுகளை நீக்குதல், அதாவது. அனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமானவை;
2. எந்த சமன்பாட்டையும் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் பெருக்குதல்;
3. எந்த i-th சமன்பாட்டிலும் எந்த ஒரு j-th சமன்பாட்டை எந்த எண்ணாலும் பெருக்கினால்.

இந்த மாறி அனுமதிக்கப்படாவிட்டால் x i மாறி இலவசம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஆனால் முழு சமன்பாடு அமைப்பும் அனுமதிக்கப்படுகிறது.

தேற்றம். அடிப்படை மாற்றங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை சமமான ஒன்றாக மாற்றுகின்றன.

காஸியன் முறையின் நோக்கம் மாற்றுவதாகும் அசல் அமைப்புசமன்பாடுகள் மற்றும் சமமான தீர்க்கப்பட்ட அல்லது சமமான சீரற்ற அமைப்பைப் பெறுதல்.

எனவே, காஸியன் முறை பின்வரும் படிகளைக் கொண்டுள்ளது:

1. முதல் சமன்பாட்டைப் பார்ப்போம். முதல் பூஜ்ஜியமற்ற குணகத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து முழு சமன்பாட்டையும் பிரிப்போம். 1 இன் குணகத்துடன் சில மாறி x i உள்ளிடும் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்;
2. இந்த சமன்பாட்டை மற்ற எல்லாவற்றிலிருந்தும் கழிப்போம், மீதமுள்ள சமன்பாடுகளில் x i மாறியின் குணகங்கள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போன்ற எண்களால் பெருக்கலாம். x i மாறி மற்றும் அசல் ஒன்றிற்கு சமமான முறையில் தீர்க்கப்பட்ட அமைப்பைப் பெறுகிறோம்;
3. அற்பமான சமன்பாடுகள் எழுந்தால் (அரிதாக, ஆனால் அது நடக்கும்; எடுத்துக்காட்டாக, 0 = 0), நாம் அவற்றை கணினிக்கு வெளியே கடக்கிறோம். இதன் விளைவாக, ஒரு குறைவான சமன்பாடுகள் உள்ளன;
4. முந்தைய படிகளை n முறைக்கு மேல் மீண்டும் செய்வோம், n என்பது கணினியில் உள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை. ஒவ்வொரு முறையும் "செயலாக்கத்திற்கு" ஒரு புதிய மாறியைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். சீரற்ற சமன்பாடுகள் எழுந்தால் (உதாரணமாக, 0 = 8), கணினி சீரற்றதாக இருக்கும்.

இதன் விளைவாக, சில படிகளுக்குப் பிறகு நாம் ஒரு தீர்க்கப்பட்ட அமைப்பு (இலவச மாறிகள் மூலம்) அல்லது சீரற்ற ஒன்றைப் பெறுவோம். அனுமதிக்கப்பட்ட அமைப்புகள் இரண்டு நிகழ்வுகளாகும்:

1. மாறிகளின் எண்ணிக்கை சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். இதன் பொருள் அமைப்பு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது;
2. மாறிகளின் எண்ணிக்கை சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையை விட அதிகமாக உள்ளது. வலதுபுறத்தில் உள்ள அனைத்து இலவச மாறிகளையும் நாங்கள் சேகரிக்கிறோம் - அனுமதிக்கப்பட்ட மாறிகளுக்கான சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம். இந்த சூத்திரங்கள் பதிலில் எழுதப்பட்டுள்ளன.

அவ்வளவுதான்! நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு தீர்க்கப்பட்டது! இது மிகவும் எளிமையான வழிமுறையாகும், மேலும் இதில் தேர்ச்சி பெற நீங்கள் உயர் கணித ஆசிரியரைத் தொடர்பு கொள்ள வேண்டியதில்லை. ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

பணி. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

படிகளின் விளக்கம்:

1. இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது இலிருந்து முதல் சமன்பாட்டை கழிக்கவும் - அனுமதிக்கப்பட்ட மாறி x 1 ஐப் பெறுகிறோம்;
2. நாம் இரண்டாவது சமன்பாட்டை (−1) ஆல் பெருக்குகிறோம், மேலும் மூன்றாவது சமன்பாட்டை (-3) ஆல் வகுக்கிறோம் - இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம், அதில் மாறி x 2 1 குணகத்துடன் நுழைகிறது;
3. இரண்டாவது சமன்பாட்டை முதல் சமன்பாட்டுடன் சேர்த்து, மூன்றாவது சமன்பாட்டைக் கழிக்கிறோம். அனுமதிக்கப்பட்ட மாறி x 2 ஐப் பெறுகிறோம்;
4. இறுதியாக, மூன்றாவது சமன்பாட்டை முதலில் இருந்து கழிக்கிறோம் - அனுமதிக்கப்பட்ட மாறி x 3 ஐப் பெறுகிறோம்;
5. நாங்கள் அங்கீகரிக்கப்பட்ட அமைப்பைப் பெற்றுள்ளோம், பதிலை எழுதுங்கள்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே நேரத்தில் அமைப்பிற்கான பொதுவான தீர்வு புதிய அமைப்பு, அசல் ஒன்றுக்கு சமமானது, இதில் அனுமதிக்கப்பட்ட அனைத்து மாறிகளும் இலவசங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன.

