சோதனை: இலவச புள்ளிவிவர சோதனை. சராசரி மதிப்புகள் மற்றும் மாறுபாட்டின் குறிகாட்டிகள்

கடந்த பாடத்தில், அவளுக்கு நிறைய தெரியும் என்பதை நாங்கள் உணர்ந்தோம், புரியாதவர்கள், மறந்துவிட்டவர்கள் அல்லது கடந்து சென்றவர்கள், இணைப்பைப் பின்தொடர்ந்து தங்கள் அறிவைப் புதுப்பிக்கலாம்)). ஆனால் புள்ளியியல் கோட்பாட்டில் மற்றொரு சுவாரஸ்யமான சொல் உள்ளது. உலகில் மூன்று வகையான பொய்கள் உள்ளன - பொய்கள், அப்பட்டமான பொய்கள் மற்றும்... புள்ளிவிவரங்கள்!!!

முற்றிலும் முரண்பட்ட மற்றொரு அறிக்கை - புள்ளிவிவரங்கள் எல்லாம் தெரியும். ஆனால் அதில் ஓரளவு உண்மையும் இருக்கிறது. இது செயலாக்கத்திற்காக சேகரிக்கப்பட்ட தரவு பற்றியது.

ஆனால் இதைப் பற்றி பின்னர் பேசுவோம் ...

இருப்பினும், புள்ளியியல் வகைகளுக்குத் திரும்புவோம். வகைகள் அல்லது முக்கிய புள்ளிவிவர விதிமுறைகள்அறிவியலின் முக்கிய பகுதி. தரவு செயலாக்கம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் செயல்பாட்டில் இந்த சொற்கள் தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதே இங்குள்ள புள்ளி. அதனால்தான் புள்ளிவிவர அறிவியலுக்கு அவை மிகவும் முக்கியமானவை.

புள்ளிவிவர மக்கள் தொகை - சமூக-பொருளாதார பொருட்கள் அல்லது நிகழ்வுகளின் குழு பொது வாழ்க்கைஒரு பொதுவான இணைப்பு மூலம் ஒன்றுபட்டது, ஆனால் தனிப்பட்ட குணாதிசயங்களில் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகிறது. மக்கள்தொகையின் பொதுவான வரையறை இதுவாகும். அதன் அம்சங்களை உள்ளடக்கியது, மற்றும் மிகவும் முக்கியமானது, மற்றவை புள்ளியியல் வகைகள். ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு தொகுப்பு என்ன என்பதை எளிமைப்படுத்த அல்லது புரிந்துகொள்ள முயற்சிப்போம்.
ஒரு தொகுப்பு என்பது தனிமங்கள் அல்லது நிகழ்வுகள் அல்லது மக்கள் போன்றவற்றின் சில கலவையாகும். பொதுவாக மொத்தத்தில் பல பாகங்கள் அல்லது தனிமங்கள் (எப்போதும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை) இருப்பது மட்டுமல்லாமல், அவை அனைத்தும் ஓரளவு ஒத்திருக்கும். எனவே இந்த ஒற்றுமை இந்த உறுப்புகள் இணைந்ததற்கான அடையாளம். உறுப்புகளுக்கு பொதுவான ஒன்று உள்ளது, மேலும் பல பண்புகள் வேறுபடுகின்றன.

இதோ ஒரு சிறிய உதாரணம். படத்தில் நாம் வழக்கமான மக்களை சித்தரிக்கிறோம். இது மக்களின் தொகுப்பு - இந்த அடிப்படையில் அவர்கள் ஒரு தொகுப்பாக ஒன்றிணைக்கப்பட்டனர். எவ்வாறாயினும், நாம் அனைவரும் வித்தியாசமாக இருக்கிறோம், மேலும் நம்மை ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுத்தும் பல பண்புகள் உள்ளன - பாலினம், வயது, கல்வி, திருமண நிலை, வருமான நிலை, வசிக்கும் இடம் மற்றும் பல.
பொதுவாக, நீங்கள் படிக்க ஏதாவது இருக்கும் வரை, வெவ்வேறு கூறுகளை மொத்தமாக இணைக்கலாம்:
- பள்ளி மாணவர்களின் மொத்த எண்ணிக்கை - பொதுவான விஷயம் என்னவென்றால், அவர்கள் பள்ளியில் படிக்கிறார்கள், ஆனால் வேறுபாடுகள் பாலினம், வயது, வகுப்பு, படிக்கும் இடம் மற்றும் பல;
- ஒரு காட்டில் உள்ள மரங்களின் தொகுப்பு - அவை பொதுவானவை மரங்கள், வேறுபாடுகள் வயது, மரத்தின் வகை, உயரம் போன்றவை.
- நிறுவனங்களின் தொகுப்பு - பொது நிறுவனங்கள், வேறுபாடுகள், தொழில், பணியாளர்களின் எண்ணிக்கை, வெளியீட்டு அளவு, லாப அளவு போன்றவை.
மேலும் இதுபோன்ற ஏராளமான எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன.

உடற்பயிற்சி. படம் மாணவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காட்டுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதை விவரிக்கவும், இது ஏன் ஒரு தொகுப்பு, மாணவர்களிடம் என்ன அறிகுறிகள் உள்ளன. இந்தத் தொகுப்புடன் தொடர்பில்லாத கூடுதல் கூறுகள் ஏதேனும் படத்தில் உள்ளதா?

மற்றும் கடைசி மிக முக்கியமான சொல் மாறுபாடு!
மாறுபாடு- இவை புள்ளிவிவர மக்கள்தொகையின் பண்புகளில் ஏற்ற இறக்கங்கள். புள்ளிவிவரங்களில் அவர்கள் ஒரு அடையாளம் ஏற்ற இறக்கம் அல்லது மாறுபடும் என்று கூறுகிறார்கள்.
ஒரு பண்பின் மாறுபாடு புள்ளியியல் அறிவியலின் அடிப்படையாகும். மாறுபாடுகள் இல்லை என்றால், புள்ளிவிவரங்கள் இருக்காது. துல்லியமாக அறிகுறிகள் மாறுவதால் அவை ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. மாறுதல்களும் வேறுபாடுகளும் இல்லாமலும் எல்லாமே ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் படிப்பதற்கே ஒன்றுமில்லை புள்ளி விவரமும் இருக்காது.

பின்னர் நாம் செல்ல வேண்டும். ஆனால் முதலில், வீட்டுப்பாடம்.

சோதனை பணி.இரண்டு அல்லது மூன்று தொகுப்புகளின் உதாரணங்களைக் கொடுங்கள், அவற்றில் உள்ள மொத்த அலகுகளை முன்னிலைப்படுத்தவும் மற்றும் பண்புகளுடன் அவற்றை வகைப்படுத்தவும். ஒரு உதாரணம் கொடுங்கள் புள்ளியியல் குறிகாட்டிகள்மற்றும் பண்பு மாறுபாடுகள்.

அறிக்கைரஷ்ய கூட்டமைப்பில் மாநில புள்ளிவிவர அமைப்புகள் - செயல்பாடுகள், பணிகள், கட்டமைப்பு. – மத்திய மாநில புள்ளியியல் சேவை – http://www.gks.ru/

சராசரி என்பது முழு மக்கள்தொகையின் ஒரு சுருக்கமான பொதுவான பண்பு ஆகும். இது சீரற்ற மற்றும் சீரற்ற ஏற்ற இறக்கங்கள், தனிப்பட்ட குணாதிசயங்களின் செல்வாக்கு ஆகியவற்றை அழிக்கிறது, அணைக்கிறது, மென்மையாக்குகிறது மற்றும் ஒரு மதிப்பில் குறிப்பிட உங்களை அனுமதிக்கிறது, சில பொது பண்புகள்அலகுகளின் உண்மையான தொகுப்பு. சராசரிகளின் அறிவியல் பயன்பாட்டிற்கான முக்கிய நிபந்தனை என்னவென்றால், ஒவ்வொரு சராசரியும் ஒரு அலகுகளின் தொகுப்பை வகைப்படுத்துகிறது, இது அடிப்படையில், மற்றும் முதன்மையாக பண்புக்கூறின் சராசரி மதிப்புகளைப் பொறுத்து, ஒரே மாதிரியானது. பல்வேறு சராசரிகளில், எண்கணித சராசரி மிகவும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சராசரி.எண்கணித சராசரி என்பது ஒரு குணாதிசயத்தின் அனைத்து மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை அவற்றின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கும் புள்ளியாகும். இது x என குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்

பின்வரும் தரவைப் பயன்படுத்தி, 10 நபர்களின் மாதிரியில் தனிநபர்கள் தினசரி படிக்கும் செய்தித்தாள்களின் சராசரி எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுகிறோம்:

தொகுக்கப்பட்ட தரவுக்கான சூத்திரம் (1) ஆனது:

இதில் n t என்பது அதிர்வெண் ஆகும் நான்- வது பண்பு மதிப்பு.

ஒரு இடைவெளி தொடர் விநியோகத்திற்கான சராசரி கண்டறியப்பட்டால், அதன் நடுத்தரமானது ஒவ்வொரு இடைவெளிக்கும் பண்புக்கூறின் மதிப்பாக வழக்கமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும்.

தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கான சராசரியைக் கணக்கிடுவதற்கான செயல்முறை பின்வரும் திட்டத்தின் படி வசதியாக செய்யப்படுகிறது (அட்டவணை 3).

சராசரியை கணக்கிடுவதற்கு பல எளிமையான முறைகள் உள்ளன. எங்களுக்கு. 163 ஒரு இடைநிலை நிலையாக, நிபந்தனை பூஜ்ஜியத்திலிருந்து எண்ணும் முறையின் மூலம் சராசரியின் கணக்கீடு கருதப்படுகிறது.

உதாரணமாக.படிக்கப்பட்ட செய்தித்தாள்களின் எண்ணிக்கையில் மேலே உள்ள தரவை நாங்கள் பின்வருமாறு தொகுக்கிறோம் (பக்கம் 159 ஐப் பார்க்கவும்)

இடைநிலை.இடைநிலை என்பது அதிர்வெண் பரவல் தொடரின் நடுவில் அமைந்துள்ள மக்கள்தொகையின் அந்த அலகுக்கான பண்புக்கூறின் மதிப்பாகும்.

தொடரில் (2k) சம எண்ணிக்கையிலான சொற்கள் இருந்தால், நடுநிலையானது பண்புக்கூறின் இரண்டு நடுத்தர மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரிக்கு சமமாக இருக்கும். சொற்களின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப்படை (2k+ 1) எனில், இடைநிலையானது (k + 1) பொருளின் பண்புக்கூறின் மதிப்பாக இருக்கும்.

10 நபர்களின் மாதிரியில், பதிலளித்தவர்கள் கொடுக்கப்பட்ட நிறுவனத்தில் சேவையின் நீளத்தின் அடிப்படையில் தரவரிசைப்படுத்தப்படுகிறார்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

சராசரி ரேங்க்கள் 5 மற்றும் 6 ஆகும், எனவே இடைநிலை

IN இடைவெளி தொடர்உடன் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்அதிர்வெண்கள், சராசரியின் கணக்கீடு இரண்டு நிலைகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது: முதலில், சராசரி இடைவெளியைக் கண்டறியவும், இது திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண்களின் முதல், மொத்த மக்கள்தொகையின் பாதிக்கு மேல் ஒத்திருக்கிறது, பின்னர் சராசரியின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் சூத்திரம்

X0 என்பது சராசரி இடைவெளியின் தொடக்கம் (குறைந்த வரம்பு); d என்பது இடைநிலை இடைவெளியின் மதிப்பு; n = Sn t - இடைவெளிகளின் அதிர்வெண்களின் தொகை (உறவினர் அதிர்வெண்கள்); n n - அதிர்வெண் (உறவினர்) இடைநிலை இடைவெளியில் குவிந்துள்ளது; n me - இடைநிலை இடைவெளியின் அதிர்வெண் (உறவினர்).

அட்டவணையில் உள்ள தரவுகளின்படி கணக்கீட்டை மேற்கொள்வோம். 2, அங்கு திரட்டப்பட்ட தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள் கீழ் வரியில் காட்டப்படுகின்றன. அவர்களில் முதலாவது, மக்கள்தொகையில் பாதிக்கு மேல் (100/2 = 50%), 57.9% க்கு சமம். எனவே, சராசரியானது 3-4 வருட இடைவெளியைச் சேர்ந்தது. எனவே

எனவே, இந்த மாதிரியைப் பொறுத்தவரை, 3.7 ஆண்டுகளின் சராசரியானது, 50% குடும்பங்கள் இந்த மதிப்பைக் காட்டிலும் குறைவான வயது விகிதத்தையும், மற்ற 50% அதிகமாகவும் இருப்பதைக் காட்டுகிறது. இடைநிலையானது விநியோகத்தின் திரட்சியிலிருந்து வரைகலை முறையில் எளிதில் தீர்மானிக்கப்படலாம் (படம் 3 ஐப் பார்க்கவும்).

