அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி. MS EXCEL இல் சராசரியை (மாறுபாடு அறியப்படுகிறது) மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

CB X ஒரு பொது மக்கள்தொகையை உருவாக்கி, β அறியப்படாத அளவுரு CB X ஆக இருக்கட்டும். * இல் உள்ள புள்ளிவிவர மதிப்பீடு சீராக இருந்தால், மாதிரி அளவு பெரியதாக இருந்தால், β இன் மதிப்பை மிகத் துல்லியமாகப் பெறுவோம். இருப்பினும், நடைமுறையில், எங்களிடம் மிகப் பெரிய மாதிரிகள் இல்லை, எனவே அதிக துல்லியத்திற்கு உத்தரவாதம் அளிக்க முடியாது.

b* என்பது cக்கான புள்ளிவிவர மதிப்பீடாக இருக்கட்டும். மதிப்பு |in* - in| கணிப்பு துல்லியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. β* ஒரு சீரற்ற மாறி என்பதால், துல்லியம் CB என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு சிறிய அமைப்போம் நேர்மறை எண் 8 மற்றும் மதிப்பீட்டின் துல்லியம் |в* - в| 8 க்கும் குறைவாக இருந்தது, அதாவது | in* - in |< 8.

நம்பகத்தன்மை g அல்லது நம்பிக்கை நிகழ்தகவு in by in * என்பது நிகழ்தகவு g ஆகும், இதில் சமத்துவமின்மை |in * - in|< 8, т. е.

பொதுவாக, நம்பகத்தன்மை g முன்கூட்டியே குறிப்பிடப்படுகிறது, மேலும் g என்பது 1 (0.9; 0.95; 0.99; ...) க்கு நெருக்கமான எண்ணாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

சமத்துவமின்மை இருந்து |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

இடைவெளி (* - 8 இல், * + 5 இல்) நம்பிக்கை இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது. நம்பிக்கை இடைவெளிஇல் தெரியாத அளவுருவை நிகழ்தகவு y உடன் உள்ளடக்கியது. நம்பிக்கை இடைவெளியின் முனைகள் சீரற்றவை மற்றும் மாதிரியிலிருந்து மாதிரிக்கு மாறுபடும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், எனவே இடைவெளி (* - 8 இல், * + 8 இல்) இதில் உள்ள அறியப்படாத அளவுருவை உள்ளடக்கியது என்று கூறுவது மிகவும் துல்லியமானது. இடைவெளி.

விடுங்கள் மக்கள் தொகைஒரு சீரற்ற மாறி X மூலம் வழங்கப்படுகிறது, இது சாதாரண விதி மற்றும் சராசரியின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது நிலையான விலகல்ஆனால் அது அறியப்படுகிறது. தெரியாதது கணித எதிர்பார்ப்பு a = M(X). கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மை y க்கான நம்பக இடைவெளியைக் கண்டறிவது அவசியம்.

மாதிரி அர்த்தம்

உள்ளது புள்ளியியல் மதிப்பீடு xg = a க்கு.

தேற்றம். சீரற்ற மாறி X ஒரு சாதாரண விநியோகம் மற்றும் M(XB) = a, எனில் xB க்கு இயல்பான விநியோகம் இருக்கும்.

A (XB) = a, அங்கு a = y/B (X), a = M (X). l/i

ஒருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி வடிவம் கொண்டது:

8ஐக் காண்கிறோம்.

விகிதத்தைப் பயன்படுத்துதல்

Ф(r) என்பது Laplace செயல்பாடாக இருந்தால், எங்களிடம் உள்ளது:

பி ( | XB - a |<8} = 2Ф

Laplace செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் அட்டவணை t இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம்.

நியமிக்கப்பட்ட நிலையில்

T, நாம் F(t) = g ஐப் பெறுகிறோம், ஏனெனில் g கொடுக்கப்பட்டதால், பின்னர்

சமத்துவத்தில் இருந்து மதிப்பீடு துல்லியமானது என்பதைக் காண்கிறோம்.

இதன் பொருள், ஒருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியில் வடிவம் உள்ளது:

X மக்கள்தொகையிலிருந்து ஒரு மாதிரி கொடுக்கப்பட்டது

n = U1 + ... + nm, பின் நம்பக இடைவெளி:

எடுத்துக்காட்டு 6.35. மாதிரி சராசரி Xb = 10.43, மாதிரி அளவு n = 100 மற்றும் நிலையான விலகல் s = 5 ஆகியவற்றை அறிந்து, 0.95 நம்பகத்தன்மையுடன் சாதாரண விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு a ஐ மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்

மற்றவை அனைத்தும் அவற்றின் கோட்பாட்டு ஒப்புமைகளின் மதிப்பீடுகளாகும், அவை ஒரு மாதிரியாக இல்லாவிட்டால், பொது மக்கள் தொகை கிடைத்தால் பெறலாம். ஆனால் ஐயோ, பொது மக்கள் மிகவும் விலை உயர்ந்தவர்கள் மற்றும் பெரும்பாலும் அணுக முடியாதவர்கள்.

இடைவெளி மதிப்பீட்டின் கருத்து

எந்த மாதிரி மதிப்பீட்டிலும் சில பரவல் உள்ளது, ஏனெனில் ஒரு குறிப்பிட்ட மாதிரியில் உள்ள மதிப்புகளைப் பொறுத்து ஒரு சீரற்ற மாறி ஆகும். எனவே, மிகவும் நம்பகமான புள்ளிவிவர முடிவுகளுக்கு, புள்ளி மதிப்பீட்டை மட்டுமல்ல, அதிக நிகழ்தகவு கொண்ட இடைவெளியையும் ஒருவர் அறிந்திருக்க வேண்டும். γ (காமா) மதிப்பிடப்பட்ட குறிகாட்டியை உள்ளடக்கியது θ (தீட்டா).

முறையாக, இவை இரண்டு அத்தகைய மதிப்புகள் (புள்ளிவிவரங்கள்) T 1 (X)மற்றும் T 2 (X), என்ன டி 1< T 2 , கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு மட்டத்தில் γ நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

சுருக்கமாக, அது சாத்தியம் γ அல்லது அதற்கு மேல் உண்மையான காட்டி புள்ளிகளுக்கு இடையில் உள்ளது T 1 (X)மற்றும் T 2 (X), இவை கீழ் மற்றும் மேல் எல்லைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன நம்பிக்கை இடைவெளி.

நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்குவதற்கான நிபந்தனைகளில் ஒன்று அதன் அதிகபட்ச குறுகலானது, அதாவது. அது முடிந்தவரை குறுகியதாக இருக்க வேண்டும். ஆசை மிகவும் இயற்கையானது, ஏனென்றால் ... ஆராய்ச்சியாளர் விரும்பிய அளவுருவின் இருப்பிடத்தை மிகவும் துல்லியமாக உள்ளூர்மயமாக்க முயற்சிக்கிறார்.

நம்பிக்கை இடைவெளியானது விநியோகத்தின் அதிகபட்ச நிகழ்தகவுகளை உள்ளடக்கியதாக இருக்க வேண்டும். மற்றும் மதிப்பீடு தன்னை மையத்தில் இருக்க வேண்டும்.

அதாவது, விலகல் நிகழ்தகவு (மதிப்பீட்டில் இருந்து உண்மையான காட்டி) மேல்நோக்கி விலகல் நிகழ்தகவு கீழ்நோக்கி சமம். சமச்சீரற்ற விநியோகங்களுக்கு, வலதுபுறத்தில் உள்ள இடைவெளி இடதுபுறத்தில் உள்ள இடைவெளிக்கு சமமாக இருக்காது என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

மேலே உள்ள படம், அதிக நம்பிக்கை நிகழ்தகவு, பரந்த இடைவெளி - நேரடி உறவு என்பதை தெளிவாகக் காட்டுகிறது.

இது தெரியாத அளவுருக்களின் இடைவெளி மதிப்பீட்டின் கோட்பாட்டின் ஒரு சிறிய அறிமுகமாகும். கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்குச் செல்லலாம்.

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

அசல் தரவு க்கு மேல் விநியோகிக்கப்பட்டால், சராசரியானது சாதாரண மதிப்பாக இருக்கும். சாதாரண மதிப்புகளின் நேரியல் கலவையும் ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது என்ற விதியிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது. எனவே, நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிட, சாதாரண விநியோகச் சட்டத்தின் கணிதக் கருவியைப் பயன்படுத்தலாம்.

இருப்பினும், இதற்கு இரண்டு அளவுருக்களைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் - எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு, பொதுவாக அறியப்படாதவை. நீங்கள் நிச்சயமாக, அளவுருக்களுக்குப் பதிலாக மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்தலாம் (எண்கணித சராசரி மற்றும் ), ஆனால் சராசரியின் விநியோகம் முற்றிலும் சாதாரணமாக இருக்காது, அது சற்று கீழ்நோக்கி தட்டையாக இருக்கும். இந்த உண்மையை அயர்லாந்தில் இருந்து குடிமகன் வில்லியம் கோசெட் புத்திசாலித்தனமாக குறிப்பிட்டார், மார்ச் 1908 பயோமெட்ரிகா இதழில் தனது கண்டுபிடிப்பை வெளியிட்டார். இரகசிய நோக்கங்களுக்காக, Gosset தன்னை மாணவர் என்று கையெழுத்திட்டார். மாணவர் டி-விநியோகம் இப்படித்தான் தோன்றியது.

இருப்பினும், வானியல் ஆய்வுகளில் பிழைகளை பகுப்பாய்வு செய்வதில் கே. காஸ் பயன்படுத்தும் தரவுகளின் இயல்பான விநியோகம், பூமிக்குரிய வாழ்க்கையில் மிகவும் அரிதானது மற்றும் நிறுவுவது மிகவும் கடினம் (அதிக துல்லியத்திற்கு சுமார் 2 ஆயிரம் அவதானிப்புகள் தேவை). எனவே, இயல்பான தன்மையின் அனுமானத்தை நிராகரித்து, அசல் தரவின் விநியோகத்தைச் சார்ந்து இல்லாத முறைகளைப் பயன்படுத்துவது சிறந்தது.

கேள்வி எழுகிறது: அறியப்படாத விநியோகத்தின் தரவிலிருந்து கணக்கிடப்பட்டால், எண்கணித சராசரியின் விநியோகம் என்ன? நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் நன்கு அறியப்பட்ட பதில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது மத்திய வரம்பு தேற்றம்(CPT). கணிதத்தில் அதன் பல வகைகள் உள்ளன (பல ஆண்டுகளாக சூத்திரங்கள் சுத்திகரிக்கப்பட்டுள்ளன), ஆனால் அவை அனைத்தும், தோராயமாக பேசுகையில், ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை ஒரு சாதாரண விநியோகச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது.

எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடும்போது, ​​சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை பயன்படுத்தப்படுகிறது. இங்கிருந்து, எண்கணித சராசரியானது இயல்பான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது, இதில் எதிர்பார்ப்பு என்பது அசல் தரவின் எதிர்பார்ப்பு, மற்றும் மாறுபாடு .

CLT ஐ எவ்வாறு நிரூபிப்பது என்பது புத்திசாலிகளுக்குத் தெரியும், ஆனால் Excel இல் நடத்தப்பட்ட ஒரு பரிசோதனையின் உதவியுடன் இதை நாங்கள் சரிபார்ப்போம். 50 சீராக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகளின் மாதிரியை உருவகப்படுத்துவோம் (எக்செல் செயல்பாட்டினை RANDBETWEEN ஐப் பயன்படுத்தி). அப்படியான 1000 மாதிரிகளை உருவாக்கி ஒவ்வொன்றிற்கும் எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடுவோம். அவற்றின் விநியோகத்தைப் பார்ப்போம்.

சராசரியின் விநியோகம் சாதாரண சட்டத்திற்கு அருகில் இருப்பதைக் காணலாம். மாதிரி அளவு மற்றும் எண்ணிக்கை இன்னும் பெரியதாக இருந்தால், ஒற்றுமை இன்னும் சிறப்பாக இருக்கும்.

CLT இன் செல்லுபடியாகும் தன்மையை இப்போது நாம் நம் கண்களால் பார்த்தோம், நிகழ்தகவுடன் உண்மையான சராசரி அல்லது கணித எதிர்பார்ப்புகளை உள்ளடக்கிய எண்கணித சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கணக்கிடலாம்.

மேல் மற்றும் கீழ் வரம்புகளை நிறுவ, நீங்கள் சாதாரண விநியோகத்தின் அளவுருக்களை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒரு விதியாக, எதுவும் இல்லை, எனவே மதிப்பீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: எண்கணித சராசரிமற்றும் மாதிரி மாறுபாடு. நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், இந்த முறை பெரிய மாதிரிகளுடன் மட்டுமே ஒரு நல்ல தோராயத்தை அளிக்கிறது. மாதிரிகள் சிறியதாக இருக்கும்போது, ​​மாணவர் விநியோகத்தைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. நம்பாதே! சராசரிக்கான மாணவர் விநியோகம் அசல் தரவு பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் போது மட்டுமே நிகழ்கிறது, அதாவது கிட்டத்தட்ட ஒருபோதும். எனவே, தேவையான தரவுகளின் அளவிற்கான குறைந்தபட்ச வரம்பை உடனடியாக நிர்ணயிப்பது மற்றும் அறிகுறியற்ற சரியான முறைகளைப் பயன்படுத்துவது நல்லது. 30 அவதானிப்புகள் போதும் என்கிறார்கள். 50 எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் - நீங்கள் தவறாகப் போக மாட்டீர்கள்.

டி 1.2- நம்பிக்கை இடைவெளியின் கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகள்

- மாதிரி எண்கணித சராசரி

கள் 0- மாதிரியின் நிலையான விலகல் (பக்கச்சார்பற்றது)

n - மாதிரி அளவு

γ நம்பிக்கை நிகழ்தகவு (பொதுவாக 0.9, 0.95 அல்லது 0.99 க்கு சமம்)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)நிலையான இயல்பான விநியோக செயல்பாட்டின் தலைகீழ் மதிப்பு. எளிமையாகச் சொன்னால், இது எண்கணித சராசரியிலிருந்து கீழ் அல்லது மேல் வரம்பு வரையிலான நிலையான பிழைகளின் எண்ணிக்கையாகும் (இந்த மூன்று நிகழ்தகவுகளும் 1.64, 1.96 மற்றும் 2.58 மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கும்).

சூத்திரத்தின் சாராம்சம் என்னவென்றால், எண்கணித சராசரி எடுக்கப்பட்டு, அதிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு ஒதுக்கப்படுகிறது ( γ உடன்) நிலையான பிழைகள் ( s 0 /√n) எல்லாம் தெரியும், அதை எடுத்து அதை கருத்தில்.

