ஆன்லைன் கால்குலேட்டர். இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது. இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, ரூட் சூத்திரம், எடுத்துக்காட்டுகள்

இந்த கணித திட்டத்தின் மூலம் உங்களால் முடியும் இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

நிரல் சிக்கலுக்கான பதிலை வழங்குவது மட்டுமல்லாமல், தீர்வு செயல்முறையை இரண்டு வழிகளில் காண்பிக்கும்:
- ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்துதல்
- வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல் (முடிந்தால்).

மேலும், பதில் துல்லியமாக காட்டப்படும், தோராயமாக இல்லை.
எடுத்துக்காட்டாக, \(81x^2-16x-1=0\) சமன்பாட்டிற்கான பதில் பின்வரும் வடிவத்தில் காட்டப்படும்:

இந்த திட்டம்உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும் மேல்நிலைப் பள்ளிகள்தயாரிப்பில் சோதனைகள்மற்றும் பரீட்சைகள், ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வுக்கு முன் அறிவை சோதிக்கும் போது, ​​கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களின் தீர்வைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோர்கள். அல்லது நீங்கள் ஒரு ஆசிரியரை நியமிப்பது அல்லது புதிய பாடப்புத்தகங்களை வாங்குவது மிகவும் விலை உயர்ந்ததா? அல்லது முடிந்தவரை விரைவாக செய்து முடிக்க வேண்டுமா?வீட்டுப்பாடம்

கணிதம் அல்லது இயற்கணிதம்? இந்த வழக்கில், விரிவான தீர்வுகளுடன் எங்கள் நிரல்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம். இந்த வழியில் நீங்கள் உங்கள் சொந்த பயிற்சி மற்றும்/அல்லது உங்களுடைய பயிற்சியை நடத்தலாம்.இளைய சகோதரர்கள்

அல்லது சகோதரிகள், பிரச்சினைகள் தீர்க்கப்படும் துறையில் கல்வி நிலை அதிகரிக்கிறது.

இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையை உள்ளிடுவதற்கான விதிகளை நீங்கள் அறிந்திருக்கவில்லை என்றால், அவற்றை நீங்கள் நன்கு அறிந்திருக்குமாறு பரிந்துரைக்கிறோம்.

இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்குள் நுழைவதற்கான விதிகள்
எந்த லத்தீன் எழுத்தும் மாறியாக செயல்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) போன்றவை.
எண்களை முழு அல்லது பின்ன எண்களாக உள்ளிடலாம். மேலும்,பின்ன எண்கள்

ஒரு தசமமாக மட்டுமல்லாமல், ஒரு சாதாரண பின்னமாகவும் உள்ளிடலாம்.
தசம பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள். தசமங்களில்பகுதியளவு
முழுமையிலிருந்தும் ஒரு காலகட்டம் அல்லது கமாவால் பிரிக்கலாம். உதாரணமாக, நீங்கள் உள்ளிடலாம்தசமங்கள்

இது போல்: 2.5x - 3.5x^2
சாதாரண பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்.

ஒரு முழு எண் மட்டுமே ஒரு பகுதியின் எண், வகுப்பி மற்றும் முழு எண் பகுதியாக செயல்பட முடியும்.

வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது. /
ஒரு எண் பின்னத்தை உள்ளிடும்போது, ​​எண் வகுப்பிலிருந்து ஒரு பிரிவு அடையாளத்தால் பிரிக்கப்படுகிறது: &
முழு பகுதியும் பின்னத்திலிருந்து ஆம்பர்சண்ட் அடையாளத்தால் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது:
உள்ளீடு: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

முடிவு: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) வெளிப்பாடு உள்ளிடும்போதுநீங்கள் அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தலாம்
. இந்த வழக்கில், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாடு முதலில் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த சிக்கலை தீர்க்க தேவையான சில ஸ்கிரிப்ட்கள் ஏற்றப்படவில்லை, மேலும் நிரல் வேலை செய்யாமல் போகலாம்.
நீங்கள் AdBlock இயக்கப்பட்டிருக்கலாம்.
இந்த வழக்கில், அதை முடக்கி, பக்கத்தைப் புதுப்பிக்கவும்.

ஏனெனில் பிரச்சனையை தீர்க்க நிறைய பேர் தயாராக உள்ளனர், உங்கள் கோரிக்கை வரிசையாக உள்ளது.
சில நொடிகளில் தீர்வு கீழே தோன்றும்.
தயவுசெய்து காத்திருக்கவும் நொடி...

நீங்கள் என்றால் தீர்வில் பிழை இருப்பதை கவனித்தேன், பிறகு இதைப் பற்றி பின்னூட்டப் படிவத்தில் எழுதலாம்.
மறக்காதே எந்த பணியை குறிக்கவும்நீங்கள் என்ன முடிவு செய்யுங்கள் துறைகளில் நுழையுங்கள்.

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

ஒரு சிறிய கோட்பாடு.

இருபடி சமன்பாடு மற்றும் அதன் வேர்கள். முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும்
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
போல் தெரிகிறது
\(ax^2+bx+c=0, \)
இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c ஆகியவை எண்கள்.
முதல் சமன்பாட்டில் a = -1, b = 6 மற்றும் c = 1.4, இரண்டாவது a = 8, b = -7 மற்றும் c = 0, மூன்றாவது a = 1, b = 0 மற்றும் c = 4/9. இத்தகைய சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாடுகள்.

வரையறை.
இருபடி சமன்பாடு ax 2 +bx+c=0 வடிவத்தின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c என்பது சில எண்கள் மற்றும் \(a \neq 0 \).

எண்கள் a, b மற்றும் c இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள். எண் a முதல் குணகம் என்றும், எண் b இரண்டாவது குணகம் என்றும், c எண் இலவசச் சொல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

கோடாரி 2 +bx+c=0 வடிவத்தின் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளிலும், \(a \neq 0 \), x மாறியின் மிகப்பெரிய சக்தி ஒரு சதுரமாகும். எனவே பெயர்: இருபடி சமன்பாடு.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டாவது பட்டத்தின் சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் இடது பக்கம் இரண்டாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.

x 2 இன் குணகம் 1 க்கு சமமாக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகள் சமன்பாடுகள்
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டில் கோடாரி 2 +bx+c=0 குணகங்கள் b அல்லது c பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு. எனவே, சமன்பாடுகள் -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகள். அவற்றில் முதலாவது b=0, இரண்டாவது c=0, மூன்றாவது b=0 மற்றும் c=0.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளில் மூன்று வகைகள் உள்ளன:
1) கோடாரி 2 +c=0, இங்கு \(c \neq 0 \);
2) கோடாரி 2 +bx=0, இங்கு \(b \neq 0 \);
3) கோடாரி 2 =0.

இந்த வகைகளில் ஒவ்வொன்றின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

\(c \neq 0 \) வடிவ ax 2 +c=0 இன் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அதன் இலவச காலத்தை வலது பக்கமாக நகர்த்தி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு ஆல் வகுக்கவும்:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \), பின்னர் \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

\(-\frac(c)(a)>0\) எனில், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

\(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) காரணி அதன் இடது பக்கத்தை கொண்டு ax 2 +bx=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க மற்றும் சமன்பாட்டைப் பெறவும்
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (வரிசை)(எல்) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

\(b \neq 0 \) க்கான ax 2 +bx=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எப்போதும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.

கோடாரி 2 =0 வடிவத்தின் முழுமையடையாத இருபடிச் சமன்பாடு x 2 =0 சமன்பாட்டிற்குச் சமமானதாகும், எனவே ஒற்றை வேர் 0 உள்ளது.

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

அறியப்படாதவற்றின் குணகங்களும், கட்டற்ற காலமும் பூஜ்ஜியமாக இல்லாத இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை இப்போது பார்க்கலாம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம் பொதுவான பார்வைஇதன் விளைவாக வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க இந்த சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படலாம்.

கோடாரி 2 +bx+c=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்

இரு பக்கங்களையும் a ஆல் வகுத்தால், சமமான குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

இந்த சமன்பாட்டை ஈருறுப்புக் குறியீட்டின் சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் மாற்றுவோம்:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

தீவிர வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு ax 2 +bx+c=0 (லத்தீன் மொழியில் "பாகுபாடு" - பாரபட்சம்). இது D என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது.
\(D = b^2-4ac\)

இப்போது, ​​பாரபட்சமான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), இங்கு \(D= b^2-4ac \)

இது வெளிப்படையானது:
1) D>0 எனில், இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
2) D=0 எனில், இருபடிச் சமன்பாட்டில் ஒரு ரூட் \(x=-\frac(b)(2a)\) உள்ளது.
3) D எனில், பாகுபாட்டின் மதிப்பைப் பொறுத்து, ஒரு இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம் (D > 0 க்கு), ஒரு ரூட் (D = 0 க்கு) அல்லது வேர்கள் இல்லை (D க்கு இதைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது சூத்திரம், பின்வரும் வழியைச் செய்வது நல்லது:
1) பாகுபாட்டைக் கணக்கிட்டு பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுக;
2) பாரபட்சம் நேர்மறையாக இருந்தால் அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இல்லை என்று எழுதவும்.

வியட்டாவின் தேற்றம்

கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு கோடாரி 2 -7x+10=0 க்கு வேர்கள் 2 மற்றும் 5 உள்ளது. வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7, மற்றும் தயாரிப்பு 10. வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் கொண்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். அடையாளம், மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம். வேர்களைக் கொண்ட எந்தவொரு குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடும் இந்தப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

மேற்கூறிய இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமம், மேலும் வேர்களின் பெருக்கல் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம்.

அந்த. குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் x 1 மற்றும் x 2 வேர்கள் x 2 +px+q=0 பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்று வியட்டாவின் தேற்றம் கூறுகிறது:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

எடுத்துக்காட்டாக, டிரினோமியலுக்கு \(3x^2+2x-7\), பாரபட்சமானது \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\)க்கு சமமாக இருக்கும். மற்றும் முக்கோணத்திற்கு \(x^2-5x+11\), இது \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)க்கு சமமாக இருக்கும்.

பாகுபாடு \(D\) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் பெரும்பாலும் தீர்க்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. மேலும், பாகுபாடு காண்பவரின் மதிப்பின் மூலம், வரைபடம் தோராயமாக எப்படி இருக்கும் என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளலாம் (கீழே காண்க).

சமன்பாட்டின் பாகுபாடு மற்றும் வேர்கள்

பாகுபாடு மதிப்பு இருபடி சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையைக் காட்டுகிறது:
- \(D\) நேர்மறையாக இருந்தால், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்;
- \(D\) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் - ஒரே ஒரு ரூட் மட்டுமே உள்ளது;
- \(D\) எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இல்லை.

இதைக் கற்பிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தில் பாகுபாடு காட்டுபவர் (அதாவது \(\sqrt(D)\) சேர்க்கப்பட்டுள்ளது என்பதை அறிந்து, அத்தகைய முடிவுக்கு வருவது கடினம் அல்ல. : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) மற்றும் \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) ஒவ்வொரு வழக்கையும் இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

பாகுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால்

இந்த வழக்கில், அதன் வேர் சில நேர்மறை எண், அதாவது \(x_(1)\) மற்றும் \(x_(2)\) வெவ்வேறு அர்த்தங்களைக் கொண்டிருக்கும், ஏனெனில் முதல் சூத்திரத்தில் \(\sqrt(D)\) சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, இரண்டாவதாக அது கழிக்கப்படுகிறது. மேலும் எங்களுக்கு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்கள் உள்ளன.

உதாரணம் : சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் \(x^2+2x-3=0\)
தீர்வு :

பதில் : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால்

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் எத்தனை வேர்கள் இருக்கும்? பகுத்தறிவோம்.

மூல சூத்திரங்கள் இப்படி இருக்கும்: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) மற்றும் \(x_(2)=\)\(\frac(-- b- \sqrt(D))(2a)\) . மேலும் பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அதன் மூலமும் பூஜ்ஜியமாகும். பின்னர் அது மாறிவிடும்:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

அதாவது, சமன்பாட்டின் வேர்களின் மதிப்புகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், ஏனென்றால் பூஜ்ஜியத்தைக் கூட்டுவது அல்லது கழிப்பது எதையும் மாற்றாது.

உதாரணம் : சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் \(x^2-4x+4=0\)
தீர்வு :

பதில் : \(x=2\)

இருபடிச் சமன்பாடு என்பது தோற்றமளிக்கும் ஒரு சமன்பாடு ஆகும் கோடாரி 2 + dx + c = 0. அதற்கு அர்த்தம் உண்டு a,cமற்றும் உடன்எந்த எண்கள், மற்றும் ஏபூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை.

அனைத்து இருபடி சமன்பாடுகளும் பல வகைகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன, அதாவது:

ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்ட சமன்பாடுகள்.
இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்ட சமன்பாடுகள்.
-வேர்களே இல்லாத சமன்பாடுகள்.

இதுவே வேறுபடுத்துகிறது நேரியல் சமன்பாடுகள்இதில் சதுரத்திலிருந்து வேர் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். வெளிப்பாட்டில் எத்தனை வேர்கள் உள்ளன என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, உங்களுக்குத் தேவை இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு.

நமது சமன்பாடு ax 2 + dx + c =0 என்று வைத்துக் கொள்வோம். பொருள் இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு -

D = b 2 - 4 ac

மேலும் இது எப்போதும் நினைவில் இருக்க வேண்டும். இந்த சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாட்டில் உள்ள வேர்களின் எண்ணிக்கையை நாம் தீர்மானிக்கிறோம். நாங்கள் அதை இந்த வழியில் செய்கிறோம்:

எப்போது டி பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக, சமன்பாட்டில் வேர்கள் இல்லை.
- D பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, ​​ஒரே ஒரு ரூட் மட்டுமே உள்ளது.
- பூஜ்ஜியத்தை விட D அதிகமாக இருக்கும் போது, ​​சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.
குறிகளை மாற்றாமல் சமன்பாட்டில் எத்தனை வேர்கள் உள்ளன என்பதை பாரபட்சம் காட்டுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

தெளிவுக்காக கருத்தில் கொள்வோம்:

இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டில் எத்தனை வேர்கள் உள்ளன என்பதை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

1) x 2 - 8x + 12 = 0
2)5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0

முதல் சமன்பாட்டில் மதிப்புகளை உள்ளிட்டு, பாகுபாட்டைக் கண்டறிகிறோம்.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
பாகுபாடு காண்பவருக்கு ஒரு கூட்டல் அடையாளம் உள்ளது, அதாவது இந்த சமத்துவத்தில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன.

இரண்டாவது சமன்பாட்டிலும் அதையே செய்கிறோம்
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
மதிப்பு எதிர்மறையானது, அதாவது இந்த சமத்துவத்தில் வேர்கள் இல்லை.

பின்வரும் சமன்பாட்டை ஒப்புமை மூலம் விரிவாக்குவோம்.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டில் நமக்கு ஒரு வேர் உள்ளது.

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் நாம் குணகங்களை எழுதுவது முக்கியம். நிச்சயமாக, இது மிக நீண்ட செயல்முறை அல்ல, ஆனால் இது எங்களுக்கு குழப்பமடையாமல் இருக்க உதவியது மற்றும் பிழைகள் ஏற்படுவதைத் தடுக்கிறது. இதேபோன்ற சமன்பாடுகளை நீங்கள் அடிக்கடி தீர்த்துக்கொண்டால், நீங்கள் கணக்கீடுகளை மனதளவில் செய்ய முடியும் மற்றும் சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன என்பதை முன்கூட்டியே அறிந்துகொள்ள முடியும்.

மற்றொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0

முதலில் இடுவோம்
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, இது பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியது, அதாவது இரண்டு வேர்கள், அவற்றைப் பெறுவோம்
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.

நாங்கள் இரண்டாவது இடுகிறோம்
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, இது பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியது மற்றும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றை வெளியிடுவோம்:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.

நாங்கள் மூன்றாவது இடுகிறோம்
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் ஒரு ரூட் கொண்டது
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது கடினம் அல்ல.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு நமக்கு வழங்கப்பட்டால். போன்ற

1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0

இந்த சமன்பாடுகள் மேலே உள்ளவற்றிலிருந்து வேறுபடுகின்றன, ஏனெனில் அது முழுமையடையவில்லை, அதற்கு மூன்றாவது மதிப்பு இல்லை. ஆனால் இது இருந்தபோதிலும், இது ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டை விட எளிமையானது மற்றும் அதில் ஒரு பாகுபாடு பார்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

உங்களுக்கு அவசரமாக தேவைப்படும்போது என்ன செய்வது ஆய்வறிக்கைஅல்லது ஒரு கட்டுரை, ஆனால் அதை எழுத நேரம் இல்லையா? இவை அனைத்தும் மற்றும் பலவற்றை Deeplom.by இணையதளத்தில் (http://deeplom.by/) ஆர்டர் செய்து அதிக மதிப்பெண் பெறலாம்.

இருபடி சமன்பாடு சிக்கல்கள் பள்ளி பாடத்திட்டத்திலும் பல்கலைக்கழகங்களிலும் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. அவை a*x^2 + b*x + c = 0 என்ற வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைக் குறிக்கின்றன x-மாறி, a, b, c - மாறிலிகள்; அ<>0 . சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதே பணி.

இருபடி சமன்பாட்டின் வடிவியல் பொருள்

இருபடிச் சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்படும் செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும். இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் (வேர்கள்) என்பது அப்சிஸ்ஸா (x) அச்சுடன் பரவளையத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் ஆகும். இது மூன்று சாத்தியமான வழக்குகள் உள்ளன என்று பின்வருமாறு:
1) பரவளையத்தில் அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகள் இல்லை. இதன் பொருள் இது மேல் தளத்தில் கிளைகள் மேலே அல்லது கீழே கிளைகளுடன் உள்ளது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை (இரண்டு சிக்கலான வேர்கள் உள்ளன).

2) பரவளையமானது ஆக்ஸ் அச்சுடன் வெட்டும் ஒரு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது. அத்தகைய புள்ளி பரவளையத்தின் உச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதில் உள்ள இருபடி சமன்பாடு அதன் குறைந்தபட்ச அல்லது அதிகபட்ச மதிப்பைப் பெறுகிறது. இந்த வழக்கில், இருபடி சமன்பாடு ஒரு உண்மையான ரூட் (அல்லது இரண்டு ஒத்த வேர்கள்) உள்ளது.

3) கடைசி வழக்கு நடைமுறையில் மிகவும் சுவாரஸ்யமானது - abscissa அச்சுடன் பரவளையத்தின் குறுக்குவெட்டு இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன. இதன் பொருள் சமன்பாட்டின் இரண்டு உண்மையான வேர்கள் உள்ளன.

மாறிகளின் சக்திகளின் குணகங்களின் பகுப்பாய்வின் அடிப்படையில், பரவளையத்தின் இடத்தைப் பற்றி சுவாரஸ்யமான முடிவுகளை எடுக்க முடியும்.

1) குணகம் a பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், பரவளையத்தின் கிளைகள் எதிர்மறையாக இருந்தால், பரவளையத்தின் கிளைகள் கீழ்நோக்கி இயக்கப்படும்.

2) குணகம் b பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், பரவளையத்தின் முனை இடது அரை-தளத்தில் இருக்கும். எதிர்மறை மதிப்பு- பின்னர் வலதுபுறம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து மாறிலியை மாற்றுவோம்

சம அடையாளத்திற்கு, நாம் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

இரண்டு பக்கங்களையும் 4a ஆல் பெருக்கவும்

இடதுபுறத்தில் ஒரு முழுமையான சதுரத்தைப் பெற, இருபுறமும் b^2 ஐச் சேர்த்து, மாற்றத்தை மேற்கொள்ளவும்

இங்கிருந்து நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

இருபடிச் சமன்பாட்டின் பாகுபாடு மற்றும் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

பாகுபாடு என்பது தீவிர வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு, அது நேர்மறையாக இருந்தால், சமன்பாடு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படும் இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது, ​​இருபடிச் சமன்பாடு ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது (இரண்டு தற்செயல் வேர்கள்), பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருக்கும்போது, ​​மேலே உள்ள சூத்திரத்திலிருந்து எளிதாகப் பெறலாம், சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை. இருப்பினும், இருபடி சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் சிக்கலான விமானத்தில் காணப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றின் மதிப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது.

வியட்டாவின் தேற்றம்

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களைக் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் அவற்றின் அடிப்படையில் ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்: வியட்டாவின் தேற்றம் குறியீட்டிலிருந்து எளிதாகப் பின்பற்றுகிறது: படிவத்தின் இருபடி சமன்பாடு இருந்தால். அதன் வேர்களின் கூட்டுத்தொகையானது எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்ட குணகம் p க்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் சமன்பாட்டின் வேர்களின் பலன் இலவச கால q க்கு சமமாக இருக்கும். மேலே உள்ள சூத்திரம் ஒரு கிளாசிக்கல் சமன்பாட்டில் மாறிலி a பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், நீங்கள் முழு சமன்பாட்டையும் வகுக்க வேண்டும், பின்னர் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

காரணியாக்குதல் இருபடி சமன்பாடு அட்டவணை

பணி அமைக்கப்படட்டும்: ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை காரணியாக்கு. இதைச் செய்ய, முதலில் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம் (வேர்களைக் கண்டறியவும்). அடுத்து, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கான விரிவாக்க சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்.

இருபடி சமன்பாடு சிக்கல்கள்

பணி 1. இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்

x^2-26x+120=0 .

தீர்வு: குணகங்களை எழுதி அவற்றை பாகுபாடு சூத்திரத்தில் மாற்றவும்

இந்த மதிப்பின் ரூட் 14 ஆகும், ஒரு கால்குலேட்டரைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது, அல்லது அடிக்கடி பயன்படுத்துவதை நினைவில் வைத்துக் கொள்ளலாம், இருப்பினும், வசதிக்காக, கட்டுரையின் முடிவில், அடிக்கடி சந்திக்கக்கூடிய எண்களின் சதுரங்களின் பட்டியலை உங்களுக்கு தருகிறேன். போன்ற பிரச்சனைகள்.
கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை ரூட் சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்

மற்றும் நாம் பெறுகிறோம்

பணி 2. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

2x 2 +x-3=0.

தீர்வு: எங்களிடம் ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாடு உள்ளது, குணகங்களை எழுதவும் மற்றும் பாகுபாடுகளைக் கண்டறியவும்


அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் காண்கிறோம்

பணி 3. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

9x 2 -12x+4=0.

தீர்வு: எங்களிடம் ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாடு உள்ளது. பாகுபாடு கண்டறிதல்

வேர்கள் ஒன்றிணைந்த ஒரு வழக்கு எங்களுக்கு கிடைத்தது. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்களின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்

பணி 4. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

x^2+x-6=0 .

தீர்வு: x க்கு சிறிய குணகங்கள் இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில், வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது நல்லது. அதன் நிபந்தனையால் நாம் இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்

இரண்டாவது நிபந்தனையிலிருந்து, தயாரிப்பு -6 க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காண்கிறோம். இதன் பொருள் வேர்களில் ஒன்று எதிர்மறையானது. எங்களிடம் பின்வரும் சாத்தியமான ஜோடி தீர்வுகள் உள்ளன (-3;2), (3;-2) . முதல் நிபந்தனையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, இரண்டாவது ஜோடி தீர்வுகளை நாங்கள் நிராகரிக்கிறோம்.
சமன்பாட்டின் வேர்கள் சமம்

சிக்கல் 5. ஒரு செவ்வகத்தின் சுற்றளவு 18 செமீ மற்றும் அதன் பரப்பளவு 77 செமீ 2 எனில் அதன் பக்கங்களின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: செவ்வகத்தின் பாதி சுற்றளவு அதன் அருகில் உள்ள பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். x-ஐக் குறிப்போம். பெரிய பக்கம், பின்னர் 18-x அதன் சிறிய பக்கம். செவ்வகத்தின் பரப்பளவு இந்த நீளங்களின் தயாரிப்புக்கு சமம்:
x(18-x)=77;
அல்லது
x 2 -18x+77=0.
சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிடுதல்

என்றால் x=11,என்று 18கள்=7,இதற்கு நேர்மாறானது உண்மைதான் (x=7 என்றால், 21's=9).

சிக்கல் 6. இருபடி சமன்பாடு 10x 2 -11x+3=0 காரணி.

தீர்வு: சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிடுவோம், இதைச் செய்ய நாம் பாகுபாடு காண்போம்

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை ரூட் சூத்திரத்தில் மாற்றி கணக்கிடுகிறோம்

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டை வேர்களால் சிதைப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதன் மூலம் ஒரு அடையாளத்தைப் பெறுகிறோம்.

அளவுருவுடன் இருபடி சமன்பாடு

எடுத்துக்காட்டு 1. எந்த அளவுரு மதிப்புகளில் ஏ,சமன்பாடு (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ஒரு ரூட் உள்ளதா?

தீர்வு: a=3 மதிப்பை நேரடியாக மாற்றுவதன் மூலம் அதற்கு தீர்வு இல்லை என்பதைக் காண்கிறோம். அடுத்து, பூஜ்ஜிய பாகுபாட்டுடன் சமன்பாடு பெருக்கல் 2 இன் ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துவோம். பாகுபாடுகளை எழுதுவோம்

அதை எளிமைப்படுத்தி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்

அளவுரு a ஐப் பொறுத்து இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம், அதன் தீர்வை வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி எளிதாகப் பெறலாம். வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7, அவற்றின் தயாரிப்பு 12 ஆகும். எளிய தேடலின் மூலம் 3,4 எண்கள் சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கும் என்பதை நிறுவுகிறோம். கணக்கீடுகளின் தொடக்கத்தில் a=3 தீர்வை நாங்கள் ஏற்கனவே நிராகரித்ததால், ஒரே சரியானது - a=4.எனவே, a=4 சமன்பாடு ஒரு மூலத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2. எந்த அளவுரு மதிப்புகளில் ஏ,சமன்பாடு a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வேர்கள் உள்ளதா?

தீர்வு: முதலில் ஒற்றைப் புள்ளிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், அவை a=0 மற்றும் a=-3 மதிப்புகளாக இருக்கும். a=0 ஆக இருக்கும்போது, ​​சமன்பாடு 6x-9=0 வடிவத்தில் எளிமைப்படுத்தப்படும்; x=3/2 மற்றும் ஒரு ரூட் இருக்கும். a= -3க்கு 0=0 என்ற அடையாளத்தைப் பெறுகிறோம்.
பாகுபாடு கணக்கிடுவோம்

மற்றும் அது நேர்மறையாக உள்ள ஒரு மதிப்பைக் கண்டறியவும்

முதல் நிபந்தனையிலிருந்து நாம் ஒரு> 3 ஐப் பெறுகிறோம். இரண்டாவதாக, சமன்பாட்டின் பாகுபாடு மற்றும் வேர்களைக் காண்கிறோம்


செயல்பாடு நேர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிப்போம். புள்ளி a=0 ஐ மாற்றுவதன் மூலம் நாம் பெறுகிறோம் 3>0 . எனவே, இடைவெளிக்கு வெளியே (-3;1/3) செயல்பாடு எதிர்மறையாக உள்ளது. விஷயத்தை மறந்துவிடாதீர்கள் a=0,அசல் சமன்பாட்டில் ஒரு வேர் இருப்பதால் இது விலக்கப்பட வேண்டும்.
இதன் விளைவாக, சிக்கலின் நிலைமைகளை பூர்த்தி செய்யும் இரண்டு இடைவெளிகளைப் பெறுகிறோம்

நடைமுறையில் பல ஒத்த பணிகள் இருக்கும், பணிகளை நீங்களே கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்யுங்கள் மற்றும் பரஸ்பரம் பிரத்தியேகமான நிபந்தனைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள மறக்காதீர்கள். இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்களை நன்றாகப் படிக்கவும்

பாகுபாடு என்பது பல மதிப்புள்ள சொல். இந்த கட்டுரையில் நாம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பாகுபாடு பற்றி பேசுவோம், இது கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு சரியான தீர்வுகள் உள்ளதா என்பதை தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்கான சூத்திரம் இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வு குறித்த பள்ளி பாடத்தில் காணப்படுகிறது. ஒரு பாகுபாட்டை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? சமன்பாட்டை தீர்க்க என்ன தேவை?

ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது இரண்டாம் பட்டத்தின் சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது i * w ^ 2 + j * w + k என்பது 0 க்கு சமம், இங்கு "i" மற்றும் "j" ஆகியவை முறையே முதல் மற்றும் இரண்டாவது குணகங்களாகும், "k" என்பது ஒரு மாறிலி, சில சமயங்களில் "நீக்கும் சொல்" மற்றும் "w" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு மாறி உள்ளது. அதன் வேர்கள் மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளாக இருக்கும், அதில் அது ஒரு அடையாளமாக மாறும். அத்தகைய சமத்துவத்தை i, (w - w1) மற்றும் (w - w2) 0 க்கு சமமாக மீண்டும் எழுதலாம். இந்த விஷயத்தில், குணகம் "i" பூஜ்ஜியமாக மாறவில்லை என்றால், அதன் செயல்பாடு என்பது தெளிவாகிறது. x w1 அல்லது w2 மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டால் மட்டுமே இடது பக்கம் பூஜ்ஜியமாக மாறும். இந்த மதிப்புகள் பல்லுறுப்புக்கோவையை பூஜ்ஜியமாக அமைப்பதன் விளைவாகும்.

ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை மறைந்துபோகும் ஒரு மாறியின் மதிப்பைக் கண்டறிய, ஒரு துணைக் கட்டுமானம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதன் குணகங்களில் கட்டமைக்கப்படுகிறது மற்றும் ஒரு பாகுபாடு என அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வடிவமைப்பு டி சூத்திரத்தின்படி கணக்கிடப்படுகிறது j * j - 4 * i * k. அது ஏன் பயன்படுத்தப்படுகிறது?

1. சரியான முடிவுகள் உள்ளதா என்பதை இது கூறுகிறது.
2. அவள் அவற்றைக் கணக்கிட உதவுகிறாள்.

இந்த மதிப்பு உண்மையான வேர்கள் இருப்பதை எவ்வாறு காட்டுகிறது:

• இது நேர்மறையாக இருந்தால், உண்மையான எண்களின் பகுதியில் இரண்டு வேர்களைக் காணலாம்.
• பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், இரண்டு தீர்வுகளும் ஒன்றுதான். ஒரே ஒரு தீர்வு உள்ளது என்று நாம் கூறலாம், அது உண்மையான எண்களின் புலத்திலிருந்து.
• பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருந்தால், பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

பொருளைப் பாதுகாப்பதற்கான கணக்கீட்டு விருப்பங்கள்

கூட்டுத்தொகைக்கு (7 * w^2; 3 * w; 1) 0 க்கு சமம் 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி D ஐக் கணக்கிடுகிறோம், நமக்கு -19 கிடைக்கும். பூஜ்ஜியத்திற்குக் கீழே உள்ள பாகுபாடு மதிப்பு உண்மையான வரியில் முடிவுகள் இல்லை என்பதைக் குறிக்கிறது.

நாம் 2 * w^2 - 3 * w + 1 ஐக் கருத்தில் கொண்டால் 0 க்கு சமம், பின்னர் D என்பது எண்களின் (4; 2; 1) பெருக்கத்தைக் கழித்து (-3) வர்க்கமாகக் கணக்கிடப்படுகிறது மற்றும் 9 - 8க்கு சமம், அதாவது 1. நேர்மறை மதிப்பு உண்மையான வரியில் இரண்டு முடிவுகளைக் குறிக்கிறது.

நாம் தொகையை (w ^ 2; 2 * w; 1) எடுத்து 0 க்கு சமன் செய்தால், D என்பது எண்களின் பெருக்கத்தைக் கழித்தல் (4; 1; 1) என இரண்டு வர்க்கமாகக் கணக்கிடப்படுகிறது. இந்த வெளிப்பாடு 4 - 4 க்கு எளிமையாக்கப்பட்டு பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும். முடிவுகள் ஒரே மாதிரியானவை என்று மாறிவிடும். இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் உற்று நோக்கினால், இது ஒரு "முழுமையான சதுரம்" என்பது தெளிவாகும். இதன் பொருள் சமத்துவத்தை (w + 1) ^ 2 = 0 வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம். இந்தச் சிக்கலின் முடிவு “-1” என்பது தெளிவாகத் தெரிந்தது. D என்பது 0 க்கு சமமாக இருக்கும் சூழ்நிலையில், "தொகையின் சதுரம்" சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தை எப்போதும் சுருக்கலாம்.

வேர்களைக் கணக்கிடுவதில் ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்துதல்

இந்த துணை கட்டுமானம் உண்மையான தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்பிப்பது மட்டுமல்லாமல், அவற்றைக் கண்டறியவும் உதவுகிறது. இரண்டாம் நிலை சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான கணக்கீட்டு சூத்திரம்:

w = (-j +/- d) / (2 * i), இதில் d என்பது 1/2 இன் சக்திக்கு பாகுபாடு.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்குக் கீழே உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், பின்னர் d கற்பனையானது மற்றும் முடிவுகள் கற்பனையானது.

D என்பது பூஜ்ஜியம், பின்னர் 1/2 இன் சக்திக்கு Dக்கு சமமான d என்பதும் பூஜ்ஜியமாகும். தீர்வு: -j / (2 * i). மீண்டும் 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0 ஐக் கருத்தில் கொண்டு, -2 / (2 * 1) = -1 க்கு சமமான முடிவுகளைக் காண்கிறோம்.

D > 0, பின்னர் d என்பது ஒரு உண்மையான எண் என்று வைத்துக்கொள்வோம், இங்கே பதில் இரண்டு பகுதிகளாக உடைகிறது: w1 = (-j + d) / (2 * i) மற்றும் w2 = (-j - d) / (2 * i) ) . இரண்டு முடிவுகளும் செல்லுபடியாகும். 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 ஐப் பார்ப்போம். இங்கே பாகுபாடு மற்றும் d ஆகியவை ஒன்று. w1 என்பது (3 + 1) (2 * 2) அல்லது 1 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, மேலும் w2 என்பது (3 - 1) 2 * 2 அல்லது 1/2 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது.

ஒரு இருபடி வெளிப்பாட்டை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன்படுத்துவதன் விளைவாக அல்காரிதம் படி கணக்கிடப்படுகிறது:

1. சரியான தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானித்தல்.
2. கணக்கீடு d = D^(1/2).
3. (-j +/- d) / (2 * i) சூத்திரத்தின்படி முடிவைக் கண்டறிதல்.
4. பெறப்பட்ட முடிவை சரிபார்ப்பிற்காக அசல் சமத்துவத்தில் மாற்றுதல்.

சில சிறப்பு வழக்குகள்

குணகங்களைப் பொறுத்து, தீர்வு ஓரளவு எளிமைப்படுத்தப்படலாம். வெளிப்படையாக, இரண்டாவது சக்திக்கு மாறியின் குணகம் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், ஒரு நேரியல் சமத்துவம் பெறப்படுகிறது. முதல் சக்திக்கான மாறியின் குணகம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, ​​​​இரண்டு விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும்:

1. கட்டற்ற சொல் எதிர்மறையாக இருக்கும்போது பல்லுறுப்புக்கோவை சதுரங்களின் வேறுபாடாக விரிவடைகிறது;
2. நேர்மறை மாறிலிக்கு, உண்மையான தீர்வுகள் எதுவும் காண முடியாது.

இலவச சொல் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், வேர்கள் (0; -j)

ஆனால் ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதை எளிதாக்கும் பிற சிறப்பு வழக்குகள் உள்ளன.

குறைக்கப்பட்ட இரண்டாம் நிலை சமன்பாடு

கொடுக்கப்பட்டவை அழைக்கப்படுகிறதுஅத்தகைய இருபடி முக்கோணம், இதில் முன்னணி காலத்தின் குணகம் ஒன்று. இந்த சூழ்நிலையில், வியட்டாவின் தேற்றம் பொருந்தும், இது வேர்களின் கூட்டுத்தொகை மாறியின் குணகத்திற்கு முதல் சக்திக்கு சமம், -1 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது, மேலும் தயாரிப்பு நிலையான "k" க்கு ஒத்திருக்கிறது.

எனவே, முதல் குணகம் ஒன்று என்றால் w1 + w2 -j மற்றும் w1 * w2 சமம் k. இந்தப் பிரதிநிதித்துவத்தின் சரியான தன்மையைச் சரிபார்க்க, நீங்கள் முதல் சூத்திரத்திலிருந்து w2 = -j - w1 ஐ வெளிப்படுத்தலாம் மற்றும் அதை இரண்டாவது சமத்துவம் w1 * (-j - w1) = k இல் மாற்றலாம். இதன் விளைவாக அசல் சமத்துவம் w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0 ஆகும்.

முக்கியமாக கவனிக்க வேண்டியது, i * w ^ 2 + j * w + k = 0 ஐ "i" ஆல் வகுப்பதன் மூலம் அடையலாம். இதன் விளைவாக இருக்கும்: w^2 + j1 * w + k1 = 0, இங்கு j1 என்பது j/i க்கு சமம் மற்றும் k1 என்பது k/i க்கு சமம்.

w1 = 1 மற்றும் w2 = 1/2 முடிவுகளுடன் ஏற்கனவே தீர்க்கப்பட்ட 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 ஐப் பார்ப்போம். நாம் அதை பாதியாகப் பிரிக்க வேண்டும், இதன் விளைவாக w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் கண்டறியப்பட்ட முடிவுகளுக்கு உண்மையா என்பதைச் சரிபார்ப்போம்: 1 + 1/2 = 3/ 2 மற்றும் 1*1/2 = 1/2.

இரண்டாவது காரணியும் கூட

ஒரு மாறியின் காரணி முதல் சக்திக்கு (j) இருந்தால் 2 ஆல் வகுபடும், பின்னர் சூத்திரத்தை எளிமையாக்க முடியும் மற்றும் பாகுபாடுடைய D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k இன் கால் பகுதியின் மூலம் தீர்வைத் தேடலாம். இது w = (-j +/- d/2) / i ஆக மாறும், இங்கு d/2 = D/4 என்பது 1/2 இன் சக்தி.

i = 1, மற்றும் குணகம் j சமமாக இருந்தால், தீர்வு -1 மற்றும் w மாறியின் பாதி குணகத்தின் பெருக்கமாக இருக்கும், மேலும் இந்த அரையின் வர்க்கத்தின் மூலத்தைக் கூட்டல்/கழித்தல் மாறிலி "k" ஐக் கழிக்கும். சூத்திரம்: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

உயர் பாரபட்ச ஒழுங்கு

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட இரண்டாம் நிலை டிரினோமியலின் பாகுபாடு பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது சிறப்பு வழக்கு. பொது வழக்கில், ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பாகுபாடு இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களின் வேறுபாடுகளின் பல சதுரங்கள். எனவே, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான ஒரு பாகுபாடு குறைந்தது இரண்டு பல தீர்வுகள் இருப்பதைக் குறிக்கிறது.

i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0 என்பதைக் கவனியுங்கள்.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை மீறுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இதன் பொருள் உண்மையான எண்களின் பகுதியில் மூன்று வேர்கள் உள்ளன. பூஜ்ஜியத்தில் பல தீர்வுகள் உள்ளன. டி என்றால்< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

வீடியோ

பாகுபாடு காட்டுபவர்களைக் கணக்கிடுவது பற்றி எங்கள் வீடியோ உங்களுக்கு விரிவாகச் சொல்லும்.

உங்கள் கேள்விக்கு பதில் கிடைக்கவில்லையா? ஆசிரியர்களுக்கு ஒரு தலைப்பைப் பரிந்துரைக்கவும்.