மேட்ரிக்ஸின் மதிப்பைக் கண்டறியவும். மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென் மதிப்புகள் மற்றும் ஈஜென்வெக்டர்கள்

www.siteகண்டுபிடிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. தளம் கணக்கீடு செய்கிறது. சில நொடிகளில் சர்வர் வெளியிடப்படும் சரியான தீர்வு. மேட்ரிக்ஸின் சிறப்பியல்பு சமன்பாடுதீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தி காணப்படும் இயற்கணித வெளிப்பாடாக இருக்கும் மெட்ரிக்குகள் மெட்ரிக்குகள், முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் மூலைவிட்ட உறுப்புகள் மற்றும் மாறியின் மதிப்புகளில் வேறுபாடுகள் இருக்கும். கணக்கிடும் போது ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடு, ஒவ்வொரு உறுப்பு மெட்ரிக்குகள்தொடர்புடைய பிற உறுப்புகளுடன் பெருக்கப்படும் மெட்ரிக்குகள். பயன்முறையில் கண்டறியவும் நிகழ்நிலைசதுரத்திற்கு மட்டுமே சாத்தியம் மெட்ரிக்குகள். செயல்பாட்டைக் கண்டறிதல் ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடுகணக்கீட்டிற்கு கீழே வருகிறது இயற்கணிதத் தொகைஉறுப்புகளின் தயாரிப்புகள் மெட்ரிக்குகள்தீர்மானிப்பதைக் கண்டறிவதன் விளைவாக மெட்ரிக்குகள், தீர்மானிக்கும் நோக்கத்திற்காக மட்டுமே ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடு. இந்த செயல்பாடு கோட்பாட்டில் ஒரு சிறப்பு இடத்தைப் பிடித்துள்ளது மெட்ரிக்குகள், வேர்களைப் பயன்படுத்தி ஈஜென் மதிப்புகள் மற்றும் திசையன்களைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது. கண்டுபிடிக்கும் பணி ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடுபெருக்கும் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது மெட்ரிக்குகள்தொடர்ந்து இந்த தயாரிப்புகளை சுருக்கவும் ஒரு குறிப்பிட்ட விதி. www.siteகண்டுபிடிக்கிறார் அணிக்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடுபயன்முறையில் கொடுக்கப்பட்ட பரிமாணம் நிகழ்நிலை. கணக்கீடு ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடுஅதன் பரிமாணத்தைப் பொறுத்தவரை, இது எண் அல்லது குறியீட்டு குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையைக் கண்டறிகிறது, இது தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதற்கான விதியின் படி காணப்படுகிறது. மெட்ரிக்குகள்- தொடர்புடைய உறுப்புகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக மெட்ரிக்குகள், தீர்மானிக்கும் நோக்கத்திற்காக மட்டுமே ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடு. ஒரு இருபடிக்கான மாறியைப் பொறுத்து பல்லுறுப்புக்கோவையைக் கண்டறிதல் மெட்ரிக்குகள், ஒரு வரையறையாக அணிக்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடு, கோட்பாட்டில் பொதுவானது மெட்ரிக்குகள். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களின் பொருள் ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடுஈஜென்வெக்டர்கள் மற்றும் ஈஜென் மதிப்புகளை தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது மெட்ரிக்குகள். மேலும், தீர்மானிப்பவராக இருந்தால் மெட்ரிக்குகள்பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் மேட்ரிக்ஸின் சிறப்பியல்பு சமன்பாடுதலைகீழ் போல் இல்லாமல் இன்னும் இருக்கும் மெட்ரிக்குகள். கணக்கிடும் பொருட்டு அணிக்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடுஅல்லது ஒரே நேரத்தில் பலவற்றைக் கண்டறியவும் matrices பண்பு சமன்பாடுகள், நீங்கள் நிறைய நேரத்தையும் முயற்சியையும் செலவிட வேண்டும், அதே நேரத்தில் எங்கள் சேவையகம் சில நொடிகளில் கண்டுபிடிக்கும் ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடு. இந்த வழக்கில், கண்டுபிடிப்பதற்கான பதில் ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடுகண்டுபிடிக்கும் போது எண்கள் இருந்தாலும் சரி மற்றும் போதுமான துல்லியத்துடன் இருக்கும் ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடுபகுத்தறிவற்றதாக இருக்கும். தளத்தில் www.siteஉறுப்புகளில் எழுத்து உள்ளீடுகள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன மெட்ரிக்குகள், அது ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடுகணக்கிடும் போது பொதுவான குறியீட்டு வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம் ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸின் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு. கண்டுபிடிக்கும் சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது பெறப்பட்ட பதிலைச் சரிபார்ப்பது பயனுள்ளது ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடுதளத்தைப் பயன்படுத்தி www.site. பல்லுறுப்புக்கோவையைக் கணக்கிடும் செயல்பாட்டைச் செய்யும்போது - மேட்ரிக்ஸின் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு, இந்த சிக்கலை தீர்க்கும் போது நீங்கள் கவனமாகவும் அதிக கவனம் செலுத்தவும் வேண்டும். இதையொட்டி, தலைப்பில் உங்கள் முடிவைச் சரிபார்க்க எங்கள் தளம் உதவும் ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸின் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு. தீர்க்கப்பட்ட சிக்கல்களை நீண்ட நேரம் சரிபார்க்க உங்களுக்கு நேரம் இல்லையென்றால், பின்னர் www.siteநிச்சயமாக இருக்கும் வசதியான கருவிகண்டுபிடிக்கும் போது மற்றும் கணக்கிடும் போது சரிபார்க்க ஆன்லைன் மேட்ரிக்ஸிற்கான சிறப்பியல்பு சமன்பாடு.

ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டர் என்பது, கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸால் பெருக்கப்படும்போது, ​​ஒரு கோலினியர் வெக்டரில் விளைகிறது. எளிய வார்த்தைகளில், ஒரு மேட்ரிக்ஸை ஈஜென்வெக்டரால் பெருக்கும்போது, ​​பிந்தையது அப்படியே இருக்கும், ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது.

வரையறை

ஒரு ஈஜென்வெக்டர் என்பது பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் V ஆகும், இது ஒரு சதுர அணி M ஆல் பெருக்கப்படும் போது, ​​சில எண் λ ஆல் அதிகரிக்கிறது. இயற்கணிதக் குறியீட்டில் இது போல் தெரிகிறது:

M × V = λ × V,

இதில் λ என்பது அணி M இன் ஈஜென் மதிப்பு.

ஒரு எண் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். பதிவு செய்வதற்கு எளிதாக, அணியில் உள்ள எண்கள் அரைப்புள்ளியால் பிரிக்கப்படும். எங்களுக்கு ஒரு மேட்ரிக்ஸ் இருக்கட்டும்:

• எம் = 0; 4;
• 6; 10.

