அளவுருவாக கொடுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல். அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

செயல்பாட்டை பல வழிகளில் குறிப்பிடலாம். அதைக் குறிப்பிடப் பயன்படுத்தப்படும் விதியைப் பொறுத்தது. செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடுவதற்கான வெளிப்படையான வடிவம் y = f (x) ஆகும். அதன் விளக்கம் சாத்தியமற்றது அல்லது சிரமமாக இருக்கும் நேரங்கள் உள்ளன. பல ஜோடிகள் (x; y) இருந்தால், அவை இடைவெளியில் (a; b) t அளவுருவைக் கணக்கிட வேண்டும். x = 3 cos t y = 3 sin t ஐ 0 ≤ t உடன் தீர்க்க< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

ஒரு அளவுரு செயல்பாட்டின் வரையறை

இங்கிருந்து x = φ (t), y = ψ (t) என்பது t ∈ (a; b) மதிப்பிற்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் x = φ (t) க்கு t = Θ (x) என்ற தலைகீழ் செயல்பாடு உள்ளது. y = ψ (Θ (x)) வடிவத்தின் செயல்பாட்டின் அளவுரு சமன்பாட்டைக் குறிப்பிடுவது பற்றி நாங்கள் பேசுகிறோம்.

ஒரு செயல்பாட்டைப் படிக்க, x ஐப் பொறுத்து வழித்தோன்றலைத் தேட வேண்டிய சந்தர்ப்பங்கள் உள்ளன. வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தை அளவுருவாகக் கருதுவோம் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுவடிவத்தின் y x " = ψ " (t) φ " (t), 2வது மற்றும் nவது வரிசையின் வழித்தோன்றலைப் பற்றி பேசலாம்.

அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

எங்களிடம் x = φ (t), y = ψ (t), t ∈ a க்கு வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் வேறுபடுத்தக்கூடியது; b, அங்கு x t " = φ " (t) ≠ 0 மற்றும் x = φ (t), பின்னர் t = Θ (x) வடிவத்தின் தலைகீழ் செயல்பாடு உள்ளது.

தொடங்குவதற்கு, நீங்கள் ஒரு அளவுரு பணியிலிருந்து வெளிப்படையான பணிக்கு மாற வேண்டும். இதைச் செய்ய, y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) வடிவத்தின் சிக்கலான செயல்பாட்டை நீங்கள் பெற வேண்டும், அங்கு வாதம் x உள்ளது.

வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான விதியின் அடிப்படையில் சிக்கலான செயல்பாடு, y "x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x என்பதைக் காண்கிறோம்.

t = Θ (x) மற்றும் x = φ (t) ஆகியவை தலைகீழ் சார்பு சூத்திரமான Θ " (x) = 1 φ " (t), பின்னர் y " x = ψ " Θ (x) Θ " என்பதிலிருந்து தலைகீழ் செயல்பாடுகள் என்பதை இது காட்டுகிறது. (x) = ψ " (t) φ " (t) .

வேறுபாடு விதியின்படி வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி பல எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

x = t 2 + 1 y = t செயல்பாட்டிற்கான வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

நிபந்தனையின்படி φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, இங்கிருந்து நாம் φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1 என்று பெறுகிறோம். நீங்கள் பெறப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் மற்றும் படிவத்தில் பதிலை எழுத வேண்டும்:

y "x = ψ" (t) φ " (t) = 1 2 டி

பதில்: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

h செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுடன் பணிபுரியும் போது, ​​t அளவுருவானது x வாதத்தின் வெளிப்பாட்டை அதே அளவுரு t மூலம் குறிப்பிடுகிறது, இதனால் வழித்தோன்றலின் மதிப்புகள் மற்றும் வாதத்துடன் அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பை இழக்கக்கூடாது. இந்த மதிப்புகள் ஒத்துப்போகின்றன.

அளவுருவில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் இரண்டாம்-வரிசை வழித்தோன்றலைத் தீர்மானிக்க, அதன் விளைவாக வரும் செயல்பாட்டின் முதல்-வரிசை வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும், பின்னர் அதைப் பெறுகிறோம்

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

எடுத்துக்காட்டு 2

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் 2வது மற்றும் 2வது வரிசை வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும் x = cos (2 t) y = t 2 .

தீர்வு

நிபந்தனையின்படி நாம் φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 என்று பெறுகிறோம்.

பின்னர் மாற்றத்திற்குப் பிறகு

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

இது y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

1வது வரிசை வழித்தோன்றலின் வடிவம் x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

தீர்க்க, நீங்கள் இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். வடிவத்தின் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

பின்னர் அளவுரு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி 2வது வரிசை வழித்தோன்றலைக் குறிப்பிடவும்

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

இதேபோன்ற தீர்வு மற்றொரு முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படலாம். பிறகு

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 டி) "= 2

இங்கிருந்து நாம் அதைப் பெறுகிறோம்

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

பதில்: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைக் கொண்ட உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள் இதே வழியில் காணப்படுகின்றன.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

அளவுரு வழியில் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரம். இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான சான்று மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள். முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிசை வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

செயல்பாடு ஒரு அளவுரு வழியில் குறிப்பிடப்படட்டும்:
(1)
ஒரு அளவுரு எனப்படும் சில மாறிகள் எங்கே. மற்றும் செயல்பாடுகள் மாறியின் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பில் டெரிவேடிவ்களைக் கொண்டிருக்கட்டும். மேலும், புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் செயல்பாடு ஒரு தலைகீழ் செயல்பாட்டையும் கொண்டுள்ளது. பின்னர் செயல்பாடு (1) புள்ளியில் ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது, இது அளவுரு வடிவத்தில், சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
(2)

இங்கே மற்றும் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் மாறி (அளவுரு) பொறுத்து. அவை பெரும்பாலும் பின்வருமாறு எழுதப்படுகின்றன:
;
.

பின்னர் அமைப்பு (2) பின்வருமாறு எழுதலாம்:

ஆதாரம்

நிபந்தனையின்படி, செயல்பாடு ஒரு தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. என குறிப்போம்
.
அசல் செயல்பாட்டை ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாகக் குறிப்பிடலாம்:
.
சிக்கலான மற்றும் தலைகீழ் செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்தி அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:
.

விதி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இரண்டாவது வழியில் ஆதாரம்

புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் வரையறையின் அடிப்படையில், இரண்டாவது வழியில் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:
.
குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்:
.
பின்னர் முந்தைய சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கும்:
.

புள்ளியின் அருகாமையில் சார்பு ஒரு தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்திக் கொள்வோம்.
பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்:
; ;
; .
பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை இவ்வாறு வகுக்கவும்:
.
மணிக்கு, .
.

விதி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பிறகு

உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்
(1)

உயர் ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிய, பல முறை வேறுபாட்டைச் செய்வது அவசியம். பின்வரும் படிவத்தின் அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாம்-வரிசை வழித்தோன்றலை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்:
(2)

சூத்திரம் (2) ஐப் பயன்படுத்தி முதல் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம், இது அளவுருவாகவும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
.
முதல் வழித்தோன்றலை மாறி மூலம் குறிப்போம்:
(3)
பின்னர், மாறியைப் பொறுத்து ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் மாறியைப் பொறுத்து செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். ஒரு மாறியின் மீது ஒரு மாறியின் சார்பு அளவுரு முறையிலும் குறிப்பிடப்படுகிறது:

(3) சூத்திரங்கள் (1) மற்றும் (2) உடன் ஒப்பிடுகையில், நாம் காண்கிறோம்:
.
இப்போது செயல்பாடுகள் மற்றும் மூலம் முடிவை வெளிப்படுத்துவோம். இதைச் செய்ய, டெரிவேட்டிவ் பின்னம் சூத்திரத்தை மாற்றிப் பயன்படுத்துவோம்:
.

பிறகு

இங்கிருந்து நாம் மாறியைப் பொறுத்து செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைப் பெறுகிறோம்:
.

இது அளவுரு வடிவத்திலும் வழங்கப்படுகிறது. முதல் வரியை பின்வருமாறு எழுதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க:

செயல்முறையைத் தொடர்வதன் மூலம், மூன்றாவது மற்றும் அதிக ஆர்டர்களின் மாறியிலிருந்து செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைப் பெறலாம்.
;
.

வழித்தோன்றலுக்கான குறியீட்டை நாம் அறிமுகப்படுத்த வேண்டியதில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. நீங்கள் இதை இப்படி எழுதலாம்:

எடுத்துக்காட்டு 1

அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு
என்பது தொடர்பான வழித்தோன்றல்களைக் காண்கிறோம்.
;
.
வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் இருந்து நாம் காணலாம்:

.
நாங்கள் விண்ணப்பிக்கிறோம்:

.
நாங்கள் விண்ணப்பிக்கிறோம்:

இங்கே.
.

தேவையான வழித்தோன்றல்:

பதில்

எடுத்துக்காட்டு 2

அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

அளவுரு மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
.

ஆற்றல் செயல்பாடுகள் மற்றும் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்துவோம்:

.

வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்:

.

வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல். இதைச் செய்ய, ஒரு மாறியை அறிமுகப்படுத்துகிறோம் மற்றும் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
.

தேவையான வழித்தோன்றல்:

விரும்பிய வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 3

அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

எடுத்துக்காட்டு 1 இல் அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிசை வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:

எடுத்துக்காட்டு 1 இல், முதல் வரிசை வழித்தோன்றலைக் கண்டோம்:

பதவியை அறிமுகப்படுத்துவோம். பின்னர் செயல்பாடு என்பது . இது அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது:

மூலம் வேறுபடுத்துவோம்.
.
எடுத்துக்காட்டு 1 இல் இதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டோம்:
.
இதைப் பொறுத்தவரை இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல் முதல் வரிசை வழித்தோன்றலுக்குச் சமம்:
.

எனவே, அளவுரு வடிவத்தைப் பொறுத்து இரண்டாம் வரிசை வழித்தோன்றலைக் கண்டோம்:

இப்போது மூன்றாவது வரிசை வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம். பதவியை அறிமுகப்படுத்துவோம். பின்னர் நாம் செயல்பாட்டின் முதல்-வரிசை வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இது ஒரு அளவுரு வழியில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது:

வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும். இதைச் செய்ய, அதை சமமான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுகிறோம்:
.
இருந்து

.

இதைப் பொறுத்து மூன்றாவது வரிசை வழித்தோன்றல் முதல் வரிசை வழித்தோன்றலுக்குச் சமம்:
.

கருத்து

நீங்கள் மாறிகள் மற்றும் , அவை முறையே மற்றும் ன் வழித்தோன்றல்களை உள்ளிட வேண்டியதில்லை. பின்னர் நீங்கள் அதை இப்படி எழுதலாம்:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

தேவையான வழித்தோன்றல்:

அளவுரு பிரதிநிதித்துவத்தில், இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல் உள்ளது அடுத்த பார்வை:

மூன்றாம் வரிசை வழித்தோன்றல்:

மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.
அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

இந்த கட்டுரையில் நாம் அடிக்கடி காணப்படும் இரண்டு பொதுவான பணிகளைப் பார்ப்போம் சோதனைகள்உயர் கணிதத்தில். பொருள் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெற, குறைந்தபட்சம் ஒரு இடைநிலை மட்டத்திலாவது வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிய முடியும். இரண்டு அடிப்படைப் பாடங்களில் புதிதாக வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிய நீங்கள் கற்றுக்கொள்ளலாம் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். உங்கள் வேறுபாடு திறன் சரியாக இருந்தால், போகலாம்.

மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

அல்லது சுருக்கமாக - வழித்தோன்றல் மறைமுக செயல்பாடு. மறைமுகமான செயல்பாடு என்றால் என்ன? ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வரையறையை முதலில் நினைவில் கொள்வோம்:

ஒரு மாறியின் செயல்பாடுசார்பற்ற மாறியின் ஒவ்வொரு மதிப்பும் செயல்பாட்டின் ஒரே ஒரு மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கும் விதி.

மாறி அழைக்கப்படுகிறது சார்பற்ற மாறிஅல்லது வாதம்.
மாறி அழைக்கப்படுகிறது சார்பு மாறிஅல்லது செயல்பாடு .

இதுவரை நாம் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைப் பார்த்தோம் வெளிப்படையானவடிவம். இதற்கு என்ன அர்த்தம்? குறிப்பிட்ட உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு விவாதத்தை நடத்துவோம்.

செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

இடதுபுறத்தில் ஒரு தனி "பிளேயர்" இருப்பதையும், வலதுபுறத்தில் - "எக்ஸ்" மட்டுமே. அதாவது செயல்பாடு வெளிப்படையாகசுயாதீன மாறி மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

மற்றொரு செயல்பாட்டைப் பார்ப்போம்:

இங்குதான் மாறிகள் கலக்கப்படுகின்றன. மேலும் எந்த வகையிலும் சாத்தியமற்றது"Y" ஐ "X" மூலம் மட்டுமே வெளிப்படுத்தவும். இந்த முறைகள் என்ன? குறியீட்டின் மாற்றத்துடன் சொற்களை பகுதியிலிருந்து பகுதிக்கு மாற்றுதல், அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பது, விகிதாச்சார விதியின்படி காரணிகளை வீசுதல் போன்றவை. சமத்துவத்தை மீண்டும் எழுதி, "y" ஐ வெளிப்படையாக வெளிப்படுத்த முயற்சிக்கவும்: . நீங்கள் பல மணிநேரங்களுக்கு சமன்பாட்டைத் திருப்பலாம், ஆனால் நீங்கள் வெற்றிபெற மாட்டீர்கள்.

நான் உங்களுக்கு அறிமுகப்படுத்துகிறேன்: - உதாரணம் மறைமுக செயல்பாடு.

கணித பகுப்பாய்வின் போக்கில் அது மறைமுகமான செயல்பாடு என்று நிரூபிக்கப்பட்டது உள்ளது(இருப்பினும், எப்போதும் இல்லை), இது ஒரு வரைபடத்தைக் கொண்டுள்ளது ("சாதாரண" செயல்பாட்டைப் போலவே). மறைமுகமான செயல்பாடு சரியாகவே உள்ளது உள்ளதுமுதல் வழித்தோன்றல், இரண்டாவது வழித்தோன்றல் போன்றவை. அவர்கள் சொல்வது போல், பாலியல் சிறுபான்மையினரின் அனைத்து உரிமைகளும் மதிக்கப்படுகின்றன.

இந்த பாடத்தில் மறைமுகமாக குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். அது ஒன்றும் கடினம் அல்ல! அனைத்து வேறுபாடு விதிகள் மற்றும் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை நடைமுறையில் இருக்கும். வித்தியாசம் ஒரு விசித்திரமான தருணத்தில் உள்ளது, அதை நாம் இப்போது பார்ப்போம்.

ஆம், நான் உங்களுக்கு ஒரு நல்ல செய்தியைச் சொல்கிறேன் - கீழே விவாதிக்கப்பட்ட பணிகள் மூன்று தடங்களுக்கு முன்னால் ஒரு கல் இல்லாமல் மிகவும் கண்டிப்பான மற்றும் தெளிவான வழிமுறையின் படி செய்யப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1

1) முதல் கட்டத்தில், இரண்டு பகுதிகளுக்கும் பக்கவாதம் இணைக்கிறோம்:

2) வழித்தோன்றலின் நேரியல் விதிகளைப் பயன்படுத்துகிறோம் (பாடத்தின் முதல் இரண்டு விதிகள் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்):

3) நேரடி வேறுபாடு.
எப்படி வேறுபடுத்துவது என்பது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது. பக்கவாதம் கீழ் "விளையாட்டுகள்" அங்கு என்ன செய்ய வேண்டும்?

- அவமானகரமான அளவிற்கு, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் அதன் வழித்தோன்றலுக்கு சமம்: .

எப்படி வேறுபடுத்துவது
இதோ நம்மிடம் உள்ளது சிக்கலான செயல்பாடு. ஏன்? சைனின் கீழ் “Y” என்ற ஒரே ஒரு எழுத்து இருப்பதாகத் தெரிகிறது. ஆனால் உண்மை என்னவென்றால், “y” என்ற ஒரே ஒரு எழுத்து மட்டுமே உள்ளது - தானே ஒரு செயல்பாடு(பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள வரையறையைப் பார்க்கவும்). இவ்வாறு, சைன் உள்ளது வெளிப்புற செயல்பாடு, ஒரு உள் செயல்பாடு. சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கு விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம் :

நாங்கள் தயாரிப்பை வேறுபடுத்துகிறோம் வழக்கமான விதி :

- இது ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். எந்த "மணிகள் மற்றும் விசில் விளையாட்டு" ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு ஆகும்:

தீர்வு இப்படி இருக்க வேண்டும்:


அடைப்புக்குறிகள் இருந்தால், அவற்றை விரிவாக்கவும்:

4) இடதுபுறத்தில் பிரைம் கொண்ட “Y” உள்ள சொற்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம். எல்லாவற்றையும் வலது பக்கமாக நகர்த்தவும்:

5) இடது பக்கத்தில் அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து வழித்தோன்றலை எடுக்கிறோம்:

6) மற்றும் விகிதாச்சார விதியின் படி, இந்த அடைப்புக்குறிகளை வலது பக்கத்தின் வகுப்பில் விடுகிறோம்:

வழித்தோன்றல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது. தயார்.

எந்தவொரு செயல்பாட்டையும் மறைமுகமாக மீண்டும் எழுத முடியும் என்பதைக் குறிப்பிடுவது சுவாரஸ்யமானது. உதாரணமாக, செயல்பாடு இப்படி மாற்றி எழுதலாம்: . இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி அதை வேறுபடுத்துங்கள். உண்மையில், "மறைமுகமான செயல்பாடு" மற்றும் "மறைமுகமான செயல்பாடு" என்ற சொற்றொடர்கள் ஒரு சொற்பொருள் நுணுக்கத்தில் வேறுபடுகின்றன. "மறைமுகமாக குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாடு" என்ற சொற்றொடர் மிகவும் பொதுவானது மற்றும் சரியானது, - இந்த செயல்பாடு மறைமுகமாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, ஆனால் இங்கே நீங்கள் "விளையாட்டை" வெளிப்படுத்தலாம் மற்றும் செயல்பாட்டை வெளிப்படையாக வழங்கலாம். "y" ஐ வெளிப்படுத்த முடியாத போது "மறைமுகமான செயல்பாடு" என்ற சொற்றொடர் "கிளாசிக்கல்" மறைமுக செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது.

இரண்டாவது தீர்வு

கவனம்!நம்பிக்கையுடன் எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது உங்களுக்குத் தெரிந்தால் மட்டுமே இரண்டாவது முறையை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள முடியும் பகுதி வழித்தோன்றல்கள். படிக்க ஆரம்பிப்பவர்கள் கணித பகுப்பாய்வுமற்றும் தேனீர் தயவு செய்து இந்த புள்ளியை படித்து விட்டுவிடாதீர்கள், இல்லையெனில் உங்கள் தலை முழு குழப்பமாக இருக்கும்.

இரண்டாவது முறையைப் பயன்படுத்தி மறைமுக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.

அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்துகிறோம்:

மேலும் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

பின்னர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் வழித்தோன்றலைக் காணலாம்
பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இதனால்:

இரண்டாவது தீர்வு ஒரு காசோலை செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது. பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பின்னர் தேர்ச்சி பெறுவதால், பணியின் இறுதி பதிப்பை எழுதுவது அவர்களுக்கு நல்லதல்ல, மேலும் “ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்” என்ற தலைப்பைப் படிக்கும் மாணவர் இன்னும் பகுதி வழித்தோன்றல்களை அறிந்திருக்கக்கூடாது.

இன்னும் சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இரண்டு பகுதிகளுக்கும் பக்கவாதம் சேர்க்கவும்:

நாங்கள் நேரியல் விதிகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல்:

அனைத்து அடைப்புக்குறிகளையும் திறக்கிறது:

அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்துகிறோம், மீதமுள்ளவை வலது பக்கமாக:

இறுதி பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 3

மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

முழுமையான தீர்வுமற்றும் பாடத்தின் முடிவில் ஒரு மாதிரி வடிவமைப்பு.

வேறுபாட்டிற்குப் பிறகு பின்னங்கள் எழுவது அசாதாரணமானது அல்ல. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் பின்னங்களை அகற்ற வேண்டும். இன்னும் இரண்டு உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 4

மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இரண்டு பகுதிகளையும் ஸ்ட்ரோக்கின் கீழ் இணைத்து, நேரியல் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தி வேறுபடுத்துங்கள் மற்றும் விகுதிகளின் வேறுபாட்டின் விதி :

அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்துதல்:

இப்போது நாம் பின்னத்தை அகற்ற வேண்டும். இது பின்னர் செய்யப்படலாம், ஆனால் உடனடியாக அதைச் செய்வது மிகவும் பகுத்தறிவு. பின்னத்தின் வகுப்பில் உள்ளது. பெருக்கவும் அன்று. விரிவாக, இது இப்படி இருக்கும்:

சில நேரங்களில் வேறுபாட்டிற்குப் பிறகு 2-3 பின்னங்கள் தோன்றும். எங்களிடம் மற்றொரு பின்னம் இருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாட்டை மீண்டும் செய்ய வேண்டும் - பெருக்கவும் ஒவ்வொரு பகுதியின் ஒவ்வொரு காலஅன்று

இடது பக்கத்தில் அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கிறோம்:

இறுதி பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 5

மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

என்பதற்கு இது ஒரு உதாரணம் சுதந்திரமான முடிவு. ஒரே விஷயம் என்னவென்றால், நீங்கள் பின்னத்திலிருந்து விடுபடுவதற்கு முன், நீங்கள் முதலில் பின்னத்தின் மூன்று அடுக்கு கட்டமைப்பிலிருந்து விடுபட வேண்டும். பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

வலியுறுத்த வேண்டாம், இந்த பத்தியில் உள்ள அனைத்தும் மிகவும் எளிமையானவை. அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் பொதுவான சூத்திரத்தை நீங்கள் எழுதலாம், ஆனால், அதை தெளிவுபடுத்த, நான் உடனடியாக எழுதுகிறேன் குறிப்பிட்ட உதாரணம். அளவுரு வடிவத்தில், செயல்பாடு இரண்டு சமன்பாடுகளால் வழங்கப்படுகிறது: பெரும்பாலும் சமன்பாடுகள் சுருள் அடைப்புக்குறிக்குள் அல்ல, ஆனால் தொடர்ச்சியாக எழுதப்படுகின்றன: , .

மாறி ஒரு அளவுரு என்று அழைக்கப்படுகிறதுமற்றும் "மைனஸ் இன்ஃபினிட்டி" இலிருந்து "பிளஸ் இன்ஃபினிட்டி" வரை மதிப்புகளை எடுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, மதிப்பைக் கருத்தில் கொண்டு அதை இரண்டு சமன்பாடுகளிலும் மாற்றவும்: . அல்லது மனித அடிப்படையில்: "x என்பது நான்கிற்கு சமம் என்றால், y ஒன்றுக்கு சமம்." அன்று ஒருங்கிணைப்பு விமானம்நீங்கள் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கலாம், மேலும் இந்த புள்ளி அளவுருவின் மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கும். இதேபோல், "te" அளவுருவின் எந்த மதிப்பிற்கும் நீங்கள் ஒரு புள்ளியைக் காணலாம். "வழக்கமான" செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் அமெரிக்க இந்தியர்களுக்கு, அனைத்து உரிமைகளும் மதிக்கப்படுகின்றன: நீங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கலாம், வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியலாம். மூலம், அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை நீங்கள் திட்டமிட வேண்டும் என்றால், நீங்கள் எனது நிரலைப் பயன்படுத்தலாம்.

எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், செயல்பாட்டை வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடுவது சாத்தியமாகும். முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து அளவுருவை வெளிப்படுத்துவோம்: - மற்றும் அதை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றவும்: . இதன் விளைவாக ஒரு சாதாரண கனசதுர செயல்பாடு.

மிகவும் "கடுமையான" நிகழ்வுகளில், இந்த தந்திரம் வேலை செய்யாது. ஆனால் அது ஒரு பொருட்டல்ல, ஏனென்றால் ஒரு அளவுரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய ஒரு சூத்திரம் உள்ளது:

"டே மாறியைப் பொறுத்து விளையாட்டு" என்பதன் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

அனைத்து வேறுபாடு விதிகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை செல்லுபடியாகும், இயற்கையாகவே, கடிதத்திற்கு, இவ்வாறு, வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியும் செயல்பாட்டில் புதுமை இல்லை. அட்டவணையில் உள்ள அனைத்து "எக்ஸ்"களையும் "Te" என்ற எழுத்தில் மனரீதியாக மாற்றவும்.

te மாறியைப் பொறுத்து x இன் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

இப்போது எஞ்சியிருப்பது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்களை எங்கள் சூத்திரத்தில் மாற்றுவதுதான்:

தயார். வழித்தோன்றல், செயல்பாட்டைப் போலவே, அளவுருவைப் பொறுத்தது.

குறியீட்டைப் பொறுத்தவரை, அதை சூத்திரத்தில் எழுதுவதற்குப் பதிலாக, சந்தா இல்லாமல் வெறுமனே எழுதலாம், ஏனெனில் இது "எக்ஸ் தொடர்பாக" ஒரு "வழக்கமான" வழித்தோன்றலாகும். ஆனால் இலக்கியத்தில் எப்போதும் ஒரு விருப்பம் உள்ளது, எனவே நான் தரநிலையிலிருந்து விலக மாட்டேன்.

எடுத்துக்காட்டு 6

நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

இந்த வழக்கில்:

இதனால்:

ஒரு அளவுரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதில் ஒரு சிறப்பு அம்சம் உண்மை ஒவ்வொரு படியிலும் முடிந்தவரை முடிவை எளிதாக்குவது நன்மை பயக்கும். எனவே, கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், நான் அதைக் கண்டறிந்தபோது, ​​ரூட்டின் கீழ் அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்தேன் (நான் இதைச் செய்திருக்கவில்லை என்றாலும்). சூத்திரத்தில் மாற்றும் போது, ​​பல விஷயங்கள் நன்றாக குறைக்கப்படும் ஒரு நல்ல வாய்ப்பு உள்ளது. இருப்பினும், விகாரமான பதில்களுடன் எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 7

அளவுருவில் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

கட்டுரையில் வழித்தோன்றல்களுடன் எளிமையான பொதுவான சிக்கல்கள்ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய வேண்டிய எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்த்தோம். அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு, நீங்கள் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் காணலாம், மேலும் இது பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது: . இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் முதலில் முதல் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது.

எடுத்துக்காட்டு 8

அளவுருவில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்

முதலில், முதல் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.
நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

இந்த வழக்கில்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்களை சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம். எளிமைப்படுத்தல் நோக்கங்களுக்காக, நாங்கள் முக்கோணவியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

ஒரு விமானத்தில் ஒரு வரியை வரையறுப்பதைக் கவனியுங்கள், இதில் மாறிகள் x, y ஆகியவை மூன்றாவது மாறி t இன் செயல்பாடுகள் (அளவுரு என்று அழைக்கப்படுகிறது):

ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் டிஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் இருந்து சில மதிப்புகள் ஒத்துப்போகின்றன எக்ஸ்மற்றும் ஒய், ஏஎனவே, விமானத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி M (x, y). எப்பொழுது டிகொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் இருந்து அனைத்து மதிப்புகளிலும் இயங்குகிறது, பின்னர் புள்ளி எம் (x, y) சில வரிகளை விவரிக்கிறது எல். சமன்பாடுகள் (2.2) அளவுருக் கோடு சமன்பாடுகள் எனப்படும் எல்.

x = φ(t) செயல்பாட்டில் தலைகீழ் t = Ф(x) இருந்தால், இந்த வெளிப்பாட்டை y = g(t) சமன்பாட்டில் மாற்றினால், நாம் y = g(Ф(x)) ஐப் பெறுகிறோம், இது குறிப்பிடுகிறது. ஒய்ஒரு செயல்பாடாக எக்ஸ். இந்த வழக்கில், சமன்பாடுகள் (2.2) செயல்பாட்டை வரையறுக்கின்றன என்று கூறுகிறோம் ஒய்அளவுகோலாக.

எடுத்துக்காட்டு 1.விடுங்கள் M(x,y)- ஆரம் வட்டத்தில் தன்னிச்சையான புள்ளி ஆர்மற்றும் தோற்றத்தை மையமாகக் கொண்டது. விடுங்கள் டி- அச்சுக்கு இடையிலான கோணம் எருதுமற்றும் ஆரம் ஓம்(படம் 2.3 ஐப் பார்க்கவும்). பிறகு x, yமூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன t:

சமன்பாடுகள் (2.3) ஒரு வட்டத்தின் அளவுரு சமன்பாடுகள். சமன்பாடுகளிலிருந்து (2.3) அளவுருவை விலக்குவோம். இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் சதுரப்படுத்தி அதைச் சேர்ப்போம்: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) அல்லது x 2 + y 2 = R 2 - ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு கார்ட்டீசியன் அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள் இது இரண்டு செயல்பாடுகளை வரையறுக்கிறது: இந்த செயல்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும் அளவுரு சமன்பாடுகளால் (2.3) கொடுக்கப்படுகின்றன, ஆனால் முதல் செயல்பாடு , மற்றும் இரண்டாவது .

எடுத்துக்காட்டு 2. அளவுரு சமன்பாடுகள்

அரை அச்சுகள் கொண்ட நீள்வட்டத்தை வரையறுக்கவும் a, b(படம் 2.4). சமன்பாடுகளிலிருந்து அளவுருவைத் தவிர்த்து டி, நாம் பெறுகிறோம் நியமன சமன்பாடுநீள்வட்டம்:

எடுத்துக்காட்டு 3. இந்த வட்டம் ஒரு நேர்கோட்டில் சறுக்காமல் உருளும் போது, ​​ஒரு வட்டத்தின் மீது இருக்கும் புள்ளியால் விவரிக்கப்படும் ஒரு கோடு சைக்ளோயிட் ஆகும் (படம் 2.5). சைக்ளோயிட் அளவுரு சமன்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்துவோம். உருளும் வட்டத்தின் ஆரம் இருக்கட்டும் அ, புள்ளி எம், சைக்ளோயிட் விவரிக்கிறது, இயக்கத்தின் தொடக்கத்தில் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போனது.

ஆயங்களைத் தீர்மானிப்போம் எக்ஸ், y புள்ளிகள் எம்வட்டம் ஒரு கோணத்தில் சுழன்ற பிறகு டி
(படம் 2.5), t = ÐMCB. வில்லின் நீளம் எம்.பி.பிரிவின் நீளத்திற்கு சமம் ஓ.பி.வட்டம் நழுவாமல் உருளும் என்பதால்

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – செலவு).

எனவே, சைக்ளோயிட் அளவுரு சமன்பாடுகள் பெறப்படுகின்றன:

அளவுருவை மாற்றும்போது டி 0 முதல் 2πவட்டம் ஒரு புரட்சியை சுழற்றுகிறது, மற்றும் புள்ளி எம்சைக்ளோயிட் ஒரு வளைவை விவரிக்கிறது. சமன்பாடுகள் (2.5) கொடுக்கின்றன ஒய்ஒரு செயல்பாடாக எக்ஸ். செயல்பாடு என்றாலும் x = a(t – sint)ஒரு தலைகீழ் செயல்பாடு உள்ளது, ஆனால் அது அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை அடிப்படை செயல்பாடுகள், எனவே செயல்பாடு y = f(x)அடிப்படை செயல்பாடுகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை.

சமன்பாடுகளால் (2.2) அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். மாற்றத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் x = φ(t) சார்பு ஒரு தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது t = Ф(x), பிறகு y = g(Ф(x)). விடுங்கள் x = φ(t), y = g(t)வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன, மற்றும் x"t≠0. சிக்கலான செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்தும் விதியின் படி y"x=y"t×t"x.தலைகீழ் செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியின் அடிப்படையில், எனவே:

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம் (2.6) அளவுருவில் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கான வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 4. செயல்பாட்டை விடுங்கள் ஒய், பொறுத்து எக்ஸ், அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது:

தீர்வு. .
எடுத்துக்காட்டு 5.சரிவைக் கண்டுபிடி கேஅளவுருவின் மதிப்புடன் தொடர்புடைய M 0 புள்ளியில் சைக்ளோயிட் தொடுக.
தீர்வு.சைக்ளோயிட் சமன்பாடுகளிலிருந்து: y" t = asint, x" t = a(1 – செலவு),அதனால் தான்

ஒரு புள்ளியில் தொடு சாய்வு M0மதிப்புக்கு சமம் t 0 = π/4:

வித்தியாசமான செயல்பாடு

புள்ளியில் செயல்படட்டும் x 0ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது. A-priory:
எனவே, வரம்பின் பண்புகளின்படி (பிரிவு 1.8), எங்கே அ- எண்ணற்ற அளவில் Δx → 0. இங்கிருந்து

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Δx → 0 என, சமத்துவத்தின் இரண்டாவது சொல் (2.7) எண்ணற்றது உயர் வரிசை, ஒப்பிடுகையில் , எனவே Δy மற்றும் f "(x 0)×Δx சமமானவை, எண்ணற்றவை (f "(x 0) ≠ 0 க்கு).

எனவே, Δy செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு இரண்டு சொற்களைக் கொண்டுள்ளது, இதில் முதல் f "(x 0)×Δx முக்கிய பாகம் அதிகரிப்பு Δy, Δx ஐப் பொறுத்து நேரியல் (f "(x 0)≠ 0க்கு).

வித்தியாசமான x 0 புள்ளியில் உள்ள f(x) செயல்பாடு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் முக்கிய பகுதியாக அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது: dyஅல்லது df(x0). எனவே,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும் dyமேலும் y = x 2 செயல்பாட்டிற்கான Δy செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு:
1) தன்னிச்சையான எக்ஸ்மற்றும் Δ எக்ஸ்; 2) x 0 = 20, Δx = 0.1.

தீர்வு

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) x 0 = 20, Δx = 0.1 என்றால், Δy = 40×0.1 + (0.1) 2 = 4.01; டை = 40×0.1= 4.

சமத்துவத்தை (2.7) வடிவத்தில் எழுதுவோம்:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

அதிகரிப்பு Δy வேறுபாட்டிலிருந்து வேறுபட்டது dyΔx உடன் ஒப்பிடும்போது, ​​உயர் வரிசையின் எண்ணற்ற அளவு, எனவே, தோராயமான கணக்கீடுகளில், Δx போதுமான அளவு சிறியதாக இருந்தால் தோராயமான சமத்துவம் Δy ≈ dy பயன்படுத்தப்படுகிறது.

Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0) என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, தோராயமான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

எடுத்துக்காட்டு 2. தோராயமாக கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.கருத்தில்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (2.10), நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, ≈ 2.025.

வேறுபாட்டின் வடிவியல் பொருளைக் கருத்தில் கொள்வோம் df(x 0)(படம் 2.6).

M 0 (x0, f(x 0)) என்ற புள்ளியில் y = f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரைவோம், φ என்பது KM0 மற்றும் Ox அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணமாக இருக்கட்டும், பின்னர் f"( x 0) = tanφ இலிருந்து ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). ஆனால் PN என்பது x என்பது x 0 இலிருந்து x 0 + Δx ஆக மாறும்போது தொடுகோட்டின் அதிகரிப்பு ஆகும்.

இதன் விளைவாக, x 0 புள்ளியில் உள்ள f(x) செயல்பாட்டின் வேறுபாடு தொடுகோட்டின் ஆர்டினேட்டின் அதிகரிப்புக்குச் சமம்.

செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்
y = x. (x)" = 1 என்பதால், பின்னர் dx = 1×Δx = Δx. சார்பற்ற மாறி x இன் வேறுபாடு அதன் அதிகரிப்புக்கு சமம், அதாவது dx = Δx.

x ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணாக இருந்தால், சமத்துவத்திலிருந்து (2.8) நாம் df(x) = f "(x)dx, எங்கிருந்து பெறுகிறோம் .
எனவே, y = f(x) செயல்பாட்டிற்கான வழித்தோன்றல், வாதத்தின் வேறுபாட்டின் விகிதத்திற்கு சமம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் பண்புகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

u(x), v(x) ஆகியவை வேறுபட்ட செயல்பாடுகளாக இருந்தால், பின்வரும் சூத்திரங்கள் செல்லுபடியாகும்:

இந்த சூத்திரங்களை நிரூபிக்க, ஒரு செயல்பாட்டின் கூட்டுத்தொகை, தயாரிப்பு மற்றும் பங்குக்கான வழித்தோன்றல் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உதாரணமாக, சூத்திரம் (2.12) என்பதை நிரூபிப்போம்:

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்: y = f(x), x = φ(t), i.e. y = f(φ(t)).

பின்னர் dy = y" t dt, ஆனால் y" t = y" x ×x" t, எனவே dy =y" x x" t dt. கருத்தில் கொண்டு,

x" t = dx, நாம் dy = y" x dx =f "(x)dx ஐப் பெறுகிறோம்.

எனவே, ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாடு y = f(x), இங்கு x =φ(t), dy = f "(x)dx வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, x ஒரு சார்பற்ற மாறியாக இருக்கும் போது அதே போல. இந்த பண்பு அழைக்கப்படுகிறது வேறுபாட்டின் வடிவத்தின் மாறுபாடு ஏ.