பெர்சனல் கம்ப்யூட்டர்களின் பரவலான பயன்பாட்டிற்கு முன், அவை சாதாரண விநியோக செயல்பாடு மற்றும் அதன் தலைகீழ் மதிப்புகளைப் பெறுகின்றன. அவை இன்றும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஆனால் ஆயத்த எக்செல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். மேலே உள்ள சூத்திரத்தின் அனைத்து கூறுகளையும் ( , மற்றும் ) எக்செல் இல் எளிதாகக் கணக்கிடலாம். ஆனால் நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதற்கு ஒரு ஆயத்த சூத்திரம் உள்ளது - TRUST.NORM. அதன் தொடரியல் பின்வருமாறு.

CONFIDENCE.NORM(alpha;standard_off;size)

ஆல்பா- முக்கியத்துவம் நிலை அல்லது நம்பிக்கை நிலை, மேலே ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறியீட்டில் 1- γ க்கு சமம், அதாவது. நிகழ்தகவு என்று கணிதம்எதிர்பார்ப்பு நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு வெளியே இருக்கும். 0.95 என்ற நம்பிக்கை நிலையுடன், ஆல்பா 0.05, முதலியன.

நிலையான_ஆஃப்- மாதிரி தரவின் நிலையான விலகல். நிலையான பிழையைக் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை, எக்செல் n இன் மூலத்தால் வகுக்கும்.

அளவு- மாதிரி அளவு (n).

கான்ஃபிடன்ஸ் நார்ம் செயல்பாட்டின் முடிவு, நம்பக இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தின் இரண்டாவது காலமாகும், அதாவது. அரை இடைவெளி அதன்படி, கீழ் மற்றும் மேல் புள்ளிகள் சராசரி ± பெறப்பட்ட மதிப்பு.

எனவே, எண்கணித சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கணக்கிடுவதற்கான உலகளாவிய வழிமுறையை உருவாக்க முடியும், இது அசல் தரவின் விநியோகத்தைப் பொறுத்தது அல்ல. உலகளாவியத்திற்கான விலை அதன் அறிகுறியற்ற தன்மை, அதாவது. ஒப்பீட்டளவில் பெரிய மாதிரிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியம். இருப்பினும், நவீன தொழில்நுட்ப யுகத்தில், தேவையான அளவு தரவுகளை சேகரிப்பது பொதுவாக கடினம் அல்ல.

நம்பிக்கை இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்தி புள்ளியியல் கருதுகோள்களைச் சோதித்தல்

(தொகுதி 111)

புள்ளிவிவரங்களில் தீர்க்கப்படும் முக்கிய பிரச்சனைகளில் ஒன்று. அதன் சாராம்சம் சுருக்கமாக பின்வருமாறு. எடுத்துக்காட்டாக, பொது மக்களின் எதிர்பார்ப்பு சில மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும் என்று ஒரு அனுமானம் செய்யப்படுகிறது. பின்னர் மாதிரியின் விநியோகம் என்பது கொடுக்கப்பட்ட எதிர்பார்ப்புக்குக் காணக்கூடியதாகும். அடுத்து, இந்த நிபந்தனை விநியோகத்தில் உண்மையான சராசரி எங்கு உள்ளது என்பதை அவர்கள் பார்க்கிறார்கள். இது அனுமதிக்கப்பட்ட வரம்புகளுக்கு அப்பால் சென்றால், அத்தகைய சராசரியின் தோற்றம் மிகவும் அரிதானது, மேலும் ஒரு சோதனை மீண்டும் மீண்டும் செய்வது கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது, இது முன்வைக்கப்பட்ட கருதுகோளுக்கு முரணானது, இது வெற்றிகரமாக நிராகரிக்கப்பட்டது. சராசரியானது முக்கியமான நிலைக்கு அப்பால் செல்லவில்லை என்றால், கருதுகோள் நிராகரிக்கப்படவில்லை (ஆனால் நிரூபிக்கப்படவில்லை!).

எனவே, நம்பிக்கை இடைவெளிகளின் உதவியுடன், எதிர்பார்ப்புக்கான எங்கள் விஷயத்தில், நீங்கள் சில கருதுகோள்களையும் சோதிக்கலாம். செய்வது மிகவும் எளிது. ஒரு குறிப்பிட்ட மாதிரியின் எண்கணித சராசரி 100 க்கு சமம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். கருதுகோள் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு, 90 என்று சோதிக்கப்படுகிறது. அதாவது, நாம் கேள்வியை முதன்மையாக முன்வைத்தால், அது இப்படித் தெரிகிறது: அது உண்மையுடன் இருக்க முடியுமா? சராசரியின் மதிப்பு 90 க்கு சமம், கவனிக்கப்பட்ட சராசரி 100 ஆக மாறியது?

இந்தக் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, நிலையான விலகல் மற்றும் மாதிரி அளவு பற்றிய தகவல்களும் உங்களுக்குத் தேவைப்படும். நிலையான விலகல் 30 என்றும், அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை 64 என்றும் வைத்துக்கொள்வோம் (வேரை எளிதாகப் பிரித்தெடுக்க). பின்னர் சராசரியின் நிலையான பிழை 30/8 அல்லது 3.75 ஆகும். 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிட, சராசரியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் இரண்டு நிலையான பிழைகளைச் சேர்க்க வேண்டும் (இன்னும் துல்லியமாக, 1.96). நம்பிக்கை இடைவெளி தோராயமாக 100± 7.5 அல்லது 92.5 முதல் 107.5 வரை இருக்கும்.

மேலும் காரணம் பின்வருமாறு. சோதிக்கப்படும் மதிப்பு நம்பிக்கை இடைவெளிக்குள் வந்தால், அது கருதுகோளுடன் முரண்படாது, ஏனெனில் சீரற்ற ஏற்ற இறக்கங்களின் வரம்புகளுக்குள் விழுகிறது (நிகழ்தகவு 95% உடன்). சரிபார்க்கப்படும் புள்ளி நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு வெளியே இருந்தால், அத்தகைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மிகவும் சிறியதாக இருக்கும், எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய நிலைக்கு கீழே. கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கு முரணாக கருதுகோள் நிராகரிக்கப்படுகிறது என்பதே இதன் பொருள். எங்கள் விஷயத்தில், எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பைப் பற்றிய கருதுகோள் நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு வெளியே உள்ளது (சோதனை செய்யப்பட்ட மதிப்பு 90 இடைவெளி 100±7.5 இல் சேர்க்கப்படவில்லை), எனவே அது நிராகரிக்கப்பட வேண்டும். மேலே உள்ள பழமையான கேள்விக்கு பதிலளிப்பதன் மூலம், இது கூறப்பட வேண்டும்: இல்லை, அது முடியாது, எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும், இது மிகவும் அரிதாகவே நடக்கும். பெரும்பாலும், அவை கருதுகோளை (p-level) தவறாக நிராகரிப்பதற்கான குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவைக் குறிக்கின்றன, மேலும் நம்பிக்கை இடைவெளி கட்டமைக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட நிலை அல்ல, ஆனால் மற்றொரு நேரத்தில்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சராசரி (அல்லது கணித எதிர்பார்ப்பு) க்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குவது கடினம் அல்ல. முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், சாரத்தை புரிந்துகொள்வது, பின்னர் விஷயங்கள் நகரும். நடைமுறையில், பெரும்பாலான நிகழ்வுகள் 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பயன்படுத்துகின்றன, இது சராசரியின் இருபுறமும் தோராயமாக இரண்டு நிலையான பிழைகள் அகலமாக இருக்கும்.

இப்போதைக்கு அவ்வளவுதான். ஆல் தி பெஸ்ட்!

சட்டத்திற்கு உட்பட்டு ஒரு பொது மக்களிடம் இருந்து மாதிரி எடுக்கலாம் சாதாரணவிநியோகம் எக்ஸ்N( மீ;  ) கணித புள்ளிவிவரங்களின் இந்த அடிப்படை அனுமானம் மைய வரம்பு தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. பொதுவான நிலையான விலகலை அறியலாம்  , ஆனால் கோட்பாட்டு விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு தெரியவில்லை மீ(சராசரி மதிப்பு).

இந்த வழக்கில், மாதிரி சராசரி , பரிசோதனையின் போது பெறப்பட்டது (பிரிவு 3.4.2), ஒரு சீரற்ற மாறியாகவும் இருக்கும் மீ;
) பின்னர் "சாதாரண" விலகல்
N(0;1) - ஒரு நிலையான சாதாரண சீரற்ற மாறி.

இதற்கான இடைவெளி மதிப்பீட்டைக் கண்டுபிடிப்பதே பணி மீ. இரண்டு பக்க நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குவோம் மீ அதனால் உண்மையான கணித எதிர்பார்ப்பு கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவுடன் (நம்பகத்தன்மை) அவருக்கு சொந்தமானது  .

மதிப்புக்கு அத்தகைய இடைவெளியை அமைக்கவும்
- இதன் பொருள் இந்த அளவின் அதிகபட்ச மதிப்பைக் கண்டறிதல்
மற்றும் குறைந்தபட்சம்
, இவை முக்கியமான பகுதியின் எல்லைகள்:
.

ஏனெனில் இந்த நிகழ்தகவு சமம்
, பின்னர் இந்த சமன்பாட்டின் வேர்
Laplace செயல்பாட்டு அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி காணலாம் (அட்டவணை 3, பின் இணைப்பு 1).

பின்னர் நிகழ்தகவுடன்  சீரற்ற மாறி என்று வாதிடலாம்
, அதாவது, விரும்பிய பொது சராசரி இடைவெளிக்கு சொந்தமானது
. (3.13)

அளவு
(3.14)

அழைக்கப்பட்டது துல்லியம்மதிப்பீடுகள்.

எண்
– அளவுஇயல்பான விநியோகம் - லாப்லேஸ் செயல்பாட்டின் ஒரு வாதமாகக் காணலாம் (அட்டவணை 3, பின் இணைப்பு 1), 2Ф( u)=, அதாவது F( u)=
.

குறிப்பிட்ட விலகல் மதிப்பின் படி, தலைகீழ்  அறியப்படாத பொது சராசரி எந்த நிகழ்தகவுடன் இடைவெளிக்கு சொந்தமானது என்பதைக் கண்டறியலாம்
. இதைச் செய்ய, நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும்

. (3.15)

மீண்டும் மீண்டும் தேர்ந்தெடுக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி, பொது மக்களிடமிருந்து சீரற்ற மாதிரியைப் பிரித்தெடுக்கலாம். Eq இலிருந்து
கண்டுபிடிக்க முடியும் குறைந்தபட்சம்தொகுதி மறு மாதிரி n, கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மையுடன் நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு அவசியம் முன்னமைக்கப்பட்ட மதிப்பை மீறவில்லை  . தேவையான மாதிரி அளவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடப்படுகிறது:

. (3.16)

ஆராய்வோம் கணிப்பு துல்லியம்
:

1) மாதிரி அளவு அதிகரிக்கும் போது nஅளவு  குறைகிறது, எனவே மதிப்பீட்டின் துல்லியம் அதிகரிக்கிறது.

2) சி அதிகரிக்கும்மதிப்பீட்டின் நம்பகத்தன்மை வாதத்தின் மதிப்பு அதிகரிக்கிறது u(ஏனெனில் எஃப்(u) ஏகபோகமாக அதிகரிக்கிறது) எனவே அதிகரிக்கிறது  . இந்த வழக்கில், நம்பகத்தன்மை அதிகரிக்கிறது குறைக்கிறதுஅதன் மதிப்பீட்டின் துல்லியம்  .

மதிப்பீடு
(3.17)

அழைக்கப்பட்டது கிளாசிக்கல்(எங்கே டி- பொறுத்து ஒரு குறிப்பிட்ட அளவுரு மற்றும் n), ஏனெனில் இது அடிக்கடி சந்திக்கும் விநியோக சட்டங்களை வகைப்படுத்துகிறது.

3.5.3 அறியப்படாத நிலையான விலகலுடன் ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகள் 

மக்கள்தொகை சாதாரண விநியோக சட்டத்திற்கு உட்பட்டது என்பதை அறியலாம் எக்ஸ்N( மீ; ), எங்கே மதிப்பு வேர் என்றால் சதுரம்விலகல்கள் தெரியவில்லை.

இந்த வழக்கில் பொதுவான சராசரியை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்க, புள்ளிவிவரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன
, உடன் மாணவர் விநியோகம் உள்ளது கே= n-1 டிகிரி சுதந்திரம். என்ற உண்மையிலிருந்து இது பின்வருமாறு N(0;1) (பிரிவு 3.5.2 ஐப் பார்க்கவும்), மற்றும்
(பிரிவு 3.5.3 ஐப் பார்க்கவும்) மற்றும் மாணவர் விநியோகத்தின் வரையறையிலிருந்து (பகுதி 1.பிரிவு 2.11.2).

மாணவர் விநியோகத்தின் பாரம்பரிய மதிப்பீட்டின் துல்லியத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்: அதாவது. நாம் கண்டுபிடிப்போம் டிசூத்திரத்திலிருந்து (3.17). சமத்துவமின்மையை நிறைவேற்றுவதற்கான நிகழ்தகவை விடுங்கள்
நம்பகத்தன்மையால் வழங்கப்படுகிறது  :

. (3.18)

இருந்து டிசெயின்ட் ( n-1), இது வெளிப்படையானது டிபொறுத்தது  மற்றும் n, எனவே அவர்கள் வழக்கமாக எழுதுகிறார்கள்
.

(3.19)

எங்கே
- உடன் மாணவர் விநியோக செயல்பாடு n-1 டிகிரி சுதந்திரம்.

இந்த சமன்பாட்டை தீர்ப்பது மீ, நாம் இடைவெளியைப் பெறுகிறோம்
அறியப்படாத அளவுருவை நம்பகத்தன்மையுடன் உள்ளடக்கியது மீ.

அளவு டி  , n-1, சீரற்ற மாறியின் நம்பக இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது டி(n-1), மாணவர்களின் சோதனையின் படி விநியோகிக்கப்பட்டது n-1 டிகிரி சுதந்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மாணவர் குணகம். கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி அதைக் கண்டறிய வேண்டும் nமற்றும்  "மாணவர் விநியோகத்தின் முக்கிய புள்ளிகள்" அட்டவணையில் இருந்து. (அட்டவணை 6, பின் இணைப்பு 1), இது சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளைக் குறிக்கிறது (3.19).

இதன் விளைவாக, பின்வரும் வெளிப்பாடு நமக்கு கிடைக்கிறது துல்லியம் மாறுபாடு தெரியவில்லை என்றால், கணித எதிர்பார்ப்பை (பொது சராசரி) மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி:

(3.20)

எனவே, மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்குவதற்கான பொதுவான சூத்திரம் உள்ளது:

நம்பிக்கை இடைவெளியின் துல்லியம் எங்கே  அறியப்பட்ட அல்லது அறியப்படாத சிதறலைப் பொறுத்து முறையே சூத்திரங்களின்படி 3.16. மற்றும் 3.20.

பிரச்சனை 10.சில சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்பட்டன, அவற்றின் முடிவுகள் அட்டவணையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன:

அவர்கள் சாதாரண விநியோக சட்டத்திற்கு கீழ்ப்படிகிறார்கள் என்று அறியப்படுகிறது
. மதிப்பீட்டைக் கண்டறியவும் மீ* கணித எதிர்பார்ப்புக்கு மீ, அதற்கு 90% நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்கவும்.

தீர்வு:

எனவே, மீ(2.53;5.47).

பிரச்சனை 11.கடலின் ஆழம் ஒரு சாதனத்தால் அளவிடப்படுகிறது, அதன் முறையான பிழை 0 ஆகும், மேலும் சீரற்ற பிழைகள் சாதாரண சட்டத்தின்படி நிலையான விலகலுடன் விநியோகிக்கப்படுகின்றன.  =15மீ. 90% நம்பிக்கை மட்டத்தில் 5 மீட்டருக்கு மேல் இல்லாத பிழைகளுடன் ஆழத்தை தீர்மானிக்க எத்தனை சுயாதீன அளவீடுகள் செய்யப்பட வேண்டும்?

தீர்வு:

எங்களிடம் உள்ள பிரச்சனையின் நிலைமைகளின்படி எக்ஸ்N( மீ;  ), எங்கே  = 15 மீ,  = 5 மீ,  =0.9. தொகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம் n.

1) கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மையுடன் = 0.9, அட்டவணைகள் 3 (இணைப்பு 1) இல் இருந்து லாப்லேஸ் செயல்பாட்டின் வாதத்தைக் காண்கிறோம். u  = 1.65.

2) குறிப்பிட்ட மதிப்பீட்டின் துல்லியத்தை அறிந்திருத்தல்  =u  =5, கண்டுபிடிப்போம்
. எங்களிடம் உள்ளது

. எனவே சோதனைகளின் எண்ணிக்கை n25.

பிரச்சனை 12.வெப்பநிலை மாதிரி டிஜனவரி முதல் 6 நாட்களுக்கு அட்டவணையில் வழங்கப்படுகிறது:

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும் மீநம்பிக்கை நிகழ்தகவு கொண்ட மக்கள் தொகை
மற்றும் பொதுவான நிலையான விலகலை மதிப்பிடவும் கள்.

தீர்வு:

மற்றும்
.

2) பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கவும்
:

;
;

.

3) பொதுவான மாறுபாடு தெரியவில்லை, ஆனால் அதன் மதிப்பீடு அறியப்பட்டதால், கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவதற்கு மீநாங்கள் மாணவர் விநியோகம் (அட்டவணை 6, பின் இணைப்பு 1) மற்றும் சூத்திரம் (3.20) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

ஏனெனில் n 1 =n 2 =6, பின்னர்,
, கள் 1 =6.85 எங்களிடம் உள்ளது:
, எனவே -29.2-4.1<மீ 1 < -29.2+4.1.

எனவே -33.3<மீ 1 <-25.1.

அதே போல நம்மிடம் உள்ளது,
, கள் 2 = 4.8, எனவே

–34.9< மீ 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: மீ 1 (-33.3;-25.1) மற்றும் மீ 2 (-34.9;-29.1).

பயன்பாட்டு அறிவியலில், எடுத்துக்காட்டாக, கட்டுமானத் துறைகளில், பொருள்களின் துல்லியத்தை மதிப்பிடுவதற்கு நம்பிக்கை இடைவெளி அட்டவணைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை தொடர்புடைய குறிப்பு இலக்கியத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

புள்ளிவிபரங்களில் இரண்டு வகையான மதிப்பீடுகள் உள்ளன: புள்ளி மற்றும் இடைவெளி. புள்ளி மதிப்பீடுமக்கள் தொகை அளவுருவை மதிப்பிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் ஒற்றை மாதிரி புள்ளிவிவரம். உதாரணமாக, மாதிரி சராசரி மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாதிரி மாறுபாட்டின் புள்ளி மதிப்பீடாகும் எஸ் 2- மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் புள்ளி மதிப்பீடு σ 2. மாதிரி சராசரி என்பது மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாகும் என்று காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு மாதிரி சராசரி சார்பற்றது என அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அனைத்து மாதிரி வழிமுறைகளின் சராசரி (ஒரே மாதிரி அளவுடன்) n) என்பது பொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு சமம்.

மாதிரி மாறுபாட்டின் பொருட்டு எஸ் 2மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாக மாறியது σ 2, மாதிரி மாறுபாட்டின் வகுத்தல் சமமாக அமைக்கப்பட வேண்டும் n – 1 , இல்லை n. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மக்கள்தொகை மாறுபாடு என்பது சாத்தியமான அனைத்து மாதிரி மாறுபாடுகளின் சராசரியாகும்.

மக்கள்தொகை அளவுருக்களை மதிப்பிடும்போது, ​​மாதிரி புள்ளிவிவரங்கள் போன்றவற்றை மனதில் கொள்ள வேண்டும் , குறிப்பிட்ட மாதிரிகள் சார்ந்தது. இந்த உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள, பெற இடைவெளி மதிப்பீடுபொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாதிரி வழிமுறைகளின் விநியோகத்தை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள் (மேலும் விவரங்களுக்கு, பார்க்கவும்). கட்டப்பட்ட இடைவெளியானது ஒரு குறிப்பிட்ட நம்பிக்கை நிலையால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, இது உண்மையான மக்கள்தொகை அளவுரு சரியாக மதிப்பிடப்பட்ட நிகழ்தகவைக் குறிக்கிறது. ஒரு குணாதிசயத்தின் விகிதத்தை மதிப்பிடுவதற்கு இதே போன்ற நம்பிக்கை இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்தலாம் ஆர்மற்றும் மக்கள்தொகையின் முக்கிய விநியோகிக்கப்பட்டது.

குறிப்பைப் பதிவிறக்கவும் அல்லது வடிவத்தில், எடுத்துக்காட்டுகள் வடிவத்தில்

அறியப்பட்ட நிலையான விலகலுடன் மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குதல்

மக்கள்தொகையில் ஒரு குணாதிசயத்தின் பங்கிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குதல்

இந்த பிரிவு நம்பிக்கை இடைவெளியின் கருத்தை வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவுகளுக்கு விரிவுபடுத்துகிறது. இது மக்கள்தொகையில் உள்ள பண்புகளின் பங்கை மதிப்பிட அனுமதிக்கிறது ஆர்மாதிரி பகிர்வைப் பயன்படுத்துதல் ஆர்எஸ்= X/n. குறிப்பிட்டுள்ளபடி, அளவுகள் என்றால் nஆர்மற்றும் n(1 - ப)எண் 5 ஐ விட அதிகமாக, ஈருறுப்புப் பரவலை சாதாரணமாக தோராயமாக மதிப்பிடலாம். எனவே, மக்கள்தொகையில் ஒரு குணாதிசயத்தின் பங்கை மதிப்பிடுவதற்கு ஆர்நம்பிக்கை நிலை சமமாக இருக்கும் ஒரு இடைவெளியை உருவாக்க முடியும் (1 - α)x100%.

எங்கே பஎஸ்- பண்பின் மாதிரி பங்கு, சமம் X/n, அதாவது வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை மாதிரி அளவு மூலம் வகுக்கப்படுகிறது, ஆர்- பொது மக்களில் பண்புகளின் பங்கு, Z- தரப்படுத்தப்பட்ட இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கிய மதிப்பு, n- மாதிரி அளவு.

எடுத்துக்காட்டு 3.கடந்த மாதத்தில் நிரப்பப்பட்ட 100 இன்வாய்ஸ்களைக் கொண்ட மாதிரி தகவல் அமைப்பிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்டது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இதில் 10 இன்வாய்ஸ்கள் பிழைகளுடன் தொகுக்கப்பட்டவை என்று வைத்துக் கொள்வோம். இவ்வாறு, ஆர்= 10/100 = 0.1. 95% நம்பிக்கை நிலை முக்கியமான மதிப்பு Z = 1.96 உடன் ஒத்துள்ளது.

எனவே, 4.12% மற்றும் 15.88% இன்வாய்ஸ்களில் பிழைகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 95% ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட மாதிரி அளவிற்கு, மக்கள்தொகையில் உள்ள பண்பின் விகிதத்தைக் கொண்ட நம்பிக்கை இடைவெளியானது தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியை விட அகலமாகத் தோன்றுகிறது. ஏனென்றால், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் அளவீடுகள் வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவுகளின் அளவீடுகளை விட அதிகமான தகவல்களைக் கொண்டிருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும் வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவு அவற்றின் விநியோகத்தின் அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கு போதுமான தகவலைக் கொண்டிருக்கவில்லை.

INவரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்ட மதிப்பீடுகளைக் கணக்கிடுதல்

கணித எதிர்பார்ப்பு மதிப்பீடு.இறுதி மக்கள்தொகைக்கான திருத்தக் காரணி ( fpc) ஒரு காரணி மூலம் நிலையான பிழையை குறைக்க பயன்படுத்தப்பட்டது. மக்கள் தொகை அளவுரு மதிப்பீடுகளுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கணக்கிடும் போது, ​​மாதிரிகள் திரும்பப் பெறப்படாமல் வரையப்படும் சூழ்நிலைகளில் ஒரு திருத்தக் காரணி பயன்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி சமமான நம்பிக்கை அளவைக் கொண்டுள்ளது (1 - α)x100%, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 4.ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகைக்கான திருத்தக் காரணியின் பயன்பாட்டை விளக்குவதற்கு, எடுத்துக்காட்டு 3 இல் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட விலைப்பட்டியல்களின் சராசரி அளவுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கலுக்குத் திரும்புவோம். ஒரு நிறுவனம் மாதத்திற்கு 5,000 இன்வாய்ஸ்களை வெளியிடுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். X̅=110.27 டாலர்கள், எஸ்= $28.95, என் = 5000, n = 100, α = 0.05, t 99 = 1.9842. சூத்திரம் (6) ஐப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

ஒரு அம்சத்தின் பங்கின் மதிப்பீடு.திரும்பப் பெறாமல் தேர்ந்தெடுக்கும் போது, ​​பண்பின் விகிதத்திற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு சமமான நம்பிக்கை நிலை உள்ளது (1 - α)x100%, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

நம்பிக்கை இடைவெளிகள் மற்றும் நெறிமுறை சிக்கல்கள்

மக்கள்தொகையை மாதிரியாக்கி புள்ளியியல் முடிவுகளை எடுக்கும்போது, ​​நெறிமுறை சிக்கல்கள் அடிக்கடி எழுகின்றன. நம்பக இடைவெளிகள் மற்றும் மாதிரி புள்ளிவிவரங்களின் புள்ளி மதிப்பீடுகள் எவ்வாறு ஒத்துக்கொள்கின்றன என்பது முக்கியமானது. தொடர்புடைய நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் குறிப்பிடாமல் புள்ளி மதிப்பீடுகளை வெளியிடுவது (பொதுவாக 95% நம்பிக்கை மட்டத்தில்) மற்றும் அவை பெறப்பட்ட மாதிரி அளவு குழப்பத்தை உருவாக்கலாம். மொத்த மக்கள்தொகையின் பண்புகளை கணிக்க, புள்ளி மதிப்பீடு சரியாக இருக்கும் என்ற எண்ணத்தை இது பயனருக்கு அளிக்கலாம். எனவே, எந்தவொரு ஆராய்ச்சியிலும் புள்ளி மதிப்பீடுகளில் கவனம் செலுத்தாமல், இடைவெளி மதிப்பீடுகளில் கவனம் செலுத்த வேண்டும் என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும். கூடுதலாக, மாதிரி அளவுகளின் சரியான தேர்வுக்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும்.

பெரும்பாலும், புள்ளிவிவர கையாளுதலின் பொருள்கள் சில அரசியல் பிரச்சினைகளில் மக்கள்தொகையின் சமூகவியல் ஆய்வுகளின் முடிவுகளாகும். அதே நேரத்தில், கணக்கெடுப்பு முடிவுகள் செய்தித்தாள்களின் முதல் பக்கங்களில் வெளியிடப்படுகின்றன, மேலும் மாதிரி பிழை மற்றும் புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வு முறைகள் நடுவில் எங்கோ வெளியிடப்படுகின்றன. பெறப்பட்ட புள்ளி மதிப்பீடுகளின் செல்லுபடியை நிரூபிக்க, அவை பெறப்பட்ட மாதிரி அளவு, நம்பிக்கை இடைவெளியின் எல்லைகள் மற்றும் அதன் முக்கியத்துவத்தின் நிலை ஆகியவற்றைக் குறிப்பிடுவது அவசியம்.

அடுத்த குறிப்பு

லெவின் மற்றும் பலர் மேலாளர்களுக்கான புள்ளி விவரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. – எம்.: வில்லியம்ஸ், 2004. – ப. 448–462

மத்திய வரம்பு தேற்றம்போதுமான பெரிய மாதிரி அளவுடன், கருவிகளின் மாதிரி விநியோகத்தை ஒரு சாதாரண விநியோகம் மூலம் தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் என்று கூறுகிறது. இந்த சொத்து மக்கள்தொகையின் விநியோக வகையைச் சார்ந்தது அல்ல.

MS EXCEL இல் நம்பக இடைவெளியை உருவாக்கி, அறியப்பட்ட சிதறல் மதிப்பின் போது விநியோகத்தின் சராசரி மதிப்பை மதிப்பிடுவோம்.

நிச்சயமாக தேர்வு நம்பிக்கை நிலைமுற்றிலும் தீர்க்கப்படும் சிக்கலைப் பொறுத்தது. எனவே, ஒரு விமானத்தின் நம்பகத்தன்மையில் ஒரு விமானப் பயணியின் நம்பிக்கையின் அளவு சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி ஒரு மின் விளக்கின் நம்பகத்தன்மையில் வாங்குபவரின் நம்பிக்கையின் அளவை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

சிக்கல் உருவாக்கம்

இருந்து என்று வைத்துக் கொள்வோம் மக்கள் தொகைஎடுக்கப்பட்டது மாதிரிஅளவு n. என்று கருதப்படுகிறது நிலையான விலகல்இந்த விநியோகம் அறியப்படுகிறது. இதன் அடிப்படையில் இது அவசியம் மாதிரிகள்தெரியாததை மதிப்பிடுங்கள் விநியோக சராசரி(μ, ) மற்றும் அதற்குரியதை உருவாக்கவும் இரட்டை பக்க நம்பிக்கை இடைவெளி.