அதை ஒரு நெடுவரிசை திசையன் மூலம் பெருக்குவோம்:

• V = -2;

ஒரு அணியை ஒரு நெடுவரிசை திசையன் மூலம் பெருக்கும்போது, ​​​​நாம் ஒரு நிரல் திசையனையும் பெறுகிறோம். கடுமையான கணித மொழியில், 2 × 2 அணியை ஒரு நெடுவரிசை திசையன் மூலம் பெருக்குவதற்கான சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 என்பது முதல் வரிசை மற்றும் முதல் நெடுவரிசையில் அமைந்துள்ள அணி M இன் உறுப்பு என்றும், M22 என்பது இரண்டாவது வரிசை மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசையில் அமைந்துள்ள உறுப்பு என்றும் பொருள்படும். எங்கள் அணிக்கு, இந்த உறுப்புகள் M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. ஒரு நெடுவரிசை வெக்டருக்கு, இந்த மதிப்புகள் V11 = –2, V21 = 1. இந்த சூத்திரத்தின்படி, ஒரு திசையன் மூலம் சதுர மேட்ரிக்ஸின் உற்பத்தியின் பின்வரும் முடிவைப் பெறுகிறோம்:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

வசதிக்காக, நெடுவரிசை வெக்டரை ஒரு வரிசையில் எழுதலாம். எனவே, சதுர அணியை திசையன் (-2; 1) மூலம் பெருக்கினோம், இதன் விளைவாக திசையன் (4; -2) ஆனது. வெளிப்படையாக, இது λ = -2 ஆல் பெருக்கப்படும் அதே திசையன் ஆகும். இந்த வழக்கில் லாம்ப்டா என்பது மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென் மதிப்பைக் குறிக்கிறது.

மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டர் என்பது ஒரு கோலினியர் வெக்டார், அதாவது மேட்ரிக்ஸால் பெருக்கப்படும்போது விண்வெளியில் அதன் நிலையை மாற்றாத ஒரு பொருள். திசையன் இயற்கணிதத்தில் கோலினரிட்டி என்ற கருத்து வடிவவியலில் இணையான சொல்லைப் போன்றது. ஒரு வடிவியல் விளக்கத்தில், கோலினியர் திசையன்கள் வெவ்வேறு நீளங்களின் இணை இயக்கப்பட்ட பிரிவுகளாகும். யூக்ளிட் காலத்திலிருந்தே, ஒரு வரிக்கு இணையாக எண்ணற்ற கோடுகள் இருப்பதை நாம் அறிவோம், எனவே ஒவ்வொரு மேட்ரிக்ஸிலும் எண்ணற்ற ஈஜென்வெக்டர்கள் இருப்பதாகக் கருதுவது தர்க்கரீதியானது.

முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து ஈஜென்வெக்டர்கள் (-8; 4), மற்றும் (16; -8), மற்றும் (32, -16) ஆக இருக்கலாம் என்பது தெளிவாகிறது. இவை அனைத்தும் ஈஜென் மதிப்பு λ = -2 உடன் தொடர்புடைய கோலினியர் வெக்டர்கள். இந்த வெக்டார்களால் அசல் மேட்ரிக்ஸைப் பெருக்கும்போது, ​​அசல் அணியிலிருந்து 2 மடங்கு வேறுபடும் ஒரு திசையனை இன்னும் முடிப்போம். அதனால்தான், ஈஜென்வெக்டரைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, ​​நேரியல் சார்பற்ற திசையன் பொருள்களை மட்டுமே கண்டுபிடிப்பது அவசியம். பெரும்பாலும், ஒரு n × n அணிக்கு, ஈஜென்வெக்டர்களின் n எண்கள் உள்ளன. எங்கள் கால்குலேட்டர் இரண்டாம் வரிசை சதுர மெட்ரிக்குகளின் பகுப்பாய்விற்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே முடிவுகள் எப்போதும் இரண்டு ஈஜென்வெக்டர்களைக் கண்டறியும், அவை ஒத்துப்போகும் நிகழ்வுகளைத் தவிர.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், அசல் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டரை நாங்கள் முன்கூட்டியே அறிந்தோம் மற்றும் லாம்ப்டா எண்ணை தெளிவாக தீர்மானித்தோம். இருப்பினும், நடைமுறையில், எல்லாமே நேர்மாறாக நடக்கும்: ஈஜென் மதிப்புகள் முதலில் காணப்படுகின்றன, பின்னர் மட்டுமே ஈஜென்வெக்டர்கள்.

தீர்வு அல்காரிதம்

அசல் மேட்ரிக்ஸ் M ஐ மீண்டும் பார்க்கலாம் மற்றும் அதன் ஈஜென்வெக்டர்கள் இரண்டையும் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். எனவே மேட்ரிக்ஸ் இதுபோல் தெரிகிறது:

• எம் = 0; 4;
• 6; 10.

முதலில் நாம் eigenvalue ஐ தீர்மானிக்க வேண்டும், இதற்கு பின்வரும் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிட வேண்டும்:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 - λ).

இந்த அணிமுக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள உறுப்புகளிலிருந்து அறியப்படாத λ ஐக் கழிப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. நிலையான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிப்பான் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

எங்கள் திசையன் பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும் என்பதால், அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை நேரியல் சார்ந்ததாக ஏற்றுக்கொள்கிறோம் மற்றும் எங்கள் தீர்மானிக்கும் detA ஐ பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து மேட்ரிக்ஸின் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டைப் பெறுவோம்:

λ 2 - 10λ - 24 = 0

இது நிலையானது இருபடி சமன்பாடு, இது பாகுபாடு மூலம் தீர்க்கப்பட வேண்டும்.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

பாகுபாட்டின் வேர் sqrt(D) = 14, எனவே λ1 = -2, λ2 = 12. இப்போது ஒவ்வொரு லாம்ப்டா மதிப்புக்கும் நாம் ஈஜென்வெக்டரைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். λ = -2 க்கான கணினி குணகங்களை வெளிப்படுத்துவோம்.

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

இந்த சூத்திரத்தில், E என்பது அடையாள அணி. இதன் விளைவாக வரும் மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படையில், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகிறோம்:

2x + 4y = 6x + 12y,

இதில் x மற்றும் y ஆகியவை ஈஜென்வெக்டர் கூறுகள்.

இடதுபுறத்தில் உள்ள அனைத்து X களையும் வலதுபுறத்தில் உள்ள அனைத்து Y களையும் சேகரிப்போம். வெளிப்படையாக - 4x = 8y. வெளிப்பாட்டை - 4 ஆல் வகுத்து x = –2y ஐப் பெறவும். தெரியாதவற்றின் எந்த மதிப்புகளையும் எடுத்துக் கொண்டு, மேட்ரிக்ஸின் முதல் ஈஜென்வெக்டரை இப்போது நாம் தீர்மானிக்க முடியும் (நேரியல் சார்ந்த ஈஜென்வெக்டர்களின் முடிவிலியை நினைவில் கொள்க). y = 1 ஐ எடுத்துக்கொள்வோம், பின்னர் x = –2. எனவே, முதல் ஈஜென்வெக்டர் V1 = (–2; 1) போல் தெரிகிறது. கட்டுரையின் தொடக்கத்திற்குத் திரும்பு. இந்த வெக்டார் பொருள்தான் ஈஜென்வெக்டரின் கருத்தை விளக்க மேட்ரிக்ஸைப் பெருக்கினோம்.

இப்போது λ = 12க்கான ஈஜென்வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம்.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அதே அமைப்பை உருவாக்குவோம்;

• -12x + 4y = 6x - 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

இப்போது நாம் x = 1 ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம், எனவே y = 3. எனவே, இரண்டாவது ஈஜென்வெக்டார் V2 = (1; 3) போல் தெரிகிறது. கொடுக்கப்பட்ட திசையன் மூலம் அசல் மேட்ரிக்ஸைப் பெருக்கும்போது, ​​12 ஆல் பெருக்கப்படும் அதே வெக்டரின் முடிவு எப்போதும் இருக்கும். இங்குதான் தீர்வு வழிமுறை முடிவடைகிறது. மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டரை கைமுறையாக எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பதை இப்போது நீங்கள் அறிவீர்கள்.

