வீடு→வீட்டு உபயோகப் பொருட்கள்→அளவுருவில் உள்ள சிக்கல்கள் (வரைகலை தீர்வு) அறிமுகம். வரைகலை முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு அளவுருவுடன் சிக்கல்களைத் தீர்க்க திட்டமிடுங்கள். அளவுருவுடன் நேரியல் சமன்பாடுகள்

அளவுருவில் உள்ள சிக்கல்கள் (வரைகலை தீர்வு) அறிமுகம். வரைகலை முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு அளவுருவுடன் சிக்கல்களைத் தீர்க்க திட்டமிடுங்கள். அளவுருவுடன் நேரியல் சமன்பாடுகள்

அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள்: வரைகலை தீர்வு முறை

8-9 தரங்கள்

அளவுருக்களுடன் சில சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறையை கட்டுரை விவாதிக்கிறது, அளவுருவைப் பொறுத்து ஒரு சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நீங்கள் நிறுவ வேண்டியிருக்கும் போது இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். அ.

சிக்கல் 1. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன? | | x | – 2 | = அ அளவுருவைப் பொறுத்து அ?

தீர்வு. ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் (x; y) y = | செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் | x | – 2 | மற்றும் y = அ. செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = | | x | – 2 | படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = a என்பது ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையான அல்லது அதனுடன் இணைந்த ஒரு நேர்கோடு (என்றால் அ = 0).

வரைபடத்திலிருந்து இதைக் காணலாம்:

என்றால் அ= 0, பின்னர் நேர் கோடு y = அஆக்ஸ் அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் y = | செயல்பாட்டின் வரைபடம் உள்ளது | x |
– 2 | இரண்டு பொதுவான புள்ளிகள்; இதன் பொருள் அசல் சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன (இந்த வழக்கில், வேர்களைக் காணலாம்: x 1,2 = d 2).< அ < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
0 என்றால் அஎன்றால்
0 என்றால் அ= 2, பின்னர் வரி y = 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் மூன்று பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர் அசல் சமன்பாடு மூன்று வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அ> 2, பின்னர் நேர் கோடு y =

அசல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது, இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். அ < 0, то корней нет;
என்றால் அ = 0, அஎன்றால்
என்றால் அ> 2, பின்னர் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன;
= 2, பின்னர் மூன்று வேர்கள்;< அ < 2, то четыре корня.

0 என்றால் சிக்கல் 2. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன? அ அளவுருவைப் பொறுத்து அ?

| x 2 – 2| x | – 3 | = அ.

தீர்வு. ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் (x; y) y = | செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் x 2 – 2| x | – 3 | மற்றும் y = அ = 0).

செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = | x 2 – 2| x | – 3 | படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. y = a செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஆக்ஸுக்கு இணையான அல்லது அதனுடன் இணைந்த ஒரு நேர்கோடு (எப்போது

என்றால் அ= 0, பின்னர் நேர் கோடு y = அவரைபடத்திலிருந்து நீங்கள் பார்க்க முடியும்: அஆக்ஸ் அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் y = | செயல்பாட்டின் வரைபடம் உள்ளது x2 – 2| x | – 3 | இரண்டு பொதுவான புள்ளிகள், அதே போல் நேர் கோடு y = அ y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் இருக்கும் x 2 – 2| x | – 3 | இரண்டு பொதுவான புள்ளிகள் அ> 4. எனவே, எப்போது அ= 0 மற்றும்
– 2 | இரண்டு பொதுவான புள்ளிகள்; இதன் பொருள் அசல் சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன (இந்த வழக்கில், வேர்களைக் காணலாம்: x 1,2 = d 2).< அ < 3, то прямая y = அ> 4 அசல் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அ y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் உள்ளது x 2 – 2| x | – 3 | அநான்கு பொதுவான புள்ளிகள், அதே போல் நேர் கோடு y=< அ < 3, அகட்டப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் நான்கு பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும்
0 என்றால் அ= 4. எனவே, 0 இல் அ= 4 அசல் சமன்பாடு நான்கு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
= 3, பின்னர் நேர் கோடு y =< அ < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
0 என்றால் அ < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

அசல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது, இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். அ < 0, то корней нет;
என்றால் அ = 0, அஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை ஐந்து புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது; எனவே, சமன்பாடு ஐந்து வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
= 2, பின்னர் மூன்று வேர்கள்;< அ < 3, அஎன்றால் 3
என்றால் அ> 4, பின்னர் இரண்டு வேர்கள்;
= 4, பின்னர் நான்கு வேர்கள் உள்ளன;< அ < 4, то шесть корней.

= 3, பின்னர் ஐந்து வேர்கள்;

என்றால் 3 அ?

சிக்கல் 3. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன? அளவுருவைப் பொறுத்து

x = 1, y = 1 கோடுகள் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் அறிகுறிகளாகும். செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = | x | + அ y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்திலிருந்து பெறப்பட்டது x | Oy அச்சில் ஒரு அலகு மூலம் இடமாற்றம்.

செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டும் அ> – 1; இதன் பொருள் இந்த அளவுரு மதிப்புகளுக்கான சமன்பாடு (1) ஒரு தீர்வு உள்ளது.

மணிக்கு அ = – 1, அ= – 2 வரைபடங்கள் இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன; இந்த அளவுரு மதிப்புகளுக்கு, சமன்பாடு (1) இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
மணிக்கு – 2< அ < – 1, அ < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

அசல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது, இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். அ> – 1, பின்னர் ஒரு தீர்வு;
என்றால் அ = – 1, அ= – 2, பின்னர் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன;
என்றால் - 2< அ < – 1, அ < – 1, то три решения.

கருத்து. பிரச்சனை 3 இன் சமன்பாடு (1) ஐ தீர்க்கும் போது, வழக்கில் சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும் அ= – 2, புள்ளி (– 1; – 1) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைச் சேர்ந்தது அல்ல ஆனால் y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைச் சேர்ந்தது x | + அ.

மற்றொரு சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்குச் செல்லலாம்.

சிக்கல் 4. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன?

x + 2 = அ| x – 1 |

என்றால் 3 அ?

(2) அதீர்வு. x = 1 என்பது சமன்பாடு 3 = என்பதால் இந்த சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் அஎந்த அளவுரு மதிப்பிற்கும் 0 உண்மையாக இருக்க முடியாது . சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் | எனப் பிரிப்போம் x – 1 |(| x – 1 | எண். 0), பின்னர் சமன்பாடு (2) வடிவம் எடுக்கும்

ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் xOy செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம் அஇந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = அ = 0).

அசல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது, இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். அஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையான அல்லது அதனுடன் இணைந்த ஒரு நேர்கோடு (என்றால்
Ј - 1, பின்னர் வேர்கள் இல்லை;< அஎன்றால் - 1
என்றால் அЈ 1, பின்னர் ஒரு ரூட்;

> 1, பின்னர் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன.

மிகவும் சிக்கலான சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். அசிக்கல் 5. அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில்

அசமன்பாடு

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

மூன்று தீர்வுகள் உள்ளதா? அதீர்வு. 1. இந்த சமன்பாட்டிற்கான அளவுருவின் கட்டுப்பாட்டு மதிப்பு எண்ணாக இருக்கும் அ= 0, இதில் சமன்பாடு (3) 0 + | x – 1 | = 0, எங்கிருந்து x = 1. எனவே, எப்போது

= 0, சமன்பாடு (3) ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது சிக்கலின் நிலைமைகளைப் பூர்த்தி செய்யாது. அ № 0.

2. எப்போது என்பதை கவனியுங்கள் சமன்பாட்டை (3) மீண்டும் எழுதுவோம்: அபின்வரும் படிவம் அ < 0.

x 2 = – | x – 1 |. சமன்பாடு எப்போது மட்டுமே தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க அ xOy ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y = | செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் x – 1 | மற்றும் y = அ x 2 செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = | x – 1 | படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = அ < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 என்பது ஒரு பரவளையமாகும், அதன் கிளைகள் கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன அ y = – x + 1 என்ற நேர்கோடு y= செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் தொடுவாக இருக்கும்போது மட்டுமே சமன்பாடு (3) மூன்று தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும்.

x 2 அ x 0 என்பது y = – x + 1 என்ற பரவளையத்துடன் y = நேர்கோட்டின் தொடு புள்ளியின் abscissa ஆக இருக்கட்டும்.

x 2 தொடுகோடு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

தொடுநிலை நிலைமைகளை எழுதுவோம்:

இந்த சமன்பாட்டை வழித்தோன்றல் என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தாமல் தீர்க்க முடியும். அமற்றொரு முறையைப் பார்ப்போம். y = kx + b என்ற நேர்கோட்டில் பரவளைய y = உடன் ஒரு பொதுவான புள்ளி இருந்தால் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துவோம். அ x 2 + px + q = kx + b க்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு இருக்க வேண்டும், அதாவது அதன் பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாகும். எங்கள் விஷயத்தில் சமன்பாடு உள்ளது அ x 2 = – x + 1 ( அஎண். 0). பாரபட்சமான சமன்பாடு

சுயாதீனமாக தீர்க்க வேண்டிய சிக்கல்கள்

6. அளவுருவைப் பொறுத்து சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது அ?

1)| | x | – 3 | = அ;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = அ;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = அ;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = அ.

1) என்றால் அ<0, то корней нет; если அ=0, அ>3, பின்னர் இரண்டு வேர்கள்; என்றால் அ=3, பின்னர் மூன்று வேர்கள்; 0 என்றால்<அ<3, то четыре корня;
2) என்றால் அ<1, то корней нет; если அ=1, பின்னர் இடைவெளியில் இருந்து முடிவற்ற தீர்வுகள் உள்ளன [– 2; அ– 1]; என்றால்
> 1, பின்னர் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன; அ<0, то корней нет; если அ=0, அ<3, то четыре корня; если 0<அ<1, то восемь корней; если அ 3) என்றால் அ=1, பின்னர் ஆறு வேர்கள்; என்றால் அ=3, பின்னர் மூன்று தீர்வுகள் உள்ளன; என்றால்
>3, பின்னர் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன; அ<0, то корней нет; если அ=0, 4<அ<5, то четыре корня; если 0<அ< 4, то восемь корней; если அ 4) என்றால் அ=4, பின்னர் ஆறு வேர்கள்; என்றால் அ=5, பின்னர் மூன்று வேர்கள்; என்றால்

>5, பின்னர் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன. அ 7. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன | x + 1 | = அ?

(x - 1) அளவுருவைப் பொறுத்து .

குறிப்பு. x = 1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதால், இந்த சமன்பாட்டை வடிவமாகக் குறைக்கலாம். அபதில்: என்றால் அ > 1, அஜே –1,<அ<0, то два корня; если 0<அ=0, பின்னர் ஒரு ரூட்; என்றால் - 1

1, பின்னர் வேர்கள் இல்லை. அ 8. x + 1 = சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது அ?

| x – 1 |அளவுருவைப் பொறுத்து

குறிப்பு. x = 1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதால், இந்த சமன்பாட்டை வடிவமாகக் குறைக்கலாம். அஒரு வரைபடத்தை வரையவும் (படத்தைப் பார்க்கவும்).<அЈ –1, பின்னர் வேர்கள் இல்லை; என்றால் - 1 அЈ 1, பின்னர் ஒரு ரூட்; என்றால்

>1, பின்னர் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன.

9. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன?

என்றால் 3 அ?

2| x | – 1 = a(x – 1)

குறிப்பு. x = 1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதால், இந்த சமன்பாட்டை வடிவமாகக் குறைக்கலாம். அகுறிப்பு. சமன்பாட்டை வடிவத்திற்குக் குறைக்கவும் அ>2, அஜே -2,<அ<1, то два корня; если 1<அ=1, பின்னர் ஒரு வேர்; என்றால் -2

2, பின்னர் வேர்கள் இல்லை.

என்றால் 3 அ?

குறிப்பு. x = 1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதால், இந்த சமன்பாட்டை வடிவமாகக் குறைக்கலாம். அЈ 0, அ 10. சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது?<அ<2, то два корня.

i 2, பிறகு ஒரு ரூட்; 0 என்றால் அசிக்கல் 5. அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில்

11. அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில் அ x 2 +

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 அகுறிப்பு. சமன்பாட்டை x 2 = – வடிவத்தில் குறைக்கவும்

| x – 2 |. அபதில்: எப்போது

ஜே –8. அசிக்கல் 5. அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில்

அ 12. அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில்

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

x 2 + | x + 1 | = 0 அகுறிப்பு. சிக்கலைப் பயன்படுத்தவும் 5. சமன்பாடு இருந்தால் மட்டுமே இந்த சமன்பாடு மூன்று தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது அ x 2 + x + 1 = 0 க்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது, மற்றும் வழக்கு

= 0 பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யவில்லை, அதாவது, வழக்கு எப்பொழுது இருக்கும்

13. சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது? அ

என்றால் 3 அ?

x | x – 2 | = 1 – குறிப்பு. சமன்பாட்டை படிவத்தில் குறைக்கவும் –x |x – 2| + 1 =

என்றால் 3 அ?

அ

குறிப்பு. x = 1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதால், இந்த சமன்பாட்டை வடிவமாகக் குறைக்கலாம். அ<0, அகுறிப்பு. இந்த சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும். அ>2, பின்னர் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன; 0Ј என்றால்

Ј 2, பின்னர் ஒரு ரூட்.

என்றால் 3 அ?

16. சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது? குறிப்பு. இந்த சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும். ஒரு செயல்பாட்டை வரைபடமாக்க

குறிப்பு. x = 1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதால், இந்த சமன்பாட்டை வடிவமாகக் குறைக்கலாம். அ x + 2 மற்றும் x வெளிப்பாடுகளின் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்: அ>– 1, பின்னர் ஒரு தீர்வு; என்றால்<அ<–1, то четыре решения; если அ= – 1, பின்னர் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன; என்றால் - 3

அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள் பள்ளிக் கணிதத்தில் மிகவும் கடினமான பிரச்சனைகளில் ஒன்றாகக் கருதப்படுகிறது. துல்லியமாக இந்த பணிகள் தான், ஆண்டுதோறும், ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வின் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் வகை B மற்றும் C இன் பணிகளின் பட்டியலில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. இருப்பினும், அளவுருக்கள் கொண்ட அதிக எண்ணிக்கையிலான சமன்பாடுகளில், வரைபட ரீதியாக எளிதில் தீர்க்கக்கூடியவை உள்ளன. பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த முறையைப் பார்ப்போம்.

சமன்பாடு |x 2 – 2x – 3| எண்ணின் முழு எண் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும். = a நான்கு வேர்களைக் கொண்டது.

தீர்வு.

சிக்கலின் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, ஒரு ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்

y = |x 2 – 2x – 3| மற்றும் y = a.

முதல் செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = |x 2 – 2x – 3| பரவளையத்தின் வரைபடத்திலிருந்து y = x 2 – 2x – 3 பெறப்படும், x-அச்சுக்குக் கீழே உள்ள வரைபடத்தின் பகுதியை சமச்சீராகக் காண்பிப்பதன் மூலம் பெறப்படும். x அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ள வரைபடத்தின் பகுதி மாறாமல் இருக்கும்.

இதை படிப்படியாக செய்வோம். y = x 2 - 2x - 3 செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும், அதன் கிளைகள் மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன. அதன் வரைபடத்தை உருவாக்க, உச்சியின் ஆயங்களை நாம் காண்கிறோம். x 0 = -b/2a சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்யலாம். எனவே, x 0 = 2/2 = 1. ஆர்டினேட் அச்சில் பரவளையத்தின் உச்சியின் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய, கேள்விக்குரிய செயல்பாட்டின் சமன்பாட்டில் x 0 க்கு விளைந்த மதிப்பை மாற்றுகிறோம். y 0 = 1 – 2 – 3 = -4 என்று பெறுகிறோம். இதன் பொருள் பரவளையத்தின் உச்சியில் ஆயத்தொகுதிகள் உள்ளன (1; -4).

அடுத்து, ஆய அச்சுகளுடன் பரவளைய கிளைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். abscissa அச்சுடன் பரவளையத்தின் கிளைகள் வெட்டும் புள்ளிகளில், செயல்பாட்டின் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். எனவே, x 2 – 2x – 3 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம். அதன் வேர்கள் தேவையான புள்ளிகளாக இருக்கும். வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி நமக்கு x 1 = -1, x 2 = 3 உள்ளது.

ஆர்டினேட் அச்சுடன் பரவளைய கிளைகளின் வெட்டும் புள்ளிகளில், வாதத்தின் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். எனவே, புள்ளி y = -3 என்பது y- அச்சுடன் பரவளையத்தின் கிளைகளை வெட்டும் புள்ளியாகும். இதன் விளைவாக வரைபடம் படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

y = |x 2 – 2x – 3| செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பெற, abscissa க்கு கீழே அமைந்துள்ள வரைபடத்தின் பகுதியை x-அச்சுக்கு சமச்சீராகக் காட்டுவோம். இதன் விளைவாக வரைபடம் படம் 2 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

y = a செயல்பாட்டின் வரைபடம் abscissa அச்சுக்கு இணையான ஒரு நேர்கோடு. இது படம் 3 இல் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது. படத்தைப் பயன்படுத்தி, a இடைவெளியில் (0; 4) இருந்தால், வரைபடங்கள் நான்கு பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம் (மற்றும் சமன்பாடு நான்கு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது).

இதன் விளைவாக வரும் இடைவெளியில் இருந்து எண் a இன் முழு எண் மதிப்புகள்: 1; 2; 3. சிக்கலின் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்போம்: 1 + 2 + 3 = 6.

பதில்: 6.

சமன்பாடு |x 2 – 4|x| எண்ணின் முழு எண் மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியைக் கண்டறியவும் – 1| = a ஆறு வேர்களைக் கொண்டது.

y = |x 2 – 4|x| செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம் – 1|. இதைச் செய்ய, சமத்துவம் a 2 = |a| 2 மற்றும் செயல்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் எழுதப்பட்ட சப்மாடுலர் எக்ஸ்பிரஷனில் முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

பின்னர் அசல் செயல்பாடு y = |(|x| – 2) 2 – 5| வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்க, செயல்பாடுகளின் தொடர்ச்சியான வரைபடங்களை உருவாக்குகிறோம்:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – ஆய (2; -5); (படம் 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – ஆர்டினேட் அச்சின் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள படி 1 இல் கட்டப்பட்ட பரவளையத்தின் ஒரு பகுதி, Oy அச்சின் இடதுபுறத்தில் சமச்சீராகக் காட்டப்படுகிறது; (படம் 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - புள்ளி 2 இல் கட்டப்பட்ட வரைபடத்தின் பகுதி, இது x- அச்சுக்குக் கீழே அமைந்துள்ளது, x-அச்சு மேல்நோக்கி சமச்சீராகக் காட்டப்படும். (படம் 3).

இதன் விளைவாக வரும் வரைபடங்களைப் பார்ப்போம்:

y = a செயல்பாட்டின் வரைபடம் abscissa அச்சுக்கு இணையான ஒரு நேர்கோடு.

உருவத்தைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் இடைவெளியில் (1; 5) சேர்ந்தால், ஆறு பொதுவான புள்ளிகள் (சமன்பாடு ஆறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது) என்று முடிவு செய்கிறோம்.

இதை பின்வரும் படத்தில் காணலாம்:

அளவுரு a இன் முழு எண் மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியைக் கண்டுபிடிப்போம்:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

பதில்: 3.

இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, அசல் மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

அளவுருவின் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் a சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் | 2 x + a | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2.

முதலில், ஒரு துணை சிக்கலைத் தீர்ப்போம். இந்த சமத்துவமின்மையை x x மற்றும் a a ஆகிய இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமத்துவமின்மை எனக் கருதி, x O a xOa என்ற ஒருங்கிணைப்புத் தளத்தில் வரையவும், அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் சமத்துவமின்மையைத் திருப்திப்படுத்துகின்றன.

2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (அதாவது நேர்கோட்டில் a = - 2 x a=-2x மற்றும் அதற்கு மேல்) எனில், 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a \leq x+2 \Leftrightarrow a \leq 2-x .

தொகுப்பு படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 11.

இப்போது இந்த வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி அசல் சிக்கலைத் தீர்ப்போம். a ஐ சரிசெய்தால், a = const a = \textrm(const) ஒரு கிடைமட்ட கோடு கிடைக்கும். x x இன் மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்க, சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்புடன் இந்த வரியின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் abscissa ஐ நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, a = 8 a=8 எனில், சமத்துவமின்மைக்கு தீர்வுகள் இல்லை (நேரான கோடு தொகுப்பை வெட்டுவதில்லை); a = 1 a=1 என்றால், தீர்வுகள் அனைத்தும் x x பிரிவில் இருந்து [-1 ; 1 ] [-1;1], முதலியன. எனவே, மூன்று விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும்.

1) $$a>4$$ எனில், தீர்வுகள் இல்லை.

2) a = 4 a=4 எனில், x = - 2 x=-2.

பதில்

$$a இல்

a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 ;

$$a>4$$க்கு - தீர்வுகள் இல்லை.

சமத்துவமின்மை $$3-|x-a| a என்ற அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும் > x^2$$ a) குறைந்தது ஒரு தீர்வு உள்ளது; b) குறைந்தது ஒரு நேர்மறையான தீர்வு உள்ளது.

சமத்துவமின்மையை $$3-x^2 > |x-a)$$ வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம். x O y xOy விமானத்தில் இடது மற்றும் வலது பகுதிகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம். இடது பக்க வரைபடம் (0; 3) (0;3) புள்ளியில் உள்ள உச்சியுடன் கீழ்நோக்கி கிளைகளைக் கொண்ட ஒரு பரவளையமாகும். வரைபடம் x-அச்சு புள்ளிகளில் (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) வெட்டுகிறது. வலது பக்கத்தின் வரைபடம் என்பது x- அச்சில் உள்ள உச்சியுடன் கூடிய கோணமாகும், இதன் பக்கங்கள் 45 ° 45^(\circ) கோணத்தில் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன. உச்சியின் abscissa புள்ளி x = a x = a .

அ) ஒரு சமத்துவமின்மை குறைந்தது ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்க, குறைந்தபட்சம் ஒரு புள்ளியில் பரவளையமானது y = | x - a | y=|x-a| . மூலையின் உச்சியானது அப்சிஸ்ஸா அச்சின் A A மற்றும் B B புள்ளிகளுக்கு இடையில் இருந்தால் இது செய்யப்படுகிறது (படம் 12 ஐப் பார்க்கவும் - புள்ளிகள் A மற்றும் B B சேர்க்கப்படவில்லை). எனவே, கோணத்தின் கிளைகளில் ஒன்று பரவளையத்தைத் தொடும் உச்சியின் எந்த நிலையில் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

மூலையின் உச்சி A A புள்ளியில் இருக்கும்போது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். பின்னர் கோணத்தின் வலது கிளை பரவளையத்தைத் தொடுகிறது. அதன் சாய்வு ஒன்றுக்கு சமம். இதன் பொருள் y = 3 - x 2 y = 3-x^2 செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் 1 1 க்கு சமம், அதாவது - 2 x = 1 -2x=1, எங்கிருந்து x = - 1 2 x = -\frac( 1)(2) . பின்னர் தொடு புள்ளியின் ஆர்டினேட் y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . கோண குணகம் k = 1 k=1 மற்றும் ஆய (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) கொண்ட ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு ) பின்வருபவை * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

இது மூலையின் வலது கிளையின் சமன்பாடு ஆகும். x அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளியின் abscissa சமம் - 13 4 -\frac(13)(4), அதாவது புள்ளி A A ஆனது A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4) 0) . சமச்சீர் காரணங்களுக்காக, புள்ளி B B ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

இங்கிருந்து நாம் a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) .

b) மூலையின் உச்சி F F மற்றும் B B புள்ளிகளுக்கு இடையில் அமைந்திருந்தால் சமத்துவமின்மை நேர்மறையான தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது (படம் 13 ஐப் பார்க்கவும்). புள்ளி F F இன் நிலையைக் கண்டறிவது கடினம் அல்ல: மூலையின் உச்சி F F புள்ளியில் இருந்தால், அதன் வலது கிளை (y = x - a y = x-a சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட நேர் கோடு புள்ளியின் வழியாக செல்கிறது (0; 3 ) (0;3). \in (-3; \frac(13)(4) ) .

பதில்

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) , a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) .

* {\^* Полезные формулы: !}

- \-- புள்ளி (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) வழியாக செல்லும் ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு கோண குணகம் k k ஐக் கொண்டிருப்பது y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. k(x-x_0) ;

- \-- புள்ளிகள் (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) மற்றும் (x 1 ; y 1) (x_1;y_1), இங்கு x 0 ≠ x 1 x_0 \neq வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் கோண குணகம் x_1, k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது.

கருத்து.நேர்கோட்டில் y = k x + l y=kx+l மற்றும் பரவளைய y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c தொடும் அளவுருவின் மதிப்பை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள் எழுதலாம் k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c என்ற சமன்பாடு சரியாக ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் கோணத்தின் உச்சியில் உள்ள அளவுருவின் மதிப்புகளைக் கண்டறிய மற்றொரு வழி புள்ளி A A இல் உள்ளது பின்வருமாறு: சமன்பாடு x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 சரியாக ஒரு தீர்வு உள்ளது ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Leftrightarrow D = 1 + 4(a+3) = 0 \Leftrightarrow a = -\ dfrac(13)(4) .

இந்த வழியில் ஒரு வரி தன்னிச்சையான வரைபடத்தைத் தொடுவதற்கான நிபந்தனையை எழுத முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்க. எடுத்துக்காட்டாக, y = 3 x - 2 y = 3x - 2 என்ற வரியானது கனப் பரவளைய y = x 3 y=x^3 என்ற புள்ளியில் (1 ; 1) (1;1) ஐத் தொட்டு (-) புள்ளியில் வெட்டுகிறது. 2 ; - 8) (-2;-8), அதாவது x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும் a , ஒவ்வொன்றிற்கும் சமன்பாடு (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 a) சரியாக இரண்டு தனித்தனி வேர்களைக் கொண்டுள்ளது; b) சரியாக மூன்று வெவ்வேறு வேர்கள்.

உதாரணம் 25 இல் உள்ளதைப் போலவே செய்வோம். இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பை x O a xOa விமானத்தில் சித்தரிக்கலாம். இது இரண்டு சமன்பாடுகளின் கலவைக்கு சமம்:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 என்பது கிளைகள் மற்றும் புள்ளியில் உள்ள உச்சியைக் கொண்ட ஒரு கோணம் (- 2 ; - 1) (-2;-1) .

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - இது ஒரு பரவளையமாகும், கிளைகள் மேலேயும், புள்ளியில் உள்ள உச்சியும் (- 2 ; - 3) (-2;-3) . அத்தி பார்க்கவும். 14.

இரண்டு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் காண்கிறோம். கோணத்தின் வலது கிளை y = x + 1 y = x+1 சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

x = 0 x=0 அல்லது x = - 3 x=-3 என்பதைக் காண்கிறோம். மதிப்பு x = 0 x=0 மட்டுமே பொருத்தமானது (வலது கிளைக்கு x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0 என்பதால்). பிறகு a = 1 a=1 . இதேபோல், இரண்டாவது குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம் - (- 4 ; 1) (-4; 1) .

அசல் பிரச்சனைக்கு திரும்புவோம். சமன்பாடு சரியாக இரண்டு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றுக்கான கிடைமட்ட கோடு a = const a=\textrm(const) சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பை இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup$1$ க்கு இது உண்மை என்பதை வரைபடத்தில் இருந்து பார்க்கிறோம். மூன்று குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளில் சரியாக மூன்று தீர்வுகள் இருக்கும், இது a = - 1 a=-1 போது மட்டுமே சாத்தியமாகும்.

பதில்

a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) ;

a\in (-3;-1)\bigcup$1$;\:\:\: b) a = - 1 a=-1 .

$$\begin(causes) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(cases) $$

சரியாக ஒரு தீர்வு உள்ளது.

சமத்துவமின்மை அமைப்பின் தீர்வுகளை x O a xOa விமானத்தில் சித்தரிப்போம். $$ \begin(cases) a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac(x^2+6x)(6) .\end(cases) $$ வடிவத்தில் கணினியை மீண்டும் எழுதுவோம்

பதில்

முதல் சமத்துவமின்மை, a = - x 2 + x a = -x^2+x மற்றும் அதற்குக் கீழே உள்ள பரவளையத்தின் மீது இருக்கும் புள்ளிகளால் திருப்திப்படுத்தப்படுகிறது, இரண்டாவது பரவளையத்தின் மீது இருக்கும் புள்ளிகளால் திருப்தி செய்யப்படுகிறது a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac(x^2 +6x)(6) மற்றும் அதற்கு மேல். பரவளையங்களின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் அவற்றின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடித்து, பின்னர் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம். முதல் பரவளையத்தின் மேற்பகுதி (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), இரண்டாவது பரவளையத்தின் மேற்பகுதி (- 1 ; - 1 6) ( -1; -\dfrac( 1)(6)), வெட்டும் புள்ளிகள் (0; 0) (0;0) மற்றும் (4 7; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12 )(49)). கணினியை திருப்திப்படுத்தும் புள்ளிகளின் தொகுப்பு படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 15. கிடைமட்டக் கோடு a = const a=\textrm(const) இந்த தொகுப்புடன் சரியாக ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்டிருப்பதைக் காணலாம் (அதாவது கணினிக்கு சரியாக ஒரு தீர்வு உள்ளது) a = 0 a=0 மற்றும் a = 1 4 a= \dfrac(1)(4) .

A = 0 , a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4)

அளவுருவின் சிறிய மதிப்பைக் கண்டறியவும் a a , ஒவ்வொன்றிற்கும் கணினி

$$\begin(வழக்குகள்) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \end(cases) $$

ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது. முதல் சமன்பாட்டை மாற்றுவோம்,:

முழுமையான சதுரங்களை முன்னிலைப்படுத்துகிறது

முந்தைய சிக்கல்களைப் போலல்லாமல், இங்கே x O y xOy விமானத்தில் ஒரு வரைபடத்தை சித்தரிப்பது நல்லது (“மாறி - அளவுரு” விமானத்தில் ஒரு வரைதல் பொதுவாக ஒரு மாறி மற்றும் ஒரு அளவுருவில் உள்ள சிக்கல்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது - இதன் விளைவாக விமானத்தில் ஒரு தொகுப்பாகும். இந்தச் சிக்கலில் இரண்டு மாறிகள் மற்றும் ஒரு அளவுருவை முப்பரிமாண இடத்தில் வரைவது கடினமான பணியாகும் காட்சியாக இருக்க வேண்டும்). சமன்பாடு (18) ஒரு வட்டத்தை மையத்துடன் (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1) ஆரம் 1 குறிப்பிடுகிறது. இந்த வட்டத்தின் மையம், a இன் மதிப்பைப் பொறுத்து, எந்த புள்ளியிலும் அமைந்திருக்கும் வரி y = 1 y = 1.

அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாடு y = 3 | x | - 4 y = \sqrt(3)|x|-4 என்பது 60 ° 60^(\circ) கோணத்தில் abscissa அச்சுக்கு பக்கங்களுடன் கூடிய கோணத்தை அமைக்கிறது (நேர்கோட்டின் கோண குணகம் என்பது தொடுகோடு சாய்வின் கோணம் tg 60 ° = 3 \textrm(tg )(60^(\circ)) = \sqrt(3)), புள்ளியில் உச்சியுடன் (0; - 4) (0;-4) .

வட்டம் கோணத்தின் கிளைகளில் ஒன்றைத் தொட்டால், இந்த சமன்பாடு அமைப்பு சரியாக ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. இது நான்கு நிகழ்வுகளில் சாத்தியமாகும் (படம் 16): வட்டத்தின் மையம் A A, B B, C C, D D புள்ளிகளில் ஒன்றில் இருக்கலாம். a என்ற அளவுருவின் மிகச்சிறிய மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்பதால், D D புள்ளியின் abscissa இல் ஆர்வமாக உள்ளோம். வலது முக்கோண D H M DHM ஐக் கவனியுங்கள். புள்ளி D D இலிருந்து நேர் கோடு H M HM வரையிலான தூரம் வட்டத்தின் ஆரத்திற்குச் சமம், எனவே D H = 1 DH=1. எனவே, D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . y = 1 y=1 மற்றும் y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 (மூலையின் இடது பக்கம்) ஆகிய இரண்டு கோடுகளின் வெட்டுப்புள்ளியின் ஆயங்களாக M M புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் காணப்படுகின்றன. .

நாம் M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) . பின்னர் புள்ளி D D இன் abscissa - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( 7)(\ சதுர(3)) .

வட்டத்தின் மையத்தின் abscissa 3 a\sqrt(3) க்கு சமமாக இருப்பதால், a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

பதில்

A = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)

அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும் a a , ஒவ்வொன்றிற்கும் கணினி

$$\begin(வழக்குகள்) |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \முடிவு(வழக்குகள்) $$

$$\begin(causes) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(cases) $$

x O y xOy விமானத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கும் தீர்வுகளின் தொகுப்புகளை சித்தரிப்போம்.

இரண்டாவது சமத்துவமின்மையில், சரியான சதுரங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்:

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2 ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Leftrightarrow (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8 )^2 \:\:\:\: (19)

a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8), சமத்துவமின்மை (19) ஆய (7 a; 3 a) (7a;3a), அதாவது (- 56 ; -) ஒரு புள்ளியைக் குறிப்பிடுகிறது. 24) (-56;-24) . a (19) இன் மற்ற எல்லா மதிப்புகளுக்கும் ஆரம் புள்ளியில் (7 a; 3 a) (7a;3a) மையப்படுத்தப்பட்ட வட்டத்தை வரையறுக்கிறது | a + 8 | |a+8| .

முதல் சமத்துவமின்மையைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
1) எதிர்மறை a a க்கு தீர்வுகள் இல்லை. இதன் பொருள் அமைப்பில் தீர்வுகள் இல்லை.

2) a = 0 a=0 எனில், 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0 என்ற நேர்கோட்டைப் பெறுவோம். இரண்டாவது சமத்துவமின்மையிலிருந்து 8 ஆரம் கொண்ட மையம் (0; 0) (0; 0) கொண்ட ஒரு வட்டத்தைப் பெறுகிறோம். வெளிப்படையாக, ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தீர்வுகள் உள்ளன.

3) $$a>0$$ எனில், இந்த சமத்துவமின்மை இரட்டை சமத்துவமின்மைக்கு சமம் - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) , இவை ஒவ்வொன்றும் 4 x + 3 y = 0 4x+ என்ற நேர் கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கும் இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே ஒரு பட்டையை வரையறுக்கிறது. 3y=0 (படம் 17).

நாங்கள் $$a>0$$ ஐக் கருத்தில் கொண்டுள்ளதால், வட்டத்தின் மையம் y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) வரியில் முதல் காலாண்டில் அமைந்துள்ளது. உண்மையில், மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; a ஐ வெளிப்படுத்தி சமன் செய்தால், x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , எங்கிருந்து y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . கணினி சரியாக ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருப்பதற்கு, வட்டமானது 2 a_2 என்ற நேர்கோட்டைத் தொடுவது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது. வட்டத்தின் ஆரம் வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து நேர்கோட்டிற்கான தூரத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது இது நிகழ்கிறது a 2 a_2. ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்திற்கான சூத்திரத்தின்படி * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

பதில்

A = 2 a=2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , заданная уравнением a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Тогда расстояние от точки M M до прямой l l определяется формулой ρ = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} . !}

அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளில் a a அமைப்பு செய்கிறது

$$\begin(வழக்குகள்) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end(cases)$$க்கு தீர்வுகள் இல்லையா?

கணினியின் முதல் சமன்பாடு x O y xOy விமானத்தில் A B C D ABCD என்ற சதுரத்தை வரையறுக்கிறது (அதைக் கட்டமைக்க, x ≥ 0 x\geq 0 மற்றும் y ≥ 0 y\geq 0 ஆகியவற்றைக் கவனியுங்கள். பின்னர் சமன்பாடு x + y = வடிவத்தை எடுக்கும். 1 x+y=1 நாம் ஒரு பிரிவைப் பெறுகிறோம் - x + y = 1 x+y=1 என்ற நேர்கோட்டின் ஒரு பகுதி, முதல் காலாண்டில் உள்ளது, அடுத்து, O x ஆக்ஸ் அச்சுடன் தொடர்புடைய இந்த பகுதியைப் பிரதிபலிக்கிறோம் O y Oy அச்சுடன் தொடர்புடைய விளைவான தொகுப்பை பிரதிபலிக்கவும் (படம் 18 ஐப் பார்க்கவும்). இரண்டாவது சமன்பாடு சதுரம் P Q R S PQRS ஐ வரையறுக்கிறது, A B C D ABCD சதுரத்திற்கு சமம், ஆனால் புள்ளியை மையமாகக் கொண்டது (- a ; - a) (-a;-a) . படத்தில். உதாரணமாக, படம் 18 இந்த சதுரத்தை a = - 2 a=-2 க்கு காட்டுகிறது. இந்த இரண்டு சதுரங்களும் குறுக்கிடவில்லை என்றால் கணினிக்கு தீர்வுகள் இல்லை.

P Q PQ மற்றும் B C BC ஆகிய பிரிவுகள் இணைந்தால், இரண்டாவது சதுரத்தின் மையம் (1; 1) (1;1) புள்ளியில் இருப்பதைப் பார்ப்பது எளிது. a இன் அந்த மதிப்புகள் நமக்குப் பொருத்தமானவை, அதில் மையம் "மேலே" மற்றும் "வலதுபுறம்" அமைந்துள்ளது, அதாவது $$a1$$.

பதில்

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

கணினி b b அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்

$$\begin(வழக்குகள்) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end(cases) $$

a இன் எந்த மதிப்புக்கும் குறைந்தது ஒரு தீர்வு உள்ளது.

பல வழக்குகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

1) என்றால் $$b2) b = 0 b=0 எனில், கணினி $$\begin(cases) y=x^2,\\ y=ax .\end(cases) $$

எந்த ஒரு a க்கும் ஜோடி எண்கள் (0 ; 0) (0;0) இந்த அமைப்பிற்கு ஒரு தீர்வாகும், எனவே b = 0 b=0 பொருத்தமானது.

3) சில $$b>0$$ ஐ சரிசெய்வோம். O x Ox அச்சுடன் தொடர்புடைய இந்த பரவளையத்தின் ஒரு பகுதியைப் பிரதிபலிப்பதன் மூலம் y = x 2 - b y=x^2-b என்ற பரவளையத்திலிருந்து பெறப்பட்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பால் முதல் சமன்பாடு திருப்தி அடைகிறது (படம் 19a, b ஐப் பார்க்கவும்). இரண்டாவது சமன்பாடு நேர் கோடுகளின் குடும்பத்தைக் குறிப்பிடுகிறது (a இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், செங்குத்து ஒன்றைத் தவிர, புள்ளி (b; 0) (b;0) வழியாக செல்லும் அனைத்து வகையான நேர்கோடுகளையும் நீங்கள் பெறலாம். புள்ளி மூலம் (b; 0) (b;0) . புள்ளி (b; 0) (b;0) பிரிவில் இருந்தால் [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . abscissa அச்சு, பின்னர் நேர் கோடு எந்த சாய்வுக்கான முதல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வெட்டுகிறது (படம் 19a). இல்லையெனில் (படம் 19b) எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் இந்த வரைபடத்தை வெட்டாத ஒரு நேர் கோடு இருக்கும். சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) மற்றும் $$b>0$$ என்று கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், b ∈ (0 ; 1 ] b \ ஐப் பெறுகிறோம் (0;1] இல்.

நாங்கள் முடிவுகளை இணைக்கிறோம்: $$b \in $$.

பதில்

$$b \in $$

a இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும், அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் f (x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x குறைந்தபட்சம் ஒரு அதிகபட்ச புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது.

தொகுதியை விரிவுபடுத்தினால், அதைப் பெறுகிறோம்

$$f(x) = \begin(cases) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \end(வழக்குகள்) $$

இரண்டு இடைவெளிகளில் ஒவ்வொன்றிலும், y = f (x) y=f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் மேல்நோக்கி கிளைகளைக் கொண்ட ஒரு பரவளையமாகும்.

மேல்நோக்கி கிளைகள் கொண்ட பரவளையங்கள் அதிகபட்ச புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்பதால், ஒரே சாத்தியம் என்னவென்றால், அதிகபட்ச புள்ளி இந்த இடைவெளிகளின் எல்லைப் புள்ளியாகும் - புள்ளி x = a 2 x=a^2 . இந்த கட்டத்தில் பரவளையத்தின் உச்சம் y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 $$x>a^2$$, மற்றும் பரவளையத்தின் முனை y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - இடைவெளிக்கு $$x\lt a^2$$ (படம் 20 ஐப் பார்க்கவும்). இந்த நிபந்தனையானது ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் $$2 \gt a^2$$ மற்றும் $$1 \lt a^2$$ ஆகியவற்றால் வழங்கப்படுகிறது, இதைத் தீர்க்கும்போது a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

பதில்

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

a இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும், ஒவ்வொன்றிற்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பொதுவான தீர்வுகள்

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a மற்றும் y - x ≥ 2 a (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகள்

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

சூழ்நிலையை வழிநடத்த, சில நேரங்களில் ஒரு அளவுரு மதிப்பைக் கருத்தில் கொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம், எடுத்துக்காட்டாக, a = 0 a=0 . ஏற்றத்தாழ்வுகள் (20) (உண்மையில், நாம் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைக் கையாளுகிறோம் (20)) கோணத்தின் புள்ளிகள் B A C BAC (படம் 21 ஐப் பார்க்கவும்) - புள்ளிகள், ஒவ்வொன்றும் y = - ஆகிய இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு மேல் இருக்கும் புள்ளிகளால் திருப்திப்படுத்தப்படுகின்றன. 2 x y=-2x மற்றும் y = x y =x (அல்லது இந்த வரிகளில்). சமத்துவமின்மை (21) y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) . a = 0 a=0 பிரச்சனையின் நிலை திருப்தியடையவில்லை என்பதைக் காணலாம்.

a அளவுருவுக்கு வேறு மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டால் என்ன மாறும்? கோடுகளின் கோண குணகங்கள் a ஐச் சார்ந்து இல்லை என்பதால், ஒவ்வொரு கோடுகளும் நகர்ந்து தனக்கு இணையான கோட்டாக மாறும். சிக்கலின் நிபந்தனையை நிறைவேற்ற, B A C BAC முழு கோணமும் l l நேர் கோட்டிற்கு மேலே இருக்க வேண்டும். நேர் கோடுகளின் கோண குணகங்கள் A B AB மற்றும் A C AC ஆகியவை நேர்கோட்டின் கோணக் குணகத்தை விட முழுமையான மதிப்பில் அதிகமாக இருப்பதால், கோணத்தின் உச்சி நேர்கோடு l l க்கு மேலே இருப்பது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

$$\begin(வழக்குகள்) y+2x=a,\\ y-x=2a, \end(cases)$$

புள்ளி A (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும். அவை சமத்துவமின்மையை (21) பூர்த்தி செய்ய வேண்டும், எனவே $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, எங்கிருந்து $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

பதில்

$$a>\dfrac(9)(8)$$

ஓல்கா ஒட்டெல்கினா, 9 ஆம் வகுப்பு மாணவி

இந்த தலைப்பு பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்தின் ஒருங்கிணைந்த பகுதியாகும். இந்த வேலையின் நோக்கம், இந்த தலைப்பை இன்னும் ஆழமாகப் படிப்பது, விரைவாக ஒரு பதிலுக்கு வழிவகுக்கும் மிகவும் பகுத்தறிவு தீர்வை அடையாளம் காண்பது. அளவுருக்களுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறையின் பயன்பாட்டை மற்ற மாணவர்களுக்குப் புரிந்துகொள்ளவும், இந்த முறையின் தோற்றம் மற்றும் வளர்ச்சியைப் பற்றி அறியவும் இந்த கட்டுரை உதவும்.

பதிவிறக்கம்:

முன்னோட்டம்:

அறிமுகம்2

அத்தியாயம் 1. அளவுருவுடன் சமன்பாடுகள்

அளவுரு3 உடன் சமன்பாடுகள் தோன்றிய வரலாறு

வியட்டாவின் தேற்றம்4

அடிப்படை கருத்துக்கள் 5

அத்தியாயம் 2. அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகளின் வகைகள்.

நேரியல் சமன்பாடுகள் 6

இருபடி சமன்பாடுகள் ……………………………………………………………… 7

அத்தியாயம் 3. அளவுருவுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

பகுப்பாய்வு முறை …………………………………………………… 8

வரைகலை முறை. தோற்ற வரலாறு ……………………………….9

வரைகலை முறையைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்.............................................10

மாடுலஸுடன் சமன்பாட்டின் தீர்வு………………………………………………………….11

நடைமுறை பகுதி ……………………………………………………………………… 12

முடிவு ………………………………………………………………………………………….19

குறிப்புகள்………………………………………………………… 20

அறிமுகம்.

பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்தின் ஒருங்கிணைந்த பகுதி என்பதால் இந்தத் தலைப்பைத் தேர்ந்தெடுத்தேன். இந்த வேலையைத் தயாரிப்பதில், இந்த தலைப்பைப் பற்றிய ஆழமான ஆய்வின் இலக்கை நான் நிர்ணயித்தேன், விரைவாக ஒரு பதிலுக்கு வழிவகுக்கும் மிகவும் பகுத்தறிவு தீர்வைக் கண்டறிந்தேன். அளவுருக்களுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறையின் பயன்பாட்டை மற்ற மாணவர்களுக்குப் புரிந்துகொள்ளவும், இந்த முறையின் தோற்றம் மற்றும் வளர்ச்சியைப் பற்றி அறியவும் எனது கட்டுரை உதவும்.

நவீன வாழ்க்கையில், பல இயற்பியல் செயல்முறைகள் மற்றும் வடிவியல் வடிவங்களைப் படிப்பது பெரும்பாலும் அளவுருக்களுடன் சிக்கல்களைத் தீர்க்க வழிவகுக்கிறது.

அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு, α அளவுருவைப் பொறுத்து சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டியிருக்கும் போது வரைகலை முறை மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

அளவுருக்களில் உள்ள சிக்கல்கள் முற்றிலும் கணித ஆர்வத்துடன் உள்ளன, மாணவர்களின் அறிவுசார் வளர்ச்சிக்கு பங்களிக்கின்றன, மேலும் திறன்களைப் பயிற்சி செய்வதற்கான நல்ல பொருளாக செயல்படுகின்றன. அவை கண்டறியும் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளன, ஏனெனில் அவை கணிதத்தின் முக்கிய கிளைகள், கணித மற்றும் தர்க்கரீதியான சிந்தனையின் நிலை, ஆரம்ப ஆராய்ச்சி திறன்கள் மற்றும் உயர் கல்வி நிறுவனங்களில் கணிதப் படிப்பை வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெறுவதற்கான நம்பிக்கைக்குரிய வாய்ப்புகள் பற்றிய அறிவைச் சோதிக்கப் பயன்படும்.

எனது கட்டுரை அடிக்கடி சந்திக்கும் சமன்பாடுகளின் வகைகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது, மேலும் பணியின் செயல்பாட்டில் நான் பெற்ற அறிவு பள்ளித் தேர்வுகளில் தேர்ச்சி பெறும்போது எனக்கு உதவும் என்று நம்புகிறேன்.அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள்பள்ளி கணிதத்தில் மிகவும் கடினமான பிரச்சனைகளில் ஒன்றாக கருதப்படுகிறது. ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் உள்ள பணிகளின் பட்டியலில் துல்லியமாக இந்த பணிகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.

ஒரு அளவுருவுடன் சமன்பாடுகள் தோன்றிய வரலாறு

இந்தியக் கணிதவியலாளரும் வானவியலாளருமான ஆர்யபட்டாவால் 499 இல் தொகுக்கப்பட்ட “ஆர்யப்பட்டியம்” என்ற வானியல் ஆய்வுக் கட்டுரையில் ஒரு அளவுருவுடன் சமன்பாடுகளில் உள்ள சிக்கல்கள் ஏற்கனவே எதிர்கொண்டன. மற்றொரு இந்திய விஞ்ஞானி, பிரம்மகுப்தா (7 ஆம் நூற்றாண்டு), தீர்வுக்கான பொதுவான விதியை கோடிட்டுக் காட்டினார் இருபடி சமன்பாடுகள், ஒற்றை நியமன வடிவத்திற்கு குறைக்கப்பட்டது:

αх 2 + bx = c, α>0

அளவுருவைத் தவிர, சமன்பாட்டில் உள்ள குணகங்கள், எதிர்மறையாகவும் இருக்கலாம்.

அல்-குவாரிஸ்மியின் இருபடி சமன்பாடுகள்.

அல்-கோரெஸ்மியின் இயற்கணிதக் கட்டுரையானது a என்ற அளவுருவுடன் நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளை வகைப்படுத்துகிறது. ஆசிரியர் 6 வகையான சமன்பாடுகளைக் கணக்கிடுகிறார், அவற்றை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்துகிறார்:

1) "சதுரங்கள் வேர்களுக்கு சமம்," அதாவது αx 2 = bx.

2) "சதுரங்கள் எண்களுக்கு சமம்", அதாவது αx 2 = c.

3) "வேர்கள் எண்ணுக்கு சமம்," அதாவது αx = c.

4) "சதுரங்களும் எண்களும் வேர்களுக்குச் சமம்," அதாவது αx 2 + c = bx.

5) "சதுரங்களும் வேர்களும் எண்ணுக்கு சமம்", அதாவது αx 2 + bx = c.

6) "வேர்கள் மற்றும் எண்கள் சதுரங்களுக்கு சமம்," அதாவது bx + c = αx 2 .

ஐரோப்பாவில் அல்-குவாரிஸ்மியின் படி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள் முதன்முதலில் இத்தாலிய கணிதவியலாளர் லியோனார்டோ ஃபிபோனச்சியால் 1202 இல் எழுதப்பட்ட "புக் ஆஃப் அபாகஸ்" இல் அமைக்கப்பட்டன.

உள்ள அளவுருவுடன் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் பொதுவான பார்வை Vieta அதை கொண்டுள்ளது, ஆனால் Vieta நேர்மறையான வேர்களை மட்டுமே அங்கீகரித்துள்ளது. இத்தாலிய கணிதவியலாளர்கள் டார்டாக்லியா, கார்டானோ, பொம்பெல்லி ஆகியோர் 12 ஆம் நூற்றாண்டில் முதன்மையானவர்கள். நேர்மறை கூடுதலாக கணக்கில் எடுத்து, மற்றும் எதிர்மறை வேர்கள். 17 ஆம் நூற்றாண்டில் மட்டுமே. Girard, Descartes, Newton மற்றும் பிற விஞ்ஞானிகளின் படைப்புகளுக்கு நன்றி, இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முறை அதன் நவீன வடிவத்தை எடுத்தது.

வியட்டாவின் தேற்றம்

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள், குணகங்கள் மற்றும் அதன் வேர்கள் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவை வெளிப்படுத்தும் தேற்றம், வியட்டாவின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது, 1591 இல் முதன்முறையாக அவரால் உருவாக்கப்பட்டது. பின்வருமாறு: “b + d ஐ α கழித்தல் α ஆல் பெருக்கினால் 2 , bc க்கு சமம், பின்னர் α என்பது b மற்றும் d க்கு சமம்."

வியட்டாவைப் புரிந்து கொள்ள, α, எந்த உயிரெழுத்துக்களைப் போலவே, அறியப்படாத (எங்கள் x) ஐக் குறிக்கிறது, அதே நேரத்தில் b, d என்ற உயிரெழுத்துக்கள் தெரியாதவற்றிற்கான குணகங்களாகும். நவீன இயற்கணிதத்தின் மொழியில், மேலே உள்ள வியட்டா உருவாக்கம் என்பது:

இருந்தால்

(α + b)x - x 2 = αb,

அதாவது, x 2 - (α -b)x + αb =0,

பின்னர் x 1 = α, x 2 = b.

குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி எழுதப்பட்ட பொதுவான சூத்திரங்களுடன் சமன்பாடுகளின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கிடையிலான உறவை வெளிப்படுத்துவதன் மூலம், சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளில் வியட்டா சீரான தன்மையை நிறுவியது. இருப்பினும், வியட்டின் குறியீட்டுவாதம் இன்னும் வெகு தொலைவில் உள்ளது நவீன தோற்றம். அவர் ஒப்புக்கொள்ளவில்லை எதிர்மறை எண்கள்எனவே, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, அனைத்து வேர்களும் நேர்மறையாக இருக்கும் நிகழ்வுகளை மட்டுமே அவர் கருதினார்.

அடிப்படை கருத்துக்கள்

அளவுரு - ஒரு சுயாதீன மாறி, அதன் மதிப்பு ஒரு நிலையான அல்லது தன்னிச்சையான எண்ணாகக் கருதப்படுகிறது, அல்லது சிக்கலின் நிபந்தனையால் குறிப்பிடப்பட்ட இடைவெளியைச் சேர்ந்த எண்.

அளவுருவுடன் சமன்பாடு- கணிதம்சமன்பாடு, தோற்றம்மற்றும் தீர்வு ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அளவுருக்களின் மதிப்புகளைப் பொறுத்தது.

முடிவு செய்யுங்கள் அளவுருவுடன் சமன்பாடு என்பது ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் பொருள்இந்த சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யும் x இன் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும், மேலும்:

1. சமன்பாட்டிற்கு எந்த அளவுருக்கள் வேர்கள் உள்ளன மற்றும் எத்தனை மதிப்புகள் உள்ளன என்பதை ஆராயுங்கள் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்அளவுருக்கள்.
2. வேர்களுக்கான அனைத்து வெளிப்பாடுகளையும் கண்டுபிடித்து, அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் அந்த அளவுரு மதிப்புகளைக் குறிக்கவும், இந்த வெளிப்பாடு உண்மையில் சமன்பாட்டின் மூலத்தை தீர்மானிக்கிறது.

α(x+k)= α +c என்ற சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள், இங்கு α, c, k, x ஆகியவை மாறி அளவுகளாகும்.

α, c, k, x மாறிகளின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் அமைப்புஇந்த சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் இரண்டும் உண்மையான மதிப்புகளை எடுக்கும் மாறி மதிப்புகளின் எந்த அமைப்பாகும்.

A என்பது α இன் அனைத்து ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும், K இன் அனைத்து ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பு, X, x இன் அனைத்து ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பு, C அனைத்து ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பு. A, K, C, X ஒவ்வொரு செட்களுக்கும் முறையே α, k, c என்ற ஒரு மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுத்து சரிசெய்து அவற்றை சமன்பாட்டில் மாற்றினால், நாம் x க்கு ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், அதாவது. தெரியாத ஒருவருடன் சமன்பாடு.

ஒரு சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது மாறிலிகளாகக் கருதப்படும் α, k, c ஆகிய மாறிகள் அளவுருக்கள் என்றும், சமன்பாடு அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

அளவுருக்கள் லத்தீன் எழுத்துக்களின் முதல் எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, மற்றும் தெரியாதவை x, y, z என்ற எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன.

ஒரே அளவுருக்கள் கொண்ட இரண்டு சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றனசமமானதாக இருந்தால்:

a) அதே அளவுரு மதிப்புகளுக்கு அவை அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்;

b) முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு தீர்வும் இரண்டாவது மற்றும் நேர்மாறாக இருக்கும்.

அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகளின் வகைகள்

அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள்: நேரியல்மற்றும் சதுரம்.

1) நேரியல் சமன்பாடு. பொதுவான பார்வை:

α x = b, இங்கு x தெரியவில்லை;α, b - அளவுருக்கள்.

இந்த சமன்பாட்டிற்கு, அளவுருவின் சிறப்பு அல்லது கட்டுப்பாட்டு மதிப்பு, தெரியாத குணகம் மறைந்துவிடும்.

ஒரு அளவுருவுடன் நேரியல் சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, அளவுரு அதன் சிறப்பு மதிப்புக்கு சமமாகவும் அதிலிருந்து வேறுபட்டதாகவும் இருக்கும்போது வழக்குகள் கருதப்படுகின்றன.

அளவுரு α இன் சிறப்பு மதிப்பு மதிப்புα = 0.

1. என்றால், மற்றும் ≠0, பின்னர் எந்த ஜோடி அளவுருக்களுக்கும்α மற்றும் b அது ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது x = .

2. என்றால், மற்றும் =0, பின்னர் சமன்பாடு வடிவம்:0 எடுக்கிறது x = b . இந்த வழக்கில் மதிப்புபி = 0 என்பது ஒரு சிறப்பு அளவுரு மதிப்புபி.

2.1 மணிக்கு பி ≠ 0 சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை.

2.2 மணிக்கு பி =0 சமன்பாடு படிவத்தை எடுக்கும்:0 x =0.

இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு உண்மையான எண்ணாகும்.

அளவுருவுடன் இருபடி சமன்பாடு.

பொதுவான பார்வை:

α x 2 + bx + c = 0

அளவுரு α ≠0, b மற்றும் c - தன்னிச்சையான எண்கள்

α என்றால் =1, பின்னர் சமன்பாடு குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகின்றன

வெளிப்பாடு D = b 2 - 4 α c ஒரு பாகுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

1. D> 0 எனில், சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

2. டி என்றால்< 0 — уравнение не имеет корней.

3. D = 0 எனில், சமன்பாடு இரண்டு சமமான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

அளவுருவுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்:

பகுப்பாய்வு - நேரடி தீர்வுக்கான ஒரு முறை, அளவுருக்கள் இல்லாமல் ஒரு சமன்பாட்டில் பதிலைக் கண்டறிவதற்கான நிலையான நடைமுறைகளை மீண்டும் செய்யவும்.
கிராஃபிக் - சிக்கலின் நிலைமைகளைப் பொறுத்து, தொடர்புடைய வரைபடத்தின் நிலை இருபடி செயல்பாடுஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்.

பகுப்பாய்வு முறை

தீர்வு அல்காரிதம்:

பகுப்பாய்வு முறையைப் பயன்படுத்தி அளவுருக்களுடன் சிக்கலைத் தீர்க்கத் தொடங்குவதற்கு முன், அளவுருவின் குறிப்பிட்ட எண் மதிப்பிற்கான நிலைமையை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, α =1 அளவுருவின் மதிப்பை எடுத்து கேள்விக்கு பதிலளிக்கவும்: இந்த பணிக்கு தேவையான அளவுரு α =1.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒப்பீட்டளவில் தீர்க்கவும்எக்ஸ் அளவுரு மீ கொண்ட நேரியல் சமன்பாடு:

சிக்கலின் பொருளின்படி (m-1)(x+3) = 0, அதாவது m= 1, x = -3.

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் (m-1)(x+3) ஆல் பெருக்கினால், சமன்பாடு கிடைக்கும்

நாம் பெறுகிறோம்

எனவே, மீ = 2.25 இல்.

m இன் மதிப்புகள் ஏதேனும் உள்ளதா என்பதை இப்போது நாம் சரிபார்க்க வேண்டும்

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட x இன் மதிப்பு -3.

இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, x என்பது m = -0.4 உடன் -3 க்கு சமம் என்பதைக் காண்கிறோம்.

பதில்: m=1, m =2.25 உடன்.

கிராஃபிக் முறை. தோற்ற வரலாறு

படிப்பு பொதுவான சார்புகள் 14 ஆம் நூற்றாண்டில் தொடங்கியது. இடைக்கால அறிவியல் அறிவியலாக இருந்தது. இந்த இயல்புடன், அளவு சார்ந்த சார்புகள் பற்றிய ஆய்வுக்கு இடமில்லை, அது பொருட்களின் குணங்கள் மற்றும் ஒன்றோடொன்று தொடர்புகள் பற்றியது. ஆனால் கல்வியாளர்களிடையே குணங்கள் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கும் என்று வாதிட்ட ஒரு பள்ளி எழுந்தது (ஆற்றில் விழுந்தவரின் ஆடை மழையில் சிக்கிய ஒருவரின் ஆடையை விட ஈரமானது)

பிரெஞ்சு விஞ்ஞானி நிகோலாய் ஓரெஸ்மே பிரிவுகளின் நீளத்துடன் தீவிரத்தை சித்தரிக்கத் தொடங்கினார். அவர் இந்த பகுதிகளை ஒரு குறிப்பிட்ட நேர் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக வைத்தபோது, அவற்றின் முனைகள் ஒரு கோட்டை உருவாக்கியது, அதை அவர் "தீவிரக் கோடு" அல்லது "மேல் விளிம்பின் கோடு" என்று அழைத்தார் (தொடர்புடைய செயல்பாட்டு சார்பின் வரைபடம்). ” மற்றும் “உடல்” குணங்கள், அதாவது செயல்பாடுகள் , இரண்டு அல்லது மூன்று மாறிகளைப் பொறுத்து.

ஓரெஸ்மியின் முக்கியமான சாதனை அதன் விளைவாக வரைபடங்களை வகைப்படுத்துவதற்கான அவரது முயற்சியாகும். அவர் மூன்று வகையான குணங்களை அடையாளம் கண்டார்: சீரான (நிலையான தீவிரத்துடன்), சீரான-சீரற்ற (தீவிரத்தில் நிலையான மாற்றத்துடன்) மற்றும் சீரற்ற-சமமற்ற (மற்ற அனைத்தும்), அத்துடன் சிறப்பியல்பு பண்புகள்அத்தகைய குணங்களின் வரைபடங்கள்.

செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களைப் படிப்பதற்கான ஒரு கணித கருவியை உருவாக்க, ஒரு மாறியின் கருத்து தேவைப்பட்டது. இந்த கருத்தை பிரெஞ்சு தத்துவஞானி மற்றும் கணிதவியலாளர் ரெனே டெஸ்கார்ட்ஸ் (1596-1650) அறிவியலில் அறிமுகப்படுத்தினார். இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலின் ஒற்றுமை மற்றும் மாறிகளின் பங்கு பற்றிய கருத்துகளுக்கு டெஸ்கார்ட்ஸ் தான் ஒரு நிலையான அலகு பிரிவை அறிமுகப்படுத்தினார் மற்றும் அதனுடன் மற்ற பிரிவுகளின் உறவுகளை பரிசீலிக்கத் தொடங்கினார்.

இவ்வாறு, அவற்றின் இருப்பு முழு காலகட்டத்திலும் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் பல அடிப்படை மாற்றங்களைச் சந்தித்துள்ளன, அவை நாம் பழக்கமான வடிவத்திற்கு இட்டுச் சென்றன. செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களின் வளர்ச்சியில் ஒவ்வொரு நிலை அல்லது நிலையும் நவீன இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலின் வரலாற்றின் ஒருங்கிணைந்த பகுதியாகும்.

ஒரு சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையை அதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அளவுருவைப் பொறுத்து தீர்மானிக்கும் வரைகலை முறை பகுப்பாய்வு ஒன்றை விட மிகவும் வசதியானது.

வரைகலை முறை மூலம் அல்காரிதம் தீர்வு

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் - புள்ளிகளின் தொகுப்புabscissaசரியான வாத மதிப்புகள், ஏ ஆணையிடுகிறது- தொடர்புடைய மதிப்புகள்செயல்பாடுகள்.

ஒரு அளவுருவுடன் சமன்பாடுகளை வரைகலை முறையில் தீர்க்கும் அல்காரிதம்:

சமன்பாட்டின் வரையறையின் களத்தைக் கண்டறியவும்.
நாங்கள் α ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம் x இன் செயல்பாடாக.
ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம்α (x) இந்த சமன்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள x இன் மதிப்புகளுக்கு.
ஒரு கோட்டின் வெட்டுப்புள்ளிகளைக் கண்டறிதல்α =с, செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன்

α(x) வரி α என்றால் =с வரைபடத்தை கடக்கிறதுα (x), பின்னர் வெட்டுப்புள்ளிகளின் அப்சிசாஸை நாம் தீர்மானிக்கிறோம். இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது போதுமானது c = α (x) x உடன் தொடர்புடையது.

பதிலை எழுதுங்கள்

மாடுலஸ் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

ஒரு அளவுருவைக் கொண்ட மாடுலஸ் மூலம் சமன்பாடுகளை வரைபடமாகத் தீர்க்கும்போது, செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவது அவசியம். வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்சாத்தியமான அனைத்து நிகழ்வுகளையும் கருத்தில் கொள்ள அளவுரு.

எடுத்துக்காட்டாக, │х│= a,

பதில்: ஒரு என்றால் < 0, то нет корней, a > 0, பின்னர் x = a, x = - a, a = 0 எனில், x = 0.

சிக்கல் தீர்க்கும்.

சிக்கல் 1. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன?| | x | - 2 | = அ அளவுருவைப் பொறுத்துஒரு?

தீர்வு. ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் (x; y) y = | செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் | x | - 2 | மற்றும் y =அ . செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = | | x | - 2 | படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் y =α a = 0).

வரைபடத்திலிருந்து இதைக் காணலாம்:

a = 0 எனில், நேர்கோடு y = a ஆக்ஸ் அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் y = | செயல்பாட்டின் வரைபடம் உள்ளது | x | - 2 | இரண்டு பொதுவான புள்ளிகள்; இதன் பொருள் அசல் சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன (இந்த வழக்கில், வேர்களைக் காணலாம்: x 1,2 = + 2).
0 என்றால்< a < 2, то прямая y = α y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் உள்ளது | x | - 2 | நான்கு பொதுவான புள்ளிகள் மற்றும், எனவே, அசல் சமன்பாடு நான்கு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
என்றால்அ = 2, பின்னர் வரி y = 2 செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் மூன்று பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர் அசல் சமன்பாடு மூன்று வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
என்றால் a > 2, பின் நேர்கோடு y = a அசல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது, இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.

பதில்: ஒரு என்றால் < 0, то корней нет;
a = 0, a > 2 எனில், இரண்டு வேர்கள் உள்ளன;
a = 2 என்றால், மூன்று வேர்கள் உள்ளன;
0 என்றால்< a < 2, то четыре корня.

சிக்கல் 2. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன?| x 2 - 2| x | - 3 | = அ அளவுருவைப் பொறுத்துஒரு?

தீர்வு. ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் (x; y) y = | செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம் x 2 - 2| x | - 3 | மற்றும் y = a.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = | x 2 - 2| x | - 3 | படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. செயல்பாட்டின் வரைபடம் y =α எருதுக்கு இணையான அல்லது அதனுடன் இணைந்த ஒரு நேர்கோடு (எப்போது a = 0).

வரைபடத்திலிருந்து நீங்கள் பார்க்க முடியும்:

a = 0 எனில், நேர்கோடு y = a ஆக்ஸ் அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் y = | செயல்பாட்டின் வரைபடம் உள்ளது x2 - 2| x | - 3 | இரண்டு பொதுவான புள்ளிகள், அதே போல் நேர் கோடு y =அ y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் இருக்கும் x 2 - 2| x | - 3 | இரண்டு பொதுவான புள்ளிகள் a > 4. எனவே, a = 0 மற்றும் a > 4 அசல் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
0 என்றால்< அ< 3, то прямая y = a y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் உள்ளது x 2 - 2| x | - 3 | நான்கு பொதுவான புள்ளிகள், அதே போல் நேர் கோடு y=அ கட்டப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் நான்கு பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும் a = 4. எனவே, 0 இல்< a < 3, a = 4 அசல் சமன்பாடு நான்கு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
என்றால் a = 3, பின்னர் நேர் கோடு y = a ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை ஐந்து புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது; எனவே, சமன்பாடு ஐந்து வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
என்றால் 3< அ< 4, прямая y = α கட்டப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை ஆறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது; இதன் பொருள் இந்த அளவுரு மதிப்புகளுக்கு அசல் சமன்பாடு ஆறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
என்றால்அ < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை குறுக்கிடவில்லை x 2 - 2| x | - 3 |.

பதில்: ஒரு என்றால் < 0, то корней нет;
a = 0, a > 4 எனில், இரண்டு வேர்கள் உள்ளன;
0 என்றால்< a < 3, a = 4, பின்னர் நான்கு வேர்கள் உள்ளன;

ஒரு என்றால் = 3, பின்னர் ஐந்து வேர்கள்;
என்றால் 3< a < 4, то шесть корней.

சிக்கல் 3. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன?

அளவுருவைப் பொறுத்துஒரு?

தீர்வு. ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (x; y)

ஆனால் முதலில் அதை வடிவத்தில் வழங்குவோம்:

x = 1, y = 1 கோடுகள் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் அறிகுறிகளாகும். செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = | x | +அ y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்திலிருந்து பெறப்பட்டது x | Oy அச்சில் ஒரு அலகு மூலம் இடமாற்றம்.

செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டும்அ > - 1; இதன் பொருள் இந்த அளவுரு மதிப்புகளுக்கான சமன்பாடு (1) ஒரு தீர்வு உள்ளது.

போது a = - 1, a = - 2 வரைபடங்கள் இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன; இந்த அளவுரு மதிப்புகளுக்கு, சமன்பாடு (1) இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
மணிக்கு - 2< அ< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

பதில்: ஒரு என்றால் > - 1, பின்னர் ஒரு தீர்வு;
a = - 1 என்றால், a = - 2, பின்னர் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன;
என்றால் - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

கருத்து. சிக்கல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது, எப்போது வழக்கில் சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும்அ = - 2, புள்ளி (- 1; - 1) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைச் சார்ந்தது அல்லஆனால் y = | செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைச் சேர்ந்தது x | +அ.

சிக்கல் 4. சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன?

x + 2 = a | x - 1 |

அளவுருவைப் பொறுத்துஒரு?

தீர்வு. x = 1 என்பது சமன்பாடு 3 = என்பதால் இந்த சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்அ எந்த அளவுரு மதிப்பிற்கும் 0 உண்மையாக இருக்க முடியாதுஅ . சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் | எனப் பிரிப்போம் x - 1 |(| x - 1 |0), பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் xOy செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம்

இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. செயல்பாட்டின் வரைபடம் y =அ ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையான அல்லது அதனுடன் இணைந்த ஒரு நேர்கோடு (என்றால் a = 0).

TO அளவுருவுடன் பணிகள்எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவான வடிவத்தில் நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளுக்கான தேடல், அளவுருவின் மதிப்பைப் பொறுத்து கிடைக்கக்கூடிய வேர்களின் எண்ணிக்கைக்கான சமன்பாட்டின் ஆய்வு ஆகியவை இதில் அடங்கும்.

விரிவான வரையறைகளை வழங்காமல், பின்வரும் சமன்பாடுகளை எடுத்துக்காட்டுகளாகக் கருதுங்கள்:

y = kx, இங்கு x, y ஆகியவை மாறிகள், k என்பது ஒரு அளவுரு;

y = kx + b, இங்கு x, y என்பது மாறிகள், k மற்றும் b ஆகியவை அளவுருக்கள்;

ax 2 + bx + c = 0, இங்கு x என்பது மாறிகள், a, b மற்றும் c என்பது ஒரு அளவுரு.

ஒரு அளவுருவுடன் ஒரு சமன்பாட்டை (சமத்துவமின்மை, அமைப்பு) தீர்ப்பது, ஒரு விதியாக, எல்லையற்ற சமன்பாடுகளை (சமத்துவமின்மைகள், அமைப்புகள்) தீர்ப்பதாகும்.

அளவுருவுடன் கூடிய பணிகளை இரண்டு வகைகளாகப் பிரிக்கலாம்:

A)நிபந்தனை கூறுகிறது: சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் (சமத்துவமின்மை, அமைப்பு) - இதன் பொருள், அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும், அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டறியவும். குறைந்தபட்சம் ஒரு வழக்கு விசாரிக்கப்படாமல் இருந்தால், அத்தகைய தீர்வு திருப்திகரமாக கருத முடியாது.

b)சமன்பாடு (சமத்துவமின்மை, அமைப்பு) கொண்டிருக்கும் அளவுருவின் சாத்தியமான மதிப்புகளைக் குறிப்பிடுவது அவசியம். சில பண்புகள். எடுத்துக்காட்டாக, இதற்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது, தீர்வுகள் இல்லை, இடைவெளியைச் சேர்ந்த தீர்வுகள் போன்றவை உள்ளன. அத்தகைய பணிகளில், தேவையான நிபந்தனை எந்த அளவுரு மதிப்பில் திருப்தி அடைகிறது என்பதை தெளிவாகக் குறிப்பிடுவது அவசியம்.

அளவுரு, அறியப்படாத நிலையான எண்ணாக இருப்பதால், ஒரு வகையான சிறப்பு இரட்டைத்தன்மை உள்ளது. முதலாவதாக, கருதப்படும் புகழ் அளவுருவை எண்ணாக உணர வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம். இரண்டாவதாக, அளவுருவை கையாளும் சுதந்திரம் அதன் தெளிவின்மையால் வரையறுக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு அளவுருவைக் கொண்ட ஒரு வெளிப்பாட்டின் மூலம் வகுத்தல் அல்லது அத்தகைய வெளிப்பாட்டிலிருந்து சமமான பட்டத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பது போன்ற செயல்களுக்கு பூர்வாங்க ஆராய்ச்சி தேவைப்படுகிறது. எனவே, அளவுருவை கையாளும் போது கவனிப்பு தேவை.

எடுத்துக்காட்டாக, -6a மற்றும் 3a ஆகிய இரண்டு எண்களை ஒப்பிட, நீங்கள் மூன்று நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்:

1) a எதிர்மறை எண்ணாக இருந்தால் -6a 3a ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்;

2) -6a = 3a வழக்கில் a = 0;

3) a நேர்மறை எண் 0 என்றால் -6a 3a க்கும் குறைவாக இருக்கும்.

தீர்வு பதில் இருக்கும்.

kx = b என்ற சமன்பாட்டை கொடுக்கலாம். இந்த சமன்பாடு ஒரு மாறி கொண்ட எண்ணற்ற சமன்பாடுகளின் குறுகிய பதிப்பாகும்.

அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, சங்கள் இருக்கலாம்:

1. k என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத உண்மையான எண்ணாகவும், R இலிருந்து b எந்த எண்ணாகவும் இருக்கட்டும், பின்னர் x = b/k.

2. k = 0 மற்றும் b ≠ 0 ஆக, அசல் சமன்பாடு 0 x = b வடிவத்தை எடுக்கும். வெளிப்படையாக, அத்தகைய சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் இல்லை.

3. k மற்றும் b ஆகியவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான எண்களாக இருக்கட்டும், பிறகு சமத்துவம் 0 x = 0. அதன் தீர்வு எந்த உண்மையான எண்ணாகவும் இருக்கும்.

இந்த வகை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்:

1. அளவுருவின் "கட்டுப்பாட்டு" மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்கவும்.

2. முதல் பத்தியில் தீர்மானிக்கப்பட்ட அளவுரு மதிப்புகளுக்கு xக்கான அசல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

3. முதல் பத்தியில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து வேறுபட்ட அளவுரு மதிப்புகளுக்கு xக்கான அசல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

4. நீங்கள் பின்வரும் படிவத்தில் பதிலை எழுதலாம்:

1) ... (அளவுரு மதிப்புகள்), சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் உள்ளன ...;

2) ... (அளவுரு மதிப்புகள்), சமன்பாட்டில் வேர்கள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 1.

|6 – x| என்ற அளவுருவுடன் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் = அ.

தீர்வு.

இங்கே ≥ 0 என்று பார்ப்பது எளிது.

தொகுதி 6 - x = ±a விதியின் படி, நாம் x ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம்:

பதில்: x = 6 ± a, இங்கு a ≥ 0.

எடுத்துக்காட்டு 2.

x மாறியைப் பொறுத்து a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்: aх – а + 2х – 2 = 0

சமன்பாட்டை எழுதுவோம் நிலையான வடிவம்: x(a + 2) = a + 2.

வெளிப்பாடு a + 2 பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், அதாவது a ≠ -2 என்றால், x = (a + 2) / (a + 2), அதாவது. x = 1.

a + 2 என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், அதாவது. a = -2, பின்னர் சரியான சமத்துவம் 0 x = 0, எனவே x என்பது உண்மையான எண்.

பதில்: a ≠ -2க்கு x = 1 மற்றும் a = -2க்கு x € R.

எடுத்துக்காட்டு 3.

x மாறியைப் பொறுத்து x/a + 1 = a + x சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

a = 0 எனில், சமன்பாட்டை a + x = a 2 + ax அல்லது (a – 1)x = -a(a – 1) வடிவத்திற்கு மாற்றுவோம். a = 1 க்கான கடைசி சமன்பாடு 0 x = 0 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, எனவே x என்பது எந்த எண்ணாகும்.

ஒரு ≠ 1 எனில், கடைசி சமன்பாடு x = -a வடிவத்தை எடுக்கும்.

இந்த தீர்வை ஒருங்கிணைப்பு வரியில் விளக்கலாம் (படம் 1)

பதில்: a = 0 க்கு தீர்வுகள் இல்லை; x – a = 1 உடன் எந்த எண்ணும்; x = -a க்கு ≠ 0 மற்றும் a ≠ 1.

வரைகலை முறை

ஒரு அளவுருவுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க மற்றொரு வழியைக் கருத்தில் கொள்வோம் - வரைபடமாக. இந்த முறை அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 4.

அளவுரு a ஐப் பொறுத்து, சமன்பாடு எத்தனை வேர்கள் ||x| – 2| = ஒரு?

தீர்வு.

வரைகலை முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க, y = ||x| செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குகிறோம் – 2| மற்றும் y = a (படம் 2).

y = a நேர் கோட்டின் இருப்பிடம் மற்றும் அவை ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள வேர்களின் எண்ணிக்கையின் சாத்தியமான நிகழ்வுகளை வரைபடம் தெளிவாகக் காட்டுகிறது.

பதில்: a என்றால் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருக்காது< 0; два корня будет в случае, если a >2 மற்றும் a = 0; சமன்பாடு a = 2 வழக்கில் மூன்று வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்; நான்கு வேர்கள் - 0 இல்< a < 2.

உதாரணம் 5.

என்ன சமன்பாடு 2|x| + |x – 1| = ஒரு ஒற்றை வேர் உள்ளதா?

தீர்வு.

y = 2|x| சார்புகளின் வரைபடங்களை சித்தரிப்போம் + |x – 1| மற்றும் y = a. y = 2|x|க்கு + |x – 1|, இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி தொகுதிகளை விரிவுபடுத்தினால், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(-3x + 1, x இல்< 0,

y = (x + 1, 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, x > 1க்கு.

அன்று படம் 3சமன்பாடு a = 1 ஆக இருக்கும் போது மட்டுமே ஒற்றை வேர் கொண்டிருக்கும் என்பது தெளிவாகக் காணப்படுகிறது.

பதில்: a = 1.

எடுத்துக்காட்டு 6.

சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையை |x + 1| + |x + 2| = a அளவுருவைப் பொறுத்து a?

தீர்வு.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = |x + 1| + |x + 2| உடைந்த கோடாக இருக்கும். அதன் முனைகள் (-2; 1) மற்றும் (-1; 1) புள்ளிகளில் அமைந்திருக்கும். (படம் 4).

பதில்: அளவுரு a ஒன்றுக்கு குறைவாக இருந்தால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருக்காது; a = 1 எனில், சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு இடைவெளியில் இருந்து எண்ணற்ற எண்களின் தொகுப்பாகும் [-2; -1]; அளவுரு a இன் மதிப்புகள் ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.

இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா? அளவுருவுடன் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று தெரியவில்லையா?
ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற, பதிவு செய்யவும்.
முதல் பாடம் இலவசம்!