வீடு→வீட்டு உபயோகப் பொருட்கள்→காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது (தெரியாதவர்களின் வரிசைமுறை நீக்கம்). காசியன் முறை

காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது (தெரியாதவர்களின் வரிசைமுறை நீக்கம்). காசியன் முறை

இன்று நாம் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான காஸ் முறையைப் பார்க்கிறோம். Cramer முறையைப் பயன்படுத்தி அதே SLAEகளைத் தீர்ப்பதற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட முந்தைய கட்டுரையில் இந்த அமைப்புகள் என்ன என்பதை நீங்கள் படிக்கலாம். காஸ் முறைக்கு எந்த குறிப்பிட்ட அறிவும் தேவையில்லை, உங்களுக்கு கவனம் மற்றும் நிலைத்தன்மை மட்டுமே தேவை. கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், அதைப் பயன்படுத்துவதற்கு பள்ளிப் பயிற்சி போதுமானது என்ற உண்மை இருந்தபோதிலும், மாணவர்கள் பெரும்பாலும் இந்த முறையை மாஸ்டர் செய்வது கடினம். இந்த கட்டுரையில் அவற்றை ஒன்றுமில்லாமல் குறைக்க முயற்சிப்போம்!

காஸ் முறை

எம் காசியன் முறை- SLAEகளைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் உலகளாவிய முறை (மிகவும் விதிவிலக்கு பெரிய அமைப்புகள்) முன்னர் விவாதிக்கப்பட்டதைப் போலல்லாமல், இது ஒரு ஒற்றை தீர்வைக் கொண்ட அமைப்புகளுக்கு மட்டுமல்ல, எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்ட அமைப்புகளுக்கும் ஏற்றது. இங்கே மூன்று சாத்தியமான விருப்பங்கள் உள்ளன.

கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது (கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை);
கணினியில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன;
தீர்வுகள் இல்லை, அமைப்பு இணக்கமற்றது.

எனவே எங்களிடம் ஒரு அமைப்பு உள்ளது (அதற்கு ஒரு தீர்வு இருக்கட்டும்) மற்றும் அதை காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப் போகிறோம். இது எப்படி வேலை செய்கிறது?

காஸ் முறை இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது - முன்னோக்கி மற்றும் தலைகீழ்.

காஸியன் முறையின் நேரடி பக்கவாதம்

முதலில், கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதுவோம். இதைச் செய்ய, பிரதான மேட்ரிக்ஸில் இலவச உறுப்பினர்களின் நெடுவரிசையைச் சேர்க்கவும்.

காஸ் முறையின் முழு சாராம்சமும், அடிப்படை மாற்றங்களின் மூலம், இந்த அணிஒரு படி (அல்லது அவர்கள் சொல்வது போல் முக்கோண) தோற்றம். இந்த வடிவத்தில், மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் கீழ் (அல்லது மேலே) பூஜ்ஜியங்கள் மட்டுமே இருக்க வேண்டும்.

நீங்கள் என்ன செய்ய முடியும்:

நீங்கள் மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளை மறுசீரமைக்கலாம்;
மேட்ரிக்ஸில் சமமான (அல்லது விகிதாசார) வரிசைகள் இருந்தால், அவற்றில் ஒன்றைத் தவிர மற்ற அனைத்தையும் நீக்கலாம்;
நீங்கள் ஒரு சரத்தை எந்த எண்ணாலும் (பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர) பெருக்கலாம் அல்லது வகுக்கலாம்;
பூஜ்ய வரிசைகள் அகற்றப்படுகின்றன;
ஒரு சரத்தில் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் பெருக்கப்படும் சரத்தை நீங்கள் சேர்க்கலாம்.

தலைகீழ் காசியன் முறை

கணினியை இந்த வழியில் மாற்றிய பிறகு, ஒன்று தெரியவில்லை Xn அறியப்படுகிறது, உங்களால் முடியும் தலைகீழ் வரிசைகணினியின் சமன்பாடுகளில் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட x ஐ மாற்றுவதன் மூலம் மீதமுள்ள அனைத்து தெரியாதவற்றைக் கண்டறியவும், முதல் வரை.

இணையம் எப்போதும் கையில் இருக்கும்போது, காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நீங்கள் தீர்க்கலாம் ஆன்லைன்.நீங்கள் ஆன்லைன் கால்குலேட்டரில் குணகங்களை உள்ளிட வேண்டும். ஆனால் நீங்கள் ஒப்புக் கொள்ள வேண்டும், உதாரணம் ஒரு கணினி நிரலால் அல்ல, ஆனால் உங்கள் சொந்த மூளையால் தீர்க்கப்பட்டது என்பதை உணர்ந்து கொள்வது மிகவும் இனிமையானது.

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

இப்போது - ஒரு எடுத்துக்காட்டு, அதனால் எல்லாம் தெளிவாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் மாறும். அமைப்பு கொடுக்கப்படட்டும் நேரியல் சமன்பாடுகள், மற்றும் நீங்கள் அதை காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க வேண்டும்:

முதலில், நீட்டிக்கப்பட்ட அணியை எழுதுவோம்:

இப்போது மாற்றங்களைச் செய்வோம். மேட்ரிக்ஸின் முக்கோண தோற்றத்தை நாம் அடைய வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்கிறோம். 1வது வரியை (3) ஆல் பெருக்குவோம். 2வது வரியை (-1) ஆல் பெருக்கவும். 2 வது வரியை 1 வது வரியில் சேர்த்து பெறவும்:

பின்னர் 3வது வரியை (-1) ஆல் பெருக்கவும். 3 வது வரியை 2 வது வரியுடன் சேர்ப்போம்:

1வது வரியை (6) ஆல் பெருக்குவோம். 2வது வரியை (13) ஆல் பெருக்குவோம். 2 வது வரியை 1 வது வரியுடன் சேர்ப்போம்:

Voila - அமைப்பு பொருத்தமான வடிவத்திற்கு கொண்டு வரப்படுகிறது. தெரியாதவற்றைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது:

உள்ள அமைப்பு இந்த எடுத்துக்காட்டில்ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது. ஒரு தனி கட்டுரையில் எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்ட தீர்வு அமைப்புகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். மேட்ரிக்ஸை எங்கு மாற்றுவது என்று முதலில் உங்களுக்குத் தெரியாமல் இருக்கலாம், ஆனால் சரியான பயிற்சிக்குப் பிறகு நீங்கள் அதைச் சரியாகப் புரிந்துகொள்வீர்கள் மற்றும் கொட்டைகள் போன்ற காசியன் முறையைப் பயன்படுத்தி SLAEகளை உடைப்பீர்கள். நீங்கள் திடீரென்று ஒரு SLAE ஐக் கண்டால், அது உடைக்க மிகவும் கடினமானதாக மாறினால், எங்கள் ஆசிரியர்களைத் தொடர்புகொள்ளவும்! கடித அலுவலகத்தில் ஒரு கோரிக்கையை வைப்பதன் மூலம் நீங்கள் செய்யலாம். எந்தவொரு பிரச்சினையையும் ஒன்றாக நாங்கள் தீர்ப்போம்!

16-18 ஆம் நூற்றாண்டுகளின் தொடக்கத்தில் இருந்து, கணிதவியலாளர்கள் செயல்பாடுகளை தீவிரமாக ஆய்வு செய்யத் தொடங்கியுள்ளனர், இதற்கு நன்றி நம் வாழ்வில் நிறைய மாறிவிட்டது. இந்த அறிவு இல்லாமல் கணினி தொழில்நுட்பம் வெறுமனே இருக்காது. சிக்கலான சிக்கல்கள், நேரியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் செயல்பாடுகளைத் தீர்க்க பல்வேறு கருத்துக்கள், கோட்பாடுகள் மற்றும் தீர்வு நுட்பங்கள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. நேரியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான உலகளாவிய மற்றும் பகுத்தறிவு முறைகள் மற்றும் நுட்பங்களில் ஒன்று காஸ் முறை ஆகும். மெட்ரிக்குகள், அவற்றின் தரவரிசை, நிர்ணயம் - சிக்கலான செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தாமல் எல்லாவற்றையும் கணக்கிட முடியும்.

SLAU என்றால் என்ன

கணிதத்தில், SLAE என்ற கருத்து உள்ளது - இது நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு. அவள் எப்படிப்பட்டவள்? இது தேவையான n அறியப்படாத அளவுகளுடன் கூடிய m சமன்பாடுகளின் தொகுப்பாகும், இது பொதுவாக x, y, z அல்லது x 1, x 2... x n அல்லது பிற குறியீடுகளாகக் குறிக்கப்படும். காஸியன் முறை மூலம் தீர்க்கவும் இந்த அமைப்பு- அறியப்படாத அனைத்து அறியப்படாதவற்றைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். அமைப்பு இருந்தால் அதே எண்தெரியாத மற்றும் சமன்பாடுகள், பின்னர் அது ஒரு nth வரிசை அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

SLAEகளைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் பிரபலமான முறைகள்

IN கல்வி நிறுவனங்கள்இடைநிலைக் கல்வி மாணவர்கள் இத்தகைய அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான பல்வேறு முறைகளைப் படிக்கின்றனர். பெரும்பாலும் இது எளிய சமன்பாடுகள், இரண்டு அறியப்படாதவற்றைக் கொண்டுள்ளது, எனவே அவற்றுக்கான பதிலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான எந்த முறையும் அதிக நேரம் எடுக்காது. ஒரு சமன்பாட்டிலிருந்து மற்றொரு சமன்பாடு பெறப்பட்டு அசல் ஒன்றிற்கு மாற்றாக இது ஒரு மாற்று முறை போல இருக்கலாம். அல்லது கால அளவைக் கழித்தல் மற்றும் கூட்டல் முறை. ஆனால் காஸ் முறை எளிதான மற்றும் உலகளாவியதாகக் கருதப்படுகிறது. அறியப்படாத எத்தனையோ சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதை இது சாத்தியமாக்குகிறது. இந்த குறிப்பிட்ட நுட்பம் ஏன் பகுத்தறிவு என்று கருதப்படுகிறது? இது எளிமையானது. மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பற்றிய நல்ல விஷயம் என்னவென்றால், தேவையற்ற சின்னங்களை பல முறை மீண்டும் எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை, குணகங்களில் எண்கணித செயல்பாடுகளைச் செய்தால் போதும் - நீங்கள் நம்பகமான முடிவைப் பெறுவீர்கள்.

