சதுர மெட்ரிக்குகளின் வகைகள். சதுர அணி

வரையறை 1. மேட்ரிக்ஸ் ஏ அளவுமீ nஅழைக்கப்பட்டது செவ்வக அட்டவணை m வரிசைகள் மற்றும் n நெடுவரிசைகள், எண்கள் அல்லது பிற கணித வெளிப்பாடுகள் (மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகள் என அழைக்கப்படும்), i = 1,2,3,...,m, j = 1,2,3,...,n.

, அல்லது

வரையறை 2. இரண்டு மெட்ரிக்குகள்
மற்றும்
அதே அளவு அழைக்கப்படுகிறது சமமான, அவை உறுப்பு மூலம் உறுப்பு இணைந்தால், அதாவது. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

மெட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி, சில பொருளாதார சார்புகளைப் பதிவு செய்வது எளிது, எடுத்துக்காட்டாக, பொருளாதாரத்தின் சில துறைகளுக்கான வள விநியோக அட்டவணைகள்.

வரையறை 3. மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளின் எண்ணிக்கை அதன் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கையுடன் இணைந்தால், அதாவது. m = n, பின்னர் அணி அழைக்கப்படுகிறது சதுர வரிசைn, இல்லையெனில் செவ்வக.

வரையறை 4. மேட்ரிக்ஸ் A இலிருந்து அணி A m க்கு மாறுவது, இதில் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள் வரிசையை பராமரிக்கும் போது மாற்றப்படும். இடமாற்றம்மெட்ரிக்குகள்.

மெட்ரிக்குகளின் வகைகள்: சதுரம் (அளவு 33) -
,

செவ்வக (அளவு 25) -
,

மூலைவிட்டம் -
, ஒற்றை -
, பூஜ்யம் -
,

அணி-வரிசை -
, அணி-நெடுவரிசை -.

வரையறை 5. அதே குறியீடுகளுடன் வரிசை n இன் சதுர மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் கூறுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அதாவது. இவை உறுப்புகள்:
.

வரையறை 6. n வரிசையின் சதுர மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் அவற்றின் குறியீடுகளின் கூட்டுத்தொகை n + 1 க்கு சமமாக இருந்தால், அவை இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்தின் கூறுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அதாவது. இவை உறுப்புகள்: .

1.2 மெட்ரிக்குகளில் செயல்பாடுகள்.

1 0 . தொகை இரண்டு மெட்ரிக்குகள்
மற்றும்
அதே அளவிலான அணி C = (ij உடன்) என அழைக்கப்படுகிறது, இதன் கூறுகள் ij = a ij + b ij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1, 2,3,…,n).

மேட்ரிக்ஸ் கூட்டல் செயல்பாட்டின் பண்புகள்.

ஒரே அளவிலான A, B, C ஆகிய எந்த மெட்ரிக்குகளுக்கும், பின்வரும் சமன்பாடுகள் உள்ளன:

1) A + B = B + A (மாற்றம்),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (அசோசியேட்டிவிட்டி).

2 0 . வேலை மெட்ரிக்குகள்
ஒரு எண்ணுக்கு  மேட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது
அணி A, மற்றும் b ij =  போன்ற அதே அளவு (i = 1,2,3,...,m, j = 1,2,3,...,n).

ஒரு மேட்ரிக்ஸை எண்ணால் பெருக்கும் செயல்பாட்டின் பண்புகள்.

(A) = ()A (பெருக்கத்தின் தொடர்பு);

(A+B) = A+B (மேட்ரிக்ஸ் கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவல்);

(+)A = A+A (எண்களின் கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவல்).

வரையறை 7. மெட்ரிக்குகளின் நேரியல் கலவை
மற்றும்
அதே அளவு A+B வடிவத்தின் வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில்  மற்றும்  தன்னிச்சையான எண்கள்.

3 0 . தயாரிப்பு ஏ  மெட்ரிக்ஸில் A மற்றும் B, முறையே, mn மற்றும் nk பரிமாணங்கள், mk அளவு மேட்ரிக்ஸ் C என அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது ij உடன் உள்ள உறுப்பு i-வது வரிசையின் கூறுகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். அணி A மற்றும் அணி B இன் j-வது நெடுவரிசை, அதாவது. ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj உடன்.

அணி A இன் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கையானது அணி B இன் வரிசைகளின் எண்ணிக்கையுடன் இணைந்தால் மட்டுமே AB தயாரிப்பு இருக்கும்.

மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல் செயல்பாட்டின் பண்புகள்:

(AB)C = A(BC) (அசோசியேட்டிவிட்டி);

(A+B)C = AC+BC (மேட்ரிக்ஸ் கூட்டல் தொடர்பான விநியோகம்);

A(B+C) = AB+AC (மேட்ரிக்ஸ் கூட்டல் தொடர்பான விநியோகம்);

AB  BA (மாற்றம் அல்ல).

வரையறை 8. மெட்ரிக்குகள் A மற்றும் B, இதற்கு AB = BA ஆகியவை கம்யூட்டிங் அல்லது கம்யூட்டிங் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

எந்த வரிசையின் சதுர அணியையும் தொடர்புடைய அடையாள அணியால் பெருக்குவது அணியை மாற்றாது.

வரையறை 9. அடிப்படை மாற்றங்கள்பின்வரும் செயல்பாடுகள் மெட்ரிக்குகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன:

இரண்டு வரிசைகளை (நெடுவரிசைகள்) மாற்றவும்.

ஒரு வரிசையின் (நெடுவரிசை) ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் பெருக்குதல்.

ஒரு வரிசையின் (நெடுவரிசை) உறுப்புகளுடன் மற்றொரு வரிசையின் (நெடுவரிசை) தொடர்புடைய கூறுகளைச் சேர்த்தல்.

வரையறை 10. அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி அணி A இலிருந்து பெறப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ் B என்று அழைக்கப்படுகிறது இணையான(BA ஆல் குறிக்கப்படுகிறது).

எடுத்துக்காட்டு 1.1. matrices 2A–3B என்றால் நேரியல் கலவையைக் கண்டறியவும்

,
.

,
,

.

உதாரணமாக 1.2. மெட்ரிக்குகளின் பலனைக் கண்டறியவும்
, என்றால்

.

தீர்வு: முதல் மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை இரண்டாவது மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளின் எண்ணிக்கையுடன் ஒத்துப்போவதால், மெட்ரிக்ஸின் பலன் உள்ளது. இதன் விளைவாக, நாங்கள் ஒரு புதிய மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம்
, எங்கே

இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்
.

விரிவுரை 2. தீர்மானிப்பவர்கள். இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிசை தீர்மானிப்பவர்களின் கணக்கீடு. தீர்மானிப்பவர்களின் பண்புகள்n-வது வரிசை.

மேட்ரிக்ஸ் பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகிறது ( ஏ, IN, உடன்,...).

வரையறை 1. செவ்வக அட்டவணை காட்சி,

கொண்ட மீகோடுகள் மற்றும் nநெடுவரிசைகள் அழைக்கப்படுகிறது அணி.

மேட்ரிக்ஸ் உறுப்பு, i – வரிசை எண், j – நெடுவரிசை எண்.

மெட்ரிக்குகளின் வகைகள்:

முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள கூறுகள்:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. 2வது, 3வது மற்றும் nவது வரிசையை தீர்மானிப்பவர்கள்

இரண்டு சதுர மெட்ரிக்குகளைக் கொடுக்கலாம்:

வரையறை 1. இரண்டாவது வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் ஏ 1 ∆ ஆல் குறிக்கப்படும் மற்றும் அதற்கு சமமான எண் , எங்கே

உதாரணமாக. 2வது வரிசை தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடவும்:

வரையறை 2. சதுர மேட்ரிக்ஸின் 3வது வரிசையை தீர்மானிப்பவர் ஏ 2 படிவத்தின் எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது:

தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிட இது ஒரு வழியாகும்.

உதாரணமாக. கணக்கிடுங்கள்

வரையறை 3. ஒரு தீர்மானிப்பான் n-வரிசைகள் மற்றும் n-நெடுவரிசைகளைக் கொண்டிருந்தால், அது n-வது வரிசை தீர்மானிப்பான் எனப்படும்.

தீர்மானிப்பவர்களின் பண்புகள்:

இடமாற்றம் செய்யும்போது தீர்மானிப்பான் மாறாது (அதாவது, வரிசையை பராமரிக்கும் போது அதன் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள் மாற்றப்பட்டால்).

டிடர்மினண்டில் ஏதேனும் இரண்டு வரிசைகள் அல்லது இரண்டு நெடுவரிசைகளை மாற்றினால், தீர்மானிப்பான் குறியை மட்டுமே மாற்றும்.

எந்தவொரு வரிசையின் (நெடுவரிசையின்) பொதுவான காரணியை நிர்ணயிக்கும் குறிக்கு அப்பால் எடுக்கலாம்.

ஒரு தீர்மானியின் எந்த வரிசையின் (நெடுவரிசை) அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

எந்த இரண்டு வரிசைகளின் உறுப்புகளும் சமமாகவோ அல்லது விகிதாசாரமாகவோ இருந்தால் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமாகும்.

