சாதாரண சமன்பாடுகளின் குணகங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான முறையின் விளக்கம். இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் நேரியல் அமைப்புக்கான தீர்வுகளைப் படிப்பதில் சிக்கல்கள்

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் பொருளாதாரத் துறையில் கணித மாதிரியாக்கத்தில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன பல்வேறு செயல்முறைகள். எடுத்துக்காட்டாக, உற்பத்தி மேலாண்மை மற்றும் திட்டமிடல் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​தளவாட வழிகள் ( போக்குவரத்து பிரச்சனை) அல்லது உபகரணங்கள் இடம்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் கணிதத்தில் மட்டுமல்ல, இயற்பியல், வேதியியல் மற்றும் உயிரியலிலும், மக்கள்தொகை அளவைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

அமைப்பு நேரியல் சமன்பாடுகள்இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சமன்பாடுகளை பல மாறிகளுடன் பெயரிடவும், அதற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிய வேண்டும். அனைத்து சமன்பாடுகளும் உண்மையான சமத்துவங்களாக மாறும் அல்லது வரிசை இல்லை என்பதை நிரூபிக்கும் எண்களின் அத்தகைய வரிசை.

நேரியல் சமன்பாடு

ax+by=c வடிவத்தின் சமன்பாடுகள் நேரியல் எனப்படும். பெயர்கள் x, y என்பது அறியப்படாதவை, அதன் மதிப்பு கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும், b, a என்பது மாறிகளின் குணகங்கள், c என்பது சமன்பாட்டின் இலவச சொல்.
ஒரு சமன்பாட்டை சதி செய்வதன் மூலம் அதைத் தீர்ப்பது ஒரு நேர் கோடு போல தோற்றமளிக்கும், அதன் அனைத்து புள்ளிகளும் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கான தீர்வுகள்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் வகைகள்

எளிமையான எடுத்துக்காட்டுகள் X மற்றும் Y ஆகிய இரண்டு மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளாகக் கருதப்படுகின்றன.

F1(x, y) = 0 மற்றும் F2(x, y) = 0, இதில் F1,2 செயல்பாடுகள் மற்றும் (x, y) செயல்பாடு மாறிகள்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் - இதன் பொருள் அமைப்பு உண்மையான சமத்துவமாக மாறும் மதிப்புகளை (x, y) கண்டறிதல் அல்லது x மற்றும் y இன் பொருத்தமான மதிப்புகள் இல்லை என்பதை நிறுவுதல்.

ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளாக எழுதப்பட்ட ஒரு ஜோடி மதிப்புகள் (x, y), நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அமைப்புகளுக்கு ஒரு பொதுவான தீர்வு இருந்தால் அல்லது தீர்வு இல்லை என்றால், அவை சமமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகள் என்பது வலது புறம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அமைப்புகள். சம அடையாளத்திற்குப் பிறகு வலது பகுதி ஒரு மதிப்பைக் கொண்டிருந்தால் அல்லது ஒரு செயல்பாட்டால் வெளிப்படுத்தப்பட்டால், அத்தகைய அமைப்பு பன்முகத்தன்மை கொண்டது.

மாறிகளின் எண்ணிக்கை இரண்டுக்கும் அதிகமாக இருக்கலாம், மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் உதாரணத்தைப் பற்றி நாம் பேச வேண்டும்.

அமைப்புகளை எதிர்கொள்ளும் போது, ​​சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையானது அறியப்படாதவர்களின் எண்ணிக்கையுடன் அவசியம் ஒத்துப்போக வேண்டும் என்று பள்ளி மாணவர்கள் கருதுகின்றனர், ஆனால் இது அவ்வாறு இல்லை. கணினியில் உள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை மாறிகள் சார்ந்தது அல்ல, அவற்றில் விரும்பிய அளவு இருக்கலாம்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய மற்றும் சிக்கலான முறைகள்

அத்தகைய அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான பகுப்பாய்வு முறை எதுவும் இல்லை; எண் தீர்வுகள். பள்ளி கணித பாடமானது வரிசைமாற்றம், இயற்கணிதக் கூட்டல், மாற்றீடு, அத்துடன் வரைகலை மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் முறைகள், காசியன் முறையின் தீர்வு போன்ற முறைகளை விரிவாக விவரிக்கிறது.

தீர்வு முறைகளை கற்பிக்கும் போது முக்கிய பணி, கணினியை எவ்வாறு சரியாக பகுப்பாய்வு செய்வது மற்றும் ஒவ்வொரு உதாரணத்திற்கும் உகந்த தீர்வு வழிமுறையை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கற்பிப்பதாகும். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், ஒவ்வொரு முறைக்கும் விதிகள் மற்றும் செயல்களின் அமைப்பை மனப்பாடம் செய்வது அல்ல, ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான கொள்கைகளைப் புரிந்துகொள்வது.

7 ஆம் வகுப்பு நிரலின் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது மேல்நிலைப் பள்ளிமிகவும் எளிமையானது மற்றும் மிக விரிவாக விளக்கப்பட்டது. எந்த கணித பாடப்புத்தகத்திலும், இந்த பகுதி போதுமான கவனம் செலுத்தப்படுகிறது. காஸ் மற்றும் க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது உயர்கல்வியின் முதல் ஆண்டுகளில் இன்னும் விரிவாக ஆய்வு செய்யப்படுகிறது.

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்வு அமைப்புகள்

மாற்று முறையின் செயல்கள் ஒரு மாறியின் மதிப்பை இரண்டாவது அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளன. வெளிப்பாடு மீதமுள்ள சமன்பாட்டில் மாற்றப்படுகிறது, பின்னர் அது ஒரு மாறியுடன் ஒரு வடிவத்தில் குறைக்கப்படுகிறது. கணினியில் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து செயல் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி வகுப்பு 7 இன் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் உதாரணத்திற்கு ஒரு தீர்வைக் கொடுப்போம்:

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்கக்கூடியது போல, x மாறி F(X) = 7 + Y மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்டது. இதன் விளைவாக X க்கு பதிலாக கணினியின் 2 வது சமன்பாட்டில் மாற்றப்பட்டது, 2 வது சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி Y ஐப் பெற உதவியது. . தீர்வு இந்த உதாரணம்சிரமங்களை ஏற்படுத்தாது மற்றும் Y மதிப்பைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது. கடைசி படிஇது பெறப்பட்ட மதிப்புகளின் சரிபார்ப்பு.

மாற்றீடு மூலம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் உதாரணத்தைத் தீர்ப்பது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. சமன்பாடுகள் சிக்கலானதாக இருக்கலாம் மற்றும் இரண்டாவது தெரியாதவற்றின் அடிப்படையில் மாறியை வெளிப்படுத்துவது மேலும் கணக்கீடுகளுக்கு மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கும். கணினியில் 3 க்கும் மேற்பட்ட தெரியாதவர்கள் இருக்கும்போது, ​​மாற்றீடு மூலம் தீர்ப்பதும் பொருத்தமற்றது.

நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் உதாரணத்தின் தீர்வு:

இயற்கணிதக் கூட்டலைப் பயன்படுத்தி தீர்வு

கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி அமைப்புகளுக்கான தீர்வுகளைத் தேடும் போது, ​​அவை கால-படி-கால கூட்டல் மற்றும் சமன்பாடுகளின் பெருக்கல் ஆகியவற்றைச் செய்கின்றன. வெவ்வேறு எண்கள். கணித செயல்பாடுகளின் இறுதி இலக்கு ஒரு மாறியில் உள்ள சமன்பாடு ஆகும்.

விண்ணப்பங்களுக்கு இந்த முறைபயிற்சி மற்றும் கவனிப்பு தேவை. 3 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள் இருக்கும்போது கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது எளிதானது அல்ல. சமன்பாடுகள் பின்னங்கள் மற்றும் தசமங்களைக் கொண்டிருக்கும் போது இயற்கணிதக் கூட்டல் பயன்படுத்த வசதியானது.

