ஹெஸியன் செயல்பாடுகள். இரண்டாவது முறை (ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென் மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துதல்)

மேட்ரிக்ஸ் ஜி(எக்ஸ்பரிமாணம்( n x n) அதன் அனைத்து ஈஜென் மதிப்புகள் m 1 , m 2 ,…, m எனில் நேர்மறை திட்டவட்டமாக கருதப்படுகிறது nநேர்மறையானவை, அதாவது. மீ ஜே> அனைவருக்கும் 0 ஜே = 1, 2,…, n.

மேட்ரிக்ஸ் ஜி(எக்ஸ்ஈஜென் மதிப்புகள் எதிர்மறையாக இருந்தால் எதிர்மறை திட்டவட்டமானதாகக் கருதப்படுகிறது, அதாவது. மீ ஜே< 0 для всех ஜே = 1, 2,…, n.

eigenvalues ​​மத்தியில் என்றால் ஜிநேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை இரண்டும் ஏற்பட்டால், அணி குறி-மாற்று மற்றும் ஆய்வுக்கு உட்பட்ட செயல்பாடு குவிந்ததாக இல்லை.

ஈஜென் மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்க, சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டியது அவசியம்:

எங்கே ஐ- சதுர அடையாள அணி; det என்பது தீர்மானிப்பவரின் அடையாளம்.

மேட்ரிக்ஸ் ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸிலிருந்து வேறுபடுகிறது, அந்த வடிவத்தின் விதிமுறைகள் மூலைவிட்டத்தில் அமைந்துள்ளன.

எனவே இரு பரிமாண செயல்பாட்டிற்கு f(x 1 , x 2) சிறப்பியல்பு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டிருக்கும்:

(4.10)

மீ 1 மற்றும் மீ 2 ஆகிய ஈஜென் மதிப்புகள் சாதாரணத்தின் வேர்கள் இருபடி சமன்பாடுமீ 2+bமீ + சி= 0, தீர்மானியின் விரிவாக்கத்திற்குப் பிறகு உருவாகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடுகளை எடுத்துக் கொள்வோம்:

f(x)= 2 – 2x 1 –2x 2 +x 1 2 +x 2 2 – x 1 x 2

தீவிர புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள் x* சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

மற்றும் சமம் x 1 * = 2, x 2 * = 2

ஹெஸியன் . முடிவெடுத்த பிறகு சிறப்பியல்பு சமன்பாடு , அதாவது இருபடி சமன்பாடு (2 - மீ) 2 - 1 = 0, ஈஜென் மதிப்புகள் m 1 = 3, m 2 = 1 பெறப்படுகின்றன, அதாவது. அணி ஜிநேர்மறை உறுதியானது. எனவே, செயல்பாடு f(x) குவிந்த மற்றும் தீவிர புள்ளியில் உள்ளது எக்ஸ்* = (2,2) குறைந்தபட்ச மதிப்பை எடுக்கும் f(x*) = –2.

இரண்டாவது வரிசை உச்சநிலைக்கான போதுமான மற்றும் தேவையான நிபந்தனைகளை சரிபார்க்கும் இரண்டு முறைகளும் அட்டவணை 4.2 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 4.4.ஒரு தொகுப்பில் ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும் ஈ 2 .

தீர்வு. 1. அதை எழுதுவோம் தேவையான நிபந்தனைகள்முதல் வரிசை தீவிரம்:

;

x* = (0,0).

2. உச்சநிலைக்கான போதுமான நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டுள்ளதா என்பதைச் சரிபார்ப்போம்.

முதல் வழி:ஹெஸ்ஸியன் அணி வடிவம் கொண்டது .எம் 1 = 2 > 0 என்பதால், , பின்னர் புள்ளியில் x*உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் (அட்டவணை 4.2 இல் வரி 1).

இரண்டாவது வழி:(4.10) பயன்படுத்தி ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எனவே . அனைத்து ஈஜென் மதிப்புகளும் நேர்மறையாக இருப்பதால், புள்ளியில் x* உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் (அட்டவணை 4.2 இல் வரி 1). எடுத்துக்காட்டு 3.3 இலிருந்து செயல்பாடு கண்டிப்பாக செட்டில் குவிந்துள்ளது ஈ 2. எனவே புள்ளி உள்ளூர் குறைந்தபட்சம்உலகளாவிய குறைந்தபட்ச புள்ளியாகவும் உள்ளது (பத்தி 3, அறிக்கை 3.1 இன் படி).

3. உலகளாவிய குறைந்தபட்ச புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம்: f(x*) = 0.

எடுத்துக்காட்டு 4.5. E 2 தொகுப்பில் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 1. முதல் வரிசையின் தேவையான நிபந்தனைகளை எழுதுவோம்:

; .

அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் விளைவாக, ஒரு நிலையான புள்ளியைப் பெறுகிறோம் x* = (0,0).

2. இரண்டாவது வரிசையின் தீவிரம் மற்றும் தேவையான நிபந்தனைகளுக்கு போதுமான நிபந்தனைகளின் நிறைவேற்றத்தை சரிபார்க்கலாம்.

முதல் வழி:ஹெஸ்ஸியன் அணி வடிவம் கொண்டது . M 1 = 2 > 0 என்பதால், , பின்னர் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை (அட்டவணை 4.2 இல் வரிகள் 1 மற்றும் 2). தேவையான இரண்டாவது-வரிசை நிபந்தனைகளின் நிறைவேற்றத்தை சரிபார்க்கலாம்.

முதல் வரிசையின் முதன்மை மைனர்கள் ( மீ= 1) நீக்குவதன் விளைவாக M 2 இலிருந்து பெறப்படுகிறது n-m=2 – 1 = 1 வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள், அதே எண்கள்: – 2, 2. இரண்டாவது வரிசை பெரிய சிறிய ( மீ = 2) நீக்குவதன் விளைவாக M 2 இலிருந்து பெறப்பட்டது n – m= 0 வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள், அதாவது. M 2: -4 உடன் ஒத்துப்போகிறது. இரண்டாவது வரிசை உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள் திருப்திகரமாக இல்லை (அட்டவணை 4.2 இல் வரிகள் 3 மற்றும் 4). ஹெஸியன் மேட்ரிக்ஸ் பூஜ்ஜியமாக இல்லாததால், அந்த புள்ளியில் நாம் முடிவு செய்யலாம் எக்ஸ்* உச்சநிலை இல்லை (அட்டவணை 2.1 இல் வரி 6).

அட்டவணை 4.2

ஒரு தேடல் சிக்கலில் போதுமான மற்றும் தேவையான இரண்டாம்-வரிசை நிலைமைகளை சரிபார்ப்பதற்கான அளவுகோல் இல்லாமல் நிபந்தனை உச்சநிலை

அளவு: px

பக்கத்திலிருந்து காட்டத் தொடங்குங்கள்:

டிரான்ஸ்கிரிப்ட்

1 வரையறை. புள்ளி 0 என்பது புள்ளி 0 இன் செயல்பாடு அண்டையின் உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது அனைத்து அண்டை நாடுகளுக்கும் f f 0. வரையறை. புள்ளி 0 என்பது செயல்பாட்டின் உள்ளூர் குறைந்தபட்ச புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, புள்ளி 0 இன் சுற்றுப்புறம், இந்த அண்டை அனைத்திற்கும் f f 0. f f, அது இருந்தால், அது இருந்தால், அதிகபட்ச புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு உள்ளூர் அதிகபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. , குறைந்தபட்ச புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு இந்த செயல்பாட்டின் உள்ளூர் குறைந்தபட்சமாகும். ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் அதன் உள்ளூர் தீவிரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. "உள்ளூர் தீவிரம்" என்ற சொல், எக்ஸ்ட்ரம்மின் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட கருத்து, செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்துடன் தொடர்புடையது, இந்த முழு டொமைனுடன் அல்ல. ஒரு செயல்பாடு பல தீவிரங்களைக் கொண்டிருக்கலாம், மேலும் ஒரு கட்டத்தில் குறைந்தபட்சம் மற்றொரு கட்டத்தில் அதிகபட்சத்தை விட அதிகமாக இருக்கலாம். வழக்கமாக இலக்கியத்தில் "அதிகபட்சம்", "அதிகபட்சம்", "குறைந்தபட்சம்" என்ற சொற்கள் கடுமையான உள்ளூர் உச்சநிலை, கடுமையான உள்ளூர் அதிகபட்சம், கண்டிப்பான உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் ஆகியவற்றைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வரையறை. புள்ளி 0 என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் கடுமையான உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, அத்தகைய புள்ளி 0 இன் சுற்றுப்புறம், அதாவது இந்த அருகில் உள்ள அனைவருக்கும் f f 0. f, வரையறை இருந்தால். புள்ளி 0 என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் கண்டிப்பான உள்ளூர் குறைந்தபட்ச புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, அத்தகைய புள்ளி 0 இன் சுற்றுப்புறம், அதாவது இந்த அருகில் உள்ள அனைவருக்கும் f f 0. அல்லது, புள்ளி 0 என்பது கடுமையான உள்ளூர் குறைந்தபட்ச செயல்பாடு 0: 0 f f. 0 0 f என்றால் f இருந்தால் வரையறை. ஒரு இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பு குளோபல் எக்ஸ்ட்ரம் எனப்படும். உலகளாவிய உச்சநிலையை உள்ளூர் உச்சத்தின் புள்ளிகளிலோ அல்லது பிரிவின் முனைகளிலோ அடையலாம். ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களால் ஆன ஒரு அணி ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸ் என அழைக்கப்படுகிறது: f f n d f T d d f f... n 1 n (ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரை ஹெசியன் என்று அழைக்க ஒப்புக்கொள்வோம்; இதேபோல்: முதல் வழித்தோன்றல்களால் ஆன அணி ஒரு செயல்பாட்டின் ஜேக்கபியன் மேட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதன் நிர்ணயம் ஜேக்கபியன் இலக்கியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது: 1) Malugin V.A. "கணித பகுப்பாய்வு, விரிவுரைகளின் பாடநெறி (பொருளாதார வல்லுநர்களுக்கான கணிதம்)", 005, ப 105 (ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையின் கருத்து);) Malugin V.A. "கணித பகுப்பாய்வு, சிக்கல்கள் மற்றும் பயிற்சிகள் (பொருளாதார நிபுணர்களுக்கான கணிதம்)", 006, ப. 13 (உலகளாவிய உச்சநிலை; தீவிரத்திற்கு தேவையான நிபந்தனை, 1வது மற்றும் 1வது போதுமான நிபந்தனைகள்); 3) எழுதப்பட்ட டி.டி. "உயர் கணிதம் பற்றிய விரிவுரை குறிப்புகள்", 005, ப 0 (ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சம்); 4) போர்டகோவ்ஸ்கி ஏ.எஸ்., பான்டெலீவ் ஏ.வி. "உதாரணங்கள் மற்றும் சிக்கல்களில் நேரியல் இயற்கணிதம்", 005, ப. 6. 1

