குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி தோராயப் பிழையைக் கணக்கிடுதல். உங்கள் விரல்களில் கணிதம்: குறைந்த சதுர முறைகள்

உதாரணம்.

மாறிகளின் மதிப்புகள் பற்றிய சோதனை தரவு எக்ஸ்மற்றும் மணிக்குஅட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அவற்றின் சீரமைப்பின் விளைவாக, செயல்பாடு பெறப்படுகிறது

பயன்படுத்தி முறை குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் , ஒரு நேரியல் சார்பு மூலம் இந்தத் தரவை தோராயமாக்குங்கள் y=ax+b(அளவுருக்களைக் கண்டறியவும் ஏமற்றும் பி) இரண்டு வரிகளில் எது சிறந்தது (குறைந்த சதுரங்கள் முறை என்ற பொருளில்) சோதனைத் தரவை சீரமைக்கிறது என்பதைக் கண்டறியவும். ஒரு வரைதல் செய்யுங்கள்.

குறைந்த சதுர முறையின் சாராம்சம் (LSM).

குணகங்களைக் கண்டுபிடிப்பதே பணி நேரியல் சார்பு, இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு ஏமற்றும் பி ஏற்றுக்கொள்கிறார் மிகச்சிறிய மதிப்பு. அதாவது, வழங்கப்பட்டது ஏமற்றும் பிகண்டறியப்பட்ட நேர்கோட்டிலிருந்து சோதனைத் தரவின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை சிறியதாக இருக்கும். குறைந்த சதுரங்கள் முறையின் முழுப் புள்ளியும் இதுதான்.

எனவே, உதாரணத்தைத் தீர்ப்பது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிவதாகும்.

குணகங்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெறுதல்.

இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு தொகுக்கப்பட்டு தீர்க்கப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல் மாறிகள் மூலம் ஏமற்றும் பி, இந்த வழித்தோன்றல்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்.

எந்தவொரு முறையையும் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் விளைவான அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம் (எடுத்துக்காட்டாக மாற்று முறை மூலம்அல்லது க்ரேமர் முறை) மற்றும் குறைந்த சதுர முறை (LSM) மூலம் குணகங்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெறவும்.

கொடுக்கப்பட்டது ஏமற்றும் பிசெயல்பாடு மிகச்சிறிய மதிப்பை எடுக்கும். இந்த உண்மைக்கான ஆதாரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது பக்கத்தின் முடிவில் உள்ள உரையில் கீழே.

அதுதான் குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முழு முறை. அளவுருவைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் அதொகைகள் ,, மற்றும் அளவுருவைக் கொண்டுள்ளது n- சோதனை தரவு அளவு. இந்த தொகைகளின் மதிப்புகளை தனித்தனியாக கணக்கிட பரிந்துரைக்கிறோம். குணகம் பிகணக்கீட்டிற்குப் பிறகு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது அ.

அசல் உதாரணத்தை நினைவில் கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது.

தீர்வு.

எங்கள் உதாரணத்தில் n=5. தேவையான குணகங்களின் சூத்திரங்களில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அளவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான வசதிக்காக அட்டவணையை நிரப்புகிறோம்.

அட்டவணையின் நான்காவது வரிசையில் உள்ள மதிப்புகள் 2 வது வரிசையின் மதிப்புகளை ஒவ்வொரு எண்ணிற்கும் 3 வது வரிசையின் மதிப்புகளால் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன. i.

அட்டவணையின் ஐந்தாவது வரிசையில் உள்ள மதிப்புகள் ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் 2 வது வரிசையில் உள்ள மதிப்புகளை வகுப்பதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன. i.

அட்டவணையின் கடைசி நெடுவரிசையில் உள்ள மதிப்புகள் வரிசைகள் முழுவதும் உள்ள மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

குணகங்களைக் கண்டறிய குறைந்த சதுர முறையின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம் ஏமற்றும் பி. அட்டவணையின் கடைசி நெடுவரிசையிலிருந்து தொடர்புடைய மதிப்புகளை அவற்றில் மாற்றுகிறோம்:

எனவே, y = 0.165x+2.184- விரும்பிய தோராயமான நேர்கோடு.

எந்த வரிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் y = 0.165x+2.184அல்லது அசல் தரவை சிறப்பாக தோராயமாக்குகிறது, அதாவது, குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு மதிப்பீட்டைச் செய்கிறது.

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையின் பிழை மதிப்பீடு.

இதைச் செய்ய, இந்த வரிகளிலிருந்து அசல் தரவின் சதுர விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும் மற்றும் , ஒரு சிறிய மதிப்பு ஒரு கோட்டுடன் ஒத்துள்ளது, இது குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையின் அர்த்தத்தில் அசல் தரவை சிறப்பாக தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது.

முதல், பின்னர் நேராக y = 0.165x+2.184அசல் தரவை சிறப்பாக தோராயமாக்குகிறது.

குறைந்த சதுரங்கள் (LS) முறையின் கிராஃபிக் விளக்கம்.

வரைபடங்களில் எல்லாம் தெளிவாகத் தெரியும். சிவப்புக் கோடு என்பது காணப்படும் நேர்க் கோடு y = 0.165x+2.184, நீலக் கோடு , இளஞ்சிவப்பு புள்ளிகள் அசல் தரவு.

நடைமுறையில், பல்வேறு செயல்முறைகளை மாதிரியாக்கும்போது - குறிப்பாக, பொருளாதார, உடல், தொழில்நுட்ப, சமூக - சில நிலையான புள்ளிகளில் அறியப்பட்ட மதிப்புகளிலிருந்து செயல்பாடுகளின் தோராயமான மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒன்று அல்லது மற்றொரு முறை பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த வகையான செயல்பாடு தோராயமான சிக்கல் அடிக்கடி எழுகிறது:

சோதனையின் விளைவாக பெறப்பட்ட அட்டவணைத் தரவைப் பயன்படுத்தி ஆய்வின் கீழ் செயல்முறையின் சிறப்பியல்பு அளவுகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான தோராயமான சூத்திரங்களை உருவாக்கும்போது;

எண் ஒருங்கிணைப்பு, வேறுபாடு, தீர்வு வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்முதலியன;

கருதப்படும் இடைவெளியின் இடைநிலை புள்ளிகளில் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை கணக்கிடுவது அவசியமானால்;

கருதப்படும் இடைவெளிக்கு வெளியே ஒரு செயல்முறையின் சிறப்பியல்பு அளவுகளின் மதிப்புகளை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​குறிப்பாக கணிக்கும்போது.

அட்டவணையால் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்முறையை மாதிரியாக்க, குறைந்தபட்ச சதுர முறையின் அடிப்படையில் இந்த செயல்முறையை தோராயமாக விவரிக்கும் ஒரு செயல்பாட்டை நாங்கள் உருவாக்கினால், அது தோராயமான செயல்பாடு (பின்னடைவு) என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் தோராயமான செயல்பாடுகளை உருவாக்குவதில் சிக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு தோராய பிரச்சனை.

இந்த வகையான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான MS எக்செல் தொகுப்பின் திறன்களைப் பற்றி இந்த கட்டுரை விவாதிக்கிறது, கூடுதலாக, இது அட்டவணையில் பின்னடைவுகளை உருவாக்குவதற்கான (உருவாக்கும்) முறைகள் மற்றும் நுட்பங்களை வழங்குகிறது. குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகள்(இது பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் அடிப்படையாகும்).

எக்செல் பின்னடைவுகளை உருவாக்க இரண்டு விருப்பங்களைக் கொண்டுள்ளது.

தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பின்னடைவுகளை (டிரெண்ட்லைன்கள்) ஒரு தரவு அட்டவணையின் அடிப்படையில் கட்டப்பட்ட வரைபடத்தில் சேர்த்தல் (வரைபடம் கட்டமைக்கப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே கிடைக்கும்);

எக்செல் பணித்தாளின் உள்ளமைக்கப்பட்ட புள்ளிவிவர செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, மூல தரவு அட்டவணையில் இருந்து நேரடியாக பின்னடைவுகளை (போக்கு வரிகள்) பெற அனுமதிக்கிறது.

ஒரு விளக்கப்படத்தில் போக்கு வரிகளைச் சேர்த்தல்

ஒரு செயல்முறையை விவரிக்கும் மற்றும் வரைபடத்தால் குறிப்பிடப்படும் தரவு அட்டவணைக்கு, Excel ஒரு பயனுள்ள பின்னடைவு பகுப்பாய்வு கருவியைக் கொண்டுள்ளது, இது உங்களை அனுமதிக்கிறது:

குறைந்த சதுரங்கள் முறையின் அடிப்படையில் உருவாக்கவும் மற்றும் வரைபடத்தில் ஐந்து வகையான பின்னடைவுகளைச் சேர்க்கவும், இது ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்முறையை வெவ்வேறு அளவிலான துல்லியத்துடன் மாதிரியாகக் காட்டுகிறது;

கட்டமைக்கப்பட்ட பின்னடைவு சமன்பாட்டை வரைபடத்தில் சேர்க்கவும்;

விளக்கப்படத்தில் காட்டப்படும் தரவுக்கு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பின்னடைவின் கடிதத்தின் அளவை தீர்மானிக்கவும்.

விளக்கப்படத் தரவின் அடிப்படையில், எக்செல் உங்களை நேரியல், பல்லுறுப்புக்கோவை, மடக்கை, ஆற்றல், அதிவேக வகை பின்னடைவுகளைப் பெற அனுமதிக்கிறது, அவை சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகின்றன:

y = y(x)

x என்பது ஒரு சுயாதீன மாறியாகும், இது பெரும்பாலும் இயற்கை எண்களின் (1; 2; 3; ...) வரிசையின் மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறது மற்றும் எடுத்துக்காட்டாக, ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்முறையின் நேரத்தை (பண்புகள்) உருவாக்குகிறது.

1 . நிலையான விகிதத்தில் மதிப்புகள் அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் மாடலிங் பண்புகளுக்கு நேரியல் பின்னடைவு நல்லது. ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்முறையை உருவாக்க இது எளிமையான மாதிரியாகும். இது சமன்பாட்டின் படி கட்டப்பட்டுள்ளது:

y = mx + b

இதில் m என்பது சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு நேரியல் பின்னடைவு abscissa அச்சுக்கு; b - ஆர்டினேட் அச்சுடன் நேரியல் பின்னடைவு வெட்டும் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு.

2 . ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை போக்கு வரியானது பல தனித்துவமான உச்சநிலைகளை (அதிகபட்சம் மற்றும் மினிமா) கொண்டிருக்கும் பண்புகளை விவரிக்க பயனுள்ளதாக இருக்கும். பல்லுறுப்புக்கோவை பட்டத்தின் தேர்வு, ஆய்வு செய்யப்படும் பண்பின் தீவிர எண்ணிக்கையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எனவே, ஒரு இரண்டாம் நிலை பல்லுறுப்புக்கோவையானது, அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் ஒரே ஒரு செயல்முறையை நன்கு விவரிக்க முடியும்; மூன்றாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை - இரண்டு தீவிரத்திற்கு மேல் இல்லை; நான்காவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை - மூன்று தீவிரத்திற்கு மேல் இல்லை, முதலியன.

இந்த வழக்கில், போக்கு வரி சமன்பாட்டின் படி கட்டப்பட்டுள்ளது:

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

இதில் c0, c1, c2,... c6 ஆகிய குணகங்கள் கட்டுமானத்தின் போது தீர்மானிக்கப்படும் மாறிலிகளாகும்.

3 . மாடலிங் பண்புகளின் போது மடக்கை போக்கு வரி வெற்றிகரமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதன் மதிப்புகள் ஆரம்பத்தில் வேகமாக மாறி பின்னர் படிப்படியாக நிலைப்படுத்தப்படுகின்றன.

y = c ln(x) + b

4 . ஆய்வின் கீழ் உள்ள உறவின் மதிப்புகள் வளர்ச்சி விகிதத்தில் நிலையான மாற்றத்தால் வகைப்படுத்தப்பட்டால், அதிகார-சட்டப் போக்கு வரி நல்ல முடிவுகளை அளிக்கிறது. அத்தகைய சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஒரு காரின் சீரான முடுக்கப்பட்ட இயக்கத்தின் வரைபடம். தரவு பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருந்தால் அல்லது எதிர்மறை மதிப்புகள், நீங்கள் பவர் ட்ரெண்ட் லைனைப் பயன்படுத்த முடியாது.

சமன்பாட்டின் படி கட்டப்பட்டது:

y = c xb

இதில் குணகங்கள் b, c மாறிலிகள்.

5 . தரவுகளில் ஏற்படும் மாற்ற விகிதம் தொடர்ந்து அதிகரிக்கும் போது ஒரு அதிவேக போக்கு வரி பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். பூஜ்ஜியம் அல்லது எதிர்மறை மதிப்புகளைக் கொண்ட தரவுகளுக்கு, இந்த வகை தோராயமும் பொருந்தாது.

சமன்பாட்டின் படி கட்டப்பட்டது:

y = c ebx

இதில் குணகங்கள் b, c மாறிலிகள்.

ஒரு போக்கு வரியைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​எக்செல் தானாகவே R2 இன் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறது, இது தோராயத்தின் நம்பகத்தன்மையை வகைப்படுத்துகிறது: R2 மதிப்பு ஒற்றுமைக்கு நெருக்கமாக இருந்தால், மிகவும் நம்பகத்தன்மையுடன் போக்கு வரியானது ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்முறையை தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது. தேவைப்பட்டால், R2 மதிப்பு எப்போதும் விளக்கப்படத்தில் காட்டப்படும்.

சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

தரவுத் தொடரில் போக்கு வரியைச் சேர்க்க:

தொடர்ச்சியான தரவுகளின் அடிப்படையில் ஒரு விளக்கப்படத்தை செயல்படுத்தவும், அதாவது விளக்கப்படப் பகுதியில் கிளிக் செய்யவும். வரைபட உருப்படி பிரதான மெனுவில் தோன்றும்;

இந்த உருப்படியைக் கிளிக் செய்த பிறகு, திரையில் ஒரு மெனு தோன்றும், அதில் நீங்கள் Add trend line கட்டளையைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

தரவுத் தொடரில் ஒன்றோடு தொடர்புடைய வரைபடத்தின் மீது மவுஸ் பாயிண்டரை நகர்த்தி வலது கிளிக் செய்வதன் மூலம் அதே செயல்களை எளிதாகச் செயல்படுத்தலாம்; தோன்றும் சூழல் மெனுவில், Add trend line கட்டளையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். Type tab திறக்கப்பட்டவுடன் Trend Line உரையாடல் பெட்டி திரையில் தோன்றும் (படம் 1).

இதற்குப் பிறகு உங்களுக்குத் தேவை:

வகை தாவலில் தேவையான போக்கு வரி வகையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் (இயல்புநிலையாக நேரியல் வகை தேர்ந்தெடுக்கப்படும்). பல்லுறுப்புக்கோவை வகைக்கு, பட்டப் புலத்தில், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவைக் குறிப்பிடவும்.

1 . பில்ட் ஆன் சீரிஸ் புலம் கேள்விக்குரிய விளக்கப்படத்தில் உள்ள அனைத்து தரவுத் தொடர்களையும் பட்டியலிடுகிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட தரவுத் தொடரில் ஒரு போக்கு வரியைச் சேர்க்க, பில்ட் ஆன் சீரிஸ் புலத்தில் அதன் பெயரைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

தேவைப்பட்டால், அளவுருக்கள் தாவலுக்குச் செல்வதன் மூலம் (படம் 2), நீங்கள் போக்கு வரிக்கு பின்வரும் அளவுருக்களை அமைக்கலாம்:

தோராயமான (மென்மையான) வளைவுப் புலத்தின் பெயரில் உள்ள போக்குக் கோட்டின் பெயரை மாற்றவும்.

முன்னறிவிப்பு புலத்தில் முன்னறிவிப்புக்கான காலங்களின் எண்ணிக்கையை (முன்னோக்கி அல்லது பின்தங்கிய) அமைக்கவும்;

விளக்கப்படப் பகுதியில் போக்குக் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்பிக்கவும், அதற்காக நீங்கள் தேர்வுப்பெட்டியை "விளக்கப்படத்தில் சமன்பாட்டைக் காட்டு" என்பதை இயக்க வேண்டும்;

வரைபடப் பகுதியில் தோராயமான நம்பகத்தன்மை மதிப்பான R2 ஐக் காண்பிக்கவும், அதற்காக நீங்கள் தோராயமான நம்பகத்தன்மை மதிப்பை வரைபடத்தில் (R^2) தேர்வுப்பெட்டியில் வைக்கவும்;

போக்குக் கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியை Y அச்சுடன் அமைக்கவும், இதற்காக நீங்கள் ஒரு புள்ளியில் Y அச்சுடன் வளைவின் குறுக்குவெட்டுக்கான தேர்வுப்பெட்டியை இயக்க வேண்டும்;

உரையாடல் பெட்டியை மூட சரி பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும்.

ஏற்கனவே வரையப்பட்ட போக்குக் கோட்டைத் திருத்தத் தொடங்க, மூன்று வழிகள் உள்ளன:

வடிவமைப்பு மெனுவிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட போக்கு வரி கட்டளையைப் பயன்படுத்தவும், முன்பு போக்கு வரியைத் தேர்ந்தெடுத்த பிறகு;

சூழல் மெனுவிலிருந்து வடிவமைப்பு போக்கு வரி கட்டளையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், இது போக்கு வரியில் வலது கிளிக் செய்வதன் மூலம் அழைக்கப்படுகிறது;

போக்கு வரியில் இருமுறை கிளிக் செய்யவும்.

Trend Line வடிவமைப்பு உரையாடல் பெட்டி திரையில் தோன்றும் (படம் 3), மூன்று தாவல்களைக் கொண்டுள்ளது: பார்வை, வகை, அளவுருக்கள் மற்றும் கடைசி இரண்டின் உள்ளடக்கங்கள் போக்கு வரி உரையாடல் பெட்டியின் ஒத்த தாவல்களுடன் முற்றிலும் ஒத்துப்போகின்றன (படம் 1 -2). காட்சி தாவலில், நீங்கள் வரி வகை, அதன் நிறம் மற்றும் தடிமன் ஆகியவற்றை அமைக்கலாம்.

ஏற்கனவே வரையப்பட்ட ட்ரெண்ட் லைனை நீக்க, நீக்க வேண்டிய ட்ரெண்ட் லைனைத் தேர்ந்தெடுத்து, நீக்கு விசையை அழுத்தவும்.

கருதப்படும் பின்னடைவு பகுப்பாய்வு கருவியின் நன்மைகள்:

ஒரு தரவு அட்டவணையை உருவாக்காமல் விளக்கப்படங்களில் ஒரு போக்கு வரியை உருவாக்குவதற்கான ஒப்பீட்டளவில் எளிமை;

முன்மொழியப்பட்ட போக்கு வரிகளின் வகைகளின் மிகவும் பரந்த பட்டியல், மேலும் இந்த பட்டியலில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பின்னடைவு வகைகளும் அடங்கும்;

ஒரு தன்னிச்சையான (பொது அறிவு வரம்புகளுக்குள்) படிகளின் எண்ணிக்கையை முன்னோக்கி மற்றும் பின்னோக்கி ஆய்வுக்கு உட்பட்ட செயல்முறையின் நடத்தையை கணிக்கும் திறன்;

பகுப்பாய்வு வடிவத்தில் போக்கு வரி சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கான திறன்;

தேவைப்பட்டால், தோராயத்தின் நம்பகத்தன்மையின் மதிப்பீட்டைப் பெறுவதற்கான சாத்தியம்.

குறைபாடுகளில் பின்வருவன அடங்கும்:

தொடர்ச்சியான தரவுகளில் கட்டப்பட்ட வரைபடம் இருந்தால் மட்டுமே ஒரு போக்கு வரியின் கட்டுமானம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது;

பெறப்பட்ட ட்ரெண்ட் லைன் சமன்பாடுகளின் அடிப்படையில் ஆய்வின் கீழ் உள்ள குணாதிசயத்திற்கான தரவுத் தொடரை உருவாக்கும் செயல்முறை ஓரளவு இரைச்சலாக உள்ளது: அசல் தரவுத் தொடரின் மதிப்புகளில் ஒவ்வொரு மாற்றத்திற்கும் தேவையான பின்னடைவு சமன்பாடுகள் புதுப்பிக்கப்படும், ஆனால் விளக்கப்படப் பகுதிக்குள் மட்டுமே. , பழைய கோடு சமன்பாடு போக்கின் அடிப்படையில் உருவாக்கப்பட்ட தரவுத் தொடர் மாறாமல் உள்ளது;

PivotChart அறிக்கைகளில், விளக்கப்படம் அல்லது தொடர்புடைய PivotTable அறிக்கையின் பார்வையை மாற்றுவது ஏற்கனவே உள்ள போக்குகளைப் பாதுகாக்காது, அதாவது நீங்கள் போக்குகளை வரைவதற்கு அல்லது PivotChart அறிக்கையை வடிவமைக்கும் முன், அறிக்கை தளவமைப்பு தேவையான தேவைகளைப் பூர்த்திசெய்கிறதா என்பதை உறுதிசெய்ய வேண்டும்.

வரைபடம், ஹிஸ்டோகிராம், தட்டையான தரமற்ற பகுதி விளக்கப்படங்கள், பட்டை விளக்கப்படங்கள், சிதறல் விளக்கப்படங்கள், குமிழி விளக்கப்படங்கள் மற்றும் பங்கு விளக்கப்படங்கள் போன்ற விளக்கப்படங்களில் வழங்கப்பட்ட தரவுத் தொடர்களுக்கு துணை வரிகள் பயன்படுத்தப்படலாம்.

3D, இயல்பாக்கப்பட்ட, ரேடார், பை மற்றும் டோனட் விளக்கப்படங்களில் தரவுத் தொடரில் போக்கு வரிகளைச் சேர்க்க முடியாது.

Excel இன் உள்ளமைக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்

எக்செல் சார்ட் பகுதிக்கு வெளியே போக்குக் கோடுகளைத் திட்டமிடுவதற்கான பின்னடைவு பகுப்பாய்வுக் கருவியையும் கொண்டுள்ளது. இந்த நோக்கத்திற்காக நீங்கள் பயன்படுத்தக்கூடிய பல புள்ளிவிவர பணித்தாள் செயல்பாடுகள் உள்ளன, ஆனால் அவை அனைத்தும் நேரியல் அல்லது அதிவேக பின்னடைவுகளை உருவாக்க மட்டுமே உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

நேரியல் பின்னடைவை உருவாக்குவதற்கு எக்செல் பல செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, குறிப்பாக:

போக்கு;

• சாய்வு மற்றும் வெட்டு.

ஒரு அதிவேக போக்கு வரியை உருவாக்குவதற்கான பல செயல்பாடுகள், குறிப்பாக:

LGRFPRIBL.

TREND மற்றும் GROWTH செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி பின்னடைவுகளை உருவாக்குவதற்கான நுட்பங்கள் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியானவை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். LINEST மற்றும் LGRFPRIBL ஆகிய செயல்பாடுகளின் ஜோடியைப் பற்றியும் இதைச் சொல்லலாம். இந்த நான்கு செயல்பாடுகளுக்கு, மதிப்புகளின் அட்டவணையை உருவாக்குவது வரிசை சூத்திரங்கள் போன்ற எக்செல் அம்சங்களைப் பயன்படுத்துகிறது, இது பின்னடைவுகளை உருவாக்கும் செயல்முறையை ஓரளவு குழப்புகிறது. எங்கள் கருத்துப்படி, நேரியல் பின்னடைவின் கட்டுமானமானது சாய்வு மற்றும் குறுக்கீடு செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி மிக எளிதாக நிறைவேற்றப்படுகிறது என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ளவும், அவற்றில் முதலாவது நேரியல் பின்னடைவின் சாய்வைத் தீர்மானிக்கிறது, இரண்டாவது y இல் பின்னடைவு மூலம் குறுக்கிடப்பட்ட பகுதியை தீர்மானிக்கிறது. -அச்சு.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வுக்கான உள்ளமைக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள் கருவியின் நன்மைகள்:

போக்குக் கோடுகளை வரையறுக்கும் அனைத்து உள்ளமைக்கப்பட்ட புள்ளியியல் செயல்பாடுகளுக்கும் ஆய்வின் கீழ் உள்ள குணாதிசயங்களின் தரவுத் தொடரை உருவாக்குவதற்கான மிகவும் எளிமையான, சீரான செயல்முறை;

உருவாக்கப்பட்ட தரவுத் தொடரின் அடிப்படையில் போக்குக் கோடுகளை உருவாக்குவதற்கான நிலையான முறை;

ஆய்வின் கீழ் செயல்முறையின் நடத்தையை கணிக்கும் திறன் தேவையான அளவுபடிகள் முன்னோக்கி அல்லது பின்னோக்கி.

பிற (நேரியல் மற்றும் அதிவேகத்தைத் தவிர) போக்கு வரிகளை உருவாக்குவதற்கான உள்ளமைக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளை எக்செல் கொண்டிருக்கவில்லை என்பது குறைபாடுகளில் அடங்கும். இந்த சூழ்நிலை பெரும்பாலும் ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்முறையின் போதுமான துல்லியமான மாதிரியைத் தேர்ந்தெடுப்பதை அனுமதிக்காது, அத்துடன் யதார்த்தத்திற்கு நெருக்கமான கணிப்புகளைப் பெறுகிறது. கூடுதலாக, TREND மற்றும் GROWTH செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​போக்கு வரிகளின் சமன்பாடுகள் தெரியவில்லை.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் போக்கை எந்த அளவு முழுமையுடன் முன்வைக்க ஆசிரியர்கள் முன்வரவில்லை என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். தோராயமான சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி, எக்செல் தொகுப்பின் திறன்களைக் காண்பிப்பதே இதன் முக்கிய பணியாகும்; எக்செல் பின்னடைவுகளை உருவாக்குவதற்கும் முன்னறிவிப்பதற்கும் என்ன பயனுள்ள கருவிகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்கவும்; பின்னடைவு பகுப்பாய்வைப் பற்றிய விரிவான அறிவு இல்லாத ஒரு பயனரால் கூட இத்தகைய சிக்கல்களை ஒப்பீட்டளவில் எளிதாக எவ்வாறு தீர்க்க முடியும் என்பதை விளக்கவும்.

குறிப்பிட்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

பட்டியலிடப்பட்ட எக்செல் கருவிகளைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிட்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதைப் பார்ப்போம்.

பிரச்சனை 1

1995-2002க்கான மோட்டார் போக்குவரத்து நிறுவனத்தின் லாபம் குறித்த தரவு அட்டவணையுடன். நீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்ய வேண்டும்:

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

விளக்கப்படத்தில் நேரியல் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவை (குவாட்ராடிக் மற்றும் க்யூபிக்) போக்கு வரிகளைச் சேர்க்கவும்.

ட்ரெண்ட் லைன் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, 1995-2004க்கான ஒவ்வொரு ட்ரெண்ட் லைனுக்கும் நிறுவன லாபம் குறித்த அட்டவணைத் தரவைப் பெறவும்.

2003 மற்றும் 2004 ஆம் ஆண்டுக்கான நிறுவனத்தின் லாபத்தை முன்னறிவிக்கவும்.

பிரச்சனை தீர்வு

எக்செல் பணித்தாளின் A4:C11 கலங்களின் வரம்பில், படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள பணித்தாளை உள்ளிடவும். 4.

B4:C11 கலங்களின் வரம்பைத் தேர்ந்தெடுத்து, நாங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம்.

நாங்கள் கட்டமைக்கப்பட்ட வரைபடத்தை செயல்படுத்துகிறோம், மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறையின்படி, போக்கு வரி உரையாடல் பெட்டியில் (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்) போக்கு வரியின் வகையைத் தேர்ந்தெடுத்த பிறகு, வரைபடத்தில் நேரியல், இருபடி மற்றும் கனசதுரப் போக்கு வரிகளை மாறி மாறிச் சேர்ப்போம். அதே உரையாடல் பெட்டியில், அளவுருக்கள் தாவலைத் திறக்கவும் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்), தோராயமான (மென்மையான) வளைவுப் புலத்தின் பெயரில், சேர்க்கப்படும் போக்கின் பெயரை உள்ளிடவும், மேலும் Forecast Forward for: periods புலத்தை அமைக்கவும். மதிப்பு 2, இது இரண்டு ஆண்டுகளுக்கு முன்னரே ஒரு இலாப முன்னறிவிப்பை உருவாக்க திட்டமிடப்பட்டுள்ளது. வரைபடப் பகுதியில் பின்னடைவு சமன்பாடு மற்றும் தோராய நம்பகத்தன்மை மதிப்பு R2 ஐக் காட்ட, திரைத் தேர்வுப்பெட்டியில் காட்சி சமன்பாட்டை இயக்கவும் மற்றும் வரைபடத்தில் தோராய நம்பகத்தன்மை மதிப்பை (R^2) வைக்கவும். சிறந்த காட்சிப் பார்வைக்கு, கட்டமைக்கப்பட்ட போக்குக் கோடுகளின் வகை, நிறம் மற்றும் தடிமன் ஆகியவற்றை மாற்றுகிறோம், அதற்காக ட்ரெண்ட் லைன் வடிவமைப்பு உரையாடல் பெட்டியின் காட்சி தாவலைப் பயன்படுத்துகிறோம் (படம் 3 ஐப் பார்க்கவும்). கூடுதல் போக்குக் கோடுகளுடன் விளைந்த வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 5.

1995-2004க்கான ஒவ்வொரு டிரெண்ட் லைனுக்கும் நிறுவன லாபம் குறித்த அட்டவணைத் தரவைப் பெற.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள போக்கு வரி சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவோம். 5. இதைச் செய்ய, D3:F3 வரம்பின் கலங்களில், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட போக்கு வரியின் வகை பற்றிய உரைத் தகவலை உள்ளிடவும்: நேரியல் போக்கு, இருபடிப் போக்கு, கனசதுரம் போக்கு. அடுத்து, செல் D4 இல் நேரியல் பின்னடைவு சூத்திரத்தை உள்ளிடவும், நிரப்பு மார்க்கரைப் பயன்படுத்தி, செல் வரம்பு D5:D13க்கான தொடர்புடைய குறிப்புகளுடன் இந்த சூத்திரத்தை நகலெடுக்கவும். D4:D13 கலங்களின் வரம்பிலிருந்து நேரியல் பின்னடைவு சூத்திரம் கொண்ட ஒவ்வொரு கலமும் A4:A13 வரம்பிலிருந்து தொடர்புடைய கலத்தை வாதமாக கொண்டுள்ளது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இதேபோல், இருபடி பின்னடைவுக்கு, செல்கள் E4:E13 வரம்பையும், கன பின்னடைவுக்கு, F4:F13 கலங்களின் வரம்பையும் நிரப்பவும். எனவே, 2003 மற்றும் 2004 ஆம் ஆண்டுக்கான நிறுவனத்தின் லாபத்திற்கான முன்னறிவிப்பு தொகுக்கப்பட்டுள்ளது. மூன்று போக்குகளைப் பயன்படுத்தி. இதன் விளைவாக மதிப்புகளின் அட்டவணை படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 6.

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

பிரச்சனை 2

விளக்கப்படத்தில் மடக்கை, சக்தி மற்றும் அதிவேக போக்கு வரிகளைச் சேர்க்கவும்.

பெறப்பட்ட போக்கு வரிகளின் சமன்பாடுகளையும், அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் தோராயமான R2 இன் நம்பகத்தன்மை மதிப்புகளையும் பெறவும்.

ட்ரெண்ட் லைன் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, 1995-2002க்கான ஒவ்வொரு டிரெண்ட் லைனுக்கும் நிறுவனத்தின் லாபம் குறித்த அட்டவணைத் தரவைப் பெறவும்.

பிரச்சனை தீர்வு

இந்தப் போக்குக் கோடுகளைப் பயன்படுத்தி 2003 மற்றும் 2004க்கான நிறுவனத்தின் லாபத்தை முன்னறிவிக்கவும்.

சிக்கலைத் தீர்ப்பதில் கொடுக்கப்பட்ட வழிமுறையைப் பின்பற்றி, மடக்கை, சக்தி மற்றும் அதிவேக போக்குக் கோடுகளுடன் ஒரு வரைபடத்தைப் பெறுகிறோம் (படம் 7). அடுத்து, பெறப்பட்ட போக்கு வரி சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, 2003 மற்றும் 2004க்கான கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் உட்பட, நிறுவனத்தின் லாபத்திற்கான மதிப்புகளின் அட்டவணையை நிரப்புகிறோம். (படம் 8).

படத்தில். 5 மற்றும் அத்தி. மடக்கைப் போக்கு கொண்ட மாதிரியானது தோராயமான நம்பகத்தன்மையின் மிகக் குறைந்த மதிப்பை ஒத்திருப்பதைக் காணலாம்.

R2 = 0.8659

R2 இன் மிக உயர்ந்த மதிப்புகள் பல்லுறுப்புக்கோவை போக்கு கொண்ட மாதிரிகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது: இருபடி (R2 = 0.9263) மற்றும் கன (R2 = 0.933).

பிரச்சனை 3

1995-2002 ஆம் ஆண்டிற்கான மோட்டார் போக்குவரத்து நிறுவனத்தின் லாபம் குறித்த தரவு அட்டவணையுடன், பணி 1 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, நீங்கள் பின்வரும் படிகளைச் செய்ய வேண்டும்.

TREND மற்றும் GROW செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி நேரியல் மற்றும் அதிவேக போக்குக் கோடுகளுக்கான தரவுத் தொடரைப் பெறவும்.

TREND மற்றும் GROWTH செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, 2003 மற்றும் 2004க்கான நிறுவனத்தின் லாபத்தை முன்னறிவிக்கவும்.

பிரச்சனை தீர்வு

அசல் தரவு மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் தரவுத் தொடருக்கான வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

D4: D11 கலங்களின் வரம்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், இது நிறுவனத்தின் லாபத்தில் அறியப்பட்ட தரவுகளுடன் தொடர்புடைய TREND செயல்பாட்டின் மதிப்புகளால் நிரப்பப்பட வேண்டும்;

செருகு மெனுவிலிருந்து செயல்பாட்டு கட்டளையை அழைக்கவும். தோன்றும் Function Wizard உரையாடல் பெட்டியில், புள்ளியியல் வகையிலிருந்து TREND செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுத்து, சரி பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும். பொத்தானை அழுத்துவதன் மூலம் அதே செயல்பாட்டைச் செய்யலாம் (செயல்பாட்டைச் செருகவும்) நிலையான குழுகருவிகள்.

தோன்றும் Function Arguments உரையாடல் பெட்டியில், Known_values_y புலத்தில் C4:C11 கலங்களின் வரம்பை உள்ளிடவும்; Known_values_x புலத்தில் - கலங்களின் வரம்பு B4:B11;

உள்ளிடப்பட்ட சூத்திரத்தை வரிசை சூத்திரமாக மாற்ற, ++ விசை கலவையைப் பயன்படுத்தவும்.

சூத்திரப் பட்டியில் நாம் உள்ளிட்ட சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்: =(TREND(C4:C11,B4:B11)).

இதன் விளைவாக, செல்கள் D4:D11 TREND செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய மதிப்புகளால் நிரப்பப்படுகிறது (படம் 9).

2003 மற்றும் 2004 ஆம் ஆண்டுக்கான நிறுவனத்தின் லாபத்தைக் கணிக்க. அவசியம்:

TREND செயல்பாட்டால் கணிக்கப்படும் மதிப்புகள் உள்ளிடப்படும் D12:D13 கலங்களின் வரம்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

TREND செயல்பாட்டை அழைத்து, தோன்றும் செயல்பாட்டு வாதங்கள் உரையாடல் பெட்டியில், Known_values_y புலத்தில் உள்ளிடவும் - கலங்களின் வரம்பு C4:C11; Known_values_x புலத்தில் - கலங்களின் வரம்பு B4:B11; மற்றும் New_values_x புலத்தில் - கலங்களின் வரம்பு B12:B13.

Ctrl + Shift + Enter விசை கலவையைப் பயன்படுத்தி இந்த சூத்திரத்தை வரிசை சூத்திரமாக மாற்றவும்.

உள்ளிடப்பட்ட சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), மேலும் D12:D13 கலங்களின் வரம்பு TREND செயல்பாட்டின் கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகளால் நிரப்பப்படும் (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்). 9)

தரவுத் தொடரானது GROWTH செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி நிரப்பப்படுகிறது, இது நேரியல் சார்புகளின் பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் அதன் நேரியல் எதிர் ட்ரெண்டின் அதே வழியில் செயல்படுகிறது.

படம் 10 அட்டவணையை சூத்திரக் காட்சி முறையில் காட்டுகிறது.

ஆரம்ப தரவு மற்றும் பெறப்பட்ட தரவுத் தொடருக்கு, படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 11.

பிரச்சனை 4

நடப்பு மாதத்தின் 1 முதல் 11 ஆம் தேதி வரையிலான காலத்திற்கு ஒரு மோட்டார் போக்குவரத்து நிறுவனத்தின் அனுப்பும் சேவையின் மூலம் சேவைகளுக்கான விண்ணப்பங்களின் ரசீது குறித்த தரவு அட்டவணையுடன், நீங்கள் பின்வரும் செயல்களைச் செய்ய வேண்டும்.

நேரியல் பின்னடைவுக்கான தரவுத் தொடரைப் பெறுங்கள்: SLOPE மற்றும் INTERCEPT செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்; LINEST செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது.

LGRFPRIBL செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அதிவேக பின்னடைவுக்கான தரவுத் தொடரைப் பெறவும்.

மேலே உள்ள செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, நடப்பு மாதத்தின் 12 முதல் 14 வரையிலான காலத்திற்கு அனுப்புதல் சேவைக்கான விண்ணப்பங்களின் ரசீது பற்றிய முன்னறிவிப்பை உருவாக்கவும்.

அசல் மற்றும் பெறப்பட்ட தரவுத் தொடருக்கான வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

பிரச்சனை தீர்வு

TREND மற்றும் GROWTH செயல்பாடுகளைப் போலன்றி, மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள செயல்பாடுகள் எதுவும் (SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB) பின்னடைவு அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இந்த செயல்பாடுகள் ஒரு துணைப் பாத்திரத்தை மட்டுமே வகிக்கின்றன, தேவையான பின்னடைவு அளவுருக்களை தீர்மானிக்கின்றன.

SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB ஆகிய செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி கட்டமைக்கப்பட்ட நேரியல் மற்றும் அதிவேக பின்னடைவுகளுக்கு, TREND மற்றும் GROWTH செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய நேரியல் மற்றும் அதிவேக பின்னடைவுகளுக்கு மாறாக, அவற்றின் சமன்பாடுகளின் தோற்றம் எப்போதும் அறியப்படுகிறது.

1 . சமன்பாட்டுடன் நேரியல் பின்னடைவை உருவாக்குவோம்:

y = mx+b

SLOPE மற்றும் INTERCEPT செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, பின்னடைவு சாய்வு m SLOPE செயல்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, மற்றும் இலவச சொல் b - INTERCEPT செயல்பாட்டின் மூலம்.

இதைச் செய்ய, நாங்கள் பின்வரும் செயல்களைச் செய்கிறோம்:

A4:B14 செல் வரம்பில் அசல் அட்டவணையை உள்ளிடவும்;

அளவுரு m இன் மதிப்பு செல் C19 இல் தீர்மானிக்கப்படும். புள்ளியியல் வகையிலிருந்து சாய்வு செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்; தெரிந்த_மதிப்புகள்_y புலத்தில் B4:B14 கலங்களின் வரம்பையும், known_values_x புலத்தில் A4:A14 கலங்களின் வரம்பையும் உள்ளிடவும்.

சூத்திரம் செல் C19 இல் உள்ளிடப்படும்: =SLOPE(B4:B14,A4:A14);

இதேபோன்ற நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி, செல் D19 இல் அளவுரு b இன் மதிப்பு தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அதன் உள்ளடக்கங்கள் இப்படி இருக்கும்: =SEGMENT(B4:B14,A4:A14). எனவே, நேரியல் பின்னடைவைக் கட்டமைக்கத் தேவையான m மற்றும் b அளவுருக்களின் மதிப்புகள் முறையே C19, D19 கலங்களில் சேமிக்கப்படும்;

2 அடுத்து, செல் C4 இல் நேர்கோட்டு பின்னடைவு சூத்திரத்தை வடிவத்தில் உள்ளிடவும்: =$C*A4+$D. இந்த சூத்திரத்தில், C19 மற்றும் D19 கலங்கள் முழுமையான குறிப்புகளுடன் எழுதப்பட்டுள்ளன (நகலெடுக்கும் போது செல் முகவரி மாறக்கூடாது). செல் முகவரியில் கர்சரை வைத்த பிறகு, விசைப்பலகை அல்லது F4 விசையைப் பயன்படுத்தி $ என்ற முழுமையான குறிப்பு அடையாளத்தை தட்டச்சு செய்யலாம்.

y = mx+b

நிரப்பு கைப்பிடியைப் பயன்படுத்தி, இந்த சூத்திரத்தை C4:C17 கலங்களின் வரம்பில் நகலெடுக்கவும். தேவையான தரவுத் தொடரைப் பெறுகிறோம் (படம் 12). பயன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை ஒரு முழு எண்ணாக இருப்பதால், செல் வடிவமைப்பு சாளரத்தின் எண் தாவலில் தசம இடங்களின் எண்ணிக்கையுடன் எண் வடிவமைப்பை 0 ஆக அமைக்க வேண்டும்.

. இப்போது சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட நேரியல் பின்னடைவை உருவாக்குவோம்:

LINEST செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது.

இதைச் செய்ய:

செல் வரம்பு C20:D20: =(LINEST(B4:B14,A4:A14)) வரிசை சூத்திரமாக LINEST செயல்பாட்டை உள்ளிடவும். இதன் விளைவாக, செல் C20 இல் அளவுரு m இன் மதிப்பையும், செல் D20 இல் b அளவுருவின் மதிப்பையும் பெறுகிறோம்;

3 செல் D4 இல் சூத்திரத்தை உள்ளிடவும்: =$C*A4+$D;

LGRFPRIBL செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இது இதேபோல் செய்யப்படுகிறது:

C21:D21 கலங்களின் வரம்பில் நாம் LGRFPRIBL செயல்பாட்டை ஒரு வரிசை சூத்திரமாக உள்ளிடுகிறோம்: =(LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14)). இந்த வழக்கில், அளவுரு m இன் மதிப்பு செல் C21 இல் தீர்மானிக்கப்படும், மற்றும் அளவுரு b இன் மதிப்பு செல் D21 இல் தீர்மானிக்கப்படும்;

சூத்திரம் செல் E4 இல் உள்ளிடப்பட்டுள்ளது: =$D*$C^A4;

நிரப்பு மார்க்கரைப் பயன்படுத்தி, இந்த சூத்திரம் செல்கள் E4:E17 வரம்பிற்கு நகலெடுக்கப்படுகிறது, அங்கு அதிவேக பின்னடைவுக்கான தரவுத் தொடர் இருக்கும் (படம் 12 ஐப் பார்க்கவும்).

படத்தில். தேவையான செல் வரம்புகள் மற்றும் சூத்திரங்களுடன் நாங்கள் பயன்படுத்தும் செயல்பாடுகளை நீங்கள் காணக்கூடிய அட்டவணையை படம் 13 காட்டுகிறது.

அளவு ஆர் 2 அழைக்கப்பட்டது நிர்ணய குணகம்.

ஒரு பின்னடைவு சார்புநிலையை உருவாக்கும் பணி, குணகம் R அதிகபட்ச மதிப்பை எடுக்கும் மாதிரியின் (1) குணகங்களின் திசையன்களைக் கண்டறிவதாகும்.

R இன் முக்கியத்துவத்தை மதிப்பிடுவதற்கு, Fisher's F சோதனையானது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

எங்கே n- மாதிரி அளவு (சோதனைகளின் எண்ணிக்கை);

k என்பது மாதிரி குணகங்களின் எண்ணிக்கை.

தரவுக்கான சில முக்கியமான மதிப்பைத் தாண்டியிருந்தால் nமற்றும் கேமற்றும் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட நம்பிக்கை நிகழ்தகவு, பின்னர் R இன் மதிப்பு குறிப்பிடத்தக்கதாகக் கருதப்படுகிறது. F இன் முக்கியமான மதிப்புகளின் அட்டவணைகள் கணித புள்ளியியல் பற்றிய குறிப்பு புத்தகங்களில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

எனவே, R இன் முக்கியத்துவம் அதன் மதிப்பால் மட்டுமல்ல, சோதனைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் மாதிரியின் குணகங்களின் எண்ணிக்கை (அளவுருக்கள்) ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான விகிதத்தாலும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. உண்மையில், ஒரு எளிய நேரியல் மாதிரிக்கான n=2க்கான தொடர்பு விகிதம் 1 க்கு சமம் (ஒரு நேர்கோட்டை எப்போதும் ஒரு விமானத்தில் 2 புள்ளிகள் வழியாக வரையலாம்). இருப்பினும், சோதனை தரவு சீரற்ற மாறிகள் என்றால், R இன் அத்தகைய மதிப்பு மிகுந்த எச்சரிக்கையுடன் நம்பப்பட வேண்டும். வழக்கமாக, குறிப்பிடத்தக்க R மற்றும் நம்பகமான பின்னடைவைப் பெற, சோதனைகளின் எண்ணிக்கை கணிசமாக மாதிரி குணகங்களின் எண்ணிக்கையை (n>k) மீறுவதை உறுதிசெய்ய அவர்கள் முயற்சி செய்கிறார்கள்.

நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியை உருவாக்க உங்களுக்கு இது தேவைப்படும்:

1) சோதனைத் தரவுகளைக் கொண்ட n வரிசைகள் மற்றும் m நெடுவரிசைகளின் பட்டியலைத் தயாரிக்கவும் (வெளியீட்டு மதிப்பைக் கொண்ட நெடுவரிசை ஒய்பட்டியலில் முதல் அல்லது கடைசியாக இருக்க வேண்டும்); எடுத்துக்காட்டாக, முந்தைய பணியின் தரவை எடுத்து, "கால எண்" என்ற நெடுவரிசையைச் சேர்த்து, 1 முதல் 12 வரையிலான கால எண்களை எண்ணுங்கள். (இவை மதிப்புகளாக இருக்கும். எக்ஸ்)

2) தரவு/தரவு பகுப்பாய்வு/பின்னடைவு மெனுவுக்குச் செல்லவும்

"கருவிகள்" மெனுவில் "தரவு பகுப்பாய்வு" உருப்படி இல்லை என்றால், நீங்கள் அதே மெனுவில் உள்ள "சேர்ப்பு" உருப்படிக்குச் சென்று "பகுப்பாய்வு தொகுப்பு" தேர்வுப்பெட்டியைச் சரிபார்க்க வேண்டும்.

3) "பின்னடைவு" உரையாடல் பெட்டியில், அமைக்கவும்:

· உள்ளீட்டு இடைவெளி Y;

· உள்ளீட்டு இடைவெளி X;

· வெளியீட்டு இடைவெளி - கணக்கீட்டு முடிவுகள் வைக்கப்படும் இடைவெளியின் மேல் இடது செல் (அவற்றை ஒரு புதிய பணித்தாளில் வைக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது);

4) "சரி" என்பதைக் கிளிக் செய்து முடிவுகளை பகுப்பாய்வு செய்யவும்.

குறைந்த சதுர முறையின் சாராம்சம் ஒரு போக்கு மாதிரியின் அளவுருக்களைக் கண்டறிவதில், நேரம் அல்லது இடத்தில் ஏதேனும் சீரற்ற நிகழ்வின் வளர்ச்சியின் போக்கை சிறப்பாக விவரிக்கிறது (ஒரு போக்கு என்பது இந்த வளர்ச்சியின் போக்கைக் குறிக்கும் ஒரு வரி). குறைந்த சதுரங்கள் முறையின் (LSM) பணியானது சில போக்கு மாதிரியை மட்டும் கண்டுபிடிப்பதில் இறங்கவில்லை, ஆனால் சிறந்த அல்லது உகந்த மாதிரி. தொகை என்றால் இந்த மாதிரி உகந்ததாக இருக்கும் சதுர விலகல்கள்கவனிக்கப்பட்ட உண்மையான மதிப்புகள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய கணக்கிடப்பட்ட போக்கு மதிப்புகள் குறைவாக இருக்கும் (சிறியது):

கவனிக்கப்பட்ட உண்மையான மதிப்புக்கு இடையிலான சதுர விலகல் எங்கே

மற்றும் தொடர்புடைய கணக்கிடப்பட்ட போக்கு மதிப்பு,

ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வின் உண்மையான (கவனிக்கப்பட்ட) மதிப்பு,

போக்கு மாதிரியின் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு,

ஆய்வு செய்யப்படும் நிகழ்வின் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை.

MNC சொந்தமாக மிகவும் அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு விதியாக, பெரும்பாலும் இது தொடர்பு ஆய்வுகளில் தேவையான தொழில்நுட்ப நுட்பமாக மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது. MNC இன் தகவல் அடிப்படை மட்டுமே நம்பகமானதாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும் புள்ளியியல் தொடர், மற்றும் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை 4 க்கும் குறைவாக இருக்கக்கூடாது, இல்லையெனில் OLS மென்மையான நடைமுறைகள் பொது அறிவை இழக்கக்கூடும்.

MNC கருவித்தொகுப்பு பின்வரும் நடைமுறைகளுக்கு கீழே கொதித்தது:

முதல் நடைமுறை. மாற்றத்தின் போக்கு ஏதேனும் உள்ளதா என்பதைக் கண்டறியவும் விளைவாக அடையாளம்தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட காரணி-வாதம் மாறும்போது அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறினால், " மணிக்கு "மற்றும்" எக்ஸ் ».

இரண்டாவது நடைமுறை. இந்தப் போக்கை எந்த வரி (பாதை) சிறப்பாக விவரிக்கலாம் அல்லது வகைப்படுத்தலாம் என்பது தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

மூன்றாவது நடைமுறை.

உதாரணம். ஆய்வின் கீழ் உள்ள பண்ணையின் சராசரி சூரியகாந்தி விளைச்சல் பற்றிய தகவல் எங்களிடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் (அட்டவணை 9.1).

அட்டவணை 9.1

நம் நாட்டில் சூரியகாந்தி உற்பத்தியில் தொழில்நுட்பத்தின் நிலை கடந்த 10 ஆண்டுகளில் கிட்டத்தட்ட மாறாமல் இருப்பதால், வெளிப்படையாக, பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட காலத்தில் விளைச்சலில் ஏற்படும் ஏற்ற இறக்கங்கள் வானிலை மற்றும் காலநிலை நிலைகளில் ஏற்ற இறக்கங்களைப் பொறுத்தது. இது உண்மையில் உண்மையா?

முதல் OLS செயல்முறை. பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட 10 ஆண்டுகளில் வானிலை மற்றும் தட்பவெப்ப நிலைகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களைப் பொறுத்து சூரியகாந்தி விளைச்சலில் ஒரு போக்கு இருப்பதைப் பற்றிய கருதுகோள் சோதிக்கப்படுகிறது.

IN இந்த எடுத்துக்காட்டில்" ஒய் "சூரியகாந்தி விளைச்சலை எடுத்துக்கொள்வது நல்லது, மேலும்" x » - பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட காலத்தில் கவனிக்கப்பட்ட ஆண்டின் எண்ணிக்கை. இடையே எந்த உறவின் இருப்பு பற்றிய கருதுகோளை சோதித்தல் " x "மற்றும்" ஒய் »இரண்டு வழிகளில் செய்யலாம்: கைமுறையாகவும் பயன்படுத்தவும் கணினி நிரல்கள். நிச்சயமாக, கணினி தொழில்நுட்பம் கிடைப்பதன் மூலம், இந்த சிக்கலை தானாகவே தீர்க்க முடியும். ஆனால் MNC கருவிகளை நன்கு புரிந்து கொள்ள, "" இடையே ஒரு உறவு இருப்பதைப் பற்றிய கருதுகோளைச் சோதிப்பது நல்லது. x "மற்றும்" ஒய் » கைமுறையாக, ஒரு பேனா மற்றும் ஒரு சாதாரண கால்குலேட்டர் மட்டுமே கையில் இருக்கும்போது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு போக்கு இருப்பதைப் பற்றிய கருதுகோள் இருப்பிடத்தின் அடிப்படையில் பார்வைக்கு சிறப்பாகச் சரிபார்க்கப்படுகிறது வரைகலை படம்பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட இயக்கவியல் தொடர் - தொடர்பு புலம்:

எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் உள்ள தொடர்பு புலம் மெதுவாக அதிகரித்து வரும் கோட்டைச் சுற்றி அமைந்துள்ளது. இதுவே சூரியகாந்தி விளைச்சலில் ஏற்படும் மாற்றங்களில் ஒரு குறிப்பிட்ட போக்கு இருப்பதைக் குறிக்கிறது. தொடர்பு புலம் ஒரு வட்டம், ஒரு வட்டம், கண்டிப்பாக செங்குத்து அல்லது கண்டிப்பாக கிடைமட்ட மேகம் அல்லது குழப்பமான சிதறிய புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும் போது மட்டுமே எந்தப் போக்கும் இருப்பதைப் பற்றி பேச முடியாது. மற்ற எல்லா நிகழ்வுகளிலும், இடையே ஒரு உறவின் இருப்பு பற்றிய கருதுகோள் " x "மற்றும்" ஒய் ", மற்றும் ஆராய்ச்சி தொடரவும்.

இரண்டாவது OLS செயல்முறை. பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட காலத்தில் சூரியகாந்தி விளைச்சலில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் போக்கை எந்த வரி (பாதை) சிறப்பாக விவரிக்கலாம் அல்லது வகைப்படுத்தலாம் என்பது தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

உங்களிடம் கணினி தொழில்நுட்பம் இருந்தால், உகந்த போக்கின் தேர்வு தானாகவே நிகழ்கிறது. கைமுறையாக செயலாக்கும்போது, ​​தேர்வு உகந்த செயல்பாடுஒரு விதியாக, பார்வைக்கு - தொடர்பு புலத்தின் இருப்பிடத்தால் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. அதாவது, வரைபட வகையின் அடிப்படையில், அனுபவப் போக்குக்கு (உண்மையான பாதை) பொருந்தக்கூடிய கோட்டின் சமன்பாடு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.

உங்களுக்குத் தெரிந்தபடி, இயற்கையில் பலவிதமான செயல்பாட்டு சார்புகள் உள்ளன, எனவே அவற்றில் ஒரு சிறிய பகுதியைக் கூட பார்வைக்கு பகுப்பாய்வு செய்வது மிகவும் கடினம். அதிர்ஷ்டவசமாக, உண்மையான பொருளாதார நடைமுறையில், பெரும்பாலான உறவுகளை ஒரு பரவளையம், அல்லது ஒரு ஹைபர்போலா அல்லது ஒரு நேர் கோடு மூலம் மிகவும் துல்லியமாக விவரிக்க முடியும். இது சம்பந்தமாக, "கையேடு" தேர்வு விருப்பத்துடன் சிறந்த செயல்பாடு, இந்த மூன்று மாடல்களுக்கு மட்டுமே நாம் நம்மை கட்டுப்படுத்திக் கொள்ள முடியும்.

இரண்டாவது வரிசை பரவளைய: :

எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட 10 ஆண்டுகளில் சூரியகாந்தி விளைச்சலில் ஏற்படும் மாற்றத்தின் போக்கு ஒரு நேர் கோட்டால் சிறப்பாக வகைப்படுத்தப்படுகிறது, எனவே பின்னடைவு சமன்பாடு ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடாக இருக்கும்.

மூன்றாவது நடைமுறை. இந்த வரியை வகைப்படுத்தும் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள் கணக்கிடப்படுகின்றன அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு பகுப்பாய்வு சூத்திரம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சிறந்த மாதிரிபோக்கு.

பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்களின் மதிப்புகளைக் கண்டறிதல், எங்கள் விஷயத்தில் அளவுருக்கள் மற்றும் , OLS இன் மையமாகும். இந்த செயல்முறை கணினியைத் தீர்ப்பதற்கு வருகிறது சாதாரண சமன்பாடுகள்.

(9.2)

இந்த சமன்பாடுகளை காஸ் முறை மூலம் மிக எளிதாக தீர்க்க முடியும். தீர்வின் விளைவாக, எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், அளவுருக்களின் மதிப்புகள் மற்றும் காணப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்வோம். இவ்வாறு, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பின்னடைவு சமன்பாடு இருக்கும் அடுத்த பார்வை:

சோதனைத் தரவை தோராயமாக்குவது என்பது சோதனை ரீதியாக பெறப்பட்ட தரவை பகுப்பாய்வு செயல்பாடு மூலம் மாற்றுவதன் அடிப்படையிலான ஒரு முறையாகும், இது அசல் மதிப்புகளுடன் (சோதனை அல்லது பரிசோதனையின் போது பெறப்பட்ட தரவு) நோடல் புள்ளிகளில் மிக நெருக்கமாக கடந்து செல்கிறது அல்லது ஒத்துப்போகிறது. தற்போது, ​​ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டை வரையறுக்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன:

கடந்து செல்லும் n-டிகிரி இடைக்கணிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவையை உருவாக்குவதன் மூலம் நேரடியாக அனைத்து புள்ளிகளிலும்கொடுக்கப்பட்ட தரவு வரிசை. இந்த வழக்கில், தோராயமான செயல்பாடு பின்வரும் வடிவத்தில் வழங்கப்படுகிறது: லாக்ரேஞ்ச் வடிவத்தில் ஒரு இடைக்கணிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது நியூட்டன் வடிவத்தில் ஒரு இடைக்கணிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவை.

n-டிகிரி தோராயமான பல்லுறுப்புக்கோவையை உருவாக்குவதன் மூலம் கடந்து செல்கிறது புள்ளிகளுக்கு மிக அருகாமையில்கொடுக்கப்பட்ட தரவு வரிசையில் இருந்து. எனவே, தோராயமான செயல்பாடு சோதனையின் போது எழக்கூடிய அனைத்து சீரற்ற சத்தத்தையும் (அல்லது பிழைகள்) மென்மையாக்குகிறது: சோதனையின் போது அளவிடப்பட்ட மதிப்புகள் அவற்றின் சொந்த சீரற்ற சட்டங்களின்படி (அளவீடு அல்லது கருவி பிழைகள், துல்லியமின்மை அல்லது சோதனை) ஏற்ற இறக்கமான காரணிகளைப் பொறுத்தது. பிழைகள்). இந்த வழக்கில், தோராயமான செயல்பாடு குறைந்தது சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

குறைந்த சதுர முறை(ஆங்கில இலக்கியத்தில் ஆர்டினரி லீஸ்ட் ஸ்கொயர்ஸ், OLS) - கணித முறை, தோராயமான செயல்பாட்டின் வரையறையின் அடிப்படையில், கொடுக்கப்பட்ட சோதனைத் தரவுகளின் வரிசையிலிருந்து புள்ளிகளுக்கு மிக அருகாமையில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. அசல் மற்றும் தோராயமான செயல்பாடுகளின் நெருக்கம் F(x) ஒரு எண் அளவீட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அதாவது: தோராயமான வளைவான F(x) இலிருந்து சோதனைத் தரவின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை சிறியதாக இருக்க வேண்டும்.

தோராயமான வளைவு குறைந்தது சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி கட்டப்பட்டது

குறைந்த சதுர முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது:

அறியப்படாத எண்ணிக்கையை விட சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அதிகமாக இருக்கும்போது சமன்பாடுகளின் மிகைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்புகளைத் தீர்க்க;

சாதாரண விஷயத்தில் ஒரு தீர்வைக் காண (மேலாக்கப்படவில்லை) நேரியல் அல்லாத அமைப்புகள்சமன்பாடுகள்;

சில தோராயமான செயல்பாடுகளுடன் தோராயமான புள்ளி மதிப்புகளுக்கு.

கொடுக்கப்பட்ட சோதனைத் தரவுகளின் வரிசையிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட தோராயமான செயல்பாட்டின் வர்க்க விலகல்களின் குறைந்தபட்ச தொகையின் நிபந்தனையிலிருந்து குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி தோராயமான செயல்பாடு தீர்மானிக்கப்படுகிறது. குறைந்த சதுர முறையின் இந்த அளவுகோல் பின்வரும் வெளிப்பாடாக எழுதப்பட்டுள்ளது:

நோடல் புள்ளிகளில் கணக்கிடப்பட்ட தோராயமான செயல்பாட்டின் மதிப்புகள்,

நோடல் புள்ளிகளில் கொடுக்கப்பட்ட சோதனை தரவுகளின் வரிசை.

பல்லுறுப்புக்கோவை தோராயமான செயல்பாடுகளுடன் தோராயமான பிரச்சனைக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வை வழங்கும், வேறுபட்ட தன்மை போன்ற பல "நல்ல" பண்புகளை இருபடி அளவுகோல் கொண்டுள்ளது.

சிக்கலின் நிலைமைகளைப் பொறுத்து, தோராயமான செயல்பாடு m இன் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்

தோராயமான செயல்பாட்டின் அளவு நோடல் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது அல்ல, ஆனால் அதன் பரிமாணம் கொடுக்கப்பட்ட சோதனை தரவு வரிசையின் பரிமாணத்தை (புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை) விட எப்போதும் குறைவாக இருக்க வேண்டும்.

∙ தோராயமான செயல்பாட்டின் அளவு m=1 எனில், அட்டவணைச் செயல்பாட்டை ஒரு நேர்கோட்டுடன் (நேரியல் பின்னடைவு) தோராயமாக்குகிறோம்.

∙ தோராயமான செயல்பாட்டின் அளவு m=2 எனில், அட்டவணை செயல்பாட்டை தோராயமாக்குகிறோம் இருபடி பரவளைய(குவாட்ராடிக் தோராயம்).

∙ தோராயமான செயல்பாட்டின் அளவு m=3 எனில், அட்டவணை செயல்பாட்டை ஒரு கன பரவளையத்துடன் (கன தோராயம்) தோராயமாக்குகிறோம்.

பொதுவான வழக்கில், கொடுக்கப்பட்ட அட்டவணை மதிப்புகளுக்கு, டிகிரி m இன் தோராயமான பல்லுறுப்புக்கோவை கட்டமைக்க வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால், அனைத்து நோடல் புள்ளிகளிலும் உள்ள வர்க்க விலகல்களின் குறைந்தபட்ச தொகைக்கான நிபந்தனை பின்வரும் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படுகிறது:

- டிகிரி m இன் தோராயமான பல்லுறுப்புக்கோவையின் அறியப்படாத குணகங்கள்;

குறிப்பிடப்பட்ட அட்டவணை மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை.

அறியப்படாத மாறிகளைப் பொறுத்து அதன் பகுதி வழித்தோன்றல்களின் பூஜ்ஜியத்திற்கு ஒரு குறைந்தபட்ச செயல்பாட்டின் இருப்புக்கான அவசியமான நிபந்தனை. . இதன் விளைவாக, பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

இதன் விளைவாக மாற்றுவோம் நேரியல் அமைப்புசமன்பாடுகள்: அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, இலவச சொற்களை வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு நகர்த்தவும். இதன் விளைவாக, நேரியல் இயற்கணித வெளிப்பாடுகளின் விளைவான அமைப்பு பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதப்படும்:

இந்த அமைப்புநேரியல் இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம்:

இதன் விளைவாக ஒரு அமைப்பு இருந்தது நேரியல் சமன்பாடுகள்பரிமாணம் m+1, இதில் m+1 தெரியாதவைகள் உள்ளன. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளை (உதாரணமாக, காஸியன் முறை) தீர்க்கும் எந்த முறையையும் பயன்படுத்தி இந்த அமைப்பைத் தீர்க்க முடியும். தீர்வின் விளைவாக, தோராயமான செயல்பாட்டின் அறியப்படாத அளவுருக்கள் அசல் தரவிலிருந்து தோராயமான செயல்பாட்டின் வர்க்க விலகல்களின் குறைந்தபட்ச தொகையை வழங்கும், அதாவது. சிறந்த சாத்தியமான இருபடி தோராயம். மூலத் தரவின் ஒரு மதிப்பு கூட மாறினால், அனைத்து குணகங்களும் அவற்றின் மதிப்புகளை மாற்றும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், ஏனெனில் அவை மூலத் தரவால் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

நேரியல் சார்பு மூலம் ஆரம்ப தரவின் தோராயம்

(நேரியல் பின்னடைவு)

உதாரணமாக, தோராயமான செயல்பாட்டை நிர்ணயிப்பதற்கான நுட்பத்தை கருத்தில் கொள்வோம், இது நேரியல் சார்பு வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. குறைந்தபட்ச சதுர முறையின்படி, ஸ்கொயர் விலகல்களின் குறைந்தபட்ச தொகைக்கான நிபந்தனை பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது:

அட்டவணை முனைகளின் ஒருங்கிணைப்புகள்;

தோராயமான செயல்பாட்டின் அறியப்படாத குணகங்கள், இது நேரியல் சார்பு என குறிப்பிடப்படுகிறது.

ஒரு குறைந்தபட்ச செயல்பாட்டின் இருப்புக்கு அவசியமான நிபந்தனை, அறியப்படாத மாறிகள் தொடர்பாக அதன் பகுதி வழித்தோன்றல்களின் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இதன் விளைவாக, பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகளின் நேரியல் அமைப்பை மாற்றுவோம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் விளைவான அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம். பகுப்பாய்வு வடிவத்தில் தோராயமான செயல்பாட்டின் குணகங்கள் பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுகின்றன (கிராமர் முறை):

கொடுக்கப்பட்ட அட்டவணை மதிப்புகளிலிருந்து (பரிசோதனை தரவு) தோராயமான செயல்பாட்டின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைக்கும் அளவுகோலுக்கு ஏற்ப இந்த குணகங்கள் ஒரு நேரியல் தோராயமான செயல்பாட்டின் கட்டுமானத்தை உறுதி செய்கின்றன.

குறைந்த சதுரங்கள் முறையை செயல்படுத்துவதற்கான அல்காரிதம்

1. ஆரம்ப தரவு:

N அளவீடுகளின் எண்ணிக்கையுடன் சோதனை தரவுகளின் வரிசை குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது

தோராயமான பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவு (மீ) குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது

2. கணக்கீட்டு அல்காரிதம்:

2.1 பரிமாணங்களுடன் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குவதற்கான குணகங்கள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன

சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் குணகங்கள் (சமன்பாட்டின் இடது பக்கம்)

- நெடுவரிசை எண் குறியீடு சதுர அணிசமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் இலவச விதிமுறைகள் (சமன்பாட்டின் வலது பக்கம்)

- சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் சதுர மேட்ரிக்ஸின் வரிசை எண்ணின் குறியீடு

2.2 பரிமாணத்துடன் கூடிய நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் உருவாக்கம்.

2.3 எம் டிகிரி தோராயமான பல்லுறுப்புக்கோவையின் அறியப்படாத குணகங்களைத் தீர்மானிக்க நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது.

2.4 அனைத்து நோடல் புள்ளிகளிலும் உள்ள அசல் மதிப்புகளிலிருந்து தோராயமான பல்லுறுப்புக்கோவையின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையை தீர்மானித்தல்.

வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையின் கண்டறியப்பட்ட மதிப்பு குறைந்தபட்ச சாத்தியமாகும்.

மற்ற செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி தோராயப்படுத்தல்

குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறைக்கு ஏற்ப அசல் தரவை தோராயமாக மதிப்பிடும் போது, ​​மடக்கை செயல்பாடு, அதிவேக செயல்பாடு மற்றும் சக்தி செயல்பாடு சில நேரங்களில் தோராயமான செயல்பாடாக பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

மடக்கை தோராயம்

தோராயமான செயல்பாடு கொடுக்கப்படும்போது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம் மடக்கை செயல்பாடுவகை:

3.5 குறைந்த சதுர முறை

1805 ஆம் ஆண்டில் லெஜண்ட்ரே என்பவரால் மிகக் குறைந்த சதுரங்கள் முறையின் அடித்தளத்தை அமைத்தது. "வால்மீன்களின் சுற்றுப்பாதையை தீர்மானிப்பதற்கான புதிய முறைகள்" என்ற கட்டுரையில் அவர் எழுதினார்: "பிரச்சனையின் அனைத்து நிபந்தனைகளும் முழுமையாகப் பயன்படுத்தப்பட்ட பிறகு, குணகங்களைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம், இதனால் அவற்றின் பிழைகளின் அளவு மிகச் சிறியதாக இருக்கும். பெரும்பாலானவை ஒரு எளிய வழியில்இதை அடைவதற்கு, ஸ்கொயர் பிழைகளின் குறைந்தபட்ச தொகையைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு முறையாகும்." - அளவிலான சோதனை.

ஒரு பரிசோதனையின் அடிப்படையில், அளவின் செயல்பாட்டு சார்புநிலையை நிறுவுவது அவசியம் என்று வைத்துக்கொள்வோம் x இலிருந்து y : நாம் பெற்ற பரிசோதனையின் விளைவாக என்று வைத்துக்கொள்வோம்nமதிப்புகள் ஒய்வாதத்தின் தொடர்புடைய மதிப்புகளுக்குx. சோதனை புள்ளிகள் படத்தில் உள்ளதைப் போல ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் அமைந்திருந்தால், சோதனையின் போது பிழைகள் ஏற்படுகின்றன என்பதை அறிந்து, சார்பு நேரியல் என்று நாம் கருதலாம், அதாவது.ஒய்= கோடாரி+ பிசெயல்பாட்டின் வகைக்கு முறை கட்டுப்பாடுகளை விதிக்கவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க, அதாவது. இது எந்த செயல்பாட்டு சார்புக்கும் பயன்படுத்தப்படலாம்.

பரிசோதனையாளரின் பார்வையில், மாதிரியின் வரிசையை கருத்தில் கொள்வது மிகவும் இயல்பானதுமுன்கூட்டியே சரி செய்யப்பட்டது, அதாவது. ஒரு சுயாதீன மாறி, மற்றும் கணக்கிடுகிறது - சார்பு மாறி இது குறிப்பாக தெளிவாக உள்ளது தொழில்நுட்ப பயன்பாடுகளில் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் தருணங்களாக புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன, ஆனால் இது மிகவும் பொதுவான சிறப்பு வழக்கு. எடுத்துக்காட்டாக, சில மாதிரிகளை அளவு மூலம் வகைப்படுத்துவது அவசியம். பின்னர் சுயாதீன மாறி மாதிரி எண்ணாக இருக்கும், சார்பு மாறி அதன் தனிப்பட்ட அளவாக இருக்கும்.

குறைந்த சதுரங்கள் முறை பல கல்வி மற்றும் பலவற்றில் விரிவாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளது அறிவியல் வெளியீடுகள், குறிப்பாக மின் மற்றும் ரேடியோ பொறியியலில் செயல்பாடுகளின் தோராயமான அடிப்படையில், அத்துடன் நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் கணித புள்ளியியல் புத்தகங்களில்.

மீண்டும் வரைபடத்திற்கு வருவோம். புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகள், அபூரண அளவீட்டு நடைமுறைகள் காரணமாக மட்டுமல்ல, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வகையின் சார்பற்ற மாறியைக் குறிப்பிடுவதில் உள்ள துல்லியமின்மை காரணமாகவும் ஏற்படலாம் அதில் உள்ள அளவுருக்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளதுஅமற்றும் பிஅளவுருக்களின் எண்ணிக்கை இரண்டுக்கும் அதிகமாக இருக்கலாம் என்பது தெளிவாகிறது, இது நேரியல் செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமே பொதுவானது. பொதுவான பார்வைநாம் எண்ணுவோம்

.(1)

நீங்கள் முரண்பாடுகளைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்அ, பி, c... அதனால் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது

. (2)

மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம் அ, பி, c..., (2) இன் இடது பக்கத்தை குறைந்தபட்சமாக திருப்புதல். இதைச் செய்ய, (2) இன் இடது பக்கத்தை வேறுபடுத்துவதன் மூலம் நிலையான புள்ளிகளை (முதல் வழித்தோன்றல் மறைந்து போகும் புள்ளிகள்) தீர்மானிக்கிறோம்.அ, பி, c:

(3)

முதலியன சமன்பாடுகளின் விளைவான அமைப்பு அறியப்படாத பல சமன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளதுஅ, பி, c…. ஒரு பொதுவான வடிவத்தில் அத்தகைய அமைப்பைத் தீர்ப்பது சாத்தியமற்றது, எனவே குறைந்தபட்சம் தோராயமாக, ஒரு குறிப்பிட்ட வகை செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடுவது அவசியம், அடுத்து, நாம் இரண்டு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்: நேரியல் மற்றும் இருபடி செயல்பாடுகள்.

நேரியல் செயல்பாடு .

சோதனை மதிப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய புள்ளிகளில் செயல்பாட்டு மதிப்புகள் இடையே உள்ள வர்க்க வேறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

(4)

அளவுருக்களைத் தேர்ந்தெடுப்போம்அமற்றும் பிஅதனால் இந்தத் தொகை மிகச்சிறிய மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் பணி இறங்குகிறதுஅமற்றும் பி, இதில் செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் உள்ளது, அதாவது இரண்டு சுயாதீன மாறிகளின் செயல்பாட்டை ஆய்வு செய்யஅமற்றும் பிகுறைந்தபட்சம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் வேறுபடுத்துகிறோம்அமற்றும் பி:

;

.

அல்லது

(5)

சோதனைத் தரவை மாற்றியமைத்து, இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.அமற்றும் பி. இந்த அமைப்பைத் தீர்த்த பிறகு, செயல்பாட்டை எழுதலாம்.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு என்பதை உறுதி செய்வோம்அமற்றும் பிகுறைந்தபட்சம் உள்ளது. இதைச் செய்ய, நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம், மற்றும்:

, , .

எனவே,

− = ,

>0,

அந்த. இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு போதுமான குறைந்தபட்ச நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது.

இருபடி செயல்பாடு .

சோதனையானது செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை புள்ளிகளில் பெறட்டும். மேலும், ஒரு முன்னோடித் தகவலின் அடிப்படையில், செயல்பாடு இருபடி என்று ஒரு அனுமானம் இருக்கட்டும்:

.

குணகங்களை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்அ, பிமற்றும் c.எங்களிடம் உள்ளது

- மூன்று மாறிகளின் செயல்பாடுஅ, பி, c.

இந்த வழக்கில், அமைப்பு (3) வடிவம் எடுக்கிறது:

அல்லது:

நேரியல் சமன்பாடுகளின் இந்த அமைப்பைத் தீர்த்த பிறகு, தெரியாதவற்றை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்அ, பி, c.

உதாரணம்.சோதனையின் அடிப்படையில் விரும்பிய செயல்பாட்டின் நான்கு மதிப்புகளைப் பெறலாம் y = (x ) வாதத்தின் நான்கு மதிப்புகளுடன், அவை அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: