இந்த விஷயத்தில் ஒரு பகுதியைப் பிரிப்பது எடுத்துக்காட்டுகள். இந்த உறவில் ஒரு பிரிவின் பிரிவு

ஒரு குறிப்பிட்ட விகிதத்தில் ஒரு பகுதியைப் பிரிப்பதற்கான நிபந்தனைகள் இருக்கும்போது, ​​பிரிப்பானாக செயல்படும் புள்ளியின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்க முடியும். ஒரு விமானத்தில் சிக்கலை முன்வைப்பதன் மூலம் இந்த ஆயங்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்.

ஆரம்ப தரவு: ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட ஆயத்தொகுப்புகளான A (x A, y A) மற்றும் B (x B, y B) ஆகியவற்றுடன் இணைக்கப்படாத இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. மேலும் ஒரு புள்ளி C கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, λ (சில நேர்மறை உண்மையான எண்) தொடர்பாக A B பிரிவைப் பிரிக்கிறது. புள்ளி C: x C மற்றும் y C இன் ஆயங்களை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

சிக்கலைத் தீர்க்கத் தொடங்கும் முன், கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையின் பொருளைக் கொஞ்சம் வெளிப்படுத்துவோம்: “பியிண்ட் சி λ தொடர்பாக A B பிரிவைப் பிரிக்கிறது”. முதலாவதாக, இந்த வெளிப்பாடு C புள்ளி A B பிரிவில் உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது (அதாவது புள்ளிகள் A மற்றும் B இடையே). இரண்டாவதாக, கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையின்படி, A C மற்றும் C B பிரிவுகளின் நீளங்களின் விகிதம் λ க்கு சமம் என்பது தெளிவாகிறது. அந்த. சமத்துவம் உண்மை:

இந்த வழக்கில், புள்ளி A என்பது பிரிவின் ஆரம்பம், புள்ளி B என்பது பிரிவின் முடிவு. கொடுக்கப்பட்ட விகிதத்தில் C பிரிவு BA A ஐப் பிரிக்கிறது என்று கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்: .

சரி, முற்றிலும் வெளிப்படையான உண்மை என்னவென்றால், λ = 1 எனில், புள்ளி C என்பது A B பிரிவின் நடுப்புள்ளியாகும்.

திசையன்களைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்போம். ஒரு குறிப்பிட்ட செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் A B மற்றும் புள்ளி C ஆகியவற்றை தன்னிச்சையாகக் காட்டுவோம், அதே போல் A C → மற்றும் C B → திசையன்களையும் உருவாக்குவோம். சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, புள்ளி C ஆனது λ தொடர்பாக A B பிரிவை பிரிக்கிறது.

புள்ளியின் ஆரம் வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளுக்குச் சமம், பின்னர் சமத்துவங்கள் உண்மை: O A → = (x A, y A) மற்றும் O B → = (x B, y B).

வெக்டரின் ஆயங்களைத் தீர்மானிப்போம்: அவை புள்ளி C இன் ஆயத்தொலைவுகளுக்கு சமமாக இருக்கும், அவை சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப கண்டறியப்பட வேண்டும்.

திசையன் கூட்டல் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, நாம் சமத்துவங்களை எழுதுகிறோம்: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →

சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, புள்ளி C ஆனது λ தொடர்பாக A B பிரிவை பிரிக்கிறது, அதாவது. சமத்துவம் A C = λ · C B என்பது உண்மை.

திசையன்கள் A C → மற்றும் C B → ஒரே நேர்கோட்டில் அமைந்து இணை திசையில் இருக்கும். சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி λ > 0, பின்னர், ஒரு திசையனை எண்ணால் பெருக்கும் செயல்பாட்டின் படி, நாம் பெறுகிறோம்: A C → = λ · C B → .

வெளிப்பாட்டை மாற்றுவதன் மூலம் அதை மாற்றுவோம்: C B → = O B → - O C → .

A C → = λ · (O B → - O C →) .

O C → = O A → + A C → என்ற சமத்துவத்தை O C → = O A → + λ · (O B → - O C →) என மீண்டும் எழுதுகிறோம்.

திசையன்களின் செயல்பாடுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, கடைசி சமத்துவத்திலிருந்து இது பின்வருமாறு: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .

இப்போது நாம் O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளை நேரடியாகக் கணக்கிட வேண்டும்.

O A → மற்றும் O B → ஆகிய திசையன்களில் தேவையான செயல்களைச் செய்வோம்.

O A → = (x A , y A) மற்றும் O B → = (x B , y B), பின்னர் O A → + λ · O B → = (x A + λ · x B, y A + λ · y B).

