சுழலும் உடலின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த அளவின் வடிவியல் பயன்பாடுகள். ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடுகள்

ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் கல்வி மற்றும் அறிவியல் அமைச்சகம்

கூட்டாட்சி மாநில தன்னாட்சி கல்வி நிறுவனம்

உயர் தொழில்முறை கல்வி

"வடக்கு (ஆர்க்டிக்) கூட்டாட்சி பல்கலைக்கழகம்எம்.வி. லோமோனோசோவ்"

கணிதத் துறை

பாடப் பணி

கணிதத் துறையில்

பியாட்டிஷேவா அனஸ்தேசியா ஆண்ட்ரீவ்னா

மேற்பார்வையாளர்

கலை. ஆசிரியர்

போரோட்கினா டி. ஏ.

ஆர்க்காங்கெல்ஸ்க் 2014

பாடப் பணிக்கான ஒதுக்கீடு

விண்ணப்பங்கள் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த

ஆரம்ப தரவு:

21. y=x 3, y=; 22.

அறிமுகம்

இந்த பாடத்திட்டத்தில், எனக்கு பின்வரும் பணிகள் வழங்கப்பட்டன: சார்புகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிட, கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள், கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட, துருவ ஆயங்களில் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள், வளைவுகளின் வளைவுகளின் நீளத்தைக் கணக்கிடுதல் , ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டது, அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டது, துருவ ஆயங்களில் சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டது, மேலும் மேற்பரப்புகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உடல்களின் அளவைக் கணக்கிடுகிறது, செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் சுழற்சியால் உருவாகிறது. துருவ அச்சை சுற்றி செயல்படுகிறது. "நிச்சயமான ஒருங்கிணைப்பு" என்ற தலைப்பில் ஒரு பாடத்திட்டத்தை நான் தேர்ந்தெடுத்தேன். இது சம்பந்தமாக, ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடுகளை எவ்வளவு எளிதாகவும் விரைவாகவும் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் எனக்கு ஒதுக்கப்பட்ட பணிகளை எவ்வளவு துல்லியமாக கணக்கிட முடியும் என்பதைக் கண்டறிய முடிவு செய்தேன்.

ஒருங்கிணைந்த ஒன்று மிக முக்கியமான கருத்துக்கள்தேவை தொடர்பாக எழுந்த கணிதம், ஒருபுறம், அவற்றின் வழித்தோன்றல்களால் செயல்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்பது (எடுத்துக்காட்டாக, இந்த புள்ளியின் வேகத்தின் அடிப்படையில் நகரும் புள்ளியால் பயணிக்கும் பாதையை வெளிப்படுத்தும் செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பது) மற்றும் மறுபுறம் கை, பகுதிகள், தொகுதிகள், வளைவுகளின் நீளம் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு சக்திகளின் வேலை போன்றவற்றை அளவிடுவதற்கு.

தலைப்பு வெளிப்பாடு நிச்சயமாக வேலைநான் பின்வரும் திட்டத்தை செயல்படுத்தினேன்: ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வரையறை மற்றும் அதன் பண்புகள்; வளைவு வளைவு நீளம்; வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி; சுழற்சியின் பரப்பளவு.

எந்தச் செயல்பாட்டிற்கும் f(x), இடைவெளியில் தொடர்கிறது, இந்த இடைவெளியில் ஒரு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் உள்ளது, அதாவது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது.

F(x) சார்பு என்பது f(x) என்ற தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் ஏதேனும் எதிர்வழியாக இருந்தால், இந்த வெளிப்பாடு நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம் என அழைக்கப்படுகிறது:

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள்:

ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகள் சமமாக இருந்தால் (a=b), பின்னர் ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

f(x)=1 எனில், பின்:

ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை மறுசீரமைக்கும்போது, ​​திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த மாற்றங்கள் எதிரெதிர்க்கு அடையாளம்:

நிலையான காரணியை திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்:

செயல்பாடுகள் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை ஒருங்கிணைக்கத்தக்கது மற்றும் கூட்டுத்தொகையின் கூட்டுத்தொகை ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

மாறியின் மாற்றம் போன்ற அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு முறைகளும் உள்ளன:

வேறுபட்ட திருத்தம்:

பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு, ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீட்டை ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீட்டைக் குறைப்பதை சாத்தியமாக்குகிறது, இது எளிமையானதாக மாறும்:

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு தொடர்ச்சியான மற்றும் எதிர்மறை செயல்பாட்டிற்கு, அது தொடர்புடைய வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியை வடிவியல் அர்த்தத்தில் பிரதிபலிக்கிறது.

கூடுதலாக, ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, வளைவுகள், நேர்கோடுகள் மற்றும், எங்கு எல்லைகள் கொண்ட பகுதியின் பகுதியை நீங்கள் காணலாம்.

x = a மற்றும் x = b ஆகிய அளவுருக் கோடுகள் மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சால் வரையறுக்கப்பட்ட வளைவால் ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டு வரையறுக்கப்பட்டால், அதன் பரப்பளவு சமத்துவத்தில் இருந்து தீர்மானிக்கப்படும் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

. (12)

முக்கிய பகுதி, ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி காணப்படும் பகுதி, ஒரு வளைவுத் துறையாகும். இது இரண்டு கதிர்கள் மற்றும் ஒரு வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு பகுதி, இங்கு r மற்றும் துருவ ஆயத்தொகுப்புகள்:

வளைவு என்பது செயல்பாட்டின் வரைபடமாக இருந்தால், அதன் வழித்தோன்றல் இந்த பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், ஆக்ஸ் அச்சில் வளைவைச் சுழற்றுவதன் மூலம் உருவத்தின் மேற்பரப்பை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

. (14)

ஒரு செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், வளைவின் நீளம் இதற்கு சமமாக இருக்கும்:

வளைவு சமன்பாடு அளவுரு வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால்

x(t) மற்றும் y(t) - தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள்தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல்களுடன் பின்னர் வளைவின் நீளம் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

வளைவானது துருவ ஆயங்களில் ஒரு சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டால், எங்கே மற்றும் பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், பின்னர் வளைவின் நீளத்தை பின்வருமாறு கணக்கிடலாம்:

ஒரு வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு, தொடர்ச்சியான கோடு பிரிவு மற்றும் நேர்கோடுகளான x = a மற்றும் x = b ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்டால், ஆக்ஸ் அச்சைச் சுற்றி சுழலும் போது, ​​ஆக்ஸ் அச்சைச் சுற்றி இந்த ட்ரேப்சாய்டின் சுழற்சியால் உருவாகும் உடலின் அளவு சமமாக இருக்கும்:

ஒரு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடம் மற்றும் x = 0, y = c, y = d (c) வரிகளால் வரையறுக்கப்பட்டால்< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

உருவம் வளைவுகளால் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் மற்றும் (x = a, x = b என்ற நேர் கோடுகளை விட "அதிகமானது"), பின்னர் எருது அச்சைச் சுற்றியுள்ள சுழற்சியின் உடலின் அளவு சமமாக இருக்கும்:

மற்றும் ஓய் அச்சைச் சுற்றி (:

வளைவுத் துறையானது துருவ அச்சில் சுழற்றப்பட்டால், அதன் விளைவாக வரும் உடலின் பகுதியை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

2. பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பது

சிக்கல் 14: செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுங்கள்:

1) தீர்வு:

படம் 1 - செயல்பாட்டு வரைபடம்

X 0 இலிருந்து மாறுகிறது

x 1 = -1 மற்றும் x 2 = 2 ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் (இதை படம் 1 இல் காணலாம்).

3) சூத்திரம் (10) ஐப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுவோம்.

பதில்: எஸ் = .

சிக்கல் 15: சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுங்கள்:

1) தீர்வு:

படம் 2 - செயல்பாட்டு வரைபடம்

இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

படம் 3 - செயல்பாட்டிற்கான மாறிகளின் அட்டவணை

ஏனெனில், இந்த காலம் 1 வில் பொருந்தும். இந்த வளைவு ஒரு மையப் பகுதி (S 1) மற்றும் பக்க பாகங்களைக் கொண்டுள்ளது. மையப் பகுதி விரும்பிய பகுதி மற்றும் ஒரு செவ்வகம் (S r) ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. பரிதியின் ஒரு மையப் பகுதியின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவோம்.

