ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது எடுத்துக்காட்டுகள். செயல்பாட்டின் தீவிரம் என்ன: அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச முக்கிய புள்ளிகள்

ஒரு முக்கியமான கருத்துகணிதத்தில் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது. அதன் உதவியுடன், இயற்கையில் நிகழும் பல செயல்முறைகளை நீங்கள் கற்பனை செய்யலாம் மற்றும் ஒரு வரைபடத்தில் சூத்திரங்கள், அட்டவணைகள் மற்றும் படங்களைப் பயன்படுத்தி சில அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவைப் பிரதிபலிக்கலாம். நீரில் மூழ்கும் ஆழம், ஒரு பொருளின் மீது ஒரு குறிப்பிட்ட சக்தியின் செயல்பாட்டின் முடுக்கம், மாற்றப்பட்ட ஆற்றலில் வெப்பநிலை அதிகரிப்பு மற்றும் பல செயல்முறைகள் ஆகியவற்றின் மீது திரவத்தின் ஒரு அடுக்கின் அழுத்தத்தின் சார்பு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஒரு செயல்பாட்டைப் படிப்பது ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவது, அதன் பண்புகள், வரையறை மற்றும் மதிப்புகளின் டொமைன், அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளைக் கண்டறிவது ஆகியவை அடங்கும். ஒரு முக்கியமான புள்ளிஇந்த செயல்பாட்டில் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறிய வேண்டும். இதை எப்படி சரியாக செய்வது என்பது பற்றி மேலும் பேசுவோம்.

ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி கருத்தைப் பற்றி

மருத்துவத்தில், ஒரு செயல்பாட்டு வரைபடத்தைத் திட்டமிடுவது ஒரு நோயாளியின் உடலில் ஒரு நோயின் முன்னேற்றத்தைப் பற்றி நமக்குச் சொல்ல முடியும், இது அவரது நிலையை தெளிவாக பிரதிபலிக்கிறது. OX அச்சு நாட்களில் நேரத்தைக் குறிக்கிறது என்றும், OU அச்சு மனித உடல் வெப்பநிலையைக் குறிக்கிறது என்றும் வைத்துக் கொள்வோம். இந்த காட்டி எவ்வாறு கூர்மையாக உயர்ந்து பின்னர் விழுகிறது என்பதை படம் தெளிவாகக் காட்டுகிறது. ஒரு செயல்பாடு, முன்பு அதிகரித்து, குறையத் தொடங்கும் தருணங்களை பிரதிபலிக்கும் சிறப்பு புள்ளிகளைக் கவனிப்பதும் எளிதானது, மேலும் நேர்மாறாகவும். இவை தீவிர புள்ளிகள், அதாவது, நோயாளியின் வெப்பநிலையின் இந்த விஷயத்தில் முக்கியமான மதிப்புகள் (அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்சம்), அதன் பிறகு அவரது நிலையில் மாற்றங்கள் ஏற்படும்.

சாய்ந்த கோணம்

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதை படத்தில் இருந்து நீங்கள் எளிதாக தீர்மானிக்க முடியும். வரைபடத்தின் நேர்கோடுகள் காலப்போக்கில் மேலே சென்றால், அது நேர்மறையாக இருக்கும். மேலும் அவை செங்குத்தாக இருந்தால், சாய்வின் கோணம் அதிகரிக்கும் போது, ​​வழித்தோன்றலின் மதிப்பு அதிகமாகும். குறையும் காலங்களில் இந்த மதிப்பு எடுக்கும் எதிர்மறை மதிப்புகள், உச்சநிலை புள்ளிகளில் பூஜ்ஜியமாக மாறுகிறது, மேலும் பிந்தைய வழக்கில் வழித்தோன்றலின் வரைபடம் OX அச்சுக்கு இணையாக வரையப்படுகிறது.

வேறு எந்த செயல்முறையும் அதே வழியில் நடத்தப்பட வேண்டும். ஆனால் இந்த கருத்தைப் பற்றி சொல்ல சிறந்த வழி பல்வேறு உடல்களின் இயக்கம், வரைபடங்களில் தெளிவாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது.

இயக்கம்

ஒரு பொருள் ஒரு நேர் கோட்டில் நகர்கிறது, ஒரே சீராக வேகத்தை எடுக்கிறது. இந்த காலகட்டத்தில், உடலின் ஆயங்களில் ஏற்படும் மாற்றம் ஒரு குறிப்பிட்ட வளைவால் வரைபடமாக குறிப்பிடப்படுகிறது, இதை ஒரு கணிதவியலாளர் பரவளையத்தின் கிளை என்று அழைப்பார். அதே நேரத்தில், செயல்பாடு தொடர்ந்து அதிகரித்து வருகிறது, ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பு குறிகாட்டிகள் ஒவ்வொரு நொடியும் வேகமாகவும் வேகமாகவும் மாறுகின்றன. திசைவேக வரைபடம் வழித்தோன்றலின் நடத்தையைக் காட்டுகிறது, அதன் மதிப்பும் அதிகரிக்கிறது. இதன் பொருள் இயக்கத்திற்கு முக்கியமான புள்ளிகள் இல்லை.

இது காலவரையின்றி தொடரும். ஆனால் உடல் திடீரென்று வேகத்தைக் குறைக்கவும், நிறுத்தவும், வேறு திசையில் செல்லவும் முடிவு செய்தால் என்ன செய்வது? இந்த வழக்கில், ஒருங்கிணைப்பு குறிகாட்டிகள் குறையத் தொடங்கும். செயல்பாடு ஒரு முக்கியமான மதிப்பைக் கடந்து, அதிகரிப்பதில் இருந்து குறைவதற்கு மாறும்.

இந்த எடுத்துக்காட்டைப் பயன்படுத்தி, ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் உள்ள தீவிர புள்ளிகள் அது மோனோடோனிக் ஆக நிறுத்தப்படும் தருணங்களில் தோன்றும் என்பதை நீங்கள் மீண்டும் புரிந்து கொள்ளலாம்.

வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் பொருள்

முன்னர் விவரிக்கப்பட்டது, வழித்தோன்றல் அடிப்படையில் செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதம் என்பதை தெளிவாகக் காட்டுகிறது. இந்த தெளிவுபடுத்தலில் அதன் உடல் அர்த்தம் உள்ளது. எக்ஸ்ட்ரீம் புள்ளிகள் வரைபடத்தில் முக்கியமான பகுதிகள். வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் அவற்றை அடையாளம் கண்டு கண்டறியலாம், இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக மாறும்.

ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனை மற்றொரு அறிகுறி உள்ளது. இத்தகைய ஊடுருவல் புள்ளிகளில் உள்ள வழித்தோன்றல் அதன் அடையாளத்தை மாற்றுகிறது: அதிகபட்ச பகுதியில் "+" இலிருந்து "-" ஆகவும், குறைந்தபட்ச பகுதியில் "-" இலிருந்து "+" ஆகவும் இருக்கும்.

புவியீர்ப்பு செல்வாக்கின் கீழ் இயக்கம்

மற்றொரு சூழ்நிலையை கற்பனை செய்யலாம். குழந்தைகள், ஒரு பந்துடன் விளையாடி, அடிவானத்தில் ஒரு கோணத்தில் நகரத் தொடங்கும் வகையில் அதை எறிந்தனர். ஆரம்ப தருணத்தில், இந்த பொருளின் வேகம் மிக அதிகமாக இருந்தது, ஆனால் புவியீர்ப்பு செல்வாக்கின் கீழ் அது குறையத் தொடங்கியது, மேலும் ஒவ்வொரு நொடியும் அதே அளவு, தோராயமாக 9.8 மீ/வி 2 க்கு சமம். இலவச வீழ்ச்சியின் போது பூமியின் ஈர்ப்பு விசையின் செல்வாக்கின் கீழ் ஏற்படும் முடுக்கத்தின் மதிப்பு இதுவாகும். சந்திரனில் அது ஆறு மடங்கு சிறியதாக இருக்கும்.

உடலின் இயக்கத்தை விவரிக்கும் வரைபடம் கிளைகள் கீழே சுட்டிக்காட்டும் ஒரு பரவளையமாகும். தீவிர புள்ளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இந்த வழக்கில், இது செயல்பாட்டின் மேல், உடலின் வேகம் (பந்து) பூஜ்ஜிய மதிப்பை எடுக்கும். செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகிறது. இந்த வழக்கில், திசை, எனவே வேக மதிப்பு, எதிர் மாறுகிறது. உடல் ஒவ்வொரு நொடியும் வேகமாக கீழே பறக்கிறது, மேலும் அதே அளவு வேகமடைகிறது - 9.8 மீ/வி 2 .

இரண்டாவது வழித்தோன்றல்

முந்தைய வழக்கில், திசைவேக மாடுலஸ் வரைபடம் ஒரு நேர் கோடாக வரையப்பட்டது. இந்த வரி ஆரம்பத்தில் கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இந்த மதிப்பின் மதிப்பு தொடர்ந்து குறைந்து வருகிறது. ஒரு கட்டத்தில் பூஜ்ஜியத்தை அடைந்த பிறகு, இந்த மதிப்பின் குறிகாட்டிகள் அதிகரிக்கத் தொடங்குகின்றன, மேலும் திசையும் வரைகலை படம்வேக தொகுதி வியத்தகு முறையில் மாறுகிறது. கோடு இப்போது மேல்நோக்கி உள்ளது.

வேகம், நேரத்தைப் பொறுத்து ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றலாக இருப்பதும் ஒரு முக்கியமான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது. இந்த பகுதியில், செயல்பாடு, ஆரம்பத்தில் குறைந்து, அதிகரிக்க தொடங்குகிறது. இது செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் தீவிர புள்ளியின் இருப்பிடமாகும். இந்த வழக்கில், தொடுகோடு சாய்வின் கோணம் பூஜ்ஜியமாக மாறும். முடுக்கம், நேரத்தைப் பொறுத்து ஆயத்தொகையின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலாக இருப்பதால், குறியை “-” இலிருந்து “+” ஆக மாற்றுகிறது. மற்றும் சீரான மெதுவாக இருந்து இயக்கம் ஒரே சீராக முடுக்கி ஆகிறது.

முடுக்கம் வரைபடம்

இப்போது நான்கு படங்களைப் பார்ப்போம். அவை ஒவ்வொன்றும் காலப்போக்கில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது உடல் அளவு, முடுக்கம் போன்றது. "A" இல் அதன் மதிப்பு நேர்மறையாகவும் நிலையானதாகவும் இருக்கும். இதன் பொருள் உடலின் வேகம், அதன் ஒருங்கிணைப்பு போன்றது, தொடர்ந்து அதிகரித்து வருகிறது. பொருள் இந்த வழியில் எண்ணற்ற நீண்ட காலத்திற்கு நகரும் என்று நாம் கற்பனை செய்தால், நேரத்தின் ஒருங்கிணைப்பின் சார்புநிலையை பிரதிபலிக்கும் செயல்பாடு தொடர்ந்து அதிகரித்து வரும். இது முக்கியமான பகுதிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பது இதிலிருந்து பின்வருமாறு. வழித்தோன்றலின் வரைபடத்தில் தீவிர புள்ளிகள் எதுவும் இல்லை, அதாவது நேரியல் மாறுபடும் வேகம்.

நேர்மறை மற்றும் தொடர்ந்து அதிகரிக்கும் முடுக்கம் கொண்ட "B" வழக்குக்கும் இது பொருந்தும். உண்மை, இங்கே ஆய மற்றும் வேகத்திற்கான வரைபடங்கள் சற்று சிக்கலானதாக இருக்கும்.

முடுக்கம் பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லும் போது

"பி" படத்தைப் பார்த்தால், உடலின் இயக்கத்தை வகைப்படுத்தும் முற்றிலும் மாறுபட்ட படத்தை ஒருவர் அவதானிக்கலாம். அதன் வேகம் ஒரு பரவளையத்தால் வரைகலையாகக் குறிக்கப்படும், கிளைகள் கீழ்நோக்கி இயக்கப்படும். முடுக்கம் மாற்றத்தை விவரிக்கும் வரியை OX அச்சில் வெட்டும் வரை தொடர்ந்தால், இந்த முக்கியமான மதிப்பு வரை, முடுக்கம் பூஜ்ஜியமாக மாறும், பொருளின் வேகம் மேலும் மேலும் மெதுவாக அதிகரிக்கும் என்று கற்பனை செய்யலாம். . ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் தீவிர புள்ளியானது பரவளையத்தின் உச்சியில் சரியாக இருக்கும், அதன் பிறகு உடல் அதன் இயக்கத்தின் தன்மையை தீவிரமாக மாற்றி வேறு திசையில் நகரத் தொடங்கும்.

கடைசி வழக்கில், "ஜி", இயக்கத்தின் தன்மையை துல்லியமாக தீர்மானிக்க முடியாது. இங்கு பரிசீலனையில் சில காலத்திற்கு முடுக்கம் இல்லை என்பதை மட்டுமே நாம் அறிவோம். இதன் பொருள் பொருள் இடத்தில் இருக்க முடியும் அல்லது நிலையான வேகத்தில் நகர முடியும்.

ஒருங்கிணைப்புச் சிக்கல்

பள்ளியில் இயற்கணிதம் படிக்கும்போது அடிக்கடி சந்திக்கும் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராகும் பணிகளுக்குச் செல்லலாம். கீழே உள்ள படம் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது. தீவிர புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகையை கணக்கிடுவது அவசியம்.

செயல்பாட்டின் குணாதிசயங்களில் மாற்றம் காணப்பட்ட முக்கியமான பகுதிகளின் ஆயங்களை தீர்மானிப்பதன் மூலம் ஆர்டினேட் அச்சுக்கு இதைச் செய்வோம். எளிமையாகச் சொன்னால், ஊடுருவல் புள்ளிகளுக்கான OX அச்சில் உள்ள மதிப்புகளைக் கண்டறிந்து, அதன் விளைவாக வரும் சொற்களைச் சேர்ப்போம். வரைபடத்தின் படி, அவர்கள் பின்வரும் மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறார்கள் என்பது தெளிவாகிறது: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. இது -21 வரை சேர்க்கிறது, இது பதில்.

உகந்த தீர்வு

நடைமுறைப் பணிகளைச் செய்வதில் உகந்த தீர்வின் தேர்வு எவ்வளவு முக்கியமானது என்பதை விளக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு இலக்கை அடைய பல வழிகள் உள்ளன, ஆனால் சிறந்த வழி, ஒரு விதியாக, ஒன்று மட்டுமே. இது மிகவும் அவசியம், எடுத்துக்காட்டாக, கப்பல்களை வடிவமைக்கும் போது, விண்கலங்கள்இந்த மனிதனால் உருவாக்கப்பட்ட பொருட்களின் உகந்த வடிவத்தைக் கண்டறிய விமானம், கட்டடக்கலை கட்டமைப்புகள்.

வாகனங்களின் வேகம் பெரும்பாலும் நீர் மற்றும் காற்று வழியாக நகரும் போது ஏற்படும் எதிர்ப்பின் சரியான குறைப்பு, ஈர்ப்பு விசைகள் மற்றும் பல குறிகாட்டிகளின் செல்வாக்கின் கீழ் எழும் அதிக சுமைகளைப் பொறுத்தது. கடலில் ஒரு கப்பலுக்கு புயலின் போது நிலைத்தன்மை போன்ற குணங்கள் தேவை, ஒரு குறைந்தபட்ச வரைவு முக்கியமானது. உகந்த வடிவமைப்பைக் கணக்கிடும் போது, ​​வரைபடத்தில் உள்ள தீவிர புள்ளிகள் தெளிவாக ஒரு யோசனை கொடுக்க முடியும் சிறந்த தீர்வுசிக்கலான பிரச்சனை. இந்த வகையான பிரச்சனைகள் பெரும்பாலும் பொருளாதாரம், வணிகப் பகுதிகள் மற்றும் பல வாழ்க்கை சூழ்நிலைகளில் தீர்க்கப்படுகின்றன.

பண்டைய வரலாற்றிலிருந்து

பண்டைய முனிவர்கள் கூட தீவிர பிரச்சனைகளில் ஆக்கிரமிக்கப்பட்டனர். கிரேக்க விஞ்ஞானிகள் கணிதக் கணக்கீடுகள் மூலம் பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளின் மர்மத்தை வெற்றிகரமாக அவிழ்த்தனர். ஒரே சுற்றளவைக் கொண்ட பல்வேறு உருவங்களின் விமானத்தில் இருப்பதை அவர்கள் முதலில் புரிந்துகொண்டனர். மிகப்பெரிய பகுதிஎப்போதும் ஒரு வட்டம் உள்ளது. இதேபோல், அதே பரப்பளவைக் கொண்ட விண்வெளியில் உள்ள மற்ற பொருட்களில் பந்து அதிகபட்ச அளவைக் கொண்டுள்ளது. பின்வரும் நபர்கள் இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் தங்களை அர்ப்பணித்தனர்: பிரபலமான ஆளுமைகள், ஆர்க்கிமிடிஸ், யூக்ளிட், அரிஸ்டாட்டில், அப்பல்லோனியஸ் போன்றவர்கள். ஹெரான் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிறந்து விளங்கினார் மற்றும் கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி, தனித்துவமான சாதனங்களை உருவாக்கினார். நீராவி மூலம் நகரும் இயந்திரங்கள், பம்புகள் மற்றும் விசையாழிகள் அதே கொள்கையில் இயங்கும்.

கார்தேஜ் கட்டுமானம்

ஒரு புராணக்கதை உள்ளது, அதன் சதி தீவிர சிக்கல்களில் ஒன்றைத் தீர்ப்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டது. உதவிக்காக முனிவர்களிடம் திரும்பிய ஃபீனீசிய இளவரசியால் நிரூபிக்கப்பட்ட வணிக அணுகுமுறையின் விளைவாக கார்தேஜின் கட்டுமானம் இருந்தது. நில சதிஇந்த பண்டைய மற்றும் பிரபலமான நகரத்திற்கு, டிடோ (அது ஆட்சியாளரின் பெயர்) ஆப்பிரிக்க பழங்குடியினரின் தலைவரால் வழங்கப்பட்டது. ஒப்பந்தத்தின் படி அது ஆக்ஸைடால் மூடப்பட்டிருக்க வேண்டும் என்பதால், ஒதுக்கீட்டின் பரப்பளவு அவருக்கு முதலில் பெரிதாகத் தெரியவில்லை. ஆனால் இளவரசி அதை மெல்லிய கீற்றுகளாக வெட்டி அவர்களிடமிருந்து ஒரு பெல்ட்டை உருவாக்கும்படி தனது வீரர்களுக்கு உத்தரவிட்டார். அது ஒரு முழு நகரமும் பொருந்தக்கூடிய ஒரு பகுதியை உள்ளடக்கியதாக நீண்டதாக மாறியது.

கணித பகுப்பாய்வின் தோற்றம்

இப்போது பழங்காலத்திலிருந்து பிற்கால சகாப்தத்திற்கு செல்லலாம். அடிப்படைகளைப் புரிந்துகொள்வது சுவாரஸ்யமானது கணித பகுப்பாய்வு 17 ஆம் நூற்றாண்டில் ஒயின் விற்பனையாளருடனான சந்திப்பால் கெப்லர் தூண்டப்பட்டார். வணிகர் தனது தொழிலில் மிகவும் அறிந்தவராக இருந்தார், பீப்பாயில் ஒரு இரும்பு கயிற்றைக் குறைப்பதன் மூலம் அவர் பானத்தின் அளவை எளிதில் தீர்மானிக்க முடியும். அத்தகைய ஆர்வத்தை பிரதிபலிப்பதன் மூலம், பிரபல விஞ்ஞானி இந்த சங்கடத்தை தானே தீர்க்க முடிந்தது. அந்தக் காலத்தின் திறமையான கூப்பர்கள், ஒரு குறிப்பிட்ட உயரத்திலும், கட்டும் வளையங்களின் சுற்றளவின் ஆரத்திலும், அதிகபட்ச திறனைக் கொண்டிருக்கும் வகையில் பாத்திரங்களைத் தயாரிப்பதில் தொங்கினர் என்று மாறிவிடும்.

கெப்லர் மேலும் சிந்திக்க இது ஒரு காரணமாக அமைந்தது. கூப்பர்கள் ஒரு நீண்ட தேடல், தவறுகள் மற்றும் புதிய முயற்சிகள் மூலம் உகந்த தீர்வுக்கு வந்தனர், தலைமுறையிலிருந்து தலைமுறைக்கு தங்கள் அனுபவத்தை அனுப்புகிறார்கள். ஆனால் கெப்லர் செயல்முறையை விரைவுபடுத்த விரும்பினார் மற்றும் கணிதக் கணக்கீடுகள் மூலம் குறுகிய காலத்தில் அதையே எப்படிச் செய்வது என்று கற்றுக்கொள்ள விரும்பினார். அவரது அனைத்து வளர்ச்சிகளும், அவரது சக ஊழியர்களால் எடுக்கப்பட்டன, இப்போது பிரபலமான ஃபெர்மாட் மற்றும் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் கோட்பாடுகளாக மாறியது.

அதிகபட்ச பகுதி பிரச்சனை

50 செ.மீ நீளமுள்ள ஒரு கம்பி நம்மிடம் உள்ளது என்று கற்பனை செய்து கொள்வோம்.

ஒரு முடிவைத் தொடங்கும்போது, ​​அனைவருக்கும் தெரிந்த எளிய உண்மைகளிலிருந்து நீங்கள் தொடர வேண்டும். எங்கள் உருவத்தின் சுற்றளவு 50 செமீ இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது, இது இருபுறமும் இரு மடங்கு நீளம் கொண்டது. அதாவது, அவற்றில் ஒன்றை “எக்ஸ்” என்று குறிப்பிட்டு, மற்றதை (25 - எக்ஸ்) என வெளிப்படுத்தலாம்.

இங்கிருந்து நாம் X(25 - X) க்கு சமமான பகுதியைப் பெறுகிறோம். இந்த வெளிப்பாடு பல மதிப்புகளை எடுக்கும் செயல்பாடாக கருதலாம். சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு அவற்றில் அதிகபட்சத்தைக் கண்டறிய வேண்டும், அதாவது நீங்கள் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

இதைச் செய்ய, முதல் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடித்து அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம். இதன் விளைவாக ஒரு எளிய சமன்பாடு: 25 - 2X = 0.

பக்கங்களில் ஒன்று X = 12.5 என்பதை அதிலிருந்து அறிந்து கொள்கிறோம்.

எனவே, மற்றொன்று: 25 - 12.5 = 12.5.

பிரச்சனைக்கு தீர்வு 12.5 செமீ பக்கத்துடன் ஒரு சதுரமாக இருக்கும் என்று மாறிவிடும்.

அதிகபட்ச வேகத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். ஒரு உடல் இருக்கிறது என்று கற்பனை செய்வோம், நேரான இயக்கம்இது S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8 என்ற சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படுகிறது, இதில் பயணித்த தூரம் மீட்டர் மற்றும் நேரம் வினாடிகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. அதிகபட்ச வேகத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அதை எப்படி செய்வது? பதிவிறக்கம் செய்யப்பட்டது, வேகத்தைக் காண்கிறோம், அதாவது முதல் வழித்தோன்றல்.

நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: V = - 3t 2 + 18t - 24. இப்போது சிக்கலைத் தீர்க்க நாம் மீண்டும் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இது முந்தைய பணியைப் போலவே செய்யப்பட வேண்டும். வேகத்தின் முதல் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடித்து அதை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்கிறோம்.

நாம் பெறுகிறோம்: - 6t + 18 = 0. எனவே t = 3 s. உடலின் வேகம் ஒரு முக்கியமான மதிப்பைப் பெறும் நேரம் இது. இதன் விளைவாக வரும் தரவை வேக சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம் மற்றும் பெறுகிறோம்: V = 3 m/s.

ஆனால் ஒரு செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகள் அதன் மிகப்பெரிய அல்லது சிறிய மதிப்புகளாக இருக்கலாம் என்பதால், இது அதிகபட்ச வேகம் என்பதை நாம் எவ்வாறு புரிந்துகொள்வது? சரிபார்க்க, வேகத்தின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இது ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் எண் 6 ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. இதன் பொருள் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட புள்ளி அதிகபட்சம். மேலும் நேர்மறை மதிப்பின் விஷயத்தில், இரண்டாவது வழித்தோன்றல் குறைந்தபட்ச மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். இதன் பொருள் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வு சரியானதாக மாறியது.

ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது உங்களுக்குத் தெரிந்தால் தீர்க்கப்படக்கூடிய சிக்கல்களில் ஒரு உதாரணம் கொடுக்கப்பட்ட சிக்கல்கள் மட்டுமே. உண்மையில், அவற்றில் இன்னும் பல உள்ளன. அத்தகைய அறிவு மனித நாகரிகத்திற்கான வரம்பற்ற சாத்தியங்களைத் திறக்கிறது.

மிகவும் முக்கியமான தகவல்செயல்பாட்டின் நடத்தை பற்றி அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைவதற்கான இடைவெளிகளை வழங்குகிறது. அவற்றைக் கண்டறிவது செயல்பாட்டை ஆய்வு செய்து வரைபடத்தைத் திட்டமிடும் செயல்முறையின் ஒரு பகுதியாகும். கூடுதலாக, ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியும் போது, ​​அதிகரிப்பதில் இருந்து குறைவதற்கு அல்லது குறைவதில் இருந்து அதிகரிப்பதற்கு மாற்றம் இருக்கும் தீவிர புள்ளிகளுக்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்படுகிறது.

இந்த கட்டுரையில் நாம் கொடுப்போம் தேவையான வரையறைகள், உருவாக்குவோம் போதுமான அறிகுறிஒரு இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைப்பு மற்றும் ஒரு தீவிரத்தின் இருப்புக்கான போதுமான நிலைமைகள், எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு இந்த முழு கோட்பாட்டையும் பயன்படுத்துவோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

ஒரு இடைவெளியில் செயல்பாடு அதிகரித்தல் மற்றும் குறைத்தல்.

அதிகரிக்கும் செயல்பாட்டின் வரையறை.

y=f(x) செயல்பாடு X இடைவெளியில் ஏதேனும் இருந்தால் அதிகரிக்கிறது சமத்துவமின்மை உள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வாதத்தின் பெரிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் பெரிய மதிப்புடன் ஒத்துள்ளது.

குறையும் செயல்பாட்டின் வரையறை.

y=f(x) சார்பு X இடைவெளியில் ஏதேனும் இருந்தால் குறைகிறது சமத்துவமின்மை உள்ளது . வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வாதத்தின் பெரிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்புடன் ஒத்துள்ளது.

குறிப்பு: அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் இடைவெளியில் (a;b), அதாவது x=a மற்றும் x=b இல் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு தொடர்ச்சியாக இருந்தால், இந்த புள்ளிகள் அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் இடைவெளியில் சேர்க்கப்படும். இது X இடைவெளியில் அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் செயல்பாட்டின் வரையறைகளுக்கு முரணாக இல்லை.

உதாரணமாக, முக்கிய பண்புகளிலிருந்து அடிப்படை செயல்பாடுகள்வாதத்தின் அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளுக்கும் y=sinx வரையறுக்கப்பட்டு தொடர்கிறது என்பதை நாம் அறிவோம். எனவே, இடைவெளியில் சைன் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பிலிருந்து, அது இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறது என்று உறுதியாகக் கூறலாம்.

எக்ஸ்ட்ரீம் புள்ளிகள், ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரம்.

புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது அதிகபட்ச புள்ளிசெயல்பாடு y=f(x) சமத்துவமின்மை அதன் அருகில் உள்ள அனைத்து x க்கும் உண்மையாக இருந்தால். அதிகபட்ச புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகபட்சம்மற்றும் குறிக்கவும்.

புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச புள்ளிசெயல்பாடு y=f(x) சமத்துவமின்மை அதன் அருகில் உள்ள அனைத்து x க்கும் உண்மையாக இருந்தால். குறைந்தபட்ச புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச செயல்பாடுமற்றும் குறிக்கவும்.

ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறம் இடைவெளியாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது , போதுமான சிறிய நேர்மறை எண் எங்கே.

குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன தீவிர புள்ளிகள், மற்றும் தீவிர புள்ளிகளுடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன செயல்பாட்டின் உச்சநிலை.

செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளுடன் செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை குழப்ப வேண்டாம்.

முதல் படத்தில், பிரிவில் உள்ள செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பு அதிகபட்ச புள்ளியில் அடையப்படுகிறது மற்றும் செயல்பாட்டின் அதிகபட்சத்திற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் இரண்டாவது படத்தில், செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பு x=b புள்ளியில் அடையப்படுகிறது. , இது அதிகபட்ச புள்ளி அல்ல.

செயல்பாடுகளை அதிகரிப்பதற்கும் குறைப்பதற்கும் போதுமான நிபந்தனைகள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைப்புக்கான போதுமான நிபந்தனைகளின் (அறிகுறிகள்) அடிப்படையில், செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகள் காணப்படுகின்றன.

ஒரு இடைவெளியில் செயல்பாடுகளை அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைக்கும் அறிகுறிகளின் சூத்திரங்கள் இங்கே:

• y=f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் X இடைவெளியில் இருந்து எந்த x க்கும் நேர்மறையாக இருந்தால், செயல்பாடு X ஆல் அதிகரிக்கிறது;
• y=f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் X இடைவெளியில் இருந்து எந்த x க்கும் எதிர்மறையாக இருந்தால், X இல் செயல்பாடு குறைகிறது.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்க, இது அவசியம்:

அல்காரிதத்தை விளக்க, செயல்பாடுகளை அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைக்கும் இடைவெளிகளைக் கண்டறிவதற்கான உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணமாக.

செயல்பாட்டை அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைக்கும் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டறிவதே முதல் படி. எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லக்கூடாது, எனவே, .

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்குச் செல்லலாம்:

போதுமான அளவுகோலின் அடிப்படையில் ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்க, வரையறையின் களத்தில் உள்ள ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கிறோம். இடைவெளி முறையின் பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்துவோம். எண்களின் ஒரே உண்மையான வேர் x = 2 ஆகும், மேலும் வகுப்பானது x=0 இல் பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்கிறது. இந்த புள்ளிகள் வரையறையின் டொமைனை இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கின்றன, இதில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் அதன் அடையாளத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது. இந்த புள்ளிகளை எண் வரிசையில் குறிப்போம். வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ இருக்கும் இடைவெளிகளை கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் மூலம் வழக்கமாகக் குறிக்கிறோம். கீழே உள்ள அம்புகள், தொடர்புடைய இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு அல்லது குறைவை திட்டவட்டமாகக் காட்டுகின்றன.

இதனால், மற்றும் .

புள்ளியில் x=2 செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் தொடர்ச்சியானது, எனவே இது அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் இடைவெளிகளில் சேர்க்கப்பட வேண்டும். x=0 புள்ளியில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே இந்த புள்ளியை தேவையான இடைவெளியில் சேர்க்க மாட்டோம்.

பெறப்பட்ட முடிவுகளை அதனுடன் ஒப்பிட, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை நாங்கள் வழங்குகிறோம்.

பதில்:

என செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது , இடைவெளியில் குறைகிறது (0;2] .

ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் மினிமாவைக் கண்டறிய, நீங்கள் எக்ஸ்ட்ரம்மின் மூன்று அறிகுறிகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம், நிச்சயமாக, செயல்பாடு அவற்றின் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்தால். மிகவும் பொதுவான மற்றும் வசதியானது அவற்றில் முதன்மையானது.

ஒரு உச்சநிலைக்கு முதல் போதுமான நிபந்தனை.

y=f(x) சார்பு புள்ளியின் -அருகில் வேறுபடுத்தக்கூடியதாகவும் புள்ளியிலேயே தொடர்ச்சியாகவும் இருக்கட்டும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்:

செயல்பாட்டின் உச்சத்தின் முதல் அறிகுறியின் அடிப்படையில் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்.

• செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் காண்கிறோம்.
• வரையறையின் களத்தில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்.
• எண்களின் பூஜ்ஜியங்கள், வழித்தோன்றலின் வகுப்பின் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் வழித்தோன்றல் இல்லாத வரையறையின் டொமைனின் புள்ளிகள் (பட்டியலிடப்பட்ட அனைத்து புள்ளிகளும் அழைக்கப்படுகின்றன சாத்தியமான உச்சநிலை புள்ளிகள், இந்த புள்ளிகளைக் கடந்து, வழித்தோன்றல் அதன் அடையாளத்தை மாற்ற முடியும்).
• இந்த புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தை வழித்தோன்றல் அதன் அடையாளத்தை வைத்திருக்கும் இடைவெளிகளாக பிரிக்கிறது. ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம் (உதாரணமாக, ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் எந்த புள்ளியிலும் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலம்).
• செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும் புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், அதன் வழியாக, வழித்தோன்றல் மாற்றங்களின் அடையாளம் - இவை தீவிர புள்ளிகள்.

பல சொற்கள் உள்ளன, ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கான முதல் போதுமான நிபந்தனையைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் மற்றும் தீவிரத்தை கண்டுபிடிப்பதற்கான சில எடுத்துக்காட்டுகளை நன்றாகப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைன் என்பது x=2 தவிர உண்மையான எண்களின் முழு தொகுப்பாகும்.

வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்:

எண்களின் பூஜ்ஜியங்கள் புள்ளிகள் x=-1 மற்றும் x=5 ஆகும், வகுப்பானது x=2 இல் பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்கிறது. இந்த புள்ளிகளை எண் அச்சில் குறிக்கவும்

ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம், இதை செய்ய, ஒவ்வொரு இடைவெளியின் எந்தப் புள்ளியிலும் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, x=-2, x=0, x=3 மற்றும் x=6.

எனவே, இடைவெளியில் வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக உள்ளது (படத்தில் இந்த இடைவெளியில் ஒரு கூட்டல் குறியை வைக்கிறோம்). அதேபோல்

எனவே, இரண்டாவது இடைவெளிக்கு மேலே ஒரு கழித்தல், மூன்றாவதுக்கு மேல் ஒரு கழித்தல், நான்காவது இடைவெளிக்கு மேல் ஒரு கூட்டல் ஆகியவற்றை வைக்கிறோம்.

செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் மாற்றங்களின் அடையாளத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க இது உள்ளது. இவை தீவிர புள்ளிகள்.

புள்ளியில் x=-1 சார்பு தொடர்ச்சியாக உள்ளது மற்றும் வழித்தோன்றல்கள் கூட்டல் முதல் கழித்தல் வரை மாறுகிறது, எனவே, எக்ஸ்ட்ரம்மின் முதல் அறிகுறியின்படி, x=-1 என்பது அதிகபட்ச புள்ளியாகும், செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் அதற்கு ஒத்திருக்கிறது. .

புள்ளியில் x=5 செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக உள்ளது மற்றும் வழித்தோன்றல் மாற்றங்களின் அடையாளம் கழித்தல் முதல் கூட்டலுக்கு, எனவே, x=-1 என்பது குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும், செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சம் அதற்கு ஒத்திருக்கிறது .

கிராஃபிக் விளக்கம்.

பதில்:

தயவு செய்து கவனிக்கவும்: ஒரு முனையின் முதல் போதுமான அளவுகோலுக்கு புள்ளியிலேயே செயல்பாட்டின் வேறுபாடு தேவையில்லை.

உதாரணமாக.

செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் மற்றும் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு.

ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைன் என்பது உண்மையான எண்களின் முழு தொகுப்பாகும். செயல்பாட்டையே இவ்வாறு எழுதலாம்:

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

புள்ளியில் x=0 வழித்தோன்றல் இல்லை, ஏனெனில் ஒரு பக்க வரம்புகளின் மதிப்புகள் வாதம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது ஒத்துப்போவதில்லை:

அதே நேரத்தில், அசல் செயல்பாடு x=0 புள்ளியில் தொடர்கிறது (தொடர்ச்சிக்கான செயல்பாட்டைப் படிக்கும் பகுதியைப் பார்க்கவும்):

வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் வாதத்தின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எண் வரிசையில் பெறப்பட்ட அனைத்து புள்ளிகளையும் குறிப்போம் மற்றும் ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை தீர்மானிப்போம். இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு இடைவெளியின் தன்னிச்சையான புள்ளிகளில் வழித்தோன்றலின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

அது,

எனவே, ஒரு தீவிரத்தின் முதல் அறிகுறியின்படி, குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் , அதிகபட்ச புள்ளிகள் .

செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய குறைந்தபட்சத்தை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்

செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகபட்சத்தை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்

கிராஃபிக் விளக்கம்.

பதில்:

.

ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையின் இரண்டாவது அடையாளம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையின் இந்த அடையாளத்திற்கு புள்ளியில் குறைந்தபட்சம் இரண்டாவது வரிசையில் ஒரு வழித்தோன்றல் இருக்க வேண்டும்.

இந்த சேவை மூலம் உங்களால் முடியும் ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைக் கண்டறியவும்வேர்டில் வடிவமைக்கப்பட்ட தீர்வுடன் ஒரு மாறி f(x). f(x,y) சார்பு கொடுக்கப்பட்டால், இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிவது அவசியம். செயல்பாடுகளை அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைக்கும் இடைவெளிகளையும் நீங்கள் காணலாம்.

செயல்பாடுகளை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்:

ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை

ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனை

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

பின்னர் புள்ளி x * என்பது செயல்பாட்டின் உள்ளூர் (உலகளாவிய) குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்.

x * புள்ளியில் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால்:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

பின்னர் புள்ளி x * என்பது உள்ளூர் (உலகளாவிய) அதிகபட்சம்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்: பிரிவில்.
தீர்வு.

முக்கியமான புள்ளி ஒன்று x 1 = 2 (f'(x)=0). இந்த புள்ளி பிரிவுக்கு சொந்தமானது. (புள்ளி x=0 முக்கியமானதல்ல, ஏனெனில் 0∉).
பிரிவின் முனைகளிலும் முக்கியமான புள்ளியிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறோம்.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
பதில்: f min = 5/2 at x=2; f அதிகபட்சம் =9 x=1

எடுத்துக்காட்டு எண். 2. உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி, y=x-2sin(x) செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு.
செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்: y'=1-2cos(x) . முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. நாம் y’’=2sin(x), கணக்கிடுகிறோம், அதாவது x= π / 3 +2πk, k∈Z ஆகியவை செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்; , அதாவது x=- π / 3 +2πk, kZ ஆகியவை செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளிகள்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3. x=0 புள்ளிக்கு அருகில் உள்ள தீவிர செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள்.
தீர்வு. இங்கே செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம். எக்ஸ்ட்ரம் x=0 எனில், அதன் வகையைக் கண்டறியவும் (குறைந்தபட்சம் அல்லது அதிகபட்சம்). கண்டுபிடிக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் x = 0 இல்லை என்றால், f(x=0) செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள வழித்தோன்றல் அதன் அடையாளத்தை மாற்றாதபோது, ​​​​சாத்தியமான சூழ்நிலைகள் வேறுபட்ட செயல்பாடுகளுக்கு கூட தீர்ந்துவிடாது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்: புள்ளி x 0 அல்லது ஒரு பக்கத்தில் தன்னிச்சையாக சிறிய சுற்றுப்புறத்திற்கு இருபுறமும் வழித்தோன்றல் மாற்றங்கள் அடையாளம். இந்த புள்ளிகளில் ஒரு உச்சநிலையில் செயல்பாடுகளைப் படிக்க மற்ற முறைகளைப் பயன்படுத்துவது அவசியம்.

இந்தக் கட்டுரையிலிருந்து, ஒரு செயல்பாட்டு மதிப்பின் உச்சநிலை என்ன என்பதைப் பற்றியும், அதன் பயன்பாட்டின் அம்சங்களைப் பற்றியும் வாசகர் அறிந்து கொள்வார். நடைமுறை நடவடிக்கைகள். உயர் கணிதத்தின் அடித்தளத்தைப் புரிந்துகொள்வதற்கு அத்தகைய கருத்தைப் படிப்பது மிகவும் முக்கியமானது. பாடத்திட்டத்தின் ஆழமான ஆய்வுக்கு இந்தத் தலைப்பு அடிப்படையானது.

உடன் தொடர்பில் உள்ளது

எக்ஸ்ட்ரம் என்றால் என்ன?

பள்ளி பாடத்திட்டத்தில், "தீவிரம்" என்ற கருத்துக்கு பல வரையறைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இக்கட்டுரையானது, சிக்கலைப் பற்றி அறியாதவர்களுக்கு இந்தச் சொல்லைப் பற்றிய ஆழமான மற்றும் தெளிவான புரிதலை வழங்குவதாகும். எனவே, ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்பில் செயல்பாட்டு இடைவெளி எந்த அளவிற்கு குறைந்தபட்ச அல்லது அதிகபட்ச மதிப்பைப் பெறுகிறது என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

ஒரு எக்ஸ்ட்ரம் என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு மற்றும் ஒரே நேரத்தில் அதிகபட்சம். குறைந்தபட்ச புள்ளி மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளி உள்ளது, அதாவது வரைபடத்தில் உள்ள வாதத்தின் தீவிர மதிப்புகள். இந்த கருத்தைப் பயன்படுத்தும் முக்கிய அறிவியல்கள்:

• புள்ளிவிவரங்கள்;
• இயந்திர கட்டுப்பாடு;
• பொருளாதார அளவியல்.

எக்ஸ்ட்ரீம் புள்ளிகள் விளையாடுகின்றன முக்கிய பங்குவரிசையை தீர்மானிப்பதில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு. வரைபடத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு அதன் சிறந்தசெயல்பாட்டின் மாற்றத்தைப் பொறுத்து தீவிர நிலையில் மாற்றத்தைக் காட்டுகிறது.

வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டின் தீவிரம்

"வழித்தோன்றல்" போன்ற ஒரு நிகழ்வும் உள்ளது. தீவிர புள்ளியை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். குறைந்தபட்ச அல்லது அதிகபட்ச புள்ளிகளை மிக உயர்ந்த மற்றும் குறைந்த மதிப்புகளுடன் குழப்பாமல் இருப்பது முக்கியம். இவை வெவ்வேறு கருத்துக்கள், அவை ஒத்ததாகத் தோன்றினாலும்.

செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதிகபட்ச புள்ளியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை தீர்மானிக்கும் முக்கிய காரணியாகும். வழித்தோன்றல் மதிப்புகளிலிருந்து உருவாகவில்லை, ஆனால் ஒன்று அல்லது மற்றொரு வரிசையில் அதன் தீவிர நிலையிலிருந்து பிரத்தியேகமாக உருவாகிறது.

வழித்தோன்றல் இந்த தீவிர புள்ளிகளின் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, மேலும் மிகப்பெரியது அல்ல குறைந்த மதிப்பு. ரஷ்ய பள்ளிகளில், இந்த இரண்டு கருத்துக்களுக்கும் இடையிலான கோடு தெளிவாக வரையப்படவில்லை, இது பொதுவாக இந்த தலைப்பின் புரிதலை பாதிக்கிறது.

இப்போது அத்தகைய கருத்தை "கடுமையான தீவிரம்" என்று கருதுவோம். இன்று, ஒரு தீவிர குறைந்தபட்ச மதிப்பு மற்றும் ஒரு தீவிர அதிகபட்ச மதிப்பு உள்ளது. ஒரு செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகளின் ரஷ்ய வகைப்பாட்டின் படி வரையறை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு வரைபடத்தில் முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டறிவதற்கான அடிப்படையானது ஒரு தீவிரப் புள்ளியின் கருத்து.

அத்தகைய கருத்தை வரையறுக்க, அவர்கள் ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகின்றனர். தீவிர புள்ளிகளைப் படிப்பதில் இது மிகவும் முக்கியமானது மற்றும் ஒரு வடிவத்தில் அல்லது இன்னொரு வடிவத்தில் அவற்றின் இருப்பைப் பற்றிய தெளிவான யோசனையை அளிக்கிறது. தீவிரத்தன்மையை உறுதிப்படுத்த, வரைபடத்தில் குறைவு அல்லது அதிகரிப்புக்கு சில நிபந்தனைகளை உருவாக்குவது முக்கியம்.

"அதிகபட்ச புள்ளியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது" என்ற கேள்விக்கு துல்லியமாக பதிலளிக்க, நீங்கள் இந்த வழிகாட்டுதல்களைப் பின்பற்ற வேண்டும்:

1. வரைபடத்தில் வரையறையின் சரியான டொமைனைக் கண்டறிதல்.
2. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் தீவிர புள்ளியைத் தேடுங்கள்.
3. வாதம் காணப்படும் டொமைனுக்கான நிலையான ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கவும்.
4. வரைபடத்தில் ஒரு புள்ளி வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளில் நிரூபிக்க முடியும்.

கவனம்!ஒரு செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளியைத் தேடுவது குறைந்தபட்சம் இரண்டாவது வரிசையின் வழித்தோன்றல் இருந்தால் மட்டுமே சாத்தியமாகும், இது ஒரு தீவிர புள்ளியின் இருப்பின் அதிக விகிதத்தால் உறுதி செய்யப்படுகிறது.

ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை

ஒரு உச்சநிலை இருப்பதற்கு, குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகள் இரண்டும் இருப்பது முக்கியம். இந்த விதி ஓரளவு மட்டுமே கவனிக்கப்பட்டால், ஒரு தீவிரத்தின் இருப்புக்கான நிபந்தனை மீறப்படுகிறது.

எந்தவொரு நிலையிலும் உள்ள ஒவ்வொரு செயல்பாடும் அதன் புதிய அர்த்தங்களை அடையாளம் காண வேறுபடுத்தப்பட வேண்டும். பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் புள்ளியின் வழக்கு வேறுபடுத்தக்கூடிய புள்ளியைக் கண்டறிவதற்கான முக்கிய கொள்கை அல்ல என்பதைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம்.

கூர்மையான உச்சநிலை, அதே போல் செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சம், தீர்வின் மிக முக்கியமான அம்சமாகும் கணித பிரச்சனைதீவிர மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துதல். இந்த கூறுகளை நன்கு புரிந்து கொள்ள, செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடுவதற்கு அட்டவணை மதிப்புகளைக் குறிப்பிடுவது முக்கியம்.

வரையறைகள்:

எக்ஸ்ட்ரீம்கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச மதிப்பை அழைக்கவும்.

தீவிர புள்ளிசெயல்பாட்டின் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச மதிப்பை அடையும் புள்ளியாகும்.

அதிகபட்ச புள்ளிசெயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மதிப்பை அடையும் புள்ளியாகும்.

குறைந்தபட்ச புள்ளிசெயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மதிப்பை அடையும் புள்ளியாகும்.

விளக்கம்.

படத்தில், x = 3 புள்ளிக்கு அருகில், செயல்பாடு அதன் அதிகபட்ச மதிப்பை அடைகிறது (அதாவது, இந்த குறிப்பிட்ட புள்ளிக்கு அருகில் எந்த புள்ளியும் அதிகமாக இல்லை). x = 8 இன் சுற்றுப்புறத்தில், அது மீண்டும் அதிகபட்ச மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது (மீண்டும் தெளிவுபடுத்துவோம்: இந்த சுற்றுப்புறத்தில் தான் அதிக புள்ளி இல்லை). இந்த புள்ளிகளில், அதிகரிப்பு குறைவதற்கு வழிவகுக்கிறது. அவை அதிகபட்ச புள்ளிகள்:

x அதிகபட்சம் = 3, x அதிகபட்சம் = 8.

புள்ளி x = 5 க்கு அருகில், செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மதிப்பை அடைந்தது (அதாவது, x = 5 க்கு அருகில் எந்த புள்ளியும் இல்லை). இந்த கட்டத்தில் குறைவு அதிகரிப்புக்கு வழிவகுக்கிறது. இது குறைந்தபட்ச புள்ளி:

அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள், மற்றும் இந்த புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அதன் உச்சநிலை.

செயல்பாட்டின் முக்கியமான மற்றும் நிலையான புள்ளிகள்:

ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை:

ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனை:

ஒரு பிரிவில் செயல்பாடு ஒய் = f(எக்ஸ்) சிறிய அல்லது அடைய முடியும் மிக உயர்ந்த மதிப்புமுக்கியமான புள்ளிகளில் அல்லது பிரிவின் முனைகளில்.

தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டைப் படிப்பதற்கான அல்காரிதம்ஒய் = f(எக்ஸ்) மோனோடோனிசிட்டி மற்றும் எக்ஸ்ட்ரீமா: