நம்பகத்தன்மையுடன் நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும். கணித எதிர்பார்ப்புகளை மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகள்

உங்களுக்குத் தேவையான பணியைக் கண்டறிய இந்தத் தேடல் படிவத்தைப் பயன்படுத்தலாம். பணியிலிருந்து ஒரு சொல், சொற்றொடரை உள்ளிடவும் அல்லது அதன் எண்ணை உங்களுக்குத் தெரிந்தால் உள்ளிடவும்.

நம்பிக்கை இடைவெளிகள்: பிரச்சனைகளுக்கான தீர்வுகளின் பட்டியல்

நம்பிக்கை இடைவெளிகள்: கோட்பாடு மற்றும் சிக்கல்கள்

நம்பிக்கை இடைவெளிகளைப் புரிந்துகொள்வது

நம்பிக்கை இடைவெளியின் கருத்தை சுருக்கமாக அறிமுகப்படுத்துவோம்
1) ஒரு எண் மாதிரியின் சில அளவுருக்களை மாதிரியின் தரவிலிருந்து நேரடியாக மதிப்பிடுகிறது,
2) இந்த அளவுருவின் மதிப்பை நிகழ்தகவு γ உடன் உள்ளடக்கியது.

நம்பிக்கை இடைவெளிஅளவுருவிற்கு எக்ஸ்(நிகழ்தகவு γ) என்பது படிவத்தின் இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது , மற்றும் மதிப்புகள் மாதிரியிலிருந்து சில வழியில் கணக்கிடப்படுகின்றன.

பொதுவாக உள்ள பயன்பாட்டு சிக்கல்கள்நம்பிக்கை நிகழ்தகவு γ = 0.9 க்கு சமமாக எடுக்கப்படுகிறது; 0.95; 0.99

சாதாரண விநியோகச் சட்டத்தின்படி மறைமுகமாக விநியோகிக்கப்படும் பொது மக்களிடமிருந்து தயாரிக்கப்பட்ட அளவு n இன் சில மாதிரிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். கண்டுபிடிக்க என்ன சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைக் காண்பிப்போம் விநியோக அளவுருக்களுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகள்- கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறல் (நிலையான விலகல்).

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

வழக்கு 1.விநியோகத்தின் மாறுபாடு அறியப்படுகிறது மற்றும் சமமாக உள்ளது. பிறகு நம்பிக்கை இடைவெளிஅளவுருவிற்கு அவடிவம் உள்ளது:
டிஉறவின் படி Laplace விநியோக அட்டவணையில் இருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது

வழக்கு 2.விநியோகத்தின் மாறுபாடு தெரியவில்லை; மாறுபாட்டின் புள்ளி மதிப்பீடு மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது பின்னர் அளவுருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி அவடிவம் உள்ளது:
, மாதிரி, அளவுருவில் இருந்து கணக்கிடப்பட்ட மாதிரி சராசரி எங்கே டிமாணவர் விநியோக அட்டவணையில் இருந்து தீர்மானிக்கப்பட்டது

உதாரணம்.ஒரு குறிப்பிட்ட அளவின் 7 அளவீடுகளின் அடிப்படையில், அளவீட்டு முடிவுகளின் சராசரி 30 ஆகவும், மாதிரி மாறுபாடு 36 ஆகவும் கண்டறியப்பட்டது. 0.99 நம்பகத்தன்மையுடன் அளவிடப்பட்ட அளவின் உண்மையான மதிப்பு உள்ள எல்லைகளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.நாம் கண்டுபிடிப்போம் . பின்னர் அளவிடப்பட்ட மதிப்பின் உண்மையான மதிப்பைக் கொண்ட இடைவெளிக்கான நம்பிக்கை வரம்புகளை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:
, மாதிரி சராசரி எங்கே, மாதிரி மாறுபாடு. நாங்கள் எல்லா மதிப்புகளையும் மாற்றி, பெறுகிறோம்:

மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

பொதுவாகச் சொன்னால், கணித எதிர்பார்ப்புஎன்பது தெரியவில்லை, மேலும் மாறுபாட்டின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடு மட்டுமே அறியப்படுகிறது. பின்னர் நம்பிக்கை இடைவெளி வடிவம் கொண்டது:
, எங்கே - விநியோக அளவுகள் அட்டவணையில் இருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

