அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள்: வரைகலை தீர்வு முறை. அளவுருக்கள் மூலம் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறை

அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள் பள்ளிக் கணிதத்தில் மிகவும் கடினமான பிரச்சனைகளில் ஒன்றாகக் கருதப்படுகிறது. துல்லியமாக இந்த பணிகள் தான், ஆண்டுதோறும், ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வின் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் வகை B மற்றும் C இன் பணிகளின் பட்டியலில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. இருப்பினும், அளவுருக்கள் கொண்ட அதிக எண்ணிக்கையிலான சமன்பாடுகளில், வரைபட ரீதியாக எளிதில் தீர்க்கக்கூடியவை உள்ளன. பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த முறையைப் பார்ப்போம்.

சமன்பாடு |x 2 – 2x – 3| என்ற எண்ணின் முழு எண் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும் = a நான்கு வேர்களைக் கொண்டது.

தீர்வு.

சிக்கலின் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, ஒன்றை உருவாக்குவோம் ஒருங்கிணைப்பு விமானம்செயல்பாட்டு வரைபடங்கள்

y = |x 2 – 2x – 3| மற்றும் y = a.

முதல் செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = |x 2 – 2x – 3| பரவளையத்தின் வரைபடத்திலிருந்து y = x 2 – 2x – 3 பெறப்படும், x-அச்சுக்குக் கீழே உள்ள வரைபடத்தின் பகுதியை சமச்சீராகக் காண்பிப்பதன் மூலம் பெறப்படும். x அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ள வரைபடத்தின் பகுதி மாறாமல் இருக்கும்.

இதை படிப்படியாக செய்வோம். y = x 2 - 2x - 3 செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும், அதன் கிளைகள் மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன. அதன் வரைபடத்தை உருவாக்க, உச்சியின் ஆயங்களை நாம் காண்கிறோம். x 0 = -b/2a சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்யலாம். எனவே, x 0 = 2/2 = 1. ஆர்டினேட் அச்சில் பரவளையத்தின் உச்சியின் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய, கேள்விக்குரிய செயல்பாட்டின் சமன்பாட்டில் x 0 க்கு விளைந்த மதிப்பை மாற்றுகிறோம். y 0 = 1 – 2 – 3 = -4 என்று பெறுகிறோம். இதன் பொருள் பரவளையத்தின் உச்சியில் ஆயத்தொகுதிகள் உள்ளன (1; -4).

அடுத்து, ஆய அச்சுகளுடன் பரவளைய கிளைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். abscissa அச்சுடன் பரவளையத்தின் கிளைகள் வெட்டும் புள்ளிகளில், செயல்பாட்டின் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். எனவே நாங்கள் முடிவு செய்வோம் இருபடி சமன்பாடு x 2 – 2x – 3 = 0. அதன் வேர்கள் தேவையான புள்ளிகளாக இருக்கும். வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி நமக்கு x 1 = -1, x 2 = 3 உள்ளது.

ஆர்டினேட் அச்சுடன் பரவளைய கிளைகளின் வெட்டும் புள்ளிகளில், வாதத்தின் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். எனவே, புள்ளி y = -3 என்பது y- அச்சுடன் பரவளையத்தின் கிளைகளை வெட்டும் புள்ளியாகும். இதன் விளைவாக வரைபடம் படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

y = |x 2 – 2x – 3| செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பெற, abscissa க்கு கீழே அமைந்துள்ள வரைபடத்தின் பகுதியை x-அச்சுக்கு சமச்சீராகக் காட்டுவோம். இதன் விளைவாக வரைபடம் படம் 2 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

y = a செயல்பாட்டின் வரைபடம் abscissa அச்சுக்கு இணையான ஒரு நேர்கோடு. இது படம் 3 இல் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது. படத்தைப் பயன்படுத்தி, a இடைவெளியில் (0; 4) இருந்தால், வரைபடங்கள் நான்கு பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம் (மற்றும் சமன்பாடு நான்கு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது).

இதன் விளைவாக வரும் இடைவெளியிலிருந்து a எண்ணின் முழு எண் மதிப்புகள்: 1; 2; 3. சிக்கலின் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்போம்: 1 + 2 + 3 = 6.

பதில்: 6.

சமன்பாடு |x 2 – 4|x| எண்ணின் முழு எண் மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியைக் கண்டறியவும் – 1| = a ஆறு வேர்களைக் கொண்டது.

y = |x 2 – 4|x| செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம் – 1|. இதைச் செய்ய, சமத்துவம் a 2 = |a| 2 மற்றும் செயல்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் எழுதப்பட்ட சப்மாடுலர் எக்ஸ்பிரஷனில் முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

பின்னர் அசல் செயல்பாடு y = |(|x| – 2) 2 – 5| வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்க, செயல்பாடுகளின் தொடர்ச்சியான வரைபடங்களை உருவாக்குகிறோம்:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – ஆய (2; -5) புள்ளியில் முனையுடன் கூடிய பரவளையம்; (படம் 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – ஆர்டினேட் அச்சின் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள படி 1 இல் கட்டப்பட்ட பரவளையத்தின் ஒரு பகுதி, Oy அச்சின் இடதுபுறத்தில் சமச்சீராகக் காட்டப்படுகிறது; (படம் 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - புள்ளி 2 இல் கட்டப்பட்ட வரைபடத்தின் பகுதி, இது x- அச்சுக்குக் கீழே அமைந்துள்ளது, x-அச்சு மேல்நோக்கி சமச்சீராகக் காட்டப்படும். (படம் 3).

இதன் விளைவாக வரும் வரைபடங்களைப் பார்ப்போம்:

y = a செயல்பாட்டின் வரைபடம் abscissa அச்சுக்கு இணையான ஒரு நேர்கோடு.

உருவத்தைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் இடைவெளியில் (1; 5) சேர்ந்தால், ஆறு பொதுவான புள்ளிகள் (சமன்பாடு ஆறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது) என்று முடிவு செய்கிறோம்.

இதை பின்வரும் படத்தில் காணலாம்:

அளவுரு a இன் முழு எண் மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியைக் கண்டுபிடிப்போம்:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

பதில்: 3.

இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

அளவுருவின் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் a சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் | 2 x + a | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2.

முதலில், ஒரு துணை சிக்கலைத் தீர்ப்போம். இந்த சமத்துவமின்மையை x x மற்றும் a a ஆகிய இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமத்துவமின்மையாகக் கருதி, x O a xOa என்ற ஒருங்கிணைப்புத் தளத்தில் வரையலாம்.

2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (அதாவது நேர்கோட்டில் a = - 2 x a=-2x மற்றும் அதற்கு மேல்) எனில், 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a \leq x+2 \Leftrightarrow a \leq 2-x .

தொகுப்பு படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 11.

இப்போது இந்த வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி அசல் சிக்கலைத் தீர்ப்போம். a ஐ சரிசெய்தால், a = const a = \textrm(const) ஒரு கிடைமட்ட கோடு கிடைக்கும். x x இன் மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்க, சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்புடன் இந்த வரியின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் abscissa ஐ நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, a = 8 a=8 எனில், சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வுகள் இல்லை (நேரான கோடு தொகுப்பை வெட்டுவதில்லை); a = 1 a=1 எனில், தீர்வுகள் அனைத்தும் x x இடைவெளியில் இருந்து [ - 1 ; 1 ] [-1;1], முதலியன. எனவே, மூன்று விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும்.

1) $$a>4$$ எனில், தீர்வுகள் இல்லை.

2) a = 4 a=4 எனில், x = - 2 x=-2.

பதில்

$$a இல்

a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 ;

$$a>4$$க்கு - தீர்வுகள் இல்லை.

சமத்துவமின்மை $$3-|x-a| a என்ற அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும் > x^2$$ a) குறைந்தது ஒரு தீர்வு உள்ளது; b) குறைந்தது ஒரு நேர்மறையான தீர்வு உள்ளது.

சமத்துவமின்மையை $$3-x^2 > |x-a)$$ வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம். x O y xOy விமானத்தில் இடது மற்றும் வலது பகுதிகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம். இடது பக்க வரைபடம் (0; 3) (0;3) புள்ளியில் உள்ள உச்சியுடன் கீழ்நோக்கி கிளைகளைக் கொண்ட ஒரு பரவளையமாகும். வரைபடம் x-அச்சு புள்ளிகளில் (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) வெட்டுகிறது. வலது பக்கத்தின் வரைபடம் என்பது x- அச்சில் உள்ள உச்சியுடன் கூடிய கோணமாகும், இதன் பக்கங்கள் 45 ° 45^(\circ) கோணத்தில் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன. உச்சியின் abscissa புள்ளி x = a x = a .

அ) ஒரு சமத்துவமின்மை குறைந்தது ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்க, குறைந்தபட்சம் ஒரு புள்ளியில் பரவளையமானது y = | x - a | y=|x-a| . மூலையின் உச்சியானது அப்சிஸ்ஸா அச்சின் A A மற்றும் B B புள்ளிகளுக்கு இடையில் இருந்தால் இது செய்யப்படுகிறது (படம் 12 ஐப் பார்க்கவும் - புள்ளிகள் A மற்றும் B B சேர்க்கப்படவில்லை). எனவே, கோணத்தின் கிளைகளில் ஒன்று பரவளையத்தைத் தொடும் உச்சியின் எந்த நிலையில் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

மூலையின் உச்சி A A புள்ளியில் இருக்கும்போது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். பின்னர் கோணத்தின் வலது கிளை பரவளையத்தைத் தொடுகிறது. அதன் சாய்வு ஒன்றுக்கு சமம். இதன் பொருள் y = 3 - x 2 y = 3-x^2 செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் 1 1 க்கு சமம், அதாவது - 2 x = 1 -2x=1, எங்கிருந்து x = - 1 2 x = -\frac( 1)(2) . பின்னர் தொடு புள்ளியின் ஆர்டினேட் y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . கோண குணகம் k = 1 k=1 மற்றும் ஆய (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) கொண்ட ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு ) பின்வருபவை * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

இது மூலையின் வலது கிளையின் சமன்பாடு ஆகும். x அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளியின் abscissa சமம் - 13 4 -\frac(13)(4), அதாவது புள்ளி A A ஆனது A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4) 0) . சமச்சீர் காரணங்களுக்காக, புள்ளி B B ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

இங்கிருந்து நாம் a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) .

b) மூலையின் உச்சி F F மற்றும் B B புள்ளிகளுக்கு இடையில் அமைந்திருந்தால் சமத்துவமின்மை நேர்மறையான தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது (படம் 13 ஐப் பார்க்கவும்). புள்ளி F F இன் நிலையைக் கண்டறிவது கடினம் அல்ல: மூலையின் உச்சி F F புள்ளியில் இருந்தால், அதன் வலது கிளை (y = x - a y = x-a சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட நேர் கோடு புள்ளியின் வழியாக செல்கிறது (0; 3 ) (0;3). \in (-3; \frac(13)(4) ) .