தீர்வு அல்காரிதம்:

1. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்கவும். இதன் விளைவாக எண்கணித நடவடிக்கைமாறியின் குணகங்களில் ஒன்று 1 க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.
2. இதன் விளைவாக வரும் சொற்றொடரை காலத்தின் அடிப்படையில் சேர்த்து, தெரியாதவற்றில் ஒன்றைக் கண்டறியவும்.
3. மீதமுள்ள மாறியைக் கண்டறிய, பெறப்பட்ட மதிப்பை கணினியின் 2வது சமன்பாட்டில் மாற்றவும்.

ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் தீர்வுக்கான முறை

இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கு மேல் ஒரு தீர்வைக் கண்டறிய கணினி தேவைப்பட்டால், ஒரு புதிய மாறி அறிமுகப்படுத்தப்படலாம்.

ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் சமன்பாடுகளில் ஒன்றை எளிமைப்படுத்த இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட அறியப்படாதவற்றுக்கு புதிய சமன்பாடு தீர்க்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு அசல் மாறியைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது.

ஒரு புதிய மாறி t ஐ அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம், கணினியின் 1 வது சமன்பாட்டை ஒரு நிலையான இருபடி முக்கோணத்திற்கு குறைக்க முடியும் என்பதை எடுத்துக்காட்டு காட்டுகிறது. பாகுபாட்டைக் கண்டறிவதன் மூலம் நீங்கள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தீர்க்கலாம்.

நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டியது அவசியம்: D = b2 - 4*a*c, D என்பது விரும்பிய பாகுபாடு, b, a, c ஆகியவை பல்லுறுப்புக்கோவையின் காரணிகள். கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், a=1, b=16, c=39, எனவே D=100. பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன: t = -b±√D / 2*a, பாரபட்சமாக இருந்தால் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக, பின்னர் ஒரே ஒரு தீர்வு உள்ளது: x= -b / 2*a.

விளைந்த அமைப்புகளுக்கான தீர்வு கூட்டல் முறையால் கண்டறியப்படுகிறது.

அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான காட்சி முறை

3 சமன்பாடு அமைப்புகளுக்கு ஏற்றது. கணினியில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் வரைபடங்களையும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சில் அமைப்பதில் முறை உள்ளது. வளைவுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வாக இருக்கும்.

வரைகலை முறை பல நுணுக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு காட்சி வழியில் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், ஒவ்வொரு வரிக்கும் இரண்டு புள்ளிகள் கட்டப்பட்டுள்ளன, மாறி x இன் மதிப்புகள் தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டன: 0 மற்றும் 3. x இன் மதிப்புகளின் அடிப்படையில், y க்கான மதிப்புகள் கண்டறியப்பட்டன: 3 மற்றும் 0. ஆய (0, 3) மற்றும் (3, 0) புள்ளிகள் வரைபடத்தில் குறிக்கப்பட்டு ஒரு வரியால் இணைக்கப்பட்டன.

இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கான படிகள் மீண்டும் செய்யப்பட வேண்டும். கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி அமைப்பின் தீர்வு.

பின்வரும் உதாரணம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் வரைகலை தீர்வுநேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்: 0.5x-y+2=0 மற்றும் 0.5x-y-1=0.

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், கணினிக்கு எந்த தீர்வும் இல்லை, ஏனெனில் வரைபடங்கள் இணையானவை மற்றும் அவற்றின் முழு நீளத்திலும் வெட்டுவதில்லை.

எடுத்துக்காட்டுகள் 2 மற்றும் 3 இல் உள்ள அமைப்புகள் ஒத்தவை, ஆனால் கட்டமைக்கப்படும் போது அவற்றின் தீர்வுகள் வேறுபட்டவை என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு அமைப்புக்கு தீர்வு இருக்கிறதா இல்லையா என்பதை எப்போதும் கூற முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்;

அணி மற்றும் அதன் வகைகள்

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை சுருக்கமாக எழுத மெட்ரிஸ்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மேட்ரிக்ஸ் என்பது ஒரு அட்டவணை சிறப்பு வகைஎண்களால் நிரப்பப்பட்டது. n*m இல் n - வரிசைகள் மற்றும் m - நெடுவரிசைகள் உள்ளன.

நெடுவரிசைகள் மற்றும் வரிசைகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்கும்போது ஒரு அணி சதுரமாகும். மேட்ரிக்ஸ்-வெக்டார் என்பது எண்ணற்ற எண்ணிக்கையிலான வரிசைகளைக் கொண்ட ஒரு நெடுவரிசையின் அணி. மூலைவிட்டங்களில் ஒன்று மற்றும் பிற பூஜ்ஜிய உறுப்புகளுடன் கூடிய அணி அடையாளம் எனப்படும்.

ஒரு தலைகீழ் அணி என்பது ஒரு அணி, அதன் மூலம் பெருக்கினால், அசல் ஒரு அலகு அணியாக மாறும், அத்தகைய அணி அசல் சதுரத்திற்கு மட்டுமே உள்ளது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை மேட்ரிக்ஸாக மாற்றுவதற்கான விதிகள்

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைப் பொறுத்தவரை, சமன்பாடுகளின் குணகங்கள் மற்றும் இலவச விதிமுறைகள் மேட்ரிக்ஸ் எண்களாக எழுதப்படுகின்றன;

வரிசையின் குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பு பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், அணி வரிசை பூஜ்ஜியமற்றது என்று கூறப்படுகிறது. எனவே, ஏதேனும் சமன்பாடுகளில் மாறிகளின் எண்ணிக்கை வேறுபட்டால், காணாமல் போன தெரியாதவற்றின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உள்ளிடுவது அவசியம்.

மேட்ரிக்ஸ் நெடுவரிசைகள் கண்டிப்பாக மாறிகளுடன் ஒத்திருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் x மாறியின் குணகங்களை ஒரு நெடுவரிசையில் மட்டுமே எழுத முடியும், எடுத்துக்காட்டாக முதல், தெரியாத y இன் குணகம் - இரண்டாவது.

மேட்ரிக்ஸைப் பெருக்கும் போது, ​​மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் ஒரு எண்ணால் வரிசையாக பெருக்கப்படுகின்றன.

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறிவதற்கான விருப்பங்கள்

தலைகீழ் அணியைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் மிகவும் எளிமையானது: K -1 = 1 / |K|, K -1 - தலைகீழ் அணி, மற்றும் |K| மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் ஆகும். |கே| பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது, பின்னர் கணினிக்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது.

நிர்ணயிப்பானது இரண்டு-இரண்டு அணிக்கு எளிதாகக் கணக்கிடப்படுகிறது; "மூன்று மூன்று" விருப்பத்திற்கு ஒரு சூத்திரம் உள்ளது |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம் அல்லது ஒவ்வொரு வரிசையிலிருந்தும் ஒவ்வொரு நெடுவரிசையிலிருந்தும் ஒரு உறுப்பை எடுக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளலாம், இதனால் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் உறுப்புகளின் வரிசைகள் வேலையில் மீண்டும் மீண்டும் வராது.

மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது

ஒரு தீர்வைக் கண்டறியும் மேட்ரிக்ஸ் முறையானது, அமைப்புகளைத் தீர்க்கும்போது சிக்கலான உள்ளீடுகளைக் குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. ஒரு பெரிய எண்மாறிகள் மற்றும் சமன்பாடுகள்.

எடுத்துக்காட்டில், ஒரு nm என்பது சமன்பாடுகளின் குணகங்கள், அணி என்பது ஒரு திசையன் x n என்பது மாறிகள், மற்றும் b n என்பது இலவச சொற்கள்.

காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்வு அமைப்புகள்

உயர் கணிதத்தில், காஸியன் முறையானது க்ரேமர் முறையுடன் சேர்ந்து ஆய்வு செய்யப்படுகிறது, மேலும் அமைப்புகளுக்கான தீர்வுகளைக் கண்டறியும் செயல்முறை காஸ்-க்ரேமர் தீர்வு முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. கண்டுபிடிக்க இந்த முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன மாறி அமைப்புகள்அதிக எண்ணிக்கையிலான நேரியல் சமன்பாடுகளுடன்.