உங்களுக்கு எப்போது தேவைப்படலாம் பொதுவான தீர்வு? நீங்கள் k ஐ விட குறைவான படிகளைச் செய்ய வேண்டியிருந்தால் (k என்பது எத்தனை சமன்பாடுகள் உள்ளன). இருப்பினும், செயல்முறை சில படிகளில் முடிவதற்கான காரணங்கள் l< k , может быть две:

1. Lth படிக்குப் பிறகு, எண்ணுடன் (l + 1) சமன்பாடு இல்லாத அமைப்பைப் பெற்றோம். உண்மையில், இது நல்லது, ஏனென்றால் ... அங்கீகரிக்கப்பட்ட அமைப்பு இன்னும் பெறப்பட்டுள்ளது - சில படிகளுக்கு முன்பே.
2. Lth படிக்குப் பிறகு, மாறிகளின் அனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெற்றோம், மேலும் இலவச குணகம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. இது ஒரு முரண்பாடான சமன்பாடு, எனவே, அமைப்பு சீரற்றது.

காசியன் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு சீரற்ற சமன்பாடு தோன்றுவது, சீரற்ற தன்மைக்கு போதுமான அடிப்படை என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டியது அவசியம். அதே நேரத்தில், எல் வது படியின் விளைவாக, அற்பமான சமன்பாடுகள் எதுவும் இருக்க முடியாது என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம் - அவை அனைத்தும் செயல்பாட்டில் சரியாகக் கடக்கப்படுகின்றன.

படிகளின் விளக்கம்:

1. இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து 4 ஆல் பெருக்கப்படும் முதல் சமன்பாட்டை கழிக்கவும். முதல் சமன்பாட்டை மூன்றாவது சமன்பாட்டுடன் சேர்க்கிறோம் - அனுமதிக்கப்பட்ட மாறி x 1 ஐப் பெறுகிறோம்;
2. இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் மூன்றாவது சமன்பாட்டைக் கழிக்கவும் - முரண்பாடான சமன்பாடு 0 = -5 ஐப் பெறுகிறோம்.

எனவே, சீரற்ற சமன்பாடு கண்டுபிடிக்கப்பட்டதால், அமைப்பு சீரற்றதாக உள்ளது.

பணி. இணக்கத்தன்மையை ஆராய்ந்து, கணினிக்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்:

படிகளின் விளக்கம்:

1. முதல் சமன்பாட்டை இரண்டாவது (இரண்டால் பெருக்கிய பிறகு) மற்றும் மூன்றாவது - அனுமதிக்கப்பட்ட மாறி x 1 ஐப் பெறுகிறோம்;
2. மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கழிக்கவும். இந்த சமன்பாடுகளில் உள்ள அனைத்து குணகங்களும் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், மூன்றாவது சமன்பாடு அற்பமாகிவிடும். அதே நேரத்தில், இரண்டாவது சமன்பாட்டை (−1) ஆல் பெருக்கவும்;
3. முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து இரண்டாவது கழிக்கவும் - நாம் அனுமதிக்கப்பட்ட மாறி x 2 ஐப் பெறுகிறோம். சமன்பாடுகளின் முழு அமைப்பும் இப்போது தீர்க்கப்பட்டது;
4. x 3 மற்றும் x 4 மாறிகள் இலவசம் என்பதால், அனுமதிக்கப்பட்ட மாறிகளை வெளிப்படுத்த அவற்றை வலதுபுறமாக நகர்த்துகிறோம். இதுதான் பதில்.

எனவே, இரண்டு அனுமதிக்கப்பட்ட மாறிகள் (x 1 மற்றும் x 2) மற்றும் இரண்டு இலவசம் (x 3 மற்றும் x 4) இருப்பதால், கணினி சீரானது மற்றும் உறுதியற்றது.

இந்த கட்டுரையில், இந்த முறை நேரியல் சமன்பாடுகளின் (SLAEs) அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையாகக் கருதப்படுகிறது. முறை பகுப்பாய்வு ஆகும், அதாவது, இது ஒரு தீர்வு வழிமுறையை எழுத உங்களை அனுமதிக்கிறது பொதுவான பார்வை, பின்னர் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து மதிப்புகளை மாற்றவும். மேட்ரிக்ஸ் முறை அல்லது க்ரேமரின் சூத்திரங்களைப் போலல்லாமல், காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும்போது, ​​எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டவர்களுடனும் நீங்கள் வேலை செய்யலாம். அல்லது அவர்களிடம் அது இல்லை.

காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்வு காண்பது என்றால் என்ன?

முதலில், நாம் நமது சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுத வேண்டும். இது போல் தெரிகிறது. அமைப்பை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:

குணகங்கள் அட்டவணையின் வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன, மேலும் இலவச விதிமுறைகள் வலதுபுறத்தில் ஒரு தனி நெடுவரிசையில் எழுதப்பட்டுள்ளன. இலவச விதிமுறைகளுடன் கூடிய நெடுவரிசை வசதிக்காக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, இந்த நெடுவரிசையை உள்ளடக்கிய அணி நீட்டிக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது.