SLAEகள் நடைமுறையில் எங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன?

SLAE களுக்கான தீர்வு என்பது செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களில் உள்ள கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் ஆகும். எங்கள் உயர் தொழில்நுட்ப கணினி யுகத்தில், கேம்கள் மற்றும் பிற நிரல்களின் வளர்ச்சியுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவர்கள், அத்தகைய அமைப்புகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது, அவை எதைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது மற்றும் அதன் விளைவாக சரியானதை எவ்வாறு சரிபார்க்க வேண்டும் என்பதை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். பெரும்பாலும், புரோகிராமர்கள் சிறப்பு நேரியல் இயற்கணிதம் கால்குலேட்டர் நிரல்களை உருவாக்குகிறார்கள், இதில் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பும் அடங்கும். தற்போதுள்ள அனைத்து தீர்வுகளையும் கணக்கிட காஸ் முறை உங்களை அனுமதிக்கிறது. மற்ற எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சூத்திரங்கள் மற்றும் நுட்பங்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

SLAU பொருந்தக்கூடிய அளவுகோல்

அத்தகைய அமைப்பு இணக்கமாக இருந்தால் மட்டுமே தீர்க்க முடியும். தெளிவுக்காக, Ax=b வடிவத்தில் SLAEஐப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம். rang(A) rang(A,b)க்கு சமமானால் அதற்கு தீர்வு உண்டு. இந்த வழக்கில், (A,b) என்பது ஒரு நீட்டிக்கப்பட்ட படிவ மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இது இலவச விதிமுறைகளுடன் மீண்டும் எழுதுவதன் மூலம் மேட்ரிக்ஸ் A இலிருந்து பெறலாம். காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மிகவும் எளிதானது என்று மாறிவிடும்.

ஒருவேளை சில சின்னங்கள் முற்றிலும் தெளிவாக இல்லை, எனவே எல்லாவற்றையும் ஒரு உதாரணத்துடன் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். ஒரு அமைப்பு இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்: x+y=1; 2x-3y=6. இது இரண்டு சமன்பாடுகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது, இதில் 2 அறியப்படாதவை உள்ளன. அதன் மேட்ரிக்ஸின் தரம் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே கணினிக்கு ஒரு தீர்வு இருக்கும். ரேங்க் என்றால் என்ன? இது அமைப்பின் சுயாதீன வரிகளின் எண்ணிக்கை. எங்கள் விஷயத்தில், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 2 ஆகும், இது தெரியாதவற்றுக்கு அருகில் அமைந்துள்ள குணகங்களைக் கொண்டிருக்கும், மேலும் "=" அடையாளத்தின் பின்னால் அமைந்துள்ள குணகங்களும் நீட்டிக்கப்பட்ட அணிக்கு பொருந்தும்.

SLAEகளை அணி வடிவத்தில் ஏன் குறிப்பிடலாம்?

நிரூபிக்கப்பட்ட க்ரோனெக்கர்-காபெல்லி தேற்றத்தின்படி பொருந்தக்கூடிய அளவுகோலின் அடிப்படையில், நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம். காஸியன் அடுக்கு முறையைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் மேட்ரிக்ஸைத் தீர்க்கலாம் மற்றும் முழு கணினிக்கும் ஒரே நம்பகமான பதிலைப் பெறலாம். ஒரு சாதாரண மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இருந்தால், ஆனால் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருந்தால், கணினியில் எண்ணற்ற பதில்கள் உள்ளன.

மேட்ரிக்ஸ் மாற்றங்கள்

மெட்ரிக்குகளைத் தீர்ப்பதற்குச் செல்வதற்கு முன், அவற்றின் கூறுகளில் என்ன செயல்களைச் செய்ய முடியும் என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். பல அடிப்படை மாற்றங்கள் உள்ளன:

கணினியை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதி அதைத் தீர்ப்பதன் மூலம், தொடரின் அனைத்து கூறுகளையும் ஒரே குணகத்தால் பெருக்கலாம்.
மேட்ரிக்ஸை நியமன வடிவமாக மாற்ற, நீங்கள் இரண்டு இணை வரிசைகளை மாற்றலாம். முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் அமைந்துள்ள அனைத்து மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளும் ஒன்றாகவும், மீதமுள்ளவை பூஜ்ஜியங்களாகவும் மாறும் என்பதை நியதி வடிவம் குறிக்கிறது.
மேட்ரிக்ஸின் இணையான வரிசைகளின் தொடர்புடைய கூறுகளை ஒன்றுடன் ஒன்று சேர்க்கலாம்.

ஜோர்டான்-காஸ் முறை

நேரியல் ஒரே மாதிரியான மற்றும் தீர்வு அமைப்புகளின் சாராம்சம் சீரற்ற சமன்பாடுகள்தெரியாதவற்றை படிப்படியாக அகற்றுவதே காசியன் முறை. இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பொருந்தக்கூடிய கணினியைச் சரிபார்க்க வேண்டும். காஸ் முறை மூலம் சமன்பாடு மிகவும் எளிமையாக தீர்க்கப்படுகிறது. அறியப்படாத ஒவ்வொரு அருகிலும் அமைந்துள்ள குணகங்களை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதுவது அவசியம். கணினியைத் தீர்க்க, நீங்கள் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுத வேண்டும். சமன்பாடுகளில் ஒன்றில் சிறிய எண்ணிக்கையிலான தெரியாதவைகள் இருந்தால், காணாமல் போன உறுப்புக்கு பதிலாக "0" வைக்கப்பட வேண்டும். அறியப்பட்ட அனைத்து உருமாற்ற முறைகளும் மேட்ரிக்ஸில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: பெருக்கல், ஒரு எண்ணால் வகுத்தல், தொடரின் தொடர்புடைய கூறுகளை ஒன்றோடொன்று சேர்த்தல் மற்றும் பிற. ஒவ்வொரு வரிசையிலும் “1” மதிப்புடன் ஒரு மாறியை விட்டுவிட வேண்டியது அவசியம், மீதமுள்ளவை பூஜ்ஜியமாகக் குறைக்கப்பட வேண்டும். இன்னும் துல்லியமான புரிதலுக்கு, காஸ் முறையை எடுத்துக்காட்டுகளுடன் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்.

2x2 அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய எடுத்துக்காட்டு

தொடங்குவதற்கு, இயற்கணித சமன்பாடுகளின் எளிய அமைப்பை எடுத்துக்கொள்வோம், அதில் 2 தெரியாதவை இருக்கும்.

அதை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸில் மீண்டும் எழுதுவோம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் இந்த அமைப்பைத் தீர்க்க, இரண்டு செயல்பாடுகள் மட்டுமே தேவை. முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் இருக்கும் வகையில் மேட்ரிக்ஸை நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும். எனவே, மேட்ரிக்ஸ் படிவத்திலிருந்து கணினிக்கு மாற்றினால், நாம் சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்: 1x+0y=b1 மற்றும் 0x+1y=b2, இதில் b1 மற்றும் b2 ஆகியவை தீர்வு செயல்பாட்டில் விளையும் பதில்களாகும்.

நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸைத் தீர்க்கும் போது முதல் செயல் இதுவாக இருக்கும்: இரண்டாவது சமன்பாட்டில் தெரியாத ஒன்றை அகற்ற, முதல் வரிசையை -7 ஆல் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் தொடர்புடைய கூறுகளை இரண்டாவது வரிசையில் சேர்க்க வேண்டும்.
காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மேட்ரிக்ஸை நியமன வடிவத்திற்குக் குறைப்பதால், முதல் சமன்பாட்டுடன் அதே செயல்பாடுகளைச் செய்து இரண்டாவது மாறியை அகற்றுவது அவசியம். இதைச் செய்ய, முதல் வரியிலிருந்து இரண்டாவது வரியைக் கழித்து, தேவையான பதிலைப் பெறுகிறோம் - SLAE இன் தீர்வு. அல்லது, படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, இரண்டாவது வரிசையை -1 காரணி மூலம் பெருக்கி, இரண்டாவது வரிசையின் கூறுகளை முதல் வரிசையில் சேர்க்கிறோம். அதே விஷயம் தான்.

நாம் பார்க்க முடியும் என, எங்கள் அமைப்பு ஜோர்டான்-காஸ் முறை மூலம் தீர்க்கப்பட்டது. தேவையான படிவத்தில் அதை மீண்டும் எழுதுகிறோம்: x=-5, y=7.

3x3 SLAE தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு

நேரியல் சமன்பாடுகளின் சிக்கலான அமைப்பு நம்மிடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். காஸ் முறையானது மிகவும் குழப்பமான அமைப்பிற்கு கூட பதிலைக் கணக்கிடுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. எனவே, கணக்கீட்டு முறையை ஆழமாக ஆராய்வதற்காக, நீங்கள் மூன்று தெரியாதவற்றுடன் மிகவும் சிக்கலான உதாரணத்திற்கு செல்லலாம்.

முந்தைய உதாரணத்தைப் போலவே, கணினியை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுகிறோம் மற்றும் அதன் நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டு வரத் தொடங்குகிறோம்.

இந்த அமைப்பைத் தீர்க்க, முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்ததை விட அதிகமான செயல்களை நீங்கள் செய்ய வேண்டும்.