உதாரணம். 7 சோதனைகளின் தரவுகளின் அடிப்படையில், நிலையான விலகலுக்கான மதிப்பீட்டு மதிப்பு கண்டறியப்பட்டது s=12. நிகழ்தகவு 0.9 உடன், சிதறலை மதிப்பிடுவதற்காக கட்டப்பட்ட நம்பிக்கை இடைவெளியின் அகலத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.அறியப்படாத மக்கள்தொகை மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியலாம்:

நாங்கள் மாற்றுகிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்:


பின் நம்பக இடைவெளியின் அகலம் 465.589-71.708=393.881.

நிகழ்தகவுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி (விகிதம்)

வழக்கு 1.மாதிரி அளவு மற்றும் மாதிரி பின்னம் (உறவினர் அதிர்வெண்) சிக்கலில் தெரியட்டும். பொதுப் பங்கிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி (உண்மையான நிகழ்தகவு) வடிவம் கொண்டது:
, அளவுரு எங்கே டிஉறவைப் பயன்படுத்தி Laplace விநியோக அட்டவணையில் இருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

வழக்கு 2.சிக்கலில் மாதிரி எடுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையின் மொத்த அளவு கூடுதலாக அறியப்பட்டால், சரிசெய்யப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பொதுவான பங்கிற்கான (உண்மையான நிகழ்தகவு) நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியலாம்:
.

உதாரணம்.பொதுப் பங்கு இருக்கக்கூடிய எல்லைகளைக் கண்டறியவும் என்று அறியப்படுகிறது.

தீர்வு.நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

நிபந்தனையிலிருந்து அளவுருவைக் கண்டுபிடிப்போம் , சூத்திரத்தில் மாற்றீட்டைப் பெறுகிறோம்:

சிக்கல்களின் பிற எடுத்துக்காட்டுகள் கணித புள்ளிவிவரங்கள்பக்கத்தில் காணலாம்

சேவையின் நோக்கம். இந்த சேவையைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியும்:

• பொது சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி, மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;
• நிலையான விலகலுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி, பொதுப் பங்கிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. ஒரு கூட்டுப் பண்ணையில், மொத்தமுள்ள 1000 ஆடுகளில், 100 செம்மறி ஆடுகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாட்டு வெட்டுக்கு உட்படுத்தப்பட்டன. இதன் விளைவாக, ஒரு ஆடுக்கு சராசரியாக 4.2 கிலோ கம்பளி வெட்டப்பட்டது. ஒரு ஆடுக்கு சராசரியான கம்பளி வெட்டுதலை நிர்ணயிக்கும் போது மாதிரியின் சராசரி சதுரப் பிழையை 0.99 நிகழ்தகவுடன் தீர்மானிக்கவும் மற்றும் மாறுபாடு 2.5 ஆக இருந்தால், வெட்டு மதிப்பு இருக்கும் வரம்புகளை தீர்மானிக்கவும். மாதிரி மீண்டும் மீண்டும் இல்லை.
எடுத்துக்காட்டு எண். 2. மாஸ்கோ வடக்கு சுங்க இடுகையில் இறக்குமதி செய்யப்பட்ட பொருட்களின் தொகுப்பிலிருந்து, அது சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்டது மறு மாதிரிதயாரிப்பு "A" இன் 20 மாதிரிகள். சோதனையின் விளைவாக, மாதிரியில் தயாரிப்பு "A" இன் சராசரி ஈரப்பதம் நிறுவப்பட்டது, இது 1% நிலையான விலகலுடன் 6% க்கு சமமாக மாறியது.
0.683 நிகழ்தகவுடன், இறக்குமதி செய்யப்பட்ட தயாரிப்புகளின் முழுத் தொகுதியிலும் உற்பத்தியின் சராசரி ஈரப்பதத்தின் வரம்புகளைத் தீர்மானிக்கவும்.
எடுத்துக்காட்டு எண். 3. 36 மாணவர்களிடம் நடத்திய ஆய்வில், அவர்கள் ஆண்டுக்கு சராசரியாகப் படிக்கும் பாடப்புத்தகங்களின் எண்ணிக்கையைக் காட்டியது கல்வி ஆண்டு, 6 க்கு சமமாக மாறியது. ஒரு செமஸ்டருக்கு ஒரு மாணவர் படிக்கும் பாடப்புத்தகங்களின் எண்ணிக்கையானது 6 க்கு சமமான நிலையான விலகலுடன் ஒரு சாதாரண விநியோகச் சட்டத்தைக் கொண்டிருப்பதாகக் கருதினால், கண்டுபிடிக்கவும்: A) 0.99 நம்பகத்தன்மையுடன், கணிதத்திற்கான இடைவெளி மதிப்பீடு இந்த சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்ப்பு; B) இந்த மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட ஒரு செமஸ்டருக்கு ஒரு மாணவர் படிக்கும் பாடப்புத்தகங்களின் சராசரி எண்ணிக்கை, கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து விலகும் என்று எந்த நிகழ்தகவுடன் கூறலாம் முழுமையான மதிப்பு 2 க்கு மேல் இல்லை.