அடுத்து, குணகங்களைக் கொண்ட முக்கிய அணி மேல் முக்கோண வடிவமாகக் குறைக்கப்பட வேண்டும். காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய புள்ளி இதுவாகும். எளிமையாகச் சொன்னால், சில கையாளுதல்களுக்குப் பிறகு, மேட்ரிக்ஸ் அதன் கீழ் இடது பகுதியில் பூஜ்ஜியங்களை மட்டுமே கொண்டிருக்க வேண்டும்:

பின்னர், புதிய மேட்ரிக்ஸை மீண்டும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக எழுதினால், கடைசி வரிசையில் ஏற்கனவே வேர்களில் ஒன்றின் மதிப்பைக் கொண்டிருப்பதை நீங்கள் கவனிப்பீர்கள், அது மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் மாற்றப்படுகிறது, மற்றொரு ரூட் காணப்படுகிறது, மற்றும் பல.

இது காஸியன் முறையின் மூலம் தீர்வுக்கான விளக்கமாகும் பொதுவான அவுட்லைன். திடீரென்று கணினியில் தீர்வு இல்லை என்றால் என்ன நடக்கும்? அல்லது அவற்றில் எண்ணற்ற பல உள்ளனவா? இந்த மற்றும் பல கேள்விகளுக்கு பதிலளிக்க, காஸியன் முறையைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படும் அனைத்து கூறுகளையும் தனித்தனியாகக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்.

மெட்ரிக்குகள், அவற்றின் பண்புகள்

இல்லை மறைக்கப்பட்ட பொருள்அணியில் இல்லை. இது எளிமையானது வசதியான வழிஅவர்களுடன் அடுத்தடுத்த செயல்பாடுகளுக்கான தரவை பதிவு செய்தல். பள்ளிக் குழந்தைகள் கூட அவர்களுக்கு பயப்படத் தேவையில்லை.

அணி எப்போதும் செவ்வகமாக இருக்கும், ஏனெனில் இது மிகவும் வசதியானது. காஸ் முறையில் கூட, ஒரு முக்கோண வடிவத்தின் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவதற்கு எல்லாம் கீழே வரும், எண்கள் இல்லாத இடத்தில் பூஜ்ஜியங்களுடன் மட்டுமே ஒரு செவ்வகம் நுழைவில் தோன்றும். பூஜ்ஜியங்கள் எழுதப்படாமல் இருக்கலாம், ஆனால் அவை குறிக்கப்படுகின்றன.

அணிக்கு ஒரு அளவு உள்ளது. அதன் "அகலம்" என்பது வரிசைகளின் எண்ணிக்கை (மீ), "நீளம்" என்பது நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை (n). பின்னர் அணி A இன் அளவு (பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்கள் பொதுவாக அவற்றைக் குறிக்கப் பயன்படுகின்றன) A m×n எனக் குறிக்கப்படும். m=n எனில், இந்த அணி சதுரம், m=n என்பது அதன் வரிசை. அதன்படி, அணி A இன் எந்த உறுப்பும் அதன் வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை எண்களால் குறிக்கப்படலாம்: a xy ; x - வரிசை எண், மாற்றங்கள், y - நெடுவரிசை எண், மாற்றங்கள்.

பி முடிவின் முக்கிய புள்ளி அல்ல. கொள்கையளவில், அனைத்து செயல்பாடுகளும் சமன்பாடுகளுடன் நேரடியாக செய்யப்படலாம், ஆனால் குறியீடு மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கும், மேலும் அதில் குழப்பமடைவது மிகவும் எளிதாக இருக்கும்.

தீர்மானிப்பவர்

மேட்ரிக்ஸில் ஒரு தீர்மானிப்பான் உள்ளது. இது மிகவும் முக்கியமான பண்பு. அதன் அர்த்தத்தை இப்போது கண்டுபிடிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, அது எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது என்பதை நீங்கள் வெறுமனே காட்டலாம், பின்னர் அது என்ன மேட்ரிக்ஸின் பண்புகளை தீர்மானிக்கிறது. மூலைவிட்டங்கள் மூலம் தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான எளிதான வழி. மேட்ரிக்ஸில் கற்பனை மூலைவிட்டங்கள் வரையப்படுகின்றன; அவை ஒவ்வொன்றிலும் அமைந்துள்ள கூறுகள் பெருக்கப்படுகின்றன, அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகள் சேர்க்கப்படுகின்றன: வலதுபுறம் சாய்வுடன் கூடிய மூலைவிட்டங்கள் - ஒரு பிளஸ் அடையாளத்துடன், இடதுபுறம் ஒரு சாய்வுடன் - ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன்.

ஒரு சதுர அணிக்கு மட்டுமே தீர்மானிப்பான் கணக்கிடப்பட முடியும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். க்கு செவ்வக அணிநீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்யலாம்: வரிசைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கையிலிருந்து, சிறியதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் (அது k ஆக இருக்கட்டும்), பின்னர் மேட்ரிக்ஸில் k நெடுவரிசைகள் மற்றும் k வரிசைகளை தோராயமாக குறிக்கவும். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நெடுவரிசைகள் மற்றும் வரிசைகளின் குறுக்குவெட்டில் அமைந்துள்ள உறுப்புகள் புதியவை உருவாக்கும் சதுர அணி. அத்தகைய மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணாக இருந்தால், அது அசல் செவ்வக மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படை சிறியது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கத் தொடங்குவதற்கு முன், தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவது வலிக்காது. இது பூஜ்ஜியமாக மாறினால், மேட்ரிக்ஸில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன அல்லது எதுவும் இல்லை என்று உடனடியாகச் சொல்லலாம். அத்தகைய சோகமான விஷயத்தில், நீங்கள் மேலும் சென்று மேட்ரிக்ஸின் தரத்தைப் பற்றி கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

அமைப்பு வகைப்பாடு

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை போன்ற ஒரு விஷயம் உள்ளது. இது அதன் பூஜ்ஜியமற்ற தீர்மானியின் அதிகபட்ச வரிசையாகும் (பற்றி நாம் நினைவில் வைத்திருந்தால் அடிப்படை சிறிய, மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை சிறிய அடிப்படையின் வரிசை என்று நாம் கூறலாம்).

தரவரிசையில் உள்ள சூழ்நிலையின் அடிப்படையில், SLAE ஐ பின்வருமாறு பிரிக்கலாம்:

• கூட்டு. யுகூட்டு அமைப்புகளில், முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை (குணக்கணிப்புகளை மட்டுமே கொண்டது) நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்துடன் (இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசையுடன்) ஒத்துப்போகிறது. இத்தகைய அமைப்புகளுக்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது, ஆனால் அவசியமில்லை, எனவே கூட்டு அமைப்புகள் கூடுதலாக பிரிக்கப்படுகின்றன:
• - உறுதி- ஒரே தீர்வு. சில அமைப்புகளில், மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க் மற்றும் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கை (அல்லது நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை, இது ஒன்றுதான்) சமமாக இருக்கும்;
• - வரையறுக்கப்படாத -எண்ணற்ற தீர்வுகளுடன். அத்தகைய அமைப்புகளில் உள்ள மெட்ரிக்குகளின் தரவரிசை தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக உள்ளது.
• பொருந்தாதது. யுஇத்தகைய அமைப்புகளில், முக்கிய மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட மெட்ரிக்குகளின் தரவரிசைகள் ஒத்துப்போவதில்லை. இணக்கமற்ற அமைப்புகளுக்கு தீர்வு இல்லை.

காஸ் முறை நல்லது, ஏனெனில் தீர்வின் போது அது கணினியின் சீரற்ற தன்மைக்கான (பெரிய மெட்ரிக்குகளை நிர்ணயிப்பதைக் கணக்கிடாமல்) ஒரு தெளிவான ஆதாரத்தைப் பெற அனுமதிக்கிறது.

அடிப்படை மாற்றங்கள்

கணினியைத் தீர்ப்பதற்கு நேரடியாகச் செல்வதற்கு முன், நீங்கள் அதை குறைவான சிக்கலானதாகவும் கணக்கீடுகளுக்கு மிகவும் வசதியாகவும் செய்யலாம். இது அடிப்படை மாற்றங்களின் மூலம் அடையப்படுகிறது - அவற்றின் செயலாக்கம் இறுதிப் பதிலை எந்த வகையிலும் மாற்றாது. கொடுக்கப்பட்ட சில அடிப்படை மாற்றங்கள் மெட்ரிக்குகளுக்கு மட்டுமே செல்லுபடியாகும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், அதன் ஆதாரம் SLAE ஆகும். இந்த மாற்றங்களின் பட்டியல் இங்கே:

1. சரங்களை மறுசீரமைத்தல். வெளிப்படையாக, நீங்கள் கணினி பதிவில் சமன்பாடுகளின் வரிசையை மாற்றினால், இது எந்த வகையிலும் தீர்வை பாதிக்காது. இதன் விளைவாக, இந்த அமைப்பின் மேட்ரிக்ஸில் இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசையை மறந்துவிடாமல், வரிசைகளை மாற்றவும் முடியும்.
2. ஒரு சரத்தின் அனைத்து கூறுகளையும் ஒரு குறிப்பிட்ட குணகத்தால் பெருக்குதல். மிகவும் பயனுள்ளது! அதை சுருக்கவும் பயன்படுத்தலாம் பெரிய எண்கள்அணியில் அல்லது பூஜ்ஜியங்களை நீக்கவும். பல முடிவுகள், வழக்கம் போல், மாறாது, ஆனால் மேலும் செயல்பாடுகள் மிகவும் வசதியாக மாறும். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், குணகம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை.
3. விகிதாசார காரணிகளுடன் வரிசைகளை அகற்றுதல். இது முந்தைய பத்தியிலிருந்து ஓரளவு பின்பற்றப்படுகிறது. ஒரு மேட்ரிக்ஸில் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வரிசைகள் விகிதாசார குணகங்களைக் கொண்டிருந்தால், வரிசைகளில் ஒன்றை விகிதாசார குணகத்தால் பெருக்கும்போது/வகுத்தால், இரண்டு (அல்லது, மீண்டும், மேலும்) முற்றிலும் ஒரே மாதிரியான வரிசைகள் பெறப்படுகின்றன, மேலும் கூடுதல் வரிசைகளை அகற்றலாம். ஒரே ஒரு.
4. பூஜ்ய கோட்டை நீக்குகிறது. மாற்றத்தின் போது, ​​ஒரு வரிசை எங்காவது பெறப்பட்டால், அதில் இலவச சொல் உட்பட அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அத்தகைய வரிசையை பூஜ்ஜியம் என்று அழைக்கலாம் மற்றும் மேட்ரிக்ஸிலிருந்து வெளியேற்றலாம்.
5. ஒரு வரிசையின் உறுப்புகளுடன் மற்றொரு வரிசையின் உறுப்புகளைச் சேர்ப்பது (தொடர்புடைய நெடுவரிசைகளில்), ஒரு குறிப்பிட்ட குணகத்தால் பெருக்கப்படுகிறது. எல்லாவற்றிலும் மிகவும் வெளிப்படையான மற்றும் மிக முக்கியமான மாற்றம். அதை இன்னும் விரிவாக வாழ்வது மதிப்பு.