பதில்

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,     a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) .

* {\^* Полезные формулы: !}

- \-- புள்ளி (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) வழியாக செல்லும் ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு கோண குணகம் k k ஐக் கொண்டிருப்பது y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. k(x-x_0) ;

- \-- புள்ளிகள் (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) மற்றும் (x 1 ; y 1) (x_1;y_1), இங்கு x 0 ≠ x 1 x_0 \neq வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் கோண குணகம் x_1, k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது.

கருத்து.நேர்கோட்டில் y = k x + l y=kx+l மற்றும் பரவளைய y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c தொடும் அளவுருவின் மதிப்பை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள் எழுதலாம் k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c என்ற சமன்பாடு சரியாக ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் கோணத்தின் உச்சியில் உள்ள அளவுருவின் மதிப்புகளைக் கண்டறிய மற்றொரு வழி புள்ளி A A இல் உள்ளது பின்வருமாறு: சமன்பாடு x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 சரியாக ஒரு தீர்வு உள்ளது ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Leftrightarrow D = 1 + 4(a+3) = 0 \Leftrightarrow a = -\ dfrac(13)(4) .

இந்த வழியில் ஒரு வரி தன்னிச்சையான வரைபடத்தைத் தொடுவதற்கான நிபந்தனையை எழுத முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்க. எடுத்துக்காட்டாக, y = 3 x - 2 y = 3x - 2 என்ற வரியானது கனப் பரவளைய y = x 3 y=x^3 என்ற புள்ளியில் (1 ; 1) (1;1) ஐத் தொட்டு (-) புள்ளியில் வெட்டுகிறது. 2 ; - 8) (-2;-8), அதாவது x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும் a , ஒவ்வொன்றிற்கும் சமன்பாடு (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 a) சரியாக இரண்டு தனித்தனி வேர்களைக் கொண்டுள்ளது; b) சரியாக மூன்று வெவ்வேறு வேர்கள்.

உதாரணம் 25 இல் உள்ளதைப் போலவே செய்வோம். இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பை x O a xOa விமானத்தில் சித்தரிக்கலாம். இது இரண்டு சமன்பாடுகளின் கலவைக்கு சமம்:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 என்பது கிளைகள் மற்றும் புள்ளியில் உள்ள உச்சியைக் கொண்ட ஒரு கோணம் (- 2 ; - 1) (-2;-1) .

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - இது ஒரு பரவளையமாகும், கிளைகள் மேலேயும், புள்ளியில் உள்ள உச்சியும் (- 2 ; - 3) (-2;-3) . அத்தி பார்க்கவும். 14.

இரண்டு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் காண்கிறோம். கோணத்தின் வலது கிளை y = x + 1 y = x+1 சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

x = 0 x=0 அல்லது x = - 3 x=-3 என்பதைக் காண்கிறோம். மதிப்பு x = 0 x=0 மட்டுமே பொருத்தமானது (வலது கிளைக்கு x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0 என்பதால்). பிறகு a = 1 a=1 . இதேபோல், இரண்டாவது குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம் - (- 4 ; 1) (-4; 1) .

அசல் பிரச்சனைக்கு திரும்புவோம். சமன்பாடு சரியாக இரண்டு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றுக்கான கிடைமட்ட கோடு a = const a=\textrm(const) சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பை இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup\(1\) க்கு இது உண்மை என்பதை வரைபடத்தில் இருந்து பார்க்கிறோம். வழக்கில் சரியாக மூன்று தீர்வுகள் இருக்கும் மூன்று புள்ளிகள்குறுக்குவெட்டுகள், இது a = - 1 a=-1 போது மட்டுமே சாத்தியமாகும்.

பதில்

a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) ;      

a\in (-3;-1)\bigcup\(1\);\:\:\: b) a = - 1 a=-1 .

$$\begin(causes) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(cases) $$

சரியாக ஒரு தீர்வு உள்ளது.

சமத்துவமின்மை அமைப்பின் தீர்வுகளை x O a xOa விமானத்தில் சித்தரிப்போம். $$ \begin(cases) a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac(x^2+6x)(6) .\end(cases) $$ வடிவத்தில் கணினியை மீண்டும் எழுதுவோம்

பதில்

முதல் சமத்துவமின்மை, a = - x 2 + x a = -x^2+x மற்றும் அதற்குக் கீழே உள்ள பரவளையத்தின் மீது இருக்கும் புள்ளிகளால் திருப்திப்படுத்தப்படுகிறது, இரண்டாவது பரவளையத்தின் மீது இருக்கும் புள்ளிகளால் திருப்தி செய்யப்படுகிறது a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac(x^2 +6x)(6) மற்றும் அதற்கு மேல். பரவளையங்களின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் அவற்றின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடித்து, பின்னர் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம். முதல் பரவளையத்தின் மேற்பகுதி (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), இரண்டாவது பரவளையத்தின் மேற்பகுதி (- 1 ; - 1 6) ( -1; -\dfrac( 1)(6)), வெட்டும் புள்ளிகள் (0; 0) (0;0) மற்றும் (4 7; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12 )(49)). கணினியை திருப்திப்படுத்தும் புள்ளிகளின் தொகுப்பு படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 15. கிடைமட்டக் கோடு a = const a=\textrm(const) இந்த தொகுப்புடன் சரியாக ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்டிருப்பதைக் காணலாம் (அதாவது கணினிக்கு சரியாக ஒரு தீர்வு உள்ளது) a = 0 a=0 மற்றும் a = 1 4 a= \dfrac(1)(4) .

A = 0 ,  a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4) கண்டுபிடிமிகச்சிறிய மதிப்பு

அளவுரு a a , ஒவ்வொன்றிற்கும் அமைப்பு

$$\begin(வழக்குகள்) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \end(cases) $$

ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது. முதல் சமன்பாட்டை மாற்றுவோம்,:

முழுமையான சதுரங்களை முன்னிலைப்படுத்துகிறது

முந்தைய சிக்கல்களைப் போலல்லாமல், இங்கே x O y xOy விமானத்தில் ஒரு வரைபடத்தை சித்தரிப்பது நல்லது (“மாறி - அளவுரு” விமானத்தில் ஒரு வரைதல் பொதுவாக ஒரு மாறி மற்றும் ஒரு அளவுருவில் உள்ள சிக்கல்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது - இதன் விளைவாக விமானத்தில் ஒரு தொகுப்பாகும். இந்தச் சிக்கலில் இரண்டு மாறிகள் மற்றும் ஒரு அளவுருவை முப்பரிமாண இடத்தில் வரைவது கடினமான பணியாகும் காட்சியாக இருக்க வேண்டும்). சமன்பாடு (18) ஒரு வட்டத்தை மையத்துடன் (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1) ஆரம் 1 குறிப்பிடுகிறது. இந்த வட்டத்தின் மையம், a இன் மதிப்பைப் பொறுத்து, எந்த புள்ளியிலும் அமைந்திருக்கும் வரி y = 1 y = 1.

அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாடு y = 3 | x | - 4 y = \sqrt(3)|x|-4 என்பது 60 ° 60^(\circ) கோணத்தில் abscissa அச்சுக்கு பக்கங்களுடன் கூடிய கோணத்தை அமைக்கிறது (நேர்கோட்டின் கோண குணகம் என்பது தொடுகோடு சாய்வின் கோணம் tg 60 ° = 3 \textrm(tg )(60^(\circ)) = \sqrt(3)), புள்ளியில் உச்சியுடன் (0; - 4) (0;-4) .

வட்டம் கோணத்தின் கிளைகளில் ஒன்றைத் தொட்டால், இந்த சமன்பாடு அமைப்பு சரியாக ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. இது நான்கு நிகழ்வுகளில் சாத்தியமாகும் (படம் 16): வட்டத்தின் மையம் A A, B B, C C, D D புள்ளிகளில் ஒன்றில் இருக்கலாம். a என்ற அளவுருவின் மிகச்சிறிய மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்பதால், D D புள்ளியின் abscissa இல் ஆர்வமாக உள்ளோம். வலது முக்கோண D H M DHM ஐக் கவனியுங்கள். புள்ளி D D இலிருந்து நேர் கோடு H M HM வரையிலான தூரம் வட்டத்தின் ஆரத்திற்குச் சமம், எனவே D H = 1 DH=1. எனவே, D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . y = 1 y=1 மற்றும் y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 (மூலையின் இடது பக்கம்) ஆகிய இரண்டு கோடுகளின் வெட்டுப்புள்ளியின் ஆயங்களாக M M புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் காணப்படுகின்றன. .

நாம் M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) . பின்னர் புள்ளி D D இன் abscissa - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( 7)(\ சதுர(3)) .

வட்டத்தின் மையத்தின் abscissa 3 a\sqrt(3) க்கு சமமாக இருப்பதால், a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

பதில்

A = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)

அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும் a a , ஒவ்வொன்றிற்கும் கணினி

$$\begin(வழக்குகள்) |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \முடிவு(வழக்குகள்) $$

$$\begin(causes) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(cases) $$

x O y xOy விமானத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கும் தீர்வுகளின் தொகுப்புகளை சித்தரிப்போம்.

இரண்டாவது சமத்துவமின்மையில், சரியான சதுரங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்:

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2      ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Leftrightarrow (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8 )^2 \:\:\:\: (19)

a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8), சமத்துவமின்மை (19) ஆய (7 a; 3 a) (7a;3a), அதாவது (- 56 ; -) ஒரு புள்ளியைக் குறிப்பிடுகிறது. 24) (-56;-24) . a (19) இன் மற்ற எல்லா மதிப்புகளுக்கும் ஆரம் புள்ளியில் (7 a; 3 a) (7a;3a) மையப்படுத்தப்பட்ட வட்டத்தை வரையறுக்கிறது | a + 8 | |a+8| .

