முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு ஒரு செயல்பாடு ஆகும். வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

வேறுபட்ட சமன்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவற்றை உள்ளடக்கிய ஒரு சமன்பாடாகும். பெரும்பாலான நடைமுறை சிக்கல்களில், செயல்பாடுகள் உள்ளன உடல் அளவுகள், வழித்தோன்றல்கள் இந்த அளவுகளின் மாற்ற விகிதங்களுக்கு ஒத்திருக்கும், மேலும் சமன்பாடு அவற்றுக்கிடையேயான உறவை தீர்மானிக்கிறது.

இந்த கட்டுரை சில வகையான சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது, அவற்றின் தீர்வுகள் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம் அடிப்படை செயல்பாடுகள் , அதாவது, பல்லுறுப்புக்கோவை, அதிவேக, மடக்கை மற்றும் முக்கோணவியல், அத்துடன் அவற்றின் தலைகீழ் செயல்பாடுகள். இந்த சமன்பாடுகளில் பல நிஜ வாழ்க்கையில் நிகழ்கின்றன, இருப்பினும் பிற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை இந்த முறைகளால் தீர்க்க முடியாது, மேலும் அவற்றுக்கான பதில் சிறப்பு செயல்பாடுகள் அல்லது சக்தித் தொடரின் வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது, அல்லது காணப்படுகிறது. எண் முறைகள்.

இந்தக் கட்டுரையைப் புரிந்து கொள்ள, நீங்கள் வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸில் நிபுணத்துவம் பெற்றவராக இருக்க வேண்டும், அத்துடன் பகுதி வழித்தோன்றல்களைப் பற்றிய சில புரிதல்களையும் கொண்டிருக்க வேண்டும். வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் நேரியல் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைகளை அறியவும் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, குறிப்பாக இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள், இருப்பினும் அவற்றைத் தீர்க்க வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் பற்றிய அறிவு போதுமானது.

முதற்கட்ட தகவல்

• வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்ஒரு விரிவான வகைப்பாடு வேண்டும். பற்றி இந்தக் கட்டுரை பேசுகிறது சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள், அதாவது, ஒரு மாறியின் செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களை உள்ளடக்கிய சமன்பாடுகள் பற்றி. சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் புரிந்துகொள்வதற்கும் தீர்ப்பதற்கும் மிகவும் எளிதானது பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள், இதில் பல மாறிகளின் செயல்பாடுகள் அடங்கும். இந்த சமன்பாடுகளை தீர்ப்பதற்கான முறைகள் பொதுவாக அவற்றின் குறிப்பிட்ட வடிவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுவதால், இந்த கட்டுரை பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் பற்றி விவாதிக்கவில்லை.
  • சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ளன.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ளன.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\ displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\பகுதி y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2))=0)
• ஆர்டர்ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு இந்த சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலின் வரிசையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. மேலே உள்ள சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளில் முதலாவது முதல் வரிசை, இரண்டாவது இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடு ஆகும். பட்டம்வேறுபட்ட சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது மிக உயர்ந்த பட்டம், இந்த சமன்பாட்டின் விதிமுறைகளில் ஒன்று உயர்த்தப்பட்டது.
  • எடுத்துக்காட்டாக, கீழே உள்ள சமன்பாடு மூன்றாம் வரிசை மற்றும் இரண்டாம் நிலை.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\ displaystyle \left((\frac (\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ வலது)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுசெயல்பாடு மற்றும் அதன் அனைத்து வழித்தோன்றல்களும் முதல் நிலையில் இருந்தால். இல்லையெனில் சமன்பாடு நேரியல் அல்லாத வேறுபாடு சமன்பாடு. நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள் குறிப்பிடத்தக்கவை, அவற்றின் தீர்வுகள் நேரியல் சேர்க்கைகளை உருவாக்கப் பயன்படுத்தப்படலாம், அவை கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளாகவும் இருக்கும்.
  • நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ளன.
  • நேரியல் அல்லாத வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ளன. சைன் காலத்தின் காரணமாக முதல் சமன்பாடு நேரியல் அல்ல.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t)\ right)^(2)+tx^(2)=0)
• பொதுவான தீர்வுசாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு தனித்துவமானது அல்ல, அதில் அடங்கும் தன்னிச்சையான ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிகள். பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை சமன்பாட்டின் வரிசைக்கு சமமாக இருக்கும். நடைமுறையில், இந்த மாறிலிகளின் மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டதன் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன ஆரம்ப நிலைமைகள், அதாவது, செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களின் படி x = 0. (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x=0.)கண்டுபிடிக்க வேண்டிய ஆரம்ப நிலைகளின் எண்ணிக்கை தனிப்பட்ட தீர்வுவேறுபட்ட சமன்பாடு, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வரிசைக்கு சமமாக இருக்கும்.
  • எடுத்துக்காட்டாக, இந்த கட்டுரை கீழே உள்ள சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது. இது இரண்டாவது வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும். அதன் பொதுவான தீர்வு இரண்டு தன்னிச்சையான மாறிலிகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த மாறிலிகளைக் கண்டறிய, ஆரம்ப நிலைகளை அறிந்து கொள்வது அவசியம் x (0) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x(0))மற்றும் x′ (0) . (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x"(0))பொதுவாக ஆரம்ப நிலைகள் புள்ளியில் குறிப்பிடப்படுகின்றன x = 0 , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x=0,), இது தேவையில்லை என்றாலும். கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலைகளுக்கு குறிப்பிட்ட தீர்வுகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதையும் இந்தக் கட்டுரை விவாதிக்கும்.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

படிகள்

பகுதி 1

இந்தச் சேவையைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​சில தகவல்கள் YouTubeக்கு மாற்றப்படலாம்.

1. முதல் வரிசையின் நேரியல் சமன்பாடுகள்.சில சொற்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது பொதுவாக மற்றும் சிறப்பு நிகழ்வுகளில் முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை இந்தப் பிரிவு விவாதிக்கிறது. என்று வைத்துக் கொள்வோம் y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​p(x))மற்றும் q (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​q(x))செயல்பாடுகளாகும் x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​p(x)=0.)முக்கிய கோட்பாடுகளில் ஒன்றின் படி கணித பகுப்பாய்வு, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் ஒருங்கிணைப்பும் ஒரு செயல்பாடாகும். எனவே, அதன் தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தால் போதும். கணக்கிடும் போது இது கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி தோன்றும்.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)நாங்கள் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் மாறிகள் பிரித்தல். இந்த வழக்கில், பல்வேறு மாறிகள் மாற்றப்படுகின்றன வெவ்வேறு பக்கங்கள்சமன்பாடுகள் எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் எல்லா உறுப்பினர்களையும் இதிலிருந்து நகர்த்தலாம் y (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y)ஒன்றாக, மற்றும் அனைத்து உறுப்பினர்களுடன் x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x)சமன்பாட்டின் மறுபுறம். உறுப்பினர்களையும் இடமாற்றம் செய்யலாம் d x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\mathrm (d) )x)மற்றும் d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), இது வழித்தோன்றல் வெளிப்பாடுகளில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் இவை நியாயமானவை என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும் சின்னம், இது ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்தும் போது வசதியானது. அழைக்கப்படும் இந்த உறுப்பினர்களின் கலந்துரையாடல் வேறுபாடுகள், இந்த கட்டுரையின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது.