ஒரு சரத்தை ஒரு காரணியால் பெருக்குதல்

புரிந்துகொள்வதற்கு எளிதாக, இந்த செயல்முறையை படிப்படியாக உடைப்பது மதிப்பு. மேட்ரிக்ஸிலிருந்து இரண்டு வரிசைகள் எடுக்கப்பட்டன:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

"-2" என்ற குணகத்தால் பெருக்கப்படும், இரண்டாவதாக முதலில் சேர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

பின்னர் மேட்ரிக்ஸில் இரண்டாவது வரிசை புதியதாக மாற்றப்பட்டு, முதலாவது மாறாமல் இருக்கும்.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

இரண்டு வரிசைகளைச் சேர்ப்பதன் விளைவாக, புதிய வரிசையின் உறுப்புகளில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் வகையில் பெருக்கல் குணகம் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். எனவே, அறியப்படாத ஒன்று இருக்கும் ஒரு அமைப்பில் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெற முடியும். நீங்கள் இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெற்றால், செயல்பாட்டை மீண்டும் செய்யலாம் மற்றும் இரண்டு குறைவான அறியப்படாதவற்றைக் கொண்டிருக்கும் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறலாம். ஒவ்வொரு முறையும் அசல் ஒன்றிற்குக் கீழே உள்ள அனைத்து வரிசைகளுக்கும் ஒரு குணகத்தை பூஜ்ஜியமாக மாற்றினால், நீங்கள் படிக்கட்டுகளைப் போல, மேட்ரிக்ஸின் மிகக் கீழே சென்று, தெரியாத ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறலாம். இது காசியன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்பது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பொதுவாக

ஒரு அமைப்பு இருக்கட்டும். இது மீ சமன்பாடுகள் மற்றும் n அறியப்படாத வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. நீங்கள் அதை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

முக்கிய அணி கணினி குணகங்களிலிருந்து தொகுக்கப்படுகிறது. இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸில் சேர்க்கப்படுகிறது, மேலும் வசதிக்காக, ஒரு வரியால் பிரிக்கப்படுகிறது.

• மேட்ரிக்ஸின் முதல் வரிசை k = (-a 21 /a 11) குணகத்தால் பெருக்கப்படுகிறது;
• மேட்ரிக்ஸின் முதல் மாற்றியமைக்கப்பட்ட வரிசையும் இரண்டாவது வரிசையும் சேர்க்கப்படுகின்றன;
• இரண்டாவது வரிசைக்கு பதிலாக, முந்தைய பத்தியிலிருந்து சேர்த்ததன் முடிவு மேட்ரிக்ஸில் செருகப்படுகிறது;
• இப்போது புதிய இரண்டாவது வரிசையில் முதல் குணகம் 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 ஆகும்.

இப்போது அதே தொடர் மாற்றங்கள் செய்யப்படுகின்றன, முதல் மற்றும் மூன்றாவது வரிசைகள் மட்டுமே ஈடுபட்டுள்ளன. அதன்படி, அல்காரிதத்தின் ஒவ்வொரு படியிலும், உறுப்பு a 21 ஆனது 31 ஆல் மாற்றப்படுகிறது. பின்னர் எல்லாம் ஒரு 41, ... ஒரு m1 க்கு மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரிசைகளில் முதல் உறுப்பு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் அணி. இப்போது நீங்கள் வரி எண் ஒன்றை மறந்துவிட்டு, வரி இரண்டிலிருந்து தொடங்கி அதே வழிமுறையைச் செய்ய வேண்டும்:

• குணகம் k = (-a 32 /a 22);
• இரண்டாவது மாற்றியமைக்கப்பட்ட வரி "தற்போதைய" வரியில் சேர்க்கப்பட்டது;
• கூட்டலின் முடிவு மூன்றாவது, நான்காவது மற்றும் பல வரிகளில் மாற்றப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் முதல் மற்றும் இரண்டாவது மாறாமல் இருக்கும்;
• மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளில் முதல் இரண்டு கூறுகள் ஏற்கனவே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக உள்ளன.

குணகம் k = (-a m,m-1 /a mm) தோன்றும் வரை அல்காரிதம் மீண்டும் செய்யப்பட வேண்டும். இதன் பொருள் in கடந்த முறைஅல்காரிதம் குறைந்த சமன்பாட்டிற்கு மட்டுமே செய்யப்பட்டது. இப்போது அணி ஒரு முக்கோணம் போல் தெரிகிறது, அல்லது ஒரு படி வடிவம் உள்ளது. கீழ் வரியில் ஒரு mn × x n = b m சமத்துவம் உள்ளது. குணகம் மற்றும் இலவச சொல் அறியப்படுகிறது, மேலும் ரூட் அவற்றின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது: x n = b m /a mn. இதன் விளைவாக வரும் ரூட் x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 ஐக் கண்டறிய மேல் வரியில் மாற்றப்படுகிறது. ஒப்புமை மூலம்: ஒவ்வொரு அடுத்த வரியிலும் ஒரு புதிய ரூட் உள்ளது, மேலும், கணினியின் "மேல்" அடைந்து, நீங்கள் பல தீர்வுகளைக் காணலாம். அது மட்டும்தான் இருக்கும்.

தீர்வுகள் இல்லாத போது

மேட்ரிக்ஸ் வரிசைகளில் ஒன்றில் இலவச காலத்தைத் தவிர அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், இந்த வரிசையுடன் தொடர்புடைய சமன்பாடு 0 = b போல் தெரிகிறது. அதற்கு தீர்வு இல்லை. அத்தகைய சமன்பாடு அமைப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதால், முழு அமைப்பின் தீர்வுகளின் தொகுப்பு காலியாக உள்ளது, அதாவது அது சீரழிந்தது.

எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருக்கும்போது

கொடுக்கப்பட்ட முக்கோண மேட்ரிக்ஸில் சமன்பாட்டின் ஒரு குணக உறுப்பு மற்றும் ஒரு இலவச காலத்துடன் வரிசைகள் இல்லை. மீண்டும் எழுதப்படும் போது, ​​இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடு போல் இருக்கும் வரிகள் மட்டுமே உள்ளன. இதன் பொருள் கணினியில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன. இந்த வழக்கில், பதில் ஒரு பொதுவான தீர்வு வடிவத்தில் கொடுக்கப்படலாம். இதை எப்படி செய்வது?

மேட்ரிக்ஸில் உள்ள அனைத்து மாறிகளும் அடிப்படை மற்றும் இலவசம் என பிரிக்கப்படுகின்றன. படி மேட்ரிக்ஸில் உள்ள வரிசைகளின் "விளிம்பில்" நிற்பவை அடிப்படையானவை. மீதமுள்ளவை இலவசம். பொதுவான தீர்வுகளில், அடிப்படை மாறிகள் இலவசம் மூலம் எழுதப்படுகின்றன.

வசதிக்காக, அணி முதலில் சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் மீண்டும் எழுதப்பட்டது. அவற்றில் கடைசியாக, ஒரே ஒரு அடிப்படை மாறி மட்டுமே உள்ளது, அது ஒரு பக்கத்தில் உள்ளது, மற்ற அனைத்தும் மற்றொன்றுக்கு மாற்றப்படும். இது ஒரு அடிப்படை மாறியுடன் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் செய்யப்படுகிறது. பின்னர், மீதமுள்ள சமன்பாடுகளில், சாத்தியமான இடங்களில், அடிப்படை மாறிக்கு பதிலாக அதற்குப் பெறப்பட்ட வெளிப்பாடு மாற்றப்படுகிறது. முடிவு மீண்டும் ஒரே ஒரு அடிப்படை மாறியைக் கொண்ட வெளிப்பாடாக இருந்தால், அது மீண்டும் அங்கிருந்து வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு அடிப்படை மாறியும் இலவச மாறிகள் கொண்ட வெளிப்பாடாக எழுதப்படும் வரை. இது SLAE இன் பொதுவான தீர்வு.

கணினியின் அடிப்படை தீர்வையும் நீங்கள் காணலாம் - இலவச மாறிகளுக்கு எந்த மதிப்புகளையும் கொடுங்கள், பின்னர் இந்த குறிப்பிட்ட வழக்கில் அடிப்படை மாறிகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள். எண்ணற்ற குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் கொடுக்கப்படலாம்.

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுடன் தீர்வு

இங்கே சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது.

வசதிக்காக, உடனடியாக அதன் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவது நல்லது

காஸியன் முறையால் தீர்க்கப்படும் போது, ​​முதல் வரிசையுடன் தொடர்புடைய சமன்பாடு மாற்றங்களின் முடிவில் மாறாமல் இருக்கும் என்று அறியப்படுகிறது. எனவே, மேட்ரிக்ஸின் மேல் இடது உறுப்பு சிறியதாக இருந்தால் அது மிகவும் லாபகரமானதாக இருக்கும் - பின்னர் செயல்பாடுகளுக்குப் பிறகு மீதமுள்ள வரிசைகளின் முதல் கூறுகள் பூஜ்ஜியமாக மாறும். இதன் பொருள் தொகுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸில் முதல் வரிசையில் இரண்டாவது வரிசையை வைப்பது சாதகமாக இருக்கும்.

இரண்டாவது வரி: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

மூன்றாவது வரி: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

இப்போது, ​​குழப்பமடையாமல் இருக்க, மாற்றங்களின் இடைநிலை முடிவுகளுடன் ஒரு மேட்ரிக்ஸை நீங்கள் எழுத வேண்டும்.

வெளிப்படையாக, அத்தகைய மேட்ரிக்ஸ் சில செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி கருத்துக்கு மிகவும் வசதியாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒவ்வொரு உறுப்பையும் "-1" ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் இரண்டாவது வரியிலிருந்து அனைத்து "மைனஸ்களையும்" நீக்கலாம்.

மூன்றாவது வரியில் அனைத்து உறுப்புகளும் மூன்றின் பெருக்கங்கள் என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது. இந்த எண்ணால் நீங்கள் சரத்தை சுருக்கலாம், ஒவ்வொரு உறுப்பையும் "-1/3" ஆல் பெருக்கலாம் (கழித்தல் - அதே நேரத்தில், அகற்ற எதிர்மறை மதிப்புகள்).

மிகவும் அழகாக இருக்கிறது. இப்போது நாம் முதல் வரியை தனியாக விட்டுவிட்டு இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவதுடன் வேலை செய்ய வேண்டும். பணியானது மூன்றாவது வரியில் இரண்டாவது வரியைச் சேர்ப்பதாகும், அத்தகைய குணகத்தால் பெருக்கப்படுகிறது, இது ஒரு 32 உறுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாகிறது.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (சில மாற்றங்களின் போது பதில் முழு எண்ணாக மாறவில்லை என்றால், வெளியேறும் கணக்கீடுகளின் துல்லியத்தை பராமரிக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது அது "உள்ளது", வடிவத்தில் பொதுவான பின்னம், மற்றும் அதன் பிறகு, பதில்கள் கிடைத்ததும், வேறு வடிவ பதிவுக்கு மாற்ற வேண்டுமா என்பதை முடிவு செய்யுங்கள்)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

அணி புதிய மதிப்புகளுடன் மீண்டும் எழுதப்பட்டது.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, விளைவாக அணி ஏற்கனவே ஒரு படி வடிவம் உள்ளது. எனவே, காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியின் மேலும் மாற்றங்கள் தேவையில்லை. இங்கே நீங்கள் செய்யக்கூடியது, மூன்றாவது வரியிலிருந்து "-1/7" என்ற ஒட்டுமொத்த குணகத்தை அகற்றுவதுதான்.

இப்போது எல்லாம் அழகாக இருக்கிறது. மேட்ரிக்ஸை மீண்டும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் எழுதி வேர்களைக் கணக்கிடுவது மட்டுமே மீதமுள்ளது.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

வேர்கள் இப்போது கண்டுபிடிக்கப்படும் வழிமுறையானது காஸியன் முறையில் தலைகீழ் நகர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமன்பாடு (3) z மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

முதல் சமன்பாடு x ஐக் கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கிறது:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

அத்தகைய அமைப்பை கூட்டு என்று அழைக்க எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது, மேலும் திட்டவட்டமானது, அதாவது ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது. பதில் பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

நிச்சயமற்ற அமைப்பின் எடுத்துக்காட்டு

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு குறிப்பிட்ட அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான மாறுபாடு இப்போது அந்த அமைப்பு நிச்சயமற்றதாக இருந்தால், அதற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் காணலாம்.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

கணினியின் தோற்றம் ஏற்கனவே ஆபத்தானது, ஏனெனில் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கை n = 5, மற்றும் கணினி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை ஏற்கனவே இந்த எண்ணை விட சரியாக குறைவாக உள்ளது, ஏனெனில் வரிசைகளின் எண்ணிக்கை m = 4, அதாவது, தீர்மானிப்பவர்-சதுரத்தின் மிக உயர்ந்த வரிசை 4. இதன் பொருள் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன, மேலும் அதன் பொதுவான தோற்றத்தை நீங்கள் பார்க்க வேண்டும். நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கான காஸ் முறை இதைச் செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

முதலில், வழக்கம் போல், நீட்டிக்கப்பட்ட அணி தொகுக்கப்படுகிறது.

இரண்டாவது வரி: குணகம் k = (-a 21 /a 11) = -3. மூன்றாவது வரியில், முதல் உறுப்பு மாற்றங்களுக்கு முன் உள்ளது, எனவே நீங்கள் எதையும் தொட வேண்டிய அவசியமில்லை, அதை அப்படியே விட்டுவிட வேண்டும். நான்காவது வரி: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

முதல் வரிசையின் தனிமங்களை அவற்றின் ஒவ்வொரு குணகங்களாலும் பெருக்கி தேவையான வரிசைகளில் சேர்ப்பதன் மூலம், நாம் மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம். பின்வரும் வகை:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது வரிசைகள் ஒருவருக்கொருவர் விகிதாசார கூறுகளைக் கொண்டிருக்கும். இரண்டாவது மற்றும் நான்காவது பொதுவாக ஒரே மாதிரியானவை, எனவே அவற்றில் ஒன்றை உடனடியாக அகற்றலாம், மீதமுள்ள ஒன்றை குணகம் "-1" மூலம் பெருக்கி வரி எண் 3 ஐப் பெறலாம். மீண்டும், ஒரே மாதிரியான இரண்டு வரிகளில், ஒன்றை விட்டு விடுங்கள்.

இதன் விளைவாக இது போன்ற ஒரு அணி. கணினி இன்னும் எழுதப்படவில்லை என்றாலும், இங்கே அடிப்படை மாறிகளை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம் - குணகங்கள் a 11 = 1 மற்றும் a 22 = 1, மற்றும் இலவசம் - மீதமுள்ளவை.

இரண்டாவது சமன்பாட்டில் ஒரே ஒரு அடிப்படை மாறி உள்ளது - x 2. அதாவது இலவசமான x 3 , x 4 , x 5 , மாறிகள் மூலம் எழுதுவதன் மூலம் அதை அங்கிருந்து வெளிப்படுத்தலாம்.

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை முதல் சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்.

இதன் விளைவாக ஒரு சமன்பாடு உள்ளது, இதில் ஒரே அடிப்படை மாறி x 1 ஆகும். x 2ஐப் போலவே அதையும் செய்வோம்.

அனைத்து அடிப்படை மாறிகள், இரண்டு உள்ளன, இப்போது நாம் பொது வடிவத்தில் பதில் எழுத முடியும் மூன்று இலவசம் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

கணினியின் குறிப்பிட்ட தீர்வுகளில் ஒன்றையும் நீங்கள் குறிப்பிடலாம். இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பூஜ்ஜியங்கள் பொதுவாக இலவச மாறிகளுக்கான மதிப்புகளாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. பின்னர் பதில் இருக்கும்:

16, 23, 0, 0, 0.

கூட்டுறவு அல்லாத அமைப்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி இணக்கமற்ற சமன்பாடு அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது வேகமானது. ஒரு கட்டத்தில் தீர்வு இல்லாத சமன்பாடு கிடைத்தவுடன் அது உடனடியாக முடிவடைகிறது. அதாவது, மிகவும் நீளமான மற்றும் கடினமான வேர்களைக் கணக்கிடும் நிலை அகற்றப்படுகிறது. பின்வரும் அமைப்பு கருதப்படுகிறது:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

வழக்கம் போல், மேட்ரிக்ஸ் தொகுக்கப்பட்டுள்ளது:

மேலும் இது ஒரு படிநிலை வடிவமாக குறைக்கப்படுகிறது:

k 1 = -2k 2 = -4

முதல் மாற்றத்திற்குப் பிறகு, மூன்றாவது வரியில் படிவத்தின் சமன்பாடு உள்ளது

தீர்வு இல்லாமல். இதன் விளைவாக, கணினி சீரற்றதாக உள்ளது, மேலும் பதில் வெற்று தொகுப்பாக இருக்கும்.

முறையின் நன்மைகள் மற்றும் தீமைகள்

பேனாவுடன் காகிதத்தில் SLAE களை தீர்க்க எந்த முறையை நீங்கள் தேர்வுசெய்தால், இந்த கட்டுரையில் விவாதிக்கப்பட்ட முறை மிகவும் கவர்ச்சிகரமானதாக தோன்றுகிறது. IN அடிப்படை மாற்றங்கள்நீங்கள் ஒரு தீர்மானிப்பான் அல்லது சில தந்திரமான தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸை கைமுறையாக தேடுவதை விட குழப்பமடைவது மிகவும் கடினம். இருப்பினும், இந்த வகையின் தரவுகளுடன் பணிபுரிய நீங்கள் நிரல்களைப் பயன்படுத்தினால், எடுத்துக்காட்டாக, விரிதாள்கள், அத்தகைய நிரல்களில் ஏற்கனவே மெட்ரிக்ஸின் முக்கிய அளவுருக்களைக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறைகள் உள்ளன - தீர்மானிப்பவர்கள், சிறார்கள், தலைகீழ் மற்றும் பல. இயந்திரம் இந்த மதிப்புகளை தானே கணக்கிடும் மற்றும் தவறு செய்யாது என்று நீங்கள் உறுதியாக நம்பினால், மேட்ரிக்ஸ் முறை அல்லது க்ரேமர் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் நல்லது, ஏனெனில் அவற்றின் பயன்பாடு தீர்மானிப்பவர்களின் கணக்கீட்டில் தொடங்கி முடிவடைகிறது. தலைகீழ் மெட்ரிக்குகள்.

விண்ணப்பம்

காஸியன் தீர்வு ஒரு அல்காரிதம் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் உண்மையில் இரு பரிமாண வரிசை என்பதால், இது நிரலாக்கத்தில் பயன்படுத்தப்படலாம். ஆனால் கட்டுரை தன்னை "டம்மிகளுக்கான" வழிகாட்டியாக நிலைநிறுத்துவதால், இந்த முறையை வைப்பதற்கான எளிதான இடம் விரிதாள்கள், எடுத்துக்காட்டாக, எக்செல் என்று கூற வேண்டும். மீண்டும், ஒரு மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் அட்டவணையில் உள்ளிடப்படும் எந்த SLAEயும் எக்செல் ஆல் இரு பரிமாண வரிசையாகக் கருதப்படும். அவற்றுடன் செயல்பட பல நல்ல கட்டளைகள் உள்ளன: கூடுதலாக (நீங்கள் ஒரே அளவிலான மெட்ரிக்குகளை மட்டுமே சேர்க்க முடியும்!), எண்ணால் பெருக்குதல், மெட்ரிக்குகளின் பெருக்கல் (சில கட்டுப்பாடுகளுடன்), தலைகீழ் மற்றும் மாற்றப்பட்ட மெட்ரிக்குகளைக் கண்டறிதல் மற்றும் மிக முக்கியமாக , தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுதல். இந்த நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் பணியானது ஒற்றை கட்டளையால் மாற்றப்பட்டால், மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை மிக விரைவாக தீர்மானிக்க முடியும், எனவே, அதன் பொருந்தக்கூடிய தன்மை அல்லது பொருந்தாத தன்மையை நிறுவவும்.