2 பிரச்சனைக்கான தீர்வின் சுருக்கமான விளக்கக்காட்சி. தேற்றம் (அதிகரிப்புக்கு போதுமான நிபந்தனை). அக்கம் பக்கத்தில் 0, 0 என்ற நிலையான புள்ளியில் f சார்பு இருக்கட்டும், 0, 0 புள்ளியில் A f, B f C f இன் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவோம். இரண்டாவது வரிசையை உள்ளடக்கியது. A B AC B B C, பின்னர்: 1) 0 என்றால், f, புள்ளியில், குறைந்தபட்சம், A 0 என்றால், 0, பின்னர் செயல்பாடு f, புள்ளி 0, 0, 0 வழக்கில், உச்சநிலை ஆராய்ச்சி புள்ளியில் உள்ளது. 0 0 க்கு ஒரு தீவிரம் உள்ளது: அதிகபட்சம் A 0 ; உச்சநிலை இல்லை. ஒருவேளை, ஒருவேளை இல்லை. கூடுதல் 1) z 50 0, 0, z z 0 செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை ஆய்வு செய்யவும் 0 நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்: z 0 z நிலையான புள்ளி P 5 ;. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் எக்ஸ்ட்ரம் இருப்பதற்கான போதுமான நிபந்தனைகள் திருப்திகரமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்ப்போம். 50 A z B z 1 0 C z 40 3

3 புள்ளி P 5 இல்; : A 450 B 1 C புள்ளி P 5 இல்; குறைந்தபட்சம், ஏனெனில் A 0 0 பதில்: செயல்பாடு குறைந்தபட்ச z ;. இந்த புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு z ;) z 1 z z z z 0 z செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டுபிடி . இதன் விளைவாக, 0 கொண்ட புள்ளிகளில் நிலையான புள்ளிகள் இல்லை. z 0 கருத்தில் இருந்து 0 உடன் புள்ளிகளைத் தவிர்த்து, நாம் பெறுகிறோம்: P ; பி; 4 1 3

4 இரண்டு நிலையான புள்ளிகள் காணப்படுகின்றன பி 1 01 ; மற்றும் பி 1 1 ; ; இந்த புள்ளிகளில் எக்ஸ்ட்ரீமா இருப்பதற்கான போதுமான நிபந்தனை 4 உடன் இணங்குவதற்கு அவற்றைச் சரிபார்க்கலாம். A z B z 43 C z 6 புள்ளி P 1 01 இல்; : A B 1 A0, B1, C 0, 10 B C 1 0 0 என்பதிலிருந்து, இந்த கட்டத்தில் எந்த உச்சமும் இல்லை. புள்ளி P 1 1 இல்; 4 A10, B14, C 38, A B B C A 0 0 முதல், இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகபட்சம் z 1 ஐக் கொண்டுள்ளது; பதில்: செயல்பாடு அதிகபட்சம் z 1 1 ; Mathcad 14 இல் ஒரு விளக்கத்தை உருவாக்குவோம்: - கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அதிகபட்சம் சிவப்பு புள்ளியால் குறிக்கப்படுகிறது; கருப்பு நேர் கோடுகளின் நேர் கோடு P 1 01 புள்ளியில் நிகழ்கிறது;. 0 z 0 பர்கண்டியில் சிறப்பிக்கப்படுகிறது; குறுக்குவெட்டு 4

5 3 3) எக்ஸ்ட்ரீம் z z z க்கு செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறிக: z 0 z ஹைப்பர்போலாவுடனான குறுக்குவெட்டில் உள்ள வட்டம் நான்கு புள்ளிகளைக் கொடுக்கும்: நான்கு நிலையான புள்ளிகள் காணப்படுகின்றன P1; 1, பி 1;, பி 3 1;, பி 4; இந்த புள்ளிகளில் ஒரு உச்சநிலை இருப்பதற்கான போதுமான நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தல். A z B z C z 61 6 புள்ளி P ; 1 1: A 1 0 B 6 C 1 A B B C ஐ சரிபார்க்கலாம்

6 அதிகபட்சம், ஏனெனில் 0 - புள்ளி P இல்; புள்ளி P இல்; 1: புள்ளி P இல் A 60 B 1 C 6 A B B C; 1 தீவிரம் இல்லை, ஏனெனில் 0. புள்ளி P 3 1 இல்; : A 6 0 B 1 C 6 A B B C புள்ளி P 3 1 இல்; தீவிரம் இல்லை, ஏனெனில் 0. புள்ளி P 4 1 இல்; : A 1 0 B 6 C 1 A B B C 6 1 P 4 - ஒரு புள்ளியில்; ஒரு 0 1 குறைந்தபட்சம், ஏனெனில் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் 0 z மதிப்பு;. இந்த புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு z; பதில்: செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் z 1 ஐக் கொண்டுள்ளது; 8 மற்றும் அதிகபட்சம்; z இலக்கியம்: 1) டி.டி. "உயர் கணிதம் பற்றிய விரிவுரை குறிப்புகள்", 005, பக்கம் (இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரம்). ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்பது. 4) இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும், 3 z 3 61 நிலையிலிருந்து நிலையான புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்கவும் z 0 z 0 (ஒரு முனையின் இருப்புக்கு அவசியமான நிபந்தனை) 6

7 z z புள்ளிகள் P1 1 ; 1 மற்றும் பி; நிலையான புள்ளிகள்; ஒரு தீவிரத்தின் இருப்புக்கான போதுமான நிபந்தனைக்கு இணங்க அவற்றைச் சரிபார்க்கலாம். இதைச் செய்ய, செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களிலிருந்து ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குகிறோம்: z z H z z z 6 z H 6 1 z 1 ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் கோண சிறார்களின் பகுப்பாய்வு மூலம் தீர்வின் தொடர்ச்சி ஹெஸ்சியனின் நடத்தையைக் கருத்தில் கொள்வோம். காணப்படும் நிலையான புள்ளிகளில் அணி. 6 6 P11; 1: HP1 6 1 ; கோண மைனர்கள்: M1 6 0, M M 0 என்பதால், புள்ளி P 1 இல் உச்சநிலை இல்லை. பி; கோண சிறார்: M1 6 0, M 4; : HP M1 0 M 0 என்பதால், P புள்ளியில் செயல்பாடு உள்ளூர் குறைந்தபட்ச z ஐக் கொண்டுள்ளது;

8 தேற்றம் (ஒரு முனைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள்). ஒரு கட்டத்தில் ஒரு முனைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டு, வது வரிசையின் அனைத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களும் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், இந்த கட்டத்தில் ஒரு முனையின் இருப்பு இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களின் மேட்ரிக்ஸின் கோண மைனர்களின் மதிப்புகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது ( ஹெஸியன் மேட்ரிக்ஸ்): M1 0, M 0 - உள்ளூர் குறைந்தபட்சம்; M1 0, M 0 - உள்ளூர் அதிகபட்சம்; M 0 - உச்சநிலை இல்லை. M1 0 அல்லது M 0 ஆய்வின் கீழ் உள்ள புள்ளியில் ஒரு தீவிரம் இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம் என்றால், கூடுதல் ஆராய்ச்சி அவசியம். u u, z கருதப்படுகிறது மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உள்ளூர் உச்சநிலையைப் படிக்கும் போது, ​​அணி u u u z u u u z uz uz u zz மற்றும் அதன் கோண மைனர்கள் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. இலக்கியம்: 1) மாலுகின் வி.ஏ. "லீனியர் இயற்கணிதம். சிக்கல்கள் மற்றும் பயிற்சிகள்", 006, ப 149 (செயல்பாட்டின் உள்ளூர் தீவிரம்);) டி.டி. "உயர் கணிதம் பற்றிய விரிவுரை குறிப்புகள்", 005, பக்கம் (இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரம்); 3) பியாட்கோவா V.B., Ruzakov V.Ya., Turova O.E. "கணிதம், 3 வது செமஸ்டர்", யூரல் ஸ்டேட் யுனிவர்சிட்டி ஆஃப் ஹ்யூமானிட்டிகளின் பயிற்சி கையேடு (சுரங்க நிறுவனம், யெகாடெரின்பர்க்), 005, ப. ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென் மதிப்புகளின் பகுப்பாய்வு மூலம் தீர்வின் தொடர்ச்சி ஒவ்வொரு நிலையான புள்ளியிலும் ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம். 6 6 P11; 1: HP சமன்பாடு 0 இலிருந்து 1 ஐக் காண்கிறோம், 6 1 ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென் மதிப்புகள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டிருப்பதால், புள்ளி P 1 இல் உச்சநிலை இல்லை. பி இலிருந்து ஈக்.; : ஹெச்பி 1 ஐக் காண்கிறோம், ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து ஈஜென் மதிப்புகளும் நேர்மறையாக இருப்பதால், P புள்ளியில் உள்ளூர் குறைந்தபட்ச z உள்ளது; 4 3. ஒவ்வொரு நிலையான புள்ளிகளிலும் ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும், எல்லா ஈஜென் மதிப்புகளும் * நேர்மறையாக இருந்தால்: i 0, i 1,..., n, பின்னர் புள்ளியில் ஒரு உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் உள்ளது; எதிர்மறை: i 0, i 1,..., n, பின்னர் எதிர்மறை அல்லாத புள்ளியில்: i 0, i 1,..., n, பின்னர் நேர்மறை அல்லாத புள்ளியில்: i 0, i 1,.. ., n, பின்னர் புள்ளி * உள்ளூர் அதிகபட்சம்; * செயல்பாடுகள். * உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் இருக்கலாம்; * உள்ளூர் அதிகபட்சம் இருக்கலாம்; * வெவ்வேறு அறிகுறிகள், பின்னர் புள்ளியில் உச்சநிலை இல்லை; பூஜ்யம்: i 0, i 1,..., n, பின்னர் கூடுதல் ஆராய்ச்சி தேவை. 8

