நேரியல் பல பின்னடைவு சமன்பாட்டில், சுயாதீன மாறிகள். பல பின்னடைவு

மாணவர்கள் தங்கள் படிப்பின் போது, ​​​​பல்வேறு சமன்பாடுகளை அடிக்கடி சந்திக்கிறார்கள். அவற்றில் ஒன்று - பின்னடைவு சமன்பாடு - இந்த கட்டுரையில் விவாதிக்கப்படுகிறது. இந்த வகை சமன்பாடு கணித அளவுருக்களுக்கு இடையிலான உறவின் பண்புகளை விவரிக்க குறிப்பாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த வகைபுள்ளியியல் மற்றும் பொருளாதார அளவீடுகளில் சமத்துவங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பின்னடைவின் வரையறை

கணிதத்தில், பின்னடைவு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு, இது தரவுகளின் தொகுப்பின் சராசரி மதிப்பை மற்றொரு அளவின் மதிப்புகளில் சார்ந்து இருப்பதை விவரிக்கிறது. பின்னடைவு சமன்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட குணாதிசயத்தின் செயல்பாடாக, மற்றொரு குணாதிசயத்தின் சராசரி மதிப்பைக் காட்டுகிறது. பின்னடைவு செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது எளிய சமன்பாடு y = x, இதில் y சார்பு மாறியாகவும், x ஒரு சார்பற்ற மாறியாகவும் (அம்சம்-காரணி) செயல்படுகிறது. உண்மையில், பின்னடைவு y = f (x) ஆக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவுகளின் வகைகள் யாவை?

பொதுவாக, இரண்டு எதிர் வகை உறவுகள் உள்ளன: தொடர்பு மற்றும் பின்னடைவு.

முதலாவது நிபந்தனை மாறிகளின் சமத்துவத்தால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், எந்த மாறி மற்றொன்றைச் சார்ந்தது என்பது நம்பத்தகுந்ததாகத் தெரியவில்லை.

மாறிகளுக்கு இடையில் சமத்துவம் இல்லை என்றால் மற்றும் நிபந்தனைகள் எந்த மாறி விளக்கமளிக்கும் மற்றும் எது சார்ந்தது என்று கூறினால், இரண்டாவது வகையின் இணைப்பு இருப்பதைப் பற்றி பேசலாம். சமன்பாட்டை உருவாக்குவதற்காக நேரியல் பின்னடைவு, எந்த வகையான இணைப்பு கவனிக்கப்படுகிறது என்பதைக் கண்டறிய வேண்டியது அவசியம்.

பின்னடைவுகளின் வகைகள்

இன்று, 7 வகையான பின்னடைவுகள் உள்ளன: ஹைபர்போலிக், லீனியர், மல்டிபிள், லீனியர், ஜோடிவரிசை, தலைகீழ், மடக்கை நேரியல்.

ஹைபர்போலிக், லீனியர் மற்றும் மடக்கை

சமன்பாட்டின் அளவுருக்களை தெளிவாக விளக்க புள்ளியியல்களில் நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது y = c+t*x+E போல் தெரிகிறது. ஹைப்பர்போலிக் சமன்பாடு ஒரு வழக்கமான ஹைப்பர்போலாவின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது y = c + m / x + E. மடக்கை நேரியல் சமன்பாடு இதைப் பயன்படுத்தி உறவை வெளிப்படுத்துகிறது மடக்கை செயல்பாடு: y இல் = C + t * இல் x + இல் E.

பல மற்றும் நேரியல் அல்லாத

இன்னும் இரண்டு சிக்கலான வகைகள்பின்னடைவு பல மற்றும் நேரியல் அல்ல. சமன்பாடு பல பின்னடைவு y = f(x 1, x 2 ...x c) + E செயல்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. இந்த சூழ்நிலையில், y ஒரு சார்பு மாறியாகவும், x ஒரு விளக்க மாறியாகவும் செயல்படுகிறது. E மாறியானது சமன்பாட்டில் உள்ள மற்ற காரணிகளின் செல்வாக்கை உள்ளடக்கியது. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுபின்னடைவு சற்று சர்ச்சைக்குரியது. ஒருபுறம், கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட குறிகாட்டிகளுடன் ஒப்பிடுகையில், இது நேரியல் அல்ல, ஆனால் மறுபுறம், குறிகாட்டிகளை மதிப்பிடும் பாத்திரத்தில், அது நேரியல் ஆகும்.

பின்னடைவுகளின் தலைகீழ் மற்றும் ஜோடி வகைகள்

தலைகீழ் என்பது மாற்றப்பட வேண்டிய ஒரு வகையான செயல்பாடு ஆகும் நேரியல் பார்வை. மிகவும் பாரம்பரியமான பயன்பாட்டு நிரல்களில், இது y = 1/c + m*x+E செயல்பாட்டின் வடிவத்தை எடுக்கும். ஒரு ஜோடிவரிசை பின்னடைவு சமன்பாடு தரவுகளுக்கு இடையிலான உறவை y = f (x) + E இன் செயல்பாடாகக் காட்டுகிறது. மற்ற சமன்பாடுகளைப் போலவே, y என்பது x ஐச் சார்ந்தது, மேலும் E என்பது ஒரு சீரான அளவுருவாகும்.

தொடர்பு பற்றிய கருத்து

இது இரண்டு நிகழ்வுகள் அல்லது செயல்முறைகளுக்கு இடையே ஒரு உறவின் இருப்பை நிரூபிக்கும் ஒரு குறிகாட்டியாகும். உறவின் வலிமை ஒரு தொடர்பு குணகமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. அதன் மதிப்பு [-1;+1] இடைவெளிக்குள் ஏற்ற இறக்கமாக இருக்கும். ஒரு எதிர்மறை காட்டி இருப்பைக் குறிக்கிறது கருத்து, நேர்மறை - ஒரு நேர் கோடு பற்றி. குணகம் 0 க்கு சமமான மதிப்பை எடுத்தால், எந்த உறவும் இல்லை. மதிப்பு 1 க்கு நெருக்கமாக இருந்தால், அளவுருக்களுக்கு இடையிலான உறவு வலுவாக 0 க்கு நெருக்கமாக இருக்கும்.

முறைகள்

தொடர்பு அளவுரு முறைகள் உறவின் வலிமையை மதிப்பிட முடியும். சாதாரண விநியோகச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படியும் அளவுருக்களைப் படிக்க விநியோக மதிப்பீட்டின் அடிப்படையில் அவை பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

சார்பு வகை, பின்னடைவு சமன்பாட்டின் செயல்பாடு மற்றும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட உறவு சூத்திரத்தின் குறிகாட்டிகளை மதிப்பிடுவதற்கு நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்கள் அவசியம். தொடர்பு புலம் ஒரு இணைப்பு அடையாள முறையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதைச் செய்ய, தற்போதுள்ள எல்லா தரவும் வரைபடமாக சித்தரிக்கப்பட வேண்டும். அறியப்பட்ட அனைத்து தரவுகளும் ஒரு செவ்வக இரு பரிமாண ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் திட்டமிடப்பட வேண்டும். இப்படித்தான் ஒரு தொடர்பு புலம் உருவாகிறது. விவரிக்கும் காரணியின் மதிப்புகள் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் குறிக்கப்படுகின்றன, அதே சமயம் சார்பு காரணியின் மதிப்புகள் ஆர்டினேட் அச்சில் குறிக்கப்படுகின்றன. அளவுருக்கள் இடையே ஒரு செயல்பாட்டு உறவு இருந்தால், அவை ஒரு வரி வடிவத்தில் வரிசையாக இருக்கும்.

அத்தகைய தரவுகளின் தொடர்பு குணகம் 30% க்கும் குறைவாக இருந்தால், நாம் நடைமுறையில் பற்றி பேசலாம் முழுமையான இல்லாமைதகவல் தொடர்பு. இது 30% மற்றும் 70% க்கு இடையில் இருந்தால், இது நடுத்தர நெருக்கமான இணைப்புகள் இருப்பதைக் குறிக்கிறது. 100% காட்டி ஒரு செயல்பாட்டு இணைப்புக்கான சான்றாகும்.

நேரியல் அல்லாத பின்னடைவு சமன்பாடு, ஒரு நேரியல் ஒன்றைப் போலவே, ஒரு தொடர்பு குறியீட்டுடன் (R) கூடுதலாக இருக்க வேண்டும்.

பல பின்னடைவுக்கான தொடர்பு

நிர்ணய குணகம் பல தொடர்புகளின் சதுரத்தின் குறிகாட்டியாகும். ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புடன் வழங்கப்பட்ட குறிகாட்டிகளின் நெருங்கிய உறவைப் பற்றி அவர் பேசுகிறார். இது முடிவில் அளவுருக்களின் செல்வாக்கின் தன்மையைப் பற்றியும் பேசலாம். இந்த குறிகாட்டியைப் பயன்படுத்தி பல பின்னடைவு சமன்பாடு மதிப்பிடப்படுகிறது.

பல தொடர்பு குறிகாட்டியைக் கணக்கிட, அதன் குறியீட்டைக் கணக்கிடுவது அவசியம்.

குறைந்த சதுர முறை

இந்த முறை பின்னடைவு காரணிகளை மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு வழியாகும். செயல்பாட்டின் காரணியின் சார்பு விளைவாக பெறப்பட்ட ஸ்கொயர் விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைப்பதே இதன் சாராம்சம்.

ஒரு ஜோடிவரிசை நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டை அத்தகைய முறையைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடலாம். இந்த வகை சமன்பாடுகள் குறிகாட்டிகளுக்கு இடையே ஒரு ஜோடி உறவு காணப்படும் போது பயன்படுத்தப்படுகிறது நேரியல் சார்பு.

சமன்பாடு அளவுருக்கள்

நேரியல் பின்னடைவு செயல்பாட்டின் ஒவ்வொரு அளவுருவும் ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளைக் கொண்டுள்ளது. இணைக்கப்பட்ட நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடு இரண்டு அளவுருக்களைக் கொண்டுள்ளது: c மற்றும் m அளவுரு y செயல்பாட்டின் இறுதிக் குறிகாட்டியில் சராசரி மாற்றத்தைக் காட்டுகிறது, x மாறி ஒரு வழக்கமான அலகு மூலம் குறைகிறது (அதிகரிக்கும்). மாறி x பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், செயல்பாடு c அளவுருவுக்கு சமமாக இருக்கும். மாறி x பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், c காரணி பொருளாதார அர்த்தத்தைக் கொண்டிருக்காது. செயல்பாட்டின் மீதான ஒரே செல்வாக்கு காரணி c க்கு முன்னால் உள்ள அடையாளம் ஆகும். ஒரு கழித்தல் இருந்தால், காரணியுடன் ஒப்பிடும்போது முடிவில் மாற்றம் மெதுவாக உள்ளது என்று நாம் கூறலாம். ஒரு பிளஸ் இருந்தால், இது முடிவில் விரைவான மாற்றத்தைக் குறிக்கிறது.

பின்னடைவு சமன்பாட்டின் மதிப்பை மாற்றும் ஒவ்வொரு அளவுருவும் ஒரு சமன்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, காரணி c ஆனது c = y - mx வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

குழுவாக்கப்பட்ட தரவு

அனைத்து தகவல்களும் பண்புக்கூறு x மூலம் தொகுக்கப்படும் பணி நிலைமைகள் உள்ளன, ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட குழுவிற்கு சார்பு காட்டியின் தொடர்புடைய சராசரி மதிப்புகள் குறிக்கப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், x ஐப் பொறுத்து காட்டி எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதை சராசரி மதிப்புகள் வகைப்படுத்துகின்றன. இவ்வாறு, தொகுக்கப்பட்ட தகவல் பின்னடைவு சமன்பாட்டைக் கண்டறிய உதவுகிறது. இது உறவுகளின் பகுப்பாய்வாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இருப்பினும், இந்த முறை அதன் குறைபாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. துரதிர்ஷ்டவசமாக, சராசரி குறிகாட்டிகள் பெரும்பாலும் வெளிப்புற ஏற்ற இறக்கங்களுக்கு உட்பட்டவை. இந்த ஏற்ற இறக்கங்கள் உறவின் வடிவத்தை பிரதிபலிக்காது. நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டை விட சராசரிகள் மிகவும் மோசமான உறவுகளின் வடிவங்களைக் காட்டுகின்றன. இருப்பினும், அவை ஒரு சமன்பாட்டைக் கண்டறிய ஒரு அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். தனிநபர் மக்கள்தொகையின் எண்ணிக்கையை தொடர்புடைய சராசரியால் பெருக்குவதன் மூலம், குழுவிற்குள் y தொகையைப் பெறலாம். அடுத்து, நீங்கள் பெறப்பட்ட அனைத்துத் தொகைகளையும் சேர்த்து இறுதி காட்டி y ஐக் கண்டறிய வேண்டும். தொகை காட்டி xy மூலம் கணக்கீடு செய்வது இன்னும் கொஞ்சம் கடினம். இடைவெளிகள் சிறியதாக இருந்தால், எல்லா அலகுகளுக்கும் (குழுவிற்குள்) ஒரே மாதிரியாக இருக்க x குறிகாட்டியை நிபந்தனையுடன் எடுக்கலாம். x மற்றும் y இன் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய நீங்கள் அதை y இன் கூட்டுத்தொகையுடன் பெருக்க வேண்டும். அடுத்து, அனைத்துத் தொகைகளும் ஒன்றாகச் சேர்க்கப்பட்டு மொத்தத் தொகை xy பெறப்படும்.

பல ஜோடிவரிசை பின்னடைவு சமன்பாடு: உறவின் முக்கியத்துவத்தை மதிப்பிடுதல்

முன்னர் விவாதிக்கப்பட்டபடி, பல பின்னடைவு y = f (x 1,x 2,…,x m)+E வடிவத்தின் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. பெரும்பாலும், அத்தகைய சமன்பாடு ஒரு தயாரிப்புக்கான வழங்கல் மற்றும் தேவையின் சிக்கலைத் தீர்க்கவும், மறு வாங்கப்பட்ட பங்குகளின் வட்டி வருமானம் மற்றும் உற்பத்தி செலவு செயல்பாட்டின் காரணங்கள் மற்றும் வகைகளை ஆய்வு செய்யவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது பல்வேறு வகையான மேக்ரோ பொருளாதார ஆய்வுகள் மற்றும் கணக்கீடுகளிலும் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் நுண்பொருளியல் மட்டத்தில் இந்த சமன்பாடு சற்று குறைவாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது.

பன்மடங்கு பின்னடைவின் முக்கிய பணியானது, ஒவ்வொரு காரணிகளும் தனித்தனியாக மற்றும் அவற்றின் மொத்தத்தில் மாதிரியாக இருக்க வேண்டிய காட்டி மற்றும் அதன் குணகங்களில் என்ன செல்வாக்கு செலுத்துகிறது என்பதை மேலும் தீர்மானிக்க, ஒரு பெரிய அளவிலான தகவலைக் கொண்ட தரவு மாதிரியை உருவாக்குவதாகும். பின்னடைவு சமன்பாடு பலவிதமான மதிப்புகளைப் பெறலாம். இந்த வழக்கில், உறவை மதிப்பிடுவதற்கு, இரண்டு வகையான செயல்பாடுகள் வழக்கமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: நேரியல் மற்றும் நேரியல் அல்ல.

நேரியல் செயல்பாடு பின்வரும் உறவின் வடிவத்தில் சித்தரிக்கப்படுகிறது: y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2,+ ... + a m x m. இந்த வழக்கில், a2, a m "தூய" பின்னடைவு குணகங்களாகக் கருதப்படுகிறது. y அளவுருவின் சராசரி மாற்றத்தை மற்ற குறிகாட்டிகளின் நிலையான மதிப்புகளுக்கு உட்பட்டு, ஒவ்வொரு தொடர்புடைய அளவுரு x இல் ஒரு அலகு மூலம் மாற்றத்துடன் (குறைவு அல்லது அதிகரிப்பு) வகைப்படுத்துவது அவசியம்.

எடுத்துக்காட்டாக, நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள் y=ax 1 b1 x 2 b2 ...x m bm என்ற சக்தி செயல்பாட்டின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. இந்த வழக்கில், குறிகாட்டிகள் b 1, b 2 ..... b m மீள்தன்மை குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை தொடர்புடைய காட்டி x இல் 1% அதிகரிப்பு (குறைவு) மற்றும் முடிவு எவ்வாறு மாறும் (எவ்வளவு%) என்பதை நிரூபிக்கிறது. மற்ற காரணிகளின் நிலையான குறிகாட்டியுடன்.

பல பின்னடைவை உருவாக்கும்போது என்ன காரணிகள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும்

பல பின்னடைவை சரியாக உருவாக்க, எந்த காரணிகளுக்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும் என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும்.

பொருளாதாரக் காரணிகளுக்கு இடையே உள்ள உறவுகளின் தன்மை மற்றும் முன்மாதிரியாக இருப்பது பற்றி ஓரளவு புரிந்து கொள்ள வேண்டியது அவசியம். சேர்க்கப்பட வேண்டிய காரணிகள் பின்வரும் அளவுகோல்களை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:

• அளவு அளவீட்டுக்கு உட்பட்டதாக இருக்க வேண்டும். ஒரு பொருளின் தரத்தை விவரிக்கும் ஒரு காரணியைப் பயன்படுத்த, எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் அதற்கு அளவு வடிவம் கொடுக்கப்பட வேண்டும்.
• காரணிகளின் தொடர்பு, அல்லது செயல்பாட்டு உறவு ஆகியவை இருக்கக்கூடாது. இத்தகைய செயல்கள் பெரும்பாலும் மீளமுடியாத விளைவுகளுக்கு வழிவகுக்கும் - அமைப்பு சாதாரண சமன்பாடுகள்நிபந்தனையற்றதாக மாறும், மேலும் இது அதன் நம்பகத்தன்மை மற்றும் தெளிவற்ற மதிப்பீடுகளை ஏற்படுத்துகிறது.
• ஒரு பெரிய தொடர்பு காட்டி விஷயத்தில், குறிகாட்டியின் இறுதி முடிவில் காரணிகளின் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட செல்வாக்கைக் கண்டறிய வழி இல்லை, எனவே, குணகங்கள் புரிந்துகொள்ள முடியாதவை.

கட்டுமான முறைகள்

ஒரு சமன்பாட்டிற்கான காரணிகளை நீங்கள் எவ்வாறு தேர்ந்தெடுக்கலாம் என்பதை விளக்கும் ஏராளமான முறைகள் மற்றும் முறைகள் உள்ளன. இருப்பினும், இந்த முறைகள் அனைத்தும் தொடர்பு குறிகாட்டியைப் பயன்படுத்தி குணகங்களின் தேர்வை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. அவற்றில்:

• நீக்குதல் முறை.
• மாறுதல் முறை.
• படிநிலை பின்னடைவு பகுப்பாய்வு.

முதல் முறை மொத்த தொகுப்பிலிருந்து அனைத்து குணகங்களையும் வடிகட்டுவதை உள்ளடக்கியது. இரண்டாவது முறை பல கூடுதல் காரணிகளை அறிமுகப்படுத்துகிறது. சரி, மூன்றாவது சமன்பாட்டிற்கு முன்பு பயன்படுத்தப்பட்ட காரணிகளை நீக்குதல். இந்த முறைகள் ஒவ்வொன்றும் இருப்பதற்கு உரிமை உண்டு. அவர்கள் தங்கள் நன்மை தீமைகளைக் கொண்டுள்ளனர், ஆனால் அவர்கள் அனைவரும் தங்கள் சொந்த வழியில் தேவையற்ற குறிகாட்டிகளை அகற்றுவதற்கான சிக்கலை தீர்க்க முடியும். ஒரு விதியாக, ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட முறையிலும் பெறப்பட்ட முடிவுகள் மிகவும் நெருக்கமாக உள்ளன.

பன்முக பகுப்பாய்வு முறைகள்

காரணிகளை நிர்ணயிப்பதற்கான இத்தகைய முறைகள் கருத்தில் கொண்டவை தனிப்பட்ட சேர்க்கைகள்ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்ட அம்சங்கள். பாகுபாடு பகுப்பாய்வு, வடிவ அங்கீகாரம், முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வு மற்றும் கிளஸ்டர் பகுப்பாய்வு ஆகியவை இதில் அடங்கும். கூடுதலாக, காரணி பகுப்பாய்வு உள்ளது, ஆனால் இது கூறு முறையின் வளர்ச்சியின் காரணமாக தோன்றியது. அவை அனைத்தும் சில நிபந்தனைகள் மற்றும் காரணிகளுக்கு உட்பட்டு சில சூழ்நிலைகளில் பொருந்தும்.

1. இரண்டு சுயாதீன மாறிகள் கொண்ட மாதிரி.

2. முறையைப் பயன்படுத்தி பல பின்னடைவு மாதிரி குணகங்களின் மதிப்பீடு குறைந்தபட்ச சதுரங்கள்.

3. பல பின்னடைவு மாதிரியில் ஜோடி மற்றும் பகுதி தொடர்பு.

4. பல பின்னடைவு மாதிரியின் தரத்தை மதிப்பீடு செய்தல்.

5. மல்டிகோலினரிட்டி மற்றும் அதன் நீக்குதலுக்கான முறைகள்.

6. பல பின்னடைவு மாதிரி குணகங்களின் விளக்கம்.

பல பின்னடைவுபல சுயாதீன மாறிகள் கொண்ட ஒரு புள்ளியியல் உறவுச் சமன்பாடு:

y= f(x 1, x 2, x p)

y என்பது சார்பு மாறி (விளைவு பண்பு);

x 1, x 2, x p - சுயாதீன மாறிகள் (காரணிகள்).

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் கட்டுமானமானது மாதிரியின் விவரக்குறிப்பை தீர்மானிப்பதில் தொடங்குகிறது. இது கேள்விகளின் இரண்டு வட்டங்களை உள்ளடக்கியது: காரணிகளின் தேர்வு மற்றும் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் வகை தேர்வு.

பல பின்னடைவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகள் பின்வரும் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:

1. அவை அளவிடக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும். அளவு அளவீடு இல்லாத மாதிரியில் ஒரு தரமான காரணியைச் சேர்க்க வேண்டியது அவசியம் என்றால், அது அளவு உறுதியைக் கொடுக்க வேண்டும்.

2. காரணிகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையதாக இருக்கக்கூடாது, சரியான செயல்பாட்டு இணைப்பில் இருக்கக்கூடாது.

பல பின்னடைவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகள் சுயாதீன மாறியின் மாறுபாட்டை விளக்க வேண்டும். ஒரு மாதிரியானது காரணிகளின் தொகுப்பைக் கொண்டு கட்டமைக்கப்பட்டால், அதற்கான நிர்ணயம் காட்டி கணக்கிடப்படுகிறது, இது விளக்கப்பட்ட மாறுபாட்டின் விகிதத்தை சரிசெய்கிறது. விளைவாக அடையாளம்பின்னடைவில் கருதப்படும் காரணிகள் காரணமாக. மாதிரியில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படாத பிற காரணிகளின் செல்வாக்கு தொடர்புடைய எஞ்சிய மாறுபாட்டுடன் மதிப்பிடப்படுகிறது.

காரணிகளின் தேர்வு பொதுவாக இரண்டு நிலைகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது: முதலில், பிரச்சனையின் தன்மையின் அடிப்படையில் காரணிகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன; இரண்டாவதாக, பின்னடைவு அளவுருக்களுக்கான புள்ளிவிவரங்கள் தொடர்பு குறிகாட்டிகளின் மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

ஒன்றோடொன்று தொடர்பு குணகங்கள் (அதாவது, விளக்க மாறிகளுக்கு இடையிலான தொடர்புகள்) தேவையற்ற காரணிகளை மாதிரியிலிருந்து விலக்க அனுமதிக்கின்றன. இரண்டு மாறிகள் தெளிவாக இணையாகக் கருதப்படுகின்றன, அதாவது. ஒருவரோடொருவர் நேரியல் உறவில் இருந்தால் . காரணிகள் தெளிவாக கோலினியர் என்றால், அவை ஒன்றுக்கொன்று நகலெடுக்கின்றன, மேலும் அவற்றில் ஒன்றை பின்னடைவிலிருந்து விலக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக, சார்புநிலையைப் படிக்கும்போது ஜோடி தொடர்பு குணகங்களின் அணி பின்வருமாறு மாறியது:

காரணிகள் ஒருவருக்கொருவர் நகலெடுக்கின்றன என்பது வெளிப்படையானது. பகுப்பாய்வில் அல்லாமல் காரணியைச் சேர்ப்பது நல்லது, இருப்பினும் முடிவுடன் உள்ள தொடர்பு, காரணியின் தொடர்பை விட பலவீனமாக உள்ளது. , ஆனால் இடைநிலை தொடர்பு மிகவும் பலவீனமாக உள்ளது . எனவே, இந்த வழக்கில், காரணிகள் , பல பின்னடைவு சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

ஜோடிவரிசை தொடர்பு குணகங்களின் அளவு, காரணிகளின் தெளிவான கூட்டுத்தன்மையை மட்டுமே வெளிப்படுத்துகிறது. பல பின்னடைவு கருவியைப் பயன்படுத்துவதில் மிகப்பெரிய சிரமங்கள் இருக்கும்போது எழுகின்றன காரணிகளின் பன்முகத்தன்மை, இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட காரணிகள் நேரியல் உறவின் மூலம் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையதாக இருக்கும் போது, ​​அதாவது. ஒருவருக்கொருவர் காரணிகளின் ஒட்டுமொத்த செல்வாக்கு உள்ளது . காரணிகளுக்கிடையில் மல்டிகோலினியரிட்டி இருப்பது சில காரணிகள் எப்போதும் ஒற்றுமையாக செயல்படும் என்று அர்த்தம். இதன் விளைவாக, உள்ளீட்டுத் தரவின் மாறுபாடு இனி முற்றிலும் சுயாதீனமாக இருக்காது மற்றும் ஒவ்வொரு காரணியின் தாக்கத்தையும் தனித்தனியாக மதிப்பிட முடியாது.

மாதிரியில் மல்டிகோலினியர் காரணிகளைச் சேர்ப்பது பின்வரும் விளைவுகளால் விரும்பத்தகாதது:

1. பல பின்னடைவு அளவுருக்களை "தூய்மையான" வடிவத்தில் காரணிகளின் செயல்பாட்டின் பண்புகளாக விளக்குவது கடினம், ஏனெனில் காரணிகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை; நேரியல் பின்னடைவு அளவுருக்கள் பொருளாதார அர்த்தத்தை இழக்கின்றன.

2. அளவுரு மதிப்பீடுகள் நம்பகத்தன்மையற்றவை, பெரிய நிலையான பிழைகளை வெளிப்படுத்துகின்றன மற்றும் அவதானிப்புகளின் அளவின் மாற்றங்களுடன் (அளவில் மட்டுமல்ல, அடையாளத்திலும் கூட), இது மாதிரியை பகுப்பாய்வு மற்றும் முன்கணிப்புக்கு பொருத்தமற்றதாக ஆக்குகிறது.

காரணிகளின் மல்டிகோலினியரிட்டியை மதிப்பிடுவதற்கு, காரணிகளுக்கு இடையேயான ஜோடி தொடர்பு குணகங்களின் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் பயன்படுத்தப்படலாம்.

காரணிகள் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புபடுத்தவில்லை என்றால், காரணிகளுக்கு இடையே உள்ள ஜோடிவரிசை தொடர்பு குணகங்களின் அணி ஒரு அடையாள அணியாக இருக்கும், ஏனெனில் அனைத்து மூலைவிட்டமற்ற கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். இவ்வாறு, மூன்று விளக்க மாறிகள் உட்பட ஒரு சமன்பாட்டிற்கு

காரணிகளுக்கிடையேயான தொடர்பு குணகங்களின் அணி ஒன்றுக்கு சமமான நிர்ணயிப்பைக் கொண்டிருக்கும்:

.

மாறாக, காரணிகளுக்கு இடையே ஒரு முழுமையான நேரியல் உறவு இருந்தால் மற்றும் அனைத்து தொடர்பு குணகங்களும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

.

பூஜ்ஜியத்திற்கு நெருக்கமாக இருக்கும் இடைக்கூறு தொடர்பு மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான், காரணிகளின் பன்முகத்தன்மை வலுவானது மற்றும் பல பின்னடைவின் முடிவுகள் மிகவும் நம்பகத்தன்மையற்றது. மேலும், மாறாக, இடைக்கூறு தொடர்பு மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பான் ஒன்றுக்கு நெருக்கமாக இருக்கும், காரணிகளின் பலகோணியல் தன்மை குறைவாக இருக்கும்.

மல்டிகோலினியரிட்டியை அகற்றுவதற்கான எளிய வழி, மாதிரியிலிருந்து ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளை விலக்குவதாகும். மற்றொரு அணுகுமுறை காரணிகளை மாற்றுவதை உள்ளடக்கியது, இது அவற்றுக்கிடையேயான தொடர்பைக் குறைக்கிறது.

காரணிகளின் உள் தொடர்புகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதற்கான ஒரு வழி, ஒருங்கிணைந்த பின்னடைவு சமன்பாடுகளுக்கு மாறுவதாகும், அதாவது. காரணிகளின் செல்வாக்கை மட்டுமல்ல, அவற்றின் தொடர்புகளையும் பிரதிபலிக்கும் சமன்பாடுகளுக்கு. எனவே, என்றால் , பின்னர் பின்வரும் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாட்டை உருவாக்க முடியும்:

பரிசீலனையில் உள்ள சமன்பாட்டில் முதல்-வரிசை இடைவினை (இரண்டு காரணிகளின் தொடர்பு) அடங்கும். மாதிரியில் அதிக தொடர்புகளைச் சேர்க்க முடியும் உயர் ஒழுங்கு, ஃபிஷர் அளவுகோலின் படி அவற்றின் புள்ளிவிவர முக்கியத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டால், ஆனால், ஒரு விதியாக, மூன்றாவது மற்றும் உயர் ஆர்டர்களின் தொடர்புகள் புள்ளிவிவர ரீதியாக முக்கியமற்றதாக மாறும்.

பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்கும் முறையைப் பொறுத்து, கணினியில் அதைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை மாறுகிறது.

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்க மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் முறைகள்:

1. விலக்கு முறை என்பது அதன் முழு தொகுப்பிலிருந்து காரணிகளை நீக்குவதாகும்.

2. சேர்த்தல் முறை - ஒரு காரணியின் கூடுதல் அறிமுகம்.

3. ஸ்டெப்பர் பின்னடைவு பகுப்பாய்வு- முன்னர் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட காரணியை விலக்குதல்.

2 பல நேரியல் பின்னடைவு

2.1 பின்னடைவு சமன்பாடு அளவுருக்களை தீர்மானித்தல்

எந்தவொரு பொருளாதார குறிகாட்டியும் பெரும்பாலும் ஒன்றல்ல, ஆனால் பல காரணிகளால் பாதிக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், ஜோடிவரிசை பின்னடைவுக்கு பதிலாக, நாங்கள் கருதுகிறோம் பல பின்னடைவு

மாறிகளின் புள்ளிவிவர உறவை மதிப்பிடும் பணி மற்றும்
ஜோடிவரிசை பின்னடைவு நிகழ்வைப் போலவே வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. பல பின்னடைவு சமன்பாட்டை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்:

, (2.2)

எங்கே
- சுயாதீன (விளக்க) மாறிகளின் திசையன்; - அளவுருக்களின் திசையன் (தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும்); - சீரற்ற பிழை (விலகல்); - சார்ந்து (விளக்கப்படும்) மாறி.

பல பின்னடைவு மாதிரிகளில் அதிகம் பயன்படுத்தப்படும் மற்றும் எளிமையானது - பல நேரியல் பின்னடைவு மாதிரி.

கோட்பாட்டு நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடு:

அல்லது தனிப்பட்ட அவதானிப்புகளுக்கு
:

இங்கே
- பரிமாண திசையன்
அறியப்படாத அளவுருக்கள்.
அழைக்கப்பட்டது -வது கோட்பாட்டு பின்னடைவு குணகம் (பகுதி பின்னடைவு குணகம்). இது அளவு மாற்றங்களுக்கு ஒரு அளவின் உணர்திறனை வகைப்படுத்துகிறது , அதாவது நிபந்தனையின் மீதான செல்வாக்கை பிரதிபலிக்கிறது கணித எதிர்பார்ப்பு
ஒரு விளக்க மாறியின் சார்பு மாறி, மாதிரியில் உள்ள மற்ற அனைத்து விளக்க மாறிகளும் மாறாமல் இருக்கும். அனைத்து விளக்க மாறிகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது தீர்மானிக்கும் ஒரு இலவச சொல்.

தேர்வுக்குப் பிறகு நேரியல் செயல்பாடுசார்பு மாதிரியாக, பின்னடைவு அளவுருக்களை மதிப்பிடுவது அவசியம். இருக்கட்டும் விளக்க மாறிகளின் திசையன் மற்றும் சார்பு மாறியின் அவதானிப்புகள்:

அளவுருக்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலைத் தனித்துவமாகத் தீர்ப்பதற்காக
(அதாவது சில சிறந்த திசையன்களைக் கண்டறியவும்), சமத்துவமின்மை திருப்திப்படுத்தப்பட வேண்டும்
. இந்த சமத்துவமின்மை நிலைக்கவில்லை என்றால், எண்ணற்ற பல்வேறு அளவுரு திசையன்கள் உள்ளன நேரியல் சூத்திரம்இடையே இணைப்புகள்
ஏற்கனவே இருக்கும் அவதானிப்புகளுக்கு முற்றிலும் ஒத்திருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்களின் மதிப்பீடுகளை சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி தீர்மானிக்க, மூன்று அவதானிப்புகளின் மாதிரி இருந்தால் போதும். இந்த வழக்கில், காணப்படும் அளவுரு மதிப்புகள்
சரியாக மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு விமானத்தை வரையறுக்கவும். மறுபுறம், தற்போதுள்ள மூன்று அவதானிப்புகளுடன் மேலும் ஒரு கவனிப்பைச் சேர்ப்பது நான்காவது புள்ளிக்கு வழிவகுக்கும்.
கட்டப்பட்ட விமானத்திற்கு வெளியே கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக இருக்கும், இது அளவுருக்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட மறு மதிப்பீடு தேவைப்படும்.

எண்
அழைக்கப்பட்டது சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை. சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை சிறியதாக இருந்தால், மதிப்பிடப்பட்ட சூத்திரத்தின் புள்ளிவிவர நம்பகத்தன்மை குறைவாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று அவதானிப்புகளிலிருந்து சரியான முடிவின் நிகழ்தகவு (மிகவும் துல்லியமான மதிப்பீடுகளைப் பெறுதல்) முப்பதிலிருந்து கணிசமாகக் குறைவாக உள்ளது. பல நேரியல் பின்னடைவை மதிப்பிடும் போது, ​​புள்ளியியல் நம்பகத்தன்மையை உறுதிப்படுத்த, அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை தேவை என்று நம்பப்படுகிறது. குறைந்தபட்சம்மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருக்களின் எண்ணிக்கையை விட மூன்று மடங்கு அதிகமாக இருந்தது.

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கான மிகவும் பொதுவான முறையானது சாதாரண குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் (OLS) முறையாகும்.

MNE களுக்கான முன்நிபந்தனைகள்:

ஜோடிவரிசை பின்னடைவைப் போலவே, உண்மையான அளவுரு மதிப்புகள் ஒரு மாதிரியிலிருந்து பெறுவது சாத்தியமில்லை. இந்த வழக்கில், ஒரு கோட்பாட்டு பின்னடைவு சமன்பாட்டிற்கு பதிலாக, ஒரு அனுபவ பின்னடைவு சமன்பாடு மதிப்பிடப்படுகிறது:

இங்கே
- பின்னடைவு குணகங்களின் கோட்பாட்டு மதிப்புகளின் மதிப்பீடுகள் (அனுபவ பின்னடைவு குணகங்கள்); - விலகல் மதிப்பீடு. தனிப்பட்ட அவதானிப்புகளுக்கு எங்களிடம் உள்ளது:

OLS பிழை அனுமானங்கள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், OLS பல நேரியல் பின்னடைவு அளவுரு மதிப்பீடுகள் பக்கச்சார்பற்ற, திறமையான மற்றும் சீரானதாக இருக்கும்.

(2.6) அடிப்படையில். (2.7)

பின்னர், குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி மதிப்பீடுகளைக் கண்டறிய, பின்வரும் செயல்பாடு குறைக்கப்படுகிறது:

. (2.8)

செயல்பாட்டைக் குறைக்க தேவையான நிபந்தனை இது தொடர்பான அனைத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களின் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் , அதாவது:

(2.9)

அவற்றை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, கணினியைப் பெறுகிறோம்
நேரியல் சமன்பாடுகள்தெரியாத நபர்களுடன். அத்தகைய அமைப்பு பொதுவாக ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் ஒரு அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது சாதாரண சமன்பாடுகள். அதன் தீர்வு வெக்டார்-மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் வெளிப்படையான வடிவத்தில் மிகத் தெளிவாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது.

2.2 பல நேரியல் பின்னடைவு குணகங்களின் கணக்கீடு

மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் கண்காணிப்பு தரவு மற்றும் தொடர்புடைய குணகங்கள் பின்வருமாறு:

.

இங்கே
-சார்ந்த மாறியின் அவதானிப்புகளின் பரிமாண நெடுவரிசை திசையன்; - பரிமாண அணி
, இதில் - வது வரி
சுயாதீன மாறிகளின் மதிப்புகளின் வெக்டரின் கண்காணிப்பைக் குறிக்கிறது; ஒற்றுமை என்பது போலிச் சொல்லுடன் ஒரு மாறிக்கு ஒத்திருக்கிறது ; - பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்களின் பரிமாணத்தின் நெடுவரிசை திசையன்; - மாதிரி (உண்மையான) மதிப்புகளின் விலகல்களின் பரிமாணத்தின் நெடுவரிசை திசையன் மதிப்புகள் சார்ந்த மாறி பின்னடைவு சமன்பாட்டிலிருந்து பெறப்பட்டது

செயல்பாடு
ஒரு வரிசை வெக்டரின் விளைபொருளாக அணி வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம்
ஒரு நெடுவரிசை வெக்டருக்கு. நெடுவரிசை வெக்டரை மீண்டும் குறிப்பிடலாம் பின்வரும் படிவம்:

. (2.11)

இங்கே
- திசையன்கள் மற்றும் மெட்ரிக்குகள் மாற்றப்படுகின்றன
முறையே. சூத்திரத்தைப் பெறும்போது, ​​பின்வரும் நன்கு அறியப்பட்ட நேரியல் இயற்கணித உறவுகள் பயன்படுத்தப்பட்டன:

ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு அவசியமான நிபந்தனை என்னவென்றால், அதன் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்
எல்லா வகையிலும்
. நெடுவரிசை திசையன் மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் இப்படி இருக்கும்:

. (2.12)

இன்னும் விரிவாகக் கண்டுபிடிப்பதைப் பார்ப்போம். என்பது வெளிப்படையானது

சார்ந்து இல்லை, எனவே
.

நெடுவரிசை வெக்டரைக் குறிப்போம்
மூலம் பரிமாணங்கள் . பிறகு
, திசையன் தொடர்புடைய உறுப்பு எங்கே. அதனால் தான்
.

மேட்ரிக்ஸைக் குறிப்போம்
மூலம் பரிமாணங்கள் . பிறகு

.

எனவே, பகுதி வழித்தோன்றல்
.

இதன் விளைவாக எங்களிடம் உள்ளது
.

எனவே, சூத்திரம் (2.12) செல்லுபடியாகும். பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன், நாம் பெறுகிறோம்:

(2.13)

(2.14)

இங்கே
- அணி தலைகீழ் .

இதன் விளைவாக வரும் பொது உறவுகள் தன்னிச்சையான எண்ணுடன் பின்னடைவு சமன்பாடுகளுக்கு செல்லுபடியாகும்
விளக்க மாறிகள். பின்வரும் நிகழ்வுகளில் பெறப்பட்ட முடிவுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

,
,
, .

(2.11) இலிருந்து இது பின்வருமாறு: , அதாவது.

.

(2.14) இருந்து அது பின்வருமாறு

(2.15)

(2.16)

இந்த அமைப்பிற்கான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:

(2.17)

2.3 அனுபவ பல நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் தரத்தின் பகுப்பாய்வு

ஒரு அனுபவ பின்னடைவு சமன்பாட்டின் கட்டுமானம் என்பது பொருளாதார அளவீட்டு பகுப்பாய்வின் ஆரம்ப கட்டமாகும். ஒரு மாதிரியிலிருந்து கட்டமைக்கப்பட்ட முதல் பின்னடைவு சமன்பாடு சில குணாதிசயங்களின் அடிப்படையில் மிகவும் அரிதாகவே திருப்திகரமாக உள்ளது. எனவே, அடுத்த மிக முக்கியமான மதிப்பீடு பின்னடைவு சமன்பாட்டின் தரத்தை சரிபார்க்க வேண்டும். இத்தகைய சரிபார்ப்பிற்கான நன்கு நிறுவப்பட்ட திட்டத்தை Econometrics ஏற்றுக்கொண்டது, இது பின்வரும் பகுதிகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது:

பின்னடைவு சமன்பாடு குணகங்களின் புள்ளியியல் முக்கியத்துவத்தை சரிபார்த்தல்;

பின்னடைவு சமன்பாட்டின் ஒட்டுமொத்த தரத்தை சரிபார்த்தல்;

தரவின் பண்புகளை சரிபார்த்தல், சமன்பாட்டை மதிப்பிடும் போது அதன் சாத்தியக்கூறு கருதப்பட்டது (OLS வளாகத்தின் சாத்தியத்தை சரிபார்க்கிறது).

பின்னடைவு சமன்பாட்டின் தரத்தை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கு முன், குணகங்களின் மாறுபாடுகள் மற்றும் நிலையான பிழைகளை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். இடைவெளி மதிப்பீடுகள்குணகங்கள்

அனுபவ பின்னடைவு குணகங்களின் மாதிரி மாறுபாடுகள் பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படலாம்:

. (2.18)

இங்கே - மேட்ரிக்ஸின் மூலைவிட்ட உறுப்பு
.

இந்த வழக்கில்:

, (2.19)

மாதிரியில் உள்ள விளக்க மாறிகளின் எண்ணிக்கை எங்கே. சில சமயங்களில் சூத்திரத்தில் (2.19) வகுப்பானது வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது
, என்பதன் பொருள் மாதிரி அளவுருக்களின் எண்ணிக்கை (பின்னடைவு குணகங்கள் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும்).

குறிப்பாக, சமன்பாட்டிற்கு
இரண்டு விளக்க மாறிகளுடன் பின்வரும் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

,

,

,
,
. (2.20)

இங்கே - விளக்க மாறிகளுக்கு இடையிலான மாதிரி தொடர்பு குணகம் மற்றும்
; – நிலையான பிழைபின்னடைவு குணகம்; - பின்னடைவின் நிலையான பிழை (பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடு).

ஜோடிவரிசை பின்னடைவுடன் ஒப்புமை மூலம், தீர்மானித்த பிறகு புள்ளி மதிப்பீடுகள்குணகங்கள் (
) கோட்பாட்டு பின்னடைவு சமன்பாட்டின், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட குணகங்களின் இடைவெளி மதிப்பீடுகளை கணக்கிட முடியும். நம்பகத்தன்மையுடன் மூடும் நம்பிக்கை இடைவெளி
அறியப்படாத அளவுரு மதிப்பு, என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது

(2.21)

பின்னடைவு சமன்பாடு குணகங்களின் புள்ளியியல் முக்கியத்துவத்தை சரிபார்க்கிறது.

ஜோடிவரிசை பின்னடைவைப் போலவே, விளக்க மாறிகள் கொண்ட பல நேரியல் பின்னடைவு குணகங்களின் புள்ளிவிவர முக்கியத்துவம் இதன் அடிப்படையில் சோதிக்கப்படுகிறது புள்ளி விவரங்கள்:

, (2.22)

இந்த விஷயத்தில் சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கையுடன் மாணவர் விநியோகம் உள்ளது. முக்கியத்துவத்தின் தேவையான மட்டத்தில், புள்ளிவிவரத்தின் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்பு முக்கியமான துல்லியமான மதிப்புடன் ஒப்பிடப்படுகிறது
மாணவர் விநியோகம்.

வழக்கில்
, பின்னர் தொடர்புடைய பின்னடைவு குணகத்தின் புள்ளிவிவர முக்கியத்துவம் உறுதிப்படுத்தப்படுகிறது. இதன் பொருள், காரணி சார்பு மாறியுடன் நேர்கோட்டுடன் தொடர்புடையது. குணகம் முக்கியமற்றது என்பது நிறுவப்பட்டால், சமன்பாட்டிலிருந்து மாறியை விலக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. இது மாதிரியின் தரத்தின் குறிப்பிடத்தக்க இழப்புக்கு வழிவகுக்காது, ஆனால் அதை மேலும் குறிப்பிட்டதாக மாற்றும்.

நேரியல் பின்னடைவு குணகங்களின் முக்கியத்துவத்தை மதிப்பிடும் போது ஆரம்ப நிலைஅத்தியாயம் 1.3 இல் விவாதிக்கப்பட்ட "கரடுமுரடான" விதியையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம், இது அட்டவணைகளை நாடுவதைத் தவிர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது.

பின்னடைவு சமன்பாட்டின் ஒட்டுமொத்த தரத்தை சரிபார்க்கிறது

இந்த நோக்கத்திற்காக, ஜோடிவரிசை பின்னடைவைப் போலவே, நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் நிர்ணய குணகம்
:

(2.23)

நியாயமான விகிதம்
. இந்த குணகம் ஒற்றுமைக்கு நெருக்கமாக உள்ளது மேலும் சமன்பாடுபின்னடைவு நடத்தை விளக்குகிறது.

பல பின்னடைவுகளுக்கு, நிர்ணயம் குணகம் என்பது விளக்க மாறிகளின் எண்ணிக்கையில் குறையாத செயல்பாடாகும். ஒரு புதிய விளக்க மாறியைச் சேர்ப்பது ன் மதிப்பைக் குறைக்காது, ஏனெனில் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த மாறியும் சார்பு மாறியின் நடத்தையை விளக்கும் தகவலை மட்டுமே சேர்க்க முடியும், ஆனால் குறைக்க முடியாது. ஏற்றுக்கொள்ள முடியும் எதிர்மறை மதிப்புகள்., பிறகு மல்டிகோலினியரிட்டி அளவுகோலை ஏற்கலாம்... உள்ளே. 5. பரீட்சைகுணகங்கள் பற்றிய கருதுகோள்கள் சமன்பாடுகள்பின்னடைவு (பரிசோதனைபல அளவுருக்களின் முக்கியத்துவம் சமன்பாடுகள்பின்னடைவு) 1) டி-புள்ளிவிவரங்கள்...

சேவையின் நோக்கம். ஆன்லைன் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் குறிகாட்டிகளைக் காணலாம்:

• பல பின்னடைவு சமன்பாடு, ஜோடி தொடர்பு குணகங்களின் அணி, நேரியல் பின்னடைவுக்கான சராசரி நெகிழ்ச்சி குணகங்கள்;
• பல நிர்ணய குணகம், நம்பிக்கை இடைவெளிகள்இதன் விளைவாக வரும் பண்புகளின் தனிப்பட்ட மற்றும் சராசரி மதிப்புக்கு;

வழிமுறைகள். தரவின் அளவைக் குறிப்பிடவும் (வரிசைகளின் எண்ணிக்கை), மாறிகளின் எண்ணிக்கை x அடுத்து என்பதைக் கிளிக் செய்யவும். இதன் விளைவாக தீர்வு வேர்ட் கோப்பில் சேமிக்கப்படும் (பல பின்னடைவு மற்றும் தொடர்பு சமன்பாட்டைக் கண்டறிவதற்கான உதாரணத்தைப் பார்க்கவும்). நிறைய தரவு இருந்தால், அதை MS Excel இலிருந்து செருகலாம். இதைச் செய்ய, மாறிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பிடவும் x, எக்செல் () இலிருந்து செருகு என்பதைக் கிளிக் செய்யவும்.

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்களைக் கணக்கிடும்போது, ​​நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் அணி முறை. இரண்டு மாறிகள் (m = 2) கொண்ட பல பின்னடைவுக்கு, நீங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும் முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்குதல்மாதிரி விவரக்குறிப்பின் சிக்கலைத் தீர்ப்பதில் தொடங்குகிறது, இது 2 செட் கேள்விகளை உள்ளடக்கியது: காரணிகளின் தேர்வுமற்றும் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் தேர்வு.

காரணிகளின் தேர்வு பொதுவாக இரண்டு நிலைகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது:

1. முடிவு மற்றும் அதன் மீது குறிப்பிடத்தக்க தாக்கத்தை ஏற்படுத்தும் காரணிகளின் வரம்பிற்கு இடையிலான உறவின் தத்துவார்த்த பகுப்பாய்வு;
2. காரணிகளுக்கும் முடிவுகளுக்கும் இடையிலான உறவின் அளவு மதிப்பீடு. குணாதிசயங்களுக்கிடையிலான உறவு நேரியல் என்றால், இந்த நிலை தொடர்பு மேட்ரிக்ஸின் பகுப்பாய்விற்குக் குறைக்கப்படுகிறது (ஜோடி நேரியல் தொடர்பு குணகங்களின் அணி). இந்த வகையான பிரச்சினைகளுக்கு அறிவியல் அடிப்படையிலான தீர்வுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன மாறுபாட்டின் பகுப்பாய்வு- ஒற்றை காரணி, பரிசீலனையில் உள்ள குணாதிசயத்தின் மீது ஒரு குறிப்பிட்ட காரணியின் செல்வாக்கின் முக்கியத்துவம் சரிபார்க்கப்பட்டால், அல்லது பல காரணிகள், அதன் மீதான காரணிகளின் கலவையின் செல்வாக்கைப் படிக்கும் விஷயத்தில்.

1. அவை அளவிடக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும். அளவு அளவீடு இல்லாத மாதிரியில் ஒரு தரமான காரணியைச் சேர்க்க வேண்டியது அவசியம் என்றால், அது அளவு உறுதியைக் கொடுக்க வேண்டும்.
2. ஒவ்வொரு காரணியும் விளைவுடன் மிகவும் நெருக்கமாக தொடர்புடையதாக இருக்க வேண்டும் (அதாவது, காரணிக்கும் விளைவுக்கும் இடையே உள்ள ஜோடிவரிசை நேரியல் தொடர்பு குணகம் குறிப்பிடத்தக்கதாக இருக்க வேண்டும்).
3. காரணிகள் ஒன்றுக்கொன்று அதிக தொடர்பு இருக்கக் கூடாது, மிகக் குறைவாக ஒரு கண்டிப்பான செயல்பாட்டு உறவில் இருக்க வேண்டும் (அதாவது, அவை ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையதாக இருக்கக்கூடாது). ஒன்றோடொன்று தொடர்புடைய காரணிகளின் ஒரு வகை மல்டிகோலினியரிட்டி - காரணிகளுக்கு இடையே ஒரு நெருக்கமான நேரியல் உறவு.

உதாரணம். 2 விளக்க மாறிகள் (பல பின்னடைவு) கொண்ட பின்னடைவு மாதிரியை உருவாக்கவும். கோட்பாட்டு பல பின்னடைவு சமன்பாட்டைத் தீர்மானிக்கவும். கட்டப்பட்ட மாதிரியின் போதுமான தன்மையை மதிப்பிடுங்கள்.
தீர்வு.
அசல் அணி X இல் ஒரு அலகு நெடுவரிசையைச் சேர்த்து, புதிய அணி X ஐப் பெறுகிறோம்

1. அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் சூத்திரங்கள்

பல பின்னடைவு- மாறிகள் இடையே பின்னடைவு மற்றும் அந்த. மாதிரி காட்சி:

சார்பு மாறி எங்கே உள்ளது (விளைவு பண்பு);

- சுயாதீன விளக்க மாறிகள்;

மாதிரியில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படாத காரணிகளின் செல்வாக்கை உள்ளடக்கிய ஒரு இடையூறு அல்லது சீரற்ற மாறி;

மாறிகளுக்கான அளவுருக்களின் எண்ணிக்கை

பல பின்னடைவின் முக்கிய நோக்கம்- அதிக எண்ணிக்கையிலான காரணிகளைக் கொண்ட ஒரு மாதிரியை உருவாக்கவும், அவை ஒவ்வொன்றின் செல்வாக்கையும் தனித்தனியாக தீர்மானிக்கிறது, அதே போல் மாதிரியான காட்டி மீது அவற்றின் ஒருங்கிணைந்த தாக்கம்.

பல நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடுசுயாதீன மாறிகளின் விஷயத்தில் வடிவம் உள்ளது மற்றும் இரண்டு சுயாதீன மாறிகள் விஷயத்தில் - (இரண்டு காரணி சமன்பாடு).

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்களை மதிப்பிட, பயன்படுத்தவும் குறைந்த சதுர முறை. சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது:

இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்பது, தீர்மானிக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி பின்னடைவு அளவுருக்களின் மதிப்பீடுகளைப் பெற அனுமதிக்கிறது

எங்கே - அமைப்பு தீர்மானிப்பான்;

- பகுதி தீர்மானிப்பான்கள், அவை கணினியின் நிர்ணயம் செய்யும் மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய நெடுவரிசையை கணினியின் வலது பக்கத்தில் உள்ள தரவுகளுடன் மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன.

இரண்டு காரணி சமன்பாட்டிற்கு பல நேரியல் பின்னடைவு குணகங்கள்சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

பகுதி பின்னடைவு சமன்பாடுகள்மற்ற காரணிகள் ஒரு நிலையான மட்டத்தில் நிலைநிறுத்தப்படுவதால், விளைவாக ஒரு காரணியின் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட செல்வாக்கை வகைப்படுத்துகிறது. பிற காரணிகளின் விளைவுகள் பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் இலவச காலத்துடன் சேர்க்கப்படுகின்றன. இது பகுதி பின்னடைவு சமன்பாடுகளின் அடிப்படையில் அனுமதிக்கிறது தீர்மானிக்க பகுதி நெகிழ்ச்சி குணகங்கள்:

சராசரி நெகிழ்ச்சி குணகங்கள்தொடர்புடைய காரணி 1% ஆக மாறும்போது முடிவு சராசரியாக எந்த சதவீதத்தில் மாறும் என்பதைக் காட்டவும்:

அவை ஒன்றையொன்று ஒப்பிடலாம் மற்றும் விளைவாக அவற்றின் தாக்கத்தின் வலிமைக்கு ஏற்ப காரணிகளை வரிசைப்படுத்தலாம்.

விளைவாக காரணிகளின் கூட்டு செல்வாக்கின் நெருக்கம் மதிப்பிடப்படுகிறது குணகம்மற்றும்ent (குறியீட்டு) பல தொடர்பு:

பல தொடர்பு குறியீட்டு மதிப்பு 0 முதல் 1 வரை இருக்கும் மற்றும் அதிகபட்ச ஜோடிவரிசை தொடர்பு குறியீட்டை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்க வேண்டும்:

பல தொடர்பு குறியீட்டின் மதிப்பு 1 க்கு நெருக்கமாக இருக்கும், பயனுள்ள பண்புக்கும் ஆய்வின் கீழ் உள்ள முழு காரணிகளுக்கும் இடையிலான இணைப்பு நெருக்கமாக இருக்கும்.

பல மற்றும் ஜோடி தொடர்பு குறியீடுகளை ஒப்பிடுவதன் மூலம், பின்னடைவு சமன்பாட்டில் ஒன்று அல்லது மற்றொரு காரணியைச் சேர்ப்பது நல்லது (பல தொடர்பு குறியீட்டின் மதிப்பு ஜோடி தொடர்பு குறியீட்டிலிருந்து கணிசமாக வேறுபடுகிறது) என்று முடிவு செய்யலாம்.

ஒரு நேரியல் சார்புடன், மொத்தம் பல கோ குணகம்ஆர்உறவுகள்ஜோடி தொடர்பு குணகங்களின் அணி மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

எங்கே - இணைக்கப்பட்ட தொடர்பு குணகங்களின் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான்;

- இன்டர்ஃபாக்டர் தொடர்பு மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான்.

தனியார்இகுணகம்கள்தொடர்புகள்மற்ற காரணிகளின் செல்வாக்கை நீக்கும் போது முடிவு மற்றும் தொடர்புடைய காரணி இடையே நேரியல் உறவின் நெருக்கத்தை வகைப்படுத்துகிறது. இது கணக்கிடப்பட்டால், எடுத்துக்காட்டாக, (பகுதி தொடர்பு குணகம் இடையே மற்றும் ஒரு நிலையான செல்வாக்குடன்), இது தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்று அர்த்தம் அளவு அளவீடுஇந்த குணாதிசயங்களில் காரணியின் செல்வாக்கை நாம் அகற்றினால், இடையே நேரியல் உறவு மற்றும் இது நடக்கும்

பகுதி தொடர்பு குணகங்கள், மற்ற காரணிகளை நிலையானதாக வைத்திருக்கும் போது ஒரு காரணி மீதான செல்வாக்கை அளவிடும், பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:

அல்லது மீண்டும் வரும் சூத்திரம் மூலம்:

இரண்டு காரணி சமன்பாட்டிற்கு:

அல்லது

பகுதி தொடர்பு குணகங்கள் -1 முதல் +1 வரை இருக்கும்.

ஜோடி மற்றும் பகுதி தொடர்பு குணகங்களின் மதிப்புகளின் ஒப்பீடுநிலையான காரணியின் செல்வாக்கின் திசையைக் காட்டுகிறது. பகுதி தொடர்பு குணகம் தொடர்புடைய ஜோடி குணகத்தை விட குறைவாக இருந்தால், குணாதிசயங்கள் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளன மற்றும் ஓரளவு அவற்றின் மீது நிலையான மாறியின் செல்வாக்கின் காரணமாகும் இணைக்கப்பட்ட குணகத்துடன் ஒப்பிடும்போது நிலையான மாறி உறவை பலவீனப்படுத்துகிறது மற்றும்

பகுதி தொடர்பு குணகத்தின் வரிசையானது செல்வாக்கு விலக்கப்பட்ட காரணிகளின் எண்ணிக்கையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, முதல்-வரிசை பகுதி தொடர்பு குணகம்.

பகுதி தொடர்பு குணகங்களை (தொடர்ந்து முதல், இரண்டாவது மற்றும் உயர் வரிசை) அறிந்து, நாம் தீர்மானிக்க முடியும் ஒட்டுமொத்த குணகம்plஓபெண்பால்தொடர்புகள்:

கட்டப்பட்ட மாதிரியின் தரம் ஒட்டுமொத்தமாக மதிப்பிடப்படுகிறது பல நிர்ணயத்தின் குணகம் (குறியீடு)., இது பல தொடர்பு குறியீட்டின் சதுரமாக கணக்கிடப்படுகிறது: பின்னடைவில் கருதப்படும் காரணிகளின் காரணமாக விளைந்த பண்புகளில் விளக்கப்பட்ட மாறுபாட்டின் பங்கை பல நிர்ணயக் குறியீடு சரிசெய்கிறது. மாதிரியில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படாத பிற காரணிகளின் செல்வாக்கு என மதிப்பிடப்படுகிறது

இல் உள்ள அளவுருக்களின் எண்ணிக்கை அவதானிப்புகளின் அளவிற்கு நெருக்கமாக இருந்தால், பல தொடர்பு குணகம் காரணிகளுக்கும் விளைவுக்கும் இடையே பலவீனமான இணைப்புடன் கூட ஒன்றை அணுகும். இணைப்பின் நெருக்கத்தை மிகைப்படுத்துவதைத் தடுக்க, இது பயன்படுத்தப்படுகிறது சரிசெய்யப்பட்ட பல தொடர்பு குறியீடு, இது சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கைக்கான திருத்தத்தைக் கொண்டுள்ளது:

பெரிய மதிப்பு, வலுவான வேறுபாடுகள் மற்றும்

பகுதி தொடர்பு குணகங்களின் முக்கியத்துவம்ஜோடி தொடர்பு குணகங்களைப் போலவே சரிபார்க்கப்படுகிறது. ஒரே வித்தியாசம் சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்ணிக்கை, இது =--2 க்கு சமமாக எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும்.

பொதுவாக பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் முக்கியத்துவம், ஜோடிவரிசை பின்னடைவைப் போல, பயன்படுத்தி மதிப்பிடப்படுகிறது - ஃபிஷர் சோதனை:

மாதிரியில் ஒரு காரணியைச் சேர்ப்பதை மதிப்பிடுவதற்கான நடவடிக்கை தனிப்பட்ட- அளவுகோல். IN பொதுவான பார்வைகாரணிக்கு தனிப்பட்ட அளவுகோல்என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது

இரண்டு காரணி சமன்பாட்டிற்கு, பகுதி அளவுகோல்கள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன:

உண்மையான மதிப்பு அட்டவணை மதிப்பை விட அதிகமாக இருந்தால், மாதிரியில் காரணியின் கூடுதல் சேர்க்கை புள்ளிவிவர ரீதியாக நியாயப்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் காரணிக்கான நிகர பின்னடைவு குணகம் புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கதாக இருக்கும். அட்டவணைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பை விட உண்மையான மதிப்பு குறைவாக இருந்தால், மாதிரியில் காரணியைச் சேர்ப்பது பொருத்தமற்றது, மேலும் இந்த காரணிக்கான பின்னடைவு குணகம் இந்த விஷயத்தில் புள்ளிவிவர ரீதியாக முக்கியமற்றது.

மதிப்பீட்டிற்கு தூய பின்னடைவு குணகங்களின் முக்கியத்துவம்மாணவர்களின் டி-டெஸ்ட் படி, சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

காரணியில் தூய பின்னடைவு குணகம் எங்கே

- பின்னடைவு குணகத்தின் சராசரி சதுர (தரநிலை) பிழைசூத்திரத்தால் தீர்மானிக்க முடியும்:

பின்னடைவில் ஒரு புதிய காரணியை கூடுதலாகச் சேர்ப்பதன் மூலம், தீர்மானத்தின் குணகம் அதிகரிக்க வேண்டும் மற்றும் எஞ்சிய மாறுபாடு குறைய வேண்டும். இது அவ்வாறு இல்லையென்றால், பகுப்பாய்வில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள புதிய காரணி மாதிரியை மேம்படுத்தாது மற்றும் நடைமுறையில் கூடுதல் காரணியாகும். தேவையற்ற காரணிகளுடன் மாதிரியின் செறிவு மதிப்பைக் குறைக்காது எஞ்சிய மாறுபாடுமற்றும் நிர்ணயம் குறியீட்டை அதிகரிக்காது, ஆனால் மாணவர்களின் டி-டெஸ்ட் படி பின்னடைவு அளவுருக்களின் புள்ளிவிவர முக்கியத்துவத்திற்கு வழிவகுக்கிறது.

பல பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்கும்போது சிக்கல் இருக்கலாம் பன்முகத்தன்மைகாரணிகள். இரண்டு மாறிகள் தெளிவாக இணையாகக் கருதப்படுகின்றன, அதாவது. காரணிகள் தெளிவாக இணைக்கப்பட்டிருந்தால், அவை ஒன்றோடொன்று நேரியல் உறவில் உள்ளன, பின்னர் அவை ஒன்றையொன்று நகலெடுக்கின்றன, மேலும் அவற்றில் ஒன்றை பின்னடைவிலிருந்து விலக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், முடிவுடன் மிகவும் நெருக்கமாக தொடர்புடைய காரணிக்கு முன்னுரிமை அளிக்கப்படவில்லை, ஆனால் முடிவோடு போதுமான நெருக்கமான தொடர்பு இருந்தபோதிலும், பிற காரணிகளுடன் மிகக் குறைந்த தொடர்பைக் கொண்டிருக்கும் காரணிக்கு முன்னுரிமை அளிக்கப்படுகிறது.

காரணிகளின் பன்முகத்தன்மையை மதிப்பிடுவதற்குப் பயன்படுத்தலாம் defஇஅணி லிட்டர் காரணிகளுக்கு இடையில். 0 க்கு அருகில் உள்ள காரணிகளின் தொடர்பு மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பானது, காரணிகளின் பலகோல்களை வலுப்படுத்துகிறது மற்றும் பல பின்னடைவின் முடிவுகள் மிகவும் நம்பகத்தன்மையற்றதாக இருக்கும். மாறாக, தீர்மானிப்பான் 1 க்கு நெருக்கமாக இருந்தால், காரணிகளின் பன்முகத்தன்மை குறைவாக இருக்கும்.

OLS ஐப் பயன்படுத்துவதற்கு எச்சங்களின் மாறுபாடு ஓரினச்சேர்க்கையாக இருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் ஒவ்வொரு காரணிக்கும் எச்சங்களை மதிப்பிடுகிறது அதே மாறுபாடு உள்ளது. குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், பின்னர் பன்முகத்தன்மை. ஓரினச்சேர்க்கை மீறப்பட்டால், ஏற்றத்தாழ்வுகள் திருப்தி அடையும்

ஹீட்டோரோசெடாஸ்டிசிட்டியின் இருப்பை தொடர்புத் துறையில் இருந்து தெளிவாகக் காணலாம் (படம் 9.22).

அரிசி. 9.22 . பன்முகத்தன்மைக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

a) எச்சங்களின் சிதறல் அதிகரிக்கிறது

b) எச்சங்களின் சிதறல் மாறியின் சராசரி மதிப்புகளில் அதன் அதிகபட்ச மதிப்பை அடைகிறது மற்றும் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்புகளில் குறைகிறது

c) எச்சங்களின் அதிகபட்ச சிதறல் சிறிய மதிப்புகளில் உள்ளது மற்றும் மதிப்புகள் அதிகரிக்கும் போது எச்சங்களின் சிதறல் சீரானது

பன்முகத்தன்மைக்கான மாதிரியைச் சோதிக்க, நீங்கள் கோல்ட்ஃபெல்ட்-குவாண்ட் முறை (சிறிய மாதிரி அளவுக்கு) அல்லது பார்ட்லெட் சோதனை (பெரிய மாதிரி அளவு) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தலாம்.

விண்ணப்பத்தின் வரிசை Goldfeld-Quandt சோதனை:

1) பன்முகத்தன்மையின் சந்தேகம் உள்ள சுயாதீன மாறியின் இறங்கு வரிசையில் தரவை வரிசைப்படுத்தவும்.

2) மைய அவதானிப்புகளை கருத்தில் இருந்து விலக்கவும். அதே நேரத்தில் மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருக்களின் எண்ணிக்கை எங்கே. ஒரு காரணி பின்னடைவு சமன்பாட்டிற்கான சோதனைக் கணக்கீடுகளில் இருந்து, முறையே =30க்கு =8, மற்றும் =60க்கு =16 என எடுத்துக்கொள்ள பரிந்துரைக்கப்படுகிறது.

3) அவதானிப்புகளின் தொகுப்பை இரண்டு குழுக்களாகப் பிரிக்கவும் (முறையே காரணியின் சிறிய மற்றும் பெரிய மதிப்புகளுடன்) மற்றும் ஒவ்வொரு குழுக்களுக்கும் பின்னடைவு சமன்பாட்டை தீர்மானிக்கவும்.

4) முதல் மற்றும் இரண்டாவது குழுக்களுக்கான சதுரங்களின் எஞ்சிய தொகையைக் கணக்கிட்டு அவற்றின் விகிதத்தைக் கண்டறியவும் ஓரினச்சேர்க்கையின் பூஜ்ய கருதுகோள் திருப்தி அடைந்தால், உறவு ஃபிஷர் அளவுகோலை சுதந்திரத்தின் அளவுகளுடன் திருப்திப்படுத்தும் சதுரங்களின் ஒவ்வொரு எஞ்சிய தொகைக்கும். எவ்வளவு அதிகமாக மதிப்பு அதிகமாகிறதோ, அவ்வளவு அதிகமாக எஞ்சிய மதிப்புகளின் மாறுபாடுகளின் சமத்துவம் மீறப்படுகிறது.

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தரநிலைகளை (பாலினம், தொழில், கல்வி,) கொண்ட மாதிரி காரணிகளில் சேர்க்க வேண்டியது அவசியம் என்றால் காலநிலை நிலைமைகள், ஒரு குறிப்பிட்ட பிராந்தியத்தைச் சேர்ந்தவர்கள், முதலியன), பின்னர் அவர்கள் ஒதுக்கப்பட வேண்டும் டிஜிட்டல் குறிச்சொற்கள்,அந்த. தர மாறிகள் அளவு மாறிகள் மாற்றப்படுகின்றன. இந்த வகையின் கட்டமைக்கப்பட்ட மாறிகள் அழைக்கப்படுகின்றன கற்பனையான (மற்றும் உடன் செயற்கை) மாறிகள் .

TOபோலி மாறியுடன் பின்னடைவு குணகம்ஒரு வகையிலிருந்து மற்றொரு வகைக்கு நகரும் போது சார்பு மாறியின் சராசரி மாற்றமாக விளக்கப்படுகிறது, மீதமுள்ள அளவுருக்களின் மீதமுள்ள மதிப்புகள் மாறாமல் இருக்கும். போலி மாறியின் செல்வாக்கின் முக்கியத்துவம் மாணவர்களின் டி-டெஸ்ட் மூலம் சரிபார்க்கப்படுகிறது.

2. வழக்கமான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது

உதாரணம்9. 2. தொழில்துறையில் உள்ள 15 நிறுவனங்களுக்கு (அட்டவணை 9.4), உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருட்களின் அளவு (ஆயிரம் யூனிட்கள்) மற்றும் மூலப்பொருட்களின் விலை (ஆயிரம் பண அலகுகள்) ஆகியவற்றின் உற்பத்தி செலவுகள் (ஆயிரம் பண அலகுகள்) சார்ந்து ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. அவசியம்:

1) பல நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்.

2) கணக்கிட்டு விளக்கவும்:

சராசரி நெகிழ்ச்சி குணகங்கள்;

இணைக்கப்பட்ட தொடர்பு குணகங்கள், அவற்றின் முக்கியத்துவத்தை 0.05 அளவில் மதிப்பிடுகின்றன;

பகுதி தொடர்பு குணகங்கள்;

பல தொடர்பு குணகம், நிர்ணயத்தின் பல குணகம், நிர்ணயத்தின் சரிசெய்யப்பட்ட குணகம்.

3) கட்டமைக்கப்பட்ட பின்னடைவு சமன்பாட்டின் நம்பகத்தன்மை மற்றும் காரணிக்குப் பின் மற்றும் அதற்குப் பின் ஒரு காரணியைச் சேர்ப்பதற்கான ஆலோசனை

அட்டவணை 9.4

தீர்வு:

1) எக்செல் இல், படத்தில் துணை அட்டவணையை உருவாக்கவும். 9.23.

அரிசி.9.23 . பலவகை பின்னடைவு கணக்கீடு அட்டவணை.

உள்ளமைக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி நாம் கணக்கிடுகிறோம்: =345.5; =13838.89; =8515.78; =219.315; =9.37; =6558.08.

பல நேரியல் பின்னடைவின் குணகங்களைக் கண்டறிந்து, படம் 1 இல் உள்ளதைப் போல முடிவுகளைக் காண்பிப்போம். 9.24.

அரிசி.9.24 . உள்ள சிக்கலைத் தீர்ப்பதுஎம்.எஸ்எக்செல்

குணக மதிப்பைக் கணக்கிட, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்

அளவுருக்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் கலங்களில் உள்ளிடப்படுகின்றன ஈ20 , ஈ2 1, ஈ2 2. எனவே அளவுருவை கணக்கிடுவதற்கு பி1 வி ஈ20 சூத்திரம் போட்டது =(B20*B24-B21*B22)/(B23*B24-B22^2)மற்றும் நாம் 29.83 பெறுகிறோம். இதேபோல், =0.301 மற்றும் குணகம் =-31.25 (படம் 9.25.) மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்.

அரிசி.9.25 . பல பின்னடைவு சமன்பாட்டின் அளவுருக்களைக் கணக்கிடுதல்(உடன்டிகணக்கிடுவதற்கான ராக் ஃபார்முலா சூத்திரம்பி2) .

பல நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:

31,25+29,83+0,301

இதனால், உற்பத்தியின் அளவு 1 ஆயிரம் அலகுகள் அதிகரித்தது. இந்த தயாரிப்புகளின் உற்பத்திக்கான செலவுகள் சராசரியாக 29.83 ஆயிரம் அதிகரிக்கும். அலகுகள், மற்றும் மூலப்பொருள் செலவுகள் 1 ஆயிரம் டென் அதிகரிப்புடன். அலகுகள் செலவுகள் சராசரியாக 0.301 ஆயிரம் அதிகரிக்கும். அலகுகள்

2) கணக்கிட சராசரி நெகிழ்ச்சி குணகங்கள்சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: கணக்கிடு: =0.884 மற்றும் =0.184. அந்த. உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருட்களின் அளவின் அதிகரிப்பு (அதன் சராசரி மதிப்பிலிருந்து) அல்லது மூலப்பொருட்களின் விலை 1% மட்டுமே அதிகரிப்பது, சராசரியாக உற்பத்திச் செலவை முறையே 0.884% அல்லது 0.184% அதிகரிக்கிறது. இதனால், காரணியை விட காரணி விளைவுகளில் அதிக செல்வாக்கு செலுத்துகிறது

கணக்கிட ஜோடி தொடர்பு குணகங்கள்"CORREL" செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவோம் படம். 9.26.

அரிசி.9.26 . ஜோடிவரிசை தொடர்பு குணகங்களின் கணக்கீடு

இணைக்கப்பட்ட தொடர்பு குணகங்களின் மதிப்புகள் மிக நெருக்கமான தொடர்பைக் குறிக்கின்றன மற்றும் அதே நேரத்தில், இடைக்கூறு இணைப்பு மிகவும் வலுவானது (=0.88>0.7), இது காரணிகளில் ஒன்று தகவல் இல்லாதது என்பதைக் குறிக்கிறது, அதாவது. மாதிரியில் ஏதேனும் ஒன்று இருக்க வேண்டும் அல்லது

Zநாச்சிமோஸ்ட்பிஜோடி தொடர்பு குணகங்கள்மாணவர்களின் டி-டெஸ்ட்டைப் பயன்படுத்தி மதிப்பீடு செய்வோம். =2.1604 உள்ளமைக்கப்பட்ட புள்ளியியல் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்படுகிறது ஆய்வுஎடுத்து =0.05 மற்றும் =-2=13.

உண்மையான மதிப்பு - ஒவ்வொன்றிற்கும் மாணவர்களின் டி-டெஸ்ட் ஜோடி குணகம்சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: . கணக்கீட்டு முடிவு படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 9.27.

அரிசி.9.27 . உண்மையான மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதன் முடிவு- அளவுகோல்கள்மாணவர் சோதனை

நாம் =12.278; =7.1896; =6.845.

புள்ளிவிவரங்களின் உண்மையான மதிப்புகள் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்புகளை விட அதிகமாக இருப்பதால், ஜோடிவரிசை தொடர்பு குணகங்கள் தற்செயலாக பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபடுவதில்லை, ஆனால் புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கவை.

நாம் =0.81; =0.34; =0.21. இதனால், காரணி முடிவை விட வலுவான செல்வாக்கைக் கொண்டுள்ளது

இணைக்கப்பட்ட மற்றும் பகுதி தொடர்பு குணகங்களின் மதிப்புகளை ஒப்பிடுகையில், வலுவான இடைநிலை இணைப்பு காரணமாக, ஜோடி மற்றும் பகுதி தொடர்பு குணகங்கள் கணிசமாக வேறுபடுகின்றன என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம்.

பல தொடர்பு குணகம்

இதன் விளைவாக, சார்பு மற்றும் மிகவும் நெருக்கமாக வகைப்படுத்தப்படுகிறது, இதில் =93% உற்பத்தி செலவினங்களின் மாறுபாடு மாதிரியில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட காரணிகளின் மாறுபாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: உற்பத்தி செய்யப்படும் பொருட்களின் அளவு மற்றும் மூலப்பொருட்களின் செலவுகள். மாதிரி கணக்கில் சேர்க்கப்படாத பிற காரணிகள் முறையே மொத்த மாறுபாட்டின் 7% ஆகும்.

பல தீர்மானத்தின் சரிசெய்யப்பட்ட குணகம் =0.9182 முடிவு மற்றும் குணாதிசயங்களுக்கு இடையே நெருங்கிய உறவைக் குறிக்கிறது.

அரிசி.9.28 . பகுதி தொடர்பு குணகங்கள் மற்றும் குணகங்களின் கணக்கீட்டின் முடிவுகள்மற்றும்பல தொடர்பு

3) மதிப்பிடுவோம் பொதுவாக பின்னடைவு சமன்பாட்டின் நம்பகத்தன்மைஃபிஷரின் அளவுகோலைப் பயன்படுத்துதல். கணக்கிடுவோம் . =3.8853 என்பது உள்ளமைக்கப்பட்ட புள்ளியியல் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி =0.05, =2, =15-2-1=12 எடுப்பதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது வேகமாகஅதே அளவுருக்களுடன்.

அட்டவணைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பை விட உண்மையான மதிப்பு அதிகமாக இருப்பதால், பல நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடு ஒட்டுமொத்தமாக புள்ளிவிவர ரீதியாக முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது என்று 95% நிகழ்தகவுடன் முடிவு செய்யலாம்.

காரணிக்குப் பின் ஒரு காரணியைச் சேர்ப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகளை மதிப்பிடுவோம் மற்றும் சூத்திரங்களின்படி ஃபிஷரின் பகுதி அளவுகோலைப் பயன்படுத்துகிறோம்

; .

இதைச் செய்ய, செல்லில் B32கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை உள்ளிடவும் எஃப்x1 « =(B28-H24^2)*(15-3)/(1-B28)", மற்றும் செல்லுக்குள் பி33 கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் எஃப்x2 « =(B28-H23^2)*(15-3)/(1-B28)", கணக்கீடு முடிவு எஃப்x1 = 22,4127, எஃப்x2 = 1.5958. உள்ளமைக்கப்பட்ட செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஃபிஷர் அளவுகோலின் அட்டவணை மதிப்பை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம் வேகமாகஅளவுருக்கள் =0.05, =1, =12 " =FDISC(0.05;1 ;12) », முடிவு - =4.747. =22.4127>=4.747, மற்றும் =1.5958<=4,747, то включение фактора в модель статистически оправдано и коэффициент чистой регрессии статистически значим, а дополнительное включение фактора после того, как уже введен фактор нецелесообразно (рис. 9.29).

அரிசி.9.29 . ஃபிஷரின் அளவுகோலின் கணக்கீட்டின் முடிவுகள்

ஒரு குறைந்த மதிப்பு (சற்று 1 க்கும் அதிகமானது) மாதிரியில் உள்ள காரணிக்கு பிறகு ஒரு காரணியை சேர்ப்பதன் காரணமாக அதிகரிப்பின் புள்ளிவிவர முக்கியத்துவத்தை குறிக்கிறது, இதன் பொருள் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருட்களின் அளவு மீது உற்பத்தி செலவுகளை சார்ந்து இருக்கும் ஜோடி பின்னடைவு மாதிரி மிகவும் புள்ளியியல் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது, நம்பகமானது மற்றும் கூடுதல் காரணி (மூலப் பொருள் செலவுகள்) உட்பட அதை மேம்படுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை.

3. MS Excel ஐப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான கூடுதல் தகவல்

தரவு பகுப்பாய்வுக் கருவியைப் பயன்படுத்தி ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தரவுத் தொகுப்புகளுக்கான முக்கிய பண்புகளின் சுருக்கத்தைப் பெறலாம் விளக்கம்ஏஉடல் புள்ளிவிவரங்கள். செயல்முறை பின்வருமாறு:

1. நீங்கள் அணுகலைச் சரிபார்க்க வேண்டும் பகுப்பாய்வு தொகுப்பு. இதைச் செய்ய, ரிப்பனில், "தரவு" தாவலைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், அதில் "பகுப்பாய்வு" பிரிவு (படம் 9.30.).

அரிசி.9.30 . தரவு தாவல்தரவு பகுப்பாய்வு உரையாடல் பெட்டி

2. தரவு பகுப்பாய்வு உரையாடல் பெட்டியில், தேர்ந்தெடுக்கவும் விளக்கமான புள்ளிவிவரம் மற்றும் குச்சி "சரி" பொத்தானைக் கிளிக் செய்து, தோன்றும் உரையாடல் பெட்டியில், தேவையான புலங்களை நிரப்பவும் (படம் 9.31):

அரிசி. 9.31 . கருவி அளவுருக்களை உள்ளிடுவதற்கான உரையாடல் பெட்டி
« விளக்கமான புள்ளிவிவரங்கள் »

உள்ளீட்டு இடைவெளி- பயனுள்ள மற்றும் விளக்கமளிக்கும் பண்புகளின் தரவைக் கொண்ட வரம்பு;

குழுவாக்கம்- தரவு எவ்வாறு ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கவும் (நெடுவரிசைகள் அல்லது வரிசைகளில்);

குறிச்சொற்கள்- முதல் வரியில் நெடுவரிசைப் பெயர்கள் உள்ளதா இல்லையா என்பதைக் குறிக்கும் கொடி;

வெளியீட்டு இடைவெளி- எதிர்கால வரம்பின் மேல் இடது கலத்தைக் குறிப்பிடுவது போதுமானது;

புதிய பணித்தாள்- நீங்கள் ஒரு புதிய தாளுக்கு தன்னிச்சையான பெயரை அமைக்கலாம், அதில் முடிவுகள் காட்டப்படும்.

தகவலுக்கு இறுதி புள்ளிவிவரங்கள், நம்பிக்கை நிலைமற்றும்தன்மை,பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகள்உரையாடல் பெட்டியில் பொருத்தமான பெட்டிகளை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும்.

பின்வரும் புள்ளிவிவரங்களைப் பெறுகிறோம் (படம் 2.10).