மூன்றாம் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். இரண்டாம் வரிசை மற்றும் உயர் வரிசைகளின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள். நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

படிவத்தின் சமன்பாடு: நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது உயர் வரிசை, இங்கு a 0 , a 1 ,…a n என்பது மாறி x அல்லது மாறிலியின் செயல்பாடுகள் மற்றும் a 0 , a 1 ,…a n மற்றும் f(x) ஆகியவை தொடர்ச்சியாகக் கருதப்படுகின்றன.

ஒரு 0 =1 (என்றால்
பின்னர் நீங்கள் அதை பிரிக்கலாம்)
சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:

என்றால்
சமன்பாடு சீரற்றது.

சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானது.

வரிசை n இன் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

படிவத்தின் சமன்பாடுகள்: வரிசை n இன் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இந்த சமன்பாடுகளுக்கு பின்வரும் கோட்பாடுகள் செல்லுபடியாகும்:

தேற்றம் 1:என்றால்
- தீர்வு , பிறகு தொகை
- ஒரு தீர்வு

ஆதாரம்: தொகையை மாற்றுவோம்

ஒரு தொகையின் எந்த வரிசையின் வழித்தோன்றலும் டெரிவேடிவ்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருப்பதால், அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதன் மூலம் நீங்கள் மறுசீரமைக்கலாம்:

ஏனெனில் y 1 மற்றும் y 2 ஆகியவை தீர்வு.

0=0(உண்மை)
தொகையும் ஒரு முடிவு.

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

தேற்றம் 2: y 0 என்றால் தீர்வு , அந்த
- ஒரு தீர்வு .

ஆதாரம்: மாற்றுவோம்
சமன்பாட்டிற்குள்

C ஆனது வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டதால்

ஏனெனில் தீர்வு, 0=0(சரியானது)
Сy 0 ஒரு தீர்வு.

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

T1 மற்றும் T2 இலிருந்து முடிவு:என்றால்
- தீர்வுகள் (*)
ஒரு நேரியல் கலவையும் ஒரு தீர்வாகும் (*).

நேரியல் சார்பற்ற மற்றும் நேரியல் சார்ந்த செயல்பாடுகளின் அமைப்புகள். வ்ரோன்ஸ்கியின் தீர்மானிப்பான் மற்றும் அதன் பண்புகள்

வரையறை:செயல்பாட்டு அமைப்பு
- குணகங்களின் நேரியல் சேர்க்கை என்றால் நேரியல் சார்பற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது
.

வரையறை:செயல்பாடுகளின் அமைப்பு
- குணகங்கள் இருந்தால் நேர்கோட்டு சார்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது
.

இரண்டு நேரியல் சார்ந்த செயல்பாடுகளின் அமைப்பை எடுத்துக் கொள்வோம்
ஏனெனில்
அல்லது
- இரண்டு செயல்பாடுகளின் நேரியல் சுதந்திரத்தின் நிலை.

1)
நேரியல் சார்பற்றது

2)
நேரியல் சார்ந்தது

3) நேரியல் சார்ந்தது

வரையறை:செயல்பாடுகளின் அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
- x மாறியின் செயல்பாடுகள்.

தீர்மானிப்பவர்
செயல்பாடுகளின் அமைப்புக்கான Wronski தீர்மானிப்பான்
.

இரண்டு செயல்பாடுகளின் அமைப்புக்கு, வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான் இப்படி இருக்கும்:

வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானியின் பண்புகள்:

தேற்றம்: 2 வது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு.

y 1 மற்றும் y 2 ஆகியவை 2வது வரிசையின் நேரியல் ஒரேவிதமான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகள் என்றால்,

பொதுவான தீர்வு:

ஆதாரம்:
- T1 மற்றும் T2 விளைவுகளின் அடிப்படையில் முடிவு.

ஆரம்ப நிபந்தனைகள் கொடுக்கப்பட்டால் மற்றும் சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும்.

- ஆரம்ப நிலைமைகள்.

கண்டுபிடிக்க ஒரு அமைப்பை உருவாக்குவோம் மற்றும் . இதைச் செய்ய, ஆரம்ப நிலைகளை பொதுவான தீர்வுக்கு மாற்றுவோம்.

இந்த அமைப்பின் நிர்ணயம்:
- வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான் புள்ளி x 0 இல் கணக்கிடப்படுகிறது

ஏனெனில் மற்றும் நேரியல் சார்பற்றது
(ஒவ்வொன்றும் 20)

கணினியின் நிர்ணயம் 0 க்கு சமமாக இல்லாததால், கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது மற்றும் அமைப்பிலிருந்து தனித்தனியாகக் காணப்படுகின்றன.

n வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு

சமன்பாடு n நேர்கோட்டில் இருப்பதைக் காட்டலாம் சுதந்திரமான முடிவுகள்

வரையறை: n நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகள்
n வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படை தீர்வு அமைப்பு.

வரிசை n இன் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு, அதாவது (*) என்பது தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பின் நேரியல் கலவையாகும்:

எங்கே
- அடிப்படை தீர்வு அமைப்பு.

2வது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள் நிலையான குணகங்கள்

இவை படிவத்தின் சமன்பாடுகள்:
, wherep மற்றும் g ஆகியவை எண்கள்(*)

வரையறை:சமன்பாடு
- அழைக்கப்பட்டது சிறப்பியல்பு சமன்பாடுவேறுபட்ட சமன்பாடு (*) - ஒரு சாதாரண இருபடி சமன்பாடு, அதன் தீர்வு D ஐப் பொறுத்தது, பின்வரும் நிகழ்வுகள் சாத்தியமாகும்:

1)D>0
- இரண்டு சரியான வெவ்வேறு தீர்வுகள்.

2)D=0
- பெருக்கத்தின் ஒரு உண்மையான வேர் 2.

3) டி<0
- இரண்டு சிக்கலான இணைந்த வேர்கள்.

இந்த ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திற்கும், 2 செயல்பாடுகளைக் கொண்ட தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம் மற்றும் .

நாங்கள் அதைக் காண்பிப்போம்:

1) மற்றும் - LNZ

2) மற்றும் - தீர்வு (*)

1 வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம் D>0
- 2 உண்மையான வெவ்வேறு வேர்கள்.

எக்ஸ்
சிறப்பியல்பு சமன்பாடு:

FSR ஆக எடுத்துக்கொள்வோம்:

a) LNZ ஐக் காட்டு

b) அதைக் காட்டுவோம் - தீர்வு (*), மாற்று

+p
+g
=0

உண்மையான சமத்துவம்

தீர்வு (*)

y 2 க்கு இதேபோல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

முடிவுரை:
- FSR (*)
பொதுவான முடிவு

வழக்கு 2 ஐப் பார்ப்போம்: D=0
- பல 2 இன் 1 உண்மையான வேர்.

FSR ஆக எடுத்துக்கொள்வோம்:

LNZ:
LNZ உள்ளது.

சமன்பாட்டின் தீர்வு (வழக்கு 1 ஐப் பார்க்கவும்). அதைக் காட்டுவோம்
- தீர்வு.

ரிமோட் கண்ட்ரோலில் வைக்கவும்

- தீர்வு.

முடிவுரை: FSR

உதாரணமாக:

வழக்கு 3: டி<0
- 2 சிக்கலான இணை வேர்கள்.

மாற்றுவோம்
தன்மையில் சமன்பாடு

உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகள் 0 ஆக இருக்கும்போது ஒரு கலப்பு எண் 0 ஆகும்.

- நாங்கள் அதைப் பயன்படுத்துவோம்.

அதைக் காட்டுவோம்
- FSR ஐ உருவாக்கவும்.

A) LNZ:

B)
- ரிமோட் கண்ட்ரோல் தீர்வு

உண்மையான சமத்துவம்
- கட்டுப்பாட்டு அமைப்பின் முடிவு.

அது போலவே காட்டப்பட்டுள்ளது ஒரு தீர்வு.

முடிவுரை: FSR:

பொதுவான முடிவு:

எண் குறிப்பிடப்பட்டால்.

- பின்னர் முதலில் ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
, அதன் வழித்தோன்றல்:
, பின்னர் அவர்கள் இந்த அமைப்பில் n.u ஐ மாற்றியமைத்து கண்டுபிடிக்கின்றனர் மற்றும் .

சரி:

இரண்டாம் வரிசை மற்றும் உயர் வரிசைகளின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.
நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.
தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

கருத்தில் கொண்டு செல்லலாம் வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்இரண்டாவது வரிசை மற்றும் உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள். வேறுபட்ட சமன்பாடு என்றால் என்ன என்பது பற்றிய தெளிவற்ற யோசனை உங்களுக்கு இருந்தால் (அல்லது அது என்னவென்று புரியவில்லை), பின்னர் பாடத்துடன் தொடங்க பரிந்துரைக்கிறேன். முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். பல தீர்வுக் கோட்பாடுகள் மற்றும் முதல் வரிசையின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள் தானாகவே உயர்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கு விரிவடைகின்றன. முதல் வரிசை சமன்பாடுகளை முதலில் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம்.

2வது, 3வது மற்றும் பிற ஆர்டர்களின் ரிமோட் கண்ட்ரோல் மிகவும் கடினமானது மற்றும் மாஸ்டர் அணுக முடியாத ஒன்று என்று பல வாசகர்களுக்கு தப்பெண்ணம் இருக்கலாம். இது தவறு . "சாதாரண" முதல் வரிசை DEகளை விட உயர் வரிசை பரவல்களைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்வது மிகவும் கடினம்.. சில இடங்களில் இது இன்னும் எளிமையானது, ஏனெனில் தீர்வுகள் பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் இருந்து பொருட்களை தீவிரமாக பயன்படுத்துகின்றன.

மிகவும் பிரபலமான இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள். இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு அவசியம்இரண்டாவது வழித்தோன்றல் மற்றும் அடங்கும் சேர்க்கப்படவில்லை

சமன்பாட்டிலிருந்து சில குழந்தைகள் (அனைவரும் கூட) காணாமல் போயிருக்கலாம் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்; மிகவும் பழமையான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

எனது அகநிலை அவதானிப்புகளின்படி, நடைமுறைப் பணிகளில் மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள் மிகவும் குறைவாகவே உள்ளன, அவை மாநில டுமாவில் 3-4% வாக்குகளைப் பெறும்.

மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு அவசியம்மூன்றாவது வழித்தோன்றல் மற்றும் அடங்கும் சேர்க்கப்படவில்லைஉயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்:

எளிமையான மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது: - அப்பா வீட்டில் இருக்கிறார், எல்லா குழந்தைகளும் நடைப்பயணத்திற்கு வெளியே இருக்கிறார்கள்.

இதேபோல், 4, 5 மற்றும் அதிக ஆர்டர்களின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை நீங்கள் வரையறுக்கலாம். நடைமுறை சிக்கல்களில், அத்தகைய கட்டுப்பாட்டு அமைப்புகள் அரிதாகவே தோல்வியடைகின்றன, இருப்பினும், நான் பொருத்தமான உதாரணங்களை கொடுக்க முயற்சிப்பேன்.

நடைமுறை சிக்கல்களில் முன்மொழியப்பட்ட உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளை இரண்டு முக்கிய குழுக்களாகப் பிரிக்கலாம்.

1) முதல் குழு - என்று அழைக்கப்படும் வரிசையில் குறைக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள். வா!

2) இரண்டாவது குழு - நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய உயர் வரிசைகளின் நேரியல் சமன்பாடுகள். நாம் இப்போதே பார்க்கத் தொடங்குவோம்.

இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்
நிலையான குணகங்களுடன்

கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறையில், இரண்டு வகையான சமன்பாடுகள் வேறுபடுகின்றன: ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுமற்றும் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு .

நிலையான குணகங்களுடன் ஒரே மாதிரியான இரண்டாவது வரிசை DEபின்வரும் வடிவம் உள்ளது:
, எங்கே மற்றும் அவை மாறிலிகள் (எண்கள்), மற்றும் வலது பக்கத்தில் - கண்டிப்பாகபூஜ்யம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளுடன் எந்த குறிப்பிட்ட சிரமங்களும் இல்லை, முக்கிய விஷயம் இருபடி சமன்பாட்டை சரியாக தீர்க்கவும்.

சில நேரங்களில் தரமற்ற ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் உள்ளன, உதாரணமாக வடிவத்தில் ஒரு சமன்பாடு , இரண்டாவது வழித்தோன்றலில் ஒற்றுமையிலிருந்து வேறுபட்ட சில நிலையானது (மற்றும், இயற்கையாகவே, பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது). தீர்வு அல்காரிதம் மாறாது; சிறப்பியல்பு சமன்பாடு என்றால் இரண்டு வெவ்வேறு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக: , பின்னர் பொதுவான தீர்வு வழக்கமான திட்டத்தின் படி எழுதப்படும்: .

சில சந்தர்ப்பங்களில், நிலையில் உள்ள எழுத்துப்பிழை காரணமாக, "மோசமான" வேர்கள் ஏற்படலாம் . என்ன செய்வது, பதில் இப்படி எழுதப்பட வேண்டும்:

"மோசமான" போன்ற சிக்கலான வேர்களை இணைக்கவும் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை, பொதுவான தீர்வு:

அது, எப்படியும் ஒரு பொதுவான தீர்வு உள்ளது. ஏனெனில் எந்த இருபடிச் சமன்பாடும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டது.

இறுதிப் பத்தியில், நான் உறுதியளித்தபடி, சுருக்கமாகக் கருதுவோம்:

உயர் வரிசைகளின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்

எல்லாம் மிகவும் ஒத்திருக்கிறது.

மூன்றாவது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:
, மாறிலிகள் எங்கே.
இந்த சமன்பாட்டிற்கு, நீங்கள் ஒரு சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்கி அதன் வேர்களைக் கண்டறிய வேண்டும். சிறப்பியல்பு சமன்பாடு, பலர் யூகித்தபடி, இது போல் தெரிகிறது:
, மற்றும் அது எப்படியும்அது உள்ளது சரியாக மூன்றுவேர்

எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து வேர்களும் உண்மையானதாகவும் வேறுபட்டதாகவும் இருக்கட்டும்: , பின்னர் பொதுவான தீர்வு பின்வருமாறு எழுதப்படும்:

ஒரு ரூட் உண்மையானதாகவும், மற்ற இரண்டும் இணைந்த சிக்கலானதாகவும் இருந்தால், பொதுவான தீர்வை பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்:

மூன்று வேர்களும் மடங்குகளாக (அதே) இருக்கும்போது ஒரு சிறப்பு வழக்கு. தனிமையான தந்தையுடன் 3 வது வரிசையின் எளிமையான ஒரே மாதிரியான DE ஐக் கருத்தில் கொள்வோம்: . சிறப்பியல்பு சமன்பாடு மூன்று தற்செயல் பூஜ்ஜிய வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. பொதுவான தீர்வை பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்:

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு என்றால் எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று பல வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் பொதுவான தீர்வு, அதன்படி, பின்வருமாறு:

எடுத்துக்காட்டு 9

ஒரே மாதிரியான மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு:சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:

, – ஒரு உண்மையான வேர் மற்றும் இரண்டு இணைந்த சிக்கலான வேர்கள் பெறப்படுகின்றன.

பதில்:பொதுவான முடிவு

இதேபோல், நிலையான குணகங்களுடன் நான்காவது வரிசை நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளலாம்: , மாறிலிகள் எங்கே.

இயற்பியலின் சில சிக்கல்களில், செயல்முறையை விவரிக்கும் அளவுகளுக்கு இடையே நேரடி தொடர்பை ஏற்படுத்த முடியாது. ஆனால் ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட சமத்துவத்தைப் பெறுவது சாத்தியமாகும். இப்படித்தான் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் உருவாகின்றன மற்றும் அறியப்படாத செயல்பாட்டைக் கண்டறிய அவற்றைத் தீர்க்க வேண்டிய அவசியம் உள்ளது.

அறியப்படாத செயல்பாடு ஒரு மாறியின் செயல்பாடாக இருக்கும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் சிக்கலை எதிர்கொள்பவர்களுக்காக இந்தக் கட்டுரை உள்ளது. வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பூஜ்ஜிய அறிவுடன், உங்கள் பணியைச் சமாளிக்கும் வகையில் கோட்பாடு கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒவ்வொரு வகை வேறுபட்ட சமன்பாடும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களுக்கான விரிவான விளக்கங்கள் மற்றும் தீர்வுகளுடன் ஒரு தீர்வு முறையுடன் தொடர்புடையது. நீங்கள் செய்ய வேண்டியதெல்லாம், உங்கள் பிரச்சனையின் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வகையைத் தீர்மானித்து, இதேபோன்ற பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட உதாரணத்தைக் கண்டுபிடித்து, இதே போன்ற செயல்களைச் செய்ய வேண்டும்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை வெற்றிகரமாகத் தீர்க்க, பல்வேறு செயல்பாடுகளின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் (காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்) தொகுப்பைக் கண்டறியும் திறனும் உங்களுக்குத் தேவைப்படும். தேவைப்பட்டால், பிரிவைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கிறோம்.

முதலில், வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்கப்படக்கூடிய முதல் வரிசையின் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் வகைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், பின்னர் நாம் இரண்டாம்-வரிசை ODE களுக்குச் செல்வோம், பின்னர் உயர்-வரிசை சமன்பாடுகளில் தங்கி, அமைப்புகளுடன் முடிப்போம். வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்.

y என்பது வாதத்தின் செயல்பாடாக இருந்தால் x என்பதை நினைவில் கொள்க.

முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.

படிவத்தின் முதல் வரிசையின் எளிமையான வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.

அத்தகைய ரிமோட் கண்ட்ரோலின் சில எடுத்துக்காட்டுகளை எழுதுவோம் .

வகைக்கெழு சமன்பாடுகள் சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் f(x) ஆல் வகுப்பதன் மூலம் வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்க முடியும். இந்த நிலையில், f(x) ≠ 0க்கான அசல் சமன்பாட்டிற்குச் சமமான ஒரு சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம். அத்தகைய ODE களின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

f(x) மற்றும் g(x) செயல்பாடுகள் ஒரே நேரத்தில் மறைந்துவிடும் வாதம் x இன் மதிப்புகள் இருந்தால், கூடுதல் தீர்வுகள் தோன்றும். சமன்பாட்டிற்கான கூடுதல் தீர்வுகள் கொடுக்கப்பட்ட x என்பது இந்த வாத மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள். அத்தகைய வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு:

இரண்டாவது வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.

நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட LDE என்பது மிகவும் பொதுவான வகை வேறுபட்ட சமன்பாடு ஆகும். அவர்களின் தீர்வு குறிப்பாக கடினம் அல்ல. முதலில் வேர்கள் காணப்படும் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு . வெவ்வேறு p மற்றும் q க்கு, மூன்று வழக்குகள் சாத்தியமாகும்: குணாதிசய சமன்பாட்டின் வேர்கள் உண்மையானதாகவும் வேறுபட்டதாகவும், உண்மையானதாகவும், ஒத்துப்போகும்தாகவும் இருக்கலாம். அல்லது சிக்கலான இணைப்புகள். சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்களின் மதிப்புகளைப் பொறுத்து, வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது , அல்லது , அல்லது முறையே.

எடுத்துக்காட்டாக, நிலையான குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கருதுங்கள். அதன் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் k 1 = -3 மற்றும் k 2 = 0 ஆகும். வேர்கள் உண்மையானவை மற்றும் வேறுபட்டவை, எனவே, நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட LODE இன் பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது


நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

நிலையான குணகங்கள் y உடன் இரண்டாவது-வரிசை LDDE இன் பொதுவான தீர்வு, தொடர்புடைய LDDE இன் பொதுவான தீர்வின் கூட்டுத்தொகையின் வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது. மற்றும் அசல் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு இல்லை ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு, அது, . முந்தைய பத்தி நிலையான குணகங்களுடன் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிவதற்காக அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு, அசல் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ள f(x) செயல்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்திற்கான காலவரையற்ற குணகங்களின் முறையால் அல்லது மாறுபடும் தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் முறையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட இரண்டாம்-வரிசை LDDE களின் எடுத்துக்காட்டுகளாக, நாங்கள் தருகிறோம்


கோட்பாட்டைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் எடுத்துக்காட்டுகளின் விரிவான தீர்வுகளைப் பற்றி அறிந்துகொள்வதற்கும், நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளை பக்கத்தில் உங்களுக்கு வழங்குகிறோம்.

நேரியல் ஒரேவிதமான வேறுபாடு சமன்பாடுகள் (LODE) மற்றும் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் (LNDEகள்).

இந்த வகையின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு LODE மற்றும் LDDE ஆகியவை நிலையான குணகங்களுடன்.

ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவில் உள்ள LODE இன் பொதுவான தீர்வு, இந்த சமன்பாட்டின் y 1 மற்றும் y 2 ஆகிய இரண்டு நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது, .