எனவே, O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ) .

சுருக்கமாக: கொடுக்கப்பட்ட விகிதத்தில் A B பிரிவைப் பிரிக்கும் புள்ளி C இன் ஆயங்கள் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன: x C = x A + λ · x B 1 + λ மற்றும் y C = y A + λ · y B 1 + λ .

விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்ட விகிதத்தில் ஒரு பகுதியைப் பிரிக்கும் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களைத் தீர்மானித்தல்

ஆரம்ப தரவு: செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y z, கொடுக்கப்பட்ட ஆயத்தொகுதிகள் கொண்ட புள்ளிகள் A (x A, y A, z A) மற்றும் B (x B, y B, z B).

புள்ளி C ஆனது A B பிரிவை λ உடன் பிரிக்கிறது. புள்ளி C இன் ஆயங்களை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

விமானத்தில் மேலே உள்ள அதே காரணத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் சமத்துவத்தை அடைகிறோம்:

O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)

திசையன்கள் மற்றும் புள்ளிகள் A மற்றும் B இன் ஆரம் திசையன்கள், அதாவது:

O A → = (x A , y A , z A) மற்றும் O B → = (x B , y B , z B) , எனவே

O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ, z A + λ · z B 1 + λ)

இவ்வாறு, புள்ளி C, A B பிரிவை ஒரு குறிப்பிட்ட விகிதத்தில் λ இல் பிரித்து, ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது: (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ, z A + λ · z B 1 + λ)

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி கோட்பாட்டைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

ஆரம்ப தரவு: புள்ளி C ஆனது A B பிரிவை ஐந்து முதல் மூன்று என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. புள்ளிகள் A மற்றும் B இன் ஆயத்தொலைவுகள் A (11, 1, 0), B (- 9, 2, - 4) மூலம் வழங்கப்படுகின்றன.

தீர்வு

பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின்படி, λ = 5 3. மேலே உள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் பெறுவோம்:

x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2

y A + λ · y B 1 + λ = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8

z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2

பதில்: சி (- 3 2, 13 8, - 5 2)

எடுத்துக்காட்டு 2

ஆரம்ப தரவு: A B C முக்கோணத்தின் ஈர்ப்பு மையத்தின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

அதன் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: A (2, 3, 1), B (4, 1, - 2), C (- 5, - 4, 8)

தீர்வு

எந்தவொரு முக்கோணத்தின் ஈர்ப்பு மையம் அதன் இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும் என்பது அறியப்படுகிறது (இது புள்ளி M ஆக இருக்கட்டும்). ஒவ்வொரு இடைநிலையும் 2 முதல் 1 என்ற விகிதத்தில் புள்ளி M ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, உச்சியில் இருந்து கணக்கிடப்படுகிறது. இதன் அடிப்படையில், எழுப்பப்பட்ட கேள்விக்கான பதிலைக் கண்டுபிடிப்போம்.

A D என்பது முக்கோணத்தின் இடைநிலை A B C. புள்ளி M என்பது இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளி, M (x M, y M, z M) ஆயங்களைக் கொண்டது மற்றும் முக்கோணத்தின் ஈர்ப்பு மையம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். M, இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக, பிரிவு A D ஐ 2 முதல் 1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது, அதாவது. λ = 2.

புள்ளி D இன் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம். A D என்பது இடைநிலை என்பதால், புள்ளி D என்பது B C பிரிவின் நடுப்பகுதியாகும். பின்னர், பிரிவின் நடுவில் உள்ள ஆயங்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3

புள்ளி M இன் ஆயங்களை கணக்கிடுவோம்:

x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3

y M = y A + λ · y D 1 + λ = 3 + 2 · (- 3 2) 1 + 2 = 0

z M = z A + λ · z D 1 + λ = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3

பதில்: (1 3, 0, 7 3)

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

ஒரு இயக்கப்பட்ட பிரிவு AB கொடுக்கப்படட்டும்; அதுதான் விஷயம் என்கிறார்கள்

இந்த வரியின் M ஆனது AB பிரிவை X க்கு சமமான விகிதத்தில் பிரிக்கிறது, இதில் தன்னிச்சையான உண்மையான எண் இருந்தால்

புள்ளி M ஆனது A மற்றும் B புள்ளிகளுக்கு இடையில் இருக்கும் போது (அதாவது பிரிவின் உள்ளே

AB), பின்னர் AM மற்றும் MB ஆகிய திசையன்கள் ஒரே திசையில் இயக்கப்படுகின்றன (படம் 2) மற்றும் விகிதம் (1) நேர்மறை.

புள்ளி M பிரிவுக்கு வெளியே இருக்கும் போது

AB, பின்னர் திசையன்கள் AM மற்றும் MB ஆகியவை எதிர் திசைகளில் இயக்கப்படுகின்றன (படம் 3) மற்றும் விகிதம் (1) எதிர்மறையானது.

புள்ளி M முழு வரியிலும் இயங்கும்போது உறவு (1) எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம். புள்ளி M புள்ளி A உடன் இணைந்தால், விகிதம் (1) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்; புள்ளி M ஆனது AB பிரிவின் வழியாக A இலிருந்து B திசையில் இயங்கினால், விகிதம் (1) தொடர்ந்து அதிகரித்து, M புள்ளி B ஐ நெருங்கும்போது தன்னிச்சையாக பெரிதாகிறது. எப்போது , பின்னம் (1) அதன் பொருளை இழக்கிறது, ஏனெனில் அதன் வகுப்பான் பூஜ்ஜிய திசையனாக மாறும். அதே திசையில் (படம் 3, a இல் B க்கு வலதுபுறம்) ஒரு நேர் கோட்டுடன் புள்ளியை மேலும் நகர்த்தினால், உறவு (1) எதிர்மறையாகிறது, மேலும் Z ஆனது B க்கு போதுமான அளவு நெருக்கமாக இருந்தால், இந்த விகிதம் தன்னிச்சையாக உள்ளது பெரிய முழுமையான மதிப்பு.

, பின்னர் (§ 4 இன் முன்மொழிவு 8 இன் அடிப்படையில்) எங்களிடம் உள்ளது

புள்ளி M, எல்லா நேரத்திலும் ஒரே திசையில் நகரும் போது (எங்கள் படம். 3 இல், a இடமிருந்து வலமாக), நேராக முடிவிலிக்குச் செல்லும், பின்னர் பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்கிறது (அதன் எண் நிலையானது, மற்றும் வகுத்தல் வரம்பற்றதாக அதிகரிக்கிறது) , எனவே , விகிதம் , - -1 ஆக இருக்கும்.

இப்போது M இரண்டு அரைக் கோடுகளின் "இடது" க்கு செல்லலாம், அதில் A கோடு பிரிக்கிறது (அதாவது, AB பிரிவைக் கொண்டிருக்காத அரை வரியில்). இந்த விஷயத்தில் புள்ளி A புள்ளியில் இருந்து M போதுமானதாக இருந்தால், மீண்டும், தன்னிச்சையாக சிறியதாக இருக்கும், எனவே, சூத்திரத்தில், விகிதம் -1 இலிருந்து தன்னிச்சையாக சிறிது வேறுபடுகிறது. புள்ளி M இடதுபுறத்தில் இருந்து புள்ளி A ஐ நெருங்கும்போது (படம் 3, b), விகிதம் (I), எதிர்மறையாக இருக்கும் போது, ​​தொடர்ந்து முழுமையான மதிப்பில் குறைந்து, புள்ளி M புள்ளி A க்கு திரும்பும் போது இறுதியாக பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாகிறது.

வரியில் எந்த புள்ளியிலும் M நிலை -1 க்கு சமமான விகிதம் இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். உண்மையில், புள்ளி M ஆனது AB பிரிவிற்கு வெளியே இருக்கும் போது மட்டுமே விகிதம் எதிர்மறையாக இருக்கும். ஆனால் இந்த விஷயத்தில், AM மற்றும் MB பிரிவுகள் சமமாக இருக்காது, அதாவது.

இப்போது ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை நேர்கோட்டில் நிறுவி, இந்த அமைப்பின் தோற்றம் O ஆக இருக்கட்டும். புள்ளி A மூலம் B ஆல் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பையும், மாறி புள்ளி M by யையும் குறிப்போம். பிறகு

M 1, M 2, M 3 புள்ளிகள் ஒரே கோட்டில் அமைந்திருக்கட்டும். λ(λ≠-1) தொடர்பாக M 1 M 2 என்ற பகுதியைப் பிரிப்பதாக அவர்கள் கூறுகிறார்கள்.
M 1 மற்றும் M 2 புள்ளிகளின் ஆயத்தொகுதிகள் சில ஆய அமைப்புகளுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கட்டும்: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), பின்னர் ஒரே ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன் தொடர்புடைய புள்ளி M(x, y, z ) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகின்றன:
புள்ளி M ஆனது M 1 M 2 பிரிவின் நடுவில் இருந்தால் , அதாவது, λ=1 மற்றும் சூத்திரங்கள் (*) வடிவத்தை எடுக்கும்:

(**)

தீர்க்க, பின்வரும் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தவும்:

1. புள்ளிகள் இரண்டு ஆயங்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன: A(x 1,y 1), B(x 2,y 2).
2. புள்ளிகள் மூன்று ஆயங்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன: A(x 1,y 1,z 1), B(x 2,y 2,z 2).