9 இலக்கியம்: 1) போர்டகோவ்ஸ்கி A.S., Panteleev A.V. "உதாரணங்கள் மற்றும் சிக்கல்களில் நேரியல் இயற்கணிதம்", 005, பக் 531 (எடுத்துக்காட்டு 9.8). 5) செயல்பாட்டின் தீவிரப் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும் z இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளை z 0 z 0 (எக்ஸ்ட்ரம் இருப்பதற்கு அவசியமான நிபந்தனை) z z மூன்று நிலையான புள்ளிகள் காணப்படுகின்றன P 1 00 ;, பி 0 ; 1 40, பி 3; ஒரு தீவிரத்தின் முன்னிலையில் போதுமான நிபந்தனைக்கு இணங்குதல்; அவற்றைச் சரிபார்ப்போம் இரண்டு மாறிகள் z z ஒரு செயல்பாட்டின் உள்ளூர் உச்சநிலையைப் படிக்கும் போது, ​​d, d வேறுபாடுகளைப் பொறுத்து செயல்பாட்டின் இருபடி வடிவம் ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸ் z z z z மற்றும் ஒவ்வொரு நிலையான புள்ளியிலும் கருதப்படுகிறது P i. இந்த இருபடி வடிவம் திட்டவட்டமானதாக மாறினால், செயல்பாடு z z, எக்ஸ்ட்ரம்: அ) குறைந்தபட்சம், இருபடி வடிவம் நேர்மறை திட்டவட்டமாக இருந்தால்; b) இருபடி வடிவம் எதிர்மறை திட்டவட்டமாக இருந்தால் அதிகபட்சம். இருபடி வடிவம் காலவரையற்றதாக மாறினால், P i உள்ள P i உள்ள புள்ளியில் ஒரு அணி தொகுக்கப்படுகிறது, எந்த உச்சநிலையும் இல்லை. இருபடி வடிவத்தின் எதிர்மறையான திட்டவட்டமான அல்லது நேர்மறை அல்லாத உறுதியான நிகழ்வுகளில், கூடுதல் ஆராய்ச்சி தேவைப்படுகிறது - ஒரு தீவிரம் இருக்கலாம். 9

10 ஹெஸியன் அணி: H z z z F F F F F F F F (குறிப்பு 80 1). எனவே, H சில்வெஸ்டர் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி இருபடி வடிவத்தின் திட்டவட்டமான அடையாளத்தை நிறுவுவோம். n மாறிகளில் ஒரு இருபடி வடிவம் நேர்மறை திட்டவட்டமாக இருக்க, அதன் அணி A இன் அனைத்து கோண மைனர்களும் நேர்மறையாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. n மாறிகளின் இருபடி வடிவமானது எதிர்மறை திட்டவட்டமாக இருப்பதற்கு, இருபடி வடிவத்தின் அணி A இன் கோண மைனர்களின் அடையாளங்கள் மைனஸ் குறியில் தொடங்கி மாறி மாறி வருவது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது. ஒரு இருபடி வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு (மாற்று அடையாளம்) சம வரிசையில் குறைந்தபட்சம் ஒரு பெரிய மைனர் எதிர்மறையாக இருந்தால் போதுமானது அல்லது ஒற்றைப்படை வரிசையின் இரண்டு பெரிய மைனர்கள் இருந்தால் போதும். வெவ்வேறு அறிகுறிகள் (போதுமான ஆதாரம்இருபடி வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை). ஒரு நிலையான புள்ளியில் P 1 00 ; : H P கோண மைனர்கள்: M1 410, 41 1 M 0110, இருபடி வடிவம் காலவரையற்ற அடையாளமாக உள்ளது, எனவே, புள்ளி P 1 இல் உச்சநிலை இல்லை. ஒரு நிலையான புள்ளியில் பி; H P: கோண மைனர்கள்: M1 410, 41 1 M 0110, இருபடி வடிவம் காலவரையற்ற அடையாளமாக உள்ளது, எனவே, புள்ளி P இல் உச்சநிலை இல்லை. 10

11 ஒரு நிலையான புள்ளியில் பி; H P: கோண மைனர்கள்: M1 410, M 0 0, இருபடி வடிவம் நேர்மறை உறுதியானது, எனவே, புள்ளி P 3 இல் செயல்பாடு உள்ளூர் குறைந்தபட்ச z ஐக் கொண்டுள்ளது; ,பதில்: செயல்பாடு உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் உள்ளது; z கணிதம் 7 இல் ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் (இதற்காக நீங்கள் அதன் இடப்பெயர்ச்சியின் பகுதியைக் குறிப்பிட வேண்டும்): குறிப்புகள்: 1) அக்ஸியோனோவ் ஏ.பி. "கணிதம். கணித பகுப்பாய்வு", பகுதி, 005, ப 193 (எடுத்துக்காட்டுகள் 13, 14);) போர்டகோவ்ஸ்கி ஏ.எஸ்., பான்டெலீவ் ஏ.வி. "உதாரணங்கள் மற்றும் சிக்கல்களில் நேரியல் இயற்கணிதம்", 005, பக் 531 (எடுத்துக்காட்டு 9.8); 3) போர்டகோவ்ஸ்கி ஏ.எஸ்., பாண்டலீவ் ஏ.வி. "நேரியல் இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வு வடிவியல் குறித்த பட்டறை", 007, பக்கம்) மாலுகின் வி.ஏ. "லீனியர் இயற்கணிதம். விரிவுரைகளின் பாடநெறி", 006, பக். 157, 164; 5) பரனோவா ஈ.எஸ்., வாசிலியேவா என்.வி., ஃபெடோடோவ் வி.பி. " நடைமுறை வழிகாட்டிஉயர் கணிதத்தில். வழக்கமான கணக்கீடுகள்", 008, ப. 301 (எடுத்துக்காட்டு 10.35). 6) முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி நிபந்தனையற்ற எக்ஸ்ட்ரீமாவின் இருப்புக்கான செயல்பாட்டை, F z 4 3 z z, நிலையான புள்ளிகளை பகுப்பாய்வு செய்து ஆய்வு செய்யுங்கள். F 0 F 0 F 0 z என்ற மூன்று மாறிகளின் செயல்பாடு F 0 F 0 F 0 z (ஒரு தீவிரத்தின் இருப்புக்கு அவசியமான நிபந்தனை) F 8z F 6 Fz z 8z ​​z 0 z 0 Point P 000 க்கு இணங்குவதைப் பார்ப்போம் ஒரு உச்சநிலையின் இருப்புக்கான போதுமான நிபந்தனை 11.

12 u u, z என்ற மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உள்ளூர் உச்சநிலையைப் படிக்கும் போது, ​​d, d, dz வேறுபாடுகளைப் பொறுத்து செயல்பாட்டின் இருபடி வடிவம் - Hessian matrix u u u z u u u z uz uz u zz மற்றும் ஒவ்வொரு நிலையான புள்ளியிலும் கருதப்படுகிறது இந்த இருபடி வடிவம் வரையறுக்கப்படுகிறது, பின்னர் செயல்பாடு z z, P i. தீவிரம்: a) குறைந்தபட்சம், இருபடி வடிவம் நேர்மறை திட்டவட்டமாக இருந்தால்; b) இருபடி வடிவம் எதிர்மறை திட்டவட்டமாக இருந்தால் அதிகபட்சம். இருபடி வடிவம் காலவரையற்றதாக மாறினால், P i உள்ள P i உள்ள புள்ளியில் ஒரு அணி தொகுக்கப்படுகிறது, எந்த உச்சநிலையும் இல்லை. இருபடி வடிவத்தின் எதிர்மறையான திட்டவட்டமான அல்லது நேர்மறை அல்லாத உறுதியான நிகழ்வுகளில், கூடுதல் ஆராய்ச்சி தேவைப்படுகிறது - ஒரு தீவிரம் இருக்கலாம். ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸை எழுதுவோம்: F F F z F F F H z F F z z z F F F F 8z 8 1 z F F F z F z F z z F F (எனவே, 8 1 H F F z z 1, F F z z 0). இருபடி வடிவத்தின் அடையாளத்தின் பகுப்பாய்வு. சில்வெஸ்டர் அளவுகோல். சில்வெஸ்டர் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி இருபடி வடிவத்தின் திட்டவட்டமான அடையாளத்தை நிறுவுவோம். 1

13 n மாறிகளில் ஒரு இருபடி வடிவம் நேர்மறை திட்டவட்டமாக இருக்க, அதன் அணி A இன் அனைத்து கோண மைனர்களும் நேர்மறையாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. n மாறிகளின் இருபடி வடிவமானது எதிர்மறை திட்டவட்டமாக இருப்பதற்கு, இருபடி வடிவத்தின் அணி A இன் கோண மைனர்களின் அடையாளங்கள் மைனஸ் குறியில் தொடங்கி மாறி மாறி வருவது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது. ஒரு இருபடி வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு (மாற்று அடையாளம்), சம வரிசையின் குறைந்தபட்சம் ஒரு பெரிய மைனர் எதிர்மறையாக இருந்தால் போதுமானது அல்லது ஒற்றைப்படை வரிசையின் இரண்டு பெரிய மைனர்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டுள்ளனர் (ஒரு இருபடி வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையின் போதுமான அறிகுறி) . ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கோண மைனர்கள் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், ஆனால் அடையாள நிச்சயத்தின் நிபந்தனைகளில் ஒன்றை திருப்திப்படுத்த முடியும் என்றால், இருபடி வடிவம் எதிர்மறையான திட்டவட்டமான அல்லது நேர்மறை அல்லாத திட்டவட்டமானதாக இருக்கும் (படத்தை முடிக்க இந்த நிபந்தனை எழுதப்பட்டது; ஆதாரம் தேவை). காணப்படும் நிலையான புள்ளியில்: 8 1 P000 ; ; ஹெச்பி 6 0 ; 1 0 கோண மைனர்கள்: M1 80, 8 M , M M1 0 என்பதால் M 0 M 3 0, பின்னர் புள்ளி P இல் செயல்பாடு உள்ளூர் குறைந்தபட்ச F ஐக் கொண்டுள்ளது; ; ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் ஐஜென் மதிப்புகள். ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென் மதிப்புகளை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம் இருபடி வடிவத்தின் திட்டவட்டமான அடையாளத்தை நிறுவுவோம். * செயல்பாட்டின் ஒவ்வொரு நிலையான புள்ளிகளிலும் ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும். அனைத்து ஈஜென் மதிப்புகளும் நேர்மறையாக இருந்தால்: i 0, i 1,..., n, இருபடி வடிவம் நேர்மறை திட்டவட்டமானது; எதிர்மறை: i 0, i 1,..., n, பின்னர் இருபடி வடிவம் எதிர்மறை திட்டவட்டமானது; எதிர்மறை அல்லாத: i 0, i 1,..., n, பின்னர் இருபடி வடிவம் எதிர்மறை அல்லாத திட்டவட்டமானது; நேர்மறை அல்லாத: i 0, i 1,..., n, பின்னர் இருபடி வடிவம் நேர்மறை அல்லாத திட்டவட்டமானது; வெவ்வேறு அறிகுறிகள், பின்னர் இருபடி வடிவம் காலவரையற்றது; பூஜ்ஜியம்: i 0, i 1,..., n, பின்னர் இருபடி வடிவம் எதிர்மறை அல்லாத திட்டவட்டமான அல்லது நேர்மறை அல்லாத திட்டவட்டமானது [, ப 530]. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட நிலையான புள்ளியில் ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம். 8 1 P000 ; ; ஹெச்பி 6 0 ;

14 8 1 சமன்பாட்டிலிருந்து அல்லது நாம், 4, 855 9, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களை Mathcad இல் காணலாம்: அல்லது வரைபட ரீதியாக Mathcad இல்: ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து ஈஜென் மதிப்புகளும் நேர்மறையாக இருப்பதால், புள்ளி P இல் குறைந்தபட்சம் உள்ளது . இரண்டாவது வேறுபட்ட செயல்பாடு. இருபடி வடிவத்தின் திட்டவட்டமான அடையாளத்தை நேரடியாக நிறுவுவோம். வேறுபாடுகளைப் பொறுத்து இருபடி வடிவம் செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாடு ஆகும். செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாட்டின் வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம், இதன் மூலம் அதன் அடையாளம் திட்டவட்டமானது என்பதை வெளிப்படையாக நிறுவலாம். சில்வெஸ்டர் அளவுகோல் அல்லது இருபடி வடிவத்தின் மேட்ரிக்ஸின் ஐஜென் மதிப்புகளின் பகுப்பாய்வு முடிவுகளைத் தராதபோது இருபடி வடிவத்தின் அடையாள-நிர்ணயத்தைப் படிப்பதற்கான இந்த அணுகுமுறை கூடுதல் ஆராய்ச்சி முறையாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். n மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் M,..., n என்பது இருமுறை வேற்றுமைச் செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளியாக இருந்தால் f,..., n 1 மற்றும் இந்த புள்ளியின் சில பகுதிகளில் இரண்டாவது வேறுபாடு n f d f M 0 M 0did j i, j1 i j எந்த மதிப்புகளுக்கும் d i மற்றும் d j ஆகியவை ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, பின்னர் புள்ளி M 0 இல் உள்ள செயல்பாடு ஒரு தீவிரத்தைக் கொண்டுள்ளது: குறைந்தபட்சம் அதிகபட்சம் d f M0 0 ; d f M0 0 14

15 செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாடு Ф Ф Ф d Ф, d d dd அல்லது, மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டின் விஷயத்தில் Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф d Ф, z d d dzd dz d dz d இரண்டாவது வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடவும்: F F F F F F F 8z 8 1 z z F F F F z z F F z z z மற்றும் செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாட்டை புள்ளி P 000 இல் எழுதவும்; ; : d F d d dz F z F F F F F F d d d d d d d d d dz z z 8d 6d dz d d 0d dz 1d dz 8 d 6 d dz 4d d d dz முழுமையான சதுரங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்; குறிப்பின் சுருக்கத்திற்காக, நாங்கள் d ஐ மறுவடிவமைப்பு செய்கிறோம், முதலியன: 8 6 z 4 z z z z z z i.e. புள்ளி P000 இல்; ; : d F d dz d d d (d, d, dz உடன் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை) - எனவே, புள்ளி P000; ; குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும். 15

16 இலக்கியம்: 1) அக்சியோனோவ் ஏ.பி. "கணிதம். கணித பகுப்பாய்வு", பகுதி, 005, ப 193 (எடுத்துக்காட்டுகள் 13, 14);) போர்டகோவ்ஸ்கி ஏ.எஸ்., பான்டெலீவ் ஏ.வி. "உதாரணங்கள் மற்றும் சிக்கல்களில் நேரியல் இயற்கணிதம்", 005, பக் 531 (எடுத்துக்காட்டு 9.8); 3) போர்டகோவ்ஸ்கி ஏ.எஸ்., பாண்டலீவ் ஏ.வி. "நேரியல் இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வு வடிவியல் குறித்த பட்டறை", 007, பக்கம்) மாலுகின் வி.ஏ. "லீனியர் இயற்கணிதம். விரிவுரைகளின் பாடநெறி", 006, பக். 157, 164; 5) பரனோவா ஈ.எஸ்., வாசிலியேவா என்.வி., ஃபெடோடோவ் வி.பி. "உயர் கணிதத்திற்கான நடைமுறை வழிகாட்டி. வழக்கமான கணக்கீடுகள்", 008, ப 301 (எடுத்துக்காட்டு 10.35). கணிதம் 7:16 இல் இந்த குறைந்தபட்சம் இருப்பதை சரிபார்க்கலாம்

பல மாறிகளின் செயல்பாடுகள் (FNP). உள்ளூர் உச்சநிலை. 1) ஒரு லோக்கல் எக்ஸ்ட்ரீமிற்கான z z e செயல்பாட்டை ஆராய்தல்; a) x மாறிகள் b) 3 மாறிகள் 3 3 3 u u z z 17 48 z. a) z e e e e 1 1 z e e கண்டுபிடி

விரிவுரைகள் விரிவுரை 1 பிரிவு I. உகப்பாக்கக் கோட்பாடு 1. உகப்பாக்கச் சிக்கலின் பொது உருவாக்கம் மற்றும் அடிப்படை விதிகள் குறைந்தபட்ச செயல்பாடுகளைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கலின் உருவாக்கம்: புறநிலை செயல்பாடு f (x), இங்கு x = (x1,...,

7 இருபடி படிவங்கள் 7 இருபடி வடிவத்தின் வரையறை மாறிகளின் இருபடி வடிவம் q a, 7 வடிவத்தின் வெளிப்பாடாகும், இதில் குணகங்கள் a, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமானவை அல்ல, சமச்சீர் நிலைகளை பூர்த்தி செய்கின்றன.

நேரியல் அல்லாத தேர்வுமுறை சிக்கல். Koltsov S.N 2014 www.linis.ru பிரச்சனை நிபந்தனையற்ற தேர்வுமுறைதேர்வுமுறை சிக்கல் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: X (சிக்கலின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய தொகுப்பு) மற்றும் செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டால்

கணித பகுப்பாய்வு பிரிவு: பல மாறிகளின் செயல்பாடு தலைப்பு: FNPக்கான டெய்லரின் சூத்திரம். FNP விரிவுரையாளர் Rozhkova S.V இன் எக்ஸ்ட்ரீமா. 1 18. FNP க்கான டெய்லர் ஃபார்முலா என்றால் y = அக்கம் பக்கத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடிய நேரங்கள்

விரிவுரை 3 பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம் பல மாறிகளின் செயல்பாடு u = f (x, x) D டொமைனில் வரையறுக்கப்படட்டும், மேலும் புள்ளி x (x, x) = இந்த டொமைனுக்கு சொந்தமானது u = f ( x, x) உள்ளது

விரிவுரை 9 பல மாறுபாடுகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம் பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையின் கருத்து இருபடி வடிவங்களைப் பற்றிய சில தகவல்கள் 3 ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் ஒரு முனையின் கருத்து

அத்தியாயம் 1 வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண சிக்கல்கள் 1 கட்டுப்பாடுகள் இல்லாமல் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண மென்மையான சிக்கல்கள் இந்த பிரிவு ஒன்று மற்றும் பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் தீவிரத்திற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளை வழங்குகிறது. 1.1 பிரச்சனை அறிக்கை

கணித பகுப்பாய்வு 2.5 விரிவுரை: பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீமா VMMF துறையின் இணை பேராசிரியர் விளாடிமிர் ஃபெலிக்சோவிச் சல்மேஜ் D R n டொமைனில் வரையறுக்கப்பட்ட w = f (x) செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். புள்ளி x 0 D என்று அழைக்கப்படுகிறது

நடைமுறை பாடம் 5 பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம் 5 ஒரு உச்சநிலைக்கான வரையறை மற்றும் அவசியமான நிபந்தனைகள் 5 இருபடி வடிவங்களைப் பற்றிய சில தகவல்கள் 53 ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் 5 வரையறை மற்றும் அவசியம்

விரிவுரை பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம் பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம் ஒரு எக்ஸ்ட்ரீம் பாயின்ட் M, ​​0) இருப்பதற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள் செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச அதிகபட்ச புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது)

RYAZAN ஸ்டேட் ரேடியோ டெக்னிகல் யுனிவர்சிட்டி SV போகடோவா, KV புகென்ஸ்கி, IP கராசேவ், ஜிஎஸ் லுக்யானோவா மேத்கேட் சுற்றுச்சூழல் பொதுப் பணிமனை பொதுப் பணிமனையின் செயல்பாடுகள் மற்றும் கிராபிக்ஸ் கட்டுமானம் பற்றிய ஆய்வு

6 () நமக்கு HP = கிடைக்கும். எனவே, தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, உச்சநிலை பற்றிய கேள்விக்கு பதிலளிக்க முடியாது. இந்த வழக்கில், நிலையான புள்ளி P (); உள்ளூர் mi- Δz > P O & P: z = z = இன் ஒரு புள்ளி. δ

1) பிரிவு 6 இல் செயல்பாடு 1 1 இன் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும். பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிய, நீங்கள் செய்ய வேண்டியது: அ) நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறியவும் இந்த பிரிவு,

மாஸ்கோ மாநில தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகம் என்.இ. Bauman அடிப்படை அறிவியல் துறை கணித மாடலிங் துறை A.N. காசிகோவ்,

விரிவுரை 16 ஒரு பழமைவாத அமைப்பில் சமநிலை நிலையின் நிலைத்தன்மை பற்றிய சிக்கல் 1. ஒரு பழமைவாத அமைப்பின் சமநிலை நிலையின் நிலைத்தன்மை குறித்த லாக்ரேங்கின் தேற்றம் சுதந்திரத்தின் அளவுகள் இருக்கட்டும். q 1, q 2,

விரிவுரை N. ஸ்கேலர் புலம். திசை வழித்தோன்றல். சாய்வு. தொடு விமானம் மற்றும் மேற்பரப்புக்கு சாதாரணமானது. பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீமா. நிபந்தனை உச்சநிலை. பொறுத்து வழித்தோன்றல்

10 செயல்பாடுகள் மற்றும் வரைபடங்களின் உருவாக்கம் பற்றிய ஆய்வு 10 செயல்பாடுகளின் ஆய்வு மற்றும் வரைபடங்களின் கட்டுமானம் 1 அதிகரித்தல் மற்றும் குறைத்தல் செயல்பாடு 1 x (1 1 வரையறை y = f (x) செயல்பாடு அதிகரிப்பு (குறைக்காதது) என அழைக்கப்படுகிறது.

) 3 வது வரிசை அணி 6 8 2 5 2 8 3 4 A பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் p எனப்படும் ஈஜென் மதிப்புகள் மற்றும் ஈஜென்வெக்டர்களை தீர்மானிக்கவும் ஈஜென்வெக்டர்சதுர அணி A, அணியுடன் நேரியல் மாற்றம் என்றால்

வேலைக்கான இணைப்பு 3 பாடத்திட்டம்ஒழுக்கம் "கணிதம்" மாணவர்களுக்கான ஒழுங்குமுறை வழிமுறைகள். நடைமுறை பாடம் 1 தலைப்பு: “நிறுவல். பற்றிய வழிமுறைகள் தீ பாதுகாப்புமற்றும் தொழில்நுட்பத்தில்

1) இரண்டாம் வரிசை வளைவு x 4x y 0 சமன்பாட்டை நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டு வந்து அதன் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை x y 0 என்ற நேர் கோட்டுடன் கண்டறியவும். இதன் விளைவாக வரும் தீர்வின் வரைகலை விளக்கத்தை வழங்கவும். x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

7. பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் எக்ஸ்ட்ரீமா புள்ளி M D என்பது உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளி (உள்ளூர்

Lagrange முறை VV Kolybasova, NCh Krutitskaya VV Kolybasova, N Ch Krutitskaya ஒரு நிபந்தனையின் சிக்கலுக்கு தீர்வு இருப்பதற்கான போதுமான நிபந்தனைகள்.

1 SA Lavrenchenko விரிவுரை 9 Extrema 1 வரையறைகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் வரையறை 11 வரையறையின் டொமைனில் இருந்து அனைத்திற்கும் மதிப்பு அழைக்கப்படுகிறது என்றால், ஒரு செயல்பாடு ஒரு கட்டத்தில் முழுமையான அதிகபட்சத்தைக் கொண்டுள்ளது (அல்லது அடையும்) என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள்.

கணிதம் (BkPl-100, BkK-100) எம்.பி. கார்லமோவ் 2009/2010 கல்வி ஆண்டு, 2வது செமஸ்டர் விரிவுரை 5. வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி செயல்பாடுகளின் ஆய்வு 1 1. உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்களின் கருத்து Def. f(x) சார்பு கொடுக்கப்படட்டும்

17. நிபந்தனை உச்சம் 17.1. நிபந்தனைக்குட்பட்ட (அவர்கள் உறவினர் என்றும் கூறுகிறார்கள்) உச்சநிலையைக் கண்டுபிடிப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம். லோக்கல் மாக்சிமா மற்றும் மினிமாவைத் தேடுவதே நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையைக் கண்டறியும் பணி

ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் கல்வி மற்றும் அறிவியல் அமைச்சகம் கூட்டாட்சி மாநில தன்னாட்சி கல்வி நிறுவனம் உயர் கல்வி"தெற்கு ஃபெடரல் யுனிவர்சிட்டி" ஏ.வி. அபானின், டிஏ பாலிகோவா லோக்கல்

கணிதம் மற்றும் கணினி அறிவியல் துறை கணித பகுப்பாய்வு தொலைதூர தொழில்நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி உயர்கல்வி மாணவர்களுக்கான கல்வி மற்றும் முறைசார் வளாகம் தொகுதி 4 வழித்தோன்றல் பயன்பாடுகள் தொகுக்கப்பட்டது: இணை பேராசிரியர்

நோக்குநிலை விரிவுரைக்கான பொருட்கள் கேள்வி 10. இருபடி வடிவங்கள். செயலற்ற நிலை. இருபடி வடிவங்களின் அடையாள உறுதிக்கான நிபந்தனைகள். 1 லாக்ரேஞ்ச் முறையைப் பயன்படுத்தி இருபடி வடிவத்தை நியமன வடிவமாகக் குறைத்தல். குறிப்பு.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் அத்தியாயம் எக்ஸ்ட்ரீமா இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீமா பலவற்றை தீர்க்கும் போது பொருளாதார பணிகள்நாம் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கணக்கிட வேண்டும், உதாரணமாக, சிக்கலைக் கவனியுங்கள்

6. மறைமுகமான செயல்பாடுகள் 6.1 வரையறைகள், பூர்வாங்க தகவல்கள், ஒரு மாறியின் சார்பு மற்றொன்றின் (அல்லது மற்றவை) வெளிப்படையான பிரதிநிதித்துவம் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்த முடியாது.

1 SA லாவ்ரென்சென்கோ விரிவுரை 10 வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டின் ஆய்வு 1 முதல் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டின் ஆய்வு இடைவெளி மூலம் நாம் வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளி அல்லது பின்வருவனவற்றில் ஒன்றைக் குறிக்கிறோம்

உயர் கணிதத்தின் கணிதம் மற்றும் கணினி அறிவியல் கூறுகள், தொலைதூரத் தொழில்நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி படிக்கும் இடைநிலைத் தொழிற்கல்வி மாணவர்களுக்கான கல்வி மற்றும் முறையியல் வளாகம் தொகுதி வேறுபட்ட கால்குலஸ் தொகுக்கப்பட்டது:

லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகளின் முறை சமன்பாடுகளின் வடிவில் உள்ள தடைகளுடன் கூடிய தீவிர சிக்கலைக் கவனியுங்கள்: R: R R: R என்ற சமன்பாடுகளின் அமைப்பால் விவரிக்கப்பட்ட ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பில்) =) நிபந்தனைக்கு உட்பட்டதைக் கண்டறியவும்.

விரிவுரை 11. கண்டிஷனல் எக்ஸ்ட்ரீம் 1. நிபந்தனை உச்சகட்டத்தின் கருத்து.. நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையைக் கண்டறிவதற்கான முறைகள். மூடிய பகுதி. 1. நிபந்தனையின் கருத்து

வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துதல் பின்வரும் சிக்கலைக் கவனியுங்கள்: வழித்தோன்றலின் வடிவியல் அர்த்தத்தின்படி, செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுநிலைக்கான சமன்பாட்டை நாம் உருவாக்க வேண்டும்

அத்தியாயம் 7 பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் வேறுபட்ட கால்குலஸ் 1 பகுதி வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் முழு வேறுபாடுபல மாறிகளின் செயல்பாடுகள் Def711 M (, y), : O(M,) 1 = 1 ()= செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்

கூட்டாட்சி நிறுவனம்கல்வியின் மூலம் மாஸ்கோ மாநில புவியியல் மற்றும் வரைபடவியல் பல்கலைக்கழகம் (MIIGAiK) ஓ.வி. இசகோவா எல். ஏ. சாய்கோவா பிரிவின் சுதந்திரப் படிப்புக்கான மாணவர்களுக்கான பயிற்சி

அப்ளைடு ஆப்டிமைசேஷன் முறைகள் வி.வி. கோர்னெவ் வி.வி. குர்டியுமோவ் வி.எஸ். Rykhlov 2 உள்ளடக்கங்கள் அறிமுகம் 5 1 நேரியல் அல்லாத தேர்வுமுறை 9 1.1 தேர்வுமுறை சிக்கலின் அறிக்கை. அடிப்படை கருத்துக்கள் மற்றும் வரையறைகள்................

கல்வி மற்றும் அறிவியல் அமைச்சகம் ரஷ்ய கூட்டமைப்புஉயர் நிபுணத்துவ கல்விக்கான மத்திய மாநில பட்ஜெட் கல்வி நிறுவனம் "சைபீரியன் மாநில தொழில்துறை பல்கலைக்கழகம்"

~ 1 ~ பல மாறுபாடுகளின் செயல்பாடு 3 இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு, வரையறையின் களம், வரையறையின் முறைகள் மற்றும் வடிவியல் பொருள். வரையறை: z f, இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு எனப்படும், ஒவ்வொரு ஜோடி மதிப்புகளும் இருந்தால்,

ஒரு செயல்பாட்டின் விரிவுரை ஆய்வு மற்றும் அதன் வரைபடத்தை உருவாக்குதல் சுருக்கம்: செயல்பாடு மோனோடோனிசிட்டி, எக்ஸ்ட்ரம், குவிவு-குழிவு, அறிகுறிகளின் இருப்பு ஆகியவற்றிற்காக ஆய்வு செய்யப்படுகிறது, ஒரு செயல்பாட்டின் ஆய்வுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, கட்டுமானம்

1) தீர்மானிப்பான் 1 9 11 0 0 0 56 18 2. கூடுதல் சிறார்களைக் கண்டறியவும். சதுர அணிஒழுங்கு n. ஒரு மேட்ரிக்ஸின் கூடுதல் மைனர் a என்பது M ij என்ற சிறிய தனிமத்தின் அலகுக்கு நிர்ணயிப்பதாகும்

மாஸ்கோ மாநில தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகம் என்.இ. Bauman அடிப்படை அறிவியல் துறை கணித மாடலிங் துறை A.N. காசிகோவ்,

1. செயல்பாடு அதிகரிப்பு மற்றும் குறைதல். இந்த இடைவெளியில் (ab,) வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கு, நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்வது அவசியம் மற்றும் போதுமானது

ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் கல்வி மற்றும் அறிவியல் அமைச்சகம் தேசிய உயர் தொழில்முறை கல்வியின் கூட்டாட்சி மாநில தன்னாட்சி கல்வி நிறுவனம்

முகப்பு அறிமுகம் சோதனைகள்கணித பகுப்பாய்வில் (DKR) முக்கிய வடிவங்களில் ஒன்றாகும் தற்போதைய கட்டுப்பாடு சுதந்திரமான வேலைமாணவர்கள். DCR ஐ முடிக்க தேவையான தோராயமான நேரம்

தலைப்பு 8 பல மாறுபாடுகளின் செயல்பாடுகளின் வேறுபட்ட கணக்கீடு விரிவுரை 8.1. பல மாறிகளின் செயல்பாடுகள். பகுதி வழித்தோன்றல்கள் திட்டம் 1. இரண்டு மற்றும் பல மாறிகள் வரம்பு மற்றும் தொடர்ச்சியின் கருத்து

இரயில்வே போக்குவரத்து உரலுக்கான ஃபெடரல் ஏஜென்சி மாநில பல்கலைக்கழகம்தொடர்பு சாதனங்கள் E E Popovsky P P Skachkov பல மாறுபாடுகளின் செயல்பாடுகள் வழக்கமான கணக்கீடு Ekaterinburg 1 ஃபெடரல்

செயல்பாடுகளின் ஆய்வுக்கான வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்துதல். தீவிர வரையறை. செயல்பாடு f (x) அதிகரிக்கும் (குறைகிறது)

I) திசையன் அமைப்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட நேரியல் துணைவெளிகள் U மற்றும் W: a ; ; 3; a a b b 3; ; ; ; ; ; ; ; ; 3; 3; ; துணைவெளிகளின் தளங்களைக் கண்டறியவும் U a) துணைவெளியின் அடிப்படை U W. W மற்றும் U W. அனைத்தின் தொகுப்பு

மாடுலஸ் மற்றும் டெரிவேட்டிவ் வி.வி. சில்வெஸ்ட்ரோவ் சில சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தொகுதிகளைக் கொண்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவது அவசியம். ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்விலும் இத்தகைய பணிகள் சாத்தியமாகும்.

கல்வி மற்றும் அறிவியல் அமைச்சகம் மாஸ்கோ மாநில தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகம் "மாமி" "உயர் கணிதம்" துறை MA Bodunov, SI Borodina, VV Pokazeev, Be Teush OI Tkachenko, டிஃபரன்ஷியல் கால்குலஸ்

செயல்பாடுகள் மற்றும் வரைபடங்களை வரைதல்.) முறைகளைப் பயன்படுத்தி ஆராயுங்கள் வேறுபட்ட கணக்கீடுசெயல்பாடு f மற்றும் அதன் வரைபடத்தை வரையவும். செயல்பாட்டு டொமைன்: Dy R\. செயல்பாடு பொதுவான பார்வை: y y y கிரிட்டிகல்

உள்ளடக்கங்கள் பிரிவு I. செயல்பாடுகளின் தீவிரத்திற்கான நிபந்தனைகள்... 6 அத்தியாயம். தேர்வுமுறை சிக்கலின் பொதுவான உருவாக்கம் மற்றும் முக்கிய விதிகள்... 6 அத்தியாயம். நிபந்தனையற்ற உச்சநிலைக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள்... சி. தேவை

வேறுபட்ட கால்குலஸ் அடிப்படை கருத்துக்கள் மற்றும் சூத்திரங்கள் வரையறை 1 ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது வாதத்தின் அதிகரிப்பு மற்றும் வாதத்தின் அதிகரிப்பு ஆகியவற்றின் விகிதத்தின் வரம்பாகும்.

பெலாருசியன் ஸ்டேட் யுனிவர்சிட்டி ஆஃப் மெக்கானிக்ஸ் மற்றும் மேத்தமெட்டிக்ஸ் ஃபேசல்டி ஆஃப் லீனியர் அனாலிசிஸ் மற்றும் அனலிட்டிகல் எகனாமிக்ஸ் வி.

மாஸ்கோ மாநிலம் தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகம் NE Bauman Dubograi IV Skudneva OV Levina A I பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பெயரிடப்பட்டது வழிகாட்டுதல்கள்மாஸ்கோ பப்ளிஷிங் ஹவுஸ் சான்றிதழுக்கு தயார் செய்ய

பாடம் மாறுபாடுகள் விரிவுரை 9 அறிமுகம் இந்த அத்தியாயத்தில் செயல்பாடுகளின் தீவிரத்தை (அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம்) கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்

2 சமத்துவங்களுடனான வரையறுக்கப்பட்ட-பரிமாண மென்மையான சிக்கல்கள் இந்தப் பிரிவில், சமத்துவ-வகைக் கட்டுப்பாடுகள் கொண்ட ஒரு மென்மையான வரையறுக்கப்பட்ட-பரிமாண பிரச்சனையில் ஒரு தீவிரத்திற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. 2.1 பிரச்சனையின் அறிக்கை நாம்

செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க் மாநில பல்கலைக்கழக துறை கணித பகுப்பாய்வுசெயல்படுத்துவதற்கான வழிமுறைகள் நடைமுறை வகுப்புகள்கணித பகுப்பாய்வில் பகுதி ஒரு செயல்பாட்டின் உள்ளூர் உச்சநிலையில் சிக்கல்

தேர்வுக்கான கேள்விகள் தலைப்பு. நேரியல் இயற்கணிதம் 1. தீர்மானிப்பான் என்றால் என்ன? எந்த மாற்றங்களின் கீழ் தீர்மானிப்பவரின் மதிப்பு மாறாது? 2. எந்த சந்தர்ப்பங்களில் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்? அடுத்து என்ன

நடைமுறைப் பாடம் 11 இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம் ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சமானது அதன் உச்சநிலை என அழைக்கப்படுகிறது, அந்தச் சார்பு ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கும் புள்ளி M 0 என்பது வேறுபட்டது என்றால் அது தீவிரப் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

விரிவுரை 1 6 நிலையான முனைகளில் உள்ள சிக்கலில் ஒரு தீவிரத்திற்கான போதுமான நிபந்தனைகள் நிலையான முனைகளின் சிக்கலுக்குத் திரும்புவோம்: குறைந்தபட்ச செயல்பாட்டு (,) V = F x x வழங்கப்பட்டுள்ள = A, = B அவசியம்

பல செயல்பாடுகள் மாறிகள் செயல்பாடுகள்ஒரு சுயாதீன மாறி இயற்கையில் இருக்கும் அனைத்து சார்புகளையும் உள்ளடக்காது. எனவே, செயல்பாட்டு சார்பு பற்றிய நன்கு அறியப்பட்ட கருத்தை விரிவுபடுத்தி அறிமுகப்படுத்துவது இயற்கையானது

இரண்டாவது வரிசையில் செயல்பாட்டின் நடத்தையை விவரிக்கிறது.

செயல்பாட்டிற்கு texvc , புள்ளியில் இருமுறை வேறுபடுத்தக்கூடியது வெளிப்பாட்டைப் பாகுபடுத்த முடியவில்லை (இயக்கக்கூடிய கோப்பு texvcகாணப்படவில்லை; அமைவு உதவிக்கு கணிதம்/README ஐப் பார்க்கவும்.): x\in \R^n

எங்கே வெளிப்பாட்டைப் பாகுபடுத்த முடியவில்லை (இயக்கக்கூடிய கோப்பு texvcகாணப்படவில்லை; கணிதம்/README - அமைப்பில் உதவி பார்க்கவும்.): a_(ij)=\partial^2 f/\partial x_i \partial x_j(அல்லது வெளிப்பாட்டைப் பாகுபடுத்த முடியவில்லை (இயக்கக்கூடிய கோப்பு texvcகாணப்படவில்லை; கணிதம்/README - அமைப்பில் உதவி பார்க்கவும்.): a_(ij)=\partial^2 f/\partial z_i \partial \overline(z)_j) மற்றும் செயல்பாடு வெளிப்பாட்டைப் பாகுபடுத்த முடியவில்லை (இயக்கக்கூடிய கோப்பு texvcகாணப்படவில்லை; அமைவு உதவிக்கு கணிதம்/README ஐப் பார்க்கவும்.): fஅமைக்கப்பட்டுள்ளது வெளிப்பாட்டைப் பாகுபடுத்த முடியவில்லை (இயக்கக்கூடிய கோப்பு texvcகாணப்படவில்லை; அமைவு உதவிக்கு கணிதம்/README ஐப் பார்க்கவும்.): n- பரிமாண உண்மையான இடம் வெளிப்பாட்டைப் பாகுபடுத்த முடியவில்லை (இயக்கக்கூடிய கோப்பு texvcகாணப்படவில்லை; அமைவு உதவிக்கு கணிதம்/README ஐப் பார்க்கவும்.): \mathbb(R)^n(அல்லது சிக்கலான இடம் வெளிப்பாட்டைப் பாகுபடுத்த முடியவில்லை (இயக்கக்கூடிய கோப்பு texvcகாணப்படவில்லை; அமைவு உதவிக்கு கணிதம்/README ஐப் பார்க்கவும்.): \mathbb(C)^n) ஒருங்கிணைப்புகளுடன் வெளிப்பாட்டைப் பாகுபடுத்த முடியவில்லை (இயக்கக்கூடிய கோப்பு texvcகாணப்படவில்லை; கணிதம்/README - அமைவுக்கான உதவியைப் பார்க்கவும்.): x_1,\ldots,x_n(அல்லது வெளிப்பாட்டைப் பாகுபடுத்த முடியவில்லை (இயக்கக்கூடிய கோப்பு texvcகாணப்படவில்லை; கணிதம்/README பார்க்கவும் - அமைப்பில் உதவி.): z_1,\ldots,z_n) இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், ஹெஸியன் என்பது டேன்ஜென்ட் ஸ்பேஸில் வரையறுக்கப்பட்ட இருபடி வடிவமாகும், இது மாறிகளின் நேரியல் மாற்றங்களின் கீழ் மாறாது. ஹெஸியன்மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது வெளிப்பாட்டைப் பாகுபடுத்த முடியவில்லை (இயக்கக்கூடிய கோப்பு texvcகாணப்படவில்லை; கணிதம்/README ஐப் பார்க்கவும் - அமைப்பதில் உதவி.): (a_(ij)),கீழே பார்க்கவும்.

ஹெஸியன் அணி

இந்த இருபடி வடிவத்தின் அணி, செயல்பாட்டின் இரண்டாவது பகுதி வழித்தோன்றல்களால் உருவாக்கப்பட்டது. அனைத்து வழித்தோன்றல்களும் இருந்தால், பின்னர்

நியூட்டனின் முறையால் மேம்படுத்தல் சிக்கல்களில் ஹெஸ்ஸியன் மெட்ரிக்குகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் முழுமையான கணக்கீடு கடினமாக இருக்கலாம், எனவே ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் தோராயமான வெளிப்பாடுகளின் அடிப்படையில் அரை-நியூட்டன் வழிமுறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானது ப்ராய்டன்-ஃப்ளெட்சர்-கோல்ட்பார்ப்-ஷானோ அல்காரிதம் ஆகும்.

ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் சமச்சீர்மை

கலப்பு வழித்தோன்றல்கள்செயல்பாடுகள் f- இவை ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள், அவை முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் இல்லை. அவை தொடர்ச்சியாக இருந்தால், வேறுபாட்டின் வரிசை முக்கியமல்ல:

என்றும் இதை எழுதலாம்

இந்த வழக்கில், ஹெஸ்ஸியன் அணி சமச்சீர் ஆகும்.

ஒரு செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகள்

கதை

மேலும் பார்க்கவும்

• சில்வெஸ்டர் அளவுகோல் - ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸின் நேர்மறை/எதிர்மறை உறுதிப்பாட்டிற்கான அளவுகோல்

"ஹெஸ்ஸியன் செயல்பாடுகள்" என்ற கட்டுரையைப் பற்றி ஒரு மதிப்பாய்வை எழுதுங்கள்

குறிப்புகள்

இணைப்புகள்

• கமினின் எல்.ஐ.கணித பகுப்பாய்வு. டி. 1, 2. - 2001.
• குத்ரியாவ்ட்சேவ் எல்.டி. குறுகிய படிப்புகணித பகுப்பாய்வு. T.2 பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ். ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு", FIZMATLIT, 2002, - 424 பக். - ISBN 5-9221-0185-4. அல்லது வேறு ஏதேனும் வெளியீடு.
• கோலுபிட்ஸ்கி எம்., கில்லெமின் வி.நிலையான வரைபடங்கள் மற்றும் அவற்றின் அம்சங்கள், - எம்.: மிர், 1977.

ஹெஸியன் செயல்பாடுகளை வகைப்படுத்தும் ஒரு பகுதி

செயல்பாடுகளை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்:

இரண்டு முறை தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு f(x) என்பது குவிந்த (குழிவான) என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே ஹெஸியன் அணி x ஐப் பொறுத்தமட்டில் f(x) சார்பு அனைத்து xக்கும் நேர்மறை (எதிர்மறை) செமிடெஃபைனட் ஆகும் (பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உள்ளூர் தீவிர புள்ளிகளைப் பார்க்கவும்).

செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகள்:

• Hessian நேர்மறை திட்டவட்டமாக இருந்தால், x 0 என்பது f(x) செயல்பாட்டின் உள்ளூர் குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்.
• ஹெஸியன் எதிர்மறை திட்டவட்டமாக இருந்தால், x 0 என்பது f(x) செயல்பாட்டின் உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளியாகும்.
• ஹெஸ்சியன் அடையாளம் தீர்மானிக்கப்படவில்லை என்றால் (நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகள்) மற்றும் சிதைவடையாத (det G(f) ≠ 0), பின்னர் x 0 என்பது f(x) செயல்பாட்டின் சேணம் புள்ளியாகும்.

மேட்ரிக்ஸின் உறுதிப்பாட்டிற்கான அளவுகோல்கள் (சில்வெஸ்டர் தேற்றம்)

• மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து மூலைவிட்ட கூறுகளும் நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும்;
• அனைத்து முன்னணி முக்கிய தகுதிகளும் நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும்.

நேர்மறை அரை வரையறை:

• அனைத்து மூலைவிட்ட கூறுகளும் எதிர்மறையானவை அல்ல;
• அனைத்து முக்கிய தீர்மானங்களும் எதிர்மறையானவை அல்ல.

வரிசையின் சதுர சமச்சீர் அணி, அதன் கூறுகள் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் புறநிலை செயல்பாடுஇரண்டாவது வரிசை ஹெஸியன் மேட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறதுமற்றும் நியமிக்கப்பட்டது:

ஒரு சமச்சீர் அணி நேர்மறை திட்டவட்டமாக இருக்க, அதன் அனைத்து மூலைவிட்ட மைனர்களும் நேர்மறையாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது, அதாவது.


அணி A = (a ij) நேர்மறை.

எதிர்மறை உறுதி.
ஒரு சமச்சீர் அணி எதிர்மறை திட்டவட்டமாக இருக்க, பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் நடைபெறுவது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது:
(-1) k D k > 0, கே=1,.., n.
வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இருபடி வடிவம் இருக்க வேண்டும் எதிர்மறை திட்டவட்டமான, மைனஸ் அடையாளத்தில் தொடங்கி, இருபடி வடிவத்தின் அணியின் கோண மைனர்களின் அடையாளங்கள் மாறி மாறி வருவது அவசியமானதும் போதுமானதும் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு மாறிகளுக்கு, D 1< 0, D 2 > 0.

ஹெஸ்ஸியன் செமிஃபிஃபைனட் என்றால், இதுவும் ஒரு ஊடுருவல் புள்ளியாக இருக்கலாம். கூடுதல் ஆராய்ச்சி தேவை, இது பின்வரும் விருப்பங்களில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படலாம்:

1. ஒழுங்கு குறைகிறது. மாறிகளின் மாற்றம் செய்யப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு அது y=x ஆகும், இதன் விளைவாக ஒரு மாறி x இன் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம். அடுத்து, y=x மற்றும் y=-x வரிகளில் செயல்பாட்டின் நடத்தையை ஆராய்வோம். முதல் வழக்கில், ஆய்வின் கீழ் உள்ள புள்ளியில் செயல்பாடு குறைந்தபட்சமாக இருந்தால், மற்றொரு வழக்கில் அதிகபட்சம் (அல்லது நேர்மாறாகவும்), பின்னர் படிப்பின் கீழ் உள்ள புள்ளி ஒரு சேணம் புள்ளியாகும்.
2. ஹெஸ்சியனின் சம மதிப்புகளைக் கண்டறிதல். அனைத்து மதிப்புகளும் நேர்மறையாக இருந்தால், ஆய்வுக்கு உட்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாடு குறைந்தபட்சம், அனைத்து மதிப்புகளும் எதிர்மறையாக இருந்தால், அதிகபட்சம் உள்ளது.
3. ε புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில் f(x) செயல்பாட்டின் ஆய்வு. x மாறிகள் x 0 +ε ஆல் மாற்றப்படுகின்றன. அடுத்து, ஒரு மாறி ε இன் செயல்பாடு f(x 0 +ε) பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது என்பதை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம் (பின்னர் x 0 என்பது குறைந்தபட்ச புள்ளி), அல்லது பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக(பின்னர் x 0 என்பது அதிகபட்ச புள்ளியாகும்).

குறிப்பு. கண்டுபிடிக்க தலைகீழ் ஹெசியன்தலைகீழ் அணி கண்டுபிடிக்க போதுமானது.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. பின்வரும் செயல்பாடுகளில் எது குவிந்த அல்லது குழிவானது: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
தீர்வு. 1. பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.


2. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்போம்.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
நாங்கள் பெறுகிறோம்:
a) முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் x 1 ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம் மற்றும் அதை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x 2 +8 = 0
எங்கே x 2 = 4
இந்த மதிப்புகள் x 2 ஐ x 1 க்கான வெளிப்பாட்டில் மாற்றுகிறோம். நாம் பெறுவது: x 1 = 9/2
முக்கியமான புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை 1.
எம் 1 (9/2 ;4)
3. இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.



4. இந்த இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம் முக்கியமான புள்ளிகள் M(x 0 ;y 0).
புள்ளி M 1 (9/2 ;4) க்கான மதிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறோம்



நாங்கள் ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குகிறோம்:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
மூலைவிட்ட சிறார்களுக்கு வெவ்வேறு அறிகுறிகள் இருப்பதால், செயல்பாட்டின் குவிவு அல்லது குழிவு பற்றி எதுவும் கூற முடியாது.

இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களின் சிறிய மதிப்புகள் கொண்ட அளவுருக்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு மீட்டமைக்கப்படும். உணர்திறன் பகுப்பாய்வு கணக்கீட்டு ரீதியாக சிக்கலானது மற்றும் கூடுதல் நினைவகம் தேவைப்படுகிறது.  

உறவுகள் (1.4) மற்றும் (1.6) எங்கள் செயல்பாட்டிற்கான ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய சிறார்களின் அறிகுறிகளைத் தீர்மானிக்கின்றன, இதனால் தொடர்புடைய இருபடி வடிவத்தின் (1.3) நேர்மறை அல்லாத உறுதிப்பாட்டிற்கு இது போதுமான நிபந்தனையாகும். எனவே, இரண்டு ஆதாரங்களைக் கொண்ட நேரியல் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகளின் குழிவுத்தன்மைக்கு, நிபந்தனை (1.4) போதுமானது.  

மேட்ரிக்ஸ் I, ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸ் (அல்லது ஹெஸ்ஸியன்) என்று அழைக்கப்படுகிறது.  

மிகவும் நிலையான அணுகுமுறையில், கற்றல் செயல்முறையை மேம்படுத்த, மீதமுள்ள செயல்பாட்டின் இரண்டாம்-வரிசை வழித்தோன்றல்கள் பற்றிய தகவல்கள் பயன்படுத்தப்படலாம். தொடர்புடைய தேர்வுமுறை முறைகள் இருபடி என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்தத் தகவல்கள் அனைத்தும் ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸ் H இல் சேகரிக்கப்படுகின்றன, இது Nw x Nw பரிமாணங்களைக் கொண்டுள்ளது, Nw என்பது எடைகளின் எண்ணிக்கை. எடை இடத்தில் வெவ்வேறு திசைகளில் சிறிய இடப்பெயர்வுகளுடன் சாய்வு எவ்வாறு மாறுகிறது என்பது பற்றிய தகவல்களை இந்த அணி கொண்டுள்ளது. டைரக்ட் மேட்ரிக்ஸ் கணக்கீட்டிற்கு அதிக நேரம் தேவைப்படுகிறது, எனவே மேட்ரிக்ஸ் கணக்கீடு மற்றும் சேமிப்பைத் தவிர்க்கும் முறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன (இணை சாய்வு வம்சாவளி, அளவிடப்பட்ட இணைச் சாய்வு முறை (பார்க்க), RBa kProp (பார்க்க), அரை-நியூட்டோனியன் முறை, Levenberg-Marquard முறை ).  

முதல் சமன்பாடு (4.17) நிறுவனத்தின் தயாரிப்புகளின் விலை அதிகரிக்கும் போது வெளியீடு எவ்வாறு மாறும் என்பதைக் காட்டுகிறது. ஹெஸ் மேட்ரிக்ஸ் H எதிர்மறை திட்டவட்டமாக இருப்பதால், மேட்ரிக்ஸ் H"1 ஆனது எதிர்மறை திட்டவட்டமானது, எனவே  

பல மாறிகளின் இருமுறை வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கான இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களின் (ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸ்) மேட்ரிக்ஸின் சமச்சீர் காரணமாக Q சார்பு இருப்பதால், வள இருப்புகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களுக்கு மதிப்பீடுகளின் உணர்திறனைத் தொடர்புபடுத்தும் சமத்துவங்கள் பின்பற்றப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க.  

கூடுதலாக, C ஐப் பொறுத்தமட்டில் இந்தச் செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களின் Hessian மேட்ரிக்ஸ் C = 0 இல் எதிர்மறை திட்டவட்டமாக இருக்க வேண்டும்.  

/(C) செயல்பாட்டின் ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் மோனோடோனிக் மாற்றத்தின் போது ஏற்படும் மாற்றத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம். புள்ளியில் சாய்வு கூறுகளை முதலில் எழுதுவோம்  

FQ() செயல்பாடு குவிந்ததாக இருக்க, அணி T = Tij எதிர்மறை திட்டவட்டமாக இருந்தால் போதுமானது. (9.108) இல் உள்ள முதல் சொற்கள், அசல் சிக்கலின் ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் 7 j கூறுகளிலிருந்து எதிர்மறை அல்லாத காரணியால் வேறுபடுகின்றன, ஏனெனில் செயல்பாடு FQ ஒரே மாதிரியாக அதிகரித்து வருகிறது. இந்த வெளிப்பாடுகளில் இரண்டாவது சொற்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அசல் சிக்கலின் குழிவான அணுகல் செயல்பாடு குழிவு மற்றும் FQ() உடன் ஒத்திருக்கும்.  

இவ்வாறு, மாற்றப்பட்ட சிக்கலின் அடையக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கான ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸ் தொகை ஆகும்  

அவற்றில் முதலாவது திசையன் A இன் கூறுகளுக்கான n சமன்பாடுகளைக் குறிக்கிறது, மேலும் இரண்டாவது இருபடி வடிவத்தின் எதிர்மறை உறுதியின் நிலை, இது R செயல்பாட்டின் ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸ் தொடர்பாக சில்வெஸ்டர் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி சரிபார்க்கப்படுகிறது.  

இங்கே மற்றும் கீழே, R f0 மற்றும் R i ஆகியவை தொடர்புடைய மாறிகளைப் பொறுத்து R இன் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் குறிக்கின்றன. எதிர்மறை நிச்சயத்தன்மையின் நிபந்தனைகள் உறுப்புகளுடன் கூடிய R செயல்பாட்டின் ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸால் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும் (பார்க்க (9.125))  

இரண்டாவது பகுதி புத்தகத்தின் தத்துவார்த்த மையத்தை உருவாக்குகிறது. இது முற்றிலும் வேறுபாடுகளின் கோட்பாடு மற்றும் பகுப்பாய்வின் அடித்தளங்களின் கடுமையான விளக்கக்காட்சிக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது, இது வேறுபாடுகளின் மொழியில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. முதல் மற்றும் இரண்டாவது வேறுபாடுகளின் கருத்துக்கள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன, மேலும் ஜாகோபி மற்றும் ஹெஸ்ஸியன் மெட்ரிக்குகளுக்கான அடையாள விதி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. வேறுபாடுகளின் அடிப்படையில் வழங்கப்பட்ட கட்டுப்பாடுகளின் முன்னிலையில் தேர்வுமுறைக் கோட்பாட்டிற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஒரு பத்தியுடன் அத்தியாயம் முடிவடைகிறது.  

சமத்துவமின்மை பற்றிய நான்காவது பகுதி, கௌச்சி-புன்யாகோவ்ஸ்கி (ஸ்க்வார்ட்ஸ்) சமத்துவமின்மை, மின்கோவ்ஸ்கி சமத்துவமின்மை மற்றும் அவற்றின் பொதுமைப்படுத்தல்கள் மற்றும் பாயின்கேரின் பிரிவினைத் தேற்றம் போன்ற சக்திவாய்ந்த முடிவுகளுடன் பொருளாதார வல்லுநர்கள் வசதியாக இருக்க வேண்டும் என்ற எங்கள் நம்பிக்கையிலிருந்து எழுந்தது. ஓரளவுக்கு, அத்தியாயம் நம் ஏமாற்றத்தின் கதையாகவும் இருக்கிறது. இந்தப் புத்தகத்தை எழுதத் தொடங்கியபோது, ​​எங்களுக்கு ஒரு லட்சிய யோசனை இருந்தது - மேட்ரிக்ஸ் டிஃபெரன்ஷியல் கால்குலஸைப் பயன்படுத்தி அனைத்து ஏற்றத்தாழ்வுகளையும் பெறுவது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒவ்வொரு சமத்துவமின்மையும் சில தேர்வுமுறை சிக்கலுக்கு ஒரு தீர்வாக குறிப்பிடப்படலாம். இருப்பினும், இந்த யோசனை ஒரு மாயையாக மாறியது, ஏனெனில் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸ் தீவிர புள்ளியில் ஒருமையாக மாறும்.  

குறிப்பு. இந்தப் புத்தகத்தில், வெக்டார்களை வெக்டார்ஸ் (தடித்தது இல்லை) சாய்வு எழுத்துக்களில் குறிப்பிடுவதைத் தவிர, பெரும்பாலும் நிலையான குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம். வழித்தோன்றல் (மேட்ரிக்ஸ்) D மற்றும் ஹெஸ்சியன் மேட்ரிக்ஸ் H ஆகியவற்றைக் குறிக்க சிறப்பு குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வேறுபாடு ஆபரேட்டர் d எனக் குறிக்கப்படுகிறது. முழு பட்டியல்உரையில் பயன்படுத்தப்படும் அனைத்து குறியீடுகளும் புத்தகத்தின் முடிவில் உள்ள குறியீட்டு குறியீட்டில் உள்ளன.  

இந்த அத்தியாயம் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள், இருமுறை வேறுபாடு மற்றும் இரண்டாவது வேறுபாடு ஆகியவற்றை உள்ளடக்கியது. இரண்டு முறை வேறுபாடு மற்றும் இரண்டாம் வரிசை தோராயமான தொடர்புக்கு குறிப்பிட்ட கவனம் செலுத்தப்படுகிறது. ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸை (வெக்டார் செயல்பாடுகளுக்கு) வரையறுத்து, அதன் (நெடுவரிசை) சமச்சீர்நிலைக்கான நிபந்தனைகளைக் கண்டறிகிறோம். ஹெஸ்ஸியன் மெட்ரிக்குகளுக்கான சங்கிலி விதியையும் இரண்டாவது வேறுபாடுகளுக்கான அதன் அனலாக்ஸையும் நாங்கள் பெறுகிறோம். டெய்லரின் தேற்றம் உண்மையான செயல்பாடுகளுக்கு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. இறுதியாக, உயர் வரிசை வேறுபாடுகள் மிகவும் சுருக்கமாக விவாதிக்கப்படுகின்றன, மேலும் திசையன் செயல்பாடுகளின் பகுப்பாய்வை மேட்ரிக்ஸ் செயல்பாடுகளுக்கு எவ்வாறு நீட்டிக்க முடியும் என்பதை இது காட்டுகிறது.  

முன்னதாக, அனைத்து முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட மேட்ரிக்ஸை நாங்கள் வரையறுத்தோம். இது ஜேக்கபியன் அணி. இப்போது அனைத்து இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களையும் கொண்ட ஒரு அணியை (ஹெசியன் மேட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது) வரையறுப்போம். இந்த மேட்ரிக்ஸை முதலில் உண்மையான மற்றும் பின்னர் திசையன் செயல்பாடுகளுக்கு வரையறுப்போம்.  

Let / S -> Rm, S உடன் Rn ஆகும்