மறைமுகமான வழித்தோன்றல்களை ஆன்லைனில் தீர்ப்பது. மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். அளவுருவாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்
மறைமுகமாக குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிய கற்றுக்கொள்வோம், அதாவது, மாறிகளை இணைக்கும் சில சமன்பாடுகளால் குறிப்பிடப்படுகிறது. xமற்றும் ஒய். மறைமுகமாக குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:
,
,
மறைமுகமாக குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் அல்லது மறைமுகமான செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் மிகவும் எளிமையாகக் காணப்படுகின்றன. இப்போது தொடர்புடைய விதி மற்றும் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம், பின்னர் இது பொதுவாக ஏன் தேவைப்படுகிறது என்பதைக் கண்டறியவும்.
மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, நீங்கள் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்த வேண்டும். X மட்டுமே இருக்கும் அந்த விதிமுறைகள் X இலிருந்து செயல்பாட்டின் வழக்கமான வழித்தோன்றலாக மாறும். மேலும் விளையாட்டின் விதிமுறைகள் வேறுபாடு விதியைப் பயன்படுத்தி வேறுபடுத்தப்பட வேண்டும் சிக்கலான செயல்பாடு, நான் x இன் செயல்பாடு என்பதால். மிகவும் எளிமையாகச் சொல்வதென்றால், x உடனான வார்த்தையின் விளைவான வழித்தோன்றல் விளைவிக்க வேண்டும்: y இலிருந்து செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் y இலிருந்து வழித்தோன்றலால் பெருக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சொல்லின் வழித்தோன்றல் என எழுதப்படும், ஒரு சொல்லின் வழித்தோன்றல் என எழுதப்படும். அடுத்து, இவை அனைத்திலிருந்தும், நீங்கள் இந்த "கேம் ஸ்ட்ரோக்கை" வெளிப்படுத்த வேண்டும் மற்றும் மறைமுகமாக குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் விரும்பிய வழித்தோன்றல் பெறப்படும். இதை ஒரு உதாரணத்துடன் பார்க்கலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 1.
தீர்வு. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்துகிறோம், i என்பது x இன் செயல்பாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம்:
இங்கிருந்து பணிக்கு தேவையான வழித்தோன்றலைப் பெறுகிறோம்:
இப்போது மறைமுகமாக குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாடுகளின் தெளிவற்ற சொத்து மற்றும் அவற்றின் வேறுபாட்டிற்கான சிறப்பு விதிகள் ஏன் தேவைப்படுகின்றன என்பது பற்றி. சில சந்தர்ப்பங்களில், மாற்றீடு உள்ளதா என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு(மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கவும்) y க்கு பதிலாக, x மூலம் அதன் வெளிப்பாடு இந்த சமன்பாடு ஒரு அடையாளமாக மாறுகிறது. எனவே. மேலே உள்ள சமன்பாடு பின்வரும் செயல்பாடுகளை மறைமுகமாக வரையறுக்கிறது:
x மூலம் ஸ்கொயர் கேமிற்கான வெளிப்பாட்டை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றிய பின், நாம் அடையாளத்தைப் பெறுகிறோம்:
.
விளையாட்டிற்கான சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் நாங்கள் மாற்றியமைத்த வெளிப்பாடுகள் பெறப்பட்டன.
நாம் தொடர்புடைய வெளிப்படையான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்தினால்
பிறகு, உதாரணம் 1-ல் உள்ளதைப் போன்ற பதிலைப் பெறுவோம் - மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டிலிருந்து:
ஆனால் மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட ஒவ்வொரு செயல்பாட்டையும் வடிவத்தில் குறிப்பிட முடியாது ஒய் = f(x) . எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, மறைமுகமாக குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாடுகள்
அடிப்படை செயல்பாடுகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை, அதாவது, விளையாட்டைப் பொறுத்தவரை இந்த சமன்பாடுகளை தீர்க்க முடியாது. எனவே, மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான ஒரு விதி உள்ளது, இது நாம் ஏற்கனவே ஆய்வு செய்துள்ளோம், மேலும் மற்ற எடுத்துக்காட்டுகளில் தொடர்ந்து பொருந்தும்.
எடுத்துக்காட்டு 2.மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
.
நாம் முதன்மை மற்றும் - வெளியீட்டில் - மறைமுகமாக குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை வெளிப்படுத்துகிறோம்:
எடுத்துக்காட்டு 3.மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
.
தீர்வு. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்துகிறோம்:
.
எடுத்துக்காட்டு 4.மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
.
தீர்வு. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்துகிறோம்:
.
வழித்தோன்றலை நாங்கள் வெளிப்படுத்துகிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்:
.
எடுத்துக்காட்டு 5.மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
தீர்வு. சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ள சொற்களை இடது பக்கம் நகர்த்தி, வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தை விட்டு விடுகிறோம். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்துகிறோம்.
அல்லது சுருக்கமாக - ஒரு மறைமுகமான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். மறைமுகமான செயல்பாடு என்றால் என்ன? எனது பாடங்கள் நடைமுறையில் இருப்பதால், நான் வரையறைகள் மற்றும் தேற்றங்களைத் தவிர்க்க முயல்கிறேன், ஆனால் அதை இங்கே செய்வது பொருத்தமாக இருக்கும். எப்படியும் ஒரு செயல்பாடு என்றால் என்ன?
ஒற்றை மாறி சார்பு என்பது ஒரு சார்பற்ற மாறியின் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் செயல்பாட்டின் ஒரே ஒரு மதிப்பு மட்டுமே இருக்கும் என்று கூறுகிறது.
மாறி அழைக்கப்படுகிறது சுயாதீன மாறிஅல்லது வாதம்.
மாறி அழைக்கப்படுகிறது சார்பு மாறிஅல்லது செயல்பாடு.
தோராயமாக, இந்த வழக்கில் "Y" எழுத்து செயல்பாடு ஆகும்.
இதுவரை நாம் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைப் பார்த்தோம் வெளிப்படையானவடிவம். அது என்ன அர்த்தம்? குறிப்பிட்ட உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு விவாதத்தை நடத்துவோம்.
செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் 
இடதுபுறத்தில் தனிமையான “Y” (செயல்பாடு) இருப்பதையும், வலதுபுறத்தில் - "எக்ஸ்" மட்டுமே. அதாவது செயல்பாடு வெளிப்படையாகசுயாதீன மாறி மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.
மற்றொரு செயல்பாட்டைப் பார்ப்போம்:
இங்குதான் மாறிகள் கலக்கப்படுகின்றன. மேலும் எந்த வகையிலும் சாத்தியமற்றது"Y" ஐ "X" மூலம் மட்டுமே வெளிப்படுத்தவும். இந்த முறைகள் என்ன? குறியின் மாற்றத்துடன் சொற்களை பகுதியிலிருந்து பகுதிக்கு மாற்றுதல், அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே நகர்த்துதல், விகிதாச்சார விதியின்படி காரணிகளை வீசுதல் போன்றவை. சமத்துவத்தை மீண்டும் எழுதி "y" ஐ வெளிப்படையாக வெளிப்படுத்த முயற்சிக்கவும்: . நீங்கள் பல மணிநேரங்களுக்கு சமன்பாட்டைத் திருப்பலாம், ஆனால் நீங்கள் வெற்றிபெற மாட்டீர்கள்.
நான் உங்களுக்கு அறிமுகப்படுத்துகிறேன்: - உதாரணம் மறைமுக செயல்பாடு.
கணித பகுப்பாய்வின் போக்கில் அது மறைமுகமான செயல்பாடு என்று நிரூபிக்கப்பட்டது உள்ளது(இருப்பினும், எப்போதும் இல்லை), இது ஒரு வரைபடத்தைக் கொண்டுள்ளது ("சாதாரண" செயல்பாட்டைப் போலவே). மறைமுகமான செயல்பாடு சரியாகவே உள்ளது உள்ளதுமுதல் வழித்தோன்றல், இரண்டாவது வழித்தோன்றல் போன்றவை. அவர்கள் சொல்வது போல், பாலியல் சிறுபான்மையினரின் அனைத்து உரிமைகளும் மதிக்கப்படுகின்றன.
இந்த பாடத்தில் மறைமுகமாக குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். அது ஒன்றும் கடினம் அல்ல! அனைத்து வேறுபாடு விதிகள், வழித்தோன்றல்கள் அட்டவணை அடிப்படை செயல்பாடுகள்நடைமுறையில் இருக்கும். வித்தியாசம் ஒரு விசித்திரமான தருணத்தில் உள்ளது, அதை நாம் இப்போது பார்ப்போம்.
ஆம், நான் உங்களுக்கு ஒரு நல்ல செய்தியைச் சொல்கிறேன் - கீழே விவாதிக்கப்பட்ட பணிகள் மூன்று தடங்களுக்கு முன்னால் ஒரு கல் இல்லாமல் மிகவும் கண்டிப்பான மற்றும் தெளிவான வழிமுறையின் படி செய்யப்படுகின்றன.
எடுத்துக்காட்டு 1
1) முதல் கட்டத்தில், இரண்டு பகுதிகளுக்கும் பக்கவாதம் இணைக்கிறோம்:
2) வழித்தோன்றலின் நேரியல் விதிகளைப் பயன்படுத்துகிறோம் (பாடத்தின் முதல் இரண்டு விதிகள் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்):
3) நேரடி வேறுபாடு.
எப்படி வேறுபடுத்துவது என்பது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது. பக்கவாதம் கீழ் "விளையாட்டுகள்" அங்கு என்ன செய்ய வேண்டும்?
வெறும் அவமானம் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் அதன் வழித்தோன்றலுக்கு சமம்: .
எப்படி வேறுபடுத்துவது
இதோ நம்மிடம் உள்ளது சிக்கலான செயல்பாடு. ஏன்? சைனின் கீழ் “Y” என்ற ஒரே ஒரு எழுத்து இருப்பதாகத் தெரிகிறது. ஆனால் உண்மை என்னவென்றால், “y” என்ற ஒரே ஒரு எழுத்து மட்டுமே உள்ளது - தானே ஒரு செயல்பாடு(பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள வரையறையைப் பார்க்கவும்). இவ்வாறு, சைன் உள்ளது வெளிப்புற செயல்பாடு, ஒரு உள் செயல்பாடு. சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கு விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம் 
:
வழக்கமான விதியின்படி தயாரிப்பை வேறுபடுத்துகிறோம் 
:
- இது ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். எந்த "மணிகள் மற்றும் விசில் விளையாட்டு" ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு ஆகும்:
தீர்வு இதுபோல் இருக்க வேண்டும்:
அடைப்புக்குறிகள் இருந்தால், அவற்றை விரிவாக்கவும்:
4) இடதுபுறத்தில் பிரைம் கொண்ட “Y” உள்ள சொற்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம். எல்லாவற்றையும் வலது பக்கமாக நகர்த்தவும்:
5) இடது பக்கத்தில் அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து வழித்தோன்றலை எடுக்கிறோம்:
6) மற்றும் விகிதாச்சார விதியின் படி, இந்த அடைப்புக்குறிகளை வலது பக்கத்தின் வகுப்பில் விடுகிறோம்:
வழித்தோன்றல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது. தயார்.
எந்தவொரு செயல்பாட்டையும் மறைமுகமாக மீண்டும் எழுத முடியும் என்பதைக் குறிப்பிடுவது சுவாரஸ்யமானது. உதாரணமாக, செயல்பாடு இப்படி மாற்றி எழுதலாம்: 
. இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி அதை வேறுபடுத்துங்கள். உண்மையில், "மறைமுகமான செயல்பாடு" மற்றும் "மறைமுகமான செயல்பாடு" என்ற சொற்றொடர்கள் ஒரு சொற்பொருள் நுணுக்கத்தில் வேறுபடுகின்றன. "மறைமுகமாக குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாடு" என்ற சொற்றொடர் மிகவும் பொதுவானது மற்றும் சரியானது, - இந்த செயல்பாடு மறைமுகமாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, ஆனால் இங்கே நீங்கள் "விளையாட்டை" வெளிப்படுத்தலாம் மற்றும் செயல்பாட்டை வெளிப்படையாக வழங்கலாம். "மறைமுக செயல்பாடு" என்ற சொற்றொடர் "y" ஐ வெளிப்படுத்த முடியாத போது "கிளாசிக்கல்" மறைமுக செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது.
இரண்டாவது தீர்வு
கவனம்!பகுதி வழித்தோன்றல்களை எவ்வாறு நம்பிக்கையுடன் கண்டுபிடிப்பது என்பது உங்களுக்குத் தெரிந்தால் மட்டுமே நீங்கள் இரண்டாவது முறையைப் பற்றி அறிந்து கொள்ள முடியும். படிக்க ஆரம்பிப்பவர்கள் கணித பகுப்பாய்வுமற்றும் டீபாட்கள், தயவுசெய்து இந்த புள்ளியை படித்து தவிர்க்க வேண்டாம், இல்லையெனில் உங்கள் தலை முழு குழப்பமாக இருக்கும்.
இரண்டாவது முறையைப் பயன்படுத்தி மறைமுக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.
அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்துகிறோம்:
மேலும் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
பின்னர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் வழித்தோன்றலைக் காணலாம்
பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:
இவ்வாறு:
இரண்டாவது தீர்வு ஒரு காசோலை செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது. பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பின்னர் தேர்ச்சி பெறுவதால், ஒதுக்கீட்டின் இறுதி பதிப்பை எழுதுவது அவர்களுக்கு நல்லதல்ல, மேலும் “ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்” என்ற தலைப்பைப் படிக்கும் மாணவர் இன்னும் பகுதி வழித்தோன்றல்களை அறிந்திருக்கக்கூடாது.
இன்னும் சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 2
மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
இரண்டு பகுதிகளுக்கும் பக்கவாதம் சேர்க்கவும்:
நாங்கள் நேரியல் விதிகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல்:
அனைத்து அடைப்புக்குறிகளையும் திறக்கிறது:
நாங்கள் அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்துகிறோம், மீதமுள்ளவை - வலது பக்கம்:
இடதுபுறத்தில் அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கிறோம்:
இறுதி பதில்:
எடுத்துக்காட்டு 3
மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் 
பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் மாதிரி வடிவமைப்பு.
வேறுபாட்டிற்குப் பிறகு பின்னங்கள் எழுவது அசாதாரணமானது அல்ல. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் பின்னங்களை அகற்ற வேண்டும். இன்னும் இரண்டு உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.
வரையறை.\(y = f(x)\) செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் அதன் உள்ளே \(x_0\) புள்ளியைக் கொண்டிருக்கும். இந்த இடைவெளியை விட்டு வெளியேறாத வகையில் \(\Delta x \) வாதத்திற்கு ஒரு அதிகரிப்பு கொடுக்கலாம். \(\Delta y \) (\(x_0 \) புள்ளியிலிருந்து \(x_0 + \Delta x \)) செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பைக் கண்டுபிடித்து, \(\frac(\Delta) உறவை உருவாக்குவோம் y)(\டெல்டா x) \). இந்த விகிதத்திற்கு \(\Delta x \rightarrow 0\) வரம்பு இருந்தால், குறிப்பிட்ட வரம்பு அழைக்கப்படுகிறது ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்\(x_0 \) புள்ளியில் \(y=f(x) \) மற்றும் \(f"(x_0) \) என்பதைக் குறிக்கவும்.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
வழித்தோன்றலைக் குறிக்க y என்ற குறியீடு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க, y" = f(x) என்பது ஒரு புதிய செயல்பாடு, ஆனால் இயற்கையாகவே y = f(x) செயல்பாட்டுடன் தொடர்புடையது, அது மேலே உள்ள வரம்பு உள்ள அனைத்து புள்ளிகளிலும் வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த செயல்பாடு இப்படி அழைக்கப்படுகிறது: y = f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.
வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்பின்வருமாறு உள்ளது. y-அச்சுக்கு இணையாக இல்லாத abscissa x=a உடன் புள்ளியில் y = f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரைய முடிந்தால், f(a) தொடுகோட்டின் சாய்வை வெளிப்படுத்துகிறது. :
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \), பின்னர் சமத்துவம் \(f"(a) = tan(a) \) உண்மை.
இப்போது தோராயமான சமத்துவங்களின் பார்வையில் இருந்து வழித்தோன்றலின் வரையறையை விளக்குவோம். \(y = f(x)\) சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கட்டும் \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
இதன் பொருள் x புள்ளிக்கு அருகில் தோராயமான சமத்துவம் \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), அதாவது \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ டெல்டா x\). இதன் விளைவாக தோராயமான சமத்துவத்தின் அர்த்தமுள்ள பொருள் பின்வருமாறு: செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு "கிட்டத்தட்ட விகிதாசாரமாக" இருக்கும், மேலும் விகிதாச்சாரத்தின் குணகம் என்பது வழித்தோன்றலின் மதிப்பாகும். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிஎக்ஸ். எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாட்டிற்கு \(y = x^2\) தோராயமான சமத்துவம் \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) செல்லுபடியாகும். ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையை நாம் கவனமாக பகுப்பாய்வு செய்தால், அதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு வழிமுறையைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்போம்.
அதை முறைப்படுத்துவோம்.
y = f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?
1. \(x\) மதிப்பை சரிசெய்யவும், \(f(x)\)
2. வாதத்திற்கு \(x\) ஒரு அதிகரிப்பு \(\Delta x\) கொடுக்கவும், ஒரு புதிய புள்ளிக்குச் செல்லவும் \(x+ \Delta x \), கண்டுபிடி \(f(x+ \Delta x) \)
3. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. உறவை உருவாக்கவும் \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. கணக்கிடவும் $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
இந்த வரம்பு x புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும்.
ஒரு சார்பு y = f(x) ஒரு புள்ளி x இல் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருந்தால், அது x புள்ளியில் வேறுபடக்கூடியது எனப்படும். y = f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது வேறுபாடுசெயல்பாடுகள் y = f(x).
பின்வரும் கேள்வியைப் பற்றி விவாதிப்போம்: ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி மற்றும் வேறுபாடு எவ்வாறு ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையது?
y = f(x) சார்பு x புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருக்கட்டும். பின்னர் M(x; f(x)) புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரையப்படலாம், மேலும், தொடுகோட்டின் கோண குணகம் f "(x) க்கு சமமாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. அத்தகைய வரைபடம் "உடைக்க" முடியாது. புள்ளி M இல், அதாவது செயல்பாடு x புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டும்.
இவை "கையில்" வாதங்கள். இன்னும் கடுமையான நியாயத்தை வழங்குவோம். x புள்ளியில் y = f(x) சார்பு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், தோராயமான சமத்துவம் \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) இருக்கும். இந்த சமத்துவத்தில் \(\Delta x \) பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது, பின்னர் \(\Delta y \) பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், மேலும் இது ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சிக்கான நிபந்தனையாகும்.
எனவே, ஒரு புள்ளி x இல் ஒரு செயல்பாடு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், அந்த புள்ளியில் அது தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.
தலைகீழ் அறிக்கை உண்மையல்ல. எடுத்துக்காட்டாக: செயல்பாடு y = |x| எல்லா இடங்களிலும் தொடர்கிறது, குறிப்பாக x = 0 என்ற புள்ளியில், ஆனால் "சந்தி புள்ளியில்" (0; 0) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான டேன்ஜென்ட் இல்லை. ஒரு கட்டத்தில் ஒரு சார்பின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரைய முடியாது என்றால், அந்த புள்ளியில் வழித்தோன்றல் இல்லை.
மற்றொரு உதாரணம். \(y=\sqrt(x)\) சார்பு x = 0 என்ற புள்ளி உட்பட முழு எண் கோட்டிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். மேலும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோடு x = 0 புள்ளி உட்பட எந்த புள்ளியிலும் இருக்கும். ஆனால் இந்த கட்டத்தில் தொடுகோடு y-அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது, அதாவது, அது abscissa அச்சுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது, அதன் சமன்பாடு x = 0 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. அத்தகைய நேர்கோட்டில் ஒரு கோண குணகம் இல்லை, அதாவது \(f "(0)\) இல்லை.
எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் புதிய பண்புடன் நாங்கள் பழகினோம் - வேறுபாடு. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திலிருந்து அது வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று எப்படி முடிவு செய்யலாம்?
பதில் உண்மையில் மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு கட்டத்தில் அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு செங்குத்தாக இல்லாத ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரைய முடியும் என்றால், இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு வேறுபட்டதாக இருக்கும். ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோடு இல்லை அல்லது அது அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு வேறுபடுத்தப்படாது.
வேறுபாடு விதிகள்
வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது வேறுபாடு. இந்த செயல்பாட்டைச் செய்யும்போது, நீங்கள் அடிக்கடி பங்குகள், தொகைகள், செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புகள் மற்றும் "செயல்பாடுகளின் செயல்பாடுகள்", அதாவது சிக்கலான செயல்பாடுகளுடன் வேலை செய்ய வேண்டும். வழித்தோன்றலின் வரையறையின் அடிப்படையில், இந்த வேலையை எளிதாக்கும் வேறுபாடு விதிகளை நாம் பெறலாம். C என்பது ஒரு நிலையான எண் மற்றும் f=f(x), g=g(x) என்பது சில வேறுபட்ட செயல்பாடுகளாக இருந்தால், பின்வருபவை உண்மையாக இருக்கும் வேறுபாடு விதிகள்:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
சில செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை
$$ \இடது(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \இடது(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி செயல்பாட்டை மறைமுகமாக குறிப்பிடலாம்
(1)
.
இந்த சமன்பாடு, சில மதிப்புகளுக்கு, ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கட்டும்.
.
செயல்பாடு புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடாக இருக்கட்டும் , மற்றும்
(2)
.
பின்னர், இந்த மதிப்பில், ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது, இது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
அதை நிரூபிக்க, செயல்பாட்டை மாறியின் சிக்கலான செயல்பாடாக கருதுங்கள்:
.
ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதியைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் இருந்து மாறியைப் பொறுத்து வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.
(3)
:
.
ஒரு மாறிலியின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியம் மற்றும் , பின்னர்
(4)
;
.
சூத்திரம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்
வெவ்வேறு குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டை (4) மீண்டும் எழுதுவோம்:
(4)
.
அதே நேரத்தில், மற்றும் மாறியின் சிக்கலான செயல்பாடுகள்:
;
.
சார்பு சமன்பாடு (1) மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
(1)
.
சமன்பாட்டின் (4) இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் இருந்து மாறியைப் பொறுத்து வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்.
சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின்படி, எங்களிடம் உள்ளது:
;
.
தயாரிப்பு வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தின் படி:
.
வழித்தோன்றல் தொகை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல்:
.
சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தின் வழித்தோன்றல் (4) பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருப்பதால்
(5)
.
இங்கே வழித்தோன்றலை மாற்றுவதன் மூலம், இரண்டாம் வரிசை வழித்தோன்றலின் மதிப்பை மறைமுகமான வடிவத்தில் பெறுகிறோம்.
இதே வழியில் சமன்பாட்டை (5) வேறுபடுத்தி, மூன்றாம் வரிசை வழித்தோன்றலைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:
.
முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல்களின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை இங்கே மாற்றினால், மூன்றாம் வரிசை வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் காண்கிறோம்.
தொடர்ச்சியான வேறுபாடு, எந்த வரிசையின் வழித்தோன்றலையும் காணலாம்.
எடுத்துக்காட்டுகள்
எடுத்துக்காட்டு 1
சமன்பாட்டின் மூலம் மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் முதல்-வரிசை வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
(P1) .
சூத்திரம் 2 மூலம் தீர்வு
சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம் (2):
(2)
.
அனைத்து மாறிகளையும் இடது பக்கம் நகர்த்துவோம், இதனால் சமன்பாடு வடிவத்தை எடுக்கும்.
.
இங்கிருந்து.
நிலையானதாகக் கருதும் வகையில், வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்.
;
;
;
.
மாறி மாறியைக் கருத்தில் கொண்டு, மாறியைப் பொறுத்து வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்.
;
;
;
.
சூத்திரம் (2) ஐப் பயன்படுத்தி நாம் கண்டுபிடிப்போம்:
.
அசல் சமன்பாட்டின் படி (A.1) என்பதை கவனத்தில் கொண்டால், முடிவை எளிதாக்கலாம்.
.
மாற்றுவோம்:
.
எண் மற்றும் வகுப்பினை இதன் மூலம் பெருக்கவும்:
இரண்டாவது வழி தீர்வு
இந்த உதாரணத்தை இரண்டாவது வழியில் தீர்க்கலாம். இதைச் செய்ய, அசல் சமன்பாட்டின் (A1) இடது மற்றும் வலது பக்கங்களின் மாறியைப் பொறுத்து வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.
.
நாங்கள் விண்ணப்பிக்கிறோம்:
;
.
வழித்தோன்றல் பின்னம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
.
சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
(P1) ;
;
.
அசல் சமன்பாட்டை (A1) வேறுபடுத்துவோம்.
;
.
நாங்கள் விதிமுறைகளைப் பெருக்கி, தொகுக்கிறோம்.
.
(A1 சமன்பாட்டிலிருந்து) மாற்றுவோம்:
.
இதன் மூலம் பெருக்கவும்:
பதில்
எடுத்துக்காட்டு 2
சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் இரண்டாம்-வரிசை வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்: .
(A2.1)
தீர்வு
;
.
அசல் சமன்பாட்டை மாறியைப் பொறுத்து வேறுபடுத்துகிறோம், இது ஒரு செயல்பாடு என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு:
.
சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
;
.
அசல் சமன்பாட்டை வேறுபடுத்துவோம் (A2.1):
.
அசல் சமன்பாட்டிலிருந்து (A2.1) அது பின்வருமாறு.
;
மாற்றுவோம்: .
அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து உறுப்பினர்களைக் குழுவாக்கவும்:
(A2.2) .
முதல் ஆர்டர் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:
;
;
;
.
முதல்-வரிசை வழித்தோன்றலுக்கான வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம் (A2.3):
.
(A1 சமன்பாட்டிலிருந்து) மாற்றுவோம்:
;
.
இங்கிருந்து நாம் இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றலைக் காணலாம்.
இதன் மூலம் பெருக்கவும்:
எடுத்துக்காட்டு 3
சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் மூன்றாம் வரிசை வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
(A3.1) .
(A2.1)
அசல் சமன்பாட்டை மாறியைப் பொறுத்து வேறுபடுத்துகிறோம், இது ஒரு செயல்பாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;
மாறியைப் பொறுத்து சமன்பாட்டை (A3.2) வேறுபடுத்துவோம்.
;
;
;
;
;
(A3.3) .
சமன்பாட்டை வேறுபடுத்துவோம் (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .
சமன்பாடுகள் (A3.2), (A3.3) மற்றும் (A3.4) ஆகியவற்றிலிருந்து வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகளை இல் காணலாம்.
;
;
.
முதலில், ஒரு மாறியின் மறைமுகமான செயல்பாட்டைப் பார்ப்போம். இது சமன்பாடு (1) மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இது ஒரு குறிப்பிட்ட y உடன் சில பகுதி X இலிருந்து ஒவ்வொரு xஐயும் இணைக்கிறது. பின்னர் X இல் y=f(x) சார்பு இந்த சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அவர்கள் அவளை அழைக்கிறார்கள் மறைமுகமாகஅல்லது மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்டது. சமன்பாடு (1) ஐப் பொறுத்து தீர்க்கப்படுமானால், அதாவது. y=f(x) படிவத்தைப் பெறவும், பின்னர் மறைமுகமான செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடுவது வெளிப்படையான.எவ்வாறாயினும், சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது எப்போதும் சாத்தியமில்லை, மேலும் இந்த விஷயத்தில் சமன்பாடு (1) மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட y=f(x) மறைமுகமான செயல்பாடு புள்ளியின் சில பகுதிகளில் (x 0 , y 0) உள்ளதா என்பது எப்போதும் தெளிவாக இருக்காது. )
உதாரணமாக, சமன்பாடு 
இது தீர்மானிக்க முடியாத உறவினர் மற்றும் இது புள்ளியின் (1,0) சில சுற்றுப்புறங்களில் உள்ள ஒரு மறைமுகமான செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறதா என்பது தெளிவாக இல்லை, எடுத்துக்காட்டாக. எந்தச் செயல்பாட்டையும் வரையறுக்காத சமன்பாடுகள் உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் (x 2 +y 2 +1=0).