இந்த வகை வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகளை கண்டுபிடிப்பதில் முக்கிய சிரமம் உள்ளது. பொதுவாக, குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் நேரியல் சார்பற்ற செயல்பாடுகளின் பின்வரும் அமைப்புகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன:


இருப்பினும், குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் எப்போதும் இந்த வடிவத்தில் வழங்கப்படுவதில்லை.

எல்ஓடிக்கு ஒரு உதாரணம் .

LDDE இன் பொதுவான தீர்வு வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது, இது தொடர்புடைய LDDE இன் பொதுவான தீர்வு மற்றும் அசல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் குறிப்பிட்ட தீர்வு. நாங்கள் அதைக் கண்டுபிடிப்பதைப் பற்றி பேசினோம், ஆனால் அது தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்க முடியும்.

LNDU இன் உதாரணத்தைக் கொடுக்கலாம் .

உயர் ஆர்டர்களின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

வரிசையை குறைக்க அனுமதிக்கும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை , இது விரும்பிய செயல்பாடு மற்றும் k-1 வரிசை வரை அதன் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை, அதை மாற்றுவதன் மூலம் n-k ஆகக் குறைக்கலாம்.

இந்த வழக்கில், அசல் வேறுபாடு சமன்பாடு குறைக்கப்படும். அதன் தீர்வு p(x) ஐக் கண்டறிந்த பிறகு, அது மாற்றீட்டிற்குத் திரும்பி, தெரியாத செயல்பாடு y ஐத் தீர்மானிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, வேறுபாடு சமன்பாடு மாற்றியமைத்த பிறகு, இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடாக மாறும், மேலும் அதன் வரிசை மூன்றில் இருந்து முதலாவதாக குறைக்கப்படும்.

உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

உயர் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் (DEHE) அடிப்படை சொற்கள்.

படிவத்தின் சமன்பாடு , எங்கே n >1 (2)

உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது. n-வது வரிசை.

DU வரையறை பகுதி, nஒழுங்குமுறை ஒரு பிராந்தியம் உள்ளது.

இந்த பாடத்திட்டத்தில், பின்வரும் வகையான கட்டுப்பாட்டு அமைப்புகள் பரிசீலிக்கப்படும்:

Cauchy பிரச்சனை DE VP:

ரிமோட் கண்ட்ரோல் கொடுக்கப்படட்டும்,
மற்றும் ஆரம்ப நிலைகள் n/a: எண்கள் .

நீங்கள் தொடர்ச்சியான மற்றும் n முறை வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும்
:

1)
கொடுக்கப்பட்ட DE க்கு தீர்வாகும், அதாவது.
;

2) கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது:

இரண்டாவது-வரிசை DE க்கு, சிக்கலுக்கான தீர்வின் வடிவியல் விளக்கம் பின்வருமாறு: புள்ளி வழியாகச் செல்லும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளைவு தேடப்படுகிறது (எக்ஸ் 0 , ஒய் 0 ) மற்றும் ஒரு கோண குணகம் கொண்ட ஒரு நேர் கோட்டிற்கு தொடுகோடு கே = ஒய் 0 ́ .

இருப்பு மற்றும் தனித்துவ தேற்றம்(DE (2) க்கான Cauchy பிரச்சனைக்கான தீர்வுகள்):

என்றால் 1)
தொடர்ச்சியான (மொத்தம் (n+1) வாதங்கள்) பகுதியில்
; 2)
தொடர்ச்சியான (வாதங்களின் மொத்தத்திற்கு மேல்
) இல் , பின்னர் ! கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலைகள் n/a ஐ பூர்த்தி செய்யும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான Cauchy பிரச்சனையின் தீர்வு: .

இப்பகுதி DE இன் தனித்துவத்தின் பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ரிமோட் கண்ட்ரோல் VP இன் பொதுவான தீர்வு (2) – n - அளவுருசெயல்பாடு,
, எங்கே
- தன்னிச்சையான மாறிலிகள், பின்வரும் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்கின்றன:

1)

- மீது DE (2) தீர்வு;

2) தனித்துவத்தின் பகுதியில் இருந்து n/a!
:
கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது.

கருத்து.

உறவைப் பார்க்கவும்
DE (2) இன் பொதுவான தீர்வை மறைமுகமாக தீர்மானிக்கிறது பொது ஒருங்கிணைப்பு DU.

தனிப்பட்ட தீர்வு DE (2) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பிற்கான அதன் பொதுவான தீர்விலிருந்து பெறப்படுகிறது .

VP ரிமோட் கண்ட்ரோலின் ஒருங்கிணைப்பு.

உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள், ஒரு விதியாக, சரியான பகுப்பாய்வு முறைகளால் தீர்க்கப்பட முடியாது.

ஒரு குறிப்பிட்ட வகை DUVP ஐக் கண்டறிவோம், அது வரிசையாகக் குறைப்புகளை அனுமதிக்கிறது மற்றும் quadratures ஆகக் குறைக்கப்படலாம். இந்த வகையான சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் வரிசையைக் குறைப்பதற்கான முறைகளை அட்டவணைப்படுத்துவோம்.

VP DEக்கள் வரிசையில் குறைப்புகளை அனுமதிக்கின்றன

ஒரே மாதிரியான செயல்பாட்டின் வரையறை:

செயல்பாடு
மாறிகளில் ஒரே மாதிரியாக அழைக்கப்படுகிறது
, என்றால்


செயல்பாட்டின் வரையறையின் எந்தப் புள்ளியிலும்
;

- ஒருமைப்பாட்டின் வரிசை.

எடுத்துக்காட்டாக, 2 வது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடு
, அதாவது .

எடுத்துக்காட்டு 1:

ரிமோட் கண்ட்ரோலின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
.

3வது வரிசையின் DE, முழுமையடையாதது, வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்கவில்லை
. சமன்பாட்டை மூன்று முறை தொடர்ச்சியாக ஒருங்கிணைக்கிறோம்.

,

- ரிமோட் கண்ட்ரோலின் பொதுவான தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 2:

ரிமோட் கண்ட்ரோலுக்கான Cauchy சிக்கலை தீர்க்கவும்
மணிக்கு

.

இரண்டாவது வரிசையின் DE, முழுமையடையாதது, வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்கவில்லை .

மாற்று
மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்
ரிமோட் கண்ட்ரோலின் வரிசையை ஒன்று குறைக்கும்.

. முதல் வரிசை DE - பெர்னௌல்லி சமன்பாட்டைப் பெற்றோம். இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்க நாம் பெர்னௌலி மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

,

மற்றும் அதை சமன்பாட்டில் செருகவும்.

இந்த கட்டத்தில், சமன்பாட்டிற்கான Cauchy சிக்கலை தீர்க்கிறோம்
:
.

- பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட முதல் வரிசை சமன்பாடு.

ஆரம்ப நிலைகளை கடைசி சமமாக மாற்றுகிறோம்:

பதில்:
ஆரம்ப நிலைமைகளை பூர்த்தி செய்யும் கௌச்சி பிரச்சனைக்கு தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 3:

DE ஐ தீர்க்கவும்.

– 2வது வரிசையின் DE, முழுமையடையாதது, வெளிப்படையாக மாறியைக் கொண்டிருக்கவில்லை, எனவே மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி ஆர்டரை ஒருவரால் குறைக்க அனுமதிக்கிறது அல்லது
.

நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
(விடு
).

– பிரிக்கும் மாறிகள் கொண்ட 1வது வரிசை DE. அவற்றைப் பிரிப்போம்.

- DE இன் பொது ஒருங்கிணைப்பு.

எடுத்துக்காட்டு 4:

DE ஐ தீர்க்கவும்.

சமன்பாடு
சரியான வழித்தோன்றல்களில் ஒரு சமன்பாடு உள்ளது. உண்மையில்,
.

பொறுத்து இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை ஒருங்கிணைப்போம், அதாவது.
அல்லது . பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட 1வது வரிசை DE ஐப் பெற்றோம், அதாவது.
- DE இன் பொது ஒருங்கிணைப்பு.

எடுத்துக்காட்டு 5:

காச்சி பிரச்சனையை தீர்க்கவும்
மணிக்கு.

4வது வரிசையின் DE, முழுமையடையாதது, வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்கவில்லை
. இந்த சமன்பாடு சரியான வழித்தோன்றல்களில் இருப்பதைக் கவனிக்கிறோம், நாம் பெறுகிறோம்
அல்லது
,
. ஆரம்ப நிலைகளை இந்த சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:
. ரிமோட் கண்ட்ரோலைப் பெறுவோம்
முதல் வகையின் 3 வது வரிசை (அட்டவணையைப் பார்க்கவும்). அதை மூன்று முறை ஒருங்கிணைப்போம், ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்புக்கும் பிறகு ஆரம்ப நிலைகளை சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

பதில்:
- அசல் DE இன் Cauchy பிரச்சனையின் தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 6:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

– 2வது வரிசையின் DE, முழுமையானது
. மாற்று
சமன்பாட்டின் வரிசையை குறைக்கும். இதைச் செய்ய, படிவத்திற்கு சமன்பாட்டைக் குறைப்போம்
, அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வகுத்தல் . மற்றும் செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துங்கள் ப:

.

மாற்றுவோம்
மற்றும்
ரிமோட் கண்ட்ரோலில்:
. இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட 1 வது வரிசை சமன்பாடு ஆகும்.

என்று கருதி
, நாங்கள் ரிமோட் கண்ட்ரோலைப் பெறுகிறோம் அல்லது
- அசல் DE இன் பொதுவான தீர்வு.

உயர் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கோட்பாடு.

அடிப்படை சொற்களஞ்சியம்.

– என்.எல்.டி.யு -வது வரிசை, எங்கே - தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள்சில இடைவெளியில்.

இது ரிமோட் கண்ட்ரோலின் தொடர்ச்சியின் இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது (3).

வது வரிசையின் ஒரு (நிபந்தனை) வேறுபட்ட ஆபரேட்டரை அறிமுகப்படுத்துவோம்

அது செயல்பாட்டில் செயல்படும் போது, ​​நாம் பெறுகிறோம்

அதாவது, வது வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் இடது பக்கம்.

இதன் விளைவாக, LDE ஐ எழுதலாம்

ஆபரேட்டரின் நேரியல் பண்புகள்
:

1) - சேர்க்கையின் சொத்து

2)
எண் - ஒருமைப்பாட்டின் சொத்து

இந்தச் சார்புகளின் வழித்தோன்றல்கள் ஒரே மாதிரியான பண்புகளைக் கொண்டிருப்பதால், பண்புகள் எளிதில் சரிபார்க்கப்படுகின்றன (ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்களின் தொகையானது வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்; நிலையான காரணி வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்).

