நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் மாறுபாட்டை எவ்வாறு கண்டறிவது. எஞ்சிய மாறுபாடு

புள்ளிவிவரங்களில் உள்ள மாறுபாட்டின் முக்கிய பொதுமைப்படுத்தும் குறிகாட்டிகள் மாறுபாடுகள் மற்றும் சராசரிகள் ஆகும். நிலையான விலகல்.

சிதறல் இது எண்கணித சராசரி ஒட்டுமொத்த சராசரியிலிருந்து ஒவ்வொரு சிறப்பியல்பு மதிப்பின் வர்க்க விலகல்கள். மாறுபாடு பொதுவாக விலகல்களின் சராசரி சதுரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும்  2 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. மூலத் தரவைப் பொறுத்து, எளிய அல்லது எடையுள்ள எண்கணித சராசரியைப் பயன்படுத்தி மாறுபாட்டைக் கணக்கிடலாம்:

 எடையற்ற (எளிய) மாறுபாடு;

 மாறுபாடு எடையிடப்பட்டது.

நிலையான விலகல் இது முழுமையான அளவுகளின் பொதுமைப்படுத்தும் பண்பு மாறுபாடுகள் மொத்தத்தில் அறிகுறிகள். இது பண்புக்கூறு (மீட்டர், டன், சதவீதம், ஹெக்டேர், முதலியன) அதே அளவீட்டு அலகுகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

நிலையான விலகல் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்க மூலமாகும், மேலும் இது  ஆல் குறிக்கப்படுகிறது:

 நிலையான விலகல் எடையற்றது;

 எடையுள்ள நிலையான விலகல்.

நிலையான விலகல் என்பது சராசரியின் நம்பகத்தன்மையின் அளவீடு ஆகும். சிறிய நிலையான விலகல், சிறந்த எண்கணித சராசரி முழு பிரதிநிதித்துவ மக்களை பிரதிபலிக்கிறது.

நிலையான விலகலின் கணக்கீடு மாறுபாட்டின் கணக்கீட்டிற்கு முன்னதாக உள்ளது.

எடையுள்ள மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான செயல்முறை பின்வருமாறு:

1) எடையுள்ள எண்கணித சராசரியை தீர்மானிக்கவும்:

2) சராசரியிலிருந்து விருப்பங்களின் விலகல்களைக் கணக்கிடுங்கள்:

3) ஒவ்வொரு விருப்பத்தின் விலகலை சராசரியிலிருந்து சதுரப்படுத்தவும்:

4) விலகல்களின் சதுரங்களை எடைகளால் (அதிர்வெண்கள்) பெருக்கவும்:

5) விளைவாக தயாரிப்புகளை சுருக்கவும்:

6) இதன் விளைவாக வரும் தொகை எடைகளின் கூட்டுத்தொகையால் வகுக்கப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 2.1

எடையுள்ள எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடுவோம்:

சராசரி மற்றும் அவற்றின் சதுரங்களிலிருந்து விலகல்களின் மதிப்புகள் அட்டவணையில் வழங்கப்படுகின்றன. மாறுபாட்டை வரையறுப்போம்:

நிலையான விலகல் இதற்கு சமமாக இருக்கும்:

மூல தரவு இடைவெளி வடிவத்தில் வழங்கப்பட்டால் விநியோக தொடர் , பின்னர் நீங்கள் முதலில் பண்புக்கூறின் தனித்துவமான மதிப்பைத் தீர்மானிக்க வேண்டும், பின்னர் விவரிக்கப்பட்ட முறையைப் பயன்படுத்தவும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.2

கோதுமை விளைச்சலுக்கு ஏற்ப கூட்டுப் பண்ணையின் விதைக்கப்பட்ட பகுதியின் விநியோகம் குறித்த தரவுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு இடைவெளித் தொடருக்கான மாறுபாட்டின் கணக்கீட்டைக் காண்பிப்போம்.

எண்கணித சராசரி:

மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம்:

6.3 தனிப்பட்ட தரவுகளின் அடிப்படையில் ஒரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுதல்

கணக்கீட்டு நுட்பம் மாறுபாடுகள் சிக்கலானது, மற்றும் விருப்பங்கள் மற்றும் அதிர்வெண்களின் பெரிய மதிப்புகளுடன் இது சிக்கலானதாக இருக்கும். சிதறலின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளை எளிதாக்கலாம்.

சிதறல் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

1. குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் மாறுபடும் குணாதிசயத்தின் எடைகளை (அதிர்வெண்கள்) குறைப்பது அல்லது அதிகரிப்பது சிதறலை மாற்றாது.

2. ஒரு குணாதிசயத்தின் ஒவ்வொரு மதிப்பையும் அதே நிலையான தொகையால் குறைக்கவும் அல்லது அதிகரிக்கவும் ஏசிதறலை மாற்றாது.

3. ஒரு குணாதிசயத்தின் ஒவ்வொரு மதிப்பையும் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் குறைக்கவும் அல்லது அதிகரிக்கவும் கேமுறையே மாறுபாட்டை குறைக்கிறது அல்லது அதிகரிக்கிறது கே 2 முறை நிலையான விலகல்  இல் கேஒருமுறை.

4. சராசரி மற்றும் தன்னிச்சையான மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் ஒரு சதுரத்திற்கான எண்கணித சராசரியுடன் தொடர்புடைய பரவலை விட தன்னிச்சையான மதிப்புடன் தொடர்புடைய ஒரு குணாதிசயத்தின் சிதறல் எப்போதும் அதிகமாக இருக்கும்:

என்றால் ஏ 0, பின்னர் நாம் பின்வரும் சமத்துவத்தை அடைகிறோம்:

அதாவது, குணாதிசயத்தின் மாறுபாடு பண்பு மதிப்புகளின் சராசரி சதுரத்திற்கும் சராசரியின் சதுரத்திற்கும் இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

மாறுபாட்டைக் கணக்கிடும்போது ஒவ்வொரு சொத்தையும் சுயாதீனமாக அல்லது மற்றவர்களுடன் இணைந்து பயன்படுத்தலாம்.

மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான செயல்முறை எளிதானது:

1) தீர்மானிக்கவும் எண்கணித சராசரி :

2) எண்கணித சராசரி:

3) தொடரின் ஒவ்வொரு மாறுபாட்டின் விலகலின் சதுரம்:

எக்ஸ் நான் 2 .

4) விருப்பங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்:

5) விருப்பங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை அவற்றின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கவும், அதாவது சராசரி சதுரத்தை தீர்மானிக்கவும்:

6) குணாதிசயத்தின் சராசரி சதுரத்திற்கும் சராசரியின் சதுரத்திற்கும் இடையிலான வேறுபாட்டை தீர்மானிக்கவும்:

எடுத்துக்காட்டு 3.1தொழிலாளர் உற்பத்தித்திறன் பற்றிய பின்வரும் தரவு கிடைக்கிறது:

பின்வரும் கணக்கீடுகளைச் செய்வோம்:

புள்ளிவிவரங்களில் பயன்படுத்தப்படும் பல குறிகாட்டிகளில், மாறுபாட்டின் கணக்கீட்டை முன்னிலைப்படுத்துவது அவசியம். கைமுறையாக செயல்படுத்துவதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் இந்த கணக்கீடு- மிகவும் கடினமான பணி. அதிர்ஷ்டவசமாக, இல் எக்செல் பயன்பாடுகணக்கீட்டு செயல்முறையை தானியக்கமாக்க உங்களை அனுமதிக்கும் செயல்பாடுகள் உள்ளன. இந்த கருவிகளுடன் பணிபுரியும் வழிமுறையைக் கண்டுபிடிப்போம்.

சிதறல் என்பது மாறுபாட்டின் ஒரு குறிகாட்டியாகும், இது விலகல்களின் சராசரி சதுரமாகும் கணித எதிர்பார்ப்பு. எனவே, இது சராசரி மதிப்பைச் சுற்றி எண்களின் பரவலை வெளிப்படுத்துகிறது. சிதறலின் கணக்கீடு இரண்டிலும் மேற்கொள்ளப்படலாம் மக்கள் தொகை, மற்றும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட.

முறை 1: மக்கள்தொகை அடிப்படையில் கணக்கீடு

பொது மக்களுக்காக எக்செல் இல் இந்த குறிகாட்டியைக் கணக்கிட, செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும் டிஐஎஸ்பி.ஜி. இந்த வெளிப்பாட்டின் தொடரியல் பின்வருமாறு:

DISP.G(எண்1;எண்2;...)

மொத்தத்தில், 1 முதல் 255 வாதங்களைப் பயன்படுத்தலாம். வாதங்கள் எண் மதிப்புகள் அல்லது அவை உள்ள கலங்களுக்கான குறிப்புகளாக இருக்கலாம்.

எண் தரவு கொண்ட வரம்பிற்கு இந்த மதிப்பை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்று பார்ப்போம்.

முறை 2: மாதிரி மூலம் கணக்கீடு

மக்கள்தொகையின் அடிப்படையில் ஒரு மதிப்பைக் கணக்கிடுவதைப் போலன்றி, ஒரு மாதிரியைக் கணக்கிடுவதில், வகுப்பானது மொத்த எண்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்காது, ஆனால் ஒன்று குறைவாக இருக்கும். பிழை திருத்தும் நோக்கத்திற்காக இது செய்யப்படுகிறது. இந்த வகை கணக்கீட்டிற்காக வடிவமைக்கப்பட்ட ஒரு சிறப்பு செயல்பாட்டில் எக்செல் இந்த நுணுக்கத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது - DISP.V. அதன் தொடரியல் பின்வரும் சூத்திரத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

DISP.B(எண்1;எண்2;...)

முந்தைய செயல்பாட்டில் உள்ளதைப் போலவே வாதங்களின் எண்ணிக்கையும் 1 முதல் 255 வரை இருக்கலாம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எக்செல் நிரல் மாறுபாட்டின் கணக்கீட்டை பெரிதும் எளிதாக்கும். இது புள்ளியியல் மதிப்புபொது மக்களுக்காகவும் மாதிரிக்காகவும் விண்ணப்பத்தின் மூலம் கணக்கிட முடியும். இந்த வழக்கில், அனைத்து பயனர் செயல்களும் உண்மையில் செயலாக்கப்பட்ட எண்களின் வரம்பையும், முக்கியத்தையும் குறிக்கும் எக்செல் வேலைஅதை தானே செய்கிறான். நிச்சயமாக, இது பயனர் நேரத்தை கணிசமாக மிச்சப்படுத்தும்.

நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு என்பது உயர்கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களால் மட்டுமே படிக்கப்படும் கணிதத்தின் ஒரு சிறப்புப் பிரிவாகும். நீங்கள் கணக்கீடுகள் மற்றும் சூத்திரங்களை விரும்புகிறீர்களா? சாதாரண விநியோகம், குழும என்ட்ரோபி, கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் தனித்துவமான சிதறல் ஆகியவற்றைப் பற்றி அறிந்து கொள்வதற்கான வாய்ப்புகள் குறித்து நீங்கள் பயப்படவில்லை. சீரற்ற மாறி? பின்னர் இந்த தலைப்பு உங்களுக்கு மிகவும் சுவாரஸ்யமாக இருக்கும். இந்த அறிவியல் துறையின் மிக முக்கியமான அடிப்படைக் கருத்துக்கள் பலவற்றைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம்.

அடிப்படைகளை நினைவில் கொள்வோம்

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் எளிமையான கருத்துகளை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருந்தாலும், கட்டுரையின் முதல் பத்திகளை புறக்கணிக்காதீர்கள். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அடிப்படைகளைப் பற்றிய தெளிவான புரிதல் இல்லாமல், கீழே விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரங்களுடன் நீங்கள் வேலை செய்ய முடியாது.

எனவே, சில சீரற்ற நிகழ்வுகள் நிகழ்கின்றன, சில சோதனைகள். நாம் செய்யும் செயல்களின் விளைவாக, நாம் பல விளைவுகளைப் பெறலாம் - அவற்றில் சில அடிக்கடி நிகழ்கின்றன, மற்றவை குறைவாகவே நிகழ்கின்றன. ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என்பது ஒரு வகையின் உண்மையில் பெறப்பட்ட விளைவுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் சாத்தியமானவற்றின் மொத்த எண்ணிக்கையின் விகிதமாகும். இந்த கருத்தின் கிளாசிக்கல் வரையறையை அறிந்தால் மட்டுமே, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறலைப் படிக்க ஆரம்பிக்க முடியும்.

சராசரி

மீண்டும் பள்ளியில், கணித பாடங்களின் போது, ​​நீங்கள் எண்கணித சராசரியுடன் வேலை செய்ய ஆரம்பித்தீர்கள். இந்த கருத்து நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எனவே புறக்கணிக்க முடியாது. இந்த நேரத்தில் நமக்கு முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறலுக்கான சூத்திரங்களில் அதை சந்திப்போம்.

எங்களிடம் எண்களின் வரிசை உள்ளது மற்றும் எண்கணித சராசரியைக் கண்டறிய விரும்புகிறோம். நமக்குத் தேவையானது கிடைக்கக்கூடிய அனைத்தையும் தொகுத்து, வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்க வேண்டும். 1 முதல் 9 வரையிலான எண்களை வைத்துக்கொள்வோம். தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகை 45க்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் இந்த மதிப்பை 9 ஆல் வகுப்போம். பதில்: - 5.

சிதறல்

பேசும் அறிவியல் மொழி, சிதறல் என்பது எண்கணித சராசரியிலிருந்து பெறப்பட்ட சிறப்பியல்பு மதிப்புகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரமாகும். இது ஒரு பெரிய லத்தீன் எழுத்து D ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. அதை கணக்கிட என்ன தேவை? வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும், ஏற்கனவே உள்ள எண்ணுக்கும் எண்கணித சராசரிக்கும் உள்ள வேறுபாட்டைக் கணக்கிட்டு அதை சதுரமாக்குகிறோம். நாம் பரிசீலிக்கும் நிகழ்வின் பலன்கள் இருக்கக்கூடிய பல மதிப்புகள் இருக்கும். அடுத்து, பெறப்பட்ட அனைத்தையும் தொகுத்து, வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கிறோம். ஐந்து சாத்தியமான விளைவுகள் இருந்தால், ஐந்தால் வகுக்க வேண்டும்.

சிதறல் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது பயன்படுத்த நினைவில் கொள்ள வேண்டிய பண்புகளையும் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சீரற்ற மாறி X மடங்கு அதிகரிக்கும் போது, ​​மாறுபாடு X வர்க்க முறைகளால் அதிகரிக்கிறது (அதாவது X*X). அவள் ஒருபோதும் நடக்காது பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாகமேலும் சமமான மதிப்பின் மேல் அல்லது கீழ் மதிப்புகளை மாற்றுவதை சார்ந்து இல்லை. கூடுதலாக, க்கான சுயாதீன சோதனைகள்தொகையின் மாறுபாடு மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

இப்போது நாம் நிச்சயமாக ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் சிதறல் மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

நாங்கள் 21 சோதனைகளை நடத்தி 7 வெவ்வேறு முடிவுகளைப் பெற்றோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அவை ஒவ்வொன்றையும் முறையே 1, 2, 2, 3, 4, 4 மற்றும் 5 முறை கவனித்தோம். மாறுபாடு எதற்கு சமமாக இருக்கும்?

முதலில், எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடுவோம்: தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகை, நிச்சயமாக, 21 ஆகும். அதை 7 ஆல் வகுத்து, 3 ஐப் பெறுங்கள். இப்போது அசல் வரிசையில் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணிலிருந்தும் 3 ஐக் கழித்து, ஒவ்வொரு மதிப்பையும் சதுரப்படுத்தி, முடிவுகளை ஒன்றாகச் சேர்க்கவும். முடிவு 12. இப்போது நாம் செய்ய வேண்டியதெல்லாம், எண்ணை உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்க வேண்டும், அது போல் தெரிகிறது, அவ்வளவுதான். ஆனால் ஒரு பிடிப்பு இருக்கிறது! அதை விவாதிப்போம்.

சோதனைகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது

மாறுபாட்டைக் கணக்கிடும்போது, ​​வகுத்தல் இரண்டு எண்களில் ஒன்றைக் கொண்டிருக்கலாம்: N அல்லது N-1. இங்கே N என்பது நிகழ்த்தப்பட்ட சோதனைகளின் எண்ணிக்கை அல்லது வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை (இது அடிப்படையில் ஒன்றுதான்). இது எதைச் சார்ந்தது?

சோதனைகளின் எண்ணிக்கை நூற்றுக்கணக்கில் அளவிடப்பட்டால், அலகுகளில் இருந்தால், N-1 ஐக் குறிக்க வேண்டும். விஞ்ஞானிகள் எல்லையை மிகவும் குறியீடாக வரைய முடிவு செய்தனர்: இன்று அது எண் 30 வழியாக செல்கிறது. நாம் 30 க்கும் குறைவான சோதனைகளை நடத்தினால், அந்தத் தொகையை N-1 ஆகவும், அதிகமாக இருந்தால் N ஆகவும் பிரிப்போம்.

பணி

மாறுபாடு மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகியவற்றின் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எங்கள் உதாரணத்திற்குத் திரும்புவோம். எங்களுக்கு ஒரு இடைநிலை எண் 12 கிடைத்தது, அதை N அல்லது N-1 ஆல் வகுக்க வேண்டும். நாங்கள் 21 சோதனைகளை நடத்தியதால், இது 30 க்கும் குறைவானது, நாங்கள் இரண்டாவது விருப்பத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம். எனவே பதில்: மாறுபாடு 12/2 = 2.

எதிர்பார்த்த மதிப்பு

இந்த கட்டுரையில் நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய இரண்டாவது கருத்துக்கு செல்லலாம். கணித எதிர்பார்ப்பு என்பது சாத்தியமான அனைத்து விளைவுகளையும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளால் பெருக்குவதன் விளைவாகும். பெறப்பட்ட மதிப்பு, அதே போல் மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதன் விளைவாக, முழு சிக்கலுக்கும் ஒரு முறை மட்டுமே பெறப்படுகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது முக்கியம், அதில் எத்தனை விளைவுகளைக் கருத்தில் கொண்டாலும்.

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான சூத்திரம் மிகவும் எளிமையானது: நாம் முடிவை எடுத்து, அதன் நிகழ்தகவு மூலம் பெருக்கி, இரண்டாவது, மூன்றாவது முடிவுக்கு அதையே சேர்ப்போம். இந்த கருத்துடன் தொடர்புடைய அனைத்தையும் கணக்கிடுவது கடினம் அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை, எதிர்பார்க்கப்படும் தொகையின் மதிப்புக்கு சமம். வேலைக்கும் அப்படித்தான். அத்தகைய எளிய செயல்பாடுகள்நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு அளவும் இதைச் செய்ய உங்களை அனுமதிக்காது. சிக்கலை எடுத்து, நாம் படித்த இரண்டு கருத்துகளின் அர்த்தத்தை ஒரே நேரத்தில் கணக்கிடுவோம். தவிர, நாங்கள் கோட்பாட்டால் திசைதிருப்பப்பட்டோம் - இது பயிற்சிக்கான நேரம்.

இன்னும் ஒரு உதாரணம்

நாங்கள் 50 சோதனைகளை நடத்தி, 10 வகையான விளைவுகளைப் பெற்றுள்ளோம் - 0 முதல் 9 வரையிலான எண்கள் - வெவ்வேறு சதவீதங்களில் தோன்றும். இவை முறையே: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. நிகழ்தகவுகளைப் பெற, நீங்கள் சதவீத மதிப்புகளை 100 ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க. இதனால், நமக்கு 0.02 கிடைக்கும்; 0.1, முதலியன ஒரு சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணத்தை முன்வைப்போம்.

தொடக்கப் பள்ளியிலிருந்து நாம் நினைவில் வைத்திருக்கும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடுகிறோம்: 50/10 = 5.

இப்போது எண்ணுவதை எளிதாக்க நிகழ்தகவுகளை "துண்டுகளாக" விளைவுகளின் எண்ணிக்கையாக மாற்றுவோம். நாம் 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 மற்றும் 9 ஐப் பெறுகிறோம். பெறப்பட்ட ஒவ்வொரு மதிப்பிலிருந்தும், எண்கணித சராசரியைக் கழிக்கிறோம், அதன் பிறகு பெறப்பட்ட ஒவ்வொரு முடிவுகளையும் சதுரப்படுத்துகிறோம். உதாரணத்திற்கு முதல் உறுப்பைப் பயன்படுத்தி இதை எப்படி செய்வது என்று பார்க்கவும்: 1 - 5 = (-4). அடுத்து: (-4) * (-4) = 16. மற்ற மதிப்புகளுக்கு, இந்த செயல்பாடுகளை நீங்களே செய்யுங்கள். நீங்கள் எல்லாவற்றையும் சரியாகச் செய்திருந்தால், அவற்றைச் சேர்த்த பிறகு உங்களுக்கு 90 கிடைக்கும்.

90 ஐ N ஆல் வகுப்பதன் மூலம் மாறுபாடு மற்றும் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதைத் தொடரலாம். ஏன் N-1 ஐ விட N ஐ தேர்வு செய்கிறோம்? சரி, ஏனெனில் நிகழ்த்தப்பட்ட சோதனைகளின் எண்ணிக்கை 30ஐத் தாண்டியுள்ளது. எனவே: 90/10 = 9. மாறுபாடு கிடைத்தது. வேறு எண் கிடைத்தால், விரக்தியடைய வேண்டாம். பெரும்பாலும், நீங்கள் கணக்கீடுகளில் ஒரு எளிய தவறு செய்துள்ளீர்கள். நீங்கள் எழுதியதை இருமுறை சரிபார்க்கவும், எல்லாமே சரியான இடத்தில் வரும்.

இறுதியாக, கணித எதிர்பார்ப்புக்கான சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள். நாங்கள் அனைத்து கணக்கீடுகளையும் கொடுக்க மாட்டோம், தேவையான அனைத்து நடைமுறைகளையும் முடித்த பிறகு நீங்கள் சரிபார்க்கக்கூடிய பதிலை மட்டுமே எழுதுவோம். எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு 5.48 ஆக இருக்கும். 0*0.02 + 1*0.1... மற்றும் பல. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நாம் அதன் நிகழ்தகவு மூலம் விளைவு மதிப்பை பெருக்குகிறோம்.

விலகல்

சிதறல் மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்புடன் நெருங்கிய தொடர்புடைய மற்றொரு கருத்து நிலையான விலகல் ஆகும். இது லத்தீன் எழுத்துக்கள் sd அல்லது கிரேக்க சிற்றெழுத்து "சிக்மா" மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. மைய அம்சத்திலிருந்து சராசரி மதிப்புகள் எவ்வளவு விலகுகின்றன என்பதை இந்த கருத்து காட்டுகிறது. அதன் மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும் சதுர வேர்சிதறலில் இருந்து.

நீங்கள் ஒரு சாதாரண விநியோக வரைபடத்தை வரைந்து, அதன் மீது ஸ்கொயர் விலகலை நேரடியாகப் பார்க்க விரும்பினால், இதைப் பல நிலைகளில் செய்யலாம். படத்தின் பாதியை இடது அல்லது பயன்முறையில் வலதுபுறமாக எடுத்து (மத்திய மதிப்பு), கிடைமட்ட அச்சுக்கு செங்குத்தாக வரையவும், இதன் விளைவாக உருவங்களின் பகுதிகள் சமமாக இருக்கும். விநியோகத்தின் நடுப்பகுதிக்கும் கிடைமட்ட அச்சில் விளைந்த திட்டத்திற்கும் இடையே உள்ள பிரிவின் அளவு நிலையான விலகலைக் குறிக்கும்.

மென்பொருள்

சூத்திரங்களின் விளக்கங்கள் மற்றும் முன்வைக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து பார்க்க முடியும், மாறுபாடு மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுவது எண்கணிதக் கண்ணோட்டத்தில் எளிமையான செயல்முறை அல்ல. நேரத்தை வீணாக்காமல் இருக்க, உயர் கல்வியில் பயன்படுத்தப்படும் திட்டத்தைப் பயன்படுத்துவது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது கல்வி நிறுவனங்கள்- இது "ஆர்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டிலிருந்து பல கருத்துக்களுக்கான மதிப்புகளைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கும் செயல்பாடுகள் இதில் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டாக, மதிப்புகளின் வெக்டரைக் குறிப்பிடுகிறீர்கள். இது பின்வருமாறு செய்யப்படுகிறது: திசையன்<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

இறுதியாக

சிதறல் மற்றும் கணித எதிர்பார்ப்பு இல்லாமல் எதிர்காலத்தில் எதையும் கணக்கிடுவது கடினம். பல்கலைக்கழகங்களில் விரிவுரைகளின் முக்கிய பாடத்திட்டத்தில், அவர்கள் பாடத்தைப் படிக்கும் முதல் மாதங்களில் ஏற்கனவே விவாதிக்கப்பட்டுள்ளனர். இந்த எளிய கருத்துக்களைப் பற்றிய புரிதல் இல்லாததாலும், அவற்றைக் கணக்கிட இயலாமையாலும், பல மாணவர்கள் உடனடியாக திட்டத்தில் பின்தங்கத் தொடங்குகிறார்கள், பின்னர் அமர்வு முடிவில் மோசமான மதிப்பெண்களைப் பெறுகிறார்கள், இது அவர்களுக்கு உதவித்தொகையை இழக்கிறது.

இந்த கட்டுரையில் வழங்கப்பட்டதைப் போன்ற பணிகளைத் தீர்க்க, குறைந்தது ஒரு வாரம், ஒரு நாளைக்கு அரை மணி நேரம் பயிற்சி செய்யுங்கள். பின்னர், நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் எந்தவொரு சோதனையிலும், வெளிப்புற உதவிக்குறிப்புகள் மற்றும் ஏமாற்றுத் தாள்கள் இல்லாமல் நீங்கள் உதாரணங்களைச் சமாளிக்க முடியும்.

ஒரு தனித்த நிகழ்தகவு இடத்தில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் கணித எதிர்பார்ப்பு (சராசரி மதிப்பு) என்பது தொடர் முழுவதுமாக ஒன்றிணைந்தால் m =M[X]=∑x i p i ஆகும்.

சேவையின் நோக்கம். ஆன்லைன் சேவையைப் பயன்படுத்துதல் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவை கணக்கிடப்படுகின்றன(உதாரணத்தைப் பார்க்கவும்). கூடுதலாக, F(X) விநியோகச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகள்

1. ஒரு நிலையான மதிப்பின் கணித எதிர்பார்ப்பு தனக்குச் சமம்: M[C]=C, C - மாறிலி;
2. M=C M[X]
3. சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்: M=M[X]+M[Y]
4. சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் உற்பத்தியின் கணித எதிர்பார்ப்பு அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்: M=M[X] M[Y] , X மற்றும் Y ஆகியவை சுயாதீனமாக இருந்தால்.

சிதறல் பண்புகள்

1. நிலையான மதிப்பின் மாறுபாடு பூஜ்ஜியம்: D(c)=0.
2. நிலையான காரணியை ஸ்கொயர் செய்வதன் மூலம் சிதறல் குறியின் கீழ் இருந்து எடுக்கலாம்: D(k*X)= k 2 D(X).
3. X மற்றும் Y ஆகிய சீரற்ற மாறிகள் சுயாதீனமாக இருந்தால், கூட்டுத்தொகையின் மாறுபாடு மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. சீரற்ற மாறிகள் X மற்றும் Y சார்ந்து இருந்தால்: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. பின்வரும் கணக்கீட்டு சூத்திரம் சிதறலுக்கு செல்லுபடியாகும்:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

உதாரணமாக. X மற்றும் Y ஆகிய இரண்டு சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் கணித எதிர்பார்ப்புகள் மற்றும் மாறுபாடுகள் அறியப்படுகின்றன: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 என்ற சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு. கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகளின் அடிப்படையில்: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23
சிதறலின் பண்புகளின் அடிப்படையில்: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

கணித எதிர்பார்ப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான அல்காரிதம்

1. ஜோடிகளை ஒவ்வொன்றாகப் பெருக்குகிறோம்: x i ஆல் p i .
2. ஒவ்வொரு ஜோடியின் உற்பத்தியையும் x i p i .
   எடுத்துக்காட்டாக, n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

எடுத்துக்காட்டு எண். 1.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி பின்வரும் விநியோகத் தொடர்களைக் கொண்டுள்ளது:

தீர்வு. a இன் மதிப்பு உறவிலிருந்து கண்டறியப்படுகிறது: Σp i = 1
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 அல்லது 0.24=3 a , எங்கிருந்து a = 0.08

எடுத்துக்காட்டு எண். 3. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் பரவல் விதியை அதன் மாறுபாடு அறியப்பட்டால் தீர்மானிக்கவும், மற்றும் x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 = x; x 4 =15
ப 1 =0.3; ப 2 =0.3; ப 3 =0.1; ப 4 =0.3
d(x)=12.96

தீர்வு.
d(x) மாறுபாட்டைக் கண்டறிய இங்கே நீங்கள் ஒரு சூத்திரத்தை உருவாக்க வேண்டும்:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
இதில் எதிர்பார்ப்பு m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
எங்கள் தரவுகளுக்கு
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
அல்லது -9/100 (x 2 -20x+96)=0
அதன்படி, சமன்பாட்டின் வேர்களை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அவற்றில் இரண்டு இருக்கும்.
x 3 =8, x 3 =12
நிபந்தனை x 1ஐப் பூர்த்தி செய்யும் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் x 3 =12

ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம்
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
ப 1 =0.3; ப 2 =0.3; ப 3 =0.1; ப 4 =0.3

இந்தப் பக்கம் மாறுபாட்டைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு நிலையான உதாரணத்தை விவரிக்கிறது, அதைக் கண்டறிவதற்கான பிற சிக்கல்களையும் நீங்கள் பார்க்கலாம்

எடுத்துக்காட்டு 1. குழு, குழு சராசரி, இடைக்குழு மற்றும் மொத்த மாறுபாடு ஆகியவற்றை தீர்மானித்தல்

எடுத்துக்காட்டு 2. ஒரு குழு அட்டவணையில் மாறுபாடு மற்றும் மாறுபாட்டின் குணகம் கண்டறிதல்

எடுத்துக்காட்டு 3. ஒரு தனித் தொடரில் மாறுபாட்டைக் கண்டறிதல்

எடுத்துக்காட்டு 4. பின்வரும் தரவு 20 கடித மாணவர்களின் குழுவிற்கு கிடைக்கிறது. குணாதிசயத்தின் விநியோகத்தின் இடைவெளித் தொடரை உருவாக்குவது, பண்புகளின் சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுவது மற்றும் அதன் சிதறலைப் படிப்பது அவசியம்.

ஒரு இடைவெளி குழுவை உருவாக்குவோம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இடைவெளியின் வரம்பைத் தீர்மானிப்போம்:

இதில் X max என்பது குழுப் பண்புகளின் அதிகபட்ச மதிப்பு;
X நிமிடம் - தொகுத்தல் பண்புகளின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு;
n - இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கை:

நாங்கள் n=5 ஐ ஏற்றுக்கொள்கிறோம். படி: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

ஒரு இடைவெளி குழுவை உருவாக்குவோம்

மேலும் கணக்கீடுகளுக்கு, நாங்கள் ஒரு துணை அட்டவணையை உருவாக்குவோம்:

X"i – இடைவெளியின் நடுப்பகுதி. (உதாரணமாக, இடைவெளியின் நடுப்பகுதி 159 – 165.6 = 162.3)

எடையுள்ள எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாணவர்களின் சராசரி உயரத்தை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாறுபாட்டைத் தீர்மானிப்போம்:

சூத்திரத்தை இவ்வாறு மாற்றலாம்:

இந்த சூத்திரத்திலிருந்து அது பின்வருமாறு மாறுபாடு சமம் விருப்பங்களின் சதுரங்களின் சராசரிக்கும் சதுரத்திற்கும் சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாடு.

மாறுபாடு தொடரில் சிதறல்கணங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி சம இடைவெளிகளுடன், சிதறலின் இரண்டாவது பண்புகளைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் வழியில் கணக்கிடலாம் (அனைத்து விருப்பங்களையும் இடைவெளியின் மதிப்பால் வகுத்தல்). மாறுபாட்டை தீர்மானித்தல், கணங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது குறைவான உழைப்பு:

i என்பது இடைவெளியின் மதிப்பு;
A என்பது ஒரு வழக்கமான பூஜ்ஜியமாகும், இதற்கு அதிக அதிர்வெண் கொண்ட இடைவெளியின் நடுப்பகுதியைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது;
m1 என்பது முதல் வரிசை தருணத்தின் சதுரம்;
m2 - இரண்டாவது வரிசையின் தருணம்

மாற்று பண்பு மாறுபாடு (ஒரு புள்ளியியல் மக்கள்தொகையில் இரண்டு பரஸ்பர பிரத்தியேக விருப்பங்கள் மட்டுமே இருக்கும் வகையில் ஒரு சிறப்பியல்பு மாற்றங்கள் இருந்தால், அத்தகைய மாறுபாடு மாற்று என்று அழைக்கப்படுகிறது) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

இந்த சிதறல் சூத்திரத்தில் q = 1- p ஐ மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

மாறுபாட்டின் வகைகள்

மொத்த மாறுபாடுஇந்த மாறுபாட்டை ஏற்படுத்தும் அனைத்து காரணிகளின் செல்வாக்கின் கீழ் ஒட்டுமொத்த மக்கள்தொகை முழுவதும் ஒரு பண்பு மாறுபாட்டை அளவிடுகிறது. இது x இன் ஒட்டுமொத்த சராசரி மதிப்பிலிருந்து ஒரு குணாதிசயமான x இன் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரத்திற்குச் சமம் மற்றும் எளிய மாறுபாடு அல்லது எடையுள்ள மாறுபாடு என வரையறுக்கலாம்.

குழுவிற்குள் மாறுபாடு சீரற்ற மாறுபாட்டை வகைப்படுத்துகிறது, அதாவது. கணக்கிடப்படாத காரணிகளின் செல்வாக்கின் காரணமாக ஏற்படும் மாறுபாட்டின் ஒரு பகுதி மற்றும் குழுவின் அடிப்படையை உருவாக்கும் காரணி-பண்பு சார்ந்து இல்லை. இத்தகைய சிதறல் குழுவின் எண்கணித சராசரியிலிருந்து குழு X க்குள் உள்ள பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் விலகல்களின் சராசரி சதுரத்திற்கு சமம் மற்றும் எளிய சிதறல் அல்லது எடையுள்ள சிதறல் என கணக்கிடலாம்.

இதனால், குழுவிற்குள் மாறுபாடு நடவடிக்கைகள்ஒரு குழுவிற்குள் ஒரு பண்பின் மாறுபாடு மற்றும் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

xi என்பது குழு சராசரி;
ni என்பது குழுவில் உள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கை.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பட்டறையில் தொழிலாளர் உற்பத்தித்திறன் மட்டத்தில் தொழிலாளர் தகுதிகளின் செல்வாக்கைப் படிக்கும் பணியில் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டிய உள்குழு மாறுபாடுகள் ஒவ்வொரு குழுவிலும் சாத்தியமான அனைத்து காரணிகளாலும் ஏற்படும் வெளியீட்டில் மாறுபாடுகளைக் காட்டுகின்றன (உபகரணங்களின் தொழில்நுட்ப நிலை, கிடைக்கும் தன்மை கருவிகள் மற்றும் பொருட்கள், தொழிலாளர்களின் வயது, உழைப்பு தீவிரம் போன்றவை. .), தகுதி வகை வேறுபாடுகள் தவிர (ஒரு குழுவிற்குள் அனைத்து தொழிலாளர்களுக்கும் ஒரே தகுதிகள் உள்ளன).