முதல் சமத்துவமின்மையைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
1) எதிர்மறை a a க்கு தீர்வுகள் இல்லை. இதன் பொருள் அமைப்பில் தீர்வுகள் இல்லை.

2) a = 0 a=0 எனில், 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0 என்ற நேர்கோட்டைப் பெறுவோம். இரண்டாவது சமத்துவமின்மையிலிருந்து 8 ஆரம் கொண்ட மையம் (0; 0) (0; 0) கொண்ட வட்டத்தைப் பெறுகிறோம். வெளிப்படையாக, ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தீர்வுகள் உள்ளன.

3) $$a>0$$ எனில், இந்த சமத்துவமின்மை இரட்டை சமத்துவமின்மைக்கு சமம் - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) , இவை ஒவ்வொன்றும் 4 x + 3 y = 0 4x+ என்ற நேர் கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கும் இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே ஒரு பட்டையை வரையறுக்கிறது. 3y=0 (படம் 17).

நாங்கள் $$a>0$$ ஐக் கருத்தில் கொண்டுள்ளதால், வட்டத்தின் மையம் y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) வரியில் முதல் காலாண்டில் அமைந்துள்ளது. உண்மையில், மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; a ஐ வெளிப்படுத்தி சமன் செய்தால், x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , எங்கிருந்து y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . கணினி சரியாக ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருப்பதற்கு, வட்டமானது 2 a_2 என்ற நேர்கோட்டைத் தொடுவது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது. வட்டத்தின் ஆரம் வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து நேர்கோட்டிற்கான தூரத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது இது நிகழ்கிறது a 2 a_2. ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்திற்கான சூத்திரத்தின்படி * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

பதில்

A = 2 a=2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , !} சமன்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . பின்னர் M M புள்ளியில் இருந்து நேர் கோடு l l க்கு உள்ள தூரம் ρ = | சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac(|ax_0+bx_0+c|)(\sqrt(a^2+b^2)) .

அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில் a a அமைப்பு செய்கிறது

$$\begin(வழக்குகள்) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end(cases)$$க்கு தீர்வுகள் இல்லையா?

கணினியின் முதல் சமன்பாடு x O y xOy விமானத்தில் A B C D ABCD என்ற சதுரத்தை வரையறுக்கிறது (அதைக் கட்டமைக்க, x ≥ 0 x\geq 0 மற்றும் y ≥ 0 y\geq 0 ஆகியவற்றைக் கவனியுங்கள். பின்னர் சமன்பாடு x + y = வடிவத்தை எடுக்கும். 1 x+y=1 நாம் ஒரு பிரிவைப் பெறுகிறோம் - x + y = 1 x+y=1 என்ற நேர்கோட்டின் ஒரு பகுதி, முதல் காலாண்டில் உள்ளது, அடுத்து, O x ஆக்ஸ் அச்சுடன் தொடர்புடைய இந்த பகுதியைப் பிரதிபலிக்கிறோம் O y Oy அச்சுடன் தொடர்புடைய விளைவான தொகுப்பை பிரதிபலிக்கவும் (படம் 18 ஐப் பார்க்கவும்). இரண்டாவது சமன்பாடு சதுரம் P Q R S PQRS ஐ வரையறுக்கிறது, A B C D ABCD சதுரத்திற்கு சமம், ஆனால் புள்ளியை மையமாகக் கொண்டது (- a ; - a) (-a;-a) . படத்தில். உதாரணமாக, படம் 18 இந்த சதுரத்தை a = - 2 a=-2 க்கு காட்டுகிறது. இந்த இரண்டு சதுரங்களும் குறுக்கிடவில்லை என்றால் கணினிக்கு தீர்வுகள் இல்லை.

P Q PQ மற்றும் B C BC ஆகிய பிரிவுகள் இணைந்தால், இரண்டாவது சதுரத்தின் மையம் (1; 1) (1;1) புள்ளியில் இருப்பதைப் பார்ப்பது எளிது. a இன் அந்த மதிப்புகள் நமக்குப் பொருத்தமானவை, அதில் மையம் "மேலே" மற்றும் "வலதுபுறம்" அமைந்துள்ளது, அதாவது $$a1$$.

பதில்

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

கணினி b b அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்

$$\begin(வழக்குகள்) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end(cases) $$

a இன் எந்த மதிப்புக்கும் குறைந்தது ஒரு தீர்வு உள்ளது.

பல வழக்குகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

1) என்றால் $$b2) b = 0 b=0 எனில், கணினி $$\begin(cases) y=x^2,\\ y=ax .\end(cases) $$

எந்த ஒரு a க்கும் ஜோடி எண்கள் (0 ; 0) (0;0) இந்த அமைப்பிற்கு ஒரு தீர்வாகும், எனவே b = 0 b=0 பொருத்தமானது.

3) சில $$b>0$$ ஐ சரிசெய்வோம். O x Ox அச்சுடன் தொடர்புடைய இந்த பரவளையத்தின் ஒரு பகுதியைப் பிரதிபலிப்பதன் மூலம் y = x 2 - b y=x^2-b என்ற பரவளையத்திலிருந்து பெறப்பட்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பால் முதல் சமன்பாடு திருப்தி அடைகிறது (படம் 19a, b ஐப் பார்க்கவும்). இரண்டாவது சமன்பாடு நேர்கோடுகளின் குடும்பத்தை வரையறுக்கிறது (a இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், செங்குத்து ஒன்றைத் தவிர, புள்ளி (b; 0) (b;0) வழியாக செல்லும் அனைத்து வகையான நேர்கோடுகளையும் நீங்கள் பெறலாம். புள்ளி மூலம் (b; 0) (b;0) . புள்ளி (b; 0) (b;0) பிரிவில் இருந்தால் [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . abscissa அச்சு, பின்னர் நேர் கோடு எந்த சாய்வுக்கான முதல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வெட்டுகிறது (படம் 19a). இல்லையெனில் (படம் 19b) எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் இந்த வரைபடத்தை வெட்டாத ஒரு நேர் கோடு இருக்கும். சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) மற்றும் $$b>0$$ என்று கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், b ∈ (0 ; 1 ] b \ ஐப் பெறுகிறோம் (0;1] இல்.

நாங்கள் முடிவுகளை இணைக்கிறோம்: $$b \in $$.

பதில்

$$b \in $$

a இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும், அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் f (x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x குறைந்தபட்சம் ஒரு அதிகபட்ச புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது.

தொகுதியை விரிவுபடுத்தினால், அதைப் பெறுகிறோம்

$$f(x) = \begin(cases) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \end(வழக்குகள்) $$

இரண்டு இடைவெளிகளில் ஒவ்வொன்றிலும், y = f (x) y=f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் மேல்நோக்கி கிளைகள் கொண்ட ஒரு பரவளையமாகும்.

மேல்நோக்கி கிளைகள் கொண்ட பரவளையங்கள் அதிகபட்ச புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்பதால், ஒரே சாத்தியம் என்னவென்றால், அதிகபட்ச புள்ளி இந்த இடைவெளிகளின் எல்லைப் புள்ளியாகும் - புள்ளி x = a 2 x=a^2 . இந்த கட்டத்தில் பரவளையத்தின் உச்சம் y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 $$x>a^2$$, மற்றும் பரவளையத்தின் முனை y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - இடைவெளிக்கு $$x\lt a^2$$ (படம் 20 ஐப் பார்க்கவும்). இந்த நிபந்தனையானது ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் $$2 \gt a^2$$ மற்றும் $$1 \lt a^2$$ ஆகியவற்றால் வழங்கப்படுகிறது, இதைத் தீர்க்கும்போது a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

பதில்

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

a இன் அனைத்து மதிப்புகளையும், ஒவ்வொன்றிற்கும் கண்டறியவும் பொதுவான தீர்வுகள்ஏற்றத்தாழ்வுகள்

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a மற்றும் y - x ≥ 2 a             (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகள்

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

சூழ்நிலையை வழிநடத்த, சில நேரங்களில் ஒரு அளவுரு மதிப்பைக் கருத்தில் கொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம், எடுத்துக்காட்டாக, a = 0 a=0 . ஏற்றத்தாழ்வுகள் (20) (உண்மையில், நாம் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைக் கையாளுகிறோம் (20)) கோணத்தின் புள்ளிகள் B A C BAC (படம் 21 ஐப் பார்க்கவும்) - புள்ளிகள், ஒவ்வொன்றும் y = - ஆகிய இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு மேல் இருக்கும் புள்ளிகளால் திருப்திப்படுத்தப்படுகின்றன. 2 x y=-2x மற்றும் y = x y =x (அல்லது இந்த வரிகளில்). சமத்துவமின்மை (21) y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) . a = 0 a=0 பிரச்சனையின் நிலை திருப்தியடையவில்லை என்பதைக் காணலாம்.

a அளவுருவுக்கு வேறு மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டால் என்ன மாறும்? கோடுகளின் கோண குணகங்கள் a ஐச் சார்ந்து இல்லை என்பதால், ஒவ்வொரு கோடுகளும் நகர்ந்து தனக்கு இணையான கோட்டாக மாறும். சிக்கலின் நிபந்தனையை நிறைவேற்ற, B A C BAC முழு கோணமும் l l நேர் கோட்டிற்கு மேலே இருக்க வேண்டும். நேர் கோடுகளின் கோண குணகங்கள் A B AB மற்றும் A C AC ஆகியவை நேர்கோட்டின் கோணக் குணகத்தை விட முழுமையான மதிப்பில் அதிகமாக இருப்பதால், கோணத்தின் உச்சி நேர்கோடு l l க்கு மேலே இருப்பது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

$$\begin(வழக்குகள்) y+2x=a,\\ y-x=2a, \end(cases)$$

புள்ளி A (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும். அவை சமத்துவமின்மையை (21) பூர்த்தி செய்ய வேண்டும், எனவே $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, எங்கிருந்து $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

பதில்

$$a>\dfrac(9)(8)$$

ஓல்கா ஒட்டெல்கினா, 9 ஆம் வகுப்பு மாணவி

இந்த தலைப்பு பள்ளி இயற்கணிதம் படிப்பின் ஒரு ஒருங்கிணைந்த பகுதியாகும். இந்த தலைப்பை இன்னும் ஆழமாகப் படிப்பது, மிகவும் அடையாளம் காண்பது இந்த வேலையின் நோக்கம் பகுத்தறிவு முடிவு, விரைவாக ஒரு பதிலுக்கு வழிவகுக்கும். அளவுருக்களுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறையின் பயன்பாட்டை மற்ற மாணவர்களுக்குப் புரிந்துகொள்ளவும், இந்த முறையின் தோற்றம் மற்றும் வளர்ச்சியைப் பற்றி அறியவும் இந்த கட்டுரை உதவும்.