முதலில் நீங்கள் முதல் நெடுவரிசையை ஒரு அலகு உறுப்பு மற்றும் மீதமுள்ள பூஜ்ஜியங்களை உருவாக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, முதல் சமன்பாட்டை -1 ஆல் பெருக்கி, இரண்டாவது சமன்பாட்டை அதனுடன் சேர்க்கவும். முதல் வரியை அதன் அசல் வடிவத்திலும், இரண்டாவது மாற்றியமைக்கப்பட்ட வடிவத்திலும் மீண்டும் எழுதுகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம்.
அடுத்து, மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து இதையே முதலில் அறியாததை அகற்றுவோம். இதைச் செய்ய, முதல் வரிசையின் கூறுகளை -2 ஆல் பெருக்கி அவற்றை மூன்றாவது வரிசையில் சேர்க்கவும். இப்போது முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிகள் அவற்றின் அசல் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்பட்டுள்ளன, மூன்றாவது - மாற்றங்களுடன். முடிவிலிருந்து நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் தொடக்கத்திலும் மீதமுள்ள பூஜ்ஜியங்களிலும் முதல் ஒன்றைப் பெற்றுள்ளோம். இன்னும் சில படிகள், மற்றும் காஸியன் முறையின் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு நம்பகத்தன்மையுடன் தீர்க்கப்படும்.
இப்போது நீங்கள் வரிசைகளின் மற்ற உறுப்புகளில் செயல்பாடுகளைச் செய்ய வேண்டும். மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது செயல்களை ஒன்றாக இணைக்கலாம். மூலைவிட்டத்தில் உள்ள கழித்தல் வரிகளை அகற்ற, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிகளை -1 ஆல் வகுக்க வேண்டும். நாங்கள் ஏற்கனவே மூன்றாவது வரியை தேவையான படிவத்திற்கு கொண்டு வந்துள்ளோம்.
அடுத்து நாம் இரண்டாவது வரியை நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம். இதைச் செய்ய, மூன்றாவது வரிசையின் கூறுகளை -3 ஆல் பெருக்கி, அவற்றை மேட்ரிக்ஸின் இரண்டாவது வரிசையில் சேர்க்கவும். இதன் விளைவாக, இரண்டாவது வரியும் நமக்குத் தேவையான வடிவத்தில் குறைக்கப்பட்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது. இன்னும் சில செயல்பாடுகளைச் செய்யவும், முதல் வரியிலிருந்து தெரியாதவர்களின் குணகங்களை அகற்றவும் இது உள்ளது.
ஒரு வரிசையின் இரண்டாவது உறுப்பிலிருந்து 0 ஐ உருவாக்க, நீங்கள் மூன்றாவது வரிசையை -3 ஆல் பெருக்கி முதல் வரிசையில் சேர்க்க வேண்டும்.
அடுத்த தீர்க்கமான படி, இரண்டாவது வரிசையின் தேவையான கூறுகளை முதல் வரிசையில் சேர்ப்பதாகும். இந்த வழியில் நாம் மேட்ரிக்ஸின் நியமன வடிவத்தைப் பெறுகிறோம், அதன்படி, பதிலைப் பெறுகிறோம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மிகவும் எளிது.

சமன்பாடுகளின் 4x4 அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

இன்னும் சில சிக்கலான சமன்பாடுகளை காஸியன் முறை மூலம் தீர்க்க முடியும் கணினி நிரல்கள். தற்போதுள்ள வெற்று கலங்களில் தெரியாதவர்களுக்கான குணகங்களை உள்ளிடுவது அவசியம், மேலும் நிரல் படிப்படியாக தேவையான முடிவைக் கணக்கிடும், ஒவ்வொரு செயலையும் விரிவாக விவரிக்கிறது.

கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளது படிப்படியான வழிமுறைகள்இந்த உதாரணத்திற்கான தீர்வுகள்.

முதல் கட்டத்தில், இலவச குணகங்கள் மற்றும் தெரியாதவர்களுக்கான எண்கள் வெற்று கலங்களில் உள்ளிடப்படுகின்றன. எனவே, நாம் கைமுறையாக எழுதும் அதே நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம்.

நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை அதன் நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டு வர தேவையான அனைத்து எண்கணித செயல்பாடுகளும் செய்யப்படுகின்றன. சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான பதில் எப்போதும் முழு எண்கள் அல்ல என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும். சில நேரங்களில் தீர்வு பின்ன எண்களில் இருந்து இருக்கலாம்.

தீர்வின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கிறது

ஜோர்டான்-காஸ் முறையானது முடிவின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்க உதவுகிறது. குணகங்கள் சரியாகக் கணக்கிடப்பட்டுள்ளதா என்பதைக் கண்டறிய, நீங்கள் சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்பில் முடிவை மாற்ற வேண்டும். சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் சமமான அடையாளத்தின் பின் வலது பக்கத்துடன் பொருந்த வேண்டும். பதில்கள் பொருந்தவில்லை என்றால், நீங்கள் கணினியை மீண்டும் கணக்கிட வேண்டும் அல்லது உங்களுக்குத் தெரிந்த SLAEகளைத் தீர்ப்பதற்கான மற்றொரு முறையைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்க வேண்டும், அதாவது மாற்றீடு அல்லது கால அடிப்படையில் கழித்தல் மற்றும் கூட்டல் எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, கணிதம் என்பது பல்வேறு தீர்வு முறைகளைக் கொண்ட ஒரு விஞ்ஞானமாகும். ஆனால் நினைவில் கொள்ளுங்கள்: நீங்கள் எந்த தீர்வு முறையைப் பயன்படுத்தினாலும் முடிவு எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும்.

காஸ் முறை: SLAEகளை தீர்க்கும் போது ஏற்படும் பொதுவான பிழைகள்

முடிவின் போது நேரியல் அமைப்புகள்சமன்பாடுகள், குணகங்களை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் தவறாக மாற்றுவது போன்ற பிழைகள் பெரும்பாலும் நிகழ்கின்றன. சமன்பாடுகளில் ஒன்றில் சில அறியப்படாதவை காணவில்லை, பின்னர் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸுக்கு தரவை மாற்றும்போது, அவை இழக்கப்படலாம். இதன் விளைவாக, இந்த அமைப்பைத் தீர்க்கும் போது, முடிவு உண்மையானதுடன் ஒத்துப்போகாமல் இருக்கலாம்.

இறுதி முடிவை தவறாக எழுதுவது மற்றொரு பெரிய தவறு. முதல் குணகம் கணினியிலிருந்து முதலில் அறியப்படாதவற்றுடன் ஒத்திருக்கும் என்பதை தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும், இரண்டாவது - இரண்டாவது, மற்றும் பல.

காஸ் முறையானது நேரியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வை விரிவாக விவரிக்கிறது. அதற்கு நன்றி, உற்பத்தி செய்வது எளிது தேவையான செயல்பாடுகள்மற்றும் சரியான முடிவைக் கண்டறியவும். கூடுதலாக, எந்தவொரு சிக்கலான சமன்பாடுகளுக்கும் நம்பகமான பதிலைக் கண்டறிய இது ஒரு உலகளாவிய கருவியாகும். ஒருவேளை அதனால்தான் SLAE களை தீர்க்கும் போது இது அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

1. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு

1.1 நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் கருத்து

சமன்பாடுகளின் அமைப்பு என்பது பல மாறிகளைப் பொறுத்து பல சமன்பாடுகளை ஒரே நேரத்தில் செயல்படுத்துவதைக் கொண்ட ஒரு நிபந்தனையாகும். மீ சமன்பாடுகள் மற்றும் n தெரியாதவற்றைக் கொண்ட நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு (இனி SLAE என குறிப்பிடப்படுகிறது) படிவத்தின் அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது:

இதில் a ij எண்கள் கணினி குணகங்கள் என்றும், b i எண்கள் இலவச சொற்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, ஒரு ijமற்றும் b i(i=1,..., m; b=1,..., n) சில அறியப்பட்ட எண்களைக் குறிக்கிறது, மற்றும் x 1 ,…, x n- தெரியவில்லை. குணகங்களின் பதவியில் ஒரு ijமுதல் குறியீட்டு i என்பது சமன்பாட்டின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது, இரண்டாவது j என்பது இந்த குணகம் இருக்கும் தெரியாத எண்ணிக்கையாகும். எண்கள் x n கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும். அத்தகைய அமைப்பை ஒரு சிறிய மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதுவது வசதியானது: AX=B.இங்கே A என்பது கணினி குணகங்களின் அணி, முக்கிய அணி என அழைக்கப்படுகிறது;

- தெரியாதவர்களின் நெடுவரிசை திசையன் xj.
இலவச சொற்கள் bi இன் நெடுவரிசை திசையன் ஆகும்.

அணி X (n துண்டுகள்) இல் வரிசைகள் உள்ளதைப் போல அணி A இல் பல நெடுவரிசைகள் இருப்பதால், அணிகளின் A*X இன் பெருக்கல் வரையறுக்கப்படுகிறது.

ஒரு அமைப்பின் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி என்பது கணினியின் அணி A ஆகும், இது இலவச சொற்களின் நெடுவரிசையால் கூடுதலாக வழங்கப்படுகிறது.

1.2 நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான தீர்வு என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட எண்களின் தொகுப்பாகும் (மாறிகளின் மதிப்புகள்), மாறிகளுக்குப் பதிலாக அவற்றை மாற்றும்போது, அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளும் உண்மையான சமத்துவமாக மாறும்.

ஒரு அமைப்பிற்கான தீர்வு என்பது தெரியாத x1=c1, x2=c2,..., xn=cn ஆகியவற்றின் n மதிப்புகள் ஆகும், அதை மாற்றினால், அமைப்பின் அனைத்து சமன்பாடுகளும் உண்மையான சமன்பாடுகளாக மாறும். கணினிக்கான எந்த தீர்வையும் நிரல் அணியாக எழுதலாம்

சமன்பாடுகளின் அமைப்பு குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருந்தால் சீரானதாகவும், எந்த தீர்வும் இல்லை என்றால் சீரற்றதாகவும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு சீரான அமைப்பு ஒற்றைத் தீர்வைக் கொண்டிருந்தால் அது தீர்மானிக்கப்படும் என்றும், ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தீர்வுகளைக் கொண்டிருந்தால் காலவரையற்றதாகவும் இருக்கும். பிந்தைய வழக்கில், அதன் ஒவ்வொரு தீர்வும் அமைப்பின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அனைத்து குறிப்பிட்ட தீர்வுகளின் தொகுப்பு பொது தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு அமைப்பைத் தீர்ப்பது என்பது அது இணக்கமானதா அல்லது சீரற்றதா என்பதைக் கண்டறிவதாகும். அமைப்பு சீரானதாக இருந்தால், அதைக் கண்டறியவும் பொதுவான தீர்வு.

ஒரே பொதுவான தீர்வு இருந்தால் இரண்டு அமைப்புகள் சமமானவை (சமமானவை) என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அவற்றில் ஒன்றின் ஒவ்வொரு தீர்வும் மற்றொன்றின் தீர்வாக இருந்தால் அமைப்புகள் சமமானவை, மற்றும் நேர்மாறாகவும் இருக்கும்.

உருமாற்றம், இதன் பயன்பாடு கணினியை மாற்றுகிறது புதிய அமைப்பு, அசல் ஒன்றுக்கு சமமானது, சமமான அல்லது சமமான மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமமான மாற்றங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வரும் மாற்றங்களை உள்ளடக்குகின்றன: ஒரு அமைப்பின் இரண்டு சமன்பாடுகளை மாற்றுவது, அனைத்து சமன்பாடுகளின் குணகங்களுடன் இரண்டு அறியப்படாதவற்றையும் பரிமாறிக்கொள்வது, ஒரு அமைப்பின் எந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்குவது.

அனைத்து இலவச சொற்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு ஒரே மாதிரியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது:

x1=x2=x3=…=xn=0 என்பது அமைப்பின் தீர்வாக இருப்பதால், ஒரே மாதிரியான அமைப்பு எப்போதும் சீரானது. இந்த தீர்வு பூஜ்ஜியம் அல்லது அற்பமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

2. காஸியன் நீக்குதல் முறை

2.1 காஸியன் நீக்குதல் முறையின் சாராம்சம்

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான கிளாசிக்கல் முறையானது தெரியாதவற்றை வரிசையாக நீக்கும் முறையாகும் - காசியன் முறை(இது காஸியன் எலிமினேஷன் முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது). இது மாறிகளை வரிசையாக நீக்குவதற்கான ஒரு முறையாகும், அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, சமன்பாடுகளின் அமைப்பு ஒரு படி (அல்லது முக்கோண) வடிவத்தின் சமமான அமைப்பாகக் குறைக்கப்படும் போது, மற்ற அனைத்து மாறிகளும் வரிசையாகக் காணப்படுகின்றன. எண்) மாறிகள்.

காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்வு செயல்முறை இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது: முன்னோக்கி மற்றும் பின்தங்கிய நகர்வுகள்.

1. நேரடி பக்கவாதம்.

முதல் கட்டத்தில், நேரடி நகர்வு என்று அழைக்கப்படுவது மேற்கொள்ளப்படுகிறது, வரிசைகளின் மீது அடிப்படை மாற்றங்கள் மூலம், கணினி ஒரு படி அல்லது முக்கோண வடிவத்திற்கு கொண்டு வரப்படும், அல்லது கணினி பொருந்தாது என்று நிறுவப்பட்டது. அதாவது, மேட்ரிக்ஸின் முதல் நெடுவரிசையின் உறுப்புகளில், பூஜ்ஜியமற்ற ஒன்று தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, அது வரிசைகளை மறுசீரமைப்பதன் மூலம் மேல் நிலைக்கு நகர்த்தப்படுகிறது, மேலும் மறுசீரமைப்பிற்குப் பிறகு பெறப்பட்ட முதல் வரிசை மீதமுள்ள வரிசைகளிலிருந்து கழிக்கப்பட்டு, பெருக்கப்படுகிறது. இந்த வரிசைகள் ஒவ்வொன்றின் முதல் உறுப்புக்கும் முதல் வரிசையின் முதல் உறுப்புக்கும் சமமான தொகை, அதன் கீழே உள்ள நெடுவரிசையை பூஜ்ஜியமாக்குகிறது.

சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மாற்றங்கள் முடிந்த பிறகு, முதல் வரிசையும் முதல் நெடுவரிசையும் மனரீதியாகக் கடந்து, பூஜ்ஜிய அளவு மேட்ரிக்ஸ் இருக்கும் வரை தொடரும். எந்த மறு செய்கையிலும் முதல் நெடுவரிசையின் உறுப்புகளில் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு இல்லை என்றால், அடுத்த நெடுவரிசைக்குச் சென்று இதேபோன்ற செயல்பாட்டைச் செய்யவும்.

முதல் கட்டத்தில் (நேரடி பக்கவாதம்), கணினி ஒரு படிநிலை (குறிப்பாக, முக்கோண) வடிவத்தில் குறைக்கப்படுகிறது.

கீழே உள்ள அமைப்பு ஒரு படிநிலை படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

குணகங்கள் aii அமைப்பின் முக்கிய (முன்னணி) கூறுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

(a11=0 எனில், மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளை மறுசீரமைக்கவும் அ 11 0 க்கு சமமாக இல்லை. இது எப்போதும் சாத்தியமாகும், இல்லையெனில் மேட்ரிக்ஸில் பூஜ்ஜிய நெடுவரிசை உள்ளது, அதன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் கணினி சீரற்றது).

முதலில் (பயன்படுத்தி) தவிர அனைத்து சமன்பாடுகளிலும் தெரியாத x1 ஐ நீக்கி கணினியை மாற்றுவோம் அடிப்படை மாற்றங்கள்அமைப்புகள்). இதைச் செய்ய, முதல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பெருக்கவும்

மற்றும் கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டுடன் காலத்தின் மூலம் காலத்தைச் சேர்க்கவும் (அல்லது இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து காலத்தின் மூலம் காலத்தை முதல் ஆல் கழிக்கவும், பெருக்கல்). பின்னர் நாம் முதல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பெருக்கி, அவற்றை கணினியின் மூன்றாவது சமன்பாட்டில் சேர்க்கிறோம் (அல்லது மூன்றில் இருந்து முதல் ஒன்றைக் கழிப்போம் ). இவ்வாறு, நாம் முதல் வரியை ஒரு எண்ணால் பெருக்கி கூட்டுவோம் iவது வரி, க்கான i= 2, 3, …,n

இந்த செயல்முறையைத் தொடர்ந்து, நாங்கள் ஒரு சமமான அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

- கணினியின் கடைசி m-1 சமன்பாடுகளில் தெரியாத மற்றும் இலவச சொற்களுக்கான குணகங்களின் புதிய மதிப்புகள், அவை சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

எனவே, முதல் கட்டத்தில், முதல் முன்னணி உறுப்பு a 11 இன் கீழ் உள்ள அனைத்து குணகங்களும் அழிக்கப்படுகின்றன

0, இரண்டாவது கட்டத்தில் இரண்டாவது முன்னணி உறுப்பு ஒரு 22 (1) கீழ் இருக்கும் உறுப்புகள் அழிக்கப்படுகின்றன (ஒரு 22 (1) 0 எனில்) போன்றவை. இந்த செயல்முறையை மேலும் தொடர்கிறோம், இறுதியாக, (m-1) படியில், அசல் அமைப்பை முக்கோண அமைப்பாகக் குறைக்கிறோம்.

கணினியை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு குறைக்கும் செயல்பாட்டில், பூஜ்ஜிய சமன்பாடுகள் தோன்றினால், அதாவது. 0=0 படிவத்தின் சமத்துவங்கள், அவை நிராகரிக்கப்படுகின்றன. படிவத்தின் சமன்பாடு தோன்றினால்

பின்னர் இது கணினியின் பொருந்தாத தன்மையைக் குறிக்கிறது.

காஸ் முறையின் நேரடி முன்னேற்றம் இங்குதான் முடிகிறது.

2. தலைகீழ் பக்கவாதம்.

இரண்டாவது கட்டத்தில், தலைகீழ் நகர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதன் சாராம்சம் அடிப்படை அல்லாதவற்றின் அடிப்படையில் விளைந்த அனைத்து அடிப்படை மாறிகளையும் வெளிப்படுத்துவது மற்றும் தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குவது அல்லது அனைத்து மாறிகளும் அடிப்படையாக இருந்தால் , பின்னர் அவற்றை வெளிப்படுத்தவும் எண்ணிக்கையில்நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான ஒரே தீர்வு.

இந்த செயல்முறை கடைசி சமன்பாட்டுடன் தொடங்குகிறது, அதனுடன் தொடர்புடைய அடிப்படை மாறி வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (அதில் ஒன்று மட்டுமே உள்ளது) மற்றும் முந்தைய சமன்பாடுகளில் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் "படிகள்" மேலே செல்கிறது.

ஒவ்வொரு வரியும் சரியாக ஒரு அடிப்படை மாறிக்கு ஒத்திருக்கிறது, எனவே கடைசி (மேல்) தவிர ஒவ்வொரு படியிலும், கடைசி வரியின் வழக்கை நிலைமை சரியாக மீண்டும் செய்கிறது.

குறிப்பு: நடைமுறையில், கணினியுடன் அல்ல, ஆனால் அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸுடன் வேலை செய்வது மிகவும் வசதியானது, அதன் வரிசைகளில் அனைத்து அடிப்படை மாற்றங்களையும் செய்கிறது. குணகம் a11 1 க்கு சமமாக இருப்பது வசதியானது (சமன்பாடுகளை மறுசீரமைக்கவும் அல்லது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் a11 ஆல் வகுக்கவும்).

2.2 காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி SLAEகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

இந்த பிரிவில் மூன்று உள்ளன பல்வேறு உதாரணங்கள்காஸியன் முறை SLAE ஐ எவ்வாறு தீர்க்க முடியும் என்பதைக் காண்பிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. 3வது வரிசை SLAE ஐ தீர்க்கவும்.

இல் குணகங்களை மீட்டமைப்போம்

இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிகளில். இதைச் செய்ய, அவற்றை முறையே 2/3 மற்றும் 1 ஆல் பெருக்கி, அவற்றை முதல் வரியில் சேர்க்கவும்:

(SLAE), அறியப்படாத சமன்பாடுகளைக் கொண்டது:

கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு இருப்பதாக கருதப்படுகிறது, அதாவது.

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு அமைப்பைத் தீர்க்கும்போது ஏற்படும் பிழைக்கான காரணங்கள், இந்த பிழையை அடையாளம் கண்டு அகற்றுவதற்கான வழிகள் (குறைக்க) இந்த கட்டுரை விவாதிக்கும்.

முறையின் விளக்கம்

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும் செயல்முறை

காஸ் முறையின் படி 2 நிலைகள் உள்ளன:

1. என்று நாங்கள் கருதுகிறோம். கணினியின் முதல் சமன்பாட்டை குணகத்தால் வகுக்கிறோம், இதன் விளைவாக சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

பின்னர், மீதமுள்ள ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளிலிருந்தும், முதல் ஒன்று கழிக்கப்படுகிறது, தொடர்புடைய குணகத்தால் பெருக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, அமைப்பு படிவமாக மாற்றப்படுகிறது: 2. நாம் இரண்டாவது சமன்பாட்டை குணகத்தால் வகுக்கிறோம் மற்றும் அனைத்து அடுத்தடுத்த சமன்பாடுகளிலிருந்தும் தெரியாததை விலக்குகிறோம்.

1. அமைப்பின் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் தீர்மானிக்கிறோம் 2. நாம் தீர்மானிக்கும் சமன்பாட்டிலிருந்து, முதலியன.