பின்வரும் தேற்றம் உண்மையாக மாறும்:
தேற்றம்"ஒரு மறைமுக செயல்பாட்டின் இருப்பு மற்றும் வேறுபாடு" (ஆதாரம் இல்லாமல்)
சமன்பாடு கொடுக்கலாம் 
(1) மற்றும் செயல்பாடு 
, நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது:
பிறகு:
.
(2)
வடிவியல் ரீதியாக, தேற்றம் ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில் என்று கூறுகிறது 
, தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் சந்திக்கப்படும் இடத்தில், சமன்பாடு (1) மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட மறைமுகமான செயல்பாட்டை வெளிப்படையாக y=f(x) குறிப்பிடலாம், ஏனெனில் ஒவ்வொரு x மதிப்புக்கும் ஒரு தனிப்பட்ட y உள்ளது. வெளிப்படையான வடிவத்தில் செயல்பாட்டிற்கான ஒரு வெளிப்பாட்டைக் கண்டுபிடிக்க முடியாவிட்டாலும், புள்ளி M 0 இன் சில சுற்றுப்புறங்களில் இது ஏற்கனவே கொள்கையளவில் சாத்தியமாகும் என்பதில் நாங்கள் உறுதியாக உள்ளோம்.
அதே உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: 
. நிபந்தனைகளை சரிபார்ப்போம்:
1
)
,
- செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்கள் இரண்டும் புள்ளியின் (1,0) அருகில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் (தொடர்ச்சியான ஒன்றின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் விளைபொருளாக).
2)
.
3)
. இதன் பொருள் y = f(x) என்ற மறைமுகமான செயல்பாடு புள்ளியின் (1,0) அருகில் உள்ளது. எங்களால் அதை வெளிப்படையாக எழுத முடியாது, ஆனால் அதன் வழித்தோன்றலை நாம் இன்னும் காணலாம், இது தொடர்ந்து இருக்கும்:
இப்போது கருத்தில் கொள்வோம் பல மாறிகளின் மறைமுகமான செயல்பாடு. சமன்பாடு கொடுக்கலாம்
. (2)
ஒரு குறிப்பிட்ட பிராந்திய சமன்பாட்டிலிருந்து (2) ஒவ்வொரு ஜோடி மதிப்புகளுக்கும் (x, y) ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு z ஐ இணைத்தால், இந்த சமன்பாடு இரண்டு மாறிகளின் ஒற்றை மதிப்புடைய செயல்பாட்டை மறைமுகமாக வரையறுக்கிறது. 
.
பல மாறிகளின் மறைமுகமான செயல்பாட்டின் இருப்பு மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான தொடர்புடைய தேற்றமும் செல்லுபடியாகும்.
தேற்றம் 2: சமன்பாடு கொடுக்கப்படட்டும் 
(2) மற்றும் செயல்பாடு 
நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது:
உதாரணம்:
. இந்த சமன்பாடு z ஐ x மற்றும் y இன் இரு மதிப்புள்ள மறைமுக சார்பு என வரையறுக்கிறது 
.
ஒரு புள்ளியின் அருகாமையில் உள்ள தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளை நாம் சரிபார்த்தால், எடுத்துக்காட்டாக, (0,0,1), எல்லா நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்படுவதைக் காண்கிறோம்: 
இதன் பொருள், புள்ளியின் (0,0,1) சுற்றுப்புறத்தில் ஒரு மறைமுகமான ஒற்றை-மதிப்புச் செயல்பாடு உள்ளது: இதை நாம் உடனடியாகச் சொல்லலாம்.
, மேல் அரைக்கோளத்தை வரையறுத்தல். 
தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன
மூலம், வெளிப்படையாக நேரடியாக வெளிப்படுத்தப்படும் மறைமுகமான செயல்பாட்டை நாம் வேறுபடுத்தினால் அவை ஒரே மாதிரியாக மாறும். ஒரு மறைமுக செயல்பாட்டின் வரையறை மற்றும் இருப்பு மற்றும் வேறுபாடு தேற்றம்மேலும்