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

மற்றும் y = 6, எனவே

இடைவெளிக்கு - ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள்.

3) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் (12).

வளைவு ஒருங்கிணைந்த ட்ரேப்சாய்டு

சிக்கல் 16: துருவ ஆயங்களில் சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுங்கள்:

1) தீர்வு:

படம் 4 - செயல்பாட்டு வரைபடம்,

படம் 5 - மாறி செயல்பாடுகளின் அட்டவணை,

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

எனவே -

3) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் (13).

பதில்: எஸ் =.

பணி 17: ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட வளைவுகளின் வளைவுகளின் நீளத்தைக் கணக்கிடவும்:

1) தீர்வு:

படம் 6 - செயல்பாட்டு வரைபடம்

படம் 7 - செயல்பாட்டு மாறி அட்டவணை

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

ln இலிருந்து ln க்கு மாறுகிறது, இது நிபந்தனையிலிருந்து தெளிவாகிறது.

3) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வளைவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் (15).

பதில்: எல் =

பணி 18: அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட வளைவுகளின் வளைவுகளின் நீளத்தைக் கணக்கிடவும்: 1)

1) தீர்வு:

படம் 8 - செயல்பாட்டு வரைபடம்

படம் 11 - செயல்பாட்டு மாறி அட்டவணை

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

c மாறுபடும், இது நிபந்தனையிலிருந்து தெளிவாகிறது.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வில் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் (17).

பணி 20: மேற்பரப்புகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உடல்களின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள்:

1) தீர்வு:

படம் 12 - செயல்பாட்டு வரைபடம்:

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

Z 0 முதல் 3 வரை மாறுபடும்.

3) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் அளவைக் கண்டறியவும் (18)

பணி 21: செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள், சுழற்சியின் அச்சு ஆகியவற்றால் வரையறுக்கப்பட்ட உடல்களின் தொகுதிகளைக் கணக்கிடுங்கள் Ox: 1)

1) தீர்வு:

படம் 13 - செயல்பாட்டு வரைபடம்

படம் 15 - செயல்பாட்டு வரைபட அட்டவணை

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

புள்ளிகள் (0;0) மற்றும் (1;1) இரண்டு வரைபடங்களுக்கும் பொதுவானவை, எனவே இவை ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள், இது படத்தில் தெளிவாக உள்ளது.

3) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் அளவைக் கண்டறியவும் (20).

பணி 22: துருவ அச்சைச் சுற்றியுள்ள செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவங்களின் சுழற்சியால் உருவாகும் உடல்களின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்:

1) தீர்வு:

படம் 16 - செயல்பாட்டு வரைபடம்

படம் 17 - செயல்பாட்டு வரைபடத்திற்கான மாறிகளின் அட்டவணை

2) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

c மாறுபடும்

3) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் (22).

பதில்: 3.68

முடிவுரை

"நிச்சயமான ஒருங்கிணைப்பு" என்ற தலைப்பில் பாடநெறியை முடிக்கும் செயல்பாட்டில், வெவ்வேறு உடல்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடவும், பல்வேறு வளைவுகளின் நீளத்தைக் கண்டறியவும், தொகுதிகளைக் கணக்கிடவும் கற்றுக்கொண்டேன். ஒருங்கிணைப்புகளுடன் பணிபுரியும் இந்த யோசனை எனது எதிர்கால தொழில்முறை செயல்பாடுகளில், விரைவாகவும் திறமையாகவும் செயல்படுவதற்கு எனக்கு உதவும் பல்வேறு நடவடிக்கைகள். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒருங்கிணைப்பு என்பது கணிதத்தின் மிக முக்கியமான கருத்துக்களில் ஒன்றாகும், இது ஒருபுறம், அவற்றின் வழித்தோன்றல்களால் செயல்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான தேவையுடன் எழுந்தது (எடுத்துக்காட்டாக, நகரும் பாதையை வெளிப்படுத்தும் செயல்பாட்டைக் கண்டறிய. இந்த புள்ளியின் வேகத்தால் புள்ளி), மற்றும் மறுபுறம், பகுதிகள், தொகுதிகள், வளைவுகளின் நீளம், ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் சக்திகளின் வேலை போன்றவற்றை அளவிடுவதற்கு.

பயன்படுத்தப்பட்ட ஆதாரங்களின் பட்டியல்

1. எழுதப்பட்ட, டி.டி. உயர் கணிதம் பற்றிய விரிவுரை குறிப்புகள்: பகுதி 1 - 9வது பதிப்பு. - எம்.: ஐரிஸ்-பிரஸ், 2008. - 288 பக்.

2. புக்ரோவ், யா.எஸ்., நிகோல்ஸ்கி, எஸ்.எம். உயர் கணிதம். வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்: T.2 - M.: Bustard, 2004. - 512 p.

3. Zorich V. A. கணித பகுப்பாய்வு. பகுதி I. -- எட். 4வது - எம்.: MTsNMO, 2002. -664 பக்.

4. குஸ்னெட்சோவ் டி.ஏ. "உயர் கணிதத்தில் சிக்கல்களின் சேகரிப்பு" மாஸ்கோ, 1983

5. நிகோல்ஸ்கி S. N. "கூறுகள் கணித பகுப்பாய்வு" - எம்.: நௌகா, 1981.

இதே போன்ற ஆவணங்கள்

விமான புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளின் கணக்கீடு. ஒரு செயல்பாட்டின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிதல். ஒரு வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதியை தீர்மானித்தல், வளைவுகளுக்கு இடையில் ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு. சுழற்சி உடல்களின் தொகுதிகளின் கணக்கீடு. ஒரு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகையின் வரம்பு. ஒரு சிலிண்டரின் அளவை தீர்மானித்தல்.

விளக்கக்காட்சி, 09/18/2013 சேர்க்கப்பட்டது


வடிவியல் பொருளைப் பயன்படுத்தி மேற்பரப்புகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உடல்களின் அளவைக் கணக்கிடும் அம்சங்கள் இரட்டை ஒருங்கிணைந்த. ஒரு கால்குலஸ் பாடத்திட்டத்தில் ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி கோடுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட விமான உருவங்களின் பகுதிகளைத் தீர்மானித்தல்.

விளக்கக்காட்சி, 09/17/2013 சேர்க்கப்பட்டது


மாறி மேல் வரம்பைப் பொறுத்து ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல். நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகையின் வரம்பாக திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுதல், மாறியின் மாற்றம் மற்றும் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைத்தல். வில் நீளம் துருவ அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள்

சோதனை, 08/22/2009 சேர்க்கப்பட்டது


விமான வளைவுகளின் வெகுஜனத்தின் தருணங்கள் மற்றும் மையங்கள். குல்டனின் தேற்றம். வளைவின் வளைவின் ஒரு வளைவின் சுழற்சியால் உருவாகும் மேற்பரப்பின் பரப்பளவு, வளைவின் விமானத்தில் கிடக்கும் மற்றும் அதை வெட்டாமல் ஒரு அச்சைச் சுற்றி வளைவின் நீளம் மற்றும் வட்டத்தின் நீளத்தின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

விரிவுரை, 09/04/2003 சேர்க்கப்பட்டது


அளவுருக்களைக் கண்டறிவதற்கான முறை மற்றும் முக்கிய நிலைகள்: ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டு மற்றும் துறையின் பரப்பளவு, வளைவின் வளைவின் நீளம், உடல்களின் அளவு, புரட்சியின் உடல்களின் மேற்பரப்பு, மாறி விசையின் வேலை. MathCAD தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான செயல்முறை மற்றும் வழிமுறை.

சோதனை, 11/21/2010 சேர்க்கப்பட்டது


ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் இருப்புக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை. இரண்டு செயல்பாடுகளின் இயற்கணிதத் தொகையின் (வேறுபாடு) ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் சமத்துவம். சராசரி மதிப்பு தேற்றம் - இணை மற்றும் ஆதாரம். ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்.

விளக்கக்காட்சி, 09/18/2013 சேர்க்கப்பட்டது


பணி எண் ஒருங்கிணைப்புசெயல்பாடுகள். ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடுதல். செவ்வகங்கள், நடுத்தர செவ்வகங்கள் மற்றும் ட்ரேப்சாய்டுகளின் முறைகளைப் பயன்படுத்தி திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிதல். சூத்திரங்களின் பிழை மற்றும் துல்லியத்தின் அடிப்படையில் முறைகளின் ஒப்பீடு.

பயிற்சி கையேடு, 07/01/2009 சேர்க்கப்பட்டது


ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதற்கான முறைகள். சூத்திரங்கள் மற்றும் சரிபார்ப்பு காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு. வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி. காலவரையற்ற, திட்டவட்டமான மற்றும் சிக்கலான ஒருங்கிணைந்த. ஒருங்கிணைப்புகளின் அடிப்படை பயன்பாடுகள். திட்டவட்டமான மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் வடிவியல் பொருள்.

விளக்கக்காட்சி, 01/15/2014 சேர்க்கப்பட்டது


இரட்டை ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல். இரட்டை ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு, துருவ ஆயங்களுக்கு நகரும். கொடுக்கப்பட்ட கோடு மற்றும் திசையன் புல ஓட்டத்துடன் இரண்டாவது வகையின் வளைவு ஒருங்கிணைப்பை தீர்மானிக்கும் முறை.

சோதனை, 12/14/2012 சேர்க்கப்பட்டது


ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் கருத்து, பகுதியின் கணக்கீடு, ஒரு உடல் மற்றும் வில் நீளத்தின் அளவு, நிலையான தருணம் மற்றும் வளைவின் ஈர்ப்பு மையம். ஒரு செவ்வக வளைந்த பகுதியின் விஷயத்தில் பகுதியின் கணக்கீடு. வளைவு, மேற்பரப்பு மற்றும் மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளின் பயன்பாடு.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் சில பயன்பாடுகளை முன்வைப்போம்.

ஒரு தட்டையான உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல்

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு ஒரு வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது (எங்கே
), நேராக
,
மற்றும் ஒரு பிரிவு
அச்சுகள்
, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

.

வளைவுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உருவத்தின் பகுதி
மற்றும்
(எங்கே
) நேராக
மற்றும்
சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

வளைவு அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால்
, பின்னர் நேர்கோடுகளால் இந்த வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி
,
மற்றும் ஒரு பிரிவு
அச்சுகள்
, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

,

எங்கே மற்றும் சமன்பாடுகளிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது
,
, ஏ
மணிக்கு
.

சமன்பாட்டின் மூலம் துருவ ஆயங்களில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவுத் துறையின் பரப்பளவு
மற்றும் இரண்டு துருவ ஆரங்கள்
,
(
), சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது

.

எடுத்துக்காட்டு 1.27.ஒரு பரவளையத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்
மற்றும் நேராக
(படம் 1.1).

.

பின்னர் சூத்திரம் (1.6) மூலம் எங்களிடம் உள்ளது
விமான வளைவின் வில் நீளத்தைக் கணக்கிடுதல்
- மென்மையானது (அதாவது, வழித்தோன்றல்
தொடர்ச்சியான), பின்னர் இந்த வளைவின் தொடர்புடைய வளைவின் நீளம் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது

.

ஒரு வளைவை அளவுருவாகக் குறிப்பிடும்போது
(
- தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகள்) அளவுருவில் ஒரு மோனோடோனிக் மாற்றத்துடன் தொடர்புடைய வளைவின் வளைவின் நீளம் இருந்து செய்ய , சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

எடுத்துக்காட்டு 1.28.ஒரு வளைவின் வில் நீளத்தைக் கணக்கிடுங்கள்
,
,
.

தீர்வு.அளவுருவைப் பொறுத்து வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம் :
,
. பின்னர் சூத்திரத்திலிருந்து (1.7) நாம் பெறுகிறோம்

.

2. பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் வேறுபட்ட கால்குலஸ்

ஒவ்வொரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி எண்களையும் விடுங்கள்
சில பகுதியில் இருந்து
ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்கு ஒத்திருக்கிறது
. பிறகு அழைக்கப்பட்டது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு மற்றும் ,
-சுயாதீன மாறிகள் அல்லது வாதங்கள் ,
-வரையறையின் களம் செயல்பாடுகள் மற்றும் ஒரு தொகுப்பு அனைத்து செயல்பாடு மதிப்புகள் - அதன் மதிப்புகளின் வரம்பு மற்றும் குறிக்கவும்
.

வடிவியல் ரீதியாக, ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் பொதுவாக விமானத்தின் சில பகுதியைக் குறிக்கிறது
, இந்தப் பகுதியைச் சேர்ந்ததாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாத கோடுகளால் வரம்பிடப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2.1.வரையறையின் களத்தைக் கண்டறியவும்
செயல்பாடுகள்
.

மேலும், எந்த புள்ளிகளுக்கான புள்ளிகளை நேரடியாகச் சரிபார்ப்பது எளிது , பரவளையத்திற்கு மேலே அமைந்துள்ளது. பிராந்தியம்
, ஏ திறந்த நிலையில் உள்ளது மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம்:
மாறி என்றால்
சில அதிகரிப்பு கொடுங்கள் நிலையான விட்டு, பின்னர் செயல்பாடு ஒரு அதிகரிப்பு கிடைக்கும் :

, அழைக்கப்பட்டது தனிப்பட்ட செயல்பாடு அதிகரிப்பு
, ஏ மாறி மூலம்
மாறி என்றால்
சில அதிகரிப்பு கொடுங்கள் நிலையான விட்டு, பின்னர் செயல்பாடு அதேபோல், மாறி என்றால் :

அதிகரிப்பு கிடைக்கும்

,

,

நிலையானது, பின்னர் செயல்பாடு மாறி மூலம்
வரம்புகள் இருந்தால்: மற்றும் அவர்கள் அழைக்கப்படுகிறார்கள்

ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் மாறிகள் மூலம்

முறையே. குறிப்பு 2.1.

எந்த எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.
.

குறிப்பு 2.2.எந்த மாறியைப் பொறுத்தமட்டில் பகுதி வழித்தோன்றல் இந்த மாறியைப் பொறுத்து வழித்தோன்றலாக இருப்பதால், மற்ற மாறிகள் நிலையானதாக இருந்தால், ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான அனைத்து விதிகளும் எத்தனை மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்குப் பொருந்தும்.

,

.

எடுத்துக்காட்டு 2.2.தீர்வு
.

குறிப்பு 2.2.எந்த மாறியைப் பொறுத்தமட்டில் பகுதி வழித்தோன்றல் இந்த மாறியைப் பொறுத்து வழித்தோன்றலாக இருப்பதால், மற்ற மாறிகள் நிலையானதாக இருந்தால், ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான அனைத்து விதிகளும் எத்தனை மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்குப் பொருந்தும்.

,

,

.

. நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்:
எடுத்துக்காட்டு 2.3.

ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்
முழு செயல்பாடு அதிகரிப்பு
மற்றும்
,வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது முழு செயல்பாடு அதிகரிப்பின் முக்கிய பகுதி
, சார்பற்ற மாறிகளின் அதிகரிப்புகளை நேரியல் சார்ந்தது

,

எங்கே
,
- சுயாதீன மாறிகளின் தன்னிச்சையான அதிகரிப்புகள், அவற்றின் வேறுபாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இதேபோல், மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு
மொத்த வேறுபாடு வழங்கப்படுகிறது

.

செயல்படட்டும்
புள்ளியில் உள்ளது
அனைத்து மாறிகள் தொடர்பாக முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள். பின்னர் திசையன் அழைக்கப்படுகிறது சாய்வு செயல்பாடுகள்
புள்ளியில்
மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது
அல்லது
.

குறிப்பு 2.3. சின்னம்
ஹாமில்டன் ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் "நம்ப்லா" என்று உச்சரிக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.4.ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் சாய்வைக் கண்டறியவும்
.

குறிப்பு 2.2.. பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

,
,

மற்றும் புள்ளியில் அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்
:

,
,
.

எனவே,
.

வழித்தோன்றல் செயல்பாடுகள்
புள்ளியில்
திசையன் திசையில்
விகிதத்தின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது
மணிக்கு
:

, எங்கே
.

செயல்பாடு என்றால்
வேறுபடுத்தக்கூடியது, பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட திசையில் உள்ள வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

,

எங்கே ,- கோணங்கள், இது ஒரு திசையன் அச்சுகள் கொண்ட வடிவங்கள்
மற்றும்
முறையே.

மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டின் விஷயத்தில்
திசை வழித்தோன்றல் இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது. தொடர்புடைய சூத்திரம்

எங்கே
- திசையன் திசையின் கொசைன்கள் .

எடுத்துக்காட்டு 2.5.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
புள்ளியில்
திசையன் திசையில்
, எங்கே
.

குறிப்பு 2.2.. வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம்
மற்றும் அதன் திசை கோசைன்கள்:

,
,
,
.

புள்ளியில் பகுதி வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவோம்
:

,
,
;
,
,
.

(2.1) க்கு மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம்

.

இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் முதல் வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல்களிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட பகுதி வழித்தோன்றல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன:

,

,

,

பகுதி வழித்தோன்றல்கள்
,
அழைக்கப்படுகின்றன கலந்தது . கலப்பு வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகள் இந்த வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் புள்ளிகளில் சமமாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.6.ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்
.

குறிப்பு 2.2.. முதல் வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல்களை முதலில் கணக்கிடுவோம்:

,
.

அவற்றை மீண்டும் வேறுபடுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

,
,

,
.

கடைசி வெளிப்பாடுகளை ஒப்பிடுகையில், நாம் அதைக் காண்கிறோம்
.

எடுத்துக்காட்டு 2.7.செயல்பாடு என்பதை நிரூபிக்கவும்
லாப்லேஸின் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது

.

குறிப்பு 2.2.எந்த மாறியைப் பொறுத்தமட்டில் பகுதி வழித்தோன்றல் இந்த மாறியைப் பொறுத்து வழித்தோன்றலாக இருப்பதால், மற்ற மாறிகள் நிலையானதாக இருந்தால், ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான அனைத்து விதிகளும் எத்தனை மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்குப் பொருந்தும்.

,
.

,
.

.

புள்ளி
அழைக்கப்பட்டது உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளி (குறைந்தபட்சம் ) செயல்பாடுகள்
, அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் என்றால்
, வேறுபட்டது
மற்றும் அதன் போதுமான சிறிய சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்தது, சமத்துவமின்மை

(
).

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் அதன் அழைக்கப்படுகிறது உச்சநிலை . செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை அடையும் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி .

தேற்றம் 2.1 (ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள் ). புள்ளி என்றால்
செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி
, அல்லது இந்த வழித்தோன்றல்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று இல்லை.

இந்த நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன நிலையான அல்லது முக்கியமான . எக்ஸ்ட்ரீம் புள்ளிகள் எப்போதும் நிலையாக இருக்கும், ஆனால் ஒரு நிலையான புள்ளி ஒரு தீவிர புள்ளியாக இருக்காது. ஒரு நிலையான புள்ளி ஒரு தீவிர புள்ளியாக இருக்க, உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்.

முதலில் பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம் :

,
,
,
.

தேற்றம் 2.2 (ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் ). செயல்படட்டும்
ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில் இருமுறை வேறுபடும்
மற்றும் காலம்
செயல்பாட்டிற்கு நிலையானது
. பிறகு:

1.என்றால்
, பின்னர் புள்ளி
செயல்பாட்டின் உச்சம், மற்றும்
அதிகபட்ச புள்ளியாக இருக்கும்
(
)மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளி
(
).

2.என்றால்
, பின்னர் புள்ளியில்

தீவிரம் இல்லை.

3.என்றால்
, பின்னர் உச்சநிலை இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.8.தீவிர செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள்
.

குறிப்பு 2.2.. இந்த வழக்கில் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் எப்போதும் இருப்பதால், நிலையான (முக்கியமான) புள்ளிகளைக் கண்டறிய நாங்கள் கணினியைத் தீர்க்கிறோம்:

,
,

எங்கே
,
,
,
. எனவே, எங்களுக்கு இரண்டு நிலையான புள்ளிகள் கிடைத்தன:
,
.

,
,
.

ஒரு புள்ளிக்கு
நாம் பெறுகிறோம்:, அதாவது, இந்த கட்டத்தில் எந்த உச்சமும் இல்லை. ஒரு புள்ளிக்கு
நாம் பெறுகிறோம்: மற்றும்
, எனவே

இந்த கட்டத்தில் இந்த செயல்பாடுஉள்ளூர் குறைந்தபட்சத்தை அடைகிறது: .

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு (DI) கணிதம் மற்றும் இயற்பியலின் நடைமுறை பயன்பாடுகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

குறிப்பாக, வடிவவியலில், பகுதிகள் ROI ஐப் பயன்படுத்தி காணப்படுகின்றன எளிய புள்ளிவிவரங்கள்மற்றும் சிக்கலான மேற்பரப்புகள், புரட்சியின் உடல்கள் மற்றும் தன்னிச்சையான வடிவத்தின் உடல்கள், ஒரு விமானம் மற்றும் விண்வெளியில் வளைவுகளின் நீளம்.

இயற்பியல் மற்றும் கோட்பாட்டு இயக்கவியலில், ROI கள் நிலையான தருணங்கள், நிறை மற்றும் பொருள் வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகளின் வெகுஜன மையங்களைக் கணக்கிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஒரு வளைவு பாதையில் ஒரு மாறி விசையின் வேலையைக் கணக்கிட, முதலியன.

ஒரு தட்டையான உருவத்தின் பகுதி

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் சில விமான உருவம் $xOy$ வளைவு $y=y_(1) \left(x\right)$, கீழே இருந்து $y=y_(2) \இடது (x\வலது)$ , மற்றும் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் செங்குத்து நேர்கோடுகள் முறையே $x=a$ மற்றும் $x=b$. பொதுவாக, அத்தகைய உருவத்தின் பரப்பளவு RO $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \ பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. இடது(x\வலது)\வலது)\cdot dx $.

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஆய அமைப்பில் சில தட்டையான உருவம் $xOy$ வலதுபுறத்தில் $x=x_(1) \left(y\right)$, இடதுபுறம் $x=x_(2) \இடது(y\வலது) $, மற்றும் கீழும் மேலேயும் கிடைமட்ட நேர்கோடுகள் முறையே $y=c$ மற்றும் $y=d$, பிறகு அத்தகைய உருவத்தின் பரப்பளவு ROI $S=\int ஐப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. \ வரம்புகள் _(c)^(d)\left(x_(1 ) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கருதப்படும் ஒரு தட்டையான உருவம் (வளைவுத் துறை), ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் உருவாக்கப்படட்டும் $\rho =\rho \left(\phi \right)$, அதே போல் கோணங்களில் செல்லும் இரண்டு கதிர்கள் $ \phi =\alpha $ மற்றும் $\phi =\beta $ முறையே. அத்தகைய வளைவுத் துறையின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \right )\cdot d\phi $.

வளைவு வளைவு நீளம்

பிரிவில் $\இடது[\alpha ,\; \beta \right]$ வளைவானது துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் $\rho =\rho \left(\phi \right)$ சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்படுகிறது, பின்னர் அதன் வளைவின் நீளம் அல்லது $L=\int ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. \ வரம்புகள் _(\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\ ஃபை $.

ஒரு பிரிவில் $\left$ ஒரு வளைவு $y=y\left(x\right)$ சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் வளைவின் நீளம் ROI $L=\int \limits _(a) ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும். ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

பிரிவில் $\இடது[\alpha ,\; \beta \right]$ வளைவு அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, அதாவது $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, அதன் வளைவின் நீளம் இதைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது ROI $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $.

இணையான பிரிவுகளின் பகுதிகளிலிருந்து உடலின் அளவைக் கணக்கிடுதல்

$a\le x\le b$ நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் குறுக்குவெட்டு பகுதிகள் $S\left(x\right)$ செங்குத்தாக விமானங்கள் மூலம் ஒரு இடஞ்சார்ந்த உடலின் அளவைக் கண்டறிவது அவசியமாக இருக்கட்டும். $Ox$ அச்சு அறியப்படுகிறது.

அத்தகைய உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

புரட்சியின் உடலின் தொகுதி

$\left$ பிரிவில் $y=y\left(x\right)$ ஒரு எதிர்மறையான தொடர்ச்சியற்ற செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டு, வளைவு ட்ரேப்சாய்டை (CrT) உருவாக்குகிறது. இந்த KrT ஐ $Ox$ அச்சில் சுழற்றினால், சுழற்சி உடல் என்று அழைக்கப்படும் உடல் உருவாகிறது.

புரட்சியின் உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவது அதன் இணையான பிரிவுகளின் அறியப்பட்ட பகுதிகளிலிருந்து உடலின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு ஆகும். தொடர்புடைய சூத்திரம் $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \இடது(x\வலது)\cdot dx $.

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள சில விமான உருவம் $xOy$ வளைவு $y=y_(1) \left(x\right)$, கீழே இருந்து $y=y_(2) \இடது (x\right)$ , இதில் $y_(1) \left(x\right)$ மற்றும் $y_(2) \left(x\right)$ ஆகியவை எதிர்மறையான தொடர் செயல்பாடுகள், மற்றும் இடது மற்றும் வலது செங்குத்தாக இருக்கும் நேர்கோடுகள் முறையே $x=a$ மற்றும் $x= b$. $Ox$ அச்சைச் சுற்றி இந்த உருவத்தின் சுழற்சியால் உருவான உடலின் அளவு RO $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1)^ ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. (2) \left(x \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $.

கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் சில தட்டையான உருவம் $xOy$ வலதுபுறத்தில் $x=x_(1) \left(y\right)$, இடதுபுறம் $x=x_(2) \left(y\right)$ , இங்கு $x_(1) \left(y\right)$ மற்றும் $x_(2) \left(y\right)$ ஆகியவை எதிர்மறை அல்லாத தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள், மேலும் கீழும் மேலேயும் கிடைமட்டமாக இருக்கும் நேர்கோடுகள் $y=c$ மற்றும் $y= d$ அதன்படி. $Oy$ அச்சில் இந்த உருவத்தின் சுழற்சியால் உருவான உடலின் கன அளவு RO $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1)^ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. (2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

சுழற்சி உடலின் மேற்பரப்பு பகுதி

$y=y\left(x\right)$ என்ற பிரிவில் $y=y\left(x\right)$ ஒரு தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றலான $y"\left(x\right)$ உடன் கொடுக்கப்பட்டிருக்கட்டும். இந்த செயல்பாடு CRTயை உருவாக்குகிறது. $Ox அச்சில் $ சுற்றி இந்த CRT சுழற்றுகிறோம், பின்னர் அது ஒரு புரட்சியின் உடலை உருவாக்குகிறது, மேலும் வில் KrT என்பது அத்தகைய ஒரு புரட்சியின் மேற்பரப்பு $Q=2\cdot சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது \pi \cdot \int \ வரம்புகள் _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

$x=\phi \left(y\right)$ வளைவு, $\phi \left(y\right)$ என்பது $c\le y\le d பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட எதிர்மறை சார்பு அல்ல என்று வைத்துக்கொள்வோம். $, $Oy$ அச்சில் சுழற்றப்பட்டது. இந்த வழக்கில், உருவான புரட்சியின் பரப்பளவு RO $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $.

ROI இன் இயற்பியல் பயன்பாடுகள்

1. $t=t_(0)$ நேரத்தில் நகரத் தொடங்கிய பொருள் புள்ளியின் $v=v\left(t\right)$ என்ற மாறி வேகத்துடன் $t=T$ நேரத்தில் பயணித்த தூரத்தைக் கணக்கிட, பயன்படுத்தவும் ROI $S =\int \ வரம்புகள் _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
2. $F=F\left(x\right)$ பயன்படுத்தப்படும் மாறி விசையின் வேலையை கணக்கிட பொருள் புள்ளி$x=a$ புள்ளியில் இருந்து $x=b$ புள்ளிக்கு $Ox$ அச்சில் நேரான பாதையில் நகரும் (விசையின் திசையானது இயக்கத்தின் திசையுடன் ஒத்துப்போகிறது) OP $A=\int \ வரம்புகளைப் பயன்படுத்தவும் _(a)^(b) F\left(x\right)\cdot dx $.
3. $\left$ இடைவெளியில் $y=y\left(x\right)$ வளைவின் ஆய அச்சுகள் பற்றிய நிலையான தருணங்கள் $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _( a)^(b)y \left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ மற்றும் $M_(y) =\rho \cdot \int \ வரம்புகள் _(a )^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, இந்த வளைவின் நேரியல் அடர்த்தி $\rho $ நிலையானதாக கருதப்படுகிறது.
4. ஒரு பொருள் வளைவின் வெகுஜன மையம் என்பது அதன் அனைத்து நிறைகளும் நிபந்தனையுடன் குவிந்திருக்கும் புள்ளியாகும், இதனால் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய புள்ளியின் நிலையான தருணங்கள் முழு வளைவின் நிலையான தருணங்களுக்கு சமமாக இருக்கும்.

ஒரு விமான வளைவின் வெகுஜன மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^( 2) \இடது(x\ வலது)) \cdot dx )(\int \ வரம்புகள் _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ மற்றும் $y_(C) =\frac(\int \ வரம்புகள் _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right )) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $.

5. ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய KrT வடிவில் உள்ள ஒரு பொருள் தட்டையான உருவத்தின் நிலையான தருணங்கள் $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a) சூத்திரங்களால் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. ^(b)y^(2) \left(x\right)\cdot dx $ மற்றும் $M_(y) =\rho \cdot \int \ வரம்புகள் _(a)^(b)x\cdot y\left( x\வலது)\cdot dx $.
6. $\இடது$ இடைவெளியில் $y=y\left(x\right)$ வளைவால் உருவாக்கப்பட்ட KrT வடிவில் உள்ள ஒரு பொருள் தட்டையான உருவத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொகுப்புகள் $x_(சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன. C) =\frac(\int \ வரம்புகள் _(a )^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx )(\int \ வரம்புகள் _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot dx ) $ மற்றும் $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \வரம்புகள் _(a)^(b)y^(2) \left(x \right)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் மேலே கட்டப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி y=f(x), இடது மற்றும் வலது - நேராக x=aமற்றும் x=bஅதன்படி, கீழே இருந்து - அச்சு எருது, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வலதுபுறத்தில் எல்லைப்படுத்தப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி x=φ(y), மேலே மற்றும் கீழே - நேராக y=dமற்றும் y=cஅதன்படி, இடதுபுறத்தில் - அச்சு ஓ:

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் மேலே வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு வளைவு உருவத்தின் பகுதி y 2 =f 2 (x), கீழே - செயல்பாட்டு வரைபடம் y 1 =f 1 (x), இடது மற்றும் வலது - நேராக x=aமற்றும் x=b:

செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட வளைவு உருவத்தின் பகுதி x 1 =φ 1 (y)மற்றும் x 2 =φ 2 (y), மேலே மற்றும் கீழே - நேராக y=dமற்றும் y=cமுறையே:

மேலே இருந்து வளைவு ட்ரேப்சாய்டைக் கட்டுப்படுத்தும் கோடு அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்படும் போது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம் x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), எங்கே α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. இந்த சமன்பாடுகள் சில செயல்பாடுகளை வரையறுக்கின்றன y=f(x)பிரிவில் [ a, b]. வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

ஒரு புதிய மாறிக்கு செல்லலாம் x = φ 1 (t), பிறகு dx = φ" 1 (t) dt, ஏ y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), எனவே \தொடங்கு(டிஸ்ப்ளேமேத்)

துருவ ஆயங்களில் உள்ள பகுதி

ஒரு வளைவுத் துறையைக் கவனியுங்கள் OAB, ஒரு கோட்டால் கட்டப்பட்டது, சமன்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது ρ=ρ(φ) துருவ ஆயங்களில், இரண்டு கதிர்கள் ஓ.ஏ.மற்றும் ஓ.பி., எதற்காக φ=α , φ=β .

இத்துறையை அடிப்படைத் துறைகளாகப் பிரிப்போம் ஓஎம் கே-1எம் கே ( k=1, …, n, எம் 0 = ஏ, எம் என் = பி) மூலம் குறிப்போம் Δφ கேகதிர்கள் இடையே கோணம் ஓஎம் கே-1மற்றும் ஓஎம்கே, துருவ அச்சுடன் கோணங்களை உருவாக்குகிறது φ k-1மற்றும் φ கேமுறையே. தொடக்கத் துறைகள் ஒவ்வொன்றும் ஓஎம் கே-1 எம் கேஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத் துறையுடன் அதை மாற்றவும் ρ k =ρ(φ" k), எங்கே φ"k- கோண மதிப்பு φ இடைவெளியில் இருந்து [ φ k-1 , φ k], மற்றும் மைய கோணம் Δφ கே. கடைசித் துறையின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது .

கொடுக்கப்பட்ட துறையை தோராயமாக மாற்றும் "படி" துறையின் பகுதியை வெளிப்படுத்துகிறது OAB.

துறை பகுதி OAB"படி" துறையின் பரப்பளவு வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது n → ∞மற்றும் λ=அதிகபட்சம் Δφ k → 0:

ஏனெனில் , அது

வளைவு வளைவு நீளம்

பிரிவில் விடுங்கள் [ a, b] வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது y=f(x), இதன் வரைபடம் பரிதி ஆகும். பிரிவு [ a,b] அதை பிரிப்போம் nபுள்ளிகள் கொண்ட பாகங்கள் x 1, x 2, …, xn-1. இந்த புள்ளிகள் புள்ளிகளுக்கு ஒத்திருக்கும் எம் 1, எம் 2, …, Mn-1வளைவுகள், அவற்றை உடைந்த கோடுடன் இணைக்கிறோம், இது வில் பொறிக்கப்பட்ட உடைந்த கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த உடைந்த கோட்டின் சுற்றளவு குறிக்கப்படும் s n, அதாவது

வரையறை. ஒரு கோட்டின் வளைவின் நீளம், அதில் பொறிக்கப்பட்ட உடைந்த கோட்டின் சுற்றளவு வரம்பு ஆகும், போது இணைப்புகளின் எண்ணிக்கை எம் கே-1 எம் கேகாலவரையின்றி அதிகரிக்கிறது, மேலும் அவற்றில் பெரியவற்றின் நீளம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்:

இதில் λ என்பது மிகப்பெரிய இணைப்பின் நீளம்.

வளைவின் நீளத்தை சில புள்ளிகளிலிருந்து எண்ணுவோம், எடுத்துக்காட்டாக, ஏ. புள்ளியில் விடுங்கள் M(x,y)வில் நீளம் உள்ளது கள், மற்றும் புள்ளியில் எம்"(x+Δ x,y+Δy)வில் நீளம் உள்ளது s+Δs, எங்கே,i>Δs என்பது வளைவின் நீளம். ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து எம்என்எம்"நாண் நீளத்தைக் கண்டுபிடி: .

வடிவியல் கருத்தில் இருந்து அது பின்வருமாறு

அதாவது, ஒரு கோட்டின் எல்லையற்ற வளைவும், அதைக் குறிக்கும் நாண்களும் சமமானவை.

நாண் நீளத்தை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரத்தை மாற்றுவோம்:

இந்த சமத்துவத்தில் வரம்பைக் கடந்து, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம் s=s(x):

அதிலிருந்து நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

இந்த சூத்திரம் ஒரு விமான வளைவின் வளைவின் வேறுபாட்டை வெளிப்படுத்துகிறது மற்றும் எளிமையானது வடிவியல் பொருள்: எல்லையற்ற முக்கோணத்திற்கான பித்தகோரியன் தேற்றத்தை வெளிப்படுத்துகிறது எம்டிஎன் (ds=MT, ).

இடஞ்சார்ந்த வளைவின் வளைவின் வேறுபாடு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

அளவுரு சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட இடஞ்சார்ந்த கோட்டின் வளைவைக் கவனியுங்கள்

எங்கே α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - வாதத்தின் வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் டி, அது

இடைவெளியில் இந்த சமத்துவத்தை ஒருங்கிணைத்தல் [ α, β ], இந்த வரி வளைவின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்

கோடு விமானத்தில் இருந்தால் ஆக்சி, அது z=0அனைவருக்கும் முன்னால் t∈[α, β], அதனால் தான்

சமன்பாட்டால் ஒரு தட்டையான கோடு கொடுக்கப்பட்டால் y=f(x) (a≤x≤b), எங்கே f(x)ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு, கடைசி சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கும்

சமன்பாட்டின் மூலம் விமானக் கோட்டைக் கொடுக்கலாம் ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) துருவ ஆயங்களில். இந்த வழக்கில், கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகள் உள்ளன x=ρ(φ) காஸ் φ, y=ρ(φ) பாவம் φ, அங்கு துருவ கோணம் ஒரு அளவுருவாக எடுக்கப்படுகிறது φ . ஏனெனில்

கோட்டின் வளைவின் நீளத்தை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரம் ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β துருவ ஆயங்களில், வடிவம் உள்ளது

உடல் அளவு

ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில் செங்குத்தாக இந்த உடலின் குறுக்குவெட்டின் பரப்பளவு தெரிந்தால், உடலின் அளவைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இந்த உடலை அச்சுக்கு செங்குத்தாக விமானங்கள் மூலம் அடிப்படை அடுக்குகளாகப் பிரிப்போம் எருதுமற்றும் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது x=const. எந்த நிலையானது x∈அறியப்பட்ட பகுதி S=S(x)கொடுக்கப்பட்ட உடலின் குறுக்குவெட்டு.

அடிப்படை அடுக்கு விமானங்களால் துண்டிக்கப்பட்டது x=x k-1, x=x கே (k=1, …, n, x 0 = a, x n =b), உயரத்துடன் ஒரு சிலிண்டருடன் அதை மாற்றவும் Δx k =x k -x k-1மற்றும் அடிப்படை பகுதி S(ξ k), ξ k ∈.

சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அடிப்படை சிலிண்டரின் அளவு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது Δv k =E(ξ k)Δx k. அத்தகைய அனைத்து தயாரிப்புகளையும் சுருக்கமாகக் கூறுவோம்

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கான ஒருங்கிணைந்த தொகை S=S(x)பிரிவில் [ a, b]. இது அடிப்படை சிலிண்டர்களைக் கொண்ட ஒரு படிநிலை உடலின் அளவை வெளிப்படுத்துகிறது மற்றும் தோராயமாக இந்த உடலை மாற்றுகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட உடலின் அளவு என்பது குறிப்பிட்ட படிநிலை உடலின் அளவின் வரம்பாகும் λ→0 , எங்கே λ - அடிப்படைப் பிரிவுகளில் மிகப்பெரிய நீளம் Δxk. மூலம் குறிப்போம் விகொடுக்கப்பட்ட உடலின் அளவு, பின்னர் வரையறையின்படி

மறுபுறம்,

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட படி உடலின் அளவு குறுக்கு பிரிவுகள்சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

ஒரு அச்சை சுற்றி சுழற்சி மூலம் ஒரு உடல் உருவாகிறது என்றால் எருதுஒரு வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு மேல் ஒரு தொடர்ச்சியான கோட்டின் வில் மூலம் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது y=f(x), எங்கே a≤x≤b, அது S(x)=πf 2 (x)மற்றும் கடைசி சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கிறது:

கருத்து. செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வலதுபுறத்தில் எல்லைப்படுத்தப்பட்ட வளைந்த ட்ரேப்சாய்டைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் அளவு x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), அச்சைச் சுற்றி ஓசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

சுழற்சியின் மேற்பரப்பு பகுதி

கோட்டின் வளைவைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பைக் கவனியுங்கள் y=f(x) (a≤x≤b) அச்சைச் சுற்றி எருது(செயல்பாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம் y=f(x)தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல் உள்ளது). மதிப்பை சரிசெய்தல் x∈, செயல்பாடு வாதத்திற்கு ஒரு அதிகரிப்பு கொடுப்போம் dx, இது அடிப்படை வளைவைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட "எலிமெண்டரி வளையத்திற்கு" ஒத்திருக்கிறது Δl. இந்த "மோதிரத்தை" ஒரு உருளை வளையத்துடன் மாற்றுவோம் - ஒரு செவ்வகத்தின் சுழற்சியால் உருவாகும் உடலின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு வளைவின் வேறுபாட்டிற்கு சமமான அடித்தளத்துடன். dl, மற்றும் உயரம் h=f(x). கடைசி வளையத்தை வெட்டி, அதை விரிப்பதன் மூலம், அகலத்துடன் ஒரு துண்டு கிடைக்கும் dlமற்றும் நீளம் 2πy, எங்கே y=f(x).

எனவே, மேற்பரப்பு பகுதி வேறுபாடு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

இந்த சூத்திரம் ஒரு கோட்டின் வளைவைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பை வெளிப்படுத்துகிறது y=f(x) (a≤x≤b) அச்சைச் சுற்றி எருது.

விரிவுரை 21 ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பயன்பாடுகள் (2 மணிநேரம்)

வடிவியல் பயன்பாடுகள்

A) உருவத்தின் பரப்பளவு

விரிவுரை 19 இல் ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, வளைவால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவிற்கு எண்ணியல் சமமாக உள்ளது. மணிக்கு = f(x), நேராக எக்ஸ் = ஏ, எக்ஸ் = பிமற்றும் பிரிவு [ அ, பி] OX அச்சு. மேலும், என்றால் f(x) £ 0 இல் [ அ, பி], பின்னர் ஒரு மைனஸ் அடையாளத்துடன் ஒருங்கிணைப்பு எடுக்கப்பட வேண்டும்.

அன்று என்றால் கொடுக்கப்பட்ட பிரிவுசெயல்பாடு மணிக்கு = f(x) அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, பின்னர் இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கும் OX அச்சுக்கும் இடையில் இணைக்கப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிட, நீங்கள் பிரிவை பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும், ஒவ்வொன்றிலும் செயல்பாடு அதன் அடையாளத்தைத் தக்கவைத்து, அதன் பகுதியைக் கண்டறியவும். உருவத்தின் ஒவ்வொரு பகுதியும். இந்த வழக்கில் தேவையான பகுதி இயற்கணிதத் தொகைஇந்த பிரிவுகளின் மீதான ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்புகள் எதிர்மறை மதிப்புகள்செயல்பாடுகள் இந்த தொகையில் கழித்தல் குறியுடன் எடுக்கப்படுகின்றன.

ஒரு உருவம் இரண்டு வளைவுகளால் கட்டப்பட்டிருந்தால் மணிக்கு = f 1 (x) மற்றும் மணிக்கு = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), பின்னர், படம் 9 இலிருந்து பின்வருமாறு, அதன் பரப்பளவு வளைவு ட்ரேப்சாய்டுகளின் பகுதிகளில் உள்ள வேறுபாட்டிற்கு சமம் ஏசூரியன் பிமற்றும் ஏகி.பி பி, அவை ஒவ்வொன்றும் எண்ணியல் ரீதியில் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம். பொருள்

படம் 10a இல் காட்டப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பரப்பளவு அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க: S = (நிரூபியுங்கள்!). படம் 10b இல் காட்டப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பரப்பளவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்று சிந்தியுங்கள்?

நாங்கள் OX அச்சுக்கு அருகிலுள்ள வளைவு ட்ரேப்சாய்டுகளைப் பற்றி மட்டுமே பேசிக் கொண்டிருந்தோம். ஆனால் இதேபோன்ற சூத்திரங்கள் OU அச்சுக்கு அருகில் உள்ள புள்ளிவிவரங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும். எடுத்துக்காட்டாக, படம் 11 இல் காட்டப்பட்டுள்ள உருவத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது

வரியை விடுங்கள் ஒய்=f(x), ஒரு வளைந்த ட்ரேப்சாய்டைக் கட்டுப்படுத்துவது, அளவுரு சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்படலாம், டிО , மற்றும் j(a)= ஏ, j(b) = பி, அதாவது மணிக்கு= பின்னர் இந்த வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு சமமாக இருக்கும்

.

b) வளைவு வளைவு நீளம்

வளைவு கொடுக்கப்படட்டும் மணிக்கு = f(x) மாற்றத்துடன் தொடர்புடைய இந்த வளைவின் வளைவைக் கருத்தில் கொள்வோம் எக்ஸ்பிரிவில் [ அ, பி]. இந்த வளைவின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, வளைவு AB ஐப் பிரிக்கிறோம் nபகுதிகள் A = M 0, M 1, M 2, ..., M n= B (படம் 14), புள்ளிகளுடன் தொடர்புடையது எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., x n Î [ அ, பி].

D ஐக் குறிப்போம் l iவில் நீளம், பின்னர் எல்= வில் நீளம் என்றால் D l iபோதுமான அளவு சிறியவை, பின்னர் அவை தோராயமாக கருதப்படலாம் சம நீளம்புள்ளிகளை இணைக்கும் தொடர்புடைய பிரிவுகள் எம் i-1, எம் i. இந்த புள்ளிகள் எம் i -1 (x i -1, f (x i-1)), எம் i(x i, f(x i)). பின்னர் பிரிவுகளின் நீளம் முறையே சமமாக இருக்கும்

Lagrange இன் சூத்திரம் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது. போடுவோம் x i – x i-1 =D x i, நாம் பெறுகிறோம்

பிறகு எல் = , எங்கே

எல் = .

இதனால், வளைவின் வில் நீளம் மணிக்கு = f(x), மாற்றத்துடன் தொடர்புடையது எக்ஸ்பிரிவில் [ அ, பி], சூத்திரத்தால் கண்டறியப்பட்டது

எல் = , (1)

வளைவு அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டால், டிஓ, அதாவது. ஒய்(டி) = f(x(டி)), பின்னர் சூத்திரம் (1) இலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்:

எல்=
.

இதன் பொருள் ஒரு வளைவு அளவுருவாக கொடுக்கப்பட்டால், இந்த வளைவின் வளைவின் நீளம் மாற்றத்துடன் தொடர்புடையது டிஓ, சூத்திரத்தால் கண்டறியப்பட்டது

V) புரட்சியின் உடலின் தொகுதி.

இதேபோல், செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட OU அச்சில் ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் தொகுதிக்கான சூத்திரத்தை நாம் பெறலாம். எக்ஸ்= ஜே( மணிக்கு), நேராக ஒய் = c , ஒய் = ஈமற்றும் பிரிவு [ c,ஈ] op-amp இன் அச்சு (படம் 15):

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் இயற்பியல் பயன்பாடுகள்

விரிவுரை 19 இல், இயற்பியல் கண்ணோட்டத்தில், ஒருங்கிணைப்பானது ஒரு நேர்கோட்டு மெல்லிய ஒத்திசைவற்ற நீளமுள்ள கம்பியின் நிறைக்கு சமம் என்பதை நிரூபித்தோம். எல்= பி – அ, மாறி கொண்டு நேரியல் அடர்த்திஆர் = f(x), f(x) ³ 0, எங்கே எக்ஸ்- தடியின் புள்ளியிலிருந்து அதன் இடது முனை வரையிலான தூரம்.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் பிற இயற்பியல் பயன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

பிரச்சனை 1. உயரம் H மற்றும் அடிப்படை ஆரம் R கொண்ட செங்குத்து உருளை தொட்டியில் இருந்து எண்ணெய் பம்ப் செய்ய தேவையான வேலையைக் கண்டறியவும். எண்ணெயின் அடர்த்தி r ஆகும்.

தீர்வு.கட்டுவோம் கணித மாதிரிஇந்த பணியின். OX அச்சு உயரம் H மற்றும் R ஆரம் கொண்ட சிலிண்டரின் சமச்சீர் அச்சில் செல்லட்டும், தோற்றம் சிலிண்டரின் மேல் தளத்தின் மையத்தில் உள்ளது (படம் 17). சிலிண்டரைப் பிரிப்போம் nசிறிய கிடைமட்ட பாகங்கள். அப்புறம் எங்கே ஏ ஐ- உந்தி வேலை iவது அடுக்கு. சிலிண்டரின் இந்த பிரிவு அடுக்கு உயரத்தில் உள்ள மாற்றத்தின் பிரிவின் பிரிவுக்கு ஒத்திருக்கிறது nபாகங்கள். தொலைவில் அமைந்துள்ள இந்த அடுக்குகளில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம் x iமேற்பரப்பில் இருந்து, அகலம் D எக்ஸ்(அல்லது உடனடியாக dx) இந்த அடுக்கை வெளியேற்றுவது அடுக்கை உயரத்திற்கு "உயர்த்துவது" என்று கருதலாம் x i.

இந்த அடுக்கை வெளியேற்றுவதற்கான வேலை சமமாக இருக்கும்

ஏ ஐ»பி i x i, ,

அங்கு பி i=ஆர்ஜிவி i= rgpR 2 dx, ஆர் i- எடை, வி i- அடுக்கின் அளவு. பிறகு ஏ ஐ» ஆர் i x i= rgpR 2 dx.x i, எங்கே

, எனவே .

பிரச்சனை 2. மந்தநிலையின் தருணத்தைக் கண்டறியவும்

a) அதன் சமச்சீர் அச்சின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய வெற்று மெல்லிய சுவர் உருளை;

b) அதன் சமச்சீர் அச்சின் வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடைய திட உருளை;

c) நீளமுள்ள ஒரு மெல்லிய கம்பி எல்அதன் நடுப்பகுதி வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடையது;

ஈ) மெல்லிய கம்பி நீளம் எல்அதன் இடது முனை வழியாக செல்லும் அச்சுடன் தொடர்புடையது.

தீர்வு.அறியப்பட்டபடி, அச்சுடன் தொடர்புடைய ஒரு புள்ளியின் நிலைமத்தின் தருணம் சமம் ஜே=திரு 2, மற்றும் புள்ளிகளின் அமைப்புகள்.

அ) சிலிண்டர் மெல்லிய சுவர் கொண்டது, அதாவது சுவர் தடிமன் புறக்கணிக்கப்படலாம். உருளையின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் R ஆகவும், அதன் உயரம் H ஆகவும், சுவர்களில் நிறை அடர்த்தி r ஆகவும் இருக்கட்டும்.

சிலிண்டரைப் பிரிப்போம் nபாகங்கள் மற்றும் எங்கே கண்டுபிடிக்க ஜே ஐ- செயலற்ற தருணம் iபகிர்வின் உறுப்பு.

கருத்தில் கொள்வோம் iபகிர்வின் வது உறுப்பு (முடிவிலி சிலிண்டர்). அதன் அனைத்து புள்ளிகளும் அச்சில் இருந்து R தொலைவில் உள்ளன எல். இந்த உருளையின் நிறை இருக்கட்டும் டி ஐ, பிறகு டி ஐ= ஆர்.வி i» ஆர்.எஸ் பக்கம்= 2prR dx i, எங்கே x iஓ. பிறகு ஜே ஐ» R 2 prR dx i, எங்கே

.

r ஒரு மாறிலி என்றால், பின்னர் ஜே= 2prR 3 N, மற்றும் சிலிண்டரின் நிறை M = 2prRНக்கு சமமாக இருப்பதால் ஜே=எம்ஆர் 2.

b) சிலிண்டர் திடமாக இருந்தால் (நிரப்பப்பட்டது), பின்னர் நாம் அதை பிரிக்கிறோம் n vloமெல்லிய சிலிண்டர்கள் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளன. என்றால் nபெரியது, இந்த சிலிண்டர்கள் ஒவ்வொன்றும் மெல்லிய சுவர்களாகக் கருதப்படலாம். இந்த பகிர்வு பிரிவின் பகிர்வுக்கு ஒத்திருக்கிறது nபுள்ளிகள் R i. வெகுஜனத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் iமெல்லிய சுவர் சிலிண்டர்: டி ஐ= ஆர்.வி i, எங்கே

வி i= pR i 2 எச் - பிஆர் நான் - 1 2 H = pH(R i 2 -ஆர் i -1 2) =

PH(R i–ஆர் i-1)(ஆர் i+ஆர் i -1).

சிலிண்டர் சுவர்கள் மெல்லியதாக இருப்பதால், R என்று நாம் கருதலாம் i+ஆர் i-1 » 2ஆர் i, மற்றும் ஆர் i–ஆர் i-1 = DR i, பின்னர் வி i» pH2R iடி.ஆர். i, எங்கே டி ஐ» rpН×2R iடி.ஆர். i,

பின்னர் இறுதியாக

c) நீளமுள்ள ஒரு கம்பியைக் கவனியுங்கள் எல், அதன் நிறை அடர்த்தி r க்கு சமம். சுழற்சியின் அச்சு அதன் நடுவில் செல்லட்டும்.

நாங்கள் தடியை OX அச்சின் ஒரு பிரிவாக வடிவமைக்கிறோம், பின்னர் தடியின் சுழற்சியின் அச்சு OU அச்சாகும். ஒரு அடிப்படைப் பிரிவைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதன் நிறை, அச்சுக்கான தூரம் தோராயமாக சமமாக கருதப்படலாம் ஆர் ஐ= x i. இந்த பிரிவின் நிலைமத்தின் தருணம் சமமாக இருக்கும், முழு தடியின் நிலைமத்தின் தருணம் . தடியின் நிறை சமமாக இருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, பிறகு

ஈ) இப்போது சுழற்சியின் அச்சு தடியின் இடது முனை வழியாக செல்லட்டும், அதாவது. கம்பியின் மாதிரியானது OX அச்சின் ஒரு பிரிவாகும். பின்னர் இதேபோல், ஆர் ஐ= x i,, எங்கே , மற்றும் முதல் , பின்னர் .

பணி 3.கால்கள் கொண்ட வலது முக்கோணத்தில் அடர்த்தி r கொண்ட திரவத்தின் அழுத்த விசையைக் கண்டறியவும் ஏமற்றும் பி, செங்குத்தாக திரவத்தில் மூழ்கி அதனால் கால் ஏதிரவத்தின் மேற்பரப்பில் உள்ளது.

குறிப்பு 2.2..

பிரச்சனையின் மாதிரியை உருவாக்குவோம். மேலே விடுங்கள் வலது கோணம்முக்கோணம் தோற்றத்தில் உள்ளது, கால் ஏ OU அச்சின் ஒரு பகுதியுடன் ஒத்துப்போகிறது (OU அச்சு திரவத்தின் மேற்பரப்பை தீர்மானிக்கிறது), OX அச்சு கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது, கால் பிஇந்த அச்சின் ஒரு பகுதியுடன் ஒத்துப்போகிறது. இந்த முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் சமன்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது .

பகுதியின் கிடைமட்ட பகுதியில் இருந்தால் அது அறியப்படுகிறது எஸ், அடர்த்தியான r இன் திரவத்தில் மூழ்கி, உயரத்தின் திரவத்தின் நெடுவரிசையால் அழுத்தப்படுகிறது ம, பிறகு அழுத்த விசை சமம் (பாஸ்கலின் சட்டம்). இந்த சட்டத்தை பயன்படுத்துவோம்.