• தீர்மானிப்பவர்;
• சுவடு, அதாவது, முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை;
• தரவரிசை, அதாவது அதிகபட்ச தொகைநேரியல் சார்பற்ற வரிசைகள்/நெடுவரிசைகள்.

நிரல் மேலே உள்ள வழிமுறையின்படி செயல்படுகிறது, தீர்வு செயல்முறையை முடிந்தவரை குறைக்கிறது. நிரலில் லாம்ப்டா "சி" என்ற எழுத்தால் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை சுட்டிக்காட்ட வேண்டியது அவசியம். ஒரு எண் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

நிரல் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

பின்வரும் மேட்ரிக்ஸிற்கான ஈஜென்வெக்டர்களைத் தீர்மானிக்க முயற்சிப்போம்:

• எம் = 5; 13;
• 4; 14.

இந்த மதிப்புகளை கால்குலேட்டரின் கலங்களில் உள்ளிட்டு பின்வரும் வடிவத்தில் பதிலைப் பெறுவோம்:

• மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை: 2;
• மேட்ரிக்ஸ் தீர்மானிப்பான்: 18;
• மேட்ரிக்ஸ் ட்ரேஸ்: 19;
• ஈஜென்வெக்டரின் கணக்கீடு: c 2 - 19.00c + 18.00 (பண்புச் சமன்பாடு);
• ஈஜென்வெக்டர் கணக்கீடு: 18 (முதல் லாம்ப்டா மதிப்பு);
• ஈஜென்வெக்டர் கணக்கீடு: 1 (இரண்டாவது லாம்ப்டா மதிப்பு);
• திசையன் 1 க்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்பு: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• திசையன் 2 க்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்பு: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• ஈஜென்வெக்டர் 1: (1; 1);
• ஈஜென்வெக்டர் 2: (-3.25; 1).

இவ்வாறு, இரண்டு நேரியல் சார்பற்ற ஈஜென்வெக்டர்களைப் பெற்றோம்.

முடிவுரை

லீனியர் இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வு வடிவியல் ஆகியவை எந்தவொரு புதிய பொறியியல் மேஜருக்கும் நிலையான பாடங்களாகும். ஒரு பெரிய எண்ணிக்கைதிசையன்கள் மற்றும் மெட்ரிக்குகள் பயங்கரமானவை, மேலும் இதுபோன்ற சிக்கலான கணக்கீடுகளில் தவறு செய்வது எளிது. எங்கள் திட்டம் மாணவர்கள் தங்கள் கணக்கீடுகளைச் சரிபார்க்க அல்லது ஈஜென்வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலைத் தானாகவே தீர்க்க அனுமதிக்கும். எங்கள் பட்டியலில் மற்ற நேரியல் இயற்கணிதம் கால்குலேட்டர்கள் உள்ளன, அவற்றை உங்கள் படிப்பு அல்லது வேலையில் பயன்படுத்தவும்.

ஒரே மாதிரியான நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு

ஒரே மாதிரியான நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு வடிவத்தின் அமைப்பாகும்

இந்த விஷயத்தில் என்பது தெளிவாகிறது , ஏனெனில் இந்த தீர்மானிப்பதில் உள்ள நெடுவரிசைகளில் ஒன்றின் அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

தெரியாதவை சூத்திரங்களின்படி காணப்படுவதால் , பின்னர் Δ ≠ 0 ஆக இருக்கும் போது, ​​கணினி ஒரு தனித்துவமான பூஜ்ஜிய தீர்வைக் கொண்டுள்ளது எக்ஸ் = ஒய் = z= 0. இருப்பினும், பல சிக்கல்களில், ஒரே மாதிரியான அமைப்பில் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு தீர்வுகள் உள்ளதா என்பது சுவாரஸ்யமான கேள்வி.

தேற்றம்.நேரியல் அமைப்பு பொருட்டு ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்பூஜ்ஜியம் அல்லாத தீர்வு உள்ளது, அது Δ ≠ 0 என்பது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது.

எனவே, தீர்மானிப்பான் Δ ≠ 0 என்றால், கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது. Δ ≠ 0 என்றால், நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் அமைப்பு எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டர்கள் மற்றும் ஈஜென் மதிப்புகள்

கொடுக்கப்படட்டும் சதுர அணி , எக்ஸ்- சில மேட்ரிக்ஸ்-நெடுவரிசை, அதன் உயரம் மேட்ரிக்ஸின் வரிசையுடன் ஒத்துப்போகிறது ஏ. .

பல சிக்கல்களில் நாம் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் எக்ஸ்

λ என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண். எந்த λ க்கும் இந்த சமன்பாடு பூஜ்ஜிய தீர்வு உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது.

இந்த சமன்பாடு உள்ள எண் λ பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகள், அழைக்கப்பட்டது சமமதிப்புமெட்ரிக்குகள் ஏ, ஏ எக்ஸ்அத்தகைய λ அழைக்கப்படுகிறது ஈஜென்வெக்டர்மெட்ரிக்குகள் ஏ.

மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம் ஏ. ஏனெனில் ஈ∙X = X, பின்னர் அணி சமன்பாட்டை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதலாம் அல்லது . விரிவாக்கப்பட்ட வடிவத்தில், இந்த சமன்பாட்டை நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக மீண்டும் எழுதலாம். உண்மையில் .

எனவே

எனவே, ஒருங்கிணைப்புகளை நிர்ணயிப்பதற்கான ஒரே மாதிரியான நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெற்றுள்ளோம். x 1, x 2, x 3திசையன் எக்ஸ். ஒரு அமைப்பு பூஜ்ஜியம் அல்லாத தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்க, கணினியின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது, அதாவது.

இது λக்கான 3வது டிகிரி சமன்பாடு. இது அழைக்கப்படுகிறது சிறப்பியல்பு சமன்பாடுமெட்ரிக்குகள் ஏமற்றும் தீர்மானிக்க உதவுகிறது சம மதிப்புகள் λ.

ஒவ்வொரு ஈஜென் மதிப்பு λ ஒரு ஈஜென்வெக்டருக்கு ஒத்திருக்கிறது எக்ஸ், அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் λ இன் தொடர்புடைய மதிப்பில் கணினியிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

திசையன் அல்ஜீப்ரா. திசையன் கருத்து

இயற்பியலின் பல்வேறு கிளைகளைப் படிக்கும்போது, ​​அவற்றின் எண் மதிப்புகளைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படும் அளவுகள் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக, நீளம், பரப்பளவு, நிறை, வெப்பநிலை போன்றவை. அத்தகைய அளவுகள் ஸ்கேலர் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இருப்பினும், அவற்றுடன் கூடுதலாக, அளவுகளும் உள்ளன, எண் மதிப்புக்கு கூடுதலாக, விண்வெளியில் அவற்றின் திசையை அறிந்து கொள்வது அவசியம், எடுத்துக்காட்டாக, உடலில் செயல்படும் சக்தி, வேகம் மற்றும் முடுக்கம் உடல் விண்வெளியில் நகரும் போது, ​​பதற்றம் காந்த புலம்விண்வெளியில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில், முதலியன இத்தகைய அளவுகள் திசையன் அளவுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு கடுமையான வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

இயக்கிய பிரிவுஒரு பிரிவை அழைப்போம், அதன் முனைகளுடன் தொடர்புடையது, அவற்றில் எது முதல் மற்றும் இரண்டாவது என்று அறியப்படுகிறது.