புள்ளி மதிப்பீடு

இருந்து அறியப்படுகிறது புள்ளிவிவரங்கள்(அதைக் குறிக்கலாம் X சராசரி) ஆகும் சராசரியின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடுஇது மக்கள் தொகைமற்றும் விநியோகம் N(μ;σ 2 /n) உள்ளது.

குறிப்பு: நீங்கள் கட்ட வேண்டும் என்றால் என்ன செய்வது நம்பிக்கை இடைவெளிவிநியோகம் விஷயத்தில் இல்லை சாதாரணமா?இந்த வழக்கில், மீட்புக்கு வருகிறது, இது போதுமான அளவு பெரியது என்று கூறுகிறது மாதிரிகள்விநியோகத்திலிருந்து n இருப்பது இல்லை சாதாரண, புள்ளிவிவரங்களின் மாதிரி விநியோகம் X சராசரிசாப்பிடுவேன் தோராயமாகஒத்துள்ளது சாதாரண விநியோகம்அளவுருக்கள் N(μ;σ 2 /n) உடன்.

எனவே, புள்ளி மதிப்பீடு சராசரி விநியோக மதிப்புகள்எங்களிடம் உள்ளது - இது மாதிரி சராசரி, அதாவது X சராசரி. இப்போது ஆரம்பிக்கலாம் நம்பிக்கை இடைவெளி.

நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குதல்

பொதுவாக, விநியோகம் மற்றும் அதன் அளவுருக்களை அறிந்து, சீரற்ற மாறி நாம் குறிப்பிடும் இடைவெளியில் இருந்து ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவை கணக்கிடலாம். இப்போது அதற்கு நேர்மாறாக செய்வோம்: கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவுடன் சீரற்ற மாறி விழும் இடைவெளியைக் கண்டறியவும். உதாரணமாக, பண்புகளிலிருந்து சாதாரண விநியோகம் 95% நிகழ்தகவுடன், ஒரு சீரற்ற மாறி விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று அறியப்படுகிறது சாதாரண சட்டம், தோராயமாக +/- 2 வரம்பிற்குள் வரும் சராசரி மதிப்பு(இது பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). இந்த இடைவெளி நமக்கு ஒரு முன்மாதிரியாக இருக்கும் நம்பிக்கை இடைவெளி.

இப்போது விநியோகம் தெரியுமா என்று பார்ப்போம் , இந்த இடைவெளியை கணக்கிட வேண்டுமா? கேள்விக்கு பதிலளிக்க, விநியோகத்தின் வடிவத்தையும் அதன் அளவுருக்களையும் நாம் குறிப்பிட வேண்டும்.

விநியோகத்தின் வடிவம் எங்களுக்குத் தெரியும் - இது சாதாரண விநியோகம்(நாங்கள் பேசுகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்க மாதிரி விநியோகம் புள்ளிவிவரங்கள் X சராசரி).

μ அளவுரு எங்களுக்குத் தெரியவில்லை (அதை பயன்படுத்தி மதிப்பிட வேண்டும் நம்பிக்கை இடைவெளி), ஆனால் அதற்கான மதிப்பீடு எங்களிடம் உள்ளது X சராசரி,அடிப்படையில் கணக்கிடப்படுகிறது மாதிரிகள்,பயன்படுத்த முடியும்.

இரண்டாவது அளவுரு - மாதிரி சராசரியின் நிலையான விலகல் தெரிந்ததைக் கருதுவோம், இது σ/√nக்கு சமம்.

ஏனெனில் எங்களுக்கு μ தெரியாது, பின்னர் இடைவெளி +/- 2 ஐ உருவாக்குவோம் நிலையான விலகல்கள்இருந்து இல்லை சராசரி மதிப்பு, மற்றும் அதன் அறியப்பட்ட மதிப்பீட்டிலிருந்து X சராசரி. அந்த. கணக்கிடும் போது நம்பிக்கை இடைவெளிஎன்று நாங்கள் கருத மாட்டோம் X சராசரி+/- 2 வரம்பிற்குள் வரும் நிலையான விலகல்கள்μ இலிருந்து 95% நிகழ்தகவு, மற்றும் இடைவெளி +/- 2 என்று வைத்துக்கொள்வோம் நிலையான விலகல்கள்இருந்து X சராசரி 95% நிகழ்தகவுடன் இது μ ஐ உள்ளடக்கும் - பொது மக்களின் சராசரி,அதில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது மாதிரி. இந்த இரண்டு அறிக்கைகளும் சமமானவை, ஆனால் இரண்டாவது அறிக்கை நம்மை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது நம்பிக்கை இடைவெளி.

கூடுதலாக, இடைவெளியை தெளிவுபடுத்துவோம்: ஒரு சீரற்ற மாறி விநியோகிக்கப்படுகிறது சாதாரண சட்டம், 95% நிகழ்தகவு இடைவெளி +/- 1.960 க்குள் வரும் நிலையான விலகல்கள்,+/- அல்ல 2 நிலையான விலகல்கள். இதை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம் =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), செ.மீ. எடுத்துக்காட்டு கோப்பு தாள் இடைவெளி.

இப்போது நாம் ஒரு நிகழ்தகவு அறிக்கையை உருவாக்கலாம், அது நமக்கு உருவாக்க உதவும் நம்பிக்கை இடைவெளி:
"அதற்கான நிகழ்தகவு மக்கள் தொகை சராசரிஇருந்து அமைந்துள்ளது மாதிரி சராசரி 1,960 "க்குள் மாதிரி சராசரியின் நிலையான விலகல்கள்", சமம் 95%".

அறிக்கையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள நிகழ்தகவு மதிப்புக்கு ஒரு சிறப்புப் பெயர் உள்ளது , இது தொடர்புடையதுஒரு எளிய வெளிப்பாடு மூலம் முக்கியத்துவம் நிலை α (ஆல்பா). நம்பிக்கை நிலை =1 -α . எங்கள் விஷயத்தில் முக்கியத்துவம் நிலை α =1-0,95=0,05 .

இப்போது, ​​இந்த நிகழ்தகவு அறிக்கையின் அடிப்படையில், கணக்கிடுவதற்கான ஒரு வெளிப்பாட்டை எழுதுகிறோம் நம்பிக்கை இடைவெளி:

எங்கே Z α/2 – நிலையான சாதாரண விநியோகம்(சீரற்ற மாறியின் இந்த மதிப்பு z, என்ன பி(z>=Z α/2 )=α/2).

குறிப்பு: மேல் α/2-குவாண்டில்அகலத்தை வரையறுக்கிறது நம்பிக்கை இடைவெளிவி நிலையான விலகல்கள் மாதிரி சராசரி. மேல் α/2-குவாண்டில் நிலையான சாதாரண விநியோகம்எப்போதும் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும், இது மிகவும் வசதியானது.

எங்கள் விஷயத்தில், α=0.05 உடன், மேல் α/2-குவாண்டில் 1.960 க்கு சமம். மற்ற முக்கியத்துவ நிலைகளுக்கு α (10%; 1%) மேல் α/2-குவாண்டில் Z α/2 =NORM.ST.REV(1-α/2) அல்லது தெரிந்தால் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம் நம்பிக்கை நிலை, =NORM.ST.OBR((1+நம்பிக்கை நிலை)/2).

பொதுவாக கட்டும் போது சராசரியை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகள்பயன்படுத்த மட்டுமே மேல் α/2-அளவுமற்றும் பயன்படுத்த வேண்டாம் குறைந்த α/2-அளவு. ஏனெனில் இது சாத்தியம் நிலையான சாதாரண விநியோகம் x அச்சைப் பற்றி சமச்சீராக ( அதன் பரவல் அடர்த்திபற்றி சமச்சீர் சராசரி, அதாவது. 0). எனவே, கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை குறைந்த α/2-குவாண்டில்(இது வெறுமனே α என்று அழைக்கப்படுகிறது /2-அளவு), ஏனெனில் அது சமமானது மேல் α/2-அளவுகழித்தல் அடையாளத்துடன்.

x மதிப்பின் பரவலின் வடிவம் இருந்தபோதிலும், தொடர்புடைய சீரற்ற மாறி என்பதை நினைவுபடுத்துவோம். X சராசரிவிநியோகிக்கப்பட்டது தோராயமாக நன்றாக N(μ;σ 2 /n) (இது பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). எனவே, பொதுவாக, மேலே உள்ள வெளிப்பாடு நம்பிக்கை இடைவெளிஎன்பது ஒரு தோராயம் மட்டுமே. மதிப்பு x பரவியிருந்தால் சாதாரண சட்டம் N(μ;σ 2 /n), பின்னர் அதற்கான வெளிப்பாடு நம்பிக்கை இடைவெளிதுல்லியமானது.

MS EXCEL இல் நம்பிக்கை இடைவெளி கணக்கீடு

பிரச்சனையை தீர்க்கலாம்.
உள்ளீட்டு சிக்னலுக்கான எலக்ட்ரானிக் கூறுகளின் மறுமொழி நேரம் சாதனத்தின் ஒரு முக்கிய பண்பு ஆகும். ஒரு பொறியாளர் 95% நம்பக அளவில் சராசரி மறுமொழி நேரத்திற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்க விரும்புகிறார். முந்தைய அனுபவத்திலிருந்து, பதிலளிப்பு நேரத்தின் நிலையான விலகல் 8 எம்எஸ் என்பதை பொறியாளர் அறிந்திருக்கிறார். மறுமொழி நேரத்தை மதிப்பிடுவதற்கு, பொறியாளர் 25 அளவீடுகளை செய்தார், சராசரி மதிப்பு 78 எம்.எஸ்.

தீர்வு: ஒரு பொறியாளர் ஒரு மின்னணு சாதனத்தின் மறுமொழி நேரத்தை அறிய விரும்புகிறார், ஆனால் மறுமொழி நேரம் ஒரு நிலையான மதிப்பு அல்ல, மாறாக அதன் சொந்த விநியோகத்தைக் கொண்ட ஒரு சீரற்ற மாறி என்பதை அவர் புரிந்துகொள்கிறார். எனவே, இந்த விநியோகத்தின் அளவுருக்கள் மற்றும் வடிவத்தை தீர்மானிப்பதே அவர் நம்பக்கூடிய சிறந்தது.

துரதிர்ஷ்டவசமாக, சிக்கலின் நிலைமைகளிலிருந்து பதில் நேர விநியோகத்தின் வடிவம் எங்களுக்குத் தெரியாது (அது இருக்க வேண்டியதில்லை சாதாரண) , இந்த விநியோகமும் தெரியவில்லை. அவருக்கு மட்டுமே தெரியும் நிலையான விலகல்σ=8. எனவே, நிகழ்தகவுகளை நாம் கணக்கிட முடியாது மற்றும் கட்டமைக்க முடியாது நம்பிக்கை இடைவெளி.

இருப்பினும், விநியோகம் எங்களுக்குத் தெரியாது என்ற போதிலும் நேரம் தனி பதில், படி என்று எங்களுக்கு தெரியும் CPT, மாதிரி விநியோகம் சராசரி பதில் நேரம்தோராயமாக உள்ளது சாதாரண(நிபந்தனைகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம் CPTமேற்கொள்ளப்படுகின்றன, ஏனெனில் அளவு மாதிரிகள்மிகப் பெரியது (n=25)) .

மேலும், சராசரிஇந்த விநியோகம் சமமானது சராசரி மதிப்புஒற்றை பதிலின் விநியோகம், அதாவது. μ. ஏ நிலையான விலகல்இந்த விநியோகத்தின் (σ/√n) =8/ROOT(25) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

பொறியாளர் பெற்றுக்கொண்டதாகவும் அறியமுடிகிறது புள்ளி மதிப்பீடுஅளவுரு μ 78 எம்எஸ் (எக்ஸ் சராசரி) க்கு சமம். எனவே, இப்போது நாம் நிகழ்தகவுகளை கணக்கிடலாம், ஏனெனில் விநியோக வடிவத்தை நாங்கள் அறிவோம் ( சாதாரண) மற்றும் அதன் அளவுருக்கள் (X சராசரி மற்றும் σ/√n).

பொறியாளர் அறிய விரும்புகிறார் கணித எதிர்பார்ப்புμ பதில் நேர விநியோகம். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இந்த μ சமம் சராசரி மறுமொழி நேரத்தின் மாதிரி விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு. நாம் பயன்படுத்தினால் சாதாரண விநியோகம் N(Х சராசரி; σ/√n), பின்னர் விரும்பிய μ ஆனது +/-2*σ/√n வரம்பில் தோராயமாக 95% நிகழ்தகவுடன் இருக்கும்.

முக்கியத்துவம் நிலைசமம் 1-0.95=0.05.

இறுதியாக, இடது மற்றும் வலது எல்லையைக் கண்டுபிடிப்போம் நம்பிக்கை இடைவெளி.
இடது கரை: =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/ரூட்(25) = 74,864
வலது கரை: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/ROOT(25)=81.136

இடது கரை: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/ROOT(25))
வலது கரை: =NORM.REV(1-0.05/2; 78; 8/ROOT(25))

பதில்: நம்பிக்கை இடைவெளிமணிக்கு 95% நம்பிக்கை நிலை மற்றும் σ=8msecசமம் 78+/-3.136 ms.

IN சிக்மா தாளில் உள்ள எடுத்துக்காட்டு கோப்புஅறியப்பட்ட, கணக்கீடு மற்றும் கட்டுமானத்திற்கான ஒரு படிவத்தை உருவாக்கியது இரட்டை பக்க நம்பிக்கை இடைவெளிதன்னிச்சையாக மாதிரிகள்கொடுக்கப்பட்ட σ மற்றும் முக்கியத்துவம் நிலை.

CONFIDENCE.NORM() செயல்பாடு

மதிப்புகள் என்றால் மாதிரிகள்வரம்பில் உள்ளன B20:B79 , ஏ முக்கியத்துவம் நிலை 0.05 க்கு சமம்; பின்னர் MS EXCEL சூத்திரம்:
=சராசரி(B20:B79)-CONFIDENCE.NORM(0.05;σ; COUNT(B20:B79))
இடது எல்லையைத் திருப்பித் தரும் நம்பிக்கை இடைவெளி.

அதே வரம்பை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:
=சராசரி(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))

குறிப்பு: CONFIDENCE.NORM() செயல்பாடு MS EXCEL 2010 இல் தோன்றியது. MS EXCEL இன் முந்தைய பதிப்புகளில், TRUST() செயல்பாடு பயன்படுத்தப்பட்டது.