நம்பிக்கை இடைவெளிகளின் வகைப்பாடு

மாதிரி வகை மூலம்:

1. எல்லையற்ற மாதிரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;
2. இறுதி மாதிரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;

சீரற்ற மாதிரிக்கான சராசரி மாதிரி பிழையின் கணக்கீடு

சராசரி மாதிரி பிழை சூத்திரங்கள்
மறு தேர்வு		மீண்டும் தேர்வு
சராசரிக்கு	பங்குக்கு	சராசரிக்கு	பங்குக்கு

முற்றிலும் சீரற்ற மாதிரி முறையைப் பயன்படுத்தி மாதிரி அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள்

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி - இது அறியப்பட்ட நிகழ்தகவுடன், பொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கொண்டிருக்கும் தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட இடைவெளியாகும். கணித எதிர்பார்ப்புக்கான இயற்கையான மதிப்பீடு அதன் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரி ஆகும். எனவே, பாடம் முழுவதும் "சராசரி" மற்றும் "சராசரி மதிப்பு" என்ற சொற்களைப் பயன்படுத்துவோம். நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்களில், "சராசரி எண்ணின் நம்பக இடைவெளி [குறிப்பிட்ட சிக்கலில்] [சிறிய மதிப்பில்] இருந்து [பெரிய மதிப்பு] வரை இருக்கும்" என்பது போன்ற பதில் பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது. நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் சராசரி மதிப்புகளை மட்டுமல்ல, பொது மக்களின் குறிப்பிட்ட குணாதிசயத்தின் குறிப்பிட்ட எடையையும் மதிப்பீடு செய்யலாம். சராசரி, மாறுபாடு, நிலையான விலகல்புதிய வரையறைகள் மற்றும் சூத்திரங்களை நாம் அடையும் பிழைகள் பாடத்தில் விவாதிக்கப்படுகின்றன மாதிரி மற்றும் மக்கள்தொகையின் பண்புகள் .

சராசரியின் புள்ளி மற்றும் இடைவெளி மதிப்பீடுகள்

மக்கள்தொகையின் சராசரி மதிப்பு ஒரு எண்ணால் (புள்ளி) மதிப்பிடப்பட்டால், ஒரு குறிப்பிட்ட சராசரி, அவதானிப்புகளின் மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது, இது மக்கள்தொகையின் அறியப்படாத சராசரி மதிப்பின் மதிப்பீடாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், மாதிரி சராசரியின் மதிப்பு - ஒரு சீரற்ற மாறி - பொது மக்களின் சராசரி மதிப்புடன் ஒத்துப்போவதில்லை. எனவே, மாதிரி சராசரியைக் குறிக்கும் போது, ​​நீங்கள் ஒரே நேரத்தில் மாதிரி பிழையைக் குறிப்பிட வேண்டும். மாதிரி பிழையின் அளவுகோல் நிலையான பிழை, இது சராசரியாக அதே அலகுகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, பின்வரும் குறியீடு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

சராசரியின் மதிப்பீடு ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடையதாக இருக்க வேண்டும் என்றால், மக்கள்தொகையில் ஆர்வத்தின் அளவுரு ஒரு எண்ணால் அல்ல, ஆனால் ஒரு இடைவெளியால் மதிப்பிடப்பட வேண்டும். நம்பிக்கை இடைவெளி என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவு கொண்ட ஒரு இடைவெளி பிமதிப்பிடப்பட்ட மக்கள்தொகை காட்டி மதிப்பு காணப்படுகிறது. நம்பிக்கை இடைவெளியில் அது சாத்தியமாகும் பி = 1 - α சீரற்ற மாறி காணப்படுகிறது, பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

,

α = 1 - பி, இது புள்ளிவிவரங்கள் பற்றிய எந்தவொரு புத்தகத்தின் பின்னிணைப்பில் காணலாம்.

நடைமுறையில், மக்கள்தொகை சராசரி மற்றும் மாறுபாடு தெரியவில்லை, எனவே மக்கள்தொகை மாறுபாடு மாதிரி மாறுபாட்டால் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் மக்கள் தொகை மாதிரி சராசரியால் மாற்றப்படுகிறது. எனவே, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் நம்பிக்கை இடைவெளி பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

.

நம்பக இடைவெளி சூத்திரம் என்றால் மக்கள்தொகை சராசரியை மதிப்பிடுவதற்கு பயன்படுத்தப்படலாம்

• மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் அறியப்படுகிறது;
• அல்லது மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் தெரியவில்லை, ஆனால் மாதிரி அளவு 30 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது.

மாதிரி சராசரி என்பது மக்கள்தொகை சராசரியின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாகும். இதையொட்டி, மாதிரி மாறுபாடு மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடு அல்ல. மாதிரி மாறுபாடு சூத்திரத்தில், மாதிரி அளவு, மக்கள் தொகை மாறுபாட்டின் நடுநிலை மதிப்பீட்டைப் பெற nமூலம் மாற்றப்பட வேண்டும் n-1.

உதாரணம் 1.ஒரு குறிப்பிட்ட நகரத்தில் தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட 100 கஃபேக்களில் இருந்து சராசரியாக 10.5 ஊழியர்களின் எண்ணிக்கை 4.6 என்ற நிலையான விலகலுடன் இருப்பதாக தகவல் சேகரிக்கப்பட்டது. கஃபே ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையில் 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும்.

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

எனவே, சராசரியாக ஓட்டல் ஊழியர்களின் எண்ணிக்கையில் 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 9.6 முதல் 11.4 வரை இருந்தது.

எடுத்துக்காட்டு 2. 64 அவதானிப்புகளின் மக்கள்தொகையிலிருந்து ஒரு சீரற்ற மாதிரிக்கு, பின்வரும் மொத்த மதிப்புகள் கணக்கிடப்பட்டன:

அவதானிப்புகளில் உள்ள மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை,

சராசரியிலிருந்து மதிப்புகளின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை .

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும்.

நிலையான விலகலைக் கணக்கிடுவோம்:

,

சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

.

நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாட்டில் மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, இந்த மாதிரியின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 7.484 முதல் 11.266 வரை இருந்தது.

எடுத்துக்காட்டு 3. 100 அவதானிப்புகளின் சீரற்ற மக்கள்தொகை மாதிரிக்கு, கணக்கிடப்பட்ட சராசரி 15.2 மற்றும் நிலையான விலகல் 3.2 ஆகும். எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பிற்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும், பின்னர் 99% நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடவும். மாதிரி சக்தியும் அதன் மாறுபாடும் மாறாமல், நம்பிக்கைக் குணகம் அதிகரித்தால், நம்பிக்கை இடைவெளி குறுகுமா அல்லது விரிவடையும்?

இந்த மதிப்புகளை நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாடாக மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,05 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

எனவே, இந்த மாதிரியின் சராசரிக்கான 95% நம்பிக்கை இடைவெளி 14.57 முதல் 15.82 வரை இருந்தது.

நம்பிக்கை இடைவெளிக்கான வெளிப்பாடாக இந்த மதிப்புகளை மீண்டும் மாற்றுகிறோம்:

முக்கியத்துவ நிலைக்கான நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு எங்கே α = 0,01 .