முறையின் பகுப்பாய்வு

இந்த முறை சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான நேரடி முறைகளின் வகுப்பைச் சேர்ந்தது, அதாவது உள்ளீட்டுத் தரவு (மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் - ) குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால், குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான படிகளில் நீங்கள் சரியான தீர்வைப் பெறலாம். சரியாக மற்றும் கணக்கீடு ரவுண்டிங் இல்லாமல் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. ஒரு தீர்வைப் பெற, பெருக்கல் மற்றும் பிரிவுகள் தேவை, அதாவது, செயல்பாடுகளின் வரிசை.

முறையானது சரியான தீர்வை உருவாக்கும் நிலைமைகள் நடைமுறையில் சாத்தியமில்லை - உள்ளீட்டு தரவு பிழைகள் மற்றும் ரவுண்டிங் பிழைகள் இரண்டும் தவிர்க்க முடியாதவை. பின்னர் கேள்வி எழுகிறது: காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி எவ்வளவு துல்லியமான தீர்வைப் பெற முடியும், முறை எவ்வளவு சரியானது? உள்ளீட்டு அளவுருக்களைப் பொறுத்து தீர்வின் நிலைத்தன்மையைத் தீர்மானிப்போம். அசல் அமைப்புடன், குழப்பமான அமைப்பைக் கவனியுங்கள்:

சில விதிமுறைகளை அறிமுகப்படுத்தலாம். - மேட்ரிக்ஸின் நிபந்தனை எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

3 சாத்தியமான வழக்குகள் உள்ளன:

மேட்ரிக்ஸின் நிபந்தனை எண் எப்போதும் இருக்கும். அது பெரியதாக இருந்தால் (), பின்னர் அணி மோசமானதாகக் கூறப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், கணினியின் வலது பக்கங்களில் உள்ள சிறிய இடையூறுகள், ஆரம்ப தரவைக் குறிப்பிடுவதில் உள்ள துல்லியமின்மை அல்லது கணக்கீட்டு பிழைகள் காரணமாக, கணினியின் தீர்வை கணிசமாக பாதிக்கின்றன. தோராயமாகச் சொன்னால், வலது பக்கங்களின் பிழை என்றால், தீர்வு பிழையாக இருக்கும்.

பின்வரும் எண் உதாரணத்துடன் பெறப்பட்ட முடிவுகளை விளக்குவோம்: ஒரு அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

அவளிடம் ஒரு தீர்வு இருக்கிறது.

இப்போது குழப்பமான அமைப்பைக் கவனியுங்கள்:

அத்தகைய அமைப்பிற்கான தீர்வு ஒரு திசையன் ஆகும்.

வலது பக்கத்தின் மிகச் சிறிய இடையூறு மூலம், தீர்வின் விகிதாசாரத்தில் பெரிய குழப்பத்தைப் பெற்றோம். தீர்வின் இந்த "நம்பமுடியாத தன்மை" மேட்ரிக்ஸ் கிட்டத்தட்ட ஒருமையில் உள்ளது என்பதன் மூலம் விளக்கப்படலாம்: இரண்டு சமன்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய நேர் கோடுகள் வரைபடத்தில் காணப்படுவது போல் கிட்டத்தட்ட ஒத்துப்போகின்றன:

மேட்ரிக்ஸின் மோசமான நிபந்தனையின் காரணமாக இந்த முடிவைக் கணித்திருக்கலாம்:

கணக்கீடு மிகவும் சிக்கலானது, முழு அமைப்பின் தீர்வுடன் ஒப்பிடத்தக்கது, எனவே, பிழையை மதிப்பிடுவதற்கு கசப்பான ஆனால் செயல்படுத்த எளிய முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பிழைகளை மதிப்பிடுவதற்கான முறைகள்

1) செக்சம்: பொதுவாக கணினிகளின் உதவியின்றி கணக்கீடு செயல்பாட்டில் சீரற்ற பிழைகளைத் தடுக்கப் பயன்படுகிறது.

கணினியின் கட்டுப்பாட்டு கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு கட்டுப்பாட்டு நெடுவரிசையை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்:

சமன்பாடுகளை மாற்றும் போது, சமன்பாடுகளின் இலவச விதிமுறைகளைப் போலவே கட்டுப்பாட்டு கூறுகளிலும் அதே செயல்பாடுகள் செய்யப்படுகின்றன. இதன் விளைவாக, ஒவ்வொரு புதிய சமன்பாட்டின் கட்டுப்பாட்டு உறுப்பு இந்த சமன்பாட்டின் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். அவற்றுக்கிடையேயான ஒரு பெரிய முரண்பாடு கணக்கீடுகளில் பிழைகள் அல்லது கணக்கீட்டு பிழையைப் பொறுத்து கணக்கீட்டு வழிமுறையின் உறுதியற்ற தன்மையைக் குறிக்கிறது.

2) தெரிந்த தீர்வின் தொடர்புடைய பிழை குறிப்பிடத்தக்க கூடுதல் செலவுகள் இல்லாமல் தீர்வின் பிழை பற்றிய தீர்ப்பைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது.

ஒரு குறிப்பிட்ட திசையன், முடிந்தால், விரும்பிய தீர்வின் கூறுகளின் அதே வரிசை மற்றும் அடையாளத்தைக் கொண்ட கூறுகளுடன் குறிப்பிடப்படுகிறது. திசையன் கணக்கிடப்படுகிறது, மேலும் முறையானது சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்புடன் சேர்ந்து தீர்க்கப்படுகிறது.

இந்த அமைப்புகளின் உண்மையில் பெறப்பட்ட தீர்வுகளாக இருக்கட்டும். கருதுகோளின் அடிப்படையில் விரும்பிய தீர்வின் பிழை பற்றிய தீர்ப்பைப் பெறலாம்: ஒரே அணி மற்றும் வெவ்வேறு வலது பக்கங்களைக் கொண்ட அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் போது ஏற்படும் தொடர்புடைய பிழைகள், அவை முறையே அளவுகள் மற்றும் நீக்குதல் முறையால் வேறுபடுவதில்லை. மிக அதிக எண்ணிக்கையிலான முறை.

3) அளவுகளை மாற்றுதல் - கணக்கீடுகளில் ரவுண்டிங் காரணமாக எழும் பிழையின் உண்மையான அளவைப் பற்றிய ஒரு யோசனையைப் பெற ஒரு நுட்பம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

அசல் அமைப்புடன், கணினி அதே முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது

, எங்கே மற்றும் எண்கள்

ரவுண்டிங் பிழை இல்லை என்றால், அசல் மற்றும் அளவிடப்பட்ட அமைப்புகளின் தீர்வுகளுக்கு சமத்துவம் இருக்கும்: . எனவே, மற்றும் , இவை இரண்டின் சக்திகள் அல்ல, திசையன்களின் ஒப்பீடு கணக்கீட்டு பிழையின் அளவைப் பற்றிய ஒரு கருத்தை அளிக்கிறது.

காஸியன் எலிமினேஷன் முறையை மேம்படுத்துதல்

கீழே விவாதிக்கப்படும் காஸ் முறையின் மாற்றங்கள் முடிவின் பிழையைக் குறைக்கலாம்.

முக்கிய உறுப்பு தேர்வு

முன்னோக்கி நகர்த்தலின் போது பிழையின் முக்கிய அதிகரிப்பு ஏற்படுகிறது, குணகங்கள் 1% 20" alt=" >1 "> எனில் முன்னணி -வது வரிசையை பெருக்கினால், முந்தைய படிகளில் பெறப்பட்ட பிழைகள். இதைத் தவிர்க்க, ஒவ்வொரு படிநிலையிலும், அதிகபட்ச உறுப்பின் தேர்வு வழக்கமான திட்டத்தில் சேர்க்கப்படும்.

அறியப்படாதவற்றை நீக்குவதன் மூலம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறலாம்:

, .

-e மற்றும் -e நிலைகளை மாற்றும் வகையில் ஏதாவது ஒன்றைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பல சந்தர்ப்பங்களில், அத்தகைய மாற்றம் கணக்கீடுகளில் பிழைகளை வட்டமிடுவதற்கான தீர்வின் உணர்திறனை கணிசமாகக் குறைக்கிறது.

விளைவாக மீண்டும் மீண்டும் முன்னேற்றம்

இதன் விளைவாக தீர்வு கடுமையாக சிதைந்துவிட்டதாக சந்தேகம் இருந்தால், நீங்கள் பின்வரும் முடிவை மேம்படுத்தலாம். அளவு எச்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிழை சமன்பாடுகளின் அமைப்பை திருப்திப்படுத்துகிறது

இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், தோராயமான மதிப்பீட்டைப் பெறுகிறோம்

இந்த தோராயத்தின் துல்லியம் திருப்திகரமாக இல்லை என்றால், நாங்கள் இந்த செயல்பாட்டை மீண்டும் செய்கிறோம்.

அனைத்து கூறுகளும் போதுமான அளவு சிறியதாக இருக்கும் வரை செயல்முறை தொடரலாம். இந்த வழக்கில், எஞ்சிய திசையனின் அனைத்து கூறுகளும் போதுமான அளவு சிறியதாகிவிட்டதால் கணக்கீடுகளை நிறுத்த முடியாது: இது குணகம் மேட்ரிக்ஸின் மோசமான சீரமைப்பின் விளைவாக இருக்கலாம்.

எண் உதாரணம்

உதாரணமாக, 7x7 வாண்டர்மாண்டே மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் 2 வெவ்வேறு வலது பக்கங்களைக் கவனியுங்கள்:

இந்த அமைப்புகள் இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கப்பட்டன. தரவு வகை - மிதவை. இதன் விளைவாக, பின்வரும் முடிவுகளைப் பெற்றோம்:

வழக்கமான முறை
1		2
1	2	1	2
0.999991	1	0.999996	1
1.00019	1	7.4774e-005	2.33e-008
0.998404	1	0.999375	1
1.00667	1	0.00263727	1.12e-006
0.985328	1	0.994149	1
1.01588	1	0.00637817	3.27e-006
0.993538	1	0.99739	1
0,045479	2.9826e-006	0,01818	8.8362e-006
0,006497	4.2608e-007	0,0045451	2.209e-006
0,040152	4.344e-005	0,083938	2.8654e-006

வரி மூலம் முன்னணி உறுப்பு தேர்வு
1		2
1	2	1	2
1	1	1	1
1	1	-3.57628e-005	1.836e-007
1.00001	1	1.00031	1
0.999942	1	-0.00133276	7.16e-006
1.00005	1	1.00302	0,99998
1.00009	1	-0.0033505	1.8e-005
0.99991	1	1.00139	0,99999
0,000298	4.3835e-007	0,009439	5.0683e-005
4.2571e-005	6.2622e-008	0,0023542	1.2671e-005
0,010622	9.8016e-007	0,29402	1.4768e-006

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை நாங்கள் தொடர்ந்து கருதுகிறோம். இந்த பாடம் தலைப்பில் மூன்றாவது. பொதுவாக நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு என்ன என்பது பற்றிய தெளிவற்ற யோசனை உங்களுக்கு இருந்தால், நீங்கள் ஒரு தேநீர் தொட்டி போல் உணர்ந்தால், அடுத்த பக்கத்தில் உள்ள அடிப்படைகளுடன் தொடங்க பரிந்துரைக்கிறேன், பாடத்தைப் படிப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

காசியன் முறை எளிதானது!ஏன்? பிரபல ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஜோஹன் கார்ல் ஃபிரெட்ரிக் காஸ் தனது வாழ்நாளில் அங்கீகாரம் பெற்றார். மிகப்பெரிய கணிதவியலாளர்எல்லா நேரங்களிலும், ஒரு மேதை மற்றும் "கணிதத்தின் ராஜா" என்று செல்லப்பெயர் கூட. மற்றும் புத்திசாலித்தனமான அனைத்தும், உங்களுக்குத் தெரிந்தபடி, எளிமையானது!மூலம், உறிஞ்சுபவர்கள் பணம் பெறுவது மட்டுமல்லாமல், மேதைகளும் கூட - காஸின் உருவப்படம் 10 டாய்ச்மார்க் ரூபாய் நோட்டில் இருந்தது (யூரோவை அறிமுகப்படுத்துவதற்கு முன்பு), மற்றும் காஸ் இன்னும் சாதாரண தபால்தலைகளிலிருந்து ஜேர்மனியர்களைப் பார்த்து மர்மமான முறையில் புன்னகைக்கிறார்.

காஸ் முறை எளிமையானது, அதில் தேர்ச்சி பெற ஐந்தாம் வகுப்பு மாணவரின் அறிவு போதுமானது. கூட்டி பெருக்க தெரிந்திருக்க வேண்டும்!பள்ளிக் கணிதத் தேர்வுகளில் தெரியாதவர்களை வரிசையாக விலக்கும் முறையை ஆசிரியர்கள் அடிக்கடி கருதுவது தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல. இது ஒரு முரண்பாடு, ஆனால் மாணவர்கள் காசியன் முறையை மிகவும் கடினமாகக் காண்கிறார்கள். ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை - இது முறையைப் பற்றியது, மேலும் அணுகக்கூடிய வடிவத்தில் முறையின் வழிமுறையைப் பற்றி பேச முயற்சிப்பேன்.

முதலில், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைப் பற்றிய சிறிய அறிவை முறைப்படுத்துவோம். நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு:

1) ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது. 2) எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன. 3) தீர்வுகள் இல்லை (இருக்கவும் கூட்டு அல்லாத).

காஸ் முறை ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான மிகவும் சக்திவாய்ந்த மற்றும் உலகளாவிய கருவியாகும் ஏதேனும்நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள். நாம் நினைவில் வைத்திருப்பது போல், க்ரேமர் விதி மற்றும் அணி முறைகணினி எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும் அல்லது சீரற்றதாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் பொருத்தமற்றது. மற்றும் தெரியாதவற்றை வரிசையாக நீக்கும் முறை எப்படியும்விடைக்கு நம்மை அழைத்துச் செல்லும்! அன்று இந்த பாடம்வழக்கு எண் 1 க்கான காஸ் முறையை மீண்டும் கருத்தில் கொள்வோம் (அமைப்புக்கான ஒரே தீர்வு), ஒரு கட்டுரை புள்ளிகள் எண் 2-3 இன் சூழ்நிலைகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. முறையின் அல்காரிதம் மூன்று நிகழ்வுகளிலும் ஒரே மாதிரியாக செயல்படுகிறது என்பதை நான் கவனிக்கிறேன்.

மீண்டும் செல்வோம் எளிமையான அமைப்புவகுப்பில் இருந்து நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எவ்வாறு தீர்ப்பது?காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்க்கவும்.

முதல் படி எழுதுவது நீட்டிக்கப்பட்ட கணினி அணி: . குணகங்கள் எந்தக் கொள்கையால் எழுதப்படுகின்றன என்பதை அனைவரும் பார்க்கலாம் என்று நினைக்கிறேன். மேட்ரிக்ஸில் உள்ள செங்குத்து கோடு எந்த கணித அர்த்தத்தையும் கொண்டிருக்கவில்லை - இது வடிவமைப்பை எளிதாக்குவதற்கான ஒரு வேலைநிறுத்தமாகும்.

குறிப்பு : நீங்கள் நினைவில் கொள்ள பரிந்துரைக்கிறேன் விதிமுறைகள் நேரியல் இயற்கணிதம். சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் தெரியாதவர்களுக்கான குணகங்களால் மட்டுமே உருவாக்கப்பட்ட ஒரு அணி, இந்த எடுத்துக்காட்டில் கணினியின் அணி: . விரிவாக்கப்பட்ட சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் - இது கணினியின் அதே மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசை, இந்த விஷயத்தில்: . சுருக்கத்திற்கு, எந்த மெட்ரிக்ஸையும் வெறுமனே அணி என்று அழைக்கலாம்.

நீட்டிக்கப்பட்ட கணினி மேட்ரிக்ஸ் எழுதப்பட்ட பிறகு, அதனுடன் சில செயல்களைச் செய்வது அவசியம், அவை என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன அடிப்படை மாற்றங்கள்.

பின்வரும் அடிப்படை மாற்றங்கள் உள்ளன:

1) சரங்கள்மெட்ரிக்குகள் முடியும் மறுசீரமைக்கவும்சில இடங்களில். எடுத்துக்காட்டாக, பரிசீலனையில் உள்ள மேட்ரிக்ஸில், நீங்கள் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசைகளை வலியின்றி மறுசீரமைக்கலாம்:

2) அணி விகிதாசாரமாக இருந்தால் (அல்லது தோன்றியிருந்தால்). சிறப்பு வழக்கு- ஒரே மாதிரியான) கோடுகள், பின்னர் அது பின்வருமாறு நீக்கவும்இந்த வரிசைகள் அனைத்தும் மேட்ரிக்ஸில் இருந்து ஒன்று தவிர. உதாரணமாக, மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள் . இந்த மேட்ரிக்ஸில், கடைசி மூன்று வரிசைகள் விகிதாசாரமாக உள்ளன, எனவே அவற்றில் ஒன்றை மட்டும் விட்டுவிட்டால் போதும்: .

3) உருமாற்றங்களின் போது மேட்ரிக்ஸில் பூஜ்ஜிய வரிசை தோன்றினால், அதுவும் இருக்க வேண்டும் நீக்கவும். நான் வரைய மாட்டேன், நிச்சயமாக, பூஜ்ஜியக் கோடு அதில் உள்ள கோடு அனைத்து பூஜ்ஜியங்கள்.

4) மேட்ரிக்ஸ் வரிசை இருக்கலாம் பெருக்கவும் (வகுக்கவும்)எந்த எண்ணுக்கும் பூஜ்யம் அல்லாத. உதாரணமாக, மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள். இங்கே முதல் வரியை –3 ஆல் வகுத்து, இரண்டாவது வரியை 2 ஆல் பெருக்குவது நல்லது: . இந்த செயல் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் இது மேட்ரிக்ஸின் மேலும் மாற்றங்களை எளிதாக்குகிறது.

5) இந்த மாற்றம் மிகவும் சிரமங்களை ஏற்படுத்துகிறது, ஆனால் உண்மையில் சிக்கலான ஒன்றும் இல்லை. மேட்ரிக்ஸின் ஒரு வரிசைக்கு உங்களால் முடியும் ஒரு எண்ணால் பெருக்கப்படும் மற்றொரு சரத்தைச் சேர்க்கவும், பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. எங்கள் மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள் நடைமுறை உதாரணம்: . முதலில் நான் மாற்றத்தை விரிவாக விவரிக்கிறேன். முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்கவும்: , மற்றும் இரண்டாவது வரியில் முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்குவோம்: . இப்போது முதல் வரியை “பின்” –2 ஆல் வகுக்க முடியும். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சேர்க்கப்பட்ட வரி LI – மாறவில்லை. எப்போதும்சேர்க்கப்படும் வரி மாறுகிறது UT.

நடைமுறையில், நிச்சயமாக, அவர்கள் அதை விரிவாக எழுதவில்லை, ஆனால் சுருக்கமாக எழுதுங்கள்: மீண்டும்: இரண்டாவது வரிக்கு முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்கியது. ஒரு வரி பொதுவாக வாய்வழியாக அல்லது வரைவில் பெருக்கப்படுகிறது, மனக் கணக்கீடு செயல்முறை இது போன்றது:

"நான் மேட்ரிக்ஸை மீண்டும் எழுதுகிறேன் மற்றும் முதல் வரியை மீண்டும் எழுதுகிறேன்: »

“முதல் நெடுவரிசை. கீழே நான் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற வேண்டும். எனவே, மேலே உள்ள ஒன்றை –2: ஆல் பெருக்கி, முதல் வரியை இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கிறேன்: 2 + (–2) = 0. முடிவை இரண்டாவது வரியில் எழுதுகிறேன்: »

“இப்போது இரண்டாவது பத்தி. மேலே, நான் -1 ஆல் -2: பெருக்குகிறேன். நான் முதல் வரியை இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கிறேன்: 1 + 2 = 3. முடிவை இரண்டாவது வரியில் எழுதுகிறேன்: »

"மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசை. மேலே நான் -5 ஐ -2 ஆல் பெருக்குகிறேன்: . நான் முதல் வரியை இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கிறேன்: –7 + 10 = 3. முடிவை இரண்டாவது வரியில் எழுதுகிறேன்: »

இந்த எடுத்துக்காட்டை கவனமாகப் புரிந்துகொண்டு, வரிசையான கணக்கீட்டு வழிமுறையைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள், இதை நீங்கள் புரிந்து கொண்டால், காஸியன் முறை நடைமுறையில் உங்கள் பாக்கெட்டில் உள்ளது. ஆனால், நிச்சயமாக, இந்த மாற்றத்தில் நாங்கள் இன்னும் வேலை செய்வோம்.

அடிப்படை மாற்றங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் தீர்வை மாற்றாது

! கவனம்: கையாளுதல்கள் கருதப்படுகிறது பயன்படுத்த முடியாது, மெட்ரிக்குகள் "அவர்களால்" வழங்கப்படும் ஒரு பணி உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டால். உதாரணமாக, "கிளாசிக்கல்" உடன் மெட்ரிக்குகளுடன் செயல்பாடுகள்எந்த சூழ்நிலையிலும் நீங்கள் மெட்ரிக்குகளுக்குள் எதையும் மறுசீரமைக்கக்கூடாது! நமது அமைப்புக்கு திரும்புவோம். இது நடைமுறையில் துண்டுகளாக எடுக்கப்படுகிறது.

கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதைக் குறைப்போம் படிநிலை பார்வை:

(1) முதல் வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, பெருக்கல் –2. மீண்டும்: ஏன் முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்குகிறோம்? கீழே பூஜ்ஜியத்தைப் பெற, அதாவது இரண்டாவது வரியில் ஒரு மாறியை அகற்றுவது.

(2) இரண்டாவது வரியை 3 ஆல் வகுக்கவும்.

அடிப்படை மாற்றங்களின் நோக்கம் – மேட்ரிக்ஸை படிப்படியாக படிவமாக குறைக்கவும்: . பணியின் வடிவமைப்பில், அவர்கள் "படிகளை" ஒரு எளிய பென்சிலால் குறிக்கிறார்கள், மேலும் "படிகளில்" அமைந்துள்ள எண்களை வட்டமிடுகிறார்கள். "படிக்காட்சி" என்ற சொல் முற்றிலும் தத்துவார்த்தமானது அல்ல, இது பெரும்பாலும் அறிவியல் மற்றும் கல்வி இலக்கியங்களில் அழைக்கப்படுகிறது trapezoidal பார்வைஅல்லது முக்கோண பார்வை.

அடிப்படை மாற்றங்களின் விளைவாக, நாங்கள் பெற்றோம் சமமானஅசல் சமன்பாடு அமைப்பு:

இப்போது கணினியை எதிர் திசையில் "அவிழ்க்க" வேண்டும் - கீழே இருந்து மேல், இந்த செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது காஸியன் முறையின் தலைகீழ்.

குறைந்த சமன்பாட்டில் ஏற்கனவே ஒரு ஆயத்த முடிவு உள்ளது: .

கணினியின் முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டு, ஏற்கனவே அறியப்பட்ட "y" மதிப்பை மாற்றுவோம்:

காஸியன் முறையானது மூன்று அறியப்படாத மூன்று நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும் போது மிகவும் பொதுவான சூழ்நிலையைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதுவோம்:

தீர்வின் போது நாம் வரும் முடிவை இப்போது நான் உடனடியாக வரைகிறேன்: நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவதே எங்கள் குறிக்கோள். எங்கு தொடங்குவது?

முதலில், மேல் இடது எண்ணைப் பாருங்கள்: கிட்டத்தட்ட எப்போதும் இங்கே இருக்க வேண்டும் அலகு. பொதுவாக, –1 (மற்றும் சில நேரங்களில் மற்ற எண்கள்) செய்யும், ஆனால் எப்படியோ பாரம்பரியமாக ஒன்று வழக்கமாக அங்கு வைக்கப்படும். ஒரு யூனிட்டை எவ்வாறு ஒழுங்கமைப்பது? நாங்கள் முதல் நெடுவரிசையைப் பார்க்கிறோம் - எங்களிடம் முடிக்கப்பட்ட அலகு உள்ளது! மாற்றம் ஒன்று: முதல் மற்றும் மூன்றாவது வரிகளை மாற்றவும்:

இப்போது தீர்வு முடியும் வரை முதல் வரி மாறாமல் இருக்கும். இது ஏற்கனவே எளிதானது.

மேல் இடது மூலையில் உள்ள அலகு ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ளது. இப்போது நீங்கள் இந்த இடங்களில் பூஜ்ஜியங்களைப் பெற வேண்டும்:

"கடினமான" மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பூஜ்ஜியங்களைப் பெறுகிறோம். முதலில் நாம் இரண்டாவது வரியை (2, –1, 3, 13) கையாள்வோம். முதல் நிலையில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற என்ன செய்ய வேண்டும்? வேண்டும் இரண்டாவது வரியில் முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்கவும். மனரீதியாக அல்லது வரைவில், முதல் வரியை –2 ஆல் பெருக்கவும்: (–2, –4, 2, –18). நாங்கள் தொடர்ந்து (மீண்டும் மனரீதியாக அல்லது வரைவில்) கூடுதலாகச் செய்கிறோம், இரண்டாவது வரியில் நாம் முதல் வரியைச் சேர்க்கிறோம், ஏற்கனவே –2 ஆல் பெருக்கப்பட்டுள்ளது:

முடிவை இரண்டாவது வரியில் எழுதுகிறோம்:

மூன்றாவது வரியை நாங்கள் அதே வழியில் கையாளுகிறோம் (3, 2, -5, -1). முதல் நிலையில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற, உங்களுக்குத் தேவை மூன்றாவது வரியில் முதல் வரியை –3 ஆல் பெருக்கவும். மனரீதியாக அல்லது வரைவில், முதல் வரியை –3 ஆல் பெருக்கவும்: (–3, –6, 3, –27). மற்றும் மூன்றாவது வரியில் முதல் வரியை –3 ஆல் பெருக்குவோம்:

முடிவை மூன்றாவது வரியில் எழுதுகிறோம்:

நடைமுறையில், இந்த செயல்கள் பொதுவாக வாய்வழியாகச் செய்யப்படுகின்றன மற்றும் ஒரு படியில் எழுதப்படுகின்றன:

எல்லாவற்றையும் ஒரே நேரத்தில் எண்ண வேண்டிய அவசியமில்லை. கணக்கீடுகளின் வரிசை மற்றும் முடிவுகளை "எழுதுதல்" சீரானபொதுவாக இது இப்படித்தான் இருக்கும்: முதலில் நாம் முதல் வரியை மீண்டும் எழுதுகிறோம், மேலும் சிறிது சிறிதாக நம்மை நாமே கொப்பளிக்கிறோம் - தொடர்ந்து மற்றும் கவனத்துடன்:
மேலே உள்ள கணக்கீடுகளின் மன செயல்முறையை நான் ஏற்கனவே விவாதித்தேன்.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், இதைச் செய்வது எளிது; அதே நேரத்தில், மூன்றாவது வரியை –2 ஆல் வகுக்கிறோம், ஏனெனில் சிறிய எண்கள், எளிமையான தீர்வு:

அடிப்படை மாற்றங்களின் இறுதி கட்டத்தில், நீங்கள் இங்கே மற்றொரு பூஜ்ஜியத்தைப் பெற வேண்டும்:

இதற்கு மூன்றாவது வரியில் நாம் இரண்டாவது வரியை –2 ஆல் பெருக்குகிறோம்:
இந்த செயலை நீங்களே கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும் - மனதளவில் இரண்டாவது வரியை –2 ஆல் பெருக்கி, கூட்டலைச் செய்யவும்.

கடைசியாக நிகழ்த்தப்பட்ட செயல் முடிவின் சிகை அலங்காரம், மூன்றாவது வரியை 3 ஆல் வகுக்கவும்.

அடிப்படை மாற்றங்களின் விளைவாக, நேரியல் சமன்பாடுகளின் சமமான அமைப்பு பெறப்பட்டது: குளிர்.

இப்போது காஸியன் முறையின் தலைகீழ் நடைமுறைக்கு வருகிறது. சமன்பாடுகள் கீழிருந்து மேல் நோக்கி "விரிந்து".

மூன்றாவது சமன்பாட்டில் ஏற்கனவே ஒரு தயாராக முடிவு உள்ளது:

இரண்டாவது சமன்பாட்டைப் பார்ப்போம்: . "zet" என்பதன் பொருள் ஏற்கனவே அறியப்படுகிறது, இவ்வாறு:

இறுதியாக, முதல் சமன்பாடு: . "Igrek" மற்றும் "zet" ஆகியவை அறியப்படுகின்றன, இது சிறிய விஷயங்களின் விஷயம்:

பதில்:

மீண்டும் மீண்டும் குறிப்பிட்டுள்ளபடி, எந்தவொரு சமன்பாடு அமைப்புக்கும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வைச் சரிபார்க்க இது சாத்தியம் மற்றும் அவசியம், அதிர்ஷ்டவசமாக, இது எளிதானது மற்றும் விரைவானது.

எடுத்துக்காட்டு 2

இது ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு, இறுதி வடிவமைப்பின் மாதிரி மற்றும் பாடத்தின் முடிவில் ஒரு பதில்.

உங்கள் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் முடிவின் முன்னேற்றம்எனது முடிவு செயல்முறையுடன் ஒத்துப்போகாமல் இருக்கலாம், மேலும் இது காஸ் முறையின் அம்சமாகும். ஆனால் பதில்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும்!

எடுத்துக்காட்டு 3

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

மேல் இடது "படியை" பார்க்கிறோம். நாம் அங்கே ஒன்றை வைத்திருக்க வேண்டும். பிரச்சனை என்னவென்றால், முதல் நெடுவரிசையில் அலகுகள் எதுவும் இல்லை, எனவே வரிசைகளை மறுசீரமைப்பது எதையும் தீர்க்காது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், அலகு ஒரு அடிப்படை மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒழுங்கமைக்கப்பட வேண்டும். இது பொதுவாக பல வழிகளில் செய்யப்படலாம். நான் இதைச் செய்தேன்: (1) முதல் வரியில் நாம் இரண்டாவது வரியைச் சேர்க்கிறோம், அதை –1 ஆல் பெருக்குகிறோம். அதாவது, மனதளவில் இரண்டாவது வரியை –1 ஆல் பெருக்கி முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிகளைச் சேர்த்தோம், அதே நேரத்தில் இரண்டாவது வரி மாறவில்லை.

இப்போது மேல் இடதுபுறத்தில் "மைனஸ் ஒன்" உள்ளது, இது எங்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது. +1 பெற விரும்பும் எவரும் கூடுதல் இயக்கத்தைச் செய்யலாம்: முதல் வரியை –1 ஆல் பெருக்கவும் (அதன் அடையாளத்தை மாற்றவும்).

(2) முதல் வரி 5 ஆல் பெருக்கப்பட்டது இரண்டாவது வரியில் முதல் வரி 3 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

(3) முதல் வரி -1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது, கொள்கையளவில், இது அழகுக்கானது. மூன்றாவது வரியின் அடையாளமும் மாற்றப்பட்டது, அது இரண்டாவது இடத்திற்கு மாற்றப்பட்டது, இதனால் இரண்டாவது "படியில்" எங்களுக்கு தேவையான அலகு இருந்தது.

(4) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, 2 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

(5) மூன்றாவது வரி 3 ஆல் வகுக்கப்பட்டது.

கணக்கீடுகளில் பிழையைக் குறிக்கும் ஒரு மோசமான அறிகுறி (மிகவும் அரிதாக, எழுத்துப்பிழை) ஒரு "மோசமான" அடிப்பகுதி. அதாவது, கீழே, மற்றும், அதன்படி, நமக்கு ஏதாவது கிடைத்தால், , பின்னர் அதிக அளவு நிகழ்தகவுடன், அடிப்படை மாற்றங்களின் போது பிழை ஏற்பட்டது என்று கூறலாம்.

நாங்கள் தலைகீழ் கட்டணம் வசூலிக்கிறோம், எடுத்துக்காட்டுகளின் வடிவமைப்பில் அவை பெரும்பாலும் கணினியை மீண்டும் எழுதுவதில்லை, ஆனால் சமன்பாடுகள் "கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸிலிருந்து நேரடியாக எடுக்கப்படுகின்றன." தலைகீழ் பக்கவாதம், நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், கீழே இருந்து மேல் வேலை செய்கிறது. ஆம், இங்கே ஒரு பரிசு:

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 4

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

நீங்கள் சொந்தமாக தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு, இது சற்று சிக்கலானது. யாரேனும் குழம்பினால் பரவாயில்லை. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் மாதிரி வடிவமைப்பு. உங்கள் தீர்வு எனது தீர்விலிருந்து வேறுபட்டிருக்கலாம்.

கடைசி பகுதியில் காசியன் அல்காரிதத்தின் சில அம்சங்களைப் பார்ப்போம். முதல் அம்சம் என்னவென்றால், சில நேரங்களில் சில மாறிகள் கணினி சமன்பாடுகளில் காணவில்லை, எடுத்துக்காட்டாக: நீட்டிக்கப்பட்ட கணினி மேட்ரிக்ஸை எவ்வாறு சரியாக எழுதுவது? நான் ஏற்கனவே வகுப்பில் இதைப் பற்றி பேசினேன். கிராமர் விதி. மேட்ரிக்ஸ் முறை. கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸில், விடுபட்ட மாறிகளுக்கு பதிலாக பூஜ்ஜியங்களை வைக்கிறோம்: முதல் நெடுவரிசையில் ஏற்கனவே ஒரு பூஜ்ஜியம் இருப்பதால், இது மிகவும் எளிதான உதாரணம்.

இரண்டாவது அம்சம் இது. கருதப்பட்ட அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளிலும், "படிகளில்" -1 அல்லது +1 ஐ வைத்தோம். வேறு எண்கள் இருக்க முடியுமா? சில சந்தர்ப்பங்களில் அவர்களால் முடியும். அமைப்பைக் கவனியுங்கள்: .

இங்கே மேல் இடது "படியில்" நமக்கு இரண்டு உள்ளது. ஆனால் முதல் நெடுவரிசையில் உள்ள அனைத்து எண்களும் மீதி இல்லாமல் 2 ஆல் வகுபடும் - மற்றொன்று இரண்டு மற்றும் ஆறு என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். மேல் இடதுபுறத்தில் உள்ள இரண்டும் நமக்குப் பொருந்தும்! முதல் கட்டத்தில், நீங்கள் பின்வரும் மாற்றங்களைச் செய்ய வேண்டும்: முதல் வரியை –1 ஆல் பெருக்கி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கவும்; மூன்றாவது வரியில் முதல் வரியை –3 ஆல் பெருக்கவும். எனவே நாம் பெறுகிறோம் தேவையான பூஜ்ஜியங்கள்முதல் பத்தியில்.

அல்லது மற்றொரு வழக்கமான உதாரணம்: . இங்கே இரண்டாவது “படியில்” உள்ள மூன்றும் நமக்குப் பொருந்தும், ஏனெனில் 12 (நாம் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற வேண்டிய இடம்) மீதி இல்லாமல் 3 ஆல் வகுபடும். பின்வரும் மாற்றத்தை மேற்கொள்ள வேண்டியது அவசியம்: மூன்றாவது வரியில் இரண்டாவது வரியைச் சேர்க்கவும், -4 ஆல் பெருக்கவும், இதன் விளைவாக நமக்குத் தேவையான பூஜ்ஜியம் பெறப்படும்.

காஸின் முறை உலகளாவியது, ஆனால் ஒரு தனித்தன்மை உள்ளது. பிற முறைகளைப் பயன்படுத்தி கணினிகளைத் தீர்க்க நீங்கள் நம்பிக்கையுடன் கற்றுக்கொள்ளலாம் (க்ரேமர் முறை, மேட்ரிக்ஸ் முறை) உண்மையில் முதல் முறையாக - அவை மிகவும் கண்டிப்பான வழிமுறையைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் காஸியன் முறையில் நம்பிக்கையை உணர, நீங்கள் "உங்கள் பற்கள்" மற்றும் குறைந்தது 5-10 பத்து அமைப்புகளை தீர்க்க வேண்டும். எனவே, முதலில் கணக்கீடுகளில் குழப்பம் மற்றும் பிழைகள் இருக்கலாம், இதில் அசாதாரணமான அல்லது சோகமான எதுவும் இல்லை.

ஜன்னலுக்கு வெளியே மழை பெய்யும் இலையுதிர் காலநிலை.... எனவே, மேலும் விரும்பும் அனைவருக்கும் சிக்கலான உதாரணம்சுயாதீன தீர்வுக்கு:

எடுத்துக்காட்டு 5

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நான்கு தெரியாதவற்றுடன் 4 நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

அத்தகைய பணி நடைமுறையில் மிகவும் அரிதானது அல்ல. இந்தப் பக்கத்தை முழுமையாகப் படித்த ஒரு டீபாட் கூட அத்தகைய அமைப்பை உள்ளுணர்வாகத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையைப் புரிந்துகொள்வார் என்று நினைக்கிறேன். அடிப்படையில், எல்லாம் ஒன்றுதான் - இன்னும் பல செயல்கள் உள்ளன.

கணினியில் தீர்வுகள் இல்லாத (சீரற்ற) அல்லது எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும் சந்தர்ப்பங்கள் பாடத்தில் விவாதிக்கப்படுகின்றன. பொதுவான தீர்வுடன் பொருந்தாத அமைப்புகள் மற்றும் அமைப்புகள். காஸியன் முறையின் கருதப்பட்ட வழிமுறையை அங்கு நீங்கள் சரிசெய்யலாம்.

வெற்றி பெற வாழ்த்துகிறேன்!

தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 2: தீர்வு : கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்.
அடிப்படை மாற்றங்கள் நிகழ்த்தப்பட்டன: (1) முதல் வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, பெருக்கல் –2. முதல் வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, -1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. கவனம்! இங்கே நீங்கள் மூன்றாவது வரியிலிருந்து முதலில் கழிக்க ஆசைப்படலாம், அதைக் கழிக்க வேண்டாம் என்று நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன் - பிழையின் ஆபத்து பெரிதும் அதிகரிக்கிறது. அதை மடியுங்கள்! (2) இரண்டாவது வரியின் அடையாளம் மாற்றப்பட்டது (–1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது). இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிகள் மாற்றப்பட்டுள்ளன. தயவுசெய்து கவனிக்கவும் , "படிகளில்" நாங்கள் ஒன்றில் மட்டும் திருப்தி அடைகிறோம், ஆனால் -1, இன்னும் வசதியானது. (3) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, 5 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. (4) இரண்டாவது வரியின் அடையாளம் மாற்றப்பட்டது (–1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது). மூன்றாவது வரி 14 ஆல் வகுக்கப்பட்டது.

தலைகீழ்:

பதில் : .

எடுத்துக்காட்டு 4: தீர்வு : கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

நிகழ்த்தப்பட்ட மாற்றங்கள்: (1) முதல் வரியில் இரண்டாவது வரி சேர்க்கப்பட்டது. எனவே, விரும்பிய அலகு மேல் இடது "படியில்" ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ளது. (2) முதல் வரி 7 ஆல் பெருக்கப்பட்டது இரண்டாவது வரியில் முதல் வரி 6 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

இரண்டாவது "படி" மூலம் எல்லாம் மோசமாகிறது , அதற்கான "வேட்பாளர்கள்" எண்கள் 17 மற்றும் 23 ஆகும், மேலும் நமக்கு ஒன்று அல்லது -1 தேவை. மாற்றங்கள் (3) மற்றும் (4) விரும்பிய அலகு பெறுவதை நோக்கமாகக் கொண்டிருக்கும் (3) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, அது –1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. (4) மூன்றாவது வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, அது –3 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. இரண்டாவது படியில் தேவையான பொருள் பெறப்பட்டது. . (5) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியுடன் சேர்க்கப்பட்டு, 6 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. (6) இரண்டாவது வரி –1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது, மூன்றாவது வரி -83 ஆல் வகுக்கப்பட்டது.

தலைகீழ்:

பதில் :

எடுத்துக்காட்டு 5: தீர்வு : கணினியின் மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

நிகழ்த்தப்பட்ட மாற்றங்கள்: (1) முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிகள் மாற்றப்பட்டுள்ளன. (2) முதல் வரி இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, பெருக்கல் –2. முதல் வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது -2 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. முதல் வரி நான்காவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, -3 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. (3) இரண்டாவது வரி மூன்றாவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, 4 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. இரண்டாவது வரி நான்காவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, -1 ஆல் பெருக்கப்பட்டது. (4) இரண்டாவது வரியின் அடையாளம் மாற்றப்பட்டது. நான்காவது வரி 3 ஆல் வகுக்கப்பட்டது மற்றும் மூன்றாவது வரியின் இடத்தில் வைக்கப்பட்டது. (5) மூன்றாவது வரி நான்காவது வரியில் சேர்க்கப்பட்டது, அது –5 ஆல் பெருக்கப்பட்டது.

தலைகீழ்:

பதில் :