பகுதி மதிப்புகள் பெரும்பாலும் உடனடி அர்த்தமுள்ள விளக்கத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றாலும், இடைநிலையானது தனித்துவமான மாறிகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம்.

மூலம் தொழிலாளர்களின் விநியோகம் படி கட்டண வகைகள்பார்க்க p. 156) மேலே உள்ள சூத்திரம் 1 8 ஐப் பயன்படுத்தி இந்த விநியோகத்தின் சராசரியைக் கணக்கிடுங்கள். நாம் பெறுகிறோம்

50% தொழிலாளர்கள் 3.1 க்கும் குறைவான வகையையும், 50% அதிக வகையையும் கொண்டுள்ளனர் என்பதை நாங்கள் கண்டறிந்தோம்.

சராசரி, ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மாறுபாடு தொடரை சம அளவிலான இரண்டு குழுக்களாகப் பிரிக்கிறது.

சராசரியுடன், நாம் அழைக்கப்படும் மதிப்புகளைக் கருத்தில் கொள்ளலாம் அளவுகள்இது விநியோகத் தொடரை 4 சம பாகங்களாக, 10 ஆகப் பிரிக்கிறது.

ஒரு தொடரை 4 சம மக்கள்தொகைகளாகப் பிரிக்கும் அளவுகள் குவார்டைல்கள் எனப்படும். கீழ் Q1/4 மற்றும் மேல் காலாண்டுகள் உள்ளன (படம் 6). மதிப்பு Q 1/2 என்பது சராசரி. காலாண்டுகளைக் கணக்கிடுவது சராசரியைக் கணக்கிடுவதைப் போன்றது:

இதில் x 0 என்பது கீழ் (மேல்) காலாண்டைக் கொண்ட இடைவெளியின் குறைந்தபட்ச வரம்பு; n n - அதிர்வெண் (உறவினர் அதிர்வெண்) காலாண்டு இடைவெளி வரை திரட்டப்பட்டது; n Q - காலாண்டு இடைவெளியின் அதிர்வெண் (உறவினர் அதிர்வெண்); d என்பது காலாண்டு இடைவெளியின் மதிப்பு.

சதங்கள்அவதானிப்புகளின் தொகுப்பை ஒவ்வொன்றிலும் சம எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளுடன் 100 பகுதிகளாகப் பிரிக்கவும். Deciles பத்து சம பாகங்களாக அவதானிப்புகளின் தொகுப்பை பிரிக்கின்றன. திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண்களின் (ஒட்டுமொத்த) விநியோகத்திலிருந்து அளவுகள் எளிதில் கணக்கிடப்படுகின்றன.

ஃபேஷன்.புள்ளிவிவரங்களில், பயன்முறை என்பது ஒரு குணாதிசயத்தின் மிகவும் அடிக்கடி நிகழும் மதிப்பு, அதாவது, பதிவுசெய்யப்பட்ட அவதானிப்புகளின் தொடரில் பெரும்பாலும் சந்திக்கும் மதிப்பு. IN தனித்துவமான தொடர்முறை (Mo) என்பது அதிக அதிர்வெண் கொண்ட மதிப்பு.

இடைவெளி தொடரில் (உடன் சம இடைவெளியில்) அதிக எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளைக் கொண்ட வகுப்பு மாதிரி. பயன்முறை மதிப்பு அதன் வரம்புகளுக்குள் உள்ளது மற்றும் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

இதில் x 0 என்பது மாதிரி இடைவெளியின் கீழ் வரம்பு; d - இடைவெளி அளவு; n- - மாதிரி ஒன்றிற்கு முந்தைய இடைவெளியின் அதிர்வெண்; n மோ - மாதிரி வகுப்பு அதிர்வெண்; n + - மாதிரி ஒன்றைத் தொடர்ந்து இடைவெளியின் அதிர்வெண்.

சில தரமான பண்புக்கூறுகளின்படி பொருட்களை வகைப்படுத்தும் செயல்பாடு மட்டுமே செய்யக்கூடிய மக்கள்தொகையில், பயன்முறையைக் கணக்கிடுவது மக்கள்தொகையின் ஒரு குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு மையத்தைக் குறிக்க ஒரே வழியாகும்.

ஃபேஷனின் தீமைகள் பின்வருவனவற்றை உள்ளடக்குகின்றன: இயற்கணித செயல்பாடுகளைச் செய்ய இயலாமை; குழு இடைவெளியில் அதன் மதிப்பின் சார்பு; ஒரு விநியோகத் தொடரில் ஒரு அம்சத்தின் பல மாதிரி மதிப்புகள் இருப்பதற்கான சாத்தியக்கூறு (உதாரணமாக, படம் 4, c பார்க்கவும்).

சராசரிகளின் ஒப்பீடு. ஒரு வகை அல்லது மற்றொரு வகையைப் பயன்படுத்துவதற்கான ஆலோசனை சராசரி அளவுபொறுத்தது குறைந்தபட்சம்பின்வரும் நிபந்தனைகளில்: சராசரியின் நோக்கம், விநியோகத்தின் வகை, குணாதிசயத்தின் அளவீட்டு நிலை மற்றும் கணக்கீட்டு பரிசீலனைகள். சராசரியின் நோக்கம், பரிசீலனையில் உள்ள சிக்கலின் அர்த்தமுள்ள விளக்கத்துடன் தொடர்புடையது. இருப்பினும், விநியோகத்தின் வடிவம் சராசரிகளின் ஆய்வை கணிசமாக சிக்கலாக்கும். ஒரு சமச்சீர் விநியோகத்திற்கு (படம் 4, a ஐப் பார்க்கவும்) பயன்முறை, சராசரி மற்றும் எண்கணித சராசரி ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், சமச்சீரற்ற விநியோகத்திற்கு இது பொருந்தாது. விநியோக வகையால் சராசரியின் தேர்வும் பாதிக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, திறந்த வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளிகளைக் கொண்ட தொடருக்கு எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடுவது சாத்தியமில்லை, ஆனால் விநியோகம் சமச்சீர்நிலைக்கு அருகில் இருந்தால், நீங்கள் சராசரியைக் கணக்கிடலாம், இது இந்த விஷயத்தில் ஒத்ததாக இருக்கும்.

புள்ளிவிவரத் தரவைச் செயலாக்குதல் மற்றும் சுருக்கமாகச் செயலாக்கும் செயல்பாட்டில், சராசரி மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்க வேண்டிய அவசியம் உள்ளது. ஒவ்வொரு ஒரே மாதிரியான புள்ளிவிவர மக்கள்தொகை அளவு பண்புகளின் அளவு வேறுபடும் போதுமான அளவு அலகுகளைக் கொண்டுள்ளது. அதே நேரத்தில், மொத்தத்தின் ஒவ்வொரு அலகு, வரையறையின்படி, முழு மொத்தத்தின் சிறப்பியல்பு அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது. சராசரி மதிப்புகளின் கணக்கீடு, ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையின் சிறப்பியல்புகள் மற்றும் பண்புகளின் பொதுவான நிலைகளை அடையாளம் காண அனுமதிக்கிறது.

சராசரி மதிப்புகள்இடம் மற்றும் நேரத்தின் குறிப்பிட்ட நிலைமைகளின் கீழ் ஒரு யூனிட் மக்கள்தொகைக்கு மாறுபடும் பண்புகளின் பொதுவான அளவை வகைப்படுத்தும் பொதுமைப்படுத்தும் குறிகாட்டிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

சராசரியின் சாராம்சத்தைப் பற்றிய சரியான புரிதல் அதை தீர்மானிக்கிறது சிறப்புசந்தைப் பொருளாதாரத்தில் முக்கியத்துவம், தனிநபர் மற்றும் சீரற்ற மூலம் சராசரியானது பொதுவான மற்றும் அவசியமானவற்றை அடையாளம் காண, வடிவங்களின் போக்கை அடையாளம் காண அனுமதிக்கும் போது பொருளாதார வளர்ச்சி. வணிக, செயல்பாடு உட்பட உண்மையான பொருளாதார நிலைமைகளில் நிரந்தர காரணங்கள்(காரணிகள்) ஆய்வு செய்யப்படும் ஒவ்வொரு நிகழ்விலும் சமமாகச் செயல்படுகின்றன, மேலும் அவர்கள்தான் இந்த நிகழ்வுகளை ஒன்றுக்கொன்று ஒத்ததாக ஆக்கி, அனைவருக்கும் பொதுவான வடிவங்களை உருவாக்குகிறார்கள். நிகழ்வுகளின் பொதுவான மற்றும் தனிப்பட்ட காரணங்களின் கோட்பாட்டின் விளைவாக, புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வின் முக்கிய நுட்பமாக சராசரி மதிப்புகளை அடையாளம் காண்பது, புள்ளிவிவர சராசரி மதிப்புகள் கணித அளவீட்டின் ஒரு அளவுகோல் மட்டுமல்ல, ஒரு வகையாகும். புறநிலை யதார்த்தம். IN புள்ளியியல் கோட்பாடுஒரு பொதுவான நிஜ வாழ்க்கை சராசரி மதிப்பு, கொடுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகைக்கான உண்மையான மதிப்புடன் அடையாளம் காணப்படுகிறது, அதில் இருந்து விலகல்கள் சீரற்றதாக மட்டுமே இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, விற்பனையாளரின் செயல்திறன் பல காரணங்களைப் பொறுத்தது: தகுதிகள், அனுபவம், வயது, சேவையின் வடிவம், வளர்ப்பு, ஆரோக்கியம் போன்றவை. ஒரு விற்பனையாளருக்கான சராசரி வெளியீடு (விற்பனை) மொத்த விற்பனையாளர்களின் பொதுவான பொதுவான சொத்தை பிரதிபலிக்கிறது. புள்ளிவிவர மக்கள்தொகையின் பண்புகளைப் பாதுகாக்க சராசரி மதிப்புகளின் திறன் அழைக்கப்படுகிறது சொத்து வரையறை.

எனவே, சராசரி மதிப்புகள் செயல் வெளிப்படுத்தப்படும் பொதுவான குறிகாட்டிகள் பொது நிலைமைகள், ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வின் முறை.

புள்ளிவிவர தரவு செயலாக்க நடைமுறையில், பல்வேறு சிக்கல்கள் எழுகின்றன, ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வுகளின் அம்சங்கள் உள்ளன, எனவே அவற்றைத் தீர்க்க வெவ்வேறு சராசரிகள் தேவைப்படுகின்றன.

ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையின் தரவுகளின் பொதுமைப்படுத்தலின் அளவின் படி, சராசரியாக இருக்கலாம் பொது மற்றும் குழு.மொத்த மக்கள்தொகைக்காக கணக்கிடப்பட்ட சராசரி அழைக்கப்படுகிறது பொது சராசரி,மற்றும் ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் கணக்கிடப்பட்ட சராசரிகள் குழு சராசரிகள்.

வேறுபடுத்தி சக்தி மற்றும் கட்டமைப்புசராசரி.

சக்திபடிவத்தின் பொதுவான சூத்திரத்திலிருந்து சராசரிகள் பெறப்படுகின்றன:

அடுக்கு மாற்றத்துடன் நாம் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை சராசரியை அடைகிறோம்:

மணிக்கு - ஹார்மோனிக் சராசரி;

மணிக்கு - வடிவியல் சராசரி;

மணிக்கு - எண்கணித சராசரி;

மணிக்கு - வேர் என்றால் சதுரம்.

ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கில் எந்த வகையான சராசரியைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்ற கேள்வி, ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையின் குறிப்பிட்ட பகுப்பாய்வு, ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வின் பொருள் உள்ளடக்கம் மற்றும் சராசரி முடிவுகளைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது. சராசரி மதிப்பின் விளைவாக, உண்மையான அர்த்தமுள்ள மதிப்புகள் பெறப்படும்போது மட்டுமே சராசரி மதிப்பு சரியாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

பின்வரும் குறிப்புகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன:

- சராசரியைக் கண்டறியும் அளவு பண்பு அழைக்கப்படுகிறது சராசரி பண்பு;

– சராசரி மதிப்புபண்புக்கூறு (மேலே ஒரு பட்டியுடன்), சராசரியின் முடிவைக் குறிக்கிறது;

மக்கள்தொகையின் அலகுகளுக்கான பண்புகளின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் எனப்படும் விருப்பங்கள்;

- மக்கள்தொகையில் மொத்த அலகுகளின் எண்ணிக்கை;

- அதிர்வெண்அல்லது ஒரு அம்சத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்பின் (அதன் எடை) மீண்டும் மீண்டும் வரக்கூடியது;

சராசரி அம்சம் (குறியீடு).

மூலத் தரவின் கிடைக்கும் தன்மையைப் பொறுத்து, சராசரிகளை வெவ்வேறு வழிகளில் கணக்கிடலாம். என்றால் தனிப்பட்ட மதிப்புகள்சராசரி குணாதிசயத்தின் (மாறுபாடுகள்) அவை பயன்படுத்தப்படும் சராசரி பண்புகளின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கு மீண்டும் செய்யப்படுவதில்லை; எளிய ஆற்றல் சராசரிகளுக்கான சூத்திரங்கள்.இருப்பினும், உள்ளே இருக்கும்போது நடைமுறை ஆராய்ச்சிஆய்வின் கீழ் உள்ள மக்கள்தொகையின் அலகுகளில் ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் பல முறை நிகழ்கின்றன, பின்னர் குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் (பண்பின் எடை) மீண்டும் மீண்டும் வருவதற்கான அதிர்வெண் ஆற்றல் சராசரிகளின் சூத்திரங்களில் உள்ளது. இந்த வழக்கில் அவர்கள் அழைக்கப்படுகிறார்கள் எடையுள்ள ஆற்றல் சராசரிகளின் சூத்திரங்கள்.எடையுள்ள சராசரிகளுக்கான சூத்திரங்களில் அதிர்வெண்களுக்குப் பதிலாக இருக்கலாம் அதிர்வெண்

ஒரு அம்சத்தின் அதிர்வெண் மற்றும் அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகையின் விகிதம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.

அட்டவணை 9 பல்வேறு வகையான ஆற்றல் எளிய மற்றும் எடையுள்ள சராசரிகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களைக் காட்டுகிறது.

அட்டவணை 9. ஆற்றல் சராசரியைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள்

பொருள்	நடுவின் பெயர்	சராசரி சூத்திரம்
எளிய	எடையுள்ள
- 1	ஹார்மோனிக் சராசரி
	வடிவியல் சராசரி
	எண்கணித சராசரி
	சதுரம்

எண்கணித சராசரி –சராசரியின் மிகவும் பொதுவான வகை. சராசரி குணாதிசயத்தின் அளவு மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட அலகுகளுக்கு அதன் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக உருவாகும் சந்தர்ப்பங்களில் இது கணக்கிடப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நிறுவனத்தின் பத்து ஊழியர்களின் சேவையின் சராசரி நீளத்தை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும், மேலும் 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 4 பண்புக்கூறின் ஒற்றை மதிப்புகளின் வரிசையைக் கொடுக்க வேண்டும். பின்னர் சராசரி பண்புக்கூறின் அளவு

மற்றும் சராசரி மதிப்பு எளிய சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

அதே தரவு பண்புக்கூறின் மதிப்பால் தொகுக்கப்பட்டால், சராசரி மதிப்பு எடையுள்ள சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும்.

ஹார்மோனிக் சராசரிபுள்ளிவிவரத் தகவல்களில் மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட மாறுபாடுகளுக்கான அதிர்வெண்கள் இல்லாதபோது மதிப்பு பெரும்பாலும் கணக்கிடப்படுகிறது, ஆனால் மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட மாறுபாடுகளுடன் தொடர்புடைய சராசரி பண்புகளின் அளவுகளில் தரவு உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு யூனிட் பொருட்களின் சராசரி விலையைக் கணக்கிடுவது அவசியம், மேலும் ஒவ்வொரு வகை தயாரிப்புக்கான விற்பனை அளவுகள் 600, 1000, 850 (ஆயிரம் ரூபிள்) மற்றும் ஒவ்வொரு வகைக்கும் தொடர்புடைய விலைகளின் வடிவத்தில் வழங்கப்படுகின்றன. தொடரின் வடிவத்தில் தயாரிப்பு 20, 40, 50 (ஆயிரம் ரூபிள் ./PC.). பிறகு சராசரி விலைஎடையுள்ள ஹார்மோனிக் சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

ஹார்மோனிக் சராசரி என்பது எண்கணித சராசரியின் மாற்றப்பட்ட (தலைகீழ்) வடிவமாக இருப்பதைக் காணலாம். ஹார்மோனிக் சராசரிக்கு பதிலாக, நீங்கள் எப்போதும் எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடலாம், ஆனால் இதைச் செய்ய, நீங்கள் முதலில் தனிப்பட்ட பண்புக்கூறு மதிப்புகளின் எடையை தீர்மானிக்க வேண்டும்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தும் போது வடிவியல் சராசரிஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள், ஒரு விதியாக, இயக்கவியலின் ஒப்பீட்டு மதிப்புகள் ஆகும், அவை சங்கிலி மதிப்புகளின் வடிவத்தில் கட்டமைக்கப்படுகின்றன (இயக்கவியல் தொடரின் முந்தைய நிலைகளுக்கு காட்டி அடுத்தடுத்த நிலைகளின் விகிதமாக), மற்றும் இயக்கவியல் தொடரின் நேர இடைவெளிகள் ஒரே மாதிரியானவை (நாள், மாதம், ஆண்டு). வடிவியல் சராசரியானது சராசரி வளர்ச்சிக் குணகத்தை வகைப்படுத்துகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, அட்டவணை 10 இல் வழங்கப்பட்ட இயக்கவியல் தொடர் தரவுகளுக்கு,

அட்டவணை 10. மக்கள்தொகை வருமான வளர்ச்சியின் இயக்கவியல்

மக்கள்தொகை வருமானத்தின் சராசரி வளர்ச்சி விகிதம் எளிய வடிவியல் சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

சூத்திரம் வேர் என்றால் சதுரம்சராசரியைச் சுற்றியுள்ள பண்புக்கூறு மதிப்புகளின் ஏற்ற இறக்கத்தின் சராசரி அளவை அளவிட அளவுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன எண்கணித மதிப்புவிநியோக வரிசைகளில். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, சிதறல் போன்ற மாறுபாட்டின் குறிகாட்டியைக் கணக்கிடும்போது, ​​சராசரியானது எண்கணித சராசரியிலிருந்து ஒரு சிறப்பியல்பு தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் வர்க்க விலகல்களிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது (அத்தியாயம் 6 ஐப் பார்க்கவும்).

ஆற்றல் சராசரிகள் பல்வேறு வகையான, ஒரே மக்கள்தொகையிலிருந்து கணக்கிடப்பட்டால், வெவ்வேறு அளவு மதிப்புகள் உள்ளன, மேலும் பெரிய அடுக்கு, தொடர்புடைய சராசரியின் மதிப்பு அதிகமாகும்

ஆற்றல் சராசரிகளின் இந்த பண்பு அழைக்கப்படுகிறது சராசரிகளின் பெரும்பகுதி.

மக்கள்தொகையின் கட்டமைப்பை வகைப்படுத்த, சிறப்பு குறிகாட்டிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை அழைக்கப்படுகின்றன கட்டமைப்புசராசரி. இந்த குறிகாட்டிகளில் பயன்முறை மற்றும் இடைநிலை ஆகியவை அடங்கும்.

ஃபேஷன்கொடுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையின் அலகுகளில் ஒரு குணாதிசயத்தின் அடிக்கடி நிகழும் மதிப்பு அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு குறிப்பிட்ட பண்பு மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, 8 நாணய மாற்றுப் புள்ளிகளின் மாதிரி கணக்கெடுப்பு ஒரு டாலருக்கு வெவ்வேறு விலைகளைப் பதிவுசெய்வதை சாத்தியமாக்கியது (அட்டவணை 11). இந்த வழக்கில், ஒரு டாலரின் மாதிரி விலை கணக்கெடுக்கப்பட்ட நாணய பரிமாற்ற அலுவலகங்களில் இது பெரும்பாலும் நிகழ்கிறது (3 முறை).

இடைநிலை- இது ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மாறுபாடு தொடரின் எண்ணிக்கையை இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கும் பண்புகளின் மதிப்பாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, அட்டவணை 10 இலிருந்து தரவை எடுத்து, பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளை ஏறுவரிசையில் வரிசைப்படுத்தலாம்.

2150 2155 2155 2155 2160 21652165 2175

சராசரியின் வரிசை எண் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

அ) வழக்கில் இரட்டைப்படை எண்சராசரி எண்ணுக்கு முழு எண் மதிப்பு இல்லை (எங்கள் வழக்கில் 4.5). சராசரியானது அண்டை மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரிக்கு சமமாக இருக்கும்

b) வழக்கில் ஒற்றைப்படை எண்தனிப்பட்ட பண்புகள் (உதாரணமாக, )

எனவே, இந்த வழக்கில்

பரிசீலிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், பயன்முறை மற்றும் இடைநிலை போன்ற சராசரிகளைக் கண்டறிவது நல்லது, ஏனெனில் ஆராய்ச்சியாளரிடம் ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் விற்பனை அளவு இல்லை, எனவே ஒரு டாலருக்கு எண்கணித சராசரி விலையை நல்ல துல்லியத்துடன் கணக்கிட முடியவில்லை. மேலும், கருதப்படும் எடுத்துக்காட்டு, தொடர்புடைய சராசரி வகையின் தேர்வு எப்போதும் கிடைக்கக்கூடிய தரவைப் பொறுத்தது என்பதை விளக்குகிறது.

4.3 சராசரி மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான பண்புகள் மற்றும் முறைகள்

பொருளாதார மற்றும் புள்ளியியல் நடைமுறையில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் எண்கணித சராசரி, சில நேரங்களில் அதன் கணக்கீட்டை எளிதாக்கும் பல கணித பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த பண்புகள் பின்வருமாறு:

1. விருப்பங்கள் சில நிலையான எண்ணால் குறைக்கப்பட்டால் அல்லது அதிகரித்தால், பிறகு

அதற்கேற்ப எண்கணித சராசரி குறையும் அல்லது அதிகரிக்கும்

2. விருப்பங்கள் நிலையான எண்ணிக்கையில் மாறினால், சராசரியும் மாறும்

அதே எண்ணிக்கையில்

3. அதிர்வெண்கள் சில நிலையான எண்ணால் வகுக்கப்பட்டால் அல்லது பெருக்கப்பட்டால், சராசரி மாறாது

4. அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகை மூலம் எண்கணித சராசரியின் பெருக்கல், அதிர்வெண்கள் மூலம் விருப்பங்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்

5. இயற்கணிதத் தொகைசராசரி மதிப்பிலிருந்து விருப்பங்களின் விலகல் பூஜ்ஜியமாகும்

பட்டியலிடப்பட்ட பண்புகள் அனைத்தும் எடையுள்ள எண்கணித சராசரியின் வரையறையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன (பிரிவு 4.2 ஐப் பார்க்கவும்).

சில நேரங்களில் அதன் கணித பண்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு எண்கணித சராசரியின் கணக்கீட்டை எளிதாக்குவது வசதியானது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் எல்லா விருப்பங்களிலிருந்தும் தன்னிச்சையான மாறிலி மதிப்பைக் கழிக்க வேண்டும், இதன் விளைவாக வரும் வேறுபாட்டை ஒரு பொதுவான காரணியால் வகுக்கவும், பின்னர் கணக்கிடப்பட்ட சராசரி மதிப்பை பொதுவான காரணியால் பெருக்கி தன்னிச்சையான மாறிலியைச் சேர்க்கவும். இதன் விளைவாக, எடையுள்ள எண்கணித சராசரிக்கான சூத்திரம் இருக்கும் அடுத்த பார்வை.

சராசரி மதிப்புகள் பொது புள்ளியியல் குறிகாட்டிகளைக் குறிக்கின்றன, அவை வெகுஜன சமூக நிகழ்வுகளின் சுருக்க (இறுதி) பண்புகளை வழங்குகின்றன, ஏனெனில் அவை அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்படுகின்றன. பெரிய அளவுமாறுபட்ட பண்புகளின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள். சராசரி மதிப்பின் சாரத்தை தெளிவுபடுத்துவதற்கு, சராசரி மதிப்பு கணக்கிடப்படும் தரவுகளின்படி, அந்த நிகழ்வுகளின் அறிகுறிகளின் மதிப்புகளின் உருவாக்கத்தின் தனித்தன்மையைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்.

ஒவ்வொரு வெகுஜன நிகழ்வின் அலகுகளும் பல குணாதிசயங்களைக் கொண்டுள்ளன என்பது அறியப்படுகிறது. இந்த குணாதிசயங்களில் எதை நாம் எடுத்துக் கொண்டாலும், அதன் மதிப்புகள் தனிப்பட்ட அலகுகளுக்கு வித்தியாசமாக இருக்கும், அல்லது அவர்கள் புள்ளிவிவரங்களில் சொல்வது போல், ஒரு அலகுக்கு மற்றொரு அலகுக்கு மாறுபடும். உதாரணமாக, ஒரு பணியாளரின் சம்பளம் அவரது தகுதிகள், பணியின் தன்மை, சேவையின் நீளம் மற்றும் பல காரணிகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, எனவே மிகவும் பரந்த வரம்புகளுக்குள் மாறுபடும். அனைத்து காரணிகளின் ஒருங்கிணைந்த செல்வாக்கு ஒவ்வொரு பணியாளரின் வருவாயின் அளவை தீர்மானிக்கிறது, இருப்பினும், பொருளாதாரத்தின் பல்வேறு துறைகளில் தொழிலாளர்களின் சராசரி மாத சம்பளம் பற்றி பேசலாம். ஒரு பெரிய மக்கள்தொகையின் அலகுக்கு ஒதுக்கப்பட்ட மாறுபட்ட பண்புகளின் பொதுவான, சிறப்பியல்பு மதிப்புடன் இங்கே செயல்படுகிறோம்.

சராசரி மதிப்பு அதை பிரதிபலிக்கிறது பொது,இது ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையின் அனைத்து அலகுகளுக்கும் பொதுவானது. அதே நேரத்தில், மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட அலகுகளின் பண்புகளின் மதிப்பில் செயல்படும் அனைத்து காரணிகளின் செல்வாக்கையும் சமன் செய்கிறது, அவற்றை பரஸ்பரம் அணைப்பது போல. எந்தவொரு சமூக நிகழ்வின் நிலை (அல்லது அளவு) இரண்டு குழுக்களின் காரணிகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அவற்றில் சில பொதுவானவை மற்றும் முக்கியமானவை, தொடர்ந்து செயல்படுகின்றன, ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வு அல்லது செயல்முறையின் தன்மையுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை, மேலும் வழக்கமானஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையின் அனைத்து அலகுகளுக்கும், இது சராசரி மதிப்பில் பிரதிபலிக்கிறது. மற்றவை தனிப்பட்ட,அவற்றின் விளைவு குறைவாக உச்சரிக்கப்படுகிறது மற்றும் எபிசோடிக், சீரற்றது. அவை எதிர் திசையில் செயல்படுகின்றன, மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட அலகுகளின் அளவு பண்புகளுக்கு இடையில் வேறுபாடுகளை ஏற்படுத்துகின்றன, ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளின் நிலையான மதிப்பை மாற்ற முயற்சிக்கின்றன. தனிப்பட்ட குணாதிசயங்களின் விளைவு சராசரி மதிப்பில் அணைக்கப்படுகிறது. பொதுவான மற்றும் தனிப்பட்ட காரணிகளின் ஒருங்கிணைந்த செல்வாக்கில், பொதுவான குணாதிசயங்களில் சமநிலை மற்றும் பரஸ்பரம் ரத்து செய்யப்படுகிறது, இது தன்னை வெளிப்படுத்துகிறது பொதுவான பார்வைஇருந்து பிரபலமானது கணித புள்ளிவிவரங்கள்அடிப்படை சட்டம் பெரிய எண்கள்.

மொத்தத்தில், குணாதிசயங்களின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் ஒரு பொதுவான வெகுஜனமாக ஒன்றிணைந்து, அது போலவே, கரைந்துவிடும். எனவே சராசரி மதிப்பு"ஆள்மாறானதாக" செயல்படுகிறது, இது குணாதிசயங்களின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளிலிருந்து அவை எதனுடனும் அளவுடன் ஒத்துப்போகாமல் மாறுபடும். சராசரி மதிப்பு அதன் தனிப்பட்ட அலகுகளின் குணாதிசயங்களுக்கிடையில் சீரற்ற, வித்தியாசமான வேறுபாடுகளின் பரஸ்பர ரத்து காரணமாக ஒட்டுமொத்த மக்களுக்கும் பொதுவான, சிறப்பியல்பு மற்றும் பொதுவான தன்மையை பிரதிபலிக்கிறது, ஏனெனில் அதன் மதிப்பு அனைத்து காரணங்களின் பொதுவான விளைவாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

இருப்பினும், சராசரி மதிப்பு ஒரு குணாதிசயத்தின் மிகவும் பொதுவான மதிப்பைப் பிரதிபலிக்கும் வகையில், அது எந்த மக்கள்தொகைக்கும் தீர்மானிக்கப்படக்கூடாது, ஆனால் தரமான ஒரே மாதிரியான அலகுகளைக் கொண்ட மக்கள்தொகைக்கு மட்டுமே. இந்த தேவை சராசரி மதிப்புகளின் அறிவியல் அடிப்படையிலான பயன்பாட்டிற்கான முக்கிய நிபந்தனையாகும் மற்றும் சமூக-பொருளாதார நிகழ்வுகளின் பகுப்பாய்வில் சராசரி மதிப்புகளின் முறைக்கும் குழுக்களின் முறைக்கும் இடையே நெருங்கிய தொடர்பைக் குறிக்கிறது. இதன் விளைவாக, சராசரி மதிப்பு என்பது இடம் மற்றும் நேரத்தின் குறிப்பிட்ட நிலைமைகளின் கீழ் ஒரே மாதிரியான மக்கள்தொகையின் ஒரு யூனிட்டுக்கு மாறுபடும் பண்புகளின் பொதுவான அளவைக் குறிக்கும் பொதுவான குறிகாட்டியாகும்.

இவ்வாறு சராசரி மதிப்புகளின் சாரத்தை வரையறுப்பதில், எந்த சராசரி மதிப்பின் சரியான கணக்கீடு பின்வரும் தேவைகளை பூர்த்தி செய்வதை முன்னிறுத்துகிறது என்பதை வலியுறுத்துவது அவசியம்:

• சராசரி மதிப்பு கணக்கிடப்படும் மக்கள்தொகையின் தரமான ஒருமைப்பாடு. இதன் பொருள் சராசரி மதிப்புகளின் கணக்கீடு குழு முறையின் அடிப்படையில் இருக்க வேண்டும், இது ஒரே மாதிரியான, ஒத்த நிகழ்வுகளின் அடையாளத்தை உறுதி செய்கிறது;
• சராசரி மதிப்பின் கணக்கீட்டில் சீரற்ற, முற்றிலும் தனிப்பட்ட காரணங்கள் மற்றும் காரணிகளின் செல்வாக்கைத் தவிர்த்து. சராசரியின் கணக்கீடு போதுமான பாரிய பொருளை அடிப்படையாகக் கொண்டிருக்கும் போது இது அடையப்படுகிறது, இதில் பெரிய எண்களின் சட்டத்தின் செயல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் அனைத்து சீரற்ற தன்மையும் ரத்து செய்யப்படுகிறது;
• சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடும் போது, ​​அதன் கணக்கீடு மற்றும் அழைக்கப்படும் நோக்கத்தை நிறுவுவது முக்கியம் வரையறுக்கும் காட்டி(சொத்து) அது சார்ந்ததாக இருக்க வேண்டும்.

வரையறுக்கும் காட்டி சராசரியாக இருக்கும் குணாதிசயத்தின் மதிப்புகள், அதன் தலைகீழ் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை, அதன் மதிப்புகளின் தயாரிப்பு போன்றவற்றின் கூட்டுத்தொகையாக செயல்பட முடியும். வரையறுக்கும் காட்டிக்கும் சராசரி மதிப்புக்கும் இடையிலான உறவு பின்வருவனவற்றில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது: சராசரியாக இருக்கும் பண்புகளின் அனைத்து மதிப்புகளும் சராசரி மதிப்பால் மாற்றப்பட்டால், இந்த வழக்கில் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை அல்லது தயாரிப்பு வரையறுக்கும் குறிகாட்டியை மாற்றாது. வரையறுக்கும் குறிகாட்டிக்கும் சராசரி மதிப்புக்கும் இடையிலான இந்த இணைப்பின் அடிப்படையில், சராசரி மதிப்பை நேரடியாகக் கணக்கிடுவதற்கு ஆரம்ப அளவு உறவு கட்டமைக்கப்படுகிறது. புள்ளிவிவர மக்கள்தொகையின் பண்புகளைப் பாதுகாக்க சராசரி மதிப்புகளின் திறன் அழைக்கப்படுகிறது சொத்து வரையறை.

மொத்த மக்கள்தொகைக்கு கணக்கிடப்பட்ட சராசரி மதிப்பு அழைக்கப்படுகிறது பொது சராசரி;ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் கணக்கிடப்பட்ட சராசரி மதிப்புகள் - குழு சராசரிகள்.ஒட்டுமொத்த சராசரி பிரதிபலிக்கிறது பொதுவான அம்சங்கள்ஆய்வு செய்யப்பட்ட நிகழ்வு, குழு சராசரி ஒரு குறிப்பிட்ட குழுவின் குறிப்பிட்ட நிலைமைகளின் கீழ் உருவாகும் நிகழ்வின் சிறப்பியல்புகளை வழங்குகிறது.

கணக்கீட்டு முறைகள் வேறுபட்டிருக்கலாம், எனவே புள்ளிவிவரங்களில் பல வகையான சராசரி மதிப்புகள் உள்ளன, அவற்றில் முக்கியமானது எண்கணித சராசரி, ஹார்மோனிக் சராசரி மற்றும் வடிவியல் சராசரி.

IN பொருளாதார பகுப்பாய்வுசராசரி மதிப்புகளின் பயன்பாடு அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப முன்னேற்றம், சமூக நிகழ்வுகள் மற்றும் பொருளாதார வளர்ச்சிக்கான இருப்புத் தேடலின் முடிவுகளை மதிப்பிடுவதற்கான முக்கிய கருவியாகும். அதே நேரத்தில், சராசரி குறிகாட்டிகளில் அதிகப்படியான நம்பகத்தன்மை பொருளாதார மற்றும் புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வு நடத்தும் போது பக்கச்சார்பான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். சராசரி மதிப்புகள், பொதுவான குறிகாட்டிகளாக இருப்பதால், உண்மையில் இருக்கும் மற்றும் சுயாதீன ஆர்வமுள்ள மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட அலகுகளின் அளவு பண்புகளில் உள்ள வேறுபாடுகளை அணைத்து, புறக்கணிக்கிறது என்பதே இதற்குக் காரணம்.

சராசரிகளின் வகைகள்

புள்ளிவிவரங்களில் அவர்கள் பயன்படுத்துகிறார்கள் வெவ்வேறு வகையானசராசரி மதிப்புகள், அவை இரண்டு பெரிய வகுப்புகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன:

• சக்தி அர்த்தம் (ஹார்மோனிக் சராசரி, வடிவியல் சராசரி, எண்கணித சராசரி, இருபடி சராசரி, கன சராசரி);
• கட்டமைப்பு வழிமுறைகள் (முறை, இடைநிலை).

கணக்கெடுக்க சக்தி சராசரிகள்கிடைக்கக்கூடிய அனைத்து பண்பு மதிப்புகளையும் பயன்படுத்துவது அவசியம். ஃபேஷன்மற்றும் சராசரிவிநியோகத்தின் கட்டமைப்பால் மட்டுமே தீர்மானிக்கப்படுகிறது, எனவே அவை கட்டமைப்பு, நிலை சராசரிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இடைநிலை மற்றும் பயன்முறை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது சராசரி பண்புசராசரி சக்தி சட்டத்தை கணக்கிடுவது சாத்தியமற்றது அல்லது நடைமுறைக்கு மாறான மக்கள் தொகையில்.