மற்றொரு வரிசையின் (நெடுவரிசை) தொடர்புடைய கூறுகள் ஒரு வரிசையின் (நெடுவரிசை), அதே எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால், தீர்மானிப்பான் மாறாது.

உதாரணமாக.

வரையறை 4.ஒரு நெடுவரிசை மற்றும் ஒரு வரிசையைக் கடப்பதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிலிருந்து பெறப்பட்ட தீர்மானிப்பான் அழைக்கப்படுகிறது சிறியதொடர்புடைய உறுப்பு. M ij உறுப்பு ஒரு ij .

வரையறை 5. இயற்கணித நிரப்புஉறுப்பு a ij வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது

§3. மெட்ரிக்குகள் மீதான செயல்கள்

நேரியல் செயல்பாடுகள்

1) மெட்ரிக்குகளைச் சேர்க்கும்போது, ​​அதே பெயரில் அவற்றின் கூறுகள் சேர்க்கப்படுகின்றன.

மெட்ரிக்ஸைக் கழிக்கும்போது, ​​அதே பெயரில் உள்ள அவற்றின் கூறுகள் கழிக்கப்படுகின்றன.

ஒரு மேட்ரிக்ஸை எண்ணால் பெருக்கும்போது, ​​மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் அந்த எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது:

3.2.மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல்.

வேலைமெட்ரிக்குகள் ஏஅணிக்கு INஒரு புதிய அணி உள்ளது, அதன் கூறுகள் அணியின் i-வது வரிசையின் தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் ஏமேட்ரிக்ஸின் j-வது நெடுவரிசையின் தொடர்புடைய உறுப்புகளுக்கு IN. மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பு ஏஅணிக்கு INமேட்ரிக்ஸ் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை இருந்தால் மட்டுமே கண்டுபிடிக்க முடியும் ஏமேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் INஇல்லையெனில், வேலை சாத்தியமற்றது.

கருத்து:

(பரிமாற்ற சொத்துக்கு கீழ்ப்படியவில்லை)

§ 4. தலைகீழ் அணி

தலைகீழ் அணி ஒரு சதுர அணிக்கு மட்டுமே உள்ளது, மேலும் அணி ஒருமை அல்லாததாக இருக்க வேண்டும்.

வரையறை 1. மேட்ரிக்ஸ் ஏஅழைக்கப்பட்டது சிதையாத, இந்த மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால்

வரையறை 2. ஏ-1 அழைக்கப்படுகிறது தலைகீழ் அணிகொடுக்கப்பட்ட ஒற்றை அல்லாத சதுர அணிக்கு ஏ, கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றால் இந்த மேட்ரிக்ஸைப் பெருக்கும்போது, ​​வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில், அடையாள அணி பெறப்படும்.

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிடுவதற்கான அல்காரிதம்

1 வழி (இயற்கணித சேர்த்தல்களைப் பயன்படுத்தி)

எடுத்துக்காட்டு 1:

இந்த தலைப்பில் ஒரு மேட்ரிக்ஸின் கருத்தையும், மெட்ரிக் வகைகளையும் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த தலைப்பில் நிறைய சொற்கள் இருப்பதால், நான் சேர்க்கிறேன் சுருக்கம்பொருள் வழிசெலுத்துவதை எளிதாக்குவதற்கு.

ஒரு அணி மற்றும் அதன் உறுப்பு வரையறை. குறிப்பு.

மேட்ரிக்ஸ்$m$ வரிசைகள் மற்றும் $n$ நெடுவரிசைகளின் அட்டவணை. ஒரு மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் முற்றிலும் மாறுபட்ட இயல்புடைய பொருள்களாக இருக்கலாம்: எண்கள், மாறிகள் அல்லது, எடுத்துக்காட்டாக, பிற அணிகள். எடுத்துக்காட்டாக, அணி $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ 3 வரிசைகள் மற்றும் 2 நெடுவரிசைகளைக் கொண்டுள்ளது; அதன் கூறுகள் முழு எண்கள். அணி $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ 2 வரிசைகள் மற்றும் 4 நெடுவரிசைகள் உள்ளன.

மெட்ரிக்குகளை எழுதுவதற்கான வெவ்வேறு வழிகள்: காட்டு\மறை

மேட்ரிக்ஸை வட்டமாக மட்டுமல்ல, சதுர அல்லது இரட்டை நேராக அடைப்புக்குறிகளிலும் எழுதலாம். அதாவது, கீழே உள்ள உள்ளீடுகள் ஒரே அணியைக் குறிக்கின்றன:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \ right \Vert $$

$m\times n$ என்ற தயாரிப்பு அழைக்கப்படுகிறது அணி அளவு. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு அணியில் 5 வரிசைகள் மற்றும் 3 நெடுவரிசைகள் இருந்தால், நாங்கள் $5\ மடங்கு 3$ அளவுள்ள மேட்ரிக்ஸைப் பற்றி பேசுகிறோம். அணி $\left (\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ அளவு $3 \ மடங்கு 2$.

பொதுவாக மெட்ரிக்குகள் குறிக்கப்படுகின்றன பெரிய எழுத்துக்களில்லத்தீன் எழுத்துக்கள்: $A$, $B$, $C$ மற்றும் பல. எடுத்துக்காட்டாக, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. வரி எண்ணுதல் மேலிருந்து கீழாக செல்கிறது; நெடுவரிசைகள் - இடமிருந்து வலமாக. எடுத்துக்காட்டாக, அணி $B$ இன் முதல் வரிசையில் 5 மற்றும் 3 உறுப்புகள் உள்ளன, இரண்டாவது நெடுவரிசையில் 3, -87, 0 கூறுகள் உள்ளன.

மெட்ரிக்ஸின் கூறுகள் பொதுவாக சிறிய எழுத்துக்களில் குறிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, $A$ மேட்ரிக்ஸின் உறுப்புகள் $a_(ij)$ ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன. இரட்டை குறியீட்டு $ij$ அணியில் உள்ள உறுப்பு நிலை பற்றிய தகவலைக் கொண்டுள்ளது. $i$ என்பது வரிசை எண், மற்றும் $j$ என்பது நெடுவரிசை எண், இதன் குறுக்குவெட்டில் $a_(ij)$ என்ற உறுப்பு உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 மேட்ரிக்ஸின் ஐந்தாவது நெடுவரிசை மற்றும் இரண்டாவது வரிசையின் குறுக்குவெட்டில் & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \ முடிவு(வரிசை) \வலது) $ உறுப்பு $a_(25)= $59:

அதே வழியில், முதல் வரிசை மற்றும் முதல் நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் $a_(11)=51$ என்ற உறுப்பு உள்ளது; மூன்றாவது வரிசை மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசையின் சந்திப்பில் - உறுப்பு $a_(32)=-15$ மற்றும் பல. $a_(32)$ உள்ளீடு "ஒரு மூன்று இரண்டு", ஆனால் "ஒரு முப்பத்திரண்டு" என்று படிக்கவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

$A$ என்ற மேட்ரிக்ஸைச் சுருக்க, அதன் அளவு $m\times n$ ஆகும், $A_(m\times n)$ என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. நீங்கள் இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாக எழுதலாம்:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

$(a_(ij))$ என்ற குறியீடானது $A$ அணியின் உறுப்புகளைக் குறிக்கிறது. அதன் முழு விரிவாக்கப்பட்ட வடிவத்தில், அணி $A_(m\times n)=(a_(ij))$ பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

இன்னொரு சொல்லை அறிமுகப்படுத்துவோம் - சம அளவுகள்.

ஒரே அளவிலான $A_(m\times n)=(a_(ij))$ மற்றும் $B_(m\times n)=(b_(ij))$ என்ற இரண்டு மெட்ரிக்குகள் அழைக்கப்படுகின்றன. சமமான, அவற்றின் தொடர்புடைய கூறுகள் சமமாக இருந்தால், அதாவது. $a_(ij)=b_(ij)$ அனைத்திற்கும் $i=\overline(1,m)$ மற்றும் $j=\overline(1,n)$.

நுழைவுக்கான விளக்கம் $i=\overline(1,m)$: show\hide

"$i=\overline(1,m)$" என்பது $i$ அளவுரு 1 முதல் m வரை மாறுபடும். எடுத்துக்காட்டாக, $i=\overline(1,5)$ என்ற நுழைவு $i$ அளவுரு 1, 2, 3, 4, 5 மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பதைக் குறிக்கிறது.

எனவே, மெட்ரிக்குகள் சமமாக இருக்க, இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்: அளவுகளின் தற்செயல் மற்றும் தொடர்புடைய உறுப்புகளின் சமத்துவம். எடுத்துக்காட்டாக, அணி $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ அணிக்கு சமமாக இல்லை $B=\left(\ start(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ ஏனெனில் அணி $A$ அளவு $3\ மடங்கு 2$ மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் $B$ $2\ மடங்கு $2 அளவு உள்ளது. மேலும், $A$ அணி $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end(array)\ right)$க்கு சமமாக இல்லை , $a_( 21)\neq c_(21)$ (அதாவது $0\neq 98$) என்பதால். ஆனால் அணி $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ க்கு நாம் பாதுகாப்பாக $A= என்று எழுதலாம். F$ ஏனெனில் $A$ மற்றும் $F$ அளவுகள் மற்றும் தொடர்புடைய உறுப்புகள் இரண்டும் ஒத்துப்போகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1

$A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & மேட்ரிக்ஸின் அளவைத் தீர்மானிக்கவும் -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \ முடிவு(வரிசை) \வலது)$. $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ ஆகிய உறுப்புகள் எதற்குச் சமம் என்பதைக் குறிக்கவும்.

இந்த மேட்ரிக்ஸில் 5 வரிசைகள் மற்றும் 3 நெடுவரிசைகள் உள்ளன, எனவே அதன் அளவு $5\ மடங்கு 3$ ஆகும். இந்த மேட்ரிக்ஸுக்கு நீங்கள் $A_(5\times 3)$ என்ற குறியீட்டையும் பயன்படுத்தலாம்.

உறுப்பு $a_(12)$ முதல் வரிசை மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் உள்ளது, எனவே $a_(12)=-2$. உறுப்பு $a_(33)$ மூன்றாவது வரிசை மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் உள்ளது, எனவே $a_(33)=23$. உறுப்பு $a_(43)$ நான்காவது வரிசை மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் உள்ளது, எனவே $a_(43)=-5$.

பதில்: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

அவற்றின் அளவைப் பொறுத்து மெட்ரிக்குகளின் வகைகள். முதன்மை மற்றும் இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டங்கள். மேட்ரிக்ஸ் ட்ரேஸ்.

ஒரு குறிப்பிட்ட அணி $A_(m\times n)$ கொடுக்கப்பட வேண்டும். $m=1$ எனில் (மேட்ரிக்ஸ் ஒரு வரிசையைக் கொண்டுள்ளது), பிறகு இந்த அணிஅழைக்கப்பட்டது அணி-வரிசை. $n=1$ (மேட்ரிக்ஸ் ஒரு நெடுவரிசையைக் கொண்டுள்ளது) எனில், அத்தகைய அணி அழைக்கப்படுகிறது அணி-நெடுவரிசை. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ என்பது ஒரு வரிசை அணி, மற்றும் $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ என்பது ஒரு நெடுவரிசை அணி.

அணி $A_(m\times n)$க்கு $m\neq n$ நிபந்தனை உண்மையாக இருந்தால் (அதாவது வரிசைகளின் எண்ணிக்கை நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இல்லை), பிறகு $A$ - செவ்வக அணி. எடுத்துக்காட்டாக, அணி $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ அளவு $2\times 4 $, அந்த. 2 வரிசைகள் மற்றும் 4 நெடுவரிசைகள் உள்ளன. வரிசைகளின் எண்ணிக்கை நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இல்லாததால், இந்த அணி செவ்வகமானது.

அணி $A_(m\times n)$ நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்தால் $m=n$ (அதாவது, வரிசைகளின் எண்ணிக்கை நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்), $A$ என்பது $ வரிசையின் சதுர அணி என்று கூறப்படுகிறது. n$. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ என்பது இரண்டாம் வரிசை சதுர அணி; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ என்பது மூன்றாம் வரிசை சதுர அணி. IN பொதுவான பார்வைசதுர அணி $A_(n\times n)$ ஐ பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

$a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ ஆகிய உறுப்புகள் ஆன் என்று கூறப்படுகிறது முக்கிய மூலைவிட்டம்மெட்ரிக்குகள் $A_(n\times n)$. இந்த கூறுகள் அழைக்கப்படுகின்றன முக்கிய மூலைவிட்ட கூறுகள்(அல்லது மூலைவிட்ட கூறுகள்). உறுப்புகள் $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ இயக்கத்தில் உள்ளன பக்க (சிறிய) மூலைவிட்டம்; அவர்கள் அழைக்கப்படுகிறார்கள் பக்க மூலைவிட்ட கூறுகள். எடுத்துக்காட்டாக, அணி $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( வரிசை) \வலது)$ எங்களிடம் உள்ளது:

$c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ ஆகிய உறுப்புகள் முக்கிய மூலைவிட்ட உறுப்புகள்; உறுப்புகள் $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ ஆகியவை பக்க மூலைவிட்ட உறுப்புகள்.

முக்கிய மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை அழைக்கப்படுகிறது அணியைத் தொடர்ந்துமற்றும் $\Tr A$ (அல்லது $\Sp A$) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

எடுத்துக்காட்டாக, அணி $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \இறுதி(வரிசை)\வலது)$ எங்களிடம் உள்ளது:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் கருத்து சதுரம் அல்லாத மெட்ரிக்குகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, அணி $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ முக்கிய மூலைவிட்ட உறுப்புகள் $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

மெட்ரிக்குகளின் வகைகள் அவற்றின் உறுப்புகளின் மதிப்புகளைப் பொறுத்து.

மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து உறுப்புகளும் $A_(m\times n)$ பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய அணி அழைக்கப்படுகிறது ஏதுமில்லைமற்றும் பொதுவாக $O$ என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end(array) \right)$ - பூஜ்ஜிய மெட்ரிக்குகள்.

அணி $A_(m\times n)$ பின்வரும் படிவத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும்:

பின்னர் இந்த அணி அழைக்கப்படுகிறது ட்ரேப்சாய்டல். இது பூஜ்ஜிய வரிசைகளைக் கொண்டிருக்காமல் இருக்கலாம், ஆனால் அவை இருந்தால், அவை மேட்ரிக்ஸின் கீழே அமைந்துள்ளன. மிகவும் பொதுவான வடிவத்தில், ஒரு ட்ரெப்சாய்டல் மேட்ரிக்ஸை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

மீண்டும், ட்ரெயிலிங் பூஜ்ய கோடுகள் தேவையில்லை. அந்த. முறையாக, ட்ரெப்சாய்டல் மேட்ரிக்ஸுக்கு பின்வரும் நிபந்தனைகளை நாம் வேறுபடுத்தி அறியலாம்:

1. முக்கிய மூலைவிட்டத்திற்கு கீழே உள்ள அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியமாகும்.
2. பிரதான மூலைவிட்டத்தில் $a_(11)$ முதல் $a_(rr)$ வரை உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. கடைசி $m-r$ வரிசைகளின் அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் அல்லது $m=r$ (அதாவது பூஜ்ஜிய வரிசைகள் எதுவும் இல்லை).

ட்ரெப்சாய்டல் மெட்ரிக்குகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

அடுத்த வரையறைக்கு செல்லலாம். அணி $A_(m\times n)$ எனப்படும் அடியெடுத்து வைத்தார், இது பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால்:

எடுத்துக்காட்டாக, படி மெட்ரிக்குகள் பின்வருமாறு:

ஒப்பிடுவதற்கு, அணி $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ என்பது echelon அல்ல, ஏனெனில் மூன்றாவது வரிசையில் இரண்டாவது வரிசையின் அதே பூஜ்ஜிய பகுதி உள்ளது. அதாவது, "கோடு குறைவாக இருந்தால், பூஜ்ஜிய பகுதி பெரியது" என்ற கொள்கை மீறப்படுகிறது. ஒரு ட்ரெப்சாய்டல் மேட்ரிக்ஸ் இருப்பதைச் சேர்க்கிறேன் சிறப்பு வழக்குபடி அணி.

அடுத்த வரையறைக்கு செல்லலாம். பிரதான மூலைவிட்டத்தின் கீழ் அமைந்துள்ள ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய அணி அழைக்கப்படுகிறது மேல் முக்கோண அணி. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \இறுதி(வரிசை) \வலது)$ என்பது மேல் முக்கோண அணி. மேல் முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் வரையறை முக்கிய மூலைவிட்டத்திற்கு மேலே அல்லது முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் அமைந்துள்ள உறுப்புகளின் மதிப்புகளைப் பற்றி எதுவும் கூறவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. அவை பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லை - அது ஒரு பொருட்டல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ என்பதும் மேல் முக்கோண மேட்ரிக்ஸ் ஆகும்.

பிரதான மூலைவிட்டத்திற்கு மேலே அமைந்துள்ள சதுர மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய அணி அழைக்கப்படுகிறது கீழ் முக்கோண அணி. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ முடிவு(வரிசை) \வலது)$ - கீழ் முக்கோண அணி. கீழ் முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் வரையறையானது முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் கீழ் அல்லது அதன் மீது அமைந்துள்ள உறுப்புகளின் மதிப்புகளைப் பற்றி எதுவும் கூறவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. அவை பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லை - அது ஒரு பொருட்டல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ மற்றும் $\left(\ ஆரம்பம் (வரிசை) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \ end(array) \right)$ ஆகியவையும் குறைந்த முக்கோண மெட்ரிக்குகளாகும்.

சதுர அணிஅழைக்கப்பட்டது மூலைவிட்டமான, முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத இந்த மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால். எடுத்துக்காட்டு: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ முடிவு(வரிசை)\வலது)$. முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள கூறுகள் எதுவும் இருக்கலாம் (பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் அல்லது இல்லை) - இது ஒரு பொருட்டல்ல.

மூலைவிட்ட அணி அழைக்கப்படுகிறது ஒற்றை, பிரதான மூலைவிட்டத்தில் அமைந்துள்ள இந்த மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் 1 க்கு சமமாக இருந்தால். எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ முடிவு(வரிசை)\வலது)$ - நான்காவது வரிசை அடையாள அணி; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ என்பது இரண்டாவது வரிசை அடையாள அணி.

மேட்ரிக்ஸ் என்பது கணிதத்தில் ஒரு சிறப்புப் பொருள். இது ஒரு செவ்வக அல்லது சதுர அட்டவணை வடிவத்தில் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது, இது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளால் ஆனது. கணிதத்தில் பல்வேறு வகையான மெட்ரிக்குகள் உள்ளன, அவை அளவு அல்லது உள்ளடக்கத்தில் வேறுபடுகின்றன. அதன் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்கள் ஆர்டர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் பதிவுகளை ஒழுங்கமைக்கவும், அவற்றின் முடிவுகளை வசதியாகத் தேடவும் இந்த பொருள்கள் கணிதத்தில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகள் கார்ல் காஸ், கேப்ரியல் க்ரேமர், மைனர்கள் மற்றும் இயற்கணித சேர்த்தல் மற்றும் பல முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகின்றன. மெட்ரிக்குகளுடன் பணிபுரியும் போது அடிப்படை திறன் குறைப்பு ஆகும் நிலையான பார்வை. இருப்பினும், முதலில், கணிதவியலாளர்களால் எந்த வகையான மெட்ரிக்குகள் வேறுபடுகின்றன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பூஜ்ய வகை

இந்த வகை மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியங்கள். இதற்கிடையில், அதன் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை முற்றிலும் வேறுபட்டது.

சதுர வகை

இந்த வகை மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகள் மற்றும் வரிசைகளின் எண்ணிக்கை ஒன்றுதான். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது ஒரு "சதுர" வடிவ அட்டவணை. அதன் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை (அல்லது வரிசைகள்) வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிறப்பு நிகழ்வுகளில் இரண்டாம்-வரிசை அணி (2x2 அணி) இருப்பது அடங்கும். நான்காவது வரிசை(4x4), பத்தாவது (10x10), பதினேழாவது (17x17) மற்றும் பல.

நெடுவரிசை திசையன்

இது மூன்று எண் மதிப்புகளை உள்ளடக்கிய ஒரே ஒரு நெடுவரிசையைக் கொண்ட எளிய வகை மெட்ரிக்குகளில் ஒன்றாகும். இது நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளில் பல இலவச சொற்களை (மாறிகளிலிருந்து சுயாதீனமான எண்கள்) பிரதிபலிக்கிறது.

முந்தையதைப் போலவே பார்க்கவும். மூன்று எண் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது, இதையொட்டி ஒரு வரியில் ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ளது.

மூலைவிட்ட வகை

மேட்ரிக்ஸின் மூலைவிட்ட வடிவத்தில் உள்ள எண் மதிப்புகள் முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் கூறுகளை மட்டுமே எடுத்துக்கொள்கின்றன (சிறப்பம்சமாக பச்சை) பிரதான மூலைவிட்டமானது மேல் வலது மூலையில் உள்ள உறுப்புடன் தொடங்கி மூன்றாவது வரிசையின் மூன்றாவது நெடுவரிசையில் உள்ள எண்ணுடன் முடிவடைகிறது. மீதமுள்ள கூறுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். மூலைவிட்ட வகை என்பது சில வரிசையின் சதுர அணி மட்டுமே. மூலைவிட்ட மெட்ரிக்குகளில், அளவுகோலை வேறுபடுத்தி அறியலாம். அதன் அனைத்து கூறுகளும் எடுக்கும் அதே மதிப்புகள்.

மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸின் துணை வகை. அதன் அனைத்து எண் மதிப்புகளும் அலகுகள். ஒற்றை வகை மேட்ரிக்ஸ் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, ஒருவர் அதன் அடிப்படை மாற்றங்களைச் செய்கிறார் அல்லது அசல் ஒன்றிற்கு நேர்மாறான அணியைக் காணலாம்.

நியமன வகை

மேட்ரிக்ஸின் நியமன வடிவம் முக்கிய ஒன்றாகக் கருதப்படுகிறது; அதைக் குறைப்பது பெரும்பாலும் வேலைக்கு அவசியம். நியதி மேட்ரிக்ஸில் உள்ள வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை மாறுபடும், மேலும் அது சதுர வகையைச் சேர்ந்ததாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. இது அடையாள அணிக்கு ஓரளவு ஒத்திருக்கிறது, ஆனால் அதன் விஷயத்தில் முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் அனைத்து கூறுகளும் ஒன்றுக்கு சமமான மதிப்பைப் பெறாது. இரண்டு அல்லது நான்கு முக்கிய மூலைவிட்ட அலகுகள் இருக்கலாம் (அவை அனைத்தும் மேட்ரிக்ஸின் நீளம் மற்றும் அகலத்தைப் பொறுத்தது). அல்லது அலகுகள் இல்லாமல் இருக்கலாம் (பின்னர் அது பூஜ்ஜியமாகக் கருதப்படுகிறது). நியமன வகையின் மீதமுள்ள கூறுகள், அதே போல் மூலைவிட்ட மற்றும் அலகு கூறுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

முக்கோண வகை

ஒன்று மிக முக்கியமான இனங்கள்மேட்ரிக்ஸ், அதன் தீர்மானிப்பாளரைத் தேடும்போது மற்றும் எளிய செயல்பாடுகளைச் செய்யும்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது. முக்கோண வகை மூலைவிட்ட வகையிலிருந்து வருகிறது, எனவே அணியும் சதுரமாக இருக்கும். முக்கோண வகை அணி மேல் முக்கோண மற்றும் கீழ் முக்கோணமாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.

மேல் முக்கோண மேட்ரிக்ஸில் (படம் 1), பிரதான மூலைவிட்டத்திற்கு மேலே உள்ள உறுப்புகள் மட்டுமே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான மதிப்பை எடுக்கும். மூலைவிட்டத்தின் கூறுகளும் அதன் கீழ் அமைந்துள்ள மேட்ரிக்ஸின் பகுதியும் எண் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன.

கீழ் முக்கோண மேட்ரிக்ஸில் (படம் 2), மாறாக, மேட்ரிக்ஸின் கீழ் பகுதியில் அமைந்துள்ள கூறுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிய வகை அவசியம், அதே போல் அவற்றின் அடிப்படை செயல்பாடுகளுக்கும் (முக்கோண வகையுடன்). படி மேட்ரிக்ஸ் என்று பெயரிடப்பட்டது, ஏனெனில் இது பூஜ்ஜியங்களின் சிறப்பியல்பு "படிகளை" கொண்டுள்ளது (படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது). படி வகைகளில், பூஜ்ஜியங்களின் மூலைவிட்டம் உருவாகிறது (முக்கியமானது அவசியமில்லை), மேலும் இந்த மூலைவிட்டத்தின் கீழ் உள்ள அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு முன்நிபந்தனை பின்வருமாறு: படி மேட்ரிக்ஸில் பூஜ்ஜிய வரிசை இருந்தால், அதற்குக் கீழே உள்ள மீதமுள்ள வரிசைகளும் எண் மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்காது.

எனவே நாங்கள் பார்த்தோம் மிக முக்கியமான வகைகள்அவர்களுடன் வேலை செய்ய தேவையான மெட்ரிக்குகள். இப்போது மேட்ரிக்ஸை தேவையான வடிவத்தில் மாற்றுவதில் உள்ள சிக்கலைப் பார்ப்போம்.

முக்கோண வடிவத்திற்கு குறைத்தல்

ஒரு அணியை முக்கோண வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவது எப்படி? பெரும்பாலும் பணிகளில் நீங்கள் ஒரு மேட்ரிக்ஸை முக்கோண வடிவமாக மாற்ற வேண்டும், அதன் தீர்மானிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும், இல்லையெனில் அது தீர்மானிப்பான் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த நடைமுறையைச் செய்யும்போது, ​​​​மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய மூலைவிட்டத்தை "பாதுகாப்பது" மிகவும் முக்கியமானது, ஏனெனில் ஒரு முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் அதன் முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் கூறுகளின் தயாரிப்புக்கு சமம். தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான மாற்று முறைகளையும் நினைவுபடுத்துகிறேன். சதுர வகையின் தீர்மானிப்பான் சிறப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது. உதாரணமாக, நீங்கள் முக்கோண முறையைப் பயன்படுத்தலாம். மற்ற மெட்ரிக்குகளுக்கு, வரிசை, நெடுவரிசை அல்லது அவற்றின் உறுப்புகள் மூலம் சிதைவு முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. நீங்கள் மைனர்கள் மற்றும் இயற்கணித அணி சேர்த்தல் முறையையும் பயன்படுத்தலாம்.

சில பணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு மேட்ரிக்ஸை முக்கோண வடிவத்திற்குக் குறைக்கும் செயல்முறையை விரிவாக ஆராய்வோம்.

உடற்பயிற்சி 1

முக்கோண வடிவத்திற்கு குறைக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி வழங்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம்.

எங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட அணி மூன்றாம் வரிசை சதுர அணி ஆகும். எனவே, அதை ஒரு முக்கோண வடிவமாக மாற்ற, முதல் நெடுவரிசையின் இரண்டு கூறுகளையும் இரண்டாவது ஒரு கூறுகளையும் பூஜ்ஜியமாக்க வேண்டும்.

முக்கோண வடிவத்திற்கு கொண்டு வர, மேட்ரிக்ஸின் கீழ் இடது மூலையில் இருந்து மாற்றத்தை தொடங்குகிறோம் - எண் 6. அதை பூஜ்ஜியமாக மாற்ற, முதல் வரிசையை மூன்றால் பெருக்கி கடைசி வரிசையில் இருந்து கழிக்கவும்.

முக்கியமான! மேல் வரிசை மாறாது, ஆனால் அசல் மேட்ரிக்ஸில் உள்ளதைப் போலவே இருக்கும். அசல் சரத்தை விட நான்கு மடங்கு பெரிய சரத்தை எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை. ஆனால் கூறுகளை பூஜ்ஜியமாக அமைக்க வேண்டிய சரங்களின் மதிப்புகள் தொடர்ந்து மாறிக்கொண்டே இருக்கின்றன.

கடைசி மதிப்பு மட்டுமே உள்ளது - இரண்டாவது நெடுவரிசையின் மூன்றாவது வரிசையின் உறுப்பு. இது எண் (-1). பூஜ்ஜியமாக மாற்ற, முதல் வரியில் இருந்து இரண்டாவது கழிக்கவும்.

சரிபார்ப்போம்:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

இதன் பொருள் பணிக்கான பதில் -22 ஆகும்.

பணி 2

முக்கோண வடிவத்திற்குக் குறைப்பதன் மூலம் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பைக் கண்டறிவது அவசியம்.

வழங்கப்பட்ட அணி சதுர வகையைச் சேர்ந்தது மற்றும் நான்காவது வரிசை மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். இதன் பொருள், முதல் நெடுவரிசையின் மூன்று கூறுகள், இரண்டாவது நெடுவரிசையின் இரண்டு கூறுகள் மற்றும் மூன்றில் ஒரு கூறு பூஜ்ஜியமாக மாற்றப்பட வேண்டும்.

கீழ் இடது மூலையில் அமைந்துள்ள உறுப்பு - எண் 4 இலிருந்து அதை மாற்றத் தொடங்குவோம். நாம் தலைகீழாக மாற்ற வேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட எண்பூஜ்ஜியத்திற்கு. இதைச் செய்வதற்கான எளிதான வழி, மேல் வரியை நான்கால் பெருக்கி, நான்காவது வரியிலிருந்து கழிப்பதாகும். மாற்றத்தின் முதல் கட்டத்தின் முடிவை எழுதுவோம்.

எனவே நான்காவது வரிசை கூறு பூஜ்ஜியமாக அமைக்கப்பட்டுள்ளது. மூன்றாவது வரியின் முதல் உறுப்புக்கு, எண் 3 க்கு செல்லலாம். இயக்கவும் ஒத்த செயல்பாடு. முதல் வரியை மூன்றால் பெருக்கி, மூன்றாவது வரியிலிருந்து கழித்து, முடிவை எழுதுகிறோம்.

இந்த சதுர மேட்ரிக்ஸின் முதல் நெடுவரிசையின் அனைத்து கூறுகளையும் பூஜ்ஜியமாக மாற்ற முடிந்தது, எண் 1 ஐத் தவிர - மாற்றம் தேவையில்லாத முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் ஒரு உறுப்பு. இப்போது விளைந்த பூஜ்ஜியங்களைப் பாதுகாப்பது முக்கியம், எனவே நெடுவரிசைகளுடன் அல்ல, வரிசைகளுடன் மாற்றங்களைச் செய்வோம். வழங்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் இரண்டாவது நெடுவரிசைக்கு செல்லலாம்.

கடைசி வரிசையின் இரண்டாவது நெடுவரிசையின் உறுப்புடன் - கீழே மீண்டும் தொடங்குவோம். இந்த எண் (-7). இருப்பினும், இந்த விஷயத்தில் எண் (-1) உடன் தொடங்குவது மிகவும் வசதியானது - மூன்றாவது வரிசையின் இரண்டாவது நெடுவரிசையின் உறுப்பு. அதை பூஜ்ஜியமாக மாற்ற, மூன்றாவது வரியிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியைக் கழிக்கவும். பின்னர் நாம் இரண்டாவது வரியை ஏழால் பெருக்கி நான்காவது வரியிலிருந்து கழிப்போம். இரண்டாவது நெடுவரிசையின் நான்காவது வரிசையில் அமைந்துள்ள உறுப்புக்குப் பதிலாக பூஜ்ஜியத்தைப் பெற்றோம். இப்போது மூன்றாவது நெடுவரிசைக்கு செல்லலாம்.

இந்த நெடுவரிசையில், ஒரு எண்ணை மட்டும் பூஜ்ஜியமாக மாற்ற வேண்டும் - 4. இதைச் செய்வது கடினம் அல்ல: கடைசி வரியில் மூன்றில் ஒரு பகுதியைச் சேர்த்து, நமக்குத் தேவையான பூஜ்ஜியத்தைப் பார்க்கிறோம்.

அனைத்து மாற்றங்களுக்கும் பிறகு, முன்மொழியப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை முக்கோண வடிவத்திற்கு கொண்டு வந்தோம். இப்போது, ​​அதன் தீர்மானிப்பைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் விளைவான கூறுகளை மட்டுமே பெருக்க வேண்டும். நாங்கள் பெறுகிறோம்: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.எனவே, தீர்வு 160 ஆகும்.

எனவே, இப்போது மேட்ரிக்ஸை முக்கோண வடிவத்திற்குக் குறைப்பதற்கான கேள்வி உங்களைத் தொந்தரவு செய்யாது.

படிநிலை வடிவத்திற்குக் குறைத்தல்

மெட்ரிக்குகளில் அடிப்படை செயல்பாடுகளுக்கு, படிநிலை வடிவம் முக்கோண வடிவத்தை விட "தேவையில்" குறைவாக உள்ளது. இது பெரும்பாலும் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிய (அதாவது, அதன் பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகளின் எண்ணிக்கை) அல்லது நேரியல் சார்ந்த மற்றும் சுயாதீன வரிசைகளைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது. இருப்பினும், படிநிலை வகை அணி மிகவும் உலகளாவியது, ஏனெனில் இது சதுர வகைக்கு மட்டுமல்ல, மற்ற அனைவருக்கும் ஏற்றது.

ஒரு மேட்ரிக்ஸைப் படிநிலையாகக் குறைக்க, முதலில் அதன் தீர்மானிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். மேலே உள்ள முறைகள் இதற்கு ஏற்றது. தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிப்பதன் நோக்கம், அதை ஒரு படி மேட்ரிக்ஸாக மாற்ற முடியுமா என்பதைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். தீர்மானிப்பான் அதிகமாக இருந்தால் அல்லது பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக, நீங்கள் அமைதியாக பணியைத் தொடங்கலாம். இது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸை எச்செலான் வடிவமாகக் குறைக்க முடியாது. இந்த வழக்கில், பதிவு அல்லது மேட்ரிக்ஸ் மாற்றங்களில் ஏதேனும் பிழைகள் உள்ளதா என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும். அத்தகைய தவறுகள் இல்லை என்றால், பணியை தீர்க்க முடியாது.

பல பணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு மேட்ரிக்ஸை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு எவ்வாறு குறைப்பது என்பதைப் பார்ப்போம்.

உடற்பயிற்சி 1.கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ் அட்டவணையின் தரவரிசையைக் கண்டறியவும்.

எங்களுக்கு முன் ஒரு மூன்றாம் வரிசை சதுர அணி (3x3) உள்ளது. தரவரிசையைக் கண்டுபிடிக்க, அதை படிப்படியாகக் குறைக்க வேண்டியது அவசியம் என்பதை நாங்கள் அறிவோம். எனவே, முதலில் நாம் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முக்கோண முறையைப் பயன்படுத்துவோம்: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

தீர்மானிப்பான் = 12. இது பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியது, அதாவது மேட்ரிக்ஸை ஒரு படிநிலை வடிவத்தில் குறைக்கலாம். அதை மாற்ற ஆரம்பிக்கலாம்.

மூன்றாவது வரியின் இடது நெடுவரிசையின் உறுப்புடன் தொடங்குவோம் - எண் 2. மேல் வரியை இரண்டால் பெருக்கி, மூன்றில் இருந்து கழிக்கவும். இந்த செயல்பாட்டிற்கு நன்றி, நமக்குத் தேவையான உறுப்பு மற்றும் எண் 4 - மூன்றாவது வரிசையின் இரண்டாவது நெடுவரிசையின் உறுப்பு - பூஜ்ஜியமாக மாறியது.

குறைப்பின் விளைவாக, ஒரு முக்கோண அணி உருவானதைக் காண்கிறோம். எங்கள் விஷயத்தில், மாற்றத்தைத் தொடர முடியாது, ஏனெனில் மீதமுள்ள கூறுகளை பூஜ்ஜியமாகக் குறைக்க முடியாது.

இதன் பொருள், இந்த மேட்ரிக்ஸில் (அல்லது அதன் தரவரிசை) எண் மதிப்புகளைக் கொண்ட வரிசைகளின் எண்ணிக்கை 3. பணிக்கான பதில்: 3.

பணி 2.இந்த மேட்ரிக்ஸின் நேரியல் சார்பற்ற வரிசைகளின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கவும்.

எந்த மாற்றத்தினாலும் பூஜ்ஜியமாக மாற்ற முடியாத சரங்களை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். உண்மையில், பூஜ்ஜியம் அல்லாத வரிசைகளின் எண்ணிக்கை அல்லது வழங்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, அதை எளிதாக்குவோம்.

சதுர வகையைச் சேராத ஒரு அணியைப் பார்க்கிறோம். இது 3x4 அளவைக் கொண்டுள்ளது. கீழ் இடது மூலையின் உறுப்புடன் குறைப்பைத் தொடங்குவோம் - எண் (-1).

அதன் மேலும் மாற்றங்கள் சாத்தியமற்றது. இதன் பொருள், அதில் உள்ள நேரியல் சார்பற்ற கோடுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் பணிக்கான பதில் 3 என்று முடிவு செய்கிறோம்.

இப்போது மேட்ரிக்ஸை ஒரு படிநிலையாகக் குறைப்பது உங்களால் முடியாத காரியம் அல்ல.

இந்தப் பணிகளின் உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி, ஒரு மேட்ரிக்ஸை முக்கோண வடிவமாகவும், படிநிலை வடிவமாகவும் குறைப்பதை ஆய்வு செய்தோம். மேட்ரிக்ஸ் அட்டவணைகளின் விரும்பிய மதிப்புகளை பூஜ்ஜியமாக மாற்ற, சில சந்தர்ப்பங்களில் நீங்கள் உங்கள் கற்பனையைப் பயன்படுத்த வேண்டும் மற்றும் அவற்றின் நெடுவரிசைகள் அல்லது வரிசைகளை சரியாக மாற்ற வேண்டும். கணிதம் மற்றும் மெட்ரிக்குகளுடன் பணிபுரிவதில் நல்ல அதிர்ஷ்டம்!

மேட்ரிக்ஸ் பரிமாணம் என்பது வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளைக் கொண்ட எண்களின் அட்டவணை. எண்கள் இந்த மேட்ரிக்ஸின் உறுப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அங்கு வரிசை எண், இந்த உறுப்பு நிற்கும் குறுக்குவெட்டில் உள்ள நெடுவரிசை எண். வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளைக் கொண்ட மேட்ரிக்ஸ் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: .

மெட்ரிக்குகளின் வகைகள்:

1) மணிக்கு – சதுரம் , மற்றும் அவர்கள் அழைக்கிறார்கள் அணி வரிசை ;

2) அனைத்து மூலைவிட்டமற்ற கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு சதுர அணி

– மூலைவிட்டமான ;

3) அனைத்து மூலைவிட்ட உறுப்புகளும் சமமாக இருக்கும் ஒரு மூலைவிட்ட அணி

அலகு - ஒற்றை மற்றும் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது;

4) மணிக்கு – செவ்வக ;

5) எப்போது - வரிசை அணி (வரிசை திசையன்);

6) எப்போது - அணி-நெடுவரிசை (திசையன்-நெடுவரிசை);

7) அனைவருக்கும் - பூஜ்ஜிய அணி.

ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய எண் பண்பு அதன் நிர்ணயம் என்பதை நினைவில் கொள்க. வது வரிசையின் மேட்ரிக்ஸுடன் தொடர்புடைய தீர்மானிப்பான் வது வரிசையையும் கொண்டுள்ளது.

1 வது வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் அழைக்கப்பட்ட எண்.

2வது வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் அழைக்கப்பட்ட எண் . (1.1)

3வது வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் அழைக்கப்பட்ட எண் . (1.2)

மேலும் விளக்கக்காட்சிக்குத் தேவையான வரையறைகளை முன்வைப்போம்.

மைனர் எம் ij உறுப்பு ஏ ij மெட்ரிக்குகள் n-வரிசை A என்பது மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் ( n-1)-வது வரிசையை நீக்குவதன் மூலம் அணி A இலிருந்து பெறப்பட்டது நான்-வது வரி மற்றும் ஜேவது நெடுவரிசை.

இயற்கணித நிரப்பு A ij உறுப்பு ஏ ij மெட்ரிக்குகள் n- வரிசை A என்பது இந்த உறுப்பின் சிறியது, குறியுடன் எடுக்கப்பட்டது.

அனைத்து ஆர்டர்களையும் தீர்மானிப்பதில் உள்ளார்ந்த தீர்மானிப்பவர்களின் அடிப்படை பண்புகளை உருவாக்கி அவற்றின் கணக்கீட்டை எளிதாக்குவோம்.

1. ஒரு அணி இடமாற்றம் செய்யப்படும்போது, ​​அதன் தீர்மானிப்பான் மாறாது.

2. ஒரு மேட்ரிக்ஸின் இரண்டு வரிசைகளை (நெடுவரிசைகள்) மறுசீரமைக்கும்போது, ​​அதன் தீர்மானிப்பான் அடையாளத்தை மாற்றுகிறது.

3. இரண்டு விகிதாசார (சம) வரிசைகள் (நெடுவரிசைகள்) கொண்ட ஒரு தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

4. தீர்மானிப்பாளரின் எந்த வரிசையின் (நெடுவரிசை) உறுப்புகளின் பொதுவான காரணியை தீர்மானிப்பவரின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்.

5. ஒரு தீர்மானியின் எந்த வரிசையின் (நெடுவரிசை) உறுப்புகள் இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கின்றன என்றால், தீர்மானிப்பான் இரண்டு தொடர்புடைய தீர்மானிகளின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைக்கப்படலாம்.

6. அதன் மற்ற வரிசையின் (நெடுவரிசை) தொடர்புடைய கூறுகள், முன்பு எந்த எண்ணால் பெருக்கப்பட்டாலும், அதன் எந்த வரிசையின் (நெடுவரிசைகள்) உறுப்புகளிலும் சேர்த்தால், தீர்மானிப்பான் மாறாது.

7. ஒரு மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் அதன் எந்த வரிசைகளின் (நெடுவரிசைகளின்) உறுப்புகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் இயற்கணித சேர்த்தல்கள்இந்த கூறுகள்.

3வது வரிசை தீர்மானியின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த சொத்தை விளக்குவோம். இந்த வழக்கில், சொத்து 7 என்று அர்த்தம் - 1 வது வரிசையின் உறுப்புகளாக தீர்மானிப்பவரின் சிதைவு. சிதைவுக்கு, பூஜ்ஜிய கூறுகள் இருக்கும் வரிசையை (நெடுவரிசை) தேர்ந்தெடுக்கவும், ஏனெனில் சிதைவின் தொடர்புடைய சொற்கள் பூஜ்ஜியமாக மாறும்.

ப்ராப்பர்டி 7 என்பது லாப்லேஸ் ஆல் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு தீர்மானிக்கும் சிதைவு தேற்றமாகும்.

8. எந்த ஒரு வரிசையின் (நெடுவரிசை) உறுப்புகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை அதன் மற்ற வரிசையின் (நெடுவரிசை) தொடர்புடைய உறுப்புகளின் இயற்கணித நிரப்புகளால் தீர்மானிக்கப்படும்.

கடைசி சொத்து பெரும்பாலும் தீர்மானிப்பவரின் போலி சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சுய பரிசோதனை கேள்விகள்.

1. மேட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது?

2. எந்த அணி சதுரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது? அதன் ஒழுங்கு என்பதன் பொருள் என்ன?

3. எந்த அணி மூலைவிட்டம், அடையாளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது?

4. எந்த அணி வரிசை அணி மற்றும் நெடுவரிசை அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது?

5. சதுர மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய எண் பண்பு என்ன?

6. எந்த எண் 1வது, 2வது மற்றும் 3வது வரிசையின் நிர்ணயம் என்று அழைக்கப்படுகிறது?

7. மேட்ரிக்ஸ் தனிமத்தின் சிறிய மற்றும் இயற்கணித நிரப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

8. தீர்மானிப்பவர்களின் முக்கிய பண்புகள் யாவை?

9. எந்தப் பொருளைப் பயன்படுத்தி, எந்த வரிசையையும் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிட முடியும்?

மெட்ரிக்குகள் மீதான செயல்கள்(திட்டம் 2)

மெட்ரிக்குகளின் தொகுப்பில் பல செயல்பாடுகள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன, அவற்றில் முக்கியமானது பின்வருபவை:

1) இடமாற்றம் - மேட்ரிக்ஸ் வரிசைகளை நெடுவரிசைகளுடனும், நெடுவரிசைகளை வரிசைகளுடனும் மாற்றுதல்;

2) ஒரு மேட்ரிக்ஸை எண்ணால் பெருக்குவது உறுப்பு மூலம் உறுப்பு செய்யப்படுகிறது, அதாவது , எங்கே , ;

3) மேட்ரிக்ஸ் கூட்டல், அதே பரிமாணத்தின் மெட்ரிக்குகளுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது;

4) இரண்டு மெட்ரிக்குகளின் பெருக்கல், பொருந்திய மெட்ரிக்குகளுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது.

இரண்டு மெட்ரிக்குகளின் கூட்டுத்தொகை (வேறுபாடு). இதன் விளைவாக வரும் அணி அழைக்கப்படுகிறது, அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் மேட்ரிக்ஸ்-கட்டளைகளின் தொடர்புடைய கூறுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு (வேறுபாடு) சமம்.

இரண்டு மெட்ரிக்குகள் அழைக்கப்படுகின்றன ஒப்புக்கொள்ளப்பட்ட படி , முதல் ஒன்றின் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை மற்றொன்றின் வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால். பொருந்திய இரண்டு மெட்ரிக்குகளின் தயாரிப்பு மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் அணி அழைக்கப்படுகிறது , என்ன , (1.4)

எங்கே , . மேட்ரிக்ஸின் வது வரிசையின் உறுப்பு மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் வது நெடுவரிசை அணிவரிசையின் வது வரிசையின் உறுப்புகள் மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் வது நெடுவரிசையின் கூறுகளின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

மெட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பு மாற்றத்தக்கது அல்ல, அதாவது ஏ . பி பி . A. ஒரு விதிவிலக்கு, எடுத்துக்காட்டாக, சதுர மெட்ரிக்குகள் மற்றும் அலகு A . ஈ = ஈ . ஏ.

எடுத்துக்காட்டு 1.1. Matrices A மற்றும் B ஐப் பெருக்கினால்:

.

தீர்வு.மெட்ரிக்ஸ் சீரானதாக இருப்பதால் (மேட்ரிக்ஸ் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை மேட்ரிக்ஸ் வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்), நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம் (1.4):

சுய பரிசோதனை கேள்விகள்.

1. மெட்ரிக்குகளில் என்ன செயல்கள் செய்யப்படுகின்றன?

2. இரண்டு மெட்ரிக்குகளின் கூட்டுத்தொகை (வேறுபாடு) என அழைக்கப்படுகிறது?

3. இரண்டு மெட்ரிக்குகளின் தயாரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

இருபடி நேரியல் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான க்ரேமர் முறை இயற்கணித சமன்பாடுகள் (திட்டம் 3)

தேவையான பல வரையறைகளை வழங்குவோம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது பன்முகத்தன்மை கொண்ட , அதன் இலவச விதிமுறைகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டிருந்தால், மற்றும் ஒரேவிதமான , அதன் அனைத்து இலவச விதிமுறைகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட எண்களின் தொகுப்பாகும், இது ஒரு கணினியில் மாறிகளுக்குப் பதிலாக, அதன் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளையும் ஒரு அடையாளமாக மாற்றுகிறது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது கூட்டு , அது குறைந்தது ஒரு தீர்வு இருந்தால், மற்றும் கூட்டு அல்லாத , அவளிடம் தீர்வுகள் இல்லை என்றால்.

சமன்பாடுகளின் ஒரே நேரத்தில் அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது உறுதி , அது ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு இருந்தால், மற்றும் நிச்சயமற்ற , ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தீர்வுகள் இருந்தால்.

பின்வரும் பொதுவான வடிவத்தைக் கொண்ட நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற இருபடி அமைப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

. (1.5) அமைப்பின் முக்கிய அணி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகள் என்பது தெரியாதவற்றுடன் தொடர்புடைய குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு அணி ஆகும்: .

அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் அழைக்கப்படுகிறது முக்கிய தீர்மானிப்பான் மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது.

வது நெடுவரிசையை இலவச சொற்களின் நெடுவரிசையுடன் மாற்றுவதன் மூலம் துணை தீர்மானிப்பான் முக்கிய தீர்மானிப்பாளரிடமிருந்து பெறப்படுகிறது.

தேற்றம் 1.1 (கிராமர் தேற்றம்).நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் இருபடி அமைப்பின் முக்கிய தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால், அந்த அமைப்பு சூத்திரங்களால் கணக்கிடப்படும் தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது:

முக்கிய நிர்ணயம் என்றால், கணினியில் எல்லையற்ற தீர்வுகள் (அனைத்து பூஜ்ஜிய துணை தீர்மானிப்பான்களுக்கும்) அல்லது தீர்வு இல்லை (குறைந்தபட்சம் துணை தீர்மானிப்பான்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால்)

மேலே உள்ள வரையறைகளின் வெளிச்சத்தில், க்ராமரின் தேற்றத்தை வேறுவிதமாக உருவாக்கலாம்: நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் முக்கிய நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அந்த அமைப்பு கூட்டாக வரையறுக்கப்பட்டு அதே நேரத்தில் ; முக்கிய தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அந்த அமைப்பு கூட்டாக காலவரையின்றி (அனைவருக்கும்) அல்லது சீரற்றதாக இருக்கும் (அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால்).

இதற்குப் பிறகு, விளைந்த தீர்வு சரிபார்க்கப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.2. Cramer இன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு.அமைப்பின் முக்கிய நிர்ணயம் என்பதால்

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, பின்னர் கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது. துணை தீர்மானிப்பவர்களைக் கணக்கிடுவோம்

கிராமரின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம் (1.6): , ,

சுய பரிசோதனை கேள்விகள்.

1. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது என்ன?

2. எந்த சமன்பாடு அமைப்பு இணக்கமானது அல்லது பொருந்தாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது?

3. எந்த சமன்பாடு அமைப்பு திட்டவட்டமான அல்லது காலவரையின்றி அழைக்கப்படுகிறது?

4. சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் எந்த அணி முதன்மையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது?

5. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் துணை தீர்மானிப்பவர்களை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

6. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான க்ராமரின் முறையின் சாராம்சம் என்ன?

7. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு அதன் முக்கிய நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் எப்படி இருக்கும்?

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் இருபடி அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது(திட்டம் 4)

பூஜ்ஜியமற்ற தீர்மானிப்பான் கொண்ட அணி அழைக்கப்படுகிறது சிதையாத ; பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான நிர்ணயம் உள்ளது - சீரழியும் .

அணி தலைகீழ் என்று அழைக்கப்படுகிறது கொடுக்கப்பட்ட சதுர அணிக்கு, அணியை அதன் தலைகீழாக வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் பெருக்கினால், அடையாள அணி பெறப்படுகிறது, அதாவது. (1.7)

இந்த வழக்கில் மெட்ரிக்குகளின் தயாரிப்பு மற்றும் பரிமாற்றம் என்பதை நினைவில் கொள்க.

தேற்றம் 1.2.கொடுக்கப்பட்ட சதுர அணிக்கு ஒரு தலைகீழ் அணி இருப்பதற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது.

சோதனையின் போது கணினியின் முக்கிய அணி ஒருமையாக மாறினால், அதற்கு தலைகீழ் எதுவும் இல்லை, மேலும் பரிசீலனையில் உள்ள முறையைப் பயன்படுத்த முடியாது.

பிரதான அணி ஒருமையற்றதாக இருந்தால், அதாவது, தீர்மானிப்பான் 0 என்றால், பின்வரும் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் அணியைக் காணலாம்.

1. அனைத்து மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளின் இயற்கணித நிரப்புகளைக் கணக்கிடவும்.

2. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இயற்கணித சேர்த்தல்களை மாற்றியமைக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸில் எழுதவும்.

3. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் அணியை உருவாக்கவும்: (1.8)

4. ஃபார்முலா (1.7) படி கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அணி A-1 இன் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும். இந்த காசோலையானது கணினி தீர்வின் இறுதி சரிபார்ப்பில் சேர்க்கப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு (1.5) ஒரு மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாடாகக் குறிப்பிடப்படலாம்: , அமைப்பின் முக்கிய அணி எங்கே, தெரியாதவர்களின் நெடுவரிசை மற்றும் இது இலவச சொற்களின் நெடுவரிசையாகும். இந்த சமன்பாட்டை இடதுபுறத்தில் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸால் பெருக்கலாம், நாம் பெறுகிறோம்:

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் வரையறையின்படி, சமன்பாடு வடிவத்தை எடுக்கும் அல்லது . (1.9)

எனவே, நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் இருபடி அமைப்பைத் தீர்க்க, இடதுபுறத்தில் உள்ள இலவச சொற்களின் நெடுவரிசையை கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் அணியால் பெருக்க வேண்டும். இதற்குப் பிறகு, நீங்கள் விளைந்த தீர்வை சரிபார்க்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.3.தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு.அமைப்பின் முக்கிய தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம்

. இதன் விளைவாக, அணி ஒருமை அல்லாதது மற்றும் அதன் தலைகீழ் அணி உள்ளது.

முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளின் இயற்கணித நிரப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இயற்கணிதக் கூட்டல்களை மேட்ரிக்ஸில் எழுதுவோம்

. அமைப்புக்கு தீர்வு காண சூத்திரங்கள் (1.8) மற்றும் (1.9) பயன்படுத்துவோம்

சுய பரிசோதனை கேள்விகள்.

1. எந்த அணி ஒருமை, சிதைவடையாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது?

2. கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றின் தலைகீழ் என்று என்ன அணி அழைக்கப்படுகிறது? அதன் இருப்பு நிலை என்ன?

3. கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றின் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறை என்ன?

4. எது அணி சமன்பாடுநேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சமமானதா?

5. கணினியின் முக்கிய அணிக்கு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புகளின் ஆய்வு(திட்டம் 5)

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் எந்தவொரு அமைப்பின் ஆய்வும் அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட அணியை காஸியன் முறையால் மாற்றுவதன் மூலம் தொடங்குகிறது. கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணம் சமமாக இருக்கட்டும்.

மேட்ரிக்ஸ் நீட்டிக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது அமைப்பின் அணி , அறியப்படாதவற்றின் குணகங்களுடன், அது இலவச சொற்களின் நெடுவரிசையைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, பரிமாணம்.

காஸியன் முறை அடிப்படையாக கொண்டது அடிப்படை மாற்றங்கள் , இதில் அடங்கும்:

- மேட்ரிக்ஸ் வரிசைகளின் மறுசீரமைப்பு;

- ஸ்டீயரிங் வீலிலிருந்து வேறுபட்ட எண்ணால் மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளை பெருக்குதல்;

- அணி வரிசைகளின் உறுப்பு வாரியான சேர்த்தல்;

- பூஜ்ஜிய கோட்டை நீக்குதல்;

- மேட்ரிக்ஸ் இடமாற்றம் (இந்த வழக்கில், உருமாற்றங்கள் நெடுவரிசைகளால் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன).

அடிப்படை மாற்றங்கள் அசல் அமைப்பை அதற்குச் சமமான அமைப்பிற்கு இட்டுச் செல்கின்றன. அமைப்புகள் சமமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன , அவர்கள் ஒரே மாதிரியான தீர்வுகளைக் கொண்டிருந்தால்.

மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை அழைக்கப்பட்டது மிக உயர்ந்த வரிசைபூஜ்ஜியமற்ற அதன் சிறார். அடிப்படை மாற்றங்கள் மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை மாற்றாது.

தீர்வுகள் கிடைக்குமா என்று கேட்டபோது ஒரே மாதிரியான அமைப்புநேரியல் சமன்பாடுகள் பின்வரும் தேற்றத்தால் பதிலளிக்கப்படுகின்றன.

தேற்றம் 1.3 (க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றம்).நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு அல்ல, அமைப்பின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அதன் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது.

காஸியன் முறைக்குப் பிறகு மேட்ரிக்ஸில் மீதமுள்ள வரிசைகளின் எண்ணிக்கையை (அதன்படி, கணினியில் மீதமுள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை) மூலம் குறிப்போம். இவை கோடுகள் மெட்ரிக்குகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன அடிப்படை .

என்றால், கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது (கூட்டு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது), அதன் அணி அடிப்படை மாற்றங்களால் முக்கோண வடிவத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய அமைப்பை க்ரேமர் முறை, தலைகீழ் அணி அல்லது உலகளாவிய காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும்.

(கணினியில் உள்ள மாறிகளின் எண்ணிக்கை சமன்பாடுகளை விட அதிகமாக இருந்தால்), அடிப்படை மாற்றங்களால் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய அமைப்பு பல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் கூட்டாக நிச்சயமற்றது. இந்த வழக்கில், கணினிக்கான தீர்வுகளைக் கண்டறிய, பல செயல்பாடுகளைச் செய்வது அவசியம்.

1. சமன்பாடுகளின் இடது பக்கங்களில் தெரியாத அமைப்புகளை விடுங்கள் ( அடிப்படை மாறிகள் ), தெரியாத மீதமுள்ளவை வலது பக்கங்களுக்கு நகர்த்தப்படுகின்றன ( இலவச மாறிகள் ) மாறிகளை அடிப்படை மற்றும் இலவசம் எனப் பிரித்த பிறகு, கணினி வடிவம் பெறுகிறது:

. (1.10)

2. அடிப்படை மாறிகளின் குணகங்களிலிருந்து, ஒரு மைனர் ( அடிப்படை சிறிய ), இது பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும்.

3. சிஸ்டத்தின் அடிப்படை மைனர் (1.10) பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், அடிப்படை மாறிகளில் ஒன்றை இலவசத்துடன் மாற்றவும்; பூஜ்ஜியம் அல்லாத மைனரின் விளைவாக வரும் அடிப்படையை சரிபார்க்கவும்.

4. க்ரேமர் முறையின் (1.6) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல், சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்களை அவற்றின் இலவச விதிமுறைகளாகக் கருதி, பொதுவான வடிவத்தில் இலவசங்களின் அடிப்படையில் அடிப்படை மாறிகளுக்கான வெளிப்பாட்டைக் கண்டறியவும். இதன் விளைவாக வரிசைப்படுத்தப்பட்ட கணினி மாறிகளின் தொகுப்பு அதன் பொதுவான முடிவு .

5. இலவச மாறிகளை (1.10) தன்னிச்சையான மதிப்புகளில் கொடுத்து, அடிப்படை மாறிகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள். அனைத்து மாறிகளின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்புகளின் தொகுப்பு அழைக்கப்படுகிறது தனிப்பட்ட தீர்வு இலவச மாறிகளின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய அமைப்புகள். கணினியில் எண்ணற்ற குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் உள்ளன.

6. பெறவும் அடிப்படை தீர்வு அமைப்பு - இலவச மாறிகளின் பூஜ்ஜிய மதிப்புகளுக்குப் பெறப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு.

கணினியின் மாறிகளின் அடிப்படைத் தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கை (1.10) உறுப்புகள் மூலம் உறுப்புகளின் சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க. ஒவ்வொரு அடிப்படை மாறிகளும் அதன் சொந்த அடிப்படைத் தீர்வைக் கொண்டிருப்பதால், கணினி அடிப்படை தீர்வுகளையும் கொண்டுள்ளது.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு அமைப்பு எப்போதும் சீரானது, ஏனெனில் அதில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று - பூஜ்ஜியம் (அற்பமான) தீர்வு உள்ளது. மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு பூஜ்ஜியம் அல்லாத தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்க, அதன் முக்கிய நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. இதன் பொருள் அதன் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை குறைவான எண்ணிக்கைதெரியவில்லை இந்த வழக்கில், பொதுவான மற்றும் குறிப்பிட்ட தீர்வுகளுக்கான ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் ஆய்வு ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் ஆய்வுக்கு ஒத்ததாக மேற்கொள்ளப்படுகிறது. ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு அமைப்புக்கான தீர்வுகள் ஒரு முக்கியமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன: நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கு இரண்டு வெவ்வேறு தீர்வுகள் தெரிந்தால், அவற்றின் நேரியல் கலவையும் இந்த அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வாகும். பின்வரும் தேற்றத்தின் செல்லுபடியை சரிபார்ப்பது எளிது.

தேற்றம் 1.4.ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு என்பது தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் சில குறிப்பிட்ட தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 1.4.

கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பை ஆராய்ந்து ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு.கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அதைப் பயன்படுத்துவோம் அடிப்படை மாற்றங்கள்:

. இருந்து மற்றும் , பின்னர் தேற்றம் 1.3 (க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி) மூலம் கொடுக்கப்பட்ட நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சீரானது. மாறிகளின் எண்ணிக்கை, அதாவது, கணினி நிச்சயமற்றது. கணினி மாறிகளின் அடிப்படை தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமம்

. இதன் விளைவாக, 6 செட் மாறிகள் அடிப்படையாக இருக்கலாம்: . அவற்றில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம். பின்னர் காஸ் முறையின் விளைவாக பெறப்பட்ட அமைப்பு வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படலாம்

. முக்கிய தீர்மானிப்பான் . Cramer இன் முறையைப் பயன்படுத்தி, கணினிக்கான பொதுவான தீர்வைத் தேடுகிறோம். துணை தகுதிகள்

சூத்திரங்களின்படி (1.6) எங்களிடம் உள்ளது

. இலவசவற்றின் அடிப்படையில் அடிப்படை மாறிகளின் இந்த வெளிப்பாடு அமைப்பின் பொதுவான தீர்வைக் குறிக்கிறது:

இலவச மாறிகளின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கு, பொதுவான தீர்விலிருந்து கணினியின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைப் பெறுகிறோம். உதாரணமாக, ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு இலவச மாறிகளின் மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது . நாம் அமைப்பின் அடிப்படை தீர்வைப் பெறுகிறோம்

சுய பரிசோதனை கேள்விகள்.

1. எந்த சமன்பாடு அமைப்பு ஒரே மாதிரியான அல்லது ஒத்திசைவற்றதாக அழைக்கப்படுகிறது?

2. எந்த அணி நீட்டிக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது?

3. மெட்ரிக்குகளின் அடிப்படை அடிப்படை மாற்றங்களை பட்டியலிடுங்கள். இந்த மாற்றங்களின் அடிப்படையில் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் முறை என்ன?

4. மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை என்ன? அதை எப்படி கணக்கிட முடியும்?

5. குரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றம் என்ன சொல்கிறது?

6. காஸ் முறை மூலம் அதன் தீர்வின் விளைவாக நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எந்த வடிவத்தில் குறைக்க முடியும்? இதன் பொருள் என்ன?

7. மேட்ரிக்ஸின் எந்த வரிசைகள் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

8. என்ன கணினி மாறிகள்அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, எது இலவசம்?

9. ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் என்ன தீர்வு தனியார் என்று அழைக்கப்படுகிறது?

10.அதன் தீர்வுகளில் எது அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது? நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பு எத்தனை அடிப்படை தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது?

11. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் எந்த தீர்வு பொது என்று அழைக்கப்படுகிறது? பற்றி ஒரு தேற்றத்தை உருவாக்கவும் பொதுவான முடிவுசமன்பாடுகளின் சீரற்ற அமைப்பு.

12. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பிற்கான தீர்வுகளின் முக்கிய பண்புகள் யாவை?