பதிவிறக்கம்:

முன்னோட்டம்:

அறிமுகம்2

அத்தியாயம் 1. அளவுருவுடன் சமன்பாடுகள்

அளவுரு3 உடன் சமன்பாடுகள் தோன்றிய வரலாறு

வியட்டாவின் தேற்றம்4

அடிப்படை கருத்துக்கள் 5

அத்தியாயம் 2. அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகளின் வகைகள்.

நேரியல் சமன்பாடுகள் 6

இருபடி சமன்பாடுகள் ……………………………………………………………… 7

அத்தியாயம் 3. அளவுருவுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

பகுப்பாய்வு முறை …………………………………………………… 8

வரைகலை முறை. தோற்ற வரலாறு ……………………………….9

வரைகலை முறையைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்.............................................10

மாடுலஸுடன் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது………………………………………………………….11

நடைமுறை பகுதி ……………………………………………………………………… 12

முடிவு ………………………………………………………………………………………….19

குறிப்புகள்………………………………………………………… 20

அறிமுகம்.

பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்தின் ஒருங்கிணைந்த பகுதி என்பதால் இந்தத் தலைப்பைத் தேர்ந்தெடுத்தேன். சமையல் இந்த வேலை, இந்த தலைப்பைப் பற்றிய ஆழமான ஆய்வின் இலக்கை நான் நிர்ணயித்தேன், விரைவாக ஒரு பதிலுக்கு வழிவகுக்கும் மிகவும் பகுத்தறிவு தீர்வைக் கண்டறிந்தேன். அளவுருக்களுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறையின் பயன்பாட்டை மற்ற மாணவர்களுக்குப் புரிந்துகொள்ளவும், இந்த முறையின் தோற்றம் மற்றும் வளர்ச்சியைப் பற்றி அறியவும் எனது கட்டுரை உதவும்.

IN நவீன வாழ்க்கைபல இயற்பியல் செயல்முறைகள் மற்றும் வடிவியல் வடிவங்களின் ஆய்வு பெரும்பாலும் அளவுருக்களுடன் சிக்கல்களைத் தீர்க்க வழிவகுக்கிறது.

அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு, α அளவுருவைப் பொறுத்து சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டியிருக்கும் போது வரைகலை முறை மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

அளவுருக்களில் உள்ள சிக்கல்கள் முற்றிலும் கணித ஆர்வம் மற்றும் பங்களிக்கின்றன அறிவுசார் வளர்ச்சிமாணவர்கள், சேவை செய் நல்ல பொருள்திறன்களை பயிற்சி செய்ய. அவை கண்டறியும் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளன, ஏனெனில் அவை கணிதத்தின் முக்கிய கிளைகள், கணித நிலை மற்றும் தருக்க சிந்தனை, ஆரம்ப திறன்கள் ஆராய்ச்சி நடவடிக்கைகள்மற்றும் உயர்கல்வி நிறுவனங்களில் கணித பாடத்தில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கான வாய்ப்புகளை உறுதியளிக்கிறது.

எனது கட்டுரை அடிக்கடி சந்திக்கும் சமன்பாடுகளின் வகைகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது, மேலும் பணியின் செயல்பாட்டில் நான் பெற்ற அறிவு பள்ளித் தேர்வுகளில் தேர்ச்சி பெறும்போது எனக்கு உதவும் என்று நம்புகிறேன்.அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள்பள்ளி கணிதத்தில் மிகவும் கடினமான பிரச்சனைகளில் ஒன்றாக கருதப்படுகிறது. ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் உள்ள பணிகளின் பட்டியலில் துல்லியமாக இந்த பணிகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.

ஒரு அளவுருவுடன் சமன்பாடுகள் தோன்றிய வரலாறு

இந்தியக் கணிதவியலாளரும் வானவியலாளருமான ஆர்யபட்டாவால் 499 இல் தொகுக்கப்பட்ட “ஆர்யப்பட்டியம்” என்ற வானியல் ஆய்வுக் கட்டுரையில் ஒரு அளவுருவுடன் சமன்பாடுகளில் உள்ள சிக்கல்கள் ஏற்கனவே எதிர்கொண்டன. மற்றொரு இந்திய விஞ்ஞானியான பிரம்மகுப்தா (7ஆம் நூற்றாண்டு) கோடிட்டுக் காட்டினார் பொது விதிஇருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள் ஒற்றை நியதி வடிவத்திற்கு குறைக்கப்பட்டது:

αx 2 + bx = c, α>0

அளவுருவைத் தவிர, சமன்பாட்டில் உள்ள குணகங்கள், எதிர்மறையாகவும் இருக்கலாம்.

அல்-குவாரிஸ்மியின் இருபடி சமன்பாடுகள்.

அல்-குவாரிஸ்மி இயற்கணிதக் கட்டுரையில் a என்ற அளவுருவுடன் நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைப்பாட்டை வழங்குகிறது. ஆசிரியர் 6 வகையான சமன்பாடுகளைக் கணக்கிடுகிறார், அவற்றை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்துகிறார்:

1) "சதுரங்கள் வேர்களுக்கு சமம்," அதாவது αx 2 = bx.

2) "சதுரங்கள் எண்களுக்கு சமம்", அதாவது αx 2 = c.

3) "வேர்கள் எண்ணுக்கு சமம்," அதாவது αx = c.

4) "சதுரங்களும் எண்களும் வேர்களுக்குச் சமம்," அதாவது αx 2 + c = bx.

5) "சதுரங்களும் வேர்களும் எண்ணுக்கு சமம்", அதாவது αx 2 + bx = c.

6) "வேர்கள் மற்றும் எண்கள் சதுரங்களுக்கு சமம்," அதாவது bx + c = αx 2 .

ஐரோப்பாவில் அல்-குவாரிஸ்மியின் படி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள் முதன்முதலில் இத்தாலிய கணிதவியலாளர் லியோனார்டோ ஃபிபோனச்சியால் 1202 இல் எழுதப்பட்ட "புக் ஆஃப் அபாகஸ்" இல் அமைக்கப்பட்டன.

உள்ள அளவுருவுடன் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் பொதுவான பார்வை Vieta அதை கொண்டுள்ளது, ஆனால் Vieta நேர்மறையான வேர்களை மட்டுமே அங்கீகரித்துள்ளது. இத்தாலிய கணிதவியலாளர்கள் டார்டாக்லியா, கார்டானோ, பொம்பெல்லி ஆகியோர் 12 ஆம் நூற்றாண்டில் முதன்மையானவர்கள். நேர்மறை கூடுதலாக கணக்கில் எடுத்து, மற்றும் எதிர்மறை வேர்கள். 17 ஆம் நூற்றாண்டில் மட்டுமே. Girard, Descartes, Newton மற்றும் பிற விஞ்ஞானிகளின் படைப்புகளுக்கு நன்றி, இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முறை அதன் நவீன வடிவத்தை எடுத்தது.

வியட்டாவின் தேற்றம்

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள், குணகங்கள் மற்றும் அதன் வேர்களுக்கு இடையேயான உறவை வெளிப்படுத்தும் ஒரு தேற்றம், வியட்டாவின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது, 1591 இல் அவரால் முதன்முதலில் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டது: “b + d ஐ α கழித்தல் α ஆல் பெருக்கினால் 2 , bc க்கு சமம், பின்னர் α என்பது b மற்றும் d க்கு சமம்."

வியட்டாவைப் புரிந்து கொள்ள, α, எந்த உயிரெழுத்துக்களைப் போலவே, அறியப்படாத (எங்கள் x) ஐக் குறிக்கிறது, அதே நேரத்தில் b, d என்ற உயிரெழுத்துக்கள் தெரியாதவற்றிற்கான குணகங்களாகும். நவீன இயற்கணிதத்தின் மொழியில், மேலே உள்ள வியட்டா உருவாக்கம் என்பது:

இருந்தால்

(α + b)x - x 2 = αb,

அதாவது, x 2 - (α -b)x + αb =0,

பின்னர் x 1 = α, x 2 = b.

குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி எழுதப்பட்ட பொதுவான சூத்திரங்கள் மூலம் சமன்பாடுகளின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கிடையிலான உறவை வெளிப்படுத்துவதன் மூலம், சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளில் வியட்டா சீரான தன்மையை நிறுவியது. இருப்பினும், வியட்டின் குறியீட்டுவாதம் இன்னும் வெகு தொலைவில் உள்ளது நவீன தோற்றம். அவர் ஒப்புக்கொள்ளவில்லை எதிர்மறை எண்கள்எனவே, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​அனைத்து வேர்களும் நேர்மறையாக இருக்கும் போது மட்டுமே அவர் கருதினார்.

அடிப்படை கருத்துக்கள்

அளவுரு - ஒரு சுயாதீன மாறி, அதன் மதிப்பு ஒரு நிலையான அல்லது தன்னிச்சையான எண்ணாகக் கருதப்படுகிறது, அல்லது சிக்கலின் நிபந்தனையால் குறிப்பிடப்பட்ட இடைவெளியைச் சேர்ந்த எண்.

அளவுருவுடன் சமன்பாடு- கணிதம்சமன்பாடு, தோற்றம்மற்றும் தீர்வு ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அளவுருக்களின் மதிப்புகளைப் பொறுத்தது.

முடிவு செய்யுங்கள் அளவுருவுடன் சமன்பாடு என்பது ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் பொருள்இந்த சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யும் x இன் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும், மேலும்:

1. 1. சமன்பாட்டிற்கு எந்த அளவுருக்களின் மதிப்புகள் உள்ளன மற்றும் அவற்றில் எத்தனை உள்ளன என்பதை ஆராயுங்கள். வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்அளவுருக்கள்.
2. 2. வேர்களுக்கான அனைத்து வெளிப்பாடுகளையும் கண்டுபிடித்து, அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் அந்த அளவுரு மதிப்புகளைக் குறிக்கவும், இந்த வெளிப்பாடு உண்மையில் சமன்பாட்டின் மூலத்தை தீர்மானிக்கிறது.