திசையன்ஒரு குறிப்பிட்ட நீளம் கொண்ட இயக்கிய பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது. இது ஒரு குறிப்பிட்ட நீளத்தின் ஒரு பகுதி, இதில் அதைக் கட்டுப்படுத்தும் புள்ளிகளில் ஒன்று தொடக்கமாகவும், இரண்டாவது முடிவாகவும் எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. என்றால் ஏ- திசையன் ஆரம்பம், பிஅதன் முடிவு, பின்னர் திசையன் குறியீடாகக் குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் திசையன் பெரும்பாலும் ஒற்றை எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. படத்தில், திசையன் ஒரு பகுதியாலும், அதன் திசை அம்புக்குறியாலும் குறிக்கப்படுகிறது.

தொகுதிஅல்லது நீளம்ஒரு திசையன் அதை வரையறுக்கும் இயக்கிய பிரிவின் நீளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறிக்கப்படுகிறது || அல்லது ||.

பூஜ்ஜிய திசையன் என்று அழைக்கப்படுபவை, அதன் தொடக்கமும் முடிவும் ஒத்துப்போகும் திசையன்களாகவும் சேர்ப்போம். இது நியமிக்கப்பட்டுள்ளது. பூஜ்ஜிய திசையன் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையைக் கொண்டிருக்கவில்லை மற்றும் அதன் மாடுலஸ் பூஜ்ஜியம் ||=0.

திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன கோலினியர், அவை ஒரே வரியில் அல்லது இணையான கோடுகளில் அமைந்திருந்தால். மேலும், திசையன்கள் மற்றும் ஒரே திசையில் இருந்தால், நாம் எதிர் , என்று எழுதுவோம்.

ஒரே விமானத்திற்கு இணையாக நேர் கோடுகளில் அமைந்துள்ள திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன கோப்ளனார்.

இரண்டு திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன சமமான, அவை கோலினியர் என்றால், ஒரே திசையைக் கொண்டிருக்கும் மற்றும் நீளம் சமமாக இருக்கும். இந்த வழக்கில் அவர்கள் எழுதுகிறார்கள்.

திசையன்களின் சமத்துவத்தின் வரையறையிலிருந்து, ஒரு திசையன் தனக்கு இணையாக கொண்டு செல்லப்படலாம், அதன் தோற்றத்தை விண்வெளியில் எந்த இடத்திலும் வைக்கலாம்.

உதாரணத்திற்கு.

திசையன்களில் நேரியல் செயல்பாடுகள்

1. ஒரு வெக்டரை எண்ணால் பெருக்குதல்.

   ஒரு திசையன் மற்றும் எண் λ ஆகியவற்றின் பெருக்கல் ஒரு புதிய திசையன் ஆகும்:

   ஒரு திசையன் மற்றும் எண் λ இன் பெருக்கல் ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

   

   உதாரணத்திற்கு,திசையன் அதே திசையில் இயக்கப்பட்ட ஒரு திசையன் உள்ளது மற்றும் திசையன் நீளம் பாதி உள்ளது.

   அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடு பின்வருவனவற்றைக் கொண்டுள்ளது பண்புகள்:

2. திசையன் சேர்த்தல்.

   இரண்டு தன்னிச்சையான திசையன்களாக இருக்கட்டும். ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம் ஓமற்றும் ஒரு திசையன் உருவாக்க. அதன் பிறகு புள்ளியிலிருந்து ஏவெக்டரை ஒதுக்கி வைப்போம். முதல் திசையனின் தொடக்கத்தை இரண்டாவது முனையுடன் இணைக்கும் திசையன் அழைக்கப்படுகிறது தொகைஇந்த திசையன்கள் மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது .

   

   திசையன் கூட்டலின் வரையறுக்கப்பட்ட வரையறை அழைக்கப்படுகிறது இணை வரைபடம் விதி, திசையன்களின் அதே தொகையை பின்வருமாறு பெறலாம். புள்ளியில் இருந்து தள்ளிப்போடலாம் ஓதிசையன்கள் மற்றும் . இந்த திசையன்களில் ஒரு இணையான வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் OABC. திசையன்கள் என்பதால், பின்னர் திசையன், இது உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டமாகும். ஓ, வெளிப்படையாக திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும்.

   

   பின்வருவனவற்றைச் சரிபார்ப்பது எளிது திசையன் கூட்டலின் பண்புகள்.

3. திசையன் வேறுபாடு.

   கொடுக்கப்பட்ட வெக்டருக்கு சமமான நீளம் மற்றும் எதிர் திசையில் ஒரு திசையன் கோலினியர் என்று அழைக்கப்படுகிறது எதிர்ஒரு வெக்டருக்கான திசையன் மற்றும் ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. λ = –1: என்ற எண்ணால் திசையன் பெருக்குவதன் விளைவாக எதிர் திசையன் கருதப்படுகிறது.

ஈஜென் மதிப்புகள் (எண்கள்) மற்றும் ஈஜென்வெக்டர்கள்.
தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

Ningal nengalai irukangal

இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்தும் அது பின்வருமாறு.

பிறகு வைப்போம்: .

அதன் விளைவாக: - இரண்டாவது ஈஜென்வெக்டர்.

மீண்டும் சொல்கிறேன் முக்கியமான புள்ளிகள்தீர்வுகள்:

- இதன் விளைவாக வரும் அமைப்பு நிச்சயமாக ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது (சமன்பாடுகள் நேரியல் சார்ந்து இருக்கும்);

- "y" ஐ முழு எண்ணாகவும், முதல் "x" ஒருங்கிணைப்பு முழு எண், நேர்மறை மற்றும் முடிந்தவரை சிறியதாகவும் இருக்கும் வகையில் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்.

- குறிப்பிட்ட தீர்வு கணினியின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பதை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்.

பதில் .

போதுமான இடைநிலை "சோதனைச் சாவடிகள்" இருந்தன, எனவே சமத்துவத்தை சரிபார்ப்பது கொள்கையளவில் தேவையற்றது.

IN பல்வேறு ஆதாரங்கள்தகவல், ஈஜென்வெக்டர்களின் ஆயத்தொலைவுகள் பெரும்பாலும் நெடுவரிசைகளில் அல்ல, ஆனால் வரிசைகளில் எழுதப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக: (மற்றும், உண்மையைச் சொல்வதானால், நானே அவற்றை வரிகளில் எழுதுவது வழக்கம்). இந்த விருப்பம் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது, ஆனால் தலைப்பின் வெளிச்சத்தில் நேரியல் மாற்றங்கள்தொழில்நுட்ப ரீதியாக பயன்படுத்த மிகவும் வசதியானது நெடுவரிசை திசையன்கள்.

ஒருவேளை தீர்வு உங்களுக்கு மிக நீண்டதாகத் தோன்றலாம், ஆனால் முதல் எடுத்துக்காட்டில் நான் மிக விரிவாகக் கருத்து தெரிவித்ததால் தான்.

எடுத்துக்காட்டு 2

மெட்ரிக்குகள்

சொந்தமாக பயிற்சி செய்வோம்! பாடத்தின் முடிவில் இறுதிப் பணியின் தோராயமான உதாரணம்.