காஸ் முறையானது மாற்று மற்றும் இயற்கணிதக் கூட்டல் மூலம் தீர்வுகளை மிகவும் ஒத்திருக்கிறது, ஆனால் மிகவும் முறையானது. பள்ளி பாடத்திட்டத்தில், காஸியன் முறையின் தீர்வு 3 மற்றும் 4 சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. முறையின் நோக்கம் கணினியை தலைகீழ் ட்ரெப்சாய்டு வடிவத்திற்குக் குறைப்பதாகும். இயற்கணித மாற்றங்கள் மற்றும் மாற்றீடுகள் மூலம், ஒரு மாறியின் மதிப்பு அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் ஒன்றில் காணப்படுகிறது. இரண்டாவது சமன்பாடு 2 அறியப்படாதவைகளைக் கொண்ட ஒரு வெளிப்பாடு ஆகும், அதே சமயம் 3 மற்றும் 4 முறையே 3 மற்றும் 4 மாறிகள் உள்ளன.

கணினியை விவரிக்கப்பட்ட படிவத்திற்கு கொண்டு வந்த பிறகு, மேலும் தீர்வு கணினியின் சமன்பாடுகளில் அறியப்பட்ட மாறிகளின் வரிசை மாற்றத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

வகுப்பு 7 க்கான பள்ளி பாடப்புத்தகங்களில், காஸ் முறையின் தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு பின்வருமாறு விவரிக்கப்பட்டுள்ளது:

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடியும், படி (3) இல் இரண்டு சமன்பாடுகள் பெறப்பட்டன: 3x 3 -2x 4 =11 மற்றும் 3x 3 +2x 4 =7. சமன்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றைத் தீர்ப்பது, x n என்ற மாறிகளில் ஒன்றைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும்.

உரையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள தேற்றம் 5, அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் ஒன்று சமமான ஒன்றால் மாற்றப்பட்டால், அதன் விளைவாக வரும் அமைப்பும் அசல் ஒன்றிற்கு சமமாக இருக்கும் என்று கூறுகிறது.

காஸ் முறையை மாணவர்கள் புரிந்துகொள்வது கடினம் உயர்நிலைப் பள்ளி, ஆனால் மிகவும் ஒன்றாகும் சுவாரஸ்யமான வழிகள்கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் வகுப்புகளில் மேம்பட்ட படிப்புத் திட்டங்களில் சேர்ந்த குழந்தைகளின் புத்திசாலித்தனத்தை வளர்ப்பது.

பதிவு செய்வதற்கான எளிமைக்காக, கணக்கீடுகள் பொதுவாக பின்வருமாறு செய்யப்படுகின்றன:

சமன்பாடுகள் மற்றும் இலவச சொற்களின் குணகங்கள் மேட்ரிக்ஸின் வடிவத்தில் எழுதப்படுகின்றன, அங்கு மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு வரிசையும் அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் ஒன்றுக்கு ஒத்திருக்கிறது. சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை வலமிருந்து பிரிக்கிறது. ரோமானிய எண்கள் அமைப்பில் உள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கின்றன.

முதலில், வேலை செய்ய வேண்டிய மேட்ரிக்ஸை எழுதுங்கள், பின்னர் அனைத்து செயல்களும் ஒரு வரிசையுடன் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. இதன் விளைவாக வரும் அணி "அம்பு" அடையாளத்திற்குப் பிறகு எழுதப்படுகிறது மற்றும் முடிவை அடையும் வரை தேவையான இயற்கணித செயல்பாடுகள் தொடரும்.

இதன் விளைவாக ஒரு மேட்ரிக்ஸாக இருக்க வேண்டும், அதில் மூலைவிட்டங்களில் ஒன்று 1 க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், மற்ற அனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது, அணி அலகு வடிவத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டின் இருபுறமும் எண்களைக் கொண்டு கணக்கீடுகளைச் செய்ய நாம் மறந்துவிடக் கூடாது.

இந்த ரெக்கார்டிங் முறை குறைவான சிக்கலானது மற்றும் பல தெரியாதவற்றை பட்டியலிடுவதன் மூலம் உங்களை திசைதிருப்பாமல் இருக்க அனுமதிக்கிறது.

எந்தவொரு தீர்வு முறையின் இலவச பயன்பாட்டிற்கும் கவனிப்பு மற்றும் சில அனுபவம் தேவைப்படும். எல்லா முறைகளும் பயன்படுத்தப்படும் இயல்புடையவை அல்ல. தீர்வுகளை கண்டுபிடிப்பதற்கான சில முறைகள் மனித செயல்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியில் மிகவும் விரும்பத்தக்கவை, மற்றவை கல்வி நோக்கங்களுக்காக உள்ளன.

§2. தீர்வுகள் ஆராய்ச்சி சிக்கல்கள் நேரியல் அமைப்புஇரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாடுகளின் அமைப்பு m அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில் தீர்மானிக்கவும்

ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

தீர்வு

x க்கான குணகங்களின் விகிதம் y க்கான குணகங்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால் கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது:

.

உறவுகளை ஒப்பிடுவதிலிருந்து தயாரிப்புகளை ஒப்பிடுவதற்கு செல்லலாம். பின்னர் மீ அளவுருவைப் பொறுத்து குணகங்களின் பூஜ்ஜிய மதிப்புகளும் கருத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.

இதன் விளைவாக ஏற்படும் அலட்சிய சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது, நாம் காண்கிறோம்

3 + 8 மீ + 4 மீ 2 ≠ 4 + 5 மீ ; 4 மீ 2 + 3 மீ - 1 ≠ 0.

m 1 மற்றும் m 2 பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் 4m 2 + 3m – 1 ≠ 0 எனில்

மீ 1 = - 1; மீ 2 = நிலை: முழுமையான;z-இண்டெக்ஸ்:1;இடது:0px;விளிம்பு-இடது:11px;விளிம்பு-மேல்:2px; அகலம்:14px;உயரம்:74px">

மீ ≠

அல்லது இடைவெளிகளின் ஒன்றியமாக:

மீ (– ∞; – 1) (– 1; )(;+∞).

மீ = –EN-US">m = – அல்லது m = –EN-US">m க்கும், அத்துடன் எண்ணற்ற மற்றவர்களுக்கும், இந்த அமைப்புக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு இருக்கும் என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை கவனத்தில் கொள்வோம். .

பதில்: கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு இருந்தால்

m (– ∞; – 1) (– 1; 0.25)EN-US">m மற்றும் n சமன்பாடுகளின் அமைப்பு

எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

தீர்வு

x இன் குணகங்களின் விகிதம் y இன் குணகங்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மற்றும் இலவச சொற்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருந்தால், ஒரு அமைப்பானது எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது

சமன்பாட்டின் விளைவாக சமன்பாடுகளின் சங்கிலியை சமன்பாடுகளின் அமைப்புடன் மாற்றுவோம்

இருந்து நகரும் பின்ன சமன்பாடுகள்முழுவதும். இந்த அமைப்பின் குணகங்களின் பூஜ்ஜிய மதிப்புகளையும் நாங்கள் கருத்தில் கொள்கிறோம். (இந்த அமைப்பின் அனைத்து குணகங்களும் மறைந்துவிடாது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். அவற்றில் ஒன்று EN-US">n ≠ 0. வெளிப்படையாக, விரும்பிய பதில் இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்.)

EN-US">n 2 + n – 6 = 0,

n (n 2 + மீ) = 10.

மற்றும் m தொடர்பாக அமைப்பின் 1வது மற்றும் 2வது சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து, நாம் பெறுகிறோம்

n 1 = – 3; n 2 = 2,

m = – n 2.

எங்கே

n 1 = – 3 என்றால்; n 2 = 2 என்றால்,

பின்னர் மீ 1 = –– 9 = –; பின்னர் m 2 = EN-US">m மற்றும் n அகரவரிசையில், எங்களிடம் உள்ளது

பதில்: {(–; –3); (1; 2)}

உதாரணம்3. சமன்பாடுகளின் அமைப்பு m அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில் தீர்மானிக்கவும்

(2மீ – 3)x – my = 3m – 2,

(2m + 3)y – 5x + 5 = 0

தீர்வுகள் இல்லை.