அந்த.
- நேரியல் ஆபரேட்டர்.

LDE க்கான Cauchy பிரச்சனைக்கான தீர்வின் இருப்பு மற்றும் தனித்தன்மை பற்றிய கேள்வியை நாம் பரிசீலிப்போம்
.

எல்.டி.இ
: ,
, – தொடர் இடைவெளி.

களம், வழித்தோன்றல்கள் ஆகியவற்றில் செயல்பாடு தொடர்கிறது
பகுதியில் தொடர்ந்து

இதன் விளைவாக, தனித்தன்மையின் பகுதி, இதில் Cauchy LDE சிக்கல் (3) ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் புள்ளியின் தேர்வை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.
, மற்ற அனைத்து வாத மதிப்புகள்
செயல்பாடுகள்
தன்னிச்சையாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

OLDE இன் பொதுவான கோட்பாடு.

- தொடர் இடைவெளி.

OLDE தீர்வுகளின் முக்கிய பண்புகள்:

1. சேர்க்கை சொத்து

(
- OLDE தீர்வு (4) on )
(
- மீது OLDE (4) தீர்வு ).

ஆதாரம்:

- OLDE (4) இன் தீர்வு

- OLDE (4) இன் தீர்வு

பிறகு

2. ஒரே மாதிரியான தன்மை

( – OLDE இன் தீர்வு (4) on ) (
(- எண் புலம்))

- OLDE (4) க்கு தீர்வு.

ஆதாரம் ஒத்தது.

சேர்க்கை மற்றும் ஒருமைப்பாட்டின் பண்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன நேரியல் பண்புகள் OLDU (4).

விளைவு:

(
– OLDE தீர்வு (4) on )(

- மீது OLDE (4) தீர்வு ).

3. (- OLDE (4) இன் சிக்கலான மதிப்புள்ள தீர்வு )(
OLDE (4) இல் உள்ள உண்மையான மதிப்புள்ள தீர்வுகள்.

ஆதாரம்:

OLDE (4) இல் தீர்வாக இருந்தால், சமன்பாட்டில் மாற்றியமைக்கப்படும் போது அது ஒரு அடையாளமாக மாறும், அதாவது.
.

ஆபரேட்டரின் நேரியல் தன்மை காரணமாக, கடைசி சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
.

அதாவது, OLDE (4) இல் உள்ள உண்மையான மதிப்புள்ள தீர்வுகள்.

OLDE களுக்கான தீர்வுகளின் அடுத்தடுத்த பண்புகள் கருத்துடன் தொடர்புடையவை " நேரியல் சார்பு”.

வரையறை நேரியல் சார்புசெயல்பாடுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்பு

செயல்பாடுகளின் அமைப்பு இருந்தால், அது நேரியல் சார்ந்ததாகக் கூறப்படுகிறது அற்பமானஎண்களின் தொகுப்பு
அத்தகைய நேரியல் கலவை
செயல்பாடுகள்
இந்த எண்களுடன் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது.
.n இது தவறானது. தேற்றம் வேறுபட்டது சமன்பாடுகள்அதிகஅளவு கட்டளைகள்(4 மணி நேரம்...

சமன்பாடுகள் நேரடி ஒருங்கிணைப்பு மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன

பின்வரும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
.
நாங்கள் n முறைகளை ஒருங்கிணைக்கிறோம்.
;
;
மற்றும் பல. நீங்கள் சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தலாம்:
.
நேரடியாக தீர்க்கக்கூடிய வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும் ஒருங்கிணைப்பு >>>

y சார்பு மாறியை வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்காத சமன்பாடுகள்

மாற்றீடு சமன்பாட்டின் வரிசையில் ஒன்று குறைவதற்கு வழிவகுக்கிறது. இங்கிருந்து ஒரு செயல்பாடு உள்ளது.
ஒரு செயல்பாட்டை வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்காத உயர் ஆர்டர்களின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும் > > >

x என்ற சுயாதீன மாறியை வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்காத சமன்பாடுகள்

.
இது ஒரு செயல்பாடு என்று நாங்கள் கருதுகிறோம். பிறகு
.
இதேபோல் மற்ற வழித்தோன்றல்களுக்கும். இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டின் வரிசை ஒன்று குறைக்கப்படுகிறது.
வெளிப்படையான மாறியைக் கொண்டிருக்காத உயர் வரிசைகளின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும் > > >

சமன்பாடுகள் y, y′, y′′, ...

இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க, நாங்கள் மாற்றீடு செய்கிறோம்
,
ஒரு செயல்பாடு எங்கே. பிறகு
.
இதேபோல் டெரிவேடிவ்கள் போன்றவற்றை மாற்றுகிறோம். இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டின் வரிசை ஒன்று குறைக்கப்படுகிறது.
ஒரு சார்பு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களைப் பொறுத்து ஒரே மாதிரியான உயர்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும் > > >

உயர் வரிசைகளின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

கருத்தில் கொள்வோம் n வது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு:
(1) ,
சார்பற்ற மாறியின் செயல்பாடுகள் எங்கே. இந்த சமன்பாட்டிற்கு n நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகள் இருக்கட்டும். பின்னர் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (1) வடிவம் உள்ளது:
(2) ,
தன்னிச்சையான மாறிலிகள் எங்கே. செயல்பாடுகள் தானே உருவாகின்றன அடிப்படை அமைப்புமுடிவுகள்.
அடிப்படை தீர்வு அமைப்பு n வது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் n இந்த சமன்பாட்டிற்கான நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகள்.

கருத்தில் கொள்வோம் n வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாடு:
.
இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட (ஏதேனும்) தீர்வு இருக்கட்டும். பின்னர் பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:
,
ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு எங்கே (1).

நிலையான குணகங்கள் மற்றும் அவற்றைக் குறைக்கக்கூடிய நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்

இவை படிவத்தின் சமன்பாடுகள்:
(3) .
இங்கே உண்மையான எண்கள் உள்ளன. இந்த சமன்பாட்டிற்கு பொதுவான தீர்வைக் காண, தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்கும் n நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளைக் கண்டறிய வேண்டும். பின்னர் பொதுவான தீர்வு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (2):
(2) .

படிவத்தில் தீர்வைத் தேடுகிறோம். நாம் பெறுகிறோம் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு:
(4) .

இந்த சமன்பாடு இருந்தால் பல்வேறு வேர்கள், பின்னர் தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு வடிவம் கொண்டது:
.

கிடைத்தால் சிக்கலான வேர்
,
பின்னர் ஒரு சிக்கலான கூட்டு வேர் உள்ளது. இந்த இரண்டு வேர்களும் தீர்வுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன மற்றும் சிக்கலான தீர்வுகளுக்குப் பதிலாக அடிப்படை அமைப்பில் சேர்க்கிறோம் மற்றும் .

பல வேர்கள்பெருக்கங்கள் நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளுக்கு ஒத்திருக்கும்: .

சிக்கலான வேர்கள் பலபெருக்கங்கள் மற்றும் அவற்றின் சிக்கலான கூட்டு மதிப்புகள் நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன:
.

ஒரு சிறப்பு ஒத்திசைவற்ற பகுதியுடன் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகள்

கருத்தில் கொள்வோம் படிவத்தின் சமன்பாடு
,
டிகிரிகளின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எங்கே 1 மற்றும் எஸ் 2 ; - நிரந்தர.

முதலில் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு (3) பொதுவான தீர்வைத் தேடுகிறோம். சிறப்பியல்பு சமன்பாடு என்றால் (4) வேர் கொண்டிருக்கவில்லை, பின்னர் வடிவத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேடுகிறோம்:
,
எங்கே
;
;
s - பெரிய s 1 மற்றும் எஸ் 2 .

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு என்றால் (4) ஒரு வேர் உள்ளதுபன்முகத்தன்மை, பின்னர் வடிவத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேடுகிறோம்:
.

இதற்குப் பிறகு நாம் பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம்:
.

நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகள்

இங்கே மூன்று சாத்தியமான தீர்வுகள் உள்ளன.

1) பெர்னோலி முறை.
முதலில், ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வைக் காணலாம்
.
பின்னர் நாங்கள் மாற்றீடு செய்கிறோம்
,
x என்ற மாறியின் செயல்பாடு எங்கே. u க்கான வேறுபட்ட சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், இதில் x ஐப் பொறுத்தவரை u என்பதன் வழித்தோன்றல்கள் மட்டுமே உள்ளன. மாற்றீட்டைச் செய்து, n என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் - 1 - வது உத்தரவு.

2) நேரியல் மாற்று முறை.
ஒரு மாற்று செய்வோம்
,
பண்புச் சமன்பாட்டின் (4) வேர்களில் ஒன்று எங்கே. இதன் விளைவாக, வரிசையின் நிலையான குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இந்த மாற்றீட்டைத் தொடர்ந்து பயன்படுத்துவதன் மூலம், அசல் சமன்பாட்டை முதல்-வரிசை சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கிறோம்.

3) லாக்ரேஞ்ச் மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை.
இந்த முறையில், நாம் முதலில் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை (3) தீர்க்கிறோம். அவரது தீர்வு இதுபோல் தெரிகிறது:
(2) .
மாறிலிகள் x மாறியின் செயல்பாடுகள் என்று நாம் மேலும் கருதுகிறோம். பின்னர் அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:
,
அறியப்படாத செயல்பாடுகள் எங்கே. அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றியமைத்து, சில கட்டுப்பாடுகளை விதித்து, சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம், அதில் இருந்து செயல்பாடுகளின் வகையைக் கண்டறியலாம்.

ஆய்லரின் சமன்பாடு

இது மாற்றீடு மூலம் நிலையான குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கிறது:
.
இருப்பினும், ஆய்லர் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அத்தகைய மாற்றீடு செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. வடிவத்தில் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை நீங்கள் உடனடியாகத் தேடலாம்
.
இதன் விளைவாக, நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கான அதே விதிகளைப் பெறுகிறோம், இதில் மாறிக்கு பதிலாக நீங்கள் மாற்ற வேண்டும்.

குறிப்புகள்:
வி வி. ஸ்டெபனோவ், வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பாடநெறி, "LKI", 2015.
என்.எம். குந்தர், ஆர்.ஓ. குஸ்மின், உயர் கணிதத்தில் சிக்கல்களின் தொகுப்பு, "லான்", 2003.