செயல்பாடுகளை அதிகரித்தல் மற்றும் குறைத்தல், தீவிரம். செயல்பாடுகளை அதிகரிப்பதற்கும் குறைப்பதற்கும் போதுமான அறிகுறிகள்

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு, குறைதல் மற்றும் தீவிரம்

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு, குறைவு மற்றும் தீவிரத்தின் இடைவெளிகளைக் கண்டறிவது ஒரு சுயாதீனமான பணி மற்றும் பிற பணிகளின் இன்றியமையாத பகுதியாகும், குறிப்பாக, முழு செயல்பாட்டு ஆய்வு. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு, குறைவு மற்றும் தீவிரம் பற்றிய ஆரம்ப தகவல்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன வழித்தோன்றல் பற்றிய தத்துவார்த்த அத்தியாயம், பூர்வாங்க ஆய்வுக்கு நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன் (அல்லது மீண்டும்)- பின்வரும் பொருள் மிகவும் அடிப்படையாக கொண்டது என்ற காரணத்திற்காகவும் அடிப்படையில் வழித்தோன்றல்,இந்த கட்டுரையின் இணக்கமான தொடர்ச்சி. இருப்பினும், நேரம் குறைவாக இருந்தால், இன்றைய பாடத்திலிருந்து எடுத்துக்காட்டுகளின் முற்றிலும் முறையான நடைமுறையும் சாத்தியமாகும்.

இன்று காற்றில் அரிய ஒருமைப்பாட்டின் ஆவி உள்ளது, மேலும் அனைவரும் ஆசையில் எரிவதை என்னால் நேரடியாக உணர முடிகிறது. ஒரு செயல்பாட்டை அதன் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி ஆராய கற்றுக்கொள்ளுங்கள். எனவே, நியாயமான, நல்ல, நித்திய சொற்கள் உடனடியாக உங்கள் மானிட்டர் திரைகளில் தோன்றும்.

எதற்கு? காரணங்களில் ஒன்று மிகவும் நடைமுறைக்குரியது: ஒரு குறிப்பிட்ட பணியில் பொதுவாக உங்களுக்கு என்ன தேவை என்பது தெளிவாகிறது!

செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி. ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் மற்றும் தீவிரம்

சில செயல்பாடுகளை கருத்தில் கொள்வோம். எளிமையாகச் சொன்னால், அவள் என்று வைத்துக்கொள்வோம் தொடர்ச்சியானமுழு எண் வரிசையில்:

ஒரு வேளை, சாத்தியமான மாயைகளை உடனடியாக அகற்றுவோம், குறிப்பாக சமீபத்தில் அறிமுகமான வாசகர்களுக்கு செயல்பாட்டின் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகள். இப்போது நாம் ஆர்வம் இல்லை, செயல்பாட்டின் வரைபடம் அச்சுடன் எவ்வாறு அமைந்துள்ளது (மேலே, கீழே, அச்சு வெட்டும் இடத்தில்). உறுதியானதாக இருக்க, அச்சுகளை மனதளவில் அழித்துவிட்டு ஒரு வரைபடத்தை விட்டு விடுங்கள். ஏனென்றால் அதில்தான் ஆர்வம் இருக்கிறது.

செயல்பாடு அதிகரிக்கிறதுஒரு இடைவெளியில், இந்த இடைவெளியில் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகள் உறவால் இணைக்கப்பட்டிருந்தால், சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருக்கும். அதாவது, வாதத்தின் பெரிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் பெரிய மதிப்புடன் ஒத்துள்ளது, மேலும் அதன் வரைபடம் "கீழிருந்து மேல்" செல்கிறது. ஆர்ப்பாட்ட செயல்பாடு இடைவெளியில் வளரும்.

அதேபோல், செயல்பாடு குறைகிறதுஒரு இடைவெளியில், கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருக்கும். அதாவது, வாதத்தின் பெரிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்புடன் ஒத்துள்ளது, மேலும் அதன் வரைபடம் "மேலிருந்து கீழாக" செல்கிறது. இடைவெளியில் நமது செயல்பாடு குறைகிறது .

ஒரு செயல்பாடு ஒரு இடைவெளியில் அதிகரித்தால் அல்லது குறைந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது கண்டிப்பாக சலிப்பானஇந்த இடைவெளியில். ஏகத்துவம் என்றால் என்ன? அதை உண்மையில் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் - ஏகபோகம்.

நீங்களும் வரையறுக்கலாம் குறையாதசெயல்பாடு (முதல் வரையறையில் தளர்வான நிலை) மற்றும் அதிகரிக்காததுசெயல்பாடு (2வது வரையறையில் மென்மையாக்கப்பட்ட நிலை). ஒரு இடைவெளியில் குறையாத அல்லது அதிகரிக்காத செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் மோனோடோனிக் செயல்பாடு எனப்படும். (கடுமையான ஏகபோகம் - சிறப்பு வழக்கு"வெறும்" ஏகபோகம்).

அரை-இடைவெளிகள், பிரிவுகள் உட்பட, செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு/குறைவைத் தீர்மானிப்பதற்கான பிற அணுகுமுறைகளையும் கோட்பாடு கருதுகிறது, ஆனால் உங்கள் தலையில் எண்ணெய்-எண்ணெய்-எண்ணெய் ஊற்றக்கூடாது என்பதற்காக, திட்டவட்டமான வரையறைகளுடன் திறந்த இடைவெளியில் செயல்பட ஒப்புக்கொள்வோம். - இது தெளிவானது மற்றும் பல நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு போதுமானது.

இவ்வாறு, எனது கட்டுரைகளில் "ஒரு செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி" என்ற வார்த்தை எப்போதும் மறைக்கப்படும் இடைவெளிகள்கடுமையான ஏகபோகம்(கண்டிப்பாக அதிகரிக்கும் அல்லது கண்டிப்பாக குறைத்தல் செயல்பாடு).

ஒரு புள்ளியின் அக்கம். மாணவர்கள் தங்களால் முடிந்த இடமெல்லாம் ஓடிப்போய் மூலைகளில் திகிலுடன் ஒளிந்து கொள்ளும் வார்த்தைகள். ...இருந்தாலும் Cauchy வரம்புகள்அவர்கள் ஒருவேளை இனி மறைக்கவில்லை, ஆனால் சற்று நடுங்குகிறார்கள் =) கவலைப்பட வேண்டாம், இப்போது தேற்றங்களுக்கு எந்த ஆதாரமும் இருக்காது கணித பகுப்பாய்வு- வரையறைகளை இன்னும் கண்டிப்பாக உருவாக்க எனக்கு சுற்றுப்புறம் தேவைப்பட்டது தீவிர புள்ளிகள். நினைவில் கொள்வோம்:

ஒரு புள்ளியின் அக்கம்கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு இடைவெளி அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் வசதிக்காக இடைவெளி பெரும்பாலும் சமச்சீர் என்று கருதப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு புள்ளி மற்றும் அதன் நிலையான சுற்றுப்புறம்:

உண்மையில், வரையறைகள்:

புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது கடுமையான அதிகபட்ச புள்ளி, என்றால் உள்ளதுஅவள் அக்கம், அனைவருக்கும்இதன் மதிப்புகள், புள்ளியைத் தவிர, சமத்துவமின்மை . எங்கள் குறிப்பிட்ட உதாரணம்இதுதான் புள்ளி.

புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது கண்டிப்பான குறைந்தபட்ச புள்ளி, என்றால் உள்ளதுஅவள் அக்கம், அனைவருக்கும்இதன் மதிப்புகள், புள்ளியைத் தவிர, சமத்துவமின்மை . வரைபடத்தில் "a" புள்ளி உள்ளது.

குறிப்பு : அண்டை சமச்சீர் தேவை அவசியமில்லை. கூடுதலாக, இது முக்கியமானது இருப்பின் உண்மைகுறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் அக்கம் (சிறிய அல்லது நுண்ணிய).

புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன கண்டிப்பாக தீவிர புள்ளிகள்அல்லது வெறும் தீவிர புள்ளிகள்செயல்பாடுகள். அதாவது, இது அதிகபட்ச புள்ளிகள் மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளுக்கான பொதுவான சொல்.

"தீவிரம்" என்ற வார்த்தையை நாம் எவ்வாறு புரிந்துகொள்வது? ஆம், ஏகபோகம் போலவே நேரடியாகவும். ரோலர் கோஸ்டர்களின் தீவிர புள்ளிகள்.

மோனோடோனிசிட்டியைப் போலவே, தளர்வான போஸ்டுலேட்டுகள் உள்ளன மற்றும் கோட்பாட்டில் இன்னும் பொதுவானவை (நிச்சயமாக, கண்டிப்பான வழக்குகள் கீழ் வரும்!):

புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது அதிகபட்ச புள்ளி, என்றால் உள்ளதுஅதன் சுற்றுப்புறம் அப்படி அனைவருக்கும்
புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச புள்ளி, என்றால் உள்ளதுஅதன் சுற்றுப்புறம் அப்படி அனைவருக்கும்இந்த சுற்றுப்புறத்தின் மதிப்புகள், சமத்துவமின்மை உள்ளது.

கடைசி இரண்டு வரையறைகளின்படி, நிலையான செயல்பாட்டின் எந்தப் புள்ளியும் (அல்லது " தட்டையான பகுதி»எந்தச் செயல்பாட்டின்) என்பது அதிகபட்ச புள்ளியாகவும் குறைந்தபட்ச புள்ளியாகவும் கருதப்படுகிறது! செயல்பாடு, மூலம், அல்லாத அதிகரிப்பு மற்றும் குறையாத, அதாவது, மோனோடோனிக். எவ்வாறாயினும், இந்த பரிசீலனைகளை நாங்கள் கோட்பாட்டாளர்களிடம் விட்டுவிடுவோம், ஏனெனில் நடைமுறையில் நாங்கள் எப்போதும் பாரம்பரிய "மலைகள்" மற்றும் "ஹோலோஸ்" (வரைபடத்தைப் பார்க்கவும்) ஒரு தனித்துவமான "மலையின் ராஜா" அல்லது "சதுப்பு நிலத்தின் இளவரசி" ஆகியவற்றைப் பற்றி சிந்திக்கிறோம். ஒரு வகையாக, இது நிகழ்கிறது முனை, மேலே அல்லது கீழ் நோக்கி இயக்கப்பட்டது, எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சம்.

ஓ, மற்றும் ராயல்டி பற்றி பேசுவது:
- பொருள் அழைக்கப்படுகிறது அதிகபட்சம்செயல்பாடுகள்;
- பொருள் அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்சம்செயல்பாடுகள்.

பொதுவான பெயர் - உச்சநிலைசெயல்பாடுகள்.

தயவுசெய்து உங்கள் வார்த்தைகளில் கவனமாக இருங்கள்!

தீவிர புள்ளிகள்- இவை "X" மதிப்புகள்.
உச்சநிலைகள்- "விளையாட்டு" அர்த்தங்கள்.

! குறிப்பு : சில நேரங்களில் பட்டியலிடப்பட்ட சொற்கள் "X-Y" புள்ளிகளைக் குறிக்கும், அவை நேரடியாக செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் இருக்கும்.

ஒரு செயல்பாட்டிற்கு எத்தனை தீவிரம் இருக்கும்?

எதுவுமில்லை, 1, 2, 3, ... போன்றவை. விளம்பரம் முடிவிலி. எடுத்துக்காட்டாக, சைன் எண்ணற்ற மினிமா மற்றும் மாக்சிமாவைக் கொண்டுள்ளது.

முக்கியமானது!"அதிகபட்ச செயல்பாடு" என்ற சொல் ஒத்ததாக இல்லை"ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மதிப்பு" என்ற சொல். உள்ளூர் சுற்றுப்புறத்தில் மட்டுமே மதிப்பு அதிகபட்சமாக இருப்பதைக் கவனிப்பது எளிது, மேலும் மேல் இடதுபுறத்தில் "குளிர்ச்சியான தோழர்கள்" உள்ளனர். அதேபோல், "ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு" என்பது "ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு" போன்றது அல்ல, மேலும் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியில் மட்டுமே மதிப்பு குறைந்தபட்சமாக இருப்பதை வரைபடத்தில் காண்கிறோம். இது சம்பந்தமாக, தீவிர புள்ளிகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன உள்ளூர் தீவிர புள்ளிகள், மற்றும் தீவிரம் - உள்ளூர் உச்சநிலைகள் . அவர்கள் நடந்து, அருகில் அலைந்து திரிகிறார்கள் உலகளாவியசகோதரர்கள். எனவே, எந்த பரவளையமும் அதன் உச்சியில் உள்ளது உலகளாவிய குறைந்தபட்சம்அல்லது உலகளாவிய அதிகபட்சம். மேலும், நான் உச்சநிலை வகைகளை வேறுபடுத்திப் பார்க்க மாட்டேன், மேலும் பொதுவான கல்வி நோக்கங்களுக்காக விளக்கம் அதிகமாகக் குரல் கொடுக்கப்படுகிறது - கூடுதல் உரிச்சொற்கள் "உள்ளூர்" / "உலகளாவிய" உங்களை ஆச்சரியத்தில் ஆழ்த்தக்கூடாது.

கோட்பாட்டிற்குள் நமது குறுகிய பயணத்தை ஒரு சோதனை ஷாட் மூலம் சுருக்கமாகக் கூறுவோம்: "செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி இடைவெளிகள் மற்றும் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறிதல்" என்ற பணி எதைக் குறிக்கிறது?

வார்த்தைகள் கண்டுபிடிக்க உங்களை ஊக்குவிக்கிறது:

- அதிகரிக்கும் / குறையும் செயல்பாட்டின் இடைவெளிகள் (குறையாத, அதிகரிக்காதது மிகவும் குறைவாகவே தோன்றும்);

- அதிகபட்ச மற்றும்/அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் (ஏதேனும் இருந்தால்). சரி, தோல்வியைத் தவிர்க்க, குறைந்தபட்சம்/அதிகபட்சங்களைக் கண்டுபிடிப்பது நல்லது ;-)

இதையெல்லாம் எப்படி தீர்மானிப்பது?வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துதல்!

அதிகரிப்பு, குறைதல் ஆகியவற்றின் இடைவெளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது,
செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் மற்றும் தீவிரம்?

பல விதிகள், உண்மையில், ஏற்கனவே அறியப்பட்டு புரிந்து கொள்ளப்பட்டுள்ளன வழித்தோன்றலின் பொருள் பற்றிய பாடம்.

தொடுநிலை வழித்தோன்றல் செயல்பாடு முழுவதும் அதிகரித்து வருகிறது என்ற மகிழ்ச்சியான செய்தியைக் கொண்டுவருகிறது வரையறையின் களம்.

கோட்டான்ஜென்ட் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலுடன் நிலைமை முற்றிலும் நேர்மாறானது.

இடைவெளியில் ஆர்க்சைன் அதிகரிக்கிறது - இங்கே வழித்தோன்றல் நேர்மறையானது: .
செயல்பாடு வரையறுக்கப்படும் போது, ​​ஆனால் வேறுபடுத்த முடியாது. இருப்பினும், முக்கியமான கட்டத்தில் வலது கை வழித்தோன்றல் மற்றும் வலது கை தொடுகோடு உள்ளது, மற்றொரு விளிம்பில் அவர்களின் இடது கை சகாக்கள் உள்ளன.

ஆர்க் கொசைன் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலுக்கு இதே போன்ற காரணங்களைச் செயல்படுத்துவது உங்களுக்கு மிகவும் கடினமாக இருக்காது என்று நினைக்கிறேன்.

மேலே உள்ள அனைத்து வழக்குகளும், அவற்றில் பல அட்டவணை வழித்தோன்றல்கள், நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன், நேரடியாகப் பின்தொடரவும் வழித்தோன்றல் வரையறைகள்.

ஒரு செயல்பாட்டை அதன் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி ஏன் ஆராய வேண்டும்?

இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் எப்படி இருக்கும் என்பதை நன்கு புரிந்து கொள்ள: எங்கே அது "கீழே மேலே" செல்கிறது, எங்கே "மேலே கீழ்", எங்கே அது குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சத்தை அடைகிறது (அது அனைத்தையும் அடைந்தால்). அனைத்து செயல்பாடுகளும் மிகவும் எளிமையானவை அல்ல - பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பற்றி எங்களுக்கு எதுவும் தெரியாது.

