கொடுக்கப்பட்ட மாதிரி விநியோகத்தின் அடிப்படையில் ஒரு அனுபவச் செயல்பாட்டை உருவாக்கவும். அனுபவ விநியோக செயல்பாடு. மாறுபாடு தொடர். பலகோணம் மற்றும் ஹிஸ்டோகிராம்

மாதிரி சராசரி.

ஒரு அளவு குணாதிசயமான X பற்றி பொது மக்களை ஆய்வு செய்ய அளவு n இன் மாதிரியை பிரித்தெடுக்கலாம்.

மாதிரி சராசரி என்பது மாதிரி மக்கள்தொகையில் ஒரு குணாதிசயத்தின் எண்கணித சராசரி ஆகும்.

மாதிரி மாறுபாடு.

அதன் சராசரி மதிப்பைச் சுற்றி மாதிரி மதிப்புகளின் அளவு பண்புகளின் பரவலைக் கவனிப்பதற்காக, ஒரு சுருக்கமான பண்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது - மாதிரி மாறுபாடு.

மாதிரி மாறுபாடு என்பது அவற்றின் சராசரி மதிப்பிலிருந்து ஒரு குணாதிசயத்தின் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் விலகலின் சதுரங்களின் எண்கணித சராசரி ஆகும்.

மாதிரி பண்புகளின் அனைத்து மதிப்புகளும் வேறுபட்டால், பின்னர்

சரி செய்யப்பட்ட மாறுபாடு.

மாதிரி மாறுபாடு என்பது மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் ஒரு சார்பு மதிப்பீடாகும், அதாவது. மாதிரி மாறுபாட்டின் கணித எதிர்பார்ப்பு மதிப்பிடப்பட்ட பொது மாறுபாட்டிற்கு சமமாக இல்லை, ஆனால் சமமாக உள்ளது

மாதிரி மாறுபாட்டை சரிசெய்ய, அதை பின்னத்தால் பெருக்கவும்

மாதிரி தொடர்பு குணகம்சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது

மதிப்புகளின் மாதிரி நிலையான விலகல்கள் மற்றும் .

மாதிரி தொடர்பு குணகம் மற்றும் இடையே உள்ள நேரியல் உறவின் நெருக்கத்தை காட்டுகிறது: ஒற்றுமைக்கு நெருக்கமாக, மற்றும் இடையேயான நேரியல் உறவு வலுவானது.

23. அதிர்வெண் பலகோணம் என்பது ஒரு உடைந்த கோடு, அதன் பிரிவுகள் புள்ளிகளை இணைக்கின்றன. அதிர்வெண் பலகோணத்தை உருவாக்க, மாறுபாடுகள் abscissa அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன, மேலும் தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள் ஆர்டினேட் அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன, மேலும் புள்ளிகள் கோடு பிரிவுகளால் இணைக்கப்படுகின்றன.

சார்பு அதிர்வெண் பலகோணம் அதே வழியில் கட்டமைக்கப்படுகிறது, சார்பு அதிர்வெண்கள் ஆர்டினேட் அச்சில் வரையப்பட்டுள்ளன.

அதிர்வெண் ஹிஸ்டோகிராம் என்பது செவ்வகங்களைக் கொண்ட ஒரு படிநிலை உருவமாகும், அவற்றின் தளங்கள் h நீளத்தின் பகுதி இடைவெளிகளாகும், மேலும் உயரங்கள் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும். ஒரு அதிர்வெண் வரைபடத்தை உருவாக்க, அப்சிஸ்ஸா அச்சில் பகுதி இடைவெளிகள் அமைக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் தூரத்தில் (உயரம்) உள்ள அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு இணையான பகுதிகள் மேலே வரையப்படுகின்றன. i-th செவ்வகத்தின் பரப்பளவு i-o இடைவெளியின் அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், எனவே அதிர்வெண் ஹிஸ்டோகிராமின் பரப்பளவு அனைத்து அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அதாவது. மாதிரி அளவு.

அனுபவ விநியோக செயல்பாடு

எங்கே n x- மாதிரி மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை குறைவாக உள்ளது எக்ஸ்; n- மாதிரி அளவு.

22கணித புள்ளிவிவரங்களின் அடிப்படைக் கருத்துகளை வரையறுப்போம்

.கணித புள்ளியியல் அடிப்படைக் கருத்துக்கள். மக்கள் தொகை மற்றும் மாதிரி. மாறுபாடு தொடர், புள்ளியியல் தொடர். குழுவாக்கப்பட்ட மாதிரி. குழுப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிவிவரத் தொடர். அதிர்வெண் பலகோணம். மாதிரி விநியோக செயல்பாடு மற்றும் ஹிஸ்டோகிராம்.

மக்கள் தொகை- கிடைக்கக்கூடிய பொருட்களின் முழு தொகுப்பு.

மாதிரி- பொது மக்களிடமிருந்து தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பொருட்களின் தொகுப்பு.

ஏறுவரிசையில் எழுதப்பட்ட விருப்பங்களின் வரிசை அழைக்கப்படுகிறது மாறுபட்டஅருகிலுள்ள, மற்றும் விருப்பங்களின் பட்டியல் மற்றும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள் அல்லது தொடர்புடைய அதிர்வெண்கள் - புள்ளியியல் தொடர்: பொது மக்களிடமிருந்து தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.

பலகோணம்அதிர்வெண்கள் ஒரு உடைந்த கோடு என்று அழைக்கப்படுகின்றன, இதன் பிரிவுகள் புள்ளிகளை இணைக்கின்றன.

அதிர்வெண் ஹிஸ்டோகிராம்செவ்வகங்களைக் கொண்ட ஒரு படிநிலை உருவம் ஆகும், அவற்றின் தளங்கள் h நீளத்தின் பகுதி இடைவெளிகளாகும், மேலும் உயரங்கள் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

மாதிரி (அனுபவ) விநியோக செயல்பாடுசெயல்பாட்டை அழைக்கவும் F*(எக்ஸ்), ஒவ்வொரு மதிப்பையும் வரையறுத்தல் எக்ஸ்நிகழ்வின் தொடர்புடைய அதிர்வெண் எக்ஸ்< x.

சில தொடர்ச்சியான அம்சம் ஆய்வு செய்யப்பட்டால், மாறுபாடு தொடர் மிக அதிக எண்ணிக்கையிலான எண்களைக் கொண்டிருக்கும். இந்த வழக்கில், அதைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது குழு மாதிரி. அதைப் பெற, பண்புக்கூறின் அனைத்து கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளையும் கொண்ட இடைவெளி நீளத்தின் பல சமமான பகுதி இடைவெளிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. ம, பின்னர் ஒவ்வொரு பகுதி இடைவெளியையும் கண்டறியவும் என் ஐ- சேர்க்கப்பட்டுள்ள மாறுபாட்டின் அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகை நான்வது இடைவெளி.

20. பெரிய எண்களின் சட்டத்தை பெரிய எண்களுடன் தொடர்புடைய எந்த ஒரு பொதுச் சட்டமாகவும் புரிந்து கொள்ளக்கூடாது. பெரிய எண்களின் சட்டம் என்பது பல கோட்பாடுகளுக்கு ஒரு பொதுவான பெயராகும், அதில் இருந்து சோதனைகளின் எண்ணிக்கையில் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன், சராசரி மதிப்புகள் சில மாறிலிகளுக்கு முனைகின்றன.

செபிஷேவ் மற்றும் பெர்னோலியின் கோட்பாடுகள் இதில் அடங்கும். செபிஷேவின் தேற்றம் பெரிய எண்களின் பொதுவான விதி.

"பெரிய எண்களின் சட்டம்" என்ற வார்த்தையால் ஒன்றுபட்ட தேற்றங்களின் ஆதாரம் செபிஷேவின் சமத்துவமின்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது அதன் கணித எதிர்பார்ப்பிலிருந்து விலகல் நிகழ்தகவை நிறுவுகிறது:

19பியர்சன் விநியோகம் (சி - சதுரம்) - ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல்

சீரற்ற மாறிகள் எங்கே X 1, X 2,..., X nசுயாதீனமான மற்றும் ஒரே விநியோகம் என்(0,1) இந்த வழக்கில், விதிமுறைகளின் எண்ணிக்கை, அதாவது. n, சி-சதுர விநியோகத்தின் "சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை" என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மாறுபாட்டை மதிப்பிடும்போது (நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி), உடன்பாடு, ஒருமைப்பாடு, சுதந்திரம் ஆகியவற்றின் கருதுகோள்களைச் சோதிக்கும் போது, ​​கை-சதுர விநியோகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

விநியோகம் டிமாணவர்களின் t என்பது ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் ஆகும்

சீரற்ற மாறிகள் எங்கே யுமற்றும் எக்ஸ்சுதந்திரமான, யுநிலையான இயல்பான விநியோகம் உள்ளது என்(0.1), மற்றும் எக்ஸ்– chi விநியோகம் – சதுர c nசுதந்திரத்தின் அளவுகள். இதில் nமாணவர் விநியோகத்தின் "சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை" என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நம்பக இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்தி கணித எதிர்பார்ப்பு, முன்னறிவிப்பு மதிப்பு மற்றும் பிற குணாதிசயங்களை மதிப்பிடும் போது, ​​கணித எதிர்பார்ப்புகளின் மதிப்புகள், பின்னடைவு குணகங்கள் பற்றிய கருதுகோள்களை சோதிக்கும் போது இது பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஃபிஷர் விநியோகம் என்பது ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் ஆகும்

பின்னடைவு பகுப்பாய்வு, மாறுபாடுகளின் சமத்துவம் மற்றும் பயன்பாட்டு புள்ளிவிவரங்களின் பிற சிக்கல்களில் மாதிரியின் போதுமான தன்மை பற்றிய கருதுகோள்களை சோதிக்கும் போது ஃபிஷர் விநியோகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

18நேரியல் பின்னடைவுகடந்த காலத் தரவுகளின் அடிப்படையில் எதிர்கால விலைகளைக் கணிக்கப் பயன்படும் ஒரு புள்ளிவிவரக் கருவியாகும், மேலும் விலைகள் எப்போது அதிக வெப்பமடைகின்றன என்பதைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது. விலை மதிப்புப் புள்ளிகளின் வரிசையின் மூலம் "சிறந்த பொருத்தம்" நேர்கோட்டை உருவாக்க குறைந்த சதுரங்கள் முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. உள்ளீடாகப் பயன்படுத்தப்படும் விலைப் புள்ளிகள் பின்வருவனவற்றில் ஏதேனும் இருக்கலாம்: திறந்த, மூட, அதிக, குறைந்த,

17. இரு பரிமாண சீரற்ற மாறி என்பது இரண்டு சீரற்ற மாறிகள் அல்லது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பாகும்.

எடுத்துக்காட்டு: இரண்டு பகடைகள் தூக்கி எறியப்படுகின்றன. - முறையே முதல் மற்றும் இரண்டாவது பகடைகளில் உருட்டப்பட்ட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை

இரு பரிமாண சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டத்தைக் குறிப்பிடுவதற்கான உலகளாவிய வழி விநியோகச் செயல்பாடு ஆகும்.

15.m.o தனித்த சீரற்ற மாறிகள்

பண்புகள்:

1) எம்(சி) = சி, சி- நிலையான;

2) எம்(CX) = சி.எம்.(எக்ஸ்);

3) எம்(X 1 + X 2) = எம்(X 1) + எம்(X 2), எங்கே X 1, X 2- சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள்;

4) எம்(X 1 X 2) = எம்(X 1)எம்(X 2).

சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அதாவது.

சீரற்ற மாறிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் கணித எதிர்பார்ப்பு அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் வேறுபாட்டிற்கு சமம், அதாவது.

சீரற்ற மாறிகளின் ஒரு பொருளின் கணித எதிர்பார்ப்பு அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் விளைபொருளுக்கு சமம், அதாவது.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளும் ஒரே எண்ணால் C அதிகரிக்கப்பட்டால் (குறைந்தால்), அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு அதே எண்ணால் அதிகரிக்கும் (குறைவு)

14. அதிவேக(அதிவேக)விநியோக சட்டம் எக்ஸ்அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி வடிவம் இருந்தால், அளவுரு λ >0 உடன் அதிவேக விநியோக விதி உள்ளது:

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு: .

சிதறல்:.

வரிசைக் கோட்பாடு மற்றும் நம்பகத்தன்மை கோட்பாட்டில் அதிவேக விநியோகச் சட்டம் ஒரு பெரிய பாத்திரத்தை வகிக்கிறது.

13. இயல்பான விநியோகச் சட்டம் தோல்வி அதிர்வெண் a (t) அல்லது தோல்வி நிகழ்தகவு அடர்த்தி f (t) வடிவத்தால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது:

, (5.36)

இதில் σ என்பது SV இன் நிலையான விலகலாகும் எக்ஸ்;

மீ எக்ஸ்– எஸ்.வி.யின் கணித எதிர்பார்ப்பு எக்ஸ். இந்த அளவுரு பெரும்பாலும் சிதறலின் மையம் அல்லது SV இன் மிகவும் சாத்தியமான மதிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ்.

எக்ஸ்- ஒரு சீரற்ற மாறி, இது நேரம், தற்போதைய மதிப்பு, மின்சார மின்னழுத்த மதிப்பு மற்றும் பிற வாதங்களாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

சாதாரண சட்டம் என்பது இரண்டு அளவுருக்கள் கொண்ட சட்டமாகும், அதை எழுத நீங்கள் மீ தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் எக்ஸ்மற்றும் σ.

பல சீரற்ற காரணிகளால் பாதிக்கப்படும் தயாரிப்புகளின் நம்பகத்தன்மையை மதிப்பிடுவதற்கு சாதாரண விநியோகம் (காசியன் விநியோகம்) பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஒவ்வொன்றும் அதன் விளைவாக ஏற்படும் விளைவில் சிறிய விளைவைக் கொண்டிருக்கும்.

12. சீரான விநியோக சட்டம். தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி எக்ஸ்பிரிவில் ஒரு சீரான விநியோகச் சட்டம் உள்ளது [ அ, பி], அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி இந்தப் பிரிவில் நிலையானதாகவும் அதற்கு வெளியே பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாகவும் இருந்தால், அதாவது.

பதவி: .

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு: .

சிதறல்:.

சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ், பிரிவில் ஒரு சீரான சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று அழைக்கப்படுகிறது சீரற்ற எண் 0 முதல் 1 வரை. எந்தவொரு விநியோகச் சட்டத்துடனும் சீரற்ற மாறிகளைப் பெறுவதற்கான தொடக்கப் பொருளாக இது செயல்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட விநியோகத்திற்கு உட்பட்ட அவதானிப்புகளின் புள்ளிவிவர மாதிரியாக்கத்தில், தொடர்ச்சியான வரிசை சிக்கல்களில், எண்ணியல் கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளும் போது ரவுண்டிங் பிழைகளை பகுப்பாய்வு செய்வதில் சீரான விநியோக சட்டம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

11. வரையறை.விநியோக அடர்த்திதொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு செயல்பாடு எனப்படும் f(x)- விநியோகச் செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல் F(x).

விநியோக அடர்த்தி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட செயல்பாடு. தனித்த சீரற்ற மாறியை விவரிக்க, விநியோக அடர்த்தி ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது.

விநியோக அடர்த்தியின் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் ஒரு சீரற்ற மாறி X எவ்வளவு அடிக்கடி தோன்றும் என்பதைக் காட்டுகிறது. எக்ஸ்சோதனைகளை மீண்டும் செய்யும்போது.

விநியோக செயல்பாடுகள் மற்றும் விநியோக அடர்த்தியை அறிமுகப்படுத்திய பிறகு, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் பின்வரும் வரையறை கொடுக்கப்படலாம்.

10. நிகழ்தகவு அடர்த்தி, ஒரு சீரற்ற மாறி x இன் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி, ஒரு செயல்பாடு p(x)

மற்றும் எந்த ஒரு< b вероятность события a < x < b равна
.

p(x) தொடர்ச்சியாக இருந்தால், போதுமான அளவு சிறிய ∆xக்கு சமத்துவமின்மையின் நிகழ்தகவு x< X < x+∆x приближенно равна p(x) ∆x (с точностью до малых более высокого порядка). Функция распределения F(x) случайной величины x, связана с плотностью распределения соотношениями

மற்றும் F(x) வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால்

மாறுபாடு தொடர். பலகோணம் மற்றும் ஹிஸ்டோகிராம்.

விநியோக வரம்பு- ஒரு குறிப்பிட்ட மாறுபட்ட குணாதிசயத்தின்படி குழுக்களாக ஆய்வுக்கு உட்பட்ட மக்கள்தொகையின் அலகுகளின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்தைக் குறிக்கிறது.

விநியோகத் தொடரின் உருவாக்கத்தின் அடிப்படையிலான பண்புகளைப் பொறுத்து, அவை வேறுபடுகின்றன பண்பு மற்றும் மாறுபாடுவிநியோக வரிசைகள்:

§ ஒரு அளவு பண்பின் மதிப்புகளின் ஏறுவரிசை அல்லது இறங்கு வரிசையில் கட்டப்பட்ட விநியோகத் தொடர்கள் எனப்படும். மாறுபட்ட.

விநியோகத்தின் மாறுபாடு தொடர் இரண்டு நெடுவரிசைகளைக் கொண்டுள்ளது:

முதல் நெடுவரிசை பல்வேறு பண்புகளின் அளவு மதிப்புகளை வழங்குகிறது, அவை அழைக்கப்படுகின்றன விருப்பங்கள்மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளன. தனித்துவமான விருப்பம் - முழு எண்ணாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. இடைவெளி விருப்பம் இருந்து மற்றும் வரை இருக்கும். விருப்பங்களின் வகையைப் பொறுத்து, நீங்கள் ஒரு தனித்துவமான அல்லது இடைவெளி மாறுபாடு தொடரை உருவாக்கலாம்.
இரண்டாவது நெடுவரிசை கொண்டுள்ளது குறிப்பிட்ட விருப்பத்தின் எண்ணிக்கை, அதிர்வெண்கள் அல்லது அதிர்வெண்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

அதிர்வெண்கள்- இவை முழுமையான எண்கள், ஒரு குணாதிசயத்தின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பு மொத்தத்தில் எத்தனை முறை நிகழ்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. அனைத்து அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகை முழு மக்கள்தொகையில் உள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.

அதிர்வெண்கள்() அதிர்வெண்கள் மொத்தத்தின் சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. சதவீதங்களாக வெளிப்படுத்தப்படும் அனைத்து அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றின் பின்னங்களில் 100%க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.

விநியோகத் தொடரின் கிராஃபிக் பிரதிநிதித்துவம்

விநியோகத் தொடர்கள் வரைகலைப் படங்களைப் பயன்படுத்தி காட்சிப்படுத்தப்படுகின்றன.

விநியோகத் தொடர் பின்வருமாறு சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது:

§ பலகோணம்

§ ஹிஸ்டோகிராம்கள்

§ குவிகிறது

பலகோணம்

பலகோணத்தை உருவாக்கும் போது, ​​மாறுபட்ட பண்புகளின் மதிப்புகள் கிடைமட்ட அச்சில் (x-அச்சு) வரையப்படுகின்றன, மேலும் அதிர்வெண்கள் அல்லது அதிர்வெண்கள் செங்குத்து அச்சில் (y-அச்சு) திட்டமிடப்படுகின்றன.

1. படத்தில் பலகோணம். 6.1 1994 இல் ரஷ்யாவின் மக்கள்தொகையின் நுண்ணிய மக்கள்தொகை கணக்கெடுப்பின் தரவை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

பட்டை விளக்கப்படம்

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்க, இடைவெளிகளின் எல்லைகளின் மதிப்புகள் abscissa அச்சில் குறிக்கப்படுகின்றன, அவற்றின் அடிப்படையில், செவ்வகங்கள் கட்டப்பட்டுள்ளன, அதன் உயரம் அதிர்வெண்களுக்கு (அல்லது அதிர்வெண்களுக்கு) விகிதாசாரமாகும்.

படத்தில். 6.2 1997 ஆம் ஆண்டில் வயதுக்குட்பட்ட ரஷ்ய மக்கள்தொகையின் பரவலின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது.

வரைபடம். 1. வயதுக் குழுக்களின் அடிப்படையில் ரஷ்ய மக்கள்தொகை விநியோகம்

அனுபவ விநியோக செயல்பாடு, பண்புகள்.

ஒரு அளவு பண்பு X இன் புள்ளிவிவர அதிர்வெண் விநியோகம் அறியப்படட்டும், குணாதிசயத்தின் மதிப்பு x ஐ விட குறைவாக இருக்கும் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் அவதானிப்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் குறிப்போம். வெளிப்படையாக, நிகழ்வு X இன் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண்

ஒரு அனுபவப் பரவல் செயல்பாடு (மாதிரி விநியோக செயல்பாடு) என்பது ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் X நிகழ்வின் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண்ணையும் தீர்மானிக்கும் ஒரு செயல்பாடாகும்.

மாதிரியின் அனுபவப் பரவல் செயல்பாட்டிற்கு மாறாக, மக்கள்தொகைப் பரவல் செயல்பாடு கோட்பாட்டுப் பரவல் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு என்னவென்றால், கோட்பாட்டு செயல்பாடு X நிகழ்வின் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது

n அதிகரிக்கும் போது, ​​X நிகழ்வின் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண்

அடிப்படை பண்புகள்

ஒரு அடிப்படை முடிவு நிலையானதாக இருக்கட்டும். பின்வருபவை பின்வரும் நிகழ்தகவு செயல்பாட்டால் வழங்கப்படும் தனித்த விநியோகத்தின் பரவல் செயல்பாடு:

எங்கே மற்றும் -க்கு சமமான மாதிரி கூறுகளின் எண்ணிக்கை. குறிப்பாக, மாதிரியின் அனைத்து கூறுகளும் வேறுபட்டால், பின்னர் .

இந்த விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு:

.

எனவே, மாதிரி சராசரி என்பது மாதிரி விநியோகத்தின் தத்துவார்த்த சராசரி ஆகும்.

இதேபோல், மாதிரி மாறுபாடு என்பது மாதிரி விநியோகத்தின் தத்துவார்த்த மாறுபாடு ஆகும்.

ரேண்டம் மாறி ஒரு இருபக்கப் பரவலைக் கொண்டுள்ளது:

மாதிரி விநியோகச் செயல்பாடு என்பது விநியோகச் செயல்பாட்டின் நடுநிலையான மதிப்பீடாகும்:

.

மாதிரி விநியோக செயல்பாட்டின் மாறுபாடு படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

.

பெரிய எண்களின் வலுவான சட்டத்தின்படி, மாதிரி விநியோகச் செயல்பாடு நிச்சயமாக கோட்பாட்டுப் பரவல் செயல்பாட்டிற்கு இணைகிறது:

கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக மணிக்கு.

மாதிரி விநியோக செயல்பாடு என்பது கோட்பாட்டு விநியோக செயல்பாட்டின் அறிகுறியற்ற இயல்பான மதிப்பீடாகும். என்றால், பின்னர்

விநியோகத்தின் படி.

அறியப்பட்டபடி, ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை பல்வேறு வழிகளில் குறிப்பிடலாம். ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியை ஒரு விநியோகத் தொடர் அல்லது ஒரு ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம், மேலும் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியை ஒரு ஒருங்கிணைந்த அல்லது வேறுபட்ட செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம். இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒப்புமைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

சில சீரற்ற தொகுதி மாறியின் மதிப்புகளின் மாதிரி தொகுப்பு இருக்கட்டும் இந்த தொகுப்பிலிருந்து ஒவ்வொரு விருப்பமும் அதன் அதிர்வெண்ணுடன் தொடர்புடையது. மேலும் விடுங்கள் சில உண்மையான எண், மற்றும் - சீரற்ற மாறியின் மாதிரி மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை
, சிறியது .பின் எண் மாதிரியில் காணப்பட்ட அளவு மதிப்புகளின் அதிர்வெண் ஆகும் எக்ஸ், சிறியது , அந்த. நிகழ்வின் அதிர்வெண்
. அது மாறும் போது எக்ஸ்பொது வழக்கில், மதிப்பும் மாறும் . இது தொடர்புடைய அதிர்வெண் என்று பொருள் வாதத்தின் ஒரு செயல்பாடு ஆகும் . சோதனைகளின் விளைவாக பெறப்பட்ட மாதிரி தரவுகளிலிருந்து இந்த செயல்பாடு காணப்படுவதால், இது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அல்லது அழைக்கப்படுகிறது அனுபவபூர்வமான.

வரையறை 10.15. அனுபவ விநியோக செயல்பாடு(மாதிரி விநியோக செயல்பாடு) செயல்பாடு ஆகும்
, ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் வரையறுத்தல் எக்ஸ்நிகழ்வின் தொடர்புடைய அதிர்வெண்
.

(10.19)

அனுபவ மாதிரி விநியோக செயல்பாட்டிற்கு மாறாக, விநியோக செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) பொது மக்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது கோட்பாட்டு விநியோக செயல்பாடு. அவற்றுக்கிடையேயான வேறுபாடு கோட்பாட்டு செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது
, மற்றும் அனுபவமானது அதே நிகழ்வின் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண் ஆகும். பெர்னோலியின் தேற்றத்தில் இருந்து பின்வருமாறு

,
(10.20)

அந்த. பெரியதாக நிகழ்தகவு
மற்றும் நிகழ்வின் தொடர்புடைய அதிர்வெண்
, அதாவது
ஒன்றுக்கொன்று சிறிது வேறுபடுகின்றன. இதிலிருந்து, பொது மக்களின் கோட்பாட்டு (ஒருங்கிணைந்த) விநியோகச் செயல்பாட்டை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கு மாதிரியின் அனுபவ விநியோக செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவது அறிவுறுத்தப்படுகிறது.

செயல்பாடு
மற்றும்
அதே பண்புகள் உள்ளன. இது செயல்பாட்டின் வரையறையிலிருந்து பின்வருமாறு.

பண்புகள்
:

எடுத்துக்காட்டு 10.4.கொடுக்கப்பட்ட மாதிரி விநியோகத்தின் அடிப்படையில் ஒரு அனுபவ செயல்பாட்டை உருவாக்கவும்:

தீர்வு:மாதிரி அளவைக் கண்டுபிடிப்போம் n= 12+18+30=60. மிகச் சிறிய விருப்பம்
, எனவே,
மணிக்கு
. பொருள்
, அதாவது
12 முறை கவனிக்கப்பட்டது, எனவே:

=
மணிக்கு
.

பொருள் எக்ஸ்< 10, அதாவது
மற்றும்
12+18=30 முறை கவனிக்கப்பட்டது, எனவே,
=
மணிக்கு
. மணிக்கு

.

தேவையான அனுபவ விநியோக செயல்பாடு:

=

அட்டவணை
படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 10.2

ஆர்
இருக்கிறது. 10.2

கட்டுப்பாட்டு கேள்விகள்

1. கணித புள்ளிவிவரங்கள் என்ன முக்கிய பிரச்சனைகளை தீர்க்கின்றன? 2. பொது மற்றும் மாதிரி மக்கள் தொகை? 3. மாதிரி அளவை வரையறுக்கவும். 4. என்ன மாதிரிகள் பிரதிநிதி என்று அழைக்கப்படுகின்றன? 5. பிரதிநிதித்துவத்தின் பிழைகள். 6. மாதிரியின் அடிப்படை முறைகள். 7. அதிர்வெண், உறவினர் அதிர்வெண் பற்றிய கருத்துக்கள். 8. புள்ளியியல் தொடரின் கருத்து. 9. ஸ்டர்ஜஸ் ஃபார்முலாவை எழுதுங்கள். 10. மாதிரி வரம்பு, இடைநிலை மற்றும் பயன்முறையின் கருத்துகளை உருவாக்கவும். 11. அதிர்வெண் பலகோணம், ஹிஸ்டோகிராம். 12. மாதிரி மக்கள்தொகையின் புள்ளி மதிப்பீட்டின் கருத்து. 13. பாரபட்சமற்ற மற்றும் பாரபட்சமற்ற புள்ளி மதிப்பீடு. 14. மாதிரி சராசரியின் கருத்தை உருவாக்கவும். 15. மாதிரி மாறுபாட்டின் கருத்தை உருவாக்கவும். 16. மாதிரி நிலையான விலகல் கருத்தை உருவாக்கவும். 17. மாறுபாட்டின் மாதிரி குணகம் என்ற கருத்தை உருவாக்கவும். 18. மாதிரி வடிவியல் சராசரியின் கருத்தை உருவாக்கவும்.

அனுபவ சூத்திரம் என்ன என்பதைக் கண்டறியவும்.வேதியியலில், EP என்பது ஒரு சேர்மத்தை விவரிப்பதற்கான எளிய வழியாகும்-அடிப்படையில் அவற்றின் சதவீதத்தின் அடிப்படையில் ஒரு சேர்மத்தை உருவாக்கும் தனிமங்களின் பட்டியல். இந்த எளிய சூத்திரம் விவரிக்கப்படவில்லை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் உத்தரவுஒரு சேர்மத்தில் உள்ள அணுக்கள், அது என்ன கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. உதாரணத்திற்கு:

• 40.92% கார்பனைக் கொண்ட கலவை; 4.58% ஹைட்ரஜன் மற்றும் 54.5% ஆக்சிஜன் ஆகியவை அனுபவ சூத்திரம் C 3 H 4 O 3 (இந்த கலவையின் EF ஐ எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதற்கான உதாரணம் இரண்டாவது பகுதியில் விவாதிக்கப்படும்).

விரிவுரை 13. சீரற்ற மாறிகளின் புள்ளிவிவர மதிப்பீடுகளின் கருத்து

ஒரு அளவு பண்பு X இன் புள்ளிவிவர அதிர்வெண் விநியோகம் அறியப்படட்டும், குணாதிசயத்தின் மதிப்பு x ஐ விட குறைவாக இருக்கும் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் அவதானிப்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் குறிப்போம். வெளிப்படையாக, நிகழ்வு X இன் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண்< x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

அனுபவ விநியோக செயல்பாடு(மாதிரி விநியோக செயல்பாடு) என்பது ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் X நிகழ்வின் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண்ணையும் தீர்மானிக்கும் ஒரு செயல்பாடாகும்< x. Таким образом, по определению ,где - число вариант, меньших x, n – объем выборки.

மாதிரியின் அனுபவப் பரவல் செயல்பாட்டிற்கு மாறாக, மக்கள்தொகைப் பரவல் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது கோட்பாட்டு விநியோக செயல்பாடு.இந்த செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு கோட்பாட்டு செயல்பாடு தீர்மானிக்கிறது நிகழ்தகவுநிகழ்வுகள் X< x, тогда как эмпирическая – தொடர்புடைய அதிர்வெண்அதே நிகழ்வு.

n அதிகரிக்கும் போது, ​​X நிகழ்வின் ஒப்பீட்டு அதிர்வெண்< x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами

அனுபவ விநியோக செயல்பாட்டின் பண்புகள்:

1) அனுபவ செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் பிரிவுக்கு சொந்தமானது

2) - குறையாத செயல்பாடு

3) சிறிய விருப்பமாக இருந்தால், = 0 க்கு, மிகப்பெரிய விருப்பமாக இருந்தால், = 1 க்கு.

மாதிரியின் அனுபவ விநியோக செயல்பாடு மக்கள்தொகையின் தத்துவார்த்த விநியோக செயல்பாட்டை மதிப்பிட உதவுகிறது.

உதாரணமாக. மாதிரி விநியோகத்தின் அடிப்படையில் ஒரு அனுபவச் செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

மாதிரி அளவைக் கண்டுபிடிப்போம்: 12+18+30=60. மிகச்சிறிய விருப்பம் 2, எனவே x £ 2க்கு =0. x இன் மதிப்பு<6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2< x £6. Аналогично, значения X < 10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6< x £10. Так как x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. எனவே, விரும்பிய அனுபவச் செயல்பாடு வடிவம் கொண்டது:

புள்ளிவிவர மதிப்பீடுகளின் மிக முக்கியமான பண்புகள்

பொது மக்களின் சில அளவு பண்புகளை படிப்பது அவசியமாக இருக்கட்டும். கோட்பாட்டுப் பரிசீலனைகளிலிருந்து அதை நிறுவ முடிந்தது என்று வைத்துக்கொள்வோம் எது சரியாகவிநியோகம் ஒரு அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அது தீர்மானிக்கப்படும் அளவுருக்களை மதிப்பிடுவது அவசியம். எடுத்துக்காட்டாக, ஆய்வு செய்யப்படும் பண்பு பொதுவாக மக்கள்தொகையில் விநியோகிக்கப்பட்டால், கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் நிலையான விலகலை மதிப்பிடுவது அவசியம்; பண்புக்கு ஒரு பாய்சன் விநியோகம் இருந்தால், அளவுரு l ஐ மதிப்பிடுவது அவசியம்.

பொதுவாக, மாதிரி தரவு மட்டுமே கிடைக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, n சுயாதீனமான அவதானிப்புகளின் விளைவாக பெறப்பட்ட அளவு பண்புகளின் மதிப்புகள். சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகள் என்று நாம் கூறலாம் ஒரு கோட்பாட்டு விநியோகத்தின் அறியப்படாத அளவுருவின் புள்ளிவிவர மதிப்பீட்டைக் கண்டறிவது என்பது மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவின் தோராயமான மதிப்பைக் கொடுக்கும் கவனிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவதற்கு, செயல்பாட்டின் பங்கு எண்கணித சராசரியால் வகிக்கப்படுகிறது.

புள்ளிவிவர மதிப்பீடுகள் மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருக்களின் சரியான தோராயங்களை வழங்குவதற்கு, அவை சில தேவைகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும், அவற்றில் மிக முக்கியமானவை தேவைகள் இடம்பெயராத மற்றும் கடனளிப்பு மதிப்பீடுகள்.

கோட்பாட்டு விநியோகத்தின் அறியப்படாத அளவுருவின் புள்ளிவிவர மதிப்பீடாக இருக்கட்டும். n அளவின் மாதிரியிலிருந்து மதிப்பீட்டைக் கண்டறியலாம். பரிசோதனையை மீண்டும் செய்வோம், அதாவது. பொது மக்களிடமிருந்து அதே அளவிலான மற்றொரு மாதிரியைப் பிரித்தெடுத்து, அதன் தரவுகளின் அடிப்படையில், வேறு மதிப்பீட்டைப் பெறுவோம். சோதனையை பல முறை மீண்டும் செய்தால், வெவ்வேறு எண்களைப் பெறுகிறோம். மதிப்பெண் ஒரு சீரற்ற மாறியாகவும், எண்களை அதன் சாத்தியமான மதிப்புகளாகவும் கருதலாம்.

மதிப்பீடு தோராயமான மதிப்பைக் கொடுத்தால் மிகுதியாக, அதாவது ஒவ்வொரு எண்ணும் உண்மையான மதிப்பை விட அதிகமாக உள்ளது, அதன் விளைவாக, சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு (சராசரி மதிப்பு) இதை விட அதிகமாக உள்ளது: அதேபோல், அது ஒரு மதிப்பீட்டைக் கொடுத்தால் ஒரு பாதகத்துடன், அந்த .

எனவே, புள்ளிவிவர மதிப்பீட்டின் பயன்பாடு, மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவுக்கு சமமாக இல்லாத கணித எதிர்பார்ப்பு, முறையான (அதே அடையாளத்தின்) பிழைகளுக்கு வழிவகுக்கும். மாறாக, இது முறையான பிழைகளுக்கு எதிராக உத்தரவாதம் அளித்தால்.

பாரபட்சமற்ற புள்ளிவிவர மதிப்பீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, எந்த மாதிரி அளவிற்கான மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவின் கணித எதிர்பார்ப்பு சமமாக இருக்கும்.

இடம்பெயர்ந்ததுஇந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யாத மதிப்பீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மதிப்பீட்டின் பக்கச்சார்பற்ற தன்மை, மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவிற்கு இன்னும் நல்ல தோராயத்திற்கு உத்தரவாதம் அளிக்கவில்லை, ஏனெனில் சாத்தியமான மதிப்புகள் இருக்கலாம் மிகவும் சிதறியது அதன் சராசரி மதிப்பு, அதாவது. மாறுபாடு குறிப்பிடத்தக்கதாக இருக்கலாம். இந்த வழக்கில், ஒரு மாதிரியின் தரவிலிருந்து கண்டறியப்பட்ட மதிப்பீடு, எடுத்துக்காட்டாக, சராசரி மதிப்பிலிருந்து கணிசமாக தொலைவில் இருக்கலாம், எனவே மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவிலிருந்து.

பயனுள்ள ஒரு புள்ளியியல் மதிப்பீடு, கொடுக்கப்பட்ட மாதிரி அளவு nக்கு உள்ளது சாத்தியமான சிறிய மாறுபாடு .

பெரிய மாதிரிகளைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, ​​புள்ளிவிவர மதிப்பீடுகள் தேவை கடனளிப்பு .

செல்வந்தர் புள்ளியியல் மதிப்பீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது n®¥ மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருவின் நிகழ்தகவைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, பாரபட்சமற்ற மதிப்பீட்டின் மாறுபாடு பூஜ்ஜியமாக n®¥ ஆக இருந்தால், அத்தகைய மதிப்பீடு சீரானதாக மாறும்.