தீர்வு

x இன் குணகங்களின் விகிதம் y இன் குணகங்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருந்தால் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு தீர்வுகள் இல்லை, ஆனால் இலவச விதிமுறைகளின் விகிதத்திற்கு சமமாக இல்லை. இந்த விதி, முந்தைய விதிகளைப் போலவே, இந்த சமன்பாடுகளை எழுதும் போது, ​​தெரியாதவை சமத்துவங்களின் ஒரு (உதாரணமாக, இடது) பக்கத்தில் உள்ளன மற்றும் அதே வழியில் மாறி மாறி வருகின்றன. இலவச சொற்கள் சமத்துவங்களின் ஒரு (உதாரணமாக, வலது) பக்கத்தில் இருப்பதாகவும் கருதப்படுகிறது. இந்த தேவைகளை பூர்த்தி செய்தல்

(2m – x)x – my = 3m – 2,

– 5x + (2m + 3)y = – 5

மற்றும் கணினி இணக்கமின்மை குறியைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்

m = EN-US">m = 2.25 ஆக இருக்கும் போது கணினி திருப்தி அடையும்.

பயிற்சிகள்

1. சமன்பாடுகளின் அமைப்பு m அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில் தீர்மானிக்கவும்

2x + என் =5

ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

பதில்:மீ (–∞; – 1.5) நிலை: முழுமையான;z-இண்டெக்ஸ்:9;இடது:0px;விளிம்பு-இடது:59px;விளிம்பு-மேல்:23px; அகலம்:14px;உயரம்:62px">அளவுரு m இன் எந்த மதிப்புகளில் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு செய்கிறது

(2m + 1)x +7y = 2m,

சாதாரண வடிவத்தின் நேரியல் அமைப்புகள் கருதப்படும் இடத்தில் a(- எந்த எண்களும், மற்றும் /, (*) அறியப்பட்ட செயல்பாடுகளும் உள்ளன. திசையன் குறிப்பில், அறியப்படாத, மற்றும் /(*) அறியப்பட்ட திசையன் செயல்பாடுகள், A என்பது ஏதேனும் நிலையான அணி. அத்தகைய அமைப்புகள் அடிக்கடி சந்தித்து கோட்பாட்டில் உள்ளன வேறுபட்ட சமன்பாடுகள், மற்றும் பயன்பாடுகளில். வழக்கில் f(t) = 0 போன்ற அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு எப்போதும் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது அடிப்படை செயல்பாடுகள். எனவே, இத்தகைய அமைப்புகள் சமநிலை நிலைக்கு அருகில் மிகவும் சிக்கலான அமைப்புகளைப் படிக்க பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவை பயன்பாடுகளில் தோன்றும், எடுத்துக்காட்டாக, பல டிகிரி சுதந்திரத்துடன் இயந்திர அமைப்புகளில் இயக்கங்களைப் படிக்கும்போது மற்றும் கிளைத்த மின்சுற்றுகளில் மின்னோட்டங்களை விவரிக்கும் போது. தெரியாதவற்றை நீக்குவதன் மூலம், கணினியை ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சமன்பாடுகளாகக் குறைக்கலாம், ஒவ்வொன்றும் ஒரு அறியப்படாத செயல்பாடு. இதைச் செய்ய, எந்தவொரு சமன்பாட்டிலிருந்தும் நாம் தெரியாத ஒன்றை மற்றவற்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துகிறோம் மற்றும் அதை கணினியின் மீதமுள்ள சமன்பாடுகளில் மாற்றுகிறோம். குறைவான அறியப்படாத அமைப்புகளை நாங்கள் பெறுகிறோம். அவளுடன் நீங்களும் அவ்வாறே செய்யலாம். எளிய அமைப்புகளை மட்டுமே தீர்க்க இந்த முறை வசதியானது. உடன் நேரியல் அமைப்புகள் நிலையான குணகங்கள் I உதாரணம் 20. உதாரணத்தின் கணினி தீர்வு. y ஐ விலக்குகிறோம். முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து y = x" - t. இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம். § 11 இன் முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம். எனவே, 1 2. | அமைப்பின் தீர்வு x" = கோடாரி (x 6 Rn) அணி A வரிசையில் n n நேரியல் சார்பற்ற ஈஜென்வெக்டர்களைக் கொண்டிருக்கும் போது. det (A-XE) = 0 என்ற சமன்பாட்டில் A பல வேர்கள் இல்லாத சந்தர்ப்பங்களில் இது நடக்கும் இந்த மூலத்தின் பெருக்கம் (ஈஜென்வெக்டர்கள் vக்கான சமன்பாடு (A - XE)v = 0 ஆனது n - r நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டிருப்பதால்). A ஐ eigenvalue ஆகவும், a v ஆகவும் இருக்கட்டும் ஈஜென்வெக்டர்அணி A. பின்னர் x = eMv என்பது x1 = Axy என்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு. ஈஜென்வெக்டர்கள் Vх,..., vn நேரியல் சார்பற்றதாக இருந்தால், எங்களிடம் தீர்வுகள் உள்ளன. t = 0 இல் அவற்றின் Wronskian W Ф 0 (அதன் நெடுவரிசைகள் vl,..., vn நேரியல் சார்பற்றவை) என்பதால் அவை நேரியல் முறையில் சுயாதீனமாக உள்ளன. இதன் விளைவாக, அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு x* = கோடாரி வடிவம் கொண்டது - தன்னிச்சையான மாறிலிகள். லெம்மா 9. A( = a + pi (fi Ф 0) என்பது உண்மையான அணி A இன் ஈஜென் மதிப்பு மற்றும் vl = (»(,... என்பது A1#க்கான ஈஜென்வெக்டர் என்றால் Aj = X( = a - pi - eigenvalue , a v2 = v1 = (v),..., உண்மையான Xpக்கு, ஈஜென்வெக்டரை உண்மையானதாக எடுத்துக் கொள்ளலாம் (மற்றும் ஆயத்தொலைவுகள் இதில் உள்ளன. வெக்டர்கள் v1 இணைப்பிகளால் மாற்றப்படுகிறது: Avl = Ajt;1, அதாவது, உண்மையான Xpக்கு, ஈஜென்வெக்டரின் ஆயத்தொகுப்புகள் கணினியிலிருந்தும் உண்மையான குணகங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, எனவே திசையன் v ஐ எடுக்கலாம். உண்மையாக இருக்க x" = உண்மையான அணியுடன் Ax ஐ உண்மையான செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம். இதைச் செய்ய, நாம் லெம்மா 9 இல் உள்ள ஈஜென்வெக்டர்களை எடுத்து, பின்னர் ஒவ்வொரு ஜோடியையும் மாற்ற வேண்டும். சிக்கலான கூட்டு தீர்வுகள் x1 = eAlV, x2 = eXltv2 ஒரு ஜோடி உண்மையான தீர்வுகளுடன் சி இல் உள்ளது.அடிப்படை அமைப்பு தீர்வுகள் மற்றும் அதன் மூலம் பொதுவான தீர்வை வெளிப்படுத்துங்கள். I உதாரணம் 21. உதாரணத்தின் கணினி தீர்வு. நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட லீனியர் சிஸ்டம்களின் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்க்கிறோம், ஏனெனில் ஈஜென்வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம் (^j நாம் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைப் பெறலாம். இந்த அமைப்பின் தீர்வுகள் இந்த குறிப்பிட்ட தீர்வின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளாகும்: பொதுவான வழக்கில் ஜே தீர்வு. அணி A ஐக் குறைப்பதன் மூலம் கணினியை எளிதாக்குவோம்- ஜோர்டானோவா. எந்த ஒரு சதுர அணி A க்கும் ஒருமை அல்லாத அணி C உள்ளது என்று அறியப்படுகிறது, அதாவது அணி B = C~[ AC ஜோர்டானியம், அதாவது Ki செல்கள் எந்த அளவிலும் இருக்கலாம்; முழு மூலைவிட்டத்திலும் உள்ள ஒவ்வொரு கலத்திலும் ஒரே எண் Af உள்ளது, மேலும் வெவ்வேறு கலங்களில் A (வெவ்வேறாகவோ அல்லது ஒரே மாதிரியாகவோ இருக்கலாம். எனவே C"1 AC மற்றும் A ஆகியவை ஒரே குணாதிசய சமன்பாட்டைக் கொண்டிருப்பதால் அவை ஒரே வேர்கள் ஆகும். A^ அதே பெருக்கல்களுடன் கூடிய அமைப்பு x" = Ax ஆய x = Cy y இன் நேரியல் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், அதாவது மேட்ரிக்ஸ் C மேலே உள்ளது. நாம் பெறுகிறோம். இடமிருந்து C ஆல் பெருக்குகிறோம். 1, எங்களிடம் உள்ளது, அதாவது, முதல் செல் அளவு k x k, இரண்டாவது - 1x1, முதலியன இருந்தால், y" = அறியப்படாத y p ஐ மட்டும் உள்ளடக்கியது. .., y*, அடுத்த I சமன்பாடுகளில் தெரியாதவை yt+ 1,..., yk+1 போன்றவை அடங்கும். இதன் பொருள் கணினி துணை அமைப்புகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் தனித்தனியாக தீர்க்கப்படும் படிவம் (A = X()) எண்கள் X மற்றும் k இல் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன, கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து தொடங்கி, நாங்கள் இந்த அமைப்பைப் பெறுகிறோம். முதல் துணை அமைப்பின் தீர்வைப் பெறுகிறோம், ஏனெனில் இது ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளிலிருந்து (73) பெறப்படுகிறது. மற்ற துணை அமைப்புகளின் தீர்வுகள் ஒரே மாதிரியான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, எண்கள் k = k- மற்றும் தன்னிச்சையான மாறிலிகள் cf- மட்டுமே வேறுபடும் (Ly என்பது j-ft கலத்தில் உள்ள எண் A, k என்பது அதன் அளவு). அனைத்து துணை அமைப்புகளின் தீர்வுகளையும் ஒன்றாகச் சேகரித்து, முழு அமைப்பின் பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம் y" = மூலம். (72) மூலம் y இலிருந்து x க்கு திரும்பினால், பின்வரும் முடிவைப் பெறுகிறோம். தேற்றம் 16* அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு x " = கோடாரி ஒரு திசையன் செயல்பாடு; இதில் ஒவ்வொரு ஆய xi க்கும் Ap .., At ஆகியவை வெவ்வேறு வடிவங்களில் இருக்கும் சம மதிப்புகள்அணி A என்பது ஒரு இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், அதன் பட்டம் 1 ஆகும் சிறிய அளவு A கொண்ட ஜோர்டான் கலங்களில் மிகப்பெரியது;. பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குணகங்கள் ^(t) (» = 1,..., n; j = 1,..., m) n தன்னிச்சையான மாறிலிகளைப் பொறுத்தது. ஒரு குறிப்பிட்ட அமைப்புக்கான தீர்வு x" = Ax ஐ ஜோர்டான் வடிவத்திற்குக் குறைக்காமல் Ax ஐப் பெறலாம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் det (A - AE) சமன்பாட்டிலிருந்து A அணியின் அனைத்து ஈஜென் மதிப்புகளையும் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் - 0. ஒவ்வொரு A க்கும் நீங்கள் m = n - r சூத்திரத்தின் மூலம் நேரியல் சார்பற்ற ஈஜென்வெக்டர்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறிய வேண்டும், இங்கு n என்பது அணி A - XE9 r என்பது அதன் தரவரிசையில் k ஆகும் மூலத்தின் பெருக்கம், b!,...,b* ஐஜென்வெக்டர்கள் நேர்கோட்டில் இருக்கும் தீர்வுக்கு ஒத்திருக்கிறது. m இன் விஷயத்தில், 8 = k - n குணகங்கள் a, b,... என்ற வடிவத்தில் x = (xр..., xn)T ஐக் காண வேண்டும் ^ மற்றும் ஒத்த சொற்களின் குணகங்களை சமன் செய்தால், a, b, எண்களைக் கண்டறிவதற்கான நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்... k தன்னிச்சையான மாறிலிகளைப் பொறுத்து இந்த அமைப்புக்கான பொதுவான தீர்வைக் காண வேண்டும் k ^ 4 இல், பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் உள்ள அனைத்து முன்னணி குணகங்களும் சில சமயங்களில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக மாறும், ஆனால் இது ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதைத் தடுக்காது.) ஒவ்வொரு A க்கும் இதைச் செய்து, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வுகளைச் சேர்த்தால், பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம் அமைப்பின்.,... அவற்றில் இரண்டு மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட வேண்டும் (எது இன்னும் எங்களுக்குத் தெரியாது). முதல் மூன்று சமன்பாடுகளிலிருந்து நாம் b = d = 2d. மீதமுள்ள சமன்பாடுகளை மாற்றியமைத்தால், அறியப்படாத அனைத்தையும் முடிவின் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம். எங்களிடம் உள்ளது. அமைத்தல் d = Cj, c = Cj, நாங்கள் பெறுகிறோம். இதை (77) க்கு மாற்றியமைத்து, ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை (76) சேர்த்து, su ஆல் பெருக்கினால், கணினியின் பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம்: நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட நேரியல் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புகள். அத்தகைய அமைப்பின் தீர்வை எப்பொழுதும் மாறுபடும் மாறிலிகளின் முறையால் பெறலாம் (§9 இன் பிரிவு 5). இந்த வழக்கில், ஒருங்கிணைப்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது. எவ்வாறாயினும், அமைப்பு (70) இல் உள்ள inhomogeneities f((t) ஆனது atm, e7*, cos/3*, sin fit ஆகிய செயல்பாடுகளின் தொகைகள் மற்றும் தயாரிப்புகள் மூலம் மட்டுமே வெளிப்படுத்தப்படும் போது, ​​அமைப்பின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு ஒருங்கிணைப்பு இல்லாமல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது - முறை மூலம் நிச்சயமற்ற குணகங்கள், கீழே காட்டப்பட்டுள்ளபடி. கணினியின் தீர்வு x" = Ax + fl(t) +... + fr(t) என்பது அமைப்புகளின் தீர்வுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு (xj)" = Axj + fj(t) (j = 1 ,..., r), மற்றும் ஆய்லரின் சூத்திரங்களின்படி சைன்கள் மற்றும் கொசைன்கள் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன அதிவேக செயல்பாடுகள், பின்னர் x" = Ax + pfe7* அமைப்பின் குறிப்பிட்ட தீர்வு வகையைக் குறிப்பிடுவது போதுமானது, இதில் p(t) - amtm + am_xtm~x +... + a0; ao" "at - திசையன்கள். x1 = கோடாரியுடன் உருப்படி 3 இல் உள்ள அதே மாற்றங்கள், p*(ξ) என்பது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருக்கும் ஒரு அமைப்பைப் பெறுகிறோம். .., zx என்றால் 7 - AB-»dt = q என்பது இங்கே மற்றும் கீழே உள்ள அதே பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமான மாறிலிகள், ஏனெனில் நாம் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேடுகிறோம் zk_v... ,z ( , மற்றும் ஒவ்வொரு முறையும் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒருங்கிணைக்கப்படும் போது, ​​அதன் பட்டம் 1 ஆல் அதிகரிக்கிறது. k ஒருங்கிணைப்புகளுக்குப் பிறகு, இந்த நிலையில் q*(t) என்பது m + ஐ விட அதிகமாக இல்லை k வேர்கள் மற்றும் பட்டம் m + fy ஐ விட அதிகமாக இல்லை என்றால், 7 வேர் A^ உடன் இணைந்தால்; எண் k- என்பது ஜோர்டான் கலங்களின் மிகப்பெரிய A; எனவே, பொதுக் கரைசலில் ex"r ஆல் பெருக்கப்படும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மிக உயர்ந்த பட்டத்தை விட kj 1 அதிகமாகும். ஒரே மாதிரியான அமைப்பு. I உதாரணம் 23. கணினியை தீர்க்கவும் I L உதாரணத்தின் தீர்வு. ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு எடுத்துக்காட்டு 21 இல் பெறப்பட்டது, இங்கே A. 2 = 2 ± i. ஒத்திசைவற்ற தன்மைகளுக்கு 4е மற்றும் cos* எண்கள் 7 = 2 மற்றும் 7 = 2 +t வேறுபட்டது, எனவே கணினிக்கு (79) 7 = 2^ А;, எனவே ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு. (79) க்கு மாற்றாக, a = b = c = 1, d = 0 ஐக் காண்கிறோம். அதாவது கணினியில் (80) 4e2*cos$ ஐ 4e*2+|^ என்று மாற்றுகிறோம். எண் 4 ஐ பட்டம் 0 இன் பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கருதுகிறோம். 7 = 2 + i = A, k = 1 என்பதால், பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவு 1 ஆல் அதிகரிக்கிறது மற்றும் மறு நிராகரிக்கப்பட்ட கணினியில் மாற்றியமைத்தால், சமன்பாடுகள் சார்ந்து இருப்பதைப் பெறுகிறோம், பல தீர்வுகள் உள்ளன. நாங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை எடுத்துக்கொள்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு x = x0 + x( + x2, y = y0 + y! + y2* இதில் x0, y0 என்பது ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் தீர்வாகும் (எடுத்துக்காட்டு 21), மற்றும் x( , y, x2, y2 ஆகியவை இங்கே காணப்படுகின்றன பயிற்சிகளுக்கான சிக்கல்கள்: நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட நேரியல் அமைப்புகள் I சாதாரண வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்படாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் வடிவத்தின் அமைப்புகளிலிருந்து வேறுபட்ட பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன (70) § 11 இன் படி, அனைத்து தீர்வுகளும் நேரியல் x = r(t)ext, y = s(f)eM வடிவத்தின் தீர்வுகளின் சேர்க்கைகள், இதில் A என்பது எந்த வேர் ஆகும் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு- A இன் பல மடங்குக்குக் குறைவான பட்டம் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (A = 1 எனில், * பலகோள்கள் காலவரையற்ற குணகங்களின் முறையால் கண்டறியப்படலாம்). மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் இதே வழியில் தீர்க்கப்படுகின்றன. இல் உள்ள சிக்கல்களைப் பார்க்கவும், § 14, b நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் அமைப்புகளைத் தீர்க்க பல வழிகள் உள்ளன. எண்கள் A மட்டும் அறியப்படவில்லை, ஆனால் அணி A ஜோர்டான் வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும் அடிப்படையும் இருந்தால், x" = Ax அமைப்புக்கான தீர்வு வெளிப்படையான வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது (தேற்றம் 11; , § 14, பத்தி 3). நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான செயல்பாட்டு முறை , § 24 இல் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. x1 = Ax 4- f (t) அமைப்பின் ஒரு குறிப்பிட்ட கால தீர்வின் இருப்புக்கான நிபந்தனைகள் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையன் செயல்பாடு f (t) அறியப்பட்ட (அத்தியாயம் 4, § 7, பத்தி 3).

58. கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் முறை அல்லது குணகங்களின் சமன்பாட்டின் முறை. பின்வரும் 2 சமன்பாடுகளை ஒன்றாகத் தீர்ப்போம்:

7x + 5y = 47 மற்றும் 7x - 5y = 9 (1)

ஒரு சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் +5y காலத்தையும், மற்றொன்றின் இடது பக்கம் –5y காலத்தையும் உள்ளடக்கியிருப்பதைக் காண்கிறோம். இந்த பகுதிகளை ஒன்றாக இணைக்க வேண்டும் என்றால், இந்த உறுப்பினர்கள் அழிக்கப்படும். இதை அடைவது எளிது: இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்தும் புதிய ஒன்றை உருவாக்குகிறோம், அதற்காக இரண்டு சமன்பாடுகளின் இடது பக்கங்களையும் ஒன்றுக்கொன்று, வலது பக்கங்களை ஒன்றுக்கொன்று சேர்க்கிறோம் - இந்த சேர்த்தல்களின் முடிவுகள், வெளிப்படையாக, ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது நாம் பெறுகிறோம்:

(+5y மற்றும் –5y விதிமுறைகள் ரத்து செய்யப்பட்டன). இங்கிருந்து நாம் x = 4 ஐப் பெறுகிறோம். பின்னர் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் –1 ஆல் பெருக்கவும்; நாம் பெறுகிறோம்:

7x + 5y = 47
–7x + 5y = –9

இப்போது மீண்டும் இடது பாகங்களையும் வலது பாகங்களையும் ஒன்றாகச் சேர்ப்போம் (அவர்கள் சொல்கிறார்கள்: இந்த 2 சமன்பாடுகளையும் பகுதிகளாகச் சேர்ப்போம்). +7x மற்றும் –7x விதிமுறைகள் ஒன்றையொன்று ரத்து செய்வதால், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

10y = 38, எங்கிருந்து y = 3.8

அதற்கு பதிலாக, நாம் இதைச் செய்யலாம்: நாம் சமன்பாடுகளுக்கு (1) திரும்பி, முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து பகுதிகளால் (அதாவது இடது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கம் மற்றும் வலது பக்கத்திலிருந்து வலது பக்கம்) இரண்டாவதாக கழிப்போம். பின்னர் நீங்கள் 2 வது சமன்பாட்டின் அனைத்து விதிமுறைகளின் அறிகுறிகளையும் மாற்ற வேண்டும் - முடிவு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் முழுமையான மதிப்புகள்ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் அறியப்படாத ஒவ்வொரு குணகங்களும் சமமாக இருந்தன; இந்த குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகள் சமமற்றதாக இருக்கும் ஒரு உதாரணத்தை இப்போது பார்ப்போம்.

3x + 4y = 23 மற்றும் 9x + 10y = 65.

இந்த சமன்பாடுகளைப் பார்க்கும்போது, ​​x இன் குணகங்கள் சமமாக இல்லை என்பதை நாம் காண்கிறோம், ஆனால் முதல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3 ஆல் பெருக்கினால், அவற்றை எளிதாக சமமாக்க முடியும். இதைச் செய்த பிறகு, நாம் பெறுகிறோம்:

9x + 12y = 69
9x + 10y = 65

இப்போது இரண்டாவது சமன்பாட்டை முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து பகுதிகளால் கழிப்போம் (2 வது சமன்பாட்டின் அனைத்து சொற்களின் அறிகுறிகளையும் மாற்றுவது அவசியம்). நாங்கள் பெறுகிறோம்:

2y = 4, எங்கிருந்து y = 2.

இந்த சமன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொண்டு, y க்கான குணகங்களை சமன் செய்வதற்கான சாத்தியக்கூறுகளுக்கு இப்போது வருகிறோம், அதற்காக நாம் வித்தியாசமாக செய்யலாம்: 1) 1 வது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2 ½ ஆல் பெருக்கவும் - பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்:

7 ½ x + 10y = 57 ½
9x + 10y = 65

இப்போது 2 வது சமன்பாட்டிலிருந்து 1 வது சமன்பாட்டை பகுதிகளாக கழிப்போம், அதற்காக 1 வது சமன்பாட்டின் அனைத்து சொற்களின் அறிகுறிகளையும் மாற்றுவோம் (முதலாவது 2 ல் இருந்து கழிப்போம், மற்றும் நேர்மாறாக அல்ல, இடது பக்கத்தில் மட்டுமே குணகம் x நேர்மறையாக மாறும் ), நாங்கள் பெறுகிறோம்:

1 ½ x = 7 ½, எங்கிருந்து x = 7 ½: 1 ½ = 5.

2) 2 வது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2/5 ஆல் பெருக்குகிறோம், மேலும் நாம் பெறுகிறோம்:
3x + 4y = 23 (முதல் ஒன்றை மாற்றாமல் விடவும்).

3 3/5 x + 4y = 26

2 வது சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் பகுதியை பகுதி பகுதியாக கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

3/5 x = 3, எங்கிருந்து x = 3: 3/5 = 5.

3) நாம் சமாளிக்க விரும்பவில்லை என்றால் பகுதியளவு முரண்பாடுகள், பின்னர் y இன் குணகங்களுக்கான பொதுவான குறைந்தபட்ச மடங்குகளைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது 4 மற்றும் 10 எண்களுக்கு - இது 20 மற்றும், 1 வது சமன்பாட்டின் இரு பகுதிகளையும் 2 வது இரு பகுதிகளையும் பெருக்குவதன் மூலம், விஷயத்தை உண்மைக்குக் குறைக்கிறோம். ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் y க்கான குணகம் இந்த பொதுவான குறைந்தபட்சம் பன்மடங்கு வழங்கப்படுகிறது. எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இதைச் செய்ய, 1 வது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 5 ஆல் பெருக்குகிறோம் மற்றும் 2 வது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் பெருக்குகிறோம்.

15x + 20y = 115
18x + 20y = 130.

2 வது சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் பகுதியை மீண்டும் பகுதிகளால் கழிப்போம், நாம் பெறுகிறோம்:

3x = 15, எனவே x = 5.

அறியப்படாத ஒன்று தீர்மானிக்கப்படும்போது, ​​​​மற்றொன்றை மாற்றாகப் பெறலாம் என்பதையும் கவனத்தில் கொள்வோம். எனவே, முதலில் y = 2 ஐக் கண்டுபிடித்தோம். இந்த மதிப்பை 1 வது சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:

3x + 4 2 = 23

3x = 23 – 8 = 15, எனவே x = 5.

மற்றொரு உதாரணத்தை சுருக்கமாக இயக்குவோம்:

6x – 15y = 32 | · 3 | · 2
4x + 9y = 34 | · 5 | · 3

1 வது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3 மற்றும் 2 வது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 5 ஆல் பெருக்க வேண்டும் என்று நாங்கள் குறிப்பிட்டுள்ளோம் - y க்கான குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகளை சமப்படுத்த வேண்டும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

18x - 45y = 96.
20x + 45y = 170.

இந்த சமன்பாடுகளை பகுதிகளாகச் சேர்த்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

38x = 266 மற்றும் x = 7.

இப்போது 1 வது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் பெருக்கலாம் மற்றும் இரண்டாவது இரண்டு பக்கங்களையும் 3 ஆல் பெருக்கலாம் (பக்கத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளது). நாங்கள் பெறுகிறோம்:

12x – 30y = 64
12x + 27y = 102.

2 வது சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் பகுதியை பகுதிகளால் கழிப்போம்; நாம் பெறுகிறோம்:

57y = 38 மற்றும் y = 38/57 = 2/3.

பொதுவான வடிவத்தில் இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவோம்:

கோடாரி + மூலம் = மீ | · ஈ | · சி
cx + dy = n | b | அ

முதலில், நாம் குறிப்பிட்டுள்ளபடி, 1 வது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் d மற்றும் 2 வது இரு பக்கங்களையும் b ஆல் பெருக்குவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

adx + bdy = md
cbx + =bdy = nb.

1 வது சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியை பகுதிகளால் கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

adx – cbx = md – nb.

இடதுபுறத்தில் உள்ள அடைப்புக்குறிக்குள் x ஐ எடுத்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

(ad – cb)x = md – nb,

x = (md – nb) / (ad – cb).

இப்போது x இன் குணகங்களை சமன் செய்வோம், இதற்காக 1 வது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் c ஆல் பெருக்குவோம் மற்றும் இரண்டாவது இரு பக்கங்களையும் a ஆல் பெருக்குவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

2 வது சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் பகுதியை பகுதிகளால் கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

அடி – பிசி = நா – எம்சி,

(ad – bc) y = na – mc

y = (na – mc) / (ad – bc).

இங்கே நாம் 2வது சமன்பாட்டிலிருந்து முதலில் கழித்தோம், மாறாக x – a ஐ நிர்ணயிக்கும் போது பெறப்பட்ட அதே வகுப்பான விளம்பரத்தைப் பெறுவதற்காக அல்ல.

மாறிகள் தொடர்பாக மேலே விவரிக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இதே போன்ற சமன்பாடுகளைப் பெறலாம் சி 2,..., சி எம்.இந்த சமன்பாடுகள் சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகின்றன:

a 11 С 1 + a 12 С 2 +…+ a 1m С m = b 1

a 21 С 1 + a 22 С 2 +…+ a 2m С m = b 2(5)

……………………………………………………………..

a m1 С 1 + a m2 С 2 +…+ a m m С m = b m ,

குணகங்கள் எங்கே ஒரு கே எல்மற்றும் அளவு பி கே(கே, எல் = 1, 2,…, மீ) வெளிப்பாடுகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

சமன்பாடுகள் (5) என்பது நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பாகும்.

பொருத்துதல் செயல்பாட்டின் நேரியல் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பயன்படுத்துவதன் நன்மை j(x)இந்த வழக்கில் குறைந்தபட்ச மதிப்பின் கேள்வி ஜே. உண்மையில், நேரியல் சமன்பாடுகளின் (9) அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வு இருந்தால், அது தனித்துவமானது, எனவே தேவையான நிபந்தனைகள்இந்த விஷயத்தில் குறைந்தபட்ச செயல்பாட்டிற்கு போதுமான நிபந்தனைகளும் உள்ளன J(С 1, С 2,…, С மீ).

5) தோராயமான செயல்பாட்டின் அளவுருக்களை நிர்ணயிப்பதற்கான முறையின் விளக்கம் (சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது).

சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க, காஸியன் முறை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.

ஒன்று சாத்தியமான வழிகள்தோராயமான அளவுகோலைக் குறைப்பது சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதை உள்ளடக்கியது. தோராயமான செயல்பாடாகத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது நேரியல் செயல்பாடுதேவையான அளவுருக்கள், சாதாரண சமன்பாடுகள் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பாகும்.

அமைப்பு nநேரியல் சமன்பாடுகள் பொதுவான பார்வை(எங்கே x கேதேவையான அளவுருக்கள் குறிக்கப்படுகின்றன கே உடன்தோராயமான செயல்பாடு)

a 11 x 1 + a 12 x 2 +…+ a 1n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 +…+ a 2n x n = b 2

…………………………………………..

a n1 x 1 + a n2 x 2 +…+ a n n x n = b n

மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம் பின்வரும் படிவம்:

A X = B,எங்கே

சதுர அணி ஏஅழைக்கப்பட்டது அமைப்பின் அணி,திசையன் எக்ஸ்– கணினியின் நெடுவரிசை திசையன் தெரியவில்லை, மற்றும் திசையன் பி – இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசை திசையன்.

மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவத்தில், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்பு வடிவம் பெறுகிறது

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது நெடுவரிசை வெக்டரின் உறுப்புகளின் மதிப்புகளைக் கண்டறிவதில் இறங்குகிறது ( x i), அழைக்கப்படுகிறது அமைப்பின் வேர்கள். கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைப் பெற, அதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள கூறுகள் nசமன்பாடுகள் நேரியல் சார்பற்றதாக இருக்க வேண்டும். இதற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, அதாவது.
det A#0.

தீர்வுக்கு காஸியன் முறை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது. இந்த முறையின்படி, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்பு மாற்றப்படுகிறது தொடர்ச்சியான நீக்குதல்"முக்கோண" வடிவம் என்று அழைக்கப்படும் சமன்பாடுகளின் சமமான அமைப்பாக அறியப்படாதவை. "முக்கோண" அமைப்பின் கடைசி சமன்பாடு அறியப்படாத ஒன்றை மட்டுமே கொண்டுள்ளது ( x n), இறுதி - இரண்டு ( xn,xn-1), முதலியன சமன்பாடுகளின் விளைவான அமைப்பின் தீர்வு வரிசைமுறை ("கீழே-மேல்") தீர்மானத்தால் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. x n"முக்கோண" அமைப்பின் கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து, x n -1இறுதியான ஒன்றிலிருந்து, முதலியன. சமன்பாடுகளின் அமைப்பு தொடர்பாக, "முக்கோண" வடிவத்திற்கு மாற்றம் ( n – 1) படிகள்.

முதல் கட்டத்தில், அமைப்பின் முதல் சமன்பாடு தனிமைப்படுத்தப்படுகிறது. இந்த சமன்பாடு மாறாது மற்றும் அறிவிக்கப்படுகிறது முன்னணிசமன்பாடு. பின்னர் தெரியாதது விலக்கப்படுகிறது x 1முன்னணி ஒன்றைத் தவிர அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும். இதைச் செய்ய, முன்னணி சமன்பாடு ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலிருந்தும் வரிசையாக கழிக்கப்படுகிறது, சில சிறப்பாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட காரணிகளால் பெருக்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக குணகத்தை உருவாக்க முடியும் x 1பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, விலக்க x 1இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து

a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2 n x n = b 2

குணகத்தால் பெருக்கப்படும் முன்னணி சமன்பாட்டை அதிலிருந்து கழிப்பது அவசியம் q 21 = a 21 / a 11. உண்மையில், கழித்தலின் விளைவாக வடிவம் உள்ளது

(a 21 – q 21 a 11) x 1 +(a 22 – q 21 a 12) x 2 + …+(a 2n – q 21 a 1n) x n =
= b 2 – q 21 b 1 .

வெளிப்படையாக, குணகம் ( a 21 - q 21 a 11) மணிக்கு x 1பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். குணகங்களுக்கான புதிய குறியீடுகளை அறிமுகப்படுத்துதல்

k=(2, ..., n) ,

மற்றும் ஒரு இலவச உறுப்பினர்

சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம்

இதேபோன்ற செயல்முறையை அமைப்பின் மூன்றாவது சமன்பாட்டுடன் செய்யலாம். முன்னணி சமன்பாட்டைப் பெருக்குதல் q 31 =a 31 /a 11மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து பெருக்கலின் முடிவைக் கழித்தால், சமமான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

பரிசீலிக்கப்பட்ட முதல் படியின் விளைவாக, அசல் சமன்பாடு அமைப்பு சமன்பாடுகளின் சமமான அமைப்பாக மாறும், மேலும் அறியப்படாதது x 1முதல் சமன்பாட்டில் மட்டுமே சேர்க்கப்பட்டுள்ளது:

இரண்டாவது கட்டத்தில், கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாடு முன்னணியில் இருப்பதாக அறிவிக்கப்பட்டு, தெரியாதது அகற்றப்படும் x 2மூன்றாவது முதல் கடைசி வரையிலான சமன்பாடுகளிலிருந்து. முதல் கட்டத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள திட்டத்தின் படி தெரியாதவற்றை நீக்குதல் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. விலக்க வேண்டும் x 2அமைப்பின் மூன்றாவது சமன்பாட்டில் இருந்து முன்னணி சமன்பாடு பெருக்கப்படுகிறது

முதலியன இரண்டாவது படியின் விளைவாக (தெரியாததை நீக்குதல் x 2) சமன்பாடுகளின் அமைப்பு பெறப்படும், மேலும் சமமானதாக இருக்கும் அசல் அமைப்பு:

மாற்றப்பட்ட சமன்பாடுகளின் குணகங்களுக்கு புதிய குறியீடுகள் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. தெரியாதது என்பதை கவனத்தில் கொள்ளவும் x 1முதல் சமன்பாட்டில் மட்டுமே சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, மற்றும் தெரியாதது x 2- முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளில்.

ஆன் ( n-1 ) அறியப்படாதது விலக்கப்பட்ட படி x n -1கடைசியாக இருந்து nசமன்பாடு, இதன் விளைவாக சமன்பாடுகளின் அமைப்பு இறுதி "முக்கோண" வடிவத்தை எடுக்கும்

இதன் விளைவாக சமன்பாடுகளின் அமைப்பு அசல் சமன்பாடு அமைப்புக்கு சமமானது. தெரியாதவர்களை வரிசையாக விலக்குவதற்கான விவரிக்கப்பட்ட செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது முன்னோக்கி பக்கவாதம்காஸ் முறை.

காஸியன் முறையின் முன்னோக்கி முன்னேற்றத்தின் செயல்பாட்டில் அமைப்பின் குணகங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான பொதுவான சூத்திரங்களை வரையறுப்போம். அன்று i- வது படி தெரியவில்லை x iஎண்கள் கொண்ட அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும் விலக்கப்பட்டுள்ளது கே, எங்கே i+1 £ k £ n, முன்னணி சமன்பாடு (எண்ணுடன் i) ஆல் பெருக்கப்படுகிறது

,

மற்றும் பெருக்கத்தின் முடிவு கழிக்கப்படுகிறது கே- சமன்பாடு. குணகங்களின் புதிய மதிப்புகள் (எண்ணுடன் சமன்பாட்டில் கே) தெரியாதவர்களுக்கு x ஜே, (i+1 £ j £ n) சமமாக இருக்கும்

புதிய இலவச உறுப்பினர் மதிப்பு

.

சமன்பாடுகளின் முக்கோண அமைப்புக்கான தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது தலைகீழ்காஸ் முறை மற்றும் கடைசியில் தொடங்கி, தெரியாத அனைத்தையும் வரிசையாக தீர்மானிப்பதில் உள்ளது x n. உண்மையில், அமைப்பின் கடைசி சமன்பாட்டில் இருந்து அது பின்வருமாறு

பொருள் x n -1இறுதி சமன்பாட்டை தீர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது

ஏனெனில் x nஏற்கனவே தீர்மானிக்கப்பட்டது

இந்த செயல்முறை அனைத்து சமன்பாடுகளுக்கும் வரிசையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதில் முதல், தீர்மானிக்கப்படுகிறது

பொதுவான கணக்கீட்டு சூத்திரம் x iபோல் தெரிகிறது

காஸியன் முறையின் முன்னோக்கி முன்னேற்றத்தின் செயல்பாட்டில், அது குணகம் என்று மாறிவிடும் a ij (i -1)முன்னணி சமன்பாடு பூஜ்ஜியமாகும். பின்னர் விலக்கு x iவிவரிக்கப்பட்ட முறையைப் பயன்படுத்தி மீதமுள்ள சமன்பாடுகளிலிருந்து அது சாத்தியமற்றது. இருப்பினும், அமைப்பின் சமன்பாடுகளை மாற்றலாம் மற்றும் முன்னணி சமன்பாடு தெரியாதவற்றிற்கான குணகமாக அறிவிக்கப்படலாம். x iபூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. அமைப்புகள் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க உறவினர் நிலைஅவற்றின் உருவாக்கும் சமன்பாடுகள் சமமானவை. சமன்பாடுகளை மறுசீரமைப்பது ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது மட்டுமல்ல, எண்கணிதக் கணக்கீடுகளின் பிழையைக் குறைக்கவும் பயன்படுகிறது. கணக்கீடு பிழையைக் குறைக்க, முன்னணி சமன்பாடு பொதுவாக அதிகபட்ச மாடுலஸ் குணகத்துடன் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. x i.இது சமன்பாடு மற்றும் எண்ணுடன் கூடிய சமன்பாடு iமாற்றப்பட்டு, நீக்குதல் செயல்முறை வழக்கம் போல் தொடர்கிறது. அதிகபட்ச மாடுலஸ் குணகத்தைக் கண்டறிதல் x iஅழைக்கப்படுகிறது முன்னணி உறுப்பு வரையறை.

6) வழிமுறைகளின் திட்டங்கள் மற்றும் அவற்றின் விளக்கம்.

செயல்பாடு subroutine fi

A மற்றும் B மெட்ரிக்குகளைக் கண்டறிவதற்கான சப்ரூட்டினுக்கான அல்காரிதம்:

மேட்ரிக்ஸ் அவுட்புட் சப்ரூட்டின் Aக்கான அல்காரிதம்.