சில நேரங்களில் நீங்கள் செய்ய வேண்டும் கூடுதல் பணி, அதாவது:

கேனானிகல் மேட்ரிக்ஸ் சிதைவை எழுதுங்கள்

அது என்ன?

மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டர்கள் உருவாகினால் அடிப்படையில், பின்னர் அதை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்:

ஈஜென்வெக்டர்களின் ஆயத்தொலைவுகளால் ஆன அணி எங்கே, - மூலைவிட்டமானதொடர்புடைய ஈஜென் மதிப்புகள் கொண்ட அணி.

இந்த அணி சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது நியமனம்அல்லது மூலைவிட்டமான.

முதல் உதாரணத்தின் மேட்ரிக்ஸைப் பார்ப்போம். அதன் ஈஜென்வெக்டர்கள் நேரியல் சார்பற்றது(கோலினியர் அல்லாதது) மற்றும் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகிறது. அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகளின் அணியை உருவாக்குவோம்:

அன்று முக்கிய மூலைவிட்டம்மெட்ரிக்குகள் பொருத்தமான வரிசையில்ஈஜென் மதிப்புகள் அமைந்துள்ளன, மீதமுள்ள கூறுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:
- வரிசையின் முக்கியத்துவத்தை நான் மீண்டும் வலியுறுத்துகிறேன்: "இரண்டு" 1 வது திசையனுக்கு ஒத்திருக்கிறது, எனவே 1 வது நெடுவரிசையில் "மூன்று" - 2 வது திசையன் வரை அமைந்துள்ளது.

கண்டுபிடிக்க வழக்கமான அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துதல் தலைகீழ் அணிஅல்லது காஸ்-ஜோர்டான் முறைநாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம் . இல்லை, அது எழுத்துப்பிழை அல்ல! - நீங்கள் அரிதாக முன், போன்ற சூரிய கிரகணம்தலைகீழ் அசல் அணியுடன் ஒத்துப்போகும் நிகழ்வு.

மேட்ரிக்ஸின் நியமன சிதைவை எழுதுவதற்கு இது உள்ளது:

கணினியைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும் அடிப்படை மாற்றங்கள்மற்றும் பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில் நாம் நாடுவோம் இந்த முறை. ஆனால் இங்கே "பள்ளி" முறை மிக வேகமாக வேலை செய்கிறது. 3 வது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் வெளிப்படுத்துகிறோம்: - இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக:

முதல் ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலிருந்தும் ஒரு அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.

மீண்டும் நேரியல் உறவின் கட்டாய இருப்புக்கு கவனம் செலுத்துங்கள். ஒரு அற்பமான தீர்வு கிடைத்தால் , பின்னர் eigenvalue தவறாக கண்டறியப்பட்டது, அல்லது கணினி தொகுக்கப்பட்டது/பிழை மூலம் தீர்க்கப்பட்டது.

காம்பாக்ட் ஆயத்தொகுப்புகள் மதிப்பைக் கொடுக்கிறது

ஈஜென்வெக்டர்:

மீண்டும் ஒருமுறை, தீர்வு கண்டுபிடிக்கப்பட்டதா என்பதை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம் அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் திருப்திப்படுத்துகிறது. அடுத்தடுத்த பத்திகளிலும், அடுத்தடுத்த பணிகளிலும், இந்த விருப்பத்தை ஒரு கட்டாய விதியாக எடுத்துக்கொள்ள பரிந்துரைக்கிறேன்.

2) eigenvalue க்கு, அதே கொள்கையைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

அமைப்பின் 2 வது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் வெளிப்படுத்துகிறோம்: - மூன்றாவது சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக:

"ஜீட்டா" ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலிருந்தும் ஒரு முறைமையைப் பெறுகிறோம், அதில் ஒரு நேர்கோட்டு சார்பு பின்பற்றப்படுகிறது.

விடுங்கள்

தீர்வு என்பதை சரிபார்க்கிறது அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் திருப்திப்படுத்துகிறது.

எனவே, ஈஜென்வெக்டர்: .

3) இறுதியாக, இந்த அமைப்பு ஈஜென் மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது:

இரண்டாவது சமன்பாடு எளிமையானதாகத் தெரிகிறது, எனவே அதை வெளிப்படுத்தி 1 மற்றும் 3 வது சமன்பாடுகளில் மாற்றுவோம்:

எல்லாம் நன்றாக இருக்கிறது - ஒரு நேரியல் உறவு வெளிப்பட்டது, அதை நாம் வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றுகிறோம்:

இதன் விளைவாக, "x" மற்றும் "y" ஆகியவை "z" மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்டன: . நடைமுறையில், அத்தகைய உறவுகளை துல்லியமாக அடைய வேண்டிய அவசியமில்லை, சில சந்தர்ப்பங்களில் இது மூலம் அல்லது மற்றும் மூலம் வெளிப்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது. அல்லது “ரயில்” கூட - எடுத்துக்காட்டாக, “X” முதல் “I”, மற்றும் “I” மூலம் “Z”

பிறகு வைப்போம்:

தீர்வு கிடைத்ததா என்பதை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம் அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் பூர்த்தி செய்து மூன்றாவது ஈஜென்வெக்டரை எழுதுகிறது

பதில்ஈஜென்வெக்டர்கள்:

வடிவியல் ரீதியாக, இந்த திசையன்கள் மூன்று வெவ்வேறு இடஞ்சார்ந்த திசைகளை வரையறுக்கின்றன ("அங்கு மீண்டும் மீண்டும்"), அதன் படி நேரியல் மாற்றம்பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்களை (ஈஜென்வெக்டர்கள்) கோலினியர் திசையன்களாக மாற்றுகிறது.

நிபந்தனைக்கு நியமன சிதைவைக் கண்டறிவது தேவைப்பட்டால், இது இங்கே சாத்தியமாகும், ஏனெனில் வெவ்வேறு eigenvalues ​​வெவ்வேறு நேரியல் சார்பற்ற eigenvectors உடன் தொடர்புடையது. ஒரு அணியை உருவாக்குதல் அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகளிலிருந்து, ஒரு மூலைவிட்ட அணி இருந்து தொடர்புடைய eigenvalues ​​மற்றும் கண்டுபிடிக்க தலைகீழ் அணி .

நிபந்தனையின்படி, நீங்கள் எழுத வேண்டும் என்றால் ஈஜென்வெக்டர்களின் அடிப்படையில் நேரியல் உருமாற்ற அணி, பிறகு பதிலை படிவத்தில் தருகிறோம் . ஒரு வித்தியாசம் உள்ளது, மற்றும் வேறுபாடு குறிப்பிடத்தக்கது!ஏனெனில் இந்த அணி "டி" மேட்ரிக்ஸ் ஆகும்.

மேலும் சிக்கல் எளிய கணக்கீடுகள்க்கு சுதந்திரமான முடிவு:

எடுத்துக்காட்டு 5

மேட்ரிக்ஸால் கொடுக்கப்பட்ட நேரியல் மாற்றத்தின் ஈஜென்வெக்டர்களைக் கண்டறியவும்

உங்கள் சொந்த எண்களைக் கண்டறியும் போது, ​​3வது டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு செல்லாமல் இருக்க முயற்சிக்கவும். கூடுதலாக, உங்கள் கணினி தீர்வுகள் எனது தீர்வுகளிலிருந்து வேறுபடலாம் - இங்கே எந்த உறுதியும் இல்லை; மற்றும் நீங்கள் கண்டறியும் திசையன்கள் மாதிரி திசையன்களிலிருந்து அந்தந்த ஆயங்களின் விகிதாச்சாரத்திற்கு வேறுபடலாம். உதாரணமாக, மற்றும். படிவத்தில் பதிலை வழங்குவது மிகவும் அழகாக இருக்கிறது, ஆனால் நீங்கள் இரண்டாவது விருப்பத்தை நிறுத்தினால் பரவாயில்லை. இருப்பினும், எல்லாவற்றிற்கும் நியாயமான வரம்புகள் உள்ளன;

பாடத்தின் முடிவில் பணியின் தோராயமான இறுதி மாதிரி.

பல ஈஜென் மதிப்புகள் விஷயத்தில் சிக்கலை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

பொதுவான வழிமுறை அப்படியே உள்ளது, ஆனால் அது அதன் சொந்த குணாதிசயங்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் தீர்வின் சில பகுதிகளை மிகவும் கடுமையான கல்வி பாணியில் வைத்திருப்பது நல்லது:

எடுத்துக்காட்டு 6

ஈஜென் மதிப்புகள் மற்றும் ஈஜென்வெக்டர்களைக் கண்டறியவும்

தீர்வு

நிச்சயமாக, அற்புதமான முதல் நெடுவரிசையை பெரியதாக்குவோம்:

மேலும், இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்கிய பிறகு:

இதன் விளைவாக, ஈஜென் மதிப்புகள் பெறப்படுகின்றன, அவற்றில் இரண்டு மடங்குகள்.

ஈஜென்வெக்டர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

1) "எளிமைப்படுத்தப்பட்ட" திட்டத்தின்படி ஒரு தனி சிப்பாயை கையாள்வோம்:

கடைசி இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்து, சமத்துவம் தெளிவாகத் தெரியும், இது வெளிப்படையாக, அமைப்பின் 1 வது சமன்பாட்டில் மாற்றப்பட வேண்டும்:

சிறந்த கலவையை நீங்கள் காண முடியாது:
ஈஜென்வெக்டர்:

2-3) இப்போது நாம் இரண்டு சென்ட்ரிகளை அகற்றுகிறோம். இந்த வழக்கில் அது மாறலாம் இரண்டு அல்லது ஒன்றுஈஜென்வெக்டர். வேர்களின் பெருக்கத்தைப் பொருட்படுத்தாமல், மதிப்பை தீர்மானிப்பதில் மாற்றுகிறோம் இது நமக்கு அடுத்ததைக் கொண்டுவருகிறது நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு:

Eigenvectors சரியாக திசையன்கள்
தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு

உண்மையில், முழு பாடம் முழுவதும் நாங்கள் அடிப்படை அமைப்பின் திசையன்களைக் கண்டறிவதைத் தவிர வேறு எதையும் செய்யவில்லை. இப்போதைக்கு தான் இந்த காலஉண்மையில் அது தேவையில்லை. மூலம், உருமறைப்பு வழக்குகளில் தலைப்பை தவறவிட்ட அந்த புத்திசாலி மாணவர்கள் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள், இப்போது புகைபிடிக்க வேண்டிய கட்டாயம் ஏற்படும்.

கூடுதல் வரிகளை அகற்றுவது மட்டுமே நடவடிக்கை. இதன் விளைவாக, ஒரு முறையான "படி" நடுவில் ஒரு மூன்று அணி ஆகும்.
- அடிப்படை மாறி, - இலவச மாறிகள். இரண்டு இலவச மாறிகள் உள்ளன, எனவே, அடிப்படை அமைப்பின் இரண்டு திசையன்களும் உள்ளன.

இலவச மாறிகளின் அடிப்படையில் அடிப்படை மாறியை வெளிப்படுத்துவோம்: . "X" க்கு முன்னால் உள்ள பூஜ்ஜிய பெருக்கி எந்த மதிப்புகளையும் எடுக்க அனுமதிக்கிறது (இது சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து தெளிவாகத் தெரியும்).

இந்த சிக்கலின் சூழலில், பொதுவான தீர்வை ஒரு வரிசையில் அல்ல, ஆனால் ஒரு நெடுவரிசையில் எழுதுவது மிகவும் வசதியானது:

இந்த ஜோடி ஈஜென்வெக்டருக்கு ஒத்திருக்கிறது:
இந்த ஜோடி ஈஜென்வெக்டருக்கு ஒத்திருக்கிறது:

குறிப்பு : அதிநவீன வாசகர்கள் இந்த திசையன்களை வாய்வழியாக தேர்ந்தெடுக்கலாம் - கணினியை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம் , ஆனால் இங்கே சில அறிவு தேவை: மூன்று மாறிகள் உள்ளன, கணினி அணி தரவரிசை- ஒன்று, அதாவது அடிப்படை முடிவு அமைப்பு 3 - 1 = 2 திசையன்களைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட திசையன்கள் இந்த அறிவு இல்லாமல், முற்றிலும் உள்ளுணர்வு மட்டத்தில் தெளிவாகத் தெரியும். இந்த வழக்கில், மூன்றாவது திசையன் இன்னும் "அழகாக" எழுதப்படும்: . இருப்பினும், மற்றொரு உதாரணத்தில் நான் அதை எச்சரிக்கிறேன் எளிய தேர்வுஇது வழக்காக மாறாமல் போகலாம், அதனால்தான் இந்த விதி அனுபவம் வாய்ந்தவர்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. கூடுதலாக, மூன்றாவது திசையனாக ஏன் எடுத்துக்கொள்ளக்கூடாது? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும், திசையன்களையும் திருப்திப்படுத்துகின்றன நேரியல் சார்பற்றது. இந்த விருப்பம், கொள்கையளவில், பொருத்தமானது, ஆனால் "வளைந்த", ஏனெனில் "மற்ற" திசையன் என்பது அடிப்படை அமைப்பின் திசையன்களின் நேரியல் கலவையாகும்.

பதில்: eigenvalues:, eigenvectors:

ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கு இதே போன்ற உதாரணம்:

எடுத்துக்காட்டு 7

ஈஜென் மதிப்புகள் மற்றும் ஈஜென்வெக்டர்களைக் கண்டறியவும்

பாடத்தின் முடிவில் இறுதி வடிவமைப்பின் தோராயமான மாதிரி.

6 வது மற்றும் 7 வது எடுத்துக்காட்டுகள் இரண்டிலும் நேரியல் சார்பற்ற ஈஜென்வெக்டர்களின் மூன்று மடங்கு பெறப்படுகிறது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், எனவே அசல் மேட்ரிக்ஸ் நியமன சிதைவில் குறிப்பிடப்படுகிறது. ஆனால் அத்தகைய ராஸ்பெர்ரி எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் நடக்காது:

எடுத்துக்காட்டு 8

தீர்வு: சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:

முதல் நெடுவரிசையில் தீர்மானிப்பதை விரிவாக்குவோம்:

மூன்றாம் நிலை பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தவிர்த்து, கருதப்பட்ட முறையின்படி மேலும் எளிமைப்படுத்தல்களைச் செய்கிறோம்:

- சம மதிப்புகள்.

ஈஜென்வெக்டர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

1) ரூட்டில் எந்த சிரமமும் இல்லை:

ஆச்சரியப்பட வேண்டாம், கிட் கூடுதலாக, பயன்பாட்டில் மாறிகள் உள்ளன - இங்கே எந்த வித்தியாசமும் இல்லை.