   • முதலில், நீங்கள் மாறிகளை சம அடையாளத்தின் எதிர் பக்கங்களுக்கு நகர்த்த வேண்டும்.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம். ஒருங்கிணைப்புக்குப் பிறகு, தன்னிச்சையான மாறிலிகள் இருபுறமும் தோன்றும், அவை சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படும்.
     • ln ⁡ y = ∫ - p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e - ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • எடுத்துக்காட்டு 1.1.அன்று கடைசி படிநாங்கள் விதியைப் பயன்படுத்தினோம் e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))மற்றும் மாற்றப்பட்டது e C (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​e^(C))அன்று சி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி), இதுவும் ஒரு தன்னிச்சையான ஒருங்கிணைப்பு மாறிலி என்பதால்.
     • d y d x - 2 y sin ⁡ x = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos x (\n )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிய, நாங்கள் அறிமுகப்படுத்தினோம் ஒருங்கிணைக்கும் காரணிஒரு செயல்பாடாக x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x)இடது பக்கத்தை ஒரு பொதுவான வழித்தோன்றலாகக் குறைத்து, சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

   • இருபுறமும் பெருக்கவும் μ (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\mu (x))
     • μd y d x + μp y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • இடது புறத்தை பொதுவான வழித்தோன்றலுக்குக் குறைக்க, பின்வரும் மாற்றங்கள் செய்யப்பட வேண்டும்:
     • d d x (μ y) = d μd x y + μd y d x = μd y d x + μp y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d))((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • கடைசி சமத்துவம் என்று பொருள் d μd x = μp (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\mu )((\mathrm (d) )x)=\mu p). எந்தவொரு முதல்-வரிசை நேரியல் சமன்பாட்டையும் தீர்க்க இது போதுமான ஒருங்கிணைக்கும் காரணியாகும். இப்போது இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தை நாம் பெறலாம் μ , (\ காட்சி பாணி \mu ,)அனைத்து இடைநிலை கணக்கீடுகளையும் செய்ய பயிற்சிக்கு பயனுள்ளதாக இருந்தாலும்.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • எடுத்துக்காட்டு 1.2. IN இந்த எடுத்துக்காட்டில்கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலைகளுடன் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்று கருதப்பட்டது.
     • t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\ displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   முதல் வரிசையின் நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது (இன்ட்யூட் - நேஷனல் ஓபன் யுனிவர்சிட்டியால் பதிவு செய்யப்பட்டது).

2. நேரியல் அல்லாத முதல் வரிசை சமன்பாடுகள். இந்தப் பிரிவு சில முதல்-வரிசை நேரியல் அல்லாத வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது. அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான முறை இல்லை என்றாலும், அவற்றில் சிலவற்றை கீழே உள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம்.

   D y d x = f (x , y) (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)செயல்பாடு என்றால் f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளாகப் பிரிக்கலாம், அத்தகைய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடு. இந்த வழக்கில், நீங்கள் மேலே உள்ள முறையைப் பயன்படுத்தலாம்:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d))y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • எடுத்துக்காட்டு 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\ ஆரம்பம்(சீரமைக்கப்பட்டது)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))))என்று வைத்துக் கொள்வோம் g (x , y) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​g(x,y))மற்றும் h (x , y) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​h(x,y))செயல்பாடுகளாகும் x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x)மற்றும் ஒய். (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y.)பிறகு ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுஎன்பது ஒரு சமன்பாடு g (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​ஜி)மற்றும் h (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​h)உள்ளன ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகள்அதே அளவிற்கு. அதாவது, செயல்பாடுகள் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)எங்கே கே (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​கே)ஒருமைப்பாடு பட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எந்தவொரு ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு பொருத்தமானது மூலம் பயன்படுத்தப்படலாம் மாறிகளின் மாற்றீடுகள் (v = y / x (\displaystyle v=y/x)அல்லது v = x / y (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v=x/y)) பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு மாற்றவும்.

   • எடுத்துக்காட்டு 1.4.ஒருமைப்பாட்டின் மேலே உள்ள விளக்கம் தெளிவாகத் தெரியவில்லை. இந்த கருத்தை ஒரு உதாரணத்துடன் பார்ப்போம்.
     • d y d x = y 3 - x 3 y 2 x (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • தொடங்குவதற்கு, இந்த சமன்பாடு நேரியல் அல்ல என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் ஒய். (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y.)இந்த விஷயத்தில் மாறிகளைப் பிரிப்பது சாத்தியமில்லை என்பதையும் நாங்கள் காண்கிறோம். அதே நேரத்தில், இந்த வேறுபாடு சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானது, ஏனெனில் எண் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டும் 3 இன் சக்தியுடன் ஒரே மாதிரியானவை. எனவே, மாறிகளில் மாற்றத்தை செய்யலாம். v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x, d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = - 1 v 2 . (\ டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))))இதன் விளைவாக, எங்களிடம் சமன்பாடு உள்ளது v (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v)பிரிக்கக்கூடிய மாறிகளுடன்.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x - 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)இது பெர்னௌலி வேறுபாடு சமன்பாடு - சிறப்பு வகைமுதல் பட்டத்தின் நேரியல் சமன்பாடு, இதன் தீர்வை அடிப்படை செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம்.

   • சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்கவும் (1 - n) y − n (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(1-n)y^(-n)):
     • (1 - n) y - n d y d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • இடதுபுறத்தில் உள்ள ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சமன்பாட்டை நேரியல் சமன்பாட்டாக மாற்றுகிறோம் y 1 − n , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y^(1-n),)மேலே உள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும்.
     • d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.)இது மொத்த வேறுபாடுகளில் சமன்பாடு. என்று அழைக்கப்படுவதைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் சாத்தியமான செயல்பாடு φ (x , y) , (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\varphi (x,y),), இது நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது d φ d x = 0. (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • இந்த நிபந்தனையை நிறைவேற்ற, அது அவசியம் மொத்த வழித்தோன்றல். மொத்த வழித்தோன்றல் மற்ற மாறிகள் சார்ந்திருப்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது. மொத்த வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட φ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\varphi )மூலம் x , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x,)என்று நாங்கள் கருதுகிறோம் y (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y)சார்ந்து இருக்கலாம் x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\ டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​(\frac ((\mathrm (d))\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (hi\partial )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • விதிமுறைகளை ஒப்பிடுவது நமக்குத் தருகிறது M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))மற்றும் N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)))பல மாறிகளில் உள்ள சமன்பாடுகளுக்கான பொதுவான முடிவு இது, இதில் மென்மையான செயல்பாடுகளின் கலப்பு வழித்தோன்றல்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும். சில நேரங்களில் இந்த வழக்கு அழைக்கப்படுகிறது Clairaut இன் தேற்றம். இந்த வழக்கில், பின்வரும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், வேறுபட்ட சமன்பாடு மொத்த வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும்:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • மொத்த வேறுபாடுகளில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறை, பல வழித்தோன்றல்களின் முன்னிலையில் சாத்தியமான செயல்பாடுகளைக் கண்டறிவதைப் போன்றது, அதை நாம் சுருக்கமாக விவாதிப்போம். முதலில் ஒருங்கிணைப்போம் எம் (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​எம்)மூலம் x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x.)இருந்து எம் (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​எம்)ஒரு செயல்பாடு மற்றும் x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x), மற்றும் y , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y,)ஒருங்கிணைக்கும்போது நாம் ஒரு முழுமையற்ற செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம் φ , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\varphi ,)என நியமிக்கப்பட்டது φ ~ (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​(\tilde (\varphi ))). முடிவும் சார்ந்துள்ளது y (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y)ஒருங்கிணைப்பு மாறிலி.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • இதற்குப் பிறகு, பெற c (y) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​c(y))விளைந்த செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து நாம் எடுக்கலாம் y , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y,)முடிவை சமன் N (x , y) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​N(x,y))மற்றும் ஒருங்கிணைக்க. நீங்கள் முதலில் ஒருங்கிணைக்கலாம் N (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​N), பின்னர் பகுதி வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x), இது ஒரு தன்னிச்சையான செயல்பாட்டைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும் d(x) (\displaystyle d(x))இரண்டு முறைகளும் பொருத்தமானவை, பொதுவாக எளிமையான செயல்பாடு ஒருங்கிணைப்புக்குத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\frac (\partial \varphi )(\ partial y))=\frac (\ பகுதி (\tilde (\varphi )))(\பகுதி y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • எடுத்துக்காட்டு 1.5.நீங்கள் பகுதி வழித்தோன்றல்களை எடுத்துக் கொள்ளலாம் மற்றும் கீழே உள்ள சமன்பாடு மொத்த வேறுபாடு சமன்பாடு என்பதைக் காணலாம்.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin (aligned)\varp &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\பகுதி) \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))c)((\mathrm (d) y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x^(3)+xy^(2)=C)
   • வேறுபட்ட சமன்பாடு மொத்த வேறுபாடு சமன்பாடு இல்லை என்றால், சில சமயங்களில் நீங்கள் அதை மொத்த வேறுபாடு சமன்பாட்டாக மாற்ற அனுமதிக்கும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த காரணியைக் காணலாம். இருப்பினும், இத்தகைய சமன்பாடுகள் நடைமுறையில் அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மற்றும் ஒருங்கிணைக்கும் காரணி என்றாலும் உள்ளது, அதைக் கண்டுபிடிப்பது நடக்கும் எளிதானது அல்ல, எனவே இந்த சமன்பாடுகள் இந்த கட்டுரையில் கருதப்படவில்லை.

பகுதி 2

1. நிலையான குணகங்களுடன் ஒரே மாதிரியான நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.இந்த சமன்பாடுகள் நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, எனவே அவற்றின் தீர்வு முதன்மை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. இந்த வழக்கில், நாங்கள் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகளைப் பற்றி பேசவில்லை, ஆனால் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் 0 இருப்பதைப் பற்றி அடுத்த பகுதி அதை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் காட்டுகிறது பன்முகத்தன்மை கொண்டவேறுபட்ட சமன்பாடுகள். கீழே a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a)மற்றும் b (\ displaystyle b)மாறிலிகளாகும்.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   சிறப்பியல்பு சமன்பாடு. இந்த வேறுபாடு சமன்பாடு குறிப்பிடத்தக்கது, அதன் தீர்வுகள் என்ன பண்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதில் நீங்கள் கவனம் செலுத்தினால், அதை மிக எளிதாக தீர்க்க முடியும். சமன்பாட்டிலிருந்து அது தெளிவாகிறது y (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y)மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்கள் ஒன்றுக்கொன்று விகிதாசாரமாகும். முதல்-வரிசை சமன்பாடுகள் பிரிவில் விவாதிக்கப்பட்ட முந்தைய எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, ஒரு அதிவேக சார்பு மட்டுமே இந்த பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் அறிவோம். எனவே, முன்வைக்க முடியும் அன்சாட்ஸ்(ஒரு படித்த யூகம்) இந்த சமன்பாட்டிற்கு என்ன தீர்வு இருக்கும் என்பது பற்றி.

   • தீர்வு ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும் e r x , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​e^(rx),)எங்கே r (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​r)ஒரு மாறிலி, அதன் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். இந்தச் செயல்பாட்டை சமன்பாட்டில் மாற்றவும் மற்றும் பெறவும் அடுத்த வெளிப்பாடு
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • இந்த சமன்பாடு ஒரு அதிவேக சார்பு மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. டிகிரியின் எந்த மதிப்புகளுக்கும் அடுக்கு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது என்பது அறியப்படுகிறது. இதிலிருந்து நாம் பல்லுறுப்புக்கோவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று முடிவு செய்கிறோம். எனவே, ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் மிகவும் எளிமையான சிக்கலாக வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் உள்ள சிக்கலைக் குறைத்துள்ளோம், இது கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பண்புச் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
     • r 2 + a r + b = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = - a ± a 2 - 4 b 2 (\ displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • எங்களுக்கு இரண்டு வேர்கள் கிடைத்தன. இந்த வேறுபாடு சமன்பாடு நேரியல் என்பதால், அதன் பொதுவான தீர்வு பகுதி தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையாகும். இது இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடு என்பதால், அது என்று நமக்குத் தெரியும் உண்மையில்பொதுவான தீர்வு, மற்றவை இல்லை. பாடப்புத்தகங்களில் காணக்கூடிய ஒரு தீர்வின் இருப்பு மற்றும் தனித்தன்மை பற்றிய கோட்பாடுகளில் இதற்கு மிகவும் கடுமையான நியாயம் உள்ளது.
   • இரண்டு தீர்வுகள் நேரியல் சார்புடையதா என்பதைச் சரிபார்க்க ஒரு பயனுள்ள வழி கணக்கிடுவது வ்ரோன்ஸ்கியானா. வ்ரோன்ஸ்கியன் W (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​W)ஒரு மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் ஆகும், அதன் நெடுவரிசைகள் செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கும். நேரியல் இயற்கணிதம் தேற்றம், வ்ரோன்ஸ்கியன் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், வ்ரோன்ஸ்கியனில் உள்ள செயல்பாடுகள் நேரியல் சார்ந்து இருக்கும் என்று கூறுகிறது. இந்த பிரிவில், இரண்டு தீர்வுகள் நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமானவையா என்பதை நாம் சரிபார்க்கலாம் - இதைச் செய்ய, வ்ரோன்ஸ்கியன் பூஜ்ஜியமாக இல்லை என்பதை உறுதிப்படுத்த வேண்டும். மாறுபட்ட அளவுருக்கள் மூலம் நிலையான குணகங்களுடன் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது வ்ரோன்ஸ்கியன் முக்கியமானது.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • நேரியல் இயற்கணிதம் அடிப்படையில், கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான அனைத்து தீர்வுகளின் தொகுப்பு ஒரு திசையன் இடத்தை உருவாக்குகிறது, அதன் பரிமாணம் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசைக்கு சமமாக இருக்கும். இந்த இடத்தில் ஒரு அடிப்படையை தேர்வு செய்யலாம் நேரியல் சார்பற்றதுஒருவருக்கொருவர் முடிவுகள். செயல்பாட்டின் காரணமாக இது சாத்தியமாகும் y (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y(x))செல்லுபடியாகும் நேரியல் இயக்கி. வழித்தோன்றல் உள்ளதுலீனியர் ஆபரேட்டர், ஏனெனில் இது வேறுபட்ட செயல்பாடுகளின் இடத்தை அனைத்து செயல்பாடுகளின் இடமாக மாற்றுகிறது. எந்த நேரியல் ஆபரேட்டருக்கும் சமன்பாடுகள் ஒரே மாதிரியானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன எல் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​எல்)நாம் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு காண வேண்டும் L [y ] = 0. (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​எல்[y]=0.)

   இப்போது பல குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் பல வேர்களின் வழக்கை சிறிது நேரம் கழித்து, வரிசையைக் குறைப்பதற்கான பிரிவில் பரிசீலிப்போம்.

   வேர்கள் என்றால் r ± (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​r_(\pm ))வெவ்வேறு உண்மையான எண்கள், வேறுபாடு சமன்பாட்டில் பின்வரும் தீர்வு உள்ளது

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r - x (\ displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   இரண்டு சிக்கலான வேர்கள்.இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்திலிருந்து, உண்மையான குணகங்களுடன் கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகள் உண்மையான அல்லது இணைந்த ஜோடிகளை உருவாக்கும் வேர்களைக் கொண்டுள்ளன. எனவே, என்றால் சிக்கலான எண் r = α + i β (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​r=\alpha +i\beta)என்பது சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர் r ∗ = α − i β (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​r^(*)=\alpha -i\beta )இந்த சமன்பாட்டின் மூலமும் ஆகும். எனவே, படிவத்தில் தீர்வு எழுதலாம் c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)இருப்பினும், இது ஒரு சிக்கலான எண் மற்றும் நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு விரும்பத்தக்கதல்ல.

   • அதற்கு பதிலாக நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆய்லரின் சூத்திரம் e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), இது படிவத்தில் தீர்வை எழுத அனுமதிக்கிறது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​e^(\alpha x)(c_(1)\cos பீட்டா x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • இப்போது நீங்கள் ஒரு நிலையான பதிலாக முடியும் c 1 + c 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​c_(1)+c_(2))எழுது c 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​c_(1)), மற்றும் வெளிப்பாடு i (c 1 - c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))உடன் மாற்றவும் c 2 . (\displaystyle c_(2))இதற்குப் பிறகு, பின்வரும் தீர்வைப் பெறுகிறோம்:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • வீச்சு மற்றும் கட்டத்தின் அடிப்படையில் தீர்வை எழுத மற்றொரு வழி உள்ளது, இது இயற்பியல் சிக்கல்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது.
   • எடுத்துக்காட்டு 2.1.கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலைகளுடன் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் காண்போம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் விளைந்த தீர்வை எடுக்க வேண்டும். அத்துடன் அதன் வழித்தோன்றல், மற்றும் ஆரம்ப நிலைகளில் அவற்றை மாற்றவும், இது தன்னிச்சையான மாறிலிகளை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கும்.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) ^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 2 ± 31 2 i (\ displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e - 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 31 sin ⁡ + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\ displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\வலது)\முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)))
     • x ′ (0) = − 1 = - 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   நிலையான குணகங்களுடன் n வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது (இன்ட்யூட் - நேஷனல் திறந்த பல்கலைக்கழகத்தால் பதிவு செய்யப்பட்டது).

2. ஒழுங்கு குறைகிறது.வரிசைக் குறைப்பு என்பது ஒரு நேரியல் சார்பற்ற தீர்வு அறியப்படும் போது வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையாகும். இந்த முறை சமன்பாட்டின் வரிசையை ஒன்றால் குறைப்பதைக் கொண்டுள்ளது, இது முந்தைய பிரிவில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. தீர்வு தெரியட்டும். ஆர்டர் குறைப்புக்கான முக்கிய யோசனை, கீழே உள்ள வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதாகும், அங்கு செயல்பாட்டை வரையறுக்க வேண்டியது அவசியம். v (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v(x)), வேறுபட்ட சமன்பாட்டில் அதை மாற்றுதல் மற்றும் கண்டறிதல் v(x). (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v(x))நிலையான குணகங்கள் மற்றும் பல வேர்களைக் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வரிசைக் குறைப்பு எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்.

   
   

   பல வேர்கள்நிலையான குணகங்களுடன் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு. இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடு இரண்டு நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க. என்றால் சிறப்பியல்பு சமன்பாடுபல வேர்கள், பல தீர்வுகள் உள்ளன இல்லைஇந்த தீர்வுகள் நேரியல் சார்ந்து இருப்பதால் ஒரு இடத்தை உருவாக்குகிறது. இந்த வழக்கில், இரண்டாவது நேரியல் சுயாதீன தீர்வைக் கண்டறிய ஆர்டர் குறைப்பைப் பயன்படுத்துவது அவசியம்.

   • பண்புச் சமன்பாடு பல வேர்களைக் கொண்டிருக்கட்டும் r (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​r). இரண்டாவது தீர்வு படிவத்தில் எழுதப்படலாம் என்று வைத்துக்கொள்வோம் y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), மற்றும் அதை வேறுபட்ட சமன்பாட்டில் மாற்றவும். இந்த வழக்கில், செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலுடன் சொற்களைத் தவிர, பெரும்பாலான சொற்கள் v , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v,)குறைக்கப்படும்.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • எடுத்துக்காட்டு 2.2.பல வேர்களைக் கொண்ட பின்வரும் சமன்பாட்டைக் கொடுக்கவும் r = - 4. (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​r=-4.)மாற்றீடு செய்யும் போது, ​​பெரும்பாலான விதிமுறைகள் குறைக்கப்படுகின்றன.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e - 4 x y ′ = v ′ (x) e - 4 x - 4 v (x) e - 4 x y ″ = v ″ (x) e - 4 x - (8 v) − − 4 x + 16 v (x) e - 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)))
     • v ″ e - 4 x - 8 v ′ e - 4 x + 16 v e - 4 x + 8 v ′ e - 4 x - 32 v e - 4 x + 16 v e - 4 x + 16 v e - 4 x + 16 v e - 4 x + 16 v )v""e^(-4x)&-(\ரத்துசெய் (8v"e^(-4x)))+(\ரத்துசெய் (16ve^(-4x)))\\&+(\ரத்துசெய் (8v"e) ^(-4x))-(\ரத்துசெய் (32ve^(-4x)))+(\ரத்துசெய் (16ve^(-4x)))=0\முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)))
   • நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான எங்கள் அன்சாட்ஸைப் போலவே, இந்த விஷயத்தில் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் மட்டுமே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். நாங்கள் இரண்டு முறை ஒருங்கிணைத்து, விரும்பிய வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம் v (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • பின்னர் குணாதிசய சமன்பாடு பல வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் போது நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வை பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதலாம். வசதிக்காக, நேரியல் சுதந்திரத்தைப் பெற, இரண்டாவது வார்த்தையைப் பெருக்க போதுமானது என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ளலாம். x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x). இந்த தீர்வுகளின் தொகுப்பு நேரியல் சார்பற்றது, எனவே இந்த சமன்பாட்டிற்கான அனைத்து தீர்வுகளையும் நாங்கள் கண்டறிந்துள்ளோம்.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) x))+q(x)y=0.)தீர்வு தெரிந்தால் ஆர்டர் குறைப்பு பொருந்தும் y 1 (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(1)(x)), பிரச்சனை அறிக்கையில் காணலாம் அல்லது கொடுக்கலாம்.

   • படிவத்தில் ஒரு தீர்வைத் தேடுகிறோம் y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))இந்த சமன்பாட்டில் அதை மாற்றவும்:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1′ + q (x)) = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • இருந்து y 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(1))ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு, அனைத்து விதிமுறைகளும் v (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v)குறைக்கப்பட்டு வருகின்றன. இறுதியில் அது எஞ்சியுள்ளது முதல் வரிசை நேரியல் சமன்பாடு. இதை இன்னும் தெளிவாகப் பார்க்க, மாறிகளை மாற்றுவோம் w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிட முடிந்தால், அடிப்படை செயல்பாடுகளின் கலவையாக பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம். இல்லையெனில், தீர்வு ஒருங்கிணைந்த வடிவத்தில் விடப்படலாம்.

3. Cauchy-Euler சமன்பாடு. Cauchy-Euler சமன்பாடு இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு மாறிகள்குணகங்கள், இது சரியான தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த சமன்பாடு நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, கோள ஆயங்களில் லாப்லேஸ் சமன்பாட்டை தீர்க்க.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   சிறப்பியல்பு சமன்பாடு.நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த வேறுபாடு சமன்பாட்டில், ஒவ்வொரு சொல்லிலும் ஒரு சக்தி காரணி உள்ளது, அதன் அளவு தொடர்புடைய வழித்தோன்றலின் வரிசைக்கு சமம்.

   • எனவே, நீங்கள் வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைத் தேட முயற்சி செய்யலாம் y (x) = x n , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y(x)=x^(n),)எங்கே தீர்மானிக்க வேண்டும் n (\displaystyle n), நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான அதிவேக செயல்பாட்டின் வடிவத்தில் ஒரு தீர்வை நாங்கள் தேடுகிறோம். வேறுபாடு மற்றும் மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு நாம் பெறுகிறோம்
     • x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்த, நாம் அதைக் கருத வேண்டும் x ≠ 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x\neq 0). புள்ளி x = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x=0)அழைக்கப்பட்டது வழக்கமான ஒற்றை புள்ளிவேறுபட்ட சமன்பாடு. பவர் தொடர்களைப் பயன்படுத்தி வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது இத்தகைய புள்ளிகள் முக்கியமானவை. இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, இது வேறுபட்ட மற்றும் உண்மையான, பல அல்லது சிக்கலான இணைந்ததாக இருக்கலாம்.
     • n ± = 1 - a ± (a - 1) 2 − 4 b 2 (\ displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1))^(2)-4b )))(2)))

   இரண்டு வெவ்வேறு உண்மையான வேர்கள்.வேர்கள் என்றால் n ± (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​n_(\pm ))உண்மையானது மற்றும் வேறுபட்டது, பின்னர் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   இரண்டு சிக்கலான வேர்கள்.சிறப்பியல்பு சமன்பாடு வேர்களைக் கொண்டிருந்தால் n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), தீர்வு ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு.

   • தீர்வை உண்மையான செயல்பாடாக மாற்ற, மாறிகளை மாற்றுகிறோம் x = e t , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x=e^(t),)அதாவது t = ln ⁡ x, (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​t=\ln x,)மற்றும் யூலரின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும். தன்னிச்சையான மாறிலிகளை நிர்ணயிக்கும் போது இதே போன்ற செயல்கள் முன்பு செய்யப்பட்டன.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e - β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • பின்னர் பொதுவான தீர்வு என எழுதலாம்
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   பல வேர்கள்.இரண்டாவது நேரியல் சார்பற்ற தீர்வைப் பெற, ஆர்டரை மீண்டும் குறைக்க வேண்டியது அவசியம்.

   • இது நிறைய கணக்கீடுகளை எடுக்கும், ஆனால் கொள்கை அப்படியே உள்ளது: நாங்கள் மாற்றுகிறோம் y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))ஒரு சமன்பாடு அதன் முதல் தீர்வு y 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(1)). குறைக்கப்பட்ட பிறகு, பின்வரும் சமன்பாடு பெறப்படுகிறது:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • இது ஒரு முதல் வரிசை நேரியல் சமன்பாடு ஆகும் v′ (x) . (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​v"(x))அவரது தீர்வு v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)எனவே, தீர்வு பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம். நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது - இரண்டாவது நேர்கோட்டில் பெற சுதந்திரமான முடிவுஒரு கூடுதல் உறுப்பினர் தேவை ln ⁡ x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. நிலையான குணகங்களுடன் ஒத்திசைவற்ற நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள். ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகள்போன்ற தோற்றம் L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)எங்கே f (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​f(x))- என்று அழைக்கப்படும் இலவச உறுப்பினர். வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் படி, இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு ஒரு சூப்பர் போசிஷன் ஆகும் தனிப்பட்ட தீர்வு y p (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(p)(x))மற்றும் கூடுதல் தீர்வு y c (x) . (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(c)(x).)இருப்பினும், இந்த வழக்கில், ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு என்பது ஆரம்ப நிலைமைகளால் கொடுக்கப்பட்ட தீர்வைக் குறிக்காது, மாறாக பன்முகத்தன்மை (ஒரு இலவச சொல்) இருப்பதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படும் ஒரு தீர்வு. ஒரு கூடுதல் தீர்வு தொடர்புடைய தீர்வு ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு, இதில் f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)ஒட்டுமொத்த தீர்வு என்பது இந்த இரண்டு தீர்வுகளின் மேலோட்டமாகும் L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), மற்றும் பின்னர் L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)அத்தகைய மேல்நிலை உண்மையில் ஒரு பொதுவான தீர்வாகும்.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   முறை நிச்சயமற்ற குணகங்கள். போலிச் சொல் அதிவேக, முக்கோணவியல், ஹைபர்போலிக் அல்லது ஆகியவற்றின் கலவையாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் காலவரையற்ற குணகங்களின் முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. சக்தி செயல்பாடுகள். இந்த செயல்பாடுகள் மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருப்பது உறுதி. இந்த பகுதியில் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் காண்போம்.

   • உள்ள விதிமுறைகளை ஒப்பிடுவோம் f (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​f(x))நிலையான காரணிகளுக்கு கவனம் செலுத்தாமல் விதிமுறைகளுடன். மூன்று சாத்தியமான வழக்குகள் உள்ளன.
     • எந்த இரண்டு உறுப்பினர்களும் ஒரே மாதிரி இல்லை.இந்த வழக்கில், ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(p))இருந்து சொற்களின் நேரியல் கலவையாக இருக்கும் y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(p))
     • f (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​f(x)) உறுப்பினர் கொண்டுள்ளது x n (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x^(n)) மற்றும் உறுப்பினர் y c , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(c),) எங்கே n (\displaystyle n) பூஜ்ஜியம் அல்லது நேர்மறை முழு எண், மற்றும் இந்த சொல் பண்பு சமன்பாட்டின் தனி மூலத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது.இந்த வழக்கில் y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(p))செயல்பாட்டின் கலவையைக் கொண்டிருக்கும் x n + 1 h (x) , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x^(n+1)h(x),)அதன் நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் பிற சொற்கள் f (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​f(x))மற்றும் அவற்றின் நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்கள்.
     • f (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​f(x)) உறுப்பினர் கொண்டுள்ளது h (x) , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​h(x),) இது ஒரு வேலை x n (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x^(n)) மற்றும் உறுப்பினர் y c , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(c),) எங்கே n (\displaystyle n) 0 அல்லது நேர்மறை முழு எண், இந்த சொல் ஒத்துள்ளது பலசிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்.இந்த வழக்கில் y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(p))செயல்பாட்டின் நேரியல் கலவையாகும் x n + s h (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x^(n+s)h(x))(எங்கே கள் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல்கள்)- மூலத்தின் பெருக்கம்) மற்றும் அதன் நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்கள், அத்துடன் செயல்பாட்டின் பிற உறுப்பினர்கள் f (x) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​f(x))மற்றும் அதன் நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்கள்.
   • அதை எழுதுவோம் y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(p))மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள சொற்களின் நேரியல் கலவையாக. நேரியல் கலவையில் இந்த குணகங்களுக்கு நன்றி இந்த முறை"தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களின் முறை" என்று அழைக்கப்படுகிறது. உள்ளடக்கங்கள் தோன்றும் போது y c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(c))தன்னிச்சையான மாறிலிகள் இருப்பதால் உறுப்பினர்கள் நிராகரிக்கப்படலாம் ஒய் சி . (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(c))இதற்குப் பிறகு நாங்கள் மாற்றுகிறோம் y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(p))சமன்பாட்டில் மற்றும் ஒத்த சொற்களை சமன்.
   • குணகங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். இந்த கட்டத்தில், இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பு பெறப்படுகிறது, இது பொதுவாக இல்லாமல் தீர்க்கப்படும் சிறப்பு பிரச்சனைகள். இந்த அமைப்பின் தீர்வு நம்மைப் பெற அனுமதிக்கிறது y p (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(p))அதன் மூலம் சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.
   • எடுத்துக்காட்டு 2.3.ஒரு சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதன் இலவச காலமானது வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது. அத்தகைய சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை காலவரையற்ற குணகங்களின் முறை மூலம் காணலாம்.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t - 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − 5 \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(சீரமைக்கப்பட்டது)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\ displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ முடிவு (வழக்குகள்)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   லாக்ரேஞ்ச் முறை.லாக்ரேஞ்ச் முறை, அல்லது தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை, அதிகம் பொது முறைஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, குறிப்பாக இலவசச் சொல் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான நேரியல் சார்பற்ற வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்காத சந்தர்ப்பங்களில். எடுத்துக்காட்டாக, இலவச விதிமுறைகளுடன் டான் ⁡ x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\tan x)அல்லது x - n (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x^(-n))ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க லாக்ரேஞ்ச் முறையைப் பயன்படுத்துவது அவசியம். லாக்ரேஞ்ச் முறையானது மாறி குணகங்களுடன் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும் பயன்படுத்தப்படலாம், இருப்பினும் இந்த விஷயத்தில், Cauchy-Euler சமன்பாட்டைத் தவிர, இது குறைவாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் கூடுதல் தீர்வு பொதுவாக அடிப்படை செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை.

   • தீர்வு பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதன் வழித்தோன்றல் இரண்டாவது வரியில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • முன்மொழியப்பட்ட தீர்வு இருப்பதால் இரண்டுஅறியப்படாத அளவு, அதை சுமத்துவது அவசியம் கூடுதல்நிபந்தனை. இந்த கூடுதல் நிபந்தனையை பின்வரும் படிவத்தில் தேர்வு செய்வோம்:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • இப்போது நாம் இரண்டாவது சமன்பாட்டைப் பெறலாம். உறுப்பினர்களின் மாற்றீடு மற்றும் மறுவிநியோகத்திற்குப் பிறகு, நீங்கள் உறுப்பினர்களை ஒன்றாகக் குழுவாக்கலாம் v 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v_(1))மற்றும் உறுப்பினர்கள் v 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v_(2)). ஏனெனில் இந்த விதிமுறைகள் குறைக்கப்பட்டுள்ளன y 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(1))மற்றும் y 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y_(2))தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் தீர்வுகள். இதன் விளைவாக, பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\ end(சீரமைக்கப்பட்டது)))
   • இந்த அமைப்பை மாற்றலாம் அணி சமன்பாடுவகை A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)யாருடைய தீர்வு x = A - 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)அணிக்கு 2 × 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​2\ மடங்கு 2) தலைகீழ் அணிதீர்மானிப்பதன் மூலம் வகுத்தல், மூலைவிட்ட உறுப்புகளை மறுசீரமைத்தல் மற்றும் மூலைவிட்டம் அல்லாத உறுப்புகளின் அடையாளத்தை மாற்றுவதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. உண்மையில், இந்த மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவர் ஒரு வ்ரோன்ஸ்கியன்.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ - y 2 - y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ முடிவு(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • இதற்கான வெளிப்பாடுகள் v 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v_(1))மற்றும் v 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​v_(2))கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஆர்டர் குறைப்பு முறையைப் போலவே, இந்த விஷயத்தில், ஒருங்கிணைப்பின் போது, ​​ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி தோன்றுகிறது, இது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வில் கூடுதல் தீர்வை உள்ளடக்கியது.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   நேஷனல் ஓபன் யுனிவர்சிட்டி இன்ட்யூட்டின் விரிவுரை "நிலையான குணகங்களுடன் nth வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்."

நடைமுறை பயன்பாடு

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் ஒரு செயல்பாட்டிற்கும் அதன் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வழித்தோன்றல்களுக்கும் இடையே ஒரு உறவை நிறுவுகின்றன. இத்தகைய உறவுகள் மிகவும் பொதுவானவை என்பதால், வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பல்வேறு துறைகளில் பரந்த பயன்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளன, மேலும் நாம் நான்கு பரிமாணங்களில் வாழ்வதால், இந்த சமன்பாடுகள் பெரும்பாலும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளாகும். தனிப்பட்டவழித்தோன்றல்கள். இந்த வகையின் மிக முக்கியமான சில சமன்பாடுகளை இந்த பகுதி உள்ளடக்கியது.

• அதிவேக வளர்ச்சி மற்றும் சிதைவு.கதிரியக்கச் சிதைவு. கூட்டு வட்டி. இரசாயன எதிர்வினைகளின் விகிதம். இரத்தத்தில் மருந்துகளின் செறிவு. வரம்பற்ற மக்கள்தொகை வளர்ச்சி. நியூட்டன்-ரிச்மேன் சட்டம். நிஜ உலகில் பல அமைப்புகள் உள்ளன, இதில் எந்த நேரத்திலும் வளர்ச்சி விகிதம் அல்லது சிதைவு விகிதம் ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் அளவுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் அல்லது ஒரு மாதிரியால் நன்கு தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம். ஏனென்றால், கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு, அதிவேக சார்பு, கணிதம் மற்றும் பிற அறிவியல்களில் மிக முக்கியமான செயல்பாடுகளில் ஒன்றாகும். மிகவும் பொதுவாக, கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மக்கள்தொகை வளர்ச்சியுடன், வளர்ச்சியைக் கட்டுப்படுத்தும் கூடுதல் விதிமுறைகளை அமைப்பில் சேர்க்கலாம். கீழே உள்ள சமன்பாட்டில், மாறிலி கே (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​கே)பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கலாம்.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• ஹார்மோனிக் அதிர்வுகள்.கிளாசிக்கல் மற்றும் குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ் இரண்டிலும், ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டர் அதன் எளிமை மற்றும் எளிமையான ஊசல் போன்ற மிகவும் சிக்கலான அமைப்புகளை தோராயமாக்குவதில் பரந்த பயன்பாடு காரணமாக மிக முக்கியமான இயற்பியல் அமைப்புகளில் ஒன்றாகும். கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸில் ஹார்மோனிக் அதிர்வுகள்நிலையைத் தொடர்புபடுத்தும் சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படுகின்றன பொருள் புள்ளிஹூக்கின் சட்டத்தின் மூலம் அதன் முடுக்கம். இந்த வழக்கில், ஈரப்பதம் மற்றும் உந்து சக்திகளையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளலாம். கீழே உள்ள வெளிப்பாட்டில் x ˙ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\dot (x)))- நேர வழித்தோன்றல் x , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x,) β (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\பீட்டா)- தணிக்கும் சக்தியை விவரிக்கும் அளவுரு, ω 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\omega _(0))- அமைப்பின் கோண அதிர்வெண், F (t) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​F(t))- நேரம் சார்ந்தது உந்து சக்தி. ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டர் மின்காந்த அலைவு சுற்றுகளிலும் உள்ளது, இது இயந்திர அமைப்புகளை விட அதிக துல்லியத்துடன் செயல்படுத்தப்படலாம்.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• பெசலின் சமன்பாடு.பெசல் வேறுபாடு சமன்பாடு இயற்பியலின் பல பகுதிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, தீர்வு உட்பட அலை சமன்பாடு, லாப்லேஸின் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஷ்ரோடிங்கரின் சமன்பாடுகள், குறிப்பாக உருளை அல்லது கோள சமச்சீர் முன்னிலையில். மாறி குணகங்களுடன் இந்த இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு ஒரு Cauchy-Euler சமன்பாடு அல்ல, எனவே அதன் தீர்வுகளை அடிப்படை செயல்பாடுகளாக எழுத முடியாது. பெசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் பெசல் செயல்பாடுகள் ஆகும், அவை பல துறைகளில் அவற்றின் பயன்பாடு காரணமாக நன்கு ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. கீழே உள்ள வெளிப்பாட்டில் α (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ ஆல்பா )- ஒத்திருக்கும் ஒரு மாறிலி வரிசையில்பெசல் செயல்பாடுகள்.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 - α 2) y = 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகள்.லோரென்ட்ஸ் விசையுடன், மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகள் கிளாசிக்கல் எலக்ட்ரோடைனமிக்ஸின் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. இவை மின்சாரத்திற்கான நான்கு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))மற்றும் காந்த B (r , t) (\ displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))வயல்வெளிகள். கீழே உள்ள வெளிப்பாடுகளில் ρ = ρ (r, t) (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- சார்ஜ் அடர்த்தி, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- தற்போதைய அடர்த்தி, மற்றும் ϵ 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\epsilon _(0))மற்றும் μ 0 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\mu _(0))- முறையே மின்சார மற்றும் காந்த மாறிலிகள்.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\dplagin\d\n\n\n\n (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ கணிதம்
• ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு.குவாண்டம் இயக்கவியலில், ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு என்பது இயக்கத்தின் அடிப்படை சமன்பாடாகும், இது அலை செயல்பாட்டின் மாற்றத்திற்கு ஏற்ப துகள்களின் இயக்கத்தை விவரிக்கிறது. Ψ = Ψ (r , t) (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))காலப்போக்கில். இயக்கத்தின் சமன்பாடு நடத்தை மூலம் விவரிக்கப்படுகிறது ஹாமில்டோனியன் H^(\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\hat (H))) - இயக்குபவர், இது அமைப்பின் ஆற்றலை விவரிக்கிறது. இயற்பியலில் ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டின் நன்கு அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்று, சாத்தியக்கூறுக்கு உட்பட்ட ஒற்றை சார்பியல் அல்லாத துகளுக்கான சமன்பாடு ஆகும். V (r , t) (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​V((\mathbf (r) ),t)). பல அமைப்புகள் நேரத்தைச் சார்ந்த ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படுகின்றன, மேலும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ளது E Ψ , (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​E\Psi ,)எங்கே இ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​இ)- துகள் ஆற்றல். கீழே உள்ள வெளிப்பாடுகளில் ℏ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\hbar)- குறைக்கப்பட்ட பிளாங்க் மாறிலி.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\ displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\ partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\ right)\Psi )
• அலை சமன்பாடு.இயற்பியல் மற்றும் தொழில்நுட்பம் அலைகள் இல்லாமல் கற்பனை செய்ய முடியாது, அவை அனைத்து வகையான அமைப்புகளிலும் உள்ளன. பொதுவாக, அலைகள் கீழே உள்ள சமன்பாட்டின் மூலம் விவரிக்கப்படுகின்றன, இதில் u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))விரும்பிய செயல்பாடு, மற்றும் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​சி)- சோதனை ரீதியாக தீர்மானிக்கப்பட்ட நிலையானது. ஒரு பரிமாண வழக்குக்கு அலை சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு என்பதை முதன்முதலில் கண்டுபிடித்தவர் டி'அலெம்பர்ட். ஏதேனும்வாதத்துடன் செயல்பாடு x - c t (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x-ct), இது வலதுபுறம் பரவும் தன்னிச்சையான வடிவ அலையை விவரிக்கிறது. ஒரு பரிமாண வழக்குக்கான பொதுவான தீர்வு இந்த செயல்பாட்டின் நேரியல் கலவையாகும், இது வாதத்துடன் இரண்டாவது செயல்பாடு ஆகும் x + c t (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x+ct), இது இடதுபுறம் பரவும் அலையை விவரிக்கிறது. இந்த தீர்வு இரண்டாவது வரியில் வழங்கப்படுகிறது.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x - c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகள்.நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகள் திரவங்களின் இயக்கத்தை விவரிக்கின்றன. விஞ்ஞானம் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தின் ஒவ்வொரு துறையிலும் திரவங்கள் இருப்பதால், இந்த சமன்பாடுகள் வானிலை கணிக்கவும், விமானத்தை வடிவமைக்கவும், கடல் நீரோட்டங்களைப் படிக்கவும் மற்றும் பல விஷயங்களைத் தீர்க்கவும் மிகவும் முக்கியம். பயன்பாட்டு சிக்கல்கள். நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகள் நேரியல் அல்லாத பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள், மேலும் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் அவற்றைத் தீர்ப்பது மிகவும் கடினம், ஏனெனில் நேரியல் அல்லாதது கொந்தளிப்புக்கு வழிவகுக்கிறது, மேலும் எண் முறைகள் மூலம் நிலையான தீர்வைப் பெறுவதற்கு மிகச் சிறிய செல்களாகப் பிரித்தல் தேவைப்படுகிறது, இதற்கு குறிப்பிடத்தக்க கணினி ஆற்றல் தேவைப்படுகிறது. ஹைட்ரோடைனமிக்ஸில் நடைமுறை நோக்கங்களுக்காக, கொந்தளிப்பான ஓட்டங்களை மாதிரியாக்க, நேர சராசரி போன்ற முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. தீர்வுகளின் இருப்பு மற்றும் தனித்தன்மை போன்ற இன்னும் அடிப்படை கேள்விகள் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள்பகுதி வழித்தோன்றல்களில், மற்றும் மூன்று பரிமாணங்களில் நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வின் இருப்பு மற்றும் தனித்தன்மையின் ஆதாரம் எண்ணில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது கணித சிக்கல்கள்மில்லினியம். சுருக்க முடியாத திரவ ஓட்ட சமன்பாடு மற்றும் தொடர்ச்சி சமன்பாடு கீழே உள்ளன.
  • u )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• மேலே உள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி பல வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை வெறுமனே தீர்க்க முடியாது, குறிப்பாக கடைசி பிரிவில் குறிப்பிடப்பட்டவை. சமன்பாடு கொண்டிருக்கும் நிகழ்வுகளுக்கு இது பொருந்தும் மாறி முரண்பாடுகள்மேலும் இது Cauchy-Euler சமன்பாடு அல்ல, அல்லது சமன்பாடு நேரியல் அல்லாத சில நிகழ்வுகளைத் தவிர. இருப்பினும், மேலே உள்ள முறைகள் பல முக்கியமான வேறுபாடு சமன்பாடுகளை தீர்க்க முடியும் பல்வேறு பகுதிகள்அறிவியல்.
• எந்தவொரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும் வேறுபாட்டைப் போலன்றி, பல வெளிப்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பை அடிப்படை செயல்பாடுகளில் வெளிப்படுத்த முடியாது. எனவே அது சாத்தியமில்லாத இடத்தில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு முயற்சி நேரத்தை வீணடிக்க வேண்டாம். ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையைப் பாருங்கள். ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை அடிப்படை செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த முடியாவிட்டால், சில நேரங்களில் அது ஒருங்கிணைந்த வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம், இந்த விஷயத்தில் இந்த ஒருங்கிணைப்பை பகுப்பாய்வு ரீதியாக கணக்கிட முடியுமா என்பது முக்கியமல்ல.

எச்சரிக்கைகள்

• தோற்றம்வேறுபட்ட சமன்பாடு தவறாக வழிநடத்தும். எடுத்துக்காட்டாக, கீழே இரண்டு முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள் உள்ளன. இந்த கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி முதல் சமன்பாட்டை எளிதாக தீர்க்க முடியும். முதல் பார்வையில், ஒரு சிறிய மாற்றம் y (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y)அன்று y 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​y^(2))இரண்டாவது சமன்பாட்டில் அதை நேரியல் அல்லாததாக ஆக்குகிறது மற்றும் தீர்க்க மிகவும் கடினமாகிறது.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) x))=x^(2)+y^(2))

சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு இது ஒரு சுயாதீன மாறி, இந்த மாறியின் அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் பல்வேறு ஆர்டர்களின் அதன் வழித்தோன்றல்கள் (அல்லது வேறுபாடுகள்) ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய ஒரு சமன்பாடு ஆகும்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை அதில் உள்ள மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலின் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சாதாரண சமன்பாடுகளுடன் கூடுதலாக, பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளும் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. இவை சுயாதீன மாறிகள் தொடர்பான சமன்பாடுகள், இந்த மாறிகளின் அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் அதே மாறிகள் தொடர்பான அதன் பகுதி வழித்தோன்றல்கள். ஆனால் நாங்கள் மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் எனவே, சுருக்கத்திற்காக, "சாதாரண" என்ற வார்த்தையைத் தவிர்ப்போம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

சமன்பாடு (1) நான்காவது வரிசை, சமன்பாடு (2) மூன்றாவது வரிசை, சமன்பாடுகள் (3) மற்றும் (4) இரண்டாவது வரிசை, சமன்பாடு (5) முதல் வரிசை.

வேறுபட்ட சமன்பாடு nவது வரிசையில் ஒரு வெளிப்படையான செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, முதலில் இருந்து அதன் அனைத்து வழித்தோன்றல்களும் n-வது வரிசை மற்றும் சுயாதீன மாறி. இது சில ஆர்டர்கள், செயல்பாடு அல்லது ஒரு சுயாதீன மாறியின் வழித்தோன்றல்களை வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்கக்கூடாது.

எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டில் (1) தெளிவாக மூன்றாம் மற்றும் இரண்டாம் வரிசை வழித்தோன்றல்கள் இல்லை, அதே போல் ஒரு செயல்பாடும் இல்லை; சமன்பாட்டில் (2) - இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல் மற்றும் செயல்பாடு; சமன்பாட்டில் (4) - சுயாதீன மாறி; சமன்பாட்டில் (5) - செயல்பாடுகள். சமன்பாடு (3) மட்டுமே வெளிப்படையாக அனைத்து வழித்தோன்றல்கள், செயல்பாடு மற்றும் சுயாதீன மாறி ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது ஒவ்வொரு செயல்பாடும் அழைக்கப்படுகிறது y = f(x), சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும் போது அது ஒரு அடையாளமாக மாறும்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் கண்டறியும் செயல்முறை அதன் அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைப்பு.

உதாரணம் 1.வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம். அதன் வழித்தோன்றலில் இருந்து செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதே தீர்வு. ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸில் இருந்து அறியப்படும் அசல் செயல்பாடு, இதற்கு ஒரு எதிர் வழிவகை ஆகும், அதாவது.

இதுதான் இந்த வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு . அதில் மாற்றம் சி, நாங்கள் வெவ்வேறு தீர்வுகளைப் பெறுவோம். முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருப்பதைக் கண்டறிந்தோம்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு nவது வரிசை அதன் தீர்வாகும், இது அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் கொண்டிருக்கும் nசுயாதீன தன்னிச்சையான மாறிலிகள், அதாவது.

எடுத்துக்காட்டு 1 இல் உள்ள வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு பொதுவானது.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பகுதி தீர்வு தன்னிச்சையான மாறிலிகளுக்கு குறிப்பிட்ட எண் மதிப்புகள் கொடுக்கப்படும் ஒரு தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வெவ்வேறு சமன்பாட்டின் வரிசைக்கு சமமாக பல முறை ஒருங்கிணைப்போம்.

,

.

இதன் விளைவாக, நாங்கள் ஒரு பொதுவான தீர்வைப் பெற்றோம் -

கொடுக்கப்பட்ட மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு.

இப்போது குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, தன்னிச்சையான குணகங்களுக்குப் பதிலாக அவற்றின் மதிப்புகளை மாற்றவும் மற்றும் பெறவும்

.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு கூடுதலாக, ஆரம்ப நிலை வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால், அத்தகைய சிக்கல் அழைக்கப்படுகிறது காச்சி பிரச்சனை . சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வுக்கு மதிப்புகளை மாற்றவும் மற்றும் தன்னிச்சையான மாறிலியின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் சி, பின்னர் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கான சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு சி. இதுதான் கௌசி பிரச்சனைக்கு தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 3.வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான Cauchy சிக்கலை எடுத்துக்காட்டு 1 க்கு உட்பட்டது.

தீர்வு. ஆரம்ப நிலையில் இருந்து மதிப்புகளை பொது தீர்வுக்கு மாற்றுவோம் ஒய் = 3, x= 1. நாம் பெறுகிறோம்

இந்த முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான Cauchy பிரச்சனைக்கான தீர்வை நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு, எளிமையானவை கூட, சிக்கலான செயல்பாடுகள் உட்பட நல்ல ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வழித்தோன்றல் திறன்கள் தேவை. இதை பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. சமன்பாடு அத்தகைய வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது, நீங்கள் உடனடியாக இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைக்க முடியும்.

.

மாறி (மாற்று) மாற்றத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். அப்போது இருக்கட்டும்.

எடுக்க வேண்டும் dxஇப்போது - கவனம் - ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதிகளின்படி இதைச் செய்கிறோம் xமற்றும் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு உள்ளது (“ஆப்பிள்” என்பது ஒரு சதுர மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பது அல்லது அதே விஷயம், “ஒரு பாதி” சக்திக்கு உயர்த்துவது, மற்றும் “துண்டு துண்தாக வெட்டப்பட்ட இறைச்சி” என்பது வேரின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு):

நாம் ஒருங்கிணைந்ததைக் காண்கிறோம்:

மாறிக்கு திரும்புகிறது x, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

இந்த முதல் நிலை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு இதுவாகும்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் உயர் கணிதத்தின் முந்தைய பிரிவுகளின் திறன்கள் மட்டுமல்ல, தொடக்கநிலை, அதாவது பள்ளிக் கணிதத்தின் திறன்களும் தேவைப்படும். ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, எந்தவொரு வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிலும் ஒரு சுயாதீன மாறி, அதாவது ஒரு மாறி இருக்கக்கூடாது. x. பள்ளியில் இருந்து மறக்கப்படாத (இருப்பினும், யாரைப் பொறுத்து) பள்ளியின் விகிதாச்சாரத்தைப் பற்றிய அறிவு இந்த சிக்கலை தீர்க்க உதவும். இது அடுத்த உதாரணம்.

கொடுக்கப்பட்டது ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்இணையத்தில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. உங்கள் சமன்பாட்டை பொருத்தமான புலத்தில் உள்ளிடவும், செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை ஒரு அபோஸ்ட்ரோபி மூலம் குறிப்பிடவும் மற்றும் "தீர்வு சமன்பாடு" பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும், மேலும் பிரபலமான WolframAlpha வலைத்தளத்தின் அடிப்படையில் செயல்படுத்தப்பட்ட அமைப்பு, விரிவான தகவல்களைத் தரும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கிறதுமுற்றிலும் இலவசம். கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலைகளுக்கு ஒத்துப்போகும் அளவை சாத்தியமான தீர்வுகளின் முழு தொகுப்பிலிருந்தும் தேர்ந்தெடுக்க Cauchy சிக்கலை நீங்கள் வரையறுக்கலாம். Cauchy பிரச்சனை ஒரு தனி துறையில் உள்ளிடப்பட்டுள்ளது.

வேறுபட்ட சமன்பாடு

இயல்பாக, சமன்பாட்டில் உள்ள செயல்பாடு ஒய்ஒரு மாறியின் செயல்பாடாகும் x. இருப்பினும், நீங்கள் மாறிக்கு உங்கள் சொந்த பெயரைக் குறிப்பிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டில் y(t) என்று எழுதினால், கால்குலேட்டர் தானாகவே அதை அங்கீகரிக்கும் ஒய்ஒரு மாறியில் இருந்து ஒரு செயல்பாடு உள்ளது டி. ஒரு கால்குலேட்டரின் உதவியுடன் உங்களால் முடியும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்எந்த சிக்கலான மற்றும் வகை: ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற, நேரியல் அல்லது நேரியல் அல்லாத, முதல் வரிசை அல்லது இரண்டாவது மற்றும் உயர் வரிசைகள், பிரிக்கக்கூடிய அல்லது பிரிக்க முடியாத மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகள் போன்றவை. தீர்வு வேறுபாடு. சமன்பாடு பகுப்பாய்வு வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, உள்ளது விரிவான விளக்கம். இயற்பியல் மற்றும் கணிதத்தில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் மிகவும் பொதுவானவை. அவற்றைக் கணக்கிடாமல், பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க முடியாது (குறிப்பாக கணித இயற்பியலில்).

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் நிலைகளில் ஒன்று செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைப்பதாகும். வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நிலையான முறைகள் உள்ளன. சமன்பாடுகளை y மற்றும் x என பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வடிவத்திற்குக் குறைத்து, பிரிக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளை தனித்தனியாக ஒருங்கிணைக்க வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, சில நேரங்களில் ஒரு குறிப்பிட்ட மாற்றீடு செய்யப்பட வேண்டும்.

வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து ஏற்கனவே தீர்க்கப்பட்டிருக்கலாம் அல்லது வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து அவை தீர்க்கப்படலாம் .

இடைவெளியில் வகையின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பொதுவான தீர்வு எக்ஸ், கொடுக்கப்பட்டவை, இந்த சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களின் ஒருங்கிணைப்பை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் கண்டறியலாம்.

நாம் பெறுகிறோம் .

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளைப் பார்த்தால், விரும்பிய பொதுவான தீர்வைக் காணலாம்:

y = F(x) + C,

எங்கே F(x)- ஒன்று ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகள் f(x)இடையில் எக்ஸ், ஏ உடன்- தன்னிச்சையான மாறிலி.

பெரும்பாலான சிக்கல்களில் இடைவெளி என்பதை நினைவில் கொள்க எக்ஸ்குறிப்பிட வேண்டாம். இதன் பொருள் அனைவருக்கும் ஒரு தீர்வு காணப்பட வேண்டும். x, இது மற்றும் விரும்பிய செயல்பாடு ஒய், மற்றும் அசல் சமன்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்.

நீங்கள் திருப்திகரமான ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கணக்கிட வேண்டும் என்றால் ஆரம்ப நிலை y(x 0) = y 0, பின்னர் பொது ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட்ட பிறகு y = F(x) + C, மாறிலியின் மதிப்பை தீர்மானிக்க இன்னும் அவசியம் C = C 0, ஆரம்ப நிலையைப் பயன்படுத்தி. அதாவது, நிலையானது C = C 0சமன்பாட்டிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது F(x 0) + C = y 0, மற்றும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் விரும்பிய பகுதி தீர்வு வடிவம் எடுக்கும்:

y = F(x) + C 0.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடித்து, முடிவின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும். இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம், அது ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்த பிறகு, நாம் பெறுகிறோம்:

.

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த ஒருங்கிணைப்பை எடுத்துக் கொள்வோம்:

அது., வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு.

முடிவு சரியானதா என்பதை உறுதிப்படுத்த, சரிபார்ப்போம். இதைச் செய்ய, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் நாம் கண்டறிந்த தீர்வை மாற்றுகிறோம்:

.

அதாவது, எப்போது அசல் சமன்பாடு ஒரு அடையாளமாக மாறும்:

எனவே, வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு சரியாக தீர்மானிக்கப்பட்டது.

நாங்கள் கண்டறிந்த தீர்வு வாதத்தின் ஒவ்வொரு உண்மையான மதிப்புக்கும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வாகும் x.

ஆரம்ப நிலையை பூர்த்தி செய்யும் ODE க்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கணக்கிட இது உள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மாறிலியின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவது அவசியம் உடன், இதில் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

.

.

பின்னர், மாற்றுதல் சி = 2 ODE இன் பொதுவான தீர்வுக்குள், ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைப் பெறுகிறோம்:

.

சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு சமன்பாட்டின் 2 பக்கங்களையும் பிரிப்பதன் மூலம் வழித்தோன்றலுக்கு தீர்வு காண முடியும் f(x). இந்த மாற்றம் சமமாக இருக்கும் f(x)எந்த சூழ்நிலையிலும் பூஜ்ஜியமாக மாறாது xவேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு இடைவெளியில் இருந்து எக்ஸ்.

வாதத்தின் சில மதிப்புகளுக்கு சாத்தியமான சூழ்நிலைகள் உள்ளன x ∈ எக்ஸ்செயல்பாடுகள் f(x)மற்றும் g(x)ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியமாக மாறும். ஒத்த மதிப்புகளுக்கு xஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு எந்தவொரு செயல்பாடும் ஆகும் ஒய், இது அவற்றில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் .

சில வாத மதிப்புகள் என்றால் x ∈ எக்ஸ்நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளது, அதாவது இந்த வழக்கில் ODE க்கு தீர்வுகள் இல்லை.

மற்ற அனைவருக்கும் xஇடைவெளியில் இருந்து எக்ஸ்வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு மாற்றப்பட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

உதாரணம் 1.

ODE க்கு பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம்: .

தீர்வு.

அடிப்படை அடிப்படை செயல்பாடுகளின் பண்புகளில் இருந்து, இயற்கை மடக்கை செயல்பாடு வாதத்தின் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, எனவே வெளிப்பாட்டின் வரையறையின் களம் ln(x+3)ஒரு இடைவெளி உள்ளது x > -3 . இதன் பொருள் கொடுக்கப்பட்ட வேறுபாடு சமன்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் x > -3 . இந்த வாத மதிப்புகளுக்கு, வெளிப்பாடு x+3மறைந்துவிடாது, எனவே 2 பகுதிகளை பிரிப்பதன் மூலம் வழித்தோன்றலுக்கான ODE ஐ தீர்க்கலாம் x + 3.

நாம் பெறுகிறோம் .

அடுத்து, வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்கப்பட்ட வேறுபாடு சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கிறோம்: . இந்த ஒருங்கிணைப்பை எடுக்க, அதை வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் உள்ளிடும் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்.