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

எனவே, இந்த மாதிரியின் சராசரிக்கான 99% நம்பிக்கை இடைவெளி 14.37 முதல் 16.02 வரை இருந்தது.

நாம் பார்க்கிறபடி, நம்பிக்கைக் குணகம் அதிகரிக்கும்போது, ​​நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கிய மதிப்பும் அதிகரிக்கிறது, இதன் விளைவாக, இடைவெளியின் தொடக்க மற்றும் முடிவு புள்ளிகள் சராசரியிலிருந்து மேலும் அமைந்துள்ளன, இதனால் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி அதிகரிக்கிறது. .

குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு விசையின் புள்ளி மற்றும் இடைவெளி மதிப்பீடுகள்

சில மாதிரி பண்புகளின் பங்கை இவ்வாறு விளக்கலாம் புள்ளி மதிப்பீடுகுறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு பபொது மக்களில் அதே பண்பு. இந்த மதிப்பை நிகழ்தகவுடன் தொடர்புபடுத்த வேண்டும் என்றால், குறிப்பிட்ட ஈர்ப்பு விசையின் நம்பக இடைவெளி கணக்கிடப்பட வேண்டும். பநிகழ்தகவு கொண்ட மக்கள்தொகையில் சிறப்பியல்பு பி = 1 - α :

.

எடுத்துக்காட்டு 4.சில நகரங்களில் இரண்டு வேட்பாளர்கள் உள்ளனர் ஏமற்றும் பிமேயர் பதவிக்கு போட்டியிடுகின்றனர். 200 நகரவாசிகள் தோராயமாக கணக்கெடுக்கப்பட்டனர், அதில் 46% பேர் வேட்பாளருக்கு வாக்களிப்பதாக பதிலளித்தனர். ஏ, 26% - வேட்பாளருக்கு பிமேலும் 28% பேர் யாருக்கு வாக்களிப்போம் என்று தெரியவில்லை. வேட்பாளரை ஆதரிக்கும் நகரவாசிகளின் விகிதத்திற்கு 95% நம்பிக்கை இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும் ஏ.

CB X ஒரு பொது மக்கள்தொகையை உருவாக்கி, β அறியப்படாத அளவுரு CB X ஆக இருக்கட்டும். * இல் உள்ள புள்ளிவிவர மதிப்பீடு சீராக இருந்தால், மாதிரி அளவு பெரியதாக இருந்தால், β இன் மதிப்பை மிகத் துல்லியமாகப் பெறுவோம். இருப்பினும், நடைமுறையில், எங்களிடம் மிகப் பெரிய மாதிரிகள் இல்லை, எனவே அதிக துல்லியத்திற்கு உத்தரவாதம் அளிக்க முடியாது.

b* என்பது cக்கான புள்ளிவிவர மதிப்பீடாக இருக்கட்டும். மதிப்பு |in* - in| கணிப்பு துல்லியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. β* ஒரு சீரற்ற மாறி என்பதால், துல்லியம் CB என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு சிறிய அமைப்போம் நேர்மறை எண் 8 மற்றும் மதிப்பீட்டின் துல்லியம் |в* - в| 8 க்கும் குறைவாக இருந்தது, அதாவது | in* - in |< 8.

நம்பகத்தன்மை g அல்லது ஒரு மதிப்பீட்டின் நம்பிக்கை நிகழ்தகவு * இல் உள்ள நிகழ்தகவு g என்பது சமத்துவமின்மை |in * - in|< 8, т. е.

பொதுவாக, நம்பகத்தன்மை g முன்கூட்டியே குறிப்பிடப்படுகிறது, மேலும் g என்பது 1 (0.9; 0.95; 0.99; ...) க்கு நெருக்கமான எண்ணாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

சமத்துவமின்மை இருந்து |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

இடைவெளி (* - 8 இல், * + 5 இல்) நம்பிக்கை இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது நம்பிக்கை இடைவெளியானது நிகழ்தகவு y உடன் தெரியாத அளவுருவை உள்ளடக்கியது. நம்பிக்கை இடைவெளியின் முனைகள் சீரற்றவை மற்றும் மாதிரியிலிருந்து மாதிரிக்கு மாறுபடும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், எனவே இடைவெளி (* - 8 இல், * + 8 இல்) இதில் உள்ள அறியப்படாத அளவுருவை உள்ளடக்கியது என்று கூறுவது மிகவும் துல்லியமானது. இடைவெளி.

விடுங்கள் மக்கள் தொகைஒரு சீரற்ற மாறி X மூலம் வழங்கப்படுகிறது, இது ஒரு சாதாரண சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது, மற்றும் சராசரி நிலையான விலகல்ஆனால் அது அறியப்படுகிறது. தெரியாதது கணித எதிர்பார்ப்பு a = M (X). கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மை y க்கான நம்பக இடைவெளியைக் கண்டறிவது அவசியம்.

மாதிரி அர்த்தம்

உள்ளது புள்ளியியல் மதிப்பீடு xg = a க்கு.

தேற்றம். சீரற்ற மாறி X ஒரு சாதாரண விநியோகம் மற்றும் M(XB) = a, எனில் xB க்கு இயல்பான விநியோகம் இருக்கும்.

A (XB) = a, அங்கு a = y/B (X), a = M (X). l/i

ஒருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி வடிவம் கொண்டது:

8ஐக் காண்கிறோம்.

விகிதத்தைப் பயன்படுத்துதல்

Ф(r) என்பது Laplace செயல்பாடாக இருந்தால், எங்களிடம் உள்ளது:

பி ( | XB - a |<8} = 2Ф

Laplace செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் அட்டவணையில் t இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம்.

நியமிக்கப்பட்டது

T, நாம் F(t) = g ஐப் பெறுகிறோம், ஏனெனில் g கொடுக்கப்பட்டதால், பின்னர்

சமத்துவத்தில் இருந்து மதிப்பீடு துல்லியமானது என்பதைக் காண்கிறோம்.

இதன் பொருள், ஒருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி வடிவம் கொண்டது:

X மக்கள்தொகையிலிருந்து ஒரு மாதிரி கொடுக்கப்பட்டது

n = U1 + ... + nm, பின் நம்பக இடைவெளி:

எடுத்துக்காட்டு 6.35. மாதிரி சராசரி Xb = 10.43, மாதிரி அளவு n = 100 மற்றும் நிலையான விலகல் s = 5 ஆகியவற்றை அறிந்து, 0.95 நம்பகத்தன்மையுடன் சாதாரண விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு a ஐ மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

1. என்று தெரியப்படுத்துங்கள் sl. x அளவு அறியப்படாத சராசரி μ மற்றும் அறியப்பட்ட σ 2: X~N(μ,σ 2 உடன் சாதாரண சட்டத்திற்கு கீழ்ப்படிகிறது), σ 2 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, μ தெரியவில்லை. β குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. x 1, x 2, …, x n மாதிரியின் அடிப்படையில், I β (θ) (இப்போது θ=μ), திருப்திகரமாக (13) கட்டமைக்க வேண்டியது அவசியம்

மாதிரி சராசரி (மாதிரி சராசரி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) அதே மையமான μ உடன் இயல்பான சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது, ஆனால் சிறிய மாறுபாடு X~N (μ, D), இங்கு மாறுபாடு D =σ 2 =σ 2 /n.

நிபந்தனையின்படி ξ~N(0,1)க்கு வரையறுக்கப்பட்ட K β எண் நமக்குத் தேவைப்படும்

வார்த்தைகளில்: abscissa அச்சின் -K β மற்றும் K β புள்ளிகளுக்கு இடையே நிலையான சாதாரண விதியின் அடர்த்தி வளைவின் கீழ் பகுதி உள்ளது, β க்கு சமம்

எடுத்துக்காட்டாக, K 0.90 = 1.645 அளவு 0.95 மதிப்பின் ξ

K 0.95 = 1.96. ; கே 0.997 =3.

குறிப்பாக, எந்தவொரு சாதாரண சட்டத்தின் மையத்திலிருந்தும் 1.96 நிலையான விலகல்களை வலதுபுறமாகவும் இடதுபுறமாகவும் ஒதுக்கி, 0.95 க்கு சமமான அடர்த்தி வளைவின் கீழ் பகுதியைப் பிடிக்கிறோம், இதன் காரணமாக K 0 95 என்பது நிலை 0.95 இன் அளவு ஆகும். இந்தச் சட்டத்திற்கு + 1/2 * 0.005 = 0.975.

பொது சராசரி μ க்கு தேவையான நம்பிக்கை இடைவெளி I A (μ) = (x-σ, x+σ),

எங்கே δ = (15)

ஒரு நியாயத்தைக் கூறுவோம்:

சொன்னபடி, வார்த்தைகள். நிகழ்தகவு β (படம் 9) உடன் மதிப்பு J=μ±σ இடைவெளியில் விழுகிறது. இந்த வழக்கில், அளவு δ ஐ விட குறைவாக மையத்தில் இருந்து விலகுகிறது, மற்றும் சீரற்ற இடைவெளி ± δ (ஒரு சீரற்ற மையம் மற்றும் J போன்ற அதே அகலத்துடன்) புள்ளி μ ஐ உள்ளடக்கும். அதாவது எஃப் ஜே<=> μ Є Iβ,எனவே Р(μЄІ β) = Р(Є J)=β.

எனவே, மாதிரியின் மீது நிலையான I β இடைவெளி, நிகழ்தகவு β உடன் சராசரி μ ஐக் கொண்டுள்ளது.

தெளிவாக, பெரிய n, சிறிய σ மற்றும் இடைவெளி குறுகலாக உள்ளது, மேலும் பெரிய உத்தரவாதத்தை நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம் β, பரந்த நம்பிக்கை இடைவெளி.

எடுத்துக்காட்டு 21.

அறியப்பட்ட மாறுபாடு σ 2 =64 உடன் இயல்பான மதிப்புக்கான n=16 கொண்ட மாதிரியின் அடிப்படையில், x=200 கண்டறியப்பட்டது. β=0.95 எடுத்துக் கொள்ளும் பொது சராசரி (வேறுவிதமாகக் கூறினால், கணித எதிர்பார்ப்புக்கு) μ நம்பக இடைவெளியை உருவாக்கவும்.

தீர்வு. I β (μ)= ± δ, இங்கு δ = K β σ/ -> K β σ/ =1.96*8/ = 4

I 0.95 (μ)=200 4=(196;204).

β=0.95 உத்தரவாதத்துடன் உண்மையான சராசரி இடைவெளிக்கு (196,204) சொந்தமானது என்று முடிவு செய்தால், ஒரு பிழை சாத்தியம் என்பதை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்.

100 நம்பிக்கை இடைவெளிகளில் I 0.95 (μ), சராசரியாக 5 இல் μ இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 22.

முந்தைய உதாரணம் 21 இன் நிபந்தனைகளில், நம்பக இடைவெளியை பாதியாக குறைக்க என்ன n எடுக்க வேண்டும்? 2δ=4 இருக்க, நாம் எடுக்க வேண்டும்

நடைமுறையில், ஒரு பக்க நம்பிக்கை இடைவெளிகள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எனவே, μ இன் உயர் மதிப்புகள் பயனுள்ளவை அல்லது ஆபத்தானவை அல்ல, ஆனால் குறைந்த மதிப்புகள் விரும்பத்தகாதவை, வலிமை அல்லது நம்பகத்தன்மையைப் போலவே, ஒரு பக்க இடைவெளியை உருவாக்குவது நியாயமானது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் அதன் மேல் வரம்பை முடிந்தவரை உயர்த்த வேண்டும். எடுத்துக்காட்டு 21 இல் உள்ளதைப் போல, கொடுக்கப்பட்ட β க்கு இரு பக்க நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்கி, பின்னர் எல்லைகளில் ஒன்றின் இழப்பில் அதை முடிந்தவரை விரிவுபடுத்தினால், அதிக உத்தரவாதத்துடன் ஒரு பக்க இடைவெளியைப் பெறுவோம் β" = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2, எடுத்துக்காட்டாக, β = 0.90 என்றால், β = 0.90 + 0.10/2 = 0.95.

எடுத்துக்காட்டாக, நாங்கள் தயாரிப்பின் வலிமையைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்று கருதி, இடைவெளியின் மேல் வரம்பை உயர்த்துவோம். பின்னர் μ க்கு உதாரணம் 21 இல் ஒரு பக்க நம்பிக்கை இடைவெளியை (196,°°) குறைந்த வரம்பு 196 மற்றும் நம்பக நிகழ்தகவு β"=0.95+0.05/2=0.975 உடன் பெறுகிறோம்.

சூத்திரத்தின் (15) நடைமுறைக் குறைபாடு என்னவென்றால், இது மாறுபாடு = σ 2 (எனவே = σ 2 /n) அறியப்படுகிறது என்ற அனுமானத்தின் கீழ் பெறப்பட்டது; மேலும் இது வாழ்க்கையில் அரிதாகவே நடக்கும். விதிவிலக்கு என்பது மாதிரி அளவு பெரியதாக இருந்தால், n என்பது நூற்றுக்கணக்கான அல்லது ஆயிரங்களில் அளவிடப்படுகிறது, பின்னர் σ 2 க்கு ஒருவர் நடைமுறையில் அதன் மதிப்பீட்டை s 2 அல்லது எடுக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 23.

ஒரு பெரிய நகரத்தில், குடியிருப்பாளர்களின் வாழ்க்கை நிலைமைகளின் மாதிரி கணக்கெடுப்பின் விளைவாக, பின்வரும் தரவு அட்டவணை பெறப்பட்டது (வேலையிலிருந்து எடுத்துக்காட்டு) என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

அட்டவணை 8

உதாரணமாக ஆதார தரவு

என்று எண்ணுவது இயல்பு மதிப்பு X என்பது ஒரு நபருக்கு மொத்த (பயன்படுத்தக்கூடிய) பகுதி (m2 இல்) மற்றும் சாதாரண சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது. சராசரி μ மற்றும் மாறுபாடு σ 2 தெரியவில்லை. μக்கு, 95% நம்பிக்கை இடைவெளி கட்டமைக்கப்பட வேண்டும். குழுவான தரவைப் பயன்படுத்தி மாதிரி வழிமுறைகள் மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறிய, பின்வரும் கணக்கீடுகளின் அட்டவணையைத் தொகுப்போம் (அட்டவணை 9).

அட்டவணை 9

தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளிலிருந்து X மற்றும் 5 ஐக் கணக்கிடுகிறது

இந்த துணை அட்டவணையில், முதல் மற்றும் இரண்டாவது ஆரம்ப புள்ளியியல் தருணங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன (2) ஒரு 1மற்றும் ஏ 2

σ 2 மாறுபாடு இங்கே தெரியவில்லை என்றாலும், பெரிய மாதிரி அளவு காரணமாக, நடைமுறையில் சூத்திரத்தை (15) பயன்படுத்தலாம், அதில் σ = = 7.16 ஐ வைக்கலாம்.

பின்னர் δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46.

β=0.95 இல் உள்ள பொது சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி I 0.95 (μ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46) க்கு சமம்.

இதன் விளைவாக, 0.95 உத்தரவாதத்துடன் கொடுக்கப்பட்ட நகரத்தில் ஒரு நபரின் சராசரி மதிப்பு இடைவெளியில் உள்ளது (18.54; 19.46).

2. சாதாரண மதிப்பின் அறியப்படாத மாறுபாடு σ 2 இல் கணித எதிர்பார்ப்பு μக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி.

(16)

கொடுக்கப்பட்ட உத்தரவாதத்திற்கான இந்த இடைவெளி β சூத்திரத்தின்படி கட்டமைக்கப்படுகிறது, இங்கு ν = n-1,

.

குணகம் t β,ν ஆனது ν டிகிரி சுதந்திரத்துடன் t பரவலுக்கு N(0,1) விநியோகத்திற்கான β போன்ற அதே பொருளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், sl. tν மதிப்பு நிகழ்தகவு β உடன் இடைவெளியில் (-t β,ν ; +t β,ν) விழும். t β,ν இன் மதிப்புகள் β=0.95 மற்றும் β=0.99 க்கு அட்டவணை 10 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணை 10.

மதிப்புகள் t β,ν