3 வது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் அதை வெளிப்படுத்துகிறோம் மற்றும் 1 மற்றும் 2 வது சமன்பாடுகளாக மாற்றுகிறோம்:

இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்தும் இது பின்வருமாறு:

பிறகு விடுங்கள்:

2-3) பல மதிப்புகளுக்கு நாம் கணினியைப் பெறுகிறோம் .

கணினியின் மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்:

அணி A உடன், AX = lX என்ற எண் l இருந்தால்.

இந்த வழக்கில், எண் l அழைக்கப்படுகிறது சமமதிப்புஇயக்கி (மேட்ரிக்ஸ் ஏ) திசையன் X உடன் தொடர்புடையது.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஈஜென்வெக்டார் என்பது ஒரு திசையன் ஆகும், இது ஒரு நேரியல் இயக்கியின் செயல்பாட்டின் கீழ், ஒரு கோலினியர் திசையனாக மாறுகிறது, அதாவது. சில எண்ணால் பெருக்கவும். மாறாக, முறையற்ற திசையன்கள் மாற்றுவதற்கு மிகவும் சிக்கலானவை.

ஈஜென்வெக்டரின் வரையறையை சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் எழுதுவோம்:

அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்துவோம்:

பிந்தைய அமைப்பை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

(A - lE)X = O

இதன் விளைவாக வரும் அமைப்பானது எப்போதும் X = O என்ற பூஜ்ஜிய தீர்வைக் கொண்டிருக்கும். அனைத்து இலவச சொற்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் இத்தகைய அமைப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரேவிதமான. அத்தகைய அமைப்பின் அணி சதுரமாக இருந்தால் மற்றும் அதன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், க்ரேமரின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எப்போதும் ஒரு தனித்துவமான தீர்வைப் பெறுவோம் - பூஜ்ஜியம். இந்த மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு அமைப்பில் பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகள் உள்ளன என்பதை நிரூபிக்க முடியும், அதாவது.

|A - lE| = = 0

தெரியாத l உடன் இந்த சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது சிறப்பியல்பு சமன்பாடு (பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவை) அணி A (நேரியல் ஆபரேட்டர்).

ஒரு நேரியல் ஆபரேட்டரின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை அடிப்படையின் தேர்வைப் பொறுத்தது அல்ல என்பதை நிரூபிக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டாக, அணி A = ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட நேரியல் ஆபரேட்டரின் ஈஜென் மதிப்புகள் மற்றும் ஈஜென்வெக்டர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இதைச் செய்ய, ஒரு சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் |A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; eigenvalues ​​l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

ஈஜென்வெக்டர்களைக் கண்டறிய, இரண்டு சமன்பாடு அமைப்புகளைத் தீர்க்கிறோம்

(A + 5E) X = O

(A - 7E)X = O

அவற்றில் முதலாவது, விரிவாக்கப்பட்ட அணி வடிவம் பெறுகிறது

,

எங்கிருந்து x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, i.e. X (1) = (-(2/3)s; s).

அவற்றில் இரண்டாவதாக, விரிவாக்கப்பட்ட அணி வடிவம் பெறுகிறது

,

எங்கிருந்து x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, அதாவது. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

எனவே, இந்த நேரியல் ஆபரேட்டரின் ஈஜென்வெக்டர்கள் அனைத்து வடிவத்தின் திசையன்கள் (-(2/3) с; с) eigenvalue (-5) மற்றும் வடிவத்தின் அனைத்து திசையன்கள் ((2/3) с 1 ; с 1) உடன் eigenvalue 7 .

ஆபரேட்டர் A இன் அணி அதன் ஈஜென்வெக்டர்களைக் கொண்ட அடிப்படையில் மூலைவிட்டமானது மற்றும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்க முடியும்:

,

நான் இந்த மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென் மதிப்புகள்.

மாறுபாடும் உண்மைதான்: சில அடிப்படையில் அணி A மூலைவிட்டமாக இருந்தால், இந்த அடிப்படையின் அனைத்து திசையன்களும் இந்த மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டர்களாக இருக்கும்.

ஒரு லீனியர் ஆபரேட்டருக்கு n ஜோடிவரிசையில் தனித்துவமான ஈஜென் மதிப்புகள் இருந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய ஈஜென்வெக்டர்கள் நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமாக இருக்கும், மேலும் தொடர்புடைய அடிப்படையில் இந்த ஆபரேட்டரின் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு மூலைவிட்ட வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்க முடியும்.

இதை முந்தைய உதாரணத்துடன் விளக்குவோம். தன்னிச்சையான பூஜ்ஜியமற்ற மதிப்புகளான c மற்றும் c 1 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம், ஆனால் X (1) மற்றும் X (2) ஆகிய திசையன்கள் நேரியல் சார்புடையவை, அதாவது. ஒரு அடிப்படையை உருவாக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, c = c 1 = 3, பின்னர் X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

உறுதி செய்வோம் நேரியல் சுதந்திரம்இந்த திசையன்கள்:

12 ≠ 0. இந்த புதிய அடிப்படையில், அணி A ஆனது A * = வடிவத்தை எடுக்கும்.

இதைச் சரிபார்க்க, A * = C -1 AC சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். முதலில், சி -1 ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

சி -1 = ;

இருபடி வடிவங்கள்

இருபடி வடிவம் n மாறிகளின் f(x 1, x 2, x n) ஒரு கூட்டுத்தொகை என அழைக்கப்படுகிறது, இதன் ஒவ்வொரு காலமும் ஒரு மாறிகளின் வர்க்கம் அல்லது இரண்டு வெவ்வேறு மாறிகளின் பலன், ஒரு குறிப்பிட்ட குணகத்துடன் எடுக்கப்பட்டது: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

இந்த குணகங்களால் ஆன அணி A அழைக்கப்படுகிறது அணிஇருபடி வடிவம். அது எப்போதும் சமச்சீர்அணி (அதாவது முக்கிய மூலைவிட்டத்தைப் பற்றிய ஒரு அணி சமச்சீர், a ij = a ji).

மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டில், இருபடி வடிவம் f(X) = X T AX, எங்கே

உண்மையில்

எடுத்துக்காட்டாக, இருபடி வடிவத்தை அணி வடிவத்தில் எழுதுவோம்.

இதைச் செய்ய, இருபடி வடிவத்தின் மேட்ரிக்ஸைக் காண்கிறோம். அதன் மூலைவிட்ட உறுப்புகள் சதுர மாறிகளின் குணகங்களுக்கு சமமாக இருக்கும், மீதமுள்ள கூறுகள் இருபடி வடிவத்தின் தொடர்புடைய குணகங்களின் பாதிகளுக்கு சமமாக இருக்கும். அதனால் தான்

மேட்ரிக்ஸ்-நெடுவரிசை Y இன் சிதைவடையாத நேரியல் மாற்றம் மூலம் X மாறிகளின் அணி-நெடுவரிசையைப் பெறலாம், அதாவது. X = CY, இதில் C என்பது n வது வரிசையின் ஒருமை அல்லாத அணி. பின்னர் இருபடி வடிவம் f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

எனவே, சிதைவடையாத நேரியல் உருமாற்றம் C உடன், இருபடி வடிவத்தின் அணி வடிவம் பெறுகிறது: A * = C T AC.

எடுத்துக்காட்டாக, f(y 1, y 2) என்ற இருபடி வடிவத்தை f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 மூலம் நேர்கோட்டு மாற்றம் மூலம் பெறலாம்.

