உள்ளூர் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளை தீர்மானித்தல். பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உள்ளூர் தீவிர புள்ளிகளை தீர்மானித்தல்
அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்
வரையறையின் களத்தில் மிகப்பெரிய அல்லது சிறிய மதிப்பை எடுக்கும் புள்ளிகள்; அத்தகைய புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன முழுமையான அதிகபட்ச அல்லது முழுமையான குறைந்தபட்ச புள்ளிகள். ஒரு இடவியல் அடிப்படையில் f வரையறுக்கப்பட்டால் விண்வெளி X, பின்னர் புள்ளி x 0அழைக்கப்பட்டது உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளி (உள்ளூர் குறைந்தபட்சம்), அத்தகைய புள்ளி இருந்தால் x 0,இந்த அருகாமையில் பரிசீலனையில் உள்ள செயல்பாட்டின் கட்டுப்பாட்டிற்கான புள்ளி x 0முழுமையான அதிகபட்ச (குறைந்தபட்ச) புள்ளி ஆகும். கடுமையான மற்றும் கண்டிப்பற்ற அதிகபட்ச (குறைந்தபட்சம்) (முழுமையான மற்றும் உள்ளூர்) புள்ளிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி என்று ஒரு சார்பு f இன் கண்டிப்பான (கண்டிப்பான) உள்ளூர் அதிகபட்சம், புள்ளியின் அத்தகைய சுற்றுப்புறம் இருந்தால் x 0,இது அனைவருக்கும் பொருந்தும் (முறையே f(x)
வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண டொமைன்களில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கு, வேறுபட்ட கால்குலஸின் அடிப்படையில், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி உள்ளூர் அதிகபட்ச (குறைந்தபட்சம்) புள்ளியாக இருக்க நிபந்தனைகள் மற்றும் அறிகுறிகள் உள்ளன. எண் அச்சின் x 0 புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் f செயல்பாடு வரையறுக்கப்படட்டும். என்றால் x 0 -கண்டிப்பான உள்ளூர் அதிகபட்சம் (குறைந்தபட்சம்) ஒரு புள்ளி மற்றும் இந்த கட்டத்தில் உள்ளது f"( x 0),
பின்னர் அது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.
கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு f ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால் x 0,தவிர, ஒருவேளை, இந்த புள்ளியே, அது தொடர்ச்சியாக இருக்கும், மற்றும் புள்ளியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் f" x 0இந்த சுற்றுப்புறத்தில் ஒரு நிலையான அடையாளத்தை வைத்திருக்கிறது, பின்னர் பொருட்டு x 0கடுமையான உள்ளூர் அதிகபட்சம் (உள்ளூர் குறைந்தபட்சம்) ஒரு புள்ளியாக இருந்தது, இது x இல் f" (x)>0க்கு, பிளஸ் இலிருந்து மைனஸுக்கு அடையாளத்தை மாற்றுவதற்கு வழித்தோன்றலுக்கு அவசியமானது மற்றும் போதுமானது.<.x 0மற்றும் f"(x)<0 при x>x 0(முறையே கழித்தல் முதல் கூட்டல் வரை: f"(எக்ஸ்) <0
x இல்<x 0மற்றும் f"(x)>0 at x>x 0).
இருப்பினும், ஒவ்வொரு செயல்பாட்டிற்கும் ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில் வேறுபட முடியாது x 0,இந்த கட்டத்தில் வழித்தோன்றல் மாறும் அறிகுறி பற்றி பேசலாம். . "
f சார்பு ஒரு புள்ளியில் இருந்தால் x 0 டிவழித்தோன்றல்கள், பின்னர் பொருட்டு x 0கடுமையான உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளியாக இருந்தது, அது சமமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது மற்றும் அது f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.
செயல்பாடு f( x 1 ..., x n] ஒரு புள்ளியின் n-பரிமாண சுற்றுப்புறத்தில் வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் இந்த கட்டத்தில் வேறுபடுத்தப்படுகிறது. x (0) என்பது கண்டிப்பான உள்ளூர் அதிகபட்சம் (குறைந்தபட்சம்) ஒரு புள்ளியாக இருந்தால், இந்த புள்ளியில் f செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். இந்த நிலையானது f செயல்பாட்டின் 1வது வரிசையின் அனைத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களின் இந்த கட்டத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமானதாகும். ஒரு சார்பு x(0) இல் 2வது தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருந்தால், x(0) இல் அதன் 1வது வழித்தோன்றல்கள் அனைத்தும் மறைந்துவிடும், மேலும் x(0) இல் உள்ள 2வது வரிசை வேறுபாடு எதிர்மறையான (நேர்மறை) இருபடி வடிவமாகும், பின்னர் x (0) கடுமையான உள்ளூர் அதிகபட்சம் (குறைந்தபட்சம்) ஒரு புள்ளியாகும். வாதங்களில் சில கட்டுப்பாடுகள் விதிக்கப்படும் போது, M. மற்றும் M.T வேறுபட்ட செயல்பாடுகளுக்கு நிபந்தனைகள் அறியப்படுகின்றன: இணைப்பு சமன்பாடுகள் திருப்திகரமாக இருக்கும். மிகவும் சிக்கலான கட்டமைப்பைக் கொண்ட உண்மையான செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச (குறைந்தபட்சம்) தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள் கணிதத்தின் சிறப்புக் கிளைகளில் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன: எடுத்துக்காட்டாக, இல் குவிந்த பகுப்பாய்வு, கணித நிரலாக்க(மேலும் பார்க்கவும் அதிகப்படுத்துதல் மற்றும் செயல்பாடுகளை குறைத்தல்).