α(x+k)= α +c என்ற சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள், இங்கு α, c, k, x ஆகியவை மாறி அளவுகளாகும்.

α, c, k, x மாறிகளின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் அமைப்புஇந்த சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் இரண்டும் உண்மையான மதிப்புகளை எடுக்கும் மாறி மதிப்புகளின் எந்த அமைப்பாகும்.

A என்பது α இன் அனைத்து ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும், K இன் அனைத்து ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பு, X, x இன் அனைத்து ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பு, C அனைத்து ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பு. A, K, C, X ஒவ்வொரு செட்களுக்கும் முறையே α, k, c என்ற ஒரு மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுத்து சரிசெய்து அவற்றை சமன்பாட்டில் மாற்றினால், நாம் x க்கு ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், அதாவது. தெரியாத ஒருவருடன் சமன்பாடு.

ஒரு சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது மாறிலிகளாகக் கருதப்படும் α, k, c ஆகிய மாறிகள் அளவுருக்கள் என்றும், சமன்பாடு அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

அளவுருக்கள் லத்தீன் எழுத்துக்களின் முதல் எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, மற்றும் தெரியாதவை x, y, z என்ற எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன.

ஒரே அளவுருக்கள் கொண்ட இரண்டு சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றனசமமானதாக இருந்தால்:

a) அதே அளவுரு மதிப்புகளுக்கு அவை அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்;

b) முதல் சமன்பாட்டிற்கான ஒவ்வொரு தீர்வும் இரண்டாவது மற்றும் நேர்மாறாக ஒரு தீர்வாகும்.

அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகளின் வகைகள்

அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள்: நேரியல்மற்றும் சதுரம்.

1) நேரியல் சமன்பாடு. பொதுவான பார்வை:

α x = b, இங்கு x தெரியவில்லை;α, b - அளவுருக்கள்.

இந்த சமன்பாட்டிற்கு, அளவுருவின் சிறப்பு அல்லது கட்டுப்பாட்டு மதிப்பு, தெரியாத குணகம் மறைந்துவிடும்.

ஒரு அளவுருவுடன் நேரியல் சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​அளவுரு அதன் சிறப்பு மதிப்புக்கு சமமாகவும் அதிலிருந்து வேறுபட்டதாகவும் இருக்கும்போது வழக்குகள் கருதப்படுகின்றன.

அளவுரு α இன் சிறப்பு மதிப்பு மதிப்புα = 0.

1. என்றால், மற்றும் ≠0, பின்னர் எந்த ஜோடி அளவுருக்களுக்கும்α மற்றும் b அது ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது x = .

2. என்றால், மற்றும் =0, பின்னர் சமன்பாடு வடிவம்:0 எடுக்கிறது x = b . இந்த வழக்கில் மதிப்புபி = 0 என்பது ஒரு சிறப்பு அளவுரு மதிப்புபி.

2.1 மணிக்கு பி ≠ 0 சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை.

2.2 மணிக்கு பி =0 சமன்பாடு படிவத்தை எடுக்கும்:0 x =0.

இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு உண்மையான எண்ணாகும்.

அளவுருவுடன் இருபடி சமன்பாடு.

பொதுவான பார்வை:

α x 2 + bx + c = 0

அளவுரு α ≠0, b மற்றும் c - தன்னிச்சையான எண்கள்

α என்றால் =1, பின்னர் சமன்பாடு குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகின்றன

வெளிப்பாடு D = b 2 - 4 α c ஒரு பாகுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

1. D> 0 எனில், சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

2. டி என்றால்< 0 — уравнение не имеет корней.

3. D = 0 எனில், சமன்பாடு இரண்டு சமமான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

அளவுருவுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்:

1. பகுப்பாய்வு - நேரடி தீர்வுக்கான ஒரு முறை, அளவுருக்கள் இல்லாமல் ஒரு சமன்பாட்டில் பதிலைக் கண்டறிவதற்கான நிலையான நடைமுறைகளை மீண்டும் செய்யவும்.
2. கிராஃபிக் - சிக்கலின் நிலைமைகளைப் பொறுத்து, ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் தொடர்புடைய இருபடி செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் நிலை கருதப்படுகிறது.

பகுப்பாய்வு முறை

தீர்வு அல்காரிதம்:

1. பகுப்பாய்வு முறையைப் பயன்படுத்தி அளவுருக்களுடன் சிக்கலைத் தீர்க்கத் தொடங்குவதற்கு முன், அளவுருவின் குறிப்பிட்ட எண் மதிப்பிற்கான நிலைமையை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, α =1 அளவுருவின் மதிப்பை எடுத்து கேள்விக்கு பதிலளிக்கவும்: இந்த பணிக்கு தேவையான அளவுரு α =1.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒப்பீட்டளவில் தீர்க்கவும்எக்ஸ் அளவுரு மீ கொண்ட நேரியல் சமன்பாடு:

சிக்கலின் பொருளின்படி (m-1)(x+3) = 0, அதாவது m= 1, x = -3.

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் (m-1)(x+3) ஆல் பெருக்கினால், சமன்பாடு கிடைக்கும்

நாம் பெறுகிறோம்

எனவே, m= 2.25 இல்.

m இன் மதிப்புகள் ஏதேனும் உள்ளதா என்பதை இப்போது நாம் சரிபார்க்க வேண்டும்

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட x இன் மதிப்பு -3.

இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​x என்பது m = -0.4 உடன் -3 க்கு சமம் என்பதைக் காண்கிறோம்.

பதில்: m=1, m =2.25 உடன்.

கிராஃபிக் முறை. தோற்ற வரலாறு

படிப்பு பொதுவான சார்புகள் 14 ஆம் நூற்றாண்டில் தொடங்கியது. இடைக்கால அறிவியல் அறிவியலாக இருந்தது. இந்த இயல்புடன், அளவு சார்ந்த சார்புகள் பற்றிய ஆய்வுக்கு இடமில்லை, அது பொருட்களின் குணங்கள் மற்றும் ஒன்றோடொன்று தொடர்புகள் பற்றியது. ஆனால் கல்வியாளர்களிடையே குணங்கள் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கும் என்று வாதிட்ட ஒரு பள்ளி எழுந்தது (ஆற்றில் விழுந்தவரின் ஆடை மழையில் சிக்கிய ஒருவரின் ஆடையை விட ஈரமானது)

பிரெஞ்சு விஞ்ஞானி நிகோலாய் ஓரெஸ்மே பிரிவுகளின் நீளத்துடன் தீவிரத்தை சித்தரிக்கத் தொடங்கினார். அவர் இந்த பகுதிகளை ஒரு குறிப்பிட்ட நேர் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக வைத்தபோது, ​​​​அவற்றின் முனைகள் ஒரு கோட்டை உருவாக்கியது, அதை அவர் "தீவிரக் கோடு" அல்லது "மேல் விளிம்பின் கோடு" என்று அழைத்தார் (தொடர்புடைய செயல்பாட்டு சார்பின் வரைபடம்). ” மற்றும் “உடல்” குணங்கள், அதாவது செயல்பாடுகள் , இரண்டு அல்லது மூன்று மாறிகளைப் பொறுத்து.

ஓரெஸ்மியின் முக்கியமான சாதனை அதன் விளைவாக வரைபடங்களை வகைப்படுத்துவதற்கான அவரது முயற்சியாகும். அவர் மூன்று வகையான குணங்களை அடையாளம் கண்டார்: சீரான (நிலையான தீவிரத்துடன்), சீரான-சீரற்ற (தீவிரத்தில் நிலையான மாற்றத்துடன்) மற்றும் சீரற்ற-சமமற்ற (மற்ற அனைத்தும்), அத்துடன் சிறப்பியல்பு பண்புகள்அத்தகைய குணங்களின் வரைபடங்கள்.

செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களைப் படிப்பதற்கான ஒரு கணித கருவியை உருவாக்க, ஒரு மாறியின் கருத்து தேவைப்பட்டது. இந்த கருத்தை பிரெஞ்சு தத்துவஞானி மற்றும் கணிதவியலாளர் ரெனே டெஸ்கார்ட்ஸ் (1596-1650) அறிவியலில் அறிமுகப்படுத்தினார். இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலின் ஒற்றுமை மற்றும் மாறிகளின் பங்கு பற்றிய கருத்துகளுக்கு டெஸ்கார்ட்ஸ் தான் ஒரு நிலையான அலகு பிரிவை அறிமுகப்படுத்தினார் மற்றும் அதனுடன் மற்ற பிரிவுகளின் உறவுகளை பரிசீலிக்கத் தொடங்கினார்.

இவ்வாறு, அவற்றின் இருப்பு முழு காலகட்டத்திலும் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் பல அடிப்படை மாற்றங்களைச் சந்தித்துள்ளன, அவை நாம் பழக்கமான வடிவத்திற்கு இட்டுச் சென்றன. செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களின் வளர்ச்சியில் ஒவ்வொரு நிலை அல்லது நிலையும் நவீன இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலின் வரலாற்றின் ஒருங்கிணைந்த பகுதியாகும்.

ஒரு சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையை அதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அளவுருவைப் பொறுத்து தீர்மானிக்கும் வரைகலை முறை பகுப்பாய்வு ஒன்றை விட மிகவும் வசதியானது.

வரைகலை முறை மூலம் அல்காரிதம் தீர்வு

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் - புள்ளிகளின் தொகுப்புabscissaசரியான வாத மதிப்புகள், ஏ ஆணையிடுகிறது- தொடர்புடைய மதிப்புகள்செயல்பாடுகள்.

அல்காரிதம் வரைகலை தீர்வுஅளவுருவுடன் சமன்பாடுகள்:

1. சமன்பாட்டின் வரையறையின் களத்தைக் கண்டறியவும்.
2. நாங்கள் α ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம் x இன் செயல்பாடாக.
3. ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம்α (x) இந்த சமன்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள x இன் மதிப்புகளுக்கு.
4. ஒரு கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டறிதல்α =с, செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன்

α(x) வரி α என்றால் =с வரைபடத்தை கடக்கிறதுα (x), பின்னர் வெட்டுப்புள்ளிகளின் அப்சிசாஸை நாம் தீர்மானிக்கிறோம். இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது போதுமானது c = α (x) x உடன் தொடர்புடையது.

1. பதிலை எழுதுங்கள்

மாடுலஸ் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

ஒரு அளவுருவைக் கொண்ட மாடுலஸ் மூலம் சமன்பாடுகளை வரைபடமாகத் தீர்க்கும்போது, ​​செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவது அவசியம். வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்சாத்தியமான அனைத்து நிகழ்வுகளையும் கருத்தில் கொள்ள அளவுரு.

எடுத்துக்காட்டாக, │х│= a,

பதில்: ஒரு என்றால் < 0, то нет корней, a > 0, பின்னர் x = a, x = - a, a = 0 எனில், x = 0.

சிக்கல் தீர்க்கும்.

சிக்கல் 1. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன?| | x | - 2 | = அ அளவுருவைப் பொறுத்துஒரு?

தீர்வு. ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் (x; y) y = | செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் | x | - 2 | மற்றும் y =அ . செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = | | x | - 2 | படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் y =α a = 0).

வரைபடத்திலிருந்து இதைக் காணலாம்:

a = 0 எனில், நேர்கோடு y = a ஆக்ஸ் அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் y = | செயல்பாட்டின் வரைபடம் உள்ளது | x | - 2 | இரண்டு பொதுவான புள்ளிகள்; இதன் பொருள் அசல் சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன (இந்த வழக்கில், வேர்களைக் காணலாம்: x 1,2 = + 2).
0 என்றால்< a < 2, то прямая y = α y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் உள்ளது | x | - 2 | நான்கு பொதுவான புள்ளிகள் மற்றும், எனவே, அசல் சமன்பாடு நான்கு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
என்றால்அ = 2, பின்னர் வரி y = 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் மூன்று பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர் அசல் சமன்பாடு மூன்று வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
என்றால் a > 2, பின் நேர்கோடு y = a அசல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது, இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.

பதில்: ஒரு என்றால் < 0, то корней нет;
a = 0, a > 2 எனில், இரண்டு வேர்கள் உள்ளன;
a = 2 என்றால், மூன்று வேர்கள் உள்ளன;
0 என்றால்< a < 2, то четыре корня.

சிக்கல் 2. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன?| x 2 - 2| x | - 3 | = அ அளவுருவைப் பொறுத்துஒரு?

தீர்வு. ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் (x; y) y = | செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் x 2 - 2| x | - 3 | மற்றும் y = a.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = | x 2 - 2| x | - 3 | படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. செயல்பாட்டின் வரைபடம் y =α எருதுக்கு இணையான அல்லது அதனுடன் இணைந்த ஒரு நேர்கோடு (எப்போது a = 0).

வரைபடத்திலிருந்து நீங்கள் பார்க்க முடியும்:

a = 0 எனில், நேர்கோடு y = a ஆக்ஸ் அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் y = | செயல்பாட்டின் வரைபடம் உள்ளது x2 - 2| x | - 3 | இரண்டு பொதுவான புள்ளிகள், அதே போல் நேர் கோடு y =அ y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் இருக்கும் x 2 - 2| x | - 3 | இரண்டு பொதுவான புள்ளிகள் a > 4. எனவே, a = 0 மற்றும் a > 4 அசல் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
0 என்றால்< அ< 3, то прямая y = a y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் உள்ளது x 2 - 2| x | - 3 | நான்கு பொதுவான புள்ளிகள், அதே போல் நேர் கோடு y=அ கட்டப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் நான்கு பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும் a = 4. எனவே, 0 இல்< a < 3, a = 4 அசல் சமன்பாடு நான்கு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
என்றால் a = 3, பின்னர் நேர் கோடு y = a ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை ஐந்து புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது; எனவே, சமன்பாடு ஐந்து வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
என்றால் 3< அ< 4, прямая y = α கட்டப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை ஆறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது; இதன் பொருள் இந்த அளவுரு மதிப்புகளுக்கு அசல் சமன்பாடு ஆறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
என்றால்அ < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை குறுக்கிடவில்லை x 2 - 2| x | - 3 |.

பதில்: ஒரு என்றால் < 0, то корней нет;
a = 0, a > 4 எனில், இரண்டு வேர்கள் உள்ளன;
0 என்றால்< a < 3, a = 4, பின்னர் நான்கு வேர்கள்;

ஒரு என்றால் = 3, பின்னர் ஐந்து வேர்கள்;
என்றால் 3< a < 4, то шесть корней.

சிக்கல் 3. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன?

அளவுருவைப் பொறுத்துஒரு?

தீர்வு. ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (x; y)

ஆனால் முதலில் அதை வடிவத்தில் வழங்குவோம்:

x = 1, y = 1 கோடுகள் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் அறிகுறிகளாகும். செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = | x | +அ y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்திலிருந்து பெறப்பட்டது x | Oy அச்சில் ஒரு அலகு மூலம் இடமாற்றம்.

செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டும்அ > - 1; இதன் பொருள் இந்த அளவுரு மதிப்புகளுக்கான சமன்பாடு (1) ஒரு தீர்வு உள்ளது.

போது a = - 1, a = - 2 வரைபடங்கள் இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன; இந்த அளவுரு மதிப்புகளுக்கு, சமன்பாடு (1) இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
மணிக்கு - 2< அ< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

பதில்: ஒரு என்றால் > - 1, பின்னர் ஒரு தீர்வு;
a = - 1 என்றால், a = - 2, பின்னர் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன;
என்றால் - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

கருத்து. சிக்கல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​எப்போது வழக்கில் சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும்அ = - 2, புள்ளி (- 1; - 1) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைச் சார்ந்தது அல்லஆனால் y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைச் சேர்ந்தது x | +அ.

சிக்கல் 4. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன?

x + 2 = a | x - 1 |

அளவுருவைப் பொறுத்துஒரு?

தீர்வு. x = 1 என்பது சமன்பாடு 3 = என்பதால், இந்த சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்அ எந்த அளவுரு மதிப்பிற்கும் 0 உண்மையாக இருக்க முடியாதுஅ . சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் | எனப் பிரிப்போம் x - 1 |(| x - 1 |0), பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் xOy செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம்

இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. செயல்பாட்டின் வரைபடம் y =அ ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையான அல்லது அதனுடன் இணைந்த ஒரு நேர்கோடு (என்றால் a = 0).

இந்த முறையின் திறன்களை முழுமையாக வெளிப்படுத்த, முக்கிய வகை சிக்கல்களை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

வரைகலை முறையைப் பயன்படுத்தி அளவுருக்களுடன் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது அறிவு மற்றும் திறன்களை சோதிப்பதற்கான மாதிரி பணிகள் (ஒருங்கிணைந்த விமானம்)

பணி 1.

என்ன மதிப்புகளில்அசமன்பாடு = இரண்டு வேர்கள் உள்ளதா?

தீர்வு.

சமமான அமைப்புக்கு செல்லலாம்:

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் (;) இந்த அமைப்பு ஒரு வளைவை வரையறுக்கிறது. இந்த பரவளைய வளைவின் அனைத்து புள்ளிகளும் (மற்றும் அவை மட்டுமே) அசல் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளன என்பது தெளிவாகிறது. எனவே, அளவுருவின் ஒவ்வொரு நிலையான மதிப்புக்கும் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை, இந்த அளவுரு மதிப்புடன் தொடர்புடைய கிடைமட்ட கோட்டுடன் வளைவின் வெட்டுப்புள்ளிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்.

பதில்:மணிக்கு.

பணி 2.

கணினிக்கான அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும் ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

தீர்வு.

இந்த வடிவத்தில் அசல் அமைப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்:

இந்த அமைப்பின் அனைத்து தீர்வுகளும் (படிவத்தின் ஜோடிகள்) குஞ்சு பொரிப்பதன் மூலம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள பகுதியை உருவாக்குகின்றன. கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பிற்கான தனித்துவமான தீர்வுக்கான தேவை பின்வருமாறு வரைகலை மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது: கிடைமட்ட கோடுகள் விளைந்த பகுதியுடன் ஒரே ஒரு பொதுவான புள்ளியை மட்டுமே கொண்டிருக்க வேண்டும். நேராக மட்டுமே பார்ப்பது எளிதுமற்றும் கூறப்பட்ட தேவையை பூர்த்தி செய்யுங்கள்.

இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட இரண்டு பணிகளும் முன்னர் கொடுக்கப்பட்டவற்றுடன் ஒப்பிடும்போது இன்னும் குறிப்பிட்ட பரிந்துரைகளை வழங்க அனுமதிக்கின்றன:

ஒரு மாறி மூலம் அளவுருவை வெளிப்படுத்த முயற்சிக்கவும், அதாவது படிவத்தின் சமத்துவங்களைப் பெறவும்

ஒரு விமானத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வரையவும்.

பணி 3.

என்ன மதிப்புகளில்ஏ சமன்பாட்டிற்கு சரியாக மூன்று வேர்கள் உள்ளதா?

தீர்வு.

எங்களிடம் உள்ளது

இந்த தொகுப்பின் வரைபடம் ஒரு "மூலை" மற்றும் ஒரு பரவளையத்தின் ஒன்றியமாகும். வெளிப்படையாக, ஒரு நேர் கோடு மட்டுமே மூன்று புள்ளிகளில் விளைவான தொழிற்சங்கத்தை வெட்டுகிறது.

கருத்து: அளவுரு பொதுவாக கருதப்படுகிறது நிலையான ஆனால் தெரியாத எண்ணாக. இதற்கிடையில், ஒரு முறையான பார்வையில், ஒரு அளவுரு என்பது ஒரு மாறி, மேலும் சிக்கலில் இருக்கும் மற்றவர்களுக்கு "சமமானது". படிவ அளவுருவின் இந்த பார்வையில், செயல்பாடுகள் ஒன்றுடன் அல்ல, ஆனால் இரண்டு மாறிகள் மூலம் வரையறுக்கப்படுகின்றன.

பணி 4.

அனைத்து அளவுரு மதிப்புகளையும் கண்டறியவும், இதற்கு சமன்பாடு ஒரு தீர்வு உள்ளது.

தீர்வு.

ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், பின்னத்தின் எண் பூஜ்ஜியமாகவும், வகுப்பு பூஜ்ஜியமற்றதாகவும் இருந்தால் மட்டுமே.

இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கண்டறிதல்:

பதில்: மற்றும்.

பணி 5.

எந்த அளவுரு மதிப்புகளில்,ஏ சமன்பாடு ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது.

தீர்வு.

அசல் சமன்பாட்டிற்கு சமமான அமைப்பை எழுதுவோம்

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம்

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கி, அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக நேர்கோடுகளை வரைவோம்ஏ .

கணினியின் முதல் இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகள் நிழலின் மூலம் காட்டப்படும் புள்ளிகளின் தொகுப்பை வரையறுக்கின்றன, மேலும் இந்த தொகுப்பில் ஹைப்பர்போலஸ் மற்றும் சேர்க்கப்படவில்லை.

பதில் : 2 < < или < или = .

பணி 6.

அனைத்து அளவுரு மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்ஏ , அதற்கான சமன்பாடு

சரியாக இரண்டு வெவ்வேறு தீர்வுகள் உள்ளன

தீர்வு.

இரண்டு அமைப்புகளின் தொகுப்பைக் கவனியுங்கள்

என்றால் , என்று.

என்றால் < , என்று.

இங்கிருந்து

அல்லது

பரபோலஸ் மற்றும் ஒரு நேர் கோடு இரண்டு பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன:ஏ (-2; - 2), IN(-1; -1), மற்றும், IN முதல் பரவளையத்தின் உச்சி,டி - இரண்டாவது மேல். எனவே, அசல் சமன்பாட்டின் வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

சரியாக இரண்டு வெவ்வேறு தீர்வுகள் இருக்க வேண்டும். இது அல்லது செய்யப்படுகிறது.

பதில்:அல்லது.

பணி 7.

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் அனைத்து எண்களின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும்

இரண்டு வெவ்வேறு வேர்கள் மட்டுமே உள்ளன.

தீர்வு.

இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்

சமன்பாட்டின் வேர்கள் அதை வழங்குகின்றன.

இந்த சமன்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம். இந்த வழக்கில், மாறிக்கு ஆர்டினேட் அச்சை ஒதுக்குவதன் மூலம் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவது வசதியானது. இங்கே நாம் செங்குத்து நேர்கோடுகளுடன் பதிலை "படிக்கிறோம்", இந்த சமன்பாடு = -1 அல்லது அல்லது இல் இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம்.

பதில்:மணிக்கு = -1 அல்லது அல்லது.

பணி 8.

சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு ஒரு இடைவெளியைக் கொண்டுள்ளது.

தீர்வு.

அசல் சமன்பாட்டிற்கு சமமான இரண்டு அமைப்புகளின் தொகுப்பை எழுதுவோம்:

அல்லது

முதல் முறைக்கு தீர்வு இல்லை என்பதால்ஏ பிரிவை சேர்க்க முடியாது, பின்னர் இரண்டாவது அமைப்பிற்கு தேவையான ஆய்வுகளை மேற்கொள்வோம்.

எங்களிடம் உள்ளது

குறிப்போம் . பின்னர் அமைப்பின் இரண்டாவது சமத்துவமின்மை வடிவம் பெறுகிறது< - மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள தொகுப்பை வரையறுக்கிறது.

பிறகு, இங்கிருந்து.

பதில் : .

பணி 9.

கணினியை திருப்திப்படுத்தும் தனிப்பட்ட எண் உள்ள அனைத்து எதிர்மறை எண்களையும் கண்டறியவும்

தீர்வு.

எங்களிடம் உள்ளது

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தின் முதல் சமன்பாடு செங்குத்து கோடுகளின் குடும்பத்தைக் குறிக்கிறது. நேராக கோடுகள் மற்றும் விமானங்களை நான்கு பகுதிகளாக பிரிக்கவும். அவற்றில் சில சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கான தீர்வுகள். ஒவ்வொரு பிராந்தியத்திலிருந்தும் ஒரு சோதனைப் புள்ளியை எடுப்பதன் மூலம் சரியாகத் தீர்மானிக்க முடியும். சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தும் பகுதி அதன் தீர்வாகும் (இந்த நுட்பம் ஒரு மாறியுடன் ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கும் போது இடைவெளிகளின் முறையுடன் தொடர்புடையது). நேர் கோடுகளை உருவாக்குதல்

எடுத்துக்காட்டாக, நாம் ஒரு புள்ளியை எடுத்து, சமத்துவமின்மையைத் திருப்திப்படுத்தும் புள்ளிகளின் ஆயத்தொகுப்புகளில் அதை மாற்றுகிறோம்.

எனவே, அசல் அமைப்புஅனைத்து புள்ளிகளையும் (அவை மட்டும்) கதிர்களின் மீது படுத்து, தடிமனான கோடுகளுடன் வரைபடத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்படுகின்றன (அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட பகுதியில் புள்ளிகளை உருவாக்குகிறோம்).

இப்போது நாம் சரிசெய்யும்போது தனித்துவமான ஒன்றைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அச்சில் வெட்டும் இணை கோடுகளை உருவாக்குகிறோம். மற்றும் கோட்டுடன் வெட்டும் ஒரு புள்ளி எங்கே இருக்கும் என்பதைக் கண்டறியவும்.

(ஏற்கனவே 2 புள்ளிகளுக்கு) இருந்தால், தீர்வின் தனித்தன்மையின் தேவை அடையப்படுகிறது என்பதை படத்தில் இருந்து காண்கிறோம்.

கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியின் ஒழுங்குமுறை எங்கே மற்றும்,

கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஒழுங்குமுறை எங்கே மற்றும்.

எனவே நாம் பெறுகிறோம்< .

பதில்: < .

பணி 10.

அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில் கணினி தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது?

தீர்வு.

கணினி சமத்துவமின்மையின் இடது புறத்தை காரணியாக்குவோம்

நாங்கள் நேர் கோடுகளை உருவாக்குகிறோம் மற்றும் ... அமைப்பின் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யும் விமானத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பை நிழலிடுவதன் மூலம் படத்தில் காட்டுகிறோம்.

பின்னர் ஹைப்பர்போலாவின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வளைவுகளின் அப்சிசாஸ்கள் அசல் அமைப்பின் தீர்வுகள்.எம் , பி , என் , கே - நோடல் புள்ளிகள். அவர்களின் அபிலாஷைகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

புள்ளிகளுக்கு பி , கே எங்களிடம் உள்ளது

பதிலை எழுதுவதற்கு இது உள்ளது: அல்லது.

பதில்:அல்லது.

பணி 11.

மாடுலஸில் உள்ள சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு இரண்டு () ஐ விட அதிகமாக இல்லாத அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்.

தீர்வு .

இந்த சமத்துவமின்மையை இந்த வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம். சமன்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் மற்றும் =.

"இடைவெளி முறை" பயன்படுத்தி, அசல் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு நிழல் பகுதிகளாக இருக்கும் என்பதை நாங்கள் நிறுவுகிறோம்.

அந்த. இப்போது, ​​சில நிலையான மதிப்பிற்கு, விளைந்த பகுதியுடன் குறுக்குவெட்டில் நேர் கோடு இருந்தால், அதன் அப்சிசாஸ் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் புள்ளிகளை மட்டுமே வழங்குகிறது. < 2, பின்னர் தேவையான அளவுரு மதிப்புகளில் ஒன்றாகும்.

எனவே நாம் அதை பார்க்கிறோம்.

பதில்: .

பணி 12.

அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளுக்கு ஏற்றத்தாழ்வுக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு நான்கு முழு எண்களுக்கு மேல் இல்லை?

தீர்வு.

இந்த சமத்துவமின்மையை வடிவமாக மாற்றுவோம். இந்த சமத்துவமின்மை இரண்டு அமைப்புகளின் கலவைக்கு சமம்

அல்லது

எங்கே நேர்கோடுகள் வரைவோம். குறிக்கப்பட்ட தொகுப்பிலிருந்து நான்கு புள்ளிகளுக்கு மேல் கோடுகளை வெட்டும் மதிப்பு விரும்பிய மதிப்பாக இருக்கும். எனவே அது ஒன்று அல்லது என்று பார்க்கிறோம்.

பதில்:அல்லது அல்லது.

பணி 13.

என்ன அளவுரு மதிப்புகள்ஏ ஒரு தீர்வு அமைப்பு உள்ளது

தீர்வு.

ஒரு இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்கள் மற்றும்.

பிறகு

நாங்கள் நேர் கோடுகளை உருவாக்குகிறோம் மற்றும் ...

"இடைவெளி" முறையைப் பயன்படுத்தி, கணினி சமத்துவமின்மைக்கு (ஷேடட் பகுதி) ஒரு தீர்வைக் காண்கிறோம்.

கணினியிலிருந்து மதிப்புகளைக் காண்கிறோம்

என்பதன் பொருள் மற்றும் அமைப்பிலிருந்து.

பதில்:

பணி 14.

அளவுரு மதிப்புகளைப் பொறுத்துஏ சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் > .

தீர்வு.

இந்த சமத்துவமின்மையை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம் மற்றும் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம், தொகுதிகளை விரிவுபடுத்தி, பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்:

படத்தில் இருந்து நேரடியாக நாம் பெறுகிறோம்:

தீர்வுகள் இல்லை;

மணிக்கு ;

மணிக்கு.

பதில்: தீர்வுகள் இல்லை;

மணிக்கு ;

மணிக்கு.

பணி 15.

ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்புக்கான அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்

ஒன்றில் மட்டும் திருப்தி அடைகிறது.

தீர்வு.

இந்த வடிவத்தில் இந்த அமைப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்:

இந்த அமைப்பால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியை உருவாக்குவோம்.

1), பரவளையத்தின் உச்சி.

2) - புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர் கோடு மற்றும்.

மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

= (பிரச்சனையின் நோக்கத்திற்கு ஏற்றதல்ல),

ஒழுங்குமுறையைக் கண்டறிதல்:

பதில்:,

பணி 16.

அனைத்து அளவுரு மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்ஏ, அதன் கீழ் சமத்துவமின்மை அமைப்பு

ஒரு xக்கு மட்டுமே திருப்தி அளிக்கிறது.

தீர்வு .

பரவளையங்களை உருவாக்கி, கடைசி அமைப்பின் தீர்வை நிழலிடுவதன் மூலம் காட்டுவோம்.

2) , .

அல்லது பிரச்சனையின் நிலை திருப்தி அடையும் என்பதை படம் காட்டுகிறது.

பதில்:அல்லது.

பணி 17.

எந்த மதிப்புகளுக்கு சமன்பாடு சரியாக மூன்று வேர்களைக் கொண்டுள்ளது?

தீர்வு.

இந்த சமன்பாடு தொகுப்பிற்கு சமம்

மக்கள்தொகை வரைபடம் என்பது பரவளைய மற்றும் கோண வரைபடங்களின் கலவையாகும்.

பதில்:மணிக்கு.

பணி 18.

எந்த மதிப்புகளுக்கு சமன்பாடு சரியாக மூன்று தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது?

தீர்வு.

இந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை மாற்றுவோம். தொடர்புடைய இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

இது மொத்தத்திற்கு சமம்

பரவளையங்களின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்:

படத்தில் இருந்து தேவையான தகவலைப் படிக்கிறோம்: இந்த சமன்பாட்டில் மூன்று தீர்வுகள் உள்ளன

பதில்:அல்லது

பணி 19.

அளவுருவைப் பொறுத்து, சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்கவும்

தீர்வு .

இந்த சமன்பாட்டை ஒரு இருபடியாகக் கருதுங்கள்.

,

.

நாம் மொத்தத்தைப் பெறுகிறோம்

பதில்:தீர்வுகள் இல்லை;

: ஒரு தீர்வு;

: இரண்டு தீர்வுகள்;

அல்லது: மூன்று தீர்வுகள்;

அல்லது: நான்கு தீர்வுகள்.

பணி 20.

கணினியில் எத்தனை தீர்வுகள் உள்ளன?

தீர்வு.

கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கை அமைப்பின் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் என்பது தெளிவாகிறது.

எங்களிடம் உள்ளது, .

இந்த சமன்பாட்டை ஒரு இருபடிச் சமன்பாடாகக் கருதி, நாம் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம்.

இப்போது ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தை அணுகுவது பணியை எளிதாக்குகிறது. சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் வெட்டுப்புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம்

பரவளையங்களின் முனைகள் மற்றும்.

பதில்:: நான்கு தீர்வுகள்;

: இரண்டு தீர்வுகள்;

: ஒரு தீர்வு;

: தீர்வுகள் இல்லை.

பணி 21.

சமன்பாடு இரண்டு தனித்துவமான வேர்களைக் கொண்ட அளவுருவின் அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளையும் கண்டறியவும். இந்த வேர்களை எழுதுங்கள்.

தீர்வு .

அடைப்புக்குறிக்குள் இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

படத்திலிருந்து தேவையான தகவல்களைப் படித்தோம். எனவே, இந்த சமன்பாடு (மற்றும்) மற்றும் (மற்றும்) இல் இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்: மணிக்கு (மற்றும்) மற்றும்

மணிக்கு (மற்றும்).

பணி 2 2 .

சமத்துவமின்மை அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

தீர்வு.

நிழல் பகுதியில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளும் அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வாகும். கட்டப்பட்ட பகுதியை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிப்போம்.

அப்படியானால், தீர்வுகள் இல்லை.

அப்படியானால், நிழலாடிய பகுதியின் புள்ளிகளின் அப்சிஸ்ஸா நேர்கோட்டின் புள்ளிகளின் அப்சிஸ்ஸாவை விட அதிகமாக இருக்கும், ஆனால் பரவளையத்தின் அப்சிஸ்ஸா (சமன்பாட்டின் பெரிய வேர்) விட குறைவாக இருக்கும்.

நேர்கோட்டு சமன்பாட்டின் மூலம் அதை வெளிப்படுத்துவோம்:

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பிறகு.

அப்படியானால், பிறகு.

பதில்: மற்றும் 1 தீர்வுகள் இல்லை;

மணிக்கு;

மணிக்கு.

பணி 23.

சமத்துவமின்மை அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு.

– பரவளையத்தின் மேல்.

பரவளையத்தின் மேல்.

பரவளையங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் அப்சிஸ்ஸாவைக் கண்டறியவும்:

பரவளையங்களின் சமன்பாடுகளில் நாம் அவற்றை வெளிப்படுத்துகிறோம்:

பதிவு செய்தல் பதில்:

மற்றும், பின்னர் தீர்வுகள் இல்லை;

என்றால், பின்னர்< ;

என்றால், பின்னர்.

பணி 24.

என்ன மதிப்புகள் மற்றும் சமன்பாடு தீர்வுகள் இல்லையா?

தீர்வு.

சமன்பாடு அமைப்புக்கு சமமானது

அமைப்பின் பல தீர்வுகளை உருவாக்குவோம்.

எது என்பதைக் கண்டுபிடித்து அதை விலக்குவோம்.

எனவே, தீர்வுகள் இல்லை;

தீர்வுகள் இல்லாத போது;

(குறிப்பு: மீதமுள்ளவர்களுக்குஏஒன்று அல்லது இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன).

பதில்: ; .

பணி 25.

அளவுருவின் உண்மையான மதிப்புகளுக்கு, நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் குறைந்தபட்சம் ஒன்று உள்ளது:

தீர்வு.

"இடைவெளி முறையை" பயன்படுத்தி வரைபடத்தில் சமத்துவமின்மையைத் தீர்த்து ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம். சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதற்காக வரைபடத்தின் எந்தப் பகுதி கட்டப்பட்ட பகுதியில் விழுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம், அதனுடன் தொடர்புடைய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்ஏ.

நாங்கள் நேர் கோடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குகிறோம்

அவை ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தை 4 பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன.

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி கடைசி சமத்துவமின்மையை வரைபடமாகத் தீர்ப்போம்.

ஷேடட் பகுதி அதன் தீர்வு. பரவளைய வரைபடத்தின் ஒரு பகுதி இந்தப் பகுதியில் விழுகிறது. இடைவெளியில்; (நிபந்தனை மூலம் அமைப்பின் சமத்துவமின்மை கண்டிப்பானது) கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும்.

பதில்:

பணி 26.

சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பில் சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு தீர்வு இல்லை, ஒவ்வொன்றிற்கும் அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

பதில்:அல்லது.

பணி 27.

அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளுக்கு சமன்பாடு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது?

தீர்வு.

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை காரணியாக்குவோம்.

இந்த சமன்பாடு அமைப்புக்கு சமம்:

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் மக்கள்தொகையின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்.

அல்லது

– கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி மற்றும். மக்கள்தொகை வரைபடம் என்பது நேர்கோடுகளின் ஒன்றியம்.

கிராஃப் புள்ளிகளை அப்சிசாஸுடன் "பஞ்ச் அவுட்" செய்யவும்.

இந்த சமன்பாட்டிற்கு மட்டுமே ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது என்பது வெளிப்படையானது.

பதில்:அல்லது.

பணி 28.

எந்த அளவுருவின் உண்மையான மதிப்புகளுக்கு ஏற்றத்தாழ்வு அமைப்பில் தீர்வுகள் இல்லை?

தீர்வு.

நாங்கள் நேர் கோடுகளை உருவாக்குகிறோம். (ஹைபர்போலா மற்றும் நேர்கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் abscissa) எப்போது என்பதை படத்தில் இருந்து தீர்மானிக்கிறோம், நேர்கோடுகள் நிழலாடிய பகுதியை வெட்டுவதில்லை.

பதில்:மணிக்கு.

பணி 29.

என்ன அளவுரு மதிப்புகள்ஏ அமைப்பு ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது.

தீர்வு.

இதற்கு இணையான அமைப்பிற்கு செல்லலாம்.

ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில், நாம் முறையே, புள்ளிகள் மற்றும் பரவளையங்களின் செங்குத்துகள் மற்றும் பரவளையங்களின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பரவளையங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் அப்சிசாஸைக் கணக்கிடுவோம்

நிழலாடிய பகுதி சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கான தீர்வாகும். நேரடி மற்றும்

பதில்: i இல்.

பணி 30.

சமத்துவமின்மையை தீர்க்க:

தீர்வு.

அளவுருவைப் பொறுத்து, மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

"இடைவெளி முறையை" பயன்படுத்தி சமத்துவமின்மையை தீர்ப்போம்.

பரவளையங்களை உருவாக்குவோம்

: .

பரவளையங்களின் வெட்டுப்புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளை கணக்கிடுவோம்:

1) என்றால், தீர்வுகள் இல்லை.

2) என்றால், சமன்பாட்டில் நாம் அதை வெளிப்படுத்துகிறோம்:

இதனால், அப்பகுதியில்ஐ எங்களிடம் உள்ளது.

அப்படியானால், பாருங்கள்:

a) பிராந்தியம் II .

மூலம் சமன்பாட்டில் வெளிப்படுத்துவோம்.

சிறிய வேர்

பெரிய வேர்.

எனவே, பகுதியில் II எங்களிடம் உள்ளது.

b) பகுதி III : .

பதில்: தீர்வுகள் இல்லாத போது;

மணிக்கு

மணிக்கு,.

இலக்கியம்:

கலிட்ஸ்கி எம்.எல்., கோல்ட்மேன் ஏ.எம்., ஸ்வாவிச் எல்.ஐ. 8 - 9 வகுப்புகளுக்கான அல்ஜீப்ரா சிக்கல்களின் தொகுப்பு: பயிற்சிபள்ளிகள் மற்றும் வகுப்புகளின் மாணவர்களுக்கு கணிதத்தின் மேம்பட்ட படிப்பு - 2வது பதிப்பு. – எம்.: கல்வி, 1994.

பி.ஐ. கோர்ன்ஷ்டீன், வி.பி. போலோன்ஸ்கி, எம்.எஸ். யாகீர். அளவுருக்கள் உள்ள சிக்கல்கள். 3வது பதிப்பு, விரிவாக்கப்பட்டது மற்றும் திருத்தப்பட்டது. – எம்.: இலெக்சா, கார்கோவ்: ஜிம்னாசியம், 2003.

Faddeev D.K இயற்கணிதம் 6 – 8. – M.: கல்வி, 1983 (b – ka கணித ஆசிரியர்).

A.H. ஷக்மீஸ்டர். அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள். திருத்தியவர் பி.ஜி.ஜிவ். எஸ் - பீட்டர்ஸ்பர்க். மாஸ்கோ. 2004.

வி.வி. அமெல்கின், வி.எல். ரப்ட்செவிச். மின்ஸ்க் "அசார்", 2002 அளவுருக்களில் சிக்கல்கள்.

A.H. ஷக்மீஸ்டர். ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் அளவுருக்கள் உள்ள சிக்கல்கள். மாஸ்கோ பல்கலைக்கழக பப்ளிஷிங் ஹவுஸ், Neva MTsNMO இல் CheRo.