இருபடி வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது நியமனம்(அது உள்ளது நியமன பார்வை), i ≠ j க்கு அதன் அனைத்து குணகங்களும் a ij = 0 எனில், அதாவது.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

அதன் அணி மூலைவிட்டமானது.

தேற்றம்(ஆதாரம் இங்கே கொடுக்கப்படவில்லை). எந்த இருபடி வடிவமும் ஒரு சீரழிந்த நேரியல் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நியமன வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்படலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, இருபடி வடிவத்தை நியமன வடிவத்திற்குக் குறைப்போம்
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

இதைச் செய்ய, முதலில் x 1 மாறியுடன் ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

இப்போது நாம் x 2 மாறியுடன் ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

பின்னர் சிதைவடையாத நேரியல் உருமாற்றம் y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 மற்றும் y 3 = x 3 இந்த இருபடி வடிவத்தை f(y 1, y 2) , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

ஒரு இருபடி வடிவத்தின் நியதி வடிவம் தெளிவற்ற முறையில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க (அதே இருபடி வடிவத்தை நியமன வடிவமாகக் குறைக்கலாம் வெவ்வேறு வழிகளில்) இருப்பினும், பெறப்பட்டது வெவ்வேறு வழிகளில்நியமன வடிவங்கள் பல உள்ளன பொது பண்புகள். குறிப்பாக, இருபடி வடிவத்தின் நேர்மறை (எதிர்மறை) குணகங்களைக் கொண்ட சொற்களின் எண்ணிக்கை, படிவத்தை இந்தப் படிவத்திற்குக் குறைக்கும் முறையைப் பொறுத்தது அல்ல (எடுத்துக்காட்டாக, கருதப்படும் எடுத்துக்காட்டில் எப்போதும் இரண்டு எதிர்மறை மற்றும் ஒரு நேர்மறை குணகம் இருக்கும்). இந்த சொத்து இருபடி வடிவங்களின் நிலைம விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரே இருபடி வடிவத்தை வேறொரு வழியில் நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவதன் மூலம் இதை சரிபார்க்கலாம். x 2 என்ற மாறியுடன் மாற்றத்தை ஆரம்பிக்கலாம்:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, இங்கு y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 மற்றும் y 3 = x 1 . இங்கே y 1 இல் எதிர்மறை குணகம் -3 மற்றும் y 2 மற்றும் y 3 இல் இரண்டு நேர்மறை குணகங்கள் 3 மற்றும் 2 உள்ளது (மற்றும் மற்றொரு முறையைப் பயன்படுத்தி y 2 இல் எதிர்மறை குணகம் (-5) மற்றும் இரண்டு நேர்மறை குணகம்: 2 இல் y 1 மற்றும் 1/20 இல் y 3).

இருபடி வடிவத்தின் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அழைக்கப்படுகிறது என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் இருபடி வடிவத்தின் தரவரிசை, எண்ணுக்கு சமம்நியமன வடிவத்தின் பூஜ்ஜியமற்ற குணகங்கள் மற்றும் நேரியல் மாற்றங்களின் கீழ் மாறாது.

இருபடி வடிவம் f(X) எனப்படும் நேர்மறையாக (எதிர்மறை) உறுதி, பூஜ்ஜியத்திற்கு ஒரே நேரத்தில் சமமாக இல்லாத மாறிகளின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும், அது நேர்மறையாக இருக்கும், அதாவது. f(X) > 0 (எதிர்மறை, அதாவது.
f(X)< 0).

எடுத்துக்காட்டாக, இருபடி வடிவம் f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 நேர்மறை உறுதியானது, ஏனெனில் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை, மற்றும் இருபடி வடிவம் f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 என்பது எதிர்மறை திட்டவட்டமானது, ஏனெனில் இது f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 என குறிப்பிடப்படலாம்.

பெரும்பாலான நடைமுறை சூழ்நிலைகளில், ஒரு இருபடி வடிவத்தின் திட்டவட்டமான அடையாளத்தை நிறுவுவது சற்று கடினமாக உள்ளது, எனவே இதற்காக பின்வரும் கோட்பாடுகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்துகிறோம் (அவற்றை ஆதாரம் இல்லாமல் உருவாக்குவோம்).

தேற்றம். ஒரு இருபடி வடிவம் நேர்மறை (எதிர்மறை) என்பது அதன் மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து ஈஜென் மதிப்புகளும் நேர்மறையாக (எதிர்மறை) இருந்தால் மட்டுமே.

தேற்றம்(சில்வெஸ்டர் அளவுகோல்). இந்த படிவத்தின் மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து முன்னணி மைனர்களும் நேர்மறையாக இருந்தால் மட்டுமே இருபடி வடிவம் நேர்மறையாக இருக்கும்.

முக்கிய (மூலையில்) சிறிய n வது வரிசையின் kth வரிசை அணி A, அணி A () இன் முதல் k வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளால் உருவாக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எதிர்மறை திட்டவட்டமான இருபடி வடிவங்களுக்கு முதன்மை மைனர்களின் அறிகுறிகள் மாறி மாறி வருகின்றன, மேலும் முதல்-வரிசை மைனர் எதிர்மறையாக இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, அடையாள உறுதிப்பாட்டிற்கு f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 என்ற இருபடி வடிவத்தை ஆராய்வோம்.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. எனவே, இருபடி வடிவம் நேர்மறை திட்டவட்டமானது.

முறை 2. அணி A D 1 = a 11 = 2 > 0 என்ற அணி முதல் வரிசையின் முதன்மை மைனர் D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. எனவே, சில்வெஸ்டரின் அளவுகோலின் படி, இருபடி வடிவம் நேர்மறை திட்டவட்டமான.

அடையாள உறுதிப்பாட்டிற்கான மற்றொரு இருபடி வடிவத்தை ஆராய்வோம், f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

முறை 1. A = இருபடி வடிவத்தின் அணியை உருவாக்குவோம். சிறப்பியல்பு சமன்பாடுபோல் இருக்கும் = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. எனவே, இருபடி வடிவம் எதிர்மறை திட்டவட்டமானது.

முறை 2. அணி A D 1 = a 11 = முதல் வரிசையின் முதன்மை மைனர்
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. இதன் விளைவாக, சில்வெஸ்டரின் அளவுகோலின் படி, இருபடி வடிவம் எதிர்மறை திட்டவட்டமானது (முக்கிய சிறார்களின் அறிகுறிகள் மாறி மாறி, கழிப்பதில் தொடங்கி).

மற்றொரு உதாரணம், அடையாளத்தால் தீர்மானிக்கப்பட்ட இருபடி வடிவத்தை f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ஐ ஆராய்வோம்.

முறை 1. A = இருபடி வடிவத்தின் அணியை உருவாக்குவோம். சிறப்பியல்பு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டிருக்கும் = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

இந்த எண்களில் ஒன்று எதிர்மறையாகவும் மற்றொன்று நேர்மறையாகவும் இருக்கும். ஈஜென் மதிப்புகளின் அறிகுறிகள் வேறுபட்டவை. இதன் விளைவாக, இருபடி வடிவம் எதிர்மறையாகவோ அல்லது நேர்மறையாகவோ இருக்க முடியாது, அதாவது. இந்த இருபடி வடிவம் அடையாளம்-நிச்சயமற்றது (இது எந்த அடையாளத்தின் மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம்).

முறை 2. அணி A D 1 = a 11 = 2 > 0. முதல் வரிசையின் முதன்மை மைனர் D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).