பன்மடங்குகளில் வரையறுக்கப்பட்ட M. மற்றும் m.t செயல்பாடுகள் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன பொதுவாக மாறுபாடுகளின் கணக்கீடு,ஒரு M. மற்றும் m.t. செயல்பாட்டு இடைவெளிகளில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கு, அதாவது உள்ள செயல்பாடுகளுக்கு மாறுபாடுகளின் கணக்கீடு.மேலும் உள்ளன பல்வேறு முறைகள் m மற்றும் m.t இன் எண்ணியல் தோராயமான தீர்மானம்.
லிட்.: இலின் வி. ஏ., போஸ்னியா கே ஈ.ஜி., அடிப்படைகள் கணித பகுப்பாய்வு, 3வது பதிப்பு., பகுதி 1, எம்., 1971; KudryavtsevL. எல்.டி. குத்ரியாவ்ட்சேவ்.
கணித கலைக்களஞ்சியம். - எம்.: சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா.
I. M. வினோகிராடோவ்.
1977-1985. மற்ற அகராதிகளில் "அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்" என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்:
நேரம்-தனிப்பட்ட கட்டுப்பாட்டு செயல்முறைகளுக்கான போன்ட்ரியாஜின் தனித்தனி அதிகபட்ச கொள்கை. அத்தகைய செயல்முறைக்கு, வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு ஆபரேட்டர் வைத்திருக்காமல் இருக்கலாம், இருப்பினும் அதன் தொடர்ச்சியான அனலாக், வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு ஆபரேட்டரை வேறுபாட்டுடன் மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது... ... மற்ற அகராதிகளில் "அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்" என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்:
கணித கலைக்களஞ்சியம் மற்ற அகராதிகளில் "அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்" என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்:
பகுப்பாய்வு தொகுதியின் முக்கிய பண்புகளில் ஒன்றை வெளிப்படுத்தும் தேற்றம். செயல்பாடுகள். எஃப்(z) என்பது ஒரு நிலையான பகுப்பாய்வாக அல்லது ஹோலோமார்பிக், டி-காம்ப்ளக்ஸ் எண் இடத்தின் ஒரு டொமைனில் உள்ள சிக்கலான மாறிகளின் செயல்பாடாக இருக்கட்டும், M.m.p. மற்ற அகராதிகளில் "அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்" என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்:
உண்மையான மதிப்புகளை எடுக்கும் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும், அதன்படி, சிறிய மதிப்புகள். பரிசீலனையில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனில் உள்ள புள்ளி, அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் எடுக்கும், அழைக்கப்படுகிறது. முறையே, அதிகபட்ச புள்ளி அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளி ... ... ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம், ஒரு புள்ளியின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம்..., இது அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் (அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளைப் பார்க்கவும்). கால lE... மற்ற அகராதிகளில் "அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்" என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்:
காட்டி- (காட்டி) ஒரு காட்டி என்பது ஒரு தகவல் அமைப்பு, பொருள், சாதனம், எந்த அளவுருவில் மாற்றங்களைக் காண்பிக்கும் அந்நிய செலாவணி நாணய சந்தை விளக்கப்படம் குறிகாட்டிகள், அவை என்ன, அவை எங்கு பதிவிறக்கம் செய்யப்படலாம்? MACD குறிகாட்டிகளின் விளக்கம்,... ... முதலீட்டாளர் கலைக்களஞ்சியம்
இந்த வார்த்தைக்கு வேறு அர்த்தங்கள் உள்ளன, எக்ஸ்ட்ரீம் (அர்த்தங்கள்) பார்க்கவும். கணிதத்தில் எக்ஸ்ட்ரீம் (lat. Extreum Extreme) என்பது கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் உள்ள செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச மதிப்பாகும். உச்சநிலையை அடையும் புள்ளி... ... விக்கிபீடியா
வேறுபட்ட கால்குலஸ்கணிதப் பகுப்பாய்வின் ஒரு பிரிவு, இது வழித்தோன்றல் மற்றும் வேறுபாடு மற்றும் செயல்பாடுகளின் ஆய்வுக்கு அவை எவ்வாறு பொருந்தும் என்பதைப் படிக்கிறது. பொருளடக்கம் 1 ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளின் வேறுபட்ட கால்குலஸ் ... விக்கிபீடியா
லெம்னிஸ்கேட் மற்றும் அதன் கவனம் பெர்னோலியின் லெம்னிஸ்கேட் ஒரு விமான இயற்கணித வளைவு ஆகும். புள்ளிகளின் இருப்பிடமாக வரையறுக்கப்படுகிறது, தயாரிப்பு ... விக்கிபீடியா
வேறுபாடு- (வேறுபாடு) ஒரு குறிகாட்டியாக மாறுதல் MACD வேறுபாட்டுடன் கூடிய வர்த்தக உத்தி உள்ளடக்கங்கள் உள்ளடக்கங்கள் பிரிவு 1. இல். பிரிவு 2. எப்படி வேறுபாடு. மாறுபாடு என்பது பொருளியலில் பல்வேறுபட்ட இயக்கத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் சொல்... ... முதலீட்டாளர் கலைக்களஞ்சியம்
பல மாறிகளின் f(x) செயல்பாட்டிற்கு, புள்ளி x என்பது ஒரு திசையன், f'(x) என்பது f(x) செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல்களின் (கிரேடியன்ட்) திசையன் ஆகும், f ′ ′(x) என்பது இரண்டாவது சமச்சீர் அணி பகுதி வழித்தோன்றல்கள் (Hessian matrix - Hessian) செயல்பாடுகள் f(x).
பல மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு, உகந்த நிலைகள் பின்வருமாறு உருவாக்கப்படுகின்றன.
உள்ளூர் உகந்த நிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை. x * R n என்ற புள்ளியில் f(x) வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருக்கட்டும். x * என்பது உள்ளூர் உச்சநிலை புள்ளியாக இருந்தால், f’(x *) = 0.
முன்பு போலவே, சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வுகளாக இருக்கும் புள்ளிகள் நிலையானது என்று அழைக்கப்படுகின்றன. நிலையான புள்ளி x * இன் தன்மை ஹெஸ்ஸியன் மேட்ரிக்ஸின் திட்டவட்டமான அடையாளத்துடன் தொடர்புடையது f′ ′(x).
அணி A இன் அடையாளம் Q(α)= இருபடி வடிவத்தின் அறிகுறிகளைப் பொறுத்தது< α A, α >அனைத்து பூஜ்ஜியமற்ற α∈R n க்கும்.
இங்கே மற்றும் மேலும் வழியாக
பூஜ்ஜியம் அல்லாத அனைத்து α∈R nக்கும் Q(α)>0 (Q(α)≥0) எனில் ஒரு அணி A நேர்மறை (எதிர்மறை அல்லாதது) உறுதியானது; Q(α) எனில் எதிர்மறை (நேர்மறை அல்லாத) திட்டவட்டமான<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>சில பூஜ்ஜியமற்ற α∈R n மற்றும் Q(α)க்கு 0<0 для остальных ненулевых α∈R n .
உள்ளூர் உகந்த நிலைக்கு போதுமான நிபந்தனை. x * R n புள்ளியில் f(x) இருமடங்காக இருக்கட்டும், மற்றும் f'(x *)=0, அதாவது. x * - நிலையான புள்ளி. பின்னர், அணி f′′(x *) நேர்மறை (எதிர்மறை) திட்டவட்டமாக இருந்தால், x * என்பது உள்ளூர் குறைந்தபட்ச (அதிகபட்ச) புள்ளியாகும்; மேட்ரிக்ஸ் f′′(x *) வரையறுக்கப்படவில்லை என்றால், x * என்பது சேணம் புள்ளியாகும்.
மேட்ரிக்ஸ் f′′(x *) எதிர்மறையாக (நேர்மறை அல்லாதது) திட்டவட்டமாக இருந்தால், நிலையான புள்ளி x * இன் தன்மையைத் தீர்மானிக்க உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்களைப் படிக்க வேண்டும்.
மேட்ரிக்ஸின் அடையாளத்தை சரிபார்க்க, ஒரு விதியாக, சில்வெஸ்டர் அளவுகோல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த அளவுகோலின்படி, ஒரு சமச்சீர் அணி A ஆனது நேர்மறை திட்டவட்டமானது மற்றும் அதன் அனைத்து கோண சிறார்களும் நேர்மறையாக இருந்தால் மட்டுமே. இந்த வழக்கில், மேட்ரிக்ஸ் A இன் கோண மைனர் என்பது ஒரே (மற்றும் முதல்) எண்களைக் கொண்ட வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் குறுக்குவெட்டில் அமைந்துள்ள அணி A இன் உறுப்புகளிலிருந்து கட்டப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதாகும். சமச்சீர் அணி A-ஐ எதிர்மறை உறுதிப்பாட்டைச் சரிபார்க்க, நேர்மறைத் திட்டவட்டத்திற்கு அணி (−A) ஐச் சரிபார்க்க வேண்டும்.
எனவே, புள்ளிகளை தீர்மானிப்பதற்கான வழிமுறை உள்ளூர் உச்சநிலைகள்பல மாறிகளின் செயல்பாடு பின்வருமாறு.
1. f′(x)ஐக் கண்டறியவும்.
2. அமைப்பு தீர்க்கப்படுகிறது 
இதன் விளைவாக, நிலையான புள்ளிகள் x i கணக்கிடப்படுகிறது.
3. f′′(x) ஐக் கண்டுபிடி, i=1ஐ அமைக்கவும்.
4. f′′(x i) கண்டுபிடி
5. அணி f′′(x i) இன் கோண மைனர்கள் கணக்கிடப்படுகின்றன. அனைத்து கோண மைனர்களும் பூஜ்ஜியமாக இல்லை என்றால், நிலையான புள்ளி x i இன் தன்மையை தீர்மானிக்க உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்களைப் படிக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், படி 8 க்கு மாற்றம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.
இல்லையெனில், படி 6 க்குச் செல்லவும்.
6. கோண சிறார்களின் அறிகுறிகள் f′′(x i) பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகின்றன. f′′(x i) நேர்மறை திட்டவட்டமாக இருந்தால், x i என்பது உள்ளூர் குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும். இந்த வழக்கில், படி 8 க்கு மாற்றம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.
இல்லையெனில், படி 7 க்குச் செல்லவும்.
7. அணி -f′′(x i) கோண மைனர்கள் கணக்கிடப்பட்டு அவற்றின் அறிகுறிகள் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகின்றன.
-f′′(x i) - நேர்மறை திட்டவட்டமாக இருந்தால், f′′(x i) எதிர்மறை திட்டவட்டமானது மற்றும் x i என்பது உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளியாகும்.
இல்லையெனில் f′′(x i) வரையறுக்கப்படாதது மற்றும் x i என்பது சேணம் புள்ளியாகும்.
8. அனைத்து நிலையான புள்ளிகளின் தன்மையை தீர்மானிப்பதற்கான நிபந்தனை i=N சரிபார்க்கப்பட்டது.
அது நிறைவேறினால், கணக்கீடுகள் முடிக்கப்படும்.
நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், i=i+1 எனக் கருதப்பட்டு, படி 4க்கு மாற்றம் மேற்கொள்ளப்படும்.
எடுத்துக்காட்டு எண். 1. f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 செயல்பாட்டின் லோக்கல் எக்ஸ்ட்ரீமாவின் புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்கவும் 
அனைத்து கோண சிறார்களும் பூஜ்ஜியமாக இல்லாததால், x 2 இன் தன்மை f′′(x) ஐப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
மேட்ரிக்ஸ் f′′(x 2) நேர்மறை திட்டவட்டமாக இருப்பதால், x 2 என்பது உள்ளூர் குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்.
பதில்: செயல்பாடு f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 ஆனது x = (5/3; 8/3) என்ற புள்ளியில் உள்ளூர் குறைந்தபட்சத்தைக் கொண்டுள்ளது.
$E \subset \mathbb(R)^(n)$. $f$ உள்ளது என்கிறார்கள் உள்ளூர் அதிகபட்சம்$x_(0) = E$ என்ற புள்ளியில், $x_(0)$ என்ற புள்ளியின் அருகில் $U$ இருந்தால், $x \in U$ இல் சமத்துவமின்மை $f\இடது(x\வலது) ) \leqslant f திருப்தி அடைந்தது \இடது(x_(0)\வலது)$.
உள்ளூர் அதிகபட்சம் அழைக்கப்படுகிறது கண்டிப்பான , $x_(0)$ இலிருந்து வேறுபட்ட அனைத்து $x \in U$ க்கும் $f\இடது(x\வலது) இருக்கும் வகையில் $U$ஐத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.< f\left(x_{0}\right)$.
வரையறை
திறந்த தொகுப்பான $E \subset \mathbb(R)^(n)$ இல் $f$ ஒரு உண்மையான செயல்பாடாக இருக்கட்டும். $f$ உள்ளது என்கிறார்கள் உள்ளூர் குறைந்தபட்சம்$x_(0) = E$ என்ற புள்ளியில், $x_(0)$ என்ற புள்ளியின் அருகில் $U$ இருந்தால் $f\left(x\right) \geqslant f ஆனது அனைத்து $க்கும் இருக்கும் x \in U$ \இடது(x_(0)\வலது)$.
அக்கம் பக்கத்தில் $U$ தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் கண்டிப்பானது என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதனால் $x_(0)$ இலிருந்து வேறுபட்ட $x \in U$ இல் $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\வலது)$.
லோக்கல் எக்ஸ்ட்ரம் லோக்கல் மினிமம் மற்றும் லோக்கல் அதிகபட்சம் என்ற கருத்துகளை ஒருங்கிணைக்கிறது.
தேற்றம் (வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை)
திறந்த தொகுப்பான $E \subset \mathbb(R)^(n)$ இல் $f$ ஒரு உண்மையான செயல்பாடாக இருக்கட்டும். $x_(0) \in E$ என்ற புள்ளியில் $f$ சார்பு இந்த கட்டத்தில் உள்ளூர் உச்சநிலையைக் கொண்டிருந்தால், $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ பூஜ்ஜிய வேறுபாட்டிற்குச் சமமானது, அனைத்தும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் என்பதற்குச் சமம், அதாவது. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$
ஒரு பரிமாண வழக்கில் இது - . $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ ஐ குறிப்போம், இங்கு $h$ என்பது தன்னிச்சையான திசையன். $\phi$ செயல்பாடு $t$ இன் மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, அவை முழுமையான மதிப்பில் போதுமான அளவு குறைவாக இருக்கும். கூடுதலாக, இது , மற்றும் $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$ உடன் வேறுபடுகிறது.
$f$ புள்ளி x $0$ இல் உள்ளூர் அதிகபட்சமாக இருக்கட்டும். இதன் பொருள் $\phi$ இல் $t = 0$ இல் உள்ள செயல்பாடு உள்ளூர் அதிகபட்சம் மற்றும், ஃபெர்மாட்டின் தேற்றத்தின்படி, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
எனவே, எங்களுக்கு $df \left(x_(0)\right) = 0$ கிடைத்தது, அதாவது. $x_(0)$ புள்ளியில் $f$ செயல்பாடு எந்த திசையன் $h$ இல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.
வரையறை
வேறுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் புள்ளிகள், அதாவது. அனைத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமானவை நிலையானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. முக்கியமான புள்ளிகள்செயல்பாடுகள் $f$ என்பது $f$ வேறுபடுத்த முடியாத அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான புள்ளிகளாகும். புள்ளி நிலையானதாக இருந்தால், இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டுள்ளது என்பதை இதிலிருந்து பின்பற்ற முடியாது.
எடுத்துக்காட்டு 1.
$f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$ எனலாம். பிறகு $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, எனவே $\left(0,0\right)$ என்பது ஒரு நிலையான புள்ளி, ஆனால் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டிற்கு உச்சநிலை இல்லை. உண்மையில், $f \left(0,0\right) = 0$, ஆனால் $\left(0,0\right)$ என்ற புள்ளியின் எந்த சுற்றுப்புறத்திலும் செயல்பாடு நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுப்பதை எளிதாகக் காணலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 2.
செயல்பாடு $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ அதன் தோற்றத்தில் ஒரு நிலையான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் இந்த கட்டத்தில் எந்த உச்சநிலையும் இல்லை என்பது தெளிவாகிறது.
தேற்றம் (அதிகரிப்புக்கு போதுமான நிபந்தனை).
திறந்த தொகுப்பான $E \subset \mathbb(R)^(n)$ இல் $f$ செயல்பாட்டை இருமுறை தொடர்ந்து வேறுபடுத்தலாம். E$ இல் $x_(0) ஒரு நிலையான புள்ளியாகவும் $$\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ பிறகு
- $க் எதிர்மறை வரையறை;
- $Q_(x_(0))$ என்ற இருபடி வடிவம் வரையறுக்கப்படவில்லை எனில், $x_(0)$ புள்ளியில் $f$ செயல்பாட்டிற்கு உச்சநிலை இல்லை.
டெய்லரின் சூத்திரத்தின்படி விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவோம் (12.7 பக். 292). $x_(0)$ புள்ளியில் உள்ள முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, $$\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ வலது) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ எங்கே $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, மற்றும் $h \rightarrow 0$க்கு $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$, பிறகு வலது புறம் போதுமான அளவு சிறிய நீளம் கொண்ட எந்த திசையன் $h$க்கும் நேர்மறையாக இருக்கும்.
எனவே, $x_(0)$ என்ற புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ இருந்தால் மட்டுமே சமத்துவமின்மை உள்ளது என்ற முடிவுக்கு வந்துள்ளோம் x \neq x_ (0)$ ($x=x_(0)+h$\right என்று வைத்தோம்). இதன் பொருள் $x_(0)$ புள்ளியில் செயல்பாடு கண்டிப்பான உள்ளூர் குறைந்தபட்சத்தைக் கொண்டுள்ளது, இதனால் எங்கள் தேற்றத்தின் முதல் பகுதி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
இப்போது $Q_(x_(0))$ – என்று வைத்துக்கொள்வோம் காலவரையற்ற வடிவம். பின்னர் $h_(1)$, $h_(2)$ $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. பிறகு $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ போதுமான அளவு சிறிய $t>0$, வலது கை பக்கம் நேர்மறையானது. இதன் பொருள் $x_(0)$ என்ற புள்ளியின் எந்தப் பகுதியிலும் $f$ செயல்பாடு $f \left(x\right)$ $f \left(x_(0)\right)$ ஐ விட அதிகமான மதிப்புகளை எடுக்கும்.
இதேபோல், $x_(0)$ என்ற புள்ளியின் எந்தப் பகுதியிலும் $f$ செயல்பாடு $f \left(x_(0)\right)$ ஐ விட குறைவான மதிப்புகளை எடுக்கும். இது, முந்தையதுடன் சேர்ந்து, $x_(0)$ என்ற புள்ளியில் $f$ செயல்பாட்டிற்கு உச்சநிலை இல்லை.
கருத்தில் கொள்வோம் சிறப்பு வழக்கு$\left(x_(0),y_(0)\right)$ என்ற புள்ளியின் குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு மாறிகளின் $f \left(x,y\right)$ செயல்பாட்டிற்கான இந்த தேற்றம் மற்றும் தொடர்ச்சியான பகுதி இந்த அருகாமையில் முதல் மற்றும் இரண்டாவது ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்கள். $\left(x_(0),y_(0)\right)$ ஒரு நிலையான புள்ளி என்று வைத்து $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ பின்னர் முந்தைய தேற்றம் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்.
தேற்றம்
$\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. பிறகு:
- $\Delta>0$ எனில், $f$ செயல்பாட்டானது $\left(x_(0),y_(0)\right)$ என்ற புள்ளியில் லோக்கல் எக்ஸ்ட்ரம்மைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது $a_(11)> எனில் குறைந்தபட்சம் 0$ , மற்றும் அதிகபட்சம் என்றால் $a_(11)<0$;
- $\டெல்டா என்றால்<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்
பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:
- நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறிதல்;
- அனைத்து நிலையான புள்ளிகளிலும் 2வது வரிசை வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும்
- பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனையைப் பயன்படுத்தி, ஒவ்வொரு நிலையான புள்ளியிலும் 2 வது வரிசை வேறுபாட்டைக் கருதுகிறோம்
- எக்ஸ்ட்ரம் $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ க்கான செயல்பாட்டை ஆராயவும்.
தீர்வு1வது வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்: $$\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(\பகுதி f)(\பகுதி x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(\பகுதி f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ அமைப்பை உருவாக்கி தீர்ப்போம்: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ 2வது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் $x=4 \cdot y^(2)$ ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம் - அதை 1வது சமன்பாட்டில் மாற்றவும்: $$\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ இதன் விளைவாக, 2 நிலையான புள்ளிகள் பெறப்படுகின்றன:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
ஒரு உச்சநிலைக்கான போதுமான நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்:
$$\ displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) புள்ளிக்கு $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\ displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) புள்ளிக்கு $M_(2)$:
$$\ displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, அதாவது $M_(2)$ புள்ளியில் ஒரு தீவிரம் உள்ளது, மேலும் $A_(2)> 0$, இது குறைந்தபட்சம்.
பதில்: $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ என்பது $f$ செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும். - எக்ஸ்ட்ரம் $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$க்கான செயல்பாட்டை ஆராயவும்.
தீர்வுநிலையான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x - 2.$$
கணினியை உருவாக்கி தீர்ப்போம்: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ என்பது ஒரு நிலையான புள்ளி.
உச்சநிலைக்கான போதுமான நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்ப்போம்: $$\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
பதில்: உச்சநிலைகள் எதுவும் இல்லை.
கால வரம்பு: 0
வழிசெலுத்தல் (வேலை எண்கள் மட்டும்)
4 பணிகளில் 0 முடிந்தது
தகவல்
நீங்கள் இப்போது படித்த தலைப்பைப் பற்றிய உங்கள் அறிவை சோதிக்க இந்த வினாடி வினாவை மேற்கொள்ளுங்கள்: பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் லோக்கல் எக்ஸ்ட்ரீமா.
நீங்கள் ஏற்கனவே சோதனை எடுத்திருக்கிறீர்கள். நீங்கள் அதை மீண்டும் தொடங்க முடியாது.
சோதனை ஏற்றுகிறது...
சோதனையைத் தொடங்க நீங்கள் உள்நுழைய வேண்டும் அல்லது பதிவு செய்ய வேண்டும்.
இதைத் தொடங்க, நீங்கள் பின்வரும் சோதனைகளை முடிக்க வேண்டும்:
முடிவுகள்
சரியான பதில்கள்: 4 இல் 0
உங்கள் நேரம்:
நேரம் முடிந்துவிட்டது
நீங்கள் 0 இல் 0 புள்ளிகளைப் பெற்றுள்ளீர்கள் (0)
உங்கள் முடிவு லீடர்போர்டில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளது
- பதிலுடன்
- பார்க்கும் அடையாளத்துடன்
பணி 2 இல் 4
2 .
புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை: 1$f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ செயல்பாட்டிற்கு உச்சம் உள்ளதா
4 இல் பணி 1
1 .
புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை: 1எக்ஸ்ட்ரீமாவுக்கான $f$ செயல்பாட்டை ஆராயவும்: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
சரி
தவறு
வரையறை:புள்ளி x0 ஒரு செயல்பாட்டின் உள்ளூர் அதிகபட்ச (அல்லது குறைந்தபட்சம்) புள்ளி x0 இன் சில சுற்றுப்புறங்களில் செயல்பாடு மிகப்பெரிய (அல்லது சிறிய) மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டால், அதாவது. x0 புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறத்திலிருந்து அனைத்து x க்கும் f(x) f(x0) (அல்லது f(x) f(x0)) நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளது.
உள்ளூர் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் ஒரு பொதுவான பெயரால் ஒன்றிணைக்கப்படுகின்றன - ஒரு செயல்பாட்டின் உள்ளூர் உச்சத்தின் புள்ளிகள்.
உள்ளூர் தீவிர புள்ளிகளில், செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட உள்ளூர் பகுதியில் மட்டுமே அதன் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச மதிப்பை அடைகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. уmaxуmin மதிப்பின் படி வழக்குகள் இருக்கலாம்.
ஒரு செயல்பாட்டின் உள்ளூர் உச்சநிலை இருப்பதற்கான தேவையான அறிகுறி
தேற்றம் . ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு y = f(x) x0 புள்ளியில் ஒரு உள்ளூர் உச்சநிலையைக் கொண்டிருந்தால், இந்த கட்டத்தில் முதல் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் அல்லது இல்லை, அதாவது. ஒரு உள்ளூர் உச்சநிலை முதல் வகையான முக்கியமான புள்ளிகளில் ஏற்படுகிறது.
உள்ளூர் தீவிர புள்ளிகளில், தொடுவானம் 0x அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் அல்லது இரண்டு தொடுகோடுகள் உள்ளன (படத்தைப் பார்க்கவும்). முக்கியமான புள்ளிகள் ஒரு உள்ளூர் உச்சநிலைக்கு அவசியமான ஆனால் போதுமான நிபந்தனை அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஒரு லோக்கல் எக்ஸ்ட்ரம் முதல் வகையின் முக்கியமான புள்ளிகளில் மட்டுமே நிகழ்கிறது, ஆனால் எல்லா முக்கியமான புள்ளிகளிலும் உள்ளூர் உச்சநிலை ஏற்படாது.
எடுத்துக்காட்டாக: ஒரு கன பரவளையம் y = x3 ஒரு முக்கியமான புள்ளி x0 = 0, இதில் வழித்தோன்றல் y/(0)=0, ஆனால் முக்கியமான புள்ளி x0=0 ஒரு தீவிரப் புள்ளி அல்ல, ஆனால் அதில் ஒரு ஊடுருவல் புள்ளி (கீழே காண்க).
ஒரு செயல்பாட்டின் உள்ளூர் உச்சநிலை இருப்பதற்கான போதுமான அறிகுறி
தேற்றம் . என்றால், வாதம் கடந்து செல்லும் போது முக்கியமான புள்ளிநான் y/(x) இன் முதல் வழித்தோன்றலை இடமிருந்து வலமாக மாற்றுகிறேன்
குறியை “+” இலிருந்து “-” க்கு மாற்றுகிறது, பின்னர் இந்த முக்கியமான கட்டத்தில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு y(x) உள்ளூர் அதிகபட்சத்தைக் கொண்டுள்ளது;
அடையாளத்தை “-” இலிருந்து “+” க்கு மாற்றுகிறது, பின்னர் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு y(x) இந்த முக்கியமான கட்டத்தில் உள்ளூர் குறைந்தபட்சத்தைக் கொண்டுள்ளது
அடையாளத்தை மாற்றாது, இந்த முக்கியமான கட்டத்தில் உள்ளூர் உச்சநிலை இல்லை, இங்கே ஒரு ஊடுருவல் புள்ளி உள்ளது.
உள்ளூர் அதிகபட்சத்திற்கு, அதிகரிக்கும் செயல்பாடு (y/0) பகுதியானது செயல்பாடு குறையும் பகுதியால் (y/0) மாற்றப்படுகிறது. உள்ளூர் குறைந்தபட்சத்திற்கு, செயல்பாடு குறையும் பகுதி (y/0) அதிகரிக்கும் செயல்பாட்டின் (y/0) பகுதியால் மாற்றப்படுகிறது.
உதாரணம்: y = x3 + 9x2 + 15x - 9 ஐ மோனோடோனிசிட்டி, எக்ஸ்ட்ரம்மிற்கு ஆய்வு செய்து, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.
வழித்தோன்றலை (y/) வரையறுத்து, அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வதன் மூலம் முதல் வகையான முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்: y/ = 3x2 + 18x + 15 =3(x2 + 6x + 5) = 0
பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி இருபடி முக்கோணத்தைத் தீர்ப்போம்:
x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.
2) முக்கியமான புள்ளிகளைக் கொண்ட எண் கோட்டை 3 பகுதிகளாகப் பிரித்து அவற்றில் உள்ள வழித்தோன்றலின் (y/) அடையாளங்களைத் தீர்மானிப்போம். இந்த அறிகுறிகளைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாடுகளின் மோனோடோனிசிட்டி (அதிகரித்த மற்றும் குறைதல்) பகுதிகளைக் கண்டுபிடிப்போம், மேலும் அறிகுறிகளை மாற்றுவதன் மூலம் உள்ளூர் உச்சத்தின் (அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம்) புள்ளிகளைத் தீர்மானிப்போம்.
ஆராய்ச்சி முடிவுகளை அட்டவணை வடிவில் வழங்குகிறோம், அதில் இருந்து பின்வரும் முடிவுகளை எடுக்கலாம்:
- 1. இடைவெளியில் y /(-10) 0 செயல்பாடு ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது (இந்த இடைவெளியில் எடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாட்டுப் புள்ளி x = -10 ஐப் பயன்படுத்தி y வழித்தோன்றலின் அடையாளம் மதிப்பிடப்பட்டது);
- 2. இடைவெளியில் (-5 ; -1) y /(-2) 0 செயல்பாடு ஒரே மாதிரியாகக் குறைகிறது (இந்த இடைவெளியில் எடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாட்டு புள்ளி x = -2 ஐப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றல் y இன் அடையாளம் மதிப்பிடப்பட்டது);
- 3. y /(0) 0 இடைவெளியில், செயல்பாடு ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது (இந்த இடைவெளியில் எடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாட்டு புள்ளி x = 0 ஐப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றல் y இன் அடையாளம் மதிப்பிடப்பட்டது);
- 4. முக்கியமான புள்ளி x1k = -5 வழியாக செல்லும்போது, வழித்தோன்றல் அடையாளத்தை “+” இலிருந்து “-” ஆக மாற்றுகிறது, எனவே இந்த புள்ளி உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளியாகும்
- (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
- 5. முக்கியமான புள்ளி x2k = -1 வழியாக செல்லும்போது, வழித்தோன்றல் அடையாளத்தை “-” இலிருந்து “+” ஆக மாற்றுகிறது, எனவே இந்த புள்ளி உள்ளூர் குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்
- (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).
x -5 (-5 ; -1) -1
3) கட்டுப்பாட்டு புள்ளிகளில் செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் கூடுதல் கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி ஆய்வின் முடிவுகளின் அடிப்படையில் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:
ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு Oxy கட்டமைக்க;
அதிகபட்சம் (-5; 16) மற்றும் குறைந்தபட்சம் (-1;-16) புள்ளிகளை ஆயத்தொலைவு மூலம் காட்டுகிறோம்;
வரைபடத்தை தெளிவுபடுத்த, கட்டுப்பாட்டு புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம், அவற்றை அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளின் இடது மற்றும் வலதுபுறம் மற்றும் சராசரி இடைவெளிக்குள் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;
y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) மற்றும் (0;-9) - ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்க நாம் திட்டமிடும் கணக்கிடப்பட்ட கட்டுப்பாட்டு புள்ளிகள்;
வரைபடத்தை அதிகபட்ச புள்ளியில் மேல்நோக்கி ஒரு வளைவு குவிந்த வடிவில் காட்டுகிறோம் மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளியில் கீழ்நோக்கி குவிந்து கணக்கிடப்பட்ட கட்டுப்பாட்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறோம்.
>> எக்ஸ்ட்ரீமா
செயல்பாட்டின் உச்சம்
தீவிரத்தின் வரையறை
செயல்பாடு y = f(x) அழைக்கப்படுகிறது அதிகரித்து வருகிறது (குறைகிறது x 1 என்றால் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில்< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).
ஒரு இடைவெளியில் y = f (x) வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு அதிகரித்தால் (குறைகிறது), இந்த இடைவெளியில் அதன் வழித்தோன்றல் f " (x)> 0
(f"(x)< 0).
புள்ளி x ஓ அழைக்கப்பட்டது உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளி (குறைந்தபட்சம்) செயல்பாடு f (x) புள்ளியின் அருகில் இருந்தால் x o, சமத்துவமின்மை f (x) உண்மையாக இருக்கும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும்≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).
அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன தீவிர புள்ளிகள், மற்றும் இந்த புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அதன் உச்சநிலை.
தீவிர புள்ளிகள்
முன்நிபந்தனைகள்உச்சநிலை . புள்ளி என்றால் x ஓ f (x) செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி, பின்னர் f " (x o ) = 0, அல்லது f(x o ) இல்லை. அத்தகைய புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன விமர்சன,மேலும் செயல்பாடே முக்கியமான கட்டத்தில் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரம் அதன் முக்கியமான புள்ளிகளில் தேடப்பட வேண்டும்.
முதல் போதுமான நிபந்தனை. விடுங்கள் x ஓ - முக்கியமான புள்ளி. எஃப்" என்றால் (x) ஒரு புள்ளியைக் கடக்கும்போது x ஓ கூட்டல் குறியை மைனஸாக மாற்றுகிறது, பின்னர் புள்ளியில் x oசெயல்பாடு அதிகபட்சம், இல்லையெனில் அது குறைந்தபட்சம். முக்கியமான புள்ளியைக் கடக்கும்போது, வழித்தோன்றல் அடையாளத்தை மாற்றவில்லை என்றால், புள்ளியில் x ஓ தீவிரம் இல்லை.
இரண்டாவது போதுமான நிபந்தனை.
f(x) சார்பு இருக்கட்டும்
f" (x ) புள்ளியின் அருகில் x
ஓ
மற்றும் புள்ளியிலேயே இரண்டாவது வழித்தோன்றல் x o. எஃப்" என்றால்(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o f (x) செயல்பாட்டின் உள்ளூர் குறைந்தபட்ச (அதிகபட்ச) புள்ளியாகும். =0 எனில், நீங்கள் முதல் போதுமான நிபந்தனையைப் பயன்படுத்த வேண்டும் அல்லது உயர்ந்தவற்றைச் சேர்க்க வேண்டும்.
ஒரு பிரிவில், y = f (x) செயல்பாடு அதன் குறைந்தபட்ச அல்லது அதிகபட்ச மதிப்பை முக்கியமான புள்ளிகளில் அல்லது பிரிவின் முனைகளில் அடையலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 3.22.
தீர்வு.ஏனெனில் f " (
ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்கள்
எடுத்துக்காட்டு 3.23. அ
தீர்வு. xமற்றும் ஒய் ஒய்
0
≤ x≤
> 0, மற்றும் எப்போது x >a /4 எஸ் " < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
செயல்பாடுகள் கேவி.
அலகுகள்).
எடுத்துக்காட்டு 3.24.ப ≈
தீர்வு.ப ப
எஸ்"
R = 2, H = 16/4 = 4.
எடுத்துக்காட்டு 3.22.f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு.ஏனெனில் f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), பின்னர் செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகள் x 1 = 2 மற்றும் x 2 = 3. எக்ஸ்ட்ரீமா இந்த புள்ளிகளில் மட்டுமே இருக்க முடியும். x 1 = 2 என்ற புள்ளியைக் கடக்கும்போது வழித்தோன்றல் குறியை கூட்டலில் இருந்து கழித்தலுக்கு மாற்றும் என்பதால், இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகபட்சமாக இருக்கும். x 2 = 3 புள்ளியைக் கடக்கும்போது, வழித்தோன்றல் அதன் அடையாளத்தை மைனஸிலிருந்து கூட்டலுக்கு மாற்றுகிறது, எனவே x 2 = 3 புள்ளியில் செயல்பாடு குறைந்தபட்சத்தைக் கொண்டுள்ளது. புள்ளிகளில் செயல்பாட்டு மதிப்புகளை கணக்கிட்டு
x 1 = 2 மற்றும் x 2 = 3, செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை நாம் காண்கிறோம்: அதிகபட்ச f (2) = 14 மற்றும் குறைந்தபட்ச f (3) = 13.
எடுத்துக்காட்டு 3.23.கல் சுவருக்கு அருகில் ஒரு செவ்வகப் பகுதியைக் கட்டுவது அவசியம், அதனால் அது மூன்று பக்கங்களிலும் கம்பி வலையால் வேலி அமைக்கப்பட்டு, நான்காவது பக்கம் சுவரை ஒட்டி இருக்கும். இதற்காக உள்ளது அகண்ணி நேரியல் மீட்டர். எந்த விகிதத்தில் தளம் மிகப்பெரிய பரப்பளவைக் கொண்டிருக்கும்?
தீர்வு.மேடையின் பக்கங்களை இதன் மூலம் குறிப்போம் xமற்றும் ஒய். தளத்தின் பரப்பளவு S = xy. விடுங்கள் ஒய்- இது சுவருக்கு அருகில் உள்ள பக்கத்தின் நீளம். பின்னர், நிபந்தனையின்படி, சமத்துவம் 2x + y = a பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும். எனவே y = a - 2x மற்றும் S = x (a - 2x), எங்கே
0
≤ x≤ a /2 (பகுதியின் நீளம் மற்றும் அகலம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது). S " = a - 4x, a - 4x = 0 at x = a/4, எங்கிருந்து
y = a - 2 × a/4 =a/2. ஏனெனில் x = a /4 மட்டுமே முக்கியமான புள்ளியாகும்; x a /4 S மணிக்கு"> 0, மற்றும் எப்போது x >a /4 எஸ் " < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
செயல்பாடுகள் S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (கேவி.
அலகுகள்).
S தொடர்ச்சியாக ஆன் ஆக இருப்பதாலும், S(0) மற்றும் S(a/2) முனைகளில் அதன் மதிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருப்பதாலும், காணப்படும் மதிப்பு மிக உயர்ந்த மதிப்புசெயல்பாடுகள். எனவே, சிக்கலின் கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ் தளத்தின் மிகவும் சாதகமான விகிதம் y = 2x ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 3.24.V=16 திறன் கொண்ட ஒரு மூடிய உருளை தொட்டியை உற்பத்தி செய்ய வேண்டும்ப ≈ 50 மீ 3 தொட்டியின் பரிமாணங்கள் என்னவாக இருக்க வேண்டும் (ஆரம் R மற்றும் உயரம் H) அதன் உற்பத்திக்கு குறைந்த அளவு பொருள் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்?
தீர்வு.சதுரம் முழு மேற்பரப்புசிலிண்டர் S = 2 க்கு சமம்ப R(R+H). சிலிண்டரின் அளவு V = நமக்குத் தெரியும் p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. எனவே எஸ்(ஆர்) = 2ப (R 2 +16/R). இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:
எஸ்"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). எஸ்" (R) = 0 இல் R 3 = 8, எனவே,
R = 2, H = 16/4 = 4.