சராசரியின் மிகவும் பொதுவான வகை எண்கணித சராசரி ஆகும். கீழ் எண்கணித சராசரிமக்கள்தொகையின் அனைத்து மதிப்புகளின் மொத்தத் தொகையானது மக்கள்தொகையின் அனைத்து அலகுகளுக்கும் சமமாக விநியோகிக்கப்பட்டால், மக்கள்தொகையின் ஒவ்வொரு அலகுக்கும் இருக்கும் ஒரு குணாதிசயத்தின் மதிப்பாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. இந்த மதிப்பின் கணக்கீடு பல்வேறு குணாதிசயங்களின் அனைத்து மதிப்புகளையும் தொகுத்து, அதன் விளைவாக வரும் தொகையை மக்கள்தொகையில் உள்ள மொத்த அலகுகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கும். உதாரணமாக, ஐந்து தொழிலாளர்கள் உதிரிபாகங்களின் உற்பத்திக்கான ஆர்டரை நிறைவேற்றினர், அதே நேரத்தில் முதலில் 5 பாகங்கள், இரண்டாவது - 7, மூன்றாவது - 4, நான்காவது - 10, ஐந்தாவது - 12. மூலத் தரவுகளில் ஒவ்வொன்றின் மதிப்பும் இருந்து. ஒரு முறை மட்டுமே விருப்பம் ஏற்பட்டது, ஒரு தொழிலாளியின் சராசரி வெளியீட்டை தீர்மானிக்க எளிய எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

அதாவது எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், ஒரு தொழிலாளியின் சராசரி வெளியீடு சமம்

எளிய எண்கணித சராசரியுடன், அவர்கள் படிக்கிறார்கள் எடையுள்ள எண்கணித சராசரி.உதாரணமாக, கணக்கிடுவோம் சராசரி வயது 18 முதல் 22 வயது வரையிலான 20 பேர் கொண்ட குழுவில் உள்ள மாணவர்கள் xi- சராசரியாக இருக்கும் குணாதிசயத்தின் மாறுபாடுகள், fi- அதிர்வெண், இது எத்தனை முறை நிகழ்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது நான்-வதுமொத்தத்தில் மதிப்பு (அட்டவணை 5.1).

அட்டவணை 5.1

மாணவர்களின் சராசரி வயது

எடையுள்ள எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

எடையுள்ள எண்கணித சராசரியைத் தேர்ந்தெடுக்க, உள்ளது குறிப்பிட்ட விதி: இரண்டு குறிகாட்டிகளில் தொடர்ச்சியான தரவு இருந்தால், அதில் ஒன்றைக் கணக்கிடுவது அவசியம்

சராசரி மதிப்பு, அதே நேரத்தில் அதன் தருக்க சூத்திரத்தின் வகுப்பின் எண் மதிப்புகள் அறியப்படுகின்றன, மேலும் எண் மதிப்புகள் தெரியவில்லை, ஆனால் இந்த குறிகாட்டிகளின் விளைபொருளாகக் காணலாம், பின்னர் சராசரி மதிப்பு இருக்க வேண்டும் எண்கணித எடையுள்ள சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும்.

சில சந்தர்ப்பங்களில், ஆரம்ப புள்ளியியல் தரவுகளின் தன்மை, எண்கணித சராசரியின் கணக்கீடு அதன் அர்த்தத்தை இழக்கிறது மற்றும் ஒரே பொதுமைப்படுத்தும் காட்டி மற்றொரு வகை சராசரியாக மட்டுமே இருக்க முடியும் - ஹார்மோனிக் சராசரி.தற்போது, ​​எலக்ட்ரானிக் கம்ப்யூட்டிங் தொழில்நுட்பத்தின் பரவலான அறிமுகம் காரணமாக எண்கணித சராசரியின் கணக்கீட்டு பண்புகள் பொதுவான புள்ளியியல் குறிகாட்டிகளின் கணக்கீட்டில் அவற்றின் பொருத்தத்தை இழந்துவிட்டன. பெரிய நடைமுறை முக்கியத்துவம்சராசரி ஹார்மோனிக் மதிப்பைப் பெற்றது, இது எளிமையானதாகவும் எடையுள்ளதாகவும் இருக்கலாம். ஒரு தருக்க சூத்திரத்தின் எண்களின் எண் மதிப்புகள் அறியப்பட்டால், மற்றும் வகுப்பின் மதிப்புகள் தெரியவில்லை, ஆனால் ஒரு குறிகாட்டியின் பகுதியளவு பிரிவாக மற்றொரு குறிகாட்டியால் கண்டறியப்பட்டால், சராசரி மதிப்பு ஹார்மோனிக் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது. எடையுள்ள சராசரி சூத்திரம்.

எடுத்துக்காட்டாக, கார் முதல் 210 கிமீ வேகத்தில் 70 கிமீ வேகத்திலும், மீதமுள்ள 150 கிமீ வேகத்தில் 75 கிமீ வேகத்திலும் சென்றது என்பதை அறியலாம். எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி 360 கிமீ முழுப் பயணத்திலும் காரின் சராசரி வேகத்தை தீர்மானிக்க இயலாது. விருப்பங்கள் தனிப்பட்ட பிரிவுகளில் வேகம் என்பதால் xj= 70 km/h மற்றும் X2= 75 km/h, மற்றும் எடைகள் (fi) பாதையின் தொடர்புடைய பிரிவுகளாகக் கருதப்படுகின்றன, பின்னர் விருப்பங்களின் தயாரிப்புகள் மற்றும் எடைகள் உடல் அல்லது பொருளாதார அர்த்தத்தை கொண்டிருக்காது. இந்த வழக்கில், பாதையின் பிரிவுகளை தொடர்புடைய வேகங்களாக (விருப்பங்கள் xi) பிரிப்பதன் மூலம், பகுதிகள் அர்த்தத்தைப் பெறுகின்றன, அதாவது, பாதையின் தனிப்பட்ட பிரிவுகளைக் கடக்க செலவழித்த நேரம் (fi / xi). பாதையின் பகுதிகள் fi ஆல் குறிக்கப்பட்டால், முழு பாதையும் Σfi ஆகவும், முழு பாதையிலும் செலவழித்த நேரம் Σ fi ஆகவும் வெளிப்படுத்தப்படும். / xi , பிறகு, சராசரி வேகம், மொத்தப் பாதையின் விகிதமாக, செலவழித்த மொத்த நேரத்தால் வகுக்கப்படும்:

எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் நாம் பெறுகிறோம்:

ஹார்மோனிக் சராசரியைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​அனைத்து விருப்பங்களின் எடையும் (f) சமமாக இருந்தால், எடைக்கு பதிலாக நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் எளிய (எடையற்ற) ஹார்மோனிக் சராசரி:

xi என்பது தனிப்பட்ட விருப்பங்கள்; n- சராசரி பண்புகளின் மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை. வேக எடுத்துக்காட்டில், வெவ்வேறு வேகங்களில் பயணிக்கும் பாதைப் பகுதிகள் சமமாக இருந்தால், எளிய ஹார்மோனிக் சராசரியைப் பயன்படுத்தலாம்.

சராசரியான குணாதிசயத்தின் ஒவ்வொரு மாறுபாட்டையும் மாற்றும்போது, ​​சராசரியான குறிகாட்டியுடன் தொடர்புடைய சில இறுதி, பொதுவான குறிகாட்டிகளின் மதிப்பு மாறாமல் இருக்க, எந்த சராசரி மதிப்பும் கணக்கிடப்பட வேண்டும். எனவே, பாதையின் தனிப்பட்ட பிரிவுகளில் உண்மையான வேகத்தை அவற்றின் சராசரி மதிப்புடன் மாற்றும் போது ( சராசரி வேகம்) மொத்த தூரம் மாறக்கூடாது.

சராசரி மதிப்பின் வடிவம் (சூத்திரம்) இந்த இறுதிக் குறிகாட்டியின் சராசரியான ஒன்றுடனான உறவின் தன்மை (பொறிமுறை) மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, எனவே இறுதி காட்டி, விருப்பங்களை அவற்றின் சராசரி மதிப்புடன் மாற்றும்போது அதன் மதிப்பு மாறக்கூடாது. அழைக்கப்பட்டது வரையறுக்கும் காட்டி.சராசரிக்கான சூத்திரத்தைப் பெற, நீங்கள் சராசரி காட்டிக்கும் தீர்மானிக்கும் குறிகாட்டிக்கும் இடையிலான உறவைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்க்க வேண்டும். இந்த சமன்பாடு சராசரியாக இருக்கும் குணாதிசயத்தின் (காட்டி) மாறுபாடுகளை அவற்றின் சராசரி மதிப்புடன் மாற்றுவதன் மூலம் உருவாக்கப்படுகிறது.

எண்கணித சராசரி மற்றும் ஹார்மோனிக் சராசரிக்கு கூடுதலாக, சராசரியின் பிற வகைகள் (வடிவங்கள்) புள்ளிவிவரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவை அனைத்தும் சிறப்பு வழக்குகள் சக்தி சராசரி.ஒரே தரவுக்கான அனைத்து வகையான ஆற்றல் சராசரிகளையும் கணக்கிட்டால், மதிப்புகள்

அவை ஒரே மாதிரியாக மாறும், விதி இங்கே பொருந்தும் முக்கிய விகிதம்சராசரி. சராசரியின் அடுக்கு அதிகரிக்கும் போது, ​​சராசரி மதிப்பே அதிகரிக்கிறது. நடைமுறை ஆராய்ச்சியில் பல்வேறு வகையான ஆற்றல் சராசரிகளைக் கணக்கிடுவதற்கு அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரங்கள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 5.2

அட்டவணை 5.2

இருக்கும் போது வடிவியல் சராசரி பயன்படுத்தப்படுகிறது nவளர்ச்சி குணகங்கள், பண்புகளின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள், ஒரு விதியாக, தொடர்புடைய இயக்கவியல் மதிப்புகள், இயக்கவியல் தொடரின் ஒவ்வொரு மட்டத்தின் முந்தைய நிலைக்கு விகிதமாக சங்கிலி மதிப்புகளின் வடிவத்தில் கட்டமைக்கப்படுகின்றன. சராசரியானது சராசரி வளர்ச்சி விகிதத்தை வகைப்படுத்துகிறது. சராசரி வடிவியல் எளிமையானதுசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

சூத்திரம் எடையுள்ள வடிவியல் சராசரிபின்வரும் வடிவம் உள்ளது:

மேலே உள்ள சூத்திரங்கள் ஒரே மாதிரியானவை, ஆனால் ஒன்று தற்போதைய குணகங்கள் அல்லது வளர்ச்சி விகிதங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இரண்டாவது - தொடர் நிலைகளின் முழுமையான மதிப்புகளில்.

சதுரம்சதுர செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடும்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது, விநியோகத் தொடரில் எண்கணித சராசரியைச் சுற்றி ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் ஏற்ற இறக்கத்தின் அளவை அளவிடப் பயன்படுகிறது மற்றும் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

எடையுள்ள சராசரி சதுரம்மற்றொரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

சராசரி கனசதுரம்அளவுகளைக் கணக்கிடும்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது கன செயல்பாடுகள்மற்றும் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

சராசரி கன எடை:

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட அனைத்து சராசரி மதிப்புகளும் பொதுவான சூத்திரமாக வழங்கப்படலாம்:

சராசரி மதிப்பு எங்கே; - தனிப்பட்ட பொருள்; n- ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையின் அலகுகளின் எண்ணிக்கை; கே- சராசரி வகையை நிர்ணயிக்கும் அடுக்கு.

ஒரே மூலத் தரவைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​மேலும் கேபொது சக்தி சராசரி சூத்திரத்தில், பெரிய சராசரி மதிப்பு. இதிலிருந்து சக்தி சராசரிகளின் மதிப்புகளுக்கு இடையே ஒரு இயற்கையான உறவு உள்ளது:

மேலே விவரிக்கப்பட்ட சராசரி மதிப்புகள் ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையைப் பற்றிய பொதுவான கருத்தைத் தருகின்றன, இந்தக் கண்ணோட்டத்தில், அவற்றின் கோட்பாட்டு, பயன்பாட்டு மற்றும் கல்வி மதிப்புசந்தேகமில்லை. ஆனால் சராசரி மதிப்பு உண்மையில் இருக்கும் எந்த விருப்பங்களுடனும் ஒத்துப்போவதில்லை, எனவே, கணக்கிடப்பட்ட சராசரிகளுக்கு கூடுதலாக, புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வில், குறிப்பிட்ட விருப்பங்களின் மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துவது அறிவுறுத்தப்படுகிறது, இது ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையை ஆக்கிரமித்துள்ளது. பண்பு மதிப்புகளின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட (தரப்படுத்தப்பட்ட) தொடர். இந்த அளவுகளில், மிகவும் பொதுவாக பயன்படுத்தப்படும் கட்டமைப்பு,அல்லது விளக்கமான, சராசரி- பயன்முறை (மோ) மற்றும் இடைநிலை (நான்).

ஃபேஷன்- கொடுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையில் பெரும்பாலும் காணப்படும் ஒரு குணாதிசயத்தின் மதிப்பு. ஒரு மாறுபாடு தொடர் தொடர்பாக, தரப்படுத்தப்பட்ட தொடரின் மிகவும் அடிக்கடி நிகழும் மதிப்பாக பயன்முறை உள்ளது, அதாவது அதிக அதிர்வெண் கொண்ட விருப்பமாகும். எந்தவொரு தயாரிப்புக்கும் மிகவும் பொதுவான விலையை அடிக்கடி பார்வையிடும் கடைகளை நிர்ணயிப்பதில் ஃபேஷன் பயன்படுத்தப்படலாம். இது மக்கள்தொகையின் குறிப்பிடத்தக்க பகுதியின் சிறப்பியல்பு அம்சத்தின் அளவைக் காட்டுகிறது மற்றும் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

x0 என்பது இடைவெளியின் கீழ் வரம்பு; ம- இடைவெளி அளவு; fm- இடைவெளி அதிர்வெண்; fm_ 1 - முந்தைய இடைவெளியின் அதிர்வெண்; fm+ 1 - அடுத்த இடைவெளியின் அதிர்வெண்.

இடைநிலைதரவரிசை வரிசையின் மையத்தில் அமைந்துள்ள விருப்பம் அழைக்கப்படுகிறது. இடைநிலையானது தொடரை இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கிறது, அதன் இருபுறமும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான மக்கள்தொகை அலகுகள் இருக்கும். இந்த வழக்கில், மக்கள்தொகையில் உள்ள அலகுகளில் ஒரு பாதியானது சராசரியை விட குறைவான மாறுபட்ட பண்புகளின் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது, மற்ற பாதி அதை விட அதிகமான மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது. விநியோகத் தொடரின் கூறுகளில் பாதியை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ அல்லது அதே சமயம் குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் ஒரு தனிமத்தைப் படிக்கும்போது இடைநிலை பயன்படுத்தப்படுகிறது. இடைநிலை கொடுக்கிறது பொதுவான சிந்தனைபண்புக்கூறின் மதிப்புகள் எங்கு குவிந்துள்ளன என்பதைப் பற்றி, வேறுவிதமாகக் கூறினால், அவற்றின் மையம் எங்கே அமைந்துள்ளது.

சராசரியின் விளக்கமான தன்மை, மக்கள்தொகையில் பாதி அலகுகள் கொண்டிருக்கும் மாறுபட்ட பண்புகளின் மதிப்புகளின் அளவு வரம்பை வகைப்படுத்துகிறது என்பதில் வெளிப்படுகிறது. தனித்துவமான மாறுபாடு தொடருக்கான இடைநிலையைக் கண்டறிவதில் சிக்கல் எளிதில் தீர்க்கப்படுகிறது. ஒரு தொடரின் அனைத்து அலகுகளுக்கும் வரிசை எண்கள் கொடுக்கப்பட்டால், பிறகு வரிசை எண்இடைநிலை விருப்பமானது (n +1) / 2 என்ற ஒற்றைப்படை எண் கொண்ட சொற்கள் n என வரையறுக்கப்படுகிறது. n/ 2 மற்றும் n / 2 + 1.

இடைவெளி மாறுபாடு தொடரில் இடைநிலையை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​முதலில் அது அமைந்துள்ள இடைவெளியை தீர்மானிக்கவும் (சராசரி இடைவெளி). இந்த இடைவெளியானது, அதன் திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண்களின் தொகையானது தொடரின் அனைத்து அதிர்வெண்களின் பாதித் தொகைக்கு சமமாக அல்லது அதிகமாக இருப்பதால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. இடைவெளி மாறுபாடு தொடரின் சராசரியானது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

எங்கே X0- இடைவெளியின் குறைந்த வரம்பு; ம- இடைவெளி அளவு; fm- இடைவெளி அதிர்வெண்; f- தொடரின் உறுப்பினர்களின் எண்ணிக்கை;

∫m-1 என்பது கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு முந்தைய தொடரின் திரட்டப்பட்ட சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

மேலும் சராசரியுடன் சேர்த்து முழு பண்புகள்ஆய்வின் கீழ் உள்ள மக்கள்தொகையின் கட்டமைப்புகள் தரவரிசைத் தொடரில் மிகவும் குறிப்பிட்ட நிலையை ஆக்கிரமிக்கும் விருப்பங்களின் பிற மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. இதில் அடங்கும் காலாண்டுகள்மற்றும் டெசில்கள்.காலாண்டுகள் அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகையின்படி தொடரை 4 சம பாகங்களாகவும், டெசில்கள் - 10 சம பாகங்களாகவும் பிரிக்கின்றன. மூன்று காலாண்டுகள் மற்றும் ஒன்பது தசமங்கள் உள்ளன.

சராசரி மற்றும் பயன்முறை, எண்கணித சராசரியைப் போலன்றி, மாறுபட்ட பண்புகளின் மதிப்புகளில் தனிப்பட்ட வேறுபாடுகளை ரத்து செய்யாது, எனவே கூடுதல் மற்றும் மிகவும் முக்கியமான பண்புகள்புள்ளிவிவர மக்கள் தொகை. நடைமுறையில், அவை பெரும்பாலும் சராசரிக்கு பதிலாக அல்லது அதனுடன் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆய்வுக்குட்பட்ட மக்கள்தொகையில் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான அலகுகள் இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில், மிகவும் பெரிய அல்லது மிகச் சிறிய மதிப்புள்ள மாறுபட்ட பண்புகளைக் கொண்ட சந்தர்ப்பங்களில் சராசரி மற்றும் பயன்முறையைக் கணக்கிடுவது குறிப்பாக அறிவுறுத்தப்படுகிறது. இந்த விருப்பங்களின் மதிப்புகள், மக்கள்தொகையின் மிகவும் சிறப்பியல்பு அல்ல, எண்கணித சராசரியின் மதிப்பை பாதிக்கும் போது, ​​சராசரி மற்றும் பயன்முறையின் மதிப்புகளை பாதிக்காது, இது பொருளாதார மற்றும் புள்ளிவிவரங்களுக்கான மிகவும் மதிப்புமிக்க குறிகாட்டிகளை உருவாக்குகிறது. பகுப்பாய்வு.

மாறுபாடு குறிகாட்டிகள்

நோக்கம் புள்ளியியல் ஆராய்ச்சிஆய்வு செய்யப்படும் புள்ளிவிவர மக்கள்தொகையின் அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் வடிவங்களை அடையாளம் காண்பது. தரவு சுருக்கம் செயலாக்கத்தின் போது புள்ளியியல் கவனிப்புகட்டி வருகின்றனர் விநியோக தொடர்.இரண்டு வகையான விநியோகத் தொடர்கள் உள்ளன - பண்புக்கூறு மற்றும் மாறுபாடு, குழுவிற்கு அடிப்படையாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட பண்பு தரமானதா அல்லது அளவு சார்ந்ததா என்பதைப் பொறுத்து.

மாறுபாடுஅளவு அடிப்படையில் கட்டப்பட்ட விநியோகத் தொடர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட அலகுகளில் அளவு பண்புகளின் மதிப்புகள் நிலையானவை அல்ல, அவை ஒருவருக்கொருவர் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ வேறுபடுகின்றன. ஒரு குணாதிசயத்தின் மதிப்பில் இந்த வேறுபாடு அழைக்கப்படுகிறது மாறுபாடுகள்.ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையில் காணப்படும் ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட எண் மதிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன மதிப்புகளின் மாறுபாடுகள்.மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட அலகுகளில் மாறுபாடு இருப்பது பண்பின் அளவை உருவாக்குவதில் அதிக எண்ணிக்கையிலான காரணிகளின் செல்வாக்கின் காரணமாகும். மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட அலகுகளில் குணாதிசயங்களின் மாறுபாட்டின் தன்மை மற்றும் அளவு பற்றிய ஆய்வு எந்தவொரு புள்ளிவிவர ஆராய்ச்சியின் மிக முக்கியமான பிரச்சினையாகும். பண்பு மாறுபாட்டின் அளவை விவரிக்க மாறுபாடு குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

புள்ளிவிவர ஆராய்ச்சியின் மற்றொரு முக்கியமான பணி, மக்கள்தொகையின் சில குணாதிசயங்களின் மாறுபாட்டில் தனிப்பட்ட காரணிகள் அல்லது அவற்றின் குழுக்களின் பங்கை தீர்மானிப்பதாகும். இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, புள்ளிவிவரங்கள் மாறுபாட்டைப் படிக்கும் சிறப்பு முறைகளைப் பயன்படுத்துகின்றன, இது மாறுபாடு அளவிடப்படும் குறிகாட்டிகளின் அமைப்பின் பயன்பாட்டின் அடிப்படையில். நடைமுறையில், ஆராய்ச்சியாளர் நிறைய எதிர்கொள்கிறார் பெரிய தொகைபண்புக்கூறு மதிப்புகளின் மாறுபாடுகள், இது மொத்தத்தில் பண்புக்கூறு மதிப்பின் மூலம் அலகுகளின் விநியோகம் பற்றிய யோசனையை அளிக்காது. இதைச் செய்ய, சிறப்பியல்பு மதிப்புகளின் அனைத்து வகைகளையும் ஏறுவரிசை அல்லது இறங்கு வரிசையில் ஏற்பாடு செய்யுங்கள். இந்த செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது தொடரின் தரவரிசை.தரவரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடர் உடனடியாக அம்சம் மொத்தத்தில் எடுக்கும் மதிப்புகள் பற்றிய பொதுவான கருத்தை வழங்குகிறது.

மக்கள்தொகையின் முழுமையான விளக்கத்திற்கான சராசரி மதிப்பின் பற்றாக்குறை, சராசரி மதிப்புகளை குறிகாட்டிகளுடன் கூடுதலாக வழங்க நம்மைத் தூண்டுகிறது, இது ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளின் மாறுபாட்டை (மாறுபாடு) அளவிடுவதன் மூலம் இந்த சராசரிகளின் சிறப்பியல்புகளை மதிப்பிட அனுமதிக்கிறது. மாறுபாட்டின் இந்த குறிகாட்டிகளின் பயன்பாடு புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வை மிகவும் முழுமையானதாகவும் அர்த்தமுள்ளதாகவும் மாற்றுவதை சாத்தியமாக்குகிறது, இதன் மூலம் ஆய்வு செய்யப்படும் சமூக நிகழ்வுகளின் சாராம்சத்தைப் பற்றிய ஆழமான புரிதலைப் பெறுகிறது.

மாறுபாட்டின் எளிய அறிகுறிகள் குறைந்தபட்சம்மற்றும் அதிகபட்சம் -இது மிகச் சிறியது மற்றும் மிக உயர்ந்த மதிப்புமொத்தத்தில் அறிகுறிகள். சிறப்பியல்பு மதிப்புகளின் தனிப்பட்ட மாறுபாடுகளின் மறுபடியும் எண்ணிக்கை அழைக்கப்படுகிறது மீண்டும் மீண்டும் அதிர்வெண்.பண்புக்கூறு மதிப்பின் மறுநிகழ்வின் அதிர்வெண்ணைக் குறிக்கலாம் fi,ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையின் அளவிற்கு சமமான அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகை:

எங்கே கே- பண்புக்கூறு மதிப்புகளுக்கான விருப்பங்களின் எண்ணிக்கை. அதிர்வெண்களை அதிர்வெண்களுடன் மாற்றுவது வசதியானது - wi. அதிர்வெண்- சார்பு அதிர்வெண் காட்டி - ஒரு அலகு அல்லது சதவீதத்தின் பின்னங்களில் வெளிப்படுத்தலாம் மற்றும் மாறுபாடு தொடரை ஒப்பிட உங்களை அனுமதிக்கிறது வெவ்வேறு எண்அவதானிப்புகள். முறைப்படி எங்களிடம் உள்ளது:

ஒரு பண்பின் மாறுபாட்டை அளவிட, பல்வேறு முழுமையான மற்றும் உறவினர் குறிகாட்டிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மாறுபாட்டின் முழுமையான குறிகாட்டிகள் சராசரியை உள்ளடக்கியது நேரியல் விலகல், மாறுபாட்டின் வரம்பு, சிதறல், நிலையான விலகல்.

மாறுபாட்டின் வரம்பு(ஆர்) ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையில் பண்புக்கூறின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது: ஆர்= Xmax - Xmin. இந்த காட்டி ஆய்வு செய்யப்படும் குணாதிசயத்தின் மாறுபாடு பற்றிய பொதுவான கருத்தை மட்டுமே தருகிறது, ஏனெனில் இது விருப்பங்களின் அதிகபட்ச மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை மட்டுமே காட்டுகிறது. இது அதிர்வெண்களுடன் முற்றிலும் தொடர்பில்லாதது மாறுபாடு தொடர், அதாவது, விநியோகத்தின் தன்மை மற்றும் அதன் சார்பு ஆகியவற்றுடன் அது ஒரு நிலையற்ற, சீரற்ற தன்மையை பண்புக்கூறின் தீவிர மதிப்புகளில் மட்டுமே கொடுக்க முடியும். மாறுபாட்டின் வரம்பு ஆய்வின் கீழ் உள்ள மக்கள்தொகையின் பண்புகள் பற்றிய எந்த தகவலையும் வழங்காது மற்றும் பெறப்பட்ட சராசரி மதிப்புகளின் சிறப்பியல்பு அளவை மதிப்பிட அனுமதிக்காது. இந்த குறிகாட்டியின் பயன்பாட்டின் நோக்கம் மிகவும் துல்லியமாக ஒரே மாதிரியான மக்கள்தொகைக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இது ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டை வகைப்படுத்துகிறது, இது பண்பின் அனைத்து மதிப்புகளின் மாறுபாட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது.

ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டை வகைப்படுத்த, ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகைக்கு பொதுவான எந்த மதிப்பிலிருந்தும் அனைத்து மதிப்புகளின் விலகல்களையும் பொதுமைப்படுத்துவது அவசியம். அத்தகைய குறிகாட்டிகள்

சராசரி நேரியல் விலகல், சிதறல் மற்றும் நிலையான விலகல் போன்ற மாறுபாடுகள், எண்கணித சராசரியிலிருந்து மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட அலகுகளின் சிறப்பியல்பு மதிப்புகளின் விலகல்களைக் கருத்தில் கொண்டு அடிப்படையாக உள்ளன.

சராசரி நேரியல் விலகல்அவற்றின் எண்கணித சராசரியிலிருந்து தனிப்பட்ட விருப்பங்களின் விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியைக் குறிக்கிறது:

எண்கணித சராசரியிலிருந்து மாறுபாட்டின் விலகலின் முழுமையான மதிப்பு (மாடுலஸ்); f-அதிர்வெண்.

ஒவ்வொரு விருப்பமும் மொத்தத்தில் ஒரு முறை மட்டுமே ஏற்பட்டால் முதல் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இரண்டாவது - சமமற்ற அதிர்வெண்களுடன் தொடரில்.

எண்கணித சராசரியிலிருந்து விருப்பங்களின் விலகல்களை சராசரியாகக் கணக்கிட மற்றொரு வழி உள்ளது. புள்ளிவிவரங்களில் மிகவும் பொதுவான இந்த முறையானது, சராசரி மதிப்பில் இருந்து விருப்பங்களின் ஸ்கொயர் விலகல்களை அவற்றின் அடுத்தடுத்த சராசரியுடன் கணக்கிடுவதற்கு வருகிறது. இந்த வழக்கில், மாறுபாட்டின் புதிய குறிகாட்டியைப் பெறுகிறோம் - சிதறல்.

சிதறல்(σ 2) - பண்புக்கூறு மதிப்பு விருப்பங்களின் சராசரி மதிப்பிலிருந்து ஸ்கொயர் விலகல்களின் சராசரி:

விருப்பங்களுக்கு அவற்றின் சொந்த எடைகள் (அல்லது மாறுபாடு தொடரின் அதிர்வெண்கள்) இருந்தால் இரண்டாவது சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படும்.

பொருளாதார மற்றும் புள்ளியியல் பகுப்பாய்வில், நிலையான விலகலைப் பயன்படுத்தி ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டை மதிப்பிடுவது வழக்கம். நிலையான விலகல்(σ) என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம்:

சராசரி நேரியல் மற்றும் நிலையான விலகல்கள், ஆய்வின் கீழ் உள்ள மக்கள்தொகையின் அலகுகளில் ஒரு குணாதிசயத்தின் மதிப்பு சராசரியாக எவ்வளவு ஏற்ற இறக்கமாக உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது, மேலும் அவை விருப்பங்களின் அளவீட்டு அலகுகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன.

புள்ளியியல் நடைமுறையில், பல்வேறு குணாதிசயங்களின் மாறுபாட்டை ஒப்பிட வேண்டிய அவசியம் அடிக்கடி உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, பணியாளர்களின் வயது மற்றும் அவர்களின் தகுதிகள், சேவையின் நீளம் மற்றும் ஊதியங்கள் போன்றவற்றில் உள்ள மாறுபாடுகளை ஒப்பிடுவது மிகவும் ஆர்வமாக உள்ளது. அத்தகைய ஒப்பீடுகளுக்கு, குணாதிசயங்களின் முழுமையான மாறுபாட்டின் குறிகாட்டிகள் - நேரியல் சராசரி மற்றும் நிலையான விலகல் - பொருந்தாது. உண்மையில், வேலை அனுபவத்தின் ஏற்ற இறக்கத்தை, ஆண்டுகளில் வெளிப்படுத்தப்படும் ஏற்ற இறக்கத்துடன் ஒப்பிட இயலாது. ஊதியங்கள், ரூபிள் மற்றும் kopecks வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

பல்வேறு குணாதிசயங்களின் மாறுபாட்டை ஒன்றாக ஒப்பிடும்போது, ​​மாறுபாட்டின் ஒப்பீட்டு அளவைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது. இந்த குறிகாட்டிகள் எண்கணித சராசரிக்கு (அல்லது சராசரி) முழுமையான குறிகாட்டிகளின் விகிதமாக கணக்கிடப்படுகின்றன. எனப் பயன்படுத்துகிறது முழுமையான காட்டிமாறுபாடுகள் வரம்பு மாறுபாடுகள், சராசரி நேரியல் விலகல், நிலையான விலகல், மாறுபாட்டின் ஒப்பீட்டு குறிகாட்டிகள் பெறப்படுகின்றன:

மக்கள்தொகையின் ஒருமைப்பாட்டைக் குறிக்கும் ஒப்பீட்டு மாறுபாட்டின் மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் காட்டி. மாறுபாட்டின் குணகம் இயல்புக்கு நெருக்கமான விநியோகங்களுக்கு 33% ஐ விட அதிகமாக இல்லாவிட்டால் மக்கள் தொகை ஒரே மாதிரியாகக் கருதப்படுகிறது.

1. சராசரி மதிப்புகள்: சாரம், பொருள், வகைகள்

19 ஆம் நூற்றாண்டின் ஒரு முக்கியமான விஞ்ஞானி சராசரி மதிப்புகளின் கோட்பாட்டின் ஆதாரம் மற்றும் வளர்ச்சிக்கு முக்கிய பங்களிப்பை வழங்கினார். அடால்ஃப் க்வெட்லெட் (1796-1874), பெல்ஜிய அறிவியல் அகாடமியின் உறுப்பினர், செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க் அகாடமி ஆஃப் சயின்ஸின் தொடர்புடைய உறுப்பினர்.

சராசரி மதிப்பு- ஆய்வின் கீழ் உள்ள மக்கள்தொகையில் ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளின் பொதுவான பண்பு. இடம் மற்றும் நேரத்தின் குறிப்பிட்ட நிலைமைகளின் கீழ் மக்கள்தொகையின் ஒரு யூனிட்டுக்கு அதன் வழக்கமான அளவை இது தீர்மானிக்கிறது.

சராசரி மதிப்புஎப்போதும் பெயரிடப்பட்டது, மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட அலகுகளின் சிறப்பியல்பு போன்ற அதே பரிமாணத்தை (அளவீடு அலகு) கொண்டுள்ளது.

முக்கிய சராசரியின் அறிவியல் பயன்பாட்டிற்கான நிபந்தனைசராசரி கணக்கிடப்படும் மக்கள்தொகையின் தரமான ஒருமைப்பாடு ஆகும்.

சக்தி (எண்கணித சராசரி, ஹார்மோனிக் சராசரி, வடிவியல் சராசரி, இருபடி சராசரி, கன சராசரி);

கட்டமைப்பு (முறை, இடைநிலை).

ஆற்றல் சராசரி - பட்டத்தின் வேர் கேஎடுக்கப்பட்ட அனைத்து விருப்பங்களின் சராசரியிலிருந்து கே-வது பட்டம், பின்வரும் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

எங்கே - சராசரியைக் கண்டறியும் பண்பு சராசரி பண்பு எனப்படும்.

எக்ஸ் நான் அல்லது ( எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 …எக்ஸ் n) - மக்கள்தொகையின் ஒவ்வொரு அலகுக்கும் சராசரி பண்புகளின் மதிப்பு,

f நான்- பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்பின் மறுபரிசீலனை.

பட்டத்தைப் பொறுத்து கேபல்வேறு வகையான ஆற்றல் சராசரிகள் பெறப்படுகின்றன, அதற்கான கணக்கீட்டு சூத்திரங்கள் அட்டவணை 1 இல் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணை 1 - ஆற்றல் சராசரிகளின் வகைகள்

f நான் – ஒரு அம்சத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்பின் (அதன் எடை) மீண்டும் மீண்டும் நிகழும் அதிர்வெண்

அதிர்வெண் ஒரு எடையாகவும் இருக்கலாம், அதாவது. அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்பின் மறுநிகழ்வின் அதிர்வெண் விகிதம்:

சராசரி வகையைத் தேர்ந்தெடுப்பது:

எளிய எண்கணித சராசரிமக்கள்தொகையின் அலகுகளில் உள்ள ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்பு மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படாவிட்டால் அல்லது ஒருமுறை மட்டுமே அல்லது நிகழும்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது அதே எண்முறை, அதாவது. தொகுக்கப்படாத தரவுகளிலிருந்து சராசரி கணக்கிடப்படும் போது.

ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையின் அலகுகளில் ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளின் தனிப்பட்ட மதிப்பு பல முறை நிகழும்போது, ​​​​பவர் சராசரிகளின் கணக்கீட்டு சூத்திரங்களில் குணாதிசயத்தின் (எடை) தனிப்பட்ட மதிப்புகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் அதிர்வெண் உள்ளது. இந்த வழக்கில், அவை சூத்திரங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன எடையுள்ள சராசரிகள்.

சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு நேர்மாறான மதிப்புகளின் கூட்டு சராசரியாக மாறாமல் இருப்பது அவசியம் என்றால், சராசரி மதிப்பு ஹார்மோனிக் சராசரி.

ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளை சராசரி மதிப்புடன் மாற்றும்போது, ​​​​தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் தயாரிப்பை மாற்றாமல் வைத்திருப்பது அவசியம் என்றால், ஒருவர் விண்ணப்பிக்க வேண்டும் வடிவியல் சராசரி. நேரத் தொடர் பகுப்பாய்வில் சராசரி வளர்ச்சி விகிதங்களைக் கணக்கிட வடிவியல் சராசரி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளை சராசரி மதிப்புடன் மாற்றும்போது, ​​​​அசல் மதிப்புகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை மாறாமல் இருக்க வேண்டும் என்றால், சராசரியாக இருக்கும் இருபடி சராசரி. விநியோகத் தொடரில் உள்ள ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டை பகுப்பாய்வு செய்யும் போது நிலையான விலகலைக் கணக்கிட சராசரி சதுரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வெவ்வேறு வகைகளின் ஆற்றல் சராசரிகள், ஒரே மக்கள்தொகையில் இருந்து கணக்கிடப்படும், வெவ்வேறு அளவு மதிப்புகள் மற்றும் பெரிய அடுக்கு கே, பண்புக்கூறின் அனைத்து ஆரம்ப மதிப்புகளும் சமமாக இருந்தால், தொடர்புடைய சராசரியின் மதிப்பு அதிகமாக இருந்தால், எல்லா சராசரிகளும் இந்த மாறிலிக்கு சமம்:

கர்ம். ≤ ஜியோம். ≤ எண்கணிதம். ≤ சதுர. ≤ கன சதுரம்

இது சக்தி சராசரி சொத்துவரையறுக்கும் செயல்பாட்டின் அதிகரிக்கும் அடுக்குடன் அதிகரிப்பு அழைக்கப்படுகிறது சராசரிகளின் பெரும்பகுதி.

ஆற்றல் சராசரிகளைக் கணக்கிடுவது சாத்தியமற்றது அல்லது நடைமுறைக்கு மாறானதாக இருக்கும்போது கட்டமைப்பு சராசரிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

கட்டமைப்பு சராசரிகள் அடங்கும்: பேஷன்மற்றும் சராசரி.

ஃபேஷன் - இது ஒரு குறிப்பிட்ட மக்கள்தொகையின் அலகுகளில் ஒரு பண்புகளின் மிகவும் பொதுவான மதிப்பு. விநியோகத் தொடரில் விருப்பங்கள் மற்றும் அதிர்வெண்கள் இருந்தால், பயன்முறையின் அளவு அதிக எண்ணிக்கையிலான அலகுகளுக்கு (அதிக அதிர்வெண்) பண்புக்கூறின் மதிப்புடன் ஒத்துள்ளது, அதாவது. ஒரு தனித்துவமான மாறுபாடு தொடருக்கு, பயன்முறை வரையறை மூலம் கண்டறியப்படுகிறது.

இடைநிலை - ஆய்வு செய்யப்பட்ட அலகுகளின் குணாதிசயத்தின் அனைத்து தனிப்பட்ட மதிப்புகளும் ஏறுவரிசை அல்லது இறங்கு வரிசையில் அமைக்கப்பட்டிருக்கும் போது, ​​தரவரிசைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத் தொடரின் நடுவில் உள்ள மக்கள்தொகை அலகுக்கான ஒரு குணாதிசயத்தின் மதிப்பு.

ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளின் விஷயத்தில், சராசரியானது வரையறையின்படி கண்டறியப்படுகிறது, அதாவது. விருப்பம் (எங்கே n- அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை). சம எண்ணிக்கையிலான அவதானிப்புகளுடன், சராசரியானது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

இடைவெளி விநியோகத் தொடருக்கு, பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி பயன்முறை மற்றும் இடைநிலையின் அளவு கணக்கிடப்படுகிறது:
;
,

எங்கே: - மாதிரி அல்லது இடைநிலை இடைவெளியின் குறைந்த வரம்பு;

இடைவெளி அளவு;

மற்றும்
- மாதிரி இடைவெளிக்கு முந்தைய மற்றும் பின் வரும் அதிர்வெண்கள்;

- மாதிரி அல்லது இடைநிலை இடைவெளியின் அதிர்வெண்;

- இடைநிலைக்கு முந்தைய இடைவெளியில் திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகை.

தொகுக்கப்படாத தரவுக்கான சராசரியின் கணக்கீடு பின்வருமாறு:

1. தனிப்பட்ட பண்பு மதிப்புகள் ஏறுவரிசையில் அமைக்கப்பட்டுள்ளன. 2. இடைநிலையின் வரிசை எண் தீர்மானிக்கப்படுகிறது இல்லை. நான் = (n+1) / 2

மாறுபாடு, சாரம், பொருள், வகைகள் ஆகியவற்றின் குறிகாட்டிகள். மாறுபாட்டின் சட்டங்கள்

ஒரு பண்பின் மாறுபாட்டை அளவிட, பல்வேறு முழுமையான மற்றும் உறவினர் குறிகாட்டிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

மாறுபாட்டின் முழுமையான குறிகாட்டிகள் (அளவீடுகள்) பின்வருமாறு: ஏற்ற இறக்கங்களின் வரம்பு, சராசரி முழுமையான விலகல், சிதறல், நிலையான விலகல்.

மாறுபாட்டின் வரம்பு பண்புக்கூறின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு:
.

மாறுபாட்டின் வரம்பு, விநியோக வரம்பை உருவாக்கும் குணாதிசயத்தின் அளவு மாறக்கூடிய வரம்புகளைக் காட்டுகிறது

சராசரி முழுமையான விலகல் (MAD) - சராசரியிலிருந்து தனிப்பட்ட விருப்பங்களின் விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் சராசரி.

(எளிய),
(எடையிடப்பட்ட)

சிதறல்- பண்புக்கூறு மதிப்பு விருப்பங்களின் சராசரி மதிப்பிலிருந்து ஸ்கொயர் விலகல்களின் சராசரி:

(எளிய),
(எடையிடப்பட்ட)

மாறுபாடு அதன் கூறு கூறுகளாக சிதைக்கப்படலாம், இது ஒரு பண்பின் மாறுபாட்டை ஏற்படுத்தும் பல்வேறு காரணிகளின் செல்வாக்கை மதிப்பீடு செய்ய அனுமதிக்கிறது.

அந்த. மாறுபாடு என்பது பண்பு மதிப்புகளின் சராசரி சதுரத்திற்கும் சராசரியின் சதுரத்திற்கும் இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

சிதறல் பண்புகள்,அதைக் கணக்கிடும் முறையை எளிதாக்க அனுமதிக்கிறது:

நிலையான மதிப்பின் மாறுபாடு 0 ஆகும்.

பண்புக்கூறு மதிப்புகளின் அனைத்து மாறுபாடுகளும் ஒரே எண்ணிக்கையில் குறைக்கப்பட்டால், மாறுபாடு குறையாது.

பண்புக்கூறு மதிப்புகளின் அனைத்து மாறுபாடுகளும் ஒரே எண்ணிக்கையில் குறைக்கப்பட்டால் ( கேமுறை), பின்னர் சிதறல் குறையும் கே 2 ஒருமுறை.

நிலையான விலகல் (RMS) என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்க மூலமாகும், மேலும் ஆய்வு செய்யப்படும் மக்கள்தொகையின் அலகுகளில் சராசரியாக ஒரு குணாதிசயத்தின் மதிப்பு எவ்வளவு மாறுபடுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது:  =

RMS என்பது நம்பகத்தன்மையின் அளவீடு ஆகும். சிறிய நிலையான விலகல், சிறந்த எண்கணித சராசரி முழு பிரதிநிதித்துவ மக்களை பிரதிபலிக்கிறது.

மாறுபாட்டின் வரம்பு, CAO மற்றும் MSD ஆகியவை அளவுகள் என பெயரிடப்பட்டுள்ளன, அதாவது. தனிப்பட்ட குணாதிசய மதிப்புகளின் அதே அளவீட்டு அலகுகள் உள்ளன.

4 வகையான மாறுபாடுகள் உள்ளன: மொத்த, இடைக்குழு, உள்குழு, குழு.

ஒட்டுமொத்த மக்கள்தொகைக்காக கணக்கிடப்பட்ட மாறுபாடு அழைக்கப்படுகிறது மொத்த மாறுபாடு.இது விதிவிலக்கு இல்லாமல் அனைத்து காரணிகளின் செயல்பாட்டினால் ஏற்படும் சார்பு பண்புகளின் (விளைவு) ஏற்ற இறக்கத்தை அளவிடுகிறது.

மொத்த மாறுபாடு குழுவிற்குள் மற்றும் குழுவிற்கு இடையேயான மாறுபாட்டின் சராசரியின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

மக்கள்தொகை குழுக்களாகப் பிரிக்கப்பட்டால், ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் அதன் சொந்த மாறுபாட்டை தீர்மானிக்க முடியும், இது குழுவில் உள்ள மாறுபாட்டை வகைப்படுத்துகிறது. குழு மாறுபாடு- குழுவிலிருந்து நிலையான விலகல்கள் சராசரி, அதாவது. கொடுக்கப்பட்ட குழுவில் உள்ள பண்பின் சராசரி மதிப்பிலிருந்து.

எங்கேஜே- வரிசை எண் எக்ஸ்மற்றும் f குழுவிற்குள்.

குழு சிதறல் என்பது ஒரு குழுவிற்குள் உள்ள ஒரு குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டை வகைப்படுத்துகிறது.

ஒட்டுமொத்த மக்கள்தொகையின் மாறுபாட்டின் அளவீடு கணக்கிடப்படுகிறது குழுவிற்குள் உள்ள மாறுபாடுகளின் சராசரி:

குழு மாறுபாடுகள் எங்கே,

n ஜே- குழுக்களில் உள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கை.

குழு சராசரிகள் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன மற்றும் ஒட்டுமொத்த சராசரியிலிருந்து, அதாவது. மாறுபடும். அவற்றின் மாறுபாடு இடைக்குழு மாறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதை வகைப்படுத்த, குழு சராசரிகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரத்தை ஒட்டுமொத்த சராசரியிலிருந்து கணக்கிடவும்:

எங்கே ஜே – குழு சராசரி, - ஒட்டுமொத்த சராசரி, n ஜே- குழுவில் உள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கை.

இடைக்குழு மாறுபாடு(குழு வழிமுறையின் சிதறல்) குழுவிற்கு அடிப்படையான காரணி பண்பு காரணமாக விளைந்த பண்புகளின் மாறுபாட்டை அளவிடுகிறது.

ஒரே மக்கள்தொகையில் வெவ்வேறு குணாதிசயங்களின் மாறுபாட்டை ஒப்பிடும் போது அல்லது பல மக்கள்தொகைகளில் ஒரே குணாதிசயத்தின் மாறுபாட்டை வெவ்வேறு எண்கணித சராசரி மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடும்போது, ​​மாறுபாட்டின் ஒப்பீட்டு குறிகாட்டிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

இந்த குறிகாட்டிகள் எண்கணித சராசரி (அல்லது சராசரி) மாறுபாட்டின் முழுமையான குறிகாட்டிகளின் விகிதமாக கணக்கிடப்படுகின்றன.

மாறுபாட்டின் குணகம்

தொடர்புடைய நேரியல் விலகல்

அலைவு குணகம்

ஒப்பீட்டு மாறுபாட்டின் மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் காட்டி மாறுபாட்டின் குணகம், பண்புகளின் சராசரி மதிப்பிலிருந்து சராசரி விலகலை ஒரு சதவீதமாகக் காட்டுகிறது.

இது பயன்படுத்தப்படுகிறது: மாறுபாட்டின் ஒப்பீட்டு மதிப்பீடு; மக்கள்தொகை ஒற்றுமையின் பண்புகள். மாறுபாட்டின் குணகம் 33% ஐ விட அதிகமாக இல்லாவிட்டால் மக்கள் தொகை ஒரே மாதிரியாகக் கருதப்படுகிறது, அதாவது. 33% க்கும் குறைவாக.

Z மாறுபாட்டின் சட்டங்கள்.

ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் மாறுபாட்டின் சட்டம் அல்லது "மூன்று சிக்மா விதி".பெல்ஜியப் புள்ளியியல் நிபுணர் ஏ. க்யூட்லெட், சில வெகுஜன நிகழ்வுகளின் மாறுபாடுகள், கே. காஸ் மற்றும் பி. லாப்லேஸ் ஆகியோரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிழைப் பரவல் விதிக்குக் கீழ்ப்படிவதைக் கண்டுபிடித்தார். இந்த விநியோகத்தைக் குறிக்கும் வளைவு மணியின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது (படம் 2).

மூலம் சாதாரண சட்டம் (இந்த வார்த்தை ஆங்கில புள்ளியியல் நிபுணர் கே. பியர்ஸனால் முன்மொழியப்பட்டது) விநியோகம் ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் மாறுபாடு வரம்பிற்குள் உள்ளது
(மூன்று சிக்மா விதி).

ஒரு நபரின் இயற்கையான பண்புகள் (உயரம், எடை, உடல் வலிமை), தொழில்துறை பொருட்களின் பண்புகள் (அளவு, எடை, மின் எதிர்ப்பு, நெகிழ்ச்சி, முதலியன). வேகமாக மாறிவரும் சமூக நிகழ்வுகளின் துறையில், இந்த சட்டத்தின் விளைவு ஒப்பீட்டளவில் அரிதானது. இருப்பினும், சில சந்தர்ப்பங்களில், பயன்பாடு மூன்று சிக்மா விதிகள்நடைமுறையில் சாத்தியம்.

சராசரிகளின் மாறுபாட்டின் சட்டம். சராசரி மதிப்புகளின் மாறுபாடு ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் மாறுபாட்டை விட குறைவாக உள்ளது. பண்புகளின் சராசரி மதிப்புகள் பின்வரும் வரம்புகளுக்குள் வேறுபடுகின்றன:
, எங்கே n- அலகுகளின் எண்ணிக்கை.