மூடிய பகுதியில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பு

முதலில், இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். $M_0(x_0;y_0)$ என்ற புள்ளியில் $z=f(x,y)$ இன் நிபந்தனை உச்சம் என்பது இந்தச் செயல்பாட்டின் உச்சம் ஆகும், இது $x$ மற்றும் $y$ ஆகிய மாறிகள் நிபந்தனையின் கீழ் அடையப்படுகிறது. இந்தப் புள்ளியின் அருகில் இணைப்புச் சமன்பாடு $\ varphi (x,y)=0$.

மாறிகள் மீது $\varphi(x,y)=0$ கூடுதல் நிபந்தனை விதிக்கப்பட்டதால், "நிபந்தனை" உச்சநிலை என்ற பெயர் ஏற்பட்டது. ஒரு மாறியை இணைப்பு சமன்பாட்டிலிருந்து மற்றொன்றின் மூலம் வெளிப்படுத்த முடிந்தால், நிபந்தனை உச்சநிலையை தீர்மானிப்பதில் சிக்கல் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வழக்கமான உச்சநிலையை தீர்மானிப்பதில் சிக்கலாக குறைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இணைப்புச் சமன்பாடு $y=\psi(x)$ ஐக் குறிக்கிறது என்றால், $y=\psi(x)$ ஐ $z=f(x,y)$ ஆக மாற்றினால், $z ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம். =f\இடது (x,\psi(x)\வலது)$. இருப்பினும், பொது வழக்கில், இந்த முறை சிறிய பயன்பாட்டில் உள்ளது, எனவே ஒரு புதிய அல்காரிதம் அறிமுகம் தேவைப்படுகிறது.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடுகளுக்கான லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை.

லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறையானது நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையைக் கண்டறிய லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டை உருவாக்குவதைக் கொண்டுள்ளது: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ ($\lambda$ அளவுரு அழைக்கப்படுகிறது லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி ). உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பால் குறிப்பிடப்படுகின்றன, அதில் இருந்து நிலையான புள்ளிகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(சீரமைக்கப்பட்டது) \வலது.

$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) என்ற குறியீடானது எக்ட்ரம்மின் இயல்பை தீர்மானிக்கக்கூடிய போதுமான நிபந்தனையாகும். ^("" )dy^2$. நிலையான புள்ளியில் $d^2F > 0$ எனில், $z=f(x,y)$ சார்பு இந்த கட்டத்தில் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் $d^2F எனில்< 0$, то условный максимум.

உச்சநிலையின் தன்மையை தீர்மானிக்க மற்றொரு வழி உள்ளது. இணைப்புச் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் பெறுவது: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, எனவே எந்த ஒரு நிலையான புள்ளியிலும் நாம்:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\இடது(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \வலது)$$

இரண்டாவது காரணி (அடைப்புக்குறிக்குள் அமைந்துள்ளது) இந்த வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம்:

தீர்மானிக்கும் $\இடது| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (வரிசை)\வலது|$, இது லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் ஹெஸியன் ஆகும். $H > 0$ எனில், $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, அதாவது. $z=f(x,y)$ செயல்பாட்டின் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சம் எங்களிடம் உள்ளது.

$H$ நிர்ணயிப்பதற்கான குறிப்பைப் பற்றிய குறிப்பு. காட்டு\மறை

$$ H=-\left|\தொடங்க(வரிசை) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ முடிவு(வரிசை) \வலது| $$

இந்தச் சூழ்நிலையில், மேலே வடிவமைக்கப்பட்ட விதி பின்வருமாறு மாறும்: $H > 0$ எனில், செயல்பாடு நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சம் மற்றும் $H என்றால்< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

ஒரு நிபந்தனை உச்சகட்டத்திற்கான இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டைப் படிப்பதற்கான அல்காரிதம்

1. Lagrange செயல்பாட்டை உருவாக்கவும் $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. $ \left \( \begin( சீரமைக்கப்பட்டது) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & கணினியை தீர்க்கவும் \ varphi (x,y)=0 \end(சீரமைக்கப்பட்டது) \வலது.$
3. முந்தைய பத்தியில் காணப்படும் ஒவ்வொரு நிலையான புள்ளிகளிலும் உச்சத்தின் தன்மையை தீர்மானிக்கவும். இதைச் செய்ய, பின்வரும் முறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தவும்:
   • $H$ ஐ தீர்மானிப்பதை உருவாக்கி அதன் அடையாளத்தைக் கண்டறியவும்
   • இணைக்கும் சமன்பாட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, $d^2F$ இன் அடையாளத்தைக் கணக்கிடவும்

n மாறிகளின் செயல்பாடுகளுக்கான லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை

$n$ மாறிகள் $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ மற்றும் $m$ இணைத்தல் சமன்பாடுகள் ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகளை $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ என குறிப்பதால், நாங்கள் Lagrange செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலை இருப்பதற்கான தேவையான நிபந்தனைகள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பால் வழங்கப்படுகின்றன, அதில் இருந்து நிலையான புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகளின் மதிப்புகள் காணப்படுகின்றன:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ மேலோட்டம்(1,மீ)) \முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது) \வலது.$$

$d^2F$ என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, முன்பு போல், ஒரு செயல்பாட்டிற்கு நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சம் அல்லது நிபந்தனை அதிகபட்சம் உள்ளதா என்பதைக் கண்டறியலாம். கண்டுபிடிக்கப்பட்ட புள்ளியில் $d^2F > 0$ எனில், செயல்பாடு குறைந்தபட்ச நிபந்தனையைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் $d^2F எனில்< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

அணி $\left| \begin(array) (cccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\பகுதி x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\பகுதி x_(2)\பகுதி x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\பகுதி x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\ பகுதி x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( வரிசை) \right|$, அணி $L$ இல் சிவப்பு நிறத்தில் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ளது, இது லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் ஹெஸியன் ஆகும். நாங்கள் பின்வரும் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

• கோண சிறார்களின் அறிகுறிகள் $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrices $L$ $(-1)^m$ இன் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, பிறகு படிப்பின் கீழ் இருக்கும் நிலையான புள்ளியானது $ செயல்பாட்டின் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும். z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• கோண சிறார்களின் அறிகுறிகள் $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ மாற்று, மற்றும் சிறிய $H_(2m+1)$ இன் அடையாளம் $(-1)^(m+1 என்ற எண்ணின் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. )$, பின்னர் நிலையான புள்ளி என்பது $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ செயல்பாட்டின் நிபந்தனை அதிகபட்ச புள்ளியாகும்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1

$x^2+y^2=10$ நிபந்தனையின் கீழ் $z(x,y)=x+3y$ செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறியவும்.

இந்த சிக்கலின் வடிவியல் விளக்கம் பின்வருமாறு: சிலிண்டருடன் அதன் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளுக்கு $z=x+3y$ விமானத்தின் பயன்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிய வேண்டும். ^2=10$.

இணைத்தல் சமன்பாட்டிலிருந்து ஒரு மாறியை மற்றொன்றின் மூலம் வெளிப்படுத்துவது மற்றும் அதை $z(x,y)=x+3y$ செயல்பாட்டில் மாற்றுவது சற்று கடினம், எனவே நாம் Lagrange முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ ஐக் குறிக்கும், நாங்கள் Lagrange செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\பகுதி F)(\ பகுதி x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்க சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதுவோம்:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (சீரமைக்கப்பட்டது)\வலது.$$

நாம் $\lambda=0$ என்று கருதினால், முதல் சமன்பாடு: $1=0$. இதன் விளைவாக வரும் முரண்பாடு $\lambda\neq 0$ என்பதைக் குறிக்கிறது. நிபந்தனையின் கீழ் $\lambda\neq 0$, முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளில் இருந்து நாம்: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. பெறப்பட்ட மதிப்புகளை மூன்றாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(சீரமைக்கப்பட்டது) \வலது.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(சீரமைக்கப்பட்டது) $$

எனவே, கணினியில் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ மற்றும் $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. ஒவ்வொரு நிலையான புள்ளியிலும் உச்சத்தின் தன்மையைக் கண்டுபிடிப்போம்: $M_1(1;3)$ மற்றும் $M_2(-1;-3)$. இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் $H$ இன் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுகிறோம்.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \இடது| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

$M_1(1;3)$ என்ற இடத்தில் நாம் பெறுவோம்: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, எனவே புள்ளி $M_1(1;3)$ செயல்பாடு $z(x,y)=x+3y$ ஒரு நிபந்தனை அதிகபட்சம், $z_(\max)=z(1;3)=10$.

இதேபோல், புள்ளி $M_2(-1,-3)$ இல் நாம் காண்கிறோம்: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. $H முதல்< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தீர்மானிக்கும் $H$ இன் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்குப் பதிலாக, அதை விரிவாக்குவது மிகவும் வசதியானது என்பதை நான் கவனிக்கிறேன். பொதுவான பார்வை. விவரங்களுடன் உரையை ஒழுங்கீனம் செய்யாமல் இருக்க, இந்த முறையை ஒரு குறிப்பின் கீழ் மறைப்பேன்.

$H$ ஐ பொது வடிவத்தில் எழுதுதல். காட்டு\மறை

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

கொள்கையளவில், $H$ என்ன அடையாளம் உள்ளது என்பது ஏற்கனவே தெளிவாக உள்ளது. $M_1$ அல்லது $M_2$ புள்ளிகள் எதுவும் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போவதில்லை என்பதால், $y^2+x^2>0$. எனவே, $H$ இன் அடையாளம் $\lambda$ இன் குறிக்கு எதிரானது. நீங்கள் கணக்கீடுகளை முடிக்கலாம்:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது) $$

$M_1(1;3)$ மற்றும் $M_2(-1;-3)$ ஆகிய நிலையான புள்ளிகளில் உள்ள முனையின் தன்மை பற்றிய கேள்வியை $H$ ஐப் பயன்படுத்தாமல் தீர்க்க முடியும். ஒவ்வொரு நிலையான புள்ளியிலும் $d^2F$ இன் அடையாளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\வலது) $$

$dx^2$ என்ற குறியீடானது சரியாக $dx$ இரண்டாவது சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்டது என்பதை நான் கவனிக்கிறேன், அதாவது. $\இடது(dx \வலது)^2$. எனவே எங்களிடம் உள்ளது: $dx^2+dy^2>0$, எனவே, $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ உடன் $d^2F கிடைக்கும்< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

பதில்: புள்ளியில் $(-1;-3)$ செயல்பாட்டின் நிபந்தனை குறைந்தபட்சம், $z_(\min)=-10$. $(1;3)$ என்ற புள்ளியில் செயல்பாடு நிபந்தனை அதிகபட்சம், $z_(\max)=10$

எடுத்துக்காட்டு எண். 2

$x+y=0$ நிபந்தனையின் கீழ் $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறியவும்.

முதல் முறை (லக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை)

$\varphi(x,y)=x+y$ ஐக் குறிக்கும், நாங்கள் Lagrange செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ லாம்ப்டா=0;

கணினியைத் தீர்த்த பிறகு, நாங்கள் பெறுவது: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ மற்றும் $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. எங்களிடம் இரண்டு நிலையான புள்ளிகள் உள்ளன: $M_1(0;0)$ மற்றும் $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. ஒவ்வொரு நிலையான புள்ளியிலும் உள்ள முனையின் தன்மையை $H$ ஐப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிப்போம்.

$$H=\இடது| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \இடது| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

புள்ளியில் $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, எனவே இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு நிபந்தனை அதிகபட்சம் $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

$d^2F$ இன் அடையாளத்தின் அடிப்படையில், வெவ்வேறு முறையைப் பயன்படுத்தி, ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் உள்ள முனையின் தன்மையை நாங்கள் ஆராய்வோம்:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

இணைப்புச் சமன்பாட்டிலிருந்து $x+y=0$ எங்களிடம் உள்ளது: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

$ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ என்பதால், $M_1(0;0)$ என்பது $z(x,y)=3y^3+ செயல்பாட்டின் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும். 4x^ 2-xy$. இதேபோல், $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

இரண்டாவது வழி

இணைப்புச் சமன்பாட்டிலிருந்து $x+y=0$ நாம் பெறுகிறோம்: $y=-x$. $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ செயல்பாட்டில் $y=-x$ ஐ மாற்றினால், $x$ மாறியின் சில செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இந்தச் செயல்பாட்டை $u(x)$ எனக் குறிப்போம்:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

இவ்வாறு, இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கலை ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைத் தீர்மானிப்பதில் சிக்கலைக் குறைத்தோம்.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9) \;

$M_1(0;0)$ மற்றும் $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ புள்ளிகளைப் பெற்றோம். படிப்பிலிருந்து மேலும் ஆராய்ச்சி அறியப்படுகிறது வேறுபட்ட கணக்கீடுஒரு மாறியுடன் செயல்பாடுகள். ஒவ்வொரு நிலையான புள்ளியிலும் $u_(xx)^("")$ இன் அடையாளத்தை ஆராய்வதன் மூலம் அல்லது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் $u_(x)^(")$ இன் அடையாளத்தின் மாற்றத்தைச் சரிபார்ப்பதன் மூலம், எப்போது போன்ற முடிவுகளைப் பெறுகிறோம் எடுத்துக்காட்டாக, $u_(xx)^("")$ ஐ சரிபார்ப்போம்.

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

$u_(xx)^("")(M_1)>0$ என்பதால், $M_1$ என்பது $u(x)$ செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி மற்றும் $u_(\min)=u(0)=0 $ $u_(xx)^("")(M_2) முதல்<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

கொடுக்கப்பட்ட இணைப்பு நிலைக்கான $u(x)$ செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் $z(x,y)$ செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன, அதாவது. $u(x)$ செயல்பாட்டின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எக்ஸ்ட்ரீமா $z(x,y)$ செயல்பாட்டின் தேடப்பட்ட நிபந்தனை உச்சமாகும்.

பதில்: $(0;0)$ என்ற புள்ளியில் செயல்பாடு நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சம், $z_(\min)=0$. புள்ளியில் $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \வலது)$ செயல்பாட்டிற்கு நிபந்தனை அதிகபட்சம், $z_(\max)=\frac(500)(243) )$.

மற்றொரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம், இதில் $d^2F$ இன் அடையாளத்தை தீர்மானிப்பதன் மூலம் உச்சத்தின் தன்மையை தெளிவுபடுத்துவோம்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3

$x$ மற்றும் $y$ மாறிகள் நேர்மறையாக இருந்தால் $z=5xy-4$ செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் மற்றும் இணைப்புச் சமன்பாடு $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Lagrange செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம்: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Lagrange செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \இடது \( \தொடக்கம்(சீரமைக்கப்பட்டது) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;

மேலும் அனைத்து மாற்றங்களும் $x > 0 கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன; \; y > 0$ (இது சிக்கல் அறிக்கையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது). இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம் மற்றும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை முதல் சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. மூன்றாவது சமன்பாட்டில் $x=2y$ ஐ மாற்றினால், நாம் பெறுவது: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

$y=1$ என்பதால், $x=2$, $\lambda=-10$. $d^2F$ இன் அடையாளத்தின் அடிப்படையில் $(2;1)$ புள்ளியில் உள்ள முனையின் தன்மையை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\லாம்ப்டா. $$

$\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ என்பதால்:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

கொள்கையளவில், இங்கே நீங்கள் $x=2$, $y=1$ மற்றும் $\lambda=-10$ என்ற நிலையான புள்ளியின் ஆயங்களை உடனடியாக மாற்றலாம்:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

இருப்பினும், நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையில் உள்ள பிற சிக்கல்களில் பல நிலையான புள்ளிகள் இருக்கலாம். இது போன்ற சமயங்களில், $d^2F$ பொது வடிவத்தில் குறிப்பிடுவது நல்லது, பின்னர் காணப்படும் ஒவ்வொரு நிலையான புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளை விளைவான வெளிப்பாடாக மாற்றவும்:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\இடது(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ ஆகியவற்றை மாற்றினால், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

$d^2F=-10\cdot dx^2 முதல்< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

பதில்: புள்ளி $(2;1)$ இல் செயல்பாடு நிபந்தனை அதிகபட்சம், $z_(\max)=6$.

அடுத்த பகுதியில் செயல்பாடுகளுக்கு Lagrange முறையின் பயன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம் மேலும்மாறிகள்.

பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் தீவிரம். ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை. ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிலை. நிபந்தனை உச்சநிலை. லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை. மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்.

விரிவுரை 5.

வரையறை 5.1.புள்ளி M 0 (x 0, y 0)அழைக்கப்பட்டது அதிகபட்ச புள்ளிசெயல்பாடுகள் z = f (x, y),என்றால் f (x o, y o) > f(x,y)அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் (x, y) எம் 0.

வரையறை 5.2.புள்ளி M 0 (x 0, y 0)அழைக்கப்பட்டது குறைந்தபட்ச புள்ளிசெயல்பாடுகள் z = f (x, y),என்றால் f (x o, y o) < f(x,y)அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் (x, y)ஒரு புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறத்திலிருந்து எம் 0.

குறிப்பு 1. அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன தீவிர புள்ளிகள்பல மாறிகளின் செயல்பாடுகள்.

குறிப்பு 2. எந்த எண்ணிக்கையிலான மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான தீவிர புள்ளியும் இதே வழியில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் 5.1 (தேவையான நிபந்தனைகள்உச்சநிலை). என்றால் M 0 (x 0, y 0)- செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி z = f (x, y),இந்த கட்டத்தில் இந்த செயல்பாட்டின் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லை.

ஆதாரம்.

மாறியின் மதிப்பை சரி செய்வோம் மணிக்கு, எண்ணுதல் y = y 0. பின்னர் செயல்பாடு f (x, y 0)ஒரு மாறியின் செயல்பாடாக இருக்கும் எக்ஸ், எதற்காக x = x 0தீவிர புள்ளி ஆகும். எனவே, ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தால், அல்லது இல்லை. அதே அறிக்கை இதேபோல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

வரையறை 5.3.செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லாத பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் களத்தைச் சேர்ந்த புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன. நிலையான புள்ளிகள்இந்த செயல்பாடு.

கருத்து. எனவே, உச்சநிலையை நிலையான புள்ளிகளில் மட்டுமே அடைய முடியும், ஆனால் அவை ஒவ்வொன்றிலும் அது கவனிக்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை.

தேற்றம் 5.2(ஒரு தீவிரத்திற்கு போதுமான நிபந்தனைகள்). புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் இருக்கட்டும் M 0 (x 0, y 0), இது செயல்பாட்டின் ஒரு நிலையான புள்ளி z = f (x, y),இந்த செயல்பாடு 3வது வரிசையை உள்ளடக்கிய தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது. பின் குறிப்போம்:

1) f(x,y)புள்ளியில் உள்ளது எம் 0அதிகபட்சம் என்றால் ஏசி-பி² > 0, ஏ < 0;

2) f(x,y)புள்ளியில் உள்ளது எம் 0குறைந்தபட்சம் என்றால் ஏசி-பி² > 0, ஏ > 0;

3) முக்கிய புள்ளியில் உச்சநிலை இல்லை என்றால் ஏசி-பி² < 0;

4) என்றால் ஏசி-பி² = 0, மேலும் ஆராய்ச்சி தேவை.

ஆதாரம்.

செயல்பாட்டிற்கான இரண்டாவது வரிசை டெய்லர் சூத்திரத்தை எழுதுவோம் f(x,y),ஒரு நிலையான புள்ளியில் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க:

எங்கே பிரிவுக்கு இடையே உள்ள கோணம் என்றால் எம் 0 எம், எங்கே எம் (x 0 +Δ x, y 0 +Δ மணிக்கு), மற்றும் O அச்சு எக்ஸ்φ ஐக் குறிக்கவும், பின்னர் Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. இந்த வழக்கில், டெய்லரின் சூத்திரம் படிவத்தை எடுக்கும்: . நாம் பின்னர் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டை வகுத்து பெருக்கலாம் ஏ. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இப்போது சாத்தியமான நான்கு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1) ஏசி-பி² > 0, ஏ < 0. Тогда , и போதுமான அளவு சிறிய Δρ. எனவே, சில சுற்றுப்புறங்களில் M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), அதாவது எம் 0- அதிகபட்ச புள்ளி.

2) விடுங்கள் ஏசி-பி² > 0, A > 0.பிறகு , மற்றும் எம் 0- குறைந்தபட்ச புள்ளி.

3) அனுமதிக்கவும் ஏசி-பி² < 0, ஏ>0 , அதாவது, இந்த கதிர் வழியாக நகரும் போது, ​​செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது. நாம் ஒரு கதிர் வழியாக நகர்ந்தால் அது போன்ற tg φ 0 = -A/B,என்று , எனவே, இந்த கதிர் வழியாக நகரும் போது, ​​செயல்பாடு குறைகிறது. எனவே, காலம் எம் 0ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல.

3`) எப்போது ஏசி-பி² < 0, ஏ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

முந்தையதைப் போன்றது.

3``) என்றால் ஏசி-பி² < 0, ஏ= 0, பின்னர். அதே நேரத்தில். பின்னர் போதுமான அளவு சிறிய φக்கு வெளிப்பாடு 2 பி cosφ + சி sinφ 2க்கு அருகில் உள்ளது IN, அதாவது, இது ஒரு நிலையான அடையாளத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது, ஆனால் sinφ புள்ளியின் அருகில் அடையாளத்தை மாற்றுகிறது எம் 0.இதன் பொருள், செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு ஒரு நிலையான புள்ளியின் அருகே அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, எனவே இது ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல.

4) என்றால் ஏசி-பி² = 0, மற்றும் , , அதாவது, அதிகரிப்பின் அடையாளம் 2α 0 இன் அடையாளத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அதே நேரத்தில், ஒரு தீவிரத்தின் இருப்பு பற்றிய கேள்வியை தெளிவுபடுத்துவதற்கு மேலும் ஆராய்ச்சி அவசியம்.

உதாரணம். செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம் z = x² - 2 xy + 2ஒய்² + 2 xநிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறிய, நாங்கள் கணினியைத் தீர்க்கிறோம் . எனவே, நிலையான புள்ளி (-2,-1) ஆகும். அதே நேரத்தில் ஏ = 2, IN = -2, உடன்= 4. பிறகு ஏசி-பி² = 4 > 0, எனவே, ஒரு நிலையான புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலை அடையப்படுகிறது, அதாவது குறைந்தபட்சம் (இருந்து ஏ > 0).

வரையறை 5.4.செயல்பாடு வாதங்கள் என்றால் f (x 1 , x 2 ,…, x n)படிவத்தில் கூடுதல் நிபந்தனைகளால் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது மீசமன்பாடுகள் ( மீ< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0,…, φ மீ ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

செயல்பாடுகள் φ i தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன, பின்னர் சமன்பாடுகள் (5.2) எனப்படும். இணைப்பு சமன்பாடுகள்.

வரையறை 5.5.செயல்பாட்டின் உச்சம் f (x 1 , x 2 ,…, x n)நிபந்தனைகள் (5.2) பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், அது அழைக்கப்படுகிறது நிபந்தனை உச்சநிலை.

கருத்து. இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சகட்டத்தின் பின்வரும் வடிவியல் விளக்கத்தை நாம் வழங்கலாம்: செயல்பாட்டின் வாதங்களை விடுங்கள் f(x,y)சமன்பாடு φ மூலம் தொடர்புடையது (x,y)= 0, O விமானத்தில் சில வளைவுகளை வரையறுக்கிறது xy. இந்த வளைவின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலிருந்தும் O விமானத்திற்கு செங்குத்தாக மறுகட்டமைத்தல் xyஅது மேற்பரப்புடன் வெட்டும் வரை z = f (x,y),φ வளைவுக்கு மேல் மேற்பரப்பில் இருக்கும் இடஞ்சார்ந்த வளைவைப் பெறுகிறோம் (x,y)= 0. இதன் விளைவாக வரும் வளைவின் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறிவதே பணியாகும், இது பொதுவாக புள்ளிகளுடன் ஒத்துப்போவதில்லை. நிபந்தனையற்ற உச்சநிலைசெயல்பாடுகள் f(x,y).

பின்வரும் வரையறையை முதலில் அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான நிபந்தனை உச்சகட்டத்திற்கு தேவையான நிபந்தனைகளை தீர்மானிப்போம்:

வரையறை 5.6.செயல்பாடு L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

எங்கே λi -சில நிலையானவை, அழைக்கப்படுகின்றன லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாடு, மற்றும் எண்கள் λi– காலவரையற்ற காரணிகள்லாக்ரேஞ்ச்.

தேற்றம் 5.3(நிபந்தனைக்குரிய உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள்). ஒரு செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சம் z = f (x, y)இணைத்தல் சமன்பாட்டின் முன்னிலையில் φ ( x, y)= 0 ஐ லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளில் மட்டுமே அடைய முடியும் L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

ஆதாரம். இணைத்தல் சமன்பாடு ஒரு மறைமுக சார்புநிலையைக் குறிப்பிடுகிறது மணிக்குஇருந்து எக்ஸ், எனவே நாங்கள் அதைக் கருதுவோம் மணிக்குஇருந்து ஒரு செயல்பாடு உள்ளது எக்ஸ்: y = y(x).பிறகு zஇருந்து ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு உள்ளது எக்ஸ், மற்றும் அதன் முக்கியமான புள்ளிகள் நிபந்தனையால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன: . (5.4) இணைப்புச் சமன்பாட்டில் இருந்து அது பின்வருமாறு . (5.5)

சமத்துவத்தை (5.5) சில எண்ணால் λ பெருக்கி (5.4) உடன் கூட்டுவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

, அல்லது .

கடைசி சமத்துவம் நிலையான புள்ளிகளில் திருப்திப்படுத்தப்பட வேண்டும், அதில் இருந்து பின்வருமாறு:

(5.6)

மூன்று அறியப்படாதவற்றுக்கான மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பு பெறப்படுகிறது: x, yமற்றும் λ, மற்றும் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகள் லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிக்கான நிபந்தனைகளாகும். கணினியிலிருந்து (5.6) துணை அறியப்படாத λ ஐ நீக்குவதன் மூலம், அசல் செயல்பாடு ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கும் புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிகிறோம்.

குறிப்பு 1. தேற்றம் 5.2 உடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைப் படிப்பதன் மூலம் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இடத்தில் ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலை இருப்பதை சரிபார்க்கலாம்.

குறிப்பு 2. செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையை அடையக்கூடிய புள்ளிகள் f (x 1 , x 2 ,…, x n)நிபந்தனைகள் (5.2) பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், அமைப்பின் தீர்வுகள் என வரையறுக்கலாம் (5.7)

உதாரணம். செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டுபிடிப்போம் z = xyஎன்று கொடுக்கப்பட்டது x + y= 1. Lagrange செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம் L(x, y) = xy + λ (x + y – 1) அமைப்பு (5.6) இது போல் தெரிகிறது:

எங்கே -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5 அதே நேரத்தில் L(x,y)வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம் L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0.5 ≤ 0.5, எனவே காணப்படும் நிலையான புள்ளியில் L(x,y)அதிகபட்சம் மற்றும் z = xy -நிபந்தனை அதிகபட்சம்.

சில டொமைன் D இல் z - /(x, y) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு, Mo(xo, Vo) இந்த டொமைனின் உள் புள்ளியாக இருக்கட்டும். வரையறை. அனைத்து நிபந்தனைகளையும் பூர்த்தி செய்யும் சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருக்கும் ஒரு எண் இருந்தால், Mo(xo, yo) புள்ளி புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. உள்ளூர் அதிகபட்சம்செயல்பாடுகள் /(x, y); அனைத்து Dx, Du, நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் | பின்னர் புள்ளி Mo(xo,yo) மெல்லிய உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், A/o(x0, y0) புள்ளியின் 6-அருகில் இருந்தால், M0(x0, y0) என்பது செயல்பாடு /(x, y) இன் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும். சுற்றுப்புறத்தில் இதன் M(x, y) புள்ளிகள், செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு அதன் அடையாளத்தை பராமரிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டுகள். 1. செயல்பாட்டு புள்ளிக்கு - குறைந்தபட்ச புள்ளி (படம் 17). 2. செயல்பாட்டிற்கு, புள்ளி 0(0,0) என்பது அதிகபட்ச புள்ளியாகும் (படம் 18). 3. ஒரு செயல்பாட்டிற்கு, புள்ளி 0(0,0) என்பது உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளியாகும். 4 உண்மையில், புள்ளி 0(0, 0) க்கு அருகில் உள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, j ஆரம் வட்டம் (படம் 19 ஐப் பார்க்கவும்), எந்தப் புள்ளியிலும், புள்ளி 0(0,0) இலிருந்து வேறுபட்டது செயல்பாட்டின் மதிப்பு /(x,y) 1 க்கும் குறைவானது = கடுமையான சமத்துவமின்மை அல்லது கடுமையான சமத்துவமின்மை அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் M(x) y) திருப்தி அளிக்கும் போது கடுமையான அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச செயல்பாடுகளின் புள்ளிகளை மட்டுமே நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். புள்ளி Mq. அதிகபட்ச புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதிகபட்சம் என்றும், குறைந்தபட்ச புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு இந்த செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் அதன் தீவிரம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. தேற்றம் 11 (ஒரு தீவிரத்திற்கு தேவையான நிபந்தனை). ஒரு சார்பு என்பது பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சம் என்றால், பல மாறிகளின் ஒரு செயல்பாட்டின் கருத்து. ஒரு தீவிர நிலைக்கான தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்புகள் புள்ளியில் உச்சநிலையைக் கொண்டுள்ளன, பின்னர் இந்த கட்டத்தில் ஒவ்வொரு பகுதி வழித்தோன்றலும் மறைந்துவிடும் அல்லது இல்லை.. அதற்காக புள்ளிகளில் (0, y) தன்னிச்சையாக சிறிய புள்ளி 0(0,0) குறிப்பிட்ட வகைமினி-அதிகபட்ச புள்ளி (படம் 21) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கான போதுமான நிபந்தனைகள் பின்வரும் தேற்றத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. தேற்றம் 12 (இரண்டு மாறிகளில் ஒரு தீவிரத்திற்கான போதுமான நிபந்தனைகள்). Mo(xo»Yo) என்ற புள்ளியானது f(x, y) செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளியாக இருக்கட்டும், மேலும் புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் /, புள்ளி Mo உட்பட, f(z, y) சார்பு தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது. உள்ளடக்கிய இரண்டாவது வரிசை வரை. பிறகு". Mo(xo, V0) என்ற புள்ளியில் D(xo, yo) எனில் /(xo, y) சார்புக்கு உச்சநிலை இல்லை.< 0. Если же то в точке Мо(жо> f(x, y) செயல்பாட்டின் உச்சம் இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம். இந்த வழக்கில், கூடுதல் ஆராய்ச்சி தேவை. m தேற்றத்தின் 1) மற்றும் 2) அறிக்கைகளை நிரூபிப்பதில் நம்மை கட்டுப்படுத்திக் கொள்வோம். செயல்பாட்டிற்கான இரண்டாம்-வரிசை டெய்லர் சூத்திரத்தை எழுதுவோம் /(i, y): எங்கே. நிபந்தனையின் படி, அதிகரிப்பு D/ இன் அடையாளம் (1) இன் வலது பக்கத்தில் உள்ள முக்கோணத்தின் அடையாளத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதைக் காணலாம், அதாவது, இரண்டாவது வேறுபாடு d2f இன் அடையாளம். சுருக்கமாக அதைக் குறிக்கலாம். பின்னர் சமத்துவம் (எல்) பின்வருமாறு எழுதலாம்: எம்க்யூ(அதனால், வி0) என்ற புள்ளியில் இருக்கட்டும்... நிபந்தனையின்படி, f(s, y) செயல்பாட்டின் இரண்டாம்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், பின்னர் சமத்துவமின்மை (3) M0(s0,yo) புள்ளியின் சில பகுதிகளிலும் இருக்கும். நிபந்தனை திருப்தி அடைந்தால் (புள்ளி А/0, மற்றும் தொடர்ச்சியின் காரணமாக, வழித்தோன்றல் /,z(s,y) Af0 புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் அதன் அடையாளத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்ளும். А Ф 0, M0(x0) y0 என்ற புள்ளியின் சில பகுதியில் ЛС - В2 > 0 எனில், AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 என்ற முக்கோணத்தின் அடையாளம் புள்ளியில் உள்ள A இன் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்பது இதிலிருந்து தெளிவாகிறது. (எனவே, V0) (ஏசி - B2 > 0 A மற்றும் C க்கு வெவ்வேறு அடையாளங்கள் இருக்க முடியாது என்பதால், C இன் அடையாளத்துடன்). புள்ளியில் (s0 + $ Ax, y0 + 0 Dyn) கூட்டுத்தொகை AAs2 + 2BAxAy + CAy2 இன் குறி வேறுபாட்டின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிப்பதால், பின்வரும் முடிவுக்கு வருகிறோம்: செயல்பாட்டிற்கு என்றால் /(s,y) நிலையான புள்ளி (s0, V0) நிலை, பின்னர் போதுமான அளவு சிறிய || சமத்துவமின்மை திருப்தி அடையும். எனவே, புள்ளியில் (சதுர, V0) செயல்பாடு /(s, y) அதிகபட்சம். நிலையான புள்ளியில் (s0, y0) நிபந்தனை திருப்தி அடைந்தால், போதுமான அளவு சிறிய அனைத்துக்கும் |Dr| மற்றும் |டு| சமத்துவமின்மை உண்மை, அதாவது புள்ளியில் (அதனால்,யோ) செயல்பாடு /(கள், y) குறைந்தபட்சம் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டுகள். 1. எக்ஸ்ட்ரம்மிற்கான செயல்பாட்டை ஆராய்தல் 4 ஒரு முனைக்கு தேவையான நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளைத் தேடுகிறோம். இதைச் செய்ய, u என்ற பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்கிறோம். சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எங்கிருந்து பெறுகிறோம் - ஒரு நிலையான புள்ளி. இப்போது தேற்றம் 12 ஐப் பயன்படுத்துவோம். இதன் பொருள் Ml புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலை உள்ளது. ஏனெனில் இது குறைந்தபட்சம். r செயல்பாட்டை வடிவமாக மாற்றினால், இந்தச் செயல்பாட்டின் முழுமையான குறைந்தபட்சமாக இருக்கும்போது வலது பக்கம் (") குறைவாக இருக்கும் என்பதைக் காண்பது எளிது. 2. செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளை ஆய்வு செய்கிறோம், அதற்காக நாம் ஒரு சமன்பாடுகளை உருவாக்குகிறோம், எனவே புள்ளி நிலையானது. தேற்றம் 12ன் அடிப்படையில், புள்ளி M இல் உச்சநிலை இல்லை. * 3. செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை ஆராய்ந்து, செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து நாம் அதைப் பெறுகிறோம், எனவே புள்ளி நிலையானது. அடுத்ததாக, தேற்றம் 12 ஒரு தீவிரத்தின் இருப்பு அல்லது இல்லாமை பற்றிய கேள்விக்கு பதிலளிக்கவில்லை. இப்படிச் செய்வோம். புள்ளியில் இருந்து வேறுபட்ட அனைத்து புள்ளிகளையும் பற்றிய ஒரு செயல்பாட்டிற்கு, வரையறையின்படி, மற்றும் புள்ளி A/o(0,0) r சார்பு ஒரு முழுமையான குறைந்தபட்சத்தைக் கொண்டுள்ளது. இதேபோன்ற கணக்கீடுகளின் மூலம், செயல்பாடு புள்ளியில் அதிகபட்சமாக உள்ளது என்பதை நிறுவுகிறோம், ஆனால் செயல்பாடு புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கவில்லை. n சார்பற்ற மாறிகளின் சார்பு ஒரு புள்ளியில் வேறுபடக்கூடியதாக இருக்கட்டும், தேற்றம் 13 (ஒரு முனைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் வரை) செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு, ஃபைன் Mt(xi...) இன் சில சுற்றுப்புறங்களில் இரண்டாவது வரிசையின் தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கட்டும், இது இருபடி வடிவம் (ஃபைனில் f செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால் நிலையான நேர்த்தியான செயல்பாடாகும். definite (negative definite), f செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி (முறையே, நுண்ணிய அதிகபட்சம்) சரியாக இருந்தால், இருபடி வடிவம் (4) மாற்றாக இருந்தால், ஃபைன் LG0 இல் உச்சநிலை இல்லை இருபடி வடிவம் (4) நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை திட்டவட்டமானது, எடுத்துக்காட்டாக, நாம் இதுவரை தேடிக்கொண்டிருக்கும் இருபடி வடிவத்தின் சில்வெஸ்டர் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம் உள்ளூர் உச்சநிலைகள் செயல்பாட்டின் வாதங்கள் எந்த கூடுதல் நிபந்தனைகளாலும் பிணைக்கப்படாதபோது, ​​அதன் வரையறையின் முழு களத்திலும் ஒரு செயல்பாடு. இத்தகைய தீவிரம் நிபந்தனையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், நிபந்தனையின் தீவிரம் என்று அழைக்கப்படுவதைக் கண்டுபிடிப்பதில் அடிக்கடி சிக்கல்கள் உள்ளன. z =/(x, y) சார்பு D டொமைனில் வரையறுக்கப்படட்டும். இந்த டொமைனில் L ஒரு வளைவு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் f(x> y) செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை மட்டுமே நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். வளைவு L இன் புள்ளிகளுடன் ஒத்திருக்கும் அதன் மதிப்புகளின் மதிப்புகள் L. வளைவில் L , M (s, y) y) வளைவு L அனைத்து புள்ளிகளிலும் சமத்துவமின்மை திருப்தி அடைந்தால், /(x, y) சார்புக்கு நிபந்தனை அதிகபட்சம் (குறைந்தபட்சம்) இருக்கும். புள்ளியில் இருந்து M0 (எல் வளைவு ஒரு சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டால், வளைவில் r - f(x,y) செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்! பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்: x செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும் = /(z, y) பகுதியில் D, இவ்வாறு, z = y செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறியும் போது, ​​காட்டெருமையின் வாதங்களை இனி சுயாதீன மாறிகளாகக் கருத முடியாது: அவை ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை தொடர்பு y) = 0, இது இணைப்பு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிபந்தனையற்ற மற்றும் நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலைக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை தெளிவுபடுத்த, செயல்பாட்டின் நிபந்தனையற்ற அதிகபட்சம் (படம் 23) ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் மற்றும் புள்ளியில் (0,0) அடையப்படும் ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். இது Pvvboloid இன் உச்சி புள்ளி M க்கு ஒத்திருக்கிறது - y = j என்ற இணைப்புச் சமன்பாட்டைச் சேர்ப்போம். பின்னர் நிபந்தனைக்குட்பட்ட அதிகபட்சம் வெளிப்படையாக சமமாக இருக்கும், இது புள்ளியில் (o,|) அடையும், மேலும் இது பந்தின் உச்சிக்கு ஒத்திருக்கிறது, இது y = j உடன் பந்தின் வெட்டும் கோடு. நிபந்தனையற்ற mvximum விஷயத்தில், மேற்பரப்பில் * = 1 - l;2 ~ y1 அனைத்து vpplicvt க்கும் ஒரு mvximum பயன்பாடு உள்ளது; summvv நிபந்தனை - vllikvt புள்ளிகளில் pvraboloidv மட்டுமே, xOy விமானம் அல்ல, நேர் கோட்டின் y = j இன் புள்ளி*க்கு தொடர்புடையது. இருப்பு மற்றும் இணைப்பில் ஒரு செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறிவதற்கான முறைகளில் ஒன்று பின்வருமாறு. இந்த மதிப்பை y ஐ (V) மாற்றினால், ஒரு வாதம் x இன் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: அதை உச்சநிலைக்கு ஆராய்வோம்: எங்கிருந்து x = 1 என்பது முக்கியமான புள்ளி; , இது செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச நிபந்தனையை வழங்குகிறது r (படம் 24). லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை எனப்படும் நிபந்தனைக்குட்பட்ட தீவிர சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான மற்றொரு வழியைக் குறிப்பிடுவோம். ஒரு இணைப்பின் முன்னிலையில் ஒரு செயல்பாட்டின் ஒரு நிபந்தனையான உச்சநிலை புள்ளி இருக்கட்டும், xx என்ற புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் இணைப்புச் சமன்பாடு ஒரு தனித்துவமான தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். xq புள்ளியில் /(r, ip(x)) செயல்பாட்டின் x தொடர்பான வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும் அல்லது இதற்குச் சமமான f(x, y) இன் வேறுபாடு புள்ளி Mo" O பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும் ) நம்மிடம் உள்ள இணைப்புச் சமன்பாட்டிலிருந்து (5) கடைசி சமத்துவத்தை இன்னும் தீர்மானிக்கப்படாத எண் காரணி A ஆல் பெருக்குவது மற்றும் காலத்தின் மூலம் சமத்துவத்துடன் காலத்தைச் சேர்ப்பது (4), நாம் பெறுவோம் (நாம் கருதுகிறோம் பின்னர், dx இன் தன்னிச்சையான தன்மையின் காரணமாக, நாம் சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம் (6) மற்றும் (7) ஒரு செயல்பாட்டின் ஒரு கட்டத்தில் நிபந்தனையற்ற உச்சநிலைப் புள்ளியை வெளிப்படுத்துகிறோம் செயல்பாடு /(x, y), லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் ஒரு நிலையான புள்ளியாக இருந்தால், ஒரு குறிப்பிட்ட எண் குணகம் இங்கிருந்து நாம் ஒரு விதியைப் பெறுகிறோம் இணைப்பின் முன்னிலையில் செயல்பாட்டு தீவிரம்: 1) லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறோம், 2) இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் U ஐ பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகளுடன் இணைப்பு சமன்பாட்டைச் சேர்ப்பதன் மூலம், மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம். A இன் மதிப்புகள் மற்றும் ஆயத்தொலைவுகள் x, y சாத்தியமான தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். (8) இலிருந்து பெறப்பட்ட x0, V0, A மதிப்புகளின் கருதப்படும் அமைப்புக்கான Lagrange செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாட்டின் அடையாளத்தைப் படிப்பதன் அடிப்படையில் நிபந்தனை உச்சநிலையின் இருப்பு மற்றும் தன்மை பற்றிய கேள்வி தீர்க்கப்படுகிறது. , பின்னர் புள்ளியில் (x0, V0) செயல்பாடு /(x, y ) ஒரு நிபந்தனை அதிகபட்சம்; d2F > 0 என்றால் - நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சம். குறிப்பாக, ஒரு நிலையான புள்ளியில் (xo, J/o) F(x, y) செயல்பாட்டிற்கான D நிர்ணயிப்பான் நேர்மறையாக இருந்தால், புள்ளியில் (®o, V0) f(செயல்பாட்டின் நிபந்தனை அதிகபட்சம்) இருக்கும். x, y), செயல்பாட்டின் நிபந்தனை குறைந்தபட்சம் /(x, y), எடுத்துக்காட்டு என்றால். முந்தைய எடுத்துக்காட்டின் நிபந்தனைகளுக்கு மீண்டும் வருவோம்: x + y = 1 என்ற நிபந்தனையின் கீழ் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும். Lagrange பெருக்கி முறையைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்போம். இந்த வழக்கில் உள்ள லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாடு நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறிய, கணினியின் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்து x = y ஐப் பெறுகிறோம். கணினியின் மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து (இணைப்பு சமன்பாடு) x - y = j என்பது சாத்தியமான தீவிர புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் என்பதைக் காண்கிறோம். இந்த வழக்கில் (இது A = -1 என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. எனவே, Lagrange செயல்பாடு. செயல்பாட்டின் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும் * = x2 + y2 நிபந்தனையின் கீழ் Lagrange செயல்பாட்டிற்கு நிபந்தனையற்ற உச்சநிலை இல்லை. P(x, y ) ஒரு இணைப்பு முன்னிலையில் செயல்பாடு /(x, y) ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலை இல்லாததை இன்னும் அர்த்தப்படுத்துவதில்லை எடுத்துக்காட்டு y 4 நிபந்தனையின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும், நாங்கள் லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறோம் மற்றும் ஒரு அமைப்பை எழுதுகிறோம். A மற்றும் சாத்தியமான உச்சநிலை புள்ளிகளின் ஆயங்களை தீர்மானித்தல்: முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்து நாம் x + y = 0 ஐப் பெறுகிறோம், மேலும் x = y = A = 0 என்ற அமைப்பிற்கு வருகிறோம். எனவே, தொடர்புடைய Lagrange செயல்பாடு புள்ளியில் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. (0,0), F(x, y; 0) ஆனது நிபந்தனையற்ற உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஆனால் y = x இல் இருந்து r = x2 என்ற செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உள்ளது புள்ளியில் (0,0) நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சம் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது "லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகளின் முறையானது எந்த எண்ணிக்கையிலான வாதங்களின் செயல்பாடுகளுக்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது. முன்னிலையில் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைப் பார்ப்போம். இணைப்பு சமன்பாடுகள் A|, Az,..., A„, காலவரையற்ற நிலையான காரணிகளாக இருக்கும் Lagrange செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம். F செயல்பாட்டின் அனைத்து முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகளுடன் இணைப்பு சமன்பாடுகளை (9) சேர்ப்பதன் மூலம், n + m சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம், அதில் இருந்து Ab A3|..., At மற்றும் x ஐ ஒருங்கிணைக்கிறது \) x2). நிபந்தனை உச்சநிலையின் சாத்தியமான புள்ளிகளின் xn. லாக்ரேஞ்ச் முறையைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்பட்ட புள்ளிகள் உண்மையில் நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையின் புள்ளிகளா என்ற கேள்வி, உடல் அல்லது வடிவியல் தன்மையைக் கருத்தில் கொண்டு பெரும்பாலும் தீர்க்கப்படும். 15.3. தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்புகள் z =/(x, y) செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும், சில மூடிய வரையறுக்கப்பட்ட டொமைனில் தொடர்ச்சியானது D. தேற்றம் 3 மூலம், இந்த டொமைனில் உள்ளது ஒரு புள்ளி (xo, V0) இதில் செயல்பாடு மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பை எடுக்கும். புள்ளி (xo, y0) D பகுதிக்குள் இருந்தால், செயல்பாடு / அதில் அதிகபட்சம் (குறைந்தபட்சம்) உள்ளது, எனவே இந்த விஷயத்தில் நமக்கு ஆர்வமுள்ள புள்ளி செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகளில் அடங்கியுள்ளது /(x, y). இருப்பினும், செயல்பாடு /(x, y) பிராந்தியத்தின் எல்லையில் அதன் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பை அடையலாம். எனவே, வரையறுக்கப்பட்ட மூடிய பகுதி 2 இல் z =/(x, y) செயல்பாட்டால் எடுக்கப்பட்ட மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பைக் கண்டறிய, இந்தப் பகுதிக்குள் அடையப்பட்ட செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் (குறைந்தபட்சம்) அனைத்தையும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அத்துடன் இந்தப் பகுதியின் எல்லையில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பு. இந்த எண்கள் அனைத்திலும் மிகப்பெரிய (சிறியது) பகுதி 27 இல் z =/(x,y) செயல்பாட்டின் விரும்பிய பெரிய (சிறிய) மதிப்பாக இருக்கும். வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் விஷயத்தில் இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதைக் காண்பிப்போம். Prmmr. பகுதி 4 இன் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும். பகுதி D இன் உள்ளே செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகளைக் காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, இங்கிருந்து நாம் x = y «0 ஐப் பெறுகிறோம் புள்ளி 0 (0,0) என்பது x செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளியாகும். D டொமைன் Г எல்லையில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளை இப்போது கண்டுபிடிப்போம். எல்லையின் ஒரு பகுதியில் y = 0 என்பது ஒரு முக்கியமான புள்ளியாகும், மேலும் = பின்னர் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு z = 1 + y2 குறைந்தபட்சம் ஒன்றுக்கு சமமாக உள்ளது. பிரிவின் முனைகளில் Г", புள்ளிகளில் (, எங்களிடம் உள்ளது. சமச்சீர் பரிசீலனைகளைப் பயன்படுத்தி, எல்லையின் மற்ற பகுதிகளுக்கும் அதே முடிவுகளைப் பெறுகிறோம். இறுதியாகப் பெறுகிறோம்: மண்டலத்தில் z = x2+y2 செயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்பு "B என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் இது உள் புள்ளி 0(0, 0) பகுதிகளில் அடையப்படுகிறது, மற்றும் மிக உயர்ந்த மதிப்புஇந்தச் செயல்பாட்டின், இரண்டுக்கு சமமானது, எல்லையின் நான்கு புள்ளிகளில் அடையப்படுகிறது (படம். 25) படம். 25 பயிற்சிகள் செயல்பாடுகளின் வரையறையின் களத்தைக் கண்டறியவும்: செயல்பாடுகளின் நிலைக் கோடுகளை உருவாக்கவும்: 9 செயல்பாடுகளின் நிலை மேற்பரப்புகளைக் கண்டறியவும் மூன்று சுயாதீன மாறிகள்: செயல்பாடுகளின் வரம்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்: செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் அவற்றின் முழு வேறுபாடுகள்: சிக்கலான செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிக: 3 ஜே. பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம் பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையின் கருத்து. ஒரு தீவிர நிலைக்கான தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகள் 34. வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல் சிக்கலான செயல்பாடுஇரண்டு மாறிகள், கண்டறிதல் மற்றும் செயல்பாடுகள்: 35. இரண்டு மாறிகளின் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, |J மற்றும் செயல்பாடுகளைக் கண்டறியவும்: மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட jj செயல்பாடுகளைக் கண்டறியவும்: 40. குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் தொடு வளைவின் சாய்வைக் கண்டறியவும் அது x = 3 என்ற கோட்டுடன் உள்ளது. 41. x வளைவின் தொடுகோடு ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். . பின்வரும் சிக்கல்களில், கண்டுபிடி மற்றும் T: தொடுகோடு விமானம் மற்றும் மேற்பரப்பின் இயல்பான சமன்பாடுகளை எழுதவும்: 49. x2 + 2y2 + 3z2 = 21, x + 4y விமானத்திற்கு இணையாக மேற்பரப்பு x2 + 2y2 + 3z2 = 21 இன் தொடு விமானங்களின் சமன்பாடுகளை எழுதவும். + 6z = 0. டெய்லர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவாக்கத்தின் முதல் மூன்று அல்லது நான்கு சொற்களைக் கண்டறியவும் : 50. y புள்ளியின் அருகாமையில் (0, 0). ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, தீவிரத்திற்கான பின்வரும் செயல்பாடுகளை ஆராயவும் :). இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை ஆராயவும்: 84. ஒரு மூடிய வட்டத்தில் z = x2 - y2 செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் 85. மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் செயல்பாட்டின் * = x2y(4-x-y) ஒரு முக்கோணத்தில் x = 0, y = 0, x + y = b. 88. ஒரு செவ்வக திறந்த குளத்தின் பரிமாணங்களை மிகச்சிறிய மேற்பரப்புடன் தீர்மானிக்கவும், அதன் அளவு V க்கு சமமாக இருந்தால்.முழு மேற்பரப்பு 5 அதிகபட்ச தொகுதி. பதில்கள் 1. மற்றும் | ஒரு சதுரம் அதன் பக்கங்களை உள்ளடக்கிய x கோடு பிரிவுகளால் உருவாகிறது. 3. செறிவு வளையங்களின் குடும்பம் 2= 0,1,2,... .4. நேர் கோடுகளில் உள்ள புள்ளிகளைத் தவிர முழு விமானமும். பரவளையத்தின் மேலே அமைந்துள்ள விமானத்தின் ஒரு பகுதி y = -x?. 8. வட்டத்தின் புள்ளிகள் x. நேர்கோடுகளைத் தவிர முழு விமானமும் x ரேடிகல் வெளிப்பாடு இரண்டு நிகழ்வுகளில் அல்லாத எதிர்மறையானது j * ^ அல்லது j x ^ ^ இது முறையே எல்லையற்ற சமத்துவமின்மைக்கு சமமானது, வரையறையின் களம் நிழலாடிய சதுரங்கள் (படம். 26); l இது ஒரு எல்லையற்ற தொடருக்கு சமமானது செயல்பாடு புள்ளிகளில் வரையறுக்கப்படுகிறது.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் தீவிரத்திற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள்.புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தினால், ஒரு புள்ளி ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச (அதிகபட்ச) புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது (முறையே, அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை. ஒரு தீவிர புள்ளியில் ஒரு செயல்பாடு முதல் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருந்தால், இந்த கட்டத்தில் அவை மறைந்துவிடும். அத்தகைய செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறிய, ஒருவர் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க வேண்டும், அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவற்றில் அதிகபட்ச புள்ளிகள், குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் மற்றும் தீவிர புள்ளிகள் இல்லாத புள்ளிகள் இருக்கலாம்.

முக்கியமான புள்ளிகளின் தொகுப்பிலிருந்து தீவிர புள்ளிகளை அடையாளம் காண போதுமான தீவிர நிலைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் அவை கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.

முக்கியமான கட்டத்தில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியான இரண்டாம் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கட்டும். இந்த கட்டத்தில் அது உண்மை என்றால்

நிபந்தனை பின்னர் அது ஒரு குறைந்தபட்ச புள்ளி மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளி ஒரு முக்கியமான கட்டத்தில் இருந்தால் அது ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல. இந்த விஷயத்தில், முக்கியமான புள்ளியின் தன்மையைப் பற்றி மிகவும் நுட்பமான ஆய்வு தேவைப்படுகிறது, இந்த விஷயத்தில் இது ஒரு தீவிர புள்ளியாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம்.

மூன்று மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் தீவிரம்.மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டின் விஷயத்தில், எக்ஸ்ட்ரம் புள்ளிகளின் வரையறைகள் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான தொடர்புடைய வரையறைகளை வினைச்சொல்லாக மீண்டும் கூறுகின்றன. ஒரு எக்ஸ்ட்ரீமிற்கான செயல்பாட்டைப் படிப்பதற்கான செயல்முறையை வழங்குவதற்கு நாங்கள் நம்மை கட்டுப்படுத்துகிறோம். சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டறிய வேண்டும், பின்னர் ஒவ்வொரு முக்கிய புள்ளிகளிலும் மதிப்புகளைக் கணக்கிட வேண்டும்.

மூன்று அளவுகளும் நேர்மறையாக இருந்தால், கேள்விக்குரிய முக்கியமான புள்ளி குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்; இந்த முக்கியமான புள்ளி அதிகபட்ச புள்ளியாக இருந்தால்.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சம்.ஒரு புள்ளி ஒரு செயல்பாட்டின் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்ச (அதிகபட்ச) புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நிபந்தனைக்குட்பட்ட தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறிய, Lagrange செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும்

அங்கு எண் லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி என்று அழைக்கப்படுகிறது. மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

Lagrange செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகளைக் கண்டறியவும் (அத்துடன் துணைக் காரணி A இன் மதிப்பு). இவற்றில் முக்கியமான புள்ளிகள்ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலை இருக்கலாம். மேலே உள்ள அமைப்பு ஒரு தீவிரத்திற்கு தேவையான நிபந்தனைகளை மட்டுமே வழங்குகிறது, ஆனால் போதுமானவை அல்ல: நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையின் புள்ளிகள் இல்லாத புள்ளிகளின் ஆயத்தொகுப்புகளால் இது திருப்திப்படுத்தப்படலாம். இருப்பினும், சிக்கலின் சாராம்சத்தின் அடிப்படையில், முக்கியமான புள்ளியின் தன்மையை நிறுவுவது பெரும்பாலும் சாத்தியமாகும்.

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சம்.மாறிகள் சமன்பாடுகளால் தொடர்புடையதாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்