மேலும் அர்த்தமுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளுக்குச் சென்று கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது ஒரு செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி மற்றும் எக்ஸ்ட்ரீமாவின் இடைவெளிகளைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

எடுத்துக்காட்டு 1

செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு/குறைவு மற்றும் தீவிரத்தின் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும்

தீர்வு:

1) முதல் படி கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஒரு செயல்பாட்டின் களம், மற்றும் பிரேக் பாயின்ட்களைக் கவனத்தில் கொள்ளவும் (அவை இருந்தால்). இந்த வழக்கில், செயல்பாடு முழு எண் வரிசையில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், மேலும் இந்த நடவடிக்கை ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிற்கு முறையானது. ஆனால் பல சந்தர்ப்பங்களில், தீவிர உணர்ச்சிகள் இங்கே எரிகின்றன, எனவே பத்தியை அலட்சியமாக நடத்துவோம்.

2) அல்காரிதம் இரண்டாவது புள்ளி காரணமாக உள்ளது

ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை:

ஒரு புள்ளியில் உச்சநிலை இருந்தால், மதிப்பு இருக்காது.

முடிவில் குழப்பமா? "மாடுலஸ் x" செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம் .

நிபந்தனை அவசியம், ஆனால் போதாது, மற்றும் உரையாடல் எப்போதும் உண்மையாக இருக்காது. எனவே, செயல்பாடு அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளியை அடைகிறது என்பது சமத்துவத்திலிருந்து இன்னும் பின்பற்றப்படவில்லை. ஒரு உன்னதமான உதாரணம் ஏற்கனவே மேலே முன்னிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது - இது ஒரு கன பரவளையம் மற்றும் அதன் முக்கியமான புள்ளி.

ஆனால் அது எப்படியிருந்தாலும், ஒரு தீவிரத்திற்கு தேவையான நிபந்தனை சந்தேகத்திற்கிடமான புள்ளிகளைக் கண்டறிய வேண்டிய அவசியத்தை ஆணையிடுகிறது. இதைச் செய்ய, வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடித்து சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்:

முதல் கட்டுரையின் தொடக்கத்தில் செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் பற்றிஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு பரவளையத்தை எவ்வாறு விரைவாக உருவாக்குவது என்று நான் உங்களுக்குச் சொன்னேன் : “...நாம் முதல் வழித்தோன்றலை எடுத்து பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்: ...எனவே, எங்கள் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு: - இந்த கட்டத்தில்தான் பரவளையத்தின் உச்சி அமைந்துள்ளது...”. இப்போது, ​​நான் நினைக்கிறேன், பரவளையத்தின் உச்சி இந்த புள்ளியில் ஏன் அமைந்துள்ளது என்பதை அனைவரும் புரிந்துகொள்கிறார்கள் =) பொதுவாக, நாம் இங்கே இதே போன்ற உதாரணத்துடன் தொடங்க வேண்டும், ஆனால் இது மிகவும் எளிமையானது (டம்மிகளுக்கு கூட). கூடுதலாக, பாடத்தின் முடிவில் ஒரு அனலாக் உள்ளது ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். எனவே, பட்டத்தை அதிகரிப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 2

செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி மற்றும் எக்ஸ்ட்ரீமாவின் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும்

என்பதற்கு இது ஒரு உதாரணம் சுதந்திரமான முடிவு. முழுமையான தீர்வுமற்றும் பாடத்தின் முடிவில் பணியின் தோராயமான இறுதி மாதிரி.

பகுதியளவு-பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளுடன் சந்திப்பதற்கான நீண்டகாலமாக எதிர்பார்க்கப்பட்ட தருணம் வந்துவிட்டது:

எடுத்துக்காட்டு 3

முதல் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள்

ஒரே பணியை எவ்வாறு மாற்றியமைக்க முடியும் என்பதில் கவனம் செலுத்துங்கள்.

தீர்வு:

1) செயல்பாடு புள்ளிகளில் எல்லையற்ற இடைநிறுத்தங்களை சந்திக்கிறது.

2) முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டறிகிறோம். முதல் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடித்து அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்:

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம். ஒரு பகுதியின் எண் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது அது பூஜ்ஜியமாகும்:

எனவே, நாம் மூன்று முக்கியமான புள்ளிகளைப் பெறுகிறோம்:

3) கண்டறியப்பட்ட அனைத்து புள்ளிகளையும் எண் வரிசையில் அமைக்கிறோம் இடைவெளி முறைடெரிவேட்டிவ் அறிகுறிகளை நாங்கள் வரையறுக்கிறோம்:

இடைவெளியில் சில புள்ளிகளை எடுத்து, அதில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும் என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் மற்றும் அதன் அடையாளத்தை தீர்மானிக்கவும். கணக்கிடாமல் இருப்பது மிகவும் லாபகரமானது, ஆனால் வாய்மொழியாக "மதிப்பீடு" செய்வது. எடுத்துக்காட்டாக, இடைவெளியைச் சேர்ந்த ஒரு புள்ளியை எடுத்து, மாற்றீட்டைச் செய்வோம்: .

இரண்டு "பிளஸ்கள்" மற்றும் ஒரு "மைனஸ்" ஒரு "மைனஸ்" கொடுக்கிறது, எனவே, வழித்தோன்றல் முழு இடைவெளியிலும் எதிர்மறையாக உள்ளது.

செயல், நீங்கள் புரிந்து கொண்டபடி, ஆறு இடைவெளிகளில் ஒவ்வொன்றிற்கும் மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும். மூலம், எண் காரணி மற்றும் வகுத்தல் எந்த இடைவெளியிலும் எந்தப் புள்ளியிலும் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக இருக்கும், இது பணியை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது.

எனவே, செயல்பாடு அதன் மூலம் அதிகரிக்கிறது என்று வழித்தோன்றல் எங்களிடம் கூறியது மற்றும் குறைகிறது. சேர ஐகானுடன் ஒரே மாதிரியான இடைவெளிகளை இணைப்பது வசதியானது.

கட்டத்தில் செயல்பாடு அதன் அதிகபட்சத்தை அடையும்:
புள்ளியில் செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் அடையும்:

நீங்கள் ஏன் இரண்டாவது மதிப்பை மீண்டும் கணக்கிட வேண்டியதில்லை என்று சிந்தியுங்கள் ;-)

ஒரு புள்ளியைக் கடக்கும்போது, ​​வழித்தோன்றல் அடையாளத்தை மாற்றாது, எனவே செயல்பாட்டில் எக்ஸ்ட்ரீம் இல்லை - இது இரண்டும் குறைந்து, குறைந்து கொண்டே வந்தது.

! மீண்டும் சொல்கிறேன் முக்கியமான புள்ளி : புள்ளிகள் முக்கியமானதாகக் கருதப்படவில்லை - அவை ஒரு செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்கின்றன வரையறுக்கப்படவில்லை. அதன்படி, இங்கே கொள்கையளவில், உச்சநிலைகள் இருக்க முடியாது(வழித்தோன்றல் அடையாளத்தை மாற்றினாலும்).

பதில்: செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது செயல்பாட்டின் அதிகபட்சத்தை அடையும் புள்ளியில் குறைகிறது: , மற்றும் புள்ளியில் - குறைந்தபட்சம்: .

மோனோடோனிசிட்டி இடைவெளிகள் மற்றும் எக்ஸ்ட்ரீமா பற்றிய அறிவு, அதனுடன் நிறுவப்பட்டது அறிகுறிகள்ஏற்கனவே ஒரு நல்ல யோசனை தருகிறது தோற்றம்செயல்பாடு வரைகலை. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் இரண்டு செங்குத்து அறிகுறிகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை சராசரி பயிற்சி நிலை கொண்ட ஒருவர் வாய்மொழியாக தீர்மானிக்க முடியும். சாய்ந்த அறிகுறி. இதோ எங்கள் ஹீரோ:

இந்தச் செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் ஆய்வின் முடிவுகளைத் தொடர்புபடுத்த மீண்டும் முயற்சிக்கவும்.
முக்கியமான கட்டத்தில் உச்சநிலை இல்லை, ஆனால் உள்ளது வரைபட ஊடுருவல்(இது, ஒரு விதியாக, இதே போன்ற நிகழ்வுகளில் நடக்கும்).

எடுத்துக்காட்டு 4

செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும்

எடுத்துக்காட்டு 5

செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி இடைவெளிகள், அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சத்தைக் கண்டறியவும்

… இது இன்று ஒருவித "எக்ஸ் இன் எ க்யூப்" விடுமுறை போன்றது....
சூ, கேலரியில் இதற்கு யார் குடிக்க முன்வந்தார்கள்? =)

ஒவ்வொரு பணிக்கும் அதன் சொந்த நுணுக்கங்கள் மற்றும் தொழில்நுட்ப நுணுக்கங்கள் உள்ளன, அவை பாடத்தின் முடிவில் கருத்து தெரிவிக்கப்படுகின்றன.

மிகவும் முக்கியமான தகவல்செயல்பாட்டின் நடத்தை பற்றி அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைவதற்கான இடைவெளிகளை வழங்குகிறது. அவற்றைக் கண்டறிவது செயல்பாட்டை ஆய்வு செய்து வரைபடத்தைத் திட்டமிடும் செயல்முறையின் ஒரு பகுதியாகும். கூடுதலாக, ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியும் போது, ​​அதிகரிப்பதில் இருந்து குறைவதற்கு அல்லது குறைவதில் இருந்து அதிகரிப்பதற்கு மாற்றம் இருக்கும் தீவிர புள்ளிகளுக்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்படுகிறது.

இந்த கட்டுரையில் நாம் கொடுப்போம் தேவையான வரையறைகள், ஒரு இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைப்புக்கான போதுமான அளவுகோலை உருவாக்குவோம் மற்றும் ஒரு முனை இருப்பதற்கான போதுமான நிபந்தனைகளை உருவாக்குவோம், மேலும் இந்த முழு கோட்பாட்டையும் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்குப் பயன்படுத்துவோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

ஒரு இடைவெளியில் செயல்பாடு அதிகரித்தல் மற்றும் குறைத்தல்.

அதிகரிக்கும் செயல்பாட்டின் வரையறை.

y=f(x) சார்பு, இடைவெளி X இல் ஏதேனும் இருந்தால் மற்றும் அதிகரிக்கிறது சமத்துவமின்மை உள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு பெரிய வாத மதிப்பு ஒரு பெரிய செயல்பாட்டு மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது.

குறையும் செயல்பாட்டின் வரையறை.

y=f(x) சார்பு X இடைவெளியில் ஏதேனும் இருந்தால் குறைகிறது சமத்துவமின்மை உள்ளது . வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வாதத்தின் பெரிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்புடன் ஒத்துள்ளது.

குறிப்பு: அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் இடைவெளியில் (a;b), அதாவது x=a மற்றும் x=b இல் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு தொடர்ச்சியாக இருந்தால், இந்த புள்ளிகள் அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் இடைவெளியில் சேர்க்கப்படும். X இடைவெளியில் அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் செயல்பாட்டின் வரையறைகளுக்கு இது முரணாக இல்லை.

உதாரணமாக, முக்கிய பண்புகளிலிருந்து அடிப்படை செயல்பாடுகள்வாதத்தின் அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளுக்கும் y=sinx வரையறுக்கப்பட்டு தொடர்கிறது என்பதை நாம் அறிவோம். எனவே, இடைவெளியில் சைன் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பிலிருந்து, அது இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறது என்று உறுதியாகக் கூறலாம்.

எக்ஸ்ட்ரீம் புள்ளிகள், ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரம்.

புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது அதிகபட்ச புள்ளிசெயல்பாடு y=f(x) சமத்துவமின்மை அதன் அருகில் உள்ள அனைத்து x க்கும் உண்மையாக இருந்தால். அதிகபட்ச புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகபட்சம்மற்றும் குறிக்கவும்.

புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச புள்ளிசெயல்பாடு y=f(x) சமத்துவமின்மை அதன் அருகில் உள்ள அனைத்து x க்கும் உண்மையாக இருந்தால். குறைந்தபட்ச புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச செயல்பாடுமற்றும் குறிக்கவும்.

ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறம் இடைவெளியாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது , போதுமான சிறிய நேர்மறை எண் எங்கே.

குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன தீவிர புள்ளிகள், மற்றும் தீவிர புள்ளிகளுடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டு மதிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன செயல்பாட்டின் தீவிரம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை மிகப்பெரியதுடன் குழப்ப வேண்டாம் குறைந்த மதிப்புசெயல்பாடுகள்.

முதல் படத்தில், பிரிவில் உள்ள செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பு அதிகபட்ச புள்ளியில் அடையப்படுகிறது மற்றும் செயல்பாட்டின் அதிகபட்சத்திற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் இரண்டாவது படத்தில், செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பு x=b புள்ளியில் அடையப்படுகிறது. , இது அதிகபட்ச புள்ளி அல்ல.

செயல்பாடுகளை அதிகரிப்பதற்கும் குறைப்பதற்கும் போதுமான நிபந்தனைகள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைப்புக்கான போதுமான நிபந்தனைகளின் (அறிகுறிகள்) அடிப்படையில், செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகள் காணப்படுகின்றன.

ஒரு இடைவெளியில் செயல்பாடுகளை அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைக்கும் அறிகுறிகளின் சூத்திரங்கள் இங்கே:

• y=f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் X இடைவெளியில் இருந்து எந்த x க்கும் நேர்மறையாக இருந்தால், செயல்பாடு X ஆல் அதிகரிக்கிறது;
• y=f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் X இடைவெளியில் இருந்து எந்த x க்கும் எதிர்மறையாக இருந்தால், X இல் செயல்பாடு குறைகிறது.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்க, இது அவசியம்:

அல்காரிதத்தை விளக்க, செயல்பாடுகளை அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைக்கும் இடைவெளிகளைக் கண்டறிவதற்கான உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணம்.

செயல்பாடுகளை அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைக்கும் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டறிவதே முதல் படி. எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லக்கூடாது, எனவே, .

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்குச் செல்லலாம்:

போதுமான அளவுகோலின் அடிப்படையில் ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்க, வரையறையின் களத்தில் உள்ள ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கிறோம். இடைவெளி முறையின் பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்துவோம். எண்களின் ஒரே உண்மையான வேர் x = 2 ஆகும், மேலும் வகுப்பானது x=0 இல் பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்கிறது. இந்த புள்ளிகள் வரையறையின் டொமைனை இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கின்றன, இதில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் அதன் அடையாளத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது. இந்த புள்ளிகளை எண் வரிசையில் குறிப்போம். வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ இருக்கும் இடைவெளிகளை கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் மூலம் வழக்கமாகக் குறிக்கிறோம். கீழே உள்ள அம்புகள், தொடர்புடைய இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு அல்லது குறைவை திட்டவட்டமாகக் காட்டுகின்றன.

இவ்வாறு, மற்றும் .

புள்ளியில் x=2 செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டது மற்றும் தொடர்ச்சியானது, எனவே இது அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் இடைவெளிகளில் சேர்க்கப்பட வேண்டும். x=0 புள்ளியில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே இந்த புள்ளியை தேவையான இடைவெளியில் சேர்க்க மாட்டோம்.

பெறப்பட்ட முடிவுகளை அதனுடன் ஒப்பிட, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை நாங்கள் வழங்குகிறோம்.

பதில்:

உடன் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது , இடைவெளியில் குறைகிறது (0;2] .

ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் மினிமாவைக் கண்டறிய, எக்ஸ்ட்ரம்மின் மூன்று அறிகுறிகளில் ஏதேனும் ஒன்றை நீங்கள் பயன்படுத்தலாம், நிச்சயமாக, செயல்பாடு அவற்றின் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்தால். மிகவும் பொதுவான மற்றும் வசதியானது அவற்றில் முதன்மையானது.

ஒரு உச்சநிலைக்கு முதல் போதுமான நிபந்தனை.

y=f(x) சார்பு புள்ளியின் -அருகில் வேறுபடுத்தக்கூடியதாகவும் புள்ளியிலேயே தொடர்ச்சியாகவும் இருக்கட்டும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்:

ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சத்தின் முதல் அறிகுறியின் அடிப்படையில் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்.

• செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் காண்கிறோம்.
• வரையறையின் களத்தில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்.
• எண்களின் பூஜ்ஜியங்கள், வழித்தோன்றலின் வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் வழித்தோன்றல் இல்லாத வரையறையின் டொமைனின் புள்ளிகள் (பட்டியலிடப்பட்ட அனைத்து புள்ளிகளும் அழைக்கப்படுகின்றன சாத்தியமான உச்சநிலை புள்ளிகள், இந்த புள்ளிகளைக் கடந்து, வழித்தோன்றல் அதன் அடையாளத்தை மாற்ற முடியும்).
• இந்த புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தை வழித்தோன்றல் அதன் அடையாளத்தை வைத்திருக்கும் இடைவெளிகளாக பிரிக்கிறது. ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம் (உதாரணமாக, ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் எந்த புள்ளியிலும் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலம்).
• செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும் புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், அதன் வழியாக, வழித்தோன்றல் மாற்றங்களின் அடையாளம் - இவை தீவிர புள்ளிகள்.

பல சொற்கள் உள்ளன, ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கான முதல் போதுமான நிபந்தனையைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் மற்றும் தீவிரத்தை கண்டுபிடிப்பதற்கான சில எடுத்துக்காட்டுகளை நன்றாகப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைன் என்பது x=2 தவிர உண்மையான எண்களின் முழு தொகுப்பாகும்.

வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்:

எண்களின் பூஜ்ஜியங்கள் புள்ளிகள் x=-1 மற்றும் x=5 ஆகும், வகுப்பானது x=2 இல் பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்கிறது. இந்த புள்ளிகளை எண் அச்சில் குறிக்கவும்

ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் வழித்தோன்றலின் அடையாளங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம், இதை செய்ய, ஒவ்வொரு இடைவெளியின் எந்தப் புள்ளியிலும் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, x=-2, x=0, x=3 மற்றும் x=6.

எனவே, இடைவெளியில் வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக உள்ளது (படத்தில் இந்த இடைவெளியில் ஒரு கூட்டல் குறியை வைக்கிறோம்). அதேபோல்

எனவே, இரண்டாவது இடைவெளிக்கு மேலே ஒரு கழித்தல், மூன்றாவதுக்கு மேல் ஒரு கழித்தல், நான்காவது இடைவெளிக்கு மேல் ஒரு கூட்டல் ஆகியவற்றை வைக்கிறோம்.

செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் மாற்றங்களின் அடையாளத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க இது உள்ளது. இவை தீவிர புள்ளிகள்.

புள்ளியில் x=-1 சார்பு தொடர்ச்சியாக உள்ளது மற்றும் வழித்தோன்றல்கள் கூட்டல் முதல் கழித்தல் வரை மாறுகிறது, எனவே, எக்ஸ்ட்ரம்மின் முதல் அறிகுறியின்படி, x=-1 என்பது அதிகபட்ச புள்ளியாகும், செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் அதற்கு ஒத்திருக்கிறது. .

புள்ளியில் x=5 செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக உள்ளது மற்றும் வழித்தோன்றல் மாற்றங்களின் அடையாளம் கழித்தல் முதல் கூட்டலுக்கு, எனவே, x=-1 என்பது குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும், செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சம் அதற்கு ஒத்திருக்கிறது .

கிராஃபிக் விளக்கம்.

பதில்:

தயவு செய்து கவனிக்கவும்: ஒரு தீவிரத்திற்கான முதல் போதுமான அளவுகோலுக்கு புள்ளியிலேயே செயல்பாட்டின் வேறுபாடு தேவையில்லை.

உதாரணம்.

செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் மற்றும் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு.

ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைன் உண்மையான எண்களின் முழு தொகுப்பாகும். செயல்பாட்டையே இவ்வாறு எழுதலாம்:

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

புள்ளியில் x=0 வழித்தோன்றல் இல்லை, ஏனெனில் ஒரு பக்க வரம்புகளின் மதிப்புகள் வாதம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது ஒத்துப்போவதில்லை:

அதே நேரத்தில், அசல் செயல்பாடு x=0 புள்ளியில் தொடர்கிறது (தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டைப் படிக்கும் பகுதியைப் பார்க்கவும்):

வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் வாதத்தின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எண் வரிசையில் பெறப்பட்ட அனைத்து புள்ளிகளையும் குறிப்போம் மற்றும் ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை தீர்மானிப்போம். இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு இடைவெளியின் தன்னிச்சையான புள்ளிகளில் வழித்தோன்றலின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

அதாவது,

எனவே, ஒரு தீவிரத்தின் முதல் அறிகுறியின்படி, குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் , அதிகபட்ச புள்ளிகள் .

செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய குறைந்தபட்சத்தை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்

செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகபட்சத்தை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்

கிராஃபிக் விளக்கம்.

பதில்:

.

ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையின் இரண்டாவது அடையாளம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையின் இந்த அடையாளத்திற்கு புள்ளியில் குறைந்தபட்சம் இரண்டாவது வரிசையில் ஒரு வழித்தோன்றல் இருக்க வேண்டும்.

செயல்பாட்டின் தீவிரம்

வரையறை 2

ஒரு புள்ளி $x_0$ ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளியாக $f(x)$ எனப்படும். $ வைத்திருக்கிறது.

வரையறை 3

ஒரு புள்ளி $x_0$ ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளியாக $f(x)$ என அழைக்கப்படுகிறது, இந்தப் புள்ளியின் அக்கம் பக்கத்தில் இருந்தால் $x$ இந்த அக்கம்பக்கத்தில் உள்ள $f(x)\ge f(x_0) $ வைத்திருக்கிறது.

ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையின் கருத்து ஒரு செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளியின் கருத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. அதன் வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை 4

$x_0$ அழைக்கப்படுகிறது முக்கியமான புள்ளிசெயல்பாடு $f(x)$ என்றால்:

1) $x_0$ - வரையறையின் டொமைனின் உள் புள்ளி;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ அல்லது இல்லை.

தீவிரத்தின் கருத்துக்கு, போதுமான அளவு மற்றும் கோட்பாடுகளை நாம் உருவாக்கலாம் தேவையான நிபந்தனைகள்அவரது இருப்பு.

தேற்றம் 2

ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிலை

$y=f(x)$ செயல்பாட்டிற்கு $x_0$ புள்ளி முக்கியமானது மற்றும் $(a,b)$ இடைவெளியில் இருக்கட்டும். ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் $\இடது(a,x_0\வலது)\ மற்றும்\ (x_0,b)$ என்ற வழித்தோன்றல் $f"(x)$ இருக்கும் மற்றும் நிலையான அடையாளத்தை பராமரிக்கட்டும். பிறகு:

1) இடைவெளியில் $(a,x_0)$ எனில் வழித்தோன்றல் $f"\left(x\right)>0$ ஆகவும், $(x_0,b)$ இடைவெளியில் $f"\left( x\வலது)

2) இடைவெளியில் $(a,x_0)$ $f"\left(x\right)0$ எனில், $x_0$ என்பது இந்தச் செயல்பாட்டிற்கான குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்.

3) $(a,x_0)$ மற்றும் இடைவெளி $(x_0,b)$ ஆகிய இரண்டிலும் $f"\left(x\right) >0$ அல்லது வழித்தோன்றல் $f"\left(x) \வலது)

இந்த தேற்றம் படம் 1 இல் விளக்கப்பட்டுள்ளது.

படம் 1. எக்ஸ்ட்ரீமா இருப்பதற்கான போதுமான நிபந்தனை

உச்சநிலைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் (படம் 2).

படம் 2. தீவிர புள்ளிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

எக்ஸ்ட்ரம்மிற்கான செயல்பாட்டைப் படிப்பதற்கான விதி

2) $f"(x)$ என்ற வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்;

7) தேற்றம் 2 ஐப் பயன்படுத்தி ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் அதிகபட்சம் மற்றும் மினிமா இருப்பதைப் பற்றிய முடிவுகளை வரையவும்.

செயல்பாடுகளை அதிகரித்தல் மற்றும் குறைத்தல்

செயல்பாடுகளை அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைக்கும் வரையறைகளை முதலில் அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை 5

$X$ இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட $y=f(x)$ ஒரு செயல்பாடு, $x_1,x_2\in X$ இல் $x_1 என இருந்தால், அதிகரிக்கும் என்று கூறப்படுகிறது.

வரையறை 6

$X$ இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட $y=f(x)$ ஒரு செயல்பாடு, $x_1f(x_2)$ க்கு $x_1,x_2\in X$ இல் குறைகிறது எனக் கூறப்படுகிறது.

அதிகரிப்பதற்கும் குறைப்பதற்கும் ஒரு செயல்பாட்டைப் படிப்பது

வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி செயல்பாடுகளை அதிகரிக்கவும் குறைக்கவும் படிக்கலாம்.

அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைவதற்கான இடைவெளிகளுக்கான செயல்பாட்டை ஆய்வு செய்ய, நீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்ய வேண்டும்:

1) $f(x)$ செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டறியவும்;

2) $f"(x)$ என்ற வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்;

3) $f"\left(x\right)=0$ சமத்துவம் உள்ள புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்;

4) $f"(x)$ இல்லாத புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்;

5) இந்த செயல்பாட்டின் அனைத்து புள்ளிகள் மற்றும் வரையறையின் களத்தை ஒருங்கிணைப்பு வரியில் குறிக்கவும்;

6) ஒவ்வொரு விளைவான இடைவெளியிலும் $f"(x)$ என்ற வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்கவும்;

7) ஒரு முடிவை வரையவும்: $f"\left(x\right)0$ செயல்பாடு அதிகரிக்கும் இடைவெளியில்.

அதிகரிப்பு, குறைதல் மற்றும் தீவிர புள்ளிகள் இருப்பதற்கான செயல்பாடுகளைப் படிப்பதில் உள்ள சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

அதிகரிப்பதற்கும் குறைப்பதற்கும் செயல்பாடு மற்றும் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளின் இருப்பை ஆராயவும்: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

முதல் 6 புள்ளிகள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், அவற்றை முதலில் செயல்படுத்துவோம்.

1) வரையறையின் டொமைன் - அனைத்து உண்மையான எண்கள்;

2) $f"\இடது(x\வலது)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\இடது(x\வலது)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ வரையறையின் அனைத்துப் புள்ளிகளிலும் உள்ளது;

5) ஒருங்கிணைப்பு வரி:

படம் 3.

6) ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் $f"(x)$ என்ற வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்கவும்:

\ \}