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. ஒரு முக்கோணம் அதன் முனைகளான A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3) ஆயத்தொகுப்புகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது. D(x, y, z) இன் ஆயங்களைக் கண்டறியவும் - அதன் இடைநிலைகளின் வெட்டுப் புள்ளிகள்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2. பிரிவு AB புள்ளி C(4,1) விகிதத்தில் λ=1/4, புள்ளி A இலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது. A என்றால் B(8,5) இன் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு. சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (*), நாங்கள் பெறுகிறோம்:
, எங்கிருந்து x=3, y=0 ஐக் காண்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3. பிரிவு AB மூன்று சம பாகங்களாக C(3, -1) மற்றும் D(1,4) புள்ளிகளால் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. பிரிவின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு. A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) ஐக் குறிப்போம். புள்ளி C என்பது AD பிரிவின் நடுப்பகுதி, எனவே, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (**) நாம் காண்கிறோம்: எங்கிருந்து x 1 = 5, y 1 = -6. புள்ளி B இன் ஆயத்தொலைவுகள் இதேபோல் காணப்படுகின்றன: x 2 = -1, y 2 = 9.

ஒரு குறிப்பிட்ட விகிதத்தில் கொடுக்கப்பட்ட பிரிவு AB ஐப் பிரிக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி C இன் ஆயக் கணக்கீடு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படலாம்:

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ),

இதில் (xA; yA) மற்றும் (xB; yB) ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட பிரிவு AB இன் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளாகும்; எண் λ = AC/CB - பிரிவு AB ஆனது புள்ளி C ஆல் வகுக்கப்படும் விகிதம், இதில் ஆயத்தொலைவுகள் உள்ளன (xC; yC).

AB பிரிவானது C புள்ளியால் பாதியாகப் பிரிக்கப்பட்டால், எண் λ = 1 மற்றும் xC மற்றும் yCக்கான சூத்திரங்கள் படிவத்தைப் பெறுகின்றன:

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.

சிக்கல்களில் λ என்பது பிரிவுகளின் நீளங்களின் விகிதம் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், எனவே இந்த விகிதத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள எண்கள் கொடுக்கப்பட்ட அளவீட்டு அலகுகளில் உள்ள பிரிவுகளின் நீளம் அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, AC = 12 செ.மீ., CB = 16 செ.மீ.: λ = AC/CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.

1. ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவின் நடுப்பகுதியின் ஆயங்களைத் தேடுங்கள் கொடுக்கப்பட்ட ஆயத்தொலைவுகள்அதன் முனைகள்

எடுத்துக்காட்டு 1.

A(-2; 3) மற்றும் B(6; -9) புள்ளிகள் AB பிரிவின் முனைகளாகும். AB பிரிவின் நடுப்புள்ளியான C புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

சிக்கல் அறிக்கை xA = -2 என்று கூறுகிறது; xB = 6; yA = 3 மற்றும் yB = -9. நாம் C(xC; yC) கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

xC = (-2 + 6)/2 = 2, yC = (3 + (-9))/2 = -3.

எனவே, AB பிரிவின் நடுவில் இருக்கும் புள்ளி C, ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது (-2; 3) (வரைபடம். 1).
2. ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவின் முடிவின் ஆயக் கணக்கீடு, அதன் நடுத்தர மற்றும் பிற முனையின் ஆயங்களை அறிந்து

எடுத்துக்காட்டு 2.

AB பிரிவின் ஒரு முனை புள்ளி A, ஆயத்தொகுதிகளுடன் (-3; -5), அதன் நடுப்புள்ளி புள்ளி C(3; -2). பிரிவின் இரண்டாவது முனையின் ஆயங்களைக் கணக்கிடுங்கள் - புள்ளி B.

தீர்வு.

சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, xA = -3 என்பது தெளிவாகிறது; yA = -5; xC = 3 மற்றும் yC = -2.

இந்த மதிப்புகளை xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 சூத்திரங்களில் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

3 = (-3 + xB)/2 மற்றும்

2 = (-5 + uV)/2.

xBக்கான முதல் சமன்பாட்டையும், yBக்கான இரண்டாவது சமன்பாட்டையும் தீர்த்த பிறகு, நாம் காண்கிறோம்: xB = 9 மற்றும் yB = 1, அது மாறிவிடும் விரும்பிய புள்ளி B ஆனது ஆயத்தொகுப்புகளால் வழங்கப்படும் (9; 1) (படம் 2).

3. ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளின் கொடுக்கப்பட்ட ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து அதன் முனைகளின் ஆயக் கணக்கீடு

எடுத்துக்காட்டு 3.

ABC முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் புள்ளிகள் D(1; 3), E(-1; -2) மற்றும் F(4; -1). இந்த முக்கோணத்தின் செங்குத்து A, B மற்றும் C ஆகியவற்றின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

புள்ளி D என்பது AB பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியாகவும், E என்பது BCயின் நடுப்புள்ளியாகவும், மற்றும் F என்பது AC பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியாகவும் இருக்கட்டும். (படம் 3). நீங்கள் A, B மற்றும் C புள்ளிகளைக் கண்டறிய வேண்டும்.

முக்கோணத்தின் செங்குத்துகளை A(xA; yA), B(xB; yB) மற்றும் C(xC; yC) மற்றும் xC = (xA + xB) சூத்திரங்களின்படி D, E மற்றும் F புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளை அறிவோம். )/2, yC = (yA + уВ)/2 நாம் பெறுகிறோம்:

(1 = (xA + xB)/2,
(-1 = (xB + xC)/2,
(4 = (xA + xC)/2,

(3 = (уА + уВ)/2,
(-2 = (уВ + уС)/2,
(-1 = (yA + yC)/2.

சமன்பாடுகளை அவற்றின் முழு வடிவத்திற்கும் குறைப்போம்:

(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,

(уА + уВ = 6,
(уВ + уС = -4,
(yA + yC = -2.

அமைப்புகளைத் தீர்த்த பிறகு, நாங்கள் பெறுகிறோம்:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; уВ = 2; уС = -6.

A(6; 4), B(-4; 2) மற்றும் C(2; -6) ஆகிய புள்ளிகள் முக்கோணத்தின் தேவையான முனைகளாகும்.

4. இந்த பிரிவின் முனைகளின் கொடுக்கப்பட்ட ஆயங்களின்படி, ஒரு குறிப்பிட்ட விகிதத்தில் ஒரு பகுதியைப் பிரிக்கும் புள்ளிகளின் ஆயக் கணக்கீடு

எடுத்துக்காட்டு 4.

பிரிவு AB ஆனது புள்ளி C ஆல் 3:5 என்ற விகிதத்தில் வகுக்கப்படுகிறது (புள்ளி A முதல் புள்ளி B வரை கணக்கிடப்படுகிறது). AB பிரிவின் முனைகள் A(2; 3) மற்றும் B(10; 11) புள்ளிகளாகும். புள்ளி சியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

சிக்கல் அறிக்கை xA = 2 என்று கூறுகிறது; xB = 10; yA = 3; уВ = 11; λ = ஏசி/எஸ்வி = 3/5. C(xC; yC) கண்டுபிடி (படம் 4).

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 மற்றும் yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. இவ்வாறு, நாம் C( 5; 6)

சரிபார்ப்போம்: AC = 3√2, NE = 5√2, λ = AC/SV = 3√2/5√2 = 3/5.

கருத்து.

பிரிவின் பிரிவு A புள்ளி B வரை கொடுக்கப்பட்ட விகிதத்தில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது என்பதை சிக்கலின் நிபந்தனைகள் குறிப்பிடுகின்றன. இது குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால், பிரச்சனைக்கு இரண்டு தீர்வுகள் இருக்கும். இரண்டாவது தீர்வு: புள்ளி B இலிருந்து புள்ளி A க்கு பிரிவைப் பிரித்தல்.

உதாரணம் 5.

தீர்வு.

ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவு AB 2: 3: 5 விகிதத்தில் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது (புள்ளி A முதல் புள்ளி B வரை கணக்கிடப்படுகிறது), அதன் முனைகள் A (-11; 1) மற்றும் B (9; 11) ஆயத்தொலைவுகளுடன் புள்ளிகளாகும். இந்த பிரிவின் பிரிவு புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்.
A முதல் B வரையிலான பிரிவின் பிரிவு புள்ளிகளை C மற்றும் D மூலம் குறிப்போம். பிரச்சனை அறிக்கை கூறுகிறது

xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. AC: CD: DB = 2: 3: 5 எனில், C(xC; yC) மற்றும் D(xD; yD) ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

புள்ளி C ஆனது AB பிரிவை λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 மற்றும் yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.

இவ்வாறு, சி (-7; 3).

புள்ளி D என்பது AB பிரிவின் நடுப்புள்ளி. xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2 சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் கண்டுபிடிப்போம்:

xD = (-11 + 9)/2 = -1, yD = (1 + 11)/2 = 6. இதன் பொருள் D ஆனது ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது (-1; 6).

5. இந்த பிரிவின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் இந்த பிரிவு பிரிக்கப்பட்ட பகுதிகளின் எண்ணிக்கை கொடுக்கப்பட்டால், பிரிவை பிரிக்கும் புள்ளிகளின் ஆயத்தொகுப்புகளின் கணக்கீடு

எடுத்துக்காட்டு 6.

தீர்வு.

பிரிவின் முனைகள் புள்ளிகள் A(-8; -5) மற்றும் B(10; 4). இந்த பிரிவை மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்கும் புள்ளிகள் C மற்றும் D ஐக் கண்டறியவும். சிக்கலின் நிலைமைகளிலிருந்து xA = -8 என்று அறியப்படுகிறது; xB = 10; yA = -5; yB = 4 மற்றும் n = 3. C(xC; yC) மற்றும் D(xD; yD)

(படம் 5).

புள்ளி C ஐக் கண்டுபிடிப்போம். இது AB பிரிவை λ = 1/2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. புள்ளி A இலிருந்து புள்ளி B வரை பிரிக்கிறோம். xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எங்களிடம் உள்ளது:

xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 மற்றும் yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. இவ்வாறு, சி (-2; -2).

xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:

xD = (-2 + 10)/2 = 4, yD = (-2 + 4)/2 = 1. இவ்வாறு, D(4; 1).

பிரிவு புள்ளிகள் C(-2; -2) மற்றும் D(4; 1).

குறிப்பு: AB பிரிவை 2: 1 என்ற விகிதத்தில் பிரிப்பதன் மூலம் புள்ளி D ஐக் கண்டறியலாம். இந்த நிலையில், xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA) சூத்திரங்களை மீண்டும் பயன்படுத்த வேண்டியிருக்கும். + λyB) / (1 + λ).

எடுத்துக்காட்டு 7.

A(5; -6) மற்றும் B(-5; 9) புள்ளிகள் பிரிவின் முனைகளாகும். கொடுக்கப்பட்ட பகுதியை ஐந்து சம பாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

A முதல் B வரையிலான பிரிவுப் புள்ளிகள் C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) மற்றும் F(xF; yF) ஆக இருக்கட்டும். சிக்கலின் நிலைமைகள் xA = 5 என்று கூறுகின்றன; xB = -5; yA = -6; уВ = 9 மற்றும் n = 5.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி C புள்ளியைக் காண்கிறோம். இது AB பிரிவை λ = 1/4 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது:

xC = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 மற்றும் yC = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3, நாங்கள் C ஆயத்தொகுதிகள் (3; -3) இருப்பதைப் பெறுங்கள்.

பிரிவு AB ஐ புள்ளி D மூலம் பிரிப்பது 2: 3 விகிதத்தில் செய்யப்படுகிறது (அதாவது λ = 2/3), எனவே:

xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 மற்றும் yD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0, எனவே D (10)

புள்ளி E ஐக் கண்டுபிடிப்போம். இது AB பிரிவை λ = 2/3 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது:

XE = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 மற்றும் yE = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. இவ்வாறு எனவே, E(-1; 3).

புள்ளி F ஆனது AB பிரிவை λ = 4/1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது, எனவே:

XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 மற்றும் yF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).

பிரிவு புள்ளிகள் சி (-2; -2); டி(4; 1); E(-1; 3) மற்றும் F(-3; 6).

இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா? பிரிவு பிரிவு பிரச்சனையை எப்படி தீர்ப்பது என்று தெரியவில்லையா?
ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற, பதிவு செய்யவும்.
முதல் பாடம் இலவசம்!

இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​அசல் மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

M(x;y) புள்ளி M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2), மற்றும் விகிதம் λ = M 1 M/MM 2 ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் கோட்டில் இருந்தால் கொடுக்கப்பட்டது, இதில் M பிரிவு M 1 M 2 ஐப் பிரிக்கிறது, பின்னர் புள்ளி M இன் ஒருங்கிணைப்புகள்

சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)

M புள்ளி M 1 M 2 பிரிவின் நடுப்புள்ளியாக இருந்தால், அதன் ஆயங்கள் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

x = (x 1 + x 2)/2, y = (y 1 + y 2)/2

86. ஒரே மாதிரியான தடியின் A(3; -5) மற்றும் 6(-1; 1) முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அதன் ஈர்ப்பு மையத்தின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்கவும்.

87. ஒரே மாதிரியான கம்பியின் ஈர்ப்பு மையம் M(1; 4) புள்ளியில் உள்ளது, அதன் முனைகளில் ஒன்று P (-2; 2) புள்ளியில் உள்ளது. இந்த தடியின் மறுமுனையின் Q புள்ளியின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்கவும்

88. A(1; -3), 6(3; -5) மற்றும் C(-5; 7) என்ற முக்கோணத்தின் செங்குத்துகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அதன் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்கவும்.

89. A(3; - 1) மற்றும் B(2; 1) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. வரையறு:

1) புள்ளி M இன் ஆயத்தொலைவுகள், புள்ளி B உடன் தொடர்புடைய புள்ளி Aக்கு சமச்சீர்;

2) புள்ளி N இன் ஆயத்தொலைவுகள், புள்ளி A உடன் ஒப்பிடும்போது B புள்ளிக்கு சமச்சீர்.

90. புள்ளிகள் M(2; -1), N(-1; 4) மற்றும் P(-2; 2) ஆகியவை முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளாகும். அதன் முனைகளை தீர்மானிக்கவும்.

91. A(3; -5), B(5; -3), C(- 1; 3) என்ற இணையான வரைபடத்தின் மூன்று முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. B க்கு எதிரே உள்ள நான்காவது முனை D ஐத் தீர்மானிக்கவும்.

92. A(-3; 5), B(1; 7) மற்றும் அதன் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளி M(1; 1) ஆகியவற்றின் இணையான வரைபடத்தின் இரண்டு அடுத்தடுத்த செங்குத்துகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. மற்ற இரண்டு முனைகளை அடையாளம் காணவும்.

93. ABCDயின் இணையான வரைபடத்தின் A(2; 3), 6(4; -1) மற்றும் C(0; 5) ஆகிய மூன்று முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அதன் நான்காவது முனை D ஐக் கண்டறியவும்.

94. A(1; 4), B(3; -9), C(-5; 2) முக்கோணத்தின் உச்சிகளைக் கொடுத்தால். B உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட அதன் இடைநிலையின் நீளத்தை தீர்மானிக்கவும்.

95. புள்ளிகள் A (1;-3) மற்றும் B (4; 3) ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பிரிவு மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. பிரிவு புள்ளிகளின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்கவும்.

96. A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7) முக்கோணத்தின் உச்சிகளைக் கொடுத்தால். அதன் பைசெக்டரின் பக்க ஏசியுடன் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும் உள் மூலையில்உச்சியில் B.

97. A(3; -5), B(-3; 3) மற்றும் C(-1; -2) முக்கோணத்தின் முனைகளைக் கொடுத்தால். உச்சியில் A இல் அதன் உள் கோணத்தின் இரு பிரிவின் நீளத்தை தீர்மானிக்கவும்.

98. A(- 1; -1), B(3; 5), C(-4; 1) முக்கோணத்தின் உச்சிகளைக் கொடுத்தால். குறுக்குவெட்டு புள்ளியை அதன் இருசமயத்தின் BC பக்கத்தின் தொடர்ச்சியுடன் கண்டறியவும் வெளிப்புற மூலையில் A இன் உச்சியில்

99. A(3; -5), B(1; - 3), C(2; -2) முக்கோணத்தின் உச்சிகளைக் கொடுத்தால். உச்சியில் B இல் அதன் வெளிப்புற கோணத்தின் இரு பிரிவின் நீளத்தை தீர்மானிக்கவும்.

100. A(1; -1), B(3; 3) மற்றும் C(4; 5) ஆகிய மூன்று புள்ளிகள் ஒரே கோட்டில் அமைந்திருக்கும். அவை ஒவ்வொன்றும் மற்ற இரண்டால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பிரிவை பிரிக்கும் விகிதத்தை λ தீர்மானிக்கவும்.

101. பிரிவின் முனைகள் A மற்றும் B இன் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்கவும், இது புள்ளிகள் P (2; 2) மற்றும் Q (1; 5) மூலம் மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.

102. நேர்கோடு M 1 (-12; -13) மற்றும் M 2 (- 2; -5) புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது. இந்த வரியில் abscissa 3 என்ற புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

103. நேர்கோடு M(2; -3) மற்றும் N(-6; 5) புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது. இந்த வரியில், ஆர்டினேட் -5 என்ற புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

104. ஒரு நேர்கோடு A(7; -3) மற்றும் B(23;. -6) புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது. அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் இந்தக் கோட்டின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

105. ஒரு நேர்கோடு A(5; 2) மற்றும் B(-4; -7) புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது. ஆர்டினேட் அச்சுடன் இந்த கோட்டின் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

106. ஒரு நாற்கரத்தின் செங்குத்து A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) மற்றும் D(5; 8). அதன் மூலைவிட்ட ஏசி மூலைவிட்ட BD ஐப் பிரிக்கும் விகிதத்தைத் தீர்மானிக்கவும்.

107. ஒரு நாற்கரத்தின் செங்குத்து A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) மற்றும் D(6; 10). அதன் மூலைவிட்டங்களான AC மற்றும் BD ஆகியவற்றின் வெட்டுப் புள்ளியைத் தீர்மானிக்கவும்.

108. ஒரே மாதிரியான முக்கோணத் தகடு A(x 1 ; y 1), B(x 2 ; y 2) மற்றும் C(x 3 ; y 3) ஆகியவற்றின் செங்குத்துகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அதன் ஈர்ப்பு மையத்தின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்கவும்,

குறிப்பு. ஈர்ப்பு மையம் இடைநிலைகள் வெட்டும் இடத்தில் உள்ளது.

109. முக்கோணத்தின் இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டின் புள்ளி M, abscissa அச்சில் உள்ளது, அதன் இரண்டு முனைகள் புள்ளிகள் A(2; -3) மற்றும் B(-5; 1), மூன்றாவது உச்சி C ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட அச்சில் உள்ளது . எம் மற்றும் சி புள்ளிகளின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்கவும்.

110. ஒரே மாதிரியான முக்கோணத் தகடு A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) மற்றும் C(x 3; y 3) ஆகியவற்றின் செங்குத்துகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. நீங்கள் அதன் பக்கங்களின் நடுப்பகுதிகளை இணைத்தால், ஒரு புதிய ஒரே மாதிரியான முக்கோண தட்டு உருவாகிறது. இரண்டு தட்டுகளின் ஈர்ப்பு மையங்களும் ஒத்துப்போகின்றன என்பதை நிரூபிக்கவும்.

குறிப்பு. சிக்கல் 108 இன் முடிவைப் பயன்படுத்தவும்.

111. ஒரே மாதிரியான தகடு 12 க்கு சமமான பக்கத்துடன் ஒரு சதுர வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இதில் ஒரு சதுர வெட்டு செய்யப்படுகிறது, வெட்டப்பட்ட நேர் கோடுகள் சதுரத்தின் மையத்தின் வழியாக செல்கின்றன, அச்சுகள்

ஆயத்தொலைவுகள் தட்டின் விளிம்புகளில் இயக்கப்படுகின்றன (படம் 4). இந்த தட்டின் ஈர்ப்பு மையத்தை தீர்மானிக்கவும்.

112. ஒரே மாதிரியான தட்டு ஒரு செவ்வக வடிவத்தை a மற்றும் b க்கு சமமான பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது, இதில் ஒரு செவ்வக கட்அவுட் செய்யப்படுகிறது; வெட்டுக் கோடுகள் மையத்தின் வழியாக செல்கின்றன, ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் தட்டின் விளிம்புகளில் இயக்கப்படுகின்றன (படம் 5). இந்த தட்டின் ஈர்ப்பு மையத்தை தீர்மானிக்கவும்.

113. ஒரே மாதிரியான தட்டு ஒரு சதுர வடிவத்தை 2a க்கு சமமான பக்கத்துடன் கொண்டுள்ளது, அதில் இருந்து ஒரு முக்கோணம் வெட்டப்படுகிறது; வெட்டுக் கோடு இரண்டு அருகிலுள்ள பக்கங்களின் நடுப்பகுதிகளை இணைக்கிறது, ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் தட்டின் விளிம்புகளில் இயக்கப்படுகின்றன (படம் 6). தட்டின் ஈர்ப்பு மையத்தை தீர்மானிக்கவும்.

114. பின்வரும் புள்ளிகளில் A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) மற்றும் C(x 3; y 3) நிறை m, n மற்றும் p ஆகியவை குவிந்துள்ளன. மூன்று வெகுஜனங்களின் இந்த அமைப்பின் ஈர்ப்பு மையத்தின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்கவும்.

115. புள்ளிகள் A (4; 2), B (7; -2) மற்றும் C (1; 6) ஆகியவை சீரான கம்பியால் செய்யப்பட்ட முக்கோணத்தின் முனைகளாகும். இந்த முக்கோணத்தின் ஈர்ப்பு மையத